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D7. Ejemplos de dinámica 3D

2026-03-18T18:07:25Z

Eantem: /* ✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>

En esta unidad, el procedimiento sistemático propuesto en la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.4 Diagrama general de interacciones (DGI)|'''sección D6.4''']] se aplica a ejemplos de dinámica 3D para obtener ecuaciones del movimiento y pares motores. Además, se presenta también un análisis sistemático de las ecuaciones del movimiento.

==D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento==

La obtención de las ecuaciones del movimiento de los GL libres de los sistemas multisólido no es, en general, el objetivo de los problemas de dinámica, sino un paso previo a su integración para conocer cómo evolucionan a lo largo del tiempo las coordenadas que describen la configuración del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Sin embargo, estas ecuaciones suelen ser no lineales, y su integración es necesariamente numérica. A pesar de eso, hay algunos aspectos del comportamiento del sistema que se pueden investigar de manera analítica.

Configuraciones de equilibrio

Las configuraciones de equilibrio son aquellas configuraciones para las que, si el sistema se deja en reposo <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, permanece en reposo <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Por tanto, el valor de las coordenadas en equilibrio viene dado por:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>
</center>

La ecuación que define las <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> puede ser trascendente y no tener solución analítica. En ese caso, se puede recurrir a una resolución numérica o una resolución gráfica.

Análisis de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Si se considera que el valor de las coordenadas es muy cercano al de una configuración de equilibrio <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js</math>, con <math>\varepsilon_\js << 1</math>, y por tanto <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>) las funciones no lineales que aparecen en las ecuaciones del movimiento se pueden aproximar por los términos lineales de su desarrollo en serie de Taylor. Por ejemplo:

:* si aparecen polinomios de grado superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si se trata de una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> y aparecen funciones seno y coseno:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Una vez linealizada, la ecuación es del tipo: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, donde A, B, y C son escalares. En este curso, sin embargo, a menudo la ecuación es más sencilla y no contiene término en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solución general es: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, con <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Las constantes de integración dependen de las condiciones iniciales <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
:La solución <math>\varepsilon(\ts)</math> de la ecuación <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una función cuya segunda derivada sea proporcional a la función sin derivar. Las funciones seno, coseno y exponencial cumplen esta condición. Si se prueba la primera (que tiene que contener dos constantes de integración):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Si se sustituyen estas expresiones en la ecuación del movimiento:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El movimiento es una oscilación alrededor de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math> cuya frecuencia angular <math>(\omega)</math> depende de parámetros del sistema.

:Las constantes de integración, en cambio, dependen de las condiciones iniciales (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), y por tanto, no son intrínsecas al sistema.

:* condiciones iniciales solo de posición: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales solo de velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales de posición y velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Análisis de la estabilidad de las de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Las oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio sólo son posibles cuando ésta es estable.
La estabilidad se puede analizar muy fácilmente a partir de la ecuación del movimiento linealizada:

<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decrece, y el sistema vuelve a la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> crece, y el sistema se aleja de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''INESTABLE'''.

==D7.2 Ejemplos generales==
====✏️ EJEMPLO D7.1: placa rectangular giratoria====
------

:[[Archivo:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Archivo:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La placa rectangular homogénea, de masa m, está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante respecto al suelo bajo la acción de un motor. Se trata de hallar la ecuación del movimiento asociada al movimiento entre placa y horquilla, y el valor del par motor que garantiza <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripción cinemática:

:Otra opción para calcular <math>\vel{G}{T}</math> es la cinemática de sólido rígido (sólido: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general de interacciones

[[Archivo:D7-Ex1-3esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones ppr sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ ecs}}{\text{sólido}} = 12\text{ecs}</math>

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 incógnitas

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

:La placa es el único elemento cuyomo vimiento depende de <math>\dth</math>. Par tanto, los sistemas posibles en los que aparecerá <math>\ddth</math> cuando se apliquen los teoremas vectoriales son: placa, placa + horquilla.

[[Archivo:D7-Ex1-4-esp.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enlace + <math>\ddth</math> = 6 inc. enlace <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enlace + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc. enlace</center>
 
:Las seis ecuaciones que se generan aplicando los teoremas vectoriales a la placa permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la placa son:

[[Archivo:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterización del torsor de enlace de la horquilla sobre la placa en el punto '''O''' es inmediata tanto si se utiliza la base B como la B’.

:Si se aplica el TCM, las tres componentes incluyen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en '''O''', la fuerza de enlace no aparecerá, y la componente 3 (o 3’) estará libre de incógnitas de enlace.

:Una buena propuesta es:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta:SISTEMA(placa), TMC en }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC en <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{grande}}{0}{0}{0}{\I{pequeño}}{0}{0}{0}{\I{grande + pequeño}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{\I{grande + pequeño}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{pequeño}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{grande + pequeño})\ddth + \I{pequeño - grande}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{pequeño} - \I{grande})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si se substituyen <math>\I{grande + pequeño}</math> i <math>\I{pequeño} - \I{grande}</math> por los valores que dan las tablas, la ecuación queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Análisis de la ecuación del movimiento: configuraciones de equilibrio

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Esta ecuación tiene dos familias de soluciones:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ya que la función coseno está acotada entre -1 y +1, la segunda familia solo existe si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, y esto se cumple solo si la velocidad angular <math>\Omega_0</math> está por encima del valor crítico <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Análisis de la ecuación del movimiento: movimiento de la placa respecto a la horquilla

:Al tratarse de una ecuación no lineal (a causa de la función seno), el movimiento general se obtiene por integración numérica.

:El análisis analítico para pequeñas amplitudes <math>(\varepsilon)</math> alrededor de una configuración de equilibrio <math>\theta_\text{eq}</math> se puede hacer si se aproximan las funciones trigonométricas [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''sección D7.1''')]]:

L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Para las pequeñas amplitudes alrededor de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, la ecuación del movimiento es <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si las condiciones iniciales son <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, la evolución de <math>\varepsilon</math> viene dada por: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Para <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''aumenta'''. Es una configuración '''INESTABLE''' y no puede haber oscilación alrededor de esta configuración.

:* Para <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminuye'''. El movimiento es una oscilación alrededor de una configuración '''ESTABLE'''. La frecuencia angular [rad/s] es <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si las condiciones iniciales son <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> y <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el movimiento pendular no aparece, y el sistema se mueve solo con la rotación <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentario adicional

[[Archivo:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa se hubiera suspendido de la horquilla de manera que el eje 2 fuese el de momento de inercia grande y el eje 1 fuese el de inercia baja, la ecuación del movimiento habría sido:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si se linealiza alrededor de la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Para cualquier valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficiente <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]</math> es positivo, y por tanto la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math> es siempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Hoja de ruta para el par motor

:Las opciones de sistema para calcular el par motor son dos: horquilla, horquilla + placa:

[[Archivo:D7-Ex1-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Archivo:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:La opción (horquilla + placa) es la más adecuada. La descripción de interacciones externas sobre este sistema se muestra en la figura.

:Al tratarse de un par motor, el TMC es el teorema adecuado para llegar a la solución:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (horquilla + placa), TMC en }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El momento cinético es el mismo que se ha calculado antes (ya que la horquilla no tiene masa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\dth} = \vector{2\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ EJEMPLO D7.2: barras giratorias====
-----

:[[Archivo:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta de un marco sin masa y de dos barras homogéneas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\sth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante).

:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex2-2esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones por sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ecs.}}{\text{sólido}} = 12</math> ecs.

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 inc.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:La pieza es el único elemento cuyo el movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex2-3-esp.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:Las seis ecuaciones que se generan si se aplican los teoremas vectoriales a la pieza permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la pieza son las que se muestran a la figura.
:Si se aplica el TCM, las tres componentes contienen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en O, la fuerza de enlace no aparecerá. Por tanto:

<center><math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en} \Os}</math></center>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria al marco. Ya que se asume que el movimiento solo proviene del GL forzado <math>\Omega_0</math>, es la base que gira con <math>\Omega_0</math> respecto al suelo.

:El análisis cualitativo del tensor de inercia se puede hacer considerando primero el tensor de cada barra en su centro de inercia y añadiendo después las correcciones de [[D5. Tensor de inercia#D5.4 Algunas propiedades relevantes del tensor de inercia|'''Steiner''']] para pasar a '''O''':

:[[Archivo:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Teniendo en cuenta que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constanto y está contenido en el plano de la pieza. Por tanto, gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> y barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:[[Archivo:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:El único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusión: el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo constante) no es posible. La razón es la componente horizontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que es la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fuera estrictamente vertical (paralelo a <math>\vec\Omega_0</math>), entonces <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, y la aplicación del TMC conduciría a valor nulo de las dos componentes de momento <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En otras palabras: si la dirección de la velocidad angular fuese una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']] para el punto '''O''', mantenerla constante sería posible sin necesidad de momento externo.

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras el dedo introduzca una de estas fuerzas, la math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal (sin que aparezca <math>\dth</math>). Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido horario:

:[[Archivo:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar con <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:La ecuación del movimiento es:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, y está claro que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no es una de ellas.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación horaria.

</div>


====✏️ EJEMPLO D7.3: pieza giratoria con partículas====
-----
:
:[[Archivo:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta de un marco sin masa y de dos partículas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\dth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante.

:Diagrama general de interacciones

:Es un sistema del mismo tipo que el del [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']]: tiene dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. El número de ecuaciones que se pueden generar si se aplican los teoremas vectoriales a los dos sólidos es 12: es un problema determinado.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:[[Archivo:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La pieza es el único elemento cuyo movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla. Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], una hoja de ruta adecuada es:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os}</math>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{pieza}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor de inercia en la base B solidaria a la pieza es inmediato:
:[[Archivo:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constante, está contenido en el plano de la pieza, y gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> mientras barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centro de inercia de la pieza se encuentra en la vertical que pasa por '''O''', y por tanto el único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:[[Archivo:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo <math>\Omega_0</math> constante) no es posible porque la dirección de la velocidad angular no es una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']].

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras se introduce una de estas fuerzas, la <math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal. Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido antihorario:

:[[Archivo:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Archivo:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar de acuerdo con la hoja de ruta siguiente: <math>\boxed{\text{Hija de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:La ecuación del movimiento es:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, y es evidente que <math>\theta = 0</math> no es una solución, y que por tanto la pieza necesariamente adquirirá movimiento pendular.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación antihoraria.
</div>



====✏️ EJEMPLO D7.4: bola giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex4-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de masa m y radio r, mantiene contacto puntual sin deslizamiento con el suelo y está articulada a un brazo horizontal. El brazo está articulado a una horquilla que gira con velocidad angular constante bajo la acción de un motor. Brazo y horquilla tienen masa despreciable. El coeficiente de fricción en dirección radial entre bola y suelo es nulo <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Se trata de investigar si la rotación <math>\Omega_0</math> puede provocar la pérdida de contacto entre bola y suelo.

 
 
 
 
 
 
:Descripción cinemática
:El [[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.3 Geometry of the velocity distribution: Instantaneous Screw Axis (ISA)|'''EIRL''']] de la bola respecto al suelo es la recta <math>\Os\Js</math>, y la velocidad angular se puede descomponer en dos rotaciones de Euler:

:[[Archivo:D7-Ex4-2-esp.jpg|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general de interacciones
::[[Archivo:D7-Ex4-3-esp.png|thumb|left|250px|link=]]
:Es un sistema de un GL con 17 incógnitas de enlace. Al contener 3 sólidos rígidos, se trata de un problema determinado:

:(17 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas 
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math>= 18 ecuaciones

:La descripción del sistema se puede aligerar si se trata el brazo como [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''SAE''']], ya que no tiene masa y solo está sometido a interacciones de enlace:

:[[Archivo:D7-Ex4-4-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:El número de incógnitas de enlace asociado al enlace indirecto entre bola y horquilla a través del brazo es 4, ya que la bola tiene dos rotaciones independientes <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecto a la horquilla. El problema sigue siendo determinado:

:(11 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas 
:2 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math> = 12 ecuaciones

:Hoja de ruta para estudiar la pérdida de contacto
:La pérdida de contacto implica la supresión del enlace entre bola y suelo, por tanto la anulación de la fuerza normal N que el suelo ejerce sobre la bola. Los dos sistemas a los que se pueden aplicar los teoremas vectoriales para calcular la N son: bola, bola + (brazo) + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex4-5-esp.png|thumb|center|510px|link=]]

:La mejor opción es aplicar teoremas vectoriales a la bola, ya que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la bola son:

:[[Archivo:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', las fuerzas de enlace asociadas a la articulación con la horquilla no aparecerán, y los únicos momentos en dirección perpendicular al dibujo estarán asociados al peso y a la N. Por tanto:
:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (bola), TMC en } \Os]_{\perp\text{ al dibujo}}}</math>

:El momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se puede calcular a partir del tensor de inercia en '''O''' (ya que '''O''' es un punto fijo a la bola) o por descomposición baricéntrica. En este último caso, ya que la bola es rotor esférico en <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> es paralelo a la velocidad angular de la bola:

:[[Archivo:D7-Ex4-7-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Las dos componentes son constantes en valor, pero la componente horizontal cambia de dirección a causa de la rotación vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibujo}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La fuerza normal aumenta con la velocidad angular, y por tanto el contacto con el suelo se mantiene siempre.

:Alternativa:

:Si el cálculo de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se hace a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> y la derivada se hace de manera analítica:

:[[Archivo:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex5-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:La anilla, de masa m y radio R, gira con velocidad angular <math>\dot\varphi_0</math> constante respecto a la horquilla (de masa despreciable) impulsada por un motor que tiene el estátor (P1) articulado a la horquilla, y el rotor (P2) solidario a la anilla. La horquilla puede girar respecto al suelo con velocidad angular <math>\dot\psi</math>. Inicialmente, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Se trata de investigar cómo evoluciona esta condición inicial, si el deslizamiento entre anilla y suelo desaparecerá en algún momento, y el valor del par motor que garantiza <math>\dot\varphi_0</math> constante mientras hay deslizamiento.

:Descripción cinemática y diagrama general de interacciones
:Para el movimiento más general cuando aún hay deslizamiento, <math>\dot\varphi_0</math> y <math>\dot\psi</math> son independientes, y la descripción de velocidades del sistema y el DGI ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#✏️ EJEMPLO D3.18: actuador rotacional entre dos sólidos|'''ejemplo D3.18''']]) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-2-esp.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(\textrm{J}) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anilla} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot \textrm{L} \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:En cuanto a la descripción dinámica, hay dos opciones según si se consideran los enlaces directos entre la horquilla y el estátor del motor (P1), y el estátor (P1) y el rotor (P2, solidario a la anilla) (opción 1), o si se trata el enlace indirecto entre horquilla y anilla (opción 2) ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.6 Interacciones a través de actuadores lineales y rotacionales|'''secció D3.6''']]):

:[[Archivo:D7-Ex5-3-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, el problema es determinado:

:Opción 1: (16 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas, 3 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sólido}} =</math> 18 ecuaciones

:Opción 2: (10 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas, 2 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sólido}} =</math> 12 ecuaciones

:<big>'''OPCIÓN 1'''</big>
:En esta opción, el DGI se puede aligerar si se trata la horquilla como SAE (ya que tiene masa nula y solo está sometido a interacciones de enlace). El enlace indirecto entre P1 y el techo (suelo) introduce 4 incógnitas, ya que permite dos rotaciones independientes entre los dos:

:[[Archivo:D7-Ex5-4-esp.png|thumb|center|350px|link=]]

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Tanto la anilla como el estátor (P1) tienen un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay tres opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, P1, anilla+P1.

:[[Archivo:D7-Ex5-5-esp.png|thumb|center|690px|link=]]

<center> 6 inc. de restricción + <math>\ddot\psi = </math> 7 inc.<math>\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:</math> 9 inc. de restricción + <math>\Gamma + \ddot\psi = </math> 11 inc.<math>\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:</math> 5 inc. de restricción + <math>\ddot\psi = </math> 6 inc.</center>

:La mejor opción es (anilla+P1). La caracterización del enlace indirecto entre P1 y techo es inmediata: ya que permite dos rotaciones independientes en direcciones 2 y 3 de P1 respecto al suelo, el torsor contendrá tres componentes de fuerza y una de momento (en dirección 1). Las interacciones externas al sistema (anilla+P1) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', se evitan las tres fuerzas de enlace asociadas al enlace indirecto entre P1 y techo, y solo aparecerán dos incógnitas de enlace <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. Al no haber ninguna componente libre de incógnitas de enlace, habrá que trabajar en principio con las tres para llegar a la ecuación del movimiento.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla+P1), TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético se puede calcular a partir del tensor en '''O''' porque '''O''' es fijo a la anilla:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anilla}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anilla}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Los momentos externos en '''O''' provienen del peso, de las fuerzas en '''J''' y del momento <math>\Ms_1</math> asociado al enlace indirecto entre P1 y suelo:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segunda componente conduce a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, y sustituyendo en la tercera se obtiene la ecuación del movimiento:

:<center><math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2\mu}{\Rs^2+2\Ls^2}(\gs\Ls+\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0)}</math></center>

:En el instante inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{2\mu gL}{\Rs^2+2\Ls^2}>0</math>, y por tanto la velocidad angular <math>\dot\psi</math> crece, cosa que hace aumentar la fuerza normal. Esto es indicativo de que no hay riesgo de que se pierda el contacto en '''J'''.

:Cuando <math>\dot\psi</math> llega al valor <math>(\text{R}/\text{L})\dot\varphi_0</math>, el deslizamiento en '''J''' desaparece:

:<math>\vel{J}{T} = [\otimes (R \dot{\varphi_0}- \text{L}\dot{\psi})] = 0 ⇒ \dot{\psi} = \frac{\Rs}{\Ls}\dot{\varphi_0} </math>

:A partir de este momento, el sistema pasa a tener solo 1 GL, pero el número de incógnitas aumenta, ya que en '''J''' aparecen dos componentes más de fuerza de enlace (además de la N): el problema pasa a ser indeterminado.

:Hoja de ruta para el par motor

:Ya que el par motor actúa entre P1 y la anilla, las dos opciones de sistema para aplicar los teoremas vectoriales son: anilla, P1. Puesto que la ecuación del movimiento para la <math>\psi</math> y la fuerza normal ya se han determinado, el número de incógnitas en estos dos casos es:

:[[Archivo:D7-Ex5-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:La mejor opción, pues, es aplicar teoremas a la anilla. Las interacciones externas sobre este sólido son:

:[[Archivo:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La componente 1 del TMC en '''O''' está libre de incógnitas de enlace (contiene el momento de la fuerza de fricción, pero la N ya no es una incógnita). Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os]_1}</math>

:El momento cinético en '''O''' es el de la anilla, y su derivada tiene componente 1 nula:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\Rs=\mu\ms\Rs^2\left(\frac{\gs}{\Rs} + \frac{\Rs}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓN 2'''</big>

:En esta opción, no es posible determinar la ecuación del movimiento ni el par motor a partir de un único teorema, i por este motivo no se desarrolla.

====✏️ EJEMPLO D7.6: péndulo anular giratorio====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex6-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta de una anilla, de masa m y radio R, unida a un brazo que está articulado a un soporte. El soporte puede deslizar a lo largo de una guía lisa. Un muelle lineal de constante k conecta soporte y guía. El conjunto gira alrededor de la vertical con velocidad angular constante <math>\dot\psi_0</math> bajo la acción de un motor. La masa de todos los elementos, salvo la anilla, es despreciable. Se trata de buscar las ecuaciones del movimiento y estudiar las posibles configuracion es de equilibrio.

:Descripción cinemática
:[[Archivo:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:Es un sistema de 3 GL: el movimiento pendular <math>\dot\theta</math>, el movimiento del soporte respecto a la guía (que denominaremos <math>\dot\xs</math>) y la rotación vertical forzada <math>\dot\psi_0</math>.

:El movimiento del centro de la anilla '''G''' respecto al suelo se puede determinar a través de una doble composición:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guía} \\
\text{AB: soporte}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guía}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex6-3-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema es determinado:

:(15 inc. de enlace, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sólidos}}</math> = 18 ecuaciones
 
 
 
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math>

:El movimiento de la anilla es el único que depende de <math>\ddth</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, anilla+soporte+guía.

:[[Archivo:D7-Ex6-4-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opción es la menos adecuada. En cuanto a las otras dos, las interacciones externas a tener en cuenta son:

:[[Archivo:D7-Ex6-5-esp.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''' a la anilla, la componente 1 está libre de incógnitas de enlace, y es precisamente en esta dirección en donde aparece la velocidad angular <math>\dth</math> (y, por tanto, el cambio de su valor <math>\ddth</math>). En la opción (anilla+soporte), esta componente incluye un momento de enlace. Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ya que el punto '''O''' se mueve respecto al suelo: <math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Por otro lado, '''O''' es un punto fijo a la anilla: <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalmente: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Esta ecuación del movimiento incluye también la variable <math>\ddot\xs</math>. Esto quiere decir que los grados de libertad <math>\dth</math> y <math>\dot\xs</math> están '''acoplados''': aunque el movimiento empiece con unas condiciones iniciales que solo son no nulas para uno de ellas, el otro puede aparecer.

:La componente 1 del TMC en '''O''' para el sistema anilla es la única donde aparecen <math>\dth</math> y <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, la otra ecuación del movimiento no se puede determinar con ninguna de las otras dos componentes.

La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada x 

:El movimiento de la anilla y el del soporte dependen de <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, soporte, soporte+guía, anilla+soporte+guia. Ya que se ha determinado la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ya no es una incógnita.

:[[Archivo:D7-Ex6-6-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex6-7-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:Como antes, las mejores opciones son las dos primeras. La primera ya se ha utilizado, por tanto aplicaremos los teoremas a la segunda. A partir de la representación de las interacciones externas que actúan sobre el sistema (anilla+soporte), se ve que la componente vertical (dirección 3’) del TCM estará libre de incógnitas de enlace. Por tanto: <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + soporte), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Cálculo de la aceleración de '''G''':

:'''Opción 1''': por derivación de la velocidad descrita anteriormente, ya que corresponde a una configuración general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opción 2''': por cinemática del sólido rígido.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anilla} \\
\Os\in\text{anilla}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anilla}{T}\times\velang{anilla}{T}\times\OGvec + \accang{anilla}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anilla}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:La aceleración angular <math>\accang{anilla}{T}</math> proviene del cambio de valor y de dirección de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anilla}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulación de la fuerza del muelle

:[[Archivo:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translación vertical del soporte <math>(\dot\xs)</math> está asociado a la variación de una coordenada x cuyo origen aun no se ha definido. Es habitual escoger el origen de las coordenadas de manera que coincidan con configuraciones de equilibrio.

:Si se toma <math>\xs=0</math> para el equilibrio en ausencia de rotación <math>\dot\psi_0</math>, está claro que el muelle tendrá que ejercer una fuerza <math>\Fs_0</math> de atracción sobre el péndulo para contrarrestar el peso: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulación general de la fuerza de atracción del muelle será pues: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ya que el movimiento <math>\dot\xs</math> se ha definido positivo hacia abajo, un aumento de <math>\xs</math> implica un aumento de longitud del muelle. Por tanto: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentarios sobre el acoplamiento de los dos GL

:Las condiciones iniciales <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> con las que se pone en marcha el movimiento determinan los GL que aparecerán.

:Una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no conseguirá nunca hacer aparecer el movimiento pendular, ya que las ecuaciones para el instante inicial son:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En cambio, una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movimiento vertical <math>\dot\xs</math>, ya que la ecuación que gobierna la <math>\dot\xs</math> para el instante inicial es:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio estático
:Las configuraciones de equilibrio estático (las que corresponden a tener el sistema completamente parado, con <math>\dot\psi_0 = 0</math>) se obtienen de las ecuaciones del movimiento imponiendo <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si consideramos una pequeña perturbación de estas configuraciones de equilibrio <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, las ecuaciones se pueden [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|'''linealizar''']]. Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, se trata de una configuración '''ESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, se trata de una configuración '''INESTABLE'''.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio en rotación

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, para <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> la ecuación del movimiento para la x no cambia (por tanto, <math>\xs_\text{eq}=0</math> es estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), pero la de la <math>\theta</math> tiene un terme adicional, y aparecen dos familias de configuraciones de equilibrio:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:Sin embargo, la segunda familia solo existe por encima de un valor crítico de <math>\dot\psi_0^2</math> ya que la función <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> está acotada entre -1 y +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealización de la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math> conduce a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuración es '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> y <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuración es '''INESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, la ecuación del movimiento linealizada para la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuración és '''INESTABLE''' para cualquier valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:El estudio de las configuraciones <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> se hace de manera análoga, pero es mucho más largo. Por este motivo, no se hace.



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<center>
[[D6. Ejemplos de dinámica 2D|<<< D6. Ejemplos de dinámica 2D]]

[[D8. Conservaciones|D8. Conservaciones >>>]]

</center>

D7. Ejemplos de dinámica 3D

2026-03-18T18:03:45Z

Eantem: /* ✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria */

D7. Ejemplos de dinámica 3D

2026-03-18T18:02:56Z

Eantem: /* ✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
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{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>

En esta unidad, el procedimiento sistemático propuesto en la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.4 Diagrama general de interacciones (DGI)|'''sección D6.4''']] se aplica a ejemplos de dinámica 3D para obtener ecuaciones del movimiento y pares motores. Además, se presenta también un análisis sistemático de las ecuaciones del movimiento.

==D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento==

La obtención de las ecuaciones del movimiento de los GL libres de los sistemas multisólido no es, en general, el objetivo de los problemas de dinámica, sino un paso previo a su integración para conocer cómo evolucionan a lo largo del tiempo las coordenadas que describen la configuración del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Sin embargo, estas ecuaciones suelen ser no lineales, y su integración es necesariamente numérica. A pesar de eso, hay algunos aspectos del comportamiento del sistema que se pueden investigar de manera analítica.

Configuraciones de equilibrio

Las configuraciones de equilibrio son aquellas configuraciones para las que, si el sistema se deja en reposo <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, permanece en reposo <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Por tanto, el valor de las coordenadas en equilibrio viene dado por:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>
</center>

La ecuación que define las <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> puede ser trascendente y no tener solución analítica. En ese caso, se puede recurrir a una resolución numérica o una resolución gráfica.

Análisis de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Si se considera que el valor de las coordenadas es muy cercano al de una configuración de equilibrio <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js</math>, con <math>\varepsilon_\js << 1</math>, y por tanto <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>) las funciones no lineales que aparecen en las ecuaciones del movimiento se pueden aproximar por los términos lineales de su desarrollo en serie de Taylor. Por ejemplo:

:* si aparecen polinomios de grado superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si se trata de una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> y aparecen funciones seno y coseno:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Una vez linealizada, la ecuación es del tipo: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, donde A, B, y C son escalares. En este curso, sin embargo, a menudo la ecuación es más sencilla y no contiene término en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solución general es: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, con <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Las constantes de integración dependen de las condiciones iniciales <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
:La solución <math>\varepsilon(\ts)</math> de la ecuación <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una función cuya segunda derivada sea proporcional a la función sin derivar. Las funciones seno, coseno y exponencial cumplen esta condición. Si se prueba la primera (que tiene que contener dos constantes de integración):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Si se sustituyen estas expresiones en la ecuación del movimiento:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El movimiento es una oscilación alrededor de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math> cuya frecuencia angular <math>(\omega)</math> depende de parámetros del sistema.

:Las constantes de integración, en cambio, dependen de las condiciones iniciales (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), y por tanto, no son intrínsecas al sistema.

:* condiciones iniciales solo de posición: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales solo de velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales de posición y velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Análisis de la estabilidad de las de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Las oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio sólo son posibles cuando ésta es estable.
La estabilidad se puede analizar muy fácilmente a partir de la ecuación del movimiento linealizada:

<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decrece, y el sistema vuelve a la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> crece, y el sistema se aleja de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''INESTABLE'''.

==D7.2 Ejemplos generales==
====✏️ EJEMPLO D7.1: placa rectangular giratoria====
------

:[[Archivo:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Archivo:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La placa rectangular homogénea, de masa m, está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante respecto al suelo bajo la acción de un motor. Se trata de hallar la ecuación del movimiento asociada al movimiento entre placa y horquilla, y el valor del par motor que garantiza <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripción cinemática:

:Otra opción para calcular <math>\vel{G}{T}</math> es la cinemática de sólido rígido (sólido: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general de interacciones

[[Archivo:D7-Ex1-3esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones ppr sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ ecs}}{\text{sólido}} = 12\text{ecs}</math>

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 incógnitas

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

:La placa es el único elemento cuyomo vimiento depende de <math>\dth</math>. Par tanto, los sistemas posibles en los que aparecerá <math>\ddth</math> cuando se apliquen los teoremas vectoriales son: placa, placa + horquilla.

[[Archivo:D7-Ex1-4-esp.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enlace + <math>\ddth</math> = 6 inc. enlace <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enlace + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc. enlace</center>
 
:Las seis ecuaciones que se generan aplicando los teoremas vectoriales a la placa permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la placa son:

[[Archivo:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterización del torsor de enlace de la horquilla sobre la placa en el punto '''O''' es inmediata tanto si se utiliza la base B como la B’.

:Si se aplica el TCM, las tres componentes incluyen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en '''O''', la fuerza de enlace no aparecerá, y la componente 3 (o 3’) estará libre de incógnitas de enlace.

:Una buena propuesta es:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta:SISTEMA(placa), TMC en }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC en <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{grande}}{0}{0}{0}{\I{pequeño}}{0}{0}{0}{\I{grande + pequeño}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{\I{grande + pequeño}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{pequeño}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{grande + pequeño})\ddth + \I{pequeño - grande}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{pequeño} - \I{grande})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si se substituyen <math>\I{grande + pequeño}</math> i <math>\I{pequeño} - \I{grande}</math> por los valores que dan las tablas, la ecuación queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Análisis de la ecuación del movimiento: configuraciones de equilibrio

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Esta ecuación tiene dos familias de soluciones:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ya que la función coseno está acotada entre -1 y +1, la segunda familia solo existe si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, y esto se cumple solo si la velocidad angular <math>\Omega_0</math> está por encima del valor crítico <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Análisis de la ecuación del movimiento: movimiento de la placa respecto a la horquilla

:Al tratarse de una ecuación no lineal (a causa de la función seno), el movimiento general se obtiene por integración numérica.

:El análisis analítico para pequeñas amplitudes <math>(\varepsilon)</math> alrededor de una configuración de equilibrio <math>\theta_\text{eq}</math> se puede hacer si se aproximan las funciones trigonométricas [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''sección D7.1''')]]:

L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Para las pequeñas amplitudes alrededor de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, la ecuación del movimiento es <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si las condiciones iniciales son <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, la evolución de <math>\varepsilon</math> viene dada por: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Para <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''aumenta'''. Es una configuración '''INESTABLE''' y no puede haber oscilación alrededor de esta configuración.

:* Para <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminuye'''. El movimiento es una oscilación alrededor de una configuración '''ESTABLE'''. La frecuencia angular [rad/s] es <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si las condiciones iniciales son <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> y <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el movimiento pendular no aparece, y el sistema se mueve solo con la rotación <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentario adicional

[[Archivo:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa se hubiera suspendido de la horquilla de manera que el eje 2 fuese el de momento de inercia grande y el eje 1 fuese el de inercia baja, la ecuación del movimiento habría sido:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si se linealiza alrededor de la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Para cualquier valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficiente <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]</math> es positivo, y por tanto la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math> es siempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Hoja de ruta para el par motor

:Las opciones de sistema para calcular el par motor son dos: horquilla, horquilla + placa:

[[Archivo:D7-Ex1-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Archivo:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:La opción (horquilla + placa) es la más adecuada. La descripción de interacciones externas sobre este sistema se muestra en la figura.

:Al tratarse de un par motor, el TMC es el teorema adecuado para llegar a la solución:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (horquilla + placa), TMC en }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El momento cinético es el mismo que se ha calculado antes (ya que la horquilla no tiene masa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\dth} = \vector{2\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ EJEMPLO D7.2: barras giratorias====
-----

:[[Archivo:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta de un marco sin masa y de dos barras homogéneas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\sth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante).

:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex2-2esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones por sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ecs.}}{\text{sólido}} = 12</math> ecs.

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 inc.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:La pieza es el único elemento cuyo el movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex2-3-esp.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:Las seis ecuaciones que se generan si se aplican los teoremas vectoriales a la pieza permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la pieza son las que se muestran a la figura.
:Si se aplica el TCM, las tres componentes contienen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en O, la fuerza de enlace no aparecerá. Por tanto:

<center><math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en} \Os}</math></center>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria al marco. Ya que se asume que el movimiento solo proviene del GL forzado <math>\Omega_0</math>, es la base que gira con <math>\Omega_0</math> respecto al suelo.

:El análisis cualitativo del tensor de inercia se puede hacer considerando primero el tensor de cada barra en su centro de inercia y añadiendo después las correcciones de [[D5. Tensor de inercia#D5.4 Algunas propiedades relevantes del tensor de inercia|'''Steiner''']] para pasar a '''O''':

:[[Archivo:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Teniendo en cuenta que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constanto y está contenido en el plano de la pieza. Por tanto, gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> y barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:[[Archivo:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:El único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusión: el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo constante) no es posible. La razón es la componente horizontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que es la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fuera estrictamente vertical (paralelo a <math>\vec\Omega_0</math>), entonces <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, y la aplicación del TMC conduciría a valor nulo de las dos componentes de momento <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En otras palabras: si la dirección de la velocidad angular fuese una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']] para el punto '''O''', mantenerla constante sería posible sin necesidad de momento externo.

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras el dedo introduzca una de estas fuerzas, la math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal (sin que aparezca <math>\dth</math>). Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido horario:

:[[Archivo:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar con <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:La ecuación del movimiento es:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, y está claro que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no es una de ellas.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación horaria.

</div>


====✏️ EJEMPLO D7.3: pieza giratoria con partículas====
-----
:
:[[Archivo:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta de un marco sin masa y de dos partículas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\dth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante.

:Diagrama general de interacciones

:Es un sistema del mismo tipo que el del [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']]: tiene dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. El número de ecuaciones que se pueden generar si se aplican los teoremas vectoriales a los dos sólidos es 12: es un problema determinado.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:[[Archivo:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La pieza es el único elemento cuyo movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla. Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], una hoja de ruta adecuada es:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os}</math>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{pieza}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor de inercia en la base B solidaria a la pieza es inmediato:
:[[Archivo:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constante, está contenido en el plano de la pieza, y gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> mientras barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centro de inercia de la pieza se encuentra en la vertical que pasa por '''O''', y por tanto el único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:[[Archivo:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo <math>\Omega_0</math> constante) no es posible porque la dirección de la velocidad angular no es una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']].

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras se introduce una de estas fuerzas, la <math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal. Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido antihorario:

:[[Archivo:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Archivo:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar de acuerdo con la hoja de ruta siguiente: <math>\boxed{\text{Hija de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:La ecuación del movimiento es:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, y es evidente que <math>\theta = 0</math> no es una solución, y que por tanto la pieza necesariamente adquirirá movimiento pendular.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación antihoraria.
</div>



====✏️ EJEMPLO D7.4: bola giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex4-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de masa m y radio r, mantiene contacto puntual sin deslizamiento con el suelo y está articulada a un brazo horizontal. El brazo está articulado a una horquilla que gira con velocidad angular constante bajo la acción de un motor. Brazo y horquilla tienen masa despreciable. El coeficiente de fricción en dirección radial entre bola y suelo es nulo <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Se trata de investigar si la rotación <math>\Omega_0</math> puede provocar la pérdida de contacto entre bola y suelo.

 
 
 
 
 
 
:Descripción cinemática
:El [[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.3 Geometry of the velocity distribution: Instantaneous Screw Axis (ISA)|'''EIRL''']] de la bola respecto al suelo es la recta <math>\Os\Js</math>, y la velocidad angular se puede descomponer en dos rotaciones de Euler:

:[[Archivo:D7-Ex4-2-esp.jpg|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general de interacciones
::[[Archivo:D7-Ex4-3-esp.png|thumb|left|250px|link=]]
:Es un sistema de un GL con 17 incógnitas de enlace. Al contener 3 sólidos rígidos, se trata de un problema determinado:

:(17 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas 
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math>= 18 ecuaciones

:La descripción del sistema se puede aligerar si se trata el brazo como [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''SAE''']], ya que no tiene masa y solo está sometido a interacciones de enlace:

:[[Archivo:D7-Ex4-4-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:El número de incógnitas de enlace asociado al enlace indirecto entre bola y horquilla a través del brazo es 4, ya que la bola tiene dos rotaciones independientes <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecto a la horquilla. El problema sigue siendo determinado:

:(11 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas 
:2 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math> = 12 ecuaciones

:Hoja de ruta para estudiar la pérdida de contacto
:La pérdida de contacto implica la supresión del enlace entre bola y suelo, por tanto la anulación de la fuerza normal N que el suelo ejerce sobre la bola. Los dos sistemas a los que se pueden aplicar los teoremas vectoriales para calcular la N son: bola, bola + (brazo) + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex4-5-esp.png|thumb|center|510px|link=]]

:La mejor opción es aplicar teoremas vectoriales a la bola, ya que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la bola son:

:[[Archivo:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', las fuerzas de enlace asociadas a la articulación con la horquilla no aparecerán, y los únicos momentos en dirección perpendicular al dibujo estarán asociados al peso y a la N. Por tanto:
:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (bola), TMC en } \Os]_{\perp\text{ al dibujo}}}</math>

:El momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se puede calcular a partir del tensor de inercia en '''O''' (ya que '''O''' es un punto fijo a la bola) o por descomposición baricéntrica. En este último caso, ya que la bola es rotor esférico en <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> es paralelo a la velocidad angular de la bola:

:[[Archivo:D7-Ex4-7-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Las dos componentes son constantes en valor, pero la componente horizontal cambia de dirección a causa de la rotación vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibujo}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La fuerza normal aumenta con la velocidad angular, y por tanto el contacto con el suelo se mantiene siempre.

:Alternativa:

:Si el cálculo de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se hace a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> y la derivada se hace de manera analítica:

:[[Archivo:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex5-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:La anilla, de masa m y radio R, gira con velocidad angular <math>\dot\varphi_0</math> constante respecto a la horquilla (de masa despreciable) impulsada por un motor que tiene el estátor (P1) articulado a la horquilla, y el rotor (P2) solidario a la anilla. La horquilla puede girar respecto al suelo con velocidad angular <math>\dot\psi</math>. Inicialmente, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Se trata de investigar cómo evoluciona esta condición inicial, si el deslizamiento entre anilla y suelo desaparecerá en algún momento, y el valor del par motor que garantiza <math>\dot\varphi_0</math> constante mientras hay deslizamiento.

:Descripción cinemática y diagrama general de interacciones
:Para el movimiento más general cuando aún hay deslizamiento, <math>\dot\varphi_0</math> y <math>\dot\psi</math> son independientes, y la descripción de velocidades del sistema y el DGI ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#✏️ EJEMPLO D3.18: actuador rotacional entre dos sólidos|'''ejemplo D3.18''']]) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-2-esp.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(\textrm{J}) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anilla} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot \textrm{L} \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:En cuanto a la descripción dinámica, hay dos opciones según si se consideran los enlaces directos entre la horquilla y el estátor del motor (P1), y el estátor (P1) y el rotor (P2, solidario a la anilla) (opción 1), o si se trata el enlace indirecto entre horquilla y anilla (opción 2) ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.6 Interacciones a través de actuadores lineales y rotacionales|'''secció D3.6''']]):

:[[Archivo:D7-Ex5-3-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, el problema es determinado:

:Opción 1: (16 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas, 3 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 ecuaciones

:Opción 2: (10 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas, 2 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 ecuaciones

:<big>'''OPCIÓN 1'''</big>
:En esta opción, el DGI se puede aligerar si se trata la horquilla como SAE (ya que tiene masa nula y solo está sometido a interacciones de enlace). El enlace indirecto entre P1 y el techo (suelo) introduce 4 incógnitas, ya que permite dos rotaciones independientes entre los dos:

:[[Archivo:D7-Ex5-4-esp.png|thumb|center|350px|link=]]

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Tanto la anilla como el estátor (P1) tienen un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay tres opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, P1, anilla+P1.

:[[Archivo:D7-Ex5-5-esp.png|thumb|center|690px|link=]]

<center> 6 inc. de restricción + <math>\ddot\psi = </math> 7 inc.<math>\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:</math> 9 inc. de restricción + <math>\Gamma + \ddot\psi = </math> 11 inc.<math>\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:</math> 5 inc. de restricción + <math>\ddot\psi = </math> 6 inc.</center>

:La mejor opción es (anilla+P1). La caracterización del enlace indirecto entre P1 y techo es inmediata: ya que permite dos rotaciones independientes en direcciones 2 y 3 de P1 respecto al suelo, el torsor contendrá tres componentes de fuerza y una de momento (en dirección 1). Las interacciones externas al sistema (anilla+P1) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', se evitan las tres fuerzas de enlace asociadas al enlace indirecto entre P1 y techo, y solo aparecerán dos incógnitas de enlace <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. Al no haber ninguna componente libre de incógnitas de enlace, habrá que trabajar en principio con las tres para llegar a la ecuación del movimiento.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla+P1), TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético se puede calcular a partir del tensor en '''O''' porque '''O''' es fijo a la anilla:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anilla}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anilla}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Los momentos externos en '''O''' provienen del peso, de las fuerzas en '''J''' y del momento <math>\Ms_1</math> asociado al enlace indirecto entre P1 y suelo:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segunda componente conduce a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, y sustituyendo en la tercera se obtiene la ecuación del movimiento:

:<center><math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2\mu}{\Rs^2+2\Ls^2}(\gs\Ls+\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0)}</math></center>

:En el instante inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{2\mu gL}{\Rs^2+2\Ls^2}>0</math>, y por tanto la velocidad angular <math>\dot\psi</math> crece, cosa que hace aumentar la fuerza normal. Esto es indicativo de que no hay riesgo de que se pierda el contacto en '''J'''.

:Cuando <math>\dot\psi</math> llega al valor <math>(\text{R}/\text{L})\dot\varphi_0</math>, el deslizamiento en '''J''' desaparece:

:<math>\vel{J}{T} = [\otimes (R \dot{\varphi_0}- \text{L}\dot{\psi})] = 0 ⇒ \dot{\psi} = \frac{\Rs}{\Ls}\dot{\varphi_0} </math>

:A partir de este momento, el sistema pasa a tener solo 1 GL, pero el número de incógnitas aumenta, ya que en '''J''' aparecen dos componentes más de fuerza de enlace (además de la N): el problema pasa a ser indeterminado.

:Hoja de ruta para el par motor

:Ya que el par motor actúa entre P1 y la anilla, las dos opciones de sistema para aplicar los teoremas vectoriales son: anilla, P1. Puesto que la ecuación del movimiento para la <math>\psi</math> y la fuerza normal ya se han determinado, el número de incógnitas en estos dos casos es:

:[[Archivo:D7-Ex5-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:La mejor opción, pues, es aplicar teoremas a la anilla. Las interacciones externas sobre este sólido son:

:[[Archivo:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La componente 1 del TMC en '''O''' está libre de incógnitas de enlace (contiene el momento de la fuerza de fricción, pero la N ya no es una incógnita). Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os]_1}</math>

:El momento cinético en '''O''' es el de la anilla, y su derivada tiene componente 1 nula:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\Rs=\mu\ms\Rs^2\left(\frac{\gs}{\Rs} + \frac{\Rs}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓN 2'''</big>

:En esta opción, no es posible determinar la ecuación del movimiento ni el par motor a partir de un único teorema, i por este motivo no se desarrolla.

====✏️ EJEMPLO D7.6: péndulo anular giratorio====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex6-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta de una anilla, de masa m y radio R, unida a un brazo que está articulado a un soporte. El soporte puede deslizar a lo largo de una guía lisa. Un muelle lineal de constante k conecta soporte y guía. El conjunto gira alrededor de la vertical con velocidad angular constante <math>\dot\psi_0</math> bajo la acción de un motor. La masa de todos los elementos, salvo la anilla, es despreciable. Se trata de buscar las ecuaciones del movimiento y estudiar las posibles configuracion es de equilibrio.

:Descripción cinemática
:[[Archivo:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:Es un sistema de 3 GL: el movimiento pendular <math>\dot\theta</math>, el movimiento del soporte respecto a la guía (que denominaremos <math>\dot\xs</math>) y la rotación vertical forzada <math>\dot\psi_0</math>.

:El movimiento del centro de la anilla '''G''' respecto al suelo se puede determinar a través de una doble composición:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guía} \\
\text{AB: soporte}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guía}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex6-3-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema es determinado:

:(15 inc. de enlace, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sólidos}}</math> = 18 ecuaciones
 
 
 
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math>

:El movimiento de la anilla es el único que depende de <math>\ddth</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, anilla+soporte+guía.

:[[Archivo:D7-Ex6-4-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opción es la menos adecuada. En cuanto a las otras dos, las interacciones externas a tener en cuenta son:

:[[Archivo:D7-Ex6-5-esp.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''' a la anilla, la componente 1 está libre de incógnitas de enlace, y es precisamente en esta dirección en donde aparece la velocidad angular <math>\dth</math> (y, por tanto, el cambio de su valor <math>\ddth</math>). En la opción (anilla+soporte), esta componente incluye un momento de enlace. Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ya que el punto '''O''' se mueve respecto al suelo: <math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Por otro lado, '''O''' es un punto fijo a la anilla: <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalmente: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Esta ecuación del movimiento incluye también la variable <math>\ddot\xs</math>. Esto quiere decir que los grados de libertad <math>\dth</math> y <math>\dot\xs</math> están '''acoplados''': aunque el movimiento empiece con unas condiciones iniciales que solo son no nulas para uno de ellas, el otro puede aparecer.

:La componente 1 del TMC en '''O''' para el sistema anilla es la única donde aparecen <math>\dth</math> y <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, la otra ecuación del movimiento no se puede determinar con ninguna de las otras dos componentes.

La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada x 

:El movimiento de la anilla y el del soporte dependen de <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, soporte, soporte+guía, anilla+soporte+guia. Ya que se ha determinado la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ya no es una incógnita.

:[[Archivo:D7-Ex6-6-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex6-7-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:Como antes, las mejores opciones son las dos primeras. La primera ya se ha utilizado, por tanto aplicaremos los teoremas a la segunda. A partir de la representación de las interacciones externas que actúan sobre el sistema (anilla+soporte), se ve que la componente vertical (dirección 3’) del TCM estará libre de incógnitas de enlace. Por tanto: <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + soporte), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Cálculo de la aceleración de '''G''':

:'''Opción 1''': por derivación de la velocidad descrita anteriormente, ya que corresponde a una configuración general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opción 2''': por cinemática del sólido rígido.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anilla} \\
\Os\in\text{anilla}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anilla}{T}\times\velang{anilla}{T}\times\OGvec + \accang{anilla}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anilla}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:La aceleración angular <math>\accang{anilla}{T}</math> proviene del cambio de valor y de dirección de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anilla}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulación de la fuerza del muelle

:[[Archivo:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translación vertical del soporte <math>(\dot\xs)</math> está asociado a la variación de una coordenada x cuyo origen aun no se ha definido. Es habitual escoger el origen de las coordenadas de manera que coincidan con configuraciones de equilibrio.

:Si se toma <math>\xs=0</math> para el equilibrio en ausencia de rotación <math>\dot\psi_0</math>, está claro que el muelle tendrá que ejercer una fuerza <math>\Fs_0</math> de atracción sobre el péndulo para contrarrestar el peso: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulación general de la fuerza de atracción del muelle será pues: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ya que el movimiento <math>\dot\xs</math> se ha definido positivo hacia abajo, un aumento de <math>\xs</math> implica un aumento de longitud del muelle. Por tanto: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentarios sobre el acoplamiento de los dos GL

:Las condiciones iniciales <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> con las que se pone en marcha el movimiento determinan los GL que aparecerán.

:Una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no conseguirá nunca hacer aparecer el movimiento pendular, ya que las ecuaciones para el instante inicial son:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En cambio, una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movimiento vertical <math>\dot\xs</math>, ya que la ecuación que gobierna la <math>\dot\xs</math> para el instante inicial es:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio estático
:Las configuraciones de equilibrio estático (las que corresponden a tener el sistema completamente parado, con <math>\dot\psi_0 = 0</math>) se obtienen de las ecuaciones del movimiento imponiendo <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si consideramos una pequeña perturbación de estas configuraciones de equilibrio <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, las ecuaciones se pueden [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|'''linealizar''']]. Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, se trata de una configuración '''ESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, se trata de una configuración '''INESTABLE'''.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio en rotación

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, para <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> la ecuación del movimiento para la x no cambia (por tanto, <math>\xs_\text{eq}=0</math> es estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), pero la de la <math>\theta</math> tiene un terme adicional, y aparecen dos familias de configuraciones de equilibrio:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:Sin embargo, la segunda familia solo existe por encima de un valor crítico de <math>\dot\psi_0^2</math> ya que la función <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> está acotada entre -1 y +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealización de la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math> conduce a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuración es '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> y <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuración es '''INESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, la ecuación del movimiento linealizada para la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuración és '''INESTABLE''' para cualquier valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:El estudio de las configuraciones <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> se hace de manera análoga, pero es mucho más largo. Por este motivo, no se hace.



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-------------

<center>
[[D6. Ejemplos de dinámica 2D|<<< D6. Ejemplos de dinámica 2D]]

[[D8. Conservaciones|D8. Conservaciones >>>]]

</center>

D7. Ejemplos de dinámica 3D

2026-03-18T17:52:27Z

Eantem: /* ✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>

En esta unidad, el procedimiento sistemático propuesto en la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.4 Diagrama general de interacciones (DGI)|'''sección D6.4''']] se aplica a ejemplos de dinámica 3D para obtener ecuaciones del movimiento y pares motores. Además, se presenta también un análisis sistemático de las ecuaciones del movimiento.

==D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento==

La obtención de las ecuaciones del movimiento de los GL libres de los sistemas multisólido no es, en general, el objetivo de los problemas de dinámica, sino un paso previo a su integración para conocer cómo evolucionan a lo largo del tiempo las coordenadas que describen la configuración del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Sin embargo, estas ecuaciones suelen ser no lineales, y su integración es necesariamente numérica. A pesar de eso, hay algunos aspectos del comportamiento del sistema que se pueden investigar de manera analítica.

Configuraciones de equilibrio

Las configuraciones de equilibrio son aquellas configuraciones para las que, si el sistema se deja en reposo <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, permanece en reposo <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Por tanto, el valor de las coordenadas en equilibrio viene dado por:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>
</center>

La ecuación que define las <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> puede ser trascendente y no tener solución analítica. En ese caso, se puede recurrir a una resolución numérica o una resolución gráfica.

Análisis de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Si se considera que el valor de las coordenadas es muy cercano al de una configuración de equilibrio <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js</math>, con <math>\varepsilon_\js << 1</math>, y por tanto <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>) las funciones no lineales que aparecen en las ecuaciones del movimiento se pueden aproximar por los términos lineales de su desarrollo en serie de Taylor. Por ejemplo:

:* si aparecen polinomios de grado superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si se trata de una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> y aparecen funciones seno y coseno:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Una vez linealizada, la ecuación es del tipo: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, donde A, B, y C son escalares. En este curso, sin embargo, a menudo la ecuación es más sencilla y no contiene término en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solución general es: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, con <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Las constantes de integración dependen de las condiciones iniciales <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
:La solución <math>\varepsilon(\ts)</math> de la ecuación <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una función cuya segunda derivada sea proporcional a la función sin derivar. Las funciones seno, coseno y exponencial cumplen esta condición. Si se prueba la primera (que tiene que contener dos constantes de integración):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Si se sustituyen estas expresiones en la ecuación del movimiento:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El movimiento es una oscilación alrededor de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math> cuya frecuencia angular <math>(\omega)</math> depende de parámetros del sistema.

:Las constantes de integración, en cambio, dependen de las condiciones iniciales (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), y por tanto, no son intrínsecas al sistema.

:* condiciones iniciales solo de posición: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales solo de velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales de posición y velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Análisis de la estabilidad de las de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Las oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio sólo son posibles cuando ésta es estable.
La estabilidad se puede analizar muy fácilmente a partir de la ecuación del movimiento linealizada:

<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decrece, y el sistema vuelve a la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> crece, y el sistema se aleja de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''INESTABLE'''.

==D7.2 Ejemplos generales==
====✏️ EJEMPLO D7.1: placa rectangular giratoria====
------

:[[Archivo:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Archivo:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La placa rectangular homogénea, de masa m, está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante respecto al suelo bajo la acción de un motor. Se trata de hallar la ecuación del movimiento asociada al movimiento entre placa y horquilla, y el valor del par motor que garantiza <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripción cinemática:

:Otra opción para calcular <math>\vel{G}{T}</math> es la cinemática de sólido rígido (sólido: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general de interacciones

[[Archivo:D7-Ex1-3esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones ppr sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ ecs}}{\text{sólido}} = 12\text{ecs}</math>

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 incógnitas

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

:La placa es el único elemento cuyomo vimiento depende de <math>\dth</math>. Par tanto, los sistemas posibles en los que aparecerá <math>\ddth</math> cuando se apliquen los teoremas vectoriales son: placa, placa + horquilla.

[[Archivo:D7-Ex1-4-esp.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enlace + <math>\ddth</math> = 6 inc. enlace <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enlace + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc. enlace</center>
 
:Las seis ecuaciones que se generan aplicando los teoremas vectoriales a la placa permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la placa son:

[[Archivo:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterización del torsor de enlace de la horquilla sobre la placa en el punto '''O''' es inmediata tanto si se utiliza la base B como la B’.

:Si se aplica el TCM, las tres componentes incluyen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en '''O''', la fuerza de enlace no aparecerá, y la componente 3 (o 3’) estará libre de incógnitas de enlace.

:Una buena propuesta es:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta:SISTEMA(placa), TMC en }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC en <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{grande}}{0}{0}{0}{\I{pequeño}}{0}{0}{0}{\I{grande + pequeño}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{\I{grande + pequeño}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{pequeño}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{grande + pequeño})\ddth + \I{pequeño - grande}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{pequeño} - \I{grande})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si se substituyen <math>\I{grande + pequeño}</math> i <math>\I{pequeño} - \I{grande}</math> por los valores que dan las tablas, la ecuación queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Análisis de la ecuación del movimiento: configuraciones de equilibrio

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Esta ecuación tiene dos familias de soluciones:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ya que la función coseno está acotada entre -1 y +1, la segunda familia solo existe si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, y esto se cumple solo si la velocidad angular <math>\Omega_0</math> está por encima del valor crítico <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Análisis de la ecuación del movimiento: movimiento de la placa respecto a la horquilla

:Al tratarse de una ecuación no lineal (a causa de la función seno), el movimiento general se obtiene por integración numérica.

:El análisis analítico para pequeñas amplitudes <math>(\varepsilon)</math> alrededor de una configuración de equilibrio <math>\theta_\text{eq}</math> se puede hacer si se aproximan las funciones trigonométricas [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''sección D7.1''')]]:

L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Para las pequeñas amplitudes alrededor de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, la ecuación del movimiento es <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si las condiciones iniciales son <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, la evolución de <math>\varepsilon</math> viene dada por: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Para <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''aumenta'''. Es una configuración '''INESTABLE''' y no puede haber oscilación alrededor de esta configuración.

:* Para <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminuye'''. El movimiento es una oscilación alrededor de una configuración '''ESTABLE'''. La frecuencia angular [rad/s] es <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si las condiciones iniciales son <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> y <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el movimiento pendular no aparece, y el sistema se mueve solo con la rotación <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentario adicional

[[Archivo:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa se hubiera suspendido de la horquilla de manera que el eje 2 fuese el de momento de inercia grande y el eje 1 fuese el de inercia baja, la ecuación del movimiento habría sido:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si se linealiza alrededor de la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Para cualquier valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficiente <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]</math> es positivo, y por tanto la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math> es siempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Hoja de ruta para el par motor

:Las opciones de sistema para calcular el par motor son dos: horquilla, horquilla + placa:

[[Archivo:D7-Ex1-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Archivo:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:La opción (horquilla + placa) es la más adecuada. La descripción de interacciones externas sobre este sistema se muestra en la figura.

:Al tratarse de un par motor, el TMC es el teorema adecuado para llegar a la solución:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (horquilla + placa), TMC en }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El momento cinético es el mismo que se ha calculado antes (ya que la horquilla no tiene masa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\dth} = \vector{2\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ EJEMPLO D7.2: barras giratorias====
-----

:[[Archivo:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta de un marco sin masa y de dos barras homogéneas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\sth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante).

:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex2-2esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones por sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ecs.}}{\text{sólido}} = 12</math> ecs.

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 inc.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:La pieza es el único elemento cuyo el movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex2-3-esp.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:Las seis ecuaciones que se generan si se aplican los teoremas vectoriales a la pieza permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la pieza son las que se muestran a la figura.
:Si se aplica el TCM, las tres componentes contienen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en O, la fuerza de enlace no aparecerá. Por tanto:

<center><math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en} \Os}</math></center>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria al marco. Ya que se asume que el movimiento solo proviene del GL forzado <math>\Omega_0</math>, es la base que gira con <math>\Omega_0</math> respecto al suelo.

:El análisis cualitativo del tensor de inercia se puede hacer considerando primero el tensor de cada barra en su centro de inercia y añadiendo después las correcciones de [[D5. Tensor de inercia#D5.4 Algunas propiedades relevantes del tensor de inercia|'''Steiner''']] para pasar a '''O''':

:[[Archivo:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Teniendo en cuenta que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constanto y está contenido en el plano de la pieza. Por tanto, gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> y barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:[[Archivo:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:El único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusión: el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo constante) no es posible. La razón es la componente horizontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que es la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fuera estrictamente vertical (paralelo a <math>\vec\Omega_0</math>), entonces <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, y la aplicación del TMC conduciría a valor nulo de las dos componentes de momento <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En otras palabras: si la dirección de la velocidad angular fuese una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']] para el punto '''O''', mantenerla constante sería posible sin necesidad de momento externo.

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras el dedo introduzca una de estas fuerzas, la math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal (sin que aparezca <math>\dth</math>). Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido horario:

:[[Archivo:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar con <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:La ecuación del movimiento es:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, y está claro que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no es una de ellas.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación horaria.

</div>


====✏️ EJEMPLO D7.3: pieza giratoria con partículas====
-----
:
:[[Archivo:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta de un marco sin masa y de dos partículas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\dth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante.

:Diagrama general de interacciones

:Es un sistema del mismo tipo que el del [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']]: tiene dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. El número de ecuaciones que se pueden generar si se aplican los teoremas vectoriales a los dos sólidos es 12: es un problema determinado.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:[[Archivo:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La pieza es el único elemento cuyo movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla. Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], una hoja de ruta adecuada es:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os}</math>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{pieza}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor de inercia en la base B solidaria a la pieza es inmediato:
:[[Archivo:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constante, está contenido en el plano de la pieza, y gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> mientras barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centro de inercia de la pieza se encuentra en la vertical que pasa por '''O''', y por tanto el único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:[[Archivo:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo <math>\Omega_0</math> constante) no es posible porque la dirección de la velocidad angular no es una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']].

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras se introduce una de estas fuerzas, la <math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal. Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido antihorario:

:[[Archivo:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Archivo:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar de acuerdo con la hoja de ruta siguiente: <math>\boxed{\text{Hija de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:La ecuación del movimiento es:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, y es evidente que <math>\theta = 0</math> no es una solución, y que por tanto la pieza necesariamente adquirirá movimiento pendular.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación antihoraria.
</div>



====✏️ EJEMPLO D7.4: bola giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex4-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de masa m y radio r, mantiene contacto puntual sin deslizamiento con el suelo y está articulada a un brazo horizontal. El brazo está articulado a una horquilla que gira con velocidad angular constante bajo la acción de un motor. Brazo y horquilla tienen masa despreciable. El coeficiente de fricción en dirección radial entre bola y suelo es nulo <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Se trata de investigar si la rotación <math>\Omega_0</math> puede provocar la pérdida de contacto entre bola y suelo.

 
 
 
 
 
 
:Descripción cinemática
:El [[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.3 Geometry of the velocity distribution: Instantaneous Screw Axis (ISA)|'''EIRL''']] de la bola respecto al suelo es la recta <math>\Os\Js</math>, y la velocidad angular se puede descomponer en dos rotaciones de Euler:

:[[Archivo:D7-Ex4-2-esp.jpg|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general de interacciones
::[[Archivo:D7-Ex4-3-esp.png|thumb|left|250px|link=]]
:Es un sistema de un GL con 17 incógnitas de enlace. Al contener 3 sólidos rígidos, se trata de un problema determinado:

:(17 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas 
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math>= 18 ecuaciones

:La descripción del sistema se puede aligerar si se trata el brazo como [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''SAE''']], ya que no tiene masa y solo está sometido a interacciones de enlace:

:[[Archivo:D7-Ex4-4-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:El número de incógnitas de enlace asociado al enlace indirecto entre bola y horquilla a través del brazo es 4, ya que la bola tiene dos rotaciones independientes <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecto a la horquilla. El problema sigue siendo determinado:

:(11 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas 
:2 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math> = 12 ecuaciones

:Hoja de ruta para estudiar la pérdida de contacto
:La pérdida de contacto implica la supresión del enlace entre bola y suelo, por tanto la anulación de la fuerza normal N que el suelo ejerce sobre la bola. Los dos sistemas a los que se pueden aplicar los teoremas vectoriales para calcular la N son: bola, bola + (brazo) + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex4-5-esp.png|thumb|center|510px|link=]]

:La mejor opción es aplicar teoremas vectoriales a la bola, ya que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la bola son:

:[[Archivo:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', las fuerzas de enlace asociadas a la articulación con la horquilla no aparecerán, y los únicos momentos en dirección perpendicular al dibujo estarán asociados al peso y a la N. Por tanto:
:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (bola), TMC en } \Os]_{\perp\text{ al dibujo}}}</math>

:El momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se puede calcular a partir del tensor de inercia en '''O''' (ya que '''O''' es un punto fijo a la bola) o por descomposición baricéntrica. En este último caso, ya que la bola es rotor esférico en <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> es paralelo a la velocidad angular de la bola:

:[[Archivo:D7-Ex4-7-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Las dos componentes son constantes en valor, pero la componente horizontal cambia de dirección a causa de la rotación vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibujo}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La fuerza normal aumenta con la velocidad angular, y por tanto el contacto con el suelo se mantiene siempre.

:Alternativa:

:Si el cálculo de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se hace a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> y la derivada se hace de manera analítica:

:[[Archivo:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex5-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:La anilla, de masa m y radio R, gira con velocidad angular <math>\dot\varphi_0</math> constante respecto a la horquilla (de masa despreciable) impulsada por un motor que tiene el estátor (P1) articulado a la horquilla, y el rotor (P2) solidario a la anilla. La horquilla puede girar respecto al suelo con velocidad angular <math>\dot\psi</math>. Inicialmente, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Se trata de investigar cómo evoluciona esta condición inicial, si el deslizamiento entre anilla y suelo desaparecerá en algún momento, y el valor del par motor que garantiza <math>\dot\varphi_0</math> constante mientras hay deslizamiento.

:Descripción cinemática y diagrama general de interacciones
:Para el movimiento más general cuando aún hay deslizamiento, <math>\dot\varphi_0</math> y <math>\dot\psi</math> son independientes, y la descripción de velocidades del sistema y el DGI ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#✏️ EJEMPLO D3.18: actuador rotacional entre dos sólidos|'''ejemplo D3.18''']]) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-2-esp.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(\textrm{J}) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anilla} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot \textrm{L} \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:En cuanto a la descripción dinámica, hay dos opciones según si se consideran los enlaces directos entre la horquilla y el estátor del motor (P1), y el estátor (P1) y el rotor (P2, solidario a la anilla) (opción 1), o si se trata el enlace indirecto entre horquilla y anilla (opción 2) ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.6 Interacciones a través de actuadores lineales y rotacionales|'''secció D3.6''']]):

:[[Archivo:D7-Ex5-3-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, el problema es determinado:

:Opción 1: (16 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas, 3 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 ecuaciones

:Opción 2: (10 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas, 2 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 ecuaciones

:<big>'''OPCIÓN 1'''</big>
:En esta opción, el DGI se puede aligerar si se trata la horquilla como SAE (ya que tiene masa nula y solo está sometido a interacciones de enlace). El enlace indirecto entre P1 y el techo (suelo) introduce 4 incógnitas, ya que permite dos rotaciones independientes entre los dos:

:[[Archivo:D7-Ex5-4-esp.png|thumb|center|350px|link=]]

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Tanto la anilla como el estátor (P1) tienen un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay tres opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, P1, anilla+P1.

:[[Archivo:D7-Ex5-5-esp.png|thumb|center|690px|link=]]

<center> 6 inc. de restricción + <math>\ddot\psi = </math> 7 inc.<math>\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:</math> 9 inc. de restricción + <math>\Gamma + \ddot\psi = </math> 11 inc.<math>\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:</math> 5 inc. de restricción + <math>\ddot\psi = </math> 6 inc.</center>

:La mejor opción es (anilla+P1). La caracterización del enlace indirecto entre P1 y techo es inmediata: ya que permite dos rotaciones independientes en direcciones 2 y 3 de P1 respecto al suelo, el torsor contendrá tres componentes de fuerza y una de momento (en dirección 1). Las interacciones externas al sistema (anilla+P1) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', se evitan las tres fuerzas de enlace asociadas al enlace indirecto entre P1 y techo, y solo aparecerán dos incógnitas de enlace <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. Al no haber ninguna componente libre de incógnitas de enlace, habrá que trabajar en principio con las tres para llegar a la ecuación del movimiento.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla+P1), TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético se puede calcular a partir del tensor en '''O''' porque '''O''' es fijo a la anilla:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anilla}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anilla}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Los momentos externos en '''O''' provienen del peso, de las fuerzas en '''J''' y del momento <math>\Ms_1</math> asociado al enlace indirecto entre P1 y suelo:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs}</math>

:La segunda componente conduce a <math>\Ns = \ms\gs+\frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>, y sustituyendo en la tercera se obtiene la ecuación del movimiento: <math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2}{9}\mu\left(2\frac{\gs}{\rs}+\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>.

:En el instante inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{4}{9}\mu\frac{\gs}{\rs}>0</math>, y por tanto la velocidad angular <math>\dot\psi</math> crece, cosa que hace aumentar la fuerza normal. Esto es indicativo de que no hay riesgo de que se pierda el contacto en '''J'''.

:Cuando <math>\dot\psi</math> llega al valor <math>(\dot\varphi_0/2)</math>, el deslizamiento en '''J''' desaparece:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{anilla}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0</math>

:A partir de este momento, el sistema pasa a tener solo 1 GL, pero el número de incógnitas aumenta, ya que en '''J''' aparecen dos componentes más de fuerza de enlace (además de la N): el problema pasa a ser indeterminado.

:Hoja de ruta para el par motor

:Ya que el par motor actúa entre P1 y la anilla, las dos opciones de sistema para aplicar los teoremas vectoriales son: anilla, P1. Puesto que la ecuación del movimiento para la <math>\psi</math> y la fuerza normal ya se han determinado, el número de incógnitas en estos dos casos es:

:[[Archivo:D7-Ex5-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:La mejor opción, pues, es aplicar teoremas a la anilla. Las interacciones externas sobre este sólido son:

:[[Archivo:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La componente 1 del TMC en '''O''' está libre de incógnitas de enlace (contiene el momento de la fuerza de fricción, pero la N ya no es una incógnita). Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os]_1}</math>

:El momento cinético en '''O''' es el de la anilla, y su derivada tiene componente 1 nula:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓN 2'''</big>
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Solo la anilla tiene un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay dos opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, anilla+horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex5-9-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:Las dos opciones parecen equivalentes. Para escoger una, hay que analizar las interacciones externas que actúan sobre cada uno de los dos sistemas:

:[[Archivo:D7-Ex5-10-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, si se aplica el TMC en '''O''' se evitan tres componentes de fuerza de enlace, pero en la dirección 1 (que es donde puede aparecer la <math>\ddot\varphi</math>) hay siempre un momento (el par motor en un caso, o el <math>\Ms_1</math> entre techo y horquilla en el otro). Tanto si se escoge un sistema como otro, habrá que trabajar en principio con más de una componente del TMC para llegar a la ecuación del movimiento. A continuación se consideran las dos opciones.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético en '''O''' y su derivada son los mismos que se han calculado en la opción 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Los momentos externos en O provienen del peso, de las fuerzas en J, del par motor y del momento <math>\Ms_3</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segunda componente da el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. Al ser siempre positivo, el contacto en '''J''' está asegurado.

:La primera componente da el par motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Pero en la tercera, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de <math>\Ms_3</math>. Por tanto, esta opción no parece adecuada.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + horquilla),TMC en }\Os}</math>

:Los momentos externos son distintos al caso anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En esta opción, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de N, pero las otras componentes no permiten calcular esta fuerza.

:Ahora bien, si se combinan los resultados para las dos opciones, la ecuación del movimiento es inmediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anilla + horquilla), TMC en }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:El cese del deslizamiento se estudia exactamente igual que en la opción 1.



====✏️ EJEMPLO D7.6: péndulo anular giratorio====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex6-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta de una anilla, de masa m y radio R, unida a un brazo que está articulado a un soporte. El soporte puede deslizar a lo largo de una guía lisa. Un muelle lineal de constante k conecta soporte y guía. El conjunto gira alrededor de la vertical con velocidad angular constante <math>\dot\psi_0</math> bajo la acción de un motor. La masa de todos los elementos, salvo la anilla, es despreciable. Se trata de buscar las ecuaciones del movimiento y estudiar las posibles configuracion es de equilibrio.

:Descripción cinemática
:[[Archivo:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:Es un sistema de 3 GL: el movimiento pendular <math>\dot\theta</math>, el movimiento del soporte respecto a la guía (que denominaremos <math>\dot\xs</math>) y la rotación vertical forzada <math>\dot\psi_0</math>.

:El movimiento del centro de la anilla '''G''' respecto al suelo se puede determinar a través de una doble composición:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guía} \\
\text{AB: soporte}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guía}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex6-3-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema es determinado:

:(15 inc. de enlace, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sólidos}}</math> = 18 ecuaciones
 
 
 
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math>

:El movimiento de la anilla es el único que depende de <math>\ddth</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, anilla+soporte+guía.

:[[Archivo:D7-Ex6-4-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opción es la menos adecuada. En cuanto a las otras dos, las interacciones externas a tener en cuenta son:

:[[Archivo:D7-Ex6-5-esp.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''' a la anilla, la componente 1 está libre de incógnitas de enlace, y es precisamente en esta dirección en donde aparece la velocidad angular <math>\dth</math> (y, por tanto, el cambio de su valor <math>\ddth</math>). En la opción (anilla+soporte), esta componente incluye un momento de enlace. Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ya que el punto '''O''' se mueve respecto al suelo: <math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Por otro lado, '''O''' es un punto fijo a la anilla: <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalmente: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Esta ecuación del movimiento incluye también la variable <math>\ddot\xs</math>. Esto quiere decir que los grados de libertad <math>\dth</math> y <math>\dot\xs</math> están '''acoplados''': aunque el movimiento empiece con unas condiciones iniciales que solo son no nulas para uno de ellas, el otro puede aparecer.

:La componente 1 del TMC en '''O''' para el sistema anilla es la única donde aparecen <math>\dth</math> y <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, la otra ecuación del movimiento no se puede determinar con ninguna de las otras dos componentes.

La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada x 

:El movimiento de la anilla y el del soporte dependen de <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, soporte, soporte+guía, anilla+soporte+guia. Ya que se ha determinado la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ya no es una incógnita.

:[[Archivo:D7-Ex6-6-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex6-7-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:Como antes, las mejores opciones son las dos primeras. La primera ya se ha utilizado, por tanto aplicaremos los teoremas a la segunda. A partir de la representación de las interacciones externas que actúan sobre el sistema (anilla+soporte), se ve que la componente vertical (dirección 3’) del TCM estará libre de incógnitas de enlace. Por tanto: <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + soporte), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Cálculo de la aceleración de '''G''':

:'''Opción 1''': por derivación de la velocidad descrita anteriormente, ya que corresponde a una configuración general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opción 2''': por cinemática del sólido rígido.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anilla} \\
\Os\in\text{anilla}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anilla}{T}\times\velang{anilla}{T}\times\OGvec + \accang{anilla}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anilla}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:La aceleración angular <math>\accang{anilla}{T}</math> proviene del cambio de valor y de dirección de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anilla}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulación de la fuerza del muelle

:[[Archivo:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translación vertical del soporte <math>(\dot\xs)</math> está asociado a la variación de una coordenada x cuyo origen aun no se ha definido. Es habitual escoger el origen de las coordenadas de manera que coincidan con configuraciones de equilibrio.

:Si se toma <math>\xs=0</math> para el equilibrio en ausencia de rotación <math>\dot\psi_0</math>, está claro que el muelle tendrá que ejercer una fuerza <math>\Fs_0</math> de atracción sobre el péndulo para contrarrestar el peso: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulación general de la fuerza de atracción del muelle será pues: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ya que el movimiento <math>\dot\xs</math> se ha definido positivo hacia abajo, un aumento de <math>\xs</math> implica un aumento de longitud del muelle. Por tanto: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentarios sobre el acoplamiento de los dos GL

:Las condiciones iniciales <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> con las que se pone en marcha el movimiento determinan los GL que aparecerán.

:Una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no conseguirá nunca hacer aparecer el movimiento pendular, ya que las ecuaciones para el instante inicial son:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En cambio, una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movimiento vertical <math>\dot\xs</math>, ya que la ecuación que gobierna la <math>\dot\xs</math> para el instante inicial es:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio estático
:Las configuraciones de equilibrio estático (las que corresponden a tener el sistema completamente parado, con <math>\dot\psi_0 = 0</math>) se obtienen de las ecuaciones del movimiento imponiendo <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si consideramos una pequeña perturbación de estas configuraciones de equilibrio <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, las ecuaciones se pueden [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|'''linealizar''']]. Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, se trata de una configuración '''ESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, se trata de una configuración '''INESTABLE'''.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio en rotación

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, para <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> la ecuación del movimiento para la x no cambia (por tanto, <math>\xs_\text{eq}=0</math> es estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), pero la de la <math>\theta</math> tiene un terme adicional, y aparecen dos familias de configuraciones de equilibrio:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:Sin embargo, la segunda familia solo existe por encima de un valor crítico de <math>\dot\psi_0^2</math> ya que la función <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> está acotada entre -1 y +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealización de la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math> conduce a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuración es '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> y <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuración es '''INESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, la ecuación del movimiento linealizada para la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuración és '''INESTABLE''' para cualquier valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:El estudio de las configuraciones <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> se hace de manera análoga, pero es mucho más largo. Por este motivo, no se hace.



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-------------

<center>
[[D6. Ejemplos de dinámica 2D|<<< D6. Ejemplos de dinámica 2D]]

[[D8. Conservaciones|D8. Conservaciones >>>]]

</center>

D7. Ejemplos de dinámica 3D

2026-03-18T17:21:30Z

Eantem: /* ✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>

En esta unidad, el procedimiento sistemático propuesto en la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.4 Diagrama general de interacciones (DGI)|'''sección D6.4''']] se aplica a ejemplos de dinámica 3D para obtener ecuaciones del movimiento y pares motores. Además, se presenta también un análisis sistemático de las ecuaciones del movimiento.

==D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento==

La obtención de las ecuaciones del movimiento de los GL libres de los sistemas multisólido no es, en general, el objetivo de los problemas de dinámica, sino un paso previo a su integración para conocer cómo evolucionan a lo largo del tiempo las coordenadas que describen la configuración del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Sin embargo, estas ecuaciones suelen ser no lineales, y su integración es necesariamente numérica. A pesar de eso, hay algunos aspectos del comportamiento del sistema que se pueden investigar de manera analítica.

Configuraciones de equilibrio

Las configuraciones de equilibrio son aquellas configuraciones para las que, si el sistema se deja en reposo <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, permanece en reposo <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Por tanto, el valor de las coordenadas en equilibrio viene dado por:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>
</center>

La ecuación que define las <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> puede ser trascendente y no tener solución analítica. En ese caso, se puede recurrir a una resolución numérica o una resolución gráfica.

Análisis de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Si se considera que el valor de las coordenadas es muy cercano al de una configuración de equilibrio <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js</math>, con <math>\varepsilon_\js << 1</math>, y por tanto <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>) las funciones no lineales que aparecen en las ecuaciones del movimiento se pueden aproximar por los términos lineales de su desarrollo en serie de Taylor. Por ejemplo:

:* si aparecen polinomios de grado superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si se trata de una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> y aparecen funciones seno y coseno:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Una vez linealizada, la ecuación es del tipo: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, donde A, B, y C son escalares. En este curso, sin embargo, a menudo la ecuación es más sencilla y no contiene término en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solución general es: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, con <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Las constantes de integración dependen de las condiciones iniciales <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
:La solución <math>\varepsilon(\ts)</math> de la ecuación <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una función cuya segunda derivada sea proporcional a la función sin derivar. Las funciones seno, coseno y exponencial cumplen esta condición. Si se prueba la primera (que tiene que contener dos constantes de integración):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Si se sustituyen estas expresiones en la ecuación del movimiento:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El movimiento es una oscilación alrededor de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math> cuya frecuencia angular <math>(\omega)</math> depende de parámetros del sistema.

:Las constantes de integración, en cambio, dependen de las condiciones iniciales (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), y por tanto, no son intrínsecas al sistema.

:* condiciones iniciales solo de posición: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales solo de velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales de posición y velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Análisis de la estabilidad de las de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Las oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio sólo son posibles cuando ésta es estable.
La estabilidad se puede analizar muy fácilmente a partir de la ecuación del movimiento linealizada:

<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decrece, y el sistema vuelve a la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> crece, y el sistema se aleja de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''INESTABLE'''.

==D7.2 Ejemplos generales==
====✏️ EJEMPLO D7.1: placa rectangular giratoria====
------

:[[Archivo:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Archivo:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La placa rectangular homogénea, de masa m, está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante respecto al suelo bajo la acción de un motor. Se trata de hallar la ecuación del movimiento asociada al movimiento entre placa y horquilla, y el valor del par motor que garantiza <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripción cinemática:

:Otra opción para calcular <math>\vel{G}{T}</math> es la cinemática de sólido rígido (sólido: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general de interacciones

[[Archivo:D7-Ex1-3esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones ppr sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ ecs}}{\text{sólido}} = 12\text{ecs}</math>

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 incógnitas

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

:La placa es el único elemento cuyomo vimiento depende de <math>\dth</math>. Par tanto, los sistemas posibles en los que aparecerá <math>\ddth</math> cuando se apliquen los teoremas vectoriales son: placa, placa + horquilla.

[[Archivo:D7-Ex1-4-esp.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enlace + <math>\ddth</math> = 6 inc. enlace <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enlace + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc. enlace</center>
 
:Las seis ecuaciones que se generan aplicando los teoremas vectoriales a la placa permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la placa son:

[[Archivo:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterización del torsor de enlace de la horquilla sobre la placa en el punto '''O''' es inmediata tanto si se utiliza la base B como la B’.

:Si se aplica el TCM, las tres componentes incluyen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en '''O''', la fuerza de enlace no aparecerá, y la componente 3 (o 3’) estará libre de incógnitas de enlace.

:Una buena propuesta es:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta:SISTEMA(placa), TMC en }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC en <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{grande}}{0}{0}{0}{\I{pequeño}}{0}{0}{0}{\I{grande + pequeño}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{\I{grande + pequeño}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{pequeño}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{grande + pequeño})\ddth + \I{pequeño - grande}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{pequeño} - \I{grande})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si se substituyen <math>\I{grande + pequeño}</math> i <math>\I{pequeño} - \I{grande}</math> por los valores que dan las tablas, la ecuación queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Análisis de la ecuación del movimiento: configuraciones de equilibrio

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Esta ecuación tiene dos familias de soluciones:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ya que la función coseno está acotada entre -1 y +1, la segunda familia solo existe si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, y esto se cumple solo si la velocidad angular <math>\Omega_0</math> está por encima del valor crítico <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Análisis de la ecuación del movimiento: movimiento de la placa respecto a la horquilla

:Al tratarse de una ecuación no lineal (a causa de la función seno), el movimiento general se obtiene por integración numérica.

:El análisis analítico para pequeñas amplitudes <math>(\varepsilon)</math> alrededor de una configuración de equilibrio <math>\theta_\text{eq}</math> se puede hacer si se aproximan las funciones trigonométricas [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''sección D7.1''')]]:

L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Para las pequeñas amplitudes alrededor de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, la ecuación del movimiento es <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si las condiciones iniciales son <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, la evolución de <math>\varepsilon</math> viene dada por: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Para <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''aumenta'''. Es una configuración '''INESTABLE''' y no puede haber oscilación alrededor de esta configuración.

:* Para <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminuye'''. El movimiento es una oscilación alrededor de una configuración '''ESTABLE'''. La frecuencia angular [rad/s] es <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si las condiciones iniciales son <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> y <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el movimiento pendular no aparece, y el sistema se mueve solo con la rotación <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentario adicional

[[Archivo:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa se hubiera suspendido de la horquilla de manera que el eje 2 fuese el de momento de inercia grande y el eje 1 fuese el de inercia baja, la ecuación del movimiento habría sido:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si se linealiza alrededor de la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Para cualquier valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficiente <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]</math> es positivo, y por tanto la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math> es siempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Hoja de ruta para el par motor

:Las opciones de sistema para calcular el par motor son dos: horquilla, horquilla + placa:

[[Archivo:D7-Ex1-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Archivo:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:La opción (horquilla + placa) es la más adecuada. La descripción de interacciones externas sobre este sistema se muestra en la figura.

:Al tratarse de un par motor, el TMC es el teorema adecuado para llegar a la solución:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (horquilla + placa), TMC en }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El momento cinético es el mismo que se ha calculado antes (ya que la horquilla no tiene masa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\dth} = \vector{2\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ EJEMPLO D7.2: barras giratorias====
-----

:[[Archivo:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta de un marco sin masa y de dos barras homogéneas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\sth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante).

:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex2-2esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones por sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ecs.}}{\text{sólido}} = 12</math> ecs.

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 inc.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:La pieza es el único elemento cuyo el movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex2-3-esp.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:Las seis ecuaciones que se generan si se aplican los teoremas vectoriales a la pieza permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la pieza son las que se muestran a la figura.
:Si se aplica el TCM, las tres componentes contienen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en O, la fuerza de enlace no aparecerá. Por tanto:

<center><math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en} \Os}</math></center>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria al marco. Ya que se asume que el movimiento solo proviene del GL forzado <math>\Omega_0</math>, es la base que gira con <math>\Omega_0</math> respecto al suelo.

:El análisis cualitativo del tensor de inercia se puede hacer considerando primero el tensor de cada barra en su centro de inercia y añadiendo después las correcciones de [[D5. Tensor de inercia#D5.4 Algunas propiedades relevantes del tensor de inercia|'''Steiner''']] para pasar a '''O''':

:[[Archivo:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Teniendo en cuenta que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constanto y está contenido en el plano de la pieza. Por tanto, gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> y barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:[[Archivo:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:El único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusión: el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo constante) no es posible. La razón es la componente horizontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que es la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fuera estrictamente vertical (paralelo a <math>\vec\Omega_0</math>), entonces <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, y la aplicación del TMC conduciría a valor nulo de las dos componentes de momento <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En otras palabras: si la dirección de la velocidad angular fuese una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']] para el punto '''O''', mantenerla constante sería posible sin necesidad de momento externo.

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras el dedo introduzca una de estas fuerzas, la math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal (sin que aparezca <math>\dth</math>). Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido horario:

:[[Archivo:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar con <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:La ecuación del movimiento es:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, y está claro que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no es una de ellas.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación horaria.

</div>


====✏️ EJEMPLO D7.3: pieza giratoria con partículas====
-----
:
:[[Archivo:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta de un marco sin masa y de dos partículas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\dth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante.

