C3. Composición de movimientos

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Es}{\textrm{E}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\OQrelvec}{\vec{\Os_{\textrm{REL}}\Qs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\Orel}{\Os_{\textrm{REL}}} \newcommand{\omegarelab}{\vec{\Omega}^{\textrm{REL}}_{\textrm{AB}}} \newcommand{\velQab}{\vel{Q}{AB}} \newcommand{\velQrel}{\vel{Q}{REL}} \newcommand{\velQar}{\vel{Q}{ar}} \newcommand{\psio}{\dot{\psi_0}} \newcommand{\accrel}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{REL}} (\textbf{#1})} \newcommand{\stheta}{\text{sin}\theta} \newcommand{\ctheta}{\text{cos}\theta} }[/math]

En muchas ocasiones, el movimiento de un punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] que parece complicado (ni circular ni rectilíneo) respecto a una referencia R se puede intuir cuando respecto a otra referencia R’ es sencillo (rectilíneo, circular o nulo) y además el de R’ respecto a R también (translación o rotación simple). Combinar el movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R’ y el de R’ respecto a R para obtener el movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R es hacer composición de movimientos (Figura C3-1).

Figura C3.1 Combinación de dos movimientos sencillos uniformes para describir uno más complicado

En el ejemplo de la Figura C3.2, la composición de movimientos se puede utilizar para determinar el movimiento de la partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto al vehículo (R’) a partir del movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto al suelo (R), que es sencillo.

Figura C3.2 El movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R’ (referencia solidaria al chasis del vehículo) se puede obtener a partir del movimiento respecto a R.

Vídeo C3.1 Visualización de la trayectoria de un mismo punto en dos referencias

Tradicionalmente, las referencias R y R’ entre las que se establece la composición se denominan AB (absoluta) y REL (relativa). A partir de ahora se utilizarán estos nombres.

Las relaciones entre [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} }[/math] y [math]\displaystyle{ \vel{Q}{REL} }[/math] , y entre [math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB} }[/math] y [math]\displaystyle{ \acc{Q}{REL} }[/math] que se presentan en esta unidad son siempre válidas, independientemente de que el movimiento REL (o AB) de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] y el movimiento entre AB y REL sea sencillo o no. Cuando son sencillos, la composición de movimientos es una alternativa algébrica (no implica derivadas temporales) para el cálculo de velocidades y aceleraciones (Figura C3-2). Cuando no lo son, puede ser mejor recurrir a otros métodos (como la derivación).

Figura C3.3 Formulación general de la composición de movimientos. Los nombres de las referencias son intercambiables: la referencia AB puede ser aquella en la que se ve el movimiento sencillo, y la referència REL, aquella en la que se ve complicado.

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C3.1 Composición de velocidades

En cada instante, la ecuación que relaciona la velocidad de un punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en dos referencies AB y REL diferentes es:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} = \vel{Q}{REL}+\vel{Q}{ar} }[/math]

El segundo término de la derecha es la velocidad de arrastre, y corresponde a la velocidad que tendría Q en ese instante si fuera un punto fijo a REL (en la posición que tiene en ese instante) y se evaluase su velocidad desde la referencia AB:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar} = \overline{\textbf{v}}_{\textrm{AB}}(\Qs \in \textrm{REL}) }[/math]

💭 DEMOSTRACIÓN ➕

El cálculo de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} }[/math] y [math]\displaystyle{ \vel{Q}{REL} }[/math] se puede hacer por derivación de dos vectores de posición:

[math]\displaystyle{ \newcommand{\punt}[2]{\textbf{#1}_\textrm{#2}} \vel{Q}{AB} = \dert{\vec{\punt{O}{AB}\punt{Q}{ }}}{AB} = \dert{\vec{\punt{O}{AB}\punt{O}{REL}}}{AB} + \dert{\OQrelvec}{AB} = \vel{$\punt{O}{REL}$}{AB} +\dert{\OQrelvec}{AB} }[/math]

