D5. Tensor de inercia

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\matriz}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} }[/math]

Los Teoremas Vectoriales relacionan el torsor externo de interacción sobre un sistema [math]\displaystyle{ \sum\overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} }[/math] con el cambio a lo largo del tiempo de vectores que dependen de cómo está distribuida la masa en el sistema (geometría de masas) y de su movimiento. En el TQM, este vector es la cantidad de movimiento del sistema, mientras que en el TMC es el momento cinético (o momento angular) del sistema. En esta unidad se dan las herramientas necesarias para poder describir la geometría de masas de un sólido rígido y calcular estos dos vectores.

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D5.1 Centro de masas

El centro de masas de un sistema mecánico es un punto cuya cinemática es una cinemática ponderada de todos los elementos del sistema que tienen masa, y en este curso se representa con la letra G.

Figura D5.1 Centro de masas de un sistema de masa constante

Para el caso de un sólido rígido S homogéneo, la localización de G es fácil cuando el sólido tiene simetrías importantes (Figura D5.2).

Figura D5.2 Centro de masas de sólidos con simetrías importantes

Cuando no es el caso, hay que proceder a la integración para obtenerlo. Si M es la masa total del sólido: [math]\displaystyle{ \overline{\Os_\Rs\Gs}=\frac{1}{\mathrm{M}} \int_\mathrm{S}\mathrm{dm}(\Ps)\overline{\Os_\Rs\Ps} }[/math]

La Tabla muestra el centro de masas de las geometrías más habituales. A partir de esta información y para sólidos S formados por varios de estos elementos [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\is }[/math], la posición del centro de masas se puede hallar como media ponderada de la posición de cada [math]\displaystyle{ \mathrm{G}_\is }[/math].

✏️ EJEMPLO D5.1: cáscara

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El sólido S está formado per una cáscara cilíndrica y una semicáscara esférica, ambas homogéneas y de la misma densidad superficial [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]. Por simetría, las coordenadas [math]\displaystyle{ (\xs,\ys) }[/math] del centro de masas G total son nulas: [math]\displaystyle{ (\xs_\mathrm{G},\ys_\mathrm{G})=(0,0) }[/math]. La coordenada z de la cáscara cilíndrica es [math]\displaystyle{ \zs_\mathrm{Gcil}=\Rs/2 }[/math]. La de la semicáscara esférica se puede hallar a partir de la Tablaa:

[math]\displaystyle{ \zs_\mathrm{Gesf}=\Rs+(\Rs/2)=3\Rs/2 }[/math].

La masa de cada elemento es el producto de la densidad superficial por la superficie del elemento:

[math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{cil}=\sigma 2 \pi \Rs^2 }[/math] , [math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{esf}=\sigma \frac{1}{2} 4 \pi \Rs^2= \sigma 2 \pi \Rs^2 }[/math]

Por tanto: [math]\displaystyle{ \zs_\mathrm{G}=\frac{\ms_\mathrm{esf}\zs_\mathrm{Gesf}+\ms_\mathrm{cil}\zs_\mathrm{Gcil}}{\ms_\mathrm{esf}+\ms_\mathrm{cil}}=\frac{2\pi\Rs^2(3/2)\Rs +2\pi\Rs^2(1/2)\Rs}{2\pi\Rs^2+2\pi\Rs^2}=\Rs }[/math]

✏️ EJEMPLO D5.2: placa doblada

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El sólido S es una placa triangular homogénea, de densidad superficial [math]\displaystyle{ \sigma }[/math], doblada. El centro de masas se puede hallar como media ponderada del centro de masas de una placa cuadrada de lado 6L y dos triangulares de catetos 6L:

[math]\displaystyle{ (\xs_1,\ys_1)=(3\Ls,3\Ls) \hspace{3cm} (\xs_2,\ys_2)=(8\Ls,2\Ls) \hspace{3cm} (\xs_3,\ys_3)=(2\Ls,4\Ls) }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{1cm} \ms_1=(6\Ls)(6\Ls)\sigma=36\Ls^2\sigma \hspace{1.5cm} \ms_2=(1/2)(6\Ls)(6\Ls)\sigma=18\Ls^2\sigma \hspace{1cm} \ms_3=(1/2)(6\Ls)(6\Ls)\sigma=18 \Ls ^2 \sigma }[/math]

Por tanto: [math]\displaystyle{ (\xs_\mathrm{G},\ys_\mathrm{G})=\frac{36\sigma(3,3)\Ls^3+ 18\sigma (8,2)\Ls^3 + 18\sigma (2,4)\Ls^3}{36\Ls^2\sigma+18\Ls^2\sigma+ 18 \Ls^2 \sigma}=(4,3)\Ls. }[/math]

✏️ EJEMPLO D5.3: cilindro agujereado

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El sólido es un cilindro homogéneo agujereado de densidad [math]\displaystyle{ \rho }[/math], y se puede considerar como superposición de un cilindro macizo de altura 4L y radio 2r, y un cilindro de masa negativa, de altura 2L y radio r. Por simetría, [math]\displaystyle{ (\xs_\mathrm{G},\ys_\mathrm{G})=(0,0) }[/math]. La coordenada z se puede hallar como promedio ponderado de la coordenada z de dos cilindros: Masa del cilindro macizo y del agujero por separado:

[math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{macizo}=\mathrm{V}_\mathrm{macizo}\rho=\pi(2\rs)^24\Ls\rho=16\pi\Ls \rs^2\rho \quad , \quad \ms_\mathrm{agujero}=\mathrm{V}_\mathrm{agujero} \rho=\pi\rs^22 \Ls\ \rho=2\pi\Ls \rs^2\rho }[/math]

Por tanto:

[math]\displaystyle{ \zs_\mathrm{G}=\frac{\ms_\mathrm{macizo}\zs_\mathrm{macizo}- \ms_ \mathrm{agujero} \zs_\mathrm{agujero}}{\ms_\mathrm{macizo} -\ms_\mathrm{agujero}}= \frac{16\pi\Ls\rs^2\rho \cdot 2\Ls - 2\pi\Ls \rs^2 \rho \cdot 3\Ls}{16\pi\Ls\rs^2\rho-2\pi\Ls\rs^2\rho}=\frac{13}{7}\Ls. }[/math]

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D5.2 Tensor de inercia

El cálculo del momento cinético de un sólido S en un punto Q de este sólido se puede hacer de manera ágil a partir de una matriz simétrica definida positiva [math]\displaystyle{ \mathrm{II}(\Qs) }[/math], llamada tensor de inercia de S en el punto Q, y de su velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{RTQ} }[/math] (que es igual a [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] ya que la referencia RTQ se traslada respecto a una galileana):

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{Q})=\int_{\mathrm{s}} \overline{\mathbf{Q P}} \times \mathrm{dm}(\mathbf{P}) \overline{\mathbf{v}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{P}) \equiv \mathrm{II}(\mathbf{Q}) \bar{\Omega}_{\text {RTQ }}^{\mathrm{s}}=\mathrm{II}(\mathbf{Q}) \bar{\Omega}_{\text {Gal }}^{\mathrm{s}} . }[/math]

La relación entre el momento cinético [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) }[/math] y la velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] no es una simple proporcionalidad ya que [math]\displaystyle{ \mathrm{II}(\Qs) }[/math] es una matriz. Por este motivo, estos dos vectores no son paralelos en general (Figura D5.3).

Figura D5.3 Momento cinético y velocidad angular de un sólido rígido no son paralelos en general

Los elementos de [math]\displaystyle{ \mathrm{II}(\Qs) }[/math] en una base vectorial B de ejes 123 tienen que ver con la distribución de masa de S alrededor de unos ejes de coordenadas con origen en Q (Figura D5.4):

Figura D5.4 Tensor de inercia de un sólido

Los elementos de la diagonal ([math]\displaystyle{ \mathrm{I}_\mathrm{ii} }[/math]) se denominan momentos de inercia, y no pueden ser nunca negativos. Los de fuera de la diagonal ([math]\displaystyle{ \mathrm{I}_\mathrm{ii} }[/math]) son los productos de inercia, y pueden tener cualquier signo.

Si la base B es de orientación fija a S, los elementos de [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_\mathrm{ii} }[/math] son constantes. En este curso, se trabaja siempre con tensores de inercia de elementos constantes.

💭 Demostración ➕

Cuando el momento cinético de un sólido S se refiere a un punto Q que pertenece a este mismo sólido, se puede aplicar la cinemática del sólido rígido para relacionar la velocidad de todos los puntos de S con la del punto Q:

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{Q})=\int_{\mathrm{s}} \overline{\mathbf{Q P}} \times \mathrm{dm}(\mathbf{P}) \vel{P}{RTQ} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Ps, \Qs \in \mathrm{S} \quad \Rightarrow \quad \vel{P}{RTQ}=\vel{Q}{RTQ}+ \velang{S}{RTQ} \times \QPvec = \velang{S}{RTQ} \times \QPvec = -\QPvec \times \velang{S}{RTQ} }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{Q})=\int_{\mathrm{s}} \QPvec \times (\QPvec \times \velang{S}{RTQ})\mathrm{dm}(\Ps) }[/math]

Si se expresa el vector [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] en una base B de ejes (1,2,3):

[math]\displaystyle{ \braq{\QPvec \times \velang{S}{RTQ}}{B}=\vector{\mathrm{QP}_1}{\mathrm{QP}_2}{\mathrm{QP}_3} \times \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3} \equiv \vector{\xs_1}{\xs_2}{\xs_3} \times \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}= \vector{\xs_2\Omega_3-\xs_3\Omega_2}{\xs_3\Omega_1-\xs_1\Omega_3}{\xs_1\Omega_2-\xs_2\Omega_1}=\matriz{0}{-\xs_3}{\xs_2}{\xs_3}{0}{-\xs_1}{-\xs_2}{\xs_1}{0} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3} , }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\QPvec \times (\QPvec \times \velang{S}{RTQ})}{B}= \matriz{0}{-\xs_3}{\xs_2}{\xs_3}{0}{-\xs_1}{-\xs_2}{\xs_1}{0} \matriz{0}{-\xs_3}{\xs_2}{\xs_3}{0}{-\xs_1}{-\xs_2}{\xs_1}{0} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3} = - \matriz{\xs_2^2 + \xs_3^2}{-\xs_1\xs_2}{-\xs_1\xs_3}{-\xs_1\xs_2}{\xs_1^2 + \xs_3^2}{-\xs_2\xs_3}{-\xs_1\xs_3}{-\xs_2\xs_3}{\xs_1^2 + \xs_2^2} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}. }[/math]

Finalmente: [math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text {RTQ }}(\Qs)}{B}=\matriz{\int_{\mathrm{s}}(\xs_2^2 + \xs_3^2)\mathrm{dm}(\Ps)}{-\int_{\mathrm{s}}(\xs_1\xs_2)\mathrm{dm}(\Ps)}{-\int_{\mathrm{s}}(\xs_1\xs_3)\mathrm{dm}(\Ps)}{-\int_{\mathrm{s}}(\xs_1\xs_2)\mathrm{dm}(\Ps)}{\int_{\mathrm{s}}(\xs_1^2 + \xs_3^2)\mathrm{dm}(\Ps)}{-\int_{\mathrm{s}}(\xs_2\xs_3)\mathrm{dm}(\Ps)} {-\int_{\mathrm{s}}(\xs_1\xs_3)\mathrm{dm}(\Ps)} {-\int_{\mathrm{s}}(\xs_2\xs_3\mathrm{dm}(\Ps)}{\int_{\mathrm{s}}(\xs_1^2 + \xs_2^2)\mathrm{dm}(\Ps)} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3} \equiv \Bigr[\mathrm{II}(\Qs) \Bigr]_\mathrm{B} }[/math]

✏️ Ejemplo D5.4: sólido formado por de partículas

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El sólido rígido está formado por seis partículas de masa m unidas por barras rígidas de masa despreciable. Al tratarse de una distribución de masa discreta, no hay que hacer ninguna integral para calcular el tensor de inercia. Los momentos de inercia del tensor en O para la base 123 son:

[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{11}=6\ms\Ls^2 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribución de las partículas sobre el eje } 2: 2 \cdot \ms\Ls^2 \\ \bullet \text { contribución de las partículas sobre el eje } 3: 2 \cdot \ms\Ls^2 \\ \bullet \text { contribución de las partículas de los cuadrantes } 13: 2 \cdot \ms\Ls^2 \end{array}\right. }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{22}=6\ms\Ls^2 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribución de las partículas sobre el eje } 2: 0\\ \bullet \text { contribución de las partículas sobre el eje } 3: 2 \cdot \ms\Ls^2 \\ \bullet \text { contribución de las partículas de los cuadrantes } 13: 2 \cdot \ms(\sqrt{2}\Ls)^2 \end{array}\right. }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{33}=4\ms\Ls^2 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribución de las partículas sobre el eje } 2: 2 \cdot \ms\Ls^2 \\ \bullet \text { contribución de las partículas sobre el eje } 3: 0 \\ \bullet \text { contribución de las partículas de los cuadrantes } 13: 2 \cdot \ms\Ls^2 \end{array}\right. }[/math]

Los productos de inercia son:

[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{12}=0 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribución de las partículas sobre el eje } 2 \text{y el eje} 3: 0 \text{ (porque } \xs_1=0)\\ \bullet \text { contribución de las partículas de los cuadrantes } 13: 0 \text{ (porque } \xs_2=0) \end{array}\right. }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{13}=2\ms\Ls^2 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribución de las partículas sobre el eje } 2 \text{ y el eje } 3 : \xs_1=0 \Rightarrow 0 \\ \bullet \text { contribución de las partículas del cuadrante }1^+3^-: \xs_1=\Ls, \xs_3=-\Ls \Rightarrow \ms\Ls^2 \\ \bullet \text { contribución de las partículas del cuadrante }1^-3^+: \xs_1=-\Ls, \xs_3=\Ls \Rightarrow \ms\Ls^2 \end{array}\right. }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{23}=0 \left\{\begin{array}{l} \bullet \text { contribución de las partículas sobre el eje } 2: 0 \text{ (porque} \xs_3=0)\\ \bullet \text { contribució de les partícules sobre l'eix } 3: 0 \text{ (porque} \xs_2=0)\\ \bullet \text { contribución de las partículas de los cuadrantes } 13: 0 \text{ (porque} \xs_2=0)\\ \end{array}\right. }[/math]

Finalmente:[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{6}{0}{2}{0}{6}{0}{2}{0}{4} \ms \Ls^2 }[/math]

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La Tabla recoge información sobre momentos y productos de inercia de sólidos continuos (no formados por partículas, como el del EJEMPLO D5.3 ) de geometría sencilla.

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D5.3 Ejes principales de inercia

La matriz [math]\displaystyle{ \mathrm{II}(\Qs) }[/math] cambia de aspecto cuando se cambia de base: [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Qs) \Bigr]_{\mathrm{B}1} \neq \Bigr[\mathrm{II}(\Qs) \Bigr]_{\mathrm{B}2} }[/math]. Si se trabaja en la base propia BP de la matriz (la que tiene los ejes en la dirección de los vectores propios), [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Qs) \Bigr]_\mathrm{BP} }[/math] es diagonal:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Qs) \Bigr]_\mathrm{BP}= \matriz{\mathrm{I}_{11}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{33}}. }[/math]

Las direcciones de la base BP que pasan por Q se llaman direcciones principales de inercia para el punto Q (DPI para Q) o ejes principales de inercia (la palabra “eje” da a entender que es una dirección que pasa por un punto concreto), y los momentos de inercia correspondientes son los momentos principales para el punto Q. Si la velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] es paralela a uno de los ejes principales, el momento cinético [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) }[/math] y la velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] son paralelos (Figura D5.5).

Figura D5.5 Momento cinético cuando la dirección de la velocidad angular es la de una DPI

✏️ EJEMPLO D5.5: sólido hecho de partículas

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Consideremos una rotación general [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] del sólido discreto del EJEMPLO D5.4 . El momento cinético no resulta paralelo a la velocidad angular: [math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text {RTO }}(\Os)}{B}=\matriz{6}{0}{2}{0}{6}{0}{2}{0}{4}\ms \Ls^2 \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}= \vector{6\Omega_1 + 2\Omega_3}{6\Omega_2}{2\Omega_1 + 4\Omega_3}\ms \Ls^2 }[/math] El aspecto del tensor [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B} }[/math], sin embargo, pone de manifiesto que la dirección 2 es DPI para el punto O. Por tanto, si la velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] tiene esta dirección, [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os) }[/math] es paralelo a [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{S}{RTO}}{B}=\braq{\velang{S}{T}}{B}= \vector{0}{\Omega_2}{0} \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os)}{}=\vector{0}{6\Omega_2}{0} \ms \Ls^2 \quad \Rightarrow \quad \overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os) \parallel \velang{S}{T} }[/math]

Si [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] es de dirección 1 o 3, el paralelismo entre [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os) }[/math] y [math]\displaystyle{ \velang{S}{Gal} }[/math] se pierde:

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{S}{RTO}}{B}=\braq{\velang{S}{T}}{B}= \vector{\Omega_1}{0}{0} \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os)}{}=\vector{6\Omega_1}{0}{2\Omega_1} \ms \Ls^2 \quad \Rightarrow \quad \overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os) }[/math] en el cuadrante [math]\displaystyle{ 1^+3^- }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{S}{RTO}}{B}=\braq{\velang{S}{T}}{B}= \vector{0}{0}{\Omega_3} \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os)}{}=\vector{2\Omega_3}{0}{4\Omega_3} \ms \Ls^2 \quad \Rightarrow \quad \overline{\mathbf{H}}_{\text{RTO }}(\Os) }[/math] en el cuadrante [math]\displaystyle{ 1^-3^+ }[/math]

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D5.4 Algunas propiedades relevantes del tensor de inercia

Cuando se trata de calcular el tensor de inercia de un sólido, es necesario hacer una evaluación cualitativa antes de recurrir a la Tabla, ya que en ésta solo se recoge una información mínima (no se da nunca la expresión de un tensor entero). En esta sección se presentan algunas propiedades generales que facilitan esta evaluación.

Quan es tracta de calcular el tensor d’inèrcia d’un sòlid, és necessari fer-ne una avaluació qualitativa abans de recórrer a la Taula, doncs en aquesta només s’hi recull una informació mínima (no es dóna mai l’expressió d’un tensor sencer). En aquesta secció es presenten algunes propietats generals que faciliten aquesta avaluació.

Propiedad 1: En un sólido plano (Figura D5.6), la dirección perpendicular al sólido (dirección k) es siempre principal de inercia ([math]\displaystyle{ \mathrm{I}_\mathrm{ik}=\mathrm{I}_\mathrm{jk}=0 }[/math]) para cualquier punto Q, y el momento de inercia correspondiente es suma de los otros dos (por el teorema de Pitágoras):

Figura D5.6 Sólido plano

Propiedad 2: En un sólido plano (Figura D5.7), el signo de la contribución de cada cuadrante ij al producto de inercia [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_\mathrm{ij}(\Qs) }[/math] es:

Figura D5.7 Sólido plano

Propiedad 3: En cualquier sólido, si hay simetría respecto al plano ij que pasa por un punto Q (Figura D4.8), la dirección k es principal de inercia para cualquier punto de este plano:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \xs_\is(\Ps)=\xs_\is (\Ps^{\prime)} \\ \xs_\js(\Ps)=\xs_\js (\Ps^{\prime}) \\ \xs_\ks(\Ps)=\xs_\ks (\Ps^{\prime}) \end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \mathrm{I}_\mathrm{i k}(\Qs \in \text { plano de simetría })=-\int_{\mathrm{s}} \xs_\is(\Ps) \xs_\ks(\Ps) \mathrm{dm}(\Ps)=0 \\ \mathrm{I}_\mathrm{j k}(\Qs \in \text { plano de simetría })=-\int_{\mathrm{s}} \xs_\js(\Ps) \xs_\ks(\Ps) \mathrm{dm}(\Ps)=0 \end{array}\right. }[/math]

Figura D5.7 Sólido con plano de simetría ij

✏️ EJEMPLO D5.6: sólido plano

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El sólido plano está formado por tres barras homogéneas del mismo material unidas a un marco de masa despreciable. figura plana contenida en el plano 23: por la propiedad 1, la dirección 1 es DPI, y [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{11}=\mathrm{I}_{22}+ \mathrm{I}_{33} }[/math]. [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{22}+ \mathrm{I}_{33}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{22}}{\mathrm{I}_{23}}{0}{\mathrm{I}_{23}}{\mathrm{I}_{33}} }[/math] por la propiedad 3, ya que el plano 13 es de simetría, la dirección 2 es DPI: [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{22}+ \mathrm{I}_{33}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{33}} }[/math]

Si tenemos en cuenta que la barra central no contribuye al momento de inercia [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{33} }[/math] porque está sobre el eje 3 y su distancia a éste es cero, es fácil ver que [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{22}\gt \mathrm{I}_{33} }[/math].

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Propiedad 4: Cuando un sólido tiene dos momentos principales de inercia (según direcciones ortogonales) iguales para un punto O ([math]\displaystyle{ \Is_\mathrm{ii} (\Os) = \Is_\mathrm{jj}(\Os) \equiv \Is , \Is_\mathrm{ij} (\Os)= 0 }[/math]), su tensor de inercia en O es invariante bajo rotaciones alrededor de la dirección k: [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{ijk}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{i'j'k} }[/math]. En efecto:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{ijk}= \matriz{\mathrm{I}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{kk}} }[/math]

Para relacionar [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{ijk} }[/math] y [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{i'j'k} }[/math], solo hay que transformar el cuadrante superior izquierdo (ya que el eje k es el mismo). Si [math]\displaystyle{ [\mathrm{S}] }[/math] es la matriz de cambio de base [math]\displaystyle{ (\is,\js) \rightarrow (\is',\js'): }[/math]

[math]\displaystyle{ \left[\begin{array}{l} \text { cuadrante } \\ \text { superior } \\ \text { izquierdo } \end{array}\right]_{\is' \js'}=[\mathrm{S}]^{-1}\left[\begin{array}{ll} \mathrm{I} & 0 \\ 0 & \mathrm{I} \end{array}\right][\mathrm{S}]=\mathrm{I}[\mathrm{S}]^{-1}\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right][\mathrm{S}]=\mathrm{I}[\mathrm{S}]^{-1}[\mathrm{S}]=\mathrm{I}\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \text {. } }[/math]

El sólido es un rotor simétrico para el punto O. Si su velocidad angular está contenida en el plano ij o es de dirección k, el momento cinético en [math]\displaystyle{ \Os ( \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)) }[/math] y la velocidad angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{RTO}(=\velang{S}{Gal}) }[/math] son paralelos.

✏️ EJEMPLO D5.7: rotor simétrico

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El sólido rígido homogéneo está formado por dos placas triangulares idénticas. figura plana contenida en el plano 12: por la propiedad 1, la dirección 3 es DPI, y [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{33}=\mathrm{I}_{11}+ \mathrm{I}_{22} }[/math]. [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{11}}{\mathrm{I}_{12}}{0}{\mathrm{I}_{12}}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{11}+\mathrm{I}_{22}} }[/math] [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{33}(\Os)=\mathrm{I}_{11}(\Os)+\mathrm{I}_{22}(\Os), \mathrm{I}_{13}(\Os)=\mathrm{I}_{23}(\Os)=0. }[/math]

En lo que se refiere a los momentos de inercia en los ejes 1 y 2, es fácil ver que son iguales: las distancias al eje 1 y al eje 2 de los dm del triángulo situado en el cuadrante derecho inferior ([math]\displaystyle{ \mathrm{dm}(\Ps) }[/math]) son iguales a las distancias al eje 2 y al eje 1, respectivamente, de los dm del triángulo situado en el cuadrante izquierdo inferior ([math]\displaystyle{ \mathrm{dm}(\Ps') }[/math]):

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \delta_1(\Ps)=\delta_2\left(\Ps'\right) \\ \delta_2(\Ps)=\delta_1\left(\Ps'\right) \end{array}\right\} \Rightarrow \Is_{11}(\Os)=\Is_{22}(\Os) \equiv \Is }[/math] Por otro lado: [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \xs_1(\Ps)=-\xs_2\left(\Ps'\right) \\ \xs_2(\Ps)=\xs_1\left(\Ps'\right) \end{array}\right\} \Rightarrow \Is_{12}(\Os)=0 }[/math]

Finalmente:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{11}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{11}+\mathrm{I}_{22}}= \matriz{\mathrm{I}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}}{0}{0}{0}{2\mathrm{I}} }[/math]

Se trata de un rotor simétrico (propiedad 4). Por tanto, el tensor de inercia en O es invariante bajo rotación de la base alrededor del eje 3: [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_{1'2'3'}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_{123} }[/math].

El aspecto cualitativo de [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B} }[/math] pone de manifiesto que [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os) }[/math] es paralelo a [math]\displaystyle{ \velang{S}{RTO} }[/math] cuando ésta está contenida en el plano 12 o es de dirección 3:

[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text {RTO }}(\Os)}{B}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=\vector{\Is \Omega_1}{\Is \Omega_2}{0} \quad , \quad \braq{\overline{\mathbf{H}}_{\text {RTO }}(\Os)}{B}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B} \vector{0}{0}{\Omega_3}=\vector{0}{0}{2\Is \Omega_3} }[/math].

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Propiedad 5: Cuando un sólido tiene tres o más momentos de inercia en un mismo plano ij iguales para un punto O, también es un rotor simétrico para O: [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{ijk}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{i'j'k} }[/math]. La demostración es más larga que la de la propiedad 4, y se omite.

✏️ EJEMPLO D5.8: rotor simétrico

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El sólido está formado por tres placas hexagonales homogénea y idénticas. figura plana contenida en el plano 12: por la propiedad 1, la dirección 3 es DPI, y [math]\displaystyle{ \mathrm{I}_{33}=\mathrm{I}_{11}+ \mathrm{I}_{22} }[/math]. [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Gs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{11}}{\mathrm{I}_{12}}{0}{\mathrm{I}_{12}}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{11}+\mathrm{I}_{22}} }[/math]

• simetría respecto al plano 23: por la propiedad 3, [math]\displaystyle{ \Is_{12} = 0 }[/math].

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Gs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_{11}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{22}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_{11}+\mathrm{I}_{22}} }[/math]

Por otro lado, no es fácil evaluar a simple vista cuál de los dos momentos de inercia [math]\displaystyle{ \Is_{11} }[/math], [math]\displaystyle{ \Is_{22} }[/math] es mayor. Pero hay tres ejes coplanarios que generan la misma distribución de masa a lado y lado, y por tanto se puede asegurar que los momentos de inercia respecto a estos ejes son iguales.

Por la propiedad 5, se trata de un rotor simétrico. Así pues, todas las direcciones del plano 12 que pasan por G son principales con el mismo momento de inercia.

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Propiedad 6: Cuando un sólido tiene los tres momentos principales de inercia (según direcciones ortogonales) iguales para un punto O, su tensor de inercia en O es invariante bajo cambio de base: [math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{ijk}=\Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{i'j'k'} }[/math]. El sólido es un rotor esférico para el punto O, y el vector momento cinético en O y la velocidad angular siempre son paralelos: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os) \parallel \velang{S}{RTO}(=\velang{S}{Gal}). }[/math].

✏️ EJEMPLO D5.9: rotor esférico

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El sólido está formado por una anilla homogénea, de masa 2m, y una partícula P de masa m. Las barras que unen estos elementos son de masa despreciable. El tensor en C es la suma de dos tensores: [math]\displaystyle{ \mathrm{II}(\mathbf{C})=\mathrm{II}^{\mathrm{part}}(\mathbf{C})+\mathrm{II}^{\mathrm{anilla}}(\mathbf{C}) }[/math]. El de la partícula es inmediato: [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \delta_1(\Ps)=\delta_2\left(\Ps\right), \delta_3(\Ps)=0\\ \xs_1(\Ps)=\xs_2\left(\Ps\right)=0 \end{array}\right\} \Rightarrow \Bigr[\mathrm{II}^\mathrm{part}(\Cs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_\mathrm{p}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{p}}{0}{0}{0}{0} }[/math]

Ya que la anilla es un sólido plano y simétrico respecto al eje 1 o el 2, la propiedad 1 y la propiedad 3 conducen a:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}_\mathrm{anella}(\Cs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{2\mathrm{I}_\mathrm{a}} }[/math].

El sólido es un rotor simétrico para C ya que tiene dos momentos principales iguales:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Cs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\mathrm{I}_\mathrm{p}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{p}}{0}{0}{0}{0} + \matriz{\mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{2\mathrm{I}_\mathrm{a}}= \matriz{\mathrm{I}_\mathrm{p} + \mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{\mathrm{I}_\mathrm{p} + \mathrm{I}_\mathrm{a}}{0}{0}{0}{2\mathrm{I}_\mathrm{a}}. }[/math]

La expresión cuantitativa del tensor no requiere acudir a las tablas:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \delta_1(\Ps)=\delta_2\left(\Ps\right)=\Rs\quad \Rightarrow \quad \mathrm{I}_\mathrm{p}=\ms\Rs^2\\ \delta_3(\mathrm{dm} \in \mathrm{anella}) \quad \Rightarrow \quad 2\mathrm{I}_\mathrm{a}=2\ms\Rs^2 \end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad \Bigr[\mathrm{II}(\Cs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{2}{0}{0}{0}{2}{0}{0}{0}{2} \ms\Rs^2 }[/math]

Se trata de un rotor esférico, y por tanto [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_ \mathrm{RTC}(\Cs) }[/math] siempre es paralelo a [math]\displaystyle{ \velang{S}{T} }[/math]: [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_ \mathrm{RTC}(\Cs)=\Is\Is(\Cs) \velang{S}{T}=2\ms\Rs^2\velang{S}{T} }[/math].

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D5.5 Teorema de Steiner

El tensor de inercia de un sólido en una base B y para un punto P o para un punto Q no tiene la misma expresión: [math]\displaystyle{ \Is\Is(\Ps) \neq \Is\Is(\Qs) }[/math]. La relación entre los dos se puede hallar mediante el Teorema de Steiner, que se demuestra inmediatamente a partir de la descomposición baricéntrica del momento cinético:

[math]\displaystyle{ \Is\Is(\Qs)=\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Qs) }[/math] ,

donde [math]\displaystyle{ \Is\Is^\oplus(\Qs) }[/math] es el tensor de una partícula de masa igual a la del sólido y situada en el centro de masas G.

Si se aplica el teorema a dos puntos distintos y se combinan las ecuaciones, se llega a la relación entre [math]\displaystyle{ \Is\Is(\Ps) }[/math] y [math]\displaystyle{ \Is\Is(\Qs) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \Is\Is(\Qs)=\Is\Is(\Gs) + \Is\Is^\oplus(\Qs)\\ \Is\Is(\Ps)=\Is\Is(\Gs) + \Is\Is^\oplus(\Ps) \end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad \Is\Is(\Qs)=\Is\Is(\Ps) - \Is\Is^\oplus(\Ps) + \Is\Is^\oplus(\Qs) }[/math]

✏️ EJEMPLO D5.10: barras paralelas

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El sólido está formado por dos barras cortas y una larga, homogéneas, de la misma densidad lineal, y unidas a un marco de masa despreciable. Se trata de hallar el aspecto cualitativo del tensor de inercia en el punto O. Por ser un sólido plano: [math]\displaystyle{ \Is_{11}=\Is_{22}+\Is_{33} }[/math], [math]\displaystyle{ \Is_{12}=\Is_{13}=0 }[/math]. En el análisis del tensor de inercia, es útil considerar la barra larga como dos cortas. Las dos barras situadas en los cuadrantes superiores tienen el mismo momento de inercia respecto al eje 2 y al eje 3 [math]\displaystyle{ \left(\Is_{22}^{\mathrm{quad.sup.}}=\Is_{33}^{\mathrm{quad.sup.}} \right) }[/math], pero las que se encuentran en los cuadrantes inferiores estan más alejadas del eje 2 que del eje 3 [math]\displaystyle{ \left( \Is_{22}^{\mathrm{quad.inf.}}\gt \Is_{33}^{\mathrm{quad.inf.}} \right) }[/math]. Por tanto: [math]\displaystyle{ \Is_{22}\gt \Is_{33} }[/math].

Al no haber simetría respecto al eje 3, es difícil ver el signo del producto de inercia [math]\displaystyle{ \Is_{23} }[/math]. Por tanto:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\Is_{22}+\Is_{33}}{0}{0}{0}{\Is_{22}}{\Is_{23}}{0}{\Is_{23}}{\Is_{33}} }[/math].

El signo de [math]\displaystyle{ \Is_{23} }[/math] se puede deducir muy fácilmente si se refiere el tensor [math]\displaystyle{ \Is\Is(\Os) }[/math] a los tensores de las cuatro barras idénticas a su centro de masas mediante el teorema de Steiner:

[math]\displaystyle{ \Is\Is(\Os)=\sum_{\is=1}^{4}\Is\Is_\is(\Os)=\sum_{\is=1}^{4} \Bigr[\mathrm{II}_\is(\Gs_\is) + \Is\Is_\is^\oplus(\Os) \Bigr] }[/math]

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}_\is(\Gs_\is) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{-|\Is_{23}'|}{0}{-|\Is_{23}'|}{\Is} }[/math] ,

[math]\displaystyle{ \sum_{\is=1}^{4} \Bigr[\Is\Is_\is^\oplus(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}=\Bigr[\Is\Is_\mathrm{quad.sup.}^\oplus(\Os) \Bigr]_\mathrm{B} + \Bigr[\Is\Is_\mathrm{quad.inf.}^\oplus(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= 2\ms \left( \frac{\Ls}{2} \right)^2 \matriz{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + 2\ms \left( \frac{\Ls}{2} \right)^2 \matriz{10}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{1} = \ms\Ls^2 \matriz{6}{0}{0}{0}{5}{0}{0}{0}{1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{8\Is+6\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 5\ms\Ls^2}{-4|\Is_{23}'|}{0}{-4|\Is_{23}'|}{4\Is + \ms\Ls^2} }[/math].

✏️ EJEMPLO D5.11: sólido plano, tensor cuantitativo

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El sólido está formado por dos placas cuadradas homogéneas idénticas. Se trata de hallar el tensor de inercia en el punto P. El aspecto cualitativo del tensor en su centro de masas G es inmediato (es figura plana y toda la masa está concentrada en los cuadrantes que contribuyen con signo positivo al producto de inercia):

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Gs) \Bigr]_\mathrm{B}= \matriz{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} }[/math]

La Tabla da información del tensor de una placa rectangular:

[math]\displaystyle{ \Is\Is(\Gs)=\Is\Is_\mathrm{placa.inf.}(\Gs)+\Is\Is_\mathrm{placa.sup} (\Gs) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Gs) \Bigr]= 2 \matriz{\frac{1}{3}\ms (2\Ls)^2}{\frac{1}{4}\ms (2\Ls)^2}{0}{\frac{1}{4}\ms (2\Ls)^2}{\frac{1}{3}\ms (2\Ls)^2}{0}{0}{0}{\frac{2}{3}\ms (2\Ls)^2}= \frac{2}{3} \ms\Ls^2 \matriz{4}{3}{0}{3}{4}{0}{0}{0}{8} }[/math]

Ahora hay que pasar al punto P con el teorema de Steiner: [math]\displaystyle{ \Is\Is(\Ps)=\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Ps) }[/math].

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}^\oplus(\Ps) \Bigr]= \matriz{2\ms (2\Ls)^2}{-2\ms (2\Ls)(-2\Ls)}{0}{-2\ms (2\Ls)(-2\Ls)}{2\ms (2\Ls)^2}{0}{0}{0}{4\ms (2\Ls)^2}= 8 \ms\Ls^2 \matriz{1}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Ps) \Bigr]=\frac{2}{3} \ms\Ls^2 \matriz{4}{3}{0}{3}{4}{0}{0}{0}{8}+ 8 \ms\Ls^2 \matriz{1}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{2}=\frac{2}{3} \ms\Ls^2 \matriz{16}{15}{0}{15}{16}{0}{0}{0}{32} }[/math]

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D5.6 Cambio de base

Un tensor de inercia expresado en una base B se puede cambiar a otra base B’ mediante la matriz de cambio de base S, cuyas columnas son los versores de la base B’ [math]\displaystyle{ \mathrm{B}'(\overline{\mathbf{e}}_{\is'}) }[/math] proyectados en la base B:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Ps) \Bigr]_{\mathrm{B}'}=\Bigr[\mathrm{S} \Bigr]^{-1} \Bigr[\mathrm{II}(\Ps) \Bigr]_\mathrm{B} \Bigr[\mathrm{S}\Bigr] \quad , \quad \Bigr[\mathrm{S} \Bigr] = \Bigr[ \braq{\overline{\mathbf{e}}_{1'}}{B} \quad \braq{\overline{\mathbf{e}}_{2'}}{B} \quad \braq{\overline{\mathbf{e}}_{3'}}{B} \Bigr] }[/math].

Es fácil ver que [math]\displaystyle{ \Is_{\is'\js'}(\Ps)=\Bigl\{ \overline{\mathbf{e}}_{\is'} \Bigl\}_{\mathrm{B}}^{\Ts} \Bigr[\mathrm{II}(\Ps) \Bigr]_{\mathrm{B}} \braq{\overline{\mathbf{e}}_{\js'}}{B} }[/math].

✏️ EJEMPLO D5.12: sólido plano, cambio de base

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La placa circular es homogénea, de masa m y radio r. Se trata de determinar el momento de inercia respecto al eje p-p’ que pasa por su centro y forma un ángulo de [math]\displaystyle{ 45^o }[/math] con el eje de la placa. La Tabla da información del tensor de la placa para los ejes vertical y horizontales. A partir de este tensor, se obtiene [math]\displaystyle{ \Is_{\ps\ps'}(\Os) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_\mathrm{B}= \frac{1}{4} \ms\rs^2\matriz{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{2} }[/math] , [math]\displaystyle{ \Is_{\ps\ps'}(\Os)=\Is_{1'1'}=\Bigl\{ \overline{\mathbf{e}}_{1'} \Bigl\}_{\mathrm{B}}^{\Ts} \Bigr[\mathrm{II}(\Os) \Bigr]_{\mathrm{B}} \braq{\overline{\mathbf{e}}_{1'}}{B} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Is_{\ps\ps'}(\Os)=\frac{1}{\sqrt{2}} \{ 0 \quad 1 \quad 1\} \frac{1}{4} \ms \rs^2 \matriz{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{2} \frac{1}{\sqrt{2}} \vector{0}{1}{1}=\frac{3}{8} \ms\rs^2 }[/math]

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