D7. Ejemplos de dinámica 3D

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\As}{\textrm{A}} \newcommand{\as}{\textrm{a}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\Hs}{\textrm{H}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\cs}{\textrm{c}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\qs}{\textrm{q}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Js}{\textbf{J}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\gs}{\textrm{g}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\mat}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\dth}{\dot{\theta}} \newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}} \newcommand{\sth}{\text{sin}\theta} \newcommand{\cth}{\text{cos}\theta} \newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta} \newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta} \newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}} }[/math]

En esta unidad, el procedimiento sistemático propuesto en la sección D6.4 se aplica a ejemplos de dinámica 3D para obtener ecuaciones del movimiento y pares motores. Además, se presenta también un análisis sistemático de las ecuaciones del movimiento.

D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento

La obtención de las ecuaciones del movimiento de los GL libres de los sistemas multisólido no es, en general, el objetivo de los problemas de dinámica, sino un paso previo a su integración para conocer cómo evolucionan a lo largo del tiempo las coordenadas que describen la configuración del sistema:

[math]\displaystyle{ \ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is} }[/math]

Sin embargo, estas ecuaciones suelen ser no lineales, y su integración es necesariamente numérica. A pesar de eso, hay algunos aspectos del comportamiento del sistema que se pueden investigar de manera analítica.

Configuraciones de equilibrio

Las configuraciones de equilibrio son aquellas configuraciones para las que, si el sistema se deja en reposo [math]\displaystyle{ (\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0) }[/math], permanece en reposo [math]\displaystyle{ (\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0) }[/math]. Por tanto, el valor de las coordenadas en equilibrio viene dado por:

[math]\displaystyle{ \ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \downarrow(\qs_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0) }[/math]

[math]\displaystyle{ \qs_{j,eq} = \tilde{f}(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}) }[/math]

La ecuación que define las [math]\displaystyle{ \qs_{\text{j,eq}} }[/math] puede ser trascendente y no tener solución analítica. En ese caso, se puede recurrir a una resolución numérica o una resolución gráfica.

Análisis de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Si se considera que el valor de las coordenadas es muy cercano al de una configuración de equilibrio [math]\displaystyle{ (\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js }[/math], con [math]\displaystyle{ \varepsilon_\js \lt \lt 1 }[/math], y por tanto [math]\displaystyle{ \varepsilon_\js^2 \approx 0 }[/math]) las funciones no lineales que aparecen en las ecuaciones del movimiento se pueden aproximar por los términos lineales de su desarrollo en serie de Taylor. Por ejemplo:

• si aparecen polinomios de grado superior a 1:

[math]\displaystyle{ \qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon }[/math]

[math]\displaystyle{ \qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3 }[/math]

• si se trata de una coordenada angular [math]\displaystyle{ (\qs_\js=\theta) }[/math] y aparecen funciones seno y coseno:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\ \sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\ \cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\ \text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\ \text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1 \end{aligned}\right\} \Rightarrow \begin{cases} \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\ \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq} \end{cases} }[/math]

Una vez linealizada, la ecuación es del tipo: [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0 }[/math], donde A, B, y C son escalares. En este curso, sin embargo, a menudo la ecuación es más sencilla y no contiene término en primera derivada: [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0 }[/math]. La solución general es: [math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) }[/math], con [math]\displaystyle{ \omega = \sqrt{\Bs/\As} }[/math]. Las constantes de integración dependen de las condiciones iniciales [math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 }[/math].

💭 Demostración ➕

La solución [math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts) }[/math] de la ecuación [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0 }[/math] ha de ser una función cuya segunda derivada sea proporcional a la función sin derivar. Las funciones seno, coseno y exponencial cumplen esta condición. Si se prueba la primera (que tiene que contener dos constantes de integración):

[math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) }[/math]

Si se sustituyen estas expresiones en la ecuación del movimiento:

[math]\displaystyle{ -\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}} }[/math]

El movimiento es una oscilación alrededor de la configuración de equilibrio [math]\displaystyle{ \qs_{\es\qs} }[/math] cuya frecuencia angular [math]\displaystyle{ (\omega) }[/math] depende de parámetros del sistema.

Las constantes de integración, en cambio, dependen de las condiciones iniciales ([math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi) }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi) }[/math]), y por tanto, no son intrínsecas al sistema.

• condiciones iniciales solo de posición: [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\ \dot\varepsilon(\ts = 0) = 0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned} \varphi = 90\deg\\ \as = \varepsilon_0 \end{aligned}\right. }[/math]

• condiciones iniciales solo de velocidad: [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \varepsilon(\ts = 0) = 0 \\ \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned} \varphi = 0\deg\\ \as = \dot\varepsilon_0/\omega \end{aligned}\right. }[/math]

• condiciones iniciales de posición y velocidad: [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\ \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned} \text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\ \as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2} \end{aligned}\right. }[/math]

Análisis de la estabilidad de las de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Las oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio sólo son posibles cuando ésta es estable. La estabilidad se puede analizar muy fácilmente a partir de la ecuación del movimiento linealizada:

[math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon }[/math]

• [math]\displaystyle{ (\Bs/\As) \gt 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon\lt 0\Rightarrow\varepsilon(\ts) }[/math] decrece, y el sistema vuelve a la configuración de equilibrio [math]\displaystyle{ \qs_{\es\qs} }[/math]. Es un comportamiento ESTABLE.

• [math]\displaystyle{ (\Bs/\As) \lt 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon \gt 0\Rightarrow\varepsilon(\ts) }[/math] crece, y el sistema se aleja de la configuración de equilibrio [math]\displaystyle{ \qs_{\es\qs} }[/math]. Es un comportamiento INESTABLE.

D7.2 Ejemplos generales

✏️ EJEMPLO D7.1: placa rectangular giratoria

---

La placa rectangular homogénea, de masa m, está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante respecto al suelo bajo la acción de un motor. Se trata de hallar la ecuación del movimiento asociada al movimiento entre placa y horquilla, y el valor del par motor que garantiza [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] constant.

Descripción cinemática:

Otra opción para calcular [math]\displaystyle{ \vel{G}{T} }[/math] es la cinemática de sólido rígido (sólido: placa):

[math]\displaystyle{ \vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth) }[/math]

Diagrama general de interacciones

Es un sistema de dos GL ([math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] forzado, [math]\displaystyle{ \dth }[/math] libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones ppr sólido. Se trata de un problema determinado:

ecuaciones: 2 sólidos [math]\displaystyle{ \times\frac{6\text{ ecs}}{\text{sólido}} = 12\text{ecs} }[/math]

incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 incógnitas

Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

La placa es el único elemento cuyomo vimiento depende de [math]\displaystyle{ \dth }[/math]. Par tanto, los sistemas posibles en los que aparecerá [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] cuando se apliquen los teoremas vectoriales son: placa, placa + horquilla.

5 inc. enlace + [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] = 6 inc. enlace [math]\displaystyle{ \:\:\:\:\:\:\: }[/math]5 inc. enlace + [math]\displaystyle{ \Gamma + \ddth }[/math] = 7 inc. enlace

Las seis ecuaciones que se generan aplicando los teoremas vectoriales a la placa permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la placa son:

La caracterización del torsor de enlace de la horquilla sobre la placa en el punto O es inmediata tanto si se utiliza la base B como la B’.

Si se aplica el TCM, las tres componentes incluyen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en O, la fuerza de enlace no aparecerá, y la componente 3 (o 3’) estará libre de incógnitas de enlace.

Una buena propuesta es:[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta:SISTEMA(placa), TMC en }\Os]_{3=3'}} }[/math]

TMC en [math]\displaystyle{ \Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Os\in }[/math] placa: [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth] }[/math]

Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria a la placa:

[math]\displaystyle{ [\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}} }[/math], amb [math]\displaystyle{ \left\{\begin{aligned} \I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\ \I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2 \end{aligned}\right. }[/math]

[math]\displaystyle{ \{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{grande}}{0}{0}{0}{\I{pequeño}}{0}{0}{0}{\I{grande + pequeño}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{\I{grande + pequeño}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{pequeño}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{grande + pequeño})\ddth + \I{pequeño - grande}\Omega_0^2\sth\cth\\ \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth \end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{pequeño} - \I{grande})\Omega_0\cth\right]\sth = 0} }[/math]

Si se substituyen [math]\displaystyle{ \I{grande + pequeño} }[/math] i [math]\displaystyle{ \I{pequeño} - \I{grande} }[/math] por los valores que dan las tablas, la ecuación queda:

[math]\displaystyle{ \boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0} }[/math]

Análisis de la ecuación del movimiento: configuraciones de equilibrio

[math]\displaystyle{ \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0 }[/math]. Esta ecuación tiene dos familias de soluciones:

[math]\displaystyle{ \left\{\begin{aligned} \sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\ \frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \end{aligned}\right. }[/math]

Ya que la función coseno está acotada entre -1 y +1, la segunda familia solo existe si [math]\displaystyle{ \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1 }[/math], y esto se cumple solo si la velocidad angular [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] está por encima del valor crítico [math]\displaystyle{ \Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}} }[/math].