El último término de la ecuación no tiene sentido físico: aunque es la derivada de un vector de posición en la referencia REL (pues el origen del vector, [math]\displaystyle{ \punt{O}{REL} }[/math] , es un punto que pertenece a REL), esta derivada no se calcula en REL sino en AB. Si se utiliza la expresión que relaciona la derivada de un mismo vector en dos referencias diferentes (sección V.4):

[math]\displaystyle{ \dert{\OQrelvec}{AB} = \dert{\OQrelvec}{REL} + \omegarelab\times\OQrelvec = \vel{Q}{REL}+\omegarelab \times \OQrelvec }[/math]

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} = \vel{Q}{REL}+\vvec_\textrm{AB}(\Orel) + \omegarelab \times \OQrelvec }[/math]

Aunque la última ecuación es correcta (¡se ha demostrado), contiene dos términos donde aparece [math]\displaystyle{ \Orel }[/math], que es un punto que no está unívocamente definido (puede ser cualquier punto fijo a REL). Este inconveniente se puede resolver introduciendo el movimiento de arrastre: [math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar} = \vvec_\textrm{AB}(\Qs \in \textrm{REL}) }[/math]. Si imaginamos que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] es un punto de REL, su velocidad respecto a AB es:

[math]\displaystyle{ \vvec_\textrm{AB}(\Qs \in \textrm{REL}) = \vvec_\textrm{REL}(\Qs \in \textrm{REL}) + \vvec_\textrm{AB}(\Orel) + \omegarelab \times \OQrelvec = \vvec_\textrm{AB}(\Orel) + \omegarelab \times \OQrelvec }[/math]

Finalmente: [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB}=\vel{Q}{REL}+\vel{Q}{ar} }[/math]

Se trata de una ecuación que implica una operación entre vectores instantánea: [math]\displaystyle{ \velQab }[/math] (o [math]\displaystyle{ \velQrel }[/math]) en un instante t se obtiene a partir de dos vectores, [math]\displaystyle{ \velQrel }[/math] (o [math]\displaystyle{ \velQab }[/math]) y [math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar} }[/math] en el mismo instante t. Se trata, pues, de una operación más sencilla que la derivación (que no es instantánea, ya que requiere conocer el vector de posición en dos instantes de tiempo para obtener la velocidad). Como se verá en el ejemplo C3-1.1, el instante t puede corresponder a una configuración particular o a una configuración genérica.

En la sección C3.3 se profundiza en las diferencias entre la composición de movimientos y la derivada temporal de vectores para el cálculo de velocidades y aceleraciones.

✏️ EJEMPLO C3-1.1: anilla giratoria

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La guía circular (REL) tiene un movimiento de rotación simple respecto al suelo (AB) , con valor [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] . La partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] se mueve dentro de la guía.

El instante que se presenta en la figura es genérico ya que la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math] no tiene un valor numérico concreto. La velocidad del punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto al suelo se puede obtener de manera inmediata por composición:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB}=\vel{Q}{REL}+\vel{Q}{ar} }[/math]

El movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a REL es siempre circular de radio r, y la velocidad es tangente a la guía. Si imaginamos [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] fija a la guía, su movimiento respecto al suelo (movimiento de arrastre) es circular, de radio [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} \equiv \rho }[/math] y centro [math]\displaystyle{ \Os }[/math], y la velocidad es perpendicular a [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] y de valor [math]\displaystyle{ \rho\dot\psi }[/math] . Ya que la dirección [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] (y por tanto su perpendicular) son direcciones que no tienen que ver con las que sugiere el sistema (como por ejemplo el mango de la guía, o la dirección [math]\displaystyle{ \vecbf{CQ} }[/math] ), es mejor describir la velocidad de arrastre como suma de dos vectores:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar} = \vvec_\textrm{AB}(\Qs \in \textrm{REL}) = \vec{\dot\psi} \times \OQvec = \vec{\dot\psi} \times \vecbf{OC} + \vec{\dot\psi} \times \vecbf{CQ} }[/math]

El resultado obtenido para [math]\displaystyle{ \velQab }[/math] es genérico, y puede reproducir este vector para cualquier valor de [math]\displaystyle{ \theta }[/math] (por tanto, para cualquier instante de tiempo). Por este motivo, la aceleración de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto al suelo ([math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB} }[/math]) se podría obtener a través de la derivación de [math]\displaystyle{ \velQab }[/math].

En este sistema, la guía arrastra físicamente la partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]. En la aplicación de la composición, en general, no tiene por qué ser así (ver ejemplo C3-1.3 y ejemplo C3-1.4).

Animació interactiva C3.1 Anella giratòria de l'exemple C3-1.1 amb R=2r, AB=Terra i REL=Guia [© GeoGebra]

✏️ EJEMPLO C3-1.2: rueda sobre soporte giratorio

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El soporte (REL) tiene un movimiento de rotación simple respecto al suelo (AB) , alrededor de un eje vertical fijo y de valor [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math]. La rueda está articulada al soporte, y gira con velocidad angular [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] respecto al soporte.

Para el instante que se muestra, la velocidad del punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto al suelo, se puede obtener de manera inmediata por composición:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} = \velQrel + \vel{Q}{ar} }[/math]

El movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a REL es siempre circular de radio R. Para el instante representado, [math]\displaystyle{ \velQrel }[/math] es vertical hacia abajo y de valor [math]\displaystyle{ \Rs\omega_0 }[/math].

El movimiento de arrastre, para el instante representado, es nulo: si imaginamos [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] fijo al soporte, como que se encuentra justo sobre el eje de rotación, su velocidad instantánea es cero [math]\displaystyle{ (\vel{Q}{ar} = \vec{0}) }[/math] . Por tanto:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} = \velQrel + \vel{Q}{ar}=\velQrel = \downarrow \Rs\omega_0 }[/math]

Si [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] se encontrara en la posición diametralmente opuesta a la que se muestra, el movimiento de arrastre sería circular en un plano horizontal, de radio 2R y centro de curvatura sobre el eje de rotación del soporte.

La configuración que se ha estudiado en este ejemplo no es genérica, ya que se referuere solo al instante en el que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] se encuentra sobre el eje de rotación del soporte. Por este motivo, no contiene la información extendida a lo largo del tiempo necesaria para obtener [math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB} }[/math] como derivada temporal de la velocidad [math]\displaystyle{ \velQab }[/math] obtenida.

✏️ EJEMPLO C3-1.3: vehículos

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Los puntos [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] y [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] de los vehículos VP y VQ, respectivamente, recorren trayectorias circulares respecto al suelo (R), del mismo radio r pero distinto centro de curvatura. Los dos tienen celeridad [math]\displaystyle{ \vs_0 }[/math].

Para el instante mostrado en la figura, la velocidad del punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto al vehículo VP se puede determinar fácilmente per composición:

Si [math]\displaystyle{ \textrm{AB} = \Rs }[/math] y [math]\displaystyle{ \textrm{REL} = \textrm{VP} }[/math]

[math]\displaystyle{ \velQrel=\velQab-\vel{Q}{ar} = (\rightarrow\vs_0)-\vel{Q}{ar} }[/math]

El vehículo VP tiene un movimiento de rotación simple respecto al suelo. Desde el punto de vista cinemático, es totalmente equivalente a una plataforma giratoria de radio arbitrario con centro [math]\displaystyle{ \Os }[/math] fijo al suelo.

Si imaginamos que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] pertenece a la plataforma, su movimiento respecto al suelo es circular, con centro [math]\displaystyle{ \Os }[/math] y celeridad doble de la de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math], ya que es halla a distancia 2r de [math]\displaystyle{ \Os }[/math]: [math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar}=(\leftarrow 2\vs_0) }[/math].