:Diagrama general de interacciones

:Es un sistema del mismo tipo que el del [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']]: tiene dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. El número de ecuaciones que se pueden generar si se aplican los teoremas vectoriales a los dos sólidos es 12: es un problema determinado.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:[[Archivo:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La pieza es el único elemento cuyo movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla. Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], una hoja de ruta adecuada es:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os}</math>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{pieza}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor de inercia en la base B solidaria a la pieza es inmediato:
:[[Archivo:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constante, está contenido en el plano de la pieza, y gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> mientras barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centro de inercia de la pieza se encuentra en la vertical que pasa por '''O''', y por tanto el único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:[[Archivo:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo <math>\Omega_0</math> constante) no es posible porque la dirección de la velocidad angular no es una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']].

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras se introduce una de estas fuerzas, la <math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal. Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido antihorario:

:[[Archivo:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Archivo:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar de acuerdo con la hoja de ruta siguiente: <math>\boxed{\text{Hija de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:La ecuación del movimiento es:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, y es evidente que <math>\theta = 0</math> no es una solución, y que por tanto la pieza necesariamente adquirirá movimiento pendular.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación antihoraria.
</div>



====✏️ EJEMPLO D7.4: bola giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex4-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de masa m y radio r, mantiene contacto puntual sin deslizamiento con el suelo y está articulada a un brazo horizontal. El brazo está articulado a una horquilla que gira con velocidad angular constante bajo la acción de un motor. Brazo y horquilla tienen masa despreciable. El coeficiente de fricción en dirección radial entre bola y suelo es nulo <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Se trata de investigar si la rotación <math>\Omega_0</math> puede provocar la pérdida de contacto entre bola y suelo.

 
 
 
 
 
 
:Descripción cinemática
:El [[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.3 Geometry of the velocity distribution: Instantaneous Screw Axis (ISA)|'''EIRL''']] de la bola respecto al suelo es la recta <math>\Os\Js</math>, y la velocidad angular se puede descomponer en dos rotaciones de Euler:

:[[Archivo:D7-Ex4-2-esp.jpg|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general de interacciones
::[[Archivo:D7-Ex4-3-esp.png|thumb|left|250px|link=]]
:Es un sistema de un GL con 17 incógnitas de enlace. Al contener 3 sólidos rígidos, se trata de un problema determinado:

:(17 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas 
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math>= 18 ecuaciones

:La descripción del sistema se puede aligerar si se trata el brazo como [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''SAE''']], ya que no tiene masa y solo está sometido a interacciones de enlace:

:[[Archivo:D7-Ex4-4-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:El número de incógnitas de enlace asociado al enlace indirecto entre bola y horquilla a través del brazo es 4, ya que la bola tiene dos rotaciones independientes <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecto a la horquilla. El problema sigue siendo determinado:

:(11 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas 
:2 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math> = 12 ecuaciones

:Hoja de ruta para estudiar la pérdida de contacto
:La pérdida de contacto implica la supresión del enlace entre bola y suelo, por tanto la anulación de la fuerza normal N que el suelo ejerce sobre la bola. Los dos sistemas a los que se pueden aplicar los teoremas vectoriales para calcular la N son: bola, bola + (brazo) + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex4-5-esp.png|thumb|center|510px|link=]]

:La mejor opción es aplicar teoremas vectoriales a la bola, ya que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la bola son:

:[[Archivo:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', las fuerzas de enlace asociadas a la articulación con la horquilla no aparecerán, y los únicos momentos en dirección perpendicular al dibujo estarán asociados al peso y a la N. Por tanto:
:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (bola), TMC en } \Os]_{\perp\text{ al dibujo}}}</math>

:El momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se puede calcular a partir del tensor de inercia en '''O''' (ya que '''O''' es un punto fijo a la bola) o por descomposición baricéntrica. En este último caso, ya que la bola es rotor esférico en <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> es paralelo a la velocidad angular de la bola:

:[[Archivo:D7-Ex4-7-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Las dos componentes son constantes en valor, pero la componente horizontal cambia de dirección a causa de la rotación vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibujo}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La fuerza normal aumenta con la velocidad angular, y por tanto el contacto con el suelo se mantiene siempre.

:Alternativa:

:Si el cálculo de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se hace a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> y la derivada se hace de manera analítica:

:[[Archivo:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex5-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:La anilla, de masa m y radio R, gira con velocidad angular <math>\dot\varphi_0</math> constante respecto a la horquilla (de masa despreciable) impulsada por un motor que tiene el estátor (P1) articulado a la horquilla, y el rotor (P2) solidario a la anilla. La horquilla puede girar respecto al suelo con velocidad angular <math>\dot\psi</math>. Inicialmente, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Se trata de investigar cómo evoluciona esta condición inicial, si el deslizamiento entre anilla y suelo desaparecerá en algún momento, y el valor del par motor que garantiza <math>\dot\varphi_0</math> constante mientras hay deslizamiento.

:Descripción cinemática y diagrama general de interacciones
:Para el movimiento más general cuando aún hay deslizamiento, <math>\dot\varphi_0</math> y <math>\dot\psi</math> son independientes, y la descripción de velocidades del sistema y el DGI ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#✏️ EJEMPLO D3.18: actuador rotacional entre dos sólidos|'''ejemplo D3.18''']]) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-2-esp.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(\textrm{J}) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anilla} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot \textrm{L} \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:En cuanto a la descripción dinámica, hay dos opciones según si se consideran los enlaces directos entre la horquilla y el estátor del motor (P1), y el estátor (P1) y el rotor (P2, solidario a la anilla) (opción 1), o si se trata el enlace indirecto entre horquilla y anilla (opción 2) ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.6 Interacciones a través de actuadores lineales y rotacionales|'''secció D3.6''']]):

:[[Archivo:D7-Ex5-3-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, el problema es determinado:

:Opción 1: (16 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas, 3 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 ecuaciones

:Opción 2: (10 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas, 2 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 ecuaciones

:<big>'''OPCIÓN 1'''</big>
:En esta opción, el DGI se puede aligerar si se trata la horquilla como SAE (ya que tiene masa nula y solo está sometido a interacciones de enlace). El enlace indirecto entre P1 y el techo (suelo) introduce 4 incógnitas, ya que permite dos rotaciones independientes entre los dos:

:[[Archivo:D7-Ex5-4-esp.png|thumb|center|350px|link=]]

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Tanto la anilla como el estátor (P1) tienen un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay tres opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, P1, anilla+P1.

:[[Archivo:D7-Ex5-5-esp.png|thumb|center|690px|link=]]

<center> 6 inc. de restricción + <math>\ddot\psi = </math> 7 inc.<math>\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:</math> 9 inc. de restricción + <math>\Gamma + \ddot\psi = </math> 11 inc.<math>\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:</math> 5 inc. de restricción + <math>\ddot\psi = </math> 6 inc.</center>

:La mejor opción es (anilla+P1). La caracterización del enlace indirecto entre P1 y techo es inmediata: ya que permite dos rotaciones independientes en direcciones 2 y 3 de P1 respecto al suelo, el torsor contendrá tres componentes de fuerza y una de momento (en dirección 1). Las interacciones externas al sistema (anilla+P1) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', se evitan las tres fuerzas de enlace asociadas al enlace indirecto entre P1 y techo, y solo aparecerán dos incógnitas de enlace <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. Al no haber ninguna componente libre de incógnitas de enlace, habrá que trabajar en principio con las tres para llegar a la ecuación del movimiento.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla+P1), TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético se puede calcular a partir del tensor en '''O''' porque '''O''' es fijo a la anilla:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anilla}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anilla}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math>{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = \left(\mat{\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2} + \mat{0}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}
</math>

:<math>{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{0}{9\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{-2\dot\varphi_0}{0}{9\dot\psi} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}
</math>

:Los momentos externos en '''O''' provienen del peso, de las fuerzas en '''J''' y del momento <math>\Ms_1</math> asociado al enlace indirecto entre P1 y suelo:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs}</math>

:La segunda componente conduce a <math>\Ns = \ms\gs+\frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>, y sustituyendo en la tercera se obtiene la ecuación del movimiento: <math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2}{9}\mu\left(2\frac{\gs}{\rs}+\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>.

:En el instante inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{4}{9}\mu\frac{\gs}{\rs}>0</math>, y por tanto la velocidad angular <math>\dot\psi</math> crece, cosa que hace aumentar la fuerza normal. Esto es indicativo de que no hay riesgo de que se pierda el contacto en '''J'''.

:Cuando <math>\dot\psi</math> llega al valor <math>(\dot\varphi_0/2)</math>, el deslizamiento en '''J''' desaparece:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{anilla}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0</math>

:A partir de este momento, el sistema pasa a tener solo 1 GL, pero el número de incógnitas aumenta, ya que en '''J''' aparecen dos componentes más de fuerza de enlace (además de la N): el problema pasa a ser indeterminado.

:Hoja de ruta para el par motor

:Ya que el par motor actúa entre P1 y la anilla, las dos opciones de sistema para aplicar los teoremas vectoriales son: anilla, P1. Puesto que la ecuación del movimiento para la <math>\psi</math> y la fuerza normal ya se han determinado, el número de incógnitas en estos dos casos es:

:[[Archivo:D7-Ex5-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:La mejor opción, pues, es aplicar teoremas a la anilla. Las interacciones externas sobre este sólido son:

:[[Archivo:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La componente 1 del TMC en '''O''' está libre de incógnitas de enlace (contiene el momento de la fuerza de fricción, pero la N ya no es una incógnita). Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os]_1}</math>

:El momento cinético en '''O''' es el de la anilla, y su derivada tiene componente 1 nula:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓN 2'''</big>
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Solo la anilla tiene un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay dos opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, anilla+horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex5-9-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:Las dos opciones parecen equivalentes. Para escoger una, hay que analizar las interacciones externas que actúan sobre cada uno de los dos sistemas:

:[[Archivo:D7-Ex5-10-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, si se aplica el TMC en '''O''' se evitan tres componentes de fuerza de enlace, pero en la dirección 1 (que es donde puede aparecer la <math>\ddot\varphi</math>) hay siempre un momento (el par motor en un caso, o el <math>\Ms_1</math> entre techo y horquilla en el otro). Tanto si se escoge un sistema como otro, habrá que trabajar en principio con más de una componente del TMC para llegar a la ecuación del movimiento. A continuación se consideran las dos opciones.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético en '''O''' y su derivada son los mismos que se han calculado en la opción 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Los momentos externos en O provienen del peso, de las fuerzas en J, del par motor y del momento <math>\Ms_3</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segunda componente da el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. Al ser siempre positivo, el contacto en '''J''' está asegurado.

:La primera componente da el par motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Pero en la tercera, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de <math>\Ms_3</math>. Por tanto, esta opción no parece adecuada.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + horquilla),TMC en }\Os}</math>

:Los momentos externos son distintos al caso anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En esta opción, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de N, pero las otras componentes no permiten calcular esta fuerza.

:Ahora bien, si se combinan los resultados para las dos opciones, la ecuación del movimiento es inmediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anilla + horquilla), TMC en }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:El cese del deslizamiento se estudia exactamente igual que en la opción 1.



====✏️ EJEMPLO D7.6: péndulo anular giratorio====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex6-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta de una anilla, de masa m y radio R, unida a un brazo que está articulado a un soporte. El soporte puede deslizar a lo largo de una guía lisa. Un muelle lineal de constante k conecta soporte y guía. El conjunto gira alrededor de la vertical con velocidad angular constante <math>\dot\psi_0</math> bajo la acción de un motor. La masa de todos los elementos, salvo la anilla, es despreciable. Se trata de buscar las ecuaciones del movimiento y estudiar las posibles configuracion es de equilibrio.

:Descripción cinemática
:[[Archivo:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:Es un sistema de 3 GL: el movimiento pendular <math>\dot\theta</math>, el movimiento del soporte respecto a la guía (que denominaremos <math>\dot\xs</math>) y la rotación vertical forzada <math>\dot\psi_0</math>.

:El movimiento del centro de la anilla '''G''' respecto al suelo se puede determinar a través de una doble composición:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guía} \\
\text{AB: soporte}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guía}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex6-3-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema es determinado:

:(15 inc. de enlace, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sólidos}}</math> = 18 ecuaciones
 
 
 
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math>

:El movimiento de la anilla es el único que depende de <math>\ddth</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, anilla+soporte+guía.

:[[Archivo:D7-Ex6-4-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opción es la menos adecuada. En cuanto a las otras dos, las interacciones externas a tener en cuenta son:

:[[Archivo:D7-Ex6-5-esp.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''' a la anilla, la componente 1 está libre de incógnitas de enlace, y es precisamente en esta dirección en donde aparece la velocidad angular <math>\dth</math> (y, por tanto, el cambio de su valor <math>\ddth</math>). En la opción (anilla+soporte), esta componente incluye un momento de enlace. Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ya que el punto '''O''' se mueve respecto al suelo: <math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Por otro lado, '''O''' es un punto fijo a la anilla: <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalmente: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Esta ecuación del movimiento incluye también la variable <math>\ddot\xs</math>. Esto quiere decir que los grados de libertad <math>\dth</math> y <math>\dot\xs</math> están '''acoplados''': aunque el movimiento empiece con unas condiciones iniciales que solo son no nulas para uno de ellas, el otro puede aparecer.

:La componente 1 del TMC en '''O''' para el sistema anilla es la única donde aparecen <math>\dth</math> y <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, la otra ecuación del movimiento no se puede determinar con ninguna de las otras dos componentes.

La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada x 

:El movimiento de la anilla y el del soporte dependen de <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, soporte, soporte+guía, anilla+soporte+guia. Ya que se ha determinado la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ya no es una incógnita.

:[[Archivo:D7-Ex6-6-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex6-7-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:Como antes, las mejores opciones son las dos primeras. La primera ya se ha utilizado, por tanto aplicaremos los teoremas a la segunda. A partir de la representación de las interacciones externas que actúan sobre el sistema (anilla+soporte), se ve que la componente vertical (dirección 3’) del TCM estará libre de incógnitas de enlace. Por tanto: <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + soporte), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Cálculo de la aceleración de '''G''':

:'''Opción 1''': por derivación de la velocidad descrita anteriormente, ya que corresponde a una configuración general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opción 2''': por cinemática del sólido rígido.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anilla} \\
\Os\in\text{anilla}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anilla}{T}\times\velang{anilla}{T}\times\OGvec + \accang{anilla}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anilla}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:La aceleración angular <math>\accang{anilla}{T}</math> proviene del cambio de valor y de dirección de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anilla}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulación de la fuerza del muelle

:[[Archivo:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translación vertical del soporte <math>(\dot\xs)</math> está asociado a la variación de una coordenada x cuyo origen aun no se ha definido. Es habitual escoger el origen de las coordenadas de manera que coincidan con configuraciones de equilibrio.

:Si se toma <math>\xs=0</math> para el equilibrio en ausencia de rotación <math>\dot\psi_0</math>, está claro que el muelle tendrá que ejercer una fuerza <math>\Fs_0</math> de atracción sobre el péndulo para contrarrestar el peso: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulación general de la fuerza de atracción del muelle será pues: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ya que el movimiento <math>\dot\xs</math> se ha definido positivo hacia abajo, un aumento de <math>\xs</math> implica un aumento de longitud del muelle. Por tanto: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentarios sobre el acoplamiento de los dos GL

:Las condiciones iniciales <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> con las que se pone en marcha el movimiento determinan los GL que aparecerán.

:Una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no conseguirá nunca hacer aparecer el movimiento pendular, ya que las ecuaciones para el instante inicial son:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En cambio, una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movimiento vertical <math>\dot\xs</math>, ya que la ecuación que gobierna la <math>\dot\xs</math> para el instante inicial es:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio estático
:Las configuraciones de equilibrio estático (las que corresponden a tener el sistema completamente parado, con <math>\dot\psi_0 = 0</math>) se obtienen de las ecuaciones del movimiento imponiendo <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si consideramos una pequeña perturbación de estas configuraciones de equilibrio <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, las ecuaciones se pueden [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|'''linealizar''']]. Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, se trata de una configuración '''ESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, se trata de una configuración '''INESTABLE'''.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio en rotación

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, para <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> la ecuación del movimiento para la x no cambia (por tanto, <math>\xs_\text{eq}=0</math> es estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), pero la de la <math>\theta</math> tiene un terme adicional, y aparecen dos familias de configuraciones de equilibrio:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:Sin embargo, la segunda familia solo existe por encima de un valor crítico de <math>\dot\psi_0^2</math> ya que la función <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> está acotada entre -1 y +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealización de la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math> conduce a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuración es '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> y <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuración es '''INESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, la ecuación del movimiento linealizada para la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuración és '''INESTABLE''' para cualquier valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:El estudio de las configuraciones <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> se hace de manera análoga, pero es mucho más largo. Por este motivo, no se hace.



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[[D6. Ejemplos de dinámica 2D|<<< D6. Ejemplos de dinámica 2D]]

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D7. Ejemplos de dinámica 3D

2026-03-13T15:40:09Z

Eantem: /* ✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
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{#1} & {#2} & {#3}\\
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{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
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\begin{Bmatrix}
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{#3}
\end{Bmatrix}}
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\begin{Bmatrix}
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{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
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\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>

En esta unidad, el procedimiento sistemático propuesto en la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.4 Diagrama general de interacciones (DGI)|'''sección D6.4''']] se aplica a ejemplos de dinámica 3D para obtener ecuaciones del movimiento y pares motores. Además, se presenta también un análisis sistemático de las ecuaciones del movimiento.

==D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento==

La obtención de las ecuaciones del movimiento de los GL libres de los sistemas multisólido no es, en general, el objetivo de los problemas de dinámica, sino un paso previo a su integración para conocer cómo evolucionan a lo largo del tiempo las coordenadas que describen la configuración del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Sin embargo, estas ecuaciones suelen ser no lineales, y su integración es necesariamente numérica. A pesar de eso, hay algunos aspectos del comportamiento del sistema que se pueden investigar de manera analítica.

Configuraciones de equilibrio

Las configuraciones de equilibrio son aquellas configuraciones para las que, si el sistema se deja en reposo <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, permanece en reposo <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Por tanto, el valor de las coordenadas en equilibrio viene dado por:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>
</center>

La ecuación que define las <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> puede ser trascendente y no tener solución analítica. En ese caso, se puede recurrir a una resolución numérica o una resolución gráfica.

Análisis de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Si se considera que el valor de las coordenadas es muy cercano al de una configuración de equilibrio <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js</math>, con <math>\varepsilon_\js << 1</math>, y por tanto <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>) las funciones no lineales que aparecen en las ecuaciones del movimiento se pueden aproximar por los términos lineales de su desarrollo en serie de Taylor. Por ejemplo:

:* si aparecen polinomios de grado superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si se trata de una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> y aparecen funciones seno y coseno:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Una vez linealizada, la ecuación es del tipo: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, donde A, B, y C son escalares. En este curso, sin embargo, a menudo la ecuación es más sencilla y no contiene término en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solución general es: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, con <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Las constantes de integración dependen de las condiciones iniciales <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
:La solución <math>\varepsilon(\ts)</math> de la ecuación <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una función cuya segunda derivada sea proporcional a la función sin derivar. Las funciones seno, coseno y exponencial cumplen esta condición. Si se prueba la primera (que tiene que contener dos constantes de integración):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Si se sustituyen estas expresiones en la ecuación del movimiento:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El movimiento es una oscilación alrededor de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math> cuya frecuencia angular <math>(\omega)</math> depende de parámetros del sistema.

:Las constantes de integración, en cambio, dependen de las condiciones iniciales (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), y por tanto, no son intrínsecas al sistema.

:* condiciones iniciales solo de posición: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales solo de velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales de posición y velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Análisis de la estabilidad de las de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Las oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio sólo son posibles cuando ésta es estable.
La estabilidad se puede analizar muy fácilmente a partir de la ecuación del movimiento linealizada:

<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decrece, y el sistema vuelve a la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> crece, y el sistema se aleja de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''INESTABLE'''.

==D7.2 Ejemplos generales==
====✏️ EJEMPLO D7.1: placa rectangular giratoria====
------

:[[Archivo:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Archivo:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La placa rectangular homogénea, de masa m, está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante respecto al suelo bajo la acción de un motor. Se trata de hallar la ecuación del movimiento asociada al movimiento entre placa y horquilla, y el valor del par motor que garantiza <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripción cinemática:

:Otra opción para calcular <math>\vel{G}{T}</math> es la cinemática de sólido rígido (sólido: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general de interacciones

[[Archivo:D7-Ex1-3esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones ppr sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ ecs}}{\text{sólido}} = 12\text{ecs}</math>

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 incógnitas

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

:La placa es el único elemento cuyomo vimiento depende de <math>\dth</math>. Par tanto, los sistemas posibles en los que aparecerá <math>\ddth</math> cuando se apliquen los teoremas vectoriales son: placa, placa + horquilla.

[[Archivo:D7-Ex1-4-esp.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enlace + <math>\ddth</math> = 6 inc. enlace <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enlace + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc. enlace</center>
 
:Las seis ecuaciones que se generan aplicando los teoremas vectoriales a la placa permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la placa son:

[[Archivo:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterización del torsor de enlace de la horquilla sobre la placa en el punto '''O''' es inmediata tanto si se utiliza la base B como la B’.

:Si se aplica el TCM, las tres componentes incluyen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en '''O''', la fuerza de enlace no aparecerá, y la componente 3 (o 3’) estará libre de incógnitas de enlace.

:Una buena propuesta es:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta:SISTEMA(placa), TMC en }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC en <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{grande}}{0}{0}{0}{\I{pequeño}}{0}{0}{0}{\I{grande + pequeño}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{\I{grande + pequeño}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{pequeño}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{grande + pequeño})\ddth + \I{pequeño - grande}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{pequeño} - \I{grande})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si se substituyen <math>\I{grande + pequeño}</math> i <math>\I{pequeño} - \I{grande}</math> por los valores que dan las tablas, la ecuación queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Análisis de la ecuación del movimiento: configuraciones de equilibrio

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Esta ecuación tiene dos familias de soluciones:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ya que la función coseno está acotada entre -1 y +1, la segunda familia solo existe si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, y esto se cumple solo si la velocidad angular <math>\Omega_0</math> está por encima del valor crítico <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Análisis de la ecuación del movimiento: movimiento de la placa respecto a la horquilla

:Al tratarse de una ecuación no lineal (a causa de la función seno), el movimiento general se obtiene por integración numérica.

:El análisis analítico para pequeñas amplitudes <math>(\varepsilon)</math> alrededor de una configuración de equilibrio <math>\theta_\text{eq}</math> se puede hacer si se aproximan las funciones trigonométricas [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''sección D7.1''')]]:

L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Para las pequeñas amplitudes alrededor de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, la ecuación del movimiento es <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si las condiciones iniciales son <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, la evolución de <math>\varepsilon</math> viene dada por: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Para <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''aumenta'''. Es una configuración '''INESTABLE''' y no puede haber oscilación alrededor de esta configuración.

:* Para <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminuye'''. El movimiento es una oscilación alrededor de una configuración '''ESTABLE'''. La frecuencia angular [rad/s] es <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si las condiciones iniciales son <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> y <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el movimiento pendular no aparece, y el sistema se mueve solo con la rotación <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentario adicional

[[Archivo:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa se hubiera suspendido de la horquilla de manera que el eje 2 fuese el de momento de inercia grande y el eje 1 fuese el de inercia baja, la ecuación del movimiento habría sido:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si se linealiza alrededor de la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Para cualquier valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficiente <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]</math> es positivo, y por tanto la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math> es siempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Hoja de ruta para el par motor

:Las opciones de sistema para calcular el par motor son dos: horquilla, horquilla + placa:

[[Archivo:D7-Ex1-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Archivo:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:La opción (horquilla + placa) es la más adecuada. La descripción de interacciones externas sobre este sistema se muestra en la figura.

:Al tratarse de un par motor, el TMC es el teorema adecuado para llegar a la solución:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (horquilla + placa), TMC en }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El momento cinético es el mismo que se ha calculado antes (ya que la horquilla no tiene masa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\dth} = \vector{2\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ EJEMPLO D7.2: barras giratorias====
-----

:[[Archivo:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta de un marco sin masa y de dos barras homogéneas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\sth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante).

:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex2-2esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones por sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ecs.}}{\text{sólido}} = 12</math> ecs.

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 inc.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:La pieza es el único elemento cuyo el movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex2-3-esp.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:Las seis ecuaciones que se generan si se aplican los teoremas vectoriales a la pieza permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la pieza son las que se muestran a la figura.
:Si se aplica el TCM, las tres componentes contienen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en O, la fuerza de enlace no aparecerá. Por tanto:

<center><math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en} \Os}</math></center>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria al marco. Ya que se asume que el movimiento solo proviene del GL forzado <math>\Omega_0</math>, es la base que gira con <math>\Omega_0</math> respecto al suelo.

:El análisis cualitativo del tensor de inercia se puede hacer considerando primero el tensor de cada barra en su centro de inercia y añadiendo después las correcciones de [[D5. Tensor de inercia#D5.4 Algunas propiedades relevantes del tensor de inercia|'''Steiner''']] para pasar a '''O''':

:[[Archivo:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Teniendo en cuenta que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constanto y está contenido en el plano de la pieza. Por tanto, gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> y barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:[[Archivo:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:El único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusión: el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo constante) no es posible. La razón es la componente horizontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que es la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fuera estrictamente vertical (paralelo a <math>\vec\Omega_0</math>), entonces <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, y la aplicación del TMC conduciría a valor nulo de las dos componentes de momento <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En otras palabras: si la dirección de la velocidad angular fuese una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']] para el punto '''O''', mantenerla constante sería posible sin necesidad de momento externo.

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras el dedo introduzca una de estas fuerzas, la math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal (sin que aparezca <math>\dth</math>). Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido horario:

:[[Archivo:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar con <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:La ecuación del movimiento es:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, y está claro que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no es una de ellas.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación horaria.

</div>


====✏️ EJEMPLO D7.3: pieza giratoria con partículas====
-----
:
:[[Archivo:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta de un marco sin masa y de dos partículas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\dth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante.

:Diagrama general de interacciones

:Es un sistema del mismo tipo que el del [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']]: tiene dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. El número de ecuaciones que se pueden generar si se aplican los teoremas vectoriales a los dos sólidos es 12: es un problema determinado.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:[[Archivo:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La pieza es el único elemento cuyo movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla. Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], una hoja de ruta adecuada es:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os}</math>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{pieza}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor de inercia en la base B solidaria a la pieza es inmediato:
:[[Archivo:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constante, está contenido en el plano de la pieza, y gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> mientras barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centro de inercia de la pieza se encuentra en la vertical que pasa por '''O''', y por tanto el único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:[[Archivo:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo <math>\Omega_0</math> constante) no es posible porque la dirección de la velocidad angular no es una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']].

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras se introduce una de estas fuerzas, la <math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal. Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido antihorario:

:[[Archivo:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Archivo:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar de acuerdo con la hoja de ruta siguiente: <math>\boxed{\text{Hija de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:La ecuación del movimiento es:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, y es evidente que <math>\theta = 0</math> no es una solución, y que por tanto la pieza necesariamente adquirirá movimiento pendular.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación antihoraria.
</div>



====✏️ EJEMPLO D7.4: bola giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex4-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de masa m y radio r, mantiene contacto puntual sin deslizamiento con el suelo y está articulada a un brazo horizontal. El brazo está articulado a una horquilla que gira con velocidad angular constante bajo la acción de un motor. Brazo y horquilla tienen masa despreciable. El coeficiente de fricción en dirección radial entre bola y suelo es nulo <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Se trata de investigar si la rotación <math>\Omega_0</math> puede provocar la pérdida de contacto entre bola y suelo.

 
 
 
 
 
 
:Descripción cinemática
:El [[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.3 Geometry of the velocity distribution: Instantaneous Screw Axis (ISA)|'''EIRL''']] de la bola respecto al suelo es la recta <math>\Os\Js</math>, y la velocidad angular se puede descomponer en dos rotaciones de Euler:

:[[Archivo:D7-Ex4-2-esp.jpg|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general de interacciones
::[[Archivo:D7-Ex4-3-esp.png|thumb|left|250px|link=]]
:Es un sistema de un GL con 17 incógnitas de enlace. Al contener 3 sólidos rígidos, se trata de un problema determinado:

:(17 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas 
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math>= 18 ecuaciones

:La descripción del sistema se puede aligerar si se trata el brazo como [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''SAE''']], ya que no tiene masa y solo está sometido a interacciones de enlace:

:[[Archivo:D7-Ex4-4-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:El número de incógnitas de enlace asociado al enlace indirecto entre bola y horquilla a través del brazo es 4, ya que la bola tiene dos rotaciones independientes <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecto a la horquilla. El problema sigue siendo determinado:

:(11 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas 
:2 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math> = 12 ecuaciones

:Hoja de ruta para estudiar la pérdida de contacto
:La pérdida de contacto implica la supresión del enlace entre bola y suelo, por tanto la anulación de la fuerza normal N que el suelo ejerce sobre la bola. Los dos sistemas a los que se pueden aplicar los teoremas vectoriales para calcular la N son: bola, bola + (brazo) + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex4-5-esp.png|thumb|center|510px|link=]]

:La mejor opción es aplicar teoremas vectoriales a la bola, ya que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la bola son:

:[[Archivo:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', las fuerzas de enlace asociadas a la articulación con la horquilla no aparecerán, y los únicos momentos en dirección perpendicular al dibujo estarán asociados al peso y a la N. Por tanto:
:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (bola), TMC en } \Os]_{\perp\text{ al dibujo}}}</math>

:El momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se puede calcular a partir del tensor de inercia en '''O''' (ya que '''O''' es un punto fijo a la bola) o por descomposición baricéntrica. En este último caso, ya que la bola es rotor esférico en <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> es paralelo a la velocidad angular de la bola:

:[[Archivo:D7-Ex4-7-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Las dos componentes son constantes en valor, pero la componente horizontal cambia de dirección a causa de la rotación vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibujo}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La fuerza normal aumenta con la velocidad angular, y por tanto el contacto con el suelo se mantiene siempre.

:Alternativa:

:Si el cálculo de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se hace a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> y la derivada se hace de manera analítica:

:[[Archivo:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex5-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:La anilla, de masa m y radio R, gira con velocidad angular <math>\dot\varphi_0</math> constante respecto a la horquilla (de masa despreciable) impulsada por un motor que tiene el estátor (P1) articulado a la horquilla, y el rotor (P2) solidario a la anilla. La horquilla puede girar respecto al suelo con velocidad angular <math>\dot\psi</math>. Inicialmente, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Se trata de investigar cómo evoluciona esta condición inicial, si el deslizamiento entre anilla y suelo desaparecerá en algún momento, y el valor del par motor que garantiza <math>\dot\varphi_0</math> constante mientras hay deslizamiento.

:Descripción cinemática y diagrama general de interacciones
:Para el movimiento más general cuando aún hay deslizamiento, <math>\dot\varphi_0</math> y <math>\dot\psi</math> son independientes, y la descripción de velocidades del sistema y el DGI ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#✏️ EJEMPLO D3.18: actuador rotacional entre dos sólidos|'''ejemplo D3.18''']]) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-2-esp.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(\textrm{J}) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anilla} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot \textrm{L} \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:En cuanto a la descripción dinámica, hay dos opciones según si se consideran los enlaces directos entre la horquilla y el estátor del motor (P1), y el estátor (P1) y el rotor (P2, solidario a la anilla) (opción 1), o si se trata el enlace indirecto entre horquilla y anilla (opción 2) ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.6 Interacciones a través de actuadores lineales y rotacionales|'''secció D3.6''']]):

:[[Archivo:D7-Ex5-3-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, el problema es determinado:

:Opción 1: (16 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas, 3 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 ecuaciones

:Opción 2: (10 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas, 2 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 ecuaciones

:<big>'''OPCIÓN 1'''</big>
:En esta opción, el DGI se puede aligerar si se trata la horquilla como SAE (ya que tiene masa nula y solo está sometido a interacciones de enlace). El enlace indirecto entre P1 y el techo (suelo) introduce 4 incógnitas, ya que permite dos rotaciones independientes entre los dos:

:[[Archivo:D7-Ex5-4-esp.png|thumb|center|350px|link=]]

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Tanto la anilla como el estátor (P1) tienen un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay tres opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, P1, anilla+P1.

:[[Archivo:D7-Ex5-5-esp.png|thumb|center|690px|link=]]

:La mejor opción es (anilla+P1). La caracterización del enlace indirecto entre P1 y techo es inmediata: ya que permite dos rotaciones independientes en direcciones 2 y 3 de P1 respecto al suelo, el torsor contendrá tres componentes de fuerza y una de momento (en dirección 1). Las interacciones externas al sistema (anilla+P1) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', se evitan las tres fuerzas de enlace asociadas al enlace indirecto entre P1 y techo, y solo aparecerán dos incógnitas de enlace <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. Al no haber ninguna componente libre de incógnitas de enlace, habrá que trabajar en principio con las tres para llegar a la ecuación del movimiento.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla+P1), TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético se puede calcular a partir del tensor en '''O''' porque '''O''' es fijo a la anilla:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anilla}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anilla}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math>{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = \left(\mat{\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2} + \mat{0}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}
</math>

:<math>{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{0}{9\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{-2\dot\varphi_0}{0}{9\dot\psi} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}
</math>

:Los momentos externos en '''O''' provienen del peso, de las fuerzas en '''J''' y del momento <math>\Ms_1</math> asociado al enlace indirecto entre P1 y suelo:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs}</math>

:La segunda componente conduce a <math>\Ns = \ms\gs+\frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>, y sustituyendo en la tercera se obtiene la ecuación del movimiento: <math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2}{9}\mu\left(2\frac{\gs}{\rs}+\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>.

:En el instante inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{4}{9}\mu\frac{\gs}{\rs}>0</math>, y por tanto la velocidad angular <math>\dot\psi</math> crece, cosa que hace aumentar la fuerza normal. Esto es indicativo de que no hay riesgo de que se pierda el contacto en '''J'''.

:Cuando <math>\dot\psi</math> llega al valor <math>(\dot\varphi_0/2)</math>, el deslizamiento en '''J''' desaparece:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{anilla}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0</math>

:A partir de este momento, el sistema pasa a tener solo 1 GL, pero el número de incógnitas aumenta, ya que en '''J''' aparecen dos componentes más de fuerza de enlace (además de la N): el problema pasa a ser indeterminado.

:Hoja de ruta para el par motor

:Ya que el par motor actúa entre P1 y la anilla, las dos opciones de sistema para aplicar los teoremas vectoriales son: anilla, P1. Puesto que la ecuación del movimiento para la <math>\psi</math> y la fuerza normal ya se han determinado, el número de incógnitas en estos dos casos es:

:[[Archivo:D7-Ex5-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:La mejor opción, pues, es aplicar teoremas a la anilla. Las interacciones externas sobre este sólido son:

:[[Archivo:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La componente 1 del TMC en '''O''' está libre de incógnitas de enlace (contiene el momento de la fuerza de fricción, pero la N ya no es una incógnita). Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os]_1}</math>

:El momento cinético en '''O''' es el de la anilla, y su derivada tiene componente 1 nula:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓN 2'''</big>
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Solo la anilla tiene un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay dos opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, anilla+horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex5-9-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:Las dos opciones parecen equivalentes. Para escoger una, hay que analizar las interacciones externas que actúan sobre cada uno de los dos sistemas:

:[[Archivo:D7-Ex5-10-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, si se aplica el TMC en '''O''' se evitan tres componentes de fuerza de enlace, pero en la dirección 1 (que es donde puede aparecer la <math>\ddot\varphi</math>) hay siempre un momento (el par motor en un caso, o el <math>\Ms_1</math> entre techo y horquilla en el otro). Tanto si se escoge un sistema como otro, habrá que trabajar en principio con más de una componente del TMC para llegar a la ecuación del movimiento. A continuación se consideran las dos opciones.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético en '''O''' y su derivada son los mismos que se han calculado en la opción 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Los momentos externos en O provienen del peso, de las fuerzas en J, del par motor y del momento <math>\Ms_3</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segunda componente da el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. Al ser siempre positivo, el contacto en '''J''' está asegurado.

:La primera componente da el par motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Pero en la tercera, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de <math>\Ms_3</math>. Por tanto, esta opción no parece adecuada.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + horquilla),TMC en }\Os}</math>

:Los momentos externos son distintos al caso anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En esta opción, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de N, pero las otras componentes no permiten calcular esta fuerza.

:Ahora bien, si se combinan los resultados para las dos opciones, la ecuación del movimiento es inmediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anilla + horquilla), TMC en }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:El cese del deslizamiento se estudia exactamente igual que en la opción 1.



====✏️ EJEMPLO D7.6: péndulo anular giratorio====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex6-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta de una anilla, de masa m y radio R, unida a un brazo que está articulado a un soporte. El soporte puede deslizar a lo largo de una guía lisa. Un muelle lineal de constante k conecta soporte y guía. El conjunto gira alrededor de la vertical con velocidad angular constante <math>\dot\psi_0</math> bajo la acción de un motor. La masa de todos los elementos, salvo la anilla, es despreciable. Se trata de buscar las ecuaciones del movimiento y estudiar las posibles configuracion es de equilibrio.

:Descripción cinemática
:[[Archivo:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:Es un sistema de 3 GL: el movimiento pendular <math>\dot\theta</math>, el movimiento del soporte respecto a la guía (que denominaremos <math>\dot\xs</math>) y la rotación vertical forzada <math>\dot\psi_0</math>.

:El movimiento del centro de la anilla '''G''' respecto al suelo se puede determinar a través de una doble composición:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guía} \\
\text{AB: soporte}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guía}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex6-3-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema es determinado:

:(15 inc. de enlace, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sólidos}}</math> = 18 ecuaciones
 
 
 
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math>

:El movimiento de la anilla es el único que depende de <math>\ddth</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, anilla+soporte+guía.

:[[Archivo:D7-Ex6-4-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opción es la menos adecuada. En cuanto a las otras dos, las interacciones externas a tener en cuenta son:

:[[Archivo:D7-Ex6-5-esp.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''' a la anilla, la componente 1 está libre de incógnitas de enlace, y es precisamente en esta dirección en donde aparece la velocidad angular <math>\dth</math> (y, por tanto, el cambio de su valor <math>\ddth</math>). En la opción (anilla+soporte), esta componente incluye un momento de enlace. Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ya que el punto '''O''' se mueve respecto al suelo: <math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Por otro lado, '''O''' es un punto fijo a la anilla: <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalmente: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Esta ecuación del movimiento incluye también la variable <math>\ddot\xs</math>. Esto quiere decir que los grados de libertad <math>\dth</math> y <math>\dot\xs</math> están '''acoplados''': aunque el movimiento empiece con unas condiciones iniciales que solo son no nulas para uno de ellas, el otro puede aparecer.

:La componente 1 del TMC en '''O''' para el sistema anilla es la única donde aparecen <math>\dth</math> y <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, la otra ecuación del movimiento no se puede determinar con ninguna de las otras dos componentes.

La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada x 

:El movimiento de la anilla y el del soporte dependen de <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, soporte, soporte+guía, anilla+soporte+guia. Ya que se ha determinado la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ya no es una incógnita.

:[[Archivo:D7-Ex6-6-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex6-7-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:Como antes, las mejores opciones son las dos primeras. La primera ya se ha utilizado, por tanto aplicaremos los teoremas a la segunda. A partir de la representación de las interacciones externas que actúan sobre el sistema (anilla+soporte), se ve que la componente vertical (dirección 3’) del TCM estará libre de incógnitas de enlace. Por tanto: <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + soporte), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Cálculo de la aceleración de '''G''':

:'''Opción 1''': por derivación de la velocidad descrita anteriormente, ya que corresponde a una configuración general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opción 2''': por cinemática del sólido rígido.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anilla} \\
\Os\in\text{anilla}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anilla}{T}\times\velang{anilla}{T}\times\OGvec + \accang{anilla}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anilla}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:La aceleración angular <math>\accang{anilla}{T}</math> proviene del cambio de valor y de dirección de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anilla}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulación de la fuerza del muelle

:[[Archivo:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translación vertical del soporte <math>(\dot\xs)</math> está asociado a la variación de una coordenada x cuyo origen aun no se ha definido. Es habitual escoger el origen de las coordenadas de manera que coincidan con configuraciones de equilibrio.

:Si se toma <math>\xs=0</math> para el equilibrio en ausencia de rotación <math>\dot\psi_0</math>, está claro que el muelle tendrá que ejercer una fuerza <math>\Fs_0</math> de atracción sobre el péndulo para contrarrestar el peso: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulación general de la fuerza de atracción del muelle será pues: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ya que el movimiento <math>\dot\xs</math> se ha definido positivo hacia abajo, un aumento de <math>\xs</math> implica un aumento de longitud del muelle. Por tanto: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentarios sobre el acoplamiento de los dos GL

:Las condiciones iniciales <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> con las que se pone en marcha el movimiento determinan los GL que aparecerán.

:Una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no conseguirá nunca hacer aparecer el movimiento pendular, ya que las ecuaciones para el instante inicial son:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En cambio, una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movimiento vertical <math>\dot\xs</math>, ya que la ecuación que gobierna la <math>\dot\xs</math> para el instante inicial es:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio estático
:Las configuraciones de equilibrio estático (las que corresponden a tener el sistema completamente parado, con <math>\dot\psi_0 = 0</math>) se obtienen de las ecuaciones del movimiento imponiendo <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si consideramos una pequeña perturbación de estas configuraciones de equilibrio <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, las ecuaciones se pueden [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|'''linealizar''']]. Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, se trata de una configuración '''ESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, se trata de una configuración '''INESTABLE'''.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio en rotación

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, para <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> la ecuación del movimiento para la x no cambia (por tanto, <math>\xs_\text{eq}=0</math> es estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), pero la de la <math>\theta</math> tiene un terme adicional, y aparecen dos familias de configuraciones de equilibrio:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:Sin embargo, la segunda familia solo existe por encima de un valor crítico de <math>\dot\psi_0^2</math> ya que la función <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> está acotada entre -1 y +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealización de la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math> conduce a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuración es '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> y <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuración es '''INESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, la ecuación del movimiento linealizada para la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuración és '''INESTABLE''' para cualquier valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:El estudio de las configuraciones <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> se hace de manera análoga, pero es mucho más largo. Por este motivo, no se hace.



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-------------

<center>
[[D6. Ejemplos de dinámica 2D|<<< D6. Ejemplos de dinámica 2D]]

[[D8. Conservaciones|D8. Conservaciones >>>]]

</center>

D7. Ejemplos de dinámica 3D

2026-03-04T15:36:37Z

Eantem: /* ✏️ EJEMPLO D7.2: barras giratorias */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
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\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
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\newcommand{\as}{\textrm{a}}
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\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
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\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
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\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
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{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
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\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>

En esta unidad, el procedimiento sistemático propuesto en la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.4 Diagrama general de interacciones (DGI)|'''sección D6.4''']] se aplica a ejemplos de dinámica 3D para obtener ecuaciones del movimiento y pares motores. Además, se presenta también un análisis sistemático de las ecuaciones del movimiento.

==D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento==

La obtención de las ecuaciones del movimiento de los GL libres de los sistemas multisólido no es, en general, el objetivo de los problemas de dinámica, sino un paso previo a su integración para conocer cómo evolucionan a lo largo del tiempo las coordenadas que describen la configuración del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Sin embargo, estas ecuaciones suelen ser no lineales, y su integración es necesariamente numérica. A pesar de eso, hay algunos aspectos del comportamiento del sistema que se pueden investigar de manera analítica.

Configuraciones de equilibrio

Las configuraciones de equilibrio son aquellas configuraciones para las que, si el sistema se deja en reposo <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, permanece en reposo <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Por tanto, el valor de las coordenadas en equilibrio viene dado por:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>
</center>

La ecuación que define las <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> puede ser trascendente y no tener solución analítica. En ese caso, se puede recurrir a una resolución numérica o una resolución gráfica.

Análisis de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Si se considera que el valor de las coordenadas es muy cercano al de una configuración de equilibrio <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js</math>, con <math>\varepsilon_\js << 1</math>, y por tanto <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>) las funciones no lineales que aparecen en las ecuaciones del movimiento se pueden aproximar por los términos lineales de su desarrollo en serie de Taylor. Por ejemplo:

:* si aparecen polinomios de grado superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si se trata de una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> y aparecen funciones seno y coseno:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Una vez linealizada, la ecuación es del tipo: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, donde A, B, y C son escalares. En este curso, sin embargo, a menudo la ecuación es más sencilla y no contiene término en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solución general es: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, con <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Las constantes de integración dependen de las condiciones iniciales <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
:La solución <math>\varepsilon(\ts)</math> de la ecuación <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una función cuya segunda derivada sea proporcional a la función sin derivar. Las funciones seno, coseno y exponencial cumplen esta condición. Si se prueba la primera (que tiene que contener dos constantes de integración):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Si se sustituyen estas expresiones en la ecuación del movimiento:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El movimiento es una oscilación alrededor de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math> cuya frecuencia angular <math>(\omega)</math> depende de parámetros del sistema.

:Las constantes de integración, en cambio, dependen de las condiciones iniciales (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), y por tanto, no son intrínsecas al sistema.

:* condiciones iniciales solo de posición: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales solo de velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales de posición y velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Análisis de la estabilidad de las de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Las oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio sólo son posibles cuando ésta es estable.
La estabilidad se puede analizar muy fácilmente a partir de la ecuación del movimiento linealizada:

<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decrece, y el sistema vuelve a la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> crece, y el sistema se aleja de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''INESTABLE'''.

==D7.2 Ejemplos generales==
====✏️ EJEMPLO D7.1: placa rectangular giratoria====
------

:[[Archivo:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Archivo:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La placa rectangular homogénea, de masa m, está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante respecto al suelo bajo la acción de un motor. Se trata de hallar la ecuación del movimiento asociada al movimiento entre placa y horquilla, y el valor del par motor que garantiza <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripción cinemática:

:Otra opción para calcular <math>\vel{G}{T}</math> es la cinemática de sólido rígido (sólido: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general de interacciones

[[Archivo:D7-Ex1-3esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones ppr sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ ecs}}{\text{sólido}} = 12\text{ecs}</math>

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 incógnitas

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

:La placa es el único elemento cuyomo vimiento depende de <math>\dth</math>. Par tanto, los sistemas posibles en los que aparecerá <math>\ddth</math> cuando se apliquen los teoremas vectoriales son: placa, placa + horquilla.

[[Archivo:D7-Ex1-4-esp.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enlace + <math>\ddth</math> = 6 inc. enlace <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enlace + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc. enlace</center>
 
:Las seis ecuaciones que se generan aplicando los teoremas vectoriales a la placa permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la placa son:

[[Archivo:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterización del torsor de enlace de la horquilla sobre la placa en el punto '''O''' es inmediata tanto si se utiliza la base B como la B’.

:Si se aplica el TCM, las tres componentes incluyen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en '''O''', la fuerza de enlace no aparecerá, y la componente 3 (o 3’) estará libre de incógnitas de enlace.

:Una buena propuesta es:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta:SISTEMA(placa), TMC en }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC en <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{grande}}{0}{0}{0}{\I{pequeño}}{0}{0}{0}{\I{grande + pequeño}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{\I{grande + pequeño}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{pequeño}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{grande + pequeño})\ddth + \I{pequeño - grande}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{pequeño} - \I{grande})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si se substituyen <math>\I{grande + pequeño}</math> i <math>\I{pequeño} - \I{grande}</math> por los valores que dan las tablas, la ecuación queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Análisis de la ecuación del movimiento: configuraciones de equilibrio

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Esta ecuación tiene dos familias de soluciones:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ya que la función coseno está acotada entre -1 y +1, la segunda familia solo existe si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, y esto se cumple solo si la velocidad angular <math>\Omega_0</math> está por encima del valor crítico <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Análisis de la ecuación del movimiento: movimiento de la placa respecto a la horquilla

:Al tratarse de una ecuación no lineal (a causa de la función seno), el movimiento general se obtiene por integración numérica.

:El análisis analítico para pequeñas amplitudes <math>(\varepsilon)</math> alrededor de una configuración de equilibrio <math>\theta_\text{eq}</math> se puede hacer si se aproximan las funciones trigonométricas [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''sección D7.1''')]]:

L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Para las pequeñas amplitudes alrededor de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, la ecuación del movimiento es <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si las condiciones iniciales son <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, la evolución de <math>\varepsilon</math> viene dada por: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Para <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''aumenta'''. Es una configuración '''INESTABLE''' y no puede haber oscilación alrededor de esta configuración.

:* Para <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminuye'''. El movimiento es una oscilación alrededor de una configuración '''ESTABLE'''. La frecuencia angular [rad/s] es <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si las condiciones iniciales son <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> y <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el movimiento pendular no aparece, y el sistema se mueve solo con la rotación <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentario adicional

[[Archivo:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa se hubiera suspendido de la horquilla de manera que el eje 2 fuese el de momento de inercia grande y el eje 1 fuese el de inercia baja, la ecuación del movimiento habría sido:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si se linealiza alrededor de la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Para cualquier valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficiente <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]</math> es positivo, y por tanto la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math> es siempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Hoja de ruta para el par motor

:Las opciones de sistema para calcular el par motor son dos: horquilla, horquilla + placa:

[[Archivo:D7-Ex1-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Archivo:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:La opción (horquilla + placa) es la más adecuada. La descripción de interacciones externas sobre este sistema se muestra en la figura.

:Al tratarse de un par motor, el TMC es el teorema adecuado para llegar a la solución:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (horquilla + placa), TMC en }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El momento cinético es el mismo que se ha calculado antes (ya que la horquilla no tiene masa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\dth} = \vector{2\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ EJEMPLO D7.2: barras giratorias====
-----

:[[Archivo:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta de un marco sin masa y de dos barras homogéneas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\sth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante).

:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex2-2esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones por sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ecs.}}{\text{sólido}} = 12</math> ecs.

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 inc.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:La pieza es el único elemento cuyo el movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex2-3-esp.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:Las seis ecuaciones que se generan si se aplican los teoremas vectoriales a la pieza permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la pieza son las que se muestran a la figura.
:Si se aplica el TCM, las tres componentes contienen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en O, la fuerza de enlace no aparecerá. Por tanto:

<center><math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en} \Os}</math></center>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria al marco. Ya que se asume que el movimiento solo proviene del GL forzado <math>\Omega_0</math>, es la base que gira con <math>\Omega_0</math> respecto al suelo.

:El análisis cualitativo del tensor de inercia se puede hacer considerando primero el tensor de cada barra en su centro de inercia y añadiendo después las correcciones de [[D5. Tensor de inercia#D5.4 Algunas propiedades relevantes del tensor de inercia|'''Steiner''']] para pasar a '''O''':

:[[Archivo:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Teniendo en cuenta que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constanto y está contenido en el plano de la pieza. Por tanto, gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> y barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:[[Archivo:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:El único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusión: el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo constante) no es posible. La razón es la componente horizontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que es la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fuera estrictamente vertical (paralelo a <math>\vec\Omega_0</math>), entonces <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, y la aplicación del TMC conduciría a valor nulo de las dos componentes de momento <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En otras palabras: si la dirección de la velocidad angular fuese una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']] para el punto '''O''', mantenerla constante sería posible sin necesidad de momento externo.

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras el dedo introduzca una de estas fuerzas, la math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal (sin que aparezca <math>\dth</math>). Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido horario:

:[[Archivo:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar con <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:La ecuación del movimiento es:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, y está claro que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no es una de ellas.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación horaria.

</div>


====✏️ EJEMPLO D7.3: pieza giratoria con partículas====
-----
:
:[[Archivo:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta de un marco sin masa y de dos partículas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\dth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante.

:Diagrama general de interacciones

:Es un sistema del mismo tipo que el del [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']]: tiene dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. El número de ecuaciones que se pueden generar si se aplican los teoremas vectoriales a los dos sólidos es 12: es un problema determinado.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:[[Archivo:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La pieza es el único elemento cuyo movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla. Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], una hoja de ruta adecuada es:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os}</math>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{pieza}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor de inercia en la base B solidaria a la pieza es inmediato:
:[[Archivo:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constante, está contenido en el plano de la pieza, y gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> mientras barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centro de inercia de la pieza se encuentra en la vertical que pasa por '''O''', y por tanto el único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:[[Archivo:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo <math>\Omega_0</math> constante) no es posible porque la dirección de la velocidad angular no es una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']].

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras se introduce una de estas fuerzas, la <math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal. Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido antihorario:

:[[Archivo:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Archivo:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar de acuerdo con la hoja de ruta siguiente: <math>\boxed{\text{Hija de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:La ecuación del movimiento es:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, y es evidente que <math>\theta = 0</math> no es una solución, y que por tanto la pieza necesariamente adquirirá movimiento pendular.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación antihoraria.
</div>



====✏️ EJEMPLO D7.4: bola giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex4-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de masa m y radio r, mantiene contacto puntual sin deslizamiento con el suelo y está articulada a un brazo horizontal. El brazo está articulado a una horquilla que gira con velocidad angular constante bajo la acción de un motor. Brazo y horquilla tienen masa despreciable. El coeficiente de fricción en dirección radial entre bola y suelo es nulo <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Se trata de investigar si la rotación <math>\Omega_0</math> puede provocar la pérdida de contacto entre bola y suelo.

 
 
 
 
 
 
:Descripción cinemática
:El [[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.3 Geometry of the velocity distribution: Instantaneous Screw Axis (ISA)|'''EIRL''']] de la bola respecto al suelo es la recta <math>\Os\Js</math>, y la velocidad angular se puede descomponer en dos rotaciones de Euler:

:[[Archivo:D7-Ex4-2-esp.jpg|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general de interacciones
::[[Archivo:D7-Ex4-3-esp.png|thumb|left|250px|link=]]
:Es un sistema de un GL con 17 incógnitas de enlace. Al contener 3 sólidos rígidos, se trata de un problema determinado:

:(17 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas 
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math>= 18 ecuaciones

:La descripción del sistema se puede aligerar si se trata el brazo como [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''SAE''']], ya que no tiene masa y solo está sometido a interacciones de enlace:

:[[Archivo:D7-Ex4-4-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:El número de incógnitas de enlace asociado al enlace indirecto entre bola y horquilla a través del brazo es 4, ya que la bola tiene dos rotaciones independientes <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecto a la horquilla. El problema sigue siendo determinado:

:(11 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas 
:2 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math> = 12 ecuaciones

:Hoja de ruta para estudiar la pérdida de contacto
:La pérdida de contacto implica la supresión del enlace entre bola y suelo, por tanto la anulación de la fuerza normal N que el suelo ejerce sobre la bola. Los dos sistemas a los que se pueden aplicar los teoremas vectoriales para calcular la N son: bola, bola + (brazo) + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex4-5-esp.png|thumb|center|510px|link=]]

:La mejor opción es aplicar teoremas vectoriales a la bola, ya que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la bola son:

:[[Archivo:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', las fuerzas de enlace asociadas a la articulación con la horquilla no aparecerán, y los únicos momentos en dirección perpendicular al dibujo estarán asociados al peso y a la N. Por tanto:
:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (bola), TMC en } \Os]_{\perp\text{ al dibujo}}}</math>

:El momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se puede calcular a partir del tensor de inercia en '''O''' (ya que '''O''' es un punto fijo a la bola) o por descomposición baricéntrica. En este último caso, ya que la bola es rotor esférico en <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> es paralelo a la velocidad angular de la bola:

:[[Archivo:D7-Ex4-7-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Las dos componentes son constantes en valor, pero la componente horizontal cambia de dirección a causa de la rotación vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibujo}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La fuerza normal aumenta con la velocidad angular, y por tanto el contacto con el suelo se mantiene siempre.

:Alternativa:

:Si el cálculo de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se hace a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> y la derivada se hace de manera analítica:

:[[Archivo:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex5-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:La anilla, de masa m y radio R, gira con velocidad angular <math>\dot\varphi_0</math> constante respecto a la horquilla (de masa despreciable) impulsada por un motor que tiene el estátor (P1) articulado a la horquilla, y el rotor (P2) solidario a la anilla. La horquilla puede girar respecto al suelo con velocidad angular <math>\dot\psi</math>. Inicialmente, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Se trata de investigar cómo evoluciona esta condición inicial, si el deslizamiento entre anilla y suelo desaparecerá en algún momento, y el valor del par motor que garantiza <math>\dot\varphi_0</math> constante mientras hay deslizamiento.

:Descripción cinemática y diagrama general de interacciones
:Para el movimiento más general cuando aún hay deslizamiento, <math>\dot\varphi_0</math> y <math>\dot\psi</math> son independientes, y la descripción de velocidades del sistema y el DGI ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#✏️ EJEMPLO D3.18: actuador rotacional entre dos sólidos|'''ejemplo D3.18''']]) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-2-esp.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anilla} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:En cuanto a la descripción dinámica, hay dos opciones según si se consideran los enlaces directos entre la horquilla y el estátor del motor (P1), y el estátor (P1) y el rotor (P2, solidario a la anilla) (opción 1), o si se trata el enlace indirecto entre horquilla y anilla (opción 2) ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.6 Interacciones a través de actuadores lineales y rotacionales|'''secció D3.6''']]):

:[[Archivo:D7-Ex5-3-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, el problema es determinado:

:Opción 1: (16 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas, 3 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 ecuaciones

:Opción 2: (10 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas, 2 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 ecuaciones

:<big>'''OPCIÓN 1'''</big>
:En esta opción, el DGI se puede aligerar si se trata la horquilla como SAE (ya que tiene masa nula y solo está sometido a interacciones de enlace). El enlace indirecto entre P1 y el techo (suelo) introduce 4 incógnitas, ya que permite dos rotaciones independientes entre los dos:

:[[Archivo:D7-Ex5-4-esp.png|thumb|center|350px|link=]]

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Tanto la anilla como el estátor (P1) tienen un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay tres opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, P1, anilla+P1.

:[[Archivo:D7-Ex5-5-esp.png|thumb|center|690px|link=]]

:La mejor opción es (anilla+P1). La caracterización del enlace indirecto entre P1 y techo es inmediata: ya que permite dos rotaciones independientes en direcciones 2 y 3 de P1 respecto al suelo, el torsor contendrá tres componentes de fuerza y una de momento (en dirección 1). Las interacciones externas al sistema (anilla+P1) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', se evitan las tres fuerzas de enlace asociadas al enlace indirecto entre P1 y techo, y solo aparecerán dos incógnitas de enlace <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. Al no haber ninguna componente libre de incógnitas de enlace, habrá que trabajar en principio con las tres para llegar a la ecuación del movimiento.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla+P1), TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético se puede calcular a partir del tensor en '''O''' porque '''O''' es fijo a la anilla:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anilla}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anilla}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math>{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = \left(\mat{\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2} + \mat{0}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}
</math>

:<math>{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{0}{9\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{-2\dot\varphi_0}{0}{9\dot\psi} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}
</math>

:Los momentos externos en '''O''' provienen del peso, de las fuerzas en '''J''' y del momento <math>\Ms_1</math> asociado al enlace indirecto entre P1 y suelo:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs}</math>

:La segunda componente conduce a <math>\Ns = \ms\gs+\frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>, y sustituyendo en la tercera se obtiene la ecuación del movimiento: <math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2}{9}\mu\left(2\frac{\gs}{\rs}+\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>.

:En el instante inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{4}{9}\mu\frac{\gs}{\rs}>0</math>, y por tanto la velocidad angular <math>\dot\psi</math> crece, cosa que hace aumentar la fuerza normal. Esto es indicativo de que no hay riesgo de que se pierda el contacto en '''J'''.

:Cuando <math>\dot\psi</math> llega al valor <math>(\dot\varphi_0/2)</math>, el deslizamiento en '''J''' desaparece:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{anilla}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0</math>

:A partir de este momento, el sistema pasa a tener solo 1 GL, pero el número de incógnitas aumenta, ya que en '''J''' aparecen dos componentes más de fuerza de enlace (además de la N): el problema pasa a ser indeterminado.

:Hoja de ruta para el par motor

:Ya que el par motor actúa entre P1 y la anilla, las dos opciones de sistema para aplicar los teoremas vectoriales son: anilla, P1. Puesto que la ecuación del movimiento para la <math>\psi</math> y la fuerza normal ya se han determinado, el número de incógnitas en estos dos casos es:

:[[Archivo:D7-Ex5-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:La mejor opción, pues, es aplicar teoremas a la anilla. Las interacciones externas sobre este sólido son:

:[[Archivo:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La componente 1 del TMC en '''O''' está libre de incógnitas de enlace (contiene el momento de la fuerza de fricción, pero la N ya no es una incógnita). Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os]_1}</math>

:El momento cinético en '''O''' es el de la anilla, y su derivada tiene componente 1 nula:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓN 2'''</big>
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Solo la anilla tiene un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay dos opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, anilla+horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex5-9-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:Las dos opciones parecen equivalentes. Para escoger una, hay que analizar las interacciones externas que actúan sobre cada uno de los dos sistemas:

:[[Archivo:D7-Ex5-10-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, si se aplica el TMC en '''O''' se evitan tres componentes de fuerza de enlace, pero en la dirección 1 (que es donde puede aparecer la <math>\ddot\varphi</math>) hay siempre un momento (el par motor en un caso, o el <math>\Ms_1</math> entre techo y horquilla en el otro). Tanto si se escoge un sistema como otro, habrá que trabajar en principio con más de una componente del TMC para llegar a la ecuación del movimiento. A continuación se consideran las dos opciones.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético en '''O''' y su derivada son los mismos que se han calculado en la opción 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Los momentos externos en O provienen del peso, de las fuerzas en J, del par motor y del momento <math>\Ms_3</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segunda componente da el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. Al ser siempre positivo, el contacto en '''J''' está asegurado.

:La primera componente da el par motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Pero en la tercera, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de <math>\Ms_3</math>. Por tanto, esta opción no parece adecuada.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + horquilla),TMC en }\Os}</math>

:Los momentos externos son distintos al caso anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En esta opción, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de N, pero las otras componentes no permiten calcular esta fuerza.

:Ahora bien, si se combinan los resultados para las dos opciones, la ecuación del movimiento es inmediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anilla + horquilla), TMC en }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:El cese del deslizamiento se estudia exactamente igual que en la opción 1.



====✏️ EJEMPLO D7.6: péndulo anular giratorio====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex6-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta de una anilla, de masa m y radio R, unida a un brazo que está articulado a un soporte. El soporte puede deslizar a lo largo de una guía lisa. Un muelle lineal de constante k conecta soporte y guía. El conjunto gira alrededor de la vertical con velocidad angular constante <math>\dot\psi_0</math> bajo la acción de un motor. La masa de todos los elementos, salvo la anilla, es despreciable. Se trata de buscar las ecuaciones del movimiento y estudiar las posibles configuracion es de equilibrio.

:Descripción cinemática
:[[Archivo:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:Es un sistema de 3 GL: el movimiento pendular <math>\dot\theta</math>, el movimiento del soporte respecto a la guía (que denominaremos <math>\dot\xs</math>) y la rotación vertical forzada <math>\dot\psi_0</math>.

:El movimiento del centro de la anilla '''G''' respecto al suelo se puede determinar a través de una doble composición:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guía} \\
\text{AB: soporte}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guía}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex6-3-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema es determinado:

:(15 inc. de enlace, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sólidos}}</math> = 18 ecuaciones
 
 
 
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math>

:El movimiento de la anilla es el único que depende de <math>\ddth</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, anilla+soporte+guía.

:[[Archivo:D7-Ex6-4-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opción es la menos adecuada. En cuanto a las otras dos, las interacciones externas a tener en cuenta son:

:[[Archivo:D7-Ex6-5-esp.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''' a la anilla, la componente 1 está libre de incógnitas de enlace, y es precisamente en esta dirección en donde aparece la velocidad angular <math>\dth</math> (y, por tanto, el cambio de su valor <math>\ddth</math>). En la opción (anilla+soporte), esta componente incluye un momento de enlace. Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ya que el punto '''O''' se mueve respecto al suelo: <math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Por otro lado, '''O''' es un punto fijo a la anilla: <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalmente: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Esta ecuación del movimiento incluye también la variable <math>\ddot\xs</math>. Esto quiere decir que los grados de libertad <math>\dth</math> y <math>\dot\xs</math> están '''acoplados''': aunque el movimiento empiece con unas condiciones iniciales que solo son no nulas para uno de ellas, el otro puede aparecer.

:La componente 1 del TMC en '''O''' para el sistema anilla es la única donde aparecen <math>\dth</math> y <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, la otra ecuación del movimiento no se puede determinar con ninguna de las otras dos componentes.

La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada x 

:El movimiento de la anilla y el del soporte dependen de <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, soporte, soporte+guía, anilla+soporte+guia. Ya que se ha determinado la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ya no es una incógnita.

:[[Archivo:D7-Ex6-6-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex6-7-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:Como antes, las mejores opciones son las dos primeras. La primera ya se ha utilizado, por tanto aplicaremos los teoremas a la segunda. A partir de la representación de las interacciones externas que actúan sobre el sistema (anilla+soporte), se ve que la componente vertical (dirección 3’) del TCM estará libre de incógnitas de enlace. Por tanto: <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + soporte), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Cálculo de la aceleración de '''G''':

:'''Opción 1''': por derivación de la velocidad descrita anteriormente, ya que corresponde a una configuración general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opción 2''': por cinemática del sólido rígido.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anilla} \\
\Os\in\text{anilla}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anilla}{T}\times\velang{anilla}{T}\times\OGvec + \accang{anilla}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anilla}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:La aceleración angular <math>\accang{anilla}{T}</math> proviene del cambio de valor y de dirección de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anilla}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulación de la fuerza del muelle

:[[Archivo:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translación vertical del soporte <math>(\dot\xs)</math> está asociado a la variación de una coordenada x cuyo origen aun no se ha definido. Es habitual escoger el origen de las coordenadas de manera que coincidan con configuraciones de equilibrio.

:Si se toma <math>\xs=0</math> para el equilibrio en ausencia de rotación <math>\dot\psi_0</math>, está claro que el muelle tendrá que ejercer una fuerza <math>\Fs_0</math> de atracción sobre el péndulo para contrarrestar el peso: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulación general de la fuerza de atracción del muelle será pues: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ya que el movimiento <math>\dot\xs</math> se ha definido positivo hacia abajo, un aumento de <math>\xs</math> implica un aumento de longitud del muelle. Por tanto: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentarios sobre el acoplamiento de los dos GL

:Las condiciones iniciales <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> con las que se pone en marcha el movimiento determinan los GL que aparecerán.

:Una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no conseguirá nunca hacer aparecer el movimiento pendular, ya que las ecuaciones para el instante inicial son:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En cambio, una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movimiento vertical <math>\dot\xs</math>, ya que la ecuación que gobierna la <math>\dot\xs</math> para el instante inicial es:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio estático
:Las configuraciones de equilibrio estático (las que corresponden a tener el sistema completamente parado, con <math>\dot\psi_0 = 0</math>) se obtienen de las ecuaciones del movimiento imponiendo <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si consideramos una pequeña perturbación de estas configuraciones de equilibrio <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, las ecuaciones se pueden [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|'''linealizar''']]. Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, se trata de una configuración '''ESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, se trata de una configuración '''INESTABLE'''.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio en rotación

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, para <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> la ecuación del movimiento para la x no cambia (por tanto, <math>\xs_\text{eq}=0</math> es estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), pero la de la <math>\theta</math> tiene un terme adicional, y aparecen dos familias de configuraciones de equilibrio:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:Sin embargo, la segunda familia solo existe por encima de un valor crítico de <math>\dot\psi_0^2</math> ya que la función <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> está acotada entre -1 y +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealización de la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math> conduce a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuración es '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> y <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuración es '''INESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, la ecuación del movimiento linealizada para la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuración és '''INESTABLE''' para cualquier valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:El estudio de las configuraciones <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> se hace de manera análoga, pero es mucho más largo. Por este motivo, no se hace.



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<center>
[[D6. Ejemplos de dinámica 2D|<<< D6. Ejemplos de dinámica 2D]]

[[D8. Conservaciones|D8. Conservaciones >>>]]

</center>

C2. Movimiento de un sistema mecánico

2026-03-03T19:50:20Z

Eantem: /* 3. Determina la velocidad y la aceleración del punto G de la placa respecto al suelo. */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\boldsymbol\alpha}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textrm{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{x}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\dth}{\dot\theta}
\newcommand{\ddth}{\ddot\theta}
\newcommand{\sth}{\sin{\theta}}
\newcommand{\cth}{\cos{\theta}}
\definecolor{blau}{RGB}{39, 127, 255}
\definecolor{verd}{RGB}{9, 131, 9}
</math>
==C2.1 Velocidad de una partícula==

La '''velocidad de una partícula''' <math>\Qs</math> (o de un punto que pertenece a un sólido) '''respecto a una referencia R''', <math>\vvec_{\Rs}(\Qs)</math>, es el cambio del vector de posición a lo largo del tiempo. Matemáticamente, es la derivada temporal de un vector de posición (relativo a R). Dos vectores de posición distintos (<math>\overline{\Or\Qs}</math>, <math>\overline{\Os'_\Rs\Qs}</math>) dan lugar a la misma velocidad porque los puntos <math>\Os_\Rs</math> y <math>\Os'_\Rs</math> son fijos entre sí y fijos a la referencia, y por tanto <math>\overline{\Os_\Rs\Os'_\Rs}</math> es constante en R:

<center>
<math>
\vvec_\Rs(\Qs) = \dert{\vec{\Os_{\Rs}\Qs}}{R} =
\dert{\vec{\Os_{\Rs}\Os_{\Rs}'}}{R} + \dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R} =
\dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R}
</math>
</center>

Es importante recordar que la derivada de un vector depende de la referencia en la que se evalúa. Por eso, en las ecuaciones anteriores se especifica la referencia en la que se deriva mediante un subíndice R.

La [[Cálculo vectorial#V.2 Operaciones con vectores con representación geométrica|'''derivación temporal de un vector respecto a una referencia R''']] evalúa el cambio de las características del vector (dirección y valor) entre dos instantes consecutivos muy cercanos, separados por un diferencial de tiempo. Por tanto, la velocidad <math>\vvec_\Rs(\Qs)</math> es distinta de cero cuando el valor del vector de posición, o su dirección o ambas cosas cambian.

====✏️ EJEMPLO C2-1.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico====
---------

::La plataforma (RP) gira alrededor de un eje perpendicular al suelo (R). El movimiento de un punto <math>\Qs</math> de la periferia de la plataforma es distinto según si se observa desde el suelo o desde la plataforma.

[[Archivo:C2-Ex1-1-1-neut.png|thumb|center|350px|link=]]

::El centro de la plataforma (<math>\Os</math>) es fijo a ambas referencias. Por tanto, <math>\vec{\Os\Qs}</math> es un vector de posición para el punto <math>\Qs</math> tanto en la referencia R como en la referencia RP. Es evidente que <math>\vvec_\Rs(\Qs)\neq \vec{0}</math> y <math>\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)= \vec{0}</math>, aunque el vector que se deriva es el mismo.
::Ya que <math>\abs{\OQvec}</math> es el radio r de la plataforma, tiene valor constante. Por tanto, la derivada de <math>\abs{\OQvec}</math> en cualquier referencia sólo puede estar asociada a un cambio de dirección.
::Para evaluar el cambio de orientación de <math>\abs{\OQvec}</math> respecto al suelo o a la plataforma, hay que definir un ángulo entre una recta fija a la referencia (recta de “salida”) y el vector <math>\OQvec</math> (recta de “llegada”). Para que quede clara la recta origen, representamos la recta de “salida” como la dirección del brazo de un observador situado en la referencia (y, por tanto, que no se mueve respecto a ella).

:[[Archivo:C2-Ex1-1-2-neut.png|thumb|center|450px|link=]]

<center>
<math>\psi(t)\neq\psi(t+dt) \implies \OQvec</math> cambia de dirección respecto a R <math>\implies \textcolor{blau}{\vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{blau}{) \neq \vec{0}}</math>
</center>

::De acuerdo con lo que se ha visto en la [[Cálculo vectorial#V.1 Representación geométrica de un vector|'''sección V.1''']], <math>\textcolor{blau}{\vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{blau}{)}</math> es perpendicular a <math>\OQvec</math>, y su valor es el módulo de <math>\OQvec(\textrm{r})</math> por la velocidad de cambio de orientación de <math>\OQvec</math> respecto a R <math>(\dot{\psi})</math>:

[[Archivo:C2-Ex1-1-3-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>
Velocidad de <math>\Qs</math> relativa a la plataforma (RP):
</center>
[[Archivo:C2-Ex1-1-4-neut.png|thumb|center|450px|link=]]

<center>
<math>\psi(t)=\psi(t+dt) \implies \OQvec</math> no cambia de dirección respecto a RP <math>\textcolor{verd}{\implies \vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{verd}{) = \vec{0}}</math>
</center>

<div>
=====EJEMPLO C2-1.1: plataforma giratoria; cálculo analítico ➕=====

::Las dos bases vectoriales lógicas para hacer los cálculos son:

:::* Base B (1,2,3) fija respecto a R (y por tanto móvil en RP): <math>\velang{B}{R}=\vec{0},\velang{B}{RP}= -\vec{\dot{\psi}}</math>
:::* Base B' (1',2',3') fija respecto a P (y por tanto móvil en R): <math>\velang{B'}{RP}=\vec{0},\velang{B'}{R} = \vec{\dot{\psi}}</math>

[[Archivo:C2-Ex1-1-5-neut.png|thumb|200px|right|link=]]
::Proyección del vector de posición <math>\OQvec</math> en las dos bases:

<center>
<math>\braq{\OQvec}{B}=\vector{rcos\psi}{rsin\psi}{0}, \: \: \braq{\OQvec}{B'}=\vector{r}{0}{0}</math>
</center>

::Velocidad de <math>\Qs</math> respecto a R:

<center>
<math>
\braq{\vvec_\Rs(\Qs)}{B} = \braq{\dert{\OQvec}{R}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B} = \vector{-r\dot \psi sin\psi}{r\dot{\psi} cos\psi}{0}
</math>

<math>
\braq{\vvec_\Rs(\Qs)}{B'}=\braq{\dert{\OQvec}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B'}=\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B'}=\vector{0}{0}{\dot\psi} \times \vector{r}{0}{0}= \vector{0}{r\dot\psi}{0}
</math>
</center>

::Velocidad de <math>\Qs</math> respecto a RP:
<center>
<math>
\braq{\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)}{B} =\braq{\dert{\OQvec}{RP}}{B}= \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B}+\braq{\velang{B}{RP}\times \OQvec}{B}=\vector{-r\dot\psi sin\psi}{r\dot\psi cos\psi}{0}+ \vector{0}{0}{-\dot\psi}\times\vector{rcos\psi}{rsin\psi}{0}= \vector{0}{0}{0}
</math>
<math>
\braq{\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)}{B'} =\braq{\dert{\OQvec}{RP}}{B'}= \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{RP}\times \OQvec}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'} = \vector{0}{0}{0}
</math>
</center>
</div>

====✏️ EJEMPLO C2-1.2: péndulo de Euler; cálculo geométrico====
------------

::El extremo <math>\Qs</math> del [[C1. Configuración de un sistema mecánico#✏️ Ejemplo C1-5.4: péndulo de Euler|'''péndulo de Euler''']] describe un movimiento circular respecto al bloque. La velocidad asociada <math>\vel{Q}{BL} = \dert{\vecbf{CQ}}{BL}</math> se obtiene de manera análoga al ejemplo anterior.

[[Archivo:C2-Ex1-2-1-neut.png|thumb|center|300px|link=]]

::El ángulo <math>\psi</math> orienta la barra tanto respecto al bloque como respecto al suelo, ya que su origen (recta vertical) tiene orientación constante en ambas referencias.
::La velocidad de <math>\Qs</math> respecto al suelo se puede obtener derivando el vector <math>\vec{\Or\Qs} (=\vec{\Or\Cbf}+\vecbf{CQ})</math> respecto al suelo:

<center>
<math>
\vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R}+ \dert{\vec{\Cbf\Qs}}{R}
</math>
</center>

::El vector <math>\vec{\Or\Cbf}</math> tiene dirección constante en R pero valor variable, por tanto su derivada es paralela a <math>\vec{\Or\Cbf}</math> y de valor <math>\dot x</math>. El vector <math>\vec{\Cbf\Qs}</math>, en cambio, tiene valor constante pero dirección variable. Por tanto, su derivada es perpendicular a <math>\vec{\Cbf\Qs}</math>, y su valor es el módulo de <math>\vec{\Cbf\Qs}</math> por la velocidad de cambio de orientación de <math>\vec{\Cbf\Qs}</math> respecto a R (<math>\dot\psi</math>):

[[Archivo:C2-Ex1-2-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]

::La dirección de <math>\vel{Q}{R}</math> no es ninguna de les direcciones asociadas al sistema (ni la vertical, ni la horizontal, ni paralela a la barra ni perpendicular a la barra). Por este motivo, es mejor dejarla dibujada como suma de los dos términos <math>\dot x</math> y <math>L\dot\psi</math>, cuyas direcciones sí corresponden a una de estas direcciones singulares.

::Es interesante ver que el primer término de la expresión <math>\vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R}+\dert{\vecbf{CQ}}{R}</math> corresponde a la velocidad de <math>\Cs</math> respecto al suelo <math>\left(\vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R} \right)</math>, mientras que el segundo no tiene interpretación física: el punto <math>\Cs</math> no es fijo a R, y por tanto no es un vector de posición en esta referencia.

<div>
=====EJEMPLO C2-1.2: péndulo de Euler; cálculo analítico ➕=====
::Las dos bases vectoriales lógicas para hacer los cálculos son:

[[Archivo:C2-Ex1-2-3-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:::* Base B (1,2,3) fija respecto a R y BL: <math>\Omegavec_\Rs^\Bs=\vec{0},\Omegavec_{\Bs\Ls}^\Bs = \vec{0}</math>
:::* Base B' (1',2',3') fija respecto a la barra, y por tanto móvil en R y BL: <math>\velang{P}{B'}=\vec{0}</math>, <math>\velang{RL}{B'} = -\vec{\dot{\psi}}</math>

::Proyección del vector de posición <math>\OQvec</math> en las dos bases:
::<math>\braq{\OQvec}{B} = \vector{x+\Ls \sin{\psi}}{\Ls \cos{\psi}}{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:</math>, <math>\braq{\OQvec}{B'} = \vector{\Ls+x \sin{\psi}}{x\cos{\psi}}{0}</math>

::Velocidad de <math>\Qs</math> respecto a R:
<center>
<math>\braq{\vel{Q}{R}}{B} = \braq{\dert{\OQvec}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B} = \vector{\dot x+\Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls\dot\psi sin\psi}{0}</math>
<math>\braq{\vel{Q}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'} + \braq{\velang{B'}{R} \times \OQvec}{B'} = \vector{\dot x sin\psi+\ x\dot\psi cos\psi}{\dot x cos\psi - x \dot\psi sin \psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{\Ls+x sin\psi}{x cos\psi}{0}=\vector{\dot x sin \psi}{\dot x cos\psi + \Ls\dot\psi}{0}
</math>
</center>
::Si se quiere calcular la velocidad de <math>\Qs</math> respecto a BL, el vector de posición a derivar es <math>\vecbf{CQ}</math>:
<center><math>
\braq{\vecbf{CQ}}{B} = \vector{\Ls sin \psi}{-\Ls \cos{\psi}}{0}, \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \braq{\vecbf{CQ}}{B'}=\vector{\Ls}{0}{0}
</math></center>
</div>

---------
---------

==C2.2 Aceleración de una partícula==

La '''aceleración de una partícula''' <math>\Qs</math> (o de un punto que pertenece a un sólido) '''respecto de una referencia R''', <math>\acc{Q}{R}</math>, es el cambio de la velocidad a lo largo del tiempo:
<center>
<math>\acc{Q}{R} = \dert{\vel{Q}{R}}{R}</math>
</center>

====✏️ EJEMPLO C2-2.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico====
------


::En el movimiento circular del punto <math>\Qs</math> de la plataforma respecto al suelo ([[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-1.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico|'''ejemplo C2-1.1''']]), la aceleración proviene tanto del cambio de valor como del cambio de orientación de <math>\vel{Q}{R}</math>. Al ser <math>\vel{Q}{R}</math> permanentemente perpendicular a <math>\OQvec</math>, su ritmo de cambio de orientación es <math>\dot\psi</math>, el mismo que el de <math>\OQvec</math>:
[[Archivo:C2-Ex2-1-esp.png|thumb|center|450px|link=]]
::La dirección de <math>\acc{Q}{R}</math> no es ninguna de las direcciones asociadas al sistema (ni la radial, ni la perpendicular al radio). Por este motivo, es mejor dejarla dibujada como suma de los dos términos <math>\rs\ddot\psi</math> y <math>r\dot\psi^2</math>, cuyas direcciones sí corresponden a una de estas direcciones singulares.

<div>
=====EJEMPLO C2-2.1: plataforma giratoria; cálculo analítico ➕=====
::Las bases B y B’ son las mismas del [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️EJEMPLO C2-1.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico|'''ejemplo C2-1.1''']].
<center><math>
\braq{\acc{Q}{R}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B} = \vector{-\rs \ddot\psi sin\psi - \rs \dot\psi^2cos\psi}{\rs\ddot\psi cos\psi - \rs \dot\psi^2sin\psi}{0}
</math>
<math>
\braq{\acc{Q}{R}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'} + \braq{\velang{B'}{R} \times \vel{Q}{R}}{B} = \vector{0}{\rs\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi} \times \vector{0}{\rs\dot\psi}{0} = \vector{-\rs\dot\psi^2}{\rs\ddot\psi}{0}
</math>
</center>
</div>

====✏️ EJEMPLO C2-2.2: péndulo de Euler; cálculo geométrico====
------

::El cálculo de la aceleración de <math>\Qs</math> respecto al suelo (R) es laborioso porque la velocidad <math>\vel{Q}{R}</math> proviene de la suma de dos términos: <math>\vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R} + \dert{\vecbf{CQ}}{R}</math>.
:::* <math>\dert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R}</math>: dirección constante (horizontal), valor <math>(\dot x)</math> variable. Su derivada <math>\ddert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R}</math> , pues, será horizontal y de valor <math>\ddot x</math>.
:::* <math>\dert{\vecbf{CQ}}{R}</math>: dirección perpendicular a la barra y por tanto variable; valor <math>\Ls\dot\psi</math> variable. Su derivada <math>\ddert{\vecbf{CQ}}{R}</math> , pues, tendrá una parte perpendicular a <math>\dert{\vecbf{CQ}}{R}</math> (y por tanto paralela a la barra) de valor <math>\Ls\dot\psi\cdot\dot\psi</math> , y una parte paralela a <math>\dert{\vecbf{CQ}}{R}</math> (y por tanto perpendicular a la barra) de valor <math>\Ls\ddot\psi</math>.

[[Archivo:C2-Ex2-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
<div>
=====EJEMPLO C2-2.2: péndulo de Euler; cálculo analítico ➕=====
::Las bases B y B’ son las mismas del [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-1.2: péndulo de Euler; cálculo geométrico|'''ejemplo C2-1.2''']].

::Aceleración de <math>\Qs</math> respecto a BL:
<center>
<math>\braq{\acc{Q}{BL}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B} = \vector{\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls \dot\psi^2 sin\psi}{\Ls \ddot\psi sin\psi +\Ls \dot\psi^2 cos\psi}{0}</math>

<math>\braq{\acc{Q}{BL}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B'}+ \braq{\velang{B'}{BL}\times \OQvec}{B} = \vector{0}{\Ls\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{0}{\Ls\dot\psi}{0} = \vector{-\Ls\dot\psi^2}{\Ls\ddot\psi}{0}</math>
</center>
::Aceleración de <math>\Qs</math> respecto a R:
<center>
<math>
\braq{\acc{Q}{R}}{B}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B}=\vector{\ddot x+\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls\dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi+\Ls\dot\psi^2cos\psi}{0}
</math>
<math>
\braq{\acc{Q}{R}}{B'}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B}=\vector{\ddot x sin\psi+\dot x\dot\psi cos\psi}{\ddot x cos\psi-\dot x\dot\psi sin\psi +\Ls\ddot\psi}{0}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot x sin\psi}{\dot x cos\psi+\Ls\dot\psi}{0}=\vector{\ddot x sin\psi - \Ls \dot\psi^2}{\ddot x cos\psi+\Ls\ddot\psi}{0}
</math>
</center>

</div>

---------
---------

==C2.3 Direcciones intrínsecas. Componentes intrínsecas de la aceleración==
Un simple dibujo pone de manifiesto que la velocidad de un punt <math>\Qs</math> relativa a una referencia R es siempre tangente a la trayectoria que describe en R ('''Figura C2.1'''). Su dirección es la '''dirección tangencial'''.

[[Archivo:C2-1-esp.png|thumb|center|375px|link=|]]
<center>'''Figura C2.1''' El vector de velocidad siempre es tangente a la trayectoria</center>

En un caso general, la velocidad <math>\vel{Q}{R}</math> cambia tanto de valor como de dirección. Por tanto, la aceleración <math>\acc{Q}{R}</math> tiene dos componentes, una asociada al cambio de valor (paralela a <math>\vel{Q}{R}</math>) y otra asociada al cambio de dirección (ortogonal a <math>\vel{Q}{R}</math>). Estas componentes son las '''componentes intrínsecas de la aceleración''', y se denominan '''componente tangencial''' <math>\accs{Q}{R}</math> y '''componente normal''' <math>\accn{Q}{R}</math>, respectivamente:

<center>
<math>\acc{Q}{R}=\accs{Q}{R}+\accn{Q}{R}</math>
</center>

Para el caso del movimiento circular [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-2.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico|'''ejemplo C2-2.1''']], la componente tangencial es perpendicular al radio, y la normal es paralela al radio y dirigida hacia el centro de la trayectoria ('''Figura C2.2'''):
[[Archivo:C2-2-neut.png|thumb|center|275px|link=]]
<center>'''Figura C2.2''' Componentes intrínsecas de la aceleración en el movimiento circular</center>
Este resultado se puede utilizar localmente para cualquier otro movimiento. Efectivamente, así como el cálculo de la velocidad de un punto <math>\Qs</math> respecto a una referencia R (<math>\vel{Q}{R}</math>) se basa en dos vectores de posición consecutivos (o, lo que es el mismo, en dos puntos consecutivos de la trayectoria), el de la aceleración <math>\acc{Q}{R}</math> pide tres:

<center>
<math>\acc{Q}{R}=\dert{\vel{Q}{R}}{R}\simeq\frac{\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm{t+dt})-\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t)}{\Delta \textrm t(\rightarrow0)}\equiv\frac{\Delta\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t)}{\Delta \textrm t(\rightarrow0)}</math>
</center>

El cálculo del vector <math>\Delta\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t)</math> requiere tres puntos consecutivos de la trayectoria (dos para cada velocidad, donde el último punto para calcular <math>\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t)</math> y el primero para calcular <math>\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm{t+dt})</math> son el mismo). Estos tres puntos definen un plano ('''plano osculador'''), y hay un único círculo que puede contener a los tres. En otras palabras: cualquier trayectoria se puede aproximar localmente por un círculo ('''círculo osculador'''). El centro y el radio de este círculo se denominan centro de curvatura y radio de curvatura de la trayectoria de <math>\Qs</math> respecto a R (<math>\textrm{CC}_\textrm{R}(\textbf{Q})</math> y <math>\Re_\textrm{R}(\textbf Q)</math>, respectivamente). Els resultats obtinguts per al [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-2.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico|'''movimiento circular''']] se pueden utilizar localmente para calcular <math>\Re_\textrm{R}(\textbf Q)</math> ('''Figura C2.3''').

[[Archivo:C2-3-esp.png|thumb|center|500px|link=]]

<center>'''Figura C2.3''' Geometría local de la trayectoria de una partícula <math>\Qs</math> respecto a una referencia R</center>
Tanto el radio de curvatura como la posición del centro de curvatura cambian a lo largo de la trayectoria en general. En tramos rectilíneos, al no haber cambio de dirección de la velocidad, la componente normal de la aceleración es cero, y el radio de curvatura se hace infinito.

El '''versor tangencial''' <math>\vecbf{s}</math> (<math>\vecbf{s}=\velo{R}/|\velo{R}|=\accso{R}/|\accso{R}|</math>) y el '''versor normal''' <math>\vecbf{n}</math> (<math>\vecbf{n}=\accno{R}/|\accno{R}|</math>) se pueden completar con un tercer versor <math>\vecbf{b}</math> ortogonal a ambos ('''versor binormal''', <math>\vecbf{b}\equiv\vecbf{s}\times\vecbf{n}</math>), y formar la '''base intrínseca''' o '''base de Frenet''' para el movimiento de <math>\Qs</math> en la referencia R.

====✏️ EJEMPLO C2-3.1: péndulo de Euler====
---------

::En el movimiento circular del extremo <math>\Qs</math> de la [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-1.2: péndulo de Euler; cálculo geométrico|'''barra respecto al bloque''']], las dos componentes intrínsecas de la aceleración <math>\acc{Q}{BL}</math> son distintas de cero. Sus valores y direcciones son las del [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-2.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico|'''movimiento circular''']]:
:::* aceleración tangencial <math> \accs{Q}{BL}</math>: paralela a <math>\vel{Q}{BL}</math> y de valor L<math>\ddot\psi</math>.
:::* aceleración normal <math>\accn{Q}{BL}</math> : perpendicular a <math>\vel{Q}{BL}</math> y de valor L<math>\dot\psi^2</math>.
[[Archivo:C2-Ex3-1-1-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
::Aunque es evidente que el radio de curvatura de la trayectoria de <math>\Qs</math> en la referencia bloque es L (ya que hace un movimiento circular), también se puede obtener como <math>\frac{\vecbf{v}_{\textrm{BL}}^2(\Qs)}{|\accn{Q}{BL}|}=\frac{(\Ls\dot\psi)^2}{\Ls\dot\psi^2}=\Ls</math>.

::La aceleración <math>\acc{Q}{R}</math> se ha descrito en el [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-2.2: péndulo de Euler; cálculo geométrico|'''ejemplo C2-2.2''']] como suma de tres términos (los dos de <math>\acc{Q}{BL}</math> más uno permanentemente horizontal de valor <math>\ddot x</math>). Identificar en este caso cuál es la componente tangencial (paralela a <math>\vel{Q}{R}</math>) y cuál la normal (ortogonal a <math>\vel{Q}{R}</math>) no es inmediato, pues la dirección de <math>\vel{Q}{R}</math> no es ninguna de las direcciones singulares del problema ([[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-1.2: péndulo de Euler; cálculo geométrico|'''ejemplo C2-1.2''']]).
::Esta identificación sí que es inmediata para dos configuraciones particulares para las que la dirección de <math>\vel{Q}{R}</math> (que es la dirección tangencial) es horizontal:
[[Archivo:C2-Ex3-1-2-esp.png|thumb|center|400px|link=]]
::El radio de curvatura del extremo del péndulo respecto al suelo para la configuración <math>\psi=0</math> es:
[[Archivo:C2-Ex3-1-3-esp.png|thumb|center|400px|link=]]
::El centro de curvatura siempre se encuentra por encima de <math>\Qs</math> porque la aceleración normal apunta hacia arriba.
::Casos particulares:
[[Archivo:C2-Ex3-1-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]
::Las líneas circulares discontinuas indican la aproximación de la trayectoria en el entorno de la configuración <math>\psi=0</math> para estos dos casos particulares.

::Aunque es laborioso, es posible calcular <math>\re{Q}{R}</math> para una configuración general recordando que en el producto escalar <math>\vel{Q}{R}\cdot\acc{Q}{R}</math> solo participan las componentes paralelas (y por tanto la <math>\accs{Q}{R}</math>), y en el producto vectorial <math>\vel{Q}{R}\times\acc{Q}{R}</math>, solo las ortogonales (y por tanto la <math>\accn{Q}{R}</math>) [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-3.1: péndulo de Euler|('''ejemplo C2-3.1''']] analítico). El resultado es:

<center><math>\re{Q}{R}=\frac{\textbf{v}_{\Rs}^2(\Qs)}{|\accn{Q}{R}|}=\frac{\left[\dot x^2+\left(\Ls\dot\psi\right)^2+2\Ls\dot x\dot\psi cos\psi\right]^{3/2}}{\left|\Ls(\ddot x\dot\psi-\dot x\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot x cos\psi)\right|}</math></center>

::Cuando se obtienen expresiones complicadas como la anterior, es aconsejable hacer alguna comprobación para asegurar que no hay errores evidentes evitables. Por ejemplo:

:::*Si <math>\dot x=0</math> permanentemente (es decir, <math>\ddot x=0</math>), la trayectoria de <math>\Qs</math> respecto a R es circular de radio L:
:::<math>\re{Q}{R}\big]_{\dot x=0, \ddot x=0}=\frac{\left(\Ls^2\dot\psi^2\right)^{3/2}}{\Ls\dot\psi^2\Ls\dot\psi}=\Ls</math>

:::*Si <math>\dot\psi=0</math> permanentemente (<math>\ddot\psi=0</math>), la trayectoria de <math>\Qs</math> respecto a R es rectilínea, y el radio de curvatura ha de ser infinito:

:::<math>\re{Q}{R}\big]_{\dot\psi=0, \ddot\psi=0}=\frac{(\dot x^2)^{3/2}}{0}\rightarrow\infty</math>
<div>

=====EJEMPLO C2-3.1: péndulo de Euler; ➕=====
::Las bases B y B’ son las mismas del [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-2.1: plataforma giratoria; cálculo geométrico|'''ejemplo C2-2.1''']].

::Aceleración de <math>\Qs</math> respecto a BL:
<center>
<math>\braq{\acc{Q}{BL}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B} = \vector{\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls \dot\psi^2 sin\psi}{\Ls \ddot\psi sin\psi+\Ls \dot\psi^2 cos\psi}{0}</math>

<math>\braq{\acc{Q}{BL}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B'}+ \braq{\velang{B'}{BL}\times \OQvec}{B} = \vector{0}{\Ls\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{0}{\Ls\dot\psi}{0} = \vector{-\Ls\dot\psi^2}{\Ls\ddot\psi}{0}</math>
</center>
::Aceleración de <math>\Qs</math> respecto a R:
<center>
<math>
\braq{\acc{Q}{R}}{B}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B}=\vector{\ddot x+\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls\dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi+\Ls\dot\psi^2cos\psi}{0}
</math>
<math>
\braq{\acc{Q}{R}}{B'}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B}=\vector{\ddot x sin\psi+\dot x\dot\psi cos\psi}{\ddot x cos\psi-\dot x\dot\psi sin\psi +\Ls\ddot\psi}{0}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot x sin\psi}{\dot x cos\psi+\Ls\dot\psi}{0}=\vector{\ddot x sin\psi - \Ls \dot\psi^2}{\ddot x cos\psi+\Ls\ddot\psi}{0}
</math>
</center>

[[Archivo:C2-Ex3-1-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

::El cálculo del radio de curvatura para la configuración general es laborioso. Como se trata de un movimiento plano, en el que la velocidad y la aceleración solo tienen dos componentes, se omitirá la tercera componente. La base utilizada es la B (pero se puede trabajar también en la base B’).

<center>
<math>
\braq{\vel{Q}{R}}{B} = \vecdosd{\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls \dot\psi sin\psi}, \braq{\acc{Q}{R}}{B} = \vecdosd{\ddot x + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi}
</math>
<math>
\abs{\accn{Q}{R}}=\abs{\acc{Q}{R}\times\frac{\vel{Q}{R}}{\abs{\vel{Q}{R}}}}
</math>
<math>
\abs{\accn{Q}{R}}=\abs{\frac{1}{\sqrt{({\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi)^2+(\Ls \dot\psi sin\psi)^2}}}\vecdosd{\ddot x + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi}\times\vecdosd{\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls\dot\psi sin\psi}}
</math>
</center>
<center>
<math>
\abs{\accn{Q}{R}}=\abs{
\frac
{
(\ddot x + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi)\Ls \dot\psi sin\psi-(\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi)(\dot x + \Ls\dot\psi cos\psi)
}
{
\sqrt{\dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot x\dot\psi cos\psi}
}}
</math>
</center>
<center>
<math>
\abs{\accn{Q}{R}}=
\abs{
\frac
{
\Ls\ddot x\dot\psi sin\psi-\Ls\dot x\ddot\psi sin\psi-L^2\dot\psi^3-\Ls\dot x\dot\psi^2cos\psi
}
{
\sqrt{\dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot x\dot\psi cos\psi}
}
}=
\abs{
\frac
{
\Ls(\ddot x\dot\psi-\dot x\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot x cos\psi)
}
{
\sqrt{\dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot x\dot\psi cos\psi}
}
}
</math>
</center>
<center>
<math>
\Re_\Rs(\Qs)=\frac{\textrm{v}^2_\Rs(\Qs)}{\abs{\accn{Q}{R}}}=
\frac
{
\left( \dot x^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls\dot x\dot\psi cos\psi\right)^{3/2}
}
{
\abs{
\Ls(\ddot x\dot\psi-\dot x\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot x cos\psi)
}
}
</math>
</center>
</div>

---------
---------

==C2.4 Velocidad angular de un sólido rígido==
De la misma manera que la [[C1. Configuración de un sistema mecánico#C1.2 Configuración de un sólido rígido|'''configuración de un sólido rígido''']] S respecto a una referencia R queda definida por la posición de un punto <math>\Qs</math> del sólido y por la orientación de S en R (descrita, por ejemplo, mediante [[C1. Configuración de un sistema mecánico#C1.4 Orientación de un sólido rígido con movimiento en el espacio|'''ángulos de Euler''']]), el cambio de la configuración respecto a R se puede describir mediante la velocidad <math>\vel{Q}{R}</math>, y la '''velocidad angular''' <math>\velang{S}{R}</math> (cambio de orientación a lo largo del tiempo). Cuando la orientación respecto a R se mantiene constante a lo largo del tiempo, se dice que el sólido tiene un movimiento de '''translación''' <math>\left(\velang{S}{R}=0\right)</math>.

===Rotación simple===

La orientación de un sólido rígido que describe un movimiento plano respecto a una referencia R queda definida mediante un único ángulo <math>\psi</math> ([[C1. Configuración de un sistema mecánico#C1.3 Orientación de un sólido rígido con movimiento plano|'''sección C1.3''']]). El cambio de esta orientación implica <math>\dot\psi\neq0</math> .

Dar el valor de <math>\dot\psi</math> <math>[rad/s]</math> no es suficiente para definir cómo cambia de orientación un sólido que describe un movimiento plano.

====✏️ EJEMPLO C2-4.1: rueda con movimiento plano ====
---------

:{|
|-
|
[[Archivo:C2-Ex4-1-1-esp.png|250px|thumb|link=]]
||La rueda describe un movimiento plano respecto a R. Su centro <math>\Cbf</math> es fijo a R, y su orientación cambia a ritmo <math>\dot\psi</math> <math>[rad/s]</math>. Con esta información, no podemos saber qué movimiento está haciendo. Por ejemplo, la información podría corresponder a cualquiera de los dos casos siguientes:
|}
[[Archivo:C2-Ex4-1-2-neut.png|400px|thumb|center|link=]]

:::* Caso (a): ángulo <math>\psi</math> definido en el plano horizontal; el plano del movimiento es horizontal.
:::* Caso (b): ángulo <math>\psi</math> definido en un plano vertical; el plano del movimiento es vertical.
::Si no se dice en qué plano está definido el ángulo (y esto es equivalente a dar una dirección: la perpendicular al plano en cuestión), el movimiento no queda definido.

------------

El movimiento asociado al cambio de orientación, pues, queda definido por el ritmo de cambio del ángulo y por una dirección. El objeto matemático que incorpora estas dos características es un vector. Por tanto, la velocidad angular <math>\velang{S}{R}</math> es un vector. El convenio para asociarle un sentido es la regla del tornillo (o de la mano derecha, o del sacacorchos, [[Cálculo vectorial#V.2 Operaciones con vectores con representación geométrica|'''sección V.2''']])

====✏️ EJEMPLO C2-4.2: rueda con movimiento plano ====
---------

::La velocidad angular asociada a los movimientos (a) y (b) del ejemplo anterior es:
[[Archivo:C2-Ex4-2-1-esp.png|450px|thumb|center|link=]]

-------------

===Rotación en el espacio===
La orientación de un sólido rígido que se mueve en el espacio respecto a una referencia R se puede definir mediante tres [[C1. Configuración de un sistema mecánico#C1.4 Orientación de un sólido rígido con movimiento en el espacio|'''ángulos de Euler''']] <math>(\psi,\theta,\varphi)</math>. A la variación de cada uno de estos ángulos se le puede asociar una velocidad angular.

====✏️ EJEMPLO C2-4.3: giroscopio====
---------
<div>

::La [[C1. Configuración de un sistema mecánico#C1.4 Orientación de un sólido rígido con movimiento en el espacio|'''orientación de un giroscopio''']] respecto al suelo (R) se puede dar mediante tres ángulos de Euler. Las velocidades angulares asociadas a <math>(\dot\psi,\dot\theta,\dot\varphi)</math> tienen las interpretaciones siguientes: <math>\vecdot\psi=\velang{horquilla}{R}</math>, <math>\vecdot\theta=\velang{brazo}{horquilla}</math>, <math>\vecdot\varphi=\velang{volante}{brazo}</math>. La velocidad angular del volante respecto al suelo es la superposición de las tres:

<center><math>\velang{volant}{R} = \velang{volant}{braç} + \velang{braç}{forquilla} + \velang{forquilla}{R} = \vecdot\varphi + \vecdot\theta + \vecdot\psi</math></center>

[[Archivo:C2-Ex4-3-1-esp.png|thumb|400px|center|link=]]
::Estas velocidades angulares se pueden proyectar en cualquiera de las bases vectoriales que sugiere el problema:
:::* Base <math>\Bs_\Rs</math> fija a la referencia
:::* Base <math>\Bs</math> fija a la horquilla (se puede generar a partir de <math>\Bs_\Rs</math> mediante la rotación <math>\dot\psi</math>)
:::* Base <math>\Bs'</math> fija al brazo (se puede generar a partir de B mediante la rotación <math>\dot\theta</math>)
:::* Base <math>\Bs_\textrm{V}</math> fija al volante

[[Archivo:C2-Ex4-3-2-esp.png|thumb|400px|center|link=]]

::Ahora bien, es aconsejable escoger una base donde el número máximo de rotaciones tengan la dirección de uno de los ejes de la base, para evitar tener que proyectar. Ya que los ejes de las tres rotaciones no forman un triedro ortogonal, siempre habrá que proyectar como mínimo una de las velocidades angulares (<math>\vec{\dot{\psi}}, \vec{\dot{\theta}}, \vec{\dot{\varphi}}</math>). Si se escoge adecuadamente la base, se puede conseguir que las velocidades a proyectar esten contenidas en un plano definido por dos ejes de la base, y esto simplifica la operación. Esto lleva a escoger la base B o la B’. Las velocidades angulares que tendrán dos componentes serán <math>\vec{\dot{\varphi}}</math>, cuando se utilice la B, y <math>\vec{\dot{\psi}}</math> cuando se utilice la B’:
::{|
|<math>\braq{\velang{forquilla}{R}}{B}=\vector{0}{0}{\dot\psi}, \braq{\velang{braç}{forquilla}}{B}=\vector{\dot{\theta}}{0}{0}, \braq{\velang{volant}{braç}}{B}=\vector{0}{\dot{\varphi}cos\theta}{\dot{\varphi}sin\theta}</math>

<math>\braq{\velang{forquilla}{R}}{B'}=\vector{0}{\dot{\psi}sin\theta}{\dot{\psi}cos\theta}, \braq{\velang{braç}{forquilla}}{B'}=\vector{\dot{\theta}}{0}{0}, \braq{\velang{volant}{braç}}{B'}=\vector{0}{\dot{\varphi}}{0}</math>
|[[Archivo:C2-Ex4-3-3-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
|}

</div>

De la mismo forma que la orientación del volante respecto al suelo pide los tres ángulos <math>(\psi,\theta,\varphi)</math>, la velocidad angular de un sólido S que se orienta respecto a R mediante <math>(\psi,\theta,\varphi)</math> es la superposición de las tres velocidades angulares asociadas a estas rotaciones simples:

<center><math>\velang{S}{R} = \vecdot\psi + \vecdot\theta + \vecdot\varphi</math></center>

Aunque se trata de una superposición intuitiva, es necesaria una demostración rigurosa. No se incluye aquí pero se puede encontrar en ['''Batlle, J.A., Barjau, A. (2020) chapter 1 in Rigid body kinematics. Cambridge University Press''']. Para el caso del [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-4.3: giroscopio|'''giroscopio''']]:

<center><math>\velang{volante}{R} = \velang{volante}{brazo} + \velang{brazo}{horquilla} + \velang{horquilla}{R} = \vecdot\varphi + \vecdot\theta + \vecdot\psi</math></center>
---------
---------

==C2.5 Aceleración angular de un sólido rígido==

La '''aceleración angular''' de un sólido rígido S respecto a una referencia R (<math>\accang{S}{R}</math>) es la derivada temporal de su velocidad angular respecto a R:

<center><math>\accang{S}{R}= \dert{\velang{S}{R}}{R}</math></center>

La descripción de la velocidad angular <math>\velang{S}{R}</math> puede ser cualquiera (rotaciones alrededor de ejes fijos, rotaciones de Euler...). Cuando el sólido describe un movimiento plano respecto a R, la dirección de su velocidad angular <math>\velang{S}{R}</math> no cambia (es siempre perpendicular al plano del movimiento). Por tanto, la aceleración angular solo proviene del cambio de valor de <math>\velang{S}{R}</math>, y es paralela a <math>\velang{S}{R}</math>. En movimientos generales en el espacio, si <math>\velang{S}{R}</math> se describe mediante rotaciones de Euler, <math>\accang{S}{R}</math> puede provenir del cambio de los valores de (<math>\vecdot\psi</math>, <math>\vecdot\theta</math>,<math>\vecdot\varphi</math>) y del cambio de dirección de <math>\vecdot\theta</math> y <math>\vecdot\varphi</math> (<math>\vecdot\psi</math> es siempre de dirección constante respecto a R).

==== ✏️ EJEMPLO C2-5.1: giroscopio; cálculo geométrico====
---------
<div>

::La horquilla de un [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ EJEMPLO C2-4.3: giroscopio|'''giroscopio''']] tiene movimiento plano respecto al suelo (R), con velocidad angular <math>\velang{horquilla}{R}=\vecdot\psi</math> vertical. Su aceleración angular es también vertical, de valor <math>\ddot{\psi}: \accang{S}{R}=\vec{\ddot{\psi}}</math>.

::La aceleración angular del volante es más complicada. Se puede obtener mediante la derivación geométrica de <math>\velang{volant}{R}=\vecdot\psi+\vecdot\theta+\vecdot\varphi</math>. La rotación <math>\vecdot\varphi</math> se puede descomponer en una componente vertical de valor <math>\dot\varphi\textrm{sin}\theta</math>, y una horizontal de valor <math>\dot\varphi\textrm{cos}\theta</math>. La componente vertical solo puede cambiar de valor, mientras que la horizontal cambia de valor y de dirección (a causa de <math>\vecdot\psi</math>).

[[Archivo:C2-Ex5-1-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

<center>
{|
|
Derivada de las componentes verticales:

[[Archivo:C2-Ex5-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]

|
:::Derivada de las componentes horizontales:

:::[[Archivo:C2-Ex5-4-neut.png|thumb|center|350px|link=]]
|}</center>

=====CEJEMPLO C2-5.1: giroscopio; cálculo analítico ➕=====
::El mismo resultado se obtiene si la derivada se hace de manera analítica a través de la base vectorial que gira con <math>\vecdot\psi</math> respecto a R o de la que gira con <math>\vecdot\psi+\vecdot\theta</math> (también respecto a R):

<center>
<math>\braq{\velang{volante}{R}}{B}=\vector{\dot\theta}{\dot\varphi \cos{\theta}}{\dot\psi+\dot\varphi \sin{\theta}},</math>          <math>\braq{\accang{volante}{R}}{B}=\braq{\dert{\velang{volante}{R}}{R}}{B}=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}\braq{\velang{volante}{R}}{B}+\braq{\velang{B}{R}\times\velang{volante}{R}}{B}</math>

<math>\braq{\accang{volante}{R}}{B} = \vector{\ddot\theta}{\ddot\varphi \cth-\dot\varphi\dth \sth}{\ddot\psi+\ddot\varphi \sth+\dot\varphi\dth \cth}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot\theta}{\dot\varphi \cth}{\dot\psi+\dot\varphi \sth} = \vector{\ddot\theta-\dot\psi\dot\varphi \cth}{\ddot\varphi \cth-\dot\varphi\dth \sth+\dot\psi\dot\theta}{\ddot\psi+\ddot\varphi \sth+\dot\varphi\dth \cth}</math>

<math>\braq{\velang{volant}{R}}{B'}=\vector{\dot\theta}{\dot\varphi+\dot\psi \sth}{\dot\psi \cth},</math>          <math>\braq{\accang{volante}{R}}{B'}=\braq{\dert{\velang{volante}{R}}{R}}{B'}=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}\braq{\velang{volante}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times\velang{volante}{R}}{B'}</math>

<math>\braq{\accang{volante}{R}}{B'} = \vector{\ddot\theta}{\ddot\varphi+\ddot\psi \sth+\dot\psi\dot\theta \cth}{\ddot\psi \cth-\dot\psi\dot\theta \sth} + \vector{\dth}{\dot\psi\sth}{\dot\psi\cth}\times\vector{\dot\theta}{\dot\varphi+\dot\psi \sth}{\dot\psi \cth} = \vector{\ddth-\dot\psi\dot\varphi\cth}{\ddot\varphi+\ddot\psi \sth+\dot\psi\dth\cth}{\ddot\psi \cth-\dot\psi\dth\sth+\dot\varphi\dth}</math>
</center>

</div>

----------
----------

==C2.6 Cinemática de partícula versus cinemática de sólido rígido==
Partícula (punto) y sólido rígido son dos modelos muy distintos. Desde el punto de vista de la cinemática, el segundo es mucho más rico ya que incluye el concepto de rotación (inexistente en partículas, ya que estas no se pueden orientar porque no tienen dimensiones). A causa de las rotaciones, los puntos de un mismo sólido rígido pueden describir trayectorias distintas.

Es importante tener presente esto para no utilizar erróneamente conceptos que solo se aplican a uno de los dos modelos cuando se habla del otro. Los ejemplos siguientes ilustran algunas afirmaciones erróneas y correctas.

====✏️ EJEMPLO C2-6.1: partícula dentro de una guía circular====
------------

::{|
|[[Archivo:C2-Ex6-1-neut REV01.png|thumb|left|180px|link=]]
|La partícula <math>\Ps</math> gira respecto a R: '''ERRÓNEO'''

El vector <math>\vec{\textbf{OP}}</math> gira respecto a R: '''CORRECTO'''

La partícula <math>\Ps</math> describe una trayectoria circular respecto a R (o tiene un movimiento circular respecto a R): '''CORRECTO'''
|}


====✏️ EJEMPLO C2-6.2: partícula en un plano inclinado====
------------

::{|
|[[Archivo:C2-Ex6-2-neut.png|thumb|left|200px|link=]]
|La partícula <math>\Ps</math> se traslada respecto de R: '''ERRÓNEO'''

La partícula <math>\Ps</math> describe una trayectoria rectilínea respecto a R (o tiene un movimiento rectilíneo respecto a R): '''CORRECTO'''
|}


====✏️ EJEMPLO C2-6.3: rueda en contacto sin deslizar con el suelo y con movimiento plano====
------------

[[Archivo:C2-Ex6-3-neut.png|thumb|center|540px|link=]]
::Los puntos de la rueda giran respecto a R: '''ERRÓNEO'''

::La rueda gira respecto a R: '''CORRECTO'''

::El centro de la rueda se traslada respecto a R: '''ERRÓNEO'''

::El centro de la rueda tiene un movimiento rectilíneo respecto a R: '''CORRECTO'''

<center>'''Un sólido rígido que gira puede tener puntos que describan movimientos rectilíneos.'''</center>


<center><html><iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube-nocookie.com/embed/ED3LXV6JWCA?start=11" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html></center>
<center>'''Vídeo C2.1''' Visualización de las trayectorias de puntos</center>

====✏️ EJEMPLO C2-6.4: movimiento de una noria====
------------

::{|
|[[Archivo:C2-Ex6-4-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
|La anilla gira respecto a R: '''CORRECTO'''

La cabina gira respecto a R: '''ERRÓNEO''' (si despreciamos el movimiento pendular, el suelo y el techo de la cabina siempre son paralelos al suelo, y por tanto no gira).

La cabina se traslada respecto a R: '''CORRECTO'''
|-
|[[Archivo:C2-Ex6-4-2-neut.png|thumb|left|200px|link=]]
|En este caso, todos los puntos de la cabina describen movimientos circulares del mismo radio respecto a R, pero con distintos centros de curvatura.

En un caso como este, se pueden combinar un concepto de cinemática de sólido rígido (translación) con un concepto de cinemática de partícula (movimiento circular) para describir el movimiento de la cabina:

La cabina tiene un movimiento de '''translación circular''' respecto a R.
|}

<center>'''Los puntos de un sólido rígido que se traslada pueden describir movimientos curvilíneos.'''</center>


--------
--------

==C2.7 Grados de libertad==
Tal como se ha visto a través de los diversos ejemplos de esta unidad, las velocidades de los puntos de un sistema mecánico dependen de un conjunto de variables escalares de dimensiones (longitud/tiempo) o (ángulo/tiempo). El conjunto mínimo de variables escalares de este tipo que son necesarias para describir el movimiento del sistema constituye el conjunto de '''grados de libertad''' (GL) del sistema.

Cuando el sistema es un único sólido rígido libre en el espacio (sin contacto con ningún objeto material), el número de GL es 6: tres asociados al movimiento de un punto (por ejemplo, <math>(\dot{\textrm{x}}, \dot{\textrm{y}}, \dot{\textrm{z}})</math>) y tres al cambio de orientación del sólido (por ejemplo, <math>(\dot{\psi}, \dot{\theta}, \dot{\varphi})</math>).

En el contexto de la ingeniería mecánica, los sistemas mecánicos habituales son sistemas multisólido: conjuntos de sólidos rígidos mutuamente [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.8 Enlaces habituales en los sistemas mecánicos|'''enlazados''']] mediante articulaciones, rótulas, juntas diversas... A causa de estos enlaces, el estado mecánico de cada sólido (es decir, su configuración en el espacio y su movimiento) está relacionado con el de los otros: en un sistema multisólido con N sólidos, el número de GL es inferior a 6N.

------------
------------

==C2.8 Enlaces habituales en los sistemas mecánicos==

Un '''enlaze''' restringe el movimiento relativo entre dos sólidos, y por tanto limita el número de grados de libertad de uno respecto del otro. La siguiente tabla recoge los enlaces más habituales.

<center>
{| class="wikitable" style="background-color:white; text-align:left"
|-
|<center>[[Archivo:C2-8-contpuntual.png|thumb|center|175px|link=]]</center>||
'''Con deslizamiento:''' 
Permite tres rotaciones independientes entre los dos sólidos (alrededor de la dirección normal y de las dos tangenciales), y dos translaciones independientes (a lo largo de las dos direcciones tangenciales). 
'''Sin deslizamiento:''' 
Permite tres rotaciones independientes entre los dos sólidos (alrededor de la dirección normal y de las dos tangenciales).

|-
|<center>[[Archivo:C2-8-revolucio-neut.png|thumb|center|220px|link=]]</center>||
'''Enlace de revolución (articulación):''' 
Permite una rotación entre los dos sólidos alrededor del eje 1.
|-
|<center>[[Archivo:C2-8-cilindric-neut.png|thumb|center|220px|link=]]</center>||
'''Enlace cilíndrico:''' 
Permite una rotación entre los dos sólidos alrededor del eje 1, y una translación (desplazamiento sin rotación) a lo largo del eje 1.
|-
|<center>[[Archivo:C2-8-prismatic-neut.png|thumb|center|220px|link=]]</center>||
'''Enlace prismático:''' 
Permite una translación entre los dos sólidos a lo largo del eje 1.
|-
|<center>[[Archivo:C2-8-esferic-neut.png|thumb|center|220px|link=]]</center>||
'''Enlace esférico (rótula esférica):''' 
Permite tres rotaciones independientes entre los dos sólidos alrededor de los ejes 1, 2, 3.
|-
|<center>[[Archivo:C2-8-helicoidal-neut.png|thumb|center|220px|link=]]</center>||
'''Enlace helicoidal (unión roscada):''' 
Permite una rotación entre los dos sólidos alrededor del eje 3; esta rotación provoca un desplazamiento a lo largo del eje 3. La relación entre la rotación y el desplazamiento viene dada por el paso de rosca ''e'' [mm/volta].
|-
|<center>[[Archivo:C2-8-Cardan rev.png|thumb|center|220px|link=]]</center>||
'''Junta Cardan (junta universal):''' 
Permite dos rotaciones independientes entre los sólidos de ejes 1, 3.
|}
</center>

<center><html><iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube-nocookie.com/embed/067F1MQVICs" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html></center>
<center>'''Vídeo C2.2''' Junta Cardan (junta universal)</center>

====✏️ EJEMPLO C2-8.1: giroscopio====
------------
{|:

::En el [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#✏️ Exemple C2-4.3: giroscopi|'''giroscopi''']], el soporte no se mueve respecto al suelo (R). Entre horquilla y soporte, entre brazo y horquilla, y entre volante y brazo hay articulaciones. Va bien representar esto en un diagrama simplificado:
[[Archivo:C2-Ex8-1-esp.png|thumb|center|600px|link=]]

::La posición respecto al suelo del punto <math>\Os</math> no cambia. Por tanto, la configuración del giroscopio queda totalmente definida por los tres ángulos <math>(\psi,\theta,\varphi)</math>: el giroscopio tiene 3 CI respecto al suelo.
::En lo que se refiere a su movimiento, ya que la variación de cualquiera de estos ángulos no implica la de los otros dos, sus evoluciones son independientes: el giroscopio tiene 3 GL respecto al suelo, que se pueden describir como <math>(\dot\psi,\dot\theta,\dot\varphi)</math>.
|}


====✏️ EJEMPLO C2-8.2: triciclo====
------------
{|:

::El triciclo es un sistema de 5 sólidos: el chasis, el manillar y las tres ruedas. No hay ningún elemento fijo al suelo. Entre las ruedas traseras y el chasis, entre el manillar y el chasis, y entre la rueda delantera y el manillar hay articulaciones. Por otro lado, las ruedas tocan al suelo: esto también es una restricción. Si se mueve sobre un terreno plano sin que las ruedas patinen, este contacto se puede idealizar como contacto puntual sin deslizamiento (que haya o no deslizamiento en un contacto es una consecuencia de la dinámica del sistema; en el contexto de la cinemática, esto se formula como hipótesis).
[[Archivo:C2-Ex8-2-1-esp.png|thumb|650px|center|link=]]
[[Archivo:C2-Ex8-2-2-neut.png|thumb|450px|center|link=]]
::Una manera eficaz de determinar el número de GL de un sistema respecto a una referencia es contar cuántos movimientos hay que bloquear para que el sistema quede totalmente en reposo. En el caso del triciclo, si se bloquea el movimiento del punt <math>\Os</math> (que solo puede ser en la dirección longitudinal si las ruedas no patinan), el chasis aun podría pivotar alrededor de un eje vertical que pasase por <math>\Os</math>. Si se bloquea este pivotamiento <math>(\dot\psi=0)</math>, las ruedas traseras ya no es pueden mover, pero el manillar y la rueda delantera podrían pivotar alrededor del eje vertical que pasa por el centro de la rueda <math>(\dot\psi'\neq 0)</math>. Si se bloquea este último movimiento, el triciclo ya no se mueve. Se han bloqueado tres movimientos, por tanto el triciclo tiene 3 GL.

|}


====✏️ EJEMPLO C2-8.3: cáscara esférica sobre una plataforma====
------------
{|:

::El sistema consta de 4 sólidos: la plataforma, el cascarón, el brazo y la horquilla. Entre la plataforma y el suelo, entre el cascarón y el brazo, entre el brazo y la horquilla, y entre la horquilla y el techo (suelo) hay articulaciones. Por otro lado, entre cascarón y plataforma hay un contacto puntual sin deslizamiento.

[[Archivo:C2-Ex8-3-esp.png|thumb|500px|center|link=]]
::Para contar los GL del sistema respecto al suelo (R), procedemos a bloquear movimientos hasta que todo queda en reposo:
:::* bloqueamos la rotación de la plataforma respecto al suelo
:::* bloqueamos la rotación de la horquilla respecto al suelo
::En estas condiciones, aunque la articulación entre cascarón y brazo permite una rotación, esta rotación haría patinar el cascarón sobre la plataforma, y esto va en contra de la hipótesis de que se trata de un contacto sin deslizamiento. Por tanto, el sistema está totalmente parado: tiene 2 GL respecto al suelo.
|}
--------------

<center><html><iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube-nocookie.com/embed/K-xIHJErByk" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html> 
'''Vídeo C2.3''' Grados de Libertad de una rueda con movimiento plano y contacto con el suelo</center>

-------------
-------------

==C2.E Ejemplos generales==
====🔎 EJEMPLO C2-E.1: péndulo giratorio====
---------
::{|:

La placa está articulada en el punto '''O''' a una horquilla, que gira con velocidad angular constante <math>\psio</math> respecto al suelo (T). Entre horquilla y suelo (techo), y entre placa y horquilla hay articulaciones de revolución.

[[Archivo:C2-E.Ex1-1-esp.png|thumb|400px|center|link=]]

=====1. ¿Cuántos grados de libertad (GL) tiene el sistema? Descríbelos.=====
<div>
:La horquilla puede hacer una rotación simple respecto al suelo alrededor del eje vertical.

:De manera independiente, la placa puede hacer una rotación simple alrededor del eje horizontal de la horquilla.

:Una manera de ver que estos dos movimientos son independientes es comprobar que, si bloqueamos uno, el otro aún puede existir.

:Por tanto, el sistema tiene dos grados de libertad.
</div>

=====2. Determina la velocidad angular y la aceleración angular de la placa respecto al suelo.=====
<div>
:La velocidad angular de la placa es la superposición de <math>\vecdot\psi_0</math> (1a rotación de Euler, eje fijo al suelo) y <math>\vecdot\theta</math> (2a rotación de Euler, eje afectado por la rotación <math>\vecdot\psi_0</math>): <math>\velang{placa}{T}=\vecdot\psi_0+\vecdot\theta</math>

:'''Cálculo geométrico:'''

:<math>\velang{placa}{T}=\vecdot\psi_0+\vecdot\theta=(\Uparrow \psio)+(\odot \dot{\theta})</math>

[[Archivo:C2-E.Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:<math>\accang{placa}{T}=\dert{\velang{placa}{T}}{T}=\dert{\vecdot\psi_0}{T}+\dert{\vecdot\theta}{T}=\dert{(\Uparrow \psio)}{T}+\dert{(\odot \dot{\theta})}{T}</math>

:Ya que <math>\vecdot\psi_0</math> es constante en valor y dirección, la aceleración angular provendrá solo del cambio de valor y de dirección de <math>\vecdot\theta</math>. Se trata de un vector de valor variable y que gira alrededor del eje vertical, afectado por la primera rotación de Euler (<math>(\Omegavec^{\vecdot\theta}_\textrm{T}=\vecdot\psi_0)</math>).

:<math>\accang{placa}{T}=\dert{(\odot\dot{\theta})}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=</math>
:<math>=\left[\ddot{\theta}\frac{\vecdot{\theta}}{|\vecdot{\theta}|}\right]+[\velang{$\vecdot{\theta}$}{$\Ts$}\times\vecdot{\theta}]=[\odot\ddot{\theta}]+[(\Uparrow\psio)\times(\odot\dot{\theta})]=(\odot\ddot{\theta})+(\Rightarrow\psio\dot{\theta})</math>

:'''Cálculo analítico:'''
:La derivada de la velocidad angular se puede hacer también de manera analítica. La base vectorial en la que la proyección de <math>\velang{placa}{T}</math> es inmediata es la base fija a la horquilla <math>(\velang{B}{T}=\vecdot{\psi}_0)</math>:

:<math>\braq{\velang{placa}{T}}{B}=\vector{\dot{\theta}}{0}{\psio}</math>

:<math>\braq{\accang{placa}{T}}{B}=\braq{\dert{\velang{placa}{T}}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\velang{placa}{T}}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\velang{placa}{T}}{B}=\vector{\ddot{\theta}}{0}{0}+\vector{0}{0}{\psio}\times\vector{\dot{\theta}}{0}{\psio}=\vector{\ddot{\theta}}{\psio\dot{\theta}}{0}</math>
</div>

=====3. Determina la velocidad y la aceleración del punto G de la placa respecto al suelo. =====
<div>
:Ya que el punt '''O''' es fijo al suelo, el vector <math>\OGvec</math> es un vector de posición para la referencia del suelo. Su valor L es constante, pero su dirección es variable a causa de <math>\psio</math> y <math>\vecdot{\theta}</math>: <math>\OGvec=(\searrow\Ls)^{*}</math>.

:'''Cálculo geométrico:'''
:<math>\vel{G}{T}=\dert{\OGvec}{T}=[\text{cambio de dirección}]_\Ts=\velang{$\OGvec$}{T}\times\OGvec=(\vec{\dot{\psi}}_0+\vec{\dot{\theta}})\times\OGvec=\left[(\Uparrow\psio)+(\odot\dot{\theta})\right]\times(\searrow\Ls)=(\Uparrow\psio)\times(\rightarrow\Ls\text{sin}\theta)+(\odot\dot{\theta})\times(\searrow\Ls)=(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)+(\nearrow\Ls\dot{\theta})</math>

[[Archivo:C2-E.Ex1-3-esp.png|thumb|right|300px|link=]]

:La velocidad tiene valor y dirección variables, y por tanto la aceleración tiene tanto componente paralela como componente perpendicular a la velocidad.

:<math>\acc{G}{T}=\dert{\vel{G}{T}}{T}=\dert{(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)}{T}+\dert{(\nearrow\Ls\dot{\theta})}{T}</math>

:El vector <math>(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)</math> gira respecto al suelo solo a causa de <math>\psio</math>, mientras que el vector <math>(\nearrow\Ls\dot{\theta})</math> lo hace a causa de <math>\vec{\psio}</math> y <math>\vec{\dot{\theta}}</math>:

:<math>\dert{(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=</math>
:<math>=[\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta]+\left[(\Uparrow\psio)\times(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)\right]=[\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta]+\left[\leftarrow\Ls\psio^2\text{sin}\theta\right]</math>

:<math>\dert{(\nearrow\Ls\dot{\theta})}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=\left[\nearrow\Ls\ddot{\theta}\right]+\left[((\Uparrow\psio)+(\odot\dot{\theta}))\times(\nearrow\Ls\dot{\theta})\right]=\left[\nearrow\Ls\ddot{\theta}\right]+\left[(\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta)+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)\right]</math>

:Finalmente: <math>\acc{P}{T}=(\otimes 2\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta)+(\leftarrow\Ls\psio^2\text{sin}\theta)+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\nearrow\Ls\ddot{\theta})</math>

:'''Cálculo analítico:'''
:Todo el cálculo se puede hacer de manera analítica. La base vectorial en la que la proyección del vector <math>\OGvec</math> es inmediata es la fija a la placa (base B’). Esta base cambia de orientación cuando el valor de los dos ángulos <math>\psi</math> y <math>\theta</math> cambia. Por tanto, la velocidad angular de la base es <math>\velang{B'}{T}=\vec{\psio}+\vec{\dot{\theta}}</math>:

:<math>\braq{\OGvec}{B'}=\vector{0}{0}{-L}</math>

:<math>\braq{\vel{G}{T}}{B'}=\braq{\dert{\OGvec}{T}}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OGvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{T}}{B'}\times\braq{\OGvec}{B'}=\vector{0}{0}{0}+\vector{\dot{\theta}}{\psio\text{sin}\theta}{\psio\text{cos}\theta}\times\vector{0}{0}{-\Ls}=\vector{-\Ls\psio\text{sin}\theta}{\Ls\dot{\theta}}{0}</math>

:<math>\braq{\acc{G}{T}}{B'}=\braq{\dert{\vel{G}{T}}{T}}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{G}{T}}{B'}+\braq{\velang{B'}{T}}{B'}\times\braq{\vel{G}{T}}{B'}=\vector{-\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta}{\Ls\ddot{\theta}}{0}+\vector{\dot{\theta}}{\psio\text{sin}\theta}{\psio\text{cos}\theta}\times\vector{-\Ls\psio\text{sin}\theta}{\Ls\dot{\theta}}{0}=\vector{-2\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta}{\Ls\ddot{\theta}-\Ls\psio^2\text{sin}\theta\text{cos}\theta}{\Ls\dot{\theta}^2+\Ls\psio^2\text{sin}^2\theta}</math>
</div>
|}

====🔎 EJEMPLO C2-E.2: placa articulada giratoria====
---------
::{|:

La placa rectangular está unida a un soporte giratorio a través de dos barras paralelas con articulaciones en los extremos. Una tercera barra está unida a la placa a través de una [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.8 Enlaces habituales en los sistemas mecánicos|'''rótula esférica''']] a P y al soporte a través de un [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.8 Enlaces habituales en los sistemas mecánicos|'''enlace cilíndrivo''']]. El soporte gira con velocidad angular <math>\vecdot{\psi}</math> variable respecto al suelo (T).

[[Archivo:C4-E-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Archivo:C2-E.Ex2-2-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

=====1. ¿Cuántos grados de libertad (GL) tiene el sistema? Descríbelos.=====
<div>
:El soporte puede girar libremente alrededor del eje vertical fijo al suelo (rotación simple). Si el soporte se bloquea respecto al suelo, el sistema aún se puede mover.

:Respecto al soporte, las barras '''OC''' pueden hacer una rotación simple alrededor del eje horizontal perpendicular a las barras y que pasa por '''O'''. Si una de estas barras se bloquea respecto al soporte, ni la placa, ni las barras '''OC''', ni la barra en codo se pueden mover. Un análisis alternativo de este segundo grado de libertad es comprobar que si la barra en codo se bloquea (si se bloquea su translación vertical respecto al soporte), ni la placa, ni las barras '''OC''' se pueden mover respecto al soporte.

:Por tanto, el sistema tiene dos grados de libertad.

</div>

=====2. Determina la velocidad angular y la aceleración angular de la placa respecto al suelo.=====
<div>
:La velocidad angular de la placa es la superposición de <math>\vec{\dot{\psi}}</math> (1a rotación de Euler, eje fijo al suelo) y <math>\vec{\dot{\theta}}</math> (2a rotación de Euler, eje afectado por la rotación <math>\vec{\dot{\psi}}</math>):

:'''Cálculo geométrico:'''

:<math>\velang{placa}{T}=\vec{\dot{\psi}}+\vec{\dot{\theta}}=(\Uparrow\dot{\psi})+(\otimes\dot{\theta})</math>

:La aceleración angular proviene del cambio de valor de <math>\vec{\dot{\psi}}</math>, y del de valor y dirección de <math>\vec{\dot{\theta}}</math>:

:<math>\accang{placa}{T}=\dert{\velang{placa}{T}}{T}=\dert{(\Uparrow\dot{\psi})}{T}=\dert{(\otimes\dot{\theta})}{T}</math>

:<math>\dert{(\Uparrow\dot{\psi})}{T}=[\text{canvi de valor}]=\ddot{\psi}\frac{\vec{\dot{\psi}}}{|\vec{\dot{\psi}}|}=(\Uparrow\ddot{\psi})</math>

:<math>\dert{(\otimes\dot{\theta})}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=\left[\ddot{\theta}\frac{\vec{\dot{\theta}}}{|\vec{\dot{\theta}}|}\right]+\left[\velang{$\vec{\dot{\theta}}$}{T}\times\vec{\dot{\theta}}\right]=[\otimes\ddot{\theta}]+\left[(\Uparrow\dot{\psi})\times(\otimes\dot{\theta})\right]</math>

:Por tanto, <math>\accang{placa}{T}=(\Uparrow\ddot{\psi})+(\otimes\ddot{\theta})+(\Leftarrow\dot{\psi}\dot{\theta})</math>

:'''Cálculo analítico:'''

[[Archivo:C4-E-Ex2-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:La derivada de la velocidad angular se puede hacer también de manera analítica. La base vectorial B en la que la proyección de <math>\velang{placa}{T}</math> es inmediata es la fija al soporte <math>(\velang{B}{T}=\vec{\dot{\psi}})</math>:

:<math>\braq{\velang{placa}{T}}{B}=\vector{0}{\dot{\theta}}{\dot{\psi}}</math>

:<math>\braq{\accang{placa}{T}}{B}=\braq{\dert{\velang{placa}{T}}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\velang{placa}{T}}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\velang{placa}{T}}{B}=</math>
:<math>=\vector{0}{\ddot{\theta}}{\ddot{\psi}}+\vector{0}{0}{\dot{\psi}}\times\vector{0}{\dot{\theta}}{\dot{\psi}}=\vector{-\dot{\psi}\dot{\theta}}{\ddot{\theta}}{\ddot{\psi}}</math>

</div>

=====3. Determina la velocidad y la aceleración del punto Q de la placa respecto al suelo. =====
<div>
:Ya que el punto '''O''' es fijo al suelo, el vector <math>\OQvec</math> es un vector de posición para la referencia del suelo. Su valor es <math>2\Ls\text{cos}\theta</math>, y su dirección es siempre horizontal. La velocidad de '''Q''' proviene tanto del cambio de valor (ya que <math>\theta</math> es variable) como del cambio de dirección respecto al suelo (causado por la rotación <math>\vec{\dot{\psi}}</math> del soporte).

:'''Cálculo geométrico:'''

[[Archivo:C2-E.Ex2-4-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\OQvec=(\rightarrow 2\Ls\text{cos}\theta)</math>

:<math>\vel{Q}{T}=\dert{\OQvec}{T}=\dert{(\rightarrow 2\Ls\text{cos}\theta)}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=</math>
:<math>=\left[\rightarrow -2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta\right]+\left[(\Uparrow\dot{\psi})\times(\rightarrow 2\Ls\text{cos}\theta)\right]=\left[\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta\right]+\left[\otimes 2\Ls\dot{\psi}\text{cos}\theta\right]</math>

:La aceleración de '''Q''' proviene tanto del cambio de valor como del cambio de dirección (asociado a <math>\vec{\dot{\psi}}</math>) de los dos términos de la velocidad:

:<math>\acc{Q}{T}=\dert{\vel{Q}{T}}{T}=\dert{(\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta)}{T}+\dert{\otimes 2\Ls\dot{\psi}\text{cos}\theta}{T}</math>

:<math>\dert{(\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta)}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=\left[\leftarrow 2\Ls(\ddot{\theta}\text{sin}\theta+\dot{\theta}^2\text{cos}\theta)\right]+\left[(\Uparrow\dot{\psi})\times(\leftarrow 2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta)\right]=\left[\leftarrow 2\Ls(\ddot{\theta}\text{sin}\theta+\dot{\theta}^2\text{cos}\theta)\right]+\left[\odot 2\Ls\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta\right]</math>

:<math>\dert{(\otimes 2\Ls\dot{\psi}\text{cos}\theta)}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=\left[\otimes 2\Ls(\ddot{\psi}\text{cos}\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta)\right]+\left[(\Uparrow\dot{\psi})\times(\otimes 2\Ls\dot{\psi}\text{cos}\theta)\right]=\left[\otimes 2\Ls(\ddot{\psi}\text{cos}\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta)\right]+\left[\leftarrow 2\Ls\dot{\psi}^2\text{cos}\theta\right]</math>

:Finalmente, <math>\acc{Q}{T}=(\leftarrow 2\Ls(\ddot{\theta}\text{sin}\theta+(\dot{\psi}^2+\dot{\theta}^2)\text{cos}\theta))+(\odot 4\Ls\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta)+(\otimes 2\Ls\ddot{\psi}\text{cos}\theta)</math>

:'''Cálculo analítico:'''

[[Archivo:C4-E-Ex2-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La derivada también se puede hacer de manera analítica. La base vectorial B en la que la proyección del vector <math>\OPvec</math> es inmediata es la fija al soporte <math>(\velang{B}{T}=\vec{\dot{\psi}})</math>:

:<math>\braq{\OQvec}{B}=\vector{2\Ls\text{cos}\theta}{0}{0}</math>

:<math>\braq{\vel{Q}{T}}{B}=\braq{\dert{\OQvec}{T}}{B}=\frac{d}{dt}\braq{\OQvec}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\OQvec}{B}=</math>
:<math>=\vector{-2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}{0}+\vector{0}{0}{\dot{\psi}}\times\vector{2\Ls\text{cos}\theta}{0}{0}=\vector{-2\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta}{2\Ls\dot{\psi}\text{cos}\theta}{0}</math>

:<math>\braq{\acc{Q}{T}}{B}=\braq{\dert{\vel{Q}{T}}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{T}}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\vel{Q}{T}}{B}=2\Ls\vector{-\ddot{\theta}\text{sin}\theta-\dot{\theta}^2\text{cos}\theta}{\ddot{\psi}\text{cos}\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}+\vector{0}{0}{\dot{\psi}}\times 2\Ls\vector{-\dot{\theta}\text{sin}\theta}{\dot{\psi}\text{cos}\theta}{0}=2\Ls\vector{-\ddot{\theta}\text{sin}\theta-(\dot{\psi}^2+\dot{\theta}^2)\text{cos}\theta}{\ddot{\psi}\text{cos}\theta-2\dot{\psi}\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}</math>

</div>
|}

====🔎 EJEMPLO C2-E.3: péndulo giratorio con punto de suspensión móvil====
---------
::{|:

El péndulo en forma de anilla está articulado al soporte, que a su vez tiene un enlace prismático con la guía. La guía está articulada al techo, y su velocidad angular respecto al mismo <math>(\vec{\psio})</math> se mantiene constante. El muelle entre soporte y guía garantiza que el primero no se caiga al suelo cuando el sistema está en reposo.

[[Archivo:C2-E.Ex3-1-esp.png|thumb|center|600px|link=]]

=====1. ¿Cuántos grados de libertad (GL) tiene el sistema? Descríbelos.=====
<div>
:La guía puede girar alrededor del eje vertical que pasa por '''O’''' (rotación simple).

:Independientemente, el soporte se puede trasladar a lo largo de la guía (translación rectilínea).

:Finalmente, si los dos movimientos anteriores se bloquean, la anilla aun puede hacer una rotación simple alrededor del eje horizontal que pasa por '''O’''', es perpendicular al plano de la anilla y es fijo al soporte.

:Por tanto, el sistema tiene 3 grados de libertad.

</div>

=====2. Determina la velocidad angular y la aceleración angular de la anilla respecto al suelo.=====
<div>
:'''Cálculo geométrico:'''

:La velocidad angular de la anilla es la superposición de <math>(\vec{\psio})</math> (1a rotación de Euler, eje fijo al suelo) y <math>\vec{\dot{\theta}}</math> (2a rotación de Euler, eje afectado por la rotación <math>\vec{\dot{\psi}}</math>):

[[Archivo:C2-E.Ex3-2-neut.png|thumb|right|300px|link=]]

:<math>\velang{anilla}{T}=\vec{\psio}+\vec{\dot{\theta}}=(\Uparrow\psio)+(\odot\dot{\theta})</math>

:<math>\accang{anilla}{T}=\dert{\velang{anilla}{T}}{T}=\dert{(\vec{\psio}+\vec{\dot{\theta}})}{T}=\dert{\vec{\psio}}{T}+\dert{\vec{\dot{\theta}}}{T}</math>
:<math>=\dert{(\Uparrow\psio)}{T}+\dert{(\odot\dot{\theta})}{T}</math>

:La aceleración angular proviene exclusivamente del cambio de valor y dirección de <math>\vec{\dot{\theta}}</math>, ya que <math>\vec{\psio}</math> es de valor y dirección constante.

:<math>\accang{anilla}{T} = \dert{\velang{anilla}{T}}{T} = \dert{(\odot\dot{\theta})}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=</math>
:<math>=\left[\ddot{\theta}\frac{\vec{\dot{\theta}}}{|\vec{\dot{\theta}}|}\right]+\left[\velang{$\vec{\dot{\theta}}$}{T}\times\vec{\dot{\theta}}\right]=[\odot\ddot{\theta}]+\left[(\Uparrow\dot{\psi})\times(\odot\dot{\theta})\right]=(\odot\ddot{\theta})+(\Rightarrow\psio\dot{\theta})</math>

:'''Cálculo analítico:'''

:La derivada de la velocidad angular de la anilla se puede hacer también de manera analítica. La base vectorial en la que la proyección de <math>\velang{anilla}{T}</math> es inmediata es la fija al soporte <math>(\velang{B}{T}=\vec{\dot{\psi}})</math>:

:<math>\braq{\velang{anilla}{T}}{B}=\vector{0}{\psio}{\dot{\theta}}</math>

:<math>\braq{\accang{anilla}{T}}{B}=\braq{\dert{\velang{anilla}{T}}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\velang{anilla}{T}}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\velang{anilla}{T}}{B}=\vector{0}{0}{\ddot{\theta}}+\vector{0}{\psio}{0}\times\vector{0}{\psio}{\dot{\theta}}=\vector{\psio\dot{\theta}}{0}{\ddot{\theta}}</math>

</div>

=====3. Determina la velocidad y la aceleración del punto G de la anilla respecto al suelo..=====
<div>
:'''Cálculo analítico:'''

:El vector <math>\vec{\Os'\Gs}</math> es un vector de posición de <math>\Gs</math> en la referencia del suelo, ya que <math>\Os'</math> es un punto fijo al suelo.

:<math>\vec{\Os'\Gs}=\vec{\Os'\Os}+\vec{\Os\Gs}=(\downarrow \textrm{x})+(\searrow \Ls)^*</math>

:<math>\vel{G}{T}=\dert{\vec{\Os'\Gs}}{T}=\dert{\vec{\Os'\Os}}{T}+\dert{\vec{\Os\Gs}}{T}=\dert{(\downarrow \textrm{x})}{T}+\dert{(\searrow \Ls)}{T}</math>

[[Archivo:C2-E.Ex3-3-esp.png|thumb|right|250px|link=]]

:El término <math>(\downarrow \text{x})</math> tiene valor variable pero orientación constante, mientras que el término <math>(\searrow \Ls)</math>, de valor constante, cambia de orientación respecto al suelo a causa de <math>\vec{\psio}</math> y <math>\vec{\dot{\theta}}</math>:

:<math>\dert{\vec{\Os'\Os}}{T}=\dert{(\downarrow \textrm{x})}{T}=[\text{cambio de valor}]=(\downarrow\dot{\text{x}})</math>

:<math>\dert{\vec{\Os\Gs}}{T}=\dert{(\searrow \Ls)}{T}=[\text{cambio de dirección}]_\Ts=\velang{$\OGvec$}{T}\times\OGvec=((\Uparrow\psio)+(\odot\dot{\theta}))\times(\searrow \Ls)=</math>
:<math>=(\Uparrow\psio)\times(\rightarrow\Ls\text{sin}\theta)+(\odot\dot{\theta})\times(\searrow \Ls)=(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)+(\nearrow\Ls\dot{\theta})</math>

:Por tanto, <math>\vel{G}{T}=(\downarrow\dot{\text{x}})+(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)+(\nearrow\Ls\dot{\theta})</math>

:<math>\acc{Q}{T}=\dert{\vel{G}{T}}{T}=\dert{(\downarrow\dot{\text{x}})}{T}+\dert{(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)}{T}+\dert{(\nearrow\Ls\dot{\theta})}{T}</math>

:Los tres términos de la velocidad son de valor variable, y solo los dos últimos giran (cambian de dirección) respecto al suelo. El segundo, que es perpendicular al plano de la anilla, solo gira a causa de <math>\vec{\psio}</math>, mientras que el tercero gira a causa de <math>\vec{\psio}</math> y <math>\vec{\dot{\theta}}</math>. La derivada de cada uno de estos términos es:

:<math>\dert{(\downarrow\dot{\text{x}})}{T}=[\text{cambio de valor}]=(\downarrow\ddot{x})</math>

:<math>\dert{(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=[\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta]+[(\Uparrow\psio)\times(\otimes\Ls\psio\text{sin}\theta)]=[\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta]+[\leftarrow\Ls\psio^2\text{sin}\theta]</math>

:<math>\dert{(\nearrow\Ls\dot{\theta})}{T}=[\text{cambio de valor}]+[\text{cambio de dirección}]_\Ts=[\nearrow\Ls\ddot{\theta}]+[((\Uparrow\psio)+(\odot\dot{\theta}))\times(\nearrow\Ls\dot{\theta})]=[\nearrow\Ls\ddot{\theta}]+[(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\otimes\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta)]</math>

:Por tanto, <math>\acc{G}{T}=(\downarrow\ddot{x})+(\leftarrow\Ls\psio^2\text{sin}\theta)+(\nearrow\Ls\ddot{\theta})+(\nwarrow\Ls\dot{\theta}^2)+(\otimes 2\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta)</math>

[[Archivo:C2-E.Ex3-2-neut.png|thumb|right|300px|link=]]

:'''Cálculo analítico: '''

:Todo el cálculo se puede hacer de manera analítica. El vector <math>\OGvec=\vec{\Os\Os'}+\vec{\Os'\Gs}</math> tiene el primer término vertical, y por tanto su proyección es inmediata en la base B fija al soporte <math>(\velang{B}{T}=\vec{\psio})</math>; el segundo término, en cambio, se proyecta inmediatamente en la base B’ fija a la anilla <math>(\velang{B'}{T}=\vec{\psio}+\vec{\dot{\theta}})</math>. Cualquiera de las dos puede ser adecuada.

:Cálculo en la base B

:<math>\braq{\OGvec}{B}=\vector{\Ls\text{sin}\theta}{-\text{x}-\Ls\text{cos}\theta}{0}</math>

:<math>\braq{\vel{G}{T}}{B}=\braq{\dert{\OGvec}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OGvec}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\OGvec}{B}=</math>
:<math>=\vector{\Ls\dot{\theta}\text{cos}\theta}{-\dot{x}+\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}+\vector{0}{\psio}{0}\times\vector{\Ls\text{sin}\theta}{-x-\Ls\text{cos}\theta}{0}=\vector{\Ls\dot{\theta}\text{cos}\theta}{-\dot{x}+\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta}{-\Ls\psio\text{sin}\theta}</math>

:<math>\braq{\acc{G}{T}}{B}=\braq{\dert{\vel{G}{T}}{T}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{G}{T}}{B}+\braq{\velang{B}{T}}{B}\times\braq{\vel{G}{T}}{B}=\vector{\Ls(\ddot{\theta}\text{cos}\theta-\dot{\theta}^2\text{sin}\theta)}{-\ddot{x}+\Ls(\ddot{\theta}\text{sin}\theta-\dot{\theta}^2\text{cos}\theta)}{-\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta}+\vector{0}{\psio}{0}\times\vector{\Ls\dot{\theta}\text{cos}\theta}{-\dot{x}+\Ls\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}=\vector{\Ls(\ddot{\theta}\text{cos}\theta-\dot{\theta}^2\text{sin}\theta)}{-\ddot{x}+\Ls(\ddot{\theta}\text{sin}\theta+\dot{\theta}^2\text{cos}\theta)}{-2\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta}</math>

:Cálculo en la base B'

:<math>\braq{\OGvec}{B}=\vector{x\text{sin}\theta}{-x\text{cos}\theta-\Ls}{0}</math>

:<math>\braq{\vel{G}{T}}{B'}=\braq{\dert{\OGvec}{T}}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OGvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{T}}{B'}\times\braq{\OGvec}{B'}=\vector{-\dot{x}\text{sin}\theta-x\dot{\theta}\text{cos}\theta}{-\dot{x}\text{cos}\theta+x\dot{\theta}\text{sin}\theta}{0}+\vector{\psio\text{sin}\theta}{\psio\text{cos}\theta}{\dot{\theta}}\times\vector{-x\text{sin}\theta}{-x\text{cos}\theta-\Ls}{0}=\vector{-\dot{x}\text{sin}\theta+\Ls\dot{\theta}}{-\dot{x}\text{cos}\theta}{-\Ls\psio\text{sin}\theta}</math>

:<math>\braq{\acc{G}{T}}{B'}=\braq{\dert{\vel{G}{T}}{T}}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{G}{T}}{B'}+\braq{\velang{B'}{T}}{B'}\times\braq{\vel{G}{T}}{B'}=\vector{-\ddot{x}\text{sin}\theta-\dot{x}\dot{\theta}\text{cos}\theta+\Ls\ddot{\theta}}{-\ddot{x}\text{cos}\theta+\dot{x}\dot{\theta}\text{sin}\theta}{-\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta}+\vector{\psio\text{sin}\theta}{\psio\text{cos}\theta}{\dot{\theta}}\times\vector{-\dot{x}\text{sin}\theta+\Ls\dot{\theta}}{-\dot{x}\text{cos}\theta}{-\Ls\psio\text{sin}\theta}=\vector{-\ddot{x}\text{sin}\theta+\Ls(\ddot{\theta}-\psio^2\text{sin}\theta\text{cos}\theta)}{-\ddot{x}\text{cos}\theta+\Ls(\dot{\theta}^2+\psio^2\text{sin}^2\theta)}{-2\Ls\psio\dot{\theta}\text{cos}\theta}</math>

</div>

|}

-------------

'''*NOTA:''' En esta web (y por falta de símbolos de flecha más precisos), aunque las flechas <math>\nearrow</math>, <math>\swarrow</math>, <math>\nwarrow</math> y <math>\searrow</math> parecen indicar que los vectores forman un ángulo de 45° con la dirección vertical, no tiene por qué ser así. Hay que interpretar las flechas de manera cualitativa, observando el dibujo que siempre acompaña este tipo de notación. Por ejemplo, en el apartado 3 del ejercicio C2-E.1, el vector <math>\OPvec</math> forma un ángulo <math>\theta</math> genérico con la dirección vertical. Si el valor del ángulo <math>\theta</math> es menor de 90° (como en la figura siguiente), el vector <math>\OPvec</math> tiene componente hacia abajo y hacia la derecha.

© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Todos los derechos reservados]]
-------------

<center>
[[C1. Configuración de un sistema mecánico|<<< C1. Configuración de un sistema mecánico]]

[[C3. Composición de movimientos|C3. Composición de movimientos >>>]]
</center>

D7. Ejemplos de dinámica 3D

2026-02-26T16:31:47Z

Eantem: /* ✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>

En esta unidad, el procedimiento sistemático propuesto en la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.4 Diagrama general de interacciones (DGI)|'''sección D6.4''']] se aplica a ejemplos de dinámica 3D para obtener ecuaciones del movimiento y pares motores. Además, se presenta también un análisis sistemático de las ecuaciones del movimiento.

==D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento==

La obtención de las ecuaciones del movimiento de los GL libres de los sistemas multisólido no es, en general, el objetivo de los problemas de dinámica, sino un paso previo a su integración para conocer cómo evolucionan a lo largo del tiempo las coordenadas que describen la configuración del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Sin embargo, estas ecuaciones suelen ser no lineales, y su integración es necesariamente numérica. A pesar de eso, hay algunos aspectos del comportamiento del sistema que se pueden investigar de manera analítica.

Configuraciones de equilibrio

Las configuraciones de equilibrio son aquellas configuraciones para las que, si el sistema se deja en reposo <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, permanece en reposo <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Por tanto, el valor de las coordenadas en equilibrio viene dado por:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>
</center>

La ecuación que define las <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> puede ser trascendente y no tener solución analítica. En ese caso, se puede recurrir a una resolución numérica o una resolución gráfica.

Análisis de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Si se considera que el valor de las coordenadas es muy cercano al de una configuración de equilibrio <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js</math>, con <math>\varepsilon_\js << 1</math>, y por tanto <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>) las funciones no lineales que aparecen en las ecuaciones del movimiento se pueden aproximar por los términos lineales de su desarrollo en serie de Taylor. Por ejemplo:

:* si aparecen polinomios de grado superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si se trata de una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> y aparecen funciones seno y coseno:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Una vez linealizada, la ecuación es del tipo: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, donde A, B, y C son escalares. En este curso, sin embargo, a menudo la ecuación es más sencilla y no contiene término en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solución general es: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, con <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Las constantes de integración dependen de las condiciones iniciales <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
:La solución <math>\varepsilon(\ts)</math> de la ecuación <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una función cuya segunda derivada sea proporcional a la función sin derivar. Las funciones seno, coseno y exponencial cumplen esta condición. Si se prueba la primera (que tiene que contener dos constantes de integración):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Si se sustituyen estas expresiones en la ecuación del movimiento:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El movimiento es una oscilación alrededor de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math> cuya frecuencia angular <math>(\omega)</math> depende de parámetros del sistema.

:Las constantes de integración, en cambio, dependen de las condiciones iniciales (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), y por tanto, no son intrínsecas al sistema.

:* condiciones iniciales solo de posición: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales solo de velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales de posición y velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Análisis de la estabilidad de las de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Las oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio sólo son posibles cuando ésta es estable.
La estabilidad se puede analizar muy fácilmente a partir de la ecuación del movimiento linealizada:

<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decrece, y el sistema vuelve a la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> crece, y el sistema se aleja de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''INESTABLE'''.

==D7.2 Ejemplos generales==
====✏️ EJEMPLO D7.1: placa rectangular giratoria====
------

:[[Archivo:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Archivo:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La placa rectangular homogénea, de masa m, está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante respecto al suelo bajo la acción de un motor. Se trata de hallar la ecuación del movimiento asociada al movimiento entre placa y horquilla, y el valor del par motor que garantiza <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripción cinemática:

:Otra opción para calcular <math>\vel{G}{T}</math> es la cinemática de sólido rígido (sólido: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general de interacciones

[[Archivo:D7-Ex1-3esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones ppr sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ ecs}}{\text{sólido}} = 12\text{ecs}</math>

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 incógnitas

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

:La placa es el único elemento cuyomo vimiento depende de <math>\dth</math>. Par tanto, los sistemas posibles en los que aparecerá <math>\ddth</math> cuando se apliquen los teoremas vectoriales son: placa, placa + horquilla.

[[Archivo:D7-Ex1-4-esp.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enlace + <math>\ddth</math> = 6 inc. enlace <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enlace + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc. enlace</center>
 
:Las seis ecuaciones que se generan aplicando los teoremas vectoriales a la placa permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la placa son:

[[Archivo:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterización del torsor de enlace de la horquilla sobre la placa en el punto '''O''' es inmediata tanto si se utiliza la base B como la B’.

:Si se aplica el TCM, las tres componentes incluyen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en '''O''', la fuerza de enlace no aparecerá, y la componente 3 (o 3’) estará libre de incógnitas de enlace.

:Una buena propuesta es:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta:SISTEMA(placa), TMC en }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC en <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{grande}}{0}{0}{0}{\I{pequeño}}{0}{0}{0}{\I{grande + pequeño}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{\I{grande + pequeño}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{pequeño}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{grande + pequeño})\ddth + \I{pequeño - grande}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{pequeño} - \I{grande})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si se substituyen <math>\I{grande + pequeño}</math> i <math>\I{pequeño} - \I{grande}</math> por los valores que dan las tablas, la ecuación queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Análisis de la ecuación del movimiento: configuraciones de equilibrio

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Esta ecuación tiene dos familias de soluciones:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ya que la función coseno está acotada entre -1 y +1, la segunda familia solo existe si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, y esto se cumple solo si la velocidad angular <math>\Omega_0</math> está por encima del valor crítico <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Análisis de la ecuación del movimiento: movimiento de la placa respecto a la horquilla

:Al tratarse de una ecuación no lineal (a causa de la función seno), el movimiento general se obtiene por integración numérica.

:El análisis analítico para pequeñas amplitudes <math>(\varepsilon)</math> alrededor de una configuración de equilibrio <math>\theta_\text{eq}</math> se puede hacer si se aproximan las funciones trigonométricas [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''sección D7.1''')]]:

L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Para las pequeñas amplitudes alrededor de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, la ecuación del movimiento es <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si las condiciones iniciales son <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, la evolución de <math>\varepsilon</math> viene dada por: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Para <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''aumenta'''. Es una configuración '''INESTABLE''' y no puede haber oscilación alrededor de esta configuración.

:* Para <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminuye'''. El movimiento es una oscilación alrededor de una configuración '''ESTABLE'''. La frecuencia angular [rad/s] es <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si las condiciones iniciales son <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> y <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el movimiento pendular no aparece, y el sistema se mueve solo con la rotación <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentario adicional

[[Archivo:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa se hubiera suspendido de la horquilla de manera que el eje 2 fuese el de momento de inercia grande y el eje 1 fuese el de inercia baja, la ecuación del movimiento habría sido:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si se linealiza alrededor de la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Para cualquier valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficiente <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]</math> es positivo, y por tanto la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math> es siempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Hoja de ruta para el par motor

:Las opciones de sistema para calcular el par motor son dos: horquilla, horquilla + placa:

[[Archivo:D7-Ex1-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Archivo:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:La opción (horquilla + placa) es la más adecuada. La descripción de interacciones externas sobre este sistema se muestra en la figura.

:Al tratarse de un par motor, el TMC es el teorema adecuado para llegar a la solución:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (horquilla + placa), TMC en }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El momento cinético es el mismo que se ha calculado antes (ya que la horquilla no tiene masa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\dth} = \vector{2\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ EJEMPLO D7.2: barras giratorias====
-----

:[[Archivo:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta de un marco sin masa y de dos barras homogéneas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\sth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante).

:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex2-2esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones por sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ecs.}}{\text{sólido}} = 12</math> ecs.

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 inc.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:La pieza es el único elemento cuyo el movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex2-3-esp.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:Las seis ecuaciones que se generan si se aplican los teoremas vectoriales a la pieza permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la pieza son las que se muestran a la figura.
:Si se aplica el TCM, las tres componentes contienen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en O, la fuerza de enlace no aparecerá. Por tanto:

<center><math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en} \Os}</math></center>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria al marco. Ya que se asume que el movimiento solo proviene del GL forzado <math>\Omega_0</math>, es la base que gira con <math>\Omega_0</math> respecto al suelo.

:El análisis cualitativo del tensor de inercia se puede hacer considerando primero el tensor de cada barra en su centro de inercia y añadiendo después las correcciones de [[D5. Tensor de inercia#D5.4 Algunas propiedades relevantes del tensor de inercia|'''Steiner''']] para pasar a '''O''':

:[[Archivo:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{-3/2}{0}{-3/2}{9/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Teniendo en cuenta que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constanto y está contenido en el plano de la pieza. Por tanto, gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> y barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:[[Archivo:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:El único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusión: el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo constante) no es posible. La razón es la componente horizontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que es la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fuera estrictamente vertical (paralelo a <math>\vec\Omega_0</math>), entonces <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, y la aplicación del TMC conduciría a valor nulo de las dos componentes de momento <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En otras palabras: si la dirección de la velocidad angular fuese una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']] para el punto '''O''', mantenerla constante sería posible sin necesidad de momento externo.

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras el dedo introduzca una de estas fuerzas, la math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal (sin que aparezca <math>\dth</math>). Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido horario:

:[[Archivo:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar con <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:La ecuación del movimiento es:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, y está claro que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no es una de ellas.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación horaria.

</div>


====✏️ EJEMPLO D7.3: pieza giratoria con partículas====
-----
:
:[[Archivo:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta de un marco sin masa y de dos partículas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\dth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante.

:Diagrama general de interacciones

:Es un sistema del mismo tipo que el del [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']]: tiene dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. El número de ecuaciones que se pueden generar si se aplican los teoremas vectoriales a los dos sólidos es 12: es un problema determinado.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:[[Archivo:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La pieza es el único elemento cuyo movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla. Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], una hoja de ruta adecuada es:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os}</math>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{pieza}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor de inercia en la base B solidaria a la pieza es inmediato:
:[[Archivo:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constante, está contenido en el plano de la pieza, y gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> mientras barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centro de inercia de la pieza se encuentra en la vertical que pasa por '''O''', y por tanto el único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:[[Archivo:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo <math>\Omega_0</math> constante) no es posible porque la dirección de la velocidad angular no es una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']].

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras se introduce una de estas fuerzas, la <math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal. Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido antihorario:

:[[Archivo:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Archivo:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar de acuerdo con la hoja de ruta siguiente: <math>\boxed{\text{Hija de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:La ecuación del movimiento es:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, y es evidente que <math>\theta = 0</math> no es una solución, y que por tanto la pieza necesariamente adquirirá movimiento pendular.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación antihoraria.
</div>



====✏️ EJEMPLO D7.4: bola giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex4-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de masa m y radio r, mantiene contacto puntual sin deslizamiento con el suelo y está articulada a un brazo horizontal. El brazo está articulado a una horquilla que gira con velocidad angular constante bajo la acción de un motor. Brazo y horquilla tienen masa despreciable. El coeficiente de fricción en dirección radial entre bola y suelo es nulo <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Se trata de investigar si la rotación <math>\Omega_0</math> puede provocar la pérdida de contacto entre bola y suelo.

 
 
 
 
 
 
:Descripción cinemática
:El [[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.3 Geometry of the velocity distribution: Instantaneous Screw Axis (ISA)|'''EIRL''']] de la bola respecto al suelo es la recta <math>\Os\Js</math>, y la velocidad angular se puede descomponer en dos rotaciones de Euler:

:[[Archivo:D7-Ex4-2-esp.jpg|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general de interacciones
::[[Archivo:D7-Ex4-3-esp.png|thumb|left|250px|link=]]
:Es un sistema de un GL con 17 incógnitas de enlace. Al contener 3 sólidos rígidos, se trata de un problema determinado:

:(17 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas 
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math>= 18 ecuaciones

:La descripción del sistema se puede aligerar si se trata el brazo como [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''SAE''']], ya que no tiene masa y solo está sometido a interacciones de enlace:

:[[Archivo:D7-Ex4-4-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:El número de incógnitas de enlace asociado al enlace indirecto entre bola y horquilla a través del brazo es 4, ya que la bola tiene dos rotaciones independientes <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecto a la horquilla. El problema sigue siendo determinado:

:(11 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas 
:2 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math> = 12 ecuaciones

:Hoja de ruta para estudiar la pérdida de contacto
:La pérdida de contacto implica la supresión del enlace entre bola y suelo, por tanto la anulación de la fuerza normal N que el suelo ejerce sobre la bola. Los dos sistemas a los que se pueden aplicar los teoremas vectoriales para calcular la N son: bola, bola + (brazo) + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex4-5-esp.png|thumb|center|510px|link=]]

:La mejor opción es aplicar teoremas vectoriales a la bola, ya que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la bola son:

:[[Archivo:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', las fuerzas de enlace asociadas a la articulación con la horquilla no aparecerán, y los únicos momentos en dirección perpendicular al dibujo estarán asociados al peso y a la N. Por tanto:
:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (bola), TMC en } \Os]_{\perp\text{ al dibujo}}}</math>

:El momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se puede calcular a partir del tensor de inercia en '''O''' (ya que '''O''' es un punto fijo a la bola) o por descomposición baricéntrica. En este último caso, ya que la bola es rotor esférico en <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> es paralelo a la velocidad angular de la bola:

:[[Archivo:D7-Ex4-7-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Las dos componentes son constantes en valor, pero la componente horizontal cambia de dirección a causa de la rotación vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibujo}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La fuerza normal aumenta con la velocidad angular, y por tanto el contacto con el suelo se mantiene siempre.

:Alternativa:

:Si el cálculo de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se hace a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> y la derivada se hace de manera analítica:

:[[Archivo:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex5-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:La anilla, de masa m y radio R, gira con velocidad angular <math>\dot\varphi_0</math> constante respecto a la horquilla (de masa despreciable) impulsada por un motor que tiene el estátor (P1) articulado a la horquilla, y el rotor (P2) solidario a la anilla. La horquilla puede girar respecto al suelo con velocidad angular <math>\dot\psi</math>. Inicialmente, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Se trata de investigar cómo evoluciona esta condición inicial, si el deslizamiento entre anilla y suelo desaparecerá en algún momento, y el valor del par motor que garantiza <math>\dot\varphi_0</math> constante mientras hay deslizamiento.

:Descripción cinemática y diagrama general de interacciones
:Para el movimiento más general cuando aún hay deslizamiento, <math>\dot\varphi_0</math> y <math>\dot\psi</math> son independientes, y la descripción de velocidades del sistema y el DGI ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#✏️ EJEMPLO D3.18: actuador rotacional entre dos sólidos|'''ejemplo D3.18''']]) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-2-esp.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anilla} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:En cuanto a la descripción dinámica, hay dos opciones según si se consideran los enlaces directos entre la horquilla y el estátor del motor (P1), y el estátor (P1) y el rotor (P2, solidario a la anilla) (opción 1), o si se trata el enlace indirecto entre horquilla y anilla (opción 2) ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.6 Interacciones a través de actuadores lineales y rotacionales|'''secció D3.6''']]):

:[[Archivo:D7-Ex5-3-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, el problema es determinado:

:Opción 1: (16 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas, 3 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 ecuaciones

:Opción 2: (10 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas, 2 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 ecuaciones

:<big>'''OPCIÓN 1'''</big>
:En esta opción, el DGI se puede aligerar si se trata la horquilla como SAE (ya que tiene masa nula y solo está sometido a interacciones de enlace). El enlace indirecto entre P1 y el techo (suelo) introduce 4 incógnitas, ya que permite dos rotaciones independientes entre los dos:

:[[Archivo:D7-Ex5-4-esp.png|thumb|center|350px|link=]]

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Tanto la anilla como el estátor (P1) tienen un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay tres opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, P1, anilla+P1.

:[[Archivo:D7-Ex5-5-esp.png|thumb|center|690px|link=]]

:La mejor opción es (anilla+P1). La caracterización del enlace indirecto entre P1 y techo es inmediata: ya que permite dos rotaciones independientes en direcciones 2 y 3 de P1 respecto al suelo, el torsor contendrá tres componentes de fuerza y una de momento (en dirección 1). Las interacciones externas al sistema (anilla+P1) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', se evitan las tres fuerzas de enlace asociadas al enlace indirecto entre P1 y techo, y solo aparecerán dos incógnitas de enlace <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. Al no haber ninguna componente libre de incógnitas de enlace, habrá que trabajar en principio con las tres para llegar a la ecuación del movimiento.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla+P1), TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético se puede calcular a partir del tensor en '''O''' porque '''O''' es fijo a la anilla:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anilla}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anilla}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math>{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = \left(\mat{\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2} + \mat{0}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}
</math>

:<math>{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{0}{9\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{-2\dot\varphi_0}{0}{9\dot\psi} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}
</math>

:Los momentos externos en '''O''' provienen del peso, de las fuerzas en '''J''' y del momento <math>\Ms_1</math> asociado al enlace indirecto entre P1 y suelo:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs}</math>

:La segunda componente conduce a <math>\Ns = \ms\gs+\frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>, y sustituyendo en la tercera se obtiene la ecuación del movimiento: <math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2}{9}\mu\left(2\frac{\gs}{\rs}+\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>.

:En el instante inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{4}{9}\mu\frac{\gs}{\rs}>0</math>, y por tanto la velocidad angular <math>\dot\psi</math> crece, cosa que hace aumentar la fuerza normal. Esto es indicativo de que no hay riesgo de que se pierda el contacto en '''J'''.

:Cuando <math>\dot\psi</math> llega al valor <math>(\dot\varphi_0/2)</math>, el deslizamiento en '''J''' desaparece:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{anilla}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0</math>

:A partir de este momento, el sistema pasa a tener solo 1 GL, pero el número de incógnitas aumenta, ya que en '''J''' aparecen dos componentes más de fuerza de enlace (además de la N): el problema pasa a ser indeterminado.