Análisis de la ecuación del movimiento: movimiento de la placa respecto a la horquilla

Al tratarse de una ecuación no lineal (a causa de la función seno), el movimiento general se obtiene por integración numérica.

El análisis analítico para pequeñas amplitudes [math]\displaystyle{ (\varepsilon) }[/math] alrededor de una configuración de equilibrio [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} }[/math] se puede hacer si se aproximan las funciones trigonométricas (sección D7.1):

L’anàlisi analítica per a petites amplituds [math]\displaystyle{ (\varepsilon) }[/math] al voltant d’una configuració d’equilibri [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} }[/math] es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques (secció D7.1):

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\ \varepsilon^2\approx 0 \end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0 }[/math]

Para las pequeñas amplitudes alrededor de [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = 0 }[/math], la ecuación del movimiento es [math]\displaystyle{ \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0 }[/math].

Si las condiciones iniciales son [math]\displaystyle{ (\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0) }[/math], la evolución de [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] viene dada por: [math]\displaystyle{ \ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon }[/math].

• Para [math]\displaystyle{ \Omega_0^2 \gt \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon \gt 0\Rightarrow \varepsilon }[/math] aumenta. Es una configuración INESTABLE y no puede haber oscilación alrededor de esta configuración.

• Para [math]\displaystyle{ \Omega_0^2 \lt \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon \lt 0\Rightarrow \varepsilon }[/math] disminuye. El movimiento es una oscilación alrededor de una configuración ESTABLE. La frecuencia angular [rad/s] es [math]\displaystyle{ \omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)} }[/math].

NOTA: si las condiciones iniciales son [math]\displaystyle{ \theta(\ts = 0) = 0 }[/math] y [math]\displaystyle{ \dot\theta(\ts = 0) = 0 }[/math], el movimiento pendular no aparece, y el sistema se mueve solo con la rotación [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math].

ANIMACIO

Comentario adicional

Si la placa se hubiera suspendido de la horquilla de manera que el eje 2 fuese el de momento de inercia grande y el eje 1 fuese el de inercia baja, la ecuación del movimiento habría sido:

[math]\displaystyle{ (\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0 }[/math]

Si se linealiza alrededor de la configuración [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = 0 }[/math]:

[math]\displaystyle{ (\I{grande + pequeño})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0 }[/math]

Para cualquier valor de [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math], el coeficiente [math]\displaystyle{ \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right] }[/math] es positivo, y por tanto la configuración [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = 0 }[/math] es siempre ESTABLE.

ANIMACIO

Hoja de ruta para el par motor

Las opciones de sistema para calcular el par motor son dos: horquilla, horquilla + placa:

La opción (horquilla + placa) es la más adecuada. La descripción de interacciones externas sobre este sistema se muestra en la figura.

Al tratarse de un par motor, el TMC es el teorema adecuado para llegar a la solución:

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (horquilla + placa), TMC en }\Os]_\text{vert = 2'}} }[/math]

El momento cinético es el mismo que se ha calculado antes (ya que la horquilla no tiene masa).

[math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\dth} = \vector{2\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\ \left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma \end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)} }[/math]

✏️ EJEMPLO D7.2: barras giratorias

---

El sistema consta de un marco sin masa y de dos barras homogéneas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación [math]\displaystyle{ \sth }[/math] de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math] puede ser simplemente [math]\displaystyle{ \ddth = 0 }[/math] y que la rotación [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] se mantenga constante).

Diagrama general de interacciones

Es un sistema de dos GL ([math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] forzado, [math]\displaystyle{ \dth }[/math] libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones por sólido. Se trata de un problema determinado:

ecuaciones: 2 sólidos [math]\displaystyle{ \times\frac{6\text{ecs.}}{\text{sólido}} = 12 }[/math] ecs.

incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 inc.

Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

La pieza es el único elemento cuyo el movimiento dependería de [math]\displaystyle{ \dth }[/math]. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla.

Las seis ecuaciones que se generan si se aplican los teoremas vectoriales a la pieza permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la pieza son las que se muestran a la figura.

