C2. Movimiento de un sistema mecánico

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\boldsymbol\alpha}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textrm{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{x}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\dth}{\dot\theta} \newcommand{\ddth}{\ddot\theta} \newcommand{\sth}{\sin{\theta}} \newcommand{\cth}{\cos{\theta}} \definecolor{blau}{RGB}{39, 127, 255} \definecolor{verd}{RGB}{9, 131, 9} }[/math]

C2.1 Velocidad de una partícula

La velocidad de una partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (o de un punto que pertenece a un sólido) respecto a una referencia R, [math]\displaystyle{ \vvec_{\Rs}(\Qs) }[/math], es el cambio del vector de posición a lo largo del tiempo. Matemáticamente, es la derivada temporal de un vector de posición (relativo a R). Dos vectores de posición distintos ([math]\displaystyle{ \overline{\Or\Qs} }[/math], [math]\displaystyle{ \overline{\Os'_\Rs\Qs} }[/math]) dan lugar a la misma velocidad porque los puntos [math]\displaystyle{ \Os_\Rs }[/math] y [math]\displaystyle{ \Os'_\Rs }[/math] son fijos entre sí y fijos a la referencia, y por tanto [math]\displaystyle{ \overline{\Os_\Rs\Os'_\Rs} }[/math] es constante en R:

[math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) = \dert{\vec{\Os_{\Rs}\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Os_{\Rs}\Os_{\Rs}'}}{R} + \dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R} }[/math]

Es importante recordar que la derivada de un vector depende de la referencia en la que se evalúa. Por eso, en las ecuaciones anteriores se especifica la referencia en la que se deriva mediante un subíndice R.

La derivación temporal de un vector respecto a una referencia R evalúa el cambio de las características del vector (dirección y valor) entre dos instantes consecutivos muy cercanos, separados por un diferencial de tiempo. Por tanto, la velocidad [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) }[/math] es distinta de cero cuando el valor del vector de posición, o su dirección o ambas cosas cambian.

✏️ Ejemplo C2-1.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico

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La plataforma (RP) gira alrededor de un eje perpendicular al suelo (R). El movimiento de un punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] de la periferia de la plataforma es distinto según si se observa desde el suelo o desde la plataforma.

El centro de la plataforma ([math]\displaystyle{ \Os }[/math]) es fijo a ambas referencias. Por tanto, [math]\displaystyle{ \vec{\Os\Qs} }[/math] es un vector de posición para el punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] tanto en la referencia R como en la referencia RP. Es evidente que [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs)\neq \vec{0} }[/math] y [math]\displaystyle{ \vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)= \vec{0} }[/math], aunque el vector que se deriva es el mismo.

Ya que [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] es el radio r de la plataforma, tiene valor constante. Por tanto, la derivada de [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] en cualquier referencia sólo puede estar asociada a un cambio de dirección.

Para evaluar el cambio de orientación de [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] respecto al suelo o a la plataforma, hay que definir un ángulo entre una recta fija a la referencia (recta de “salida”) y el vector [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] (recta de “llegada”). Para que quede clara la recta origen, representamos la recta de “salida” como la dirección del brazo de un observador situado en la referencia (y, por tanto, que no se mueve respecto a ella).

[math]\displaystyle{ \psi(t)\neq\psi(t+dt) \implies \OQvec }[/math] cambia de dirección respecto a R [math]\displaystyle{ \implies \textcolor{blau}{\vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{blau}{) \neq \vec{0}} }[/math]

De acuerdo con lo que se ha visto en la sección V.1, [math]\displaystyle{ \textcolor{blau}{\vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{blau}{)} }[/math] es perpendicular a [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math], y su valor es el módulo de [math]\displaystyle{ \OQvec(\textrm{r}) }[/math] por la velocidad de cambio de orientación de [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] respecto a R [math]\displaystyle{ (\dot{\psi}) }[/math]:

Velocidad de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relativa a la plataforma (RP):

[math]\displaystyle{ \psi(t)=\psi(t+dt) \implies \OQvec }[/math] no cambia de dirección respecto a RP [math]\displaystyle{ \textcolor{verd}{\implies \vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{verd}{) = \vec{0}} }[/math]