Mecánica - Contribuciones del usuario [es]

C3. Composición de movimientos

2025-07-07T14:32:41Z

Gemma: /* C3.E Ejemplos generales */

C3. Composición de movimientos

2025-07-07T14:31:50Z

Gemma: /* C3.E Ejemplos generales */

C3. Composición de movimientos

2025-07-07T14:31:02Z

Gemma: /* 2. Determina la velocidad y aceleración del punto G respecto al suelo */

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2025-07-07T14:27:59Z

Gemma:

C3. Composición de movimientos

2025-07-07T14:24:38Z

Gemma: /* 1. Determina la velocidad y aceleración del punto G respecto a la guia */

C3. Composición de movimientos

2025-07-07T14:00:39Z

Gemma: /* C3.E Ejemplos generales */

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2025-07-07T13:58:53Z

Gemma:

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Gemma:

C3. Composición de movimientos

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Gemma: /* 2. Determina la aceleración del punto Q respecto al suelo */

C3. Composición de movimientos

2025-07-07T13:46:58Z

Gemma: /* 2. Determina la aceleración del punto Q respecto al suelo */

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Gemma:

C3. Composición de movimientos

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Gemma: /* 2. Determina la aceleración del punto Q respecto al suelo */

C3. Composición de movimientos

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Gemma: /* 2. Determina la aceleración del punto Q respecto al suelo */

C3. Composición de movimientos

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Gemma: /* 2. Determina la aceleración del punto Q respecto al suelo */

C3. Composición de movimientos

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Gemma: /* C3.E Ejemplos generales */

C3. Composición de movimientos

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Gemma: /* 🔎 EJEMPLO C3-E.2: placa articulada giratoria */

C3. Composición de movimientos

2025-07-03T09:02:10Z

Gemma: /* C3.E Ejemplos generales */

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Gemma:

C3. Composición de movimientos

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Gemma: /* 2. Determina la aceleración del punto P respecto al suelo */

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Gemma: /* C3. Composición de movimientos */

<strong><big>Wiki en construcción...</big></strong>
__NOTOC__
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===[[Introducción]]===
:: [[Introducción#I.1 ¿Qué es la mecánica?|I.1 ¿Qué es la mecánica?]]
:: [[Introducción#I.2 Modelos de objetos materiales|I.2 Modelos de objetos materiales]]
:: [[Introducción#I.3 Limitaciones de la mecánica newtoniana|I.3 Limitaciones de la mecánica newtoniana]]
:: [[Introducción#I.4 Referencia (o marco de referencia)|I.4 Referencia (o marco de referencia)]]

===[[Cálculo vectorial]]===
::[[Cálculo vectorial#V.1 Representación geométrica de un vector|V.1 Representación geométrica de un vector]]
::[[Cálculo vectorial#V.2 Operaciones entre vectores con representación geométrica|V.2 Operaciones entre vectores con representación geométrica]]
::::[[Cálculo vectorial#Operaciones instantáneas: suma, producto escalar, producto vectorial|Operaciones instantáneas: suma, producto escalar, producto vectorial]]
::::[[Cálculo vectorial#Operaciones a lo largo del tiempo: derivación temporal|Operaciones a lo largo del tiempo: derivación temporal]]
::[[Cálculo vectorial#V.3 Representación analítica de un vector (coordenadas, bases vectoriales)|V.3 Representación analítica de un vector (coordenadas, bases vectoriales)]]
::[[Cálculo vectorial#V.4 Operaciones entre vectores con representación analítica|V.4 Operaciones entre vectores con representación analítica]]
::::[[Cálculo vectorial#Operaciones instantáneas: suma, producto escalar, producto vectorial|Operaciones instantáneas: suma, producto escalar, producto vectorial]]
::::[[Cálculo vectorial#Operaciones a lo largo del tiempo: derivación temporal|Operaciones a lo largo del tiempo: derivación temporal]]

==CINEMÁTICA==
===[[C1. Configuración de un sistema mecánico]]===
::[[C1. Configuración de un sistema mecánico#C1.1 Posición de una partícula|C1.1 Posición de una partícula]]
::[[C1. Configuración de un sistema mecánico#C1.2 Configuración de un sólido rígido|C1.2 Configuración de un sólido rígido]]
::[[C1. Configuración de un sistema mecánico#C1.3 Orientación de un sólido rígido con movimiento plano|C1.3 Orientación de un sólido rígido con movimiento plano]]
::[[C1. Configuración de un sistema mecánico#C1.4 Orientación de un sólido rígido con movimiento en el espacio|C1.4 Orientación de un sólido rígido con movimiento en el espacio]]
::::[[C1. Configuración de un sistema mecánico#Rotaciones alrededor de direcciones fijas|Rotaciones alrededor de direcciones fijas]]
::::[[C1. Configuración de un sistema mecánico#Rotaciones de Euler|Rotaciones de Euler]]
::[[C1. Configuración de un sistema mecánico#C1.5 Coordenadas independientes|C1.5 Coordenadas independientes]]

===[[C2. Movimiento de un sistema mecánico]]===
::[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.1 Velocidad de una partícula|C2.1 Velocidad de una partícula]]
::[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.2 Aceleración de una partícula|C2.2 Aceleración de una partícula]]
::[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.3 Direcciones intrínsecas. Componentes intrínsecas de la aceleración|C2.3 Direcciones intrínsecas. Componentes intrínsecas de la aceleración]]
::[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.4 Velocidad angular de un sólido rígido|C2.4 Velocidad angular de un sólido rígido]]
::::[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#Rotación simple|Rotación simple]]
::::[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#Rotación en el espacio|Rotación en el espacio]]
::[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.5 Aceleración angular de un sólido rígido|C2.5 Aceleración angular de un sólido rígido]]
::[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.6 Cinemática de partícula versus cinemática de sólido rígido|C2.6 Cinemática de partícula versus cinemática de sólido rígido]]
::[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.7 Grados de libertad|C2.7 Grados de libertad]]
::[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.8 Enlaces habituales en los sistemas mecánicos|C2.8 Enlaces habituales en los sistemas mecánicos]]
::[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.E Ejemplos generales|C2.E Ejemplos generales]]

===[[C3. Composición de movimientos]]===
::[[C3. Composición de movimientos#C3.1 Composición de velocidades|C3.1 Composición de velocidades]]
::[[C3. Composición de movimientos#C3.2 Composición de aceleraciones|C3.2 Composición de aceleraciones]]
::[[C3. Composición de movimientos#C3.3 Composición ''versus'' derivación|C3.3 Composición ''versus'' derivación]]
::[[C3. Composición de movimientos#C3.E Ejemplos generales|C3.E Ejemplos generales]]

===[[C4. Cinemática 3D del sólido rígido]]===
::[[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.1 Distribución de velocidades|C4.1 Distribución de velocidades]]
::[[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.2 Distribución de aceleraciones|C4.2 Distribución de aceleraciones]]
::[[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.3 Geometry of the velocity distribution: Instantaneous Screw Axis (ISA)|C4.3 Geometry of the velocity distribution: Instantaneous Screw Axis (ISA)]]
::[[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.4 Axoide fijo y axoide móvil|C4.4 Axoide fijo y axoide móvil]]
::[[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.E Ejemplos generales|C4.E Ejemplos generales]]

===[[C5. Cinemática del sólido rígido: movimiento plano]]===
::[[C5. Cinemática del sólido rígido: movimiento plano#C5.1 Centro Instantáneo de Rotación (CIR)|C5.1 Centro Instantáneo de Rotación (CIR)]]
::[[C5. Cinemática del sólido rígido: movimiento plano#C5.2 Ejemplos|C5.2 Ejemplos]]
::[[C5. Cinemática del sólido rígido: movimiento plano#C5.3 Introducción a la cinemática de vehículos|C5.3 Introducción a la cinemática de vehículos]]

==DINÁMICA==
===[[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#|D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana]]===
::[[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.1 Referencias galileanas|D1.1 Referencias galileanas]]
::[[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.2 Principio de Relatividad de Galileo|D1.2 Principio de Relatividad de Galileo]]
::[[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.3 Principio de Determinación de Newton|D1.3 Principio de Determinación de Newton]]
::[[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.4 Primera ley de Newton (ley de la inercia)|D1.4 Primera ley de Newton (ley de la inercia)]]
::[[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.5 Segunda ley de Newton (ley fundamental de la dinámica)|D1.5 Segunda ley de Newton (ley fundamental de la dinámica)]]
::[[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)]]
::[[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.7 Dinámica de la partícula en referencias no galileanas|D1.7 Dinámica de la partícula en referencias no galileanas]]

===[[D2. Fuerzas de interacción entre partículas#|D2. Fuerzas de interacción entre partículas]]===
::[[D2. Fuerzas de interacción entre partículas#D2.1 Dependencia cinemática de las fuerzas de interaccións|D2.1 Dependencia cinemática de las fuerzas de interacción]]
::[[D2. Fuerzas de interacción entre partículas#D2.2 Clasificación de las fuerzas de interacción|D2.2 Clasificación de las fuerzas de interacción]]
::[[D2. Fuerzas de interacción entre partículas#D2.3 Atracción gravitatoria|D2.3 Atracción gravitatoria]]
::[[D2. Fuerzas de interacción entre partículas#D2.4 Interacción a través de muelles|D2.4 Interacción a través de muelles]]
::[[D2. Fuerzas de interacción entre partículas#D2.5 Interacción a través de amortiguadores|D2.5 Interacción a través de amortiguadores]]
::[[D2. Fuerzas de interacción entre partículas#D2.6 Interacción a través de actuadores|D2.6 Interacción a través de actuadores]]
::[[D2. Fuerzas de interacción entre partículas#D2.7 Interacciones de enlace|D2.7 Interacciones de enlace]]
::[[D2. Fuerzas de interacción entre partículas#D2.8 Fricción|D2.8 Fricción]]

===[[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#|D3. Interacciones entre sólidos rígidos]]===
::[[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.1 Torsor asociado a un sistema de fuerzas|D3.1 Torsor asociado a un sistema de fuerzas]]
::[[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.2 Atracción gravitatoria|D3.2 Atracción gravitatoria]]
::[[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.3 Interacción a través de muelles y amortiguadores lineales y torsionales|D3.3 Interacción a través de muelles y amortiguadores lineales y torsionales]]
::[[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|D3.4 Interacciones directas de enlace]]
::[[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)]]
::[[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.6 Interacciones a través de actuadores lineales y rotacionales|D3.6 Interacciones a través de actuadores lineales y rotacionales]]

===[[D4. Teoremas vectoriales#|D4. Teoremas vectoriales]]===
::[[D4. Teoremas vectoriales#D4.1 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias galileanas|D4.1 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias galileanas]]
::[[D4. Teoremas vectoriales#D4.2 Ejemplos de aplicación del TCM|D4.2 Ejemplos de aplicación del TCM]]
::[[D4. Teoremas vectoriales#D4.3 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias no galileanas|D4.3 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias no galileanas]]
::[[D4. Teoremas vectoriales#D4.4 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulación general|D4.4 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulación general]]
::[[D4. Teoremas vectoriales#D4.5 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulaciones particulares|D4.5 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulaciones particulares]]
::[[D4. Teoremas vectoriales#D4.6 Ejemplos de aplicación del TMC|D4.6 Ejemplos de aplicación del TMC]]
::[[D4. Teoremas vectoriales#D4.7 Dinámica de los Sólidos Auxiliares de Enlace|D4.7 Dinámica de los Sólidos Auxiliares de Enlace]]
::[[D4. Teoremas vectoriales#D4.8 Descomposición baricéntrica del momento cinético|D4.8 Descomposición baricéntrica del momento cinético]]

===[[D5. Tensor de inercia#|D5. Tensor de inercia]]===
::[[D5. Tensor de inercia#D5.1 Centro de masas|D5.1 Centro de masas]]
::[[D5. Tensor de inercia#D5.2 Tensor de inercia|D5.2 Tensor de inercia]]
::[[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|D5.3 Ejes principales de inercia]]
::[[D5. Tensor de inercia#D5.4 Algunas propiedades relevantes del tensor de inercia|D5.4 Algunas propiedades relevantes del tensor de inercia]]
::[[D5. Tensor de inercia#D5.5 Teorema de Steiner|D5.5 Teorema de Steiner]]
::[[D5. Tensor de inercia#D5.6 Cambio de base|D5.6 Cambio de base]]

===[[D6. Ejemplos de dinámica 2D#|D6. Ejemplos de dinámica 2D]]===
::[[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.1 Cinemática 2D y dinámica 2D|D6.1 Cinemática 2D y dinámica 2D]]
::[[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.2 Diagrama de sólido libre (DSL) y hoja de ruta|D6.2 Diagrama de sólido libre (DSL) y hoja de ruta]]
::[[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.3 Ejemplos de un único sólido|D6.3 Ejemplos de un único sólido]]
::[[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.4 Diagrama general de interacciones (DGI)|D6.4 Diagrama general de interacciones (DGI)]]
::[[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.5 Ejemplos de sistemas multisólido|D6.5 Ejemplos de sistemas multisólido]]

===[[D7. Ejemplos de dinámica 3D#|D7. Ejemplos de dinámica 3D]]===
::[[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento]]
::[[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.2 Ejemplos generales|D7.2 Ejemplos generales]]

===[[D8. Conservaciones#|D8. Conservaciones]]===
::[[D8. Conservaciones#D8.1 Ejemplos|D8.1 Ejemplos]]

==ENERGÉTICA==
===[[E1. Teorema de la energía: versión diferencial#|E1. Teorema de la energía: versión diferencial]]===
::[[E1. Teorema de la energía: versión diferencial#E1.1 Balance de potencias en un sistema de partículas|E1.1 Balance de potencias en un sistema de partículas]]
::[[E1. Teorema de la energía: versión diferencial#E1.2 Potencia de una pareja de acción-reacción|E1.2 Potencia de una pareja de acción-reacción]]
::[[E1. Teorema de la energía: versión diferencial#E1.3 Potencia de un sistema de fuerzas sobre un sólido rígido|E1.3 Potencia de un sistema de fuerzas sobre un sólido rígido]]
::[[E1. Teorema de la energía: versión diferencial#E1.4 Balance de potencias per a un sistema multisólido: cálculo directo e indirecto|E1.4 Balance de potencias per a un sistema multisólido: cálculo directo e indirecto]]

