C3. Composición de movimientos - Historial de revisiones

Gemma: /* C3.E Ejemplos generales */

2025-07-07T14:32:41Z

C3.E Ejemplos generales

← Revisión anterior		Revisión del 14:32 7 jul 2025
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	'''*NOTA:''' En esta web (y por falta de símbolos de flecha más precisos), aunque las flechas <math>\nearrow</math>, <math>\swarrow</math>, <math>\nwarrow</math> y <math>\searrow</math> parecen indicar que los vectores forman un ángulo de 45° con la dirección vertical, no tiene por qué ser así. Hay que interpretar las flechas de manera cualitativa, observando el dibujo que siempre acompaña este tipo de notación. Por ejemplo, en la expresión del apartado 1 del ejercicio C3-E.1, el vector <math>\vel{P}{REL}</math> forma un ángulo <math>\theta</math> genérico con la dirección horizontal del plano de la placa. Si el valor del ángulo <math>\theta</math> es menor que 90° (como en la figura siguiente), el vector <math>\vel{P}{REL}</math> tiene una componente hacia arriba y otra hacia la derecha.		'''*NOTA:''' En esta web (y por falta de símbolos de flecha más precisos), aunque las flechas <math>\nearrow</math>, <math>\swarrow</math>, <math>\nwarrow</math> y <math>\searrow</math> parecen indicar que los vectores forman un ángulo de 45° con la dirección vertical, no tiene por qué ser así. Hay que interpretar las flechas de manera cualitativa, observando el dibujo que siempre acompaña este tipo de notación. Por ejemplo, en la expresión del apartado 1 del ejercicio C3-E.1, el vector <math>\vel{P}{REL}</math> forma un ángulo <math>\theta</math> genérico con la dirección horizontal del plano de la placa. Si el valor del ángulo <math>\theta</math> es menor que 90° (como en la figura siguiente), el vector <math>\vel{P}{REL}</math> tiene una componente hacia arriba y otra hacia la derecha.

	<p align="right"><small>© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor \|~~Tots els drets reservats~~]]</small></p>		<p align="right"><small>© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor \|Todos los derechos reservados]]</small></p>
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Gemma: /* C3.E Ejemplos generales */

2025-07-07T14:31:50Z

C3.E Ejemplos generales

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	[[C2. Movimiento de un sistema mecánico\|<<< C2. Movimiento de un sistema mecánico]]		[[C2. Movimiento de un sistema mecánico\|<<< C2. Movimiento de un sistema mecánico]]

	[[C4. Cinemática del sólido rígido\|C4. Cinemática del sólido rígido >>>]]		[[C4. Cinemática 3D del sólido rígido\|C4. Cinemática 3D del sólido rígido >>>]]
	</center>		</center>

Gemma: /* 2. Determina la velocidad y aceleración del punto G respecto al suelo */

2025-07-07T14:31:02Z

2. Determina la velocidad y aceleración del punto G respecto al suelo

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	===== 2. Determina la velocidad y aceleración del punto G respecto al <span style="text-decoration: underline;">suelo</span>=====		===== 2. Determina la velocidad y aceleración del punto G respecto al <span style="text-decoration: underline;">suelo</span>=====
	<div>		<div>
	:A partir del resultado anterior, se puede obtener la cinemática de <math>\Gs</math> <span style="text-decoration: underline;">respecto al suelo</span> con una segunda composición donde '''AB’<math>\equiv</math>suelo''' y '''REL’<math>\equiv</math>guía'''. El ~~moviment d’arrossegament~~ (el que ~~tindria~~ <math>\Gs</math> si ~~es fixés~~ a la ~~guia i~~ es ~~mirés des del terra) és senzill~~: circular, de ~~radi~~ <math>\Ls\ctheta</math> ~~i velocitat~~ angular ~~associada~~ <math>\psio</math>.		:A partir del resultado anterior, se puede obtener la cinemática de <math>\Gs</math> <span style="text-decoration: underline;">respecto al suelo</span> con una segunda composición donde '''AB’<math>\equiv</math>suelo''' y '''REL’<math>\equiv</math>guía'''. El movimiento de arrastre (el que tendría <math>\Gs</math> si se fijara a la guía y se mirase desde el suelo) es sencillo: circular, de radio <math>\Ls\ctheta</math> y velocidad angular asociada <math>\psio</math>.

