D5. Tensor de inercia

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\matriz}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} }[/math]

Los Teoremas Vectoriales relacionan el torsor externo de interacción sobre un sistema [math]\displaystyle{ \sum\overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} }[/math] con el cambio a lo largo del tiempo de vectores que dependen de cómo está distribuida la masa en el sistema (geometría de masas) y de su movimiento. En el TQM, este vector es la cantidad de movimiento del sistema, mientras que en el TMC es el momento cinético (o momento angular) del sistema. En esta unidad se dan las herramientas necesarias para poder describir la geometría de masas de un sólido rígido y calcular estos dos vectores.

---

---

D5.1 Centro de masas

El centro de masas de un sistema mecánico es un punto cuya cinemática es una cinemática ponderada de todos los elementos del sistema que tienen masa, y en este curso se representa con la letra G.

Figura D5.1 Centro de masas de un sistema de masa constante

Para el caso de un sólido rígido S homogéneo, la localización de G es fácil cuando el sólido tiene simetrías importantes (Figura D5.2).

Figura D5.2 Centro de masas de sólidos con simetrías importantes

Cuando no es el caso, hay que proceder a la integración para obtenerlo. Si M es la masa total del sólido: [math]\displaystyle{ \overline{\Os_\Rs\Gs}=\frac{1}{\mathrm{M}} \int_\mathrm{S}\mathrm{dm}(\Ps)\overline{\Os_\Rs\Ps} }[/math]

La Tabla muestra el centro de masas de las geometrías más habituales. A partir de esta información y para sólidos S formados por varios de estos elementos [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\is }[/math], la posición del centro de masas se puede hallar como media ponderada de la posición de cada [math]\displaystyle{ \mathrm{G}_\is }[/math].

✏️ EJEMPLO D5.1: cáscara

---

El sólido S está formado per una cáscara cilíndrica y una semicáscara esférica, ambas homogéneas y de la misma densidad superficial [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]. Por simetría, las coordenadas [math]\displaystyle{ (\xs,\ys) }[/math] del centro de masas G total son nulas: [math]\displaystyle{ (\xs_\mathrm{G},\ys_\mathrm{G})=(0,0) }[/math]. La coordenada z de la cáscara cilíndrica es [math]\displaystyle{ \zs_\mathrm{Gcil}=\Rs/2 }[/math]. La de la semicáscara esférica se puede hallar a partir de la Tablaa:

[math]\displaystyle{ \zs_\mathrm{Gesf}=\Rs+(\Rs/2)=3\Rs/2 }[/math].

La masa de cada elemento es el producto de la densidad superficial por la superficie del elemento:

[math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{cil}=\sigma 2 \pi \Rs^2 }[/math] , [math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{esf}=\sigma \frac{1}{2} 4 \pi \Rs^2= \sigma 2 \pi \Rs^2 }[/math]

Por tanto: [math]\displaystyle{ \zs_\mathrm{G}=\frac{\ms_\mathrm{esf}\zs_\mathrm{Gesf}+\ms_\mathrm{cil}\zs_\mathrm{Gcil}}{\ms_\mathrm{esf}+\ms_\mathrm{cil}}=\frac{2\pi\Rs^2(3/2)\Rs +2\pi\Rs^2(1/2)\Rs}{2\pi\Rs^2+2\pi\Rs^2}=\Rs }[/math]

✏️ EJEMPLO D5.2: placa doblada

---

El sólido S es una placa triangular homogénea, de densidad superficial [math]\displaystyle{ \sigma }[/math], doblada. El centro de masas se puede hallar como media ponderada del centro de masas de una placa cuadrada de lado 6L y dos triangulares de catetos 6L:

[math]\displaystyle{ (\xs_1,\ys_1)=(3\Ls,3\Ls) \hspace{3cm} (\xs_2,\ys_2)=(8\Ls,2\Ls) \hspace{3cm} (\xs_3,\ys_3)=(2\Ls,4\Ls) }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{1cm} \ms_1=(6\Ls)(6\Ls)\sigma=36\Ls^2\sigma \hspace{1.5cm} \ms_2=(1/2)(6\Ls)(6\Ls)\sigma=18\Ls^2\sigma \hspace{1cm} \ms_3=(1/2)(6\Ls)(6\Ls)\sigma=18 \Ls ^2 \sigma }[/math]

Por tanto: [math]\displaystyle{ (\xs_\mathrm{G},\ys_\mathrm{G})=\frac{36\sigma(3,3)\Ls^3+ 18\sigma (8,2)\Ls^3 + 18\sigma (2,4)\Ls^3}{36\Ls^2\sigma+18\Ls^2\sigma+ 18 \Ls^2 \sigma}=(4,3)\Ls. }[/math]

✏️ EJEMPLO D5.3: cilindro agujereado

---

El sólido es un cilindro homogéneo agujereado de densidad [math]\displaystyle{ \rho }[/math], y se puede considerar como superposición de un cilindro macizo de altura 4L y radio 2r, y un cilindro de masa negativa, de altura 2L y radio r. Por simetría, [math]\displaystyle{ (\xs_\mathrm{G},\ys_\mathrm{G})=(0,0) }[/math]. La coordenada z se puede hallar como promedio ponderado de la coordenada z de dos cilindros: Masa del cilindro macizo y del agujero por separado:

[math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{macizo}=\mathrm{V}_\mathrm{macizo}\rho=\pi(2\rs)^24\Ls\rho=16\pi\Ls \rs^2\rho \quad , \quad \ms_\mathrm{agujero}=\mathrm{V}_\mathrm{agujero} \rho=\pi\rs^22 \Ls\ \rho=2\pi\Ls \rs^2\rho }[/math]

Por tanto:

[math]\displaystyle{ \zs_\mathrm{G}=\frac{\ms_\mathrm{macizo}\zs_\mathrm{macizo}- \ms_ \mathrm{agujero} \zs_\mathrm{agujero}}{\ms_\mathrm{macizo} -\ms_\mathrm{agujero}}= \frac{16\pi\Ls\rs^2\rho \cdot 2\Ls - 2\pi\Ls \rs^2 \rho \cdot 3\Ls}{16\pi\Ls\rs^2\rho-2\pi\Ls\rs^2\rho}=\frac{13}{7}\Ls. }[/math]

---

---

D5.2 Tensor de inercia

El cálculo del momento cinético de un sólido S en un punto Q de este sólido se puede hacer de manera ágil a partir de una matriz simétrica definida positiva [math]\displaystyle{ \mathrm{II}(\Qs) }[/math], llamada tensor de inercia de S en el punto Q, y de su velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{RTQ} }[/math] (que es igual a [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] ya que la referencia RTQ se traslada respecto a una galileana):

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{Q})=\int_{\mathrm{s}} \overline{\mathbf{Q P}} \times \mathrm{dm}(\mathbf{P}) \overline{\mathbf{v}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{P}) \equiv \mathrm{II}(\mathbf{Q}) \bar{\Omega}_{\text {RTQ }}^{\mathrm{s}}=\mathrm{II}(\mathbf{Q}) \bar{\Omega}_{\text {Gal }}^{\mathrm{s}} . }[/math]

La relación entre el momento cinético [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) }[/math] y la velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] no es una simple proporcionalidad ya que [math]\displaystyle{ \mathrm{II}(\Qs) }[/math] es una matriz. Por este motivo, estos dos vectores no son paralelos en general (Figura D5.3).

Figura D5.3 Momento cinético y velocidad angular de un sólido rígido no son paralelos en general

Los elementos de [math]\displaystyle{ \mathrm{II}(\Qs) }[/math] en una base vectorial B de ejes 123 tienen que ver con la distribución de masa de S alrededor de unos ejes de coordenadas con origen en Q (Figura D5.4):

Figura D5.4 Tensor de inercia de un sólido

Los elementos de la diagonal ([math]\displaystyle{ \mathrm{I}_\mathrm{ii} }[/math]) se denominan momentos de inercia, y no pueden ser nunca negativos. Los de fuera de la diagonal ([math]\displaystyle{ \mathrm{I}_\mathrm{ii} }[/math]) son los productos de inercia, y pueden tener cualquier signo.

Si la base B es de orientación fija a S, los elementos de [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_\mathrm{ii} }[/math] son constantes. En este curso, se trabaja siempre con tensores de inercia de elementos constantes.

💭 Demostración ➕

Quan el moment cinètic d’un sòlid [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] es refereix a un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] que pertany a aquest mateix sòlid, es pot aplicar la cinemàtica de sòlid rígid per relacionar la velocitat de tots els punts de [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math] amb la del punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]:

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{Q})=\int_{\mathrm{s}} \overline{\mathbf{Q P}} \times \mathrm{dm}(\mathbf{P}) \vel{P}{RTQ} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Ps, \Qs \in \mathrm{S} \quad \Rightarrow \quad \vel{P}{RTQ}=\vel{Q}{RTQ}+ \velang{S}{RTQ} \times \QPvec = \velang{S}{RTQ} \times \QPvec = -\QPvec \times \velang{S}{RTQ} }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{Q})=\int_{\mathrm{s}} \QPvec \times (\QPvec \times \velang{S}{RTQ})\mathrm{dm}(\Ps) }[/math]

Si s‘expressa el vector [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] en una base [math]\displaystyle{ \mathrm{B} }[/math] d’eixos (1,2,3):

[math]\displaystyle{ \braq{\QPvec \times \velang{S}{RTQ}}{B}=\vector{\mathrm{QP}_1}{\mathrm{QP}_2}{\mathrm{QP}_3} \times \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3} \equiv \vector{\xs_1}{\xs_2}{\xs_3} \times \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}= \vector{\xs_2\Omega_3-\xs_3\Omega_2}{\xs_3\Omega_1-\xs_1\Omega_3}{\xs_1\Omega_2-\xs_2\Omega_1}=\matriz{0}{-\xs_3}{\xs_2}{\xs_3}{0}{-\xs_1}{-\xs_2}{\xs_1}{0} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3} , }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\QPvec \times (\QPvec \times \velang{S}{RTQ})}{B}= \matriz{0}{-\xs_3}{\xs_2}{\xs_3}{0}{-\xs_1}{-\xs_2}{\xs_1}{0} \matriz{0}{-\xs_3}{\xs_2}{\xs_3}{0}{-\xs_1}{-\xs_2}{\xs_1}{0} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3} = - \matriz{\xs_2^2 + \xs_3^2}{-\xs_1\xs_2}{-\xs_1\xs_3}{-\xs_1\xs_2}{\xs_1^2 + \xs_3^2}{-\xs_2\xs_3}{-\xs_1\xs_3}{-\xs_2\xs_3}{\xs_1^2 + \xs_2^2} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}. }[/math]

Finalment: [math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text {RTQ }}(\Qs)}{B}=\matriz{\int_{\mathrm{s}}(\xs_2^2 + \xs_3^2)\mathrm{dm}(\Ps)}{-\int_{\mathrm{s}}(\xs_1\xs_2)\mathrm{dm}(\Ps)}{-\int_{\mathrm{s}}(\xs_1\xs_3)\mathrm{dm}(\Ps)}{-\int_{\mathrm{s}}(\xs_1\xs_2)\mathrm{dm}(\Ps)}{\int_{\mathrm{s}}(\xs_1^2 + \xs_3^2)\mathrm{dm}(\Ps)}{-\int_{\mathrm{s}}(\xs_2\xs_3)\mathrm{dm}(\Ps)} {-\int_{\mathrm{s}}(\xs_1\xs_3)\mathrm{dm}(\Ps)} {-\int_{\mathrm{s}}(\xs_2\xs_3\mathrm{dm}(\Ps)}{\int_{\mathrm{s}}(\xs_1^2 + \xs_2^2)\mathrm{dm}(\Ps)} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3} \equiv \Bigr[\mathrm{II}(\Qs) \Bigr]_\mathrm{B} }[/math]

✏️ Exemple D5.4: sòlid fet de partícules

---

thumb|center|180px|link=

El sòlid rígid està format per sis partícules de massa m unides per barres rígides de massa negligible. En tractar-se d’una distribució de massa discreta, no cal fer cap integral per calcular el tensor d’inèrcia. Els moments d’inèrcia del tensor a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] per a la base 123 són:

[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{11}=6\ms\Ls^2 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 2: 2 \cdot \ms\Ls^2 \\ \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 3: 2 \cdot \ms\Ls^2 \\ \bullet \text { contribució de les partícules dels quadrants } 13: 2 \cdot \ms\Ls^2 \end{array}\right. }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{22}=6\ms\Ls^2 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 2: 0\\ \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 3: 2 \cdot \ms\Ls^2 \\ \bullet \text { contribució de les partícules dels quadrants } 13: 2 \cdot \ms(\sqrt{2}\Ls)^2 \end{array}\right. }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{33}=4\ms\Ls^2 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 2: 2 \cdot \ms\Ls^2 \\ \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 3: 0 \\ \bullet \text { contribució de les partícules dels quadrants } 13: 2 \cdot \ms\Ls^2 \end{array}\right. }[/math]

Els productes d’inèrcia són:

[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{12}=0 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 2 \text{i l'eix} 3: 0 \text{ (perquè } \xs_1=0)\\ \bullet \text { contribució de les partícules dels quadrants } 13: 0 \text{ (perquè } \xs_2=0) \end{array}\right. }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{13}=2\ms\Ls^2 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 2 \text{ i l'eix } 3 : \xs_1=0 \Rightarrow 0 \\ \bullet \text { contribució de la partícula del quadrant }1^+3^-: \xs_1=\Ls, \xs_3=-\Ls \Rightarrow \ms\Ls^2 \\ \bullet \text { contribució de la partícula del quadrant }1^-3^+: \xs_1=-\Ls, \xs_3=\Ls \Rightarrow \ms\Ls^2 \end{array}\right. }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{23}=0 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 2: 0 \text{ (perquè} \xs_3=0)\\ \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 3: 0 \text{ (perquè} \xs_2=0)\\ \bullet \text { contribució de les partícules dels quadrants } 13: 0 \text{ (perquè} \xs_2=0)\\ \end{array}\right. }[/math]

Finalment:[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{6}{0}{2}{0}{6}{0}{2}{0}{4} \ms \Ls^2 }[/math]

---

La Taula recull informació sobre moments i productes d’inèrcia de sòlids continus (no formats per partícules, com el de l’exemple D5.3 ) de geometria senzilla.

---

---

D5.3 Eixos principals d'inèrcia

La matriu [math]\displaystyle{ \mathrm{II}(\Qs) }[/math] canvia d’aspecte quan es canvia de base:[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Qs) \Bigr]_{\mathrm{B}1} \neq \Bigr[\mathrm{II}(\Qs) \Bigr]_{\mathrm{B}2} }[/math]. Si es treballa en la base pròpia BP de la matriu (la que té els eixos en la direcció dels vectors propis), [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Qs) \Bigr]_\mathrm{BP} }[/math] és diagonal:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Qs) \Bigr]_\mathrm{BP}= \matriz{\mathrm{I}_{11}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{33}}. }[/math]

Les direccions de la base BP que passen per [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] s’anomenen direccions principals d’inèrcia (DPI per a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]) per al punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] o eixos principals d’inèrcia (la paraula “eix” dóna a entendre que passa per un punt concret). Els moments d’inèrcia corresponents als eixos principals són els moments principals per al punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]. Si la velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] és paral·lela a una dels eixos principals, el moment cinètic [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) }[/math] i la velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] són paral·lels (Figura D5.5).

thumb|center|350px|link=

Figura D5.5 Moment cinètic quan la direcció de la velocitat angular és la d’un DPI

✏️ Exemple D5.5: sòlid fet de partícules

---

thumb|center|180px|link=

Considerem una rotació general del sòlid discret de l’ exemple D5.4 . El moment cinètic no resulta paral·lel a la velocitat angular: [math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text {RTO }}(\Os)}{B}=\matriz{6}{0}{2}{0}{6}{0}{2}{0}{4}\ms \Ls^2 \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}= \vector{6\Omega_1 + 2\Omega_3}{6\Omega_2}{2\Omega_1 + 4\Omega_3}\ms \Ls^2 }[/math] L’aspecte del tensor [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B} }[/math] però, posa de manifest que la direcció 2 és DPI. Per tant, si la velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] té aquesta direcció,[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os) }[/math] serà paral·lel a [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{S}{RTO}}{B}=\braq{\velang{S}{T}}{B}= \vector{0}{\Omega_2}{0} \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os)}{}=\vector{0}{6\Omega_2}{0} \ms \Ls^2 \quad \Rightarrow \quad \overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os) \parallel \velang{S}{T} }[/math]

Si [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] és de direcció 1 o 3, el paral·lelisme entre [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os) }[/math] i [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] és perd:

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{S}{RTO}}{B}=\braq{\velang{S}{T}}{B}= \vector{\Omega_1}{0}{0} \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os)}{}=\vector{6\Omega_1}{0}{2\Omega_1} \ms \Ls^2 \quad \Rightarrow \quad \overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os) }[/math] en el quadrant [math]\displaystyle{ 1^+3^- }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{S}{RTO}}{B}=\braq{\velang{S}{T}}{B}= \vector{0}{0}{\Omega_3} \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os)}{}=\vector{2\Omega_3}{0}{4\Omega_3} \ms \Ls^2 \quad \Rightarrow \quad \overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os) }[/math] en el quadrant [math]\displaystyle{ 1^-3^+ }[/math]

---

---

D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia

Quan es tracta de calcular el tensor d’inèrcia d’un sòlid, és necessari fer-ne una avaluació qualitativa abans de recórrer a la Taula, doncs en aquesta només s’hi recull una informació mínima (no es dóna mai l’expressió d’un tensor sencer). En aquesta secció es presenten algunes propietats generals que faciliten aquesta avaluació.

Propietat 1: En un sòlid pla (Figura D5.6), la direcció perpendicular (direcció k) al sòlid és sempre principal d’inèrcia ([math]\displaystyle{ \mathrm{I}_\mathrm{ik}=\mathrm{I}_\mathrm{jk}=0 }[/math]) per a qualsevol punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math], i el moment d’inèrcia corresponent és suma dels altres dos (pel teorema de Pitàgores):

thumb|center|700px|link=

Figura D5.6 Sòlid pla

Propietat 2: En un sòlid pla (Figura D5.7), el signe de la contribució de cada quadrant ij al producte d’inèrcia [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_\mathrm{ij}(\Qs) }[/math] és:

thumb|center|700px|link=

Figura D5.7 Sòlid pla

Propietat 3: En qualsevol sòlid, si hi ha simetria respecte del pla ij que passa per un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (Figura D4.8), la direcció k és principial d’inèrcia per a qualsevol punt d’aquest pla:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \xs_\is(\Ps)=\xs_\is (\Ps^{\prime)} \\ \xs_\js(\Ps)=\xs_\js (\Ps^{\prime}) \\ \xs_\ks(\Ps)=\xs_\ks (\Ps^{\prime}) \end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \mathrm{I}_\mathrm{i k}(\Qs \in \text { pla de simetria })=-\int_{\mathrm{s}} \xs_\is(\Ps) \xs_\ks(\Ps) \mathrm{dm}(\Ps)=0 \\ \mathrm{I}_\mathrm{j k}(\Qs \in \text { pla de simetria })=-\int_{\mathrm{s}} \xs_\js(\Ps) \xs_\ks(\Ps) \mathrm{dm}(\Ps)=0 \end{array}\right. }[/math]

thumb|center|400px|link=

Figura D5.7 Sòlid amb pla de simetria ij

✏️ Exemple D5.6: sòlid pla

---

thumb|center|180px|link=

El sòlid pla està constituït per tres barres homogènies del mateix material unides a un marc de massa negligible. figura plana continguda en el pla 23: per la propietat 1, la direcció 1 és DPI, i [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{11}=\mathrm{I}_{22}+ \mathrm{I}_{33} }[/math]. [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{22}+ \mathrm{I}_{33}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{22}}{\mathrm{I}_{23}}{0}{\mathrm{I}_{23}}{\mathrm{I}_{33}} }[/math] per la propietat 3, ja que el pla 13 és de simetria, la direcció 2 és DPI: [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{22}+ \mathrm{I}_{33}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{33}} }[/math]