Finalmente:

[math]\displaystyle{ \velQrel= (\rightarrow\vs_0)-(\leftarrow 2\vs_0)=\rightarrow 3\vs_0 }[/math]

En este caso, la plataforma (el vehículo VP) no arrastra físicamente a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math].

NOTA: Si se escoge VP como AB y R como REL, el movimiento de arrastre no es fácil de imaginar ni sencillo.

✏️ EJEMPLO C3-1.4: noria

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La anilla de la noria gira con velocidad angular respecto al suelo (R). La cabina está articulada a la anilla. Si se desprecia la pequeña oscilación que permite la articulación, la cabina no gira respecto al suelo (ejemplo C2-6.4).

La velocidad del punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math], fijo al suelo, respecto a la cabina, es:

Si [math]\displaystyle{ \textrm{AB} = \textrm{terra} }[/math] [math]\displaystyle{ (\Rs }[/math]) i [math]\displaystyle{ \textrm{REL} = \textrm{cabina} }[/math]

[math]\displaystyle{ \velQrel=\velQab-\velQar=-\velQar }[/math]

Si imaginamos que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] pertenece a la cabina, su movimiento respecto al suelo es como el de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] porque la cabina no gira respecto al suelo: circular, de radio r y valor [math]\displaystyle{ \rs\Omega_0 }[/math]. Lo que es distinto es la ubicación del centro de curvatura: para el movimiento de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math], es el punto [math]\displaystyle{ \Os }[/math]; para el movimiento de arrastre de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math], se halla a la derecha de [math]\displaystyle{ \Os }[/math] a una distancia R. Por tanto:

[math]\displaystyle{ \velQrel=-\velQar=-(\downarrow\rs\Omega_0)=\uparrow\rs\Omega_0 }[/math]

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C3.2 Composición de aceleraciones

La ecuación que relaciona la aceleración de un punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en dos referencias AB y REL diferentes es:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\acc{Q}{REL}+\acc{Q}{ar}+\acc{Q}{Cor} }[/math]

donde [math]\displaystyle{ \acc{Q}{ar} }[/math] es la aceleración de arrastre, y [math]\displaystyle{ \acc{Q}{Cor} }[/math] es la aceleración de Coriolis.

La aceleración de arrastre corresponde a la aceleración que tendría [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en este instante si fuera un punto fijo a REL (en la posición que tiene en este instante) y se evaluara su aceleración desde la referencia AB:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{ar}=\vecbf{a}_\textrm{AB}(\Qs\in \textrm{REL}) }[/math]

La aceleración de Coriolis es

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{Cor}=2\velang{REL}{AB}\times\vel{Q}{REL} }[/math]

, y no tiene una interpretación física sencilla. La velocidad [math]\displaystyle{ \velang{REL}{AB} }[/math] se puede llamar velocidad angular de arrastre [math]\displaystyle{ (\velang{REL}{AB}\equiv\velang{ }{ar}) }[/math].

💭 Demostración ➕

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\dert{\vel{Q}{AB}}{AB}=\dert{\vel{Q}{REL}}{AB}+\dert{\vel{Q}{ar}}{AB}=\dert{\vel{Q}{REL}}{AB} + \dert{\vel{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB}}{AB}+\dert{(\velang{REL}{AB}\times\OQrelvec)}{AB} }[/math]

El término [math]\displaystyle{ \dert{\vel{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB}}{AB} }[/math] se identifica inmediatamente como [math]\displaystyle{ \acc{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB} }[/math]. Si se utiliza la relación que hay entre la derivada temporal de un mismo vector en dos referencias diferentes, los otros términos se pueden reescribir como:

[math]\displaystyle{ \dert{\vel{Q}{REL}}{AB}=\dert{\vel{Q}{REL}}{REL}+\velang{REL}{AB}\times\vel{Q}{REL}=\acc{Q}{REL}+\velang{ }{ar}\times\vel{Q}{REL}, }[/math] [math]\displaystyle{ \begin{align} \dert{(\velang{REL}{AB}\times\OQrelvec)}{AB} & =\dert{(\velang{}{ar}\times\OQrelvec)}{AB}= \dert{\velang{}{ar}}{AB}\times\OQrelvec+\velang{ }{ar}\times\dert{\OQrelvec}{AB}= \\ & = \accang{}{ar}\times\OQrelvec+\velang{}{ar}\times\left(\dert{\OQrelvec}{REL}+\velang{}{ar}\times\OQrelvec\right)= \\ & = \accang{}{ar}\times\OQrelvec+\velang{}{ar}\times\vel{Q}{REL}+\velang{}{ar}\times\left(\velang{}{ar}\times\OQrelvec\right) \end{align}\\ }[/math]

Si se agrupan y reordenan todos los términos, se obtiene:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\acc{Q}{REL}+\acc{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB}+\velang{}{ar}\times\left(\velang{}{ar}\times\OQrelvec\right)+\accang{}{ar}\times\OQrelvec+2\velang{}{ar}\times\vel{Q}{REL}. }[/math]

Los tres términos que contienen el punto [math]\displaystyle{ \Orel }[/math] corresponden a la aceleración de arrastre de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]: si imaginamos que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] pertenece a REL, [math]\displaystyle{ \overline{\textbf{v}}_{\textrm{REL}}(\Qs \in \textrm{REL})=\vec{0} }[/math], [math]\displaystyle{ \overline{\textbf{a}}_{\textrm{REL}}(\Qs \in \textrm{REL})=\vec{0} }[/math]. Introduciendo esto en la expresión anterior:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{ar}=\overline{\textbf{a}}_{\textrm{AB}}(\Qs \in \textrm{REL})=\acc{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB}+\velang{}{ar}\times\left(\velang{}{ar}\times\OQrelvec\right)+\accang{}{ar}\times\OQrelvec. }[/math]

Finalmente: [math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\acc{Q}{REL}+\acc{Q}{ar}+2\velang{}{ar}\times\vel{Q}{REL}\equiv\acc{Q}{REL}+\acc{Q}{ar}+\acc{Q}{Cor}. }[/math]

✏️ EJEMPLO C3-2.1: rueda sobre soporte giratorio

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Para el sistema del ejemplo C3-1.2, el movimiento de arrastre de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] es nulo. Por tanto:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\acc{Q}{REL}+\acc{Q}{Cor}=\acc{Q}{REL}+2\velang{}{ar}\times\vel{Q}{REL} }[/math]

Si se considera que [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] es constante, el movimiento relativo de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (que es circular) solo tiene componente normal de aceleración. Por tanto:

✏️ EJEMPLO C3-2.2: vehículos

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En el ejemplo C3-1.3, la velocidad angular de arrastre es vertical (perpendicular al dibujo) y de valor [math]\displaystyle{ \textrm{v}_0 /\textrm{r} }[/math]. Si se considera que los puntos [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] y [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] tienen celeridad constante ([math]\displaystyle{ \textrm{v}_0 }[/math] constante), la aceleración del movimiento relativo y la del de arrastre de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (ambos circulares) sólo tienen componente normal. Por tanto:

✏️ EJEMPLO C3-2.3: noria

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Supongamos que la velocidad angular [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] de la anilla de la noria del ejemplo C3-1.4 es constante. Entonces, la aceleración del movimiento de arrastre sólo tiene componente normal. Por otro lado, ya que la cabina no gira respecto al suelo [math]\displaystyle{ \left(\Omega_{ar}=\Omega_{R}^{cabina}=0\right) }[/math], [math]\displaystyle{ \acc{Q}{Cor}=\vec{0} }[/math]. Así:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{REL}=\acc{Q}{AB}-\acc{Q}{ar}=-(\rightarrow\textrm{r}\Omega_0^2)=\leftarrow\textrm{r}\Omega_0^2 }[/math]