	:<math>\vel{G}{AB'}=\vel{G}{REL'}+\vel{G}{ar'}</math>		:<math>\vel{G}{AB'}=\vel{G}{REL'}+\vel{G}{ar'}</math>
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	:<math>\vel{G}{ar'}=\vel{$\Gs_{\in\Rs\Es\Ls'}$}{AB'}=(\otimes\Ls\psio\ctheta)</math>		:<math>\vel{G}{ar'}=\vel{$\Gs_{\in\Rs\Es\Ls'}$}{AB'}=(\otimes\Ls\psio\ctheta)</math>

	:~~Per tant~~, <math>\vel{G}{T}\equiv\vel{G}{AB'}=(\nearrow\Ls\dot{\theta})+(\downarrow\dot{x})+(\otimes\Ls\psio\ctheta)</math>		:Por tanto, <math>\vel{G}{T}\equiv\vel{G}{AB'}=(\nearrow\Ls\dot{\theta})+(\downarrow\dot{x})+(\otimes\Ls\psio\ctheta)</math>

	[[~~Fitxer~~:C3-E-Ex3-5-cat-esp.png\|thumb\|right\|300px\|link=]]		[[Archivo:C3-E-Ex3-5-cat-esp.png\|thumb\|right\|300px\|link=]]

	:El ~~moviment d’arrossegament~~, que és circular ~~amb celeritat constant~~, ~~només té component~~ normal ~~d’acceleració~~.		:El movimiento de arrastre, que es circular con celeridad constante, solo tiene componente normal de aceleración.

	:<math>\acc{G}{AB'}=\acc{G}{REL'}+\acc{G}{ar'}+\acc{G}{Cor'}</math>		:<math>\acc{G}{AB'}=\acc{G}{REL'}+\acc{G}{ar'}+\acc{G}{Cor'}</math>
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	:<math>\acc{G}{Cor'}=2\velang{REL'}{AB'}\times\vel{G}{REL'}=2(\Uparrow\psio)\times\left[(\nearrow\Ls\dot{\theta})+(\downarrow\dot{x})\right]=(\otimes 2\Ls\psio\dot{\theta}\ctheta)</math>		:<math>\acc{G}{Cor'}=2\velang{REL'}{AB'}\times\vel{G}{REL'}=2(\Uparrow\psio)\times\left[(\nearrow\Ls\dot{\theta})+(\downarrow\dot{x})\right]=(\otimes 2\Ls\psio\dot{\theta}\ctheta)</math>

	:~~Per tant~~, <math>\acc{G}{T}\equiv\acc{G}{AB'} = (\nearrow\Ls(\ddot{\theta})+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\downarrow\ddot{x})+</math>		:Por tanto, <math>\acc{G}{T}\equiv\acc{G}{AB'} = (\nearrow\Ls(\ddot{\theta})+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\downarrow\ddot{x})+</math>
	:<math>+(\leftarrow\Ls\psio^2\ctheta)+(\otimes 2\Ls\psio\dot{\theta}\ctheta)</math>		:<math>+(\leftarrow\Ls\psio^2\ctheta)+(\otimes 2\Ls\psio\dot{\theta}\ctheta)</math>

	:La ~~projecció d’aquests resultats a~~ la base B ~~fixa~~ a ~~l’anella és~~:		:La proyección de estos resultados en la base B fija a la anilla es:

	:<math>\braq{\vel{G}{T}}{B}=\vector{-\dot{x}\stheta+\Ls\dot{\theta}}{-\dot{x}\ctheta}{-\Ls\psio\stheta}</math>		:<math>\braq{\vel{G}{T}}{B}=\vector{-\dot{x}\stheta+\Ls\dot{\theta}}{-\dot{x}\ctheta}{-\Ls\psio\stheta}</math>
Línea 567:		Línea 567:


	'''*NOTA:''' En ~~aquest~~ web (~~i per manca~~ de ~~símbols~~ de ~~fletxa més~~ precisos), ~~tot i que les fletxes~~ <math>\nearrow</math>, <math>\swarrow</math>, <math>\nwarrow</math> i <math>\searrow</math> ~~semblen~~ indicar que ~~els vectors formen~~ un ~~angle~~ de 45° ~~amb~~ la ~~direcció~~ vertical, no ~~té per què~~ ser ~~així~~. ~~Cal~~ interpretar ~~les fletxes~~ de manera ~~qualitativa~~, ~~observant~~ el ~~dibuix~~ que ~~sempre acompanya aquest tipus~~ de ~~notació~~. ~~Per exemple~~, ~~l’apartat~~ 1 ~~de l’exercici~~ C3-E.1, el vector <math>\vel{P}{REL}</math> forma un ~~angle~~ <math>\theta</math> ~~genèric amb~~ la ~~direcció vertical~~. Si el valor ~~de l’angle~~ <math>\theta</math> és menor de 90° (~~com a~~ la figura), el vector <math>\vel{P}{REL}</math> ~~té component cap a dalt i~~ una ~~altra cap a~~ la ~~dreta~~.		'''*NOTA:''' En esta web (y por falta de símbolos de flecha más precisos), aunque las flechas <math>\nearrow</math>, <math>\swarrow</math>, <math>\nwarrow</math> y <math>\searrow</math> parecen indicar que los vectores forman un ángulo de 45° con la dirección vertical, no tiene por qué ser así. Hay que interpretar las flechas de manera cualitativa, observando el dibujo que siempre acompaña este tipo de notación. Por ejemplo, en la expresión del apartado 1 del ejercicio C3-E.1, el vector <math>\vel{P}{REL}</math> forma un ángulo <math>\theta</math> genérico con la dirección horizontal del plano de la placa. Si el valor del ángulo <math>\theta</math> es menor que 90° (como en la figura siguiente), el vector <math>\vel{P}{REL}</math> tiene una componente hacia arriba y otra hacia la derecha.


	<p align="right"><small>© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor \|Tots els drets reservats]]</small></p>		<p align="right"><small>© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor \|Tots els drets reservats]]</small></p>
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	[[C2. ~~Moviment d'~~un sistema ~~mecànic~~\|<<< C2. ~~Moviment d'~~un sistema ~~mecànic~~]]		[[C2. Movimiento de un sistema mecánico\|<<< C2. Movimiento de un sistema mecánico]]

	[[C4. ~~Cinemàtica~~ del ~~sòlid rígid~~\|C4. ~~Cinemàtica~~ del ~~sòlid rígid~~ >>>]]		[[C4. Cinemática del sólido rígido\|C4. Cinemática del sólido rígido >>>]]
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Gemma: /* 1. Determina la velocidad y aceleración del punto G respecto a la guia */

2025-07-07T14:24:38Z

1. Determina la velocidad y aceleración del punto G respecto a la guia

← Revisión anterior		Revisión del 14:24 7 jul 2025
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	===== 1. Determina la velocidad y aceleración del punto G respecto a la <span style="text-decoration: underline;">~~guia~~</span> =====		===== 1. Determina la velocidad y aceleración del punto G respecto a la <span style="text-decoration: underline;">guía</span> =====
	<div>		<div>

Gemma: /* C3.E Ejemplos generales */

2025-07-07T14:00:39Z

C3.E Ejemplos generales

← Revisión anterior		Revisión del 14:00 7 jul 2025
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	</div>		</div>
	</small>		</small>

			====🔎 EJEMPLO C3-E.3: péndulo giratorio con punto de suspensión móvil====
			---------
			::{\|:
			<small>
			El péndulo formado por una anilla solidaria a una barra está articulado al soporte, el cual tiene un enlace prismático con la guía. La guía está articulada al techo, y su velocidad angular respecto de éste (<math>\psio</math>) se mantiene constante. El muelle entre soporte y guía evita que el primero no se caiga al suelo cuando el sistema está en reposo.

			[[Archivo:C4-E-Ex3-1-esp.png\|thumb\|center\|350px\|link=]]


			===== 1. Determina la velocidad y aceleración del punto G respecto a la <span style="text-decoration: underline;">guia</span> =====
			<div>

			[[Archivo:C3-E-Ex3-2-cat-esp.png\|thumb\|right\|250px\|link=]]

			:El movimiento de <math>\Gs</math> es sencillo si se evalúa respecto al soporte: es circular, de centro <math>\Os</math>, radio L y velocidad angular asociada <math>\dot{\theta}</math>. Si se toma '''AB <math>\equiv</math> guía''' y '''REL <math>\equiv</math> suport''', el movimiento de arrastre (el que tendría <math>\Gs</math> si perteneciese al soporte y se observase desde la guía) sería rectilíneo (en la dirección vertical descrita por el cambio de la coordenada x).

			:<math>\vel{G}{AB}=\vel{G}{REL}+\vel{G}{ar}</math>

			:<math>\vel{G}{REL}=(\nearrow\Ls\dot{\theta})^*</math>

			:<math>\vel{G}{ar}=\vel{$\Gs_{\in\Rs\Es\Ls}$}{AB}=(\downarrow\dot{x})</math>

			:Por tanto, <math>\vel{G}{guia}\equiv\vel{G}{AB}=(\nearrow\Ls\dot{\theta})+(\downarrow\dot{x})</math>


			:El movimiento respecto al soporte es circular, y su aceleración té componente tangencial y normal. El movimiento de arrastre (el que tendría <math>\Gs</math> si perteneciese al soporte y se observase desde la guía), que es rectilíneo, solo tiene componente tangencial.


			:''Observación: Si el movimiento de un punto en una referencia es circular (es decir, tiene una trayectoria de radio de curvatura constante en un arco de circunferencia), son aplicables directamente las definiciones de <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.3 Direccions intrínseques. Components intrínseques de l’acceleració\|'''acceleració normal''']]</span> y <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.3 Direccions intrínseques. Components intrínseques de l’acceleració\|'''acceleració tangencial''']]</span> ya que se conocen el radio de curvatura, la celeridad (o la velocidad angular) y la aceleración tangencial (o la aceleración angular).''


			:''Observación: Si el movimiento de un punto en una referencia es rectilíneo (es decir, tiene una trayectoria de radio de curvatura infinito durante un cierto intervalo temporal), son aplicables directamente las definiciones de <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.3 Direccions intrínseques. Components intrínseques de l’acceleració\|'''aceleración normal''']]</span> i <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.3 Direccions intrínseques. Components intrínseques de l’acceleració\|'''aceleració tangencial''']]</span>. La aceleración normal resulta nula.''

			[[Archivo:C3-E-Ex3-3-cat-esp.png\|thumb\|right\|300px\|link=]]

			:<math>\acc{G}{AB}=\accrel{G}+\acc{G}{ar}+\acc{G}{Cor}</math>

			:<math>\accrel{G}=\accs{G}{REL}+\accn{G}{REL}=(\nearrow\Ls\ddot{\theta})+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)</math>

			:<math>\acc{G}{ar}=\acc{$\Gs\in REL$}{AB}=(\downarrow\ddot{x})</math>

			:<math>\acc{G}{Cor}=2\velang{REL}{AB}\times\vel{G}{REL}=\vec{0}\:(\velang{REL}{AB}=\velang{suport}{guia}=\vec{0})</math>

			:Por tanto,

			:<math>\acc{G}{guia}\equiv\acc{G}{AB} = (\nearrow\Ls\ddot{\theta})+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\downarrow\ddot{x})</math>

			:Estos resultados se pueden proyectar fácilmente en la base B fija a la anilla:

			:<math>\braq{\vel{G}{guia}}{B}=\vector{\Ls\dot{\theta}\ctheta}{-\dot{x}+\Ls\dot{\theta}\stheta}{0}</math>

			:<math>\braq{\acc{G}{guia}}{B}=\vector{\Ls(\ddot{\theta}\ctheta-\dot{\theta}^2\stheta)}{-\ddot{x}+\Ls(\ddot{\theta}\stheta+\dot{\theta}^2\ctheta)}{0}</math>

			</div>

			===== 2. Determina la velocidad y aceleración del punto G respecto al <span style="text-decoration: underline;">suelo</span>=====
			<div>
			:A partir del resultado anterior, se puede obtener la cinemática de <math>\Gs</math> <span style="text-decoration: underline;">respecto al suelo</span> con una segunda composición donde '''AB’<math>\equiv</math>suelo''' y '''REL’<math>\equiv</math>guía'''. El moviment d’arrossegament (el que tindria <math>\Gs</math> si es fixés a la guia i es mirés des del terra) és senzill: circular, de radi <math>\Ls\ctheta</math> i velocitat angular associada <math>\psio</math>.