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C3. Composición de movimientos

2025-07-03T08:27:48Z

Gemma: /* C3.E Ejemplos generales */

Archivo:C3-E-Ex1-4-cat-esp.png

2025-07-03T08:27:32Z

Gemma:

C3. Composición de movimientos

2025-07-03T08:24:36Z

Gemma: /* C3.E Ejemplos generales */

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2025-07-03T08:21:15Z

Gemma:

C3. Composición de movimientos

2025-07-03T08:19:57Z

Gemma: /* C3.E Ejemplos generales */

C3. Composición de movimientos

2025-07-03T08:19:09Z

Gemma: /* C3.E Ejemplos generales */

C3. Composición de movimientos

2025-07-03T08:17:36Z

Gemma: /* C3.E Ejemplos generales */

C3. Composición de movimientos

2025-06-13T14:28:56Z

Gemma: /* C3.E Ejemplos generals */

C3. Composición de movimientos

2025-06-13T14:28:20Z

Gemma:

C2. Movimiento de un sistema mecánico

2025-06-13T13:32:07Z

Gemma: /* C2.E Exercicis resolts */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\boldsymbol\alpha}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textrm{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{x}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\dth}{\dot\theta}
\newcommand{\ddth}{\ddot\theta}
\newcommand{\sth}{\sin{\theta}}
\newcommand{\cth}{\cos{\theta}}
\definecolor{blau}{RGB}{39, 127, 255}
\definecolor{verd}{RGB}{9, 131, 9}
</math>
==C2.1 Velocidad de una partícula==

La '''velocidad de una partícula''' <math>\Qs</math> (o de un punto que pertenece a un sólido) '''respecto a una referencia R''', <math>\vvec_{\Rs}(\Qs)</math>, es el cambio del vector de posición a lo largo del tiempo. Matemáticamente, es la derivada temporal de un vector de posición (relativo a R). Dos vectores de posición distintos (<math>\overline{\Or\Qs}</math>, <math>\overline{\Os'_\Rs\Qs}</math>) dan lugar a la misma velocidad porque los puntos <math>\Os_\Rs</math> y <math>\Os'_\Rs</math> son fijos entre sí y fijos a la referencia, y por tanto <math>\overline{\Os_\Rs\Os'_\Rs}</math> es constante en R:

<center>
<math>
\vvec_\Rs(\Qs) = \dert{\vec{\Os_{\Rs}\Qs}}{R} =
\dert{\vec{\Os_{\Rs}\Os_{\Rs}'}}{R} + \dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R} =
\dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R}
</math>
</center>

Es importante recordar que la derivada de un vector depende de la referencia en la que se evalúa. Por eso, en las ecuaciones anteriores se especifica la referencia en la que se deriva mediante un subíndice R.

La <span style="text-decoration: underline;">[[Cálculo vectorial#V.2 Operaciones con vectores con representación geométrica|'''derivación temporal de un vector respecto a una referencia R''']]</span> evalúa el cambio de las características del vector (dirección y valor) entre dos instantes consecutivos muy cercanos, separados por un diferencial de tiempo. Por tanto, la velocidad <math>\vvec_\Rs(\Qs)</math> es distinta de cero cuando el valor del vector de posición, o su dirección o ambas cosas cambian.

====✏️ EJEMPLO C2-1.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico====
---------
<small>
::La plataforma (RP) gira alrededor de un eje perpendicular al suelo (R). El movimiento de un punto <math>\Qs</math> de la periferia de la plataforma es distinto según si se observa desde el suelo o desde la plataforma.

[[Archivo:C2-Ex1-1-1-neut.png|thumb|center|350px|link=]]

::El centro de la plataforma (<math>\Os</math>) es fijo a ambas referencias. Por tanto, <math>\vec{\Os\Qs}</math> es un vector de posición para el punto <math>\Qs</math> tanto en la referencia R como en la referencia RP. Es evidente que <math>\vvec_\Rs(\Qs)\neq \vec{0}</math> y <math>\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)= \vec{0}</math>, aunque el vector que se deriva es el mismo.
::Ya que <math>\abs{\OQvec}</math> es el radio r de la plataforma, tiene valor constante. Por tanto, la derivada de <math>\abs{\OQvec}</math> en cualquier referencia sólo puede estar asociada a un cambio de dirección.
::Para evaluar el cambio de orientación de <math>\abs{\OQvec}</math> respecto al suelo o a la plataforma, hay que definir un ángulo entre una recta fija a la referencia (recta de “salida”) y el vector <math>\OQvec</math> (recta de “llegada”). Para que quede clara la recta origen, representamos la recta de “salida” como la dirección del brazo de un observador situado en la referencia (y, por tanto, que no se mueve respecto a ella).

:[[Archivo:C2-Ex1-1-2-neut.png|thumb|center|450px|link=]]

<center>
<math>\psi(t)\neq\psi(t+dt) \implies \OQvec</math> cambia de dirección respecto a <span style="color:rgb(39,127,255);"><b>R</b></span> <math>\implies \textcolor{blau}{\vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{blau}{) \neq \vec{0}}</math>
</center>

::De acuerdo con lo que se ha visto en la <span style="text-decoration: underline;">[[Cálculo vectorial#V.1 Representación geométrica de un vector|'''sección V.1''']]</span>, <math>\textcolor{blau}{\vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{blau}{)}</math> es perpendicular a <math>\OQvec</math>, y su valor es el módulo de <math>\OQvec(\textrm{r})</math> por la velocidad de cambio de orientación de <math>\OQvec</math> respecto a R <math>(\dot{\psi})</math>:

[[Archivo:C2-Ex1-1-3-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>
Velocidad de <math>\Qs</math> relativa a la plataforma (<span style="color:rgb(9,131,9);">RP</span>):
</center>
[[Archivo:C2-Ex1-1-4-neut.png|thumb|center|450px|link=]]

<center>
<math>\psi(t)=\psi(t+dt) \implies \OQvec</math> no cambia de dirección respecto a <span style="color:rgb(9,131,9);">RP</span> <math>\textcolor{verd}{\implies \vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{verd}{) = \vec{0}}</math>
</center>

<div>
=====EJEMPLO C2-1.1: plataforma giratoria; cálculo analítico ➕=====

::Las dos bases vectoriales lógicas para hacer los cálculos son:

:::* Base B (1,2,3) fija respecto a R (y por tanto móvil en RP): <math>\velang{B}{R}=\vec{0},\velang{B}{RP}= -\vec{\dot{\psi}}</math>
:::* Base B' (1',2',3') fija respecto a P (y por tanto móvil en R): <math>\velang{B'}{RP}=\vec{0},\velang{B'}{R} = \vec{\dot{\psi}}</math>

[[Archivo:C2-Ex1-1-5-neut.png|thumb|200px|right|link=]]
::Proyección del vector de posición <math>\OQvec</math> en las dos bases:

<center>
<math>\braq{\OQvec}{B}=\vector{rcos\psi}{rsin\psi}{0}, \: \: \braq{\OQvec}{B'}=\vector{r}{0}{0}</math>
</center>

::Velocidad de <math>\Qs</math> respecto a R:

<center>
<math>
\braq{\vvec_\Rs(\Qs)}{B} = \braq{\dert{\OQvec}{R}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B} = \vector{-r\dot \psi sin\psi}{r\dot{\psi} cos\psi}{0}
</math>

<math>
\braq{\vvec_\Rs(\Qs)}{B'}=\braq{\dert{\OQvec}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B'}=\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B'}=\vector{0}{0}{\dot\psi} \times \vector{r}{0}{0}= \vector{0}{r\dot\psi}{0}
</math>
</center>

::Velocidad de <math>\Qs</math> respecto a RP:
<center>
<math>
\braq{\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)}{B} =\braq{\dert{\OQvec}{RP}}{B}= \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B}+\braq{\velang{B}{RP}\times \OQvec}{B}=\vector{-r\dot\psi sin\psi}{r\dot\psi cos\psi}{0}+ \vector{0}{0}{-\dot\psi}\times\vector{rcos\psi}{rsin\psi}{0}= \vector{0}{0}{0}
</math>
<math>
\braq{\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)}{B'} =\braq{\dert{\OQvec}{RP}}{B'}= \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{RP}\times \OQvec}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'} = \vector{0}{0}{0}
</math>
</center>
</div></small>

====✏️ EJEMPLO C2-1.2: péndulo de Euler; cálculo geométrico====
------------
<small>
::El extremo <math>\Qs</math> del <span style="text-decoration: underline; font-weigth:bold;">[[C1. Configuración de un sistema mecánico#✏️ Ejemplo C1-5.4: péndulo de Euler|'''péndulo de Euler''']]</span> describe un movimiento circular respecto al bloque. La velocidad asociada <math>\vel{Q}{BL} = \dert{\vecbf{CQ}}{BL}</math> se obtiene de manera análoga al ejemplo anterior.

[[Archivo:C2-Ex1-2-1-neut.png|thumb|center|300px|link=]]

::El ángulo <math>\psi</math> orienta la barra tanto respecto al bloque como respecto al suelo, ya que su origen (recta vertical) tiene orientación constante en ambas referencias.
::La velocidad de <math>\Qs</math> respecto al suelo se puede obtener derivando el vector <math>\vec{\Or\Qs} (=\vec{\Or\Cbf}+\vecbf{CQ})</math> respecto al suelo:

<center>
<math>
\vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R}+ \dert{\vec{\Cbf\Qs}}{R}
</math>
</center>

::El vector <math>\vec{\Or\Cbf}</math> tiene dirección constante en R pero valor variable, por tanto su derivada es paralela a <math>\vec{\Or\Cbf}</math> y de valor <math>\dot x</math>. El vector <math>\vec{\Cbf\Qs}</math>, en cambio, tiene valor constante pero dirección variable. Por tanto, su derivada es perpendicular a <math>\vec{\Cbf\Qs}</math>, y su valor es el módulo de <math>\vec{\Cbf\Qs}</math> por la velocidad de cambio de orientación de <math>\vec{\Cbf\Qs}</math> respecto a R (<math>\dot\psi</math>):

[[Archivo:C2-Ex1-2-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]

::La dirección de <math>\vel{Q}{R}</math> no es ninguna de les direcciones asociadas al sistema (ni la vertical, ni la horizontal, ni paralela a la barra ni perpendicular a la barra). Por este motivo, es mejor dejarla dibujada como suma de los dos términos <math>\dot x</math> y <math>L\dot\psi</math>, cuyas direcciones sí corresponden a una de estas direcciones singulares.

::Es interesante ver que el primer término de la expresión <math>\vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R}+\dert{\vecbf{CQ}}{R}</math> corresponde a la velocidad de <math>\Cs</math> respecto al suelo <math>\left(\vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R} \right)</math>, mientras que el segundo no tiene interpretación física: el punto <math>\Cs</math> no es fijo a R, y por tanto no es un vector de posición en esta referencia.

<div>
=====EJEMPLO C2-1.2: péndulo de Euler; cálculo analítico ➕=====
::Las dos bases vectoriales lógicas para hacer los cálculos son:

[[Archivo:C2-Ex1-2-3-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:::* Base B (1,2,3) fija respecto a R y BL: <math>\Omegavec_\Rs^\Bs=\vec{0},\Omegavec_{\Bs\Ls}^\Bs = \vec{0}</math>
:::* Base B' (1',2',3') fija respecto a la barra, y por tanto móvil en R y BL: <math>\velang{P}{B'}=\vec{0}</math>, <math>\velang{RL}{B'} = -\vec{\dot{\psi}}</math>

::Proyección del vector de posición <math>\OQvec</math> en las dos bases:
::<math>\braq{\OQvec}{B} = \vector{x+\Ls \sin{\psi}}{\Ls \cos{\psi}}{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:</math>, <math>\braq{\OQvec}{B'} = \vector{\Ls+x \sin{\psi}}{x\cos{\psi}}{0}</math>

::Velocidad de <math>\Qs</math> respecto a R:
<center>
<math>\braq{\vel{Q}{R}}{B} = \braq{\dert{\OQvec}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B} = \vector{\dot x+\Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls\dot\psi sin\psi}{0}</math>
<math>\braq{\vel{Q}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'} + \braq{\velang{B'}{R} \times \OQvec}{B'} = \vector{\dot x sin\psi+\ x\dot\psi cos\psi}{\dot x cos\psi - x \dot\psi sin \psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{\Ls+x sin\psi}{x cos\psi}{0}=\vector{\dot x sin \psi}{\dot x cos\psi + \Ls\dot\psi}{0}
</math>
</center>
::Si se quiere calcular la velocidad de <math>\Qs</math> respecto a BL, el vector de posición a derivar es <math>\vecbf{CQ}</math>:
<center><math>
\braq{\vecbf{CQ}}{B} = \vector{\Ls sin \psi}{-\Ls \cos{\psi}}{0}, \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \braq{\vecbf{CQ}}{B'}=\vector{\Ls}{0}{0}
</math></center>
</div></small>

---------
---------

==C2.2 Aceleración de una partícula==

La '''aceleración de una partícula''' <math>\Qs</math> (o de un punto que pertenece a un sólido) '''respecto de una referencia R''', <math>\acc{Q}{R}</math>, es el cambio de la velocidad a lo largo del tiempo:
<center>
<math>\acc{Q}{R} = \dert{\vel{Q}{R}}{R}</math>
</center>

====✏️ EJEMPLO C2-2.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico====
------

<small>
::En el movimiento circular del punto <math>\Qs</math> de la plataforma respecto al suelo (<span style="text-decoration: underline;">[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-1.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico|'''ejemplo C2-1.1''']]</span>), la aceleración proviene tanto del cambio de valor como del cambio de orientación de <math>\vel{Q}{R}</math>. Al ser <math>\vel{Q}{R}</math> permanentemente perpendicular a <math>\OQvec</math>, su ritmo de cambio de orientación es <math>\dot\psi</math>, el mismo que el de <math>\OQvec</math>:
[[Archivo:C2-Ex2-1-esp.png|thumb|center|450px|link=]]
::La dirección de <math>\acc{Q}{R}</math> no es ninguna de las direcciones asociadas al sistema (ni la radial, ni la perpendicular al radio). Por este motivo, es mejor dejarla dibujada como suma de los dos términos <math>\rs\ddot\psi</math> y <math>r\dot\psi^2</math>, cuyas direcciones sí corresponden a una de estas direcciones singulares.