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Vídeo C3.2 Aplicación de la composición de movimientos en el mecanizado de piezas

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C3.3 Composición versus derivación

Como se ha comentado anteriormente, la ventaja fundamental de la composición de movimientos es que se basa en una operación instantánea entre vectores (aunque el resultado que se obtiene poder ser válido para cualquier instante de tiempo si la configuración en la que se realiza la composición es genérica). Si, además, el movimiento del punto respecto a una de las referencias (AB o REL) es sencillo y el movimiento entre las dos referencias también lo es, la composición de movimientos es un método más intuitivo y directo que la derivación temporal.

En cualquier caso, cuando se trata de hacer un cálculo cinemático, hay que evaluar cuál es el método más rápido y seguro para llegar al resultado. Esto puede conducir a veces a utilizar la composición para el cálculo de velocidades y la derivación para el de aceleraciones (siempre y cuando la expresión de la velocidad que se pretenda derivar sea genérica, es decir, válida para cualquier instante de tiempo).

✏️ EJEMPLO C3-3.1: partícula dentro de guía rectilínea giratoria

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La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] se mueve dentro de una guía rectilínea que gira respecto al suelo con velocidad angular constante [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math]. Si se toma la guía como referencia REL y el suelo como AB, la composición de movimientos da lugar a la velocidad y la aceleración siguientes:

Ya que la velocidad que se ha obtenido es para una posición general de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] (no se encuentra en ninguno de los extremos de la guía, que corresponden a r=0 o r=longitud de la guía), se trata de una velocidad válida para cualquier instante de tiempo. Por tanto, se puede derivar para obtener la aceleración. El resultado es el mismo que el que se ha encontrado por composición de aceleraciones.

✏️ EJEMPLO C3-3.2: péndulo de Euler

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En la configuración particular del péndulo de Euler que se muestra, si se toma el bloque como referencia REL y el suelo como AB, el movimiento relativo del extremo del péndulo [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] es circular de radio L (longitud del péndulo) y centro de curvatura situado en la articulación entre péndulo y bloque. El movimiento de arrastre es rectilíneo ya que el bloque se traslada respecto al suelo [math]\displaystyle{ (\Omega_{AB}^{REL}=\Omega_{ar}=0) }[/math]. La composición de movimientos da lugar a la velocidad y la aceleración siguientes:

La obtención de la aceleración por derivación de la velocidad es arriesgada. Ya que la velocidad está particularizada para la configuración vertical del péndulo, se puede creer erróneamente que la velocidad no cambia de dirección (que es siempre paralela al suelo) o que lo hace igual que el péndulo (con ritmo de cambio de orientación [math]\displaystyle{ \dot{\psi} }[/math]). Esto daría los resultados erróneos siguientes:

Si se razona adecuadamente, la derivación geométrica puede conducir al resultado correcto. Hay que tener presente que una parte de la velocidad (la que corresponde al movimiento relativo) cambia de orientación a ritmo [math]\displaystyle{ \dot{\psi} }[/math], mientras que la otra (la del movimiento de arrastre) es siempre horizontal.

La derivación analítica es aún más engañosa. Si se proyecta la velocidad en una base con un eje paralelo al péndulo en este instante, no queda claro si [math]\displaystyle{ \velang{B}{R}=\vec{0} }[/math] o bien [math]\displaystyle{ \velang{B}{R}=\odot\;\dot{\psi} }[/math] (que corresponde exactamente a los dos errores que conducen a la figura anterior).

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C3.E Ejemplos generales

🔎 EJEMPLO C3-E.1: péndulo giratorio

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La placa está articulada en el punto [math]\displaystyle{ \Os }[/math] a una horquilla, que gira con velocidad angular constantet [math]\displaystyle{ \psio }[/math] respecto al suelo (T). Entre horquilla y suelo (techo), y entre placa y horquilla hay articulaciones.