:Hoja de ruta para el par motor

:Ya que el par motor actúa entre P1 y la anilla, las dos opciones de sistema para aplicar los teoremas vectoriales son: anilla, P1. Puesto que la ecuación del movimiento para la <math>\psi</math> y la fuerza normal ya se han determinado, el número de incógnitas en estos dos casos es:

:[[Archivo:D7-Ex5-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:La mejor opción, pues, es aplicar teoremas a la anilla. Las interacciones externas sobre este sólido son:

:[[Archivo:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La componente 1 del TMC en '''O''' está libre de incógnitas de enlace (contiene el momento de la fuerza de fricción, pero la N ya no es una incógnita). Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os]_1}</math>

:El momento cinético en '''O''' es el de la anilla, y su derivada tiene componente 1 nula:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓN 2'''</big>
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Solo la anilla tiene un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay dos opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, anilla+horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex5-9-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:Las dos opciones parecen equivalentes. Para escoger una, hay que analizar las interacciones externas que actúan sobre cada uno de los dos sistemas:

:[[Archivo:D7-Ex5-10-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, si se aplica el TMC en '''O''' se evitan tres componentes de fuerza de enlace, pero en la dirección 1 (que es donde puede aparecer la <math>\ddot\varphi</math>) hay siempre un momento (el par motor en un caso, o el <math>\Ms_1</math> entre techo y horquilla en el otro). Tanto si se escoge un sistema como otro, habrá que trabajar en principio con más de una componente del TMC para llegar a la ecuación del movimiento. A continuación se consideran las dos opciones.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético en '''O''' y su derivada son los mismos que se han calculado en la opción 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Los momentos externos en O provienen del peso, de las fuerzas en J, del par motor y del momento <math>\Ms_3</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segunda componente da el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. Al ser siempre positivo, el contacto en '''J''' está asegurado.

:La primera componente da el par motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Pero en la tercera, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de <math>\Ms_3</math>. Por tanto, esta opción no parece adecuada.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + horquilla),TMC en }\Os}</math>

:Los momentos externos son distintos al caso anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En esta opción, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de N, pero las otras componentes no permiten calcular esta fuerza.

:Ahora bien, si se combinan los resultados para las dos opciones, la ecuación del movimiento es inmediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anilla + horquilla), TMC en }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:El cese del deslizamiento se estudia exactamente igual que en la opción 1.



====✏️ EJEMPLO D7.6: péndulo anular giratorio====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex6-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta de una anilla, de masa m y radio R, unida a un brazo que está articulado a un soporte. El soporte puede deslizar a lo largo de una guía lisa. Un muelle lineal de constante k conecta soporte y guía. El conjunto gira alrededor de la vertical con velocidad angular constante <math>\dot\psi_0</math> bajo la acción de un motor. La masa de todos los elementos, salvo la anilla, es despreciable. Se trata de buscar las ecuaciones del movimiento y estudiar las posibles configuracion es de equilibrio.

:Descripción cinemática
:[[Archivo:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:Es un sistema de 3 GL: el movimiento pendular <math>\dot\theta</math>, el movimiento del soporte respecto a la guía (que denominaremos <math>\dot\xs</math>) y la rotación vertical forzada <math>\dot\psi_0</math>.

:El movimiento del centro de la anilla '''G''' respecto al suelo se puede determinar a través de una doble composición:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guía} \\
\text{AB: soporte}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guía}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex6-3-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema es determinado:

:(15 inc. de enlace, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sólidos}}</math> = 18 ecuaciones
 
 
 
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math>

:El movimiento de la anilla es el único que depende de <math>\ddth</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, anilla+soporte+guía.

:[[Archivo:D7-Ex6-4-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opción es la menos adecuada. En cuanto a las otras dos, las interacciones externas a tener en cuenta son:

:[[Archivo:D7-Ex6-5-esp.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''' a la anilla, la componente 1 está libre de incógnitas de enlace, y es precisamente en esta dirección en donde aparece la velocidad angular <math>\dth</math> (y, por tanto, el cambio de su valor <math>\ddth</math>). En la opción (anilla+soporte), esta componente incluye un momento de enlace. Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ya que el punto '''O''' se mueve respecto al suelo: <math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Por otro lado, '''O''' es un punto fijo a la anilla: <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalmente: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Esta ecuación del movimiento incluye también la variable <math>\ddot\xs</math>. Esto quiere decir que los grados de libertad <math>\dth</math> y <math>\dot\xs</math> están '''acoplados''': aunque el movimiento empiece con unas condiciones iniciales que solo son no nulas para uno de ellas, el otro puede aparecer.

:La componente 1 del TMC en '''O''' para el sistema anilla es la única donde aparecen <math>\dth</math> y <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, la otra ecuación del movimiento no se puede determinar con ninguna de las otras dos componentes.

La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada x 

:El movimiento de la anilla y el del soporte dependen de <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, soporte, soporte+guía, anilla+soporte+guia. Ya que se ha determinado la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ya no es una incógnita.

:[[Archivo:D7-Ex6-6-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex6-7-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:Como antes, las mejores opciones son las dos primeras. La primera ya se ha utilizado, por tanto aplicaremos los teoremas a la segunda. A partir de la representación de las interacciones externas que actúan sobre el sistema (anilla+soporte), se ve que la componente vertical (dirección 3’) del TCM estará libre de incógnitas de enlace. Por tanto: <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + soporte), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Cálculo de la aceleración de '''G''':

:'''Opción 1''': por derivación de la velocidad descrita anteriormente, ya que corresponde a una configuración general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opción 2''': por cinemática del sólido rígido.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anilla} \\
\Os\in\text{anilla}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anilla}{T}\times\velang{anilla}{T}\times\OGvec + \accang{anilla}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anilla}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:La aceleración angular <math>\accang{anilla}{T}</math> proviene del cambio de valor y de dirección de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anilla}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulación de la fuerza del muelle

:[[Archivo:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translación vertical del soporte <math>(\dot\xs)</math> está asociado a la variación de una coordenada x cuyo origen aun no se ha definido. Es habitual escoger el origen de las coordenadas de manera que coincidan con configuraciones de equilibrio.

:Si se toma <math>\xs=0</math> para el equilibrio en ausencia de rotación <math>\dot\psi_0</math>, está claro que el muelle tendrá que ejercer una fuerza <math>\Fs_0</math> de atracción sobre el péndulo para contrarrestar el peso: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulación general de la fuerza de atracción del muelle será pues: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ya que el movimiento <math>\dot\xs</math> se ha definido positivo hacia abajo, un aumento de <math>\xs</math> implica un aumento de longitud del muelle. Por tanto: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentarios sobre el acoplamiento de los dos GL

:Las condiciones iniciales <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> con las que se pone en marcha el movimiento determinan los GL que aparecerán.

:Una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no conseguirá nunca hacer aparecer el movimiento pendular, ya que las ecuaciones para el instante inicial son:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En cambio, una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movimiento vertical <math>\dot\xs</math>, ya que la ecuación que gobierna la <math>\dot\xs</math> para el instante inicial es:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio estático
:Las configuraciones de equilibrio estático (las que corresponden a tener el sistema completamente parado, con <math>\dot\psi_0 = 0</math>) se obtienen de las ecuaciones del movimiento imponiendo <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si consideramos una pequeña perturbación de estas configuraciones de equilibrio <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, las ecuaciones se pueden [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|'''linealizar''']]. Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, se trata de una configuración '''ESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, se trata de una configuración '''INESTABLE'''.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio en rotación

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, para <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> la ecuación del movimiento para la x no cambia (por tanto, <math>\xs_\text{eq}=0</math> es estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), pero la de la <math>\theta</math> tiene un terme adicional, y aparecen dos familias de configuraciones de equilibrio:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:Sin embargo, la segunda familia solo existe por encima de un valor crítico de <math>\dot\psi_0^2</math> ya que la función <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> está acotada entre -1 y +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealización de la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math> conduce a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuración es '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> y <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuración es '''INESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, la ecuación del movimiento linealizada para la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuración és '''INESTABLE''' para cualquier valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:El estudio de las configuraciones <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> se hace de manera análoga, pero es mucho más largo. Por este motivo, no se hace.



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</center>

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2026-02-26T16:30:29Z

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D7-Ex5-5-esp

D7. Ejemplos de dinámica 3D

2026-02-26T16:15:25Z

Eantem: /* ✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
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\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
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\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
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\newcommand{\is}{\textrm{i}}
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\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
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\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
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\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
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\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>

En esta unidad, el procedimiento sistemático propuesto en la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.4 Diagrama general de interacciones (DGI)|'''sección D6.4''']] se aplica a ejemplos de dinámica 3D para obtener ecuaciones del movimiento y pares motores. Además, se presenta también un análisis sistemático de las ecuaciones del movimiento.

==D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento==

La obtención de las ecuaciones del movimiento de los GL libres de los sistemas multisólido no es, en general, el objetivo de los problemas de dinámica, sino un paso previo a su integración para conocer cómo evolucionan a lo largo del tiempo las coordenadas que describen la configuración del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Sin embargo, estas ecuaciones suelen ser no lineales, y su integración es necesariamente numérica. A pesar de eso, hay algunos aspectos del comportamiento del sistema que se pueden investigar de manera analítica.

Configuraciones de equilibrio

Las configuraciones de equilibrio son aquellas configuraciones para las que, si el sistema se deja en reposo <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, permanece en reposo <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Por tanto, el valor de las coordenadas en equilibrio viene dado por:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>
</center>

La ecuación que define las <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> puede ser trascendente y no tener solución analítica. En ese caso, se puede recurrir a una resolución numérica o una resolución gráfica.

Análisis de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Si se considera que el valor de las coordenadas es muy cercano al de una configuración de equilibrio <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js</math>, con <math>\varepsilon_\js << 1</math>, y por tanto <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>) las funciones no lineales que aparecen en las ecuaciones del movimiento se pueden aproximar por los términos lineales de su desarrollo en serie de Taylor. Por ejemplo:

:* si aparecen polinomios de grado superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si se trata de una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> y aparecen funciones seno y coseno:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Una vez linealizada, la ecuación es del tipo: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, donde A, B, y C son escalares. En este curso, sin embargo, a menudo la ecuación es más sencilla y no contiene término en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solución general es: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, con <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Las constantes de integración dependen de las condiciones iniciales <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
:La solución <math>\varepsilon(\ts)</math> de la ecuación <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una función cuya segunda derivada sea proporcional a la función sin derivar. Las funciones seno, coseno y exponencial cumplen esta condición. Si se prueba la primera (que tiene que contener dos constantes de integración):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Si se sustituyen estas expresiones en la ecuación del movimiento:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El movimiento es una oscilación alrededor de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math> cuya frecuencia angular <math>(\omega)</math> depende de parámetros del sistema.

:Las constantes de integración, en cambio, dependen de las condiciones iniciales (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), y por tanto, no son intrínsecas al sistema.

:* condiciones iniciales solo de posición: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales solo de velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales de posición y velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Análisis de la estabilidad de las de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Las oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio sólo son posibles cuando ésta es estable.
La estabilidad se puede analizar muy fácilmente a partir de la ecuación del movimiento linealizada:

<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decrece, y el sistema vuelve a la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> crece, y el sistema se aleja de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''INESTABLE'''.

==D7.2 Ejemplos generales==
====✏️ EJEMPLO D7.1: placa rectangular giratoria====
------

:[[Archivo:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Archivo:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La placa rectangular homogénea, de masa m, está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante respecto al suelo bajo la acción de un motor. Se trata de hallar la ecuación del movimiento asociada al movimiento entre placa y horquilla, y el valor del par motor que garantiza <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripción cinemática:

:Otra opción para calcular <math>\vel{G}{T}</math> es la cinemática de sólido rígido (sólido: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general de interacciones

[[Archivo:D7-Ex1-3esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones ppr sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ ecs}}{\text{sólido}} = 12\text{ecs}</math>

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 incógnitas

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

:La placa es el único elemento cuyomo vimiento depende de <math>\dth</math>. Par tanto, los sistemas posibles en los que aparecerá <math>\ddth</math> cuando se apliquen los teoremas vectoriales son: placa, placa + horquilla.

[[Archivo:D7-Ex1-4-esp.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enlace + <math>\ddth</math> = 6 inc. enlace <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enlace + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc. enlace</center>
 
:Las seis ecuaciones que se generan aplicando los teoremas vectoriales a la placa permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la placa son:

[[Archivo:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterización del torsor de enlace de la horquilla sobre la placa en el punto '''O''' es inmediata tanto si se utiliza la base B como la B’.

:Si se aplica el TCM, las tres componentes incluyen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en '''O''', la fuerza de enlace no aparecerá, y la componente 3 (o 3’) estará libre de incógnitas de enlace.

:Una buena propuesta es:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta:SISTEMA(placa), TMC en }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC en <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{grande}}{0}{0}{0}{\I{pequeño}}{0}{0}{0}{\I{grande + pequeño}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{\I{grande + pequeño}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{pequeño}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{grande + pequeño})\ddth + \I{pequeño - grande}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{pequeño} - \I{grande})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si se substituyen <math>\I{grande + pequeño}</math> i <math>\I{pequeño} - \I{grande}</math> por los valores que dan las tablas, la ecuación queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Análisis de la ecuación del movimiento: configuraciones de equilibrio

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Esta ecuación tiene dos familias de soluciones:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ya que la función coseno está acotada entre -1 y +1, la segunda familia solo existe si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, y esto se cumple solo si la velocidad angular <math>\Omega_0</math> está por encima del valor crítico <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Análisis de la ecuación del movimiento: movimiento de la placa respecto a la horquilla

:Al tratarse de una ecuación no lineal (a causa de la función seno), el movimiento general se obtiene por integración numérica.

:El análisis analítico para pequeñas amplitudes <math>(\varepsilon)</math> alrededor de una configuración de equilibrio <math>\theta_\text{eq}</math> se puede hacer si se aproximan las funciones trigonométricas [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''sección D7.1''')]]:

L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Para las pequeñas amplitudes alrededor de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, la ecuación del movimiento es <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si las condiciones iniciales son <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, la evolución de <math>\varepsilon</math> viene dada por: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Para <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''aumenta'''. Es una configuración '''INESTABLE''' y no puede haber oscilación alrededor de esta configuración.

:* Para <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminuye'''. El movimiento es una oscilación alrededor de una configuración '''ESTABLE'''. La frecuencia angular [rad/s] es <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si las condiciones iniciales son <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> y <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el movimiento pendular no aparece, y el sistema se mueve solo con la rotación <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentario adicional

[[Archivo:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa se hubiera suspendido de la horquilla de manera que el eje 2 fuese el de momento de inercia grande y el eje 1 fuese el de inercia baja, la ecuación del movimiento habría sido:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si se linealiza alrededor de la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Para cualquier valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficiente <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]</math> es positivo, y por tanto la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math> es siempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Hoja de ruta para el par motor

:Las opciones de sistema para calcular el par motor son dos: horquilla, horquilla + placa:

[[Archivo:D7-Ex1-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Archivo:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:La opción (horquilla + placa) es la más adecuada. La descripción de interacciones externas sobre este sistema se muestra en la figura.

:Al tratarse de un par motor, el TMC es el teorema adecuado para llegar a la solución:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (horquilla + placa), TMC en }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El momento cinético es el mismo que se ha calculado antes (ya que la horquilla no tiene masa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\dth} = \vector{2\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ EJEMPLO D7.2: barras giratorias====
-----

:[[Archivo:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta de un marco sin masa y de dos barras homogéneas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\sth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante).

:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex2-2esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones por sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ecs.}}{\text{sólido}} = 12</math> ecs.

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 inc.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:La pieza es el único elemento cuyo el movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex2-3-esp.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:Las seis ecuaciones que se generan si se aplican los teoremas vectoriales a la pieza permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la pieza son las que se muestran a la figura.
:Si se aplica el TCM, las tres componentes contienen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en O, la fuerza de enlace no aparecerá. Por tanto:

<center><math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en} \Os}</math></center>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria al marco. Ya que se asume que el movimiento solo proviene del GL forzado <math>\Omega_0</math>, es la base que gira con <math>\Omega_0</math> respecto al suelo.

:El análisis cualitativo del tensor de inercia se puede hacer considerando primero el tensor de cada barra en su centro de inercia y añadiendo después las correcciones de [[D5. Tensor de inercia#D5.4 Algunas propiedades relevantes del tensor de inercia|'''Steiner''']] para pasar a '''O''':

:[[Archivo:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{-3/2}{0}{-3/2}{9/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Teniendo en cuenta que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constanto y está contenido en el plano de la pieza. Por tanto, gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> y barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:[[Archivo:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:El único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusión: el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo constante) no es posible. La razón es la componente horizontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que es la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fuera estrictamente vertical (paralelo a <math>\vec\Omega_0</math>), entonces <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, y la aplicación del TMC conduciría a valor nulo de las dos componentes de momento <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En otras palabras: si la dirección de la velocidad angular fuese una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']] para el punto '''O''', mantenerla constante sería posible sin necesidad de momento externo.

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras el dedo introduzca una de estas fuerzas, la math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal (sin que aparezca <math>\dth</math>). Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido horario:

:[[Archivo:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar con <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:La ecuación del movimiento es:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, y está claro que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no es una de ellas.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación horaria.

</div>


====✏️ EJEMPLO D7.3: pieza giratoria con partículas====
-----
:
:[[Archivo:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta de un marco sin masa y de dos partículas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\dth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante.

:Diagrama general de interacciones

:Es un sistema del mismo tipo que el del [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']]: tiene dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. El número de ecuaciones que se pueden generar si se aplican los teoremas vectoriales a los dos sólidos es 12: es un problema determinado.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:[[Archivo:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La pieza es el único elemento cuyo movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla. Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], una hoja de ruta adecuada es:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os}</math>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{pieza}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor de inercia en la base B solidaria a la pieza es inmediato:
:[[Archivo:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constante, está contenido en el plano de la pieza, y gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> mientras barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centro de inercia de la pieza se encuentra en la vertical que pasa por '''O''', y por tanto el único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:[[Archivo:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo <math>\Omega_0</math> constante) no es posible porque la dirección de la velocidad angular no es una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']].

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras se introduce una de estas fuerzas, la <math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal. Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido antihorario:

:[[Archivo:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Archivo:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar de acuerdo con la hoja de ruta siguiente: <math>\boxed{\text{Hija de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:La ecuación del movimiento es:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, y es evidente que <math>\theta = 0</math> no es una solución, y que por tanto la pieza necesariamente adquirirá movimiento pendular.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación antihoraria.
</div>



====✏️ EJEMPLO D7.4: bola giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex4-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de masa m y radio r, mantiene contacto puntual sin deslizamiento con el suelo y está articulada a un brazo horizontal. El brazo está articulado a una horquilla que gira con velocidad angular constante bajo la acción de un motor. Brazo y horquilla tienen masa despreciable. El coeficiente de fricción en dirección radial entre bola y suelo es nulo <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Se trata de investigar si la rotación <math>\Omega_0</math> puede provocar la pérdida de contacto entre bola y suelo.

 
 
 
 
 
 
:Descripción cinemática
:El [[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.3 Geometry of the velocity distribution: Instantaneous Screw Axis (ISA)|'''EIRL''']] de la bola respecto al suelo es la recta <math>\Os\Js</math>, y la velocidad angular se puede descomponer en dos rotaciones de Euler:

:[[Archivo:D7-Ex4-2-esp.jpg|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general de interacciones
::[[Archivo:D7-Ex4-3-esp.png|thumb|left|250px|link=]]
:Es un sistema de un GL con 17 incógnitas de enlace. Al contener 3 sólidos rígidos, se trata de un problema determinado:

:(17 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas 
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math>= 18 ecuaciones

:La descripción del sistema se puede aligerar si se trata el brazo como [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''SAE''']], ya que no tiene masa y solo está sometido a interacciones de enlace:

:[[Archivo:D7-Ex4-4-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:El número de incógnitas de enlace asociado al enlace indirecto entre bola y horquilla a través del brazo es 4, ya que la bola tiene dos rotaciones independientes <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecto a la horquilla. El problema sigue siendo determinado:

:(11 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas 
:2 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math> = 12 ecuaciones

:Hoja de ruta para estudiar la pérdida de contacto
:La pérdida de contacto implica la supresión del enlace entre bola y suelo, por tanto la anulación de la fuerza normal N que el suelo ejerce sobre la bola. Los dos sistemas a los que se pueden aplicar los teoremas vectoriales para calcular la N son: bola, bola + (brazo) + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex4-5-esp.png|thumb|center|510px|link=]]

:La mejor opción es aplicar teoremas vectoriales a la bola, ya que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la bola son:

:[[Archivo:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', las fuerzas de enlace asociadas a la articulación con la horquilla no aparecerán, y los únicos momentos en dirección perpendicular al dibujo estarán asociados al peso y a la N. Por tanto:
:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (bola), TMC en } \Os]_{\perp\text{ al dibujo}}}</math>

:El momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se puede calcular a partir del tensor de inercia en '''O''' (ya que '''O''' es un punto fijo a la bola) o por descomposición baricéntrica. En este último caso, ya que la bola es rotor esférico en <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> es paralelo a la velocidad angular de la bola:

:[[Archivo:D7-Ex4-7-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Las dos componentes son constantes en valor, pero la componente horizontal cambia de dirección a causa de la rotación vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibujo}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La fuerza normal aumenta con la velocidad angular, y por tanto el contacto con el suelo se mantiene siempre.

:Alternativa:

:Si el cálculo de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se hace a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> y la derivada se hace de manera analítica:

:[[Archivo:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex5-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:La anilla, de masa m y radio R, gira con velocidad angular <math>\dot\varphi_0</math> constante respecto a la horquilla (de masa despreciable) impulsada por un motor que tiene el estátor (P1) articulado a la horquilla, y el rotor (P2) solidario a la anilla. La horquilla puede girar respecto al suelo con velocidad angular <math>\dot\psi</math>. Inicialmente, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Se trata de investigar cómo evoluciona esta condición inicial, si el deslizamiento entre anilla y suelo desaparecerá en algún momento, y el valor del par motor que garantiza <math>\dot\varphi_0</math> constante mientras hay deslizamiento.

:Descripción cinemática y diagrama general de interacciones
:Para el movimiento más general cuando aún hay deslizamiento, <math>\dot\varphi_0</math> y <math>\dot\psi</math> son independientes, y la descripción de velocidades del sistema y el DGI ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#✏️ EJEMPLO D3.18: actuador rotacional entre dos sólidos|'''ejemplo D3.18''']]) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-2-esp.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anilla} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:En cuanto a la descripción dinámica, hay dos opciones según si se consideran los enlaces directos entre la horquilla y el estátor del motor (P1), y el estátor (P1) y el rotor (P2, solidario a la anilla) (opción 1), o si se trata el enlace indirecto entre horquilla y anilla (opción 2) ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.6 Interacciones a través de actuadores lineales y rotacionales|'''secció D3.6''']]):

:[[Archivo:D7-Ex5-3-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, el problema es determinado:

:Opción 1: (16 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas, 3 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 ecuaciones

:Opción 2: (10 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas, 2 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 ecuaciones

:<big>'''OPCIÓN 1'''</big>
:En esta opción, el DGI se puede aligerar si se trata la horquilla como SAE (ya que tiene masa nula y solo está sometido a interacciones de enlace). El enlace indirecto entre P1 y el techo (suelo) introduce 4 incógnitas, ya que permite dos rotaciones independientes entre los dos:

:[[Archivo:D7-Ex5-4-esp.png|thumb|center|350px|link=]]

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Tanto la anilla como el estátor (P1) tienen un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay tres opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, P1, anilla+P1.

:[[Archivo:D7-Ex5-5-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La mejor opción es (anilla+P1). La caracterización del enlace indirecto entre P1 y techo es inmediata: ya que permite dos rotaciones independientes en direcciones 2 y 3 de P1 respecto al suelo, el torsor contendrá tres componentes de fuerza y una de momento (en dirección 1). Las interacciones externas al sistema (anilla+P1) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', se evitan las tres fuerzas de enlace asociadas al enlace indirecto entre P1 y techo, y solo aparecerán dos incógnitas de enlace <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. Al no haber ninguna componente libre de incógnitas de enlace, habrá que trabajar en principio con las tres para llegar a la ecuación del movimiento.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla+P1), TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético se puede calcular a partir del tensor en '''O''' porque '''O''' es fijo a la anilla:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anilla}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anilla}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math>{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = \left(\mat{\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2} + \mat{0}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}
</math>

:<math>{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{0}{9\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{-2\dot\varphi_0}{0}{9\dot\psi} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}
</math>

:Los momentos externos en '''O''' provienen del peso, de las fuerzas en '''J''' y del momento <math>\Ms_1</math> asociado al enlace indirecto entre P1 y suelo:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs}</math>

:La segunda componente conduce a <math>\Ns = \ms\gs+\frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>, y sustituyendo en la tercera se obtiene la ecuación del movimiento: <math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2}{9}\mu\left(2\frac{\gs}{\rs}+\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>.

:En el instante inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{4}{9}\mu\frac{\gs}{\rs}>0</math>, y por tanto la velocidad angular <math>\dot\psi</math> crece, cosa que hace aumentar la fuerza normal. Esto es indicativo de que no hay riesgo de que se pierda el contacto en '''J'''.

:Cuando <math>\dot\psi</math> llega al valor <math>(\dot\varphi_0/2)</math>, el deslizamiento en '''J''' desaparece:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{anilla}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0</math>

:A partir de este momento, el sistema pasa a tener solo 1 GL, pero el número de incógnitas aumenta, ya que en '''J''' aparecen dos componentes más de fuerza de enlace (además de la N): el problema pasa a ser indeterminado.

:Hoja de ruta para el par motor

:Ya que el par motor actúa entre P1 y la anilla, las dos opciones de sistema para aplicar los teoremas vectoriales son: anilla, P1. Puesto que la ecuación del movimiento para la <math>\psi</math> y la fuerza normal ya se han determinado, el número de incógnitas en estos dos casos es:

:[[Archivo:D7-Ex5-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:La mejor opción, pues, es aplicar teoremas a la anilla. Las interacciones externas sobre este sólido son:

:[[Archivo:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La componente 1 del TMC en '''O''' está libre de incógnitas de enlace (contiene el momento de la fuerza de fricción, pero la N ya no es una incógnita). Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os]_1}</math>

:El momento cinético en '''O''' es el de la anilla, y su derivada tiene componente 1 nula:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓN 2'''</big>
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Solo la anilla tiene un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay dos opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, anilla+horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex5-9-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:Las dos opciones parecen equivalentes. Para escoger una, hay que analizar las interacciones externas que actúan sobre cada uno de los dos sistemas:

:[[Archivo:D7-Ex5-10-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, si se aplica el TMC en '''O''' se evitan tres componentes de fuerza de enlace, pero en la dirección 1 (que es donde puede aparecer la <math>\ddot\varphi</math>) hay siempre un momento (el par motor en un caso, o el <math>\Ms_1</math> entre techo y horquilla en el otro). Tanto si se escoge un sistema como otro, habrá que trabajar en principio con más de una componente del TMC para llegar a la ecuación del movimiento. A continuación se consideran las dos opciones.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético en '''O''' y su derivada son los mismos que se han calculado en la opción 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Los momentos externos en O provienen del peso, de las fuerzas en J, del par motor y del momento <math>\Ms_3</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segunda componente da el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. Al ser siempre positivo, el contacto en '''J''' está asegurado.

:La primera componente da el par motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Pero en la tercera, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de <math>\Ms_3</math>. Por tanto, esta opción no parece adecuada.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + horquilla),TMC en }\Os}</math>

:Los momentos externos son distintos al caso anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En esta opción, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de N, pero las otras componentes no permiten calcular esta fuerza.

:Ahora bien, si se combinan los resultados para las dos opciones, la ecuación del movimiento es inmediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anilla + horquilla), TMC en }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:El cese del deslizamiento se estudia exactamente igual que en la opción 1.



====✏️ EJEMPLO D7.6: péndulo anular giratorio====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex6-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta de una anilla, de masa m y radio R, unida a un brazo que está articulado a un soporte. El soporte puede deslizar a lo largo de una guía lisa. Un muelle lineal de constante k conecta soporte y guía. El conjunto gira alrededor de la vertical con velocidad angular constante <math>\dot\psi_0</math> bajo la acción de un motor. La masa de todos los elementos, salvo la anilla, es despreciable. Se trata de buscar las ecuaciones del movimiento y estudiar las posibles configuracion es de equilibrio.

:Descripción cinemática
:[[Archivo:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:Es un sistema de 3 GL: el movimiento pendular <math>\dot\theta</math>, el movimiento del soporte respecto a la guía (que denominaremos <math>\dot\xs</math>) y la rotación vertical forzada <math>\dot\psi_0</math>.

:El movimiento del centro de la anilla '''G''' respecto al suelo se puede determinar a través de una doble composición:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guía} \\
\text{AB: soporte}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guía}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex6-3-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema es determinado:

:(15 inc. de enlace, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sólidos}}</math> = 18 ecuaciones
 
 
 
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math>

:El movimiento de la anilla es el único que depende de <math>\ddth</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, anilla+soporte+guía.

:[[Archivo:D7-Ex6-4-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opción es la menos adecuada. En cuanto a las otras dos, las interacciones externas a tener en cuenta son:

:[[Archivo:D7-Ex6-5-esp.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''' a la anilla, la componente 1 está libre de incógnitas de enlace, y es precisamente en esta dirección en donde aparece la velocidad angular <math>\dth</math> (y, por tanto, el cambio de su valor <math>\ddth</math>). En la opción (anilla+soporte), esta componente incluye un momento de enlace. Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ya que el punto '''O''' se mueve respecto al suelo: <math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Por otro lado, '''O''' es un punto fijo a la anilla: <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalmente: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Esta ecuación del movimiento incluye también la variable <math>\ddot\xs</math>. Esto quiere decir que los grados de libertad <math>\dth</math> y <math>\dot\xs</math> están '''acoplados''': aunque el movimiento empiece con unas condiciones iniciales que solo son no nulas para uno de ellas, el otro puede aparecer.

:La componente 1 del TMC en '''O''' para el sistema anilla es la única donde aparecen <math>\dth</math> y <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, la otra ecuación del movimiento no se puede determinar con ninguna de las otras dos componentes.

La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada x 

:El movimiento de la anilla y el del soporte dependen de <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, soporte, soporte+guía, anilla+soporte+guia. Ya que se ha determinado la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ya no es una incógnita.

:[[Archivo:D7-Ex6-6-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex6-7-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:Como antes, las mejores opciones son las dos primeras. La primera ya se ha utilizado, por tanto aplicaremos los teoremas a la segunda. A partir de la representación de las interacciones externas que actúan sobre el sistema (anilla+soporte), se ve que la componente vertical (dirección 3’) del TCM estará libre de incógnitas de enlace. Por tanto: <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + soporte), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Cálculo de la aceleración de '''G''':

:'''Opción 1''': por derivación de la velocidad descrita anteriormente, ya que corresponde a una configuración general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opción 2''': por cinemática del sólido rígido.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anilla} \\
\Os\in\text{anilla}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anilla}{T}\times\velang{anilla}{T}\times\OGvec + \accang{anilla}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anilla}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:La aceleración angular <math>\accang{anilla}{T}</math> proviene del cambio de valor y de dirección de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anilla}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulación de la fuerza del muelle

:[[Archivo:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translación vertical del soporte <math>(\dot\xs)</math> está asociado a la variación de una coordenada x cuyo origen aun no se ha definido. Es habitual escoger el origen de las coordenadas de manera que coincidan con configuraciones de equilibrio.

:Si se toma <math>\xs=0</math> para el equilibrio en ausencia de rotación <math>\dot\psi_0</math>, está claro que el muelle tendrá que ejercer una fuerza <math>\Fs_0</math> de atracción sobre el péndulo para contrarrestar el peso: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulación general de la fuerza de atracción del muelle será pues: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ya que el movimiento <math>\dot\xs</math> se ha definido positivo hacia abajo, un aumento de <math>\xs</math> implica un aumento de longitud del muelle. Por tanto: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentarios sobre el acoplamiento de los dos GL

:Las condiciones iniciales <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> con las que se pone en marcha el movimiento determinan los GL que aparecerán.

:Una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no conseguirá nunca hacer aparecer el movimiento pendular, ya que las ecuaciones para el instante inicial son:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En cambio, una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movimiento vertical <math>\dot\xs</math>, ya que la ecuación que gobierna la <math>\dot\xs</math> para el instante inicial es:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio estático
:Las configuraciones de equilibrio estático (las que corresponden a tener el sistema completamente parado, con <math>\dot\psi_0 = 0</math>) se obtienen de las ecuaciones del movimiento imponiendo <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si consideramos una pequeña perturbación de estas configuraciones de equilibrio <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, las ecuaciones se pueden [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|'''linealizar''']]. Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, se trata de una configuración '''ESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, se trata de una configuración '''INESTABLE'''.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio en rotación

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, para <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> la ecuación del movimiento para la x no cambia (por tanto, <math>\xs_\text{eq}=0</math> es estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), pero la de la <math>\theta</math> tiene un terme adicional, y aparecen dos familias de configuraciones de equilibrio:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:Sin embargo, la segunda familia solo existe por encima de un valor crítico de <math>\dot\psi_0^2</math> ya que la función <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> está acotada entre -1 y +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealización de la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math> conduce a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuración es '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> y <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuración es '''INESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, la ecuación del movimiento linealizada para la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuración és '''INESTABLE''' para cualquier valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:El estudio de las configuraciones <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> se hace de manera análoga, pero es mucho más largo. Por este motivo, no se hace.



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[[D8. Conservaciones|D8. Conservaciones >>>]]

</center>

D7. Ejemplos de dinámica 3D

2026-02-26T16:14:32Z

Eantem: /* ✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
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\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
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\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
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\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
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\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
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\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
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\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>

En esta unidad, el procedimiento sistemático propuesto en la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.4 Diagrama general de interacciones (DGI)|'''sección D6.4''']] se aplica a ejemplos de dinámica 3D para obtener ecuaciones del movimiento y pares motores. Además, se presenta también un análisis sistemático de las ecuaciones del movimiento.

==D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento==

La obtención de las ecuaciones del movimiento de los GL libres de los sistemas multisólido no es, en general, el objetivo de los problemas de dinámica, sino un paso previo a su integración para conocer cómo evolucionan a lo largo del tiempo las coordenadas que describen la configuración del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Sin embargo, estas ecuaciones suelen ser no lineales, y su integración es necesariamente numérica. A pesar de eso, hay algunos aspectos del comportamiento del sistema que se pueden investigar de manera analítica.

Configuraciones de equilibrio

Las configuraciones de equilibrio son aquellas configuraciones para las que, si el sistema se deja en reposo <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, permanece en reposo <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Por tanto, el valor de las coordenadas en equilibrio viene dado por:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>
</center>

La ecuación que define las <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> puede ser trascendente y no tener solución analítica. En ese caso, se puede recurrir a una resolución numérica o una resolución gráfica.

Análisis de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Si se considera que el valor de las coordenadas es muy cercano al de una configuración de equilibrio <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js</math>, con <math>\varepsilon_\js << 1</math>, y por tanto <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>) las funciones no lineales que aparecen en las ecuaciones del movimiento se pueden aproximar por los términos lineales de su desarrollo en serie de Taylor. Por ejemplo:

:* si aparecen polinomios de grado superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si se trata de una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> y aparecen funciones seno y coseno:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Una vez linealizada, la ecuación es del tipo: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, donde A, B, y C son escalares. En este curso, sin embargo, a menudo la ecuación es más sencilla y no contiene término en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solución general es: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, con <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Las constantes de integración dependen de las condiciones iniciales <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
:La solución <math>\varepsilon(\ts)</math> de la ecuación <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una función cuya segunda derivada sea proporcional a la función sin derivar. Las funciones seno, coseno y exponencial cumplen esta condición. Si se prueba la primera (que tiene que contener dos constantes de integración):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Si se sustituyen estas expresiones en la ecuación del movimiento:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El movimiento es una oscilación alrededor de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math> cuya frecuencia angular <math>(\omega)</math> depende de parámetros del sistema.

:Las constantes de integración, en cambio, dependen de las condiciones iniciales (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), y por tanto, no son intrínsecas al sistema.

:* condiciones iniciales solo de posición: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales solo de velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales de posición y velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Análisis de la estabilidad de las de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Las oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio sólo son posibles cuando ésta es estable.
La estabilidad se puede analizar muy fácilmente a partir de la ecuación del movimiento linealizada:

<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decrece, y el sistema vuelve a la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> crece, y el sistema se aleja de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''INESTABLE'''.

==D7.2 Ejemplos generales==
====✏️ EJEMPLO D7.1: placa rectangular giratoria====
------

:[[Archivo:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Archivo:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La placa rectangular homogénea, de masa m, está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante respecto al suelo bajo la acción de un motor. Se trata de hallar la ecuación del movimiento asociada al movimiento entre placa y horquilla, y el valor del par motor que garantiza <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripción cinemática:

:Otra opción para calcular <math>\vel{G}{T}</math> es la cinemática de sólido rígido (sólido: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general de interacciones

[[Archivo:D7-Ex1-3esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones ppr sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ ecs}}{\text{sólido}} = 12\text{ecs}</math>

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 incógnitas

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

:La placa es el único elemento cuyomo vimiento depende de <math>\dth</math>. Par tanto, los sistemas posibles en los que aparecerá <math>\ddth</math> cuando se apliquen los teoremas vectoriales son: placa, placa + horquilla.

[[Archivo:D7-Ex1-4-esp.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enlace + <math>\ddth</math> = 6 inc. enlace <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enlace + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc. enlace</center>
 
:Las seis ecuaciones que se generan aplicando los teoremas vectoriales a la placa permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la placa son:

[[Archivo:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterización del torsor de enlace de la horquilla sobre la placa en el punto '''O''' es inmediata tanto si se utiliza la base B como la B’.

:Si se aplica el TCM, las tres componentes incluyen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en '''O''', la fuerza de enlace no aparecerá, y la componente 3 (o 3’) estará libre de incógnitas de enlace.

:Una buena propuesta es:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta:SISTEMA(placa), TMC en }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC en <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{grande}}{0}{0}{0}{\I{pequeño}}{0}{0}{0}{\I{grande + pequeño}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{\I{grande + pequeño}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{pequeño}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{grande + pequeño})\ddth + \I{pequeño - grande}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{pequeño} - \I{grande})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si se substituyen <math>\I{grande + pequeño}</math> i <math>\I{pequeño} - \I{grande}</math> por los valores que dan las tablas, la ecuación queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Análisis de la ecuación del movimiento: configuraciones de equilibrio

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Esta ecuación tiene dos familias de soluciones:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ya que la función coseno está acotada entre -1 y +1, la segunda familia solo existe si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, y esto se cumple solo si la velocidad angular <math>\Omega_0</math> está por encima del valor crítico <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Análisis de la ecuación del movimiento: movimiento de la placa respecto a la horquilla

:Al tratarse de una ecuación no lineal (a causa de la función seno), el movimiento general se obtiene por integración numérica.

:El análisis analítico para pequeñas amplitudes <math>(\varepsilon)</math> alrededor de una configuración de equilibrio <math>\theta_\text{eq}</math> se puede hacer si se aproximan las funciones trigonométricas [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''sección D7.1''')]]:

L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Para las pequeñas amplitudes alrededor de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, la ecuación del movimiento es <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si las condiciones iniciales son <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, la evolución de <math>\varepsilon</math> viene dada por: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Para <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''aumenta'''. Es una configuración '''INESTABLE''' y no puede haber oscilación alrededor de esta configuración.

:* Para <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminuye'''. El movimiento es una oscilación alrededor de una configuración '''ESTABLE'''. La frecuencia angular [rad/s] es <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si las condiciones iniciales son <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> y <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el movimiento pendular no aparece, y el sistema se mueve solo con la rotación <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentario adicional

[[Archivo:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa se hubiera suspendido de la horquilla de manera que el eje 2 fuese el de momento de inercia grande y el eje 1 fuese el de inercia baja, la ecuación del movimiento habría sido:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si se linealiza alrededor de la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Para cualquier valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficiente <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]</math> es positivo, y por tanto la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math> es siempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Hoja de ruta para el par motor

:Las opciones de sistema para calcular el par motor son dos: horquilla, horquilla + placa:

[[Archivo:D7-Ex1-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Archivo:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:La opción (horquilla + placa) es la más adecuada. La descripción de interacciones externas sobre este sistema se muestra en la figura.

:Al tratarse de un par motor, el TMC es el teorema adecuado para llegar a la solución:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (horquilla + placa), TMC en }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El momento cinético es el mismo que se ha calculado antes (ya que la horquilla no tiene masa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\dth} = \vector{2\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ EJEMPLO D7.2: barras giratorias====
-----

:[[Archivo:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta de un marco sin masa y de dos barras homogéneas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\sth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante).

:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex2-2esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones por sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ecs.}}{\text{sólido}} = 12</math> ecs.

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 inc.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:La pieza es el único elemento cuyo el movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex2-3-esp.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:Las seis ecuaciones que se generan si se aplican los teoremas vectoriales a la pieza permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la pieza son las que se muestran a la figura.
:Si se aplica el TCM, las tres componentes contienen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en O, la fuerza de enlace no aparecerá. Por tanto:

<center><math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en} \Os}</math></center>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria al marco. Ya que se asume que el movimiento solo proviene del GL forzado <math>\Omega_0</math>, es la base que gira con <math>\Omega_0</math> respecto al suelo.

:El análisis cualitativo del tensor de inercia se puede hacer considerando primero el tensor de cada barra en su centro de inercia y añadiendo después las correcciones de [[D5. Tensor de inercia#D5.4 Algunas propiedades relevantes del tensor de inercia|'''Steiner''']] para pasar a '''O''':

:[[Archivo:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{-3/2}{0}{-3/2}{9/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Teniendo en cuenta que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constanto y está contenido en el plano de la pieza. Por tanto, gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> y barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:[[Archivo:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:El único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusión: el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo constante) no es posible. La razón es la componente horizontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que es la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fuera estrictamente vertical (paralelo a <math>\vec\Omega_0</math>), entonces <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, y la aplicación del TMC conduciría a valor nulo de las dos componentes de momento <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En otras palabras: si la dirección de la velocidad angular fuese una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']] para el punto '''O''', mantenerla constante sería posible sin necesidad de momento externo.

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras el dedo introduzca una de estas fuerzas, la math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal (sin que aparezca <math>\dth</math>). Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido horario:

:[[Archivo:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar con <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:La ecuación del movimiento es:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, y está claro que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no es una de ellas.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación horaria.

</div>


====✏️ EJEMPLO D7.3: pieza giratoria con partículas====
-----
:
:[[Archivo:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta de un marco sin masa y de dos partículas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\dth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante.

:Diagrama general de interacciones

:Es un sistema del mismo tipo que el del [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']]: tiene dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. El número de ecuaciones que se pueden generar si se aplican los teoremas vectoriales a los dos sólidos es 12: es un problema determinado.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:[[Archivo:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La pieza es el único elemento cuyo movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla. Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], una hoja de ruta adecuada es:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os}</math>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{pieza}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor de inercia en la base B solidaria a la pieza es inmediato:
:[[Archivo:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constante, está contenido en el plano de la pieza, y gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> mientras barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centro de inercia de la pieza se encuentra en la vertical que pasa por '''O''', y por tanto el único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:[[Archivo:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo <math>\Omega_0</math> constante) no es posible porque la dirección de la velocidad angular no es una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']].

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras se introduce una de estas fuerzas, la <math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal. Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido antihorario:

:[[Archivo:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Archivo:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar de acuerdo con la hoja de ruta siguiente: <math>\boxed{\text{Hija de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:La ecuación del movimiento es:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, y es evidente que <math>\theta = 0</math> no es una solución, y que por tanto la pieza necesariamente adquirirá movimiento pendular.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación antihoraria.
</div>



====✏️ EJEMPLO D7.4: bola giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex4-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de masa m y radio r, mantiene contacto puntual sin deslizamiento con el suelo y está articulada a un brazo horizontal. El brazo está articulado a una horquilla que gira con velocidad angular constante bajo la acción de un motor. Brazo y horquilla tienen masa despreciable. El coeficiente de fricción en dirección radial entre bola y suelo es nulo <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Se trata de investigar si la rotación <math>\Omega_0</math> puede provocar la pérdida de contacto entre bola y suelo.

 
 
 
 
 
 
:Descripción cinemática
:El [[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.3 Geometry of the velocity distribution: Instantaneous Screw Axis (ISA)|'''EIRL''']] de la bola respecto al suelo es la recta <math>\Os\Js</math>, y la velocidad angular se puede descomponer en dos rotaciones de Euler:

:[[Archivo:D7-Ex4-2-esp.jpg|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general de interacciones
::[[Archivo:D7-Ex4-3-esp.png|thumb|left|250px|link=]]
:Es un sistema de un GL con 17 incógnitas de enlace. Al contener 3 sólidos rígidos, se trata de un problema determinado:

:(17 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas 
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math>= 18 ecuaciones

:La descripción del sistema se puede aligerar si se trata el brazo como [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''SAE''']], ya que no tiene masa y solo está sometido a interacciones de enlace:

:[[Archivo:D7-Ex4-4-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:El número de incógnitas de enlace asociado al enlace indirecto entre bola y horquilla a través del brazo es 4, ya que la bola tiene dos rotaciones independientes <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecto a la horquilla. El problema sigue siendo determinado:

:(11 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas 
:2 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math> = 12 ecuaciones

:Hoja de ruta para estudiar la pérdida de contacto
:La pérdida de contacto implica la supresión del enlace entre bola y suelo, por tanto la anulación de la fuerza normal N que el suelo ejerce sobre la bola. Los dos sistemas a los que se pueden aplicar los teoremas vectoriales para calcular la N son: bola, bola + (brazo) + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex4-5-esp.png|thumb|center|510px|link=]]

:La mejor opción es aplicar teoremas vectoriales a la bola, ya que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la bola son:

:[[Archivo:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', las fuerzas de enlace asociadas a la articulación con la horquilla no aparecerán, y los únicos momentos en dirección perpendicular al dibujo estarán asociados al peso y a la N. Por tanto:
:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (bola), TMC en } \Os]_{\perp\text{ al dibujo}}}</math>

:El momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se puede calcular a partir del tensor de inercia en '''O''' (ya que '''O''' es un punto fijo a la bola) o por descomposición baricéntrica. En este último caso, ya que la bola es rotor esférico en <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> es paralelo a la velocidad angular de la bola:

:[[Archivo:D7-Ex4-7-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Las dos componentes son constantes en valor, pero la componente horizontal cambia de dirección a causa de la rotación vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibujo}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La fuerza normal aumenta con la velocidad angular, y por tanto el contacto con el suelo se mantiene siempre.

:Alternativa:

:Si el cálculo de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se hace a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> y la derivada se hace de manera analítica:

:[[Archivo:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex5-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:La anilla, de masa m y radio R, gira con velocidad angular <math>\dot\varphi_0</math> constante respecto a la horquilla (de masa despreciable) impulsada por un motor que tiene el estátor (P1) articulado a la horquilla, y el rotor (P2) solidario a la anilla. La horquilla puede girar respecto al suelo con velocidad angular <math>\dot\psi</math>. Inicialmente, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Se trata de investigar cómo evoluciona esta condición inicial, si el deslizamiento entre anilla y suelo desaparecerá en algún momento, y el valor del par motor que garantiza <math>\dot\varphi_0</math> constante mientras hay deslizamiento.

:Descripción cinemática y diagrama general de interacciones
:Para el movimiento más general cuando aún hay deslizamiento, <math>\dot\varphi_0</math> y <math>\dot\psi</math> son independientes, y la descripción de velocidades del sistema y el DGI ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#✏️ EJEMPLO D3.18: actuador rotacional entre dos sólidos|'''ejemplo D3.18''']]) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-2-esp.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anilla} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:En cuanto a la descripción dinámica, hay dos opciones según si se consideran los enlaces directos entre la horquilla y el estátor del motor (P1), y el estátor (P1) y el rotor (P2, solidario a la anilla) (opción 1), o si se trata el enlace indirecto entre horquilla y anilla (opción 2) ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.6 Interacciones a través de actuadores lineales y rotacionales|'''secció D3.6''']]):

:[[Archivo:D7-Ex5-3-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, el problema es determinado:

:Opción 1: (16 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas, 3 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 ecuaciones

:Opción 2: (10 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas, 2 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 ecuaciones

:<big>'''OPCIÓN 1'''</big>
:En esta opción, el DGI se puede aligerar si se trata la horquilla como SAE (ya que tiene masa nula y solo está sometido a interacciones de enlace). El enlace indirecto entre brazo y techo (suelo) introduce 4 incógnitas, ya que permite dos rotaciones independientes entre los dos:

:[[Archivo:D7-Ex5-4-esp.png|thumb|center|350px|link=]]

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Tanto la anilla como el estátor (P1) tienen un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay tres opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, P1, anilla+P1.

:[[Archivo:D7-Ex5-5-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La mejor opción es (anilla+P1). La caracterización del enlace indirecto entre P1 y techo es inmediata: ya que permite dos rotaciones independientes en direcciones 2 y 3 de P1 respecto al suelo, el torsor contendrá tres componentes de fuerza y una de momento (en dirección 1). Las interacciones externas al sistema (anilla+P1) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', se evitan las tres fuerzas de enlace asociadas al enlace indirecto entre P1 y techo, y solo aparecerán dos incógnitas de enlace <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. Al no haber ninguna componente libre de incógnitas de enlace, habrá que trabajar en principio con las tres para llegar a la ecuación del movimiento.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla+P1), TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético se puede calcular a partir del tensor en '''O''' porque '''O''' es fijo a la anilla:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anilla}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anilla}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math>{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = \left(\mat{\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2} + \mat{0}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}
</math>

:<math>{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{0}{9\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{-2\dot\varphi_0}{0}{9\dot\psi} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}
</math>

:Los momentos externos en '''O''' provienen del peso, de las fuerzas en '''J''' y del momento <math>\Ms_1</math> asociado al enlace indirecto entre P1 y suelo:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs}</math>

:La segunda componente conduce a <math>\Ns = \ms\gs+\frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>, y sustituyendo en la tercera se obtiene la ecuación del movimiento: <math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2}{9}\mu\left(2\frac{\gs}{\rs}+\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>.

:En el instante inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{4}{9}\mu\frac{\gs}{\rs}>0</math>, y por tanto la velocidad angular <math>\dot\psi</math> crece, cosa que hace aumentar la fuerza normal. Esto es indicativo de que no hay riesgo de que se pierda el contacto en '''J'''.

:Cuando <math>\dot\psi</math> llega al valor <math>(\dot\varphi_0/2)</math>, el deslizamiento en '''J''' desaparece:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{anilla}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0</math>

:A partir de este momento, el sistema pasa a tener solo 1 GL, pero el número de incógnitas aumenta, ya que en '''J''' aparecen dos componentes más de fuerza de enlace (además de la N): el problema pasa a ser indeterminado.

:Hoja de ruta para el par motor

:Ya que el par motor actúa entre P1 y la anilla, las dos opciones de sistema para aplicar los teoremas vectoriales son: anilla, P1. Puesto que la ecuación del movimiento para la <math>\psi</math> y la fuerza normal ya se han determinado, el número de incógnitas en estos dos casos es:

:[[Archivo:D7-Ex5-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:La mejor opción, pues, es aplicar teoremas a la anilla. Las interacciones externas sobre este sólido son:

:[[Archivo:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La componente 1 del TMC en '''O''' está libre de incógnitas de enlace (contiene el momento de la fuerza de fricción, pero la N ya no es una incógnita). Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os]_1}</math>

:El momento cinético en '''O''' es el de la anilla, y su derivada tiene componente 1 nula:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓN 2'''</big>
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Solo la anilla tiene un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay dos opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, anilla+horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex5-9-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:Las dos opciones parecen equivalentes. Para escoger una, hay que analizar las interacciones externas que actúan sobre cada uno de los dos sistemas:

:[[Archivo:D7-Ex5-10-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, si se aplica el TMC en '''O''' se evitan tres componentes de fuerza de enlace, pero en la dirección 1 (que es donde puede aparecer la <math>\ddot\varphi</math>) hay siempre un momento (el par motor en un caso, o el <math>\Ms_1</math> entre techo y horquilla en el otro). Tanto si se escoge un sistema como otro, habrá que trabajar en principio con más de una componente del TMC para llegar a la ecuación del movimiento. A continuación se consideran las dos opciones.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético en '''O''' y su derivada son los mismos que se han calculado en la opción 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Los momentos externos en O provienen del peso, de las fuerzas en J, del par motor y del momento <math>\Ms_3</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segunda componente da el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. Al ser siempre positivo, el contacto en '''J''' está asegurado.

:La primera componente da el par motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Pero en la tercera, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de <math>\Ms_3</math>. Por tanto, esta opción no parece adecuada.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + horquilla),TMC en }\Os}</math>

:Los momentos externos son distintos al caso anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En esta opción, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de N, pero las otras componentes no permiten calcular esta fuerza.

:Ahora bien, si se combinan los resultados para las dos opciones, la ecuación del movimiento es inmediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anilla + horquilla), TMC en }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:El cese del deslizamiento se estudia exactamente igual que en la opción 1.



====✏️ EJEMPLO D7.6: péndulo anular giratorio====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex6-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta de una anilla, de masa m y radio R, unida a un brazo que está articulado a un soporte. El soporte puede deslizar a lo largo de una guía lisa. Un muelle lineal de constante k conecta soporte y guía. El conjunto gira alrededor de la vertical con velocidad angular constante <math>\dot\psi_0</math> bajo la acción de un motor. La masa de todos los elementos, salvo la anilla, es despreciable. Se trata de buscar las ecuaciones del movimiento y estudiar las posibles configuracion es de equilibrio.

:Descripción cinemática
:[[Archivo:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:Es un sistema de 3 GL: el movimiento pendular <math>\dot\theta</math>, el movimiento del soporte respecto a la guía (que denominaremos <math>\dot\xs</math>) y la rotación vertical forzada <math>\dot\psi_0</math>.

:El movimiento del centro de la anilla '''G''' respecto al suelo se puede determinar a través de una doble composición:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guía} \\
\text{AB: soporte}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guía}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex6-3-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema es determinado:

:(15 inc. de enlace, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sólidos}}</math> = 18 ecuaciones
 
 
 
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math>

:El movimiento de la anilla es el único que depende de <math>\ddth</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, anilla+soporte+guía.

:[[Archivo:D7-Ex6-4-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opción es la menos adecuada. En cuanto a las otras dos, las interacciones externas a tener en cuenta son:

:[[Archivo:D7-Ex6-5-esp.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''' a la anilla, la componente 1 está libre de incógnitas de enlace, y es precisamente en esta dirección en donde aparece la velocidad angular <math>\dth</math> (y, por tanto, el cambio de su valor <math>\ddth</math>). En la opción (anilla+soporte), esta componente incluye un momento de enlace. Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ya que el punto '''O''' se mueve respecto al suelo: <math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Por otro lado, '''O''' es un punto fijo a la anilla: <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalmente: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Esta ecuación del movimiento incluye también la variable <math>\ddot\xs</math>. Esto quiere decir que los grados de libertad <math>\dth</math> y <math>\dot\xs</math> están '''acoplados''': aunque el movimiento empiece con unas condiciones iniciales que solo son no nulas para uno de ellas, el otro puede aparecer.

:La componente 1 del TMC en '''O''' para el sistema anilla es la única donde aparecen <math>\dth</math> y <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, la otra ecuación del movimiento no se puede determinar con ninguna de las otras dos componentes.

La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada x 

:El movimiento de la anilla y el del soporte dependen de <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, soporte, soporte+guía, anilla+soporte+guia. Ya que se ha determinado la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ya no es una incógnita.

:[[Archivo:D7-Ex6-6-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex6-7-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:Como antes, las mejores opciones son las dos primeras. La primera ya se ha utilizado, por tanto aplicaremos los teoremas a la segunda. A partir de la representación de las interacciones externas que actúan sobre el sistema (anilla+soporte), se ve que la componente vertical (dirección 3’) del TCM estará libre de incógnitas de enlace. Por tanto: <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + soporte), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Cálculo de la aceleración de '''G''':

:'''Opción 1''': por derivación de la velocidad descrita anteriormente, ya que corresponde a una configuración general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opción 2''': por cinemática del sólido rígido.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anilla} \\
\Os\in\text{anilla}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anilla}{T}\times\velang{anilla}{T}\times\OGvec + \accang{anilla}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anilla}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:La aceleración angular <math>\accang{anilla}{T}</math> proviene del cambio de valor y de dirección de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anilla}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulación de la fuerza del muelle

:[[Archivo:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translación vertical del soporte <math>(\dot\xs)</math> está asociado a la variación de una coordenada x cuyo origen aun no se ha definido. Es habitual escoger el origen de las coordenadas de manera que coincidan con configuraciones de equilibrio.

:Si se toma <math>\xs=0</math> para el equilibrio en ausencia de rotación <math>\dot\psi_0</math>, está claro que el muelle tendrá que ejercer una fuerza <math>\Fs_0</math> de atracción sobre el péndulo para contrarrestar el peso: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulación general de la fuerza de atracción del muelle será pues: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ya que el movimiento <math>\dot\xs</math> se ha definido positivo hacia abajo, un aumento de <math>\xs</math> implica un aumento de longitud del muelle. Por tanto: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentarios sobre el acoplamiento de los dos GL

:Las condiciones iniciales <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> con las que se pone en marcha el movimiento determinan los GL que aparecerán.

:Una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no conseguirá nunca hacer aparecer el movimiento pendular, ya que las ecuaciones para el instante inicial son:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En cambio, una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movimiento vertical <math>\dot\xs</math>, ya que la ecuación que gobierna la <math>\dot\xs</math> para el instante inicial es:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio estático
:Las configuraciones de equilibrio estático (las que corresponden a tener el sistema completamente parado, con <math>\dot\psi_0 = 0</math>) se obtienen de las ecuaciones del movimiento imponiendo <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si consideramos una pequeña perturbación de estas configuraciones de equilibrio <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, las ecuaciones se pueden [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|'''linealizar''']]. Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, se trata de una configuración '''ESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, se trata de una configuración '''INESTABLE'''.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio en rotación

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, para <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> la ecuación del movimiento para la x no cambia (por tanto, <math>\xs_\text{eq}=0</math> es estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), pero la de la <math>\theta</math> tiene un terme adicional, y aparecen dos familias de configuraciones de equilibrio:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:Sin embargo, la segunda familia solo existe por encima de un valor crítico de <math>\dot\psi_0^2</math> ya que la función <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> está acotada entre -1 y +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealización de la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math> conduce a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuración es '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> y <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuración es '''INESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, la ecuación del movimiento linealizada para la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuración és '''INESTABLE''' para cualquier valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:El estudio de las configuraciones <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> se hace de manera análoga, pero es mucho más largo. Por este motivo, no se hace.



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</center>

Archivo:D7-Ex5-4-esp.png

2026-02-26T16:13:26Z

Eantem:

D7. Ejemplos de dinámica 3D

2026-02-25T17:43:36Z

Eantem: /* ✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
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\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
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\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
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\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
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\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
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\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
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\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
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\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
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\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>

En esta unidad, el procedimiento sistemático propuesto en la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.4 Diagrama general de interacciones (DGI)|'''sección D6.4''']] se aplica a ejemplos de dinámica 3D para obtener ecuaciones del movimiento y pares motores. Además, se presenta también un análisis sistemático de las ecuaciones del movimiento.

==D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento==

La obtención de las ecuaciones del movimiento de los GL libres de los sistemas multisólido no es, en general, el objetivo de los problemas de dinámica, sino un paso previo a su integración para conocer cómo evolucionan a lo largo del tiempo las coordenadas que describen la configuración del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Sin embargo, estas ecuaciones suelen ser no lineales, y su integración es necesariamente numérica. A pesar de eso, hay algunos aspectos del comportamiento del sistema que se pueden investigar de manera analítica.

Configuraciones de equilibrio

Las configuraciones de equilibrio son aquellas configuraciones para las que, si el sistema se deja en reposo <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, permanece en reposo <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Por tanto, el valor de las coordenadas en equilibrio viene dado por:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>
</center>

La ecuación que define las <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> puede ser trascendente y no tener solución analítica. En ese caso, se puede recurrir a una resolución numérica o una resolución gráfica.

Análisis de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Si se considera que el valor de las coordenadas es muy cercano al de una configuración de equilibrio <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js</math>, con <math>\varepsilon_\js << 1</math>, y por tanto <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>) las funciones no lineales que aparecen en las ecuaciones del movimiento se pueden aproximar por los términos lineales de su desarrollo en serie de Taylor. Por ejemplo:

:* si aparecen polinomios de grado superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si se trata de una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> y aparecen funciones seno y coseno:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Una vez linealizada, la ecuación es del tipo: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, donde A, B, y C son escalares. En este curso, sin embargo, a menudo la ecuación es más sencilla y no contiene término en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solución general es: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, con <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Las constantes de integración dependen de las condiciones iniciales <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
:La solución <math>\varepsilon(\ts)</math> de la ecuación <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una función cuya segunda derivada sea proporcional a la función sin derivar. Las funciones seno, coseno y exponencial cumplen esta condición. Si se prueba la primera (que tiene que contener dos constantes de integración):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Si se sustituyen estas expresiones en la ecuación del movimiento:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El movimiento es una oscilación alrededor de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math> cuya frecuencia angular <math>(\omega)</math> depende de parámetros del sistema.

:Las constantes de integración, en cambio, dependen de las condiciones iniciales (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), y por tanto, no son intrínsecas al sistema.

:* condiciones iniciales solo de posición: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales solo de velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales de posición y velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Análisis de la estabilidad de las de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Las oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio sólo son posibles cuando ésta es estable.
La estabilidad se puede analizar muy fácilmente a partir de la ecuación del movimiento linealizada:

<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decrece, y el sistema vuelve a la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> crece, y el sistema se aleja de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''INESTABLE'''.

==D7.2 Ejemplos generales==
====✏️ EJEMPLO D7.1: placa rectangular giratoria====
------

:[[Archivo:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Archivo:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La placa rectangular homogénea, de masa m, está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante respecto al suelo bajo la acción de un motor. Se trata de hallar la ecuación del movimiento asociada al movimiento entre placa y horquilla, y el valor del par motor que garantiza <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripción cinemática:

:Otra opción para calcular <math>\vel{G}{T}</math> es la cinemática de sólido rígido (sólido: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general de interacciones

[[Archivo:D7-Ex1-3esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones ppr sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ ecs}}{\text{sólido}} = 12\text{ecs}</math>

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 incógnitas

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

:La placa es el único elemento cuyomo vimiento depende de <math>\dth</math>. Par tanto, los sistemas posibles en los que aparecerá <math>\ddth</math> cuando se apliquen los teoremas vectoriales son: placa, placa + horquilla.

[[Archivo:D7-Ex1-4-esp.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enlace + <math>\ddth</math> = 6 inc. enlace <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enlace + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc. enlace</center>
 
:Las seis ecuaciones que se generan aplicando los teoremas vectoriales a la placa permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la placa son:

[[Archivo:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterización del torsor de enlace de la horquilla sobre la placa en el punto '''O''' es inmediata tanto si se utiliza la base B como la B’.

:Si se aplica el TCM, las tres componentes incluyen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en '''O''', la fuerza de enlace no aparecerá, y la componente 3 (o 3’) estará libre de incógnitas de enlace.

:Una buena propuesta es:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta:SISTEMA(placa), TMC en }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC en <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{grande}}{0}{0}{0}{\I{pequeño}}{0}{0}{0}{\I{grande + pequeño}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{\I{grande + pequeño}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{pequeño}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{grande + pequeño})\ddth + \I{pequeño - grande}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{pequeño} - \I{grande})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si se substituyen <math>\I{grande + pequeño}</math> i <math>\I{pequeño} - \I{grande}</math> por los valores que dan las tablas, la ecuación queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Análisis de la ecuación del movimiento: configuraciones de equilibrio

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Esta ecuación tiene dos familias de soluciones:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ya que la función coseno está acotada entre -1 y +1, la segunda familia solo existe si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, y esto se cumple solo si la velocidad angular <math>\Omega_0</math> está por encima del valor crítico <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Análisis de la ecuación del movimiento: movimiento de la placa respecto a la horquilla

:Al tratarse de una ecuación no lineal (a causa de la función seno), el movimiento general se obtiene por integración numérica.

:El análisis analítico para pequeñas amplitudes <math>(\varepsilon)</math> alrededor de una configuración de equilibrio <math>\theta_\text{eq}</math> se puede hacer si se aproximan las funciones trigonométricas [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''sección D7.1''')]]:

L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Para las pequeñas amplitudes alrededor de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, la ecuación del movimiento es <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si las condiciones iniciales son <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, la evolución de <math>\varepsilon</math> viene dada por: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Para <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''aumenta'''. Es una configuración '''INESTABLE''' y no puede haber oscilación alrededor de esta configuración.

:* Para <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminuye'''. El movimiento es una oscilación alrededor de una configuración '''ESTABLE'''. La frecuencia angular [rad/s] es <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si las condiciones iniciales son <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> y <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el movimiento pendular no aparece, y el sistema se mueve solo con la rotación <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentario adicional

[[Archivo:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa se hubiera suspendido de la horquilla de manera que el eje 2 fuese el de momento de inercia grande y el eje 1 fuese el de inercia baja, la ecuación del movimiento habría sido:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si se linealiza alrededor de la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Para cualquier valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficiente <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]</math> es positivo, y por tanto la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math> es siempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Hoja de ruta para el par motor

:Las opciones de sistema para calcular el par motor son dos: horquilla, horquilla + placa:

[[Archivo:D7-Ex1-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Archivo:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:La opción (horquilla + placa) es la más adecuada. La descripción de interacciones externas sobre este sistema se muestra en la figura.

:Al tratarse de un par motor, el TMC es el teorema adecuado para llegar a la solución:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (horquilla + placa), TMC en }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El momento cinético es el mismo que se ha calculado antes (ya que la horquilla no tiene masa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\dth} = \vector{2\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ EJEMPLO D7.2: barras giratorias====
-----

:[[Archivo:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta de un marco sin masa y de dos barras homogéneas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\sth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante).

:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex2-2esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones por sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ecs.}}{\text{sólido}} = 12</math> ecs.

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 inc.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:La pieza es el único elemento cuyo el movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex2-3-esp.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:Las seis ecuaciones que se generan si se aplican los teoremas vectoriales a la pieza permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la pieza son las que se muestran a la figura.
:Si se aplica el TCM, las tres componentes contienen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en O, la fuerza de enlace no aparecerá. Por tanto:

<center><math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en} \Os}</math></center>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria al marco. Ya que se asume que el movimiento solo proviene del GL forzado <math>\Omega_0</math>, es la base que gira con <math>\Omega_0</math> respecto al suelo.

:El análisis cualitativo del tensor de inercia se puede hacer considerando primero el tensor de cada barra en su centro de inercia y añadiendo después las correcciones de [[D5. Tensor de inercia#D5.4 Algunas propiedades relevantes del tensor de inercia|'''Steiner''']] para pasar a '''O''':

:[[Archivo:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{-3/2}{0}{-3/2}{9/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Teniendo en cuenta que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constanto y está contenido en el plano de la pieza. Por tanto, gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> y barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:[[Archivo:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:El único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusión: el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo constante) no es posible. La razón es la componente horizontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que es la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fuera estrictamente vertical (paralelo a <math>\vec\Omega_0</math>), entonces <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, y la aplicación del TMC conduciría a valor nulo de las dos componentes de momento <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En otras palabras: si la dirección de la velocidad angular fuese una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']] para el punto '''O''', mantenerla constante sería posible sin necesidad de momento externo.

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras el dedo introduzca una de estas fuerzas, la math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal (sin que aparezca <math>\dth</math>). Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido horario:

:[[Archivo:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar con <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:La ecuación del movimiento es:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, y está claro que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no es una de ellas.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación horaria.

</div>


====✏️ EJEMPLO D7.3: pieza giratoria con partículas====
-----
:
:[[Archivo:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta de un marco sin masa y de dos partículas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\dth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante.

:Diagrama general de interacciones

:Es un sistema del mismo tipo que el del [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']]: tiene dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. El número de ecuaciones que se pueden generar si se aplican los teoremas vectoriales a los dos sólidos es 12: es un problema determinado.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:[[Archivo:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La pieza es el único elemento cuyo movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla. Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], una hoja de ruta adecuada es:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os}</math>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{pieza}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor de inercia en la base B solidaria a la pieza es inmediato:
:[[Archivo:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constante, está contenido en el plano de la pieza, y gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> mientras barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centro de inercia de la pieza se encuentra en la vertical que pasa por '''O''', y por tanto el único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:[[Archivo:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo <math>\Omega_0</math> constante) no es posible porque la dirección de la velocidad angular no es una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']].

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras se introduce una de estas fuerzas, la <math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal. Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido antihorario:

:[[Archivo:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Archivo:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar de acuerdo con la hoja de ruta siguiente: <math>\boxed{\text{Hija de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:La ecuación del movimiento es:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, y es evidente que <math>\theta = 0</math> no es una solución, y que por tanto la pieza necesariamente adquirirá movimiento pendular.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación antihoraria.
</div>



====✏️ EJEMPLO D7.4: bola giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex4-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de masa m y radio r, mantiene contacto puntual sin deslizamiento con el suelo y está articulada a un brazo horizontal. El brazo está articulado a una horquilla que gira con velocidad angular constante bajo la acción de un motor. Brazo y horquilla tienen masa despreciable. El coeficiente de fricción en dirección radial entre bola y suelo es nulo <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Se trata de investigar si la rotación <math>\Omega_0</math> puede provocar la pérdida de contacto entre bola y suelo.

 
 
 
 
 
 
:Descripción cinemática
:El [[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.3 Geometry of the velocity distribution: Instantaneous Screw Axis (ISA)|'''EIRL''']] de la bola respecto al suelo es la recta <math>\Os\Js</math>, y la velocidad angular se puede descomponer en dos rotaciones de Euler:

:[[Archivo:D7-Ex4-2-esp.jpg|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general de interacciones
::[[Archivo:D7-Ex4-3-esp.png|thumb|left|250px|link=]]
:Es un sistema de un GL con 17 incógnitas de enlace. Al contener 3 sólidos rígidos, se trata de un problema determinado:

:(17 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas 
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math>= 18 ecuaciones

:La descripción del sistema se puede aligerar si se trata el brazo como [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''SAE''']], ya que no tiene masa y solo está sometido a interacciones de enlace:

:[[Archivo:D7-Ex4-4-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:El número de incógnitas de enlace asociado al enlace indirecto entre bola y horquilla a través del brazo es 4, ya que la bola tiene dos rotaciones independientes <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecto a la horquilla. El problema sigue siendo determinado:

:(11 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas 
:2 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math> = 12 ecuaciones

:Hoja de ruta para estudiar la pérdida de contacto
:La pérdida de contacto implica la supresión del enlace entre bola y suelo, por tanto la anulación de la fuerza normal N que el suelo ejerce sobre la bola. Los dos sistemas a los que se pueden aplicar los teoremas vectoriales para calcular la N son: bola, bola + (brazo) + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex4-5-esp.png|thumb|center|510px|link=]]

:La mejor opción es aplicar teoremas vectoriales a la bola, ya que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la bola son:

:[[Archivo:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', las fuerzas de enlace asociadas a la articulación con la horquilla no aparecerán, y los únicos momentos en dirección perpendicular al dibujo estarán asociados al peso y a la N. Por tanto:
:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (bola), TMC en } \Os]_{\perp\text{ al dibujo}}}</math>

:El momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se puede calcular a partir del tensor de inercia en '''O''' (ya que '''O''' es un punto fijo a la bola) o por descomposición baricéntrica. En este último caso, ya que la bola es rotor esférico en <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> es paralelo a la velocidad angular de la bola:

:[[Archivo:D7-Ex4-7-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Las dos componentes son constantes en valor, pero la componente horizontal cambia de dirección a causa de la rotación vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibujo}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La fuerza normal aumenta con la velocidad angular, y por tanto el contacto con el suelo se mantiene siempre.

:Alternativa:

:Si el cálculo de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se hace a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> y la derivada se hace de manera analítica:

:[[Archivo:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex5-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:La anilla, de masa m y radio R, gira con velocidad angular <math>\dot\varphi_0</math> constante respecto a la horquilla (de masa despreciable) impulsada por un motor que tiene el estátor (P1) articulado a la horquilla, y el rotor (P2) solidario a la anilla. La horquilla puede girar respecto al suelo con velocidad angular <math>\dot\psi</math>. Inicialmente, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Se trata de investigar cómo evoluciona esta condición inicial, si el deslizamiento entre anilla y suelo desaparecerá en algún momento, y el valor del par motor que garantiza <math>\dot\varphi_0</math> constante mientras hay deslizamiento.

:Descripción cinemática y diagrama general de interacciones
:Para el movimiento más general cuando aún hay deslizamiento, <math>\dot\varphi_0</math> y <math>\dot\psi</math> son independientes, y la descripción de velocidades del sistema y el DGI ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#✏️ EJEMPLO D3.18: actuador rotacional entre dos sólidos|'''ejemplo D3.18''']]) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-2-esp.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anilla} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:En cuanto a la descripción dinámica, hay dos opciones según si se consideran los enlaces directos entre la horquilla y el estátor del motor (P1), y el estátor (P1) y el rotor (P2, solidario a la anilla) (opción 1), o si se trata el enlace indirecto entre horquilla y anilla (opción 2) ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.6 Interacciones a través de actuadores lineales y rotacionales|'''secció D3.6''']]):

:[[Archivo:D7-Ex5-3-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, el problema es determinado:

:Opción 1: (16 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas, 3 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 ecuaciones

:Opción 2: (10 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas, 2 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 ecuaciones

:<big>'''OPCIÓN 1'''</big>
:En esta opción, el DGI se puede aligerar si se trata la horquilla como SAE (ya que tiene masa nula y solo está sometido a interacciones de enlace). El enlace indirecto entre brazo y techo (suelo) introduce 4 incógnitas, ya que permite dos rotaciones independientes entre los dos:

:[[Archivo:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|350px|link=]]

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Tanto la anilla como el estátor (P1) tienen un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay tres opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, P1, anilla+P1.

:[[Archivo:D7-Ex5-5-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La mejor opción es (anilla+P1). La caracterización del enlace indirecto entre P1 y techo es inmediata: ya que permite dos rotaciones independientes en direcciones 2 y 3 de P1 respecto al suelo, el torsor contendrá tres componentes de fuerza y una de momento (en dirección 1). Las interacciones externas al sistema (anilla+P1) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', se evitan las tres fuerzas de enlace asociadas al enlace indirecto entre P1 y techo, y solo aparecerán dos incógnitas de enlace <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. Al no haber ninguna componente libre de incógnitas de enlace, habrá que trabajar en principio con las tres para llegar a la ecuación del movimiento.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla+P1), TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético se puede calcular a partir del tensor en '''O''' porque '''O''' es fijo a la anilla:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anilla}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anilla}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math>{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = \left(\mat{\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2} + \mat{0}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}
</math>

:<math>{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{0}{9\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{-2\dot\varphi_0}{0}{9\dot\psi} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}
</math>

:Los momentos externos en '''O''' provienen del peso, de las fuerzas en '''J''' y del momento <math>\Ms_1</math> asociado al enlace indirecto entre P1 y suelo:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs}</math>

:La segunda componente conduce a <math>\Ns = \ms\gs+\frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>, y sustituyendo en la tercera se obtiene la ecuación del movimiento: <math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2}{9}\mu\left(2\frac{\gs}{\rs}+\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>.

:En el instante inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{4}{9}\mu\frac{\gs}{\rs}>0</math>, y por tanto la velocidad angular <math>\dot\psi</math> crece, cosa que hace aumentar la fuerza normal. Esto es indicativo de que no hay riesgo de que se pierda el contacto en '''J'''.

:Cuando <math>\dot\psi</math> llega al valor <math>(\dot\varphi_0/2)</math>, el deslizamiento en '''J''' desaparece:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{anilla}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0</math>

:A partir de este momento, el sistema pasa a tener solo 1 GL, pero el número de incógnitas aumenta, ya que en '''J''' aparecen dos componentes más de fuerza de enlace (además de la N): el problema pasa a ser indeterminado.

:Hoja de ruta para el par motor

:Ya que el par motor actúa entre P1 y la anilla, las dos opciones de sistema para aplicar los teoremas vectoriales son: anilla, P1. Puesto que la ecuación del movimiento para la <math>\psi</math> y la fuerza normal ya se han determinado, el número de incógnitas en estos dos casos es:

:[[Archivo:D7-Ex5-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:La mejor opción, pues, es aplicar teoremas a la anilla. Las interacciones externas sobre este sólido son:

:[[Archivo:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La componente 1 del TMC en '''O''' está libre de incógnitas de enlace (contiene el momento de la fuerza de fricción, pero la N ya no es una incógnita). Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os]_1}</math>

:El momento cinético en '''O''' es el de la anilla, y su derivada tiene componente 1 nula:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓN 2'''</big>
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Solo la anilla tiene un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay dos opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, anilla+horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex5-9-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:Las dos opciones parecen equivalentes. Para escoger una, hay que analizar las interacciones externas que actúan sobre cada uno de los dos sistemas:

:[[Archivo:D7-Ex5-10-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, si se aplica el TMC en '''O''' se evitan tres componentes de fuerza de enlace, pero en la dirección 1 (que es donde puede aparecer la <math>\ddot\varphi</math>) hay siempre un momento (el par motor en un caso, o el <math>\Ms_1</math> entre techo y horquilla en el otro). Tanto si se escoge un sistema como otro, habrá que trabajar en principio con más de una componente del TMC para llegar a la ecuación del movimiento. A continuación se consideran las dos opciones.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético en '''O''' y su derivada son los mismos que se han calculado en la opción 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Los momentos externos en O provienen del peso, de las fuerzas en J, del par motor y del momento <math>\Ms_3</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segunda componente da el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. Al ser siempre positivo, el contacto en '''J''' está asegurado.

:La primera componente da el par motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Pero en la tercera, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de <math>\Ms_3</math>. Por tanto, esta opción no parece adecuada.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + horquilla),TMC en }\Os}</math>

:Los momentos externos son distintos al caso anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En esta opción, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de N, pero las otras componentes no permiten calcular esta fuerza.

:Ahora bien, si se combinan los resultados para las dos opciones, la ecuación del movimiento es inmediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anilla + horquilla), TMC en }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:El cese del deslizamiento se estudia exactamente igual que en la opción 1.



====✏️ EJEMPLO D7.6: péndulo anular giratorio====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex6-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta de una anilla, de masa m y radio R, unida a un brazo que está articulado a un soporte. El soporte puede deslizar a lo largo de una guía lisa. Un muelle lineal de constante k conecta soporte y guía. El conjunto gira alrededor de la vertical con velocidad angular constante <math>\dot\psi_0</math> bajo la acción de un motor. La masa de todos los elementos, salvo la anilla, es despreciable. Se trata de buscar las ecuaciones del movimiento y estudiar las posibles configuracion es de equilibrio.

:Descripción cinemática
:[[Archivo:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:Es un sistema de 3 GL: el movimiento pendular <math>\dot\theta</math>, el movimiento del soporte respecto a la guía (que denominaremos <math>\dot\xs</math>) y la rotación vertical forzada <math>\dot\psi_0</math>.

:El movimiento del centro de la anilla '''G''' respecto al suelo se puede determinar a través de una doble composición:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guía} \\
\text{AB: soporte}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guía}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex6-3-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema es determinado:

:(15 inc. de enlace, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sólidos}}</math> = 18 ecuaciones
 
 
 
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math>

:El movimiento de la anilla es el único que depende de <math>\ddth</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, anilla+soporte+guía.

:[[Archivo:D7-Ex6-4-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opción es la menos adecuada. En cuanto a las otras dos, las interacciones externas a tener en cuenta son:

:[[Archivo:D7-Ex6-5-esp.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''' a la anilla, la componente 1 está libre de incógnitas de enlace, y es precisamente en esta dirección en donde aparece la velocidad angular <math>\dth</math> (y, por tanto, el cambio de su valor <math>\ddth</math>). En la opción (anilla+soporte), esta componente incluye un momento de enlace. Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ya que el punto '''O''' se mueve respecto al suelo: <math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Por otro lado, '''O''' es un punto fijo a la anilla: <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalmente: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Esta ecuación del movimiento incluye también la variable <math>\ddot\xs</math>. Esto quiere decir que los grados de libertad <math>\dth</math> y <math>\dot\xs</math> están '''acoplados''': aunque el movimiento empiece con unas condiciones iniciales que solo son no nulas para uno de ellas, el otro puede aparecer.

:La componente 1 del TMC en '''O''' para el sistema anilla es la única donde aparecen <math>\dth</math> y <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, la otra ecuación del movimiento no se puede determinar con ninguna de las otras dos componentes.

La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada x 

:El movimiento de la anilla y el del soporte dependen de <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, soporte, soporte+guía, anilla+soporte+guia. Ya que se ha determinado la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ya no es una incógnita.

:[[Archivo:D7-Ex6-6-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex6-7-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:Como antes, las mejores opciones son las dos primeras. La primera ya se ha utilizado, por tanto aplicaremos los teoremas a la segunda. A partir de la representación de las interacciones externas que actúan sobre el sistema (anilla+soporte), se ve que la componente vertical (dirección 3’) del TCM estará libre de incógnitas de enlace. Por tanto: <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + soporte), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Cálculo de la aceleración de '''G''':

:'''Opción 1''': por derivación de la velocidad descrita anteriormente, ya que corresponde a una configuración general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opción 2''': por cinemática del sólido rígido.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anilla} \\
\Os\in\text{anilla}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anilla}{T}\times\velang{anilla}{T}\times\OGvec + \accang{anilla}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anilla}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:La aceleración angular <math>\accang{anilla}{T}</math> proviene del cambio de valor y de dirección de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anilla}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulación de la fuerza del muelle

:[[Archivo:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translación vertical del soporte <math>(\dot\xs)</math> está asociado a la variación de una coordenada x cuyo origen aun no se ha definido. Es habitual escoger el origen de las coordenadas de manera que coincidan con configuraciones de equilibrio.

:Si se toma <math>\xs=0</math> para el equilibrio en ausencia de rotación <math>\dot\psi_0</math>, está claro que el muelle tendrá que ejercer una fuerza <math>\Fs_0</math> de atracción sobre el péndulo para contrarrestar el peso: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulación general de la fuerza de atracción del muelle será pues: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ya que el movimiento <math>\dot\xs</math> se ha definido positivo hacia abajo, un aumento de <math>\xs</math> implica un aumento de longitud del muelle. Por tanto: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentarios sobre el acoplamiento de los dos GL

:Las condiciones iniciales <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> con las que se pone en marcha el movimiento determinan los GL que aparecerán.

:Una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no conseguirá nunca hacer aparecer el movimiento pendular, ya que las ecuaciones para el instante inicial son:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En cambio, una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movimiento vertical <math>\dot\xs</math>, ya que la ecuación que gobierna la <math>\dot\xs</math> para el instante inicial es:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio estático
:Las configuraciones de equilibrio estático (las que corresponden a tener el sistema completamente parado, con <math>\dot\psi_0 = 0</math>) se obtienen de las ecuaciones del movimiento imponiendo <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si consideramos una pequeña perturbación de estas configuraciones de equilibrio <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, las ecuaciones se pueden [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|'''linealizar''']]. Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, se trata de una configuración '''ESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, se trata de una configuración '''INESTABLE'''.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio en rotación

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, para <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> la ecuación del movimiento para la x no cambia (por tanto, <math>\xs_\text{eq}=0</math> es estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), pero la de la <math>\theta</math> tiene un terme adicional, y aparecen dos familias de configuraciones de equilibrio:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:Sin embargo, la segunda familia solo existe por encima de un valor crítico de <math>\dot\psi_0^2</math> ya que la función <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> está acotada entre -1 y +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealización de la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math> conduce a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuración es '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> y <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuración es '''INESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, la ecuación del movimiento linealizada para la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuración és '''INESTABLE''' para cualquier valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:El estudio de las configuraciones <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> se hace de manera análoga, pero es mucho más largo. Por este motivo, no se hace.



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[[D8. Conservaciones|D8. Conservaciones >>>]]

</center>

D7. Ejemplos de dinámica 3D

2026-02-25T17:34:31Z

Eantem: /* ✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
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\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
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\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
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\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
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\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
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\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
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\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>

En esta unidad, el procedimiento sistemático propuesto en la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.4 Diagrama general de interacciones (DGI)|'''sección D6.4''']] se aplica a ejemplos de dinámica 3D para obtener ecuaciones del movimiento y pares motores. Además, se presenta también un análisis sistemático de las ecuaciones del movimiento.

==D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento==

La obtención de las ecuaciones del movimiento de los GL libres de los sistemas multisólido no es, en general, el objetivo de los problemas de dinámica, sino un paso previo a su integración para conocer cómo evolucionan a lo largo del tiempo las coordenadas que describen la configuración del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Sin embargo, estas ecuaciones suelen ser no lineales, y su integración es necesariamente numérica. A pesar de eso, hay algunos aspectos del comportamiento del sistema que se pueden investigar de manera analítica.

Configuraciones de equilibrio

Las configuraciones de equilibrio son aquellas configuraciones para las que, si el sistema se deja en reposo <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, permanece en reposo <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Por tanto, el valor de las coordenadas en equilibrio viene dado por:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>
</center>

La ecuación que define las <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> puede ser trascendente y no tener solución analítica. En ese caso, se puede recurrir a una resolución numérica o una resolución gráfica.

Análisis de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Si se considera que el valor de las coordenadas es muy cercano al de una configuración de equilibrio <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js</math>, con <math>\varepsilon_\js << 1</math>, y por tanto <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>) las funciones no lineales que aparecen en las ecuaciones del movimiento se pueden aproximar por los términos lineales de su desarrollo en serie de Taylor. Por ejemplo:

:* si aparecen polinomios de grado superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si se trata de una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> y aparecen funciones seno y coseno:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Una vez linealizada, la ecuación es del tipo: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, donde A, B, y C son escalares. En este curso, sin embargo, a menudo la ecuación es más sencilla y no contiene término en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solución general es: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, con <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Las constantes de integración dependen de las condiciones iniciales <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
:La solución <math>\varepsilon(\ts)</math> de la ecuación <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una función cuya segunda derivada sea proporcional a la función sin derivar. Las funciones seno, coseno y exponencial cumplen esta condición. Si se prueba la primera (que tiene que contener dos constantes de integración):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Si se sustituyen estas expresiones en la ecuación del movimiento:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El movimiento es una oscilación alrededor de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math> cuya frecuencia angular <math>(\omega)</math> depende de parámetros del sistema.

:Las constantes de integración, en cambio, dependen de las condiciones iniciales (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), y por tanto, no son intrínsecas al sistema.

:* condiciones iniciales solo de posición: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales solo de velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales de posición y velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Análisis de la estabilidad de las de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Las oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio sólo son posibles cuando ésta es estable.
La estabilidad se puede analizar muy fácilmente a partir de la ecuación del movimiento linealizada:

<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decrece, y el sistema vuelve a la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> crece, y el sistema se aleja de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''INESTABLE'''.

==D7.2 Ejemplos generales==
====✏️ EJEMPLO D7.1: placa rectangular giratoria====
------

:[[Archivo:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Archivo:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La placa rectangular homogénea, de masa m, está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante respecto al suelo bajo la acción de un motor. Se trata de hallar la ecuación del movimiento asociada al movimiento entre placa y horquilla, y el valor del par motor que garantiza <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripción cinemática:

:Otra opción para calcular <math>\vel{G}{T}</math> es la cinemática de sólido rígido (sólido: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general de interacciones

[[Archivo:D7-Ex1-3esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones ppr sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ ecs}}{\text{sólido}} = 12\text{ecs}</math>

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 incógnitas

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

:La placa es el único elemento cuyomo vimiento depende de <math>\dth</math>. Par tanto, los sistemas posibles en los que aparecerá <math>\ddth</math> cuando se apliquen los teoremas vectoriales son: placa, placa + horquilla.

[[Archivo:D7-Ex1-4-esp.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enlace + <math>\ddth</math> = 6 inc. enlace <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enlace + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc. enlace</center>
 
:Las seis ecuaciones que se generan aplicando los teoremas vectoriales a la placa permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la placa son:

[[Archivo:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterización del torsor de enlace de la horquilla sobre la placa en el punto '''O''' es inmediata tanto si se utiliza la base B como la B’.

:Si se aplica el TCM, las tres componentes incluyen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en '''O''', la fuerza de enlace no aparecerá, y la componente 3 (o 3’) estará libre de incógnitas de enlace.

:Una buena propuesta es:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta:SISTEMA(placa), TMC en }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC en <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{grande}}{0}{0}{0}{\I{pequeño}}{0}{0}{0}{\I{grande + pequeño}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{\I{grande + pequeño}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{pequeño}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{grande + pequeño})\ddth + \I{pequeño - grande}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{pequeño} - \I{grande})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si se substituyen <math>\I{grande + pequeño}</math> i <math>\I{pequeño} - \I{grande}</math> por los valores que dan las tablas, la ecuación queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Análisis de la ecuación del movimiento: configuraciones de equilibrio

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Esta ecuación tiene dos familias de soluciones:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ya que la función coseno está acotada entre -1 y +1, la segunda familia solo existe si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, y esto se cumple solo si la velocidad angular <math>\Omega_0</math> está por encima del valor crítico <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Análisis de la ecuación del movimiento: movimiento de la placa respecto a la horquilla

:Al tratarse de una ecuación no lineal (a causa de la función seno), el movimiento general se obtiene por integración numérica.

:El análisis analítico para pequeñas amplitudes <math>(\varepsilon)</math> alrededor de una configuración de equilibrio <math>\theta_\text{eq}</math> se puede hacer si se aproximan las funciones trigonométricas [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''sección D7.1''')]]:

L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Para las pequeñas amplitudes alrededor de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, la ecuación del movimiento es <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si las condiciones iniciales son <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, la evolución de <math>\varepsilon</math> viene dada por: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Para <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''aumenta'''. Es una configuración '''INESTABLE''' y no puede haber oscilación alrededor de esta configuración.

:* Para <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminuye'''. El movimiento es una oscilación alrededor de una configuración '''ESTABLE'''. La frecuencia angular [rad/s] es <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si las condiciones iniciales son <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> y <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el movimiento pendular no aparece, y el sistema se mueve solo con la rotación <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentario adicional

[[Archivo:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa se hubiera suspendido de la horquilla de manera que el eje 2 fuese el de momento de inercia grande y el eje 1 fuese el de inercia baja, la ecuación del movimiento habría sido:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si se linealiza alrededor de la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Para cualquier valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficiente <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]</math> es positivo, y por tanto la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math> es siempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Hoja de ruta para el par motor

:Las opciones de sistema para calcular el par motor son dos: horquilla, horquilla + placa:

[[Archivo:D7-Ex1-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Archivo:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:La opción (horquilla + placa) es la más adecuada. La descripción de interacciones externas sobre este sistema se muestra en la figura.

:Al tratarse de un par motor, el TMC es el teorema adecuado para llegar a la solución:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (horquilla + placa), TMC en }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El momento cinético es el mismo que se ha calculado antes (ya que la horquilla no tiene masa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\dth} = \vector{2\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ EJEMPLO D7.2: barras giratorias====
-----

:[[Archivo:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta de un marco sin masa y de dos barras homogéneas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\sth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante).

:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex2-2esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones por sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ecs.}}{\text{sólido}} = 12</math> ecs.

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 inc.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:La pieza es el único elemento cuyo el movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex2-3-esp.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:Las seis ecuaciones que se generan si se aplican los teoremas vectoriales a la pieza permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la pieza son las que se muestran a la figura.
:Si se aplica el TCM, las tres componentes contienen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en O, la fuerza de enlace no aparecerá. Por tanto:

<center><math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en} \Os}</math></center>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria al marco. Ya que se asume que el movimiento solo proviene del GL forzado <math>\Omega_0</math>, es la base que gira con <math>\Omega_0</math> respecto al suelo.

:El análisis cualitativo del tensor de inercia se puede hacer considerando primero el tensor de cada barra en su centro de inercia y añadiendo después las correcciones de [[D5. Tensor de inercia#D5.4 Algunas propiedades relevantes del tensor de inercia|'''Steiner''']] para pasar a '''O''':

:[[Archivo:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{-3/2}{0}{-3/2}{9/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Teniendo en cuenta que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constanto y está contenido en el plano de la pieza. Por tanto, gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> y barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:[[Archivo:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:El único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusión: el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo constante) no es posible. La razón es la componente horizontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que es la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fuera estrictamente vertical (paralelo a <math>\vec\Omega_0</math>), entonces <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, y la aplicación del TMC conduciría a valor nulo de las dos componentes de momento <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En otras palabras: si la dirección de la velocidad angular fuese una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']] para el punto '''O''', mantenerla constante sería posible sin necesidad de momento externo.

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras el dedo introduzca una de estas fuerzas, la math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal (sin que aparezca <math>\dth</math>). Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido horario:

:[[Archivo:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar con <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:La ecuación del movimiento es:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, y está claro que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no es una de ellas.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación horaria.

</div>


====✏️ EJEMPLO D7.3: pieza giratoria con partículas====
-----
:
:[[Archivo:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta de un marco sin masa y de dos partículas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\dth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante.

:Diagrama general de interacciones

:Es un sistema del mismo tipo que el del [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']]: tiene dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. El número de ecuaciones que se pueden generar si se aplican los teoremas vectoriales a los dos sólidos es 12: es un problema determinado.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:[[Archivo:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La pieza es el único elemento cuyo movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla. Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], una hoja de ruta adecuada es:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os}</math>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{pieza}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor de inercia en la base B solidaria a la pieza es inmediato:
:[[Archivo:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constante, está contenido en el plano de la pieza, y gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> mientras barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centro de inercia de la pieza se encuentra en la vertical que pasa por '''O''', y por tanto el único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:[[Archivo:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo <math>\Omega_0</math> constante) no es posible porque la dirección de la velocidad angular no es una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']].

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras se introduce una de estas fuerzas, la <math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal. Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido antihorario:

:[[Archivo:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Archivo:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar de acuerdo con la hoja de ruta siguiente: <math>\boxed{\text{Hija de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:La ecuación del movimiento es:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, y es evidente que <math>\theta = 0</math> no es una solución, y que por tanto la pieza necesariamente adquirirá movimiento pendular.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación antihoraria.
</div>



====✏️ EJEMPLO D7.4: bola giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex4-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de masa m y radio r, mantiene contacto puntual sin deslizamiento con el suelo y está articulada a un brazo horizontal. El brazo está articulado a una horquilla que gira con velocidad angular constante bajo la acción de un motor. Brazo y horquilla tienen masa despreciable. El coeficiente de fricción en dirección radial entre bola y suelo es nulo <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Se trata de investigar si la rotación <math>\Omega_0</math> puede provocar la pérdida de contacto entre bola y suelo.

 
 
 
 
 
 
:Descripción cinemática
:El [[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.3 Geometry of the velocity distribution: Instantaneous Screw Axis (ISA)|'''EIRL''']] de la bola respecto al suelo es la recta <math>\Os\Js</math>, y la velocidad angular se puede descomponer en dos rotaciones de Euler:

:[[Archivo:D7-Ex4-2-esp.jpg|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general de interacciones
::[[Archivo:D7-Ex4-3-esp.png|thumb|left|250px|link=]]
:Es un sistema de un GL con 17 incógnitas de enlace. Al contener 3 sólidos rígidos, se trata de un problema determinado:

:(17 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas 
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math>= 18 ecuaciones

:La descripción del sistema se puede aligerar si se trata el brazo como [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''SAE''']], ya que no tiene masa y solo está sometido a interacciones de enlace:

:[[Archivo:D7-Ex4-4-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:El número de incógnitas de enlace asociado al enlace indirecto entre bola y horquilla a través del brazo es 4, ya que la bola tiene dos rotaciones independientes <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecto a la horquilla. El problema sigue siendo determinado:

:(11 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas 
:2 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math> = 12 ecuaciones

:Hoja de ruta para estudiar la pérdida de contacto
:La pérdida de contacto implica la supresión del enlace entre bola y suelo, por tanto la anulación de la fuerza normal N que el suelo ejerce sobre la bola. Los dos sistemas a los que se pueden aplicar los teoremas vectoriales para calcular la N son: bola, bola + (brazo) + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex4-5-esp.png|thumb|center|510px|link=]]

:La mejor opción es aplicar teoremas vectoriales a la bola, ya que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la bola son:

:[[Archivo:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', las fuerzas de enlace asociadas a la articulación con la horquilla no aparecerán, y los únicos momentos en dirección perpendicular al dibujo estarán asociados al peso y a la N. Por tanto:
:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (bola), TMC en } \Os]_{\perp\text{ al dibujo}}}</math>

:El momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se puede calcular a partir del tensor de inercia en '''O''' (ya que '''O''' es un punto fijo a la bola) o por descomposición baricéntrica. En este último caso, ya que la bola es rotor esférico en <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> es paralelo a la velocidad angular de la bola:

:[[Archivo:D7-Ex4-7-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Las dos componentes son constantes en valor, pero la componente horizontal cambia de dirección a causa de la rotación vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibujo}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La fuerza normal aumenta con la velocidad angular, y por tanto el contacto con el suelo se mantiene siempre.

:Alternativa:

:Si el cálculo de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se hace a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> y la derivada se hace de manera analítica:

:[[Archivo:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex5-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:La anilla, de masa m y radio R, gira con velocidad angular <math>\dot\varphi_0</math> constante respecto a la horquilla (de masa despreciable) impulsada por un motor que tiene el estátor (P1) articulado a la horquilla, y el rotor (P2) solidario a la anilla. La horquilla puede girar respecto al suelo con velocidad angular <math>\dot\psi</math>. Inicialmente, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Se trata de investigar cómo evoluciona esta condición inicial, si el deslizamiento entre anilla y suelo desaparecerá en algún momento, y el valor del par motor que garantiza <math>\dot\varphi_0</math> constante mientras hay deslizamiento.

:Descripción cinemática y diagrama general de interacciones
:Para el movimiento más general cuando aún hay deslizamiento, <math>\dot\varphi_0</math> y <math>\dot\psi</math> son independientes, y la descripción de velocidades del sistema y el DGI ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#✏️ EJEMPLO D3.18: actuador rotacional entre dos sólidos|'''ejemplo D3.18''']]) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-2-esp.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anilla} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot\dot{\psi})+[(↑\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot\dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:En cuanto a la descripción dinámica, hay dos opciones según si se consideran los enlaces directos entre la horquilla y el estátor del motor (P1), y el estátor (P1) y el rotor (P2, solidario a la anilla) (opción 1), o si se trata el enlace indirecto entre horquilla y anilla (opción 2) ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.6 Interacciones a través de actuadores lineales y rotacionales|'''secció D3.6''']]):

:[[Archivo:D7-Ex5-3-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, el problema es determinado:

:Opción 1: (16 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas, 3 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 ecuaciones

:Opción 2: (10 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas, 2 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 ecuaciones

:<big>'''OPCIÓN 1'''</big>
:En esta opción, el DGI se puede aligerar si se trata la horquilla como SAE (ya que tiene masa nula y solo está sometido a interacciones de enlace). El enlace indirecto entre brazo y techo (suelo) introduce 4 incógnitas, ya que permite dos rotaciones independientes entre los dos:

:[[Archivo:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|350px|link=]]

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Tanto la anilla como el estátor (P1) tienen un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay tres opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, P1, anilla+P1.

:[[Archivo:D7-Ex5-5-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La mejor opción es (anilla+P1). La caracterización del enlace indirecto entre P1 y techo es inmediata: ya que permite dos rotaciones independientes en direcciones 2 y 3 de P1 respecto al suelo, el torsor contendrá tres componentes de fuerza y una de momento (en dirección 1). Las interacciones externas al sistema (anilla+P1) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', se evitan las tres fuerzas de enlace asociadas al enlace indirecto entre P1 y techo, y solo aparecerán dos incógnitas de enlace <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. Al no haber ninguna componente libre de incógnitas de enlace, habrá que trabajar en principio con las tres para llegar a la ecuación del movimiento.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla+P1), TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético se puede calcular a partir del tensor en '''O''' porque '''O''' es fijo a la anilla:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anilla}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anilla}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math>{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = \left(\mat{\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2} + \mat{0}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}
</math>

:<math>{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{0}{9\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{-2\dot\varphi_0}{0}{9\dot\psi} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}
</math>

:Los momentos externos en '''O''' provienen del peso, de las fuerzas en '''J''' y del momento <math>\Ms_1</math> asociado al enlace indirecto entre P1 y suelo:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs}</math>

:La segunda componente conduce a <math>\Ns = \ms\gs+\frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>, y sustituyendo en la tercera se obtiene la ecuación del movimiento: <math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2}{9}\mu\left(2\frac{\gs}{\rs}+\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>.

:En el instante inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{4}{9}\mu\frac{\gs}{\rs}>0</math>, y por tanto la velocidad angular <math>\dot\psi</math> crece, cosa que hace aumentar la fuerza normal. Esto es indicativo de que no hay riesgo de que se pierda el contacto en '''J'''.

:Cuando <math>\dot\psi</math> llega al valor <math>(\dot\varphi_0/2)</math>, el deslizamiento en '''J''' desaparece:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{anilla}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0</math>

:A partir de este momento, el sistema pasa a tener solo 1 GL, pero el número de incógnitas aumenta, ya que en '''J''' aparecen dos componentes más de fuerza de enlace (además de la N): el problema pasa a ser indeterminado.

:Hoja de ruta para el par motor

:Ya que el par motor actúa entre P1 y la anilla, las dos opciones de sistema para aplicar los teoremas vectoriales son: anilla, P1. Puesto que la ecuación del movimiento para la <math>\psi</math> y la fuerza normal ya se han determinado, el número de incógnitas en estos dos casos es:

:[[Archivo:D7-Ex5-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:La mejor opción, pues, es aplicar teoremas a la anilla. Las interacciones externas sobre este sólido son:

:[[Archivo:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La componente 1 del TMC en '''O''' está libre de incógnitas de enlace (contiene el momento de la fuerza de fricción, pero la N ya no es una incógnita). Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os]_1}</math>

:El momento cinético en '''O''' es el de la anilla, y su derivada tiene componente 1 nula:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓN 2'''</big>
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Solo la anilla tiene un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay dos opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, anilla+horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex5-9-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:Las dos opciones parecen equivalentes. Para escoger una, hay que analizar las interacciones externas que actúan sobre cada uno de los dos sistemas:

:[[Archivo:D7-Ex5-10-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, si se aplica el TMC en '''O''' se evitan tres componentes de fuerza de enlace, pero en la dirección 1 (que es donde puede aparecer la <math>\ddot\varphi</math>) hay siempre un momento (el par motor en un caso, o el <math>\Ms_1</math> entre techo y horquilla en el otro). Tanto si se escoge un sistema como otro, habrá que trabajar en principio con más de una componente del TMC para llegar a la ecuación del movimiento. A continuación se consideran las dos opciones.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético en '''O''' y su derivada son los mismos que se han calculado en la opción 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Los momentos externos en O provienen del peso, de las fuerzas en J, del par motor y del momento <math>\Ms_3</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segunda componente da el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. Al ser siempre positivo, el contacto en '''J''' está asegurado.

:La primera componente da el par motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Pero en la tercera, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de <math>\Ms_3</math>. Por tanto, esta opción no parece adecuada.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + horquilla),TMC en }\Os}</math>

:Los momentos externos son distintos al caso anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En esta opción, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de N, pero las otras componentes no permiten calcular esta fuerza.

:Ahora bien, si se combinan los resultados para las dos opciones, la ecuación del movimiento es inmediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anilla + horquilla), TMC en }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:El cese del deslizamiento se estudia exactamente igual que en la opción 1.



====✏️ EJEMPLO D7.6: péndulo anular giratorio====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex6-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta de una anilla, de masa m y radio R, unida a un brazo que está articulado a un soporte. El soporte puede deslizar a lo largo de una guía lisa. Un muelle lineal de constante k conecta soporte y guía. El conjunto gira alrededor de la vertical con velocidad angular constante <math>\dot\psi_0</math> bajo la acción de un motor. La masa de todos los elementos, salvo la anilla, es despreciable. Se trata de buscar las ecuaciones del movimiento y estudiar las posibles configuracion es de equilibrio.

:Descripción cinemática
:[[Archivo:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:Es un sistema de 3 GL: el movimiento pendular <math>\dot\theta</math>, el movimiento del soporte respecto a la guía (que denominaremos <math>\dot\xs</math>) y la rotación vertical forzada <math>\dot\psi_0</math>.

:El movimiento del centro de la anilla '''G''' respecto al suelo se puede determinar a través de una doble composición:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guía} \\
\text{AB: soporte}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guía}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex6-3-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema es determinado:

:(15 inc. de enlace, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sólidos}}</math> = 18 ecuaciones
 
 
 
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math>

:El movimiento de la anilla es el único que depende de <math>\ddth</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, anilla+soporte+guía.

:[[Archivo:D7-Ex6-4-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opción es la menos adecuada. En cuanto a las otras dos, las interacciones externas a tener en cuenta son:

:[[Archivo:D7-Ex6-5-esp.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''' a la anilla, la componente 1 está libre de incógnitas de enlace, y es precisamente en esta dirección en donde aparece la velocidad angular <math>\dth</math> (y, por tanto, el cambio de su valor <math>\ddth</math>). En la opción (anilla+soporte), esta componente incluye un momento de enlace. Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ya que el punto '''O''' se mueve respecto al suelo: <math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Por otro lado, '''O''' es un punto fijo a la anilla: <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalmente: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Esta ecuación del movimiento incluye también la variable <math>\ddot\xs</math>. Esto quiere decir que los grados de libertad <math>\dth</math> y <math>\dot\xs</math> están '''acoplados''': aunque el movimiento empiece con unas condiciones iniciales que solo son no nulas para uno de ellas, el otro puede aparecer.

:La componente 1 del TMC en '''O''' para el sistema anilla es la única donde aparecen <math>\dth</math> y <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, la otra ecuación del movimiento no se puede determinar con ninguna de las otras dos componentes.

La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada x 

:El movimiento de la anilla y el del soporte dependen de <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, soporte, soporte+guía, anilla+soporte+guia. Ya que se ha determinado la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ya no es una incógnita.

:[[Archivo:D7-Ex6-6-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex6-7-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:Como antes, las mejores opciones son las dos primeras. La primera ya se ha utilizado, por tanto aplicaremos los teoremas a la segunda. A partir de la representación de las interacciones externas que actúan sobre el sistema (anilla+soporte), se ve que la componente vertical (dirección 3’) del TCM estará libre de incógnitas de enlace. Por tanto: <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + soporte), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Cálculo de la aceleración de '''G''':

:'''Opción 1''': por derivación de la velocidad descrita anteriormente, ya que corresponde a una configuración general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opción 2''': por cinemática del sólido rígido.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anilla} \\
\Os\in\text{anilla}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anilla}{T}\times\velang{anilla}{T}\times\OGvec + \accang{anilla}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anilla}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:La aceleración angular <math>\accang{anilla}{T}</math> proviene del cambio de valor y de dirección de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anilla}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulación de la fuerza del muelle

:[[Archivo:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translación vertical del soporte <math>(\dot\xs)</math> está asociado a la variación de una coordenada x cuyo origen aun no se ha definido. Es habitual escoger el origen de las coordenadas de manera que coincidan con configuraciones de equilibrio.

:Si se toma <math>\xs=0</math> para el equilibrio en ausencia de rotación <math>\dot\psi_0</math>, está claro que el muelle tendrá que ejercer una fuerza <math>\Fs_0</math> de atracción sobre el péndulo para contrarrestar el peso: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulación general de la fuerza de atracción del muelle será pues: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ya que el movimiento <math>\dot\xs</math> se ha definido positivo hacia abajo, un aumento de <math>\xs</math> implica un aumento de longitud del muelle. Por tanto: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentarios sobre el acoplamiento de los dos GL

:Las condiciones iniciales <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> con las que se pone en marcha el movimiento determinan los GL que aparecerán.

:Una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no conseguirá nunca hacer aparecer el movimiento pendular, ya que las ecuaciones para el instante inicial son:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En cambio, una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movimiento vertical <math>\dot\xs</math>, ya que la ecuación que gobierna la <math>\dot\xs</math> para el instante inicial es:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio estático
:Las configuraciones de equilibrio estático (las que corresponden a tener el sistema completamente parado, con <math>\dot\psi_0 = 0</math>) se obtienen de las ecuaciones del movimiento imponiendo <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si consideramos una pequeña perturbación de estas configuraciones de equilibrio <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, las ecuaciones se pueden [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|'''linealizar''']]. Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, se trata de una configuración '''ESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, se trata de una configuración '''INESTABLE'''.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio en rotación

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, para <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> la ecuación del movimiento para la x no cambia (por tanto, <math>\xs_\text{eq}=0</math> es estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), pero la de la <math>\theta</math> tiene un terme adicional, y aparecen dos familias de configuraciones de equilibrio:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:Sin embargo, la segunda familia solo existe por encima de un valor crítico de <math>\dot\psi_0^2</math> ya que la función <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> está acotada entre -1 y +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealización de la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math> conduce a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuración es '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> y <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuración es '''INESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, la ecuación del movimiento linealizada para la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuración és '''INESTABLE''' para cualquier valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:El estudio de las configuraciones <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> se hace de manera análoga, pero es mucho más largo. Por este motivo, no se hace.



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[[D8. Conservaciones|D8. Conservaciones >>>]]

</center>

D7. Ejemplos de dinámica 3D

2026-02-25T17:34:06Z

Eantem: /* ✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
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\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
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\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
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\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
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\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
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\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>

En esta unidad, el procedimiento sistemático propuesto en la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.4 Diagrama general de interacciones (DGI)|'''sección D6.4''']] se aplica a ejemplos de dinámica 3D para obtener ecuaciones del movimiento y pares motores. Además, se presenta también un análisis sistemático de las ecuaciones del movimiento.

==D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento==

La obtención de las ecuaciones del movimiento de los GL libres de los sistemas multisólido no es, en general, el objetivo de los problemas de dinámica, sino un paso previo a su integración para conocer cómo evolucionan a lo largo del tiempo las coordenadas que describen la configuración del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Sin embargo, estas ecuaciones suelen ser no lineales, y su integración es necesariamente numérica. A pesar de eso, hay algunos aspectos del comportamiento del sistema que se pueden investigar de manera analítica.

Configuraciones de equilibrio

Las configuraciones de equilibrio son aquellas configuraciones para las que, si el sistema se deja en reposo <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, permanece en reposo <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Por tanto, el valor de las coordenadas en equilibrio viene dado por:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>
</center>

La ecuación que define las <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> puede ser trascendente y no tener solución analítica. En ese caso, se puede recurrir a una resolución numérica o una resolución gráfica.

Análisis de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Si se considera que el valor de las coordenadas es muy cercano al de una configuración de equilibrio <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js</math>, con <math>\varepsilon_\js << 1</math>, y por tanto <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>) las funciones no lineales que aparecen en las ecuaciones del movimiento se pueden aproximar por los términos lineales de su desarrollo en serie de Taylor. Por ejemplo:

:* si aparecen polinomios de grado superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si se trata de una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> y aparecen funciones seno y coseno:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Una vez linealizada, la ecuación es del tipo: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, donde A, B, y C son escalares. En este curso, sin embargo, a menudo la ecuación es más sencilla y no contiene término en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solución general es: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, con <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Las constantes de integración dependen de las condiciones iniciales <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
:La solución <math>\varepsilon(\ts)</math> de la ecuación <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una función cuya segunda derivada sea proporcional a la función sin derivar. Las funciones seno, coseno y exponencial cumplen esta condición. Si se prueba la primera (que tiene que contener dos constantes de integración):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Si se sustituyen estas expresiones en la ecuación del movimiento:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El movimiento es una oscilación alrededor de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math> cuya frecuencia angular <math>(\omega)</math> depende de parámetros del sistema.

:Las constantes de integración, en cambio, dependen de las condiciones iniciales (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), y por tanto, no son intrínsecas al sistema.

:* condiciones iniciales solo de posición: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales solo de velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales de posición y velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Análisis de la estabilidad de las de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Las oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio sólo son posibles cuando ésta es estable.
La estabilidad se puede analizar muy fácilmente a partir de la ecuación del movimiento linealizada:

<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decrece, y el sistema vuelve a la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> crece, y el sistema se aleja de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''INESTABLE'''.

==D7.2 Ejemplos generales==
====✏️ EJEMPLO D7.1: placa rectangular giratoria====
------

:[[Archivo:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Archivo:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La placa rectangular homogénea, de masa m, está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante respecto al suelo bajo la acción de un motor. Se trata de hallar la ecuación del movimiento asociada al movimiento entre placa y horquilla, y el valor del par motor que garantiza <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripción cinemática:

:Otra opción para calcular <math>\vel{G}{T}</math> es la cinemática de sólido rígido (sólido: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general de interacciones

[[Archivo:D7-Ex1-3esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones ppr sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ ecs}}{\text{sólido}} = 12\text{ecs}</math>

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 incógnitas

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

:La placa es el único elemento cuyomo vimiento depende de <math>\dth</math>. Par tanto, los sistemas posibles en los que aparecerá <math>\ddth</math> cuando se apliquen los teoremas vectoriales son: placa, placa + horquilla.

[[Archivo:D7-Ex1-4-esp.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enlace + <math>\ddth</math> = 6 inc. enlace <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enlace + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc. enlace</center>
 
:Las seis ecuaciones que se generan aplicando los teoremas vectoriales a la placa permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la placa son:

[[Archivo:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterización del torsor de enlace de la horquilla sobre la placa en el punto '''O''' es inmediata tanto si se utiliza la base B como la B’.

:Si se aplica el TCM, las tres componentes incluyen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en '''O''', la fuerza de enlace no aparecerá, y la componente 3 (o 3’) estará libre de incógnitas de enlace.

:Una buena propuesta es:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta:SISTEMA(placa), TMC en }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC en <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{grande}}{0}{0}{0}{\I{pequeño}}{0}{0}{0}{\I{grande + pequeño}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{\I{grande + pequeño}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{pequeño}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{grande + pequeño})\ddth + \I{pequeño - grande}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{pequeño} - \I{grande})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si se substituyen <math>\I{grande + pequeño}</math> i <math>\I{pequeño} - \I{grande}</math> por los valores que dan las tablas, la ecuación queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Análisis de la ecuación del movimiento: configuraciones de equilibrio

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Esta ecuación tiene dos familias de soluciones:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ya que la función coseno está acotada entre -1 y +1, la segunda familia solo existe si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, y esto se cumple solo si la velocidad angular <math>\Omega_0</math> está por encima del valor crítico <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Análisis de la ecuación del movimiento: movimiento de la placa respecto a la horquilla

:Al tratarse de una ecuación no lineal (a causa de la función seno), el movimiento general se obtiene por integración numérica.

:El análisis analítico para pequeñas amplitudes <math>(\varepsilon)</math> alrededor de una configuración de equilibrio <math>\theta_\text{eq}</math> se puede hacer si se aproximan las funciones trigonométricas [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''sección D7.1''')]]:

L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Para las pequeñas amplitudes alrededor de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, la ecuación del movimiento es <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si las condiciones iniciales son <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, la evolución de <math>\varepsilon</math> viene dada por: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Para <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''aumenta'''. Es una configuración '''INESTABLE''' y no puede haber oscilación alrededor de esta configuración.

:* Para <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminuye'''. El movimiento es una oscilación alrededor de una configuración '''ESTABLE'''. La frecuencia angular [rad/s] es <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si las condiciones iniciales son <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> y <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el movimiento pendular no aparece, y el sistema se mueve solo con la rotación <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentario adicional

[[Archivo:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa se hubiera suspendido de la horquilla de manera que el eje 2 fuese el de momento de inercia grande y el eje 1 fuese el de inercia baja, la ecuación del movimiento habría sido:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si se linealiza alrededor de la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Para cualquier valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficiente <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]</math> es positivo, y por tanto la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math> es siempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Hoja de ruta para el par motor

:Las opciones de sistema para calcular el par motor son dos: horquilla, horquilla + placa:

[[Archivo:D7-Ex1-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Archivo:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:La opción (horquilla + placa) es la más adecuada. La descripción de interacciones externas sobre este sistema se muestra en la figura.

:Al tratarse de un par motor, el TMC es el teorema adecuado para llegar a la solución:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (horquilla + placa), TMC en }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El momento cinético es el mismo que se ha calculado antes (ya que la horquilla no tiene masa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\dth} = \vector{2\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ EJEMPLO D7.2: barras giratorias====
-----

:[[Archivo:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta de un marco sin masa y de dos barras homogéneas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\sth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante).

:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex2-2esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones por sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ecs.}}{\text{sólido}} = 12</math> ecs.

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 inc.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:La pieza es el único elemento cuyo el movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex2-3-esp.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:Las seis ecuaciones que se generan si se aplican los teoremas vectoriales a la pieza permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la pieza son las que se muestran a la figura.
:Si se aplica el TCM, las tres componentes contienen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en O, la fuerza de enlace no aparecerá. Por tanto:

<center><math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en} \Os}</math></center>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria al marco. Ya que se asume que el movimiento solo proviene del GL forzado <math>\Omega_0</math>, es la base que gira con <math>\Omega_0</math> respecto al suelo.

:El análisis cualitativo del tensor de inercia se puede hacer considerando primero el tensor de cada barra en su centro de inercia y añadiendo después las correcciones de [[D5. Tensor de inercia#D5.4 Algunas propiedades relevantes del tensor de inercia|'''Steiner''']] para pasar a '''O''':

:[[Archivo:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{-3/2}{0}{-3/2}{9/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Teniendo en cuenta que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constanto y está contenido en el plano de la pieza. Por tanto, gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> y barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:[[Archivo:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:El único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusión: el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo constante) no es posible. La razón es la componente horizontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que es la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fuera estrictamente vertical (paralelo a <math>\vec\Omega_0</math>), entonces <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, y la aplicación del TMC conduciría a valor nulo de las dos componentes de momento <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En otras palabras: si la dirección de la velocidad angular fuese una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']] para el punto '''O''', mantenerla constante sería posible sin necesidad de momento externo.

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras el dedo introduzca una de estas fuerzas, la math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal (sin que aparezca <math>\dth</math>). Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido horario:

:[[Archivo:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar con <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:La ecuación del movimiento es:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, y está claro que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no es una de ellas.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación horaria.

</div>


====✏️ EJEMPLO D7.3: pieza giratoria con partículas====
-----
:
:[[Archivo:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta de un marco sin masa y de dos partículas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\dth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante.

:Diagrama general de interacciones

:Es un sistema del mismo tipo que el del [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']]: tiene dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. El número de ecuaciones que se pueden generar si se aplican los teoremas vectoriales a los dos sólidos es 12: es un problema determinado.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:[[Archivo:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La pieza es el único elemento cuyo movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla. Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], una hoja de ruta adecuada es:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os}</math>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{pieza}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor de inercia en la base B solidaria a la pieza es inmediato:
:[[Archivo:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constante, está contenido en el plano de la pieza, y gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> mientras barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centro de inercia de la pieza se encuentra en la vertical que pasa por '''O''', y por tanto el único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:[[Archivo:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo <math>\Omega_0</math> constante) no es posible porque la dirección de la velocidad angular no es una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']].

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras se introduce una de estas fuerzas, la <math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal. Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido antihorario:

:[[Archivo:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Archivo:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar de acuerdo con la hoja de ruta siguiente: <math>\boxed{\text{Hija de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:La ecuación del movimiento es:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, y es evidente que <math>\theta = 0</math> no es una solución, y que por tanto la pieza necesariamente adquirirá movimiento pendular.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación antihoraria.
</div>



====✏️ EJEMPLO D7.4: bola giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex4-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de masa m y radio r, mantiene contacto puntual sin deslizamiento con el suelo y está articulada a un brazo horizontal. El brazo está articulado a una horquilla que gira con velocidad angular constante bajo la acción de un motor. Brazo y horquilla tienen masa despreciable. El coeficiente de fricción en dirección radial entre bola y suelo es nulo <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Se trata de investigar si la rotación <math>\Omega_0</math> puede provocar la pérdida de contacto entre bola y suelo.

 
 
 
 
 
 
:Descripción cinemática
:El [[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.3 Geometry of the velocity distribution: Instantaneous Screw Axis (ISA)|'''EIRL''']] de la bola respecto al suelo es la recta <math>\Os\Js</math>, y la velocidad angular se puede descomponer en dos rotaciones de Euler:

:[[Archivo:D7-Ex4-2-esp.jpg|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general de interacciones
::[[Archivo:D7-Ex4-3-esp.png|thumb|left|250px|link=]]
:Es un sistema de un GL con 17 incógnitas de enlace. Al contener 3 sólidos rígidos, se trata de un problema determinado:

:(17 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas 
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math>= 18 ecuaciones

:La descripción del sistema se puede aligerar si se trata el brazo como [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''SAE''']], ya que no tiene masa y solo está sometido a interacciones de enlace:

:[[Archivo:D7-Ex4-4-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:El número de incógnitas de enlace asociado al enlace indirecto entre bola y horquilla a través del brazo es 4, ya que la bola tiene dos rotaciones independientes <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecto a la horquilla. El problema sigue siendo determinado:

:(11 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas 
:2 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math> = 12 ecuaciones

:Hoja de ruta para estudiar la pérdida de contacto
:La pérdida de contacto implica la supresión del enlace entre bola y suelo, por tanto la anulación de la fuerza normal N que el suelo ejerce sobre la bola. Los dos sistemas a los que se pueden aplicar los teoremas vectoriales para calcular la N son: bola, bola + (brazo) + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex4-5-esp.png|thumb|center|510px|link=]]

:La mejor opción es aplicar teoremas vectoriales a la bola, ya que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la bola son:

:[[Archivo:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', las fuerzas de enlace asociadas a la articulación con la horquilla no aparecerán, y los únicos momentos en dirección perpendicular al dibujo estarán asociados al peso y a la N. Por tanto:
:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (bola), TMC en } \Os]_{\perp\text{ al dibujo}}}</math>

:El momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se puede calcular a partir del tensor de inercia en '''O''' (ya que '''O''' es un punto fijo a la bola) o por descomposición baricéntrica. En este último caso, ya que la bola es rotor esférico en <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> es paralelo a la velocidad angular de la bola:

:[[Archivo:D7-Ex4-7-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Las dos componentes son constantes en valor, pero la componente horizontal cambia de dirección a causa de la rotación vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibujo}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La fuerza normal aumenta con la velocidad angular, y por tanto el contacto con el suelo se mantiene siempre.

:Alternativa:

:Si el cálculo de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se hace a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> y la derivada se hace de manera analítica:

:[[Archivo:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex5-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:La anilla, de masa m y radio R, gira con velocidad angular <math>\dot\varphi_0</math> constante respecto a la horquilla (de masa despreciable) impulsada por un motor que tiene el estátor (P1) articulado a la horquilla, y el rotor (P2) solidario a la anilla. La horquilla puede girar respecto al suelo con velocidad angular <math>\dot\psi</math>. Inicialmente, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Se trata de investigar cómo evoluciona esta condición inicial, si el deslizamiento entre anilla y suelo desaparecerá en algún momento, y el valor del par motor que garantiza <math>\dot\varphi_0</math> constante mientras hay deslizamiento.

:Descripción cinemática y diagrama general de interacciones
:Para el movimiento más general cuando aún hay deslizamiento, <math>\dot\varphi_0</math> y <math>\dot\psi</math> son independientes, y la descripción de velocidades del sistema y el DGI ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#✏️ EJEMPLO D3.18: actuador rotacional entre dos sólidos|'''ejemplo D3.18''']]) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-2-esp.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot\dot{\psi})+[(↑\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot\dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:En cuanto a la descripción dinámica, hay dos opciones según si se consideran los enlaces directos entre la horquilla y el estátor del motor (P1), y el estátor (P1) y el rotor (P2, solidario a la anilla) (opción 1), o si se trata el enlace indirecto entre horquilla y anilla (opción 2) ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.6 Interacciones a través de actuadores lineales y rotacionales|'''secció D3.6''']]):

:[[Archivo:D7-Ex5-3-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, el problema es determinado:

:Opción 1: (16 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas, 3 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 ecuaciones

:Opción 2: (10 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas, 2 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 ecuaciones

:<big>'''OPCIÓN 1'''</big>
:En esta opción, el DGI se puede aligerar si se trata la horquilla como SAE (ya que tiene masa nula y solo está sometido a interacciones de enlace). El enlace indirecto entre brazo y techo (suelo) introduce 4 incógnitas, ya que permite dos rotaciones independientes entre los dos:

:[[Archivo:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|350px|link=]]

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Tanto la anilla como el estátor (P1) tienen un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay tres opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, P1, anilla+P1.

:[[Archivo:D7-Ex5-5-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La mejor opción es (anilla+P1). La caracterización del enlace indirecto entre P1 y techo es inmediata: ya que permite dos rotaciones independientes en direcciones 2 y 3 de P1 respecto al suelo, el torsor contendrá tres componentes de fuerza y una de momento (en dirección 1). Las interacciones externas al sistema (anilla+P1) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', se evitan las tres fuerzas de enlace asociadas al enlace indirecto entre P1 y techo, y solo aparecerán dos incógnitas de enlace <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. Al no haber ninguna componente libre de incógnitas de enlace, habrá que trabajar en principio con las tres para llegar a la ecuación del movimiento.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla+P1), TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético se puede calcular a partir del tensor en '''O''' porque '''O''' es fijo a la anilla:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anilla}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anilla}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math>{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = \left(\mat{\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2} + \mat{0}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}
</math>

:<math>{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{0}{9\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{-2\dot\varphi_0}{0}{9\dot\psi} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}
</math>

:Los momentos externos en '''O''' provienen del peso, de las fuerzas en '''J''' y del momento <math>\Ms_1</math> asociado al enlace indirecto entre P1 y suelo:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs}</math>

:La segunda componente conduce a <math>\Ns = \ms\gs+\frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>, y sustituyendo en la tercera se obtiene la ecuación del movimiento: <math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2}{9}\mu\left(2\frac{\gs}{\rs}+\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>.

:En el instante inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{4}{9}\mu\frac{\gs}{\rs}>0</math>, y por tanto la velocidad angular <math>\dot\psi</math> crece, cosa que hace aumentar la fuerza normal. Esto es indicativo de que no hay riesgo de que se pierda el contacto en '''J'''.

:Cuando <math>\dot\psi</math> llega al valor <math>(\dot\varphi_0/2)</math>, el deslizamiento en '''J''' desaparece:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{anilla}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0</math>

:A partir de este momento, el sistema pasa a tener solo 1 GL, pero el número de incógnitas aumenta, ya que en '''J''' aparecen dos componentes más de fuerza de enlace (además de la N): el problema pasa a ser indeterminado.

:Hoja de ruta para el par motor

:Ya que el par motor actúa entre P1 y la anilla, las dos opciones de sistema para aplicar los teoremas vectoriales son: anilla, P1. Puesto que la ecuación del movimiento para la <math>\psi</math> y la fuerza normal ya se han determinado, el número de incógnitas en estos dos casos es:

:[[Archivo:D7-Ex5-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:La mejor opción, pues, es aplicar teoremas a la anilla. Las interacciones externas sobre este sólido son:

:[[Archivo:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La componente 1 del TMC en '''O''' está libre de incógnitas de enlace (contiene el momento de la fuerza de fricción, pero la N ya no es una incógnita). Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os]_1}</math>

:El momento cinético en '''O''' es el de la anilla, y su derivada tiene componente 1 nula:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓN 2'''</big>
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Solo la anilla tiene un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay dos opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, anilla+horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex5-9-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:Las dos opciones parecen equivalentes. Para escoger una, hay que analizar las interacciones externas que actúan sobre cada uno de los dos sistemas:

:[[Archivo:D7-Ex5-10-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, si se aplica el TMC en '''O''' se evitan tres componentes de fuerza de enlace, pero en la dirección 1 (que es donde puede aparecer la <math>\ddot\varphi</math>) hay siempre un momento (el par motor en un caso, o el <math>\Ms_1</math> entre techo y horquilla en el otro). Tanto si se escoge un sistema como otro, habrá que trabajar en principio con más de una componente del TMC para llegar a la ecuación del movimiento. A continuación se consideran las dos opciones.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético en '''O''' y su derivada son los mismos que se han calculado en la opción 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Los momentos externos en O provienen del peso, de las fuerzas en J, del par motor y del momento <math>\Ms_3</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segunda componente da el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. Al ser siempre positivo, el contacto en '''J''' está asegurado.

:La primera componente da el par motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Pero en la tercera, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de <math>\Ms_3</math>. Por tanto, esta opción no parece adecuada.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + horquilla),TMC en }\Os}</math>

:Los momentos externos son distintos al caso anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En esta opción, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de N, pero las otras componentes no permiten calcular esta fuerza.

:Ahora bien, si se combinan los resultados para las dos opciones, la ecuación del movimiento es inmediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anilla + horquilla), TMC en }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:El cese del deslizamiento se estudia exactamente igual que en la opción 1.



====✏️ EJEMPLO D7.6: péndulo anular giratorio====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex6-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta de una anilla, de masa m y radio R, unida a un brazo que está articulado a un soporte. El soporte puede deslizar a lo largo de una guía lisa. Un muelle lineal de constante k conecta soporte y guía. El conjunto gira alrededor de la vertical con velocidad angular constante <math>\dot\psi_0</math> bajo la acción de un motor. La masa de todos los elementos, salvo la anilla, es despreciable. Se trata de buscar las ecuaciones del movimiento y estudiar las posibles configuracion es de equilibrio.

:Descripción cinemática
:[[Archivo:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:Es un sistema de 3 GL: el movimiento pendular <math>\dot\theta</math>, el movimiento del soporte respecto a la guía (que denominaremos <math>\dot\xs</math>) y la rotación vertical forzada <math>\dot\psi_0</math>.

:El movimiento del centro de la anilla '''G''' respecto al suelo se puede determinar a través de una doble composición:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guía} \\
\text{AB: soporte}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guía}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex6-3-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema es determinado:

:(15 inc. de enlace, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sólidos}}</math> = 18 ecuaciones
 
 
 
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math>

:El movimiento de la anilla es el único que depende de <math>\ddth</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, anilla+soporte+guía.

:[[Archivo:D7-Ex6-4-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opción es la menos adecuada. En cuanto a las otras dos, las interacciones externas a tener en cuenta son:

:[[Archivo:D7-Ex6-5-esp.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''' a la anilla, la componente 1 está libre de incógnitas de enlace, y es precisamente en esta dirección en donde aparece la velocidad angular <math>\dth</math> (y, por tanto, el cambio de su valor <math>\ddth</math>). En la opción (anilla+soporte), esta componente incluye un momento de enlace. Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ya que el punto '''O''' se mueve respecto al suelo: <math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Por otro lado, '''O''' es un punto fijo a la anilla: <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalmente: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Esta ecuación del movimiento incluye también la variable <math>\ddot\xs</math>. Esto quiere decir que los grados de libertad <math>\dth</math> y <math>\dot\xs</math> están '''acoplados''': aunque el movimiento empiece con unas condiciones iniciales que solo son no nulas para uno de ellas, el otro puede aparecer.

:La componente 1 del TMC en '''O''' para el sistema anilla es la única donde aparecen <math>\dth</math> y <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, la otra ecuación del movimiento no se puede determinar con ninguna de las otras dos componentes.

La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada x 

:El movimiento de la anilla y el del soporte dependen de <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, soporte, soporte+guía, anilla+soporte+guia. Ya que se ha determinado la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ya no es una incógnita.

:[[Archivo:D7-Ex6-6-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex6-7-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:Como antes, las mejores opciones son las dos primeras. La primera ya se ha utilizado, por tanto aplicaremos los teoremas a la segunda. A partir de la representación de las interacciones externas que actúan sobre el sistema (anilla+soporte), se ve que la componente vertical (dirección 3’) del TCM estará libre de incógnitas de enlace. Por tanto: <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + soporte), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Cálculo de la aceleración de '''G''':

:'''Opción 1''': por derivación de la velocidad descrita anteriormente, ya que corresponde a una configuración general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opción 2''': por cinemática del sólido rígido.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anilla} \\
\Os\in\text{anilla}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anilla}{T}\times\velang{anilla}{T}\times\OGvec + \accang{anilla}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anilla}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:La aceleración angular <math>\accang{anilla}{T}</math> proviene del cambio de valor y de dirección de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anilla}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulación de la fuerza del muelle

:[[Archivo:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translación vertical del soporte <math>(\dot\xs)</math> está asociado a la variación de una coordenada x cuyo origen aun no se ha definido. Es habitual escoger el origen de las coordenadas de manera que coincidan con configuraciones de equilibrio.

:Si se toma <math>\xs=0</math> para el equilibrio en ausencia de rotación <math>\dot\psi_0</math>, está claro que el muelle tendrá que ejercer una fuerza <math>\Fs_0</math> de atracción sobre el péndulo para contrarrestar el peso: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulación general de la fuerza de atracción del muelle será pues: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ya que el movimiento <math>\dot\xs</math> se ha definido positivo hacia abajo, un aumento de <math>\xs</math> implica un aumento de longitud del muelle. Por tanto: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentarios sobre el acoplamiento de los dos GL

:Las condiciones iniciales <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> con las que se pone en marcha el movimiento determinan los GL que aparecerán.

:Una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no conseguirá nunca hacer aparecer el movimiento pendular, ya que las ecuaciones para el instante inicial son:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En cambio, una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movimiento vertical <math>\dot\xs</math>, ya que la ecuación que gobierna la <math>\dot\xs</math> para el instante inicial es:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio estático
:Las configuraciones de equilibrio estático (las que corresponden a tener el sistema completamente parado, con <math>\dot\psi_0 = 0</math>) se obtienen de las ecuaciones del movimiento imponiendo <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si consideramos una pequeña perturbación de estas configuraciones de equilibrio <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, las ecuaciones se pueden [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|'''linealizar''']]. Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, se trata de una configuración '''ESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, se trata de una configuración '''INESTABLE'''.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio en rotación

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, para <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> la ecuación del movimiento para la x no cambia (por tanto, <math>\xs_\text{eq}=0</math> es estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), pero la de la <math>\theta</math> tiene un terme adicional, y aparecen dos familias de configuraciones de equilibrio:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:Sin embargo, la segunda familia solo existe por encima de un valor crítico de <math>\dot\psi_0^2</math> ya que la función <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> está acotada entre -1 y +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealización de la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math> conduce a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuración es '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> y <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuración es '''INESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, la ecuación del movimiento linealizada para la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuración és '''INESTABLE''' para cualquier valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:El estudio de las configuraciones <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> se hace de manera análoga, pero es mucho más largo. Por este motivo, no se hace.



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[[D8. Conservaciones|D8. Conservaciones >>>]]

</center>

D7. Ejemplos de dinámica 3D

2026-02-25T17:33:10Z

Eantem: /* ✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
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\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
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\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
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\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
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\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
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\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>

En esta unidad, el procedimiento sistemático propuesto en la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.4 Diagrama general de interacciones (DGI)|'''sección D6.4''']] se aplica a ejemplos de dinámica 3D para obtener ecuaciones del movimiento y pares motores. Además, se presenta también un análisis sistemático de las ecuaciones del movimiento.

==D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento==

La obtención de las ecuaciones del movimiento de los GL libres de los sistemas multisólido no es, en general, el objetivo de los problemas de dinámica, sino un paso previo a su integración para conocer cómo evolucionan a lo largo del tiempo las coordenadas que describen la configuración del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Sin embargo, estas ecuaciones suelen ser no lineales, y su integración es necesariamente numérica. A pesar de eso, hay algunos aspectos del comportamiento del sistema que se pueden investigar de manera analítica.

Configuraciones de equilibrio

Las configuraciones de equilibrio son aquellas configuraciones para las que, si el sistema se deja en reposo <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, permanece en reposo <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Por tanto, el valor de las coordenadas en equilibrio viene dado por:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>
</center>

La ecuación que define las <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> puede ser trascendente y no tener solución analítica. En ese caso, se puede recurrir a una resolución numérica o una resolución gráfica.

Análisis de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Si se considera que el valor de las coordenadas es muy cercano al de una configuración de equilibrio <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js</math>, con <math>\varepsilon_\js << 1</math>, y por tanto <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>) las funciones no lineales que aparecen en las ecuaciones del movimiento se pueden aproximar por los términos lineales de su desarrollo en serie de Taylor. Por ejemplo:

:* si aparecen polinomios de grado superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si se trata de una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> y aparecen funciones seno y coseno:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Una vez linealizada, la ecuación es del tipo: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, donde A, B, y C son escalares. En este curso, sin embargo, a menudo la ecuación es más sencilla y no contiene término en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solución general es: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, con <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Las constantes de integración dependen de las condiciones iniciales <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
:La solución <math>\varepsilon(\ts)</math> de la ecuación <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una función cuya segunda derivada sea proporcional a la función sin derivar. Las funciones seno, coseno y exponencial cumplen esta condición. Si se prueba la primera (que tiene que contener dos constantes de integración):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Si se sustituyen estas expresiones en la ecuación del movimiento:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El movimiento es una oscilación alrededor de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math> cuya frecuencia angular <math>(\omega)</math> depende de parámetros del sistema.

:Las constantes de integración, en cambio, dependen de las condiciones iniciales (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), y por tanto, no son intrínsecas al sistema.

:* condiciones iniciales solo de posición: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales solo de velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales de posición y velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Análisis de la estabilidad de las de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Las oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio sólo son posibles cuando ésta es estable.
La estabilidad se puede analizar muy fácilmente a partir de la ecuación del movimiento linealizada:

<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decrece, y el sistema vuelve a la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> crece, y el sistema se aleja de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''INESTABLE'''.

==D7.2 Ejemplos generales==
====✏️ EJEMPLO D7.1: placa rectangular giratoria====
------

:[[Archivo:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Archivo:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La placa rectangular homogénea, de masa m, está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante respecto al suelo bajo la acción de un motor. Se trata de hallar la ecuación del movimiento asociada al movimiento entre placa y horquilla, y el valor del par motor que garantiza <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripción cinemática:

:Otra opción para calcular <math>\vel{G}{T}</math> es la cinemática de sólido rígido (sólido: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general de interacciones

[[Archivo:D7-Ex1-3esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones ppr sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ ecs}}{\text{sólido}} = 12\text{ecs}</math>

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 incógnitas

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

:La placa es el único elemento cuyomo vimiento depende de <math>\dth</math>. Par tanto, los sistemas posibles en los que aparecerá <math>\ddth</math> cuando se apliquen los teoremas vectoriales son: placa, placa + horquilla.

[[Archivo:D7-Ex1-4-esp.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enlace + <math>\ddth</math> = 6 inc. enlace <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enlace + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc. enlace</center>
 
:Las seis ecuaciones que se generan aplicando los teoremas vectoriales a la placa permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la placa son:

[[Archivo:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterización del torsor de enlace de la horquilla sobre la placa en el punto '''O''' es inmediata tanto si se utiliza la base B como la B’.

:Si se aplica el TCM, las tres componentes incluyen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en '''O''', la fuerza de enlace no aparecerá, y la componente 3 (o 3’) estará libre de incógnitas de enlace.

:Una buena propuesta es:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta:SISTEMA(placa), TMC en }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC en <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{grande}}{0}{0}{0}{\I{pequeño}}{0}{0}{0}{\I{grande + pequeño}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{\I{grande + pequeño}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{pequeño}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{grande + pequeño})\ddth + \I{pequeño - grande}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{pequeño} - \I{grande})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si se substituyen <math>\I{grande + pequeño}</math> i <math>\I{pequeño} - \I{grande}</math> por los valores que dan las tablas, la ecuación queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Análisis de la ecuación del movimiento: configuraciones de equilibrio

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Esta ecuación tiene dos familias de soluciones:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ya que la función coseno está acotada entre -1 y +1, la segunda familia solo existe si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, y esto se cumple solo si la velocidad angular <math>\Omega_0</math> está por encima del valor crítico <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Análisis de la ecuación del movimiento: movimiento de la placa respecto a la horquilla

:Al tratarse de una ecuación no lineal (a causa de la función seno), el movimiento general se obtiene por integración numérica.

:El análisis analítico para pequeñas amplitudes <math>(\varepsilon)</math> alrededor de una configuración de equilibrio <math>\theta_\text{eq}</math> se puede hacer si se aproximan las funciones trigonométricas [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''sección D7.1''')]]:

L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Para las pequeñas amplitudes alrededor de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, la ecuación del movimiento es <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si las condiciones iniciales son <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, la evolución de <math>\varepsilon</math> viene dada por: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Para <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''aumenta'''. Es una configuración '''INESTABLE''' y no puede haber oscilación alrededor de esta configuración.

:* Para <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminuye'''. El movimiento es una oscilación alrededor de una configuración '''ESTABLE'''. La frecuencia angular [rad/s] es <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si las condiciones iniciales son <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> y <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el movimiento pendular no aparece, y el sistema se mueve solo con la rotación <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentario adicional

[[Archivo:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa se hubiera suspendido de la horquilla de manera que el eje 2 fuese el de momento de inercia grande y el eje 1 fuese el de inercia baja, la ecuación del movimiento habría sido:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si se linealiza alrededor de la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Para cualquier valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficiente <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]</math> es positivo, y por tanto la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math> es siempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Hoja de ruta para el par motor

:Las opciones de sistema para calcular el par motor son dos: horquilla, horquilla + placa:

[[Archivo:D7-Ex1-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Archivo:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:La opción (horquilla + placa) es la más adecuada. La descripción de interacciones externas sobre este sistema se muestra en la figura.

:Al tratarse de un par motor, el TMC es el teorema adecuado para llegar a la solución:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (horquilla + placa), TMC en }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El momento cinético es el mismo que se ha calculado antes (ya que la horquilla no tiene masa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\dth} = \vector{2\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ EJEMPLO D7.2: barras giratorias====
-----

:[[Archivo:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta de un marco sin masa y de dos barras homogéneas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\sth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante).

:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex2-2esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones por sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ecs.}}{\text{sólido}} = 12</math> ecs.

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 inc.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:La pieza es el único elemento cuyo el movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex2-3-esp.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:Las seis ecuaciones que se generan si se aplican los teoremas vectoriales a la pieza permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la pieza son las que se muestran a la figura.
:Si se aplica el TCM, las tres componentes contienen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en O, la fuerza de enlace no aparecerá. Por tanto:

<center><math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en} \Os}</math></center>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria al marco. Ya que se asume que el movimiento solo proviene del GL forzado <math>\Omega_0</math>, es la base que gira con <math>\Omega_0</math> respecto al suelo.

:El análisis cualitativo del tensor de inercia se puede hacer considerando primero el tensor de cada barra en su centro de inercia y añadiendo después las correcciones de [[D5. Tensor de inercia#D5.4 Algunas propiedades relevantes del tensor de inercia|'''Steiner''']] para pasar a '''O''':

:[[Archivo:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{-3/2}{0}{-3/2}{9/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Teniendo en cuenta que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constanto y está contenido en el plano de la pieza. Por tanto, gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> y barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:[[Archivo:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:El único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusión: el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo constante) no es posible. La razón es la componente horizontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que es la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fuera estrictamente vertical (paralelo a <math>\vec\Omega_0</math>), entonces <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, y la aplicación del TMC conduciría a valor nulo de las dos componentes de momento <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En otras palabras: si la dirección de la velocidad angular fuese una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']] para el punto '''O''', mantenerla constante sería posible sin necesidad de momento externo.

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras el dedo introduzca una de estas fuerzas, la math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal (sin que aparezca <math>\dth</math>). Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido horario:

:[[Archivo:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar con <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:La ecuación del movimiento es:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, y está claro que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no es una de ellas.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación horaria.

</div>


====✏️ EJEMPLO D7.3: pieza giratoria con partículas====
-----
:
:[[Archivo:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta de un marco sin masa y de dos partículas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\dth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante.

:Diagrama general de interacciones

:Es un sistema del mismo tipo que el del [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']]: tiene dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. El número de ecuaciones que se pueden generar si se aplican los teoremas vectoriales a los dos sólidos es 12: es un problema determinado.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:[[Archivo:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La pieza es el único elemento cuyo movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla. Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], una hoja de ruta adecuada es:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os}</math>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{pieza}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor de inercia en la base B solidaria a la pieza es inmediato:
:[[Archivo:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constante, está contenido en el plano de la pieza, y gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> mientras barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centro de inercia de la pieza se encuentra en la vertical que pasa por '''O''', y por tanto el único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:[[Archivo:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo <math>\Omega_0</math> constante) no es posible porque la dirección de la velocidad angular no es una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']].

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras se introduce una de estas fuerzas, la <math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal. Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido antihorario:

:[[Archivo:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Archivo:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar de acuerdo con la hoja de ruta siguiente: <math>\boxed{\text{Hija de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:La ecuación del movimiento es:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, y es evidente que <math>\theta = 0</math> no es una solución, y que por tanto la pieza necesariamente adquirirá movimiento pendular.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación antihoraria.
</div>



====✏️ EJEMPLO D7.4: bola giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex4-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de masa m y radio r, mantiene contacto puntual sin deslizamiento con el suelo y está articulada a un brazo horizontal. El brazo está articulado a una horquilla que gira con velocidad angular constante bajo la acción de un motor. Brazo y horquilla tienen masa despreciable. El coeficiente de fricción en dirección radial entre bola y suelo es nulo <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Se trata de investigar si la rotación <math>\Omega_0</math> puede provocar la pérdida de contacto entre bola y suelo.

 
 
 
 
 
 
:Descripción cinemática
:El [[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.3 Geometry of the velocity distribution: Instantaneous Screw Axis (ISA)|'''EIRL''']] de la bola respecto al suelo es la recta <math>\Os\Js</math>, y la velocidad angular se puede descomponer en dos rotaciones de Euler:

:[[Archivo:D7-Ex4-2-esp.jpg|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general de interacciones
::[[Archivo:D7-Ex4-3-esp.png|thumb|left|250px|link=]]
:Es un sistema de un GL con 17 incógnitas de enlace. Al contener 3 sólidos rígidos, se trata de un problema determinado:

:(17 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas 
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math>= 18 ecuaciones

:La descripción del sistema se puede aligerar si se trata el brazo como [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''SAE''']], ya que no tiene masa y solo está sometido a interacciones de enlace:

:[[Archivo:D7-Ex4-4-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:El número de incógnitas de enlace asociado al enlace indirecto entre bola y horquilla a través del brazo es 4, ya que la bola tiene dos rotaciones independientes <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecto a la horquilla. El problema sigue siendo determinado:

:(11 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas 
:2 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math> = 12 ecuaciones

:Hoja de ruta para estudiar la pérdida de contacto
:La pérdida de contacto implica la supresión del enlace entre bola y suelo, por tanto la anulación de la fuerza normal N que el suelo ejerce sobre la bola. Los dos sistemas a los que se pueden aplicar los teoremas vectoriales para calcular la N son: bola, bola + (brazo) + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex4-5-esp.png|thumb|center|510px|link=]]

:La mejor opción es aplicar teoremas vectoriales a la bola, ya que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la bola son:

:[[Archivo:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', las fuerzas de enlace asociadas a la articulación con la horquilla no aparecerán, y los únicos momentos en dirección perpendicular al dibujo estarán asociados al peso y a la N. Por tanto:
:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (bola), TMC en } \Os]_{\perp\text{ al dibujo}}}</math>

:El momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se puede calcular a partir del tensor de inercia en '''O''' (ya que '''O''' es un punto fijo a la bola) o por descomposición baricéntrica. En este último caso, ya que la bola es rotor esférico en <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> es paralelo a la velocidad angular de la bola:

:[[Archivo:D7-Ex4-7-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Las dos componentes son constantes en valor, pero la componente horizontal cambia de dirección a causa de la rotación vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibujo}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La fuerza normal aumenta con la velocidad angular, y por tanto el contacto con el suelo se mantiene siempre.

:Alternativa:

:Si el cálculo de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se hace a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> y la derivada se hace de manera analítica:

:[[Archivo:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex5-2-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:La anilla, de masa m y radio R, gira con velocidad angular <math>\dot\varphi_0</math> constante respecto a la horquilla (de masa despreciable) impulsada por un motor que tiene el estátor (P1) articulado a la horquilla, y el rotor (P2) solidario a la anilla. La horquilla puede girar respecto al suelo con velocidad angular <math>\dot\psi</math>. Inicialmente, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Se trata de investigar cómo evoluciona esta condición inicial, si el deslizamiento entre anilla y suelo desaparecerá en algún momento, y el valor del par motor que garantiza <math>\dot\varphi_0</math> constante mientras hay deslizamiento.

:Descripción cinemática y diagrama general de interacciones
:Para el movimiento más general cuando aún hay deslizamiento, <math>\dot\varphi_0</math> y <math>\dot\psi</math> son independientes, y la descripción de velocidades del sistema y el DGI ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#✏️ EJEMPLO D3.18: actuador rotacional entre dos sólidos|'''ejemplo D3.18''']]) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-2-esp.png|thumb|center|250px|link=]]

:En cuanto a la descripción dinámica, hay dos opciones según si se consideran los enlaces directos entre la horquilla y el estátor del motor (P1), y el estátor (P1) y el rotor (P2, solidario a la anilla) (opción 1), o si se trata el enlace indirecto entre horquilla y anilla (opción 2) ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.6 Interacciones a través de actuadores lineales y rotacionales|'''secció D3.6''']]):

:[[Archivo:D7-Ex5-3-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, el problema es determinado:

:Opción 1: (16 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas, 3 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 ecuaciones

:Opción 2: (10 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas, 2 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 ecuaciones

:<big>'''OPCIÓN 1'''</big>
:En esta opción, el DGI se puede aligerar si se trata la horquilla como SAE (ya que tiene masa nula y solo está sometido a interacciones de enlace). El enlace indirecto entre brazo y techo (suelo) introduce 4 incógnitas, ya que permite dos rotaciones independientes entre los dos:

:[[Archivo:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|350px|link=]]

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Tanto la anilla como el estátor (P1) tienen un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay tres opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, P1, anilla+P1.

:[[Archivo:D7-Ex5-5-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La mejor opción es (anilla+P1). La caracterización del enlace indirecto entre P1 y techo es inmediata: ya que permite dos rotaciones independientes en direcciones 2 y 3 de P1 respecto al suelo, el torsor contendrá tres componentes de fuerza y una de momento (en dirección 1). Las interacciones externas al sistema (anilla+P1) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', se evitan las tres fuerzas de enlace asociadas al enlace indirecto entre P1 y techo, y solo aparecerán dos incógnitas de enlace <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. Al no haber ninguna componente libre de incógnitas de enlace, habrá que trabajar en principio con las tres para llegar a la ecuación del movimiento.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla+P1), TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético se puede calcular a partir del tensor en '''O''' porque '''O''' es fijo a la anilla:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anilla}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anilla}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math>{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = \left(\mat{\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2} + \mat{0}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}
</math>

:<math>{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{0}{9\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{-2\dot\varphi_0}{0}{9\dot\psi} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}
</math>

:Los momentos externos en '''O''' provienen del peso, de las fuerzas en '''J''' y del momento <math>\Ms_1</math> asociado al enlace indirecto entre P1 y suelo:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs}</math>

:La segunda componente conduce a <math>\Ns = \ms\gs+\frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>, y sustituyendo en la tercera se obtiene la ecuación del movimiento: <math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2}{9}\mu\left(2\frac{\gs}{\rs}+\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>.

:En el instante inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{4}{9}\mu\frac{\gs}{\rs}>0</math>, y por tanto la velocidad angular <math>\dot\psi</math> crece, cosa que hace aumentar la fuerza normal. Esto es indicativo de que no hay riesgo de que se pierda el contacto en '''J'''.

:Cuando <math>\dot\psi</math> llega al valor <math>(\dot\varphi_0/2)</math>, el deslizamiento en '''J''' desaparece:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{anilla}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0</math>

:A partir de este momento, el sistema pasa a tener solo 1 GL, pero el número de incógnitas aumenta, ya que en '''J''' aparecen dos componentes más de fuerza de enlace (además de la N): el problema pasa a ser indeterminado.

:Hoja de ruta para el par motor

:Ya que el par motor actúa entre P1 y la anilla, las dos opciones de sistema para aplicar los teoremas vectoriales son: anilla, P1. Puesto que la ecuación del movimiento para la <math>\psi</math> y la fuerza normal ya se han determinado, el número de incógnitas en estos dos casos es:

:[[Archivo:D7-Ex5-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:La mejor opción, pues, es aplicar teoremas a la anilla. Las interacciones externas sobre este sólido son:

:[[Archivo:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La componente 1 del TMC en '''O''' está libre de incógnitas de enlace (contiene el momento de la fuerza de fricción, pero la N ya no es una incógnita). Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os]_1}</math>

:El momento cinético en '''O''' es el de la anilla, y su derivada tiene componente 1 nula:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓN 2'''</big>
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Solo la anilla tiene un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay dos opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, anilla+horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex5-9-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:Las dos opciones parecen equivalentes. Para escoger una, hay que analizar las interacciones externas que actúan sobre cada uno de los dos sistemas:

:[[Archivo:D7-Ex5-10-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, si se aplica el TMC en '''O''' se evitan tres componentes de fuerza de enlace, pero en la dirección 1 (que es donde puede aparecer la <math>\ddot\varphi</math>) hay siempre un momento (el par motor en un caso, o el <math>\Ms_1</math> entre techo y horquilla en el otro). Tanto si se escoge un sistema como otro, habrá que trabajar en principio con más de una componente del TMC para llegar a la ecuación del movimiento. A continuación se consideran las dos opciones.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético en '''O''' y su derivada son los mismos que se han calculado en la opción 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Los momentos externos en O provienen del peso, de las fuerzas en J, del par motor y del momento <math>\Ms_3</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segunda componente da el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. Al ser siempre positivo, el contacto en '''J''' está asegurado.

:La primera componente da el par motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Pero en la tercera, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de <math>\Ms_3</math>. Por tanto, esta opción no parece adecuada.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + horquilla),TMC en }\Os}</math>

:Los momentos externos son distintos al caso anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En esta opción, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de N, pero las otras componentes no permiten calcular esta fuerza.

:Ahora bien, si se combinan los resultados para las dos opciones, la ecuación del movimiento es inmediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anilla + horquilla), TMC en }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:El cese del deslizamiento se estudia exactamente igual que en la opción 1.



====✏️ EJEMPLO D7.6: péndulo anular giratorio====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex6-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta de una anilla, de masa m y radio R, unida a un brazo que está articulado a un soporte. El soporte puede deslizar a lo largo de una guía lisa. Un muelle lineal de constante k conecta soporte y guía. El conjunto gira alrededor de la vertical con velocidad angular constante <math>\dot\psi_0</math> bajo la acción de un motor. La masa de todos los elementos, salvo la anilla, es despreciable. Se trata de buscar las ecuaciones del movimiento y estudiar las posibles configuracion es de equilibrio.

:Descripción cinemática
:[[Archivo:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:Es un sistema de 3 GL: el movimiento pendular <math>\dot\theta</math>, el movimiento del soporte respecto a la guía (que denominaremos <math>\dot\xs</math>) y la rotación vertical forzada <math>\dot\psi_0</math>.

:El movimiento del centro de la anilla '''G''' respecto al suelo se puede determinar a través de una doble composición:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guía} \\
\text{AB: soporte}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guía}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex6-3-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema es determinado:

:(15 inc. de enlace, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sólidos}}</math> = 18 ecuaciones
 
 
 
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math>

:El movimiento de la anilla es el único que depende de <math>\ddth</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, anilla+soporte+guía.

:[[Archivo:D7-Ex6-4-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opción es la menos adecuada. En cuanto a las otras dos, las interacciones externas a tener en cuenta son:

:[[Archivo:D7-Ex6-5-esp.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''' a la anilla, la componente 1 está libre de incógnitas de enlace, y es precisamente en esta dirección en donde aparece la velocidad angular <math>\dth</math> (y, por tanto, el cambio de su valor <math>\ddth</math>). En la opción (anilla+soporte), esta componente incluye un momento de enlace. Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ya que el punto '''O''' se mueve respecto al suelo: <math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Por otro lado, '''O''' es un punto fijo a la anilla: <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalmente: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Esta ecuación del movimiento incluye también la variable <math>\ddot\xs</math>. Esto quiere decir que los grados de libertad <math>\dth</math> y <math>\dot\xs</math> están '''acoplados''': aunque el movimiento empiece con unas condiciones iniciales que solo son no nulas para uno de ellas, el otro puede aparecer.

:La componente 1 del TMC en '''O''' para el sistema anilla es la única donde aparecen <math>\dth</math> y <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, la otra ecuación del movimiento no se puede determinar con ninguna de las otras dos componentes.

La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada x 

:El movimiento de la anilla y el del soporte dependen de <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, soporte, soporte+guía, anilla+soporte+guia. Ya que se ha determinado la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ya no es una incógnita.

:[[Archivo:D7-Ex6-6-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex6-7-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:Como antes, las mejores opciones son las dos primeras. La primera ya se ha utilizado, por tanto aplicaremos los teoremas a la segunda. A partir de la representación de las interacciones externas que actúan sobre el sistema (anilla+soporte), se ve que la componente vertical (dirección 3’) del TCM estará libre de incógnitas de enlace. Por tanto: <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + soporte), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Cálculo de la aceleración de '''G''':

:'''Opción 1''': por derivación de la velocidad descrita anteriormente, ya que corresponde a una configuración general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opción 2''': por cinemática del sólido rígido.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anilla} \\
\Os\in\text{anilla}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anilla}{T}\times\velang{anilla}{T}\times\OGvec + \accang{anilla}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anilla}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:La aceleración angular <math>\accang{anilla}{T}</math> proviene del cambio de valor y de dirección de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anilla}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulación de la fuerza del muelle

:[[Archivo:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translación vertical del soporte <math>(\dot\xs)</math> está asociado a la variación de una coordenada x cuyo origen aun no se ha definido. Es habitual escoger el origen de las coordenadas de manera que coincidan con configuraciones de equilibrio.

:Si se toma <math>\xs=0</math> para el equilibrio en ausencia de rotación <math>\dot\psi_0</math>, está claro que el muelle tendrá que ejercer una fuerza <math>\Fs_0</math> de atracción sobre el péndulo para contrarrestar el peso: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulación general de la fuerza de atracción del muelle será pues: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ya que el movimiento <math>\dot\xs</math> se ha definido positivo hacia abajo, un aumento de <math>\xs</math> implica un aumento de longitud del muelle. Por tanto: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentarios sobre el acoplamiento de los dos GL

:Las condiciones iniciales <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> con las que se pone en marcha el movimiento determinan los GL que aparecerán.

:Una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no conseguirá nunca hacer aparecer el movimiento pendular, ya que las ecuaciones para el instante inicial son:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En cambio, una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movimiento vertical <math>\dot\xs</math>, ya que la ecuación que gobierna la <math>\dot\xs</math> para el instante inicial es:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio estático
:Las configuraciones de equilibrio estático (las que corresponden a tener el sistema completamente parado, con <math>\dot\psi_0 = 0</math>) se obtienen de las ecuaciones del movimiento imponiendo <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si consideramos una pequeña perturbación de estas configuraciones de equilibrio <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, las ecuaciones se pueden [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|'''linealizar''']]. Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, se trata de una configuración '''ESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, se trata de una configuración '''INESTABLE'''.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio en rotación

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, para <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> la ecuación del movimiento para la x no cambia (por tanto, <math>\xs_\text{eq}=0</math> es estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), pero la de la <math>\theta</math> tiene un terme adicional, y aparecen dos familias de configuraciones de equilibrio:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:Sin embargo, la segunda familia solo existe por encima de un valor crítico de <math>\dot\psi_0^2</math> ya que la función <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> está acotada entre -1 y +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealización de la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math> conduce a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuración es '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> y <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuración es '''INESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, la ecuación del movimiento linealizada para la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuración és '''INESTABLE''' para cualquier valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:El estudio de las configuraciones <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> se hace de manera análoga, pero es mucho más largo. Por este motivo, no se hace.



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</center>

Archivo:D7-Ex5-2-esp.png

2026-02-25T17:32:20Z

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D7-Ex5-2-esp

D7. Ejemplos de dinámica 3D

2026-02-25T12:15:46Z

Eantem: /* D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
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\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
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{#7} & {#8} & {#9}
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{#1}\\
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\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
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\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>

En esta unidad, el procedimiento sistemático propuesto en la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.4 Diagrama general de interacciones (DGI)|'''sección D6.4''']] se aplica a ejemplos de dinámica 3D para obtener ecuaciones del movimiento y pares motores. Además, se presenta también un análisis sistemático de las ecuaciones del movimiento.

==D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento==

La obtención de las ecuaciones del movimiento de los GL libres de los sistemas multisólido no es, en general, el objetivo de los problemas de dinámica, sino un paso previo a su integración para conocer cómo evolucionan a lo largo del tiempo las coordenadas que describen la configuración del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Sin embargo, estas ecuaciones suelen ser no lineales, y su integración es necesariamente numérica. A pesar de eso, hay algunos aspectos del comportamiento del sistema que se pueden investigar de manera analítica.

Configuraciones de equilibrio

Las configuraciones de equilibrio son aquellas configuraciones para las que, si el sistema se deja en reposo <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, permanece en reposo <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Por tanto, el valor de las coordenadas en equilibrio viene dado por:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>
</center>

La ecuación que define las <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> puede ser trascendente y no tener solución analítica. En ese caso, se puede recurrir a una resolución numérica o una resolución gráfica.

Análisis de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Si se considera que el valor de las coordenadas es muy cercano al de una configuración de equilibrio <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js</math>, con <math>\varepsilon_\js << 1</math>, y por tanto <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>) las funciones no lineales que aparecen en las ecuaciones del movimiento se pueden aproximar por los términos lineales de su desarrollo en serie de Taylor. Por ejemplo:

:* si aparecen polinomios de grado superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si se trata de una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> y aparecen funciones seno y coseno:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Una vez linealizada, la ecuación es del tipo: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, donde A, B, y C son escalares. En este curso, sin embargo, a menudo la ecuación es más sencilla y no contiene término en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solución general es: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, con <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Las constantes de integración dependen de las condiciones iniciales <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
:La solución <math>\varepsilon(\ts)</math> de la ecuación <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una función cuya segunda derivada sea proporcional a la función sin derivar. Las funciones seno, coseno y exponencial cumplen esta condición. Si se prueba la primera (que tiene que contener dos constantes de integración):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Si se sustituyen estas expresiones en la ecuación del movimiento:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El movimiento es una oscilación alrededor de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math> cuya frecuencia angular <math>(\omega)</math> depende de parámetros del sistema.

:Las constantes de integración, en cambio, dependen de las condiciones iniciales (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), y por tanto, no son intrínsecas al sistema.

:* condiciones iniciales solo de posición: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales solo de velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales de posición y velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Análisis de la estabilidad de las de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Las oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio sólo son posibles cuando ésta es estable.
La estabilidad se puede analizar muy fácilmente a partir de la ecuación del movimiento linealizada:

<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decrece, y el sistema vuelve a la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> crece, y el sistema se aleja de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''INESTABLE'''.

==D7.2 Ejemplos generales==
====✏️ EJEMPLO D7.1: placa rectangular giratoria====
------

:[[Archivo:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Archivo:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La placa rectangular homogénea, de masa m, está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante respecto al suelo bajo la acción de un motor. Se trata de hallar la ecuación del movimiento asociada al movimiento entre placa y horquilla, y el valor del par motor que garantiza <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripción cinemática:

:Otra opción para calcular <math>\vel{G}{T}</math> es la cinemática de sólido rígido (sólido: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general de interacciones

[[Archivo:D7-Ex1-3esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones ppr sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ ecs}}{\text{sólido}} = 12\text{ecs}</math>

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 incógnitas

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

:La placa es el único elemento cuyomo vimiento depende de <math>\dth</math>. Par tanto, los sistemas posibles en los que aparecerá <math>\ddth</math> cuando se apliquen los teoremas vectoriales son: placa, placa + horquilla.

[[Archivo:D7-Ex1-4-esp.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enlace + <math>\ddth</math> = 6 inc. enlace <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enlace + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc. enlace</center>
 
:Las seis ecuaciones que se generan aplicando los teoremas vectoriales a la placa permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la placa son:

[[Archivo:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterización del torsor de enlace de la horquilla sobre la placa en el punto '''O''' es inmediata tanto si se utiliza la base B como la B’.

:Si se aplica el TCM, las tres componentes incluyen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en '''O''', la fuerza de enlace no aparecerá, y la componente 3 (o 3’) estará libre de incógnitas de enlace.

:Una buena propuesta es:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta:SISTEMA(placa), TMC en }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC en <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{grande}}{0}{0}{0}{\I{pequeño}}{0}{0}{0}{\I{grande + pequeño}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{\I{grande + pequeño}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{pequeño}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{grande + pequeño})\ddth + \I{pequeño - grande}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{pequeño} - \I{grande})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si se substituyen <math>\I{grande + pequeño}</math> i <math>\I{pequeño} - \I{grande}</math> por los valores que dan las tablas, la ecuación queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Análisis de la ecuación del movimiento: configuraciones de equilibrio

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Esta ecuación tiene dos familias de soluciones:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ya que la función coseno está acotada entre -1 y +1, la segunda familia solo existe si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, y esto se cumple solo si la velocidad angular <math>\Omega_0</math> está por encima del valor crítico <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Análisis de la ecuación del movimiento: movimiento de la placa respecto a la horquilla

:Al tratarse de una ecuación no lineal (a causa de la función seno), el movimiento general se obtiene por integración numérica.

:El análisis analítico para pequeñas amplitudes <math>(\varepsilon)</math> alrededor de una configuración de equilibrio <math>\theta_\text{eq}</math> se puede hacer si se aproximan las funciones trigonométricas [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''sección D7.1''')]]:

L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Para las pequeñas amplitudes alrededor de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, la ecuación del movimiento es <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si las condiciones iniciales son <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, la evolución de <math>\varepsilon</math> viene dada por: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Para <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''aumenta'''. Es una configuración '''INESTABLE''' y no puede haber oscilación alrededor de esta configuración.

:* Para <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminuye'''. El movimiento es una oscilación alrededor de una configuración '''ESTABLE'''. La frecuencia angular [rad/s] es <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si las condiciones iniciales son <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> y <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el movimiento pendular no aparece, y el sistema se mueve solo con la rotación <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentario adicional

[[Archivo:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa se hubiera suspendido de la horquilla de manera que el eje 2 fuese el de momento de inercia grande y el eje 1 fuese el de inercia baja, la ecuación del movimiento habría sido:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si se linealiza alrededor de la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Para cualquier valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficiente <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]</math> es positivo, y por tanto la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math> es siempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Hoja de ruta para el par motor

:Las opciones de sistema para calcular el par motor son dos: horquilla, horquilla + placa:

[[Archivo:D7-Ex1-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Archivo:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:La opción (horquilla + placa) es la más adecuada. La descripción de interacciones externas sobre este sistema se muestra en la figura.

:Al tratarse de un par motor, el TMC es el teorema adecuado para llegar a la solución:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (horquilla + placa), TMC en }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El momento cinético es el mismo que se ha calculado antes (ya que la horquilla no tiene masa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\dth} = \vector{2\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ EJEMPLO D7.2: barras giratorias====
-----

:[[Archivo:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta de un marco sin masa y de dos barras homogéneas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\sth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante).

:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex2-2esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones por sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ecs.}}{\text{sólido}} = 12</math> ecs.

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 inc.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:La pieza es el único elemento cuyo el movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex2-3-esp.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:Las seis ecuaciones que se generan si se aplican los teoremas vectoriales a la pieza permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la pieza son las que se muestran a la figura.
:Si se aplica el TCM, las tres componentes contienen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en O, la fuerza de enlace no aparecerá. Por tanto:

<center><math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en} \Os}</math></center>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria al marco. Ya que se asume que el movimiento solo proviene del GL forzado <math>\Omega_0</math>, es la base que gira con <math>\Omega_0</math> respecto al suelo.

:El análisis cualitativo del tensor de inercia se puede hacer considerando primero el tensor de cada barra en su centro de inercia y añadiendo después las correcciones de [[D5. Tensor de inercia#D5.4 Algunas propiedades relevantes del tensor de inercia|'''Steiner''']] para pasar a '''O''':

:[[Archivo:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{-3/2}{0}{-3/2}{9/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Teniendo en cuenta que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constanto y está contenido en el plano de la pieza. Por tanto, gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> y barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:[[Archivo:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:El único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusión: el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo constante) no es posible. La razón es la componente horizontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que es la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fuera estrictamente vertical (paralelo a <math>\vec\Omega_0</math>), entonces <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, y la aplicación del TMC conduciría a valor nulo de las dos componentes de momento <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En otras palabras: si la dirección de la velocidad angular fuese una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']] para el punto '''O''', mantenerla constante sería posible sin necesidad de momento externo.

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras el dedo introduzca una de estas fuerzas, la math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal (sin que aparezca <math>\dth</math>). Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido horario:

:[[Archivo:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar con <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:La ecuación del movimiento es:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, y está claro que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no es una de ellas.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación horaria.

</div>


====✏️ EJEMPLO D7.3: pieza giratoria con partículas====
-----
:
:[[Archivo:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta de un marco sin masa y de dos partículas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\dth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante.

:Diagrama general de interacciones

:Es un sistema del mismo tipo que el del [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']]: tiene dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. El número de ecuaciones que se pueden generar si se aplican los teoremas vectoriales a los dos sólidos es 12: es un problema determinado.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:[[Archivo:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La pieza es el único elemento cuyo movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla. Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], una hoja de ruta adecuada es:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os}</math>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{pieza}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor de inercia en la base B solidaria a la pieza es inmediato:
:[[Archivo:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constante, está contenido en el plano de la pieza, y gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> mientras barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centro de inercia de la pieza se encuentra en la vertical que pasa por '''O''', y por tanto el único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:[[Archivo:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo <math>\Omega_0</math> constante) no es posible porque la dirección de la velocidad angular no es una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']].

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras se introduce una de estas fuerzas, la <math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal. Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido antihorario:

:[[Archivo:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Archivo:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar de acuerdo con la hoja de ruta siguiente: <math>\boxed{\text{Hija de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:La ecuación del movimiento es:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, y es evidente que <math>\theta = 0</math> no es una solución, y que por tanto la pieza necesariamente adquirirá movimiento pendular.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación antihoraria.
</div>



====✏️ EJEMPLO D7.4: bola giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex4-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de masa m y radio r, mantiene contacto puntual sin deslizamiento con el suelo y está articulada a un brazo horizontal. El brazo está articulado a una horquilla que gira con velocidad angular constante bajo la acción de un motor. Brazo y horquilla tienen masa despreciable. El coeficiente de fricción en dirección radial entre bola y suelo es nulo <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Se trata de investigar si la rotación <math>\Omega_0</math> puede provocar la pérdida de contacto entre bola y suelo.

 
 
 
 
 
 
:Descripción cinemática
:El [[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.3 Geometry of the velocity distribution: Instantaneous Screw Axis (ISA)|'''EIRL''']] de la bola respecto al suelo es la recta <math>\Os\Js</math>, y la velocidad angular se puede descomponer en dos rotaciones de Euler:

:[[Archivo:D7-Ex4-2-esp.jpg|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general de interacciones
::[[Archivo:D7-Ex4-3-esp.png|thumb|left|250px|link=]]
:Es un sistema de un GL con 17 incógnitas de enlace. Al contener 3 sólidos rígidos, se trata de un problema determinado:

:(17 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas 
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math>= 18 ecuaciones

:La descripción del sistema se puede aligerar si se trata el brazo como [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''SAE''']], ya que no tiene masa y solo está sometido a interacciones de enlace:

:[[Archivo:D7-Ex4-4-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:El número de incógnitas de enlace asociado al enlace indirecto entre bola y horquilla a través del brazo es 4, ya que la bola tiene dos rotaciones independientes <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecto a la horquilla. El problema sigue siendo determinado:

:(11 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas 
:2 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math> = 12 ecuaciones

:Hoja de ruta para estudiar la pérdida de contacto
:La pérdida de contacto implica la supresión del enlace entre bola y suelo, por tanto la anulación de la fuerza normal N que el suelo ejerce sobre la bola. Los dos sistemas a los que se pueden aplicar los teoremas vectoriales para calcular la N son: bola, bola + (brazo) + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex4-5-esp.png|thumb|center|510px|link=]]

:La mejor opción es aplicar teoremas vectoriales a la bola, ya que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la bola son:

:[[Archivo:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', las fuerzas de enlace asociadas a la articulación con la horquilla no aparecerán, y los únicos momentos en dirección perpendicular al dibujo estarán asociados al peso y a la N. Por tanto:
:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (bola), TMC en } \Os]_{\perp\text{ al dibujo}}}</math>

:El momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se puede calcular a partir del tensor de inercia en '''O''' (ya que '''O''' es un punto fijo a la bola) o por descomposición baricéntrica. En este último caso, ya que la bola es rotor esférico en <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> es paralelo a la velocidad angular de la bola:

:[[Archivo:D7-Ex4-7-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Las dos componentes son constantes en valor, pero la componente horizontal cambia de dirección a causa de la rotación vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibujo}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La fuerza normal aumenta con la velocidad angular, y por tanto el contacto con el suelo se mantiene siempre.

:Alternativa:

:Si el cálculo de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se hace a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> y la derivada se hace de manera analítica:

:[[Archivo:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex5-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:La anilla, de masa m y radio R, gira con velocidad angular <math>\dot\varphi_0</math> constante respecto a la horquilla (de masa despreciable) impulsada por un motor que tiene el estátor (P1) articulado a la horquilla, y el rotor (P2) solidario a la anilla. La horquilla puede girar respecto al suelo con velocidad angular <math>\dot\psi</math>. Inicialmente, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Se trata de investigar cómo evoluciona esta condición inicial, si el deslizamiento entre anilla y suelo desaparecerá en algún momento, y el valor del par motor que garantiza <math>\dot\varphi_0</math> constante mientras hay deslizamiento.

:Descripción cinemática y diagrama general de interacciones
:Para el movimiento más general cuando aún hay deslizamiento, <math>\dot\varphi_0</math> y <math>\dot\psi</math> son independientes, y la descripción de velocidades del sistema y el DGI ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#✏️ EJEMPLO D3.18: actuador rotacional entre dos sólidos|'''ejemplo D3.18''']]) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-2-esp.png|thumb|center|250px|link=]]

:En cuanto a la descripción dinámica, hay dos opciones según si se consideran los enlaces directos entre la horquilla y el estátor del motor (P1), y el estátor (P1) y el rotor (P2, solidario a la anilla) (opción 1), o si se trata el enlace indirecto entre horquilla y anilla (opción 2) ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.6 Interacciones a través de actuadores lineales y rotacionales|'''secció D3.6''']]):

:[[Archivo:D7-Ex5-3-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, el problema es determinado:

:Opción 1: (16 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas, 3 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 ecuaciones

:Opción 2: (10 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas, 2 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 ecuaciones

:<big>'''OPCIÓN 1'''</big>
:En esta opción, el DGI se puede aligerar si se trata la horquilla como SAE (ya que tiene masa nula y solo está sometido a interacciones de enlace). El enlace indirecto entre brazo y techo (suelo) introduce 4 incógnitas, ya que permite dos rotaciones independientes entre los dos:

:[[Archivo:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|350px|link=]]

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Tanto la anilla como el estátor (P1) tienen un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay tres opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, P1, anilla+P1.

:[[Archivo:D7-Ex5-5-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La mejor opción es (anilla+P1). La caracterización del enlace indirecto entre P1 y techo es inmediata: ya que permite dos rotaciones independientes en direcciones 2 y 3 de P1 respecto al suelo, el torsor contendrá tres componentes de fuerza y una de momento (en dirección 1). Las interacciones externas al sistema (anilla+P1) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', se evitan las tres fuerzas de enlace asociadas al enlace indirecto entre P1 y techo, y solo aparecerán dos incógnitas de enlace <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. Al no haber ninguna componente libre de incógnitas de enlace, habrá que trabajar en principio con las tres para llegar a la ecuación del movimiento.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla+P1), TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético se puede calcular a partir del tensor en '''O''' porque '''O''' es fijo a la anilla:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anilla}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anilla}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math>{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = \left(\mat{\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2} + \mat{0}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}
</math>

:<math>{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{0}{9\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{-2\dot\varphi_0}{0}{9\dot\psi} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}
</math>

:Los momentos externos en '''O''' provienen del peso, de las fuerzas en '''J''' y del momento <math>\Ms_1</math> asociado al enlace indirecto entre P1 y suelo:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs}</math>

:La segunda componente conduce a <math>\Ns = \ms\gs+\frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>, y sustituyendo en la tercera se obtiene la ecuación del movimiento: <math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2}{9}\mu\left(2\frac{\gs}{\rs}+\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>.

:En el instante inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{4}{9}\mu\frac{\gs}{\rs}>0</math>, y por tanto la velocidad angular <math>\dot\psi</math> crece, cosa que hace aumentar la fuerza normal. Esto es indicativo de que no hay riesgo de que se pierda el contacto en '''J'''.

:Cuando <math>\dot\psi</math> llega al valor <math>(\dot\varphi_0/2)</math>, el deslizamiento en '''J''' desaparece:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{anilla}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0</math>

:A partir de este momento, el sistema pasa a tener solo 1 GL, pero el número de incógnitas aumenta, ya que en '''J''' aparecen dos componentes más de fuerza de enlace (además de la N): el problema pasa a ser indeterminado.

:Hoja de ruta para el par motor

:Ya que el par motor actúa entre P1 y la anilla, las dos opciones de sistema para aplicar los teoremas vectoriales son: anilla, P1. Puesto que la ecuación del movimiento para la <math>\psi</math> y la fuerza normal ya se han determinado, el número de incógnitas en estos dos casos es:

:[[Archivo:D7-Ex5-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:La mejor opción, pues, es aplicar teoremas a la anilla. Las interacciones externas sobre este sólido son:

:[[Archivo:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La componente 1 del TMC en '''O''' está libre de incógnitas de enlace (contiene el momento de la fuerza de fricción, pero la N ya no es una incógnita). Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os]_1}</math>

:El momento cinético en '''O''' es el de la anilla, y su derivada tiene componente 1 nula:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓN 2'''</big>
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Solo la anilla tiene un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay dos opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, anilla+horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex5-9-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:Las dos opciones parecen equivalentes. Para escoger una, hay que analizar las interacciones externas que actúan sobre cada uno de los dos sistemas:

:[[Archivo:D7-Ex5-10-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, si se aplica el TMC en '''O''' se evitan tres componentes de fuerza de enlace, pero en la dirección 1 (que es donde puede aparecer la <math>\ddot\varphi</math>) hay siempre un momento (el par motor en un caso, o el <math>\Ms_1</math> entre techo y horquilla en el otro). Tanto si se escoge un sistema como otro, habrá que trabajar en principio con más de una componente del TMC para llegar a la ecuación del movimiento. A continuación se consideran las dos opciones.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético en '''O''' y su derivada son los mismos que se han calculado en la opción 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Los momentos externos en O provienen del peso, de las fuerzas en J, del par motor y del momento <math>\Ms_3</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segunda componente da el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. Al ser siempre positivo, el contacto en '''J''' está asegurado.

:La primera componente da el par motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Pero en la tercera, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de <math>\Ms_3</math>. Por tanto, esta opción no parece adecuada.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + horquilla),TMC en }\Os}</math>

:Los momentos externos son distintos al caso anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En esta opción, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de N, pero las otras componentes no permiten calcular esta fuerza.

:Ahora bien, si se combinan los resultados para las dos opciones, la ecuación del movimiento es inmediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anilla + horquilla), TMC en }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:El cese del deslizamiento se estudia exactamente igual que en la opción 1.



====✏️ EJEMPLO D7.6: péndulo anular giratorio====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex6-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta de una anilla, de masa m y radio R, unida a un brazo que está articulado a un soporte. El soporte puede deslizar a lo largo de una guía lisa. Un muelle lineal de constante k conecta soporte y guía. El conjunto gira alrededor de la vertical con velocidad angular constante <math>\dot\psi_0</math> bajo la acción de un motor. La masa de todos los elementos, salvo la anilla, es despreciable. Se trata de buscar las ecuaciones del movimiento y estudiar las posibles configuracion es de equilibrio.

:Descripción cinemática
:[[Archivo:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:Es un sistema de 3 GL: el movimiento pendular <math>\dot\theta</math>, el movimiento del soporte respecto a la guía (que denominaremos <math>\dot\xs</math>) y la rotación vertical forzada <math>\dot\psi_0</math>.

:El movimiento del centro de la anilla '''G''' respecto al suelo se puede determinar a través de una doble composición:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guía} \\
\text{AB: soporte}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guía}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex6-3-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema es determinado:

:(15 inc. de enlace, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sólidos}}</math> = 18 ecuaciones
 
 
 
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math>

:El movimiento de la anilla es el único que depende de <math>\ddth</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, anilla+soporte+guía.

:[[Archivo:D7-Ex6-4-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opción es la menos adecuada. En cuanto a las otras dos, las interacciones externas a tener en cuenta son:

:[[Archivo:D7-Ex6-5-esp.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''' a la anilla, la componente 1 está libre de incógnitas de enlace, y es precisamente en esta dirección en donde aparece la velocidad angular <math>\dth</math> (y, por tanto, el cambio de su valor <math>\ddth</math>). En la opción (anilla+soporte), esta componente incluye un momento de enlace. Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ya que el punto '''O''' se mueve respecto al suelo: <math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Por otro lado, '''O''' es un punto fijo a la anilla: <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalmente: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Esta ecuación del movimiento incluye también la variable <math>\ddot\xs</math>. Esto quiere decir que los grados de libertad <math>\dth</math> y <math>\dot\xs</math> están '''acoplados''': aunque el movimiento empiece con unas condiciones iniciales que solo son no nulas para uno de ellas, el otro puede aparecer.

:La componente 1 del TMC en '''O''' para el sistema anilla es la única donde aparecen <math>\dth</math> y <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, la otra ecuación del movimiento no se puede determinar con ninguna de las otras dos componentes.

La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada x 

:El movimiento de la anilla y el del soporte dependen de <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, soporte, soporte+guía, anilla+soporte+guia. Ya que se ha determinado la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ya no es una incógnita.

:[[Archivo:D7-Ex6-6-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex6-7-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:Como antes, las mejores opciones son las dos primeras. La primera ya se ha utilizado, por tanto aplicaremos los teoremas a la segunda. A partir de la representación de las interacciones externas que actúan sobre el sistema (anilla+soporte), se ve que la componente vertical (dirección 3’) del TCM estará libre de incógnitas de enlace. Por tanto: <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + soporte), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Cálculo de la aceleración de '''G''':

:'''Opción 1''': por derivación de la velocidad descrita anteriormente, ya que corresponde a una configuración general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opción 2''': por cinemática del sólido rígido.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anilla} \\
\Os\in\text{anilla}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anilla}{T}\times\velang{anilla}{T}\times\OGvec + \accang{anilla}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anilla}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:La aceleración angular <math>\accang{anilla}{T}</math> proviene del cambio de valor y de dirección de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anilla}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulación de la fuerza del muelle

:[[Archivo:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translación vertical del soporte <math>(\dot\xs)</math> está asociado a la variación de una coordenada x cuyo origen aun no se ha definido. Es habitual escoger el origen de las coordenadas de manera que coincidan con configuraciones de equilibrio.

:Si se toma <math>\xs=0</math> para el equilibrio en ausencia de rotación <math>\dot\psi_0</math>, está claro que el muelle tendrá que ejercer una fuerza <math>\Fs_0</math> de atracción sobre el péndulo para contrarrestar el peso: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulación general de la fuerza de atracción del muelle será pues: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ya que el movimiento <math>\dot\xs</math> se ha definido positivo hacia abajo, un aumento de <math>\xs</math> implica un aumento de longitud del muelle. Por tanto: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentarios sobre el acoplamiento de los dos GL

:Las condiciones iniciales <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> con las que se pone en marcha el movimiento determinan los GL que aparecerán.

:Una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no conseguirá nunca hacer aparecer el movimiento pendular, ya que las ecuaciones para el instante inicial son:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En cambio, una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movimiento vertical <math>\dot\xs</math>, ya que la ecuación que gobierna la <math>\dot\xs</math> para el instante inicial es:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio estático
:Las configuraciones de equilibrio estático (las que corresponden a tener el sistema completamente parado, con <math>\dot\psi_0 = 0</math>) se obtienen de las ecuaciones del movimiento imponiendo <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si consideramos una pequeña perturbación de estas configuraciones de equilibrio <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, las ecuaciones se pueden [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|'''linealizar''']]. Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, se trata de una configuración '''ESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, se trata de una configuración '''INESTABLE'''.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio en rotación

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, para <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> la ecuación del movimiento para la x no cambia (por tanto, <math>\xs_\text{eq}=0</math> es estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), pero la de la <math>\theta</math> tiene un terme adicional, y aparecen dos familias de configuraciones de equilibrio:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:Sin embargo, la segunda familia solo existe por encima de un valor crítico de <math>\dot\psi_0^2</math> ya que la función <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> está acotada entre -1 y +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealización de la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math> conduce a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuración es '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> y <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuración es '''INESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, la ecuación del movimiento linealizada para la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuración és '''INESTABLE''' para cualquier valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:El estudio de las configuraciones <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> se hace de manera análoga, pero es mucho más largo. Por este motivo, no se hace.



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</center>

D7. Ejemplos de dinámica 3D

2026-02-25T12:15:11Z

Eantem: /* D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
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\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
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\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
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\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
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\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
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\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
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\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
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\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
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\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>

En esta unidad, el procedimiento sistemático propuesto en la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D#D6.4 Diagrama general de interacciones (DGI)|'''sección D6.4''']] se aplica a ejemplos de dinámica 3D para obtener ecuaciones del movimiento y pares motores. Además, se presenta también un análisis sistemático de las ecuaciones del movimiento.

==D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento==

La obtención de las ecuaciones del movimiento de los GL libres de los sistemas multisólido no es, en general, el objetivo de los problemas de dinámica, sino un paso previo a su integración para conocer cómo evolucionan a lo largo del tiempo las coordenadas que describen la configuración del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Sin embargo, estas ecuaciones suelen ser no lineales, y su integración es necesariamente numérica. A pesar de eso, hay algunos aspectos del comportamiento del sistema que se pueden investigar de manera analítica.

Configuraciones de equilibrio

Las configuraciones de equilibrio son aquellas configuraciones para las que, si el sistema se deja en reposo <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, permanece en reposo <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Por tanto, el valor de las coordenadas en equilibrio viene dado por:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos})</math>

<math>\downarrow(\qs_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>\qs_{j,eq} = \tilde{f}(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos})</math>
</center>

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ parámetros dinámicos, parámetros geométricos}), i = 1...N</math>
</center>

La ecuación que define las <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> puede ser trascendente y no tener solución analítica. En ese caso, se puede recurrir a una resolución numérica o una resolución gráfica.

Análisis de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Si se considera que el valor de las coordenadas es muy cercano al de una configuración de equilibrio <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js</math>, con <math>\varepsilon_\js << 1</math>, y por tanto <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>) las funciones no lineales que aparecen en las ecuaciones del movimiento se pueden aproximar por los términos lineales de su desarrollo en serie de Taylor. Por ejemplo:

:* si aparecen polinomios de grado superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si se trata de una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> y aparecen funciones seno y coseno:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Una vez linealizada, la ecuación es del tipo: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, donde A, B, y C son escalares. En este curso, sin embargo, a menudo la ecuación es más sencilla y no contiene término en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solución general es: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, con <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Las constantes de integración dependen de las condiciones iniciales <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
:La solución <math>\varepsilon(\ts)</math> de la ecuación <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una función cuya segunda derivada sea proporcional a la función sin derivar. Las funciones seno, coseno y exponencial cumplen esta condición. Si se prueba la primera (que tiene que contener dos constantes de integración):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Si se sustituyen estas expresiones en la ecuación del movimiento:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El movimiento es una oscilación alrededor de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math> cuya frecuencia angular <math>(\omega)</math> depende de parámetros del sistema.

:Las constantes de integración, en cambio, dependen de las condiciones iniciales (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), y por tanto, no son intrínsecas al sistema.

:* condiciones iniciales solo de posición: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales solo de velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condiciones iniciales de posición y velocidad: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Análisis de la estabilidad de las de pequeñas oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio

Las oscilaciones alrededor de una configuración de equilibrio sólo son posibles cuando ésta es estable.
La estabilidad se puede analizar muy fácilmente a partir de la ecuación del movimiento linealizada:

<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decrece, y el sistema vuelve a la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> crece, y el sistema se aleja de la configuración de equilibrio <math>\qs_{\es\qs}</math>. Es un comportamiento '''INESTABLE'''.

==D7.2 Ejemplos generales==
====✏️ EJEMPLO D7.1: placa rectangular giratoria====
------

:[[Archivo:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Archivo:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La placa rectangular homogénea, de masa m, está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante respecto al suelo bajo la acción de un motor. Se trata de hallar la ecuación del movimiento asociada al movimiento entre placa y horquilla, y el valor del par motor que garantiza <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripción cinemática:

:Otra opción para calcular <math>\vel{G}{T}</math> es la cinemática de sólido rígido (sólido: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general de interacciones

[[Archivo:D7-Ex1-3esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones ppr sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ ecs}}{\text{sólido}} = 12\text{ecs}</math>

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 incógnitas

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento

:La placa es el único elemento cuyomo vimiento depende de <math>\dth</math>. Par tanto, los sistemas posibles en los que aparecerá <math>\ddth</math> cuando se apliquen los teoremas vectoriales son: placa, placa + horquilla.

[[Archivo:D7-Ex1-4-esp.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enlace + <math>\ddth</math> = 6 inc. enlace <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enlace + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc. enlace</center>
 
:Las seis ecuaciones que se generan aplicando los teoremas vectoriales a la placa permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la placa son:

[[Archivo:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterización del torsor de enlace de la horquilla sobre la placa en el punto '''O''' es inmediata tanto si se utiliza la base B como la B’.

:Si se aplica el TCM, las tres componentes incluyen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en '''O''', la fuerza de enlace no aparecerá, y la componente 3 (o 3’) estará libre de incógnitas de enlace.

:Una buena propuesta es:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta:SISTEMA(placa), TMC en }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC en <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{grande}}{0}{0}{0}{\I{pequeño}}{0}{0}{0}{\I{grande + pequeño}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{\I{grande + pequeño}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{pequeño}\Omega_0\cth}{\I{grande + pequeño}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{grande + pequeño})\ddth + \I{pequeño - grande}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{pequeño} - \I{grande})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si se substituyen <math>\I{grande + pequeño}</math> i <math>\I{pequeño} - \I{grande}</math> por los valores que dan las tablas, la ecuación queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Análisis de la ecuación del movimiento: configuraciones de equilibrio

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Esta ecuación tiene dos familias de soluciones:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ya que la función coseno está acotada entre -1 y +1, la segunda familia solo existe si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, y esto se cumple solo si la velocidad angular <math>\Omega_0</math> está por encima del valor crítico <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Análisis de la ecuación del movimiento: movimiento de la placa respecto a la horquilla

:Al tratarse de una ecuación no lineal (a causa de la función seno), el movimiento general se obtiene por integración numérica.

:El análisis analítico para pequeñas amplitudes <math>(\varepsilon)</math> alrededor de una configuración de equilibrio <math>\theta_\text{eq}</math> se puede hacer si se aproximan las funciones trigonométricas [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''sección D7.1''')]]:

L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Para las pequeñas amplitudes alrededor de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, la ecuación del movimiento es <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si las condiciones iniciales son <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, la evolución de <math>\varepsilon</math> viene dada por: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Para <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''aumenta'''. Es una configuración '''INESTABLE''' y no puede haber oscilación alrededor de esta configuración.

:* Para <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminuye'''. El movimiento es una oscilación alrededor de una configuración '''ESTABLE'''. La frecuencia angular [rad/s] es <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si las condiciones iniciales son <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> y <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el movimiento pendular no aparece, y el sistema se mueve solo con la rotación <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentario adicional

[[Archivo:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa se hubiera suspendido de la horquilla de manera que el eje 2 fuese el de momento de inercia grande y el eje 1 fuese el de inercia baja, la ecuación del movimiento habría sido:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si se linealiza alrededor de la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{grande + pequeño})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Para cualquier valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficiente <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{grande} - \I{pequeño})\Omega_0^2\right]</math> es positivo, y por tanto la configuración <math>\theta_\text{eq} = 0</math> es siempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Hoja de ruta para el par motor

:Las opciones de sistema para calcular el par motor son dos: horquilla, horquilla + placa:

[[Archivo:D7-Ex1-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Archivo:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:La opción (horquilla + placa) es la más adecuada. La descripción de interacciones externas sobre este sistema se muestra en la figura.

:Al tratarse de un par motor, el TMC es el teorema adecuado para llegar a la solución:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (horquilla + placa), TMC en }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El momento cinético es el mismo que se ha calculado antes (ya que la horquilla no tiene masa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{grande}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{grande} + \I{pequeño})\dth} = \vector{2\I{grande}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{pequeño}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ EJEMPLO D7.2: barras giratorias====
-----

:[[Archivo:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta de un marco sin masa y de dos barras homogéneas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\sth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante).

:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex2-2esp.png|thumb|right|200px|link=]]

:Es un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. Por otro lado, contiene 2 sólidos, y los dos teoremas vectoriales generan 6 ecuaciones por sólido. Se trata de un problema determinado:

:ecuaciones: 2 sólidos <math>\times\frac{6\text{ecs.}}{\text{sólido}} = 12</math> ecs.

:incógnitas: 2 asociadas a los GL + 10 de enlace = 12 inc.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:La pieza es el único elemento cuyo el movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex2-3-esp.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:Las seis ecuaciones que se generan si se aplican los teoremas vectoriales a la pieza permiten calcular las 6 incógnitas, mientras que en la otra opción el número de incógnitas supera el número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la pieza son las que se muestran a la figura.
:Si se aplica el TCM, las tres componentes contienen incógnitas de enlace. Si se aplica el TMC en O, la fuerza de enlace no aparecerá. Por tanto:

<center><math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en} \Os}</math></center>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Para tener un tensor de inercia de términos constantes, es conveniente trabajar en la base B solidaria al marco. Ya que se asume que el movimiento solo proviene del GL forzado <math>\Omega_0</math>, es la base que gira con <math>\Omega_0</math> respecto al suelo.

:El análisis cualitativo del tensor de inercia se puede hacer considerando primero el tensor de cada barra en su centro de inercia y añadiendo después las correcciones de [[D5. Tensor de inercia#D5.4 Algunas propiedades relevantes del tensor de inercia|'''Steiner''']] para pasar a '''O''':

:[[Archivo:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{-3/2}{0}{-3/2}{9/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Teniendo en cuenta que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constanto y está contenido en el plano de la pieza. Por tanto, gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> y barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:[[Archivo:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:El único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusión: el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo constante) no es posible. La razón es la componente horizontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que es la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fuera estrictamente vertical (paralelo a <math>\vec\Omega_0</math>), entonces <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, y la aplicación del TMC conduciría a valor nulo de las dos componentes de momento <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En otras palabras: si la dirección de la velocidad angular fuese una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']] para el punto '''O''', mantenerla constante sería posible sin necesidad de momento externo.

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras el dedo introduzca una de estas fuerzas, la math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal (sin que aparezca <math>\dth</math>). Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido horario:

:[[Archivo:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar con <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:La ecuación del movimiento es:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, y está claro que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no es una de ellas.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación horaria.

</div>


====✏️ EJEMPLO D7.3: pieza giratoria con partículas====
-----
:
:[[Archivo:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta de un marco sin masa y de dos partículas idénticas solidarias al marco. La pieza está articulada a una horquilla de masa despreciable que gira con velocidad angular constante <math>\Omega_0</math> respecto al suelo bajo la acción de un motor. La articulación entre pieza y horquilla permite un GL libre (rotación <math>\dth</math> de eje ortogonal a la pieza), pero se trata de investigar si es posible que este movimiento no aparezca (por tanto, investigar si la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math> puede ser simplemente <math>\ddth = 0</math> y que la rotación <math>\Omega_0</math> se mantenga constante.

:Diagrama general de interacciones

:Es un sistema del mismo tipo que el del [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']]: tiene dos GL (<math>\Omega_0</math> forzado, <math>\dth</math> libre) con 10 incógnitas de enlace. El número de ecuaciones que se pueden generar si se aplican los teoremas vectoriales a los dos sólidos es 12: es un problema determinado.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento
:[[Archivo:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La pieza es el único elemento cuyo movimiento dependería de <math>\dth</math>. Por tanto, los sistemas posibles en los que aparecería <math>\ddth</math> en la aplicación de los teoremas vectoriales son: pieza, pieza + horquilla. Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], una hoja de ruta adecuada es:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en }\Os}</math>

:TMC en <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> pieza <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{pieza}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor de inercia en la base B solidaria a la pieza es inmediato:
:[[Archivo:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es de valor constante, está contenido en el plano de la pieza, y gira respecto al suelo con <math>\vec\Omega_0</math> mientras barre una superficie cónica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> proviene de este cambio de dirección:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada también se puede hacer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centro de inercia de la pieza se encuentra en la vertical que pasa por '''O''', y por tanto el único momento respecto al punto '''O''' externo a la pieza es el de enlace asociado a la articulación:

:[[Archivo:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Ninguna de estas dos componentes puede proporcionar la derivada de momento cinético:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Como en el [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#EJEMPLO D7.2: barras giratorias|'''ejemplo D7.2''']], el movimiento que se ha previsto (sin que aparezca la rotación <math>\dth</math> de la pieza respecto a la horquilla pero manteniendo <math>\Omega_0</math> constante) no es posible porque la dirección de la velocidad angular no es una [[D5. Tensor de inercia#D5.3 Ejes principales de inercia|'''dirección principal de inercia''']].

:Se puede conseguir la rotación vertical constante <math>\Omega_0</math> si se aplica una fuerza sobre la pieza que genere el momento que se requiere. Por ejemplo, con un solo dedo se podrían aplicar las fuerzas:

:[[Archivo:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de las dos fuerzas es distinto, pero el sentido del momento que hacen respecto al punto '''O''' es el mismo.

:Mientras se introduce una de estas fuerzas, la <math>\Omega_0</math> se mantiene constante sin que cambie la orientación de la pieza respecto al plano horizontal. Por el [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''principio de acción y reacción''']], la pieza ejerce sobre el dedo la misma fuerza pero con sentido opuesto (es decir, la pieza “se apoya” sobre el dedo). Si en algún momento se retira el dedo, la pieza se queda sin apoyo y se desvía de la orientación inicial en sentido antihorario:

:[[Archivo:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Archivo:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentido inicial de la desviación se puede investigar a partir de la ecuación del movimiento para la coordenada <math>\theta</math>, que se puede hallar de acuerdo con la hoja de ruta siguiente: <math>\boxed{\text{Hija de ruta: SISTEMA (pieza), TMC en } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:La ecuación del movimiento es:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Las configuraciones de equilibrio <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> son las soluciones de la ecuación trascendente:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, y es evidente que <math>\theta = 0</math> no es una solución, y que por tanto la pieza necesariamente adquirirá movimiento pendular.

:Las condiciones iniciales son: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Sustituyendo en la ecuación del movimiento, se puede determinar la aceleración inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El hecho de que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que tiene el mismo sentido que la desviación <math>\theta</math> que se ha representado en la figura anterior. Aparece, por tanto, una rotación antihoraria.
</div>



====✏️ EJEMPLO D7.4: bola giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex4-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de masa m y radio r, mantiene contacto puntual sin deslizamiento con el suelo y está articulada a un brazo horizontal. El brazo está articulado a una horquilla que gira con velocidad angular constante bajo la acción de un motor. Brazo y horquilla tienen masa despreciable. El coeficiente de fricción en dirección radial entre bola y suelo es nulo <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Se trata de investigar si la rotación <math>\Omega_0</math> puede provocar la pérdida de contacto entre bola y suelo.

 
 
 
 
 
 
:Descripción cinemática
:El [[C4. Cinemática 3D del sólido rígido#C4.3 Geometry of the velocity distribution: Instantaneous Screw Axis (ISA)|'''EIRL''']] de la bola respecto al suelo es la recta <math>\Os\Js</math>, y la velocidad angular se puede descomponer en dos rotaciones de Euler:

:[[Archivo:D7-Ex4-2-esp.jpg|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general de interacciones
::[[Archivo:D7-Ex4-3-esp.png|thumb|left|250px|link=]]
:Es un sistema de un GL con 17 incógnitas de enlace. Al contener 3 sólidos rígidos, se trata de un problema determinado:

:(17 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas 
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math>= 18 ecuaciones

:La descripción del sistema se puede aligerar si se trata el brazo como [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''SAE''']], ya que no tiene masa y solo está sometido a interacciones de enlace:

:[[Archivo:D7-Ex4-4-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:El número de incógnitas de enlace asociado al enlace indirecto entre bola y horquilla a través del brazo es 4, ya que la bola tiene dos rotaciones independientes <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecto a la horquilla. El problema sigue siendo determinado:

:(11 inc. de enlace, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas 
:2 sólidos rígidos <math>\times\frac{6\text{ ecs.}}{\text{sólido}}</math> = 12 ecuaciones

:Hoja de ruta para estudiar la pérdida de contacto
:La pérdida de contacto implica la supresión del enlace entre bola y suelo, por tanto la anulación de la fuerza normal N que el suelo ejerce sobre la bola. Los dos sistemas a los que se pueden aplicar los teoremas vectoriales para calcular la N son: bola, bola + (brazo) + horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex4-5-esp.png|thumb|center|510px|link=]]

:La mejor opción es aplicar teoremas vectoriales a la bola, ya que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones que se pueden generar. Las interacciones externas sobre la bola son:

:[[Archivo:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', las fuerzas de enlace asociadas a la articulación con la horquilla no aparecerán, y los únicos momentos en dirección perpendicular al dibujo estarán asociados al peso y a la N. Por tanto:
:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (bola), TMC en } \Os]_{\perp\text{ al dibujo}}}</math>

:El momento cinético <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se puede calcular a partir del tensor de inercia en '''O''' (ya que '''O''' es un punto fijo a la bola) o por descomposición baricéntrica. En este último caso, ya que la bola es rotor esférico en <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> es paralelo a la velocidad angular de la bola:

:[[Archivo:D7-Ex4-7-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Las dos componentes son constantes en valor, pero la componente horizontal cambia de dirección a causa de la rotación vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibujo}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La fuerza normal aumenta con la velocidad angular, y por tanto el contacto con el suelo se mantiene siempre.

:Alternativa:

:Si el cálculo de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> se hace a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> y la derivada se hace de manera analítica:

:[[Archivo:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EJEMPLO D7.5: anilla giratoria====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex5-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:La anilla, de masa m y radio R, gira con velocidad angular <math>\dot\varphi_0</math> constante respecto a la horquilla (de masa despreciable) impulsada por un motor que tiene el estátor (P1) articulado a la horquilla, y el rotor (P2) solidario a la anilla. La horquilla puede girar respecto al suelo con velocidad angular <math>\dot\psi</math>. Inicialmente, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Se trata de investigar cómo evoluciona esta condición inicial, si el deslizamiento entre anilla y suelo desaparecerá en algún momento, y el valor del par motor que garantiza <math>\dot\varphi_0</math> constante mientras hay deslizamiento.

:Descripción cinemática y diagrama general de interacciones
:Para el movimiento más general cuando aún hay deslizamiento, <math>\dot\varphi_0</math> y <math>\dot\psi</math> son independientes, y la descripción de velocidades del sistema y el DGI ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#✏️ EJEMPLO D3.18: actuador rotacional entre dos sólidos|'''ejemplo D3.18''']]) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-2-esp.png|thumb|center|250px|link=]]

:En cuanto a la descripción dinámica, hay dos opciones según si se consideran los enlaces directos entre la horquilla y el estátor del motor (P1), y el estátor (P1) y el rotor (P2, solidario a la anilla) (opción 1), o si se trata el enlace indirecto entre horquilla y anilla (opción 2) ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.6 Interacciones a través de actuadores lineales y rotacionales|'''secció D3.6''']]):

:[[Archivo:D7-Ex5-3-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, el problema es determinado:

:Opción 1: (16 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas, 3 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 ecuaciones

:Opción 2: (10 inc. de enlace, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incógnitas, 2 sólidos rígidos<math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 ecuaciones

:<big>'''OPCIÓN 1'''</big>
:En esta opción, el DGI se puede aligerar si se trata la horquilla como SAE (ya que tiene masa nula y solo está sometido a interacciones de enlace). El enlace indirecto entre brazo y techo (suelo) introduce 4 incógnitas, ya que permite dos rotaciones independientes entre los dos:

:[[Archivo:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|350px|link=]]

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Tanto la anilla como el estátor (P1) tienen un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay tres opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, P1, anilla+P1.

:[[Archivo:D7-Ex5-5-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La mejor opción es (anilla+P1). La caracterización del enlace indirecto entre P1 y techo es inmediata: ya que permite dos rotaciones independientes en direcciones 2 y 3 de P1 respecto al suelo, el torsor contendrá tres componentes de fuerza y una de momento (en dirección 1). Las interacciones externas al sistema (anilla+P1) son:

:[[Archivo:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''', se evitan las tres fuerzas de enlace asociadas al enlace indirecto entre P1 y techo, y solo aparecerán dos incógnitas de enlace <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. Al no haber ninguna componente libre de incógnitas de enlace, habrá que trabajar en principio con las tres para llegar a la ecuación del movimiento.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla+P1), TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético se puede calcular a partir del tensor en '''O''' porque '''O''' es fijo a la anilla:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anilla}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anilla}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math>{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = \left(\mat{\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2} + \mat{0}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}
</math>

:<math>{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{0}{9\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{-2\dot\varphi_0}{0}{9\dot\psi} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}
</math>

:Los momentos externos en '''O''' provienen del peso, de las fuerzas en '''J''' y del momento <math>\Ms_1</math> asociado al enlace indirecto entre P1 y suelo:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs}</math>

:La segunda componente conduce a <math>\Ns = \ms\gs+\frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>, y sustituyendo en la tercera se obtiene la ecuación del movimiento: <math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2}{9}\mu\left(2\frac{\gs}{\rs}+\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>.

:En el instante inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{4}{9}\mu\frac{\gs}{\rs}>0</math>, y por tanto la velocidad angular <math>\dot\psi</math> crece, cosa que hace aumentar la fuerza normal. Esto es indicativo de que no hay riesgo de que se pierda el contacto en '''J'''.

:Cuando <math>\dot\psi</math> llega al valor <math>(\dot\varphi_0/2)</math>, el deslizamiento en '''J''' desaparece:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{anilla}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0</math>

:A partir de este momento, el sistema pasa a tener solo 1 GL, pero el número de incógnitas aumenta, ya que en '''J''' aparecen dos componentes más de fuerza de enlace (además de la N): el problema pasa a ser indeterminado.

:Hoja de ruta para el par motor

:Ya que el par motor actúa entre P1 y la anilla, las dos opciones de sistema para aplicar los teoremas vectoriales son: anilla, P1. Puesto que la ecuación del movimiento para la <math>\psi</math> y la fuerza normal ya se han determinado, el número de incógnitas en estos dos casos es:

:[[Archivo:D7-Ex5-7-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:La mejor opción, pues, es aplicar teoremas a la anilla. Las interacciones externas sobre este sólido son:

:[[Archivo:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La componente 1 del TMC en '''O''' está libre de incógnitas de enlace (contiene el momento de la fuerza de fricción, pero la N ya no es una incógnita). Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os]_1}</math>

:El momento cinético en '''O''' es el de la anilla, y su derivada tiene componente 1 nula:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓN 2'''</big>
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\psi</math>
:Solo la anilla tiene un movimiento que depende de <math>\psi</math>. Por tanto, hay dos opciones para el sistema al que aplicar los teoremas vectoriales: anilla, anilla+horquilla.

:[[Archivo:D7-Ex5-9-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:Las dos opciones parecen equivalentes. Para escoger una, hay que analizar las interacciones externas que actúan sobre cada uno de los dos sistemas:

:[[Archivo:D7-Ex5-10-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:En los dos casos, si se aplica el TMC en '''O''' se evitan tres componentes de fuerza de enlace, pero en la dirección 1 (que es donde puede aparecer la <math>\ddot\varphi</math>) hay siempre un momento (el par motor en un caso, o el <math>\Ms_1</math> entre techo y horquilla en el otro). Tanto si se escoge un sistema como otro, habrá que trabajar en principio con más de una componente del TMC para llegar a la ecuación del movimiento. A continuación se consideran las dos opciones.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla),TMC en }\Os}</math>

:El momento cinético en '''O''' y su derivada son los mismos que se han calculado en la opción 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Los momentos externos en O provienen del peso, de las fuerzas en J, del par motor y del momento <math>\Ms_3</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segunda componente da el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. Al ser siempre positivo, el contacto en '''J''' está asegurado.

:La primera componente da el par motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Pero en la tercera, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de <math>\Ms_3</math>. Por tanto, esta opción no parece adecuada.

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + horquilla),TMC en }\Os}</math>

:Los momentos externos son distintos al caso anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En esta opción, la aceleración <math>\ddot\varphi</math> está en función de N, pero las otras componentes no permiten calcular esta fuerza.

:Ahora bien, si se combinan los resultados para las dos opciones, la ecuación del movimiento es inmediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anilla + horquilla), TMC en }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:El cese del deslizamiento se estudia exactamente igual que en la opción 1.



====✏️ EJEMPLO D7.6: péndulo anular giratorio====
-----

:
:[[Archivo:D7-Ex6-1-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta de una anilla, de masa m y radio R, unida a un brazo que está articulado a un soporte. El soporte puede deslizar a lo largo de una guía lisa. Un muelle lineal de constante k conecta soporte y guía. El conjunto gira alrededor de la vertical con velocidad angular constante <math>\dot\psi_0</math> bajo la acción de un motor. La masa de todos los elementos, salvo la anilla, es despreciable. Se trata de buscar las ecuaciones del movimiento y estudiar las posibles configuracion es de equilibrio.

:Descripción cinemática
:[[Archivo:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:Es un sistema de 3 GL: el movimiento pendular <math>\dot\theta</math>, el movimiento del soporte respecto a la guía (que denominaremos <math>\dot\xs</math>) y la rotación vertical forzada <math>\dot\psi_0</math>.

:El movimiento del centro de la anilla '''G''' respecto al suelo se puede determinar a través de una doble composición:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guía} \\
\text{AB: soporte}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guía}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general de interacciones
:[[Archivo:D7-Ex6-3-esp.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema es determinado:

:(15 inc. de enlace, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incógnitas
:3 sólidos rígidos <math>\times\frac{\text{6 ecs.}}{\text{sólidos}}</math> = 18 ecuaciones
 
 
 
:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada <math>\theta</math>

:El movimiento de la anilla es el único que depende de <math>\ddth</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, anilla+soporte+guía.

:[[Archivo:D7-Ex6-4-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opción es la menos adecuada. En cuanto a las otras dos, las interacciones externas a tener en cuenta son:

:[[Archivo:D7-Ex6-5-esp.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si se aplica el TMC en '''O''' a la anilla, la componente 1 está libre de incógnitas de enlace, y es precisamente en esta dirección en donde aparece la velocidad angular <math>\dth</math> (y, por tanto, el cambio de su valor <math>\ddth</math>). En la opción (anilla+soporte), esta componente incluye un momento de enlace. Por tanto:

:<math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA anilla, TMC en }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ya que el punto '''O''' se mueve respecto al suelo: <math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Por otro lado, '''O''' es un punto fijo a la anilla: <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalmente: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Esta ecuación del movimiento incluye también la variable <math>\ddot\xs</math>. Esto quiere decir que los grados de libertad <math>\dth</math> y <math>\dot\xs</math> están '''acoplados''': aunque el movimiento empiece con unas condiciones iniciales que solo son no nulas para uno de ellas, el otro puede aparecer.

:La componente 1 del TMC en '''O''' para el sistema anilla es la única donde aparecen <math>\dth</math> y <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, la otra ecuación del movimiento no se puede determinar con ninguna de las otras dos componentes.

La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Hoja de ruta para la ecuación del movimiento de la coordenada x 

:El movimiento de la anilla y el del soporte dependen de <math>\ddot\xs</math>. Por tanto, los sistemas adecuados para la aplicación de los teoremas vectoriales son: anilla, anilla+soporte, soporte, soporte+guía, anilla+soporte+guia. Ya que se ha determinado la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ya no es una incógnita.

:[[Archivo:D7-Ex6-6-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Archivo:D7-Ex6-7-esp.png|thumb|center|650px|link=]]

:Como antes, las mejores opciones son las dos primeras. La primera ya se ha utilizado, por tanto aplicaremos los teoremas a la segunda. A partir de la representación de las interacciones externas que actúan sobre el sistema (anilla+soporte), se ve que la componente vertical (dirección 3’) del TCM estará libre de incógnitas de enlace. Por tanto: <math>\boxed{\text{Hoja de ruta: SISTEMA (anilla + soporte), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Cálculo de la aceleración de '''G''':

:'''Opción 1''': por derivación de la velocidad descrita anteriormente, ya que corresponde a una configuración general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opción 2''': por cinemática del sólido rígido.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anilla} \\
\Os\in\text{anilla}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anilla}{T}\times\velang{anilla}{T}\times\OGvec + \accang{anilla}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anilla}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:La aceleración angular <math>\accang{anilla}{T}</math> proviene del cambio de valor y de dirección de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anilla}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulación de la fuerza del muelle

:[[Archivo:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translación vertical del soporte <math>(\dot\xs)</math> está asociado a la variación de una coordenada x cuyo origen aun no se ha definido. Es habitual escoger el origen de las coordenadas de manera que coincidan con configuraciones de equilibrio.

:Si se toma <math>\xs=0</math> para el equilibrio en ausencia de rotación <math>\dot\psi_0</math>, está claro que el muelle tendrá que ejercer una fuerza <math>\Fs_0</math> de atracción sobre el péndulo para contrarrestar el peso: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulación general de la fuerza de atracción del muelle será pues: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ya que el movimiento <math>\dot\xs</math> se ha definido positivo hacia abajo, un aumento de <math>\xs</math> implica un aumento de longitud del muelle. Por tanto: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentarios sobre el acoplamiento de los dos GL

:Las condiciones iniciales <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> con las que se pone en marcha el movimiento determinan los GL que aparecerán.

:Una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no conseguirá nunca hacer aparecer el movimiento pendular, ya que las ecuaciones para el instante inicial son:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En cambio, una condición inicial del tipo <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movimiento vertical <math>\dot\xs</math>, ya que la ecuación que gobierna la <math>\dot\xs</math> para el instante inicial es:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio estático
:Las configuraciones de equilibrio estático (las que corresponden a tener el sistema completamente parado, con <math>\dot\psi_0 = 0</math>) se obtienen de las ecuaciones del movimiento imponiendo <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si consideramos una pequeña perturbación de estas configuraciones de equilibrio <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, las ecuaciones se pueden [[D7. Ejemplos de dinámica 3D#D7.1 Análisis de ecuaciones del movimiento|'''linealizar''']]. Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, se trata de una configuración '''ESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ya que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, se trata de una configuración '''INESTABLE'''.

:Estudio de las configuraciones de equilibrio en rotación

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, para <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> la ecuación del movimiento para la x no cambia (por tanto, <math>\xs_\text{eq}=0</math> es estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), pero la de la <math>\theta</math> tiene un terme adicional, y aparecen dos familias de configuraciones de equilibrio:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:Sin embargo, la segunda familia solo existe por encima de un valor crítico de <math>\dot\psi_0^2</math> ya que la función <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> está acotada entre -1 y +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealización de la ecuación del movimiento para la <math>\theta</math> conduce a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuración es '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> y <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuración es '''INESTABLE'''.

:Para la configuración <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, la ecuación del movimiento linealizada para la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuración és '''INESTABLE''' para cualquier valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:El estudio de las configuraciones <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> se hace de manera análoga, pero es mucho más largo. Por este motivo, no se hace.



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[[D6. Ejemplos de dinámica 2D|<<< D6. Ejemplos de dinámica 2D]]

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D5. Tensor de inercia

2026-02-24T17:58:08Z

Eantem: /* ✏️ EJEMPLO D5.7: rotor simétrico */

D4. Teoremas vectoriales

2026-02-24T17:55:33Z

Eantem:

<div class="noautonum">__TOC__</div>

<math>
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</math>

Los '''Teoremas Vectoriales''' son una herramienta para resolver la dinámica de los sistemas mecánicos, y se obtienen a partir de la ley fundamental de la dinámica ([[D1.Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.5 Segunda ley de Newton (ley fundamental de la dinámica)|'''segunda ley de Newton''']]) y del principio de acción y reacción ([[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''tercera ley de Newton''']]).

En este curso, es presenta sólo la versión de los teoremes para el caso de sistemas de materia constante. Aunque esto incluye sistemas con fluidos, los ejemplos de aplicación en este curso son esencialmente sistemas multisólido formados por sólidos rígidos.

Cuando se aborda un problema, es esencial identificar las incógnitas que contiene el sistema que se estudia y analizar si los teoremas vectoriales proporcionan el número suficiente de ecuaciones para resolverlas todas (¡hay que saber si el problema es determinado o indeterminado!). Las incógnitas se pueden clasificar en dos grupos:

 Incógnitas asociadas a [[C2._Movimiento_de_un_sistema_mecánico#C2.7_Grados_de_libertad|'''grados de libertad''']] 

Los GL de un sistema mecánico pueden ser [[C2._Movimiento_de_un_sistema_mecánico#C2.7_Grados_de_libertad|'''libres''']] o [[C2._Movimiento_de_un_sistema_mecánico#C2.7_Grados_de_libertad|'''actuados''']] (o forzados, asociados a [[D3._Interacciones_entre_sólidos_rígidos#D3.6_Interacciones_a_través_de_actuadores_lineales_y_rotacionales|'''actuadores''']]. En ambos casos, su valor inicial (el valor cuando empieza un experimento o se pone en marcha el sistema) es conocido. Cuando se trata de GL libres, la evolución de este valor inicial no se conoce: es una incógnita. Se dice que el problema es de '''dinámica directa'''.

Este es el caso también cuando se trata de GL actuados si la acción del actuador asociado es conocida (es decir, cuando se conoce el valor de <math>\Fs_{ac}</math> – en el caso de los actuadores lineales –, o de <math>\Gamma</math> – caso de los rotacionales). El problema también es de dinámica directa.

Las ecuaciones que rigen la evolución de los GL se llaman '''ecuaciones del movimiento'''. Si los GL se describen mediante derivadas temporales de coordenadas (<math>\dot{\qs}_i </math> , con i=1,2,3...), su evolución temporal son las segundas derivadas temporales de estas coordenadas (aceleraciones).

Para un sistema con 2 GL libres descritos, por ejemplo, por (<math>\dot{\xs}</math>, <math>\dot{\theta}</math>), estas ecuaciones tendrían el aspecto general siguiente:

<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{parámetros dinámicos, parámetros geométricos})</math></center>

<center><math>\ddot{\theta} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\xs},\text{parámetros dinámicos, parámetros geométricos})</math></center>

La dependencia en las segundas derivadas temporales (<math>\ddot{\xs}</math>, <math>\ddot{\theta}</math>) siempre es lineal, mientras que la dependencia en las coordenadas y las velocidades (<math>\xs</math>, <math>\theta</math>, <math>\dot{\xs}</math>, <math>\dot{\theta}</math>) puede ser de cualquier tipo. Los parámetros dinámicos son la masa de los elementos y los asociados a su distribución en el espacio, y los parámetros asociados a las interacciones sobre el sistema (constantes de muelles y amortiguadores, coeficientes de fricción, constantes del campo gravitatorio...); los parámetros geométricos tienen que ver con la forma de los elementos del sistema (distancias y ángulos).

En algunas ocasiones, las acciones de los actuadores (<math>\Fs_{ac}</math>, <math>\Gamma</math>) no se conocen, mientras que las evoluciones temporales de los GL actuados están prefijadas. Entonces, las incógnitas asociadas a los GL actuados son el valor de las fuerzas (si se trata de actuadores lineales) y momentos (si son actuadores rotacionales) necesarios para garantizar estas evoluciones prefijadas. Se dic que el problema es de '''dinámica inversa'''.

Para el caso del ejemplo anterior, si está prefijada, las ecuaciones que describen las incógnitas del problema asociadas a los GL son:

<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{parámetros dinámicos, parámetros geométricos})</math></center>

<center><math>\Gamma = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\xs},\ddot{\theta},\text{parámetros dinámicos, parámetros geométricos})</math></center>

donde <math>\Gamma</math> sería el par motor del actuador rotacional asociado al movimiento <math>\theta</math>.

Incógnitas asociadas a [[D3._Interacciones_entre_sólidos_rígidos|'''enlaces''']] 

Son los valores de las componentes de los [[D3._Interacciones_entre_sólidos_rígidos|'''torsores de enlace''']]. El número de incógnitas asociadas a los enlaces depende de la descripción que se haga de ellos ([[D3._Interacciones_entre_sólidos_rígidos#D3.4_Interacciones_de_enlace_directas|'''enlaces directos''']] , [[D3._Interacciones_entre_sólidos_rígidos#D3.5_Interacciones_indirectas_de_enlace:_Sólidos_Auxiliares_de_Enlace_(SAE)|'''enlaces indirectos''']]). Cuando un problema de dinámica es indeterminado, la indeterminación siempre se refiere a las componentes de los torsores de enlace, nunca a los GL (libres o forzados).

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==D4.1 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias galileanas==

Consideremos un sistema de partículas de materia constante ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Cantidad de Movimiento''' ('''TCM''') se obtiene a partir de la aplicación de la segunda ley de Newton a cada partícula P del sistema. Si la referencia que se considera es galileana:

<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, donde <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> es la fuerza resultante de interacción sobre '''P'''.

[[Archivo:D4-1-esp.png|thumb|center|300px|link=]]
<center>'''Figura D4.1''' Fuerzas sobre una partícula de un sistema de partículas de materia constante</center>

La fuerzas que actúan sobre cada partícula se pueden clasificar en dos grupos: internas (que provienen de la interacción con otras partículas del sistema) y externas (asociadas a las interacciones con elementos externos al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si estas ecuaciones se suman para todas las partículas, las fuerzas internas entre parejas de partículas se cancelan dos a dos por el principio de acción y reacción:

<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\:\acc{P}{RGal}</math></center>

El término de la izquierda es la resultante de fuerzas externas sobre el sistema, y se suele escribir simplemente como <math>\sum\F{ext}</math>. El de la derecha se puede reescribir como <math>\Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math>, donde M es la masa total del sistema <math>\left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El término <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math> es una aceleración ponderada, donde la ponderación es proporcional a la masa de cada partícula. Esta aceleración se asocia a un punto denominado '''centro de masas''' (o '''centro de inercia''') del sistema, y en este curso se designa con la letra '''G'''. Para una referencia cualquiera, pues, la cinemática de G queda descrita por las ecuaciones ('''Figura D4.2'''):

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center>

[[Archivo:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
<center>'''Figura D4.2''' Centro de masas (o de inercia) de un sistema de materia constante</center>

En el caso de conjuntos continuos de partículas (como son un conjunto de sólidos rígidos, deformables, o fluidos), el sumatorio para partículas es de hecho una integral:

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center>

Finalmente, el TCM se escribe como:

<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\:\acc{G}{RGal}</math></center>

Esta ecuación se parece mucho a la [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.5 Segunda ley de Newton (ley fundamental de la dinámica)|'''segunda ley de Newton''']]: el centro de masas '''G''' se comporta como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema, y sobre la que actuasen todas las fuerzas externas al sistema. A pesar del paralelismo entre el TCM y la ecuación de dinámica de la partícula, hay dos diferencias fundamentales:

:*la masa del sistema no está localizada en '''G''' (puede ser incluso que '''G''' esté situado en una zona del sistema sin masa, como en el caso de una anilla homogénea);

:*las fuerzas externas no están aplicadas a '''G''' en general.

El TCM recibe este nombre porque permite conocer la evolución, a partir del conocimiento del [[C1. Configuración de un sistema mecánico|'''estado mecánico''']] inicial y de las interacciones externas, de la cantidad de movimiento del sistema (que, en una referencia cualquiera R, se define como <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R}</math>):

<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\acc{G}{RGal}=\dert{\Ms\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center>

La localización del centro de masas en los sistemas que se estudian (tanto si es un único sólido rígido como un sistema multisólido) se presenta brevemente en la [[D5. Tensor de inercia#D5.1 Centro de masas|'''sección D5.1''']]. Para sólidos homogéneos de geometría muy simple, la posición de '''G''' se puede deducir a menudo de las simetrías del sólido.

En problemas planos (de cinemática 2D), sólo las dos componentes del TCM comprendidas en el plano son interesantes.

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------------

==D4.2 Ejemplos de aplicación del TCM==

<div>
====✏️ EJEMPLO D4.1: cálculo de una fuerza de enlace ====

------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex1-1-neut.png|mthumb|center|180px|link=]]
|Los tres bloques homogéneos son lisos y están en contacto entre ellos y con un suelo horizontal, también liso. Se trata de investigar el valor de la fuerza horizontal de enlace entre los bloques Q y S cuando se aplica una fuerza horizontal F al bloque de la izquierda.
Todos los enlaces que aparecen en este sistema son contactos multipuntuales entre superficies lisas. Por tanto, cada torsor asociado, caracterizado en un punto del contacto correspondiente, contiene una componente de fuerza y una de momento ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|ejemplo D3.4]]). Aun así, en la aplicación del TCM sólo intervienen las fuerzas, y por tanto no se representan los momentos en las figuras siguientes.
|}

Para que la fuerza de enlace <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparezca en la componente horizontal del TCM, hay que aplicar el teorema a un sistema donde esta fuerza sea externa. Por ejemplo, al bloque S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>.

[[Archivo:D4-Ex1-2-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]

Esta ecuación contiene dos incógnitas: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> y <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ya que el movimiento de los tres bloques provocado per la fuerza F es el mismo, la aceleración se puede obtener con el TCM aplicado a todo el sistema:

<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center>

</div>
<div>

====✏️ EJEMPLO D4.2: movimiento inicial de un sistema ====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex2-1-esp.png|thumb|center|300px|link=]]
|Los bloques homogéneos están inicialmente en reposo sobre un suelo rugoso, y unidos mediante un muelle comprimido con una tensión <math>\Fs_0=\ms\gs</math> y un hilo inextensible. En un cierto instante, se corta el hilo y el sistema empieza a moverse.
|}

Se trata de calcular la aceleración del centro de inercia del sistema respecto al suelo. Esta aceleración se puede obtener a partir de la componente horizontal del TCM aplicado a todo el sistema. El muelle es interno, y por tanto su fuerza no aparece: <math>\F{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{suelo}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.

Las fuerzas que el suelo ejerce sobre cada uno de los bloques pueden ser de enlace (si los bloques no se mueven, y entonces son incógnitas), o de fricción (si los bloques se mueven respecto al suelo, en cuyo caso son formulables). También puede ocurrir que un bloque deslice y el otro no.

El valor de una fuerza de enlace se adapta para garantizar una restricción. En el caso de los bloques, hay que investigar si estas fuerzas pueden alcanzar el valor necesario per evitar que los bloques deslicen sobre el suelo, y están acotadas por el valor del coeficiente de fricción estática entre bloques y suelo:

<math>|\F{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math>

<math>|\F{\text{suelo}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{sueloghtarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math>

Si se aplica el TCM a cada bloque por separado, la fuerza deluelle pasa a ser externa. Esta fuerza (de valor mg) puede ser contrarrestada por la fuerza de enlace en el caso del bloque de masa 2m (por tanto, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), pero no en el del bloque de masa m:

[[Archivo:D4-Ex2-2-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

La aplicación del TCM al bloque de masa m conduce a:

<math>\left.\begin{aligned}
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{suelo}\rightarrow2\ms}+\F{\text{muelle}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math>

Finalmente: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.

</div>
<div>
====✏️ EJEMPLO D4.3: estudio de una condición límite ====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]
|La esfera homogénea de masa M descansa sobre dos cuñas idénticas, de masa m, que se encuentran sobre el suelo. Entre esfera y cuñas no hi hay rozamiento, pero entre cuñas y suelo hay rozamiento de coeficiente <math>\mu</math>. El sistema se encuentra inicialmente en reposo respecto al suelo. Se trata de determinar el valor máximo de M, en función de m, que permite que el sistema se mantenga en reposo.
|}

Si no se mueve nada, las fuerzas horizontales de interacción entre suelo y cuñas son de enlace y no superan el valor límite <math>/mu\ns</math> (donde N es la fuerza normal que cada cuña recibe del suelo). El torsor de enlace del suelo sobre las cuñas contiene también un momento resultante perpendicular a la figura. Si se quiere estudiar la posibilidad de vuelque de las cuñas, este momento es relevante. Pero en este ejemplo, la forma de las cuñas garantiza que no vuelquen, y se trabaja sólo con las fuerzas.

La aplicación del TCM a todo el sistema, a una cuña y a la esfera conduce a las ecuaciones siguientes:

[[Archivo:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]

<center>
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"
|- style="vertical-align:top;"
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + cuñas

<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: cuña de la izquierda

<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera

<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math>
|}</center>

Combinando las dos últimas ecuaciones: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor máximo de M para el que aún hay equilibrio corresponde a la situación en la que la fuerza tangencial de enlace T toma el valor máximo posible: <math>\Ts = \Ts_{\text{máx}}=\mu\Ns</math>. Teniendo en cuenta que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{máx}}+2\ms)\gs</math>:

<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{máx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{máx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{máx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{máx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math>

</div>

------------
------------

==D4.3 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias no galileanas==

La versión del TCM en una referencia no galileana NGal se obtiene también a partir de la [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.7 Dinámica de la partícula en referencias no galileanas|'''segunda ley de Newton aplicada a cada partícula''']] (o cada diferencial de masa) del sistema en la referencia NGal. En principio, pues, esta ecuación contendrá dos fuerzas de inercia: la de arrastre y la de Coriolis ('''Figura D4.3'''):

<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,

donde <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> y <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math>

[[Archivo:D4-3-esp.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.3:''' Fuerzas de inercia en una referencia no galileana</center>

Sumando las ecuaciones para todas las partículas, se obtiene: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math>, donde M es la masa total del sistema.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
------
:
Por el principio de acción y reacción, la suma para todas las partículas de las fuerzas de interacción conduce a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math>

En cuanto a las fuerzas de inercia, al ser proporcionales a la aceleración de arrastre y de Coriolis de cada partícula, su suma para todas las partículas corresponde a la cinemática ponderada que define el [[D4. Teoremas vectoriales#D4.2 Ejemplos de aplicación del TCM|'''centro de masas''']]:

Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el
centre de masses (secció D4.2):

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

Así pues: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math>

</div>

<div>
====✏️ EJEMPLO D4.4: desplazamiento vibratorio====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
|El bloque de masa m está inicialmente en reposo sobre un soporte que oscila respecto al suelo de acuerdo con el gráfico de velocidad que se muestra en la figura. Se trata de investigar la posibilidad de que el bloque deslice sobre el soporte. La condición de reposo del bloque respecto al soporte (que es una referencia no galileana ya que tiene un movimiento acelerado respecto al suelo) pide:

<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sop\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> porque <math>\velang{sop}{T} = \vec{0}</math>
|}

La fuerza de arrastre sobre el bloque es estrictamente horizontal. Por tanto, la componente vertical de esta ecuación conduce a <math>N = mg</math>. En cuanto a la componente horizontal, contendrá la fuerza de interacción entre bloque y soporte. Si el bloque no desliza sobre el soporte, esta fuerza es de enlace, y su valor está acotado: <math>0\leq\mid\Fs_{sop\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si desliza, es una fuerza de fricción de valor <math>\mu\ms\gs</math>, opuesta a la velocidad de deslizamiento.

Entre <math>t=0</math> y <math>t = 0,4s</math>, la aceleración del soporte respecto al suelo es <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math>, y por tanto la fuerza de arrastre es <math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$soporte}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor está dentro del margen de valores permitidos para la fuerza de enlace horizontal del soporte sobre el bloque. Por tanto, esta fuerza tomará el valor <math>\F{sop\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>,, contrarrestará la<math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs}</math> y se mantendrá el reposo entre los dos elementos.

Entre <math>t=0,4s</math> y <math>t = 0,6s</math>, la aceleración del soporte respecto al suelo es 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Por tanto, <math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. Al sobrepasar el valor máximo de la fuerza horizontal de enlace, no podrá ser contrarrestada. El bloque empezará a deslizar, y la fuerza horizontal de interacción entre soporte y bloque será de fricción:

<math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} + \F{sop\rightarrow bloque}^{fricción} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sop} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

En el instante <math>t = 0,6s</math>, la velocidad del bloque respecto al soporte es

<math>\vel{G}{sop} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.

Aunque entre en la fase en la que <math>\mid\Fcal{ar}{sop\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la fuerza horizontal entre soporte y bloque sigue siendo de fricción <math>(\F{sop\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> hasta conseguir parar el bloque.

La aceleración del bloque respecto al soporte es:

<math>\acc{G}{sop} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

Al tratarse de un movimiento uniformemente desacelerado, es fácil calcular el instante <math>t_f</math> para el que el bloque deja de deslizar:

<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sop} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sop} + \acc{$\Gs,t_f$}{sop}(t_f - t_i)</math>,
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math>

En este instante, la fuerza del soporte sobre el bloque pasa a ser de enlace, y nos encontramos en una situación análoga a la inicial. Por tanto, el deslizamiento no volverá a producirse hasta <math>\ts = 1,4s</math>. El estudio para los intervalos posteriores sigue los mismos pasos que el estudio del intervalo <math>[0,1,4s]</math>. La figura muestra la evolución de la cinemática del bloque respecto al soporte, y de las fuerzas que actúan sobre él.

[[Archivo:D4-Ex4-2-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

</div>

-----------
-----------

==D4.4 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulación general==

La dinámica de un sólido rígido (y por tanto, de un sistema multisólido) no queda nunca totalmente resuelta con el TCM cuando el sólido gira: el TCM sólo informa sobre el movimiento de un punto ('''G'''), y no sobre la rotación.

El '''Teorema del Momento Cinético''' (TMC) se encuentra enunciado de dos maneras distintas en la literatura. En este curso, se ha optado por una formulación paralela a la del TCM: a la izquierda aparecen términos que sólo tienen que ver con las interacciones externas sobre el sistema, mientras que a la derecha aparece la derivada temporal de un vector que depende sólo de la geometría de masas del sistema y de su [[C1. Configuración de un sistema mecánico#|'''estado mecánico''']].

Como ya se ha visto cuando se introdujo el concepto de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor de un sistema de fuerzas''']], lo que se relaciona con la rotación de un sólido es el momento de las fuerzas, no la fuerza resultante. Por tanto, si bien el TMC se demuestra también a partir de la segunda ley de Newton aplicada a cada diferencial de masa del sistema, habrá que transformar las fuerzas que aparecen en momento de estas fuerzas respecto a un punto '''Q'''.

Estas dos consideraciones (formulación paralela al TCM y necesidad de escoger un punto '''Q''' para calcular el momento de las fuerzas) lleva a partir de la formulación de la segunda ley de Newton en la '''Referencia que se Traslada con Q (RTQ)''' respecto a una referencia galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, esta referencia no es galileana, y por tanto hay que tener en cuenta en principio las [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''fuerzas de inercia de arrastre''']] ('''Figura D4.3''').

[[Archivo:D4-4-esp.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D4.4:''' Fuerzas de inercia en la Referencia que se Traslada con un punto '''Q''' (RTQ)</center> 

Consideremos un sistema de partículas con materia constante. La segunda ley de Newton aplicada a cada partícula del sistema y en la RTQ es: 

<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , 

donde <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , y <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ya que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>. 

Si los dos lados de la ecuación se multiplican vectorialmente por <math>\QPvec</math> y se suma para todas las partículas (o elementos de masa) del sistema, se obtiene el TMC en el punto '''Q''':

<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math> 

donde <math>\Ms</math> es la masa total del sistema, y <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> es el '''momento cinético del sistema respecto al punto Q'''. 

Si el sistema tiene elementos continuos (por ejemplo, un sistema con N sólidos rígidos <math>S_i</math>), el sumatorio para partículas es de hecho una integral:

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====

La segunda ley de Newton para cada elemento de masa multiplicada vectorialmente por <math>\QPvec</math es:

<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math>

El término de la derecha se puede reescribir como:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

Al ser '''Q''' un punto de la RTQ, se puede tomar como origen de un vector de posición de '''P''' en esta referencia. Por tanto:

<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

Teniendo en cuenta que la masa es constante:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math>

La suma de este término para todos los elementos '''P''' conduce a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

Si las fuerzas de interacción sobre cada partícula '''P''' se clasifican en internas y externas, la suma para todas las partículas del sistema del lado izquierdo de la primera ecuación se convierte en:

<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math>

<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> 

ya que el principio de acción y reacción garantiza que el momento total de una pareja de fuerzas de acción y reacción es nulo: 

<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math> 

Agrupando todos los términos: 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

</div>

---------
---------

==D4.5 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulaciones particulares==
El TMC toma expresiones más sencillas cuando el punto '''Q''' es fijo a una referencia galileana o cuando es el centro de masas del sistema.

* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, llamamos a esta versión “TMC en punto fijo”, donde se sobreentiende que “fijo” quiere decir “fijo a una referencia galileana”. En este caso, normalmente utilizaremos la letra '''O''' para designar el punto '''Q'''.

* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math> Hay que notar que, si bien la expresión es similar a la versión en punto fijo, el centro de masas '''G''' no tiene por qué ser fijo a una referencia galileana.

Cuando '''Q''' no es ni un punto fijo a RGal ni coincide con el centro de masas, se suele hablar de la versión del TMC “en punto móvil”. Aunque '''Q''' sea un punto móvil respecto a RGal, el término asociado a las fuerzas de inercia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> puede ser nulo si '''Q''' se mueve a velocidad constante respecto a RGal, o si su aceleración respecto a RGal es paralela a <math>\QGvec</math>.

<center>
{| class="wikitable"
|+
|-
! '''TMC en punto fijo''' !! '''TMC en '''<math>\Gs</math> !! '''TMC en punto móvil '''<math>\Qs</math>
|-
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center>
||
<center>
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center>
||
<center>
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math> 

<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center>

|}
</center>

El vector momento cinético <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no es sencillo de calcular en general, y se presenta en la [[D5. Tensor de inercia|'''unidad D5''']].

En problemas de cinemática plana (2D), si el momento cinético <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sólido del sistema que se estudia es paralelo a la velocidad angular del sólido <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que es de dirección ortogonal al plano del movimiento), sólo la componente del TMC perpendicular al plano es interesante. Se dice entonces que el problema es de dinámica plana (2D), y el problema se puede hacer a partir de dos componentes del TCM y de una del TMC.

En problemes d’estàtica, tant la quantitat de moviment com el moment cinètic a qualsevol punt són nuls permanentment, i per tant són nul·les també les seves derivades temporals. L’estudi de la dinàmica en un pla també es pot fer a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.

<div>
===TMC en un punto de contacto entre dos sólidos===
Un enlace que aparece a menudo en los sistemas mecánicos es el contacto puntual entre parejas de sólidos (S1 y S2, por ejemplo). Este enlace puede introducir entre 1 y 3 incógnitas de enlace (según la rugosidad de las superficies y la cinemática del contacto – con o sin deslizamiento). Cuando estas fuerzas no se quieren calcular, es tentador aplicar el TMC en el punto de contacto '''J''' (ya que su momento respecto a '''J''' es nulo). 

[[Archivo:TMCaJ-0-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

La aplicación del TMC en '''J''' es muy delicada. Hay que precisar de qué punto '''J''' se habla ([[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''ejemplo C5-1.8''']]): si se trata del J del sólido S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sólido S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math>, o bien si es el punto geométrico de contacto <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math>. Por un lado, estos tres puntos tienen cinemáticas distintas <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math>, y el término complementario asociado al momento de las fuerzas de inercia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> es distinto. Por otro lado, si por ejemplo el TMC se aplica al sólido S1, hay que tener presente que, aunque <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertenece a S1 y se puede calcular el momento cinético a partir del tensor de inercia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> y <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no pertenecen a S1, y hay que hace la descomposición baricéntrica para calcular este vector.

Finalmente, ya que hay que derivar el momento cinético, hay que calcularlo en una configuración general (es decir, cuando '''J''' no es aún el punto de contacto), y sólo después de haber hecho la derivada se puede particularizar el resultado a la configuración en que '''J''' es el punto de contacto. Como ilustración de todo ello, el esquema siguiente muestra la aplicación del TMC a una rueda con movimiento plano que toca al suelo y desliza.

[[Archivo:TMCaJ-1-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{rueda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{rueda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJrueda}(\Js_\mathrm{rueda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{rueda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJrueda}(\Js_\mathrm{rueda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math>
</center> 

[[Archivo:TMCaJ-2-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}
\end{array}\right.
</math> 

[[Archivo:TMCaJ-3-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)
\end{array}\right.
</math>
</center></center>
</div>

------
------

==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==
<div>
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex5-1-esp.png|thumb|left|180px|link=]]
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:
[[Archivo:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
|}

En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant: 

<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math> 

Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math>

Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math>

</div>

<div>
====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|left|230px|link=]]
|Els blocs pengen de dos fils inextensibles lligats a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de calcular l’acceleració angular de les politges. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :
[[Archivo:D4-Ex6-2-neut.png|thumb|center|340px|link=]]
|}

En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> : 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math> 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math> 

Per la definició de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs: 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math> 

<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math> 

[[Archivo:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
Resolución alternativa 

Si se aplica el TMC al punto '''O''' para el sistema formado por las poleas y las cuerdas, el peso de los bloques ya no aparece como interacción externa, pero aparecen en cambio las tensiones de las dos cuerdas (que son incógnitas de enlace).

El momento cinético del sistema es nulo porque no tiene masa: 

SIST: poleas + cuerdas 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math> 
[[Archivo:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]

La aplicación del TCM a cada uno de los bloques genera dos ecuaciones más: 

SIST: bloque de 10kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloque}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math> 

SIST: bloque de 5kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloque}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math> 

La resolución del sistema de ecuaciones conduce a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>. 

La primera resolución es más rápida (solo utiliza una ecuación escalar), pero implica el cálculo del momento cinético. Esta segunda resolución es más larga (sistema de tres ecuaciones) pero no requiere calcular ningún momento cinético.

</div>

<div>

====✏️ EJEMPLO D4.7: dinámica longitudinal de un vehículo====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex7-1-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|El vehículo sin suspensiones se mueve sobre una carretera rectilínea. La masa de las ruedas es despreciable comparada con la del resto de los elementos, y se considera que su contacto con el suelo es puntual. Se trata de analizar las fuerzas normales de enlace entre suelo y ruedas.

Es un problema de dinámica plana. Las fuerzas externas sobre el vehículo se reducen al peso y al enlace con el suelo. Si la aceleración del chasis respecto al suelo es un dato, la aplicación del TCM conduce a:
|}

{|
|

<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}

\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)
\end{aligned}\right.</math>

donde <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> y <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> son las fuerzas normal y tangencial que en total reciben las dos ruedas delanteras y las dos traseras, respectivamente.

El TMC en G conduce a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs}) + \Ts_{\ds\rs}] =0</math> (el momento cinético <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> es permanentemente nulo ya que las ruedas no tienen masa, y el resto del vehículo tiene movimiento nulo respecto a la RTG).
|
[[Archivo:D4-Ex7-2-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|}

Resolviendo el sistema de ecuaciones: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math>

Este resultado es válido para cualquier valor de <math>\as_\Ls</math>:

:*Situación estática (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la fuerza normal es mayor en las ruedas que tienen el eje más cerca de '''G'''.

:*Acelerando (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hay un trasvase de fuerza de delante hacia detrás (se cargan las ruedas traseras y se descargan las delanteras). Si la aceleración <math>|\as_\Ts|</math> es suficientemente elevada, la fuerza normal delantera pasa a ser negativa, cosa que indica que se ha perdido el contacto y el vehículo vuelca en sentido antihorario. Entonces, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el chasis pasa a tener, en principio, aceleración angular, y como consecuencia el centro de masas '''G''' adquiere aceleración vertical.

:*Frenando (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hay un trasvase de fuerza del atrás hacia delante (se descargan las ruedas traseras y se cargan las delanteras). Como en el caso precedente, hay un valor crítico de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el vuelco, esta vez en sentido horario.


---------
---------
</div>

==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==

La aplicación de los teoremas vectoriales a los [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''Sòlidos Auxiliares de Enlace''']] (SAE) es sencilla ya que los términos de la derecha (variación de cantidad de movimiento y variación de momento cinético) son nulos por ser nula su masa:

<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{cualquier} \hspace{0.2cm} \mathrm{punto}) \approx \overline{0}.</math> 

Para el caso de un SAE (sólido S) que conecta dos sólidos rígidos S1 y S2 ('''Figura D4.5'''), estas ecuaciones permiten demostrar que el torsor que actúa sobre S1 se puede obtener a partir de una ecuación de caracterización analítica donde la cinemática del punto P de caracterización (que tiene que pertenecer al sólido S1) se evalúa en la referencia solidaria a S2:

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math> 

(Cuando se trata de velocidades, es importante especificar a qué sólido pertenece el punto P. Esto, en cambio, es irrelevante cuando se trata de momentos: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>). 

[[Archivo:D4-5-esp.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.5:'''Sólido Auxiliar de Enlace entre dos sólidos de masa no nula</center> 

<div>
=====💭 Demostración ➕=====

Los teoremas vectoriales aplicados sobre el SAE implican que los torsores de enlace que recibe de S1 y S2 en un mismo punto '''P''' han de sumar cero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)
\end{array}\right.</math> 

Por otro lado, estos torsores cumplen la [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|'''ecuación de caracterización analítica''']]:

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math> 

Si se combinan todas las ecuaciones anteriores, se obtiene: 

<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math> 

Una [[C3. Composición de movimientos#C3.1 Composición de velocidades|'''composición de movimientos''']] permite reescribir la ecuación anterior de manera más compacta:

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math> 

Finalmente: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math>

</div>

<div>
====✏️ EJEMPLO D4.8: dinámica longitudinal de un vehículo ====
---------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex8-1-esp.png|thumb|left|220px|link=]]
|En el vehículo del ejemplo D4.7, se considera que la tracción es posterior. Esto quiere decir que el motor del vehículo actúa entre el chasis y las ruedas posteriores, mientras que las delanteras sólo están sometidas a interacciones de enlace (articulación con el chasis y contacto con el suelo).

Si se tratan las ruedas delanteras como SAE, el análisis cinemático del chasis respecto al suelo para la caracterización del enlace a través de las ruedas delanteras conduce a un torsor en el centro de la rueda (que es fijo al chasis) con sólo una componente de fuerza:
|}
[[Archivo:D4-Ex8-2-esp.png|thumb|center|370px|link=]]
La existencia de una componente horizontal de fuerza entre las ruedas posteriores (¡necesaria para acelerar o frenar el vehículo!) está asociada al par motor. Si se aplican los teoremas vectoriales a las ruedas posteriores, las interacciones externas a tener en cuenta son el enlace con el suelo, la articulación con el chasis y el par motor <math>\Gamma</math>:
[[Archivo:D4-Ex8-3-esp.png|thumb|center|370px|link=]]

<math>\ms_\mathrm{ruedas} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{TCM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dv}=\Ns'_\mathrm{dv} , \Ts_\mathrm{dv}=\Ts'_\mathrm{dv} \\
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{en} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dv}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dv}=\Gamma / \rs
\end{array}\right. </math> 

La fuerza tangencial sobre las ruedas motrices es directamente proporcional al par motor que se les aplica. Sin embargo, hay que recordar que, como fuerza tangencial de enlace, su valor está limitado por <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>. Esto permite calcular la aceleración máxima que puede adquirir el vehículo (mientras la rueda delantera no pierda el contacto con el suelo):

<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehículo})\right]_\mathrm{máx}= \Ts_\mathrm{dr,máx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>. 

En terrenos de bajo rozamiento (<math>\mu_\es</math> de valor bajo), un motor capaz de suministrar un par máximo alto es inútil: quien pone límite a la aceleración es el valor del coeficiente de fricción <math>\mu_\es</math>: <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math>.

En terrenos de alto rozamiento, si el par máximo es bajo, es él el que pone límite a la aceleración: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la rueda delantera no pierde contacto con el suelo).


</div>

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---------

==D4.8 Descomposición baricéntrica del momento cinético==

La versión del TMC que se ha presentado permite escoger libremente el punto '''Q''' de aplicación. El criterio para escogerlo se basa en lo que se quiera investigar (una fuerza de enlace, una ecuación del movimiento...). En la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D|'''unidad D6''']] se discute este criterio.

En algunos casos, puede ser interesante escoger un punto '''Q''' que no pertenezca a ningún elemento material del sistema. Entonces, es útil referir el cálculo del momento cinético <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al momento cinético en el centro de masas '''G''' del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Esto se conoce con el nombre de '''descomposición baricéntrica''' del momento cinético:

<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>,

donde el superíndice <math>\oplus</math> indica que el momento cinético debe calcularse como si el sistema se hubiera reducido a una partícula concentrada en '''G''' con masa igual a la masa total del sistema (M):

<math>\H{Q}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math>

<div>
=====💭 Demostración ➕=====

:La definición de momento cinético de un sólido rígido S es: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocidad <math>\vel{P}{RTQ}</math> se puede escribir como suma de dos términos si se aplica una composición de movimientos:

:<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math> 

:Por tanto: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.

:La definición de [[D4. Teoremas vectoriales#D4.1 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias galileanas|'''centro de masas''']] lleva a reescribir el segundo término como:

:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincide con el momento cinético respecto a '''Q''' de una partícula de masa M situada en '''G''': <math>\QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ} = \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.

:En el primer término de la expresión de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, se puede descomponer <math>\QPvec</math> en suma de dos términos:

:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math>

:Por definición de centro de masas: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.

:Por tanto: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.

</div>

<div>
===== ✏️ EJEMPLO D4.9: descomposición baricéntrica =====
----------

{|

|[[Archivo:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|El sólido está formado por dos barras de masa despreciable y cuatro partículas ('''P''') con masa m unidas a los extremos de las barras. El sólido está articulado a un soporte que puede moverse a lo largo de una guía fija al suelo. Su momento cinético en G es:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math>

La RTG es fija al soporte, y la velocidad de las partículas respecto a esta referencia es proporcional a la rotación <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Por tanto:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math>
|}
:El momento cinético en '''O''' (fijo al suelo) se puede calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mediante descomposición baricéntrica:

:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{O}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times 4\ms\vel{G}{T} =</math>
<math>\hspace{1cm} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math>


</div>

© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecánica:Derechos de autor |Todos los derechos reservados]]
-------------

<center>
[[D3. Interacciones entre sólidos rígidos|<<< D3. Interacciones entre sólidos rígidos]]

[[D5. Tensor de inercia|D5. Tensor de inercia >>>]]
</center>

D4. Teoremas vectoriales

2026-02-24T17:49:19Z

Eantem:

<div class="noautonum">__TOC__</div>

<math>
\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
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</math>

Los '''Teoremas Vectoriales''' son una herramienta para resolver la dinámica de los sistemas mecánicos, y se obtienen a partir de la ley fundamental de la dinámica ([[D1.Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.5 Segunda ley de Newton (ley fundamental de la dinámica)|'''segunda ley de Newton''']]) y del principio de acción y reacción ([[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''tercera ley de Newton''']]).

En este curso, es presenta sólo la versión de los teoremes para el caso de sistemas de materia constante. Aunque esto incluye sistemas con fluidos, los ejemplos de aplicación en este curso son esencialmente sistemas multisólido formados por sólidos rígidos.

Cuando se aborda un problema, es esencial identificar las incógnitas que contiene el sistema que se estudia y analizar si los teoremas vectoriales proporcionan el número suficiente de ecuaciones para resolverlas todas (¡hay que saber si el problema es determinado o indeterminado!). Las incógnitas se pueden clasificar en dos grupos:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 Incógnitas asociadas a [[C2._Movimiento_de_un_sistema_mecánico#C2.7_Grados_de_libertad|'''grados de libertad''']] 

Los GL de un sistema mecánico pueden ser [[C2._Movimiento_de_un_sistema_mecánico#C2.7_Grados_de_libertad|'''libres''']] o [[C2._Movimiento_de_un_sistema_mecánico#C2.7_Grados_de_libertad|'''actuados''']] (o forzados, asociados a [[D3._Interacciones_entre_sólidos_rígidos#D3.6_Interacciones_a_través_de_actuadores_lineales_y_rotacionales|'''actuadores''']]. En ambos casos, su valor inicial (el valor cuando empieza un experimento o se pone en marcha el sistema) es conocido. Cuando se trata de GL libres, la evolución de este valor inicial no se conoce: es una incógnita. Se dice que el problema es de '''dinámica directa'''.

