Cálculo vectorial - Historial de revisiones

Gemma: /* Operaciones entre vectores con representación analítica */

2025-02-08T19:57:47Z

Operaciones entre vectores con representación analítica

← Revisión anterior		Revisión del 19:57 8 feb 2025
Línea 157:		Línea 157:
	-------------		-------------

	==Operaciones entre vectores con representación analítica==		==V.4 Operaciones entre vectores con representación analítica==

Jana: /* Operaciones instantáneas: suma, producto escalar, producto vectorial */

2025-01-09T14:35:55Z

Operaciones instantáneas: suma, producto escalar, producto vectorial

← Revisión anterior		Revisión del 14:35 9 ene 2025
Línea 221:		Línea 221:
	:* productos cruzados de las componentes: para calcular la componente i-ésima, se suprimen las componentes i-ésimas y se hacen productos cruzados de las componentes que quedan de acuerdo con el esquema siguiente (código de signos: <span style="color:blue;">producto azul +</span>, <span style="color:red;">producto rojo -</span>):		:* productos cruzados de las componentes: para calcular la componente i-ésima, se suprimen las componentes i-ésimas y se hacen productos cruzados de las componentes que quedan de acuerdo con el esquema siguiente (código de signos: <span style="color:blue;">producto azul +</span>, <span style="color:red;">producto rojo -</span>):

	[[Archivo:Eqs fletxes.png\|thumb\|center\|~~420px~~\|link=]]		[[Archivo:Eqs fletxes.png\|thumb\|center\|430px\|link=]]

	<center>		<center>
Línea 227:		Línea 227:
	<small>'''Video V.1''' Algoritmo para el cálculo analítico del producto vectorial</small>		<small>'''Video V.1''' Algoritmo para el cálculo analítico del producto vectorial</small>
	</center>		</center>


	===Operaciones a lo largo del tiempo: derivación temporal===		===Operaciones a lo largo del tiempo: derivación temporal===

Jana en 14:34 9 ene 2025

2025-01-09T14:34:49Z

← Revisión anterior		Revisión del 14:34 9 ene 2025
Línea 204:		Línea 204:
	\\\us_1\vs_2-\us_2\vs_1		\\\us_1\vs_2-\us_2\vs_1
	\end{Bmatrix}</math>		\end{Bmatrix}</math>
			</center>

	Dos algoritmos sencillos para calcular el producto vectorial son los siguientes:		Dos algoritmos sencillos para calcular el producto vectorial son los siguientes:
Línea 210:		Línea 211:
	:*<math>\left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}\times \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}=det\begin{vmatrix}		:*<math>\left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}\times \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}=det\begin{vmatrix}
	\evec_1 & \evec_2 & \evec_3\\		\evec_1 & \evec_2 & \evec_3\\
	us_1 & us_2 & us_3\\		\us_1 & \us_2 & \us_3\\
	vs_1 & vs_2 & vs_1		\vs_1 & \vs_2 & \vs_1
	\end{vmatrix} = us_2 vs_3 \evec_1 + us_3 vs_1 \evec_2 + us_1 vs_2 \evec_3 - us_3 vs_2 \evec_1 - us_1 vs_3 \evec_2 - us_2 vs_1 \evec_3~~</math>~~ = \begin{Bmatrix}		\end{vmatrix} = \us_2 \vs_3 \evec_1 + \us_3 \vs_1 \evec_2 + \us_1 \vs_2 \evec_3 - \us_3 \vs_2 \evec_1 - \us_1 \vs_3 \evec_2 - \us_2 \vs_1 \evec_3 = \begin{Bmatrix}
	1\\		\us_2 \vs_3 - \us_3 \vs_2\\
	a\\		\us_3 \vs_1 - \us_1 \vs_3\\
	3		\us_1 \vs_2 - \us_2 \vs_1
	\end{Bmatrix}		\end{Bmatrix}</math>

