Cálculo vectorial

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} }[/math]

V.1 Representación geométrica de un vector

Los vectores se pueden representar geométricamente con un dibujo, indicando la dirección (y el sentido genérico positivo) mediante una flecha y el valor (positivo o negativo), que puede ser variable (Figura V.1).

Figura V.1 Representación geométrica del vector de posición de un punto O que se puede mover a lo largo de una recta: (a) definición genérica del valor positivo; (b) tres casos particulares

Las operaciones habituales entre vectores (suma, resta, producto por un escalar, producto vectorial, derivación) se pueden hacer a partir de sus representaciones geométricas. La sección siguiente resume los procedimientos.

---

---

V.2 Operaciones con vectores con representación geométrica

Operaciones instantáneas: suma, producto escalar, producto vectorial

La Figura V.2 resume los procedimientos para realizar las tres operaciones entre vectores que solo implican un único instante temporal.

Figura V.2 Cálculo geométrico de las operaciones instantáneas entre vectores

Operaciones a lo largo del tiempo: derivación temporal

Las dos operaciones vectoriales a lo largo del tiempo son la derivada y la integral temporal, y dependen de la referencia desde la que se observan los vectores. Esta última operación no es sencilla a partir de la representación geométrica, y se deja de lado.

La derivación temporal de un vector relativa a una referencia R evalúa el ritmo temporal de cambio de les características del vector (dirección y valor) entre dos instantes consecutivos muy cercanos, separados por un diferencial de tiempo (dt). Simbólicamente, esta derivada se representa como [math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\Rs }[/math]. El subíndice R recuerda que esta operación depende de la referencia desde la que se observa la evolución temporal del vector.

El resultado de la derivada es distinto de cero cuando el valor, o la dirección o ambas cosas cambian.

Muchos textos utilizan el punto para indicar la derivación temporal de escalares y vectores:

Variable escalar: [math]\displaystyle{ \frac{\ds\rho}{\ds\ts}\equiv \dot{\rho} }[/math]

Variable vectorial: [math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\Rs\equiv \dot{\uvec}\bigr]_\Rs }[/math]

En este curso, el punto se utiliza básicamente para la derivada temporal de escalares.

Caso particular: Derivada de un vector de dirección constante

Cuando un vector [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] solo cambia de valor (es decir, mantiene su dirección constante respecto a la referencia), su derivada es un vector paralelo a [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] de valor igual al cambio de valor en un dt ([math]\displaystyle{ \frac{\ds\us}{\ds\ts}\equiv \dot{\us} }[/math]). Ya que el tamaño de un objeto en un cierto instante de tiempo es un invariante, este resultado no depende de la referencia (Figura V.3):

[math]\displaystyle{ \begin{equation} \frac{\ds\uvec}{\ds\ts} \bigg]_\Rs = \frac{\ds\uvec}{\ds\ts} = \dot{\us}\frac{\uvec}{|\uvec|}\end{equation} }[/math] , dónde [math]\displaystyle{ \frac{\uvec}{|\uvec|} }[/math] es el versor de la dirección del vector [math]\displaystyle{ \uvec }[/math].

Figura V.3 La derivada de un vector que solo cambia de valor es paralela al vector, y es independiente de referencia: (a) signo([math]\displaystyle{ \dot\us }[/math]) = signo([math]\displaystyle{ \us }[/math]); (b) signo([math]\displaystyle{ \dot\us }[/math]) = -signo([math]\displaystyle{ \us }[/math])

Caso particular: Derivada de un vector de valor constante que evoluciona sobre un plano fijo a la referencia

Consideremos primero un vector [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] que evoluciona sobre un plano [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] fijo a la referencia R (vector con movimiento plano respecto a R). Si solo cambia de dirección en R, su derivada es un vector ortogonal a [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] de valor igual al producto del valor del vector (u) por el ritmo de cambio (en un dt) del ángulo de orientación [math]\displaystyle{ \theta }[/math] del vector en el plano [math]\displaystyle{ \Pi }[/math], [math]\displaystyle{ \us\frac{\ds\theta}{\ds\ts}=\us\dot{\theta} }[/math] (Figura V.4).

