C2. Movimiento de un sistema mecánico

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\boldsymbol\alpha}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textrm{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{x}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\dth}{\dot\theta} \newcommand{\ddth}{\ddot\theta} \newcommand{\sth}{\sin{\theta}} \newcommand{\cth}{\cos{\theta}} \definecolor{blau}{RGB}{39, 127, 255} \definecolor{verd}{RGB}{9, 131, 9} }[/math]

C2.1 Velocidad de una partícula

La velocidad de una partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (o de un punto que pertenece a un sólido) respecto a una referencia R, [math]\displaystyle{ \vvec_{\Rs}(\Qs) }[/math], es el cambio del vector de posición a lo largo del tiempo. Matemáticamente, es la derivada temporal de un vector de posición (relativo a R). Dos vectores de posición distintos ([math]\displaystyle{ \overline{\Or\Qs} }[/math], [math]\displaystyle{ \overline{\Os'_\Rs\Qs} }[/math]) dan lugar a la misma velocidad porque los puntos [math]\displaystyle{ \Os_\Rs }[/math] y [math]\displaystyle{ \Os'_\Rs }[/math] son fijos entre sí y fijos a la referencia, y por tanto [math]\displaystyle{ \overline{\Os_\Rs\Os'_\Rs} }[/math] es constante en R:

[math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) = \dert{\vec{\Os_{\Rs}\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Os_{\Rs}\Os_{\Rs}'}}{R} + \dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R} }[/math]

Es importante recordar que la derivada de un vector depende de la referencia en la que se evalúa. Por eso, en las ecuaciones anteriores se especifica la referencia en la que se deriva mediante un subíndice R.

La derivación temporal de un vector respecto a una referencia R evalúa el cambio de las características del vector (dirección y valor) entre dos instantes consecutivos muy cercanos, separados por un diferencial de tiempo. Por tanto, la velocidad [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) }[/math] es distinta de cero cuando el valor del vector de posición, o su dirección o ambas cosas cambian.

✏️ Ejemplo C2-1.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico

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La plataforma (RP) gira alrededor de un eje perpendicular al suelo (R). El movimiento de un punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] de la periferia de la plataforma es distinto según si se observa desde el suelo o desde la plataforma.

El centro de la plataforma ([math]\displaystyle{ \Os }[/math]) es fijo a ambas referencias. Por tanto, [math]\displaystyle{ \vec{\Os\Qs} }[/math] es un vector de posición para el punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] tanto en la referencia R como en la referencia RP. Es evidente que [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs)\neq \vec{0} }[/math] y [math]\displaystyle{ \vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)= \vec{0} }[/math], aunque el vector que se deriva es el mismo.

Ya que [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] es el radio r de la plataforma, tiene valor constante. Por tanto, la derivada de [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] en cualquier referencia sólo puede estar asociada a un cambio de dirección.

Para evaluar el cambio de orientación de [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] respecto al suelo o a la plataforma, hay que definir un ángulo entre una recta fija a la referencia (recta de “salida”) y el vector [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] (recta de “llegada”). Para que quede clara la recta origen, representamos la recta de “salida” como la dirección del brazo de un observador situado en la referencia (y, por tanto, que no se mueve respecto a ella).

[math]\displaystyle{ \psi(t)\neq\psi(t+dt) \implies \OQvec }[/math] cambia de dirección respecto a R [math]\displaystyle{ \implies \textcolor{blau}{\vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{blau}{) \neq \vec{0}} }[/math]

De acuerdo con lo que se ha visto en la sección V.1, [math]\displaystyle{ \textcolor{blau}{\vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{blau}{)} }[/math] es perpendicular a [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math], y su valor es el módulo de [math]\displaystyle{ \OQvec(\textrm{r}) }[/math] por la velocidad de cambio de orientación de [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] respecto a R [math]\displaystyle{ (\dot{\psi}) }[/math]:

Velocidad de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relativa a la plataforma (RP):

[math]\displaystyle{ \psi(t)=\psi(t+dt) \implies \OQvec }[/math] no cambia de dirección respecto a RP [math]\displaystyle{ \textcolor{verd}{\implies \vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{verd}{) = \vec{0}} }[/math]

Ejemplo C2-1.1: plataforma giratoria; cálculo analítico ➕

Las dos bases vectoriales lógicas para hacer los cálculos son:

• Base B (1,2,3) fija respecto a R (y por tanto móvil en RP): [math]\displaystyle{ \velang{B}{R}=\vec{0},\velang{B}{RP}= -\vec{\dot{\psi}} }[/math]
• Base B' (1',2',3') fija respecto a P (y por tanto móvil en R): [math]\displaystyle{ \velang{B'}{RP}=\vec{0},\velang{B'}{R} = \vec{\dot{\psi}} }[/math]

Proyección del vector de posición [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] en las dos bases:

[math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B}=\vector{rcos\psi}{rsin\psi}{0}, \: \: \braq{\OQvec}{B'}=\vector{r}{0}{0} }[/math]

Velocidad de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R:

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_\Rs(\Qs)}{B} = \braq{\dert{\OQvec}{R}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B} = \vector{-r\dot \psi sin\psi}{r\dot{\psi} cos\psi}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_\Rs(\Qs)}{B'}=\braq{\dert{\OQvec}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B'}=\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B'}=\vector{0}{0}{\dot\psi} \times \vector{r}{0}{0}= \vector{0}{r\dot\psi}{0} }[/math]

Velocidad de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a RP:

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)}{B} =\braq{\dert{\OQvec}{RP}}{B}= \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B}+\braq{\velang{B}{RP}\times \OQvec}{B}=\vector{-r\dot\psi sin\psi}{r\dot\psi cos\psi}{0}+ \vector{0}{0}{-\dot\psi}\times\vector{rcos\psi}{rsin\psi}{0}= \vector{0}{0}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)}{B'} =\braq{\dert{\OQvec}{RP}}{B'}= \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{RP}\times \OQvec}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'} = \vector{0}{0}{0} }[/math]

✏️ Ejemplo C2-1.2: péndulo de Euler; cálculo geométrico

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El extremo [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] del péndulo de Euler describe un movimiento circular respecto al bloque. La velocidad asociada [math]\displaystyle{ \vel{Q}{BL} = \dert{\vecbf{CQ}}{BL} }[/math] se obtiene de manera análoga al ejemplo anterior.

El ángulo [math]\displaystyle{ \psi }[/math] orienta la barra tanto respecto al bloque como respecto al suelo, ya que su origen (recta vertical) tiene orientación constante en ambas referencias.

La velocidad de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto al suelo se puede obtener derivando el vector [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Qs} (=\vec{\Or\Cbf}+\vecbf{CQ}) }[/math] respecto al suelo:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R}+ \dert{\vec{\Cbf\Qs}}{R} }[/math]

El vector [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Cbf} }[/math] tiene dirección constante en R pero valor variable, por tanto su derivada es paralela a [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Cbf} }[/math] y de valor [math]\displaystyle{ \dot x }[/math]. El vector [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math], en cambio, tiene valor constante pero dirección variable. Por tanto, su derivada es perpendicular a [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math], y su valor es el módulo de [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math] por la velocidad de cambio de orientación de [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math] respecto a R ([math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math]):

La dirección de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] no es ninguna de les direcciones asociadas al sistema (ni la vertical, ni la horizontal, ni paralela a la barra ni perpendicular a la barra). Por este motivo, es mejor dejarla dibujada como suma de los dos términos [math]\displaystyle{ \dot x }[/math] y [math]\displaystyle{ L\dot\psi }[/math], cuyas direcciones sí corresponden a una de estas direcciones singulares.

Es interesante ver que el primer término de la expresión [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R}+\dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] corresponde a la velocidad de [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] respecto al suelo [math]\displaystyle{ \left(\vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R} \right) }[/math], mientras que el segundo no tiene interpretación física: el punto [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] no es fijo a R, y por tanto no es un vector de posición en esta referencia.

Ejemplo C2-1.2: péndulo de Euler; cálculo analítico ➕

Las dos bases vectoriales lógicas para hacer los cálculos son:

• Base B (1,2,3) fija respecto a R y BL: [math]\displaystyle{ \Omegavec_\Rs^\Bs=\vec{0},\Omegavec_{\Bs\Ls}^\Bs = \vec{0} }[/math]
• Base B' (1',2',3') fija respecto a la barra, y por tanto móvil en R y BL: [math]\displaystyle{ \velang{P}{B'}=\vec{0} }[/math], [math]\displaystyle{ \velang{RL}{B'} = -\vec{\dot{\psi}} }[/math]

Proyección del vector de posición [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] en las dos bases:

[math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B} = \vector{x+\Ls \sin{\psi}}{\Ls \cos{\psi}}{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: }[/math], [math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B'} = \vector{\Ls+x \sin{\psi}}{x\cos{\psi}}{0} }[/math]

Velocidad de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R:

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{R}}{B} = \braq{\dert{\OQvec}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B} = \vector{\dot x+\Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls\dot\psi sin\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'} + \braq{\velang{B'}{R} \times \OQvec}{B'} = \vector{\dot x sin\psi+\ x\dot\psi cos\psi}{\dot x cos\psi - x \dot\psi sin \psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{\Ls+x sin\psi}{x cos\psi}{0}=\vector{\dot x sin \psi}{\dot x cos\psi + \Ls\dot\psi}{0} }[/math]

Si se quiere calcular la velocidad de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a BL, el vector de posición a derivar es [math]\displaystyle{ \vecbf{CQ} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \braq{\vecbf{CQ}}{B} = \vector{\Ls sin \psi}{-\Ls \cos{\psi}}{0}, \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \braq{\vecbf{CQ}}{B'}=\vector{\Ls}{0}{0} }[/math]

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C2.2 Aceleración de una partícula

La aceleración de una partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (o de un punto que pertenece a un sólido) respecto de una referencia R, [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math], es el cambio de la velocidad a lo largo del tiempo:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} = \dert{\vel{Q}{R}}{R} }[/math]

✏️ Ejemplo C2-2.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico

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En el movimiento circular del punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] de la plataforma respecto al suelo (ejemplo C2-1.1), la aceleración proviene tanto del cambio de valor como del cambio de orientación de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]. Al ser [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] permanentemente perpendicular a [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math], su ritmo de cambio de orientación es [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math], el mismo que el de [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math]:

La dirección de [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] no es ninguna de las direcciones asociadas al sistema (ni la radial, ni la perpendicular al radio). Por este motivo, es mejor dejarla dibujada como suma de los dos términos [math]\displaystyle{ \rs\ddot\psi }[/math] y [math]\displaystyle{ r\dot\psi^2 }[/math], cuyas direcciones sí corresponden a una de estas direcciones singulares.

Ejemplo C2-2.1: plataforma giratoria; cálculo analítico ➕

Las bases B y B’ son las mismas del ejemplo C2-1.1.

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B} = \vector{-\rs \ddot\psi sin\psi - \rs \dot\psi^2cos\psi}{\rs\ddot\psi cos\psi - \rs \dot\psi^2sin\psi}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'} + \braq{\velang{B'}{R} \times \vel{Q}{R}}{B} = \vector{0}{\rs\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi} \times \vector{0}{\rs\dot\psi}{0} = \vector{-\rs\dot\psi^2}{\rs\ddot\psi}{0} }[/math]

✏️ Ejemplo C2-2.2: péndulo de Euler; cálculo geométrico

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El cálculo de la aceleración de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto al suelo (R) es laborioso porque la velocidad [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] proviene de la suma de dos términos: [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R} + \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math].

• [math]\displaystyle{ \dert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R} }[/math]: dirección constante (horizontal), valor [math]\displaystyle{ (\dot x) }[/math] variable. Su derivada [math]\displaystyle{ \ddert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R} }[/math] , pues, será horizontal y de valor [math]\displaystyle{ \ddot x }[/math].
• [math]\displaystyle{ \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math]: dirección perpendicular a la barra y por tanto variable; valor [math]\displaystyle{ \Ls\dot\psi }[/math] variable. Su derivada [math]\displaystyle{ \ddert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] , pues, tendrá una parte perpendicular a [math]\displaystyle{ \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] (y por tanto paralela a la barra) de valor [math]\displaystyle{ \Ls\dot\psi\cdot\dot\psi }[/math] , y una parte paralela a [math]\displaystyle{ \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] (y por tanto perpendicular a la barra) de valor [math]\displaystyle{ \Ls\ddot\psi }[/math].

Ejemplo C2-2.2: péndulo de Euler; cálculo analítico ➕

Las bases B y B’ son las mismas del ejemplo C2-1.2.

Aceleración de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a BL:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B} = \vector{\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls \dot\psi^2 sin\psi}{\Ls \ddot\psi sin\psi +\Ls \dot\psi^2 cos\psi}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B'}+ \braq{\velang{B'}{BL}\times \OQvec}{B} = \vector{0}{\Ls\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{0}{\Ls\dot\psi}{0} = \vector{-\Ls\dot\psi^2}{\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]

Aceleración de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B}=\vector{\ddot x+\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls\dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi+\Ls\dot\psi^2cos\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B'}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B}=\vector{\ddot x sin\psi+\dot x\dot\psi cos\psi}{\ddot x cos\psi-\dot x\dot\psi sin\psi +\Ls\ddot\psi}{0}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot x sin\psi}{\dot x cos\psi+\Ls\dot\psi}{0}=\vector{\ddot x sin\psi - \Ls \dot\psi^2}{\ddot x cos\psi+\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]

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