	:*		:* productos cruzados de las componentes: para calcular la componente i-ésima, se suprimen las componentes i-ésimas y se hacen productos cruzados de las componentes que quedan de acuerdo con el esquema siguiente (código de signos: <span style="color:blue;">producto azul +</span>, <span style="color:red;">producto rojo -</span>):

			[[Archivo:Eqs fletxes.png\|thumb\|center\|420px\|link=]]

			<center>
	<html><iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube-nocookie.com/embed/01iRe5eplCI" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html><br>		<html><iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube-nocookie.com/embed/01iRe5eplCI" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html><br>
	<small>'''Video V.1''' ~~Algoritme per al càlcul analític~~ del ~~producte~~ vectorial</small>		<small>'''Video V.1''' Algoritmo para el cálculo analítico del producto vectorial</small>
	</center>		</center>

	~~===Operacions al llarg del temps: derivació temporal (mètode analític)===~~
	~~Aquest mètode també es coneix com '''derivació en base'''.~~

	~~Projectar un vector en una base vectorial <math>(\evec_1, \evec_2, \evec_3)</math> és expressar-~~lo ~~com a suma de tres vectors ortogonals~~:		===Operaciones a lo largo del tiempo: derivación temporal===

	<~~center~~><math>\uvec=\sum_{\is}^{}\us_\is\evec_\is</math>~~</center>~~		Proyectar un vector en una base vectorial <math>(\evec_1, \evec_2, \evec_3)</math> es expresarlo como suma de tres vectores ortogonales: <math>\uvec=\sum_{\is}^{}\us_\is\evec_\is</math>. Si la base es fija respecto a la referencia R en la que se calcula la derivada, estos vectores no cambian de orientación, y por tanto:

	Si la base ~~és fixa respecte de~~ la ~~referència~~ R ~~on es~~ calcula la derivada, ~~aquests vectors~~ no ~~canvien d’orientació~~, ~~i per tant~~:

	<center>		<center>
Línea 243:		Línea 242:
	</center>		</center>

	Si la base ~~és mòbil respecte de~~ R, ~~aquests vectors canvien d’orientació amb velocitat~~ angular <math>\left\{\Omegavec^\Bs_\Rs\right\}_\Bs</math>:		Si la base es móvil respecto a R, estos vectores cambian de orientación con velocidad angular <math>\left\{\Omegavec^\Bs_\Rs\right\}_\Bs</math>:

	<center>		<center>
	<math>\frac{\ds(\us_\is \evec_\is)}{\ds\ts} =\dot{\us}_\is\evec_\is+\left.\us_\is\frac{\ds\evec_\is}{\ds\ts}\right]_\Rs=\dot{\us}_\is\evec_\is+\us_\is(\Omegavec^\Bs_\Rs\times \evec_\is)</math> ,		<math>\frac{\ds(\us_\is \evec_\is)}{\ds\ts} =\dot{\us}_\is\evec_\is+\left.\us_\is\frac{\ds\evec_\is}{\ds\ts}\right]_\Rs=\dot{\us}_\is\evec_\is+\us_\is(\Omegavec^\Bs_\Rs\times \evec_\is)</math> ,
	</center>		</center>

	~~De manera que la derivació temporal d'un vector es pot escriure analíticament de la següent manera:~~

	<center>		<center>

Jana en 20:04 8 ene 2025

2025-01-08T20:04:12Z

Mostrar los cambios

Jana: Página creada con «
TOC
$\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\t…»$

2025-01-08T11:11:17Z

Página creada con «<div class="noautonum">__TOC__</div> <math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\t…»

Página nueva

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}</math>
==V.1 Representación geométrica de un vector==
Los vectores se pueden representar geométricamente con un dibujo, indicando la '''dirección''' (y el sentido genérico positivo) mediante una flecha y el '''valor''' (positivo o negativo), que puede ser variable ('''Figura V.1''').

[[Archivo:V-1-neutre.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura V.1''' Representación geométrica del vector de posición de un punto '''O''' que se puede mover a lo largo de una recta: (a) definición genérica del valor positivo; (b) tres casos particulares
</center>

Las operaciones habituales entre vectores (suma, resta, producto por un escalar, producto vectorial, derivación) se pueden hacer a partir de sus representaciones geométricas. La sección siguiente resume los procedimientos.