Figura V.4 La derivada de un vector que solo cambia de dirección es ortogonal al vector, y depende de la referencia

El concepto ritmo de cambio de orientación ([math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math]) pide la introducción previa del ángulo de orientación ([math]\displaystyle{ \theta }[/math]), definido en el plano [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] a partir de una dirección fija en [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] y el vector que se deriva. La orientación de este plano en R y el ritmo de cambio de orientación [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] de [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] se pueden combinar en un único objeto matemático: el vector velocidad angular de [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] respecto a R, de valor [math]\displaystyle{ \theta }[/math] y dirección ortogonal al plano. El sentido del vector se asocia a la regla del tornillo (Figura V.5). La notación genérica que es fa servir en este curso por a la velocidad angular de un objeto en una referencia R es [math]\displaystyle{ \Omegavec^{\textup{objeto}}_\Rs }[/math].

Figura V.5 Vector velocidad angular de un vector de valor constante en una referencia

La derivada se puede escribir a partir de este vector de velocidad angular como [math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\Rs = {\Omegavec}^{\uvec}_\Rs \times \uvec }[/math].

Caso particular: Derivada de un vector de valor constante pero con orientación que evoluciona de manera general a la referencia

Se puede demostrar que, cuando el vector [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] que se deriva no evoluciona sobre un plano sino que tiene una evolución 3D, el resultado de la derivada se obtiene de la misma manera a través de su velocidad angular [math]\displaystyle{ \Omegavec^{\uvec}_\Rs }[/math] [Batlle, J.A., Barjau, A. (2020) chapter 1 in Rigid body kinematics. Cambridge University Press]. Sin embargo, la obtención de esta velocidad angular (unidades C1 i C2) es más complicada.

Caso general: Derivada de un vector que evoluciona de manera general respecto a una referencia R

Si el vector [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] evoluciona de manera general en una referencia R (es decir, cambia de valor y de dirección), su derivada temporal es (Figura V.6):

[math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\Rs = [\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Rs = \dot{\us}\frac{\uvec}{|\uvec|} + {\Omegavec}^{\uvec}_\Rs\times\uvec }[/math]

Figura V.6 Derivada temporal de un vector relativa a una referencia: caso general

Relació entre les derivades temporals d'un mateix vector en dues referències diferents

A partir de esta ecuación, es fácil ver que la diferencia entre las derivadas de un mismo vector en dos referencias distintas R1 y R2 es:

[math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\textrm{R1}-\frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\textrm{R2} = (\Omegavec^\uvec_\textrm{R1}-\Omegavec^\uvec_\textrm{R2})\times \uvec }[/math]

Se puede demostrar que [math]\displaystyle{ (\Omegavec^\uvec_\textrm{R1}-\Omegavec^\uvec_\textrm{R2}=\Omegavec^\textrm{R2}_\textrm{R1}) }[/math] (la demostración general es larga y no se incluye aquí). Por tanto, cuando dos referencias no giran una respecto a la otra [math]\displaystyle{ (\Omegavec^\textrm{R2}_\textrm{R1}=0) }[/math], la derivada temporal de un vector en ambas conduce al mismo resultado. En caso contrario:

[math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\textrm{R1}=\frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\textrm{R2} + \Omegavec^\textrm{R2}_\textrm{R1}\times \uvec }[/math]

---

---

V.3 Representación analítica de un vector

Un vector también se puede representar de manera analítica mediante sus componentes en tres direcciones independientes del espacio. Los vectores unitarios (versores) de estas direcciones se denominan [math]\displaystyle{ (\evec_1, \evec_2, \evec_3) }[/math] y constituyen una base vectorial. En esta base, el vector se expresa como combinación lineal de estos versores, y los coeficientes son las componentes del vector en esta base:

[math]\displaystyle{ \uvec=\textrm{u}_1\evec_1+\textrm{u}_2\evec_2+\textrm{u}_3\evec_3 }[/math]

En este curso, nos limitamos a bases ortogonales y directas (o dextrógiras), es decir, en las que el versor de la dirección 3 es el producto vectorial de los versores de las direcciones 1 y 2: [math]\displaystyle{ \evec_1\times \evec_2=\evec_3 }[/math]. Cuando se trata de representar una base en un dibujo, a menudo se colocan tres ejes que intersectan en un punto. Este punto de intersección es irrelevante, y no se puede decir en ningún caso que sea el “origen de la base”: el concepto de origen no es aplicable a las bases vectoriales (lo único que define una base son las tres direcciones que la componen). Un mismo vector se puede proyectar en diversas bases, pero esto no modifica ni su valor ni su dirección.

La Figura V.7 muestra la proyección, en dos bases diferentes, del vector [math]\displaystyle{ \overline{\textrm{r}} }[/math], asociado a un radio de una plataforma giratoria con movimiento plano respecto a R. La base [math]\displaystyle{ (1,2,3) }[/math] no cambia de orientación respecto a R, mientras que la base [math]\displaystyle{ (1',2',3') }[/math] cambia de orientación respecto a R pero no respecto a R’ (que es la plataforma).

Figura V.7 Un mismo vector proyectado en dos bases diferentes

Una notación alternativa (que es la que preferentemente se utilizará en este curso para expresar vectores proyectados en bases vectoriales) es la de poner las componentes en columna, ordenadas según el orden de los ejes de la base:

[math]\displaystyle{ \left\{\overline{\textbf{r}}\right\}_{\textrm{123}}\equiv \left\{\overline{\textbf{r}}\right\}_{\Bs}= \begin{Bmatrix}\textrm{r}cos\theta \\\textrm{r}sin\theta \\\textup{0} \end{Bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\overline{\textbf{r}}\right\}_{\textrm{1'2'3'}}\equiv \left\{\overline{\textbf{r}}\right\}_{\textrm{B'}}= \begin{Bmatrix}\textrm{r} \\\textup{0} \\\textup{0} \end{Bmatrix} }[/math]

Si los versores tienen siempre la misma dirección respecto a la referencia, se dice que se trata de una base fija. En cambio, si la dirección de los versores varía a lo largo del tiempo, se dice que es una base móvil. Teniendo en cuenta que los tres versores son permanentemente ortogonales entre sí, se puede hablar de la orientación de la base B, y de su ritmo de cambio de orientación respecto a una referencia R (o velocidad angular de la base respecto a R), [math]\displaystyle{ \Omegavec^\Bs_\Rs }[/math].

En la Figura V.7, la base [math]\displaystyle{ B=(1,2,3) }[/math] no cambia de orientación respecto a R (es una base fija a R), mientras que la base [math]\displaystyle{ B'=(1',2',3') }[/math] cambia de orientación respecto a R pero no respecto a R’ (es una base fija a R’ pero móvil en R): [math]\displaystyle{ \Omegavec^\Bs_\Rs = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \Omegavec^\Bs_{\Rs'} \not= 0 }[/math].

---

---

V.4 Operaciones entre vectores con representación analítica

Operaciones instantáneas: suma, producto escalar, producto vectorial

Las operaciones instantáneas entre vectores se pueden hacer a través de les bases vectoriales. Al ser instantáneas, el carácter fijo o móvil de la base es irrelevante. Lo que es fundamental es que los dos vectores estén proyectados en la misma base.