<div>
=====EJEMPLO C2-2.1: plataforma giratoria; cálculo analítico ➕=====
::Las bases B y B’ son las mismas del <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️EJEMPLO C2-1.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico|'''ejemplo C2-1.1''']]</span>.
<center><math>
\braq{\acc{Q}{R}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B} = \vector{-\rs \ddot\psi sin\psi - \rs \dot\psi^2cos\psi}{\rs\ddot\psi cos\psi - \rs \dot\psi^2sin\psi}{0}
</math>
<math>
\braq{\acc{Q}{R}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'} + \braq{\velang{B'}{R} \times \vel{Q}{R}}{B} = \vector{0}{\rs\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi} \times \vector{0}{\rs\dot\psi}{0} = \vector{-\rs\dot\psi^2}{\rs\ddot\psi}{0}
</math>
</center>
</div></small>

====✏️ EJEMPLO C2-2.2: péndulo de Euler; cálculo geométrico====
------
<small>
::El cálculo de la aceleración de <math>\Qs</math> respecto al suelo (R) es laborioso porque la velocidad <math>\vel{Q}{R}</math> proviene de la suma de dos términos: <math>\vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R} + \dert{\vecbf{CQ}}{R}</math>.
:::* <math>\dert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R}</math>: dirección constante (horizontal), valor <math>(\dot x)</math> variable. Su derivada <math>\ddert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R}</math> , pues, será horizontal y de valor <math>\ddot x</math>.
:::* <math>\dert{\vecbf{CQ}}{R}</math>: dirección perpendicular a la barra y por tanto variable; valor <math>\Ls\dot\psi</math> variable. Su derivada <math>\ddert{\vecbf{CQ}}{R}</math> , pues, tendrá una parte perpendicular a <math>\dert{\vecbf{CQ}}{R}</math> (y por tanto paralela a la barra) de valor <math>\Ls\dot\psi\cdot\dot\psi</math> , y una parte paralela a <math>\dert{\vecbf{CQ}}{R}</math> (y por tanto perpendicular a la barra) de valor <math>\Ls\ddot\psi</math>.

[[Archivo:C2-Ex2-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
<div>
=====EJEMPLO C2-2.2: péndulo de Euler; cálculo analítico ➕=====
::Las bases B y B’ son las mismas del <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-1.2: péndulo de Euler; cálculo geométrico|'''ejemplo C2-1.2''']]</span>.

::Aceleración de <math>\Qs</math> respecto a BL:
<center>
<math>\braq{\acc{Q}{BL}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B} = \vector{\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls \dot\psi^2 sin\psi}{\Ls \ddot\psi sin\psi +\Ls \dot\psi^2 cos\psi}{0}</math>

<math>\braq{\acc{Q}{BL}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B'}+ \braq{\velang{B'}{BL}\times \OQvec}{B} = \vector{0}{\Ls\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{0}{\Ls\dot\psi}{0} = \vector{-\Ls\dot\psi^2}{\Ls\ddot\psi}{0}</math>
</center>
::Aceleración de <math>\Qs</math> respecto a R:
<center>
<math>
\braq{\acc{Q}{R}}{B}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B}=\vector{\ddot x+\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls\dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi+\Ls\dot\psi^2cos\psi}{0}
</math>
<math>
\braq{\acc{Q}{R}}{B'}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B}=\vector{\ddot x sin\psi+\dot x\dot\psi cos\psi}{\ddot x cos\psi-\dot x\dot\psi sin\psi +\Ls\ddot\psi}{0}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot x sin\psi}{\dot x cos\psi+\Ls\dot\psi}{0}=\vector{\ddot x sin\psi - \Ls \dot\psi^2}{\ddot x cos\psi+\Ls\ddot\psi}{0}
</math>
</center>
</small>
</div>

---------
---------

==C2.3 Direcciones intrínsecas. Componentes intrínsecas de la aceleración==
Un simple dibujo pone de manifiesto que la velocidad de un punt <math>\Qs</math> relativa a una referencia R es siempre tangente a la trayectoria que describe en R ('''Figura C2.1'''). Su dirección es la '''dirección tangencial'''.

[[Archivo:C2-1-esp.png|thumb|center|375px|link=|]]
<small><center>'''Figura C2.1''' El vector de velocidad siempre es tangente a la trayectoria</center></small>

En un caso general, la velocidad <math>\vel{Q}{R}</math> cambia tanto de valor como de dirección. Por tanto, la aceleración <math>\acc{Q}{R}</math> tiene dos componentes, una asociada al cambio de valor (paralela a <math>\vel{Q}{R}</math>) y otra asociada al cambio de dirección (ortogonal a <math>\vel{Q}{R}</math>). Estas componentes son las '''componentes intrínsecas de la aceleración''', y se denominan '''componente tangencial''' <math>\accs{Q}{R}</math> y '''componente normal''' <math>\accn{Q}{R}</math>, respectivamente:

<center>
<math>\acc{Q}{R}=\accs{Q}{R}+\accn{Q}{R}</math>
</center>

Para el caso del movimiento circular <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-2.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico|'''ejemplo C2-2.1''']]</span>, la componente tangencial es perpendicular al radio, y la normal es paralela al radio y dirigida hacia el centro de la trayectoria ('''Figura C2.2'''):
[[Archivo:C2-2-neut.png|thumb|center|275px|link=]]
<small><center>'''Figura C2.2''' Componentes intrínsecas de la aceleración en el movimiento circular</center></small>
Este resultado se puede utilizar localmente para cualquier otro movimiento. Efectivamente, así como el cálculo de la velocidad de un punto <math>\Qs</math> respecto a una referencia R (<math>\vel{Q}{R}</math>) se basa en dos vectores de posición consecutivos (o, lo que es el mismo, en dos puntos consecutivos de la trayectoria), el de la aceleración <math>\acc{Q}{R}</math> pide tres:

<center>
<math>\acc{Q}{R}=\dert{\vel{Q}{R}}{R}\simeq\frac{\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm{t+dt})-\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t)}{\Delta \textrm t(\rightarrow0)}\equiv\frac{\Delta\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t)}{\Delta \textrm t(\rightarrow0)}</math>
</center>

El cálculo del vector <math>\Delta\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t)</math> requiere tres puntos consecutivos de la trayectoria (dos para cada velocidad, donde el último punto para calcular <math>\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t)</math> y el primero para calcular <math>\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm{t+dt})</math> son el mismo). Estos tres puntos definen un plano ('''plano osculador'''), y hay un único círculo que puede contener a los tres. En otras palabras: cualquier trayectoria se puede aproximar localmente por un círculo ('''círculo osculador'''). El centro y el radio de este círculo se denominan centro de curvatura y radio de curvatura de la trayectoria de <math>\Qs</math> respecto a R (<math>\textrm{CC}_\textrm{R}(\textbf{Q})</math> y <math>\Re_\textrm{R}(\textbf Q)</math>, respectivamente). Els resultats obtinguts per al <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-2.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico|'''movimiento circular''']]</span> se pueden utilizar localmente para calcular <math>\Re_\textrm{R}(\textbf Q)</math> ('''Figura C2.3''').

[[Archivo:C2-3-esp.png|thumb|center|500px|link=]]

<small><center>'''Figura C2.3''' Geometría local de la trayectoria de una partícula <math>\Qs</math> respecto a una referencia R</center></small>
Tanto el radio de curvatura como la posición del centro de curvatura cambian a lo largo de la trayectoria en general. En tramos rectilíneos, al no haber cambio de dirección de la velocidad, la componente normal de la aceleración es cero, y el radio de curvatura se hace infinito.

El '''versor tangencial''' <math>\vecbf{s}</math> (<math>\vecbf{s}=\velo{R}/|\velo{R}|=\accso{R}/|\accso{R}|</math>) y el '''versor normal''' <math>\vecbf{n}</math> (<math>\vecbf{n}=\accno{R}/|\accno{R}|</math>) se pueden completar con un tercer versor <math>\vecbf{b}</math> ortogonal a ambos ('''versor binormal''', <math>\vecbf{b}\equiv\vecbf{s}\times\vecbf{n}</math>), y formar la '''base intrínseca''' o '''base de Frenet''' para el movimiento de <math>\Qs</math> en la referencia R.

====✏️ EJEMPLO C2-3.1: péndulo de Euler====
---------
<small>
::En el movimiento circular del extremo <math>\Qs</math> de la <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-1.2: péndulo de Euler; cálculo geométrico|'''barra respecto al bloque''']]</span>, las dos componentes intrínsecas de la aceleración <math>\acc{Q}{BL}</math> son distintas de cero. Sus valores y direcciones son las del <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-2.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico|'''movimiento circular''']]</span>:
:::* aceleración tangencial <math> \accs{Q}{BL}</math>: paralela a <math>\vel{Q}{BL}</math> y de valor L<math>\ddot\psi</math>.
:::* aceleración normal <math>\accn{Q}{BL}</math> : perpendicular a <math>\vel{Q}{BL}</math> y de valor L<math>\dot\psi^2</math>.
[[Archivo:C2-Ex3-1-1-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
::Aunque es evidente que el radio de curvatura de la trayectoria de <math>\Qs</math> en la referencia bloque es L (ya que hace un movimiento circular), también se puede obtener como <math>\frac{\vecbf{v}_{\textrm{BL}}^2(\Qs)}{|\accn{Q}{BL}|}=\frac{(\Ls\dot\psi)^2}{\Ls\dot\psi^2}=\Ls</math>.

::La aceleración <math>\acc{Q}{R}</math> se ha descrito en el <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-2.2: péndulo de Euler; cálculo geométrico|'''ejemplo C2-2.2''']]</span> como suma de tres términos (los dos de <math>\acc{Q}{BL}</math> más uno permanentemente horizontal de valor <math>\ddot x</math>). Identificar en este caso cuál es la componente tangencial (paralela a <math>\vel{Q}{R}</math>) y cuál la normal (ortogonal a <math>\vel{Q}{R}</math>) no es inmediato, pues la dirección de <math>\vel{Q}{R}</math> no es ninguna de las direcciones singulares del problema (<span style="text-decoration: underline;">[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-1.2: péndulo de Euler; cálculo geométrico|'''ejemplo C2-1.2''']]</span>).
::Esta identificación sí que es inmediata para dos configuraciones particulares para las que la dirección de <math>\vel{Q}{R}</math> (que es la dirección tangencial) es horizontal:
[[Archivo:C2-Ex3-1-2-esp.png|thumb|center|400px|link=]]
::El radio de curvatura del extremo del péndulo respecto al suelo para la configuración <math>\psi=0</math> es:
[[Archivo:C2-Ex3-1-3-esp.png|thumb|center|400px|link=]]
::El centro de curvatura siempre se encuentra por encima de <math>\Qs</math> porque la aceleración normal apunta hacia arriba.
::Casos particulares:
[[Archivo:C2-Ex3-1-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]
::Las líneas circulares discontinuas indican la aproximación de la trayectoria en el entorno de la configuración <math>\psi=0</math> para estos dos casos particulares.

::Aunque es laborioso, es posible calcular <math>\re{Q}{R}</math> para una configuración general recordando que en el producto escalar <math>\vel{Q}{R}\cdot\acc{Q}{R}</math> solo participan las componentes paralelas (y por tanto la <math>\accs{Q}{R}</math>), y en el producto vectorial <math>\vel{Q}{R}\times\acc{Q}{R}</math>, solo las ortogonales (y por tanto la <math>\accn{Q}{R}</math>) <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-3.1: péndulo de Euler|('''ejemplo C2-3.1''']]</span> analítico). El resultado es:

<center><math>\re{Q}{R}=\frac{\textbf{v}_{\Rs}^2(\Qs)}{|\accn{Q}{R}|}=\frac{\left[\dot x^2+\left(\Ls\dot\psi\right)^2+2\Ls\dot x\dot\psi cos\psi\right]^{3/2}}{\left|\Ls(\ddot x\dot\psi-\dot x\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot x cos\psi)\right|}</math></center>

::Cuando se obtienen expresiones complicadas como la anterior, es aconsejable hacer alguna comprobación para asegurar que no hay errores evidentes evitables. Por ejemplo:

:::*Si <math>\dot x=0</math> permanentemente (es decir, <math>\ddot x=0</math>), la trayectoria de <math>\Qs</math> respecto a R es circular de radio L:
:::<math>\re{Q}{R}\big]_{\dot x=0, \ddot x=0}=\frac{\left(\Ls^2\dot\psi^2\right)^{3/2}}{\Ls\dot\psi^2\Ls\dot\psi}=\Ls</math>

:::*Si <math>\dot\psi=0</math> permanentemente (<math>\ddot\psi=0</math>), la trayectoria de <math>\Qs</math> respecto a R es rectilínea, y el radio de curvatura ha de ser infinito:

:::<math>\re{Q}{R}\big]_{\dot\psi=0, \ddot\psi=0}=\frac{(\dot x^2)^{3/2}}{0}\rightarrow\infty</math>
<div>

=====EJEMPLO C2-3.1: péndulo de Euler; ➕=====
::Las bases B y B’ son las mismas del <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-2.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico|'''ejemplo C2-2.1''']]</span>.

::Aceleración de <math>\Qs</math> respecto a BL:
<center>
<math>\braq{\acc{Q}{BL}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B} = \vector{\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls \dot\psi^2 sin\psi}{\Ls \ddot\psi sin\psi+\Ls \dot\psi^2 cos\psi}{0}</math>

<math>\braq{\acc{Q}{BL}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B'}+ \braq{\velang{B'}{BL}\times \OQvec}{B} = \vector{0}{\Ls\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{0}{\Ls\dot\psi}{0} = \vector{-\Ls\dot\psi^2}{\Ls\ddot\psi}{0}</math>
</center>
::Aceleración de <math>\Qs</math> respecto a R:
<center>
<math>
\braq{\acc{Q}{R}}{B}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B}=\vector{\ddot x+\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls\dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi+\Ls\dot\psi^2cos\psi}{0}
</math>
<math>
\braq{\acc{Q}{R}}{B'}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B}=\vector{\ddot x sin\psi+\dot x\dot\psi cos\psi}{\ddot x cos\psi-\dot x\dot\psi sin\psi +\Ls\ddot\psi}{0}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot x sin\psi}{\dot x cos\psi+\Ls\dot\psi}{0}=\vector{\ddot x sin\psi - \Ls \dot\psi^2}{\ddot x cos\psi+\Ls\ddot\psi}{0}
</math>
</center>

[[Archivo:C2-Ex3-1-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

::El cálculo del radio de curvatura para la configuración general es laborioso. Como se trata de un movimiento plano, en el que la velocidad y la aceleración solo tienen dos componentes, se omitirá la tercera componente. La base utilizada es la B (pero se puede trabajar también en la base B’).

<center>
<math>
\braq{\vel{Q}{R}}{B} = \vecdosd{\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls \dot\psi sin\psi}, \braq{\acc{Q}{R}}{B} = \vecdosd{\ddot x + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi}
</math>
<math>
\abs{\accn{Q}{R}}=\abs{\acc{Q}{R}\times\frac{\vel{Q}{R}}{\abs{\vel{Q}{R}}}}
</math>
<math>
\abs{\accn{Q}{R}}=\abs{\frac{1}{\sqrt{({\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi)^2+(\Ls \dot\psi sin\psi)^2}}}\vecdosd{\ddot x + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi}\times\vecdosd{\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls\dot\psi sin\psi}}
</math>
</center>
<center>
<math>
\abs{\accn{Q}{R}}=\abs{
\frac
{
(\ddot x + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi)\Ls \dot\psi sin\psi-(\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi)(\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi)
}
{
\sqrt{\dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot x\dot\psi cos\psi}
}}
</math>
</center>
<center>
<math>
\abs{\accn{Q}{R}}=
\abs{
\frac
{
\Ls\ddot x\dot\psi sin\psi-\Ls\dot x\ddot\psi sin\psi-L^2\dot\psi^3-\Ls\dot x\dot\psi^2cos\psi
}
{
\sqrt{\dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot x\dot\psi cos\psi}
}
}=
\abs{
\frac
{
\Ls(\ddot x\dot\psi-\dot x\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot x cos\psi)
}
{
\sqrt{\dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot x\dot\psi cos\psi}
}
}
</math>
</center>
<center>
<math>
\Re_\Rs(\Qs)=\frac{\textrm{v}^2_\Rs(\Qs)}{\abs{\accn{Q}{R}}}=
\frac
{
\left( \dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls\dot x\dot\psi cos\psi\right)^{3/2}
}
{
\abs{
\Ls(\ddot x\dot\psi-\dot x\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot x cos\psi)
}
}
</math>
</center>
</div></small>

---------
---------

==C2.4 Velocidad angular de un sólido rígido==
De la misma manera que la <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuración de un sistema mecánico#C1.2 Configuración de un sólido rígido|'''configuración de un sólido rígido''']]</span> S respecto a una referencia R queda definida por la posición de un punto <math>\Qs</math> del sólido y por la orientación de S en R (descrita, por ejemplo, mediante <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuración de un sistema mecánico#C1.4 Orientación de un sólido rígido con movimiento en el espacio|'''ángulos de Euler''']]</span>), el cambio de la configuración respecto a R se puede describir mediante la velocidad <math>\vel{Q}{R}</math>, y la '''velocidad angular''' <math>\velang{S}{R}</math> (cambio de orientación a lo largo del tiempo). Cuando la orientación respecto a R se mantiene constante a lo largo del tiempo, se dice que el sólido tiene un movimiento de '''translación''' <math>\left(\velang{S}{R}=0\right)</math>.

===Rotación simple===

La orientación de un sólido rígido que describe un movimiento plano respecto a una referencia R queda definida mediante un único ángulo <math>\psi</math> (<span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuración de un sistema mecánico#C1.3 Orientación de un sólido rígido con movimiento plano|'''sección C1.3''']]</span>). El cambio de esta orientación implica <math>\dot\psi\neq0</math> .

Dar el valor de <math>\dot\psi</math> <math>[rad/s]</math> no es suficiente para definir cómo cambia de orientación un sólido que describe un movimiento plano.

====✏️ EJEMPLO C2-4.1: rueda con movimiento plano ====
---------
<small>
:{|
|-
|
[[Archivo:C2-Ex4-1-1-esp.png|250px|thumb|link=]]
||La rueda describe un movimiento plano respecto a R. Su centro <math>\Cbf</math> es fijo a R, y su orientación cambia a ritmo <math>\dot\psi</math> <math>[rad/s]</math>. Con esta información, no podemos saber qué movimiento está haciendo. Por ejemplo, la información podría corresponder a cualquiera de los dos casos siguientes:
|}
[[Archivo:C2-Ex4-1-2-neut.png|400px|thumb|center|link=]]

:::* Caso (a): ángulo <math>\psi</math> definido en el plano horizontal; el plano del movimiento es horizontal.
:::* Caso (b): ángulo <math>\psi</math> definido en un plano vertical; el plano del movimiento es vertical.
::Si no se dice en qué plano está definido el ángulo (y esto es equivalente a dar una dirección: la perpendicular al plano en cuestión), el movimiento no queda definido.
</small>
------------

El movimiento asociado al cambio de orientación, pues, queda definido por el ritmo de cambio del ángulo y por una dirección. El objeto matemático que incorpora estas dos características es un vector. Por tanto, la velocidad angular <math>\velang{S}{R}</math> es un vector. El convenio para asociarle un sentido es la regla del tornillo (o de la mano derecha, o del sacacorchos, <span style="text-decoration: underline;">[[Cálculo vectorial#V.2 Operaciones con vectores con representación geométrica|'''sección V.2''']]</span>)

====✏️ EJEMPLO C2-4.2: rueda con movimiento plano ====
---------
<small>
::La velocidad angular asociada a los movimientos (a) y (b) del ejemplo anterior es:
[[Archivo:C2-Ex4-2-1-esp.png|450px|thumb|center|link=]]
</small>
-------------

===Rotación en el espacio===
La orientación de un sólido rígido que se mueve en el espacio respecto a una referencia R se puede definir mediante tres <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuración de un sistema mecánico#C1.4 Orientación de un sólido rígido con movimiento en el espacio|'''ángulos de Euler''']]</span> <math>(\psi,\theta,\varphi)</math>. A la variación de cada uno de estos ángulos se le puede asociar una velocidad angular.

====✏️ EJEMPLO C2-4.3: giroscopio====
---------
<div>
<small>
::La <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuración de un sistema mecánico#C1.4 Orientación de un sólido rígido con movimiento en el espacio|'''orientación de un giroscopio''']]</span> respecto al suelo (R) se puede dar mediante tres ángulos de Euler. Las velocidades angulares asociadas a <math>(\dot\psi,\dot\theta,\dot\varphi)</math> tienen las interpretaciones siguientes: <math>\vecdot\psi=\velang{horquilla}{R}</math>, <math>\vecdot\theta=\velang{brazo}{horquilla}</math>, <math>\vecdot\varphi=\velang{volante}{brazo}</math>. La velocidad angular del volante respecto al suelo es la superposición de las tres:

<center><math>\velang{volant}{R} = \velang{volant}{braç} + \velang{braç}{forquilla} + \velang{forquilla}{R} = \vecdot\varphi + \vecdot\theta + \vecdot\psi</math></center>

[[Archivo:C2-Ex4-3-1-esp.png|thumb|400px|center|link=]]
::Estas velocidades angulares se pueden proyectar en cualquiera de las bases vectoriales que sugiere el problema:
:::* Base <math>\Bs_\Rs</math> fija a la referencia
:::* Base <math>\Bs</math> fija a la horquilla (se puede generar a partir de <math>\Bs_\Rs</math> mediante la rotación <math>\dot\psi</math>)
:::* Base <math>\Bs'</math> fija al brazo (se puede generar a partir de B mediante la rotación <math>\dot\theta</math>)
:::* Base <math>\Bs_\textrm{V}</math> fija al volante

[[Archivo:C2-Ex4-3-2-esp.png|thumb|400px|center|link=]]

::Ahora bien, es aconsejable escoger una base donde el número máximo de rotaciones tengan la dirección de uno de los ejes de la base, para evitar tener que proyectar. Ya que los ejes de las tres rotaciones no forman un triedro ortogonal, siempre habrá que proyectar como mínimo una de las velocidades angulares (<math>\vec{\dot{\psi}}, \vec{\dot{\theta}}, \vec{\dot{\varphi}}</math>). Si se escoge adecuadamente la base, se puede conseguir que las velocidades a proyectar esten contenidas en un plano definido por dos ejes de la base, y esto simplifica la operación. Esto lleva a escoger la base B o la B’. Las velocidades angulares que tendrán dos componentes serán <math>\vec{\dot{\varphi}}</math>, cuando se utilice la B, y <math>\vec{\dot{\psi}}</math> cuando se utilice la B’:
::{|
|<math>\braq{\velang{forquilla}{R}}{B}=\vector{0}{0}{\dot\psi}, \braq{\velang{braç}{forquilla}}{B}=\vector{\dot{\theta}}{0}{0}, \braq{\velang{volant}{braç}}{B}=\vector{0}{\dot{\varphi}cos\theta}{\dot{\varphi}sin\theta}</math>

<math>\braq{\velang{forquilla}{R}}{B'}=\vector{0}{\dot{\psi}sin\theta}{\dot{\psi}cos\theta}, \braq{\velang{braç}{forquilla}}{B'}=\vector{\dot{\theta}}{0}{0}, \braq{\velang{volant}{braç}}{B'}=\vector{0}{\dot{\varphi}}{0}</math>
|[[Archivo:C2-Ex4-3-3-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
|}
</small>
</div>

De la mismo forma que la orientación del volante respecto al suelo pide los tres ángulos <math>(\psi,\theta,\varphi)</math>, la velocidad angular de un sólido S que se orienta respecto a R mediante <math>(\psi,\theta,\varphi)</math> es la superposición de las tres velocidades angulares asociadas a estas rotaciones simples:

<center><math>\velang{S}{R} = \vecdot\psi + \vecdot\theta + \vecdot\varphi</math></center>

Aunque se trata de una superposición intuitiva, es necesaria una demostración rigurosa. No se incluye aquí pero se puede encontrar en ['''Batlle, J.A., Barjau, A. (2020) chapter 1 in Rigid body kinematics. Cambridge University Press''']. Para el caso del <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-4.3: giroscopio|'''giroscopio''']]</span>:

<center><math>\velang{volante}{R} = \velang{volante}{brazo} + \velang{brazo}{horquilla} + \velang{horquilla}{R} = \vecdot\varphi + \vecdot\theta + \vecdot\psi</math></center>
---------
---------

==C2.5 Aceleración angular de un sólido rígido==

La '''aceleración angular''' de un sólido rígido S respecto a una referencia R (<math>\accang{S}{R}</math>) es la derivada temporal de su velocidad angular respecto a R:

<center><math>\accang{S}{R}= \dert{\velang{S}{R}}{R}</math></center>

La descripción de la velocidad angular <math>\velang{S}{R}</math> puede ser cualquiera (rotaciones alrededor de ejes fijos, rotaciones de Euler...). Cuando el sólido describe un movimiento plano respecto a R, la dirección de su velocidad angular <math>\velang{S}{R}</math> no cambia (es siempre perpendicular al plano del movimiento). Por tanto, la aceleración angular solo proviene del cambio de valor de <math>\velang{S}{R}</math>, y es paralela a <math>\velang{S}{R}</math>. En movimientos generales en el espacio, si <math>\velang{S}{R}</math> se describe mediante rotaciones de Euler, <math>\accang{S}{R}</math> puede provenir del cambio de los valores de (<math>\vecdot\psi</math>, <math>\vecdot\theta</math>,<math>\vecdot\varphi</math>) y del cambio de dirección de <math>\vecdot\theta</math> y <math>\vecdot\varphi</math> (<math>\vecdot\psi</math> es siempre de dirección constante respecto a R).

==== ✏️ EJEMPLO C2-5.1: giroscopio; cálculo geométrico====
---------
<div>
<small>
::La horquilla de un <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-4.3: giroscopio|'''giroscopio''']]</span> tiene movimiento plano respecto al suelo (R), con velocidad angular <math>\velang{horquilla}{R}=\vecdot\psi</math> vertical. Su aceleración angular es también vertical, de valor <math>\ddot{\psi}: \accang{S}{R}=\vec{\ddot{\psi}}</math>.

::La aceleración angular del volante es más complicada. Se puede obtener mediante la derivación geométrica de <math>\velang{volant}{R}=\vecdot\psi+\vecdot\theta+\vecdot\varphi</math>. La rotación <math>\vecdot\varphi</math> se puede descomponer en una componente vertical de valor <math>\dot\varphi\textrm{sin}\theta</math>, y una horizontal de valor <math>\dot\varphi\textrm{cos}\theta</math>. La componente vertical solo puede cambiar de valor, mientras que la horizontal cambia de valor y de dirección (a causa de <math>\vecdot\psi</math>).

[[Archivo:C2-Ex5-1-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

<center>
{|
|
Derivada de las componentes verticales:

[[Archivo:C2-Ex5-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]

|
:::Derivada de las componentes horizontales:

:::[[Archivo:C2-Ex5-4-neut.png|thumb|center|350px|link=]]
|}</center>

=====CEJEMPLO C2-5.1: giroscopio; cálculo analítico ➕=====
::El mismo resultado se obtiene si la derivada se hace de manera analítica a través de la base vectorial que gira con <math>\vecdot\psi</math> respecto a R o de la que gira con <math>\vecdot\psi+\vecdot\theta</math> (también respecto a R):

<center>
<math>\braq{\velang{volante}{R}}{B}=\vector{\dot\theta}{\dot\varphi \cos{\theta}}{\dot\psi+\dot\varphi \sin{\theta}},</math><span>          </span><math>\braq{\accang{volante}{R}}{B}=\braq{\dert{\velang{volante}{R}}{R}}{B}=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}\braq{\velang{volante}{R}}{B}+\braq{\velang{B}{R}\times\velang{volante}{R}}{B}</math>

<math>\braq{\accang{volante}{R}}{B} = \vector{\ddot\theta}{\ddot\varphi \cth-\dot\varphi\dth \sth}{\ddot\psi+\ddot\varphi \sth+\dot\varphi\dth \cth}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot\theta}{\dot\varphi \cth}{\dot\psi+\dot\varphi \sth} = \vector{\ddot\theta-\dot\psi\dot\varphi \cth}{\ddot\varphi \cth-\dot\varphi\dth \sth+\dot\psi\dot\theta}{\ddot\psi+\ddot\varphi \sth+\dot\varphi\dth \cth}</math>

<math>\braq{\velang{volant}{R}}{B'}=\vector{\dot\theta}{\dot\varphi+\dot\psi \sth}{\dot\psi \cth},</math><span>          </span><math>\braq{\accang{volante}{R}}{B'}=\braq{\dert{\velang{volante}{R}}{R}}{B'}=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}\braq{\velang{volante}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times\velang{volante}{R}}{B'}</math>

<math>\braq{\accang{volante}{R}}{B'} = \vector{\ddot\theta}{\ddot\varphi+\ddot\psi \sth+\dot\psi\dot\theta \cth}{\ddot\psi \cth-\dot\psi\dot\theta \sth} + \vector{\dth}{\dot\psi\sth}{\dot\psi\cth}\times\vector{\dot\theta}{\dot\varphi+\dot\psi \sth}{\dot\psi \cth} = \vector{\ddth-\dot\psi\dot\varphi\cth}{\ddot\varphi+\ddot\psi \sth+\dot\psi\dth\cth}{\ddot\psi \cth-\dot\psi\dth\sth+\dot\varphi\dth}</math>
</center>
</small>
</div>

----------
----------

==C2.6 Cinemática de partícula versus cinemática de sólido rígido==
Partícula (punto) y sólido rígido son dos modelos muy distintos. Desde el punto de vista de la cinemática, el segundo es mucho más rico ya que incluye el concepto de rotación (inexistente en partículas, ya que estas no se pueden orientar porque no tienen dimensiones). A causa de las rotaciones, los puntos de un mismo sólido rígido pueden describir trayectorias distintas.

Es importante tener presente esto para no utilizar erróneamente conceptos que solo se aplican a uno de los dos modelos cuando se habla del otro. Los ejemplos siguientes ilustran algunas afirmaciones erróneas y correctas.

====✏️ EJEMPLO C2-6.1: partícula dentro de una guía circular====
------------
<small>
::{|
|[[Archivo:C2-Ex6-1-neut REV01.png|thumb|left|180px|link=]]
|La partícula <math>\Ps</math> gira respecto a R: '''<span style="color:red;">ERRÓNEO</span>'''

El vector <math>\vec{\textbf{OP}}</math> gira respecto a R: '''<span style="color:rgb(24,182,96);">CORRECTO</span>'''

La partícula <math>\Ps</math> describe una trayectoria circular respecto a R (o tiene un movimiento circular respecto a R): '''<span style="color:rgb(24,182,96);">CORRECTO</span>'''
|}
</small>

====✏️ EJEMPLO C2-6.2: partícula en un plano inclinado====
------------
<small>
::{|
|[[Archivo:C2-Ex6-2-neut.png|thumb|left|200px|link=]]
|La partícula <math>\Ps</math> se traslada respecto de R: '''<span style="color:red;">ERRÓNEO</span>'''

La partícula <math>\Ps</math> describe una trayectoria rectilínea respecto a R (o tiene un movimiento rectilíneo respecto a R): '''<span style="color:rgb(24,182,96);">CORRECTO</span>'''
|}
</small>

====✏️ EJEMPLO C2-6.3: rueda en contacto sin deslizar con el suelo y con movimiento plano====
------------
<small>
[[Archivo:C2-Ex6-3-neut.png|thumb|center|540px|link=]]
::Los puntos de la rueda giran respecto a R: '''<span style="color:red;">ERRÓNEO</span>'''

::La rueda gira respecto a R: '''<span style="color:rgb(24,182,96);">CORRECTO</span>'''

::El centro de la rueda se traslada respecto a R: '''<span style="color:red;">ERRÓNEO</span>'''

::El centro de la rueda tiene un movimiento rectilíneo respecto a R: '''<span style="color:rgb(24,182,96);">CORRECTO</span>'''

<center>'''Un sólido rígido que gira puede tener puntos que describan movimientos rectilíneos.'''</center>
</small>

<center><html><iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube-nocookie.com/embed/ED3LXV6JWCA?start=11" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html></center>
<center><small>'''Vídeo C2.1''' Visualización de las trayectorias de puntos</small></center>

====✏️ EJEMPLO C2-6.4: movimiento de una noria====
------------
<small>
::{|
|[[Archivo:C2-Ex6-4-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
|La anilla gira respecto a R: '''<span style="color:rgb(24,182,96);">CORRECTO</span>'''

La cabina gira respecto a R: '''<span style="color:red;">ERRÓNEO</span>''' (si despreciamos el movimiento pendular, el suelo y el techo de la cabina siempre son paralelos al suelo, y por tanto no gira).

La cabina se traslada respecto a R: '''<span style="color:rgb(24,182,96);">CORRECTO</span>'''
|-
|[[Archivo:C2-Ex6-4-2-neut.png|thumb|left|200px|link=]]
|En este caso, todos los puntos de la cabina describen movimientos circulares del mismo radio respecto a R, pero con distintos centros de curvatura.

En un caso como este, se pueden combinar un concepto de cinemática de sólido rígido (translación) con un concepto de cinemática de partícula (movimiento circular) para describir el movimiento de la cabina:

La cabina tiene un movimiento de '''translación circular''' respecto a R.
|}

<center>'''Los puntos de un sólido rígido que se traslada pueden describir movimientos curvilíneos.'''</center>
</small>

--------
--------

==C2.7 Grados de libertad==
Tal como se ha visto a través de los diversos ejemplos de esta unidad, las velocidades de los puntos de un sistema mecánico dependen de un conjunto de variables escalares de dimensiones (longitud/tiempo) o (ángulo/tiempo). El conjunto mínimo de variables escalares de este tipo que son necesarias para describir el movimiento del sistema constituye el conjunto de '''grados de libertad''' (GL) del sistema.

Cuando el sistema es un único sólido rígido libre en el espacio (sin contacto con ningún objeto material), el número de GL es 6: tres asociados al movimiento de un punto (por ejemplo, <math>(\dot{\textrm{x}}, \dot{\textrm{y}}, \dot{\textrm{z}})</math>) y tres al cambio de orientación del sólido (por ejemplo, <math>(\dot{\psi}, \dot{\theta}, \dot{\varphi})</math>).

En el contexto de la ingeniería mecánica, los sistemas mecánicos habituales son sistemas multisólido: conjuntos de sólidos rígidos mutuamente <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.8 Enlaces habituales en los sistemas mecánicos|'''enlazados''']]</span> mediante articulaciones, rótulas, juntas diversas... A causa de estos enlaces, el estado mecánico de cada sólido (es decir, su configuración en el espacio y su movimiento) está relacionado con el de los otros: en un sistema multisólido con N sólidos, el número de GL es inferior a 6N.

------------
------------

==C2.8 Enlaces habituales en los sistemas mecánicos==

Un '''enlaze''' restringe el movimiento relativo entre dos sólidos, y por tanto limita el número de grados de libertad de uno respecto del otro. La siguiente tabla recoge los enlaces más habituales.

<center><small>
{| class="wikitable" style="background-color:white; text-align:left"
|-
|<center>[[Archivo:C2-8-contpuntual.png|thumb|center|175px|link=]]</center>||
'''Con deslizamiento:''' <br>
Permite tres rotaciones independientes entre los dos sólidos (alrededor de la dirección normal y de las dos tangenciales), y dos translaciones independientes (a lo largo de las dos direcciones tangenciales).<br><br>
'''Sin deslizamiento:''' <br>
Permite tres rotaciones independientes entre los dos sólidos (alrededor de la dirección normal y de las dos tangenciales).

|-
|<center>[[Archivo:C2-8-revolucio-neut.png|thumb|center|220px|link=]]</center>||
'''Enlace de revolución (articulación):'''<br>
Permite una rotación entre los dos sólidos alrededor del eje 1.
|-
|<center>[[Archivo:C2-8-cilindric-neut.png|thumb|center|220px|link=]]</center>||
'''Enlace cilíndrico:'''<br>
Permite una rotación entre los dos sólidos alrededor del eje 1, y una translación (desplazamiento sin rotación) a lo largo del eje 1.
|-
|<center>[[Archivo:C2-8-prismatic-neut.png|thumb|center|220px|link=]]</center>||
'''Enlace prismático:'''<br>
Permite una translación entre los dos sólidos a lo largo del eje 1.
|-
|<center>[[Archivo:C2-8-esferic-neut.png|thumb|center|220px|link=]]</center>||
'''Enlace esférico (rótula esférica):'''<br>
Permite tres rotaciones independientes entre los dos sólidos alrededor de los ejes 1, 2, 3.
|-
|<center>[[Archivo:C2-8-helicoidal-neut.png|thumb|center|220px|link=]]</center>||
'''Enlace helicoidal (unión roscada):'''<br>
Permite una rotación entre los dos sólidos alrededor del eje 3; esta rotación provoca un desplazamiento a lo largo del eje 3. La relación entre la rotación y el desplazamiento viene dada por el paso de rosca ''e'' [mm/volta].
|-
|<center>[[Archivo:C2-8-Cardan rev.png|thumb|center|220px|link=]]</center>||
'''Junta Cardan (junta universal):'''<br>
Permite dos rotaciones independientes entre los sólidos de ejes 1, 3.
|}
</small></center>

<center><html><iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube-nocookie.com/embed/067F1MQVICs" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html></center>
<center><small>'''Vídeo C2.2''' Junta Cardan (junta universal)</small></center>

====✏️ EJEMPLO C2-8.1: giroscopio====
------------
{|:
<small>
::En el <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ Exemple C2-4.3: giroscopi|'''giroscopi''']]</span>, el soporte no se mueve respecto al suelo (R). Entre horquilla y soporte, entre brazo y horquilla, y entre volante y brazo hay articulaciones. Va bien representar esto en un diagrama simplificado:
[[Archivo:C2-Ex8-1-esp.png|thumb|center|600px|link=]]

::La posición respecto al suelo del punto <math>\Os</math> no cambia. Por tanto, la configuración del giroscopio queda totalmente definida por los tres ángulos <math>(\psi,\theta,\varphi)</math>: el giroscopio tiene 3 CI respecto al suelo.
::En lo que se refiere a su movimiento, ya que la variación de cualquiera de estos ángulos no implica la de los otros dos, sus evoluciones son independientes: el giroscopio tiene 3 GL respecto al suelo, que se pueden describir como <math>(\dot\psi,\dot\theta,\dot\varphi)</math>.
|}
</small>

====✏️ EJEMPLO C2-8.2: triciclo====
------------
{|:
<small>
::El triciclo es un sistema de 5 sólidos: el chasis, el manillar y las tres ruedas. No hay ningún elemento fijo al suelo. Entre las ruedas traseras y el chasis, entre el manillar y el chasis, y entre la rueda delantera y el manillar hay articulaciones. Por otro lado, las ruedas tocan al suelo: esto también es una restricción. Si se mueve sobre un terreno plano sin que las ruedas patinen, este contacto se puede idealizar como contacto puntual sin deslizamiento (que haya o no deslizamiento en un contacto es una consecuencia de la dinámica del sistema; en el contexto de la cinemática, esto se formula como hipótesis).
[[Archivo:C2-Ex8-2-1-esp.png|thumb|650px|center|link=]]
[[Archivo:C2-Ex8-2-2-neut.png|thumb|450px|center|link=]]
::Una manera eficaz de determinar el número de GL de un sistema respecto a una referencia es contar cuántos movimientos hay que bloquear para que el sistema quede totalmente en reposo. En el caso del triciclo, si se bloquea el movimiento del punt <math>\Os</math> (que solo puede ser en la dirección longitudinal si las ruedas no patinan), el chasis aun podría pivotar alrededor de un eje vertical que pasase por <math>\Os</math>. Si se bloquea este pivotamiento <math>(\dot\psi=0)</math>, las ruedas traseras ya no es pueden mover, pero el manillar y la rueda delantera podrían pivotar alrededor del eje vertical que pasa por el centro de la rueda <math>(\dot\psi'\neq 0)</math>. Si se bloquea este último movimiento, el triciclo ya no se mueve. Se han bloqueado tres movimientos, por tanto el triciclo tiene 3 GL.

|}
</small>

====✏️ EJEMPLO C2-8.3: cáscara esférica sobre una plataforma====
------------
{|:
<small>
::El sistema consta de 4 sólidos: la plataforma, el cascarón, el brazo y la horquilla. Entre la plataforma y el suelo, entre el cascarón y el brazo, entre el brazo y la horquilla, y entre la horquilla y el techo (suelo) hay articulaciones. Por otro lado, entre cascarón y plataforma hay un contacto puntual sin deslizamiento.

[[Archivo:C2-Ex8-3-esp.png|thumb|500px|center|link=]]
::Para contar los GL del sistema respecto al suelo (R), procedemos a bloquear movimientos hasta que todo queda en reposo:
:::* bloqueamos la rotación de la plataforma respecto al suelo
:::* bloqueamos la rotación de la horquilla respecto al suelo
::En estas condiciones, aunque la articulación entre cascarón y brazo permite una rotación, esta rotación haría patinar el cascarón sobre la plataforma, y esto va en contra de la hipótesis de que se trata de un contacto sin deslizamiento. Por tanto, el sistema está totalmente parado: tiene 2 GL respecto al suelo.
|}</small>
--------------

<center><html><iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube-nocookie.com/embed/K-xIHJErByk" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html><br>
<small>'''Vídeo C2.3''' Grados de Libertad de una rueda con movimiento plano y contacto con el suelo</small></center>

-------------
-------------

==C2.E Ejemplos generales==
====🔎 EJEMPLO C2-E.1: péndulo giratorio====
---------
::{|:
<small>
La placa está articulada en el punto '''O''' a una horquilla, que gira con velocidad angular constante <math>\psio</math> respecto al suelo (T). Entre horquilla y suelo (techo), y entre placa y horquilla hay articulaciones de revolución.

[[Archivo:C2-E.Ex1-1-esp.png|thumb|400px|center|link=]]

=====1. ¿Cuántos grados de libertad (GL) tiene el sistema? Descríbelos.=====
<div>
:La horquilla puede hacer una rotación simple respecto al suelo alrededor del eje vertical.

:De manera independiente, la placa puede hacer una rotación simple alrededor del eje horizontal de la horquilla.

:Una manera de ver que estos dos movimientos son independientes es comprobar que, si bloqueamos uno, el otro aún puede existir.

:Por tanto, el sistema tiene dos grados de libertad.
</div>

=====2. Determina la velocidad angular y la aceleración angular de la placa respecto al suelo.=====
<div>
:La velocidad angular de la placa es la superposición de <math>\vecdot\psi_0</math> (1a rotación de Euler, eje fijo al suelo) y <math>\vecdot\theta</math> (2a rotación de Euler, eje afectado por la rotación <math>\vecdot\psi_0</math>): <math>\velang{placa}{T}=\vecdot\psi_0+\vecdot\theta</math>

:'''Cálculo geométrico:'''

:<math>\velang{placa}{T}=\vecdot\psi_0+\vecdot\theta=(\Uparrow \psio)+(\odot \dot{\theta})</math>

[[Archivo:C2-E.Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:<math>\accang{placa}{T}=\dert{\velang{placa}{T}}{T}=\dert{\vecdot\psi_0}{T}+\dert{\vecdot\theta}{T}=\dert{(\Uparrow \psio)}{T}+\dert{(\odot \dot{\theta})}{T}</math>

:Ya que <math>\vecdot\psi_0</math> es constante en valor y dirección, la aceleración angular provendrá solo del cambio de valor y de dirección de <math>\vecdot\theta</math>. Se trata de un vector de valor variable y que gira alrededor del eje vertical, afectado por la primera rotación de Euler (<math>(\Omegavec^{\vecdot\theta}_\textrm{T}=\vecdot\psi_0)</math>).

:<math>\accang{placa}{T}=\dert{(\odot\dot{\theta})}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=</math>
:<math>=\left[\ddot{\theta}\frac{\vecdot{\theta}}{|\vecdot{\theta}|}\right]+[\velang{$\vecdot{\theta}$}{$\Ts$}\times\vecdot{\theta}]=[\odot\ddot{\theta}]+[(\Uparrow\psio)\times(\odot\dot{\theta})]=(\odot\ddot{\theta})+(\Rightarrow\psio\dot{\theta})</math>

:'''Cálculo analítico:'''
:La derivada de la velocidad angular se puede hacer también de manera analítica. La base vectorial en la que la proyección de <math>\velang{placa}{T}</math> es inmediata es la base fija a la horquilla <math>(\velang{B}{T}=\vecdot{\psi}_0)</math>:

:<math>\braq{\velang{placa}{T}}{B}=\vector{\dot{\theta}}{0}{\psio}</math>

:<math>\braq{\accang{placa}{T}}{B}=\braq{\dert{\velang{placa}{T}}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\velang{placa}{T}}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\velang{placa}{T}}{B}=\vector{\ddot{\theta}}{0}{0}+\vector{0}{0}{\psio}\times\vector{\dot{\theta}}{0}{\psio}=\vector{\ddot{\theta}}{\psio\dot{\theta}}{0}</math>
</div>

=====3. Determina la velocidad y la aceleración del punto G de la placa respecto al suelo. =====
<div>
:Ya que el punt '''O''' es fijo al suelo, el vector <math>\OGvec</math> es un vector de posición para la referencia del suelo. Su valor L es constante, pero su dirección es variable a causa de <math>\psio</math> y <math>\vecdot{\theta}</math>: <math>\OGvec=(\searrow\Ls)^{*}</math>.

:'''Cálculo geométrico:'''
:<math>\vel{G}{T}=\dert{\OGvec}{T}=[\text{cambio de dirección}]_\Ts=\velang{$\OGvec$}{T}\times\OGvec=(\vec{\dot{\psi}}_0+\vec{\dot{\theta}})\times\OGvec=\left[(\Uparrow\psio)+(\odot\dot{\theta})\right]\times(\searrow\Ls)=(\Uparrow\psio)\times(\rightarrow\Ls\text{cos}\theta)+(\odot\dot{\theta})\times(\searrow\Ls)=(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)+(\nearrow\Ls\dot{\theta})</math>

[[Archivo:C2-E.Ex1-3-esp.png|thumb|right|300px|link=]]

:La velocidad tiene valor y dirección variables, y por tanto la aceleración tiene tanto componente paralela como componente perpendicular a la velocidad.

:<math>\acc{G}{T}=\dert{\vel{G}{T}}{T}=\dert{(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)}{T}+\dert{(\nearrow\Ls\dot{\theta})}{T}</math>

:El vector <math>(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)</math> gira respecto al suelo solo a causa de <math>\psio</math>, mientras que el vector <math>(\nearrow\Ls\dot{\theta})</math> lo hace a causa de <math>\vec{\psio}</math> y <math>\vec{\dot{\theta}}</math>:

:<math>\dert{(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=</math>
:<math>=[\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta]+\left[(\Uparrow\psio)\times(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)\right]=[\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta]+\left[\leftarrow\Ls\psio^2\text{sin}\theta\right]</math>

:<math>\dert{(\nearrow\Ls\dot{\theta})}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=\left[\nearrow\Ls\ddot{\theta}\right]+\left[((\Uparrow\psio)+(\odot\dot{\theta}))\times(\nearrow\Ls\dot{\theta})\right]=\left[\nearrow\Ls\ddot{\theta}\right]+\left[(\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta)+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)\right]</math>

:Finalmente: <math>\acc{P}{T}=(\otimes 2\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta)+(\leftarrow\Ls\psio^2\text{sin}\theta)+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\nearrow\Ls\ddot{\theta})</math>

:'''Cálculo analítico:'''
:Todo el cálculo se puede hacer de manera analítica. La base vectorial en la que la proyección del vector <math>\OGvec</math> es inmediata es la fija a la placa (base B’). Esta base cambia de orientación cuando el valor de los dos ángulos <math>\psi</math> y <math>\theta</math> cambia. Por tanto, la velocidad angular de la base es <math>\velang{B'}{T}=\vec{\psio}+\vec{\dot{\theta}}</math>:

:<math>\braq{\OGvec}{B'}=\vector{0}{0}{-L}</math>

:<math>\braq{\vel{G}{T}}{B'}=\braq{\dert{\OGvec}{T}}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OGvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{T}}{B'}\times\braq{\OGvec}{B'}=\vector{0}{0}{0}+\vector{\dot{\theta}}{\psio\text{sin}\theta}{\psio\text{cos}\theta}\times\vector{0}{0}{-\Ls}=\vector{-\Ls\psio\text{sin}\theta}{\Ls\dot{\theta}}{0}</math>

:<math>\braq{\acc{G}{T}}{B'}=\braq{\dert{\vel{G}{T}}{T}}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{G}{T}}{B'}+\braq{\velang{B'}{T}}{B'}\times\braq{\vel{G}{T}}{B'}=\vector{-\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta}{\Ls\ddot{\theta}}{0}+\vector{\dot{\theta}}{\psio\text{sin}\theta}{\psio\text{cos}\theta}\times\vector{-\Ls\psio\text{sin}\theta}{\Ls\dot{\theta}}{0}=\vector{-2\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta}{\Ls\ddot{\theta}-\Ls\psio^2\text{sin}\theta\text{cos}\theta}{\Ls\dot{\theta}^2+\Ls\psio^2\text{sin}^2\theta}</math>
</div>
|}</small>

====🔎 EJEMPLO C2-E.2: placa articulada giratoria====
---------
::{|:
<small>
La placa rectangular está unida a un soporte giratorio a través de dos barras paralelas con articulaciones en los extremos. Una tercera barra está unida a la placa a través de una <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.8 Enlaces habituales en los sistemas mecánicos|'''rótula esférica''']]</span> a P y al soporte a través de un <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.8 Enlaces habituales en los sistemas mecánicos|'''enlace cilíndrivo''']]</span>. El soporte gira con velocidad angular <math>\vecdot{\psi}</math> variable respecto al suelo (T).

[[Archivo:C4-E-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Archivo:C2-E.Ex2-2-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

=====1. ¿Cuántos grados de libertad (GL) tiene el sistema? Descríbelos.=====
<div>
:El soporte puede girar libremente alrededor del eje vertical fijo al suelo (rotación simple). Si el soporte se bloquea respecto al suelo, el sistema aún se puede mover.

:Respecto al soporte, las barras '''OC''' pueden hacer una rotación simple alrededor del eje horizontal perpendicular a las barras y que pasa por '''O'''. Si una de estas barras se bloquea respecto al soporte, ni la placa, ni las barras '''OC''', ni la barra en codo se pueden mover. Un análisis alternativo de este segundo grado de libertad es comprobar que si la barra en codo se bloquea (si se bloquea su translación vertical respecto al soporte), ni la placa, ni las barras '''OC''' se pueden mover respecto al soporte.

:Por tanto, el sistema tiene dos grados de libertad.

</div>

=====2. Determina la velocidad angular y la aceleración angular de la placa respecto al suelo.=====
<div>
:La velocidad angular de la placa es la superposición de <math>\vec{\dot{\psi}}</math> (1a rotación de Euler, eje fijo al suelo) y <math>\vec{\dot{\theta}}</math> (2a rotación de Euler, eje afectado por la rotación <math>\vec{\dot{\psi}}</math>):

:'''Cálculo geométrico:'''

:<math>\velang{placa}{T}=\vec{\dot{\psi}}+\vec{\dot{\theta}}=(\Uparrow\dot{\psi})+(\otimes\dot{\theta})</math>

:La aceleración angular proviene del cambio de valor de <math>\vec{\dot{\psi}}</math>, y del de valor y dirección de <math>\vec{\dot{\theta}}</math>:

:<math>\accang{placa}{T}=\dert{\velang{placa}{T}}{T}=\dert{(\Uparrow\dot{\psi})}{T}=\dert{(\otimes\dot{\theta})}{T}</math>

:<math>\dert{(\Uparrow\dot{\psi})}{T}=[\text{canvi de valor}]=\ddot{\psi}\frac{\vec{\dot{\psi}}}{|\vec{\dot{\psi}}|}=(\Uparrow\ddot{\psi})</math>

:<math>\dert{(\otimes\dot{\theta})}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=\left[\ddot{\theta}\frac{\vec{\dot{\theta}}}{|\vec{\dot{\theta}}|}\right]+\left[\velang{$\vec{\dot{\theta}}$}{T}\times\vec{\dot{\theta}}\right]=[\otimes\ddot{\theta}]+\left[(\Uparrow\dot{\psi})\times(\otimes\dot{\theta})\right]</math>

:Por tanto, <math>\accang{placa}{T}=(\Uparrow\ddot{\psi})+(\otimes\ddot{\theta})+(\Leftarrow\dot{\psi}\dot{\theta})</math>

:'''Cálculo analítico:'''

[[Archivo:C4-E-Ex2-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:La derivada de la velocidad angular se puede hacer también de manera analítica. La base vectorial B en la que la proyección de <math>\velang{placa}{T}</math> es inmediata es la fija al soporte <math>(\velang{B}{T}=\vec{\dot{\psi}})</math>:

:<math>\braq{\velang{placa}{T}}{B}=\vector{0}{\dot{\theta}}{\dot{\psi}}</math>

:<math>\braq{\accang{placa}{T}}{B}=\braq{\dert{\velang{placa}{T}}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\velang{placa}{T}}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\velang{placa}{T}}{B}=</math>
:<math>=\vector{0}{\ddot{\theta}}{\ddot{\psi}}+\vector{0}{0}{\dot{\psi}}\times\vector{0}{\dot{\theta}}{\dot{\psi}}=\vector{-\dot{\psi}\dot{\theta}}{\ddot{\theta}}{\ddot{\psi}}</math>

</div>

=====3. Determina la velocidad y la aceleración del punto Q de la placa respecto al suelo. =====
<div>
:Ya que el punto '''O''' es fijo al suelo, el vector <math>\OQvec</math> es un vector de posición para la referencia del suelo. Su valor es <math>2\Ls\text{cos}\theta</math>, y su dirección es siempre horizontal. La velocidad de '''Q''' proviene tanto del cambio de valor (ya que <math>\theta</math> es variable) como del cambio de dirección respecto al suelo (causado por la rotación <math>\vec{\dot{\psi}}</math> del soporte).

:'''Cálculo geométrico:'''

[[Archivo:C2-E.Ex2-4-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\OQvec=(\rightarrow 2\Ls\text{cos}\theta)</math>

:<math>\vel{Q}{T}=\dert{\OQvec}{T}=\dert{(\rightarrow 2\Ls\text{cos}\theta)}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=</math>
:<math>=\left[\rightarrow -2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta\right]+\left[(\Uparrow\dot{\psi})\times(\rightarrow 2\Ls\text{cos}\theta)\right]=\left[\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta\right]+\left[\otimes 2\Ls\dot{\psi}\text{cos}\theta\right]</math>

:La aceleración de '''Q''' proviene tanto del cambio de valor como del cambio de dirección (asociado a <math>\vec{\dot{\psi}}</math>) de los dos términos de la velocidad:

:<math>\acc{Q}{T}=\dert{\vel{Q}{T}}{T}=\dert{(\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta)}{T}+\dert{\otimes 2\Ls\dot{\psi}\text{cos}\theta}{T}</math>

:<math>\dert{(\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta)}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=\left[\leftarrow 2\Ls(\ddot{\theta}\text{sin}\theta+\dot{\theta}^2\text{cos}\theta)\right]+\left[(\Uparrow\dot{\psi})\times(\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta)\right]=\left[\leftarrow 2\Ls(\ddot{\theta}\text{sin}\theta+\dot{\theta}^2\text{cos}\theta)\right]+\left[\odot 2\Ls\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta\right]</math>

:<math>\dert{(\otimes 2\Ls\dot{\psi}\text{cos}\theta)}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=\left[\otimes 2\Ls(\ddot{\psi}\text{cos}\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta)\right]+\left[(\Uparrow\dot{\psi})\times(\otimes 2\Ls\dot{\psi}\text{cos}\theta)\right]=\left[\otimes 2\Ls(\ddot{\psi}\text{cos}\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta)\right]+\left[\leftarrow 2\Ls\dot{\psi}^2\text{cos}\theta\right]</math>

:Finalmente, <math>\acc{Q}{T}=(\leftarrow 2\Ls(\ddot{\theta}\text{sin}\theta+(\dot{\psi}^2+\dot{\theta}^2)\text{cos}\theta))+(\odot 4\Ls\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta)+(\otimes 2\Ls\ddot{\psi}\text{cos}\theta)</math>

:'''Cálculo analítico:'''

[[Archivo:C4-E-Ex2-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La derivada también se puede hacer de manera analítica. La base vectorial B en la que la proyección del vector <math>\OPvec</math> es inmediata es la fija al soporte <math>(\velang{B}{T}=\vec{\dot{\psi}})</math>:

:<math>\braq{\OQvec}{B}=\vector{2\Ls\text{cos}\theta}{0}{0}</math>

:<math>\braq{\vel{Q}{T}}{B}=\braq{\dert{\OQvec}{T}}{B}=\frac{d}{dt}\braq{\OQvec}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\OQvec}{B}=</math>
:<math>=\vector{-2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}{0}+\vector{0}{0}{\dot{\psi}}\times\vector{2\Ls\text{cos}\theta}{0}{0}=\vector{-2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta}{2\Ls\dot{\psi}\text{cos}\theta}{0}</math>

:<math>\braq{\acc{Q}{T}}{B}=\braq{\dert{\vel{Q}{T}}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{T}}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\vel{Q}{T}}{B}=2\Ls\vector{-\ddot{\theta}\text{sin}\theta-\dot{\theta}^2\text{cos}\theta}{\ddot{\psi}\text{cos}\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}+\vector{0}{0}{\dot{\psi}}\times 2\Ls\vector{-\dot{\theta}\text{sin}\theta}{\dot{\psi}\text{cos}\theta}{0}=2\Ls\vector{-\ddot{\theta}\text{sin}\theta-(\dot{\psi}^2+\dot{\theta}^2)\text{cos}\theta}{\ddot{\psi}\text{cos}\theta-2\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}</math>

</div>
|}</small>

====🔎 EJEMPLO C2-E.3: péndulo giratorio con punto de suspensión móvil====
---------
::{|:
<small>
El péndulo en forma de anilla está articulado al soporte, que a su vez tiene un enlace prismático con la guía. La guía está articulada al techo, y su velocidad angular respecto al mismo <math>(\vec{\psio})</math> se mantiene constante. El muelle entre soporte y guía garantiza que el primero no se caiga al suelo cuando el sistema está en reposo.

[[Archivo:C2-E.Ex3-1-esp.png|thumb|center|600px|link=]]

=====1. ¿Cuántos grados de libertad (GL) tiene el sistema? Descríbelos.=====
<div>
:La guía puede girar alrededor del eje vertical que pasa por '''O’''' (rotación simple).

:Independientemente, el soporte se puede trasladar a lo largo de la guía (translación rectilínea).

:Finalmente, si los dos movimientos anteriores se bloquean, la anilla aun puede hacer una rotación simple alrededor del eje horizontal que pasa por '''O’''', es perpendicular al plano de la anilla y es fijo al soporte.

:Por tanto, el sistema tiene 3 grados de libertad.

</div>

=====2. Determina la velocidad angular y la aceleración angular de la anilla respecto al suelo.=====
<div>
:'''Cálculo geométrico:'''

:La velocidad angular de la anilla es la superposición de <math>(\vec{\psio})</math> (1a rotación de Euler, eje fijo al suelo) y <math>\vec{\dot{\theta}}</math> (2a rotación de Euler, eje afectado por la rotación <math>\vec{\dot{\psi}}</math>):

[[Archivo:C2-E.Ex3-2-neut.png|thumb|right|300px|link=]]

:<math>\velang{anilla}{T}=\vec{\psio}+\vec{\dot{\theta}}=(\Uparrow\psio)+(\odot\dot{\theta})</math>

:<math>\accang{anilla}{T}=\dert{\velang{anilla}{T}}{T}=\dert{(\vec{\psio}+\vec{\dot{\theta}})}{T}=\dert{\vec{\psio}}{T}+\dert{\vec{\dot{\theta}}}{T}</math>
:<math>=\dert{(\Uparrow\psio)}{T}+\dert{(\odot\dot{\theta})}{T}</math>

:La aceleración angular proviene exclusivamente del cambio de valor y dirección de <math>\vec{\dot{\theta}}</math>, ya que <math>\vec{\psio}</math> es de valor y dirección constante.

:<math>\accang{anilla}{T} = \dert{\velang{anilla}{T}}{T} = \dert{(\odot\dot{\theta})}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=</math>
:<math>=\left[\ddot{\theta}\frac{\vec{\dot{\theta}}}{|\vec{\dot{\theta}}|}\right]+\left[\velang{$\vec{\dot{\theta}}$}{T}\times\vec{\dot{\theta}}\right]=[\odot\ddot{\theta}]+\left[(\Uparrow\dot{\psi})\times(\odot\dot{\theta})\right]=(\odot\ddot{\theta})+(\Rightarrow\psio\dot{\theta})</math>

:'''Cálculo analítico:'''

:La derivada de la velocidad angular de la anilla se puede hacer también de manera analítica. La base vectorial en la que la proyección de <math>\velang{anilla}{T}</math> es inmediata es la fija al soporte <math>(\velang{B}{T}=\vec{\dot{\psi}})</math>:

:<math>\braq{\velang{anilla}{T}}{B}=\vector{0}{\psio}{\dot{\theta}}</math>

:<math>\braq{\accang{anilla}{T}}{B}=\braq{\dert{\velang{anilla}{T}}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\velang{anilla}{T}}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\velang{anilla}{T}}{B}=\vector{0}{0}{\ddot{\theta}}+\vector{0}{\psio}{0}\times\vector{0}{\psio}{\dot{\theta}}=\vector{\psio\dot{\theta}}{0}{\ddot{\theta}}</math>

</div>

=====3. Determina la velocidad y la aceleración del punto G de la anilla respecto al suelo..=====
<div>
:'''Cálculo analítico:'''

:El vector <math>\vec{\Os'\Gs}</math> es un vector de posición de <math>\Gs</math> en la referencia del suelo, ya que <math>\Os'</math> es un punto fijo al suelo.

:<math>\vec{\Os'\Gs}=\vec{\Os'\Os}+\vec{\Os\Gs}=(\downarrow \textrm{x})+(\searrow \Ls)^*</math>

:<math>\vel{G}{T}=\dert{\vec{\Os'\Gs}}{T}=\dert{\vec{\Os'\Os}}{T}+\dert{\vec{\Os\Gs}}{T}=\dert{(\downarrow \textrm{x})}{T}+\dert{(\searrow \Ls)}{T}</math>

[[Archivo:C2-E.Ex3-3-esp.png|thumb|right|250px|link=]]

:El término <math>(\downarrow \text{x})</math> tiene valor variable pero orientación constante, mientras que el término <math>(\searrow \Ls)</math>, de valor constante, cambia de orientación respecto al suelo a causa de <math>\vec{\psio}</math> y <math>\vec{\dot{\theta}}</math>:

:<math>\dert{\vec{\Os'\Os}}{T}=\dert{(\downarrow \textrm{x})}{T}=[\text{cambio de valor}]=(\downarrow\dot{\text{x}})</math>

:<math>\dert{\vec{\Os\Gs}}{T}=\dert{(\searrow \Ls)}{T}=[\text{cambio de dirección}]_\Ts=\velang{$\OGvec$}{T}\times\OGvec=((\Uparrow\psio)+(\odot\dot{\theta}))\times(\searrow \Ls)=</math>
:<math>=(\Uparrow\psio)\times(\rightarrow\Ls\text{sin}\theta)+(\odot\dot{\theta})\times(\searrow \Ls)=(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)+(\nearrow\Ls\dot{\theta})</math>

:Por tanto, <math>\vel{G}{T}=(\downarrow\dot{\text{x}})+(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)+(\nearrow\Ls\dot{\theta})</math>

:<math>\acc{Q}{T}=\dert{\vel{G}{T}}{T}=\dert{(\downarrow\dot{\text{x}})}{T}+\dert{(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)}{T}+\dert{(\nearrow\Ls\dot{\theta})}{T}</math>

:Los tres términos de la velocidad son de valor variable, y solo los dos últimos giran (cambian de dirección) respecto al suelo. El segundo, que es perpendicular al plano de la anilla, solo gira a causa de <math>\vec{\psio}</math>, mientras que el tercero gira a causa de <math>\vec{\psio}</math> y <math>\vec{\dot{\theta}}</math>. La derivada de cada uno de estos términos es:

:<math>\dert{(\downarrow\dot{\text{x}})}{T}=[\text{cambio de valor}]=(\downarrow\ddot{x})</math>

:<math>\dert{(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=[\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta]+[(\Uparrow\psio)\times(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)]=[\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta]+[\leftarrow\Ls\psio^2\text{sin}\theta]</math>

:<math>\dert{(\nearrow\Ls\dot{\theta})}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=[\nearrow\Ls\ddot{\theta}]+[((\Uparrow\psio)+(\odot\dot{\theta}))\times(\nearrow\Ls\dot{\theta})]=[\nearrow\Ls\ddot{\theta}]+[(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta)]</math>

:Por tanto, <math>\acc{G}{T}=(\downarrow\ddot{x})+(\leftarrow\Ls\psio^2\text{sin}\theta)+(\nearrow\Ls\ddot{\theta})+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\otimes 2\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta)</math>

[[Archivo:C2-E.Ex3-2-neut.png|thumb|right|300px|link=]]

:'''Cálculo analítico: '''

:Todo el cálculo se puede hacer de manera analítica. El vector <math>\OGvec=\vec{\Os\Os'}+\vec{\Os'\Gs}</math> tiene el primer término vertical, y por tanto su proyección es inmediata en la base B fija al soporte <math>(\velang{B}{T}=\vec{\psio})</math>; el segundo término, en cambio, se proyecta inmediatamente en la base B’ fija a la anilla <math>(\velang{B'}{T}=\vec{\psio}+\vec{\dot{\theta}})</math>. Cualquiera de las dos puede ser adecuada.

:<u>Cálculo en la base B</u>

:<math>\braq{\OGvec}{B}=\vector{\Ls\text{sin}\theta}{-\text{x}-\Ls\text{cos}\theta}{0}</math>

:<math>\braq{\vel{G}{T}}{B}=\braq{\dert{\OGvec}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OGvec}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\OGvec}{B}=</math>
:<math>=\vector{\Ls\dot{\theta}\text{cos}\theta}{-\dot{x}+\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}+\vector{0}{\psio}{0}\times\vector{\Ls\text{sin}\theta}{-x-\Ls\text{cos}\theta}{0}=\vector{\Ls\dot{\theta}\text{cos}\theta}{-\dot{x}+\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta}{-\Ls\psio\text{sin}\theta}</math>

:<math>\braq{\acc{G}{T}}{B}=\braq{\dert{\vel{G}{T}}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{G}{T}}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\vel{G}{T}}{B}=\vector{\Ls(\ddot{\theta}\text{cos}\theta-\dot{\theta}^2\text{sin}\theta)}{-\ddot{x}+\Ls(\ddot{\theta}\text{sin}\theta-\dot{\theta}^2\text{cos}\theta)}{-\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta}+\vector{0}{\psio}{0}\times\vector{\Ls\dot{\theta}\text{cos}\theta}{-\dot{x}+\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}=\vector{\Ls(\ddot{\theta}\text{cos}\theta-\dot{\theta}^2\text{sin}\theta)}{-\ddot{x}+\Ls(\ddot{\theta}\text{sin}\theta+\dot{\theta}^2\text{cos}\theta)}{-2\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta}</math>

:<u>Cálculo en la base B'</u>

:<math>\braq{\OGvec}{B}=\vector{x\text{sin}\theta}{-x\text{cos}\theta-\Ls}{0}</math>

:<math>\braq{\vel{G}{T}}{B'}=\braq{\dert{\OGvec}{T}}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OGvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{T}}{B'}\times\braq{\OGvec}{B'}=\vector{-\dot{x}\text{sin}\theta-x\dot{\theta}\text{cos}\theta}{-\dot{x}\text{cos}\theta+x\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}+\vector{\psio\text{sin}\theta}{\psio\text{cos}\theta}{\dot{\theta}}\times\vector{-x\text{sin}\theta}{-x\text{cos}\theta-\Ls}{0}=\vector{-\dot{x}\text{sin}\theta+\Ls\dot{\theta}}{-\dot{x}\text{cos}\theta}{-\Ls\psio\text{sin}\theta}</math>

:<math>\braq{\acc{G}{T}}{B'}=\braq{\dert{\vel{G}{T}}{T}}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{G}{T}}{B'}+\braq{\velang{B'}{T}}{B'}\times\braq{\vel{G}{T}}{B'}=\vector{-\ddot{x}\text{sin}\theta-\dot{x}\dot{\theta}\text{cos}\theta+\Ls\ddot{\theta}}{-\ddot{x}\text{cos}\theta+\dot{x}\dot{\theta}\text{sin}\theta}{-\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta}+\vector{\psio\text{sin}\theta}{\psio\text{cos}\theta}{\dot{\theta}}\times\vector{-\dot{x}\text{sin}\theta+\Ls\dot{\theta}}{-\dot{x}\text{cos}\theta}{-\Ls\psio\text{sin}\theta}=\vector{-\ddot{x}\text{sin}\theta+\Ls(\ddot{\theta}-\psio^2\text{sin}\theta\text{cos}\theta)}{-\ddot{x}\text{cos}\theta+\Ls(\dot{\theta}^2+\psio^2\text{sin}^2\theta)}{-2\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta}</math>

</div>

|}</small>

-------------

'''*NOTA:''' En esta web (y por falta de símbolos de flecha más precisos), aunque las flechas <math>\nearrow</math>, <math>\swarrow</math>, <math>\nwarrow</math> y <math>\searrow</math> parecen indicar que los vectores forman un ángulo de 45° con la dirección vertical, no tiene por qué ser así. Hay que interpretar las flechas de manera cualitativa, observando el dibujo que siempre acompaña este tipo de notación. Por ejemplo, en el apartado 3 del ejercicio C2-E.1, el vector <math>\OPvec</math> forma un ángulo <math>\theta</math> genérico con la dirección vertical. Si el valor del ángulo <math>\theta</math> es menor de 90° (como en la figura siguiente), el vector <math>\OPvec</math> tiene componente hacia abajo y hacia la derecha.