Si tenim en compte que la barra central no contribueix al moment d’inèrcia [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{33} }[/math] perquè està al damunt de l’eix 3 i la seva distància a aquest és zero, és fàcil veure que [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{22}\gt \mathrm{I}_{33} }[/math]

.

---

Propietat 4: Quan un sòlid té dos moments principals d’inèrcia (segons direccions ortogonals) iguals per a un punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] ([math]\displaystyle{ \Is_\mathrm{ii} (\Os) = \Is_\mathrm{jj}(\Os) \equiv \Is , \Is_\mathrm{ij} (\Os)= 0 }[/math]), el seu tensor d’inèrcia a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és invariant sota rotacions al voltant de la direcció k:[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{ijk}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{i'j'k} }[/math]. En efecte:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{ijk}= \matriz{\mathrm{I}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{kk}} }[/math]

Per trobar [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{ijk}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{i'j'k} }[/math], només cal transformar el quadrant superior esquerre (ja que l’eix k és el mateix). Si [math]\displaystyle{ [\mathrm{S}] }[/math] és la matriu canvi de base [math]\displaystyle{ (\is,\js) \rightarrow (\is',\js'): }[/math]

[math]\displaystyle{ \left[\begin{array}{l} \text { quadrant } \\ \text { superior } \\ \text { esquerre } \end{array}\right]_{\is' \js'}=[\mathrm{S}]^{-1}\left[\begin{array}{ll} \mathrm{I} & 0 \\ 0 & \mathrm{I} \end{array}\right][\mathrm{S}]=\mathrm{I}[\mathrm{S}]^{-1}\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right][\mathrm{S}]=\mathrm{I}[\mathrm{S}]^{-1}[\mathrm{S}]=\mathrm{I}\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \text {. } }[/math]

El sòlid és un rotor simètric per al punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math]. Si la seva velocitat angular està continguda en el pla ij o és de direcció k, el moment cinètic a [math]\displaystyle{ \Os ( \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)) }[/math] i la velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{RTO}(=\velang{S}{Gal}) }[/math] són paral·lels.

✏️ Exemple D5.7: rotor simètric

---

thumb|center|180px|link=

El sòlid rígid homogeni està format per dues plaques triangulars idèntiques. figura plana continguda en el pla 12: per la propietat 1, la direcció 3 és DPI, i :[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{33}=\mathrm{I}_{11}+ \mathrm{I}_{22} }[/math]. [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{11}}{\mathrm{I}_{12}}{0}{\mathrm{I}_{12}}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{11}+\mathrm{I}_{22}} }[/math] [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{33}(\Os)=\mathrm{I}_{11}(\Os)+\mathrm{I}_{22}(\Os), \mathrm{I}_{13}(\Os)=\mathrm{I}_{23}(\Os)=0. }[/math]

Pel que fa als moments d’inèrcia en els eixos 1 i 2, és fàcil veure que són iguals: les distàncies a l’eix 1 i a l’eix 2 dels dm del triangle situat al quadrant dret inferior ([math]\displaystyle{ \mathrm{dm}(\Ps) }[/math]) són iguals a les distàncies a l’eix 2 i a l’eix 1, respectivament, dels dm del triangle situat al quadrant esquerre inferior ([math]\displaystyle{ \mathrm{dm}(\Ps') }[/math]):

thumb|center|220px|link=

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \delta_1(\Ps)=\delta_2\left(\Ps'\right) \\ \delta_2(\Ps)=\delta_1\left(\Ps'\right) \end{array}\right\} \Rightarrow \Is_{11}(\Os)=\Is_{22}(\Os) \equiv \Is }[/math] Per altra banda: [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \xs_1(\Ps)=-\xs_2\left(\Ps'\right) \\ \xs_2(\Ps)=\xs_1\left(\Ps'\right) \end{array}\right\} \Rightarrow \Is_{12}(\Os)=0 }[/math]

Finalment:

thumb|center|220px|link=

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{11}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{11}+\mathrm{I}_{22}}= \matriz{\mathrm{I}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}}{0}{0}{0}{2\mathrm{I}} }[/math]

Es tracta d’un rotor simètric (propietat 4). Per tant, el tensor d’inèrcia a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és invariant sota rotació de la base al voltant de l’eix 3: [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_{1'2'3'}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_{123} }[/math]

L’aspecte qualitatiu de [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B} }[/math] posa de manifest que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os) }[/math] és paral·lel a [math]\displaystyle{ \velang{S}{RTO} }[/math] quan aquesta està continguda en el pla 12 o és de direcció 3:

[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text {RTO }}(\Os)}{B}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=\vector{\Is \Omega_1}{\Is \Omega_2}{0} \quad , \quad \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text {RTO }}(\Os)}{B}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B} \vector{0}{0}{\Omega_3}=\vector{0}{0}{2\Is \Omega_3} }[/math].