[math]\displaystyle{ \left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}= \begin{Bmatrix}\us_1 \\\us_2 \\\us_3 \end{Bmatrix} }[/math] , [math]\displaystyle{ \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}= \begin{Bmatrix}\vs_1 \\\vs_2 \\\vs_3 \end{Bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}+ \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}= \begin{Bmatrix}\us_1+\vs_1 \\\us_2+\vs_2 \\\us_3+\vs_3 \end{Bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}· \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}= \us_1\vs_1+\us_2\vs_2+\us_3\vs_3 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}\times \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}= \begin{Bmatrix}\us_1 \\\us_2 \\\us_3 \end{Bmatrix} \times \begin{Bmatrix}\vs_1 \\\vs_2 \\\vs_3 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}\us_2\vs_3-\us_3\vs_2 \\\us_3\vs_1-\us_1\vs_3 \\\us_1\vs_2-\us_2\vs_1 \end{Bmatrix} }[/math]

Dos algoritmos sencillos para calcular el producto vectorial son los siguientes:

• cálculo de un determinante:
• [math]\displaystyle{ \left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}\times \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}=det\begin{vmatrix} \evec_1 & \evec_2 & \evec_3\\ \us_1 & \us_2 & \us_3\\ \vs_1 & \vs_2 & \vs_1 \end{vmatrix} = \us_2 \vs_3 \evec_1 + \us_3 \vs_1 \evec_2 + \us_1 \vs_2 \evec_3 - \us_3 \vs_2 \evec_1 - \us_1 \vs_3 \evec_2 - \us_2 \vs_1 \evec_3 = \begin{Bmatrix} \us_2 \vs_3 - \us_3 \vs_2\\ \us_3 \vs_1 - \us_1 \vs_3\\ \us_1 \vs_2 - \us_2 \vs_1 \end{Bmatrix} }[/math]

• productos cruzados de las componentes: para calcular la componente i-ésima, se suprimen las componentes i-ésimas y se hacen productos cruzados de las componentes que quedan de acuerdo con el esquema siguiente (código de signos: producto azul +, producto rojo -):

Video V.1 Algoritmo para el cálculo analítico del producto vectorial

Operaciones a lo largo del tiempo: derivación temporal

Proyectar un vector en una base vectorial [math]\displaystyle{ (\evec_1, \evec_2, \evec_3) }[/math] es expresarlo como suma de tres vectores ortogonales: [math]\displaystyle{ \uvec=\sum_{\is}^{}\us_\is\evec_\is }[/math]. Si la base es fija respecto a la referencia R en la que se calcula la derivada, estos vectores no cambian de orientación, y por tanto:

[math]\displaystyle{ \frac{\ds(\us_\is\evec_\is)}{\ds\ts} =\dot{\us}_\is\evec_\is }[/math] , [math]\displaystyle{ \left\{\left.\frac{\ds\uvec}{\ds\ts} \right]_{\Rs}\right\}_\Bs=\frac{\ds}{\ds\ts}\left\{\uvec\right\}_\Bs= \begin{Bmatrix}\dot{\us}_1 \\\dot{\us}_2 \\\dot{\us}_3 \end{Bmatrix} }[/math]

Si la base es móvil respecto a R, estos vectores cambian de orientación con velocidad angular [math]\displaystyle{ \left\{\Omegavec^\Bs_\Rs\right\}_\Bs }[/math]:

[math]\displaystyle{ \frac{\ds(\us_\is \evec_\is)}{\ds\ts} =\dot{\us}_\is\evec_\is+\left.\us_\is\frac{\ds\evec_\is}{\ds\ts}\right]_\Rs=\dot{\us}_\is\evec_\is+\us_\is(\Omegavec^\Bs_\Rs\times \evec_\is) }[/math] ,

[math]\displaystyle{ \left\{\left.\frac{\ds\uvec}{\ds\ts} \right]_\Rs\right\}_\Bs = \frac{\ds}{\ds\ts}\left\{\uvec\right\}_\Bs +\left\{\Omegavec^\Bs_\Rs\right\}_\Bs \times \left\{\uvec\right\}_\Bs= \begin{Bmatrix}\dot{\us}_1 \\\dot{\us}_2 \\\dot{\us}_3 \end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix}\Omega_1 \\\Omega_2 \\\Omega_3 \end{Bmatrix} \times \begin{Bmatrix}\us_1 \\\us_2 \\\us_3 \end{Bmatrix} }[/math]

© Universitat Politècnica de Catalunya. Todos los derechos reservados

---

<<< Introducción

C1. Configuración de un sistema mecánico >>>