--------------
--------------

==V.2 Operaciones con vectores con representación geométrica==
===Operaciones instantáneas: suma, producto escalar, producto vectorial===
La '''Figura V.2''' resume los procedimientos para realizar las tres operaciones entre vectores que solo implican un único instante temporal.
[[Archivo:V-2-esp.png|thumb|center|550px|link=]]
<center>'''Figura V.2''' Cálculo geométrico de las operaciones instantáneas entre vectores </center>

===Operaciones a lo largo del tiempo: derivación temporal===
Las dos operaciones vectoriales a lo largo del tiempo son la derivada y la integral temporal, y dependen de la referencia desde la que se observan los vectores. Esta última operación no es sencilla a partir de la representación geométrica, y se deja de lado.

La derivación temporal de un vector relativa a una referencia R evalúa el ritmo temporal de cambio de les características del vector (dirección y valor) entre dos instantes consecutivos muy cercanos, separados por un diferencial de tiempo (dt). Simbólicamente, esta derivada se representa como <math>\frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\Rs</math>. El subíndice R recuerda que esta operación depende de la referencia desde la que se observa la evolución temporal del vector.

El resultado de la derivada es distinto de cero cuando el valor, o la dirección o ambas cosas cambian.

Muchos textos utilizan el punto para indicar la derivación temporal de escalares y vectores:

:Variable escalar: <math>\frac{\ds\rho}{\ds\ts}\equiv \dot{\rho}</math>

:Variable vectorial: <math>\frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\Rs\equiv \dot{\uvec}\bigr]_\Rs</math>

En este curso, el punto se utiliza básicamente para la derivada temporal de escalares.

'''Caso particular: Derivada de un vector de dirección constante'''

Cuando un vector <math>\uvec</math> solo cambia de valor (es decir, mantiene su dirección constante respecto a la referencia), su derivada es un vector paralelo a <math>\uvec</math> de valor igual al cambio de valor en un dt (<math>\frac{\ds\us}{\ds\ts}\equiv \dot{\us}</math>). Ya que el tamaño de un objeto en un cierto instante de tiempo es un invariante, este resultado no depende de la referencia ('''Figura V.3'''):

<center>
<math>
\begin{equation}
\frac{\ds\uvec}{\ds\ts} \bigg]_\Rs = \frac{\ds\uvec}{\ds\ts} = \dot{\us}\frac{\uvec}{|\uvec|}\end{equation}</math> , dónde <math>\frac{\uvec}{|\uvec|} </math> es el versor de la dirección del vector <math> \uvec </math>.
</center>

[[Archivo:V-3-esp.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>'''Figura V.3''' La derivada de un vector que solo cambia de valor es paralela al vector, y es independiente de referencia: '''(a)''' signo(<math>\dot\us</math>) = signo(<math>\us</math>); '''(b)''' signo(<math>\dot\us</math>) = -signo(<math>\us</math>)</center>

'''Caso particular: Derivada de un vector de valor constante que evoluciona sobre un plano fijo a la referencia'''

Considerem ara un vector <math>\uvec</math> que evoluciona sobre un pla <math>\Pi</math> fix a la referència R (vector amb '''moviment pla''' respecte de R). Si només canvia de direcció en R, la seva derivada és un vector ortogonal a <math>\uvec</math> de valor igual al producte del valor del vector (u) pel ritme de canvi de l’angle d’orientació <math>\theta</math> del vector en el pla <math>\Pi</math>, <math> \us\frac{\ds\theta}{\ds\ts}=\us\dot{\theta}</math> ('''Figura V.4''').