1. Determina la velocidad del punto P respecto al suelo

El movimiento de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] respecto al suelo es complicado, pero respecto a la horquilla es sencillo: es un movimiento circular de centro [math]\displaystyle{ \Os }[/math], radio L y velocidad angular asociada [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math]. Se puede obtener el movimiento respecto al suelo por composición de movimientos.

Si se toma AB [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] suelo y REL [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] horquilla, el movimiento de arrastre (el que tendría [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] si en una configuración genérica perteneciese a la horquilla y se evaluase desde el suelo) también sería circular, de radio [math]\displaystyle{ \Ls\text{cos}\theta }[/math] y velocidad angular asociada [math]\displaystyle{ \psio }[/math].

[math]\displaystyle{ \vel{P}{AB}=\vel{P}{REL}+\vel{P}{ar} }[/math]

[math]\displaystyle{ \vel{P}{REL}=(\nearrow\Ls\dot{\theta})^* }[/math]

[math]\displaystyle{ \vel{P}{ar}=\vel{$\Ps_{\in REL}$}{AB}=(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta) }[/math]

Por tanto, [math]\displaystyle{ \vel{P}{T}\equiv\vel{P}{AB}=(\nearrow\Ls\dot{\theta})+(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta) }[/math]

Este resultado se puede proyectar fácilmente en la base B, fija a la placa:

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{P}{T}}{B}=\vector{-\Ls\psio\text{sin}\theta}{\Ls\dot{\theta}}{0} }[/math]

2. Determina la aceleración del punto P respecto al suelo

Si se toma AB [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] suelo y REL [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] horquilla, el movimiento de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] respecto al soporte (movimiento relativo) es circular con velocidad angular asociada [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] (no constante). Por tanto, tiene tanto componente tangencial como componente normal de aceleración. El movimiento de arrastre también es circular pero con velocidad asociada [math]\displaystyle{ \psio }[/math] (constante). Por tanto, se produce a celeridad constante y la aceleración solo tiene componente normal.

Observación: Si el movimiento de un punto en una referencia es circular (es decir, tiene una trayectoria de radio de curvatura constante en un arco de circunferencia), son aplicables directamente las definiciones de aceleración normal y aceleración tangencial ya que se conocen el radio de curvatura, la celeridad (o la velocidad angular) y la aceleración tangencial (o la aceleración angular).

[math]\displaystyle{ \acc{P}{AB}=\accrel{P}+\acc{P}{ar}+\acc{P}{Cor} }[/math]

[math]\displaystyle{ \accrel{P}=\accs{P}{REL}+\accn{P}{REL}=(\nearrow\Ls\ddot{\theta})+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2) }[/math]

[math]\displaystyle{ \acc{P}{ar}=\acc{$\Ps_{\in \Rs\Es\Ls}$}{AB}=\accn{P}{ar}=(\leftarrow\Ls\psio^2\stheta) }[/math]

[math]\displaystyle{ \acc{P}{Cor}=2\velang{REL}{AB}\times\vel{P}{REL}=2(\Uparrow\psio)\times(\nearrow\Ls\dot{\theta})=(\otimes 2\Ls\psio\dot{\theta}\ctheta) }[/math]

Por tanto,

[math]\displaystyle{ \acc{P}{T}\equiv\acc{P}{AB}=(\nearrow\Ls\ddot{\theta})+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\leftarrow\Ls\psio^2\stheta)+(\otimes 2\Ls\psio\dot{\theta}\ctheta) }[/math]

La proyección en la base B fija a la placa es: [math]\displaystyle{ \braq{\acc{P}{T}}{B}=\vector{-2\Ls\psio\dot{\theta}\ctheta}{\Ls\ddot{\theta}-\Ls\psio^2\ctheta\stheta}{\Ls\dot{\theta}^2+\Ls\psio^2\text{sin}^2\theta} }[/math]

🔎 EJEMPLO C3-E.2: placa articulada giratoria

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La placa rectangular está unida a un soporte giratorio a través de dos barras con articulaciones en los extremos. Una tercera barra está unida a la placa a través de una rótula esférica (a [math]\displaystyle{ \Ps }[/math]) (a P) y al soporte a través de un enlace cilíndrico. El soporte gira con velocidad angular [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}} }[/math] de valor variable respecto al suelo (T).

1. Determina la velocidad del punto Q respecto al suelo

El movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto al soporte es rectilíneo de dirección [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math]. Si se toma AB [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] terra y REL [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] suport, el movimiento de arrastre (el que tendría [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] si se fijara al soporte y se mirase desde el suelo) sería circular de centro [math]\displaystyle{ \Os }[/math], radio [math]\displaystyle{ |\OQvec| }[/math] y velocidad angular asociada [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}} }[/math].

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB}=\vel{Q}{REL}+\vel{Q}{ar} }[/math]

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{REL}=(\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\stheta) }[/math]

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar}=\vel{$\Qs_{\in\Rs\Es\Ls}$}{AB}=(\otimes 2\Ls\dot{\psi}\ctheta) }[/math]

Por tanto,

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{T}\equiv\vel{Q}{AB} = (\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\stheta)+(\otimes 2\Ls\dot{\psi}\ctheta) }[/math]

Este resultado se puede proyectar fácilmente en la base B fija al soporte:

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{T}}{B}=\vector{2\Ls\dot{\theta}\stheta}{2\Ls\dot{\psi}\ctheta}{0} }[/math]

2. Determina la aceleración del punto Q respecto al suelo

El movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] es rectilíneo respecto al soporte, y por tanto, solo tiene componente tangencial de aceleración. El movimiento de arrastre de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (el que tendría si fuera fijo al soporte), al ser circular y con celeridad variable, da lugar a una aceleración con componentes tangencial y normal.

Observación: Si el movimiento de un punto en una referencia es rectilíneo (es decir, tiene una trayectoria de radio de curvatura infinito durante un cierto intervalo temporal), son aplicables directamente las definiciones de aceleración normal y aceleración tangencial. La aceleración normal resulta nula.

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[math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\accrel{Q}+\acc{Q}{ar}+\acc{Q}{Cor} }[/math]

[math]\displaystyle{ \accrel{Q}=\accs{Q}{REL}=[\leftarrow 2\Ls(\ddot{\theta}\stheta+\dot{\theta}^2\ctheta)] }[/math]

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{ar}=\acc{$\Qs_{\in REL}$}{AB}=\accs{Q}{ar}+\accn{Q}{ar}=(\otimes 2\Ls\ddot{\psi}\ctheta) + (\leftarrow 2\Ls\dot{\psi}^2 \ctheta) }[/math]

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{Cor}=2\velang{REL}{AB}\times\vel{Q}{REL}=2(\Uparrow\dot{\psi})\times(\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\stheta)=(\odot 4\Ls\dot{\psi}\dot{\theta}\stheta) }[/math]

Per tant, [math]\displaystyle{ \acc{Q}{T}\equiv\acc{Q}{AB} = \left[\leftarrow 2\Ls(\ddot{\theta}\stheta+(\dot{\theta}^2+\dot{\psi}^2)\ctheta)\right]+\left[\otimes 2\Ls(\ddot{\psi}\ctheta-2\dot{\psi}\dot{\theta}\stheta)\right] }[/math]

La projecció a la base B fixa al suport és: [math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{T}}{B}=2\Ls\vector{-\ddot{\theta}\stheta-(\dot{\theta}^2+\dot{\psi}^2)\ctheta}{\ddot{\psi}\ctheta-2\dot{\psi}\dot{\theta}\stheta}{0} }[/math]