C2. Movimiento de un sistema mecánico

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\boldsymbol\alpha}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textrm{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{x}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\dth}{\dot\theta} \newcommand{\ddth}{\ddot\theta} \newcommand{\sth}{\sin{\theta}} \newcommand{\cth}{\cos{\theta}} \definecolor{blau}{RGB}{39, 127, 255} \definecolor{verd}{RGB}{9, 131, 9} }[/math]

C2.1 Velocidad de una partícula

La velocidad de una partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (o de un punto que pertenece a un sólido) respecto a una referencia R, [math]\displaystyle{ \vvec_{\Rs}(\Qs) }[/math], es el cambio del vector de posición a lo largo del tiempo. Matemáticamente, es la derivada temporal de un vector de posición (relativo a R). Dos vectores de posición distintos ([math]\displaystyle{ \overline{\Or\Qs} }[/math], [math]\displaystyle{ \overline{\Os'_\Rs\Qs} }[/math]) dan lugar a la misma velocidad porque los puntos [math]\displaystyle{ \Os_\Rs }[/math] y [math]\displaystyle{ \Os'_\Rs }[/math] son fijos entre sí y fijos a la referencia, y por tanto [math]\displaystyle{ \overline{\Os_\Rs\Os'_\Rs} }[/math] es constante en R:

[math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) = \dert{\vec{\Os_{\Rs}\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Os_{\Rs}\Os_{\Rs}'}}{R} + \dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R} }[/math]

Es importante recordar que la derivada de un vector depende de la referencia en la que se evalúa. Por eso, en las ecuaciones anteriores se especifica la referencia en la que se deriva mediante un subíndice R.

La derivación temporal de un vector respecto a una referencia R evalúa el cambio de las características del vector (dirección y valor) entre dos instantes consecutivos muy cercanos, separados por un diferencial de tiempo. Por tanto, la velocidad [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) }[/math] es distinta de cero cuando el valor del vector de posición, o su dirección o ambas cosas cambian.

✏️ Ejemplo C2-1.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico

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La plataforma (RP) gira alrededor de un eje perpendicular al suelo (R). El movimiento de un punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] de la periferia de la plataforma es distinto según si se observa desde el suelo o desde la plataforma.

El centro de la plataforma ([math]\displaystyle{ \Os }[/math]) es fijo a ambas referencias. Por tanto, [math]\displaystyle{ \vec{\Os\Qs} }[/math] es un vector de posición para el punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] tanto en la referencia R como en la referencia RP. Es evidente que [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs)\neq \vec{0} }[/math] y [math]\displaystyle{ \vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)= \vec{0} }[/math], aunque el vector que se deriva es el mismo.

Ya que [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] es el radio r de la plataforma, tiene valor constante. Por tanto, la derivada de [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] en cualquier referencia sólo puede estar asociada a un cambio de dirección.

Para evaluar el cambio de orientación de [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] respecto al suelo o a la plataforma, hay que definir un ángulo entre una recta fija a la referencia (recta de “salida”) y el vector [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] (recta de “llegada”). Para que quede clara la recta origen, representamos la recta de “salida” como la dirección del brazo de un observador situado en la referencia (y, por tanto, que no se mueve respecto a ella).

[math]\displaystyle{ \psi(t)\neq\psi(t+dt) \implies \OQvec }[/math] cambia de dirección respecto a R [math]\displaystyle{ \implies \textcolor{blau}{\vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{blau}{) \neq \vec{0}} }[/math]

De acuerdo con lo que se ha visto en la sección V.1, [math]\displaystyle{ \textcolor{blau}{\vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{blau}{)} }[/math] es perpendicular a [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math], y su valor es el módulo de [math]\displaystyle{ \OQvec(\textrm{r}) }[/math] por la velocidad de cambio de orientación de [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] respecto a R [math]\displaystyle{ (\dot{\psi}) }[/math]:

Velocidad de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relativa a la plataforma (RP):

[math]\displaystyle{ \psi(t)=\psi(t+dt) \implies \OQvec }[/math] no cambia de dirección respecto a RP [math]\displaystyle{ \textcolor{verd}{\implies \vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{verd}{) = \vec{0}} }[/math]

Ejemplo C2-1.1: plataforma giratoria; cálculo analítico ➕

Las dos bases vectoriales lógicas para hacer los cálculos son:

• Base B (1,2,3) fija respecto a R (y por tanto móvil en RP): [math]\displaystyle{ \velang{B}{R}=\vec{0},\velang{B}{RP}= -\vec{\dot{\psi}} }[/math]
• Base B' (1',2',3') fija respecto a P (y por tanto móvil en R): [math]\displaystyle{ \velang{B'}{RP}=\vec{0},\velang{B'}{R} = \vec{\dot{\psi}} }[/math]

Proyección del vector de posición [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] en las dos bases:

[math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B}=\vector{rcos\psi}{rsin\psi}{0}, \: \: \braq{\OQvec}{B'}=\vector{r}{0}{0} }[/math]

Velocidad de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a R:

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_\Rs(\Qs)}{B} = \braq{\dert{\OQvec}{R}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B} = \vector{-r\dot \psi sin\psi}{r\dot{\psi} cos\psi}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_\Rs(\Qs)}{B'}=\braq{\dert{\OQvec}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B'}=\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B'}=\vector{0}{0}{\dot\psi} \times \vector{r}{0}{0}= \vector{0}{r\dot\psi}{0} }[/math]

Velocitat de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de RP:

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)}{B} =\braq{\dert{\OQvec}{RP}}{B}= \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B}+\braq{\velang{B}{RP}\times \OQvec}{B}=\vector{-r\dot\psi sin\psi}{r\dot\psi cos\psi}{0}+ \vector{0}{0}{-\dot\psi}\times\vector{rcos\psi}{rsin\psi}{0}= \vector{0}{0}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)}{B'} =\braq{\dert{\OQvec}{RP}}{B'}= \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{RP}\times \OQvec}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'} = \vector{0}{0}{0} }[/math]

✏️ Exemple C2-1.2: pèndol d'Euler

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L’extrem [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] del pèndol d’Euler descriu un moviment circular respecte del bloc. La velocitat associada [math]\displaystyle{ \vel{Q}{BL} = \dert{\vecbf{CQ}}{BL} }[/math] s’obté de manera anàloga a l’exemple anterior.

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L’angle [math]\displaystyle{ \psi }[/math] orienta la barra tant respecte del bloc com respecte del terra, doncs el seu origen (recta vertical) té orientació constant a les dues referències.

La velocitat de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte del terra es pot obtenir derivant el vector [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Qs} (=\vec{\Or\Cbf}+\vecbf{CQ}) }[/math] respecte del terra:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R}+ \dert{\vec{\Cbf\Qs}}{R} }[/math]

El vector [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Cbf} }[/math] té direcció constant a R però valor variable, per tant la seva derivada és paral·lela a [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Cbf} }[/math] i de valor [math]\displaystyle{ \dot x }[/math] . El vector [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math] , en canvi, té valor constant L però direcció variable. Per tant, la seva derivada és perpendicular a [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math], i el seu valor és el mòdul de [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math] per la velocitat de canvi d’orientació de [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math] respecte de R ([math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math]):

thumb|center|300px|link=

La direcció de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] no és cap de les direccions associades al sistema (ni la vertical, ni l’horitzontal, ni paral·lela a la barra ni perpendicular a la barra). Per aquest motiu, és millor deixar-la dibuixada com a suma dels dos termes [math]\displaystyle{ \dot x }[/math] i [math]\displaystyle{ L\dot\psi }[/math] , les direccions dels quals sí corresponen a una d’aquestes direccions singulars.

És interessant veure que el primer terme de l’expressió [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R}+\dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] correspon a la velocitat de [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] respecte del terra [math]\displaystyle{ \left(\vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R} \right) }[/math] , mentre que el segon no té interpretació física: el punt [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] no és fix a R, i per tant no és un vector de posició en aquesta referència.

Càlcul analític ➕

Les dues bases vectorials lògiques per fer els càlculs són:

thumb|right|200px|link=

• Base B (1,2,3) fixa respecte de R i de BL: [math]\displaystyle{ \Omegavec_\Rs^\Bs=\vec{0},\Omegavec_{\Bs\Ls}^\Bs = \vec{0} }[/math]
• Base B' (1',2',3') fixa respecte de la barra, i per tant mòbil a R i BL: [math]\displaystyle{ \velang{P}{B'}=\vec{0} }[/math], [math]\displaystyle{ \velang{RL}{B'} = -\vec{\dot{\psi}} }[/math]

Projecció del vector de posició [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] en les dues bases:

[math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B} = \vector{x+\Ls \sin{\psi}}{\Ls \cos{\psi}}{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: }[/math], [math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B'} = \vector{\Ls+x \sin{\psi}}{x\cos{\psi}}{0} }[/math]

Velocitat de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de R:

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{R}}{B} = \braq{\dert{\OQvec}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B} = \vector{\dot x+\Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls\dot\psi sin\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'} + \braq{\velang{B'}{R} \times \OQvec}{B'} = \vector{\dot x sin\psi+\ x\dot\psi cos\psi}{\dot x cos\psi - x \dot\psi sin \psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{\Ls+x sin\psi}{x cos\psi}{0}=\vector{\dot x sin \psi}{\dot x cos\psi + \Ls\dot\psi}{0} }[/math]

Si es vol calcular la velocitat de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de BL, el vector de posició a derivar és [math]\displaystyle{ \vecbf{CQ} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \braq{\vecbf{CQ}}{B} = \vector{\Ls sin \psi}{-\Ls \cos{\psi}}{0}, \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \braq{\vecbf{CQ}}{B'}=\vector{\Ls}{0}{0} }[/math]

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