Si se aplica el TCM, las tres componentes contienen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en O, la fuerza de enlace no aparecerá. Por tanto:

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en} \Os} }[/math]

TMC en [math]\displaystyle{ \Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Os\in }[/math] pieza [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0) }[/math]

Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria al marco. Ya que se asume que el movimiento solo proviene del GL forzado [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math], es la base que gira con [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] respecto al suelo.

El análisis cualitativo del tensor de inercia se puede hacer considerando primero el tensor de cada barra en su centro de inercia y añadiendo después las correcciones de Steiner para pasar a O:

[math]\displaystyle{ [\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{-3/2}{0}{-3/2}{9/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2} }[/math]

Teniendo en cuenta que [math]\displaystyle{ 2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 : }[/math] [math]\displaystyle{ [\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20} }[/math]

[math]\displaystyle{ \{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0} }[/math]

El vector momento cinético [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] es de valor constanto y está contenido en el plano de la pieza. Por tanto, gira respecto al suelo con [math]\displaystyle{ \vec\Omega_0 }[/math] y barre una superficie cónica. La derivada de [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] proviene de este cambio de dirección:

[math]\displaystyle{ \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2) }[/math]

La derivada también se puede hacer de manera analítica:

[math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0} }[/math]

El único momento respecto al punto O externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

[math]\displaystyle{ \sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2) }[/math].

Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

[math]\displaystyle{ (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️ }[/math]

Conclusión: el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación [math]\displaystyle{ \dth }[/math] de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo constante) no es posible. La razón es la componente horizontal de [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math], que es la que genera [math]\displaystyle{ \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0 }[/math]. Si [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] fuera estrictamente vertical (paralelo a [math]\displaystyle{ \vec\Omega_0 }[/math]), entonces [math]\displaystyle{ \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0 }[/math], y la aplicación del TMC conduciría a valor nulo de las dos componentes de momento [math]\displaystyle{ \Ms_1 = \Ms_2 = 0 }[/math]. En otras palabras: si la dirección de la velocidad angular fuese una dirección principal de inercia para el punto O, mantenerla constante sería posible sin necesidad de momento externo.

Se puede conseguir la rotación vertical constante [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto O es el mismo.

Mientras el dedo introduzca una de estas fuerzas, la math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal (sin que aparezca [math]\displaystyle{ \dth }[/math]). Por el principio de acción y reacción, la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido horario:

ALTERNATIVA

thumb|left|200px|link=

El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math], que se puede hallar con [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os]_3]} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth }[/math].

La ecuación del movimiento es:

[math]\displaystyle{ \frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0 }[/math]

Las configuraciones de equilibrio [math]\displaystyle{ (\ddth_{eq} = 0) }[/math] son las soluciones de la ecuación trascendente:

[math]\displaystyle{ \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq} }[/math], y está claro que, si [math]\displaystyle{ \Omega_0\neq 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = 0 }[/math] no es una de ellas.

Las condiciones iniciales son: [math]\displaystyle{ \theta(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dth(\ts=0) = 0 }[/math]. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial [math]\displaystyle{ \ddth(\ts=0) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2\gt 0 }[/math].

El hecho de que [math]\displaystyle{ \ddth(\ts=0)\gt 0 }[/math] indica que tiene el mismo sentido que la desviación [math]\displaystyle{ \theta }[/math] que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación horaria.

✏️ EJEMPLO D7.3: pieza giratoria con partículas

---

El sistema consta de un marco sin masa y de dos partículas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación [math]\displaystyle{ \dth }[/math] de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math] puede ser simplemente [math]\displaystyle{ \ddth = 0 }[/math] y que la rotación [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] se mantenga constante.

Diagrama general de interacciones

Es un sistema del mismo tipo que el del ejemplo D7.2: tiene dos GL ([math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] forzado, [math]\displaystyle{ \dth }[/math] libre) con 10 incógnitas de enlace. El número de ecuaciones que se pueden generar si se aplican los teoremas vectoriales a los dos sólidos es 12: es un problema determinado.

Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

La pieza es el único elemento cuyo movimiento dependería de [math]\displaystyle{ \dth }[/math]. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla. Como en el ejemplo D7.2, una hoja de ruta adecuada es:

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os} }[/math]

TMC en [math]\displaystyle{ \Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Os\in }[/math] pieza [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{pieza}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0) }[/math]

El tensor de inercia en la base B solidaria a la pieza es inmediato:

thumb|right|150px|link=

[math]\displaystyle{ [\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} }[/math]

El vector momento cinético [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] es de valor constante, está contenido en el plano de la pieza, y gira respecto al suelo con [math]\displaystyle{ \vec\Omega_0 }[/math] mientras barre una superficie cónica. La derivada de [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] proviene de este cambio de dirección:

[math]\displaystyle{ \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2) }[/math]

La derivada también se puede hacer de manera analítica:

[math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2} }[/math]

El centro de inercia de la pieza se encuentra en la vertical que pasa por O, y por tanto el único momento respecto al punto O externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

[math]\displaystyle{ \sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2) }[/math]

Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

[math]\displaystyle{ (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2) }[/math]

Como en el ejemplo D7.2, el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación [math]\displaystyle{ \dth }[/math] de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] constante) no es posible porque la dirección de la velocidad angular no es una dirección principal de inercia.

Se puede conseguir la rotación vertical constante [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto O es el mismo.

Mientras se introduce una de estas fuerzas, la [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal. Por el principio de acción y reacción, la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido antihorario:

ALTERNATIVA

El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math], que se puede hallar de acuerdo con la hoja de ruta siguiente: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hija de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en } \left.\Os\right]_3} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth }[/math]

La ecuación del movimiento es:

[math]\displaystyle{ 3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0 }[/math]

Las configuraciones de equilibrio [math]\displaystyle{ (\ddth_{\es\qs} = 0) }[/math] son las soluciones de la ecuación trascendente:

[math]\displaystyle{ \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs} }[/math], y es evidente que [math]\displaystyle{ \theta = 0 }[/math] no es una solución, y que por tanto la pieza necesariamente adquirirá movimiento pendular.

Las condiciones iniciales son: [math]\displaystyle{ \theta(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dth(\ts=0) = 0 }[/math]. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial [math]\displaystyle{ \ddth(\ts=0) }[/math]:

[math]\displaystyle{ 3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2\gt 0 }[/math]

El hecho de que [math]\displaystyle{ \ddth(\ts=0)\gt 0 }[/math] indica que tiene el mismo sentido que la desviación [math]\displaystyle{ \theta }[/math] que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación antihoraria.

✏️ EJEMPLO D7.4: bola giratoria

---

La bola, de masa m y radio r, mantiene contacto puntual sin deslizamiento con el suelo y está articulada a un brazo horizontal. El brazo está articulado a una horquilla que gira con velocidad angular constante bajo la acción de un motor. Brazo y horquilla tienen masa despreciable. El coeficiente de fricción en dirección radial entre bola y suelo es nulo [math]\displaystyle{ (\mu_\text{rad} = 0) }[/math]. Se trata de investigar si la rotación [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] puede provocar la pérdida de contacto entre bola y suelo.

Descripción cinemática

El EIRL de la bola respecto al suelo es la recta [math]\displaystyle{ \Os\Js }[/math], y la velocidad angular se puede descomponer en dos rotaciones de Euler:

Diagrama general de interacciones

Es un sistema de un GL con 17 incógnitas de enlace. Al contener 3 sólidos rígidos, se trata de un problema determinado:

(17 inc. de enlace, 1GL)[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] 18 incógnitas

3 sólidos rígidos [math]\displaystyle{ \times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}} }[/math]= 18 ecuaciones

La descripción del sistema se puede aligerar si se trata el brazo como SAE, ya que no tiene masa y solo está sometido a interacciones de enlace:

El número de incógnitas de enlace asociado al enlace indirecto entre bola y horquilla a través del brazo es 4, ya que la bola tiene dos rotaciones independientes [math]\displaystyle{ (\Omega_3,\Omega_1) }[/math] respecto a la horquilla. El problema sigue siendo determinado:

(11 inc. de enlace, 1GL)[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] 12 incógnitas

2 sólidos rígidos [math]\displaystyle{ \times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}} }[/math] = 12 ecuaciones

Hoja de ruta para estudiar la pérdida de contacto

La pérdida de contacto implica la supresión del enlace entre bola y suelo, por tanto la anulación de la fuerza normal N que el suelo ejerce sobre la bola. Los dos sistemas a los que se pueden aplicar los teoremas vectoriales para calcular la N son: bola, bola + (brazo) + horquilla.

La mejor opción es aplicar teoremas vectoriales a la bola, ya que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la bola son:

Si se aplica el TMC en O, las fuerzas de enlace asociadas a la articulación con la horquilla no aparecerán, y los únicos momentos en dirección perpendicular al dibujo estarán asociados al peso y a la N. Por tanto:

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (bola), TMC en } \Os]_{\perp\text{ al dibujo}}} }[/math]

El momento cinético [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] se puede calcular a partir del tensor de inercia en O (ya que O es un punto fijo a la bola) o por descomposición baricéntrica. En este último caso, ya que la bola es rotor esférico en [math]\displaystyle{ \Gs }[/math], [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs) }[/math] es paralelo a la velocidad angular de la bola:

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\ &= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\ &=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) \end{aligned} }[/math]

Las dos componentes son constantes en valor, pero la componente horizontal cambia de dirección a causa de la rotación vertical [math]\displaystyle{ \vec{\Omega_0} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\ \left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibujo}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls] \end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} }[/math]

La fuerza normal aumenta con la velocidad angular, y por tanto el contacto con el suelo se mantiene siempre.

Alternativa:

Si el cálculo de [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] se hace a partir de [math]\displaystyle{ \Is\Is(\Os) }[/math] y la derivada se hace de manera analítica:

[math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\ &=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} \end{aligned} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\ \left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls} \end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} }[/math]

✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria

---

thumb|left|200px|link=

L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \dot\varphi_0 }[/math] constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math]. Inicialment, [math]\displaystyle{ \dot\psi(t=0) = 0 }[/math]. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix [math]\displaystyle{ \dot\varphi_0 }[/math] constant mentre hi ha lliscament.

Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions

Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, [math]\displaystyle{ \dot\varphi_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI (exemple D3.18) són:

thumb|center|250px|link=

Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) (secció D3.6):

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En els dos casos, el problema és determinat:

Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] 18 incògnites, 3 sòlids rígids[math]\displaystyle{ \times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} = }[/math] 18 equacions

Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] 12 incògnites, 2 sòlids rígids[math]\displaystyle{ \times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} = }[/math] 12 equacions

OPCIÓ 1

En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre braç i sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

thumb|center|350px|link=

Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada [math]\displaystyle{ \psi }[/math]

Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de [math]\displaystyle{ \psi }[/math]. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

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La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

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Si s’aplica el TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math], s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç [math]\displaystyle{ (\Ns, \Ms_1) }[/math]. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç. Caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os} }[/math]

El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] perquè [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és fix a l’anella:

[math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} }[/math], amb [math]\displaystyle{ 2\Is = \ms\rs^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ {\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = \left(\mat{\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2} + \mat{0}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi} }[/math]

[math]\displaystyle{ {\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{0}{9\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{-2\dot\varphi_0}{0}{9\dot\psi} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} }[/math]

Els moments externs a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] provenen del pes, de les forces a [math]\displaystyle{ \Js }[/math] i del moment [math]\displaystyle{ \Ms_1 }[/math] associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

[math]\displaystyle{ \sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs} }[/math]

La segona component condueix a [math]\displaystyle{ \Ns = \ms\gs+\frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0 }[/math], i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

[math]\displaystyle{ \boxed{\ddot\psi = \frac{2}{9}\mu\left(2\frac{\gs}{\rs}+\dot\psi\dot\varphi_0\right)} }[/math]

A l’instant inicial, [math]\displaystyle{ \dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{4}{9}\mu\frac{\gs}{\rs}\gt 0 }[/math], i per tant la velocitat angular [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a [math]\displaystyle{ \Js }[/math].

Quan [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] arriba al valor [math]\displaystyle{ (\dot\varphi_0/2) }[/math], el lliscament a [math]\displaystyle{ \Js }[/math] s’atura:

[math]\displaystyle{ \vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{roda}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0 }[/math]

A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a [math]\displaystyle{ \Js }[/math] apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

Full de ruta per al parell motor

Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la [math]\displaystyle{ \psi }[/math] i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

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La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

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La component 1 del TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1} }[/math]

El moment cinètic a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

[math]\displaystyle{ \left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)} }[/math]

OPCIÓ 2

Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada [math]\displaystyle{ \psi }[/math]

Només l’anella té un moviment que depèn de [math]\displaystyle{ \psi }[/math]. Per tant, hi ha dues opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, anella+forquilla.

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Les dues opcions semblen equivalents. Per triar-ne una, cal analitzar els interaccions externes que actuen sobre cadascun dels dos sistemes:

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En els dos casos, si s’aplica el TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] s’eviten tres components de força d’enllaç, però en la direcció 1 (que és on pot aparèixer la [math]\displaystyle{ \ddot\varphi }[/math]) hi ha sempre un moment (el parell motor en un cas, o el [math]\displaystyle{ \Ms_1 }[/math] entre sostre i forquilla en l’altre). S’agafi un sistema o l’altre, caldrà treballar en principi amb més d’una component del TMC per arribar a l’equació del moviment. A continuació es consideren les dues opcions.