			:<math>\vel{G}{AB'}=\vel{G}{REL'}+\vel{G}{ar'}</math>

			:<math>\vel{G}{REL'}=(\nearrow\Ls\dot{\theta})+(\downarrow\dot{x})</math>

			:<math>\vel{G}{ar'}=\vel{$\Gs_{\in\Rs\Es\Ls'}$}{AB'}=(\otimes\Ls\psio\ctheta)</math>

			:Per tant, <math>\vel{G}{T}\equiv\vel{G}{AB'}=(\nearrow\Ls\dot{\theta})+(\downarrow\dot{x})+(\otimes\Ls\psio\ctheta)</math>

			[[Fitxer:C3-E-Ex3-5-cat-esp.png\|thumb\|right\|300px\|link=]]

			:El moviment d’arrossegament, que és circular amb celeritat constant, només té component normal d’acceleració.

			:<math>\acc{G}{AB'}=\acc{G}{REL'}+\acc{G}{ar'}+\acc{G}{Cor'}</math>

			:<math>\acc{G}{REL'}=(\nearrow\Ls\ddot{\theta})+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\downarrow\ddot{x})</math>

			:<math>\acc{G}{ar'}=\acc{$\Gs_{\in\Rs\Es\Ls'}$}{AB'}=(\leftarrow\Ls\psio^2\ctheta)</math>

			:<math>\acc{G}{Cor'}=2\velang{REL'}{AB'}\times\vel{G}{REL'}=2(\Uparrow\psio)\times\left[(\nearrow\Ls\dot{\theta})+(\downarrow\dot{x})\right]=(\otimes 2\Ls\psio\dot{\theta}\ctheta)</math>

			:Per tant, <math>\acc{G}{T}\equiv\acc{G}{AB'} = (\nearrow\Ls(\ddot{\theta})+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\downarrow\ddot{x})+</math>
			:<math>+(\leftarrow\Ls\psio^2\ctheta)+(\otimes 2\Ls\psio\dot{\theta}\ctheta)</math>

			:La projecció d’aquests resultats a la base B fixa a l’anella és:

			:<math>\braq{\vel{G}{T}}{B}=\vector{-\dot{x}\stheta+\Ls\dot{\theta}}{-\dot{x}\ctheta}{-\Ls\psio\stheta}</math>

			:<math>\braq{\acc{G}{T}}{B}=\vector{-\ddot{x}\stheta+\Ls(\ddot{\theta}-\psio^2\stheta\ctheta)}{-\ddot{x}\ctheta+\Ls(\dot{\theta}^2+\psio^2\text{sin}^2\theta)}{-2\Ls\psio\dot{\theta}\ctheta}</math>
			</div>

			\|}</small>

			-------------



			'''*NOTA:''' En aquest web (i per manca de símbols de fletxa més precisos), tot i que les fletxes <math>\nearrow</math>, <math>\swarrow</math>, <math>\nwarrow</math> i <math>\searrow</math> semblen indicar que els vectors formen un angle de 45° amb la direcció vertical, no té per què ser així. Cal interpretar les fletxes de manera qualitativa, observant el dibuix que sempre acompanya aquest tipus de notació. Per exemple, l’apartat 1 de l’exercici C3-E.1, el vector <math>\vel{P}{REL}</math> forma un angle <math>\theta</math> genèric amb la direcció vertical. Si el valor de l’angle <math>\theta</math> és menor de 90° (com a la figura), el vector <math>\vel{P}{REL}</math> té component cap a dalt i una altra cap a la dreta.


			<p align="right"><small>© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor \|Tots els drets reservats]]</small></p>
			-------------




			<center>
			[[C2. Moviment d'un sistema mecànic\|<<< C2. Moviment d'un sistema mecànic]]

			[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid\|C4. Cinemàtica del sòlid rígid >>>]]
			</center>

Gemma: /* 2. Determina la aceleración del punto Q respecto al suelo */

2025-07-07T13:48:34Z