Diferencia entre revisiones de «C2. Movimiento de un sistema mecánico»

De Mecánica
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=====EJEMPLO C2-3.1: péndulo de Euler; ➕=====
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::Las bases B y B’ son las mismas del <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#✏️ Exemple C2-2.1: plataforma giratòria; càlcul geomètric|'''ejemplo C2-2.1''']]</span>.
 
::Aceleración de <math>\Qs</math> respecto a BL:
<center>
<math>\braq{\acc{Q}{BL}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B} = \vector{\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls \dot\psi^2 sin\psi}{\Ls \ddot\psi sin\psi+\Ls \dot\psi^2 cos\psi}{0}</math>
 
<math>\braq{\acc{Q}{BL}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B'}+ \braq{\velang{B'}{BL}\times \OQvec}{B} = \vector{0}{\Ls\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{0}{\Ls\dot\psi}{0} = \vector{-\Ls\dot\psi^2}{\Ls\ddot\psi}{0}</math>
</center>
::Aceleración de <math>\Qs</math> respecto a R:
<center>
<math>
\braq{\acc{Q}{R}}{B}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B}=\vector{\ddot x+\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls\dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi+\Ls\dot\psi^2cos\psi}{0}
</math>
<math>
\braq{\acc{Q}{R}}{B'}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B}=\vector{\ddot x sin\psi+\dot x\dot\psi cos\psi}{\ddot x cos\psi-\dot x\dot\psi sin\psi +\Ls\ddot\psi}{0}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot x sin\psi}{\dot x cos\psi+\Ls\dot\psi}{0}=\vector{\ddot x sin\psi - \Ls \dot\psi^2}{\ddot x cos\psi+\Ls\ddot\psi}{0}
</math>
</center>
 
[[Archivo:C2-Ex3-1-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]
 
::El cálculo del radio de curvatura para la configuración general es laborioso. Como se trata de un movimiento plano, en el que la velocidad y la aceleración solo tienen dos componentes, se omitirá la tercera componente. La base utilizada es la B (pero se puede trabajar también en la base B’).
 
<center>
<math>
\braq{\vel{Q}{R}}{B} = \vecdosd{\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls \dot\psi sin\psi}, \braq{\acc{Q}{R}}{B} = \vecdosd{\ddot x + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi}
</math>
<math>
\abs{\accn{Q}{R}}=\abs{\acc{Q}{R}\times\frac{\vel{Q}{R}}{\abs{\vel{Q}{R}}}}
</math>
<math>
\abs{\accn{Q}{R}}=\abs{\frac{1}{\sqrt{({\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi)^2+(\Ls \dot\psi sin\psi)^2}}}\vecdosd{\ddot x + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi}\times\vecdosd{\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls\dot\psi sin\psi}}
</math>
</center>
<center>
<math>
\abs{\accn{Q}{R}}=\abs{
    \frac
    {
        (\ddot x + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi)\Ls \dot\psi sin\psi-(\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi)(\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi)
    }
    {
        \sqrt{\dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot x\dot\psi cos\psi}
    }}
</math>
</center>
<center>
<math>
\abs{\accn{Q}{R}}=
\abs{
    \frac
    {
        \Ls\ddot x\dot\psi sin\psi-\Ls\dot x\ddot\psi sin\psi-L^2\dot\psi^3-\Ls\dot x\dot\psi^2cos\psi
    }
    {
        \sqrt{\dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot x\dot\psi cos\psi}
    }
}=
\abs{
    \frac
    {
        \Ls(\ddot x\dot\psi-\dot x\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot x cos\psi)
    }
    {
        \sqrt{\dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot x\dot\psi cos\psi}
    }
}
</math>
</center>
<center>
<math>
\Re_\Rs(\Qs)=\frac{\textrm{v}^2_\Rs(\Qs)}{\abs{\accn{Q}{R}}}=
\frac
{
    \left( \dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls\dot x\dot\psi cos\psi\right)^{3/2}
}
{
    \abs{
        \Ls(\ddot x\dot\psi-\dot x\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot x cos\psi)
    }
}
</math>
</center>
</div></small>
 
 
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==C2.3 Direcciones intrínsecas. Componentes intrínsecas de la aceleración==
==C2.3 Direcciones intrínsecas. Componentes intrínsecas de la aceleración==

Revisión del 18:16 31 ene 2025

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\boldsymbol\alpha}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textrm{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{x}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\dth}{\dot\theta} \newcommand{\ddth}{\ddot\theta} \newcommand{\sth}{\sin{\theta}} \newcommand{\cth}{\cos{\theta}} \definecolor{blau}{RGB}{39, 127, 255} \definecolor{verd}{RGB}{9, 131, 9} }[/math]

C2.1 Velocidad de una partícula

La velocidad de una partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (o de un punto que pertenece a un sólido) respecto a una referencia R, [math]\displaystyle{ \vvec_{\Rs}(\Qs) }[/math], es el cambio del vector de posición a lo largo del tiempo. Matemáticamente, es la derivada temporal de un vector de posición (relativo a R). Dos vectores de posición distintos ([math]\displaystyle{ \overline{\Or\Qs} }[/math], [math]\displaystyle{ \overline{\Os'_\Rs\Qs} }[/math]) dan lugar a la misma velocidad porque los puntos [math]\displaystyle{ \Os_\Rs }[/math] y [math]\displaystyle{ \Os'_\Rs }[/math] son fijos entre sí y fijos a la referencia, y por tanto [math]\displaystyle{ \overline{\Os_\Rs\Os'_\Rs} }[/math] es constante en R:

[math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) = \dert{\vec{\Os_{\Rs}\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Os_{\Rs}\Os_{\Rs}'}}{R} + \dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R} }[/math]

Es importante recordar que la derivada de un vector depende de la referencia en la que se evalúa. Por eso, en las ecuaciones anteriores se especifica la referencia en la que se deriva mediante un subíndice R.

La derivación temporal de un vector respecto a una referencia R evalúa el cambio de las características del vector (dirección y valor) entre dos instantes consecutivos muy cercanos, separados por un diferencial de tiempo. Por tanto, la velocidad [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) }[/math] es distinta de cero cuando el valor del vector de posición, o su dirección o ambas cosas cambian.

✏️ EJEMPLO C2-1.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico

La plataforma (RP) gira alrededor de un eje perpendicular al suelo (R). El movimiento de un punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] de la periferia de la plataforma es distinto según si se observa desde el suelo o desde la plataforma.
C2-Ex1-1-1-neut.png
El centro de la plataforma ([math]\displaystyle{ \Os }[/math]) es fijo a ambas referencias. Por tanto, [math]\displaystyle{ \vec{\Os\Qs} }[/math] es un vector de posición para el punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] tanto en la referencia R como en la referencia RP. Es evidente que [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs)\neq \vec{0} }[/math] y [math]\displaystyle{ \vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)= \vec{0} }[/math], aunque el vector que se deriva es el mismo.
Ya que [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] es el radio r de la plataforma, tiene valor constante. Por tanto, la derivada de [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] en cualquier referencia sólo puede estar asociada a un cambio de dirección.
Para evaluar el cambio de orientación de [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] respecto al suelo o a la plataforma, hay que definir un ángulo entre una recta fija a la referencia (recta de “salida”) y el vector [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] (recta de “llegada”). Para que quede clara la recta origen, representamos la recta de “salida” como la dirección del brazo de un observador situado en la referencia (y, por tanto, que no se mueve respecto a ella).
C2-Ex1-1-2-neut.png

[math]\displaystyle{ \psi(t)\neq\psi(t+dt) \implies \OQvec }[/math] cambia de dirección respecto a R [math]\displaystyle{ \implies \textcolor{blau}{\vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{blau}{) \neq \vec{0}} }[/math]

De acuerdo con lo que se ha visto en la sección V.1, [math]\displaystyle{ \textcolor{blau}{\vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{blau}{)} }[/math] es perpendicular a [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math], y su valor es el módulo de [math]\displaystyle{ \OQvec(\textrm{r}) }[/math] por la velocidad de cambio de orientación de [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] respecto a R [math]\displaystyle{ (\dot{\psi}) }[/math]:
C2-Ex1-1-3-neut.png

Velocidad de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relativa a la plataforma (RP):

C2-Ex1-1-4-neut.png

[math]\displaystyle{ \psi(t)=\psi(t+dt) \implies \OQvec }[/math] no cambia de dirección respecto a RP [math]\displaystyle{ \textcolor{verd}{\implies \vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{verd}{) = \vec{0}} }[/math]

