Diferencia entre revisiones de «C1. Configuración de un sistema mecánico»
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Revisión del 11:35 25 ene 2025
[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} }[/math]
C1.1 Posición de una partícula
La posición de una partícula (un punto) [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en referencia R se puede describir mediante un vector de posición [math]\displaystyle{ \overline{\Os_\Rs\Qs} }[/math], donde [math]\displaystyle{ \Os_\Rs }[/math] ha de ser un punto fijo a R (un punto que pertenezca a la referencia R). Este vector no está unívocamente definido, ya que su origen puede ser cualquier punto de R (Figura C1.1).
Una alternativa a la descripción vectorial de la posición es la descripción escalar mediante tres coordenadas (cartesianas, polares...). En este caso, también es necesario escoger un origen de coordenadas que puede ser cualquier punto de R (Figura C1.2). En este curso, no obstante, se utiliza la descripción vectorial.
En mecánica, interesa sobre todo la evolución de la posición a lo largo del tiempo (el movimiento). Una partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] se mueve respecto a una referencia R cuando, a lo largo del tiempo, su posición en R cambia o, lo que es lo mismo, pasa por distintos puntos de R. El conjunto de puntos de R por los que pasa [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] constituye la trayectoria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en la referencia R (la trayectoria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relativa a R).
C1.2 Configuración de un sólido rígido
Cuando hay que describir la configuración de un sólido rígido, la posición de solo uno de sus puntos no es suficiente. Una opción es dar la posición de tres puntos [math]\displaystyle{ \Ps }[/math], [math]\displaystyle{ \Qs }[/math], [math]\displaystyle{ \textbf{R} }[/math] no alineados. Pero es evidente que estos vectores cumplen unas restricciones: ya que los puntos de un sólido rígido no se pueden acercar ni alejar entre sí, las diferencias de estos vectores dos a dos son vectores de módulo constante (Figura C1.4):
En la descripción escalar de la posición, si se proporcionan tres coordenadas por punto, la configuración del sólido se define mediante 9 coordenadas, pero como hay 3 relaciones entre ellas, solo 6 coordenadas son estrictamente necesarias (Figura C1.5).
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Hay múltiples opciones para definir la configuración de un sólido rígido, pero en este curso se opta por definir la posición de uno de sus puntos y la orientación del sólido. Así como la posición de un punto se puede dar mediante un vector o tres coordenadas escalares, la orientación solo acepta una descripción escalar.
C1.3 Orientación de un sólido rígido con movimiento plano
Se dice que un sólido tiene movimiento plano respecto a una referencia cuando todos sus puntos describen trayectorias contenidas en planos paralelos). En este caso, su orientación se puede describir mediante un ángulo definido por la intersección entre una dirección fija a la referencia (dirección “de salida”) y otra fija al sólido (dirección “de llegada”), ambas contenidas en el plano del movimiento. Ya que estas direcciones no están definidas de manera unívoca, el ángulo de orientación tampoco (Figura C1.6).
La flecha vertical (g [math]\displaystyle{ \Downarrow }[/math]) indica la atracción gravitatoria terrestre.
Quan l’angle d’orientació canvia de valor al llarg del temps, es diu que el sòlid té un moviment de rotació simple al voltant d’un eix perpendicular al pla del moviment i en sentit horari o antihorari, segons s’hagi definit l’angle d’orientació (Figura C1.7).
C1.4 Orientación de un sólido rígido con movimiento en el espacio
La descripción de la orientación de un sólido en el espacio es más complicada, y hay diversas maneras de hacerla. Dos opciones son las rotaciones alrededor de direcciones fijas y las rotaciones de Euler.
Rotaciones alrededor de direcciones fijas
Se trata de tres rotaciones simples alrededor de tres direcciones permanentemente ortogonales entre sí y que no cambian de orientación respecto a la referencia R (direcciones “fijas”). Una característica de este método de orientación de un sólido es que, para unos mismos valores de los ángulos y partiendo de una misma orientación inicial, la orientación final del sólido depende del orden (secuencia) en que se han introducido. Es un método de orientación secuencial.
La Figura C1.8 lo ilustra para un objeto triangular sometido a tres rotaciones de 90[math]\displaystyle{ \deg }[/math] alrededor de direcciones fijas a una referencia R.
✏️ Ejemplo C1-4.1: el ratón mecánico de un ordenador
- En un ratón mecánico de ordenador, la bola puede girar respecto a la carcasa del ratón (R) alrededor de dos ejes ortogonales fijos a la carcasa. El ángulo girado alrededor de cada uno de estos dos ejes es proporcional al que giran las dos ruedecitas que están en contacto sin deslizamiento con la bola.
Rotaciones de Euler
Las rotaciones de Euler son una alternativa para orientar sólidos en la que la orientación final no depende de la secuencia en la que se introducen las rotaciones. Se utilizan mucho en ingeniería mecánica porque buena parte de los sistemas mecánicos incluyen ejes físicos (asociados a enlaces entre los sólidos) que permiten este tipo de rotaciones.
Se trata de 3 rotaciones simples encadenadas (en serie), de manera que la rotación alrededor del primer eje hace mover los otros dos, y la rotación alrededor del segundo hace mover el tercero. En este curso, en general se asocian las variables ([math]\displaystyle{ \psi }[/math], [math]\displaystyle{ \theta }[/math],[math]\displaystyle{ \varphi }[/math]) a las tres rotaciones:
- 1a rotación [math]\displaystyle{ (\psi) }[/math]: alrededor de un eje de orientación invariante respecto a R (eje fijo a la referencia).
- 2a rotación [math]\displaystyle{ (\theta) }[/math]: alrededor de un eje que gira a causa de [math]\displaystyle{ (\psi) }[/math] respecto a R.
- 3a rotación [math]\displaystyle{ (\varphi) }[/math]: alrededor de un eje de orientación invariante respecto al sólido (eje que gira a causa de [math]\displaystyle{ \psi }[/math] y [math]\displaystyle{ \theta }[/math] respecto a R).
La Figura C1.9 muestra los ejes de estas rotaciones en un giroscopio, formado por un soporte fijo al suelo (R), una horquilla articulada respecto al soporte, un brazo articulado respecto a la horquilla, y un volante articulado respecto al brazo. Las rotaciones de los distintos elementos respecto al suelo son:
- Horquilla: rotación [math]\displaystyle{ \psi }[/math] alrededor del eje vertical fijo a R; el ángulo [math]\displaystyle{ \psi }[/math] está definido en el plano horizontal.
- Brazo: rotación [math]\displaystyle{ \psi }[/math], y rotación [math]\displaystyle{ \theta }[/math] alrededor de un eje afectado de la rotación [math]\displaystyle{ \psi }[/math]; el ángulo [math]\displaystyle{ \theta }[/math] está definido en el plano vertical que contiene el brazo.
- Volante: rotación [math]\displaystyle{ \psi }[/math], rotación [math]\displaystyle{ \theta }[/math], y rotación [math]\displaystyle{ (\varphi) }[/math] alrededor de un eje afectado de las rotaciones [math]\displaystyle{ \psi }[/math] y [math]\displaystyle{ \theta }[/math] (y que es de orientación constante respecto al volante); el ángulo [math]\displaystyle{ (\varphi) }[/math] está definido en el plano del volante.
Una característica de los ejes de Euler es que el ángulo entre el primero y el segundo ([math]\displaystyle{ \beta_{\psi\theta} }[/math]), y el ángulo
entre el segundo y el tercero ([math]\displaystyle{ \beta_{\theta\varphi} }[/math]), son constantes. En el caso del giroscopio, estos ángulos son [math]\displaystyle{ \beta_{\psi\theta} = \beta_{\theta\varphi } = }[/math] 90[math]\displaystyle{ \deg. }[/math]. En cambio, no es el caso del ángulo entre el primero y el tercero, que en el caso del giroscopio de la figura puede variar dentro de un rango aproximado entre 30[math]\displaystyle{ \deg }[/math] i 150[math]\displaystyle{ \deg }[/math].
Si los ángulos [math]\displaystyle{ \beta_{\psi\theta} }[/math] y [math]\displaystyle{ \beta_{\theta\varphi} }[/math] son distintos de 90[math]\displaystyle{ \deg }[/math], el sólido no puede orientarse de manera general en el espacio (habría configuraciones inalcanzables). Por eso, habitualmente el primer y el segundo eje de Euler son perpendiculares, y el segundo y el tercero también.
La descripción de la orientación de un sólido que no forma parte de un sistema multisólido (por ejemplo, un objeto flotando en el agua, o una pelota en el aire) es más complicada de visualizar ya que no tiene los ejes de las rotaciones físicamente presentes. En este caso, la manera de proceder depende de si es un sólido que tiene un movimiento característico (como una peonza con la que se juega de la manera habitual) o si no lo tiene (como un dado en un juego de azar).
En el primer caso, los ejes pueden corresponder a rotaciones características del objeto. Cuando se trata de una peonza, la rotación rápida alrededor de su eje de simetría de revolución (que se introduce como condición inicial del movimiento) sugiere escoger este eje como tercer eje de Euler. Si esta rotación inicial es suficientemente rápida, la peonza tarda bastante en caerse al suelo, y lo que hace el eje de simetría es precesionar lentamente alrededor de un eje vertical. Este eje vertical se puede escoger como eje de la primera rotación de Euler. La segunda rotación corresponde al acercamiento del eje de simetría hacia el suelo (Figura C1.10). En realidad, el movimiento de una peonza es idéntico al movimiento del volante del giroscopio.
En el caso de un objeto sin movimiento característico, lo más sencillo es escoger libremente el primer y el tercer eje (fijo a la referencia y fijo al objeto, respectivamente). El segundo se determina de acuerdo con los ángulos constantes que se quiere que forme con los otros dos ejes ([math]\displaystyle{ \beta_{\psi\theta} }[/math], [math]\displaystyle{ \beta_{\theta\varphi} }[/math]). Si se decide que sean de 90[math]\displaystyle{ \deg }[/math], el segundo eje es la intersección del plano ortogonal al primero con el plano ortogonal al tercero.
✏️ Ejemplo C1-4.2: orientación de un dado
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- Se puede comprobar la no secuencialidad de este método de orientación partiendo de una misma orientación inicial y introduciendo incrementos de cada uno de ellos de 90[math]\displaystyle{ \deg }[/math] según secuencias diferentes. Si se hace correctamente, se llega siempre a la misma orientación final.
- NOTA: En un dado, la suma de los números en caras opuestas es siempre 7.