<p align="right"><small>© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Todos los derechos reservados]]</small></p>
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<center>
[[C1. Configuración de un sistema mecánico|<<< C1. Configuración de un sistema mecánico]]

[[C3. Composición de movimientos|C3. Composición de movimientos >>>]]
</center>

C4. Cinemática 3D del sólido rígido

2025-04-05T20:25:59Z

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C4. Cinemática 3D del sólido rígido

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<strong><big>Wiki en construcción...</big></strong>
__NOTOC__
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------------
===[[Introducción]]===
:: [[Introducción#I.1 ¿Qué es la mecánica?|I.1 ¿Qué es la mecánica?]]
:: [[Introducción#I.2 Modelos de objetos materiales|I.2 Modelos de objetos materiales]]
:: [[Introducción#I.3 Limitaciones de la mecánica newtoniana|I.3 Limitaciones de la mecánica newtoniana]]
:: [[Introducción#I.4 Referencia (o marco de referencia)|I.4 Referencia (o marco de referencia)]]

===[[Cálculo vectorial]]===
::[[Cálculo vectorial#V.1 Representación geométrica de un vector|V.1 Representación geométrica de un vector]]
::[[Cálculo vectorial#V.2 Operaciones entre vectores con representación geométrica|V.2 Operaciones entre vectores con representación geométrica]]
::::[[Cálculo vectorial#Operaciones instantáneas: suma, producto escalar, producto vectorial|Operaciones instantáneas: suma, producto escalar, producto vectorial]]
::::[[Cálculo vectorial#Operaciones a lo largo del tiempo: derivación temporal|Operaciones a lo largo del tiempo: derivación temporal]]
::[[Cálculo vectorial#V.3 Representación analítica de un vector (coordenadas, bases vectoriales)|V.3 Representación analítica de un vector (coordenadas, bases vectoriales)]]
::[[Cálculo vectorial#V.4 Operaciones entre vectores con representación analítica|V.4 Operaciones entre vectores con representación analítica]]
::::[[Cálculo vectorial#Operaciones instantáneas: suma, producto escalar, producto vectorial|Operaciones instantáneas: suma, producto escalar, producto vectorial]]
::::[[Cálculo vectorial#Operaciones a lo largo del tiempo: derivación temporal|Operaciones a lo largo del tiempo: derivación temporal]]

==CINEMÁTICA==
===[[C1. Configuración de un sistema mecánico]]===
::[[C1. Configuración de un sistema mecánico#C1.1 Posición de una partícula|C1.1 Posición de una partícula]]
::[[C1. Configuración de un sistema mecánico#C1.2 Configuración de un sólido rígido|C1.2 Configuración de un sólido rígido]]
::[[C1. Configuración de un sistema mecánico#C1.3 Orientación de un sólido rígido con movimiento plano|C1.3 Orientación de un sólido rígido con movimiento plano]]
::[[C1. Configuración de un sistema mecánico#C1.4 Orientación de un sólido rígido con movimiento en el espacio|C1.4 Orientación de un sólido rígido con movimiento en el espacio]]
::::[[C1. Configuración de un sistema mecánico#Rotaciones alrededor de direcciones fijas|Rotaciones alrededor de direcciones fijas]]
::::[[C1. Configuración de un sistema mecánico#Rotaciones de Euler|Rotaciones de Euler]]
::[[C1. Configuración de un sistema mecánico#C1.5 Coordenadas independientes|C1.5 Coordenadas independientes]]

===[[C2. Movimiento de un sistema mecánico]]===
::[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.1 Velocidad de una partícula|C2.1 Velocidad de una partícula]]
::[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.2 Aceleración de una partícula|C2.2 Aceleración de una partícula]]
::[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.3 Direcciones intrínsecas. Componentes intrínsecas de la aceleración|C2.3 Direcciones intrínsecas. Componentes intrínsecas de la aceleración]]
::[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.4 Velocidad angular de un sólido rígido|C2.4 Velocidad angular de un sólido rígido]]
::::[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#Rotación simple|Rotación simple]]
::::[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#Rotación en el espacio|Rotación en el espacio]]
::[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.5 Aceleración angular de un sólido rígido|C2.5 Aceleración angular de un sólido rígido]]
::[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.6 Cinemática de partícula versus cinemática de sólido rígido|C2.6 Cinemática de partícula versus cinemática de sólido rígido]]
::[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.7 Grados de libertad|C2.7 Grados de libertad]]
::[[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.8 Enlaces habituales en los sistemas mecánicos|C2.8 Enlaces habituales en los sistemas mecánicos]]

===[[C3. Composición de movimientos]]===
::[[C3. Composición de movimientos#C3.1 Composición de velocidades|C3.1 Composición de velocidades]]
::[[C3. Composición de movimientos#C3.2 Composición de aceleraciones|C3.2 Composición de aceleraciones]]
::[[C3. Composición de movimientos#C3.3 Composición ''versus'' derivación|C3.3 Composición ''versus'' derivación]]

===[[C4. Cinemática 3D del sólido rígido]]===
::[[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.1 Distribución de velocidades|C4.1 Distribución de velocidades]]
::[[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.2 Distribución de aceleraciones|C4.2 Distribución de aceleraciones]]

===[[C5. Cinemática del sólido rígido: movimiento plano]]===
::[[C5. Cinemática del sólido rígido: movimiento plano#C5.1 Centro Instantáneo de Rotación (CIR)|C5.1 Centro Instantáneo de Rotación (CIR)]]
::[[C5. Cinemática del sólido rígido: movimiento plano#C5.2 Ejemplos|C5.2 Ejemplos]]
::[[C5. Cinemática del sólido rígido: movimiento plano#C5.3 Introducción a la cinemática de vehículos|C5.3 Introducción a la cinemática de vehículos]]

==DINÁMICA==
===[[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#|D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana]]===
::[[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.1 Referencias galileanas|D1.1 Referencias galileanas]]
::[[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.2 Principio de Relatividad de Galileo|D1.2 Principio de Relatividad de Galileo]]
::[[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.3 Principio de Determinación de Newton|D1.3 Principio de Determinación de Newton]]
::[[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.4 Primera ley de Newton (ley de la inercia)|D1.4 Primera ley de Newton (ley de la inercia)]]
::[[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.5 Segunda ley de Newton (ley fundamental de la dinámica)|D1.5 Segunda ley de Newton (ley fundamental de la dinámica)]]
::[[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)]]
::[[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.7 Dinámica de la partícula en referencias no galileanas|D1.7 Dinámica de la partícula en referencias no galileanas]]

===[[D2. Fuerzas de interacción entre partículas#|D2. Fuerzas de interacción entre particulas]]===
::[[D2. Fuerzas de interacción entre partículas#D2.1 Dependencia cinemática de las fuerzas de interaccións|D2.1 Dependencia cinemática de las fuerzas de interacción]]
::[[D2. Fuerzas de interacción entre partículas#D2.2 Clasificación de las fuerzas de interacción|D2.2 Clasificación de las fuerzas de interacción]]
::[[D2. Fuerzas de interacción entre partículas#D2.3 Atracción gravitatoria|D2.3 Atracción gravitatoria]]
::[[D2. Fuerzas de interacción entre partículas#D2.4 Interacción a través de muelles|D2.4 Interacción a través de muelles]]
::[[D2. Fuerzas de interacción entre partículas#D2.5 Interacción a través de amortiguadores|D2.5 Interacción a través de amortiguadores]]
::[[D2. Fuerzas de interacción entre partículas#D2.6 Interacción a través de actuadores|D2.6 Interacción a través de actuadores]]
::[[D2. Fuerzas de interacción entre partículas#D2.7 Interacciones de enlace|D2.7 Interacciones de enlace]]
::[[D2. Fuerzas de interacción entre partículas#D2.8 Fricción|D2.8 Fricción]]

===[[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#|D3. Interacciones entre sólidos rígidos]]===
::[[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.1 Torsor asociado a un sistema de fuerzas|D3.1 Torsor asociado a un sistema de fuerzas]]
::[[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.2 Atracción gravitatoria|D3.2 Atracción gravitatoria]]
::[[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.3 Interacción a través de muelles y amortiguadores lineales y torsionales|D3.3 Interacción a través de muelles y amortiguadores lineales y torsionales]]
::[[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|D3.4 Interacciones directas de enlace]]
::[[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)]]
::[[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.6 Interacciones a través de actuadores lineales y rotacionales|D3.6 Interacciones a través de actuadores lineales y rotacionales]]

===[[D4. Teoremas vectoriales#|D4. Teoremas vectoriales]]===
::[[D4. Teoremas vectoriales#D4.1 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias galileanas|D4.1 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias galileanas]]
::[[D4. Teoremas vectoriales#D4.2 Ejemplos de aplicación del TCM|D4.2 Ejemplos de aplicación del TCM]]
::[[D4. Teoremas vectoriales#D4.3 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias no galileanas|D4.3 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias no galileanas]]
::[[D4. Teoremas vectoriales#D4.4 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulación general|D4.4 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulación general]]
::[[D4. Teoremas vectoriales#D4.5 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulaciones particulares|D4.5 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulaciones particulares]]
::[[D4. Teoremas vectoriales#D4.6 Ejemplos de aplicación del TMC|D4.6 Ejemplos de aplicación del TMC]]
::[[D4. Teoremas vectoriales#D4.7 Dinámica de los Sólidos Auxiliares de Enlace|D4.7 Dinámica de los Sólidos Auxiliares de Enlace]]
::[[D4. Teoremas vectoriales#D4.8 Descomposición baricéntrica del momento cinético|D4.8 Descomposición baricéntrica del momento cinético]]

===[[D5. Tensor de inercia#|D5. Tensor de inercia]]===
::[[D5. Tensor de inercia#D5.1 Centro de masas|D5.1 Centro de masas]]
::[[D5. Tensor de inercia#D5.2 Tensor de inercia|D5.2 Tensor de inercia]]
::[[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|D5.3 Ejes principales de inercia]]
::[[D5. Tensor de inercia#D5.4 Algunas propiedades relevantes del tensor de inercia|D5.4 Algunas propiedades relevantes del tensor de inercia]]
::[[D5. Tensor de inercia#D5.5 Teorema de Steiner|D5.5 Teorema de Steiner]]
::[[D5. Tensor de inercia#D5.6 Cambio de base|D5.6 Cambio de base]]

===[[D6. Ejemplos de dinámica 2D#|D6. Ejemplos de dinámica 2D]]===
::[[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.1 Cinemática 2D y dinámica 2D|D6.1 Cinemática 2D y dinámica 2D]]
::[[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.2 Diagrama de sólido libre (DSL) y hoja de ruta|D6.2 Diagrama de sólido libre (DSL) y hoja de ruta]]
::[[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.3 Ejemplos de un único sólido|D6.3 Ejemplos de un único sólido]]
::[[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.4 Diagrama general de interacciones (DGI)|D6.4 Diagrama general de interacciones (DGI)]]
::[[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.5 Ejemplos de sistemas multisólido|D6.5 Ejemplos de sistemas multisólido]]

===[[D8. Conservaciones#|D8. Conservaciones]]===
::[[D8. Conservaciones#D8.1 Ejemplos|D8.1 Ejemplos]]
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C4. Cinemática 3D del sólido rígido

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C4. Cinemática 3D del sólido rígido

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C4. Cinemática 3D del sólido rígido

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C4. Cinemática 3D del sólido rígido

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Gemma: /* ✏️ Exemple C4-1.2: roda perpendicular a terra i sense lliscar */

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C4. Cinemática 3D del sólido rígido

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Gemma: /* ✏️ EJEMPLO C4-1.1: rueda sobre soporte giratorio; cálculo geométrico */

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C4. Cinemática 3D del sólido rígido

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Gemma: /* ✏️ EJEMPLO C4-1.1: rueda sobre soporte giratorio; cálculo geométrico */

C4. Cinemática 3D del sólido rígido

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Gemma: /* ✏️ EJEMPLO C4-1.1: rueda sobre soporte giratorio; cálculo geométrico */

C4. Cinemática 3D del sólido rígido

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Gemma: /* C4.1 Distribución de velocidades */

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