C3. Composición de movimientos

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Es}{\textrm{E}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\OQrelvec}{\vec{\Os_{\textrm{REL}}\Qs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\Orel}{\Os_{\textrm{REL}}} \newcommand{\omegarelab}{\vec{\Omega}^{\textrm{REL}}_{\textrm{AB}}} \newcommand{\velQab}{\vel{Q}{AB}} \newcommand{\velQrel}{\vel{Q}{REL}} \newcommand{\velQar}{\vel{Q}{ar}} \newcommand{\psio}{\dot{\psi_0}} \newcommand{\accrel}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{REL}} (\textbf{#1})} \newcommand{\stheta}{\text{sin}\theta} \newcommand{\ctheta}{\text{cos}\theta} }[/math]

En muchas ocasiones, el movimiento de un punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] que parece complicado (ni circular ni rectilíneo) respecto a una referencia R se puede intuir cuando respecto a otra referencia R’ es sencillo (rectilíneo, circular o nulo) y además el de R’ respecto a R también (translación o rotación simple). Combinar el movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R’ y el de R’ respecto a R para obtener el movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R es hacer composición de movimientos (Figura C3-1).

Figura C3.1 Combinación de dos movimientos sencillos uniformes para describir uno más complicado

En el ejemplo de la Figura C3.2, la composición de movimientos se puede utilizar para determinar el movimiento de la partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto al vehículo (R’) a partir del movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto al suelo (R), que es sencillo.

Figura C3.2 El movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R’ (referencia solidaria al chasis del vehículo) se puede obtener a partir del movimiento respecto a R.

Vídeo C3.1 Visualización de la trayectoria de un mismo punto en dos referencias

Tradicionalmente, las referencias R y R’ entre las que se establece la composición se denominan AB (absoluta) y REL (relativa). A partir de ahora se utilizarán estos nombres.

Las relaciones entre [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} }[/math] y [math]\displaystyle{ \vel{Q}{REL} }[/math] , y entre [math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB} }[/math] y [math]\displaystyle{ \acc{Q}{REL} }[/math] que se presentan en esta unidad son siempre válidas, independientemente de que el movimiento REL (o AB) de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] y el movimiento entre AB y REL sea sencillo o no. Cuando son sencillos, la composición de movimientos es una alternativa algébrica (no implica derivadas temporales) para el cálculo de velocidades y aceleraciones (Figura C3-2). Cuando no lo son, puede ser mejor recurrir a otros métodos (como la derivación).

Figura C3.3 Formulación general de la composición de movimientos. Los nombres de las referencias son intercambiables: la referencia AB puede ser aquella en la que se ve el movimiento sencillo, y la referència REL, aquella en la que se ve complicado.

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C3.1 Composición de velocidades

En cada instante, la ecuación que relaciona la velocidad de un punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en dos referencies AB y REL diferentes es: