C1. Configuració d'un sistema mecànic

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} }[/math]

C1.1 Posición de una partícula

La posición de una partícula (un punto) [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en referencia R se puede describir mediante un vector de posición [math]\displaystyle{ \overline{\Os_\Rs\Qs} }[/math], donde [math]\displaystyle{ \Os_\Rs }[/math] ha de ser un punto fijo a R (un punto que pertenezca a la referencia R). Este vector no está unívocamente definido, ya que su origen puede ser cualquier punto de R (Figura C1.1).

Figura C1.1 Dos vectores de posición para un mismo punto [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a una referencia R

Una alternativa a la descripción vectorial de la posición es la descripción escalar mediante tres coordenadas (cartesianas, polares...). En este caso, también es necesario escoger un origen de coordenadas que puede ser cualquier punto de R (Figura C1.2). En este curso, no obstante, se utiliza la descripción vectorial.

Figura C1.2 Descripción de la posición de una partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecto a una referencia R mediante tres coordenadas

En mecánica, interesa sobre todo la evolución de la posición a lo largo del tiempo (el movimiento). Una partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] se mueve respecto a una referencia R cuando, a lo largo del tiempo, su posición en R cambia o, lo que es lo mismo, pasa por distintos puntos de R. El conjunto de puntos de R por los que pasa [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] constituye la trayectoria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en la referencia R (la trayectoria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relativa a R).

Figura C1.3 Trayectoria respecto al suelo (R) de cuatro puntos de una rueda de un vehículo con movimiento rectilíneo

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C1.2 Configuración de un sólido rígido

Cuando hay que describir la configuración de un sólido rígido, la posición de solo uno de sus puntos no es suficiente. Una opción es dar la posición de tres puntos [math]\displaystyle{ \Ps }[/math], [math]\displaystyle{ \Qs }[/math], [math]\displaystyle{ \textbf{R} }[/math] no alineados. Pero es evidente que estos vectores cumplen unas restricciones: ya que los puntos de un sólido rígido no se pueden acercar ni alejar entre sí, las diferencias de estos vectores dos a dos son vectores de módulo constante (Figura C1.4):

Figura C1.4 Restricciones entre los vectores de posición de tres puntos de un mismo sólido rígido

En la descripción escalar de la posición, si se proporcionan tres coordenadas por punto, la configuración del sólido se define mediante 9 coordenadas, pero como hay 3 relaciones entre ellas, solo 6 coordenadas son estrictamente necesarias (Figura C1.5).

Figura C1.5 Restricciones entre las coordenadas de tres puntos de un mismo sólido rígido

Hay múltiples opciones para definir la configuración de un sólido rígido, pero en este curso se opta por definir la posición de uno de sus puntos y la orientación del sólido. Así como la posición de un punto se puede dar mediante un vector o tres coordenadas escalares, la orientación solo acepta una descripción escalar.

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C1.3 Orientación de un sólido rígido con movimiento plano

Se dice que un sólido tiene movimiento plano respecto a una referencia cuando todos sus puntos describen trayectorias contenidas en planos paralelos). En este caso, su orientación se puede describir mediante un ángulo definido por la intersección entre una dirección fija a la referencia (dirección “de salida”) y otra fija al sólido (dirección “de llegada”), ambas contenidas en el plano del movimiento. Ya que estas direcciones no están definidas de manera unívoca, el ángulo de orientación tampoco (Figura C1.6).

Figura C1.6 Ángulos de orientación de una rueda con movimiento plano.
La flecha vertical (g [math]\displaystyle{ \Downarrow }[/math]) indica la atracción gravitatoria terrestre.

Quan l’angle d’orientació canvia de valor al llarg del temps, es diu que el sòlid té un moviment de rotació simple al voltant d’un eix perpendicular al pla del moviment i en sentit horari o antihorari, segons s’hagi definit l’angle d’orientació (Figura C1.7).

Figura C1.7 Rotación simple de una plataforma

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C1.4 Orientación de un sólido rígido con movimiento en el espacio

La descripción de la orientación de un sólido en el espacio es más complicada, y hay diversas maneras de hacerla. Dos opciones son las rotaciones alrededor de direcciones fijas y las rotaciones de Euler.

Rotaciones alrededor de direcciones fijas

Se trata de tres rotaciones simples alrededor de tres direcciones permanentemente ortogonales entre sí y que no cambian de orientación respecto a la referencia R (direcciones “fijas”). Una característica de este método de orientación de un sólido es que, para unos mismos valores de los ángulos y partiendo de una misma orientación inicial, la orientación final del sólido depende del orden (secuencia) en que se han introducido. Es un método de orientación secuencial.

La Figura C1.8 lo ilustra para un objeto triangular sometido a tres rotaciones de 90[math]\displaystyle{ \deg }[/math] alrededor de direcciones fijas a una referencia R.

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Figura C1.8 Rotaciones alrededor de direcciones fijas a R: método de orientación secuencial

✏️ Ejemplo C1-4.1: el ratón mecánico de un ordenador

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En un ratón mecánico de ordenador, la bola puede girar respecto a la carcasa del ratón (R) alrededor de dos ejes ortogonales fijos a la carcasa. El ángulo girado alrededor de cada uno de estos dos ejes es proporcional al que giran las dos ruedecitas que están en contacto sin deslizamiento con la bola.

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Rotaciones de Euler

Las rotaciones de Euler son una alternativa para orientar sólidos en la que la orientación final no depende de la secuencia en la que se introducen las rotaciones. Se utilizan mucho en ingeniería mecánica porque buena parte de los sistemas mecánicos incluyen ejes físicos (asociados a enlaces entre los sólidos) que permiten este tipo de rotaciones.

Se trata de 3 rotaciones simples encadenadas (en serie), de manera que la rotación alrededor del primer eje hace mover los otros dos, y la rotación alrededor del segundo hace mover el tercero. En este curso, en general se asocian las variables ([math]\displaystyle{ \psi }[/math], [math]\displaystyle{ \theta }[/math],[math]\displaystyle{ \varphi }[/math]) a las tres rotaciones:

• 1a rotación [math]\displaystyle{ (\psi) }[/math]: alrededor de un eje de orientación invariante respecto a R (eje fijo a la referencia).
• 2a rotación [math]\displaystyle{ (\theta) }[/math]: alrededor de un eje que gira a causa de ψ respecto a R.
• 3a rotación [math]\displaystyle{ (\varphi) }[/math]: alrededor de un eje de orientación invariante respecto al sólido (eje que gira a causa

de [math]\displaystyle{ \psi }[/math] y [math]\displaystyle{ \theta }[/math] respecto a R).