[[Fitxer:V-4-cat-color.png|thumb|center|570px|link=]]
<center>'''Figura V.4''' La derivada d’un vector que només canvia de direcció és ortogonal al vector, i depèn de la referència</center>

El concepte ritme de canvi d’orientació (<math>\dot{\theta}</math> a les figures V.4 i V.5) demana la introducció prèvia de l’[[C1. Configuració d'un sistema mecànic#C1.3 Orientació d'un sòlid rígid amb moviment pla|'''angle d’orientació''']] (<math>\theta</math> a les figures V.4 i V.5), definit en un pla <math>\Pi</math> a partir d’una direcció fixa al pla <math>\Pi</math> i el vector que es deriva. L’orientació d’aquest pla a R i el ritme de canvi d’orientació <math>\dot{\theta}</math> del vector es poden combinar en un únic objecte matemàtic: la [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.4 Velocitat angular d’un sòlid rígid|'''velocitat angular''']] del vector respecte de R, de valor <math>\dot{\theta}</math> i direcció ortogonal al pla. El sentit del vector s’associa a la regla del cargol ('''Figura V.5'''). La notació genèrica que es fa servir en aquest curs per a la velocitat angular d’un objecte en una referència R és <math>\Omegavec^{\textup{objecte}}_\Rs</math>.

[[Fitxer:V-5-cat-color.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>'''Figura V.5''' Vector velocitat angular d’un vector de valor constant en una referència</center>

La derivada es pot escriure a partir d’aquest vector de velocitat angular com a <math>\frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\Rs = {\Omegavec}^{\uvec}_\Rs \times \uvec</math>.

'''Cas particular: Derivada d’un vector de valor constant que evoluciona de manera general a la referència'''

Es pot demostrar que, quan el vector <math>\uvec</math> que es deriva no evoluciona sobre un pla sinó que té una evolució 3D, el resultat de la derivada s’obté de la mateixa manera a través de la seva velocitat angular <math>\Omegavec^{\uvec}_\Rs</math> ['''Batlle, J.A., Barjau, A. (2020) chapter 1 in Rigid body kinematics. Cambridge University Press''']. L’obtenció d’aquesta velocitat angular (unitats [[C1. Configuració d'un sistema mecànic|'''C1''']] i [[C2. Moviment d'un sistema mecànic|'''C2''']]), però, és més complicada.

'''Cas general: Derivada d’un vector que evoluciona de manera general respecte d’una referència R'''

Si el vector <math>\uvec</math> evoluciona de manera general en una referencia R (és a dir, canvia de valor i de direcció), la seva derivada temporal és ('''Figura V.6'''):

<center>
<math>\frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\Rs = [\text{canvi de valor}]+[\text{canvi de direcció}]_\Rs = \dot{\us}\frac{\uvec}{|\uvec|} + {\Omegavec}^{\uvec}_\Rs\times\uvec</math>
</center>

[[Fitxer:V-6-cat-nou.png|thumb|center|650px|link=]]
<center>'''Figura V.6''' Derivada temporal d’un vector relativa a una referència: cas general</center>

'''Relació entre les derivades temporals d'un mateix vector en dues referències diferents'''

A partir de l'equació anterior, és fàcil veure que la diferència entre les derivades d’un mateix vector a dues referències diferents R1 i R2 és:

<center>
<math>\frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\textrm{R1}-\frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\textrm{R2} = (\Omegavec^\uvec_\textrm{R1}-\Omegavec^\uvec_\textrm{R2})\times \uvec</math>
</center>

Es pot demostrar que <math>(\Omegavec^\uvec_\textrm{R1}-\Omegavec^\uvec_\textrm{R2}=\Omegavec^\textrm{R2}_\textrm{R1})</math> (la demostració general és llarga i no s’inclou aquí). Per tant, quan dues referències no giren una respecte de l’altra <math>(\Omegavec^\textrm{R2}_\textrm{R1}=0)</math>, la derivada temporal d’un vector en totes dues condueix al mateix resultat. Altrament:

<center>
<math>\frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\textrm{R1}=\frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\textrm{R2} + \Omegavec^\textrm{R2}_\textrm{R1}\times \uvec</math>
</center>

--------------
--------------

==V.3 Representació analítica d’un vector==

Un vector també es pot representar de manera analítica mitjançant les seves components en tres direccions independents de l’espai. Els vectors unitaris (versors) d’aquestes direccions s’anomenen <math>(\evec_1, \evec_2, \evec_3)</math> i constitueixen una '''base vectorial'''. En aquesta base, el vector s’expressa com a combinació lineal d’aquests versors, i els coeficients són les components del vector en aquesta base:

<center>
<math>\uvec=\textrm{u}_1\evec_1+\textrm{u}_2\evec_2+\textrm{u}_3\evec_3</math>
</center>

En aquest curs, ens limitem a bases '''ortogonals i directes''' (dextrògires), és a dir, on el versor de la direcció 3 és el producte vectorial dels versors de les direccions 1 i 2: <math>\evec_1\times \evec_2=\evec_3</math>. A l’hora de representar una base en un dibuix, sovint es col·loquen tres eixos que interseccionen en un punt. Aquest punt d'intersecció és irrellevant, i de cap manera es pot dir que és l'"origen de la base": el concepte d’origen no és aplicable a les bases vectorials (l’únic que defineix una base son les tres direccions que la composen). Un mateix vector es pot projectar en diverses bases, però això no en modifica ni el seu valor ni la seva direcció.

La '''Figura V.7''' mostra la projecció, en dues bases diferents, del vector <math>\overline{\textrm{r}}</math>, associat a un radi d’una plataforma giratòria amb moviment pla respecte de R. La base <math>(1,2,3)</math> no canvia d’orientació respecte de R, mentre que la base <math>(1',2',3')</math> canvia d’orientació respecte de R però no respecte de R' (que és la plataforma).

[[Fitxer:V-7-neutre.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura V.7''' Un mateix vector projectat en dues bases diferents</center>

Una notació alternativa (que és la que preferentment es farà servir en aquest curs per expressar vectors projectats en bases vectorials) és la de posar les components en columna, ordenades segons l’ordre dels eixos de la base:

<center>
<math>\left\{\overline{\textbf{r}}\right\}_{\textrm{123}}\equiv \left\{\overline{\textbf{r}}\right\}_{\Bs}=
\begin{Bmatrix}\textrm{r}cos\theta
\\\textrm{r}sin\theta
\\\textup{0}
\end{Bmatrix}
</math>

<math>\left\{\overline{\textbf{r}}\right\}_{\textrm{1'2'3'}}\equiv \left\{\overline{\textbf{r}}\right\}_{\textrm{B'}}=
\begin{Bmatrix}\textrm{r}
\\\textup{0}
\\\textup{0}
\end{Bmatrix}
</math>
</center>

Si els versors tenen sempre la mateixa direcció respecte de la referència, es diu que es tracta d’una '''base fixa'''. En canvi, si la direcció dels versors varia al llarg del temps, es diu que és una '''base mòbil'''. Tenint en compte que els tres versors son permanentment ortogonals entre ells, es pot parlar de l’'''orientació de la base B''', i del seu ritme de canvi d’orientació respecte d’una referència R (o '''velocitat angular de la base''' respecte de R), <math>\Omegavec^\Bs_\Rs</math>.

A la '''Figura V.7''', la base <math>B=(1,2,3)</math> no canvia d’orientació respecte de R (és una base fixa a R) però si que canvia d'orientació respecte de R' (seria una base mòbil a R'): <math>\Omegavec^\Bs_\Rs = 0</math>, <math>\Omegavec^\Bs_{\Rs'} \not= 0</math>.

En canvi, la base <math>B'=(1',2',3')</math> canvia d’orientació respecte de R però no respecte de R' (és una base fixa a R' però mòbil a R): , <math>\Omegavec^{\Bs'}_\Rs \not= 0</math>, <math>\Omegavec^{\Bs'}_{\Rs'} = 0</math>.

-------------
-------------

==V.4 Operacions entre vectors amb representació analítica==

===Operacions instantànies: suma, producte escalar, producte vectorial.===

Les operacions instantànies entre vectors es poden fer a través de les bases vectorials. En ser instantànies, el caràcter fix o mòbil de la base és irrellevant. El que és fonamental és que tots dos vectors estiguin projectats a la mateixa base.

<center>
<math>\left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}=
\begin{Bmatrix}\us_1
\\\us_2
\\\us_3
\end{Bmatrix}</math> ,
<math>\left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}=
\begin{Bmatrix}\vs_1
\\\vs_2
\\\vs_3
\end{Bmatrix}</math>

<math>\left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}+ \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}=
\begin{Bmatrix}\us_1+\vs_1
\\\us_2+\vs_2
\\\us_3+\vs_3
\end{Bmatrix}</math>

<math>\left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}· \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}= \us_1\vs_1+\us_2\vs_2+\us_3\vs_3</math>
</center>

<center>
<math>\left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}\times \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}=
\begin{Bmatrix}\us_1
\\\us_2
\\\us_3
\end{Bmatrix}
\times
\begin{Bmatrix}\vs_1
\\\vs_2
\\\vs_3
\end{Bmatrix}
=
\begin{Bmatrix}\us_2\vs_3-\us_3\vs_2
\\\us_3\vs_1-\us_1\vs_3
\\\us_1\vs_2-\us_2\vs_1
\end{Bmatrix}</math>

<html><iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube-nocookie.com/embed/01iRe5eplCI" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html> 
'''Video V.1''' Algoritme per al càlcul analític del producte vectorial
</center>

===Operacions al llarg del temps: derivació temporal (mètode analític)===
Aquest mètode també es coneix com '''derivació en base'''.

Projectar un vector en una base vectorial <math>(\evec_1, \evec_2, \evec_3)</math> és expressar-lo com a suma de tres vectors ortogonals:

<center><math>\uvec=\sum_{\is}^{}\us_\is\evec_\is</math></center>

Si la base és fixa respecte de la referència R on es calcula la derivada, aquests vectors no canvien d’orientació, i per tant:

<center>
<math>\frac{\ds(\us_\is\evec_\is)}{\ds\ts} =\dot{\us}_\is\evec_\is</math> , <math>\left\{\left.\frac{\ds\uvec}{\ds\ts}
\right]_{\Rs}\right\}_\Bs=\frac{\ds}{\ds\ts}\left\{\uvec\right\}_\Bs=
\begin{Bmatrix}\dot{\us}_1
\\\dot{\us}_2
\\\dot{\us}_3
\end{Bmatrix}</math>
</center>

Si la base és mòbil respecte de R, aquests vectors canvien d’orientació amb velocitat angular <math>\left\{\Omegavec^\Bs_\Rs\right\}_\Bs</math>:

<center>
<math>\frac{\ds(\us_\is \evec_\is)}{\ds\ts} =\dot{\us}_\is\evec_\is+\left.\us_\is\frac{\ds\evec_\is}{\ds\ts}\right]_\Rs=\dot{\us}_\is\evec_\is+\us_\is(\Omegavec^\Bs_\Rs\times \evec_\is)</math> ,
</center>

De manera que la derivació temporal d'un vector es pot escriure analíticament de la següent manera:

<center>
<math>\left\{\left.\frac{\ds\uvec}{\ds\ts}
\right]_\Rs\right\}_\Bs = \frac{\ds}{\ds\ts}\left\{\uvec\right\}_\Bs
+\left\{\Omegavec^\Bs_\Rs\right\}_\Bs
\times \left\{\uvec\right\}_\Bs=
\begin{Bmatrix}\dot{\us}_1
\\\dot{\us}_2
\\\dot{\us}_3
\end{Bmatrix}
+
\begin{Bmatrix}\Omega_1
\\\Omega_2
\\\Omega_3
\end{Bmatrix}
\times
\begin{Bmatrix}\us_1
\\\us_2
\\\us_3
\end{Bmatrix}
</math>
</center>

© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecánica:Derechos de autor |Todos los derechos reservados]]

--------------

<center>
[[Introducción|<<< Introducción]]

[[C1. Configuración de un sistema mecánico|C1. Configuración de un sistema mecánico >>>]]
</center>