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os} }[/math]

El moment cinètic a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] i la seva derivada són els mateixos calculats a l’opció 1:

[math]\displaystyle{ \left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\: \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} }[/math]

Els moments externs a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] provenen del pes, de les forces a J, del parell motor i del moment [math]\displaystyle{ \Ms_1 }[/math] a:

[math]\displaystyle{ \sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3} }[/math]

La segona component dóna el valor de N: [math]\displaystyle{ \Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0 }[/math]. En ser sempre positiu, el contacte a [math]\displaystyle{ \Js }[/math] està garantit.

La primera component dóna el parell motor: [math]\displaystyle{ \Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right) }[/math].

Però a la tercera, l’acceleració [math]\displaystyle{ \ddot\varphi }[/math] està en funció de [math]\displaystyle{ \Ms_3 }[/math]. Per tant, aquesta opció no sembla adequada.

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + forquilla),TMC a }\Os} }[/math]

Els moments externs són diferents al cas anterior:

[math]\displaystyle{ \sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs} }[/math]

En aquesta opció, l’acceleració [math]\displaystyle{ \ddot\varphi }[/math] està en funció de N, però les altres components no permeten calcular aquesta força.

Ara bé, si es combinen es resultats per a les dues opcions, l’equació del moviment és immediata:

[math]\displaystyle{ \boxed{\begin{aligned} \text{SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_2 \\ \text{SISTEMA (anella + forquilla), TMC a }\left.\Os\right]_3 \end{aligned}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\ \:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi \end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs }[/math]

L’aturada del lliscament s’estudia exactament igual que en l’opció 1.

✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori

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El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 }[/math] sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

Descripció cinemàtica

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És un sistema de 3 GL: el moviment pendular [math]\displaystyle{ \dot\theta }[/math], el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math]) i la rotació vertical forçada [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 }[/math].

El moviment del centre de l’anella [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \text{AB: guia} \\ \text{AB: suport} \end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \text{AB: terra} \\ \text{AB: guia} \end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth) }[/math]

Diagrama general d'interaccions

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El problema és determinat:

(15 inc. d'enllaç, 3GL) [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] 18 incògnites

3 sòlids rígids [math]\displaystyle{ \times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}} }[/math] = 18 equacions

Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math]

Només el moviment de l’anella depèn de [math]\displaystyle{ \ddth }[/math]. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

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La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

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Si s’aplica el TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular [math]\displaystyle{ \dth }[/math] (i, per tant, el canvi del seu valor [math]\displaystyle{ \ddth }[/math]). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

[math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1} }[/math]

Ja que el punt O es mou respecte del terra: :[math]\displaystyle{ \sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}} }[/math]

Per altra banda, [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és un punt fix a l’anella: :[math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0} }[/math], amb [math]\displaystyle{ 2\Is = \ms\Rs^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth }[/math]

[math]\displaystyle{ \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth) }[/math]

Finalment: [math]\displaystyle{ \boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0 }[/math].

Aquesta equació del moviment inclou també la variable [math]\displaystyle{ \ddot\xs }[/math]. Això vol dir que els graus de llibertat [math]\displaystyle{ \dth }[/math] i [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math] estan acoblats: encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

La component 1 del TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] per al sistema anella és l’única on apareixen [math]\displaystyle{ \dth }[/math] i [math]\displaystyle{ \ddot\xs }[/math]. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

El moviment de l’anella i el del suport depenen de [math]\displaystyle{ \ddot\xs }[/math]. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la [math]\displaystyle{ \theta }[/math], [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] ja no és una incògnita.

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Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

Per tant: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}} }[/math].

[math]\displaystyle{ \sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal} }[/math]

Càlcul de l’acceleració de G:

Opció 1: per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

[math]\displaystyle{ \left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth},  :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth }[/math]

Opció 2: per cinemàtica del sòlid rígid.

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \Gs\in\text{anella} \\ \Os\in\text{anella} \end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec }[/math]

[math]\displaystyle{ \velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth) }[/math]

L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de [math]\displaystyle{ \vec{\dth} }[/math]: [math]\displaystyle{ \accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth }[/math]

Formulació de la força de la molla

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El GL de translació vertical del suport [math]\displaystyle{ (\dot\xs) }[/math] està associat a la variació d’una coordenada [math]\displaystyle{ \xs }[/math] l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

Si es pren [math]\displaystyle{ \xs=0 }[/math] per a l’equilibri en absència de rotació [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 }[/math], és clar que la molla haurà d’exercir una força [math]\displaystyle{ \Fs_0 }[/math] d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: [math]\displaystyle{ \Fs_0 = \ms\gs }[/math]. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: [math]\displaystyle{ \Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho }[/math].

Ja que el moviment [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math] s’ha definit positiu cap a baix, un augment de [math]\displaystyle{ \xs }[/math] implica un augment de llargària de la molla. Per tant: [math]\displaystyle{ \Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs }[/math].

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\ \left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth) \end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0} }[/math]

Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

Les condicions inicials [math]\displaystyle{ \xs(\ts=0) }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\xs(\ts=0) }[/math], [math]\displaystyle{ \theta(\ts=0) }[/math], [math]\displaystyle{ \dth(\ts=0) }[/math] amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

Una condició inicial del tipus [math]\displaystyle{ \xs(\ts=0) = \xs_0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0 }[/math], [math]\displaystyle{ \theta(\ts=0)=0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dth(\ts=0) =0 }[/math] no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

[math]\displaystyle{ (\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0 }[/math].

En canvi, una condició inicial del tipus [math]\displaystyle{ \xs(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\xs(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \theta(\ts=0)=\theta_0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dth(\ts=0) =\dth_0 }[/math] sí que genera movement vertical [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math], doncs l’equació que governa la [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math] per a l’instant inicial és:

[math]\displaystyle{ \ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0 }[/math].

Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic

Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 = 0 }[/math]) s’obtenen de les equacions del moviment imposant [math]\displaystyle{ \ddot\xs_\text{eq} = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\xs_\text{eq} = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \ddth_\text{eq} = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dth_\text{eq} = 0 }[/math]:

Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri [math]\displaystyle{ (\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta) }[/math], les equacions es poden (secció D7.1)linealitzar. Per a la configuració [math]\displaystyle{ (\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \sth\sim\varepsilon_\theta \\ \cth\sim 1 \end{aligned}\right\} \Rightarrow \begin{cases} \ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs \lt 0\\ (\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta \lt 0 \end{cases} }[/math]

Ja que [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\xs \lt 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\theta \lt 0 }[/math], es tracta d’una configuració ESTABLE.

Per a la configuració [math]\displaystyle{ (\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \sth\sim -\varepsilon_\theta \\ \cth\sim -1 \end{aligned}\right\} \Rightarrow \begin{cases} \ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs \gt 0\\ (\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta \gt 0 \end{cases} }[/math]

Ja que [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\xs \gt 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\theta \gt 0 }[/math], es tracta d’una configuració INESTABLE.

Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

Si [math]\displaystyle{ \dot\psi_0\gt 0 }[/math], per a [math]\displaystyle{ \ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0 }[/math] l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, [math]\displaystyle{ \xs_\text{eq}=0 }[/math] és estable: [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\xs \lt 0 }[/math]), però la de la [math]\displaystyle{ \theta }[/math] té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

[math]\displaystyle{ (\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \begin{cases} \text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\ \text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right) \end{cases} }[/math]

La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de [math]\displaystyle{ \dot\psi_0^2 }[/math] ja que la funció [math]\displaystyle{ \text{cos}\theta_\text{eq} }[/math] està acotada entre -1 i +1:

[math]\displaystyle{ |\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls} }[/math]

Per a la configuració [math]\displaystyle{ (\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0) }[/math], la linealització de l’equació del moviment per a la [math]\displaystyle{ \theta }[/math] condueix a:

[math]\displaystyle{ (\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta }[/math]

Si [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 \lt \dot\psi_{\cs\rs} }[/math] i [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\theta \lt 0 }[/math], la configuració és ESTABLE. Si [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 \gt \dot\psi_{\cs\rs} }[/math] i [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\theta \gt 0 }[/math], la configuració és INESTABLE.

Per a la configuració [math]\displaystyle{ (\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg) }[/math], l’equació del moviment per a la [math]\displaystyle{ \theta }[/math] linealitzada és:

[math]\displaystyle{ (\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta \gt 0 }[/math]

La configuració és INESTABLE per a qualsevol valor de [math]\displaystyle{ \dot\psi_0^2 }[/math].

L’estudi de les configuracions [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2) }[/math] es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.

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