EJEMPLO C2-1.1: plataforma giratoria; cálculo analítico ➕
Las dos bases vectoriales lógicas para hacer los cálculos son:
  • Base B (1,2,3) fija respecto a R (y por tanto móvil en RP): [math]\displaystyle{ \velang{B}{R}=\vec{0},\velang{B}{RP}= -\vec{\dot{\psi}} }[/math]
  • Base B' (1',2',3') fija respecto a P (y por tanto móvil en R): [math]\displaystyle{ \velang{B'}{RP}=\vec{0},\velang{B'}{R} = \vec{\dot{\psi}} }[/math]
C2-Ex1-1-5-neut.png
Proyección del vector de posición [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] en las dos bases:

[math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B}=\vector{rcos\psi}{rsin\psi}{0}, \: \: \braq{\OQvec}{B'}=\vector{r}{0}{0} }[/math]

Velocidad de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R:

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_\Rs(\Qs)}{B} = \braq{\dert{\OQvec}{R}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B} = \vector{-r\dot \psi sin\psi}{r\dot{\psi} cos\psi}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_\Rs(\Qs)}{B'}=\braq{\dert{\OQvec}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B'}=\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B'}=\vector{0}{0}{\dot\psi} \times \vector{r}{0}{0}= \vector{0}{r\dot\psi}{0} }[/math]

Velocidad de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a RP:

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)}{B} =\braq{\dert{\OQvec}{RP}}{B}= \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B}+\braq{\velang{B}{RP}\times \OQvec}{B}=\vector{-r\dot\psi sin\psi}{r\dot\psi cos\psi}{0}+ \vector{0}{0}{-\dot\psi}\times\vector{rcos\psi}{rsin\psi}{0}= \vector{0}{0}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)}{B'} =\braq{\dert{\OQvec}{RP}}{B'}= \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{RP}\times \OQvec}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'} = \vector{0}{0}{0} }[/math]

✏️ EJEMPLO C2-1.2: péndulo de Euler; cálculo geométrico

El extremo [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] del péndulo de Euler describe un movimiento circular respecto al bloque. La velocidad asociada [math]\displaystyle{ \vel{Q}{BL} = \dert{\vecbf{CQ}}{BL} }[/math] se obtiene de manera análoga al ejemplo anterior.
C2-Ex1-2-1-neut.png
El ángulo [math]\displaystyle{ \psi }[/math] orienta la barra tanto respecto al bloque como respecto al suelo, ya que su origen (recta vertical) tiene orientación constante en ambas referencias.
La velocidad de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto al suelo se puede obtener derivando el vector [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Qs} (=\vec{\Or\Cbf}+\vecbf{CQ}) }[/math] respecto al suelo:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R}+ \dert{\vec{\Cbf\Qs}}{R} }[/math]

El vector [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Cbf} }[/math] tiene dirección constante en R pero valor variable, por tanto su derivada es paralela a [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Cbf} }[/math] y de valor [math]\displaystyle{ \dot x }[/math]. El vector [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math], en cambio, tiene valor constante pero dirección variable. Por tanto, su derivada es perpendicular a [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math], y su valor es el módulo de [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math] por la velocidad de cambio de orientación de [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math] respecto a R ([math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math]):
C2-Ex1-2-2-neut.png
La dirección de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] no es ninguna de les direcciones asociadas al sistema (ni la vertical, ni la horizontal, ni paralela a la barra ni perpendicular a la barra). Por este motivo, es mejor dejarla dibujada como suma de los dos términos [math]\displaystyle{ \dot x }[/math] y [math]\displaystyle{ L\dot\psi }[/math], cuyas direcciones sí corresponden a una de estas direcciones singulares.
Es interesante ver que el primer término de la expresión [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R}+\dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] corresponde a la velocidad de [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] respecto al suelo [math]\displaystyle{ \left(\vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R} \right) }[/math], mientras que el segundo no tiene interpretación física: el punto [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] no es fijo a R, y por tanto no es un vector de posición en esta referencia.


EJEMPLO C2-1.2: péndulo de Euler; cálculo analítico ➕
Las dos bases vectoriales lógicas para hacer los cálculos son:
C2-Ex1-2-3-neut.png


  • Base B (1,2,3) fija respecto a R y BL: [math]\displaystyle{ \Omegavec_\Rs^\Bs=\vec{0},\Omegavec_{\Bs\Ls}^\Bs = \vec{0} }[/math]
  • Base B' (1',2',3') fija respecto a la barra, y por tanto móvil en R y BL: [math]\displaystyle{ \velang{P}{B'}=\vec{0} }[/math], [math]\displaystyle{ \velang{RL}{B'} = -\vec{\dot{\psi}} }[/math]


Proyección del vector de posición [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] en las dos bases:
[math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B} = \vector{x+\Ls \sin{\psi}}{\Ls \cos{\psi}}{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: }[/math], [math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B'} = \vector{\Ls+x \sin{\psi}}{x\cos{\psi}}{0} }[/math]
Velocidad de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R:

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{R}}{B} = \braq{\dert{\OQvec}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B} = \vector{\dot x+\Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls\dot\psi sin\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'} + \braq{\velang{B'}{R} \times \OQvec}{B'} = \vector{\dot x sin\psi+\ x\dot\psi cos\psi}{\dot x cos\psi - x \dot\psi sin \psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{\Ls+x sin\psi}{x cos\psi}{0}=\vector{\dot x sin \psi}{\dot x cos\psi + \Ls\dot\psi}{0} }[/math]

Si se quiere calcular la velocidad de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a BL, el vector de posición a derivar es [math]\displaystyle{ \vecbf{CQ} }[/math]:
[math]\displaystyle{ \braq{\vecbf{CQ}}{B} = \vector{\Ls sin \psi}{-\Ls \cos{\psi}}{0}, \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \braq{\vecbf{CQ}}{B'}=\vector{\Ls}{0}{0} }[/math]

C2.2 Aceleración de una partícula

La aceleración de una partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (o de un punto que pertenece a un sólido) respecto de una referencia R, [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math], es el cambio de la velocidad a lo largo del tiempo:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} = \dert{\vel{Q}{R}}{R} }[/math]


✏️ EJEMPLO C2-2.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico

En el movimiento circular del punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] de la plataforma respecto al suelo (ejemplo C2-1.1), la aceleración proviene tanto del cambio de valor como del cambio de orientación de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]. Al ser [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] permanentemente perpendicular a [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math], su ritmo de cambio de orientación es [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math], el mismo que el de [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math]:
C2-Ex2-1-esp.png
La dirección de [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] no es ninguna de las direcciones asociadas al sistema (ni la radial, ni la perpendicular al radio). Por este motivo, es mejor dejarla dibujada como suma de los dos términos [math]\displaystyle{ \rs\ddot\psi }[/math] y [math]\displaystyle{ r\dot\psi^2 }[/math], cuyas direcciones sí corresponden a una de estas direcciones singulares.
EJEMPLO C2-2.1: plataforma giratoria; cálculo analítico ➕
Las bases B y B’ son las mismas del ejemplo C2-1.1.
[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B} = \vector{-\rs \ddot\psi sin\psi - \rs \dot\psi^2cos\psi}{\rs\ddot\psi cos\psi - \rs \dot\psi^2sin\psi}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'} + \braq{\velang{B'}{R} \times \vel{Q}{R}}{B} = \vector{0}{\rs\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi} \times \vector{0}{\rs\dot\psi}{0} = \vector{-\rs\dot\psi^2}{\rs\ddot\psi}{0} }[/math]


✏️ EJEMPLO C2-2.2: péndulo de Euler; cálculo geométrico

El cálculo de la aceleración de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto al suelo (R) es laborioso porque la velocidad [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] proviene de la suma de dos términos: [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R} + \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math].
  • [math]\displaystyle{ \dert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R} }[/math]: dirección constante (horizontal), valor [math]\displaystyle{ (\dot x) }[/math] variable. Su derivada [math]\displaystyle{ \ddert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R} }[/math] , pues, será horizontal y de valor [math]\displaystyle{ \ddot x }[/math].
  • [math]\displaystyle{ \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math]: dirección perpendicular a la barra y por tanto variable; valor [math]\displaystyle{ \Ls\dot\psi }[/math] variable. Su derivada [math]\displaystyle{ \ddert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] , pues, tendrá una parte perpendicular a [math]\displaystyle{ \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] (y por tanto paralela a la barra) de valor [math]\displaystyle{ \Ls\dot\psi\cdot\dot\psi }[/math] , y una parte paralela a [math]\displaystyle{ \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] (y por tanto perpendicular a la barra) de valor [math]\displaystyle{ \Ls\ddot\psi }[/math].
C2-Ex2-2-neut.png
EJEMPLO C2-2.2: péndulo de Euler; cálculo analítico ➕
Las bases B y B’ son las mismas del ejemplo C2-1.2.
Aceleración de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a BL:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B} = \vector{\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls \dot\psi^2 sin\psi}{\Ls \ddot\psi sin\psi +\Ls \dot\psi^2 cos\psi}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B'}+ \braq{\velang{B'}{BL}\times \OQvec}{B} = \vector{0}{\Ls\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{0}{\Ls\dot\psi}{0} = \vector{-\Ls\dot\psi^2}{\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]

Aceleración de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B}=\vector{\ddot x+\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls\dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi+\Ls\dot\psi^2cos\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B'}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B}=\vector{\ddot x sin\psi+\dot x\dot\psi cos\psi}{\ddot x cos\psi-\dot x\dot\psi sin\psi +\Ls\ddot\psi}{0}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot x sin\psi}{\dot x cos\psi+\Ls\dot\psi}{0}=\vector{\ddot x sin\psi - \Ls \dot\psi^2}{\ddot x cos\psi+\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]

EJEMPLO C2-3.1: péndulo de Euler; ➕
Las bases B y B’ son las mismas del ejemplo C2-2.1.
Aceleración de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a BL:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B} = \vector{\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls \dot\psi^2 sin\psi}{\Ls \ddot\psi sin\psi+\Ls \dot\psi^2 cos\psi}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B'}+ \braq{\velang{B'}{BL}\times \OQvec}{B} = \vector{0}{\Ls\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{0}{\Ls\dot\psi}{0} = \vector{-\Ls\dot\psi^2}{\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]

Aceleración de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B}=\vector{\ddot x+\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls\dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi+\Ls\dot\psi^2cos\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B'}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B}=\vector{\ddot x sin\psi+\dot x\dot\psi cos\psi}{\ddot x cos\psi-\dot x\dot\psi sin\psi +\Ls\ddot\psi}{0}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot x sin\psi}{\dot x cos\psi+\Ls\dot\psi}{0}=\vector{\ddot x sin\psi - \Ls \dot\psi^2}{\ddot x cos\psi+\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]

C2-Ex3-1-6-neut.png
El cálculo del radio de curvatura para la configuración general es laborioso. Como se trata de un movimiento plano, en el que la velocidad y la aceleración solo tienen dos componentes, se omitirá la tercera componente. La base utilizada es la B (pero se puede trabajar también en la base B’).

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{R}}{B} = \vecdosd{\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls \dot\psi sin\psi}, \braq{\acc{Q}{R}}{B} = \vecdosd{\ddot x + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi} }[/math] [math]\displaystyle{ \abs{\accn{Q}{R}}=\abs{\acc{Q}{R}\times\frac{\vel{Q}{R}}{\abs{\vel{Q}{R}}}} }[/math] [math]\displaystyle{ \abs{\accn{Q}{R}}=\abs{\frac{1}{\sqrt{({\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi)^2+(\Ls \dot\psi sin\psi)^2}}}\vecdosd{\ddot x + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi}\times\vecdosd{\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls\dot\psi sin\psi}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \abs{\accn{Q}{R}}=\abs{ \frac { (\ddot x + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi)\Ls \dot\psi sin\psi-(\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi)(\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi) } { \sqrt{\dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot x\dot\psi cos\psi} }} }[/math]

[math]\displaystyle{ \abs{\accn{Q}{R}}= \abs{ \frac { \Ls\ddot x\dot\psi sin\psi-\Ls\dot x\ddot\psi sin\psi-L^2\dot\psi^3-\Ls\dot x\dot\psi^2cos\psi } { \sqrt{\dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot x\dot\psi cos\psi} } }= \abs{ \frac { \Ls(\ddot x\dot\psi-\dot x\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot x cos\psi) } { \sqrt{\dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot x\dot\psi cos\psi} } } }[/math]

[math]\displaystyle{ \Re_\Rs(\Qs)=\frac{\textrm{v}^2_\Rs(\Qs)}{\abs{\accn{Q}{R}}}= \frac { \left( \dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls\dot x\dot\psi cos\psi\right)^{3/2} } { \abs{ \Ls(\ddot x\dot\psi-\dot x\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot x cos\psi) } } }[/math]


C2.3 Direcciones intrínsecas. Componentes intrínsecas de la aceleración

Un simple dibujo pone de manifiesto que la velocidad de un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relativa a una referencia R es siempre tangente a la trayectoria que describe en R (Figura C2.1). Su dirección es la dirección tangencial.

C2-1-esp.png
Figura C2.1 El vector de velocidad siempre es tangente a la trayectoria

En un caso general, la velocidad [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] cambia tanto de valor como de dirección. Por tanto, la aceleración [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] tiene dos componentes, una asociada al cambio de valor (paralela a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]) y otra asociada al cambio de dirección (ortogonal a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]). Estas componentes son las componentes intrínsecas de la aceleración, y se denominan componente tangencial [math]\displaystyle{ \accs{Q}{R} }[/math] y componente normal [math]\displaystyle{ \accn{Q}{R} }[/math], respectivamente:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{R}=\accs{Q}{R}+\accn{Q}{R} }[/math]

Para el caso del movimiento circular ejemplo C2-2.1, la componente tangencial es perpendicular al radio, y la normal es paralela al radio y dirigida hacia el centro de la trayectoria (Figura C2.2):

C2-2-neut.png
Figura C2.2 Componentes intrínsecas de la aceleración en el movimiento circular

Este resultado se puede utilizar localmente para cualquier otro movimiento. Efectivamente, así como el cálculo de la velocidad de un punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a una referencia R ([math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]) se basa en dos vectores de posición consecutivos (o, lo que es el mismo, en dos puntos consecutivos de la trayectoria), el de la aceleración [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] pide tres:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{R}=\dert{\vel{Q}{R}}{R}\simeq\frac{\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm{t+dt})-\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t)}{\Delta \textrm t(\rightarrow0)}\equiv\frac{\Delta\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t)}{\Delta \textrm t(\rightarrow0)} }[/math]

El cálculo del vector [math]\displaystyle{ \Delta\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t) }[/math] requiere tres puntos consecutivos de la trayectoria (dos para cada velocidad, donde el último punto para calcular [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t) }[/math] y el primero para calcular [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm{t+dt}) }[/math] son el mismo). Estos tres puntos definen un plano (plano osculador), y hay un único círculo que puede contener a los tres. En otras palabras: cualquier trayectoria se puede aproximar localmente por un círculo (círculo osculador). El centro y el radio de este círculo se denominan centro de curvatura y radio de curvatura de la trayectoria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R ([math]\displaystyle{ \textrm{CC}_\textrm{R}(\textbf{Q}) }[/math] y [math]\displaystyle{ \Re_\textrm{R}(\textbf Q) }[/math], respectivamente). Els resultats obtinguts per al movimiento circular se pueden utilizar localmente para calcular [math]\displaystyle{ \Re_\textrm{R}(\textbf Q) }[/math] (Figura C2.3).

C2-3-esp.png
Figura C2.3 Geometría local de la trayectoria de una partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a una referencia R

Tanto el radio de curvatura como la posición del centro de curvatura cambian a lo largo de la trayectoria en general. En tramos rectilíneos, al no haber cambio de dirección de la velocidad, la componente normal de la aceleración es cero, y el radio de curvatura se hace infinito.

El versor tangencial [math]\displaystyle{ \vecbf{s} }[/math] ([math]\displaystyle{ \vecbf{s}=\velo{R}/|\velo{R}|=\accso{R}/|\accso{R}| }[/math]) y el versor normal [math]\displaystyle{ \vecbf{n} }[/math] ([math]\displaystyle{ \vecbf{n}=\accno{R}/|\accno{R}| }[/math]) se pueden completar con un tercer versor [math]\displaystyle{ \vecbf{b} }[/math] ortogonal a ambos (versor binormal, [math]\displaystyle{ \vecbf{b}\equiv\vecbf{s}\times\vecbf{n} }[/math]), y formar la base intrínseca o base de Frenet para el movimiento de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en la referencia R.


✏️ EJEMPLO C2-3.1: péndulo de Euler

En el movimiento circular del extremo [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] de la barra respecto al bloque, las dos componentes intrínsecas de la aceleración [math]\displaystyle{ \acc{Q}{BL} }[/math] son distintas de cero. Sus valores y direcciones son las del movimiento circular:
  • aceleración tangencial [math]\displaystyle{ \accs{Q}{BL} }[/math]: paralela a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{BL} }[/math] y de valor L[math]\displaystyle{ \ddot\psi }[/math].
  • aceleración normal [math]\displaystyle{ \accn{Q}{BL} }[/math] : perpendicular a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{BL} }[/math] y de valor L[math]\displaystyle{ \dot\psi^2 }[/math].
C2-Ex3-1-1-neut.png
Aunque es evidente que el radio de curvatura de la trayectoria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en la referencia bloque es L (ya que hace un movimiento circular), también se puede obtener como [math]\displaystyle{ \frac{\vecbf{v}_{\textrm{BL}}^2(\Qs)}{|\accn{Q}{BL}|}=\frac{(\Ls\dot\psi)^2}{\Ls\dot\psi^2}=\Ls }[/math].
La aceleración [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] se ha descrito en el ejemplo C2-2.2 como suma de tres términos (los dos de [math]\displaystyle{ \acc{Q}{BL} }[/math] más uno permanentemente horizontal de valor [math]\displaystyle{ \ddot x }[/math]). Identificar en este caso cuál es la componente tangencial (paralela a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]) y cuál la normal (ortogonal a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]) no es inmediato, pues la dirección de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] no es ninguna de las direcciones singulares del problema (ejemplo C2-1.2).
Esta identificación sí que es inmediata para dos configuraciones particulares para las que la dirección de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] (que es la dirección tangencial) es horizontal:
C2-Ex3-1-2-esp.png
El radio de curvatura del extremo del péndulo respecto al suelo para la configuración [math]\displaystyle{ \psi=0 }[/math] es:
C2-Ex3-1-3-esp.png
El centro de curvatura siempre se encuentra por encima de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] porque la aceleración normal apunta hacia arriba.
Casos particulares:
C2-Ex3-1-5-neut.png
Las líneas circulares discontinuas indican la aproximación de la trayectoria en el entorno de la configuración [math]\displaystyle{ \psi=0 }[/math] para estos dos casos particulares.
Aunque es laborioso, es posible calcular [math]\displaystyle{ \re{Q}{R} }[/math] para una configuración general recordando que en el producto escalar [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R}\cdot\acc{Q}{R} }[/math] solo participan las componentes paralelas (y por tanto la [math]\displaystyle{ \accs{Q}{R} }[/math]), y en el producto vectorial [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R}\times\acc{Q}{R} }[/math], solo las ortogonales (y por tanto la [math]\displaystyle{ \accn{Q}{R} }[/math]) (ejemplo C2-3.1 analítico). El resultado es:
[math]\displaystyle{ \re{Q}{R}=\frac{\textbf{v}_{\Rs}^2(\Qs)}{|\accn{Q}{R}|}=\frac{\left[\dot x^2+\left(\Ls\dot\psi\right)^2+2\Ls\dot x\dot\psi cos\psi\right]^{3/2}}{\left|\Ls(\ddot x\dot\psi-\dot x\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot x cos\psi)\right|} }[/math]
Cuando se obtienen expresiones complicadas como la anterior, es aconsejable hacer alguna comprobación para asegurar que no hay errores evidentes evitables. Por ejemplo:
  • Si [math]\displaystyle{ \dot x=0 }[/math] permanentemente (es decir, [math]\displaystyle{ \ddot x=0 }[/math]), la trayectoria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R es circular de radio L:
[math]\displaystyle{ \re{Q}{R}\big]_{\dot x=0, \ddot x=0}=\frac{\left(\Ls^2\dot\psi^2\right)^{3/2}}{\Ls\dot\psi^2\Ls\dot\psi}=\Ls }[/math]
  • Si [math]\displaystyle{ \dot\psi=0 }[/math] permanentemente ([math]\displaystyle{ \ddot\psi=0 }[/math]), la trayectoria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R es rectilínea, y el radio de curvatura ha de ser infinito:
[math]\displaystyle{ \re{Q}{R}\big]_{\dot\psi=0, \ddot\psi=0}=\frac{(\dot x^2)^{3/2}}{0}\rightarrow\infty }[/math]
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