Este es el caso también cuando se trata de GL actuados si la acción del actuador asociado es conocida (es decir, cuando se conoce el valor de <math>\Fs_{ac}</math> – en el caso de los actuadores lineales –, o de <math>\Gamma</math> – caso de los rotacionales). El problema también es de dinámica directa.

Las ecuaciones que rigen la evolución de los GL se llaman '''ecuaciones del movimiento'''. Si los GL se describen mediante derivadas temporales de coordenadas (<math>\dot{\qs}_i </math> , con i=1,2,3...), su evolución temporal son las segundas derivadas temporales de estas coordenadas (aceleraciones).

Para un sistema con 2 GL libres descritos, por ejemplo, por (<math>\dot{\xs}</math>, <math>\dot{\theta}</math>), estas ecuaciones tendrían el aspecto general siguiente:

<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{parámetros dinámicos, parámetros geométricos})</math></center>

<center><math>\ddot{\theta} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\xs},\text{parámetros dinámicos, parámetros geométricos})</math></center>

La dependencia en las segundas derivadas temporales (<math>\ddot{\xs}</math>, <math>\ddot{\theta}</math>) siempre es lineal, mientras que la dependencia en las coordenadas y las velocidades (<math>\xs</math>, <math>\theta</math>, <math>\dot{\xs}</math>, <math>\dot{\theta}</math>) puede ser de cualquier tipo. Los parámetros dinámicos son la masa de los elementos y los asociados a su distribución en el espacio, y los parámetros asociados a las interacciones sobre el sistema (constantes de muelles y amortiguadores, coeficientes de fricción, constantes del campo gravitatorio...); los parámetros geométricos tienen que ver con la forma de los elementos del sistema (distancias y ángulos).

En algunas ocasiones, las acciones de los actuadores (<math>\Fs_{ac}</math>, <math>\Gamma</math>) no se conocen, mientras que las evoluciones temporales de los GL actuados están prefijadas. Entonces, las incógnitas asociadas a los GL actuados son el valor de las fuerzas (si se trata de actuadores lineales) y momentos (si son actuadores rotacionales) necesarios para garantizar estas evoluciones prefijadas. Se dic que el problema es de '''dinámica inversa'''.

Para el caso del ejemplo anterior, si está prefijada, las ecuaciones que describen las incógnitas del problema asociadas a los GL son:

<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{parámetros dinámicos, parámetros geométricos})</math></center>

<center><math>\Gamma = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\xs},\ddot{\theta},\text{parámetros dinámicos, parámetros geométricos})</math></center>

donde <math>\Gamma</math> sería el par motor del actuador rotacional asociado al movimiento <math>\theta</math>.

Incógnitas asociadas a [[D3._Interacciones_entre_sólidos_rígidos|'''enlaces''']] 

Son los valores de las componentes de los [[D3._Interacciones_entre_sólidos_rígidos|'''torsores de enlace''']]. El número de incógnitas asociadas a los enlaces depende de la descripción que se haga de ellos ([[D3._Interacciones_entre_sólidos_rígidos#D3.4_Interacciones_de_enlace_directas|'''enlaces directos''']] , [[D3._Interacciones_entre_sólidos_rígidos#D3.5_Interacciones_indirectas_de_enlace:_Sólidos_Auxiliares_de_Enlace_(SAE)|'''enlaces indirectos''']]). Cuando un problema de dinámica es indeterminado, la indeterminación siempre se refiere a las componentes de los torsores de enlace, nunca a los GL (libres o forzados).
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

:* Evolución temporal de los [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.6 Grados de libertad de un sistema mecánico|'''grados de libertad''']] libres (no controlados por actuadores) del sistema. Las ecuaciones que las rigen se denominan '''ecuaciones del movimiento'''. Si los GL libres se describen mediante derivadas temporales de coordenadas (<math>\dot{q}_i</math>, con i=1,2,3...), su evolución temporal son las segundas derivadas temporales de estas coordenadas (aceleraciones). Su aspecto general es:

<center><math>\ddot{\qs}_\is=f(\qs_\js,\dot{\qs}_\js,\ddot{\qs}_\js,\text{parámetros dinámicos, parámetros geométricos})</math></center>

La dependencia en las segundas derivadas temporales <math>(\ddot{q}_j)</math> siempre es lineal, mientras que la dependencia en las coordenadas y las velocidades <math>(q_i,\dot{q}_j)</math> puede ser de cualquier tipo. Los parámetros dinámicos son la masa de los elementos y los asociados a su distribución en el espacio, y los parámetros asociados a las interacciones sobre el sistema (constantes de muelles y amortiguadores, coeficientes de fricción, constantes del campo gravitatorio...); los parámetros geométricos tienen que ver con la forma de los elementos del sistema (distancias y ángulos).

:* [[D2.Fuerzas de interacción entre particulas#D2.6 Interacción a través de actuadores|'''Acciones de los actuadores''']]: son las fuerzas (si se trata de actuadores lineales) y momentos (si son actuadores rotacionales) necesarios para garantizar unas evoluciones prefijadas de los GL que controlan. Como se ha comentado en la [[D2.Fuerzas de interacción entre particulas#D2.6 Interacción a través de actuadores|'''sección D2.6''']], en algunos casos se puede considerar que las acciones de los actuadores son datos, y entonces las incógnitas asociadas son las evoluciones de los GL que controlan.

:* [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos|'''Fuerzas y momentos de enlace''']]: el número de incógnitas asociadas a los enlaces depende de la descripción que se haga de ellos ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|'''enlaces directos''']], [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''enlaces indirectos''']]). Cuando un problema de dinámica es indeterminado, la indeterminación siempre se refiere a las componentes de los torsores de enlace, nunca a los GL (libres o forzados).

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==D4.1 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias galileanas==

Consideremos un sistema de partículas de materia constante ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Cantidad de Movimiento''' ('''TCM''') se obtiene a partir de la aplicación de la segunda ley de Newton a cada partícula P del sistema. Si la referencia que se considera es galileana:

<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, donde <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> es la fuerza resultante de interacción sobre '''P'''.

[[Archivo:D4-1-esp.png|thumb|center|300px|link=]]
<center>'''Figura D4.1''' Fuerzas sobre una partícula de un sistema de partículas de materia constante</center>

La fuerzas que actúan sobre cada partícula se pueden clasificar en dos grupos: internas (que provienen de la interacción con otras partículas del sistema) y externas (asociadas a las interacciones con elementos externos al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si estas ecuaciones se suman para todas las partículas, las fuerzas internas entre parejas de partículas se cancelan dos a dos por el principio de acción y reacción:

<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\:\acc{P}{RGal}</math></center>

El término de la izquierda es la resultante de fuerzas externas sobre el sistema, y se suele escribir simplemente como <math>\sum\F{ext}</math>. El de la derecha se puede reescribir como <math>\Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math>, donde M es la masa total del sistema <math>\left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El término <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math> es una aceleración ponderada, donde la ponderación es proporcional a la masa de cada partícula. Esta aceleración se asocia a un punto denominado '''centro de masas''' (o '''centro de inercia''') del sistema, y en este curso se designa con la letra '''G'''. Para una referencia cualquiera, pues, la cinemática de G queda descrita por las ecuaciones ('''Figura D4.2'''):

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center>

[[Archivo:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
<center>'''Figura D4.2''' Centro de masas (o de inercia) de un sistema de materia constante</center>

En el caso de conjuntos continuos de partículas (como son un conjunto de sólidos rígidos, deformables, o fluidos), el sumatorio para partículas es de hecho una integral:

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center>

Finalmente, el TCM se escribe como:

<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\:\acc{G}{RGal}</math></center>

Esta ecuación se parece mucho a la [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.5 Segunda ley de Newton (ley fundamental de la dinámica)|'''segunda ley de Newton''']]: el centro de masas '''G''' se comporta como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema, y sobre la que actuasen todas las fuerzas externas al sistema. A pesar del paralelismo entre el TCM y la ecuación de dinámica de la partícula, hay dos diferencias fundamentales:

:*la masa del sistema no está localizada en '''G''' (puede ser incluso que '''G''' esté situado en una zona del sistema sin masa, como en el caso de una anilla homogénea);

:*las fuerzas externas no están aplicadas a '''G''' en general.

El TCM recibe este nombre porque permite conocer la evolución, a partir del conocimiento del [[C1. Configuración de un sistema mecánico|'''estado mecánico''']] inicial y de las interacciones externas, de la cantidad de movimiento del sistema (que, en una referencia cualquiera R, se define como <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R}</math>):

<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\acc{G}{RGal}=\dert{\Ms\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center>

La localización del centro de masas en los sistemas que se estudian (tanto si es un único sólido rígido como un sistema multisólido) se presenta brevemente en la [[D5. Tensor de inercia#D5.1 Centro de masas|'''sección D5.1''']]. Para sólidos homogéneos de geometría muy simple, la posición de '''G''' se puede deducir a menudo de las simetrías del sólido.

En problemas planos (de cinemática 2D), sólo las dos componentes del TCM comprendidas en el plano son interesantes.

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==D4.2 Ejemplos de aplicación del TCM==

<div>
====✏️ EJEMPLO D4.1: cálculo de una fuerza de enlace ====

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:
{|
|[[Archivo:D4-Ex1-1-neut.png|mthumb|center|180px|link=]]
|Los tres bloques homogéneos son lisos y están en contacto entre ellos y con un suelo horizontal, también liso. Se trata de investigar el valor de la fuerza horizontal de enlace entre los bloques Q y S cuando se aplica una fuerza horizontal F al bloque de la izquierda.
Todos los enlaces que aparecen en este sistema son contactos multipuntuales entre superficies lisas. Por tanto, cada torsor asociado, caracterizado en un punto del contacto correspondiente, contiene una componente de fuerza y una de momento ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|ejemplo D3.4]]). Aun así, en la aplicación del TCM sólo intervienen las fuerzas, y por tanto no se representan los momentos en las figuras siguientes.
|}

Para que la fuerza de enlace <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparezca en la componente horizontal del TCM, hay que aplicar el teorema a un sistema donde esta fuerza sea externa. Por ejemplo, al bloque S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>.

[[Archivo:D4-Ex1-2-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]

Esta ecuación contiene dos incógnitas: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> y <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ya que el movimiento de los tres bloques provocado per la fuerza F es el mismo, la aceleración se puede obtener con el TCM aplicado a todo el sistema:

<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center>

</div>
<div>

====✏️ EJEMPLO D4.2: movimiento inicial de un sistema ====
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:
{|
|[[Archivo:D4-Ex2-1-esp.png|thumb|center|300px|link=]]
|Los bloques homogéneos están inicialmente en reposo sobre un suelo rugoso, y unidos mediante un muelle comprimido con una tensión <math>\Fs_0=\ms\gs</math> y un hilo inextensible. En un cierto instante, se corta el hilo y el sistema empieza a moverse.
|}

Se trata de calcular la aceleración del centro de inercia del sistema respecto al suelo. Esta aceleración se puede obtener a partir de la componente horizontal del TCM aplicado a todo el sistema. El muelle es interno, y por tanto su fuerza no aparece: <math>\F{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{suelo}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.

Las fuerzas que el suelo ejerce sobre cada uno de los bloques pueden ser de enlace (si los bloques no se mueven, y entonces son incógnitas), o de fricción (si los bloques se mueven respecto al suelo, en cuyo caso son formulables). También puede ocurrir que un bloque deslice y el otro no.

El valor de una fuerza de enlace se adapta para garantizar una restricción. En el caso de los bloques, hay que investigar si estas fuerzas pueden alcanzar el valor necesario per evitar que los bloques deslicen sobre el suelo, y están acotadas por el valor del coeficiente de fricción estática entre bloques y suelo:

<math>|\F{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math>

<math>|\F{\text{suelo}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{sueloghtarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math>

Si se aplica el TCM a cada bloque por separado, la fuerza deluelle pasa a ser externa. Esta fuerza (de valor mg) puede ser contrarrestada por la fuerza de enlace en el caso del bloque de masa 2m (por tanto, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), pero no en el del bloque de masa m:

[[Archivo:D4-Ex2-2-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

La aplicación del TCM al bloque de masa m conduce a:

<math>\left.\begin{aligned}
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{suelo}\rightarrow2\ms}+\F{\text{muelle}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math>

Finalmente: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.

</div>
<div>
====✏️ EJEMPLO D4.3: estudio de una condición límite ====
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:
{|
|[[Archivo:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]
|La esfera homogénea de masa M descansa sobre dos cuñas idénticas, de masa m, que se encuentran sobre el suelo. Entre esfera y cuñas no hi hay rozamiento, pero entre cuñas y suelo hay rozamiento de coeficiente <math>\mu</math>. El sistema se encuentra inicialmente en reposo respecto al suelo. Se trata de determinar el valor máximo de M, en función de m, que permite que el sistema se mantenga en reposo.
|}

Si no se mueve nada, las fuerzas horizontales de interacción entre suelo y cuñas son de enlace y no superan el valor límite <math>/mu\ns</math> (donde N es la fuerza normal que cada cuña recibe del suelo). El torsor de enlace del suelo sobre las cuñas contiene también un momento resultante perpendicular a la figura. Si se quiere estudiar la posibilidad de vuelque de las cuñas, este momento es relevante. Pero en este ejemplo, la forma de las cuñas garantiza que no vuelquen, y se trabaja sólo con las fuerzas.

La aplicación del TCM a todo el sistema, a una cuña y a la esfera conduce a las ecuaciones siguientes:

[[Archivo:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]

<center>
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"
|- style="vertical-align:top;"
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + cuñas

<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: cuña de la izquierda

<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera

<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math>
|}</center>

Combinando las dos últimas ecuaciones: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor máximo de M para el que aún hay equilibrio corresponde a la situación en la que la fuerza tangencial de enlace T toma el valor máximo posible: <math>\Ts = \Ts_{\text{máx}}=\mu\Ns</math>. Teniendo en cuenta que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{máx}}+2\ms)\gs</math>:

<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{máx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{máx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{máx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{máx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math>

</div>

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==D4.3 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias no galileanas==

La versión del TCM en una referencia no galileana NGal se obtiene también a partir de la [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.7 Dinámica de la partícula en referencias no galileanas|'''segunda ley de Newton aplicada a cada partícula''']] (o cada diferencial de masa) del sistema en la referencia NGal. En principio, pues, esta ecuación contendrá dos fuerzas de inercia: la de arrastre y la de Coriolis ('''Figura D4.3'''):

<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,

donde <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> y <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math>

[[Archivo:D4-3-esp.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.3:''' Fuerzas de inercia en una referencia no galileana</center>

Sumando las ecuaciones para todas las partículas, se obtiene: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math>, donde M es la masa total del sistema.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
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:
Por el principio de acción y reacción, la suma para todas las partículas de las fuerzas de interacción conduce a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math>

En cuanto a las fuerzas de inercia, al ser proporcionales a la aceleración de arrastre y de Coriolis de cada partícula, su suma para todas las partículas corresponde a la cinemática ponderada que define el [[D4. Teoremas vectoriales#D4.2 Ejemplos de aplicación del TCM|'''centro de masas''']]:

Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el
centre de masses (secció D4.2):

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

Así pues: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math>

</div>

<div>
====✏️ EJEMPLO D4.4: desplazamiento vibratorio====
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:
{|
|[[Archivo:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
|El bloque de masa m está inicialmente en reposo sobre un soporte que oscila respecto al suelo de acuerdo con el gráfico de velocidad que se muestra en la figura. Se trata de investigar la posibilidad de que el bloque deslice sobre el soporte. La condición de reposo del bloque respecto al soporte (que es una referencia no galileana ya que tiene un movimiento acelerado respecto al suelo) pide:

<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sop\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> porque <math>\velang{sop}{T} = \vec{0}</math>
|}

La fuerza de arrastre sobre el bloque es estrictamente horizontal. Por tanto, la componente vertical de esta ecuación conduce a <math>N = mg</math>. En cuanto a la componente horizontal, contendrá la fuerza de interacción entre bloque y soporte. Si el bloque no desliza sobre el soporte, esta fuerza es de enlace, y su valor está acotado: <math>0\leq\mid\Fs_{sop\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si desliza, es una fuerza de fricción de valor <math>\mu\ms\gs</math>, opuesta a la velocidad de deslizamiento.

Entre <math>t=0</math> y <math>t = 0,4s</math>, la aceleración del soporte respecto al suelo es <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math>, y por tanto la fuerza de arrastre es <math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$soporte}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor está dentro del margen de valores permitidos para la fuerza de enlace horizontal del soporte sobre el bloque. Por tanto, esta fuerza tomará el valor <math>\F{sop\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>,, contrarrestará la<math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs}</math> y se mantendrá el reposo entre los dos elementos.

Entre <math>t=0,4s</math> y <math>t = 0,6s</math>, la aceleración del soporte respecto al suelo es 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Por tanto, <math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. Al sobrepasar el valor máximo de la fuerza horizontal de enlace, no podrá ser contrarrestada. El bloque empezará a deslizar, y la fuerza horizontal de interacción entre soporte y bloque será de fricción:

<math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} + \F{sop\rightarrow bloque}^{fricción} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sop} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

En el instante <math>t = 0,6s</math>, la velocidad del bloque respecto al soporte es

<math>\vel{G}{sop} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.

Aunque entre en la fase en la que <math>\mid\Fcal{ar}{sop\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la fuerza horizontal entre soporte y bloque sigue siendo de fricción <math>(\F{sop\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> hasta conseguir parar el bloque.

La aceleración del bloque respecto al soporte es:

<math>\acc{G}{sop} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

Al tratarse de un movimiento uniformemente desacelerado, es fácil calcular el instante <math>t_f</math> para el que el bloque deja de deslizar:

<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sop} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sop} + \acc{$\Gs,t_f$}{sop}(t_f - t_i)</math>,
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math>

En este instante, la fuerza del soporte sobre el bloque pasa a ser de enlace, y nos encontramos en una situación análoga a la inicial. Por tanto, el deslizamiento no volverá a producirse hasta <math>\ts = 1,4s</math>. El estudio para los intervalos posteriores sigue los mismos pasos que el estudio del intervalo <math>[0,1,4s]</math>. La figura muestra la evolución de la cinemática del bloque respecto al soporte, y de las fuerzas que actúan sobre él.

[[Archivo:D4-Ex4-2-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

</div>

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==D4.4 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulación general==

La dinámica de un sólido rígido (y por tanto, de un sistema multisólido) no queda nunca totalmente resuelta con el TCM cuando el sólido gira: el TCM sólo informa sobre el movimiento de un punto ('''G'''), y no sobre la rotación.

El '''Teorema del Momento Cinético''' (TMC) se encuentra enunciado de dos maneras distintas en la literatura. En este curso, se ha optado por una formulación paralela a la del TCM: a la izquierda aparecen términos que sólo tienen que ver con las interacciones externas sobre el sistema, mientras que a la derecha aparece la derivada temporal de un vector que depende sólo de la geometría de masas del sistema y de su [[C1. Configuración de un sistema mecánico#|'''estado mecánico''']].

Como ya se ha visto cuando se introdujo el concepto de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor de un sistema de fuerzas''']], lo que se relaciona con la rotación de un sólido es el momento de las fuerzas, no la fuerza resultante. Por tanto, si bien el TMC se demuestra también a partir de la segunda ley de Newton aplicada a cada diferencial de masa del sistema, habrá que transformar las fuerzas que aparecen en momento de estas fuerzas respecto a un punto '''Q'''.

Estas dos consideraciones (formulación paralela al TCM y necesidad de escoger un punto '''Q''' para calcular el momento de las fuerzas) lleva a partir de la formulación de la segunda ley de Newton en la '''Referencia que se Traslada con Q (RTQ)''' respecto a una referencia galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, esta referencia no es galileana, y por tanto hay que tener en cuenta en principio las [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''fuerzas de inercia de arrastre''']] ('''Figura D4.3''').

[[Archivo:D4-4-esp.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D4.4:''' Fuerzas de inercia en la Referencia que se Traslada con un punto '''Q''' (RTQ)</center> 

Consideremos un sistema de partículas con materia constante. La segunda ley de Newton aplicada a cada partícula del sistema y en la RTQ es: 

<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , 

donde <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , y <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ya que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>. 

Si los dos lados de la ecuación se multiplican vectorialmente por <math>\QPvec</math> y se suma para todas las partículas (o elementos de masa) del sistema, se obtiene el TMC en el punto '''Q''':

<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math> 

donde <math>\Ms</math> es la masa total del sistema, y <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> es el '''momento cinético del sistema respecto al punto Q'''. 

Si el sistema tiene elementos continuos (por ejemplo, un sistema con N sólidos rígidos <math>S_i</math>), el sumatorio para partículas es de hecho una integral:

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====

La segunda ley de Newton para cada elemento de masa multiplicada vectorialmente por <math>\QPvec</math es:

<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math>

El término de la derecha se puede reescribir como:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

Al ser '''Q''' un punto de la RTQ, se puede tomar como origen de un vector de posición de '''P''' en esta referencia. Por tanto:

<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

Teniendo en cuenta que la masa es constante:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math>

La suma de este término para todos los elementos '''P''' conduce a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

Si las fuerzas de interacción sobre cada partícula '''P''' se clasifican en internas y externas, la suma para todas las partículas del sistema del lado izquierdo de la primera ecuación se convierte en:

<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math>

<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> 

ya que el principio de acción y reacción garantiza que el momento total de una pareja de fuerzas de acción y reacción es nulo: 

<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math> 

Agrupando todos los términos: 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

</div>

---------
---------

==D4.5 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulaciones particulares==
El TMC toma expresiones más sencillas cuando el punto '''Q''' es fijo a una referencia galileana o cuando es el centro de masas del sistema.

* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, llamamos a esta versión “TMC en punto fijo”, donde se sobreentiende que “fijo” quiere decir “fijo a una referencia galileana”. En este caso, normalmente utilizaremos la letra '''O''' para designar el punto '''Q'''.

* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math> Hay que notar que, si bien la expresión es similar a la versión en punto fijo, el centro de masas '''G''' no tiene por qué ser fijo a una referencia galileana.

Cuando '''Q''' no es ni un punto fijo a RGal ni coincide con el centro de masas, se suele hablar de la versión del TMC “en punto móvil”. Aunque '''Q''' sea un punto móvil respecto a RGal, el término asociado a las fuerzas de inercia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> puede ser nulo si '''Q''' se mueve a velocidad constante respecto a RGal, o si su aceleración respecto a RGal es paralela a <math>\QGvec</math>.

<center>
{| class="wikitable"
|+
|-
! '''TMC en punto fijo''' !! '''TMC en '''<math>\Gs</math> !! '''TMC en punto móvil '''<math>\Qs</math>
|-
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center>
||
<center>
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center>
||
<center>
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math> 

<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center>

|}
</center>

El vector momento cinético <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no es sencillo de calcular en general, y se presenta en la [[D5. Tensor de inercia|'''unidad D5''']].

En problemas de cinemática plana (2D), si el momento cinético <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sólido del sistema que se estudia es paralelo a la velocidad angular del sólido <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que es de dirección ortogonal al plano del movimiento), sólo la componente del TMC perpendicular al plano es interesante. Se dice entonces que el problema es de dinámica plana (2D), y el problema se puede hacer a partir de dos componentes del TCM y de una del TMC.

En problemes d’estàtica, tant la quantitat de moviment com el moment cinètic a qualsevol punt són nuls permanentment, i per tant són nul·les també les seves derivades temporals. L’estudi de la dinàmica en un pla també es pot fer a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.

<div>
===TMC en un punto de contacto entre dos sólidos===
Un enlace que aparece a menudo en los sistemas mecánicos es el contacto puntual entre parejas de sólidos (S1 y S2, por ejemplo). Este enlace puede introducir entre 1 y 3 incógnitas de enlace (según la rugosidad de las superficies y la cinemática del contacto – con o sin deslizamiento). Cuando estas fuerzas no se quieren calcular, es tentador aplicar el TMC en el punto de contacto '''J''' (ya que su momento respecto a '''J''' es nulo). 

[[Archivo:TMCaJ-0-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

La aplicación del TMC en '''J''' es muy delicada. Hay que precisar de qué punto '''J''' se habla ([[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''ejemplo C5-1.8''']]): si se trata del J del sólido S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sólido S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math>, o bien si es el punto geométrico de contacto <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math>. Por un lado, estos tres puntos tienen cinemáticas distintas <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math>, y el término complementario asociado al momento de las fuerzas de inercia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> es distinto. Por otro lado, si por ejemplo el TMC se aplica al sólido S1, hay que tener presente que, aunque <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertenece a S1 y se puede calcular el momento cinético a partir del tensor de inercia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> y <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no pertenecen a S1, y hay que hace la descomposición baricéntrica para calcular este vector.

Finalmente, ya que hay que derivar el momento cinético, hay que calcularlo en una configuración general (es decir, cuando '''J''' no es aún el punto de contacto), y sólo después de haber hecho la derivada se puede particularizar el resultado a la configuración en que '''J''' es el punto de contacto. Como ilustración de todo ello, el esquema siguiente muestra la aplicación del TMC a una rueda con movimiento plano que toca al suelo y desliza.

[[Archivo:TMCaJ-1-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{rueda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{rueda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJrueda}(\Js_\mathrm{rueda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{rueda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJrueda}(\Js_\mathrm{rueda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math>
</center> 

[[Archivo:TMCaJ-2-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}
\end{array}\right.
</math> 

[[Archivo:TMCaJ-3-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)
\end{array}\right.
</math>
</center></center>
</div>

------
------

==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==
<div>
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex5-1-esp.png|thumb|left|180px|link=]]
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:
[[Archivo:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
|}

En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant: 

<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math> 

Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math>

Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math>

</div>

<div>
====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|left|230px|link=]]
|Els blocs pengen de dos fils inextensibles lligats a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de calcular l’acceleració angular de les politges. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :
[[Archivo:D4-Ex6-2-neut.png|thumb|center|340px|link=]]
|}

En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> : 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math> 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math> 

Per la definició de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs: 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math> 

<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math> 

[[Archivo:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
Resolución alternativa 

Si se aplica el TMC al punto '''O''' para el sistema formado por las poleas y las cuerdas, el peso de los bloques ya no aparece como interacción externa, pero aparecen en cambio las tensiones de las dos cuerdas (que son incógnitas de enlace).

El momento cinético del sistema es nulo porque no tiene masa: 

SIST: poleas + cuerdas 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math> 
[[Archivo:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]

La aplicación del TCM a cada uno de los bloques genera dos ecuaciones más: 

SIST: bloque de 10kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloque}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math> 

SIST: bloque de 5kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloque}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math> 

La resolución del sistema de ecuaciones conduce a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>. 

La primera resolución es más rápida (solo utiliza una ecuación escalar), pero implica el cálculo del momento cinético. Esta segunda resolución es más larga (sistema de tres ecuaciones) pero no requiere calcular ningún momento cinético.

</div>

<div>

====✏️ EJEMPLO D4.7: dinámica longitudinal de un vehículo====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex7-1-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|El vehículo sin suspensiones se mueve sobre una carretera rectilínea. La masa de las ruedas es despreciable comparada con la del resto de los elementos, y se considera que su contacto con el suelo es puntual. Se trata de analizar las fuerzas normales de enlace entre suelo y ruedas.

Es un problema de dinámica plana. Las fuerzas externas sobre el vehículo se reducen al peso y al enlace con el suelo. Si la aceleración del chasis respecto al suelo es un dato, la aplicación del TCM conduce a:
|}

{|
|

<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}

\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)
\end{aligned}\right.</math>

donde <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> y <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> son las fuerzas normal y tangencial que en total reciben las dos ruedas delanteras y las dos traseras, respectivamente.

El TMC en G conduce a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs}) + \Ts_{\ds\rs}] =0</math> (el momento cinético <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> es permanentemente nulo ya que las ruedas no tienen masa, y el resto del vehículo tiene movimiento nulo respecto a la RTG).
|
[[Archivo:D4-Ex7-2-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|}

Resolviendo el sistema de ecuaciones: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math>

Este resultado es válido para cualquier valor de <math>\as_\Ls</math>:

:*Situación estática (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la fuerza normal es mayor en las ruedas que tienen el eje más cerca de '''G'''.

:*Acelerando (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hay un trasvase de fuerza de delante hacia detrás (se cargan las ruedas traseras y se descargan las delanteras). Si la aceleración <math>|\as_\Ts|</math> es suficientemente elevada, la fuerza normal delantera pasa a ser negativa, cosa que indica que se ha perdido el contacto y el vehículo vuelca en sentido antihorario. Entonces, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el chasis pasa a tener, en principio, aceleración angular, y como consecuencia el centro de masas '''G''' adquiere aceleración vertical.

:*Frenando (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hay un trasvase de fuerza del atrás hacia delante (se descargan las ruedas traseras y se cargan las delanteras). Como en el caso precedente, hay un valor crítico de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el vuelco, esta vez en sentido horario.


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---------
</div>

==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==

La aplicación de los teoremas vectoriales a los [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''Sòlidos Auxiliares de Enlace''']] (SAE) es sencilla ya que los términos de la derecha (variación de cantidad de movimiento y variación de momento cinético) son nulos por ser nula su masa:

<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{cualquier} \hspace{0.2cm} \mathrm{punto}) \approx \overline{0}.</math> 

Para el caso de un SAE (sólido S) que conecta dos sólidos rígidos S1 y S2 ('''Figura D4.5'''), estas ecuaciones permiten demostrar que el torsor que actúa sobre S1 se puede obtener a partir de una ecuación de caracterización analítica donde la cinemática del punto P de caracterización (que tiene que pertenecer al sólido S1) se evalúa en la referencia solidaria a S2:

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math> 

(Cuando se trata de velocidades, es importante especificar a qué sólido pertenece el punto P. Esto, en cambio, es irrelevante cuando se trata de momentos: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>). 

[[Archivo:D4-5-esp.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.5:'''Sólido Auxiliar de Enlace entre dos sólidos de masa no nula</center> 

<div>
=====💭 Demostración ➕=====

Los teoremas vectoriales aplicados sobre el SAE implican que los torsores de enlace que recibe de S1 y S2 en un mismo punto '''P''' han de sumar cero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)
\end{array}\right.</math> 

Por otro lado, estos torsores cumplen la [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|'''ecuación de caracterización analítica''']]:

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math> 

Si se combinan todas las ecuaciones anteriores, se obtiene: 

<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math> 

Una [[C3. Composición de movimientos#C3.1 Composición de velocidades|'''composición de movimientos''']] permite reescribir la ecuación anterior de manera más compacta:

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math> 

Finalmente: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math>

</div>

<div>
====✏️ EJEMPLO D4.8: dinámica longitudinal de un vehículo ====
---------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex8-1-esp.png|thumb|left|220px|link=]]
|En el vehículo del ejemplo D4.7, se considera que la tracción es posterior. Esto quiere decir que el motor del vehículo actúa entre el chasis y las ruedas posteriores, mientras que las delanteras sólo están sometidas a interacciones de enlace (articulación con el chasis y contacto con el suelo).

Si se tratan las ruedas delanteras como SAE, el análisis cinemático del chasis respecto al suelo para la caracterización del enlace a través de las ruedas delanteras conduce a un torsor en el centro de la rueda (que es fijo al chasis) con sólo una componente de fuerza:
|}
[[Archivo:D4-Ex8-2-esp.png|thumb|center|370px|link=]]
La existencia de una componente horizontal de fuerza entre las ruedas posteriores (¡necesaria para acelerar o frenar el vehículo!) está asociada al par motor. Si se aplican los teoremas vectoriales a las ruedas posteriores, las interacciones externas a tener en cuenta son el enlace con el suelo, la articulación con el chasis y el par motor <math>\Gamma</math>:
[[Archivo:D4-Ex8-3-esp.png|thumb|center|370px|link=]]

<math>\ms_\mathrm{ruedas} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{TCM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dv}=\Ns'_\mathrm{dv} , \Ts_\mathrm{dv}=\Ts'_\mathrm{dv} \\
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{en} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dv}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dv}=\Gamma / \rs
\end{array}\right. </math> 

La fuerza tangencial sobre las ruedas motrices es directamente proporcional al par motor que se les aplica. Sin embargo, hay que recordar que, como fuerza tangencial de enlace, su valor está limitado por <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>. Esto permite calcular la aceleración máxima que puede adquirir el vehículo (mientras la rueda delantera no pierda el contacto con el suelo):

<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehículo})\right]_\mathrm{máx}= \Ts_\mathrm{dr,máx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>. 

En terrenos de bajo rozamiento (<math>\mu_\es</math> de valor bajo), un motor capaz de suministrar un par máximo alto es inútil: quien pone límite a la aceleración es el valor del coeficiente de fricción <math>\mu_\es</math>: <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math>.

En terrenos de alto rozamiento, si el par máximo es bajo, es él el que pone límite a la aceleración: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la rueda delantera no pierde contacto con el suelo).


</div>

---------
---------

==D4.8 Descomposición baricéntrica del momento cinético==

La versión del TMC que se ha presentado permite escoger libremente el punto '''Q''' de aplicación. El criterio para escogerlo se basa en lo que se quiera investigar (una fuerza de enlace, una ecuación del movimiento...). En la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D|'''unidad D6''']] se discute este criterio.

En algunos casos, puede ser interesante escoger un punto '''Q''' que no pertenezca a ningún elemento material del sistema. Entonces, es útil referir el cálculo del momento cinético <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al momento cinético en el centro de masas '''G''' del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Esto se conoce con el nombre de '''descomposición baricéntrica''' del momento cinético:

<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>,

donde el superíndice <math>\oplus</math> indica que el momento cinético debe calcularse como si el sistema se hubiera reducido a una partícula concentrada en '''G''' con masa igual a la masa total del sistema (M):

<math>\H{Q}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math>

<div>
=====💭 Demostración ➕=====

:La definición de momento cinético de un sólido rígido S es: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocidad <math>\vel{P}{RTQ}</math> se puede escribir como suma de dos términos si se aplica una composición de movimientos:

:<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math> 

:Por tanto: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.

:La definición de [[D4. Teoremas vectoriales#D4.1 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias galileanas|'''centro de masas''']] lleva a reescribir el segundo término como:

:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincide con el momento cinético respecto a '''Q''' de una partícula de masa M situada en '''G''': <math>\QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ} = \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.

:En el primer término de la expresión de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, se puede descomponer <math>\QPvec</math> en suma de dos términos:

:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math>

:Por definición de centro de masas: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.

:Por tanto: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.

</div>

<div>
===== ✏️ EJEMPLO D4.9: descomposición baricéntrica =====
----------

{|

|[[Archivo:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|El sólido está formado por dos barras de masa despreciable y cuatro partículas ('''P''') con masa m unidas a los extremos de las barras. El sólido está articulado a un soporte que puede moverse a lo largo de una guía fija al suelo. Su momento cinético en G es:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math>

La RTG es fija al soporte, y la velocidad de las partículas respecto a esta referencia es proporcional a la rotación <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Por tanto:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math>
|}
:El momento cinético en '''O''' (fijo al suelo) se puede calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mediante descomposición baricéntrica:

:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{O}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times 4\ms\vel{G}{T} =</math>
<math>\hspace{1cm} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math>


</div>

© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecánica:Derechos de autor |Todos los derechos reservados]]
-------------

<center>
[[D3. Interacciones entre sólidos rígidos|<<< D3. Interacciones entre sólidos rígidos]]

[[D5. Tensor de inercia|D5. Tensor de inercia >>>]]
</center>

D4. Teoremas vectoriales

2026-02-24T17:32:47Z

Eantem:

<div class="noautonum">__TOC__</div>

<math>
\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
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</math>

Los '''Teoremas Vectoriales''' son una herramienta para resolver la dinámica de los sistemas mecánicos, y se obtienen a partir de la ley fundamental de la dinámica ([[D1.Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.5 Segunda ley de Newton (ley fundamental de la dinámica)|'''segunda ley de Newton''']]) y del principio de acción y reacción ([[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''tercera ley de Newton''']]).

En este curso, es presenta sólo la versión de los teoremes para el caso de sistemas de materia constante. Aunque esto incluye sistemas con fluidos, los ejemplos de aplicación en este curso son esencialmente sistemas multisólido formados por sólidos rígidos.

Cuando se aborda un problema, es esencial identificar las incógnitas que contiene el sistema que se estudia y analizar si los teoremas vectoriales proporcionan el número suficiente de ecuaciones para resolverlas todas (¡hay que saber si el problema es determinado o indeterminado!). Las incógnitas se pueden clasificar en dos grupos:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 Incógnitas asociadas a [[C2._Movimiento_de_un_sistema_mecánico#C2.7_Grados_de_libertad|'''grados de libertad''']] 

Los GL de un sistema mecánico pueden ser [[C2._Movimiento_de_un_sistema_mecánico#C2.7_Grados_de_libertad|'''libres''']] o [[C2._Movimiento_de_un_sistema_mecánico#C2.7_Grados_de_libertad|'''actuados''']] (o forzados, asociados a [[D3._Interacciones_entre_sólidos_rígidos#D3.6_Interacciones_a_través_de_actuadores_lineales_y_rotacionales|'''actuadores''']]. En ambos casos, su valor inicial (el valor cuando empieza un experimento o se pone en marcha el sistema) es conocido. Cuando se trata de GL libres, la evolución de este valor inicial no se conoce: es una incógnita. Se dice que el problema es de '''dinámica directa'''.

Este es el caso también cuando se trata de GL actuados si la acción del actuador asociado es conocida (es decir, cuando se conoce el valor de <math>\Fs_{ac}</math> – en el caso de los actuadores lineales –, o de <math>\Gamma</math> – caso de los rotacionales). El problema también es de dinámica directa.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

:* Evolución temporal de los [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.6 Grados de libertad de un sistema mecánico|'''grados de libertad''']] libres (no controlados por actuadores) del sistema. Las ecuaciones que las rigen se denominan '''ecuaciones del movimiento'''. Si los GL libres se describen mediante derivadas temporales de coordenadas (<math>\dot{q}_i</math>, con i=1,2,3...), su evolución temporal son las segundas derivadas temporales de estas coordenadas (aceleraciones). Su aspecto general es:

<center><math>\ddot{\qs}_\is=f(\qs_\js,\dot{\qs}_\js,\ddot{\qs}_\js,\text{parámetros dinámicos, parámetros geométricos})</math></center>

La dependencia en las segundas derivadas temporales <math>(\ddot{q}_j)</math> siempre es lineal, mientras que la dependencia en las coordenadas y las velocidades <math>(q_i,\dot{q}_j)</math> puede ser de cualquier tipo. Los parámetros dinámicos son la masa de los elementos y los asociados a su distribución en el espacio, y los parámetros asociados a las interacciones sobre el sistema (constantes de muelles y amortiguadores, coeficientes de fricción, constantes del campo gravitatorio...); los parámetros geométricos tienen que ver con la forma de los elementos del sistema (distancias y ángulos).

:* [[D2.Fuerzas de interacción entre particulas#D2.6 Interacción a través de actuadores|'''Acciones de los actuadores''']]: son las fuerzas (si se trata de actuadores lineales) y momentos (si son actuadores rotacionales) necesarios para garantizar unas evoluciones prefijadas de los GL que controlan. Como se ha comentado en la [[D2.Fuerzas de interacción entre particulas#D2.6 Interacción a través de actuadores|'''sección D2.6''']], en algunos casos se puede considerar que las acciones de los actuadores son datos, y entonces las incógnitas asociadas son las evoluciones de los GL que controlan.

:* [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos|'''Fuerzas y momentos de enlace''']]: el número de incógnitas asociadas a los enlaces depende de la descripción que se haga de ellos ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|'''enlaces directos''']], [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''enlaces indirectos''']]). Cuando un problema de dinámica es indeterminado, la indeterminación siempre se refiere a las componentes de los torsores de enlace, nunca a los GL (libres o forzados).

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---------
==D4.1 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias galileanas==

Consideremos un sistema de partículas de materia constante ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Cantidad de Movimiento''' ('''TCM''') se obtiene a partir de la aplicación de la segunda ley de Newton a cada partícula P del sistema. Si la referencia que se considera es galileana:

<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, donde <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> es la fuerza resultante de interacción sobre '''P'''.

[[Archivo:D4-1-esp.png|thumb|center|300px|link=]]
<center>'''Figura D4.1''' Fuerzas sobre una partícula de un sistema de partículas de materia constante</center>

La fuerzas que actúan sobre cada partícula se pueden clasificar en dos grupos: internas (que provienen de la interacción con otras partículas del sistema) y externas (asociadas a las interacciones con elementos externos al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si estas ecuaciones se suman para todas las partículas, las fuerzas internas entre parejas de partículas se cancelan dos a dos por el principio de acción y reacción:

<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\:\acc{P}{RGal}</math></center>

El término de la izquierda es la resultante de fuerzas externas sobre el sistema, y se suele escribir simplemente como <math>\sum\F{ext}</math>. El de la derecha se puede reescribir como <math>\Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math>, donde M es la masa total del sistema <math>\left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El término <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math> es una aceleración ponderada, donde la ponderación es proporcional a la masa de cada partícula. Esta aceleración se asocia a un punto denominado '''centro de masas''' (o '''centro de inercia''') del sistema, y en este curso se designa con la letra '''G'''. Para una referencia cualquiera, pues, la cinemática de G queda descrita por las ecuaciones ('''Figura D4.2'''):

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center>

[[Archivo:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
<center>'''Figura D4.2''' Centro de masas (o de inercia) de un sistema de materia constante</center>

En el caso de conjuntos continuos de partículas (como son un conjunto de sólidos rígidos, deformables, o fluidos), el sumatorio para partículas es de hecho una integral:

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center>

Finalmente, el TCM se escribe como:

<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\:\acc{G}{RGal}</math></center>

Esta ecuación se parece mucho a la [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.5 Segunda ley de Newton (ley fundamental de la dinámica)|'''segunda ley de Newton''']]: el centro de masas '''G''' se comporta como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema, y sobre la que actuasen todas las fuerzas externas al sistema. A pesar del paralelismo entre el TCM y la ecuación de dinámica de la partícula, hay dos diferencias fundamentales:

:*la masa del sistema no está localizada en '''G''' (puede ser incluso que '''G''' esté situado en una zona del sistema sin masa, como en el caso de una anilla homogénea);

:*las fuerzas externas no están aplicadas a '''G''' en general.

El TCM recibe este nombre porque permite conocer la evolución, a partir del conocimiento del [[C1. Configuración de un sistema mecánico|'''estado mecánico''']] inicial y de las interacciones externas, de la cantidad de movimiento del sistema (que, en una referencia cualquiera R, se define como <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R}</math>):

<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\acc{G}{RGal}=\dert{\Ms\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center>

La localización del centro de masas en los sistemas que se estudian (tanto si es un único sólido rígido como un sistema multisólido) se presenta brevemente en la [[D5. Tensor de inercia#D5.1 Centro de masas|'''sección D5.1''']]. Para sólidos homogéneos de geometría muy simple, la posición de '''G''' se puede deducir a menudo de las simetrías del sólido.

En problemas planos (de cinemática 2D), sólo las dos componentes del TCM comprendidas en el plano son interesantes.

------------
------------

==D4.2 Ejemplos de aplicación del TCM==

<div>
====✏️ EJEMPLO D4.1: cálculo de una fuerza de enlace ====

------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex1-1-neut.png|mthumb|center|180px|link=]]
|Los tres bloques homogéneos son lisos y están en contacto entre ellos y con un suelo horizontal, también liso. Se trata de investigar el valor de la fuerza horizontal de enlace entre los bloques Q y S cuando se aplica una fuerza horizontal F al bloque de la izquierda.
Todos los enlaces que aparecen en este sistema son contactos multipuntuales entre superficies lisas. Por tanto, cada torsor asociado, caracterizado en un punto del contacto correspondiente, contiene una componente de fuerza y una de momento ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|ejemplo D3.4]]). Aun así, en la aplicación del TCM sólo intervienen las fuerzas, y por tanto no se representan los momentos en las figuras siguientes.
|}

Para que la fuerza de enlace <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparezca en la componente horizontal del TCM, hay que aplicar el teorema a un sistema donde esta fuerza sea externa. Por ejemplo, al bloque S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>.

[[Archivo:D4-Ex1-2-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]

Esta ecuación contiene dos incógnitas: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> y <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ya que el movimiento de los tres bloques provocado per la fuerza F es el mismo, la aceleración se puede obtener con el TCM aplicado a todo el sistema:

<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center>

</div>
<div>

====✏️ EJEMPLO D4.2: movimiento inicial de un sistema ====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex2-1-esp.png|thumb|center|300px|link=]]
|Los bloques homogéneos están inicialmente en reposo sobre un suelo rugoso, y unidos mediante un muelle comprimido con una tensión <math>\Fs_0=\ms\gs</math> y un hilo inextensible. En un cierto instante, se corta el hilo y el sistema empieza a moverse.
|}

Se trata de calcular la aceleración del centro de inercia del sistema respecto al suelo. Esta aceleración se puede obtener a partir de la componente horizontal del TCM aplicado a todo el sistema. El muelle es interno, y por tanto su fuerza no aparece: <math>\F{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{suelo}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.

Las fuerzas que el suelo ejerce sobre cada uno de los bloques pueden ser de enlace (si los bloques no se mueven, y entonces son incógnitas), o de fricción (si los bloques se mueven respecto al suelo, en cuyo caso son formulables). También puede ocurrir que un bloque deslice y el otro no.

El valor de una fuerza de enlace se adapta para garantizar una restricción. En el caso de los bloques, hay que investigar si estas fuerzas pueden alcanzar el valor necesario per evitar que los bloques deslicen sobre el suelo, y están acotadas por el valor del coeficiente de fricción estática entre bloques y suelo:

<math>|\F{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math>

<math>|\F{\text{suelo}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{sueloghtarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math>

Si se aplica el TCM a cada bloque por separado, la fuerza deluelle pasa a ser externa. Esta fuerza (de valor mg) puede ser contrarrestada por la fuerza de enlace en el caso del bloque de masa 2m (por tanto, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), pero no en el del bloque de masa m:

[[Archivo:D4-Ex2-2-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

La aplicación del TCM al bloque de masa m conduce a:

<math>\left.\begin{aligned}
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{suelo}\rightarrow2\ms}+\F{\text{muelle}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math>

Finalmente: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.

</div>
<div>
====✏️ EJEMPLO D4.3: estudio de una condición límite ====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]
|La esfera homogénea de masa M descansa sobre dos cuñas idénticas, de masa m, que se encuentran sobre el suelo. Entre esfera y cuñas no hi hay rozamiento, pero entre cuñas y suelo hay rozamiento de coeficiente <math>\mu</math>. El sistema se encuentra inicialmente en reposo respecto al suelo. Se trata de determinar el valor máximo de M, en función de m, que permite que el sistema se mantenga en reposo.
|}

Si no se mueve nada, las fuerzas horizontales de interacción entre suelo y cuñas son de enlace y no superan el valor límite <math>/mu\ns</math> (donde N es la fuerza normal que cada cuña recibe del suelo). El torsor de enlace del suelo sobre las cuñas contiene también un momento resultante perpendicular a la figura. Si se quiere estudiar la posibilidad de vuelque de las cuñas, este momento es relevante. Pero en este ejemplo, la forma de las cuñas garantiza que no vuelquen, y se trabaja sólo con las fuerzas.

La aplicación del TCM a todo el sistema, a una cuña y a la esfera conduce a las ecuaciones siguientes:

[[Archivo:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]

<center>
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"
|- style="vertical-align:top;"
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + cuñas

<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: cuña de la izquierda

<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera

<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math>
|}</center>

Combinando las dos últimas ecuaciones: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor máximo de M para el que aún hay equilibrio corresponde a la situación en la que la fuerza tangencial de enlace T toma el valor máximo posible: <math>\Ts = \Ts_{\text{máx}}=\mu\Ns</math>. Teniendo en cuenta que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{máx}}+2\ms)\gs</math>:

<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{máx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{máx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{máx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{máx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math>

</div>

------------
------------

==D4.3 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias no galileanas==

La versión del TCM en una referencia no galileana NGal se obtiene también a partir de la [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.7 Dinámica de la partícula en referencias no galileanas|'''segunda ley de Newton aplicada a cada partícula''']] (o cada diferencial de masa) del sistema en la referencia NGal. En principio, pues, esta ecuación contendrá dos fuerzas de inercia: la de arrastre y la de Coriolis ('''Figura D4.3'''):

<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,

donde <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> y <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math>

[[Archivo:D4-3-esp.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.3:''' Fuerzas de inercia en una referencia no galileana</center>

Sumando las ecuaciones para todas las partículas, se obtiene: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math>, donde M es la masa total del sistema.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
------
:
Por el principio de acción y reacción, la suma para todas las partículas de las fuerzas de interacción conduce a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math>

En cuanto a las fuerzas de inercia, al ser proporcionales a la aceleración de arrastre y de Coriolis de cada partícula, su suma para todas las partículas corresponde a la cinemática ponderada que define el [[D4. Teoremas vectoriales#D4.2 Ejemplos de aplicación del TCM|'''centro de masas''']]:

Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el
centre de masses (secció D4.2):

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

Así pues: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math>

</div>

<div>
====✏️ EJEMPLO D4.4: desplazamiento vibratorio====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
|El bloque de masa m está inicialmente en reposo sobre un soporte que oscila respecto al suelo de acuerdo con el gráfico de velocidad que se muestra en la figura. Se trata de investigar la posibilidad de que el bloque deslice sobre el soporte. La condición de reposo del bloque respecto al soporte (que es una referencia no galileana ya que tiene un movimiento acelerado respecto al suelo) pide:

<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sop\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> porque <math>\velang{sop}{T} = \vec{0}</math>
|}

La fuerza de arrastre sobre el bloque es estrictamente horizontal. Por tanto, la componente vertical de esta ecuación conduce a <math>N = mg</math>. En cuanto a la componente horizontal, contendrá la fuerza de interacción entre bloque y soporte. Si el bloque no desliza sobre el soporte, esta fuerza es de enlace, y su valor está acotado: <math>0\leq\mid\Fs_{sop\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si desliza, es una fuerza de fricción de valor <math>\mu\ms\gs</math>, opuesta a la velocidad de deslizamiento.

Entre <math>t=0</math> y <math>t = 0,4s</math>, la aceleración del soporte respecto al suelo es <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math>, y por tanto la fuerza de arrastre es <math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$soporte}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor está dentro del margen de valores permitidos para la fuerza de enlace horizontal del soporte sobre el bloque. Por tanto, esta fuerza tomará el valor <math>\F{sop\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>,, contrarrestará la<math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs}</math> y se mantendrá el reposo entre los dos elementos.

Entre <math>t=0,4s</math> y <math>t = 0,6s</math>, la aceleración del soporte respecto al suelo es 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Por tanto, <math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. Al sobrepasar el valor máximo de la fuerza horizontal de enlace, no podrá ser contrarrestada. El bloque empezará a deslizar, y la fuerza horizontal de interacción entre soporte y bloque será de fricción:

<math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} + \F{sop\rightarrow bloque}^{fricción} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sop} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

En el instante <math>t = 0,6s</math>, la velocidad del bloque respecto al soporte es

<math>\vel{G}{sop} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.

Aunque entre en la fase en la que <math>\mid\Fcal{ar}{sop\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la fuerza horizontal entre soporte y bloque sigue siendo de fricción <math>(\F{sop\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> hasta conseguir parar el bloque.

La aceleración del bloque respecto al soporte es:

<math>\acc{G}{sop} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

Al tratarse de un movimiento uniformemente desacelerado, es fácil calcular el instante <math>t_f</math> para el que el bloque deja de deslizar:

<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sop} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sop} + \acc{$\Gs,t_f$}{sop}(t_f - t_i)</math>,
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math>

En este instante, la fuerza del soporte sobre el bloque pasa a ser de enlace, y nos encontramos en una situación análoga a la inicial. Por tanto, el deslizamiento no volverá a producirse hasta <math>\ts = 1,4s</math>. El estudio para los intervalos posteriores sigue los mismos pasos que el estudio del intervalo <math>[0,1,4s]</math>. La figura muestra la evolución de la cinemática del bloque respecto al soporte, y de las fuerzas que actúan sobre él.

[[Archivo:D4-Ex4-2-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

</div>

-----------
-----------

==D4.4 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulación general==

La dinámica de un sólido rígido (y por tanto, de un sistema multisólido) no queda nunca totalmente resuelta con el TCM cuando el sólido gira: el TCM sólo informa sobre el movimiento de un punto ('''G'''), y no sobre la rotación.

El '''Teorema del Momento Cinético''' (TMC) se encuentra enunciado de dos maneras distintas en la literatura. En este curso, se ha optado por una formulación paralela a la del TCM: a la izquierda aparecen términos que sólo tienen que ver con las interacciones externas sobre el sistema, mientras que a la derecha aparece la derivada temporal de un vector que depende sólo de la geometría de masas del sistema y de su [[C1. Configuración de un sistema mecánico#|'''estado mecánico''']].

Como ya se ha visto cuando se introdujo el concepto de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor de un sistema de fuerzas''']], lo que se relaciona con la rotación de un sólido es el momento de las fuerzas, no la fuerza resultante. Por tanto, si bien el TMC se demuestra también a partir de la segunda ley de Newton aplicada a cada diferencial de masa del sistema, habrá que transformar las fuerzas que aparecen en momento de estas fuerzas respecto a un punto '''Q'''.

Estas dos consideraciones (formulación paralela al TCM y necesidad de escoger un punto '''Q''' para calcular el momento de las fuerzas) lleva a partir de la formulación de la segunda ley de Newton en la '''Referencia que se Traslada con Q (RTQ)''' respecto a una referencia galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, esta referencia no es galileana, y por tanto hay que tener en cuenta en principio las [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''fuerzas de inercia de arrastre''']] ('''Figura D4.3''').

[[Archivo:D4-4-esp.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D4.4:''' Fuerzas de inercia en la Referencia que se Traslada con un punto '''Q''' (RTQ)</center> 

Consideremos un sistema de partículas con materia constante. La segunda ley de Newton aplicada a cada partícula del sistema y en la RTQ es: 

<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , 

donde <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , y <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ya que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>. 

Si los dos lados de la ecuación se multiplican vectorialmente por <math>\QPvec</math> y se suma para todas las partículas (o elementos de masa) del sistema, se obtiene el TMC en el punto '''Q''':

<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math> 

donde <math>\Ms</math> es la masa total del sistema, y <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> es el '''momento cinético del sistema respecto al punto Q'''. 

Si el sistema tiene elementos continuos (por ejemplo, un sistema con N sólidos rígidos <math>S_i</math>), el sumatorio para partículas es de hecho una integral:

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====

La segunda ley de Newton para cada elemento de masa multiplicada vectorialmente por <math>\QPvec</math es:

<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math>

El término de la derecha se puede reescribir como:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

Al ser '''Q''' un punto de la RTQ, se puede tomar como origen de un vector de posición de '''P''' en esta referencia. Por tanto:

<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

Teniendo en cuenta que la masa es constante:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math>

La suma de este término para todos los elementos '''P''' conduce a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

Si las fuerzas de interacción sobre cada partícula '''P''' se clasifican en internas y externas, la suma para todas las partículas del sistema del lado izquierdo de la primera ecuación se convierte en:

<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math>

<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> 

ya que el principio de acción y reacción garantiza que el momento total de una pareja de fuerzas de acción y reacción es nulo: 

<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math> 

Agrupando todos los términos: 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

</div>

---------
---------

==D4.5 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulaciones particulares==
El TMC toma expresiones más sencillas cuando el punto '''Q''' es fijo a una referencia galileana o cuando es el centro de masas del sistema.

* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, llamamos a esta versión “TMC en punto fijo”, donde se sobreentiende que “fijo” quiere decir “fijo a una referencia galileana”. En este caso, normalmente utilizaremos la letra '''O''' para designar el punto '''Q'''.

* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math> Hay que notar que, si bien la expresión es similar a la versión en punto fijo, el centro de masas '''G''' no tiene por qué ser fijo a una referencia galileana.

Cuando '''Q''' no es ni un punto fijo a RGal ni coincide con el centro de masas, se suele hablar de la versión del TMC “en punto móvil”. Aunque '''Q''' sea un punto móvil respecto a RGal, el término asociado a las fuerzas de inercia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> puede ser nulo si '''Q''' se mueve a velocidad constante respecto a RGal, o si su aceleración respecto a RGal es paralela a <math>\QGvec</math>.

<center>
{| class="wikitable"
|+
|-
! '''TMC en punto fijo''' !! '''TMC en '''<math>\Gs</math> !! '''TMC en punto móvil '''<math>\Qs</math>
|-
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center>
||
<center>
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center>
||
<center>
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math> 

<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center>

|}
</center>

El vector momento cinético <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no es sencillo de calcular en general, y se presenta en la [[D5. Tensor de inercia|'''unidad D5''']].

En problemas de cinemática plana (2D), si el momento cinético <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sólido del sistema que se estudia es paralelo a la velocidad angular del sólido <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que es de dirección ortogonal al plano del movimiento), sólo la componente del TMC perpendicular al plano es interesante. Se dice entonces que el problema es de dinámica plana (2D), y el problema se puede hacer a partir de dos componentes del TCM y de una del TMC.

En problemes d’estàtica, tant la quantitat de moviment com el moment cinètic a qualsevol punt són nuls permanentment, i per tant són nul·les també les seves derivades temporals. L’estudi de la dinàmica en un pla també es pot fer a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.

<div>
===TMC en un punto de contacto entre dos sólidos===
Un enlace que aparece a menudo en los sistemas mecánicos es el contacto puntual entre parejas de sólidos (S1 y S2, por ejemplo). Este enlace puede introducir entre 1 y 3 incógnitas de enlace (según la rugosidad de las superficies y la cinemática del contacto – con o sin deslizamiento). Cuando estas fuerzas no se quieren calcular, es tentador aplicar el TMC en el punto de contacto '''J''' (ya que su momento respecto a '''J''' es nulo). 

[[Archivo:TMCaJ-0-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

La aplicación del TMC en '''J''' es muy delicada. Hay que precisar de qué punto '''J''' se habla ([[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''ejemplo C5-1.8''']]): si se trata del J del sólido S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sólido S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math>, o bien si es el punto geométrico de contacto <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math>. Por un lado, estos tres puntos tienen cinemáticas distintas <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math>, y el término complementario asociado al momento de las fuerzas de inercia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> es distinto. Por otro lado, si por ejemplo el TMC se aplica al sólido S1, hay que tener presente que, aunque <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertenece a S1 y se puede calcular el momento cinético a partir del tensor de inercia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> y <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no pertenecen a S1, y hay que hace la descomposición baricéntrica para calcular este vector.

Finalmente, ya que hay que derivar el momento cinético, hay que calcularlo en una configuración general (es decir, cuando '''J''' no es aún el punto de contacto), y sólo después de haber hecho la derivada se puede particularizar el resultado a la configuración en que '''J''' es el punto de contacto. Como ilustración de todo ello, el esquema siguiente muestra la aplicación del TMC a una rueda con movimiento plano que toca al suelo y desliza.

[[Archivo:TMCaJ-1-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{rueda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{rueda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJrueda}(\Js_\mathrm{rueda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{rueda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJrueda}(\Js_\mathrm{rueda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math>
</center> 

[[Archivo:TMCaJ-2-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}
\end{array}\right.
</math> 

[[Archivo:TMCaJ-3-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)
\end{array}\right.
</math>
</center></center>
</div>

------
------

==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==
<div>
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex5-1-esp.png|thumb|left|180px|link=]]
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:
[[Archivo:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
|}

En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant: 

<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math> 

Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math>

Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math>

</div>

<div>
====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|left|230px|link=]]
|Els blocs pengen de dos fils inextensibles lligats a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de calcular l’acceleració angular de les politges. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :
[[Archivo:D4-Ex6-2-neut.png|thumb|center|340px|link=]]
|}

En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> : 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math> 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math> 

Per la definició de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs: 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math> 

<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math> 

[[Archivo:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
Resolución alternativa 

Si se aplica el TMC al punto '''O''' para el sistema formado por las poleas y las cuerdas, el peso de los bloques ya no aparece como interacción externa, pero aparecen en cambio las tensiones de las dos cuerdas (que son incógnitas de enlace).

El momento cinético del sistema es nulo porque no tiene masa: 

SIST: poleas + cuerdas 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math> 
[[Archivo:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]

La aplicación del TCM a cada uno de los bloques genera dos ecuaciones más: 

SIST: bloque de 10kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloque}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math> 

SIST: bloque de 5kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloque}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math> 

La resolución del sistema de ecuaciones conduce a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>. 

La primera resolución es más rápida (solo utiliza una ecuación escalar), pero implica el cálculo del momento cinético. Esta segunda resolución es más larga (sistema de tres ecuaciones) pero no requiere calcular ningún momento cinético.

</div>

<div>

====✏️ EJEMPLO D4.7: dinámica longitudinal de un vehículo====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex7-1-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|El vehículo sin suspensiones se mueve sobre una carretera rectilínea. La masa de las ruedas es despreciable comparada con la del resto de los elementos, y se considera que su contacto con el suelo es puntual. Se trata de analizar las fuerzas normales de enlace entre suelo y ruedas.

Es un problema de dinámica plana. Las fuerzas externas sobre el vehículo se reducen al peso y al enlace con el suelo. Si la aceleración del chasis respecto al suelo es un dato, la aplicación del TCM conduce a:
|}

{|
|

<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}

\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)
\end{aligned}\right.</math>

donde <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> y <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> son las fuerzas normal y tangencial que en total reciben las dos ruedas delanteras y las dos traseras, respectivamente.

El TMC en G conduce a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs}) + \Ts_{\ds\rs}] =0</math> (el momento cinético <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> es permanentemente nulo ya que las ruedas no tienen masa, y el resto del vehículo tiene movimiento nulo respecto a la RTG).
|
[[Archivo:D4-Ex7-2-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|}

Resolviendo el sistema de ecuaciones: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math>

Este resultado es válido para cualquier valor de <math>\as_\Ls</math>:

:*Situación estática (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la fuerza normal es mayor en las ruedas que tienen el eje más cerca de '''G'''.

:*Acelerando (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hay un trasvase de fuerza de delante hacia detrás (se cargan las ruedas traseras y se descargan las delanteras). Si la aceleración <math>|\as_\Ts|</math> es suficientemente elevada, la fuerza normal delantera pasa a ser negativa, cosa que indica que se ha perdido el contacto y el vehículo vuelca en sentido antihorario. Entonces, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el chasis pasa a tener, en principio, aceleración angular, y como consecuencia el centro de masas '''G''' adquiere aceleración vertical.

:*Frenando (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hay un trasvase de fuerza del atrás hacia delante (se descargan las ruedas traseras y se cargan las delanteras). Como en el caso precedente, hay un valor crítico de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el vuelco, esta vez en sentido horario.


---------
---------
</div>

==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==

La aplicación de los teoremas vectoriales a los [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''Sòlidos Auxiliares de Enlace''']] (SAE) es sencilla ya que los términos de la derecha (variación de cantidad de movimiento y variación de momento cinético) son nulos por ser nula su masa:

<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{cualquier} \hspace{0.2cm} \mathrm{punto}) \approx \overline{0}.</math> 

Para el caso de un SAE (sólido S) que conecta dos sólidos rígidos S1 y S2 ('''Figura D4.5'''), estas ecuaciones permiten demostrar que el torsor que actúa sobre S1 se puede obtener a partir de una ecuación de caracterización analítica donde la cinemática del punto P de caracterización (que tiene que pertenecer al sólido S1) se evalúa en la referencia solidaria a S2:

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math> 

(Cuando se trata de velocidades, es importante especificar a qué sólido pertenece el punto P. Esto, en cambio, es irrelevante cuando se trata de momentos: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>). 

[[Archivo:D4-5-esp.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.5:'''Sólido Auxiliar de Enlace entre dos sólidos de masa no nula</center> 

<div>
=====💭 Demostración ➕=====

Los teoremas vectoriales aplicados sobre el SAE implican que los torsores de enlace que recibe de S1 y S2 en un mismo punto '''P''' han de sumar cero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)
\end{array}\right.</math> 

Por otro lado, estos torsores cumplen la [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|'''ecuación de caracterización analítica''']]:

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math> 

Si se combinan todas las ecuaciones anteriores, se obtiene: 

<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math> 

Una [[C3. Composición de movimientos#C3.1 Composición de velocidades|'''composición de movimientos''']] permite reescribir la ecuación anterior de manera más compacta:

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math> 

Finalmente: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math>

</div>

<div>
====✏️ EJEMPLO D4.8: dinámica longitudinal de un vehículo ====
---------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex8-1-esp.png|thumb|left|220px|link=]]
|En el vehículo del ejemplo D4.7, se considera que la tracción es posterior. Esto quiere decir que el motor del vehículo actúa entre el chasis y las ruedas posteriores, mientras que las delanteras sólo están sometidas a interacciones de enlace (articulación con el chasis y contacto con el suelo).

Si se tratan las ruedas delanteras como SAE, el análisis cinemático del chasis respecto al suelo para la caracterización del enlace a través de las ruedas delanteras conduce a un torsor en el centro de la rueda (que es fijo al chasis) con sólo una componente de fuerza:
|}
[[Archivo:D4-Ex8-2-esp.png|thumb|center|370px|link=]]
La existencia de una componente horizontal de fuerza entre las ruedas posteriores (¡necesaria para acelerar o frenar el vehículo!) está asociada al par motor. Si se aplican los teoremas vectoriales a las ruedas posteriores, las interacciones externas a tener en cuenta son el enlace con el suelo, la articulación con el chasis y el par motor <math>\Gamma</math>:
[[Archivo:D4-Ex8-3-esp.png|thumb|center|370px|link=]]

<math>\ms_\mathrm{ruedas} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{TCM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dv}=\Ns'_\mathrm{dv} , \Ts_\mathrm{dv}=\Ts'_\mathrm{dv} \\
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{en} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dv}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dv}=\Gamma / \rs
\end{array}\right. </math> 

La fuerza tangencial sobre las ruedas motrices es directamente proporcional al par motor que se les aplica. Sin embargo, hay que recordar que, como fuerza tangencial de enlace, su valor está limitado por <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>. Esto permite calcular la aceleración máxima que puede adquirir el vehículo (mientras la rueda delantera no pierda el contacto con el suelo):

<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehículo})\right]_\mathrm{máx}= \Ts_\mathrm{dr,máx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>. 

En terrenos de bajo rozamiento (<math>\mu_\es</math> de valor bajo), un motor capaz de suministrar un par máximo alto es inútil: quien pone límite a la aceleración es el valor del coeficiente de fricción <math>\mu_\es</math>: <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math>.

En terrenos de alto rozamiento, si el par máximo es bajo, es él el que pone límite a la aceleración: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la rueda delantera no pierde contacto con el suelo).


</div>

---------
---------

==D4.8 Descomposición baricéntrica del momento cinético==

La versión del TMC que se ha presentado permite escoger libremente el punto '''Q''' de aplicación. El criterio para escogerlo se basa en lo que se quiera investigar (una fuerza de enlace, una ecuación del movimiento...). En la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D|'''unidad D6''']] se discute este criterio.

En algunos casos, puede ser interesante escoger un punto '''Q''' que no pertenezca a ningún elemento material del sistema. Entonces, es útil referir el cálculo del momento cinético <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al momento cinético en el centro de masas '''G''' del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Esto se conoce con el nombre de '''descomposición baricéntrica''' del momento cinético:

<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>,

donde el superíndice <math>\oplus</math> indica que el momento cinético debe calcularse como si el sistema se hubiera reducido a una partícula concentrada en '''G''' con masa igual a la masa total del sistema (M):

<math>\H{Q}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math>

<div>
=====💭 Demostración ➕=====

:La definición de momento cinético de un sólido rígido S es: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocidad <math>\vel{P}{RTQ}</math> se puede escribir como suma de dos términos si se aplica una composición de movimientos:

:<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math> 

:Por tanto: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.

:La definición de [[D4. Teoremas vectoriales#D4.1 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias galileanas|'''centro de masas''']] lleva a reescribir el segundo término como:

:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincide con el momento cinético respecto a '''Q''' de una partícula de masa M situada en '''G''': <math>\QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ} = \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.

:En el primer término de la expresión de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, se puede descomponer <math>\QPvec</math> en suma de dos términos:

:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math>

:Por definición de centro de masas: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.

:Por tanto: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.

</div>

<div>
===== ✏️ EJEMPLO D4.9: descomposición baricéntrica =====
----------

{|

|[[Archivo:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|El sólido está formado por dos barras de masa despreciable y cuatro partículas ('''P''') con masa m unidas a los extremos de las barras. El sólido está articulado a un soporte que puede moverse a lo largo de una guía fija al suelo. Su momento cinético en G es:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math>

La RTG es fija al soporte, y la velocidad de las partículas respecto a esta referencia es proporcional a la rotación <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Por tanto:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math>
|}
:El momento cinético en '''O''' (fijo al suelo) se puede calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mediante descomposición baricéntrica:

:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{O}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times 4\ms\vel{G}{T} =</math>
<math>\hspace{1cm} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math>


</div>

© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecánica:Derechos de autor |Todos los derechos reservados]]
-------------

<center>
[[D3. Interacciones entre sólidos rígidos|<<< D3. Interacciones entre sólidos rígidos]]

[[D5. Tensor de inercia|D5. Tensor de inercia >>>]]
</center>

D4. Teoremas vectoriales

2026-02-24T17:29:36Z

Eantem:

<div class="noautonum">__TOC__</div>

<math>
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\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
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\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
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\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
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\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
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\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
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\begin{Bmatrix}
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{#2}
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</math>

Los '''Teoremas Vectoriales''' son una herramienta para resolver la dinámica de los sistemas mecánicos, y se obtienen a partir de la ley fundamental de la dinámica ([[D1.Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.5 Segunda ley de Newton (ley fundamental de la dinámica)|'''segunda ley de Newton''']]) y del principio de acción y reacción ([[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''tercera ley de Newton''']]).

En este curso, es presenta sólo la versión de los teoremes para el caso de sistemas de materia constante. Aunque esto incluye sistemas con fluidos, los ejemplos de aplicación en este curso son esencialmente sistemas multisólido formados por sólidos rígidos.

Cuando se aborda un problema, es esencial identificar las incógnitas que contiene el sistema que se estudia y analizar si los teoremas vectoriales proporcionan el número suficiente de ecuaciones para resolverlas todas (¡hay que saber si el problema es determinado o indeterminado!). Las incógnitas se pueden clasificar en dos grupos:

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 Incógnitas asociadas a [[C2._Movimiento_de_un_sistema_mecánico#C2.7_Grados_de_libertad|'''grados de libertad''']] 

Los GL de un sistema mecánico pueden ser [[C2._Movimiento_de_un_sistema_mecánico#C2.7_Grados_de_libertad|'''libres''']] o [[C2._Movimiento_de_un_sistema_mecánico#C2.7_Grados_de_libertad|'''actuados''']] (o forzados, asociados a [[D3._Interacciones_entre_sólidos_rígidos#D3.6_Interacciones_a_través_de_actuadores_lineales_y_rotacionales|'''actuadores''']]. En ambos casos, su valor inicial (el valor cuando empieza un experimento o se pone en marcha el sistema) es conocido. Cuando se trata de GL libres, la evolución de este valor inicial no se conoce: es una incógnita. Se dice que el problema es de '''dinámica directa'''.

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----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

:* Evolución temporal de los [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.6 Grados de libertad de un sistema mecánico|'''grados de libertad''']] libres (no controlados por actuadores) del sistema. Las ecuaciones que las rigen se denominan '''ecuaciones del movimiento'''. Si los GL libres se describen mediante derivadas temporales de coordenadas (<math>\dot{q}_i</math>, con i=1,2,3...), su evolución temporal son las segundas derivadas temporales de estas coordenadas (aceleraciones). Su aspecto general es:

<center><math>\ddot{\qs}_\is=f(\qs_\js,\dot{\qs}_\js,\ddot{\qs}_\js,\text{parámetros dinámicos, parámetros geométricos})</math></center>

La dependencia en las segundas derivadas temporales <math>(\ddot{q}_j)</math> siempre es lineal, mientras que la dependencia en las coordenadas y las velocidades <math>(q_i,\dot{q}_j)</math> puede ser de cualquier tipo. Los parámetros dinámicos son la masa de los elementos y los asociados a su distribución en el espacio, y los parámetros asociados a las interacciones sobre el sistema (constantes de muelles y amortiguadores, coeficientes de fricción, constantes del campo gravitatorio...); los parámetros geométricos tienen que ver con la forma de los elementos del sistema (distancias y ángulos).

:* [[D2.Fuerzas de interacción entre particulas#D2.6 Interacción a través de actuadores|'''Acciones de los actuadores''']]: son las fuerzas (si se trata de actuadores lineales) y momentos (si son actuadores rotacionales) necesarios para garantizar unas evoluciones prefijadas de los GL que controlan. Como se ha comentado en la [[D2.Fuerzas de interacción entre particulas#D2.6 Interacción a través de actuadores|'''sección D2.6''']], en algunos casos se puede considerar que las acciones de los actuadores son datos, y entonces las incógnitas asociadas son las evoluciones de los GL que controlan.

:* [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos|'''Fuerzas y momentos de enlace''']]: el número de incógnitas asociadas a los enlaces depende de la descripción que se haga de ellos ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|'''enlaces directos''']], [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''enlaces indirectos''']]). Cuando un problema de dinámica es indeterminado, la indeterminación siempre se refiere a las componentes de los torsores de enlace, nunca a los GL (libres o forzados).

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---------
==D4.1 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias galileanas==

Consideremos un sistema de partículas de materia constante ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Cantidad de Movimiento''' ('''TCM''') se obtiene a partir de la aplicación de la segunda ley de Newton a cada partícula P del sistema. Si la referencia que se considera es galileana:

<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, donde <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> es la fuerza resultante de interacción sobre '''P'''.

[[Archivo:D4-1-esp.png|thumb|center|300px|link=]]
<center>'''Figura D4.1''' Fuerzas sobre una partícula de un sistema de partículas de materia constante</center>

La fuerzas que actúan sobre cada partícula se pueden clasificar en dos grupos: internas (que provienen de la interacción con otras partículas del sistema) y externas (asociadas a las interacciones con elementos externos al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si estas ecuaciones se suman para todas las partículas, las fuerzas internas entre parejas de partículas se cancelan dos a dos por el principio de acción y reacción:

<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\:\acc{P}{RGal}</math></center>

El término de la izquierda es la resultante de fuerzas externas sobre el sistema, y se suele escribir simplemente como <math>\sum\F{ext}</math>. El de la derecha se puede reescribir como <math>\Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math>, donde M es la masa total del sistema <math>\left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El término <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math> es una aceleración ponderada, donde la ponderación es proporcional a la masa de cada partícula. Esta aceleración se asocia a un punto denominado '''centro de masas''' (o '''centro de inercia''') del sistema, y en este curso se designa con la letra '''G'''. Para una referencia cualquiera, pues, la cinemática de G queda descrita por las ecuaciones ('''Figura D4.2'''):

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center>

[[Archivo:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
<center>'''Figura D4.2''' Centro de masas (o de inercia) de un sistema de materia constante</center>

En el caso de conjuntos continuos de partículas (como son un conjunto de sólidos rígidos, deformables, o fluidos), el sumatorio para partículas es de hecho una integral:

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center>

Finalmente, el TCM se escribe como:

<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\:\acc{G}{RGal}</math></center>

Esta ecuación se parece mucho a la [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.5 Segunda ley de Newton (ley fundamental de la dinámica)|'''segunda ley de Newton''']]: el centro de masas '''G''' se comporta como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema, y sobre la que actuasen todas las fuerzas externas al sistema. A pesar del paralelismo entre el TCM y la ecuación de dinámica de la partícula, hay dos diferencias fundamentales:

:*la masa del sistema no está localizada en '''G''' (puede ser incluso que '''G''' esté situado en una zona del sistema sin masa, como en el caso de una anilla homogénea);

:*las fuerzas externas no están aplicadas a '''G''' en general.

El TCM recibe este nombre porque permite conocer la evolución, a partir del conocimiento del [[C1. Configuración de un sistema mecánico|'''estado mecánico''']] inicial y de las interacciones externas, de la cantidad de movimiento del sistema (que, en una referencia cualquiera R, se define como <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R}</math>):

<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\acc{G}{RGal}=\dert{\Ms\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center>

La localización del centro de masas en los sistemas que se estudian (tanto si es un único sólido rígido como un sistema multisólido) se presenta brevemente en la [[D5. Tensor de inercia#D5.1 Centro de masas|'''sección D5.1''']]. Para sólidos homogéneos de geometría muy simple, la posición de '''G''' se puede deducir a menudo de las simetrías del sólido.

En problemas planos (de cinemática 2D), sólo las dos componentes del TCM comprendidas en el plano son interesantes.

------------
------------

==D4.2 Ejemplos de aplicación del TCM==

<div>
====✏️ EJEMPLO D4.1: cálculo de una fuerza de enlace ====

------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex1-1-neut.png|mthumb|center|180px|link=]]
|Los tres bloques homogéneos son lisos y están en contacto entre ellos y con un suelo horizontal, también liso. Se trata de investigar el valor de la fuerza horizontal de enlace entre los bloques Q y S cuando se aplica una fuerza horizontal F al bloque de la izquierda.
Todos los enlaces que aparecen en este sistema son contactos multipuntuales entre superficies lisas. Por tanto, cada torsor asociado, caracterizado en un punto del contacto correspondiente, contiene una componente de fuerza y una de momento ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|ejemplo D3.4]]). Aun así, en la aplicación del TCM sólo intervienen las fuerzas, y por tanto no se representan los momentos en las figuras siguientes.
|}

Para que la fuerza de enlace <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparezca en la componente horizontal del TCM, hay que aplicar el teorema a un sistema donde esta fuerza sea externa. Por ejemplo, al bloque S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>.

[[Archivo:D4-Ex1-2-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]

Esta ecuación contiene dos incógnitas: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> y <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ya que el movimiento de los tres bloques provocado per la fuerza F es el mismo, la aceleración se puede obtener con el TCM aplicado a todo el sistema:

<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center>

</div>
<div>

====✏️ EJEMPLO D4.2: movimiento inicial de un sistema ====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex2-1-esp.png|thumb|center|300px|link=]]
|Los bloques homogéneos están inicialmente en reposo sobre un suelo rugoso, y unidos mediante un muelle comprimido con una tensión <math>\Fs_0=\ms\gs</math> y un hilo inextensible. En un cierto instante, se corta el hilo y el sistema empieza a moverse.
|}

Se trata de calcular la aceleración del centro de inercia del sistema respecto al suelo. Esta aceleración se puede obtener a partir de la componente horizontal del TCM aplicado a todo el sistema. El muelle es interno, y por tanto su fuerza no aparece: <math>\F{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{suelo}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.

Las fuerzas que el suelo ejerce sobre cada uno de los bloques pueden ser de enlace (si los bloques no se mueven, y entonces son incógnitas), o de fricción (si los bloques se mueven respecto al suelo, en cuyo caso son formulables). También puede ocurrir que un bloque deslice y el otro no.

El valor de una fuerza de enlace se adapta para garantizar una restricción. En el caso de los bloques, hay que investigar si estas fuerzas pueden alcanzar el valor necesario per evitar que los bloques deslicen sobre el suelo, y están acotadas por el valor del coeficiente de fricción estática entre bloques y suelo:

<math>|\F{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math>

<math>|\F{\text{suelo}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{sueloghtarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math>

Si se aplica el TCM a cada bloque por separado, la fuerza deluelle pasa a ser externa. Esta fuerza (de valor mg) puede ser contrarrestada por la fuerza de enlace en el caso del bloque de masa 2m (por tanto, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), pero no en el del bloque de masa m:

[[Archivo:D4-Ex2-2-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

La aplicación del TCM al bloque de masa m conduce a:

<math>\left.\begin{aligned}
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{suelo}\rightarrow2\ms}+\F{\text{muelle}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math>

Finalmente: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.

</div>
<div>
====✏️ EJEMPLO D4.3: estudio de una condición límite ====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]
|La esfera homogénea de masa M descansa sobre dos cuñas idénticas, de masa m, que se encuentran sobre el suelo. Entre esfera y cuñas no hi hay rozamiento, pero entre cuñas y suelo hay rozamiento de coeficiente <math>\mu</math>. El sistema se encuentra inicialmente en reposo respecto al suelo. Se trata de determinar el valor máximo de M, en función de m, que permite que el sistema se mantenga en reposo.
|}

Si no se mueve nada, las fuerzas horizontales de interacción entre suelo y cuñas son de enlace y no superan el valor límite <math>/mu\ns</math> (donde N es la fuerza normal que cada cuña recibe del suelo). El torsor de enlace del suelo sobre las cuñas contiene también un momento resultante perpendicular a la figura. Si se quiere estudiar la posibilidad de vuelque de las cuñas, este momento es relevante. Pero en este ejemplo, la forma de las cuñas garantiza que no vuelquen, y se trabaja sólo con las fuerzas.

La aplicación del TCM a todo el sistema, a una cuña y a la esfera conduce a las ecuaciones siguientes:

[[Archivo:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]

<center>
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"
|- style="vertical-align:top;"
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + cuñas

<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: cuña de la izquierda

<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera

<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math>
|}</center>

Combinando las dos últimas ecuaciones: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor máximo de M para el que aún hay equilibrio corresponde a la situación en la que la fuerza tangencial de enlace T toma el valor máximo posible: <math>\Ts = \Ts_{\text{máx}}=\mu\Ns</math>. Teniendo en cuenta que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{máx}}+2\ms)\gs</math>:

<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{máx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{máx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{máx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{máx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math>

</div>

------------
------------

==D4.3 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias no galileanas==

La versión del TCM en una referencia no galileana NGal se obtiene también a partir de la [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.7 Dinámica de la partícula en referencias no galileanas|'''segunda ley de Newton aplicada a cada partícula''']] (o cada diferencial de masa) del sistema en la referencia NGal. En principio, pues, esta ecuación contendrá dos fuerzas de inercia: la de arrastre y la de Coriolis ('''Figura D4.3'''):

<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,

donde <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> y <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math>

[[Archivo:D4-3-esp.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.3:''' Fuerzas de inercia en una referencia no galileana</center>

Sumando las ecuaciones para todas las partículas, se obtiene: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math>, donde M es la masa total del sistema.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
------
:
Por el principio de acción y reacción, la suma para todas las partículas de las fuerzas de interacción conduce a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math>

En cuanto a las fuerzas de inercia, al ser proporcionales a la aceleración de arrastre y de Coriolis de cada partícula, su suma para todas las partículas corresponde a la cinemática ponderada que define el [[D4. Teoremas vectoriales#D4.2 Ejemplos de aplicación del TCM|'''centro de masas''']]:

Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el
centre de masses (secció D4.2):

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

Así pues: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math>

</div>

<div>
====✏️ EJEMPLO D4.4: desplazamiento vibratorio====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
|El bloque de masa m está inicialmente en reposo sobre un soporte que oscila respecto al suelo de acuerdo con el gráfico de velocidad que se muestra en la figura. Se trata de investigar la posibilidad de que el bloque deslice sobre el soporte. La condición de reposo del bloque respecto al soporte (que es una referencia no galileana ya que tiene un movimiento acelerado respecto al suelo) pide:

<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sop\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> porque <math>\velang{sop}{T} = \vec{0}</math>
|}

La fuerza de arrastre sobre el bloque es estrictamente horizontal. Por tanto, la componente vertical de esta ecuación conduce a <math>N = mg</math>. En cuanto a la componente horizontal, contendrá la fuerza de interacción entre bloque y soporte. Si el bloque no desliza sobre el soporte, esta fuerza es de enlace, y su valor está acotado: <math>0\leq\mid\Fs_{sop\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si desliza, es una fuerza de fricción de valor <math>\mu\ms\gs</math>, opuesta a la velocidad de deslizamiento.