---

Propietat 5: Quan un sòlid té tres o més moments d’inèrcia en un mateix pla ij iguals per a un punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math], també és un rotor simètric per a [math]\displaystyle{ \Os }[/math]:[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{ijk}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{i'j'k'} }[/math]. La demostració és més llarga que la de la propietat 4, i s’omet.

✏️ Exemple D5.8: rotor simètric

---

thumb|center|180px|link=

El sòlid està format per tres plaques hexagonals homogènies i idèntiques. figura plana continguda en el pla 12: per la propietat 1, la direcció 3 és DPI, i [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{33}=\mathrm{I}_{11}+ \mathrm{I}_{22} }[/math]. [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Gs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{11}}{\mathrm{I}_{12}}{0}{\mathrm{I}_{12}}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{11}+\mathrm{I}_{22}} }[/math]

thumb|right|180px|link=

• simetria respecte del pla 23: per la propietat 3, [math]\displaystyle{ \Is_{12} = 0 }[/math].

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Gs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{11}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{11}+\mathrm{I}_{22}} }[/math]

A banda d’això, no és fàcil avaluar a simple vista quin dels dos moments d’inèrcia [math]\displaystyle{ \Is_{11} }[/math], [math]\displaystyle{ \Is_{22} }[/math] és més gran.

Però hi ha tres eixos coplanaris que generen la mateixa dstribució de massa a banda i banda i per tant es pot assegurar que els moments d’inèrcia respecte d’aquests eixos són iguals.

Per la propietat 5, es tracta d’un rotor simètric. Així doncs, totes les direccions del pla 12 que passen per [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] són pricipials amb el mateix moment d’inèrcia.

---

Propietat 6: Quan un sòlid té els tres moments principals d’inèrcia (segons direccions ortogonals) iguals per a un punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math], el seu tensor d’inèrcia a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és invariant sota canvi de base: [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{ijk}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{i'j'k'} }[/math]. El sòlid és un rotor esfèric per al punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math], i el vector moment cinètic a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] i la velocitat angular sempre són paral·lels: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os) \parallel \velang{S}{RTO}(=\velang{S}{Gal}). }[/math]

✏️ Exemple D5.9: rotor esfèric

---

thumb|center|200px|link=

El sòlid està format per una anella homogènia, de massa 2m, i una partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] de massa m. Les barres que uneixen aquests elements són de massa negligible. El tensor a [math]\displaystyle{ \mathbf{C} }[/math] és la suma de dos tensors: [math]\displaystyle{ \mathrm{II}(\mathbf{C})=\mathrm{II}^{\mathrm{part}}(\mathbf{C})+\mathrm{II}^{\mathrm{anella}}(\mathbf{C}) }[/math]. El de la partícula és immediat: [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \delta_1(\Ps)=\delta_2\left(\Ps\right), \delta_3(\Ps)=0\\ \xs_1(\Ps)=\xs_2\left(\Ps\right)=0 \end{array}\right\} \Rightarrow \Bigr[\mathrm{II}^\mathrm{part}(\Cs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_\mathrm{p}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{p}}{0}{0}{0}{0} }[/math]

Ja que l’anella és un sòlid pla I simètric respecte de l’eix 1 o del 2, la propietat 1 i la propietat 3 condueixen a:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}_\mathrm{anella}(\Cs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{2\mathrm{I}_\mathrm{a}} }[/math].

El sòlid és un rotor simètric per a [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] ja que té dos moments principals iguals:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Cs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_\mathrm{p}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{p}}{0}{0}{0}{0} + \matriz{\mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{2\mathrm{I}_\mathrm{a}}= \matriz{\mathrm{I}_\mathrm{p} + \mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{p} + \mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{2\mathrm{I}_\mathrm{a}}. }[/math]

L’expressió quantitativa del tensor no requereix acudir a les taules:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \delta_1(\Ps)=\delta_2\left(\Ps\right)=\Rs\quad \Rightarrow \quad \mathrm{I}_\mathrm{p}=\ms\Rs^2\\ \delta_3(\mathrm{dm} \in \mathrm{anella}) \quad \Rightarrow \quad 2\mathrm{I}_\mathrm{a}=2\ms\Rs^2 \end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad \Bigr[\mathrm{II}(\Cs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{2}{0}{0}{0}{2}{0}{0}{0}{2} \ms\Rs^2 }[/math]

Es tracta d’un rotor esfèric , i per tant [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_ \mathrm{RTC}(\Cs) }[/math] sempre és paral·lel a [math]\displaystyle{ \velang{S}{T} }[/math] : [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_ \mathrm{RTC}(\Cs)=\Is\Is(\Cs) \velang{S}{T}=2\ms\Rs^2\velang{S}{T} }[/math].

---

---

D5.5 Teorema de Steiner

El tensor d’inèrcia d’un sòlid en una base B i per a un punt [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] o per a un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] no té la mateixa expressió: [math]\displaystyle{ \Is\Is(\Ps) \neq \Is\Is(\Qs) }[/math] . La relació entre els dos es pot trobar mitjançant el Teorema de Steiner, que es demostra immediatament a partir de la descomposició baricèntrica del moment cinètic:

[math]\displaystyle{ \Is\Is(\Qs)=\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Qs) }[/math] ,

on [math]\displaystyle{ \Is\Is^\oplus(\Qs) }[/math] és el tensor d’una partícula de massa igual a la del sòlid i situada al centre de masses [math]\displaystyle{ \Gs }[/math].

Si s’aplica el teorema a dos punts diferents i es combinen les equacions, s’arriba a la relació entre [math]\displaystyle{ \Is\Is(\Ps) }[/math] i [math]\displaystyle{ \Is\Is(\Qs) }[/math] :

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \Is\Is(\Qs)=\Is\Is(\Gs) + \Is\Is^\oplus(\Qs)\\ \Is\Is(\Ps)=\Is\Is(\Gs) + \Is\Is^\oplus(\Ps) \end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad \Is\Is(\Qs)=\Is\Is(\Ps) - \Is\Is^\oplus(\Ps) + \Is\Is^\oplus(\Qs) }[/math]

✏️ Exemple D5.10: barres paral·leles

---

thumb|center|250px|link=

El sòlid està format per dues barres curtes i una de llarga, homogènies, de la mateixa densitat lineal, i unides a un marc de massa negligible. Es tracta de trobar l’aspecte qualitatiu del tensor d’inèrcia al punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math]. Pel fet de ser un sòlid pla: [math]\displaystyle{ \Is_{11}=\Is_{22}+\Is_{33} }[/math] , [math]\displaystyle{ \Is_{12}=\Is_{13}=0 }[/math]. En l’anàlisi del tensor d’inèrcia, és útil considerar la barra llarga com a dues de curtes. Les dues barres situades als quadrants superiors tenen el mateix moment d’inèrcia respecte de de l’eix 2 i de l’eix 3 [math]\displaystyle{ \left(\Is_{22}^{\mathrm{quad.sup.}}=\Is_{33}^{\mathrm{quad.sup.}} \right) }[/math], però les que es troben als quadrants inferiors estan més allunyades de l’eix 2 que de l’eix 3 [math]\displaystyle{ \left( \Is_{22}^{\mathrm{quad.inf.}}\gt \Is_{33}^{\mathrm{quad.inf.}} \right) }[/math]. Per tant: [math]\displaystyle{ \Is_{22}\gt \Is_{33} }[/math].

En no haver-hi simetria respecte de l’eix 3, és difícil veure el signe del producte d’inèrcia [math]\displaystyle{ \Is_{23} }[/math] . Per tant:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\Is_{22}+\Is_{33}}{0}{0}{0}{\Is_{22}}{\Is_{23}}{0}{\Is_{23}}{\Is_{33}} }[/math].

El signe de [math]\displaystyle{ \Is_{23} }[/math] es pot deduir molt fàcilment si es refereix el tensor [math]\displaystyle{ \Is\Is(\Os) }[/math] als tensors de les quatre barres idèntiques al seu centre de masses per mitjà del teorema de Steiner:

[math]\displaystyle{ \Is\Is(\Os)=\sum_{\is=1}^{4}\Is\Is_\is(\Os)=\sum_{\is=1}^{4} \Bigr[\mathrm{II}_\is(\Gs_\is) + \Is\Is_\is^\oplus(\Os) \Bigr] }[/math]

thumb|center|470px|link=

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}_\is(\Gs_\is) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{-|\Is_{23}'|}{0}{-|\Is_{23}'|}{\Is} }[/math] ,

[math]\displaystyle{ \sum_{\is=1}^{4} \Bigr[\Is\Is_\is^\oplus(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}=\Bigr[\Is\Is_\mathrm{quad.sup.}^\oplus(\Os) \Bigr]_\mathrm{B} + \Bigr[\Is\Is_\mathrm{quad.inf.}^\oplus(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= 2\ms \left( \frac{\Ls}{2} \right)^2 \matriz{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + 2\ms \left( \frac{\Ls}{2} \right)^2 \matriz{10}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{1} = \ms\Ls^2 \matriz{6}{0}{0}{0}{5}{0}{0}{0}{1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{8\Is+6\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 5\ms\Ls^2}{-4|\Is_{23}'|}{0}{-4|\Is_{23}'|}{4\Is + \ms\Ls^2} }[/math].

✏️ Exemple D5.11: sòlid pla, tensor quantitatiu

---

thumb|center|180px|link=

El sòlid està format per dues plaques quadrades homogènies idèntiques. Es tracta de trobar el tensor d’inèrcia al punt [math]\displaystyle{ \Ps }[/math]. L’aspecte qualitatiu del tensor en el seu centre de masses [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] és immediat (és figura plana i tota la massa està concentrada en els quadrants que contribueixen amb signe positiu al producte d’inèrcia):

thumb|right|300px|link=

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Gs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} }[/math]

La Taula dóna informació del tensor d’una placa rectangular:

[math]\displaystyle{ \Is\Is(\Gs)=\Is\Is_\mathrm{placa.inf.}(\Gs)+\Is\Is_\mathrm{placa.sup} (\Gs) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Gs) \Bigr]= 2 \matriz{\frac{1}{3}\ms (2\Ls)^2}{\frac{1}{4}\ms (2\Ls)^2}{0}{\frac{1}{4}\ms (2\Ls)^2}{\frac{1}{3}\ms (2\Ls)^2}{0}{0}{0}{\frac{2}{3}\ms (2\Ls)^2}= \frac{2}{3} \ms\Ls^2 \matriz{4}{3}{0}{3}{4}{0}{0}{0}{8} }[/math]

Ara cal passar al punt [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] amb el teorema de Steiner:[math]\displaystyle{ \Is\Is(\Ps)=\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Ps) }[/math].

thumb|left|160px|link=

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}^\oplus(\Ps) \Bigr]= \matriz{2\ms (2\Ls)^2}{-2\ms (2\Ls)(-2\Ls)}{0}{-2\ms (2\Ls)(-2\Ls)}{2\ms (2\Ls)^2}{0}{0}{0}{4\ms (2\Ls)^2}= 8 \ms\Ls^2 \matriz{1}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Ps) \Bigr]=\frac{2}{3} \ms\Ls^2 \matriz{4}{3}{0}{3}{4}{0}{0}{0}{8}+ 8 \ms\Ls^2 \matriz{1}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{2}=\frac{2}{3} \ms\Ls^2 \matriz{16}{15}{0}{15}{16}{0}{0}{0}{32} }[/math]

---

---

D5.6 Canvi de base del tensor d'inèrcia

Un tensor d’inèrcia expressat en una base [math]\displaystyle{ \mathrm{B} }[/math] es pot canviar a una altra base base [math]\displaystyle{ \mathrm{B}' }[/math] mitjançant la matriu de canvi de base [math]\displaystyle{ \mathrm{S} }[/math], les columnes de la qual són els versors de la base [math]\displaystyle{ \mathrm{B}'(\overline{\mathbf{e}}_{\is'}) }[/math] projectats a la base [math]\displaystyle{ \mathrm{B} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Ps) \Bigr]_{\mathrm{B}'}=\Bigr[\mathrm{S} \Bigr]^{-1} \Bigr[\mathrm{II}(\Ps) \Bigr]_\mathrm{B} \Bigr[\mathrm{S}\Bigr] \quad , \quad \Bigr[\mathrm{S} \Bigr] = \Bigr[ \braq{\overline{\mathbf{e}}_{1'}}{B} \quad \braq{\overline{\mathbf{e}}_{2'}}{B} \quad \braq{\overline{\mathbf{e}}_{3'}}{B} \Bigr] }[/math].

És fàcil veure que [math]\displaystyle{ \Is_{\is'\js'}(\Ps)=\Bigl\{ \overline{\mathbf{e}}_{\is'} \Bigl\}_{\mathrm{B}}^{\Ts} \Bigr[\mathrm{II}(\Ps) \Bigr]_{\mathrm{B}} \braq{\overline{\mathbf{e}}_{\js'}}{B} }[/math] .

✏️ Exemple D5.12: sòlid pla, canvi de base

---

thumb|center|150px|link=

La placa circular és homogènia, de massa m i radi r. Es tracta de determinar el moment d’inèrcia respecte de l’eix p-p’ que passa pel seu centre i forma un angle de [math]\displaystyle{ 45^o }[/math] amb l’eix de la placa. Les taules donen informació del tensor de la placa per als eixos vertical i horitzontals. A partir d’aquest tensor, s’obté [math]\displaystyle{ \Is_{\ps\ps'}(\Os) }[/math] : thumb|center|450px|link=

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \frac{1}{4} \ms\rs^2\matriz{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{2} }[/math] , [math]\displaystyle{ \Is_{\ps\ps'}(\Os)=\Is_{1'1'}=\Bigl\{ \overline{\mathbf{e}}_{1'} \Bigl\}_{\mathrm{B}}^{\Ts} \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_{\mathrm{B}} \braq{\overline{\mathbf{e}}_{1'}}{B} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Is_{\ps\ps'}(\Os)=\frac{1}{\sqrt{2}} \{ 0 \quad 1 \quad 1\} \frac{1}{4} \ms \rs^2 \matriz{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{2} \frac{1}{\sqrt{2}} \vector{0}{1}{1}=\frac{3}{8} \ms\rs^2 }[/math]

---

---

D5.7 Taula de centres i tensors d'inèrcia de sòlids rígids homogenis

thumb|center|800px|link=

© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats

---

<<< D4. Teoremes vectorials

D6. Exemples de dinàmica 2D >>>