Entre <math>t=0</math> y <math>t = 0,4s</math>, la aceleración del soporte respecto al suelo es <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math>, y por tanto la fuerza de arrastre es <math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$soporte}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor está dentro del margen de valores permitidos para la fuerza de enlace horizontal del soporte sobre el bloque. Por tanto, esta fuerza tomará el valor <math>\F{sop\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>,, contrarrestará la<math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs}</math> y se mantendrá el reposo entre los dos elementos.

Entre <math>t=0,4s</math> y <math>t = 0,6s</math>, la aceleración del soporte respecto al suelo es 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Por tanto, <math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. Al sobrepasar el valor máximo de la fuerza horizontal de enlace, no podrá ser contrarrestada. El bloque empezará a deslizar, y la fuerza horizontal de interacción entre soporte y bloque será de fricción:

<math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} + \F{sop\rightarrow bloque}^{fricción} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sop} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

En el instante <math>t = 0,6s</math>, la velocidad del bloque respecto al soporte es

<math>\vel{G}{sop} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.

Aunque entre en la fase en la que <math>\mid\Fcal{ar}{sop\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la fuerza horizontal entre soporte y bloque sigue siendo de fricción <math>(\F{sop\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> hasta conseguir parar el bloque.

La aceleración del bloque respecto al soporte es:

<math>\acc{G}{sop} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

Al tratarse de un movimiento uniformemente desacelerado, es fácil calcular el instante <math>t_f</math> para el que el bloque deja de deslizar:

<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sop} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sop} + \acc{$\Gs,t_f$}{sop}(t_f - t_i)</math>,
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math>

En este instante, la fuerza del soporte sobre el bloque pasa a ser de enlace, y nos encontramos en una situación análoga a la inicial. Por tanto, el deslizamiento no volverá a producirse hasta <math>\ts = 1,4s</math>. El estudio para los intervalos posteriores sigue los mismos pasos que el estudio del intervalo <math>[0,1,4s]</math>. La figura muestra la evolución de la cinemática del bloque respecto al soporte, y de las fuerzas que actúan sobre él.

[[Archivo:D4-Ex4-2-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

</div>

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==D4.4 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulación general==

La dinámica de un sólido rígido (y por tanto, de un sistema multisólido) no queda nunca totalmente resuelta con el TCM cuando el sólido gira: el TCM sólo informa sobre el movimiento de un punto ('''G'''), y no sobre la rotación.

El '''Teorema del Momento Cinético''' (TMC) se encuentra enunciado de dos maneras distintas en la literatura. En este curso, se ha optado por una formulación paralela a la del TCM: a la izquierda aparecen términos que sólo tienen que ver con las interacciones externas sobre el sistema, mientras que a la derecha aparece la derivada temporal de un vector que depende sólo de la geometría de masas del sistema y de su [[C1. Configuración de un sistema mecánico#|'''estado mecánico''']].

Como ya se ha visto cuando se introdujo el concepto de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor de un sistema de fuerzas''']], lo que se relaciona con la rotación de un sólido es el momento de las fuerzas, no la fuerza resultante. Por tanto, si bien el TMC se demuestra también a partir de la segunda ley de Newton aplicada a cada diferencial de masa del sistema, habrá que transformar las fuerzas que aparecen en momento de estas fuerzas respecto a un punto '''Q'''.

Estas dos consideraciones (formulación paralela al TCM y necesidad de escoger un punto '''Q''' para calcular el momento de las fuerzas) lleva a partir de la formulación de la segunda ley de Newton en la '''Referencia que se Traslada con Q (RTQ)''' respecto a una referencia galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, esta referencia no es galileana, y por tanto hay que tener en cuenta en principio las [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''fuerzas de inercia de arrastre''']] ('''Figura D4.3''').

[[Archivo:D4-4-esp.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D4.4:''' Fuerzas de inercia en la Referencia que se Traslada con un punto '''Q''' (RTQ)</center> 

Consideremos un sistema de partículas con materia constante. La segunda ley de Newton aplicada a cada partícula del sistema y en la RTQ es: 

<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , 

donde <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , y <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ya que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>. 

Si los dos lados de la ecuación se multiplican vectorialmente por <math>\QPvec</math> y se suma para todas las partículas (o elementos de masa) del sistema, se obtiene el TMC en el punto '''Q''':

<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math> 

donde <math>\Ms</math> es la masa total del sistema, y <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> es el '''momento cinético del sistema respecto al punto Q'''. 

Si el sistema tiene elementos continuos (por ejemplo, un sistema con N sólidos rígidos <math>S_i</math>), el sumatorio para partículas es de hecho una integral:

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====

La segunda ley de Newton para cada elemento de masa multiplicada vectorialmente por <math>\QPvec</math es:

<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math>

El término de la derecha se puede reescribir como:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

Al ser '''Q''' un punto de la RTQ, se puede tomar como origen de un vector de posición de '''P''' en esta referencia. Por tanto:

<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

Teniendo en cuenta que la masa es constante:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math>

La suma de este término para todos los elementos '''P''' conduce a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

Si las fuerzas de interacción sobre cada partícula '''P''' se clasifican en internas y externas, la suma para todas las partículas del sistema del lado izquierdo de la primera ecuación se convierte en:

<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math>

<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> 

ya que el principio de acción y reacción garantiza que el momento total de una pareja de fuerzas de acción y reacción es nulo: 

<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math> 

Agrupando todos los términos: 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

</div>

---------
---------

==D4.5 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulaciones particulares==
El TMC toma expresiones más sencillas cuando el punto '''Q''' es fijo a una referencia galileana o cuando es el centro de masas del sistema.

* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, llamamos a esta versión “TMC en punto fijo”, donde se sobreentiende que “fijo” quiere decir “fijo a una referencia galileana”. En este caso, normalmente utilizaremos la letra '''O''' para designar el punto '''Q'''.

* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math> Hay que notar que, si bien la expresión es similar a la versión en punto fijo, el centro de masas '''G''' no tiene por qué ser fijo a una referencia galileana.

Cuando '''Q''' no es ni un punto fijo a RGal ni coincide con el centro de masas, se suele hablar de la versión del TMC “en punto móvil”. Aunque '''Q''' sea un punto móvil respecto a RGal, el término asociado a las fuerzas de inercia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> puede ser nulo si '''Q''' se mueve a velocidad constante respecto a RGal, o si su aceleración respecto a RGal es paralela a <math>\QGvec</math>.

<center>
{| class="wikitable"
|+
|-
! '''TMC en punto fijo''' !! '''TMC en '''<math>\Gs</math> !! '''TMC en punto móvil '''<math>\Qs</math>
|-
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center>
||
<center>
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center>
||
<center>
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math> 

<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center>

|}
</center>

El vector momento cinético <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no es sencillo de calcular en general, y se presenta en la [[D5. Tensor de inercia|'''unidad D5''']].

En problemas de cinemática plana (2D), si el momento cinético <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sólido del sistema que se estudia es paralelo a la velocidad angular del sólido <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que es de dirección ortogonal al plano del movimiento), sólo la componente del TMC perpendicular al plano es interesante. Se dice entonces que el problema es de dinámica plana (2D), y el problema se puede hacer a partir de dos componentes del TCM y de una del TMC.

En problemes d’estàtica, tant la quantitat de moviment com el moment cinètic a qualsevol punt són nuls permanentment, i per tant són nul·les també les seves derivades temporals. L’estudi de la dinàmica en un pla també es pot fer a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.

<div>
===TMC en un punto de contacto entre dos sólidos===
Un enlace que aparece a menudo en los sistemas mecánicos es el contacto puntual entre parejas de sólidos (S1 y S2, por ejemplo). Este enlace puede introducir entre 1 y 3 incógnitas de enlace (según la rugosidad de las superficies y la cinemática del contacto – con o sin deslizamiento). Cuando estas fuerzas no se quieren calcular, es tentador aplicar el TMC en el punto de contacto '''J''' (ya que su momento respecto a '''J''' es nulo). 

[[Archivo:TMCaJ-0-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

La aplicación del TMC en '''J''' es muy delicada. Hay que precisar de qué punto '''J''' se habla ([[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''ejemplo C5-1.8''']]): si se trata del J del sólido S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sólido S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math>, o bien si es el punto geométrico de contacto <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math>. Por un lado, estos tres puntos tienen cinemáticas distintas <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math>, y el término complementario asociado al momento de las fuerzas de inercia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> es distinto. Por otro lado, si por ejemplo el TMC se aplica al sólido S1, hay que tener presente que, aunque <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertenece a S1 y se puede calcular el momento cinético a partir del tensor de inercia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> y <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no pertenecen a S1, y hay que hace la descomposición baricéntrica para calcular este vector.

Finalmente, ya que hay que derivar el momento cinético, hay que calcularlo en una configuración general (es decir, cuando '''J''' no es aún el punto de contacto), y sólo después de haber hecho la derivada se puede particularizar el resultado a la configuración en que '''J''' es el punto de contacto. Como ilustración de todo ello, el esquema siguiente muestra la aplicación del TMC a una rueda con movimiento plano que toca al suelo y desliza.

[[Archivo:TMCaJ-1-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{rueda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{rueda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJrueda}(\Js_\mathrm{rueda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{rueda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJrueda}(\Js_\mathrm{rueda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math>
</center> 

[[Archivo:TMCaJ-2-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}
\end{array}\right.
</math> 

[[Archivo:TMCaJ-3-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)
\end{array}\right.
</math>
</center></center>
</div>

------
------

==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==
<div>
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex5-1-esp.png|thumb|left|180px|link=]]
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:
[[Archivo:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
|}

En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant: 

<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math> 

Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math>

Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math>

</div>

<div>
====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|left|230px|link=]]
|Els blocs pengen de dos fils inextensibles lligats a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de calcular l’acceleració angular de les politges. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :
[[Archivo:D4-Ex6-2-neut.png|thumb|center|340px|link=]]
|}

En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> : 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math> 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math> 

Per la definició de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs: 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math> 

<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math> 

[[Archivo:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
Resolución alternativa 

Si se aplica el TMC al punto '''O''' para el sistema formado por las poleas y las cuerdas, el peso de los bloques ya no aparece como interacción externa, pero aparecen en cambio las tensiones de las dos cuerdas (que son incógnitas de enlace).

El momento cinético del sistema es nulo porque no tiene masa: 

SIST: poleas + cuerdas 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math> 
[[Archivo:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]

La aplicación del TCM a cada uno de los bloques genera dos ecuaciones más: 

SIST: bloque de 10kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloque}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math> 

SIST: bloque de 5kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloque}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math> 

La resolución del sistema de ecuaciones conduce a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>. 

La primera resolución es más rápida (solo utiliza una ecuación escalar), pero implica el cálculo del momento cinético. Esta segunda resolución es más larga (sistema de tres ecuaciones) pero no requiere calcular ningún momento cinético.

</div>

<div>

====✏️ EJEMPLO D4.7: dinámica longitudinal de un vehículo====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex7-1-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|El vehículo sin suspensiones se mueve sobre una carretera rectilínea. La masa de las ruedas es despreciable comparada con la del resto de los elementos, y se considera que su contacto con el suelo es puntual. Se trata de analizar las fuerzas normales de enlace entre suelo y ruedas.

Es un problema de dinámica plana. Las fuerzas externas sobre el vehículo se reducen al peso y al enlace con el suelo. Si la aceleración del chasis respecto al suelo es un dato, la aplicación del TCM conduce a:
|}

{|
|

<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}

\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)
\end{aligned}\right.</math>

donde <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> y <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> son las fuerzas normal y tangencial que en total reciben las dos ruedas delanteras y las dos traseras, respectivamente.

El TMC en G conduce a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs}) + \Ts_{\ds\rs}] =0</math> (el momento cinético <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> es permanentemente nulo ya que las ruedas no tienen masa, y el resto del vehículo tiene movimiento nulo respecto a la RTG).
|
[[Archivo:D4-Ex7-2-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|}

Resolviendo el sistema de ecuaciones: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math>

Este resultado es válido para cualquier valor de <math>\as_\Ls</math>:

:*Situación estática (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la fuerza normal es mayor en las ruedas que tienen el eje más cerca de '''G'''.

:*Acelerando (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hay un trasvase de fuerza de delante hacia detrás (se cargan las ruedas traseras y se descargan las delanteras). Si la aceleración <math>|\as_\Ts|</math> es suficientemente elevada, la fuerza normal delantera pasa a ser negativa, cosa que indica que se ha perdido el contacto y el vehículo vuelca en sentido antihorario. Entonces, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el chasis pasa a tener, en principio, aceleración angular, y como consecuencia el centro de masas '''G''' adquiere aceleración vertical.

:*Frenando (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hay un trasvase de fuerza del atrás hacia delante (se descargan las ruedas traseras y se cargan las delanteras). Como en el caso precedente, hay un valor crítico de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el vuelco, esta vez en sentido horario.


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</div>

==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==

La aplicación de los teoremas vectoriales a los [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''Sòlidos Auxiliares de Enlace''']] (SAE) es sencilla ya que los términos de la derecha (variación de cantidad de movimiento y variación de momento cinético) son nulos por ser nula su masa:

<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{cualquier} \hspace{0.2cm} \mathrm{punto}) \approx \overline{0}.</math> 

Para el caso de un SAE (sólido S) que conecta dos sólidos rígidos S1 y S2 ('''Figura D4.5'''), estas ecuaciones permiten demostrar que el torsor que actúa sobre S1 se puede obtener a partir de una ecuación de caracterización analítica donde la cinemática del punto P de caracterización (que tiene que pertenecer al sólido S1) se evalúa en la referencia solidaria a S2:

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math> 

(Cuando se trata de velocidades, es importante especificar a qué sólido pertenece el punto P. Esto, en cambio, es irrelevante cuando se trata de momentos: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>). 

[[Archivo:D4-5-esp.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.5:'''Sólido Auxiliar de Enlace entre dos sólidos de masa no nula</center> 

<div>
=====💭 Demostración ➕=====

Los teoremas vectoriales aplicados sobre el SAE implican que los torsores de enlace que recibe de S1 y S2 en un mismo punto '''P''' han de sumar cero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)
\end{array}\right.</math> 

Por otro lado, estos torsores cumplen la [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|'''ecuación de caracterización analítica''']]:

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math> 

Si se combinan todas las ecuaciones anteriores, se obtiene: 

<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math> 

Una [[C3. Composición de movimientos#C3.1 Composición de velocidades|'''composición de movimientos''']] permite reescribir la ecuación anterior de manera más compacta:

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math> 

Finalmente: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math>

</div>

<div>
====✏️ EJEMPLO D4.8: dinámica longitudinal de un vehículo ====
---------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex8-1-esp.png|thumb|left|220px|link=]]
|En el vehículo del ejemplo D4.7, se considera que la tracción es posterior. Esto quiere decir que el motor del vehículo actúa entre el chasis y las ruedas posteriores, mientras que las delanteras sólo están sometidas a interacciones de enlace (articulación con el chasis y contacto con el suelo).

Si se tratan las ruedas delanteras como SAE, el análisis cinemático del chasis respecto al suelo para la caracterización del enlace a través de las ruedas delanteras conduce a un torsor en el centro de la rueda (que es fijo al chasis) con sólo una componente de fuerza:
|}
[[Archivo:D4-Ex8-2-esp.png|thumb|center|370px|link=]]
La existencia de una componente horizontal de fuerza entre las ruedas posteriores (¡necesaria para acelerar o frenar el vehículo!) está asociada al par motor. Si se aplican los teoremas vectoriales a las ruedas posteriores, las interacciones externas a tener en cuenta son el enlace con el suelo, la articulación con el chasis y el par motor <math>\Gamma</math>:
[[Archivo:D4-Ex8-3-esp.png|thumb|center|370px|link=]]

<math>\ms_\mathrm{ruedas} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{TCM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dv}=\Ns'_\mathrm{dv} , \Ts_\mathrm{dv}=\Ts'_\mathrm{dv} \\
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{en} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dv}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dv}=\Gamma / \rs
\end{array}\right. </math> 

La fuerza tangencial sobre las ruedas motrices es directamente proporcional al par motor que se les aplica. Sin embargo, hay que recordar que, como fuerza tangencial de enlace, su valor está limitado por <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>. Esto permite calcular la aceleración máxima que puede adquirir el vehículo (mientras la rueda delantera no pierda el contacto con el suelo):

<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehículo})\right]_\mathrm{máx}= \Ts_\mathrm{dr,máx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>. 

En terrenos de bajo rozamiento (<math>\mu_\es</math> de valor bajo), un motor capaz de suministrar un par máximo alto es inútil: quien pone límite a la aceleración es el valor del coeficiente de fricción <math>\mu_\es</math>: <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math>.

En terrenos de alto rozamiento, si el par máximo es bajo, es él el que pone límite a la aceleración: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la rueda delantera no pierde contacto con el suelo).


</div>

---------
---------

==D4.8 Descomposición baricéntrica del momento cinético==

La versión del TMC que se ha presentado permite escoger libremente el punto '''Q''' de aplicación. El criterio para escogerlo se basa en lo que se quiera investigar (una fuerza de enlace, una ecuación del movimiento...). En la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D|'''unidad D6''']] se discute este criterio.

En algunos casos, puede ser interesante escoger un punto '''Q''' que no pertenezca a ningún elemento material del sistema. Entonces, es útil referir el cálculo del momento cinético <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al momento cinético en el centro de masas '''G''' del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Esto se conoce con el nombre de '''descomposición baricéntrica''' del momento cinético:

<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>,

donde el superíndice <math>\oplus</math> indica que el momento cinético debe calcularse como si el sistema se hubiera reducido a una partícula concentrada en '''G''' con masa igual a la masa total del sistema (M):

<math>\H{Q}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math>

<div>
=====💭 Demostración ➕=====

:La definición de momento cinético de un sólido rígido S es: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocidad <math>\vel{P}{RTQ}</math> se puede escribir como suma de dos términos si se aplica una composición de movimientos:

:<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math> 

:Por tanto: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.

:La definición de [[D4. Teoremas vectoriales#D4.1 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias galileanas|'''centro de masas''']] lleva a reescribir el segundo término como:

:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincide con el momento cinético respecto a '''Q''' de una partícula de masa M situada en '''G''': <math>\QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ} = \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.

:En el primer término de la expresión de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, se puede descomponer <math>\QPvec</math> en suma de dos términos:

:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math>

:Por definición de centro de masas: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.

:Por tanto: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.

</div>

<div>
===== ✏️ EJEMPLO D4.9: descomposición baricéntrica =====
----------

{|

|[[Archivo:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|El sólido está formado por dos barras de masa despreciable y cuatro partículas ('''P''') con masa m unidas a los extremos de las barras. El sólido está articulado a un soporte que puede moverse a lo largo de una guía fija al suelo. Su momento cinético en G es:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math>

La RTG es fija al soporte, y la velocidad de las partículas respecto a esta referencia es proporcional a la rotación <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Por tanto:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math>
|}
:El momento cinético en '''O''' (fijo al suelo) se puede calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mediante descomposición baricéntrica:

:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{O}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times 4\ms\vel{G}{T} =</math>
<math>\hspace{1cm} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math>


</div>

© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecánica:Derechos de autor |Todos los derechos reservados]]
-------------

<center>
[[D3. Interacciones entre sólidos rígidos|<<< D3. Interacciones entre sólidos rígidos]]

[[D5. Tensor de inercia|D5. Tensor de inercia >>>]]
</center>

D4. Teoremas vectoriales

2026-02-24T17:18:28Z

Eantem:

<div class="noautonum">__TOC__</div>

<math>
\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
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\begin{Bmatrix}
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</math>

Los '''Teoremas Vectoriales''' son una herramienta para resolver la dinámica de los sistemas mecánicos, y se obtienen a partir de la ley fundamental de la dinámica ([[D1.Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.5 Segunda ley de Newton (ley fundamental de la dinámica)|'''segunda ley de Newton''']]) y del principio de acción y reacción ([[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''tercera ley de Newton''']]).

En este curso, es presenta sólo la versión de los teoremes para el caso de sistemas de materia constante. Aunque esto incluye sistemas con fluidos, los ejemplos de aplicación en este curso son esencialmente sistemas multisólido formados por sólidos rígidos.

Cuando se aborda un problema, es esencial identificar las incógnitas que contiene el sistema que se estudia y analizar si los teoremas vectoriales proporcionan el número suficiente de ecuaciones para resolverlas todas (¡hay que saber si el problema es determinado o indeterminado!). Las incógnitas se pueden clasificar en dos grupos:
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Incógnitas asociadas a [[C2._Movimiento_de_un_sistema_mecánico#C2.7_Grados_de_libertad|'''grados de libertad''']]

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---------
:* Evolución temporal de los [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.6 Grados de libertad de un sistema mecánico|'''grados de libertad''']] libres (no controlados por actuadores) del sistema. Las ecuaciones que las rigen se denominan '''ecuaciones del movimiento'''. Si los GL libres se describen mediante derivadas temporales de coordenadas (<math>\dot{q}_i</math>, con i=1,2,3...), su evolución temporal son las segundas derivadas temporales de estas coordenadas (aceleraciones). Su aspecto general es:

<center><math>\ddot{\qs}_\is=f(\qs_\js,\dot{\qs}_\js,\ddot{\qs}_\js,\text{parámetros dinámicos, parámetros geométricos})</math></center>

La dependencia en las segundas derivadas temporales <math>(\ddot{q}_j)</math> siempre es lineal, mientras que la dependencia en las coordenadas y las velocidades <math>(q_i,\dot{q}_j)</math> puede ser de cualquier tipo. Los parámetros dinámicos son la masa de los elementos y los asociados a su distribución en el espacio, y los parámetros asociados a las interacciones sobre el sistema (constantes de muelles y amortiguadores, coeficientes de fricción, constantes del campo gravitatorio...); los parámetros geométricos tienen que ver con la forma de los elementos del sistema (distancias y ángulos).

:* [[D2.Fuerzas de interacción entre particulas#D2.6 Interacción a través de actuadores|'''Acciones de los actuadores''']]: son las fuerzas (si se trata de actuadores lineales) y momentos (si son actuadores rotacionales) necesarios para garantizar unas evoluciones prefijadas de los GL que controlan. Como se ha comentado en la [[D2.Fuerzas de interacción entre particulas#D2.6 Interacción a través de actuadores|'''sección D2.6''']], en algunos casos se puede considerar que las acciones de los actuadores son datos, y entonces las incógnitas asociadas son las evoluciones de los GL que controlan.

:* [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos|'''Fuerzas y momentos de enlace''']]: el número de incógnitas asociadas a los enlaces depende de la descripción que se haga de ellos ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|'''enlaces directos''']], [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''enlaces indirectos''']]). Cuando un problema de dinámica es indeterminado, la indeterminación siempre se refiere a las componentes de los torsores de enlace, nunca a los GL (libres o forzados).

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==D4.1 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias galileanas==

Consideremos un sistema de partículas de materia constante ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Cantidad de Movimiento''' ('''TCM''') se obtiene a partir de la aplicación de la segunda ley de Newton a cada partícula P del sistema. Si la referencia que se considera es galileana:

<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, donde <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> es la fuerza resultante de interacción sobre '''P'''.

[[Archivo:D4-1-esp.png|thumb|center|300px|link=]]
<center>'''Figura D4.1''' Fuerzas sobre una partícula de un sistema de partículas de materia constante</center>

La fuerzas que actúan sobre cada partícula se pueden clasificar en dos grupos: internas (que provienen de la interacción con otras partículas del sistema) y externas (asociadas a las interacciones con elementos externos al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si estas ecuaciones se suman para todas las partículas, las fuerzas internas entre parejas de partículas se cancelan dos a dos por el principio de acción y reacción:

<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\:\acc{P}{RGal}</math></center>

El término de la izquierda es la resultante de fuerzas externas sobre el sistema, y se suele escribir simplemente como <math>\sum\F{ext}</math>. El de la derecha se puede reescribir como <math>\Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math>, donde M es la masa total del sistema <math>\left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El término <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math> es una aceleración ponderada, donde la ponderación es proporcional a la masa de cada partícula. Esta aceleración se asocia a un punto denominado '''centro de masas''' (o '''centro de inercia''') del sistema, y en este curso se designa con la letra '''G'''. Para una referencia cualquiera, pues, la cinemática de G queda descrita por las ecuaciones ('''Figura D4.2'''):

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center>

[[Archivo:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
<center>'''Figura D4.2''' Centro de masas (o de inercia) de un sistema de materia constante</center>

En el caso de conjuntos continuos de partículas (como son un conjunto de sólidos rígidos, deformables, o fluidos), el sumatorio para partículas es de hecho una integral:

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center>

Finalmente, el TCM se escribe como:

<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\:\acc{G}{RGal}</math></center>

Esta ecuación se parece mucho a la [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.5 Segunda ley de Newton (ley fundamental de la dinámica)|'''segunda ley de Newton''']]: el centro de masas '''G''' se comporta como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema, y sobre la que actuasen todas las fuerzas externas al sistema. A pesar del paralelismo entre el TCM y la ecuación de dinámica de la partícula, hay dos diferencias fundamentales:

:*la masa del sistema no está localizada en '''G''' (puede ser incluso que '''G''' esté situado en una zona del sistema sin masa, como en el caso de una anilla homogénea);

:*las fuerzas externas no están aplicadas a '''G''' en general.

El TCM recibe este nombre porque permite conocer la evolución, a partir del conocimiento del [[C1. Configuración de un sistema mecánico|'''estado mecánico''']] inicial y de las interacciones externas, de la cantidad de movimiento del sistema (que, en una referencia cualquiera R, se define como <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R}</math>):

<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\acc{G}{RGal}=\dert{\Ms\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center>

La localización del centro de masas en los sistemas que se estudian (tanto si es un único sólido rígido como un sistema multisólido) se presenta brevemente en la [[D5. Tensor de inercia#D5.1 Centro de masas|'''sección D5.1''']]. Para sólidos homogéneos de geometría muy simple, la posición de '''G''' se puede deducir a menudo de las simetrías del sólido.

En problemas planos (de cinemática 2D), sólo las dos componentes del TCM comprendidas en el plano son interesantes.

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------------

==D4.2 Ejemplos de aplicación del TCM==

<div>
====✏️ EJEMPLO D4.1: cálculo de una fuerza de enlace ====

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:
{|
|[[Archivo:D4-Ex1-1-neut.png|mthumb|center|180px|link=]]
|Los tres bloques homogéneos son lisos y están en contacto entre ellos y con un suelo horizontal, también liso. Se trata de investigar el valor de la fuerza horizontal de enlace entre los bloques Q y S cuando se aplica una fuerza horizontal F al bloque de la izquierda.
Todos los enlaces que aparecen en este sistema son contactos multipuntuales entre superficies lisas. Por tanto, cada torsor asociado, caracterizado en un punto del contacto correspondiente, contiene una componente de fuerza y una de momento ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|ejemplo D3.4]]). Aun así, en la aplicación del TCM sólo intervienen las fuerzas, y por tanto no se representan los momentos en las figuras siguientes.
|}

Para que la fuerza de enlace <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparezca en la componente horizontal del TCM, hay que aplicar el teorema a un sistema donde esta fuerza sea externa. Por ejemplo, al bloque S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>.

[[Archivo:D4-Ex1-2-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]

Esta ecuación contiene dos incógnitas: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> y <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ya que el movimiento de los tres bloques provocado per la fuerza F es el mismo, la aceleración se puede obtener con el TCM aplicado a todo el sistema:

<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center>

</div>
<div>

====✏️ EJEMPLO D4.2: movimiento inicial de un sistema ====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex2-1-esp.png|thumb|center|300px|link=]]
|Los bloques homogéneos están inicialmente en reposo sobre un suelo rugoso, y unidos mediante un muelle comprimido con una tensión <math>\Fs_0=\ms\gs</math> y un hilo inextensible. En un cierto instante, se corta el hilo y el sistema empieza a moverse.
|}

Se trata de calcular la aceleración del centro de inercia del sistema respecto al suelo. Esta aceleración se puede obtener a partir de la componente horizontal del TCM aplicado a todo el sistema. El muelle es interno, y por tanto su fuerza no aparece: <math>\F{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{suelo}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.

Las fuerzas que el suelo ejerce sobre cada uno de los bloques pueden ser de enlace (si los bloques no se mueven, y entonces son incógnitas), o de fricción (si los bloques se mueven respecto al suelo, en cuyo caso son formulables). También puede ocurrir que un bloque deslice y el otro no.

El valor de una fuerza de enlace se adapta para garantizar una restricción. En el caso de los bloques, hay que investigar si estas fuerzas pueden alcanzar el valor necesario per evitar que los bloques deslicen sobre el suelo, y están acotadas por el valor del coeficiente de fricción estática entre bloques y suelo:

<math>|\F{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math>

<math>|\F{\text{suelo}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{sueloghtarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math>

Si se aplica el TCM a cada bloque por separado, la fuerza deluelle pasa a ser externa. Esta fuerza (de valor mg) puede ser contrarrestada por la fuerza de enlace en el caso del bloque de masa 2m (por tanto, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), pero no en el del bloque de masa m:

[[Archivo:D4-Ex2-2-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

La aplicación del TCM al bloque de masa m conduce a:

<math>\left.\begin{aligned}
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{suelo}\rightarrow2\ms}+\F{\text{muelle}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math>

Finalmente: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.

</div>
<div>
====✏️ EJEMPLO D4.3: estudio de una condición límite ====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]
|La esfera homogénea de masa M descansa sobre dos cuñas idénticas, de masa m, que se encuentran sobre el suelo. Entre esfera y cuñas no hi hay rozamiento, pero entre cuñas y suelo hay rozamiento de coeficiente <math>\mu</math>. El sistema se encuentra inicialmente en reposo respecto al suelo. Se trata de determinar el valor máximo de M, en función de m, que permite que el sistema se mantenga en reposo.
|}

Si no se mueve nada, las fuerzas horizontales de interacción entre suelo y cuñas son de enlace y no superan el valor límite <math>/mu\ns</math> (donde N es la fuerza normal que cada cuña recibe del suelo). El torsor de enlace del suelo sobre las cuñas contiene también un momento resultante perpendicular a la figura. Si se quiere estudiar la posibilidad de vuelque de las cuñas, este momento es relevante. Pero en este ejemplo, la forma de las cuñas garantiza que no vuelquen, y se trabaja sólo con las fuerzas.

La aplicación del TCM a todo el sistema, a una cuña y a la esfera conduce a las ecuaciones siguientes:

[[Archivo:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]

<center>
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"
|- style="vertical-align:top;"
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + cuñas

<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: cuña de la izquierda

<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera

<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math>
|}</center>

Combinando las dos últimas ecuaciones: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor máximo de M para el que aún hay equilibrio corresponde a la situación en la que la fuerza tangencial de enlace T toma el valor máximo posible: <math>\Ts = \Ts_{\text{máx}}=\mu\Ns</math>. Teniendo en cuenta que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{máx}}+2\ms)\gs</math>:

<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{máx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{máx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{máx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{máx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math>

</div>

------------
------------

==D4.3 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias no galileanas==

La versión del TCM en una referencia no galileana NGal se obtiene también a partir de la [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.7 Dinámica de la partícula en referencias no galileanas|'''segunda ley de Newton aplicada a cada partícula''']] (o cada diferencial de masa) del sistema en la referencia NGal. En principio, pues, esta ecuación contendrá dos fuerzas de inercia: la de arrastre y la de Coriolis ('''Figura D4.3'''):

<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,

donde <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> y <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math>

[[Archivo:D4-3-esp.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.3:''' Fuerzas de inercia en una referencia no galileana</center>

Sumando las ecuaciones para todas las partículas, se obtiene: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math>, donde M es la masa total del sistema.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
------
:
Por el principio de acción y reacción, la suma para todas las partículas de las fuerzas de interacción conduce a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math>

En cuanto a las fuerzas de inercia, al ser proporcionales a la aceleración de arrastre y de Coriolis de cada partícula, su suma para todas las partículas corresponde a la cinemática ponderada que define el [[D4. Teoremas vectoriales#D4.2 Ejemplos de aplicación del TCM|'''centro de masas''']]:

Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el
centre de masses (secció D4.2):

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

Así pues: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math>

</div>

<div>
====✏️ EJEMPLO D4.4: desplazamiento vibratorio====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
|El bloque de masa m está inicialmente en reposo sobre un soporte que oscila respecto al suelo de acuerdo con el gráfico de velocidad que se muestra en la figura. Se trata de investigar la posibilidad de que el bloque deslice sobre el soporte. La condición de reposo del bloque respecto al soporte (que es una referencia no galileana ya que tiene un movimiento acelerado respecto al suelo) pide:

<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sop\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> porque <math>\velang{sop}{T} = \vec{0}</math>
|}

La fuerza de arrastre sobre el bloque es estrictamente horizontal. Por tanto, la componente vertical de esta ecuación conduce a <math>N = mg</math>. En cuanto a la componente horizontal, contendrá la fuerza de interacción entre bloque y soporte. Si el bloque no desliza sobre el soporte, esta fuerza es de enlace, y su valor está acotado: <math>0\leq\mid\Fs_{sop\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si desliza, es una fuerza de fricción de valor <math>\mu\ms\gs</math>, opuesta a la velocidad de deslizamiento.

Entre <math>t=0</math> y <math>t = 0,4s</math>, la aceleración del soporte respecto al suelo es <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math>, y por tanto la fuerza de arrastre es <math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$soporte}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor está dentro del margen de valores permitidos para la fuerza de enlace horizontal del soporte sobre el bloque. Por tanto, esta fuerza tomará el valor <math>\F{sop\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>,, contrarrestará la<math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs}</math> y se mantendrá el reposo entre los dos elementos.

Entre <math>t=0,4s</math> y <math>t = 0,6s</math>, la aceleración del soporte respecto al suelo es 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Por tanto, <math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. Al sobrepasar el valor máximo de la fuerza horizontal de enlace, no podrá ser contrarrestada. El bloque empezará a deslizar, y la fuerza horizontal de interacción entre soporte y bloque será de fricción:

<math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} + \F{sop\rightarrow bloque}^{fricción} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sop} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

En el instante <math>t = 0,6s</math>, la velocidad del bloque respecto al soporte es

<math>\vel{G}{sop} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.

Aunque entre en la fase en la que <math>\mid\Fcal{ar}{sop\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la fuerza horizontal entre soporte y bloque sigue siendo de fricción <math>(\F{sop\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> hasta conseguir parar el bloque.

La aceleración del bloque respecto al soporte es:

<math>\acc{G}{sop} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

Al tratarse de un movimiento uniformemente desacelerado, es fácil calcular el instante <math>t_f</math> para el que el bloque deja de deslizar:

<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sop} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sop} + \acc{$\Gs,t_f$}{sop}(t_f - t_i)</math>,
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math>

En este instante, la fuerza del soporte sobre el bloque pasa a ser de enlace, y nos encontramos en una situación análoga a la inicial. Por tanto, el deslizamiento no volverá a producirse hasta <math>\ts = 1,4s</math>. El estudio para los intervalos posteriores sigue los mismos pasos que el estudio del intervalo <math>[0,1,4s]</math>. La figura muestra la evolución de la cinemática del bloque respecto al soporte, y de las fuerzas que actúan sobre él.

[[Archivo:D4-Ex4-2-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

</div>

-----------
-----------

==D4.4 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulación general==

La dinámica de un sólido rígido (y por tanto, de un sistema multisólido) no queda nunca totalmente resuelta con el TCM cuando el sólido gira: el TCM sólo informa sobre el movimiento de un punto ('''G'''), y no sobre la rotación.

El '''Teorema del Momento Cinético''' (TMC) se encuentra enunciado de dos maneras distintas en la literatura. En este curso, se ha optado por una formulación paralela a la del TCM: a la izquierda aparecen términos que sólo tienen que ver con las interacciones externas sobre el sistema, mientras que a la derecha aparece la derivada temporal de un vector que depende sólo de la geometría de masas del sistema y de su [[C1. Configuración de un sistema mecánico#|'''estado mecánico''']].

Como ya se ha visto cuando se introdujo el concepto de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor de un sistema de fuerzas''']], lo que se relaciona con la rotación de un sólido es el momento de las fuerzas, no la fuerza resultante. Por tanto, si bien el TMC se demuestra también a partir de la segunda ley de Newton aplicada a cada diferencial de masa del sistema, habrá que transformar las fuerzas que aparecen en momento de estas fuerzas respecto a un punto '''Q'''.

Estas dos consideraciones (formulación paralela al TCM y necesidad de escoger un punto '''Q''' para calcular el momento de las fuerzas) lleva a partir de la formulación de la segunda ley de Newton en la '''Referencia que se Traslada con Q (RTQ)''' respecto a una referencia galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, esta referencia no es galileana, y por tanto hay que tener en cuenta en principio las [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''fuerzas de inercia de arrastre''']] ('''Figura D4.3''').

[[Archivo:D4-4-esp.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D4.4:''' Fuerzas de inercia en la Referencia que se Traslada con un punto '''Q''' (RTQ)</center> 

Consideremos un sistema de partículas con materia constante. La segunda ley de Newton aplicada a cada partícula del sistema y en la RTQ es: 

<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , 

donde <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , y <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ya que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>. 

Si los dos lados de la ecuación se multiplican vectorialmente por <math>\QPvec</math> y se suma para todas las partículas (o elementos de masa) del sistema, se obtiene el TMC en el punto '''Q''':

<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math> 

donde <math>\Ms</math> es la masa total del sistema, y <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> es el '''momento cinético del sistema respecto al punto Q'''. 

Si el sistema tiene elementos continuos (por ejemplo, un sistema con N sólidos rígidos <math>S_i</math>), el sumatorio para partículas es de hecho una integral:

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====

La segunda ley de Newton para cada elemento de masa multiplicada vectorialmente por <math>\QPvec</math es:

<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math>

El término de la derecha se puede reescribir como:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

Al ser '''Q''' un punto de la RTQ, se puede tomar como origen de un vector de posición de '''P''' en esta referencia. Por tanto:

<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

Teniendo en cuenta que la masa es constante:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math>

La suma de este término para todos los elementos '''P''' conduce a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

Si las fuerzas de interacción sobre cada partícula '''P''' se clasifican en internas y externas, la suma para todas las partículas del sistema del lado izquierdo de la primera ecuación se convierte en:

<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math>

<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> 

ya que el principio de acción y reacción garantiza que el momento total de una pareja de fuerzas de acción y reacción es nulo: 

<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math> 

Agrupando todos los términos: 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

</div>

---------
---------

==D4.5 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulaciones particulares==
El TMC toma expresiones más sencillas cuando el punto '''Q''' es fijo a una referencia galileana o cuando es el centro de masas del sistema.

* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, llamamos a esta versión “TMC en punto fijo”, donde se sobreentiende que “fijo” quiere decir “fijo a una referencia galileana”. En este caso, normalmente utilizaremos la letra '''O''' para designar el punto '''Q'''.

* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math> Hay que notar que, si bien la expresión es similar a la versión en punto fijo, el centro de masas '''G''' no tiene por qué ser fijo a una referencia galileana.

Cuando '''Q''' no es ni un punto fijo a RGal ni coincide con el centro de masas, se suele hablar de la versión del TMC “en punto móvil”. Aunque '''Q''' sea un punto móvil respecto a RGal, el término asociado a las fuerzas de inercia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> puede ser nulo si '''Q''' se mueve a velocidad constante respecto a RGal, o si su aceleración respecto a RGal es paralela a <math>\QGvec</math>.

<center>
{| class="wikitable"
|+
|-
! '''TMC en punto fijo''' !! '''TMC en '''<math>\Gs</math> !! '''TMC en punto móvil '''<math>\Qs</math>
|-
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center>
||
<center>
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center>
||
<center>
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math> 

<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center>

|}
</center>

El vector momento cinético <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no es sencillo de calcular en general, y se presenta en la [[D5. Tensor de inercia|'''unidad D5''']].

En problemas de cinemática plana (2D), si el momento cinético <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sólido del sistema que se estudia es paralelo a la velocidad angular del sólido <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que es de dirección ortogonal al plano del movimiento), sólo la componente del TMC perpendicular al plano es interesante. Se dice entonces que el problema es de dinámica plana (2D), y el problema se puede hacer a partir de dos componentes del TCM y de una del TMC.

En problemes d’estàtica, tant la quantitat de moviment com el moment cinètic a qualsevol punt són nuls permanentment, i per tant són nul·les també les seves derivades temporals. L’estudi de la dinàmica en un pla també es pot fer a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.

<div>
===TMC en un punto de contacto entre dos sólidos===
Un enlace que aparece a menudo en los sistemas mecánicos es el contacto puntual entre parejas de sólidos (S1 y S2, por ejemplo). Este enlace puede introducir entre 1 y 3 incógnitas de enlace (según la rugosidad de las superficies y la cinemática del contacto – con o sin deslizamiento). Cuando estas fuerzas no se quieren calcular, es tentador aplicar el TMC en el punto de contacto '''J''' (ya que su momento respecto a '''J''' es nulo). 

[[Archivo:TMCaJ-0-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

La aplicación del TMC en '''J''' es muy delicada. Hay que precisar de qué punto '''J''' se habla ([[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''ejemplo C5-1.8''']]): si se trata del J del sólido S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sólido S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math>, o bien si es el punto geométrico de contacto <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math>. Por un lado, estos tres puntos tienen cinemáticas distintas <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math>, y el término complementario asociado al momento de las fuerzas de inercia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> es distinto. Por otro lado, si por ejemplo el TMC se aplica al sólido S1, hay que tener presente que, aunque <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertenece a S1 y se puede calcular el momento cinético a partir del tensor de inercia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> y <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no pertenecen a S1, y hay que hace la descomposición baricéntrica para calcular este vector.

Finalmente, ya que hay que derivar el momento cinético, hay que calcularlo en una configuración general (es decir, cuando '''J''' no es aún el punto de contacto), y sólo después de haber hecho la derivada se puede particularizar el resultado a la configuración en que '''J''' es el punto de contacto. Como ilustración de todo ello, el esquema siguiente muestra la aplicación del TMC a una rueda con movimiento plano que toca al suelo y desliza.

[[Archivo:TMCaJ-1-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{rueda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{rueda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJrueda}(\Js_\mathrm{rueda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{rueda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJrueda}(\Js_\mathrm{rueda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math>
</center> 

[[Archivo:TMCaJ-2-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}
\end{array}\right.
</math> 

[[Archivo:TMCaJ-3-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)
\end{array}\right.
</math>
</center></center>
</div>

------
------

==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==
<div>
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex5-1-esp.png|thumb|left|180px|link=]]
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:
[[Archivo:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
|}

En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant: 

<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math> 

Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math>

Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math>

</div>

<div>
====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|left|230px|link=]]
|Els blocs pengen de dos fils inextensibles lligats a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de calcular l’acceleració angular de les politges. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :
[[Archivo:D4-Ex6-2-neut.png|thumb|center|340px|link=]]
|}

En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> : 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math> 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math> 

Per la definició de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs: 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math> 

<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math> 

[[Archivo:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
Resolución alternativa 

Si se aplica el TMC al punto '''O''' para el sistema formado por las poleas y las cuerdas, el peso de los bloques ya no aparece como interacción externa, pero aparecen en cambio las tensiones de las dos cuerdas (que son incógnitas de enlace).

El momento cinético del sistema es nulo porque no tiene masa: 

SIST: poleas + cuerdas 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math> 
[[Archivo:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]

La aplicación del TCM a cada uno de los bloques genera dos ecuaciones más: 

SIST: bloque de 10kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloque}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math> 

SIST: bloque de 5kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloque}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math> 

La resolución del sistema de ecuaciones conduce a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>. 

La primera resolución es más rápida (solo utiliza una ecuación escalar), pero implica el cálculo del momento cinético. Esta segunda resolución es más larga (sistema de tres ecuaciones) pero no requiere calcular ningún momento cinético.

</div>

<div>

====✏️ EJEMPLO D4.7: dinámica longitudinal de un vehículo====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex7-1-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|El vehículo sin suspensiones se mueve sobre una carretera rectilínea. La masa de las ruedas es despreciable comparada con la del resto de los elementos, y se considera que su contacto con el suelo es puntual. Se trata de analizar las fuerzas normales de enlace entre suelo y ruedas.

Es un problema de dinámica plana. Las fuerzas externas sobre el vehículo se reducen al peso y al enlace con el suelo. Si la aceleración del chasis respecto al suelo es un dato, la aplicación del TCM conduce a:
|}

{|
|

<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}

\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)
\end{aligned}\right.</math>

donde <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> y <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> son las fuerzas normal y tangencial que en total reciben las dos ruedas delanteras y las dos traseras, respectivamente.

El TMC en G conduce a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs}) + \Ts_{\ds\rs}] =0</math> (el momento cinético <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> es permanentemente nulo ya que las ruedas no tienen masa, y el resto del vehículo tiene movimiento nulo respecto a la RTG).
|
[[Archivo:D4-Ex7-2-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|}

Resolviendo el sistema de ecuaciones: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math>

Este resultado es válido para cualquier valor de <math>\as_\Ls</math>:

:*Situación estática (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la fuerza normal es mayor en las ruedas que tienen el eje más cerca de '''G'''.

:*Acelerando (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hay un trasvase de fuerza de delante hacia detrás (se cargan las ruedas traseras y se descargan las delanteras). Si la aceleración <math>|\as_\Ts|</math> es suficientemente elevada, la fuerza normal delantera pasa a ser negativa, cosa que indica que se ha perdido el contacto y el vehículo vuelca en sentido antihorario. Entonces, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el chasis pasa a tener, en principio, aceleración angular, y como consecuencia el centro de masas '''G''' adquiere aceleración vertical.

:*Frenando (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hay un trasvase de fuerza del atrás hacia delante (se descargan las ruedas traseras y se cargan las delanteras). Como en el caso precedente, hay un valor crítico de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el vuelco, esta vez en sentido horario.


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---------
</div>

==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==

La aplicación de los teoremas vectoriales a los [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''Sòlidos Auxiliares de Enlace''']] (SAE) es sencilla ya que los términos de la derecha (variación de cantidad de movimiento y variación de momento cinético) son nulos por ser nula su masa:

<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{cualquier} \hspace{0.2cm} \mathrm{punto}) \approx \overline{0}.</math> 

Para el caso de un SAE (sólido S) que conecta dos sólidos rígidos S1 y S2 ('''Figura D4.5'''), estas ecuaciones permiten demostrar que el torsor que actúa sobre S1 se puede obtener a partir de una ecuación de caracterización analítica donde la cinemática del punto P de caracterización (que tiene que pertenecer al sólido S1) se evalúa en la referencia solidaria a S2:

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math> 

(Cuando se trata de velocidades, es importante especificar a qué sólido pertenece el punto P. Esto, en cambio, es irrelevante cuando se trata de momentos: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>). 

[[Archivo:D4-5-esp.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.5:'''Sólido Auxiliar de Enlace entre dos sólidos de masa no nula</center> 

<div>
=====💭 Demostración ➕=====

Los teoremas vectoriales aplicados sobre el SAE implican que los torsores de enlace que recibe de S1 y S2 en un mismo punto '''P''' han de sumar cero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)
\end{array}\right.</math> 

Por otro lado, estos torsores cumplen la [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|'''ecuación de caracterización analítica''']]:

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math> 

Si se combinan todas las ecuaciones anteriores, se obtiene: 

<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math> 

Una [[C3. Composición de movimientos#C3.1 Composición de velocidades|'''composición de movimientos''']] permite reescribir la ecuación anterior de manera más compacta:

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math> 

Finalmente: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math>

</div>

<div>
====✏️ EJEMPLO D4.8: dinámica longitudinal de un vehículo ====
---------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex8-1-esp.png|thumb|left|220px|link=]]
|En el vehículo del ejemplo D4.7, se considera que la tracción es posterior. Esto quiere decir que el motor del vehículo actúa entre el chasis y las ruedas posteriores, mientras que las delanteras sólo están sometidas a interacciones de enlace (articulación con el chasis y contacto con el suelo).

Si se tratan las ruedas delanteras como SAE, el análisis cinemático del chasis respecto al suelo para la caracterización del enlace a través de las ruedas delanteras conduce a un torsor en el centro de la rueda (que es fijo al chasis) con sólo una componente de fuerza:
|}
[[Archivo:D4-Ex8-2-esp.png|thumb|center|370px|link=]]
La existencia de una componente horizontal de fuerza entre las ruedas posteriores (¡necesaria para acelerar o frenar el vehículo!) está asociada al par motor. Si se aplican los teoremas vectoriales a las ruedas posteriores, las interacciones externas a tener en cuenta son el enlace con el suelo, la articulación con el chasis y el par motor <math>\Gamma</math>:
[[Archivo:D4-Ex8-3-esp.png|thumb|center|370px|link=]]

<math>\ms_\mathrm{ruedas} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{TCM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dv}=\Ns'_\mathrm{dv} , \Ts_\mathrm{dv}=\Ts'_\mathrm{dv} \\
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{en} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dv}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dv}=\Gamma / \rs
\end{array}\right. </math> 

La fuerza tangencial sobre las ruedas motrices es directamente proporcional al par motor que se les aplica. Sin embargo, hay que recordar que, como fuerza tangencial de enlace, su valor está limitado por <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>. Esto permite calcular la aceleración máxima que puede adquirir el vehículo (mientras la rueda delantera no pierda el contacto con el suelo):

<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehículo})\right]_\mathrm{máx}= \Ts_\mathrm{dr,máx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>. 

En terrenos de bajo rozamiento (<math>\mu_\es</math> de valor bajo), un motor capaz de suministrar un par máximo alto es inútil: quien pone límite a la aceleración es el valor del coeficiente de fricción <math>\mu_\es</math>: <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math>.

En terrenos de alto rozamiento, si el par máximo es bajo, es él el que pone límite a la aceleración: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la rueda delantera no pierde contacto con el suelo).


</div>

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==D4.8 Descomposición baricéntrica del momento cinético==

La versión del TMC que se ha presentado permite escoger libremente el punto '''Q''' de aplicación. El criterio para escogerlo se basa en lo que se quiera investigar (una fuerza de enlace, una ecuación del movimiento...). En la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D|'''unidad D6''']] se discute este criterio.

En algunos casos, puede ser interesante escoger un punto '''Q''' que no pertenezca a ningún elemento material del sistema. Entonces, es útil referir el cálculo del momento cinético <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al momento cinético en el centro de masas '''G''' del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Esto se conoce con el nombre de '''descomposición baricéntrica''' del momento cinético:

<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>,

donde el superíndice <math>\oplus</math> indica que el momento cinético debe calcularse como si el sistema se hubiera reducido a una partícula concentrada en '''G''' con masa igual a la masa total del sistema (M):

<math>\H{Q}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math>

<div>
=====💭 Demostración ➕=====

:La definición de momento cinético de un sólido rígido S es: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocidad <math>\vel{P}{RTQ}</math> se puede escribir como suma de dos términos si se aplica una composición de movimientos:

:<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math> 

:Por tanto: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.

:La definición de [[D4. Teoremas vectoriales#D4.1 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias galileanas|'''centro de masas''']] lleva a reescribir el segundo término como:

:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincide con el momento cinético respecto a '''Q''' de una partícula de masa M situada en '''G''': <math>\QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ} = \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.

:En el primer término de la expresión de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, se puede descomponer <math>\QPvec</math> en suma de dos términos:

:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math>

:Por definición de centro de masas: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.

:Por tanto: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.

</div>

<div>
===== ✏️ EJEMPLO D4.9: descomposición baricéntrica =====
----------

{|

|[[Archivo:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|El sólido está formado por dos barras de masa despreciable y cuatro partículas ('''P''') con masa m unidas a los extremos de las barras. El sólido está articulado a un soporte que puede moverse a lo largo de una guía fija al suelo. Su momento cinético en G es:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math>

La RTG es fija al soporte, y la velocidad de las partículas respecto a esta referencia es proporcional a la rotación <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Por tanto:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math>
|}
:El momento cinético en '''O''' (fijo al suelo) se puede calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mediante descomposición baricéntrica:

:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{O}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times 4\ms\vel{G}{T} =</math>
<math>\hspace{1cm} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math>


</div>

© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecánica:Derechos de autor |Todos los derechos reservados]]
-------------

<center>
[[D3. Interacciones entre sólidos rígidos|<<< D3. Interacciones entre sólidos rígidos]]

[[D5. Tensor de inercia|D5. Tensor de inercia >>>]]
</center>

D4. Teoremas vectoriales

2026-02-24T17:14:46Z

Eantem:

<div class="noautonum">__TOC__</div>

<math>
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</math>

Los '''Teoremas Vectoriales''' son una herramienta para resolver la dinámica de los sistemas mecánicos, y se obtienen a partir de la ley fundamental de la dinámica ([[D1.Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.5 Segunda ley de Newton (ley fundamental de la dinámica)|'''segunda ley de Newton''']]) y del principio de acción y reacción ([[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''tercera ley de Newton''']]).

En este curso, es presenta sólo la versión de los teoremes para el caso de sistemas de materia constante. Aunque esto incluye sistemas con fluidos, los ejemplos de aplicación en este curso son esencialmente sistemas multisólido formados por sólidos rígidos.

Cuando se aborda un problema, es esencial identificar las incógnitas que contiene el sistema que se estudia y analizar si los teoremas vectoriales proporcionan el número suficiente de ecuaciones para resolverlas todas (¡hay que saber si el problema es determinado o indeterminado!). Las incógnitas se pueden clasificar en dos grupos:

---------
---------
:* Evolución temporal de los [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.6 Grados de libertad de un sistema mecánico|'''grados de libertad''']] libres (no controlados por actuadores) del sistema. Las ecuaciones que las rigen se denominan '''ecuaciones del movimiento'''. Si los GL libres se describen mediante derivadas temporales de coordenadas (<math>\dot{q}_i</math>, con i=1,2,3...), su evolución temporal son las segundas derivadas temporales de estas coordenadas (aceleraciones). Su aspecto general es:

<center><math>\ddot{\qs}_\is=f(\qs_\js,\dot{\qs}_\js,\ddot{\qs}_\js,\text{parámetros dinámicos, parámetros geométricos})</math></center>

La dependencia en las segundas derivadas temporales <math>(\ddot{q}_j)</math> siempre es lineal, mientras que la dependencia en las coordenadas y las velocidades <math>(q_i,\dot{q}_j)</math> puede ser de cualquier tipo. Los parámetros dinámicos son la masa de los elementos y los asociados a su distribución en el espacio, y los parámetros asociados a las interacciones sobre el sistema (constantes de muelles y amortiguadores, coeficientes de fricción, constantes del campo gravitatorio...); los parámetros geométricos tienen que ver con la forma de los elementos del sistema (distancias y ángulos).

:* [[D2.Fuerzas de interacción entre particulas#D2.6 Interacción a través de actuadores|'''Acciones de los actuadores''']]: son las fuerzas (si se trata de actuadores lineales) y momentos (si son actuadores rotacionales) necesarios para garantizar unas evoluciones prefijadas de los GL que controlan. Como se ha comentado en la [[D2.Fuerzas de interacción entre particulas#D2.6 Interacción a través de actuadores|'''sección D2.6''']], en algunos casos se puede considerar que las acciones de los actuadores son datos, y entonces las incógnitas asociadas son las evoluciones de los GL que controlan.

:* [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos|'''Fuerzas y momentos de enlace''']]: el número de incógnitas asociadas a los enlaces depende de la descripción que se haga de ellos ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|'''enlaces directos''']], [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''enlaces indirectos''']]). Cuando un problema de dinámica es indeterminado, la indeterminación siempre se refiere a las componentes de los torsores de enlace, nunca a los GL (libres o forzados).
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----------

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---------
==D4.1 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias galileanas==

Consideremos un sistema de partículas de materia constante ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Cantidad de Movimiento''' ('''TCM''') se obtiene a partir de la aplicación de la segunda ley de Newton a cada partícula P del sistema. Si la referencia que se considera es galileana:

<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, donde <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> es la fuerza resultante de interacción sobre '''P'''.

[[Archivo:D4-1-esp.png|thumb|center|300px|link=]]
<center>'''Figura D4.1''' Fuerzas sobre una partícula de un sistema de partículas de materia constante</center>

La fuerzas que actúan sobre cada partícula se pueden clasificar en dos grupos: internas (que provienen de la interacción con otras partículas del sistema) y externas (asociadas a las interacciones con elementos externos al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si estas ecuaciones se suman para todas las partículas, las fuerzas internas entre parejas de partículas se cancelan dos a dos por el principio de acción y reacción:

<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\:\acc{P}{RGal}</math></center>

El término de la izquierda es la resultante de fuerzas externas sobre el sistema, y se suele escribir simplemente como <math>\sum\F{ext}</math>. El de la derecha se puede reescribir como <math>\Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math>, donde M es la masa total del sistema <math>\left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El término <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math> es una aceleración ponderada, donde la ponderación es proporcional a la masa de cada partícula. Esta aceleración se asocia a un punto denominado '''centro de masas''' (o '''centro de inercia''') del sistema, y en este curso se designa con la letra '''G'''. Para una referencia cualquiera, pues, la cinemática de G queda descrita por las ecuaciones ('''Figura D4.2'''):

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center>

[[Archivo:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
<center>'''Figura D4.2''' Centro de masas (o de inercia) de un sistema de materia constante</center>

En el caso de conjuntos continuos de partículas (como son un conjunto de sólidos rígidos, deformables, o fluidos), el sumatorio para partículas es de hecho una integral:

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center>

Finalmente, el TCM se escribe como:

<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\:\acc{G}{RGal}</math></center>

Esta ecuación se parece mucho a la [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.5 Segunda ley de Newton (ley fundamental de la dinámica)|'''segunda ley de Newton''']]: el centro de masas '''G''' se comporta como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema, y sobre la que actuasen todas las fuerzas externas al sistema. A pesar del paralelismo entre el TCM y la ecuación de dinámica de la partícula, hay dos diferencias fundamentales:

:*la masa del sistema no está localizada en '''G''' (puede ser incluso que '''G''' esté situado en una zona del sistema sin masa, como en el caso de una anilla homogénea);

:*las fuerzas externas no están aplicadas a '''G''' en general.

El TCM recibe este nombre porque permite conocer la evolución, a partir del conocimiento del [[C1. Configuración de un sistema mecánico|'''estado mecánico''']] inicial y de las interacciones externas, de la cantidad de movimiento del sistema (que, en una referencia cualquiera R, se define como <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R}</math>):

<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\acc{G}{RGal}=\dert{\Ms\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center>

La localización del centro de masas en los sistemas que se estudian (tanto si es un único sólido rígido como un sistema multisólido) se presenta brevemente en la [[D5. Tensor de inercia#D5.1 Centro de masas|'''sección D5.1''']]. Para sólidos homogéneos de geometría muy simple, la posición de '''G''' se puede deducir a menudo de las simetrías del sólido.

En problemas planos (de cinemática 2D), sólo las dos componentes del TCM comprendidas en el plano son interesantes.

------------
------------

==D4.2 Ejemplos de aplicación del TCM==

<div>
====✏️ EJEMPLO D4.1: cálculo de una fuerza de enlace ====

------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex1-1-neut.png|mthumb|center|180px|link=]]
|Los tres bloques homogéneos son lisos y están en contacto entre ellos y con un suelo horizontal, también liso. Se trata de investigar el valor de la fuerza horizontal de enlace entre los bloques Q y S cuando se aplica una fuerza horizontal F al bloque de la izquierda.
Todos los enlaces que aparecen en este sistema son contactos multipuntuales entre superficies lisas. Por tanto, cada torsor asociado, caracterizado en un punto del contacto correspondiente, contiene una componente de fuerza y una de momento ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|ejemplo D3.4]]). Aun así, en la aplicación del TCM sólo intervienen las fuerzas, y por tanto no se representan los momentos en las figuras siguientes.
|}

Para que la fuerza de enlace <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparezca en la componente horizontal del TCM, hay que aplicar el teorema a un sistema donde esta fuerza sea externa. Por ejemplo, al bloque S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>.

[[Archivo:D4-Ex1-2-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]

Esta ecuación contiene dos incógnitas: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> y <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ya que el movimiento de los tres bloques provocado per la fuerza F es el mismo, la aceleración se puede obtener con el TCM aplicado a todo el sistema:

<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center>

</div>
<div>

====✏️ EJEMPLO D4.2: movimiento inicial de un sistema ====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex2-1-esp.png|thumb|center|300px|link=]]
|Los bloques homogéneos están inicialmente en reposo sobre un suelo rugoso, y unidos mediante un muelle comprimido con una tensión <math>\Fs_0=\ms\gs</math> y un hilo inextensible. En un cierto instante, se corta el hilo y el sistema empieza a moverse.
|}

Se trata de calcular la aceleración del centro de inercia del sistema respecto al suelo. Esta aceleración se puede obtener a partir de la componente horizontal del TCM aplicado a todo el sistema. El muelle es interno, y por tanto su fuerza no aparece: <math>\F{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{suelo}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.

Las fuerzas que el suelo ejerce sobre cada uno de los bloques pueden ser de enlace (si los bloques no se mueven, y entonces son incógnitas), o de fricción (si los bloques se mueven respecto al suelo, en cuyo caso son formulables). También puede ocurrir que un bloque deslice y el otro no.

El valor de una fuerza de enlace se adapta para garantizar una restricción. En el caso de los bloques, hay que investigar si estas fuerzas pueden alcanzar el valor necesario per evitar que los bloques deslicen sobre el suelo, y están acotadas por el valor del coeficiente de fricción estática entre bloques y suelo:

<math>|\F{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math>

<math>|\F{\text{suelo}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{sueloghtarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math>

Si se aplica el TCM a cada bloque por separado, la fuerza deluelle pasa a ser externa. Esta fuerza (de valor mg) puede ser contrarrestada por la fuerza de enlace en el caso del bloque de masa 2m (por tanto, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), pero no en el del bloque de masa m:

[[Archivo:D4-Ex2-2-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

La aplicación del TCM al bloque de masa m conduce a:

<math>\left.\begin{aligned}
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{suelo}\rightarrow2\ms}+\F{\text{muelle}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math>

Finalmente: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.

</div>
<div>
====✏️ EJEMPLO D4.3: estudio de una condición límite ====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]
|La esfera homogénea de masa M descansa sobre dos cuñas idénticas, de masa m, que se encuentran sobre el suelo. Entre esfera y cuñas no hi hay rozamiento, pero entre cuñas y suelo hay rozamiento de coeficiente <math>\mu</math>. El sistema se encuentra inicialmente en reposo respecto al suelo. Se trata de determinar el valor máximo de M, en función de m, que permite que el sistema se mantenga en reposo.
|}

Si no se mueve nada, las fuerzas horizontales de interacción entre suelo y cuñas son de enlace y no superan el valor límite <math>/mu\ns</math> (donde N es la fuerza normal que cada cuña recibe del suelo). El torsor de enlace del suelo sobre las cuñas contiene también un momento resultante perpendicular a la figura. Si se quiere estudiar la posibilidad de vuelque de las cuñas, este momento es relevante. Pero en este ejemplo, la forma de las cuñas garantiza que no vuelquen, y se trabaja sólo con las fuerzas.

La aplicación del TCM a todo el sistema, a una cuña y a la esfera conduce a las ecuaciones siguientes:

[[Archivo:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]

<center>
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"
|- style="vertical-align:top;"
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + cuñas

<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: cuña de la izquierda

<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera

<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math>
|}</center>

Combinando las dos últimas ecuaciones: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor máximo de M para el que aún hay equilibrio corresponde a la situación en la que la fuerza tangencial de enlace T toma el valor máximo posible: <math>\Ts = \Ts_{\text{máx}}=\mu\Ns</math>. Teniendo en cuenta que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{máx}}+2\ms)\gs</math>:

<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{máx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{máx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{máx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{máx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math>

</div>

------------
------------

==D4.3 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias no galileanas==

La versión del TCM en una referencia no galileana NGal se obtiene también a partir de la [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.7 Dinámica de la partícula en referencias no galileanas|'''segunda ley de Newton aplicada a cada partícula''']] (o cada diferencial de masa) del sistema en la referencia NGal. En principio, pues, esta ecuación contendrá dos fuerzas de inercia: la de arrastre y la de Coriolis ('''Figura D4.3'''):

<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,

donde <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> y <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math>

[[Archivo:D4-3-esp.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.3:''' Fuerzas de inercia en una referencia no galileana</center>

Sumando las ecuaciones para todas las partículas, se obtiene: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math>, donde M es la masa total del sistema.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
------
:
Por el principio de acción y reacción, la suma para todas las partículas de las fuerzas de interacción conduce a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math>

En cuanto a las fuerzas de inercia, al ser proporcionales a la aceleración de arrastre y de Coriolis de cada partícula, su suma para todas las partículas corresponde a la cinemática ponderada que define el [[D4. Teoremas vectoriales#D4.2 Ejemplos de aplicación del TCM|'''centro de masas''']]:

Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el
centre de masses (secció D4.2):

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

Así pues: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math>

</div>

<div>
====✏️ EJEMPLO D4.4: desplazamiento vibratorio====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
|El bloque de masa m está inicialmente en reposo sobre un soporte que oscila respecto al suelo de acuerdo con el gráfico de velocidad que se muestra en la figura. Se trata de investigar la posibilidad de que el bloque deslice sobre el soporte. La condición de reposo del bloque respecto al soporte (que es una referencia no galileana ya que tiene un movimiento acelerado respecto al suelo) pide:

<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sop\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> porque <math>\velang{sop}{T} = \vec{0}</math>
|}

La fuerza de arrastre sobre el bloque es estrictamente horizontal. Por tanto, la componente vertical de esta ecuación conduce a <math>N = mg</math>. En cuanto a la componente horizontal, contendrá la fuerza de interacción entre bloque y soporte. Si el bloque no desliza sobre el soporte, esta fuerza es de enlace, y su valor está acotado: <math>0\leq\mid\Fs_{sop\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si desliza, es una fuerza de fricción de valor <math>\mu\ms\gs</math>, opuesta a la velocidad de deslizamiento.

Entre <math>t=0</math> y <math>t = 0,4s</math>, la aceleración del soporte respecto al suelo es <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math>, y por tanto la fuerza de arrastre es <math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$soporte}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor está dentro del margen de valores permitidos para la fuerza de enlace horizontal del soporte sobre el bloque. Por tanto, esta fuerza tomará el valor <math>\F{sop\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>,, contrarrestará la<math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs}</math> y se mantendrá el reposo entre los dos elementos.

Entre <math>t=0,4s</math> y <math>t = 0,6s</math>, la aceleración del soporte respecto al suelo es 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Por tanto, <math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. Al sobrepasar el valor máximo de la fuerza horizontal de enlace, no podrá ser contrarrestada. El bloque empezará a deslizar, y la fuerza horizontal de interacción entre soporte y bloque será de fricción:

<math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} + \F{sop\rightarrow bloque}^{fricción} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sop} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

En el instante <math>t = 0,6s</math>, la velocidad del bloque respecto al soporte es

<math>\vel{G}{sop} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.

Aunque entre en la fase en la que <math>\mid\Fcal{ar}{sop\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la fuerza horizontal entre soporte y bloque sigue siendo de fricción <math>(\F{sop\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> hasta conseguir parar el bloque.

La aceleración del bloque respecto al soporte es:

<math>\acc{G}{sop} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

Al tratarse de un movimiento uniformemente desacelerado, es fácil calcular el instante <math>t_f</math> para el que el bloque deja de deslizar:

<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sop} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sop} + \acc{$\Gs,t_f$}{sop}(t_f - t_i)</math>,
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math>

En este instante, la fuerza del soporte sobre el bloque pasa a ser de enlace, y nos encontramos en una situación análoga a la inicial. Por tanto, el deslizamiento no volverá a producirse hasta <math>\ts = 1,4s</math>. El estudio para los intervalos posteriores sigue los mismos pasos que el estudio del intervalo <math>[0,1,4s]</math>. La figura muestra la evolución de la cinemática del bloque respecto al soporte, y de las fuerzas que actúan sobre él.

[[Archivo:D4-Ex4-2-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

</div>

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-----------

==D4.4 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulación general==

La dinámica de un sólido rígido (y por tanto, de un sistema multisólido) no queda nunca totalmente resuelta con el TCM cuando el sólido gira: el TCM sólo informa sobre el movimiento de un punto ('''G'''), y no sobre la rotación.

El '''Teorema del Momento Cinético''' (TMC) se encuentra enunciado de dos maneras distintas en la literatura. En este curso, se ha optado por una formulación paralela a la del TCM: a la izquierda aparecen términos que sólo tienen que ver con las interacciones externas sobre el sistema, mientras que a la derecha aparece la derivada temporal de un vector que depende sólo de la geometría de masas del sistema y de su [[C1. Configuración de un sistema mecánico#|'''estado mecánico''']].

Como ya se ha visto cuando se introdujo el concepto de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor de un sistema de fuerzas''']], lo que se relaciona con la rotación de un sólido es el momento de las fuerzas, no la fuerza resultante. Por tanto, si bien el TMC se demuestra también a partir de la segunda ley de Newton aplicada a cada diferencial de masa del sistema, habrá que transformar las fuerzas que aparecen en momento de estas fuerzas respecto a un punto '''Q'''.

Estas dos consideraciones (formulación paralela al TCM y necesidad de escoger un punto '''Q''' para calcular el momento de las fuerzas) lleva a partir de la formulación de la segunda ley de Newton en la '''Referencia que se Traslada con Q (RTQ)''' respecto a una referencia galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, esta referencia no es galileana, y por tanto hay que tener en cuenta en principio las [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''fuerzas de inercia de arrastre''']] ('''Figura D4.3''').

[[Archivo:D4-4-esp.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D4.4:''' Fuerzas de inercia en la Referencia que se Traslada con un punto '''Q''' (RTQ)</center> 

Consideremos un sistema de partículas con materia constante. La segunda ley de Newton aplicada a cada partícula del sistema y en la RTQ es: 

<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , 

donde <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , y <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ya que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>. 

Si los dos lados de la ecuación se multiplican vectorialmente por <math>\QPvec</math> y se suma para todas las partículas (o elementos de masa) del sistema, se obtiene el TMC en el punto '''Q''':

<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math> 

donde <math>\Ms</math> es la masa total del sistema, y <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> es el '''momento cinético del sistema respecto al punto Q'''. 

Si el sistema tiene elementos continuos (por ejemplo, un sistema con N sólidos rígidos <math>S_i</math>), el sumatorio para partículas es de hecho una integral:

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====

La segunda ley de Newton para cada elemento de masa multiplicada vectorialmente por <math>\QPvec</math es:

<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math>

El término de la derecha se puede reescribir como:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

Al ser '''Q''' un punto de la RTQ, se puede tomar como origen de un vector de posición de '''P''' en esta referencia. Por tanto:

<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

Teniendo en cuenta que la masa es constante:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math>

La suma de este término para todos los elementos '''P''' conduce a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

Si las fuerzas de interacción sobre cada partícula '''P''' se clasifican en internas y externas, la suma para todas las partículas del sistema del lado izquierdo de la primera ecuación se convierte en:

<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math>

<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> 

ya que el principio de acción y reacción garantiza que el momento total de una pareja de fuerzas de acción y reacción es nulo: 

<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math> 

Agrupando todos los términos: 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

</div>

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---------

==D4.5 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulaciones particulares==
El TMC toma expresiones más sencillas cuando el punto '''Q''' es fijo a una referencia galileana o cuando es el centro de masas del sistema.

* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, llamamos a esta versión “TMC en punto fijo”, donde se sobreentiende que “fijo” quiere decir “fijo a una referencia galileana”. En este caso, normalmente utilizaremos la letra '''O''' para designar el punto '''Q'''.

* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math> Hay que notar que, si bien la expresión es similar a la versión en punto fijo, el centro de masas '''G''' no tiene por qué ser fijo a una referencia galileana.

Cuando '''Q''' no es ni un punto fijo a RGal ni coincide con el centro de masas, se suele hablar de la versión del TMC “en punto móvil”. Aunque '''Q''' sea un punto móvil respecto a RGal, el término asociado a las fuerzas de inercia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> puede ser nulo si '''Q''' se mueve a velocidad constante respecto a RGal, o si su aceleración respecto a RGal es paralela a <math>\QGvec</math>.

<center>
{| class="wikitable"
|+
|-
! '''TMC en punto fijo''' !! '''TMC en '''<math>\Gs</math> !! '''TMC en punto móvil '''<math>\Qs</math>
|-
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center>
||
<center>
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center>
||
<center>
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math> 

<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center>

|}
</center>

El vector momento cinético <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no es sencillo de calcular en general, y se presenta en la [[D5. Tensor de inercia|'''unidad D5''']].

En problemas de cinemática plana (2D), si el momento cinético <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sólido del sistema que se estudia es paralelo a la velocidad angular del sólido <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que es de dirección ortogonal al plano del movimiento), sólo la componente del TMC perpendicular al plano es interesante. Se dice entonces que el problema es de dinámica plana (2D), y el problema se puede hacer a partir de dos componentes del TCM y de una del TMC.

En problemes d’estàtica, tant la quantitat de moviment com el moment cinètic a qualsevol punt són nuls permanentment, i per tant són nul·les també les seves derivades temporals. L’estudi de la dinàmica en un pla també es pot fer a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.

<div>
===TMC en un punto de contacto entre dos sólidos===
Un enlace que aparece a menudo en los sistemas mecánicos es el contacto puntual entre parejas de sólidos (S1 y S2, por ejemplo). Este enlace puede introducir entre 1 y 3 incógnitas de enlace (según la rugosidad de las superficies y la cinemática del contacto – con o sin deslizamiento). Cuando estas fuerzas no se quieren calcular, es tentador aplicar el TMC en el punto de contacto '''J''' (ya que su momento respecto a '''J''' es nulo). 

[[Archivo:TMCaJ-0-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

La aplicación del TMC en '''J''' es muy delicada. Hay que precisar de qué punto '''J''' se habla ([[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''ejemplo C5-1.8''']]): si se trata del J del sólido S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sólido S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math>, o bien si es el punto geométrico de contacto <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math>. Por un lado, estos tres puntos tienen cinemáticas distintas <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math>, y el término complementario asociado al momento de las fuerzas de inercia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> es distinto. Por otro lado, si por ejemplo el TMC se aplica al sólido S1, hay que tener presente que, aunque <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertenece a S1 y se puede calcular el momento cinético a partir del tensor de inercia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> y <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no pertenecen a S1, y hay que hace la descomposición baricéntrica para calcular este vector.

Finalmente, ya que hay que derivar el momento cinético, hay que calcularlo en una configuración general (es decir, cuando '''J''' no es aún el punto de contacto), y sólo después de haber hecho la derivada se puede particularizar el resultado a la configuración en que '''J''' es el punto de contacto. Como ilustración de todo ello, el esquema siguiente muestra la aplicación del TMC a una rueda con movimiento plano que toca al suelo y desliza.

[[Archivo:TMCaJ-1-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{rueda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{rueda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJrueda}(\Js_\mathrm{rueda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{rueda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJrueda}(\Js_\mathrm{rueda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math>
</center> 

[[Archivo:TMCaJ-2-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}
\end{array}\right.
</math> 

[[Archivo:TMCaJ-3-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)
\end{array}\right.
</math>
</center></center>
</div>

------
------

==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==
<div>
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex5-1-esp.png|thumb|left|180px|link=]]
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:
[[Archivo:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
|}

En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant: 

<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math> 

Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math>

Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math>

</div>

<div>
====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|left|230px|link=]]
|Els blocs pengen de dos fils inextensibles lligats a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de calcular l’acceleració angular de les politges. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :
[[Archivo:D4-Ex6-2-neut.png|thumb|center|340px|link=]]
|}

En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> : 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math> 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math> 

Per la definició de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs: 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math> 

<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math> 

[[Archivo:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
Resolución alternativa 

Si se aplica el TMC al punto '''O''' para el sistema formado por las poleas y las cuerdas, el peso de los bloques ya no aparece como interacción externa, pero aparecen en cambio las tensiones de las dos cuerdas (que son incógnitas de enlace).

El momento cinético del sistema es nulo porque no tiene masa: 

SIST: poleas + cuerdas 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math> 
[[Archivo:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]

La aplicación del TCM a cada uno de los bloques genera dos ecuaciones más: 

SIST: bloque de 10kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloque}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math> 

SIST: bloque de 5kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloque}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math> 

La resolución del sistema de ecuaciones conduce a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>. 

La primera resolución es más rápida (solo utiliza una ecuación escalar), pero implica el cálculo del momento cinético. Esta segunda resolución es más larga (sistema de tres ecuaciones) pero no requiere calcular ningún momento cinético.

</div>

<div>

====✏️ EJEMPLO D4.7: dinámica longitudinal de un vehículo====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex7-1-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|El vehículo sin suspensiones se mueve sobre una carretera rectilínea. La masa de las ruedas es despreciable comparada con la del resto de los elementos, y se considera que su contacto con el suelo es puntual. Se trata de analizar las fuerzas normales de enlace entre suelo y ruedas.

Es un problema de dinámica plana. Las fuerzas externas sobre el vehículo se reducen al peso y al enlace con el suelo. Si la aceleración del chasis respecto al suelo es un dato, la aplicación del TCM conduce a:
|}

{|
|

<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}

\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)
\end{aligned}\right.</math>

donde <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> y <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> son las fuerzas normal y tangencial que en total reciben las dos ruedas delanteras y las dos traseras, respectivamente.

El TMC en G conduce a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs}) + \Ts_{\ds\rs}] =0</math> (el momento cinético <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> es permanentemente nulo ya que las ruedas no tienen masa, y el resto del vehículo tiene movimiento nulo respecto a la RTG).
|
[[Archivo:D4-Ex7-2-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|}

Resolviendo el sistema de ecuaciones: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math>

Este resultado es válido para cualquier valor de <math>\as_\Ls</math>:

:*Situación estática (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la fuerza normal es mayor en las ruedas que tienen el eje más cerca de '''G'''.

:*Acelerando (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hay un trasvase de fuerza de delante hacia detrás (se cargan las ruedas traseras y se descargan las delanteras). Si la aceleración <math>|\as_\Ts|</math> es suficientemente elevada, la fuerza normal delantera pasa a ser negativa, cosa que indica que se ha perdido el contacto y el vehículo vuelca en sentido antihorario. Entonces, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el chasis pasa a tener, en principio, aceleración angular, y como consecuencia el centro de masas '''G''' adquiere aceleración vertical.

:*Frenando (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hay un trasvase de fuerza del atrás hacia delante (se descargan las ruedas traseras y se cargan las delanteras). Como en el caso precedente, hay un valor crítico de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el vuelco, esta vez en sentido horario.


---------
---------
</div>

==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==

La aplicación de los teoremas vectoriales a los [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''Sòlidos Auxiliares de Enlace''']] (SAE) es sencilla ya que los términos de la derecha (variación de cantidad de movimiento y variación de momento cinético) son nulos por ser nula su masa:

<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{cualquier} \hspace{0.2cm} \mathrm{punto}) \approx \overline{0}.</math> 

Para el caso de un SAE (sólido S) que conecta dos sólidos rígidos S1 y S2 ('''Figura D4.5'''), estas ecuaciones permiten demostrar que el torsor que actúa sobre S1 se puede obtener a partir de una ecuación de caracterización analítica donde la cinemática del punto P de caracterización (que tiene que pertenecer al sólido S1) se evalúa en la referencia solidaria a S2:

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math> 

(Cuando se trata de velocidades, es importante especificar a qué sólido pertenece el punto P. Esto, en cambio, es irrelevante cuando se trata de momentos: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>). 

[[Archivo:D4-5-esp.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.5:'''Sólido Auxiliar de Enlace entre dos sólidos de masa no nula</center> 

<div>
=====💭 Demostración ➕=====

Los teoremas vectoriales aplicados sobre el SAE implican que los torsores de enlace que recibe de S1 y S2 en un mismo punto '''P''' han de sumar cero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)
\end{array}\right.</math> 

Por otro lado, estos torsores cumplen la [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|'''ecuación de caracterización analítica''']]:

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math> 

Si se combinan todas las ecuaciones anteriores, se obtiene: 

<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math> 

Una [[C3. Composición de movimientos#C3.1 Composición de velocidades|'''composición de movimientos''']] permite reescribir la ecuación anterior de manera más compacta:

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math> 

Finalmente: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math>

</div>

<div>
====✏️ EJEMPLO D4.8: dinámica longitudinal de un vehículo ====
---------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex8-1-esp.png|thumb|left|220px|link=]]
|En el vehículo del ejemplo D4.7, se considera que la tracción es posterior. Esto quiere decir que el motor del vehículo actúa entre el chasis y las ruedas posteriores, mientras que las delanteras sólo están sometidas a interacciones de enlace (articulación con el chasis y contacto con el suelo).

Si se tratan las ruedas delanteras como SAE, el análisis cinemático del chasis respecto al suelo para la caracterización del enlace a través de las ruedas delanteras conduce a un torsor en el centro de la rueda (que es fijo al chasis) con sólo una componente de fuerza:
|}
[[Archivo:D4-Ex8-2-esp.png|thumb|center|370px|link=]]
La existencia de una componente horizontal de fuerza entre las ruedas posteriores (¡necesaria para acelerar o frenar el vehículo!) está asociada al par motor. Si se aplican los teoremas vectoriales a las ruedas posteriores, las interacciones externas a tener en cuenta son el enlace con el suelo, la articulación con el chasis y el par motor <math>\Gamma</math>:
[[Archivo:D4-Ex8-3-esp.png|thumb|center|370px|link=]]

<math>\ms_\mathrm{ruedas} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{TCM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dv}=\Ns'_\mathrm{dv} , \Ts_\mathrm{dv}=\Ts'_\mathrm{dv} \\
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{en} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dv}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dv}=\Gamma / \rs
\end{array}\right. </math> 

La fuerza tangencial sobre las ruedas motrices es directamente proporcional al par motor que se les aplica. Sin embargo, hay que recordar que, como fuerza tangencial de enlace, su valor está limitado por <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>. Esto permite calcular la aceleración máxima que puede adquirir el vehículo (mientras la rueda delantera no pierda el contacto con el suelo):

<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehículo})\right]_\mathrm{máx}= \Ts_\mathrm{dr,máx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>. 

En terrenos de bajo rozamiento (<math>\mu_\es</math> de valor bajo), un motor capaz de suministrar un par máximo alto es inútil: quien pone límite a la aceleración es el valor del coeficiente de fricción <math>\mu_\es</math>: <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math>.

En terrenos de alto rozamiento, si el par máximo es bajo, es él el que pone límite a la aceleración: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la rueda delantera no pierde contacto con el suelo).


</div>

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---------

==D4.8 Descomposición baricéntrica del momento cinético==

La versión del TMC que se ha presentado permite escoger libremente el punto '''Q''' de aplicación. El criterio para escogerlo se basa en lo que se quiera investigar (una fuerza de enlace, una ecuación del movimiento...). En la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D|'''unidad D6''']] se discute este criterio.

En algunos casos, puede ser interesante escoger un punto '''Q''' que no pertenezca a ningún elemento material del sistema. Entonces, es útil referir el cálculo del momento cinético <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al momento cinético en el centro de masas '''G''' del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Esto se conoce con el nombre de '''descomposición baricéntrica''' del momento cinético:

<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>,

donde el superíndice <math>\oplus</math> indica que el momento cinético debe calcularse como si el sistema se hubiera reducido a una partícula concentrada en '''G''' con masa igual a la masa total del sistema (M):

<math>\H{Q}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math>

<div>
=====💭 Demostración ➕=====

:La definición de momento cinético de un sólido rígido S es: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocidad <math>\vel{P}{RTQ}</math> se puede escribir como suma de dos términos si se aplica una composición de movimientos:

:<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math> 

:Por tanto: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.

:La definición de [[D4. Teoremas vectoriales#D4.1 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias galileanas|'''centro de masas''']] lleva a reescribir el segundo término como:

:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincide con el momento cinético respecto a '''Q''' de una partícula de masa M situada en '''G''': <math>\QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ} = \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.

:En el primer término de la expresión de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, se puede descomponer <math>\QPvec</math> en suma de dos términos:

:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math>

:Por definición de centro de masas: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.

:Por tanto: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.

</div>

<div>
===== ✏️ EJEMPLO D4.9: descomposición baricéntrica =====
----------

{|

|[[Archivo:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|El sólido está formado por dos barras de masa despreciable y cuatro partículas ('''P''') con masa m unidas a los extremos de las barras. El sólido está articulado a un soporte que puede moverse a lo largo de una guía fija al suelo. Su momento cinético en G es:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math>

La RTG es fija al soporte, y la velocidad de las partículas respecto a esta referencia es proporcional a la rotación <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Por tanto:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math>
|}
:El momento cinético en '''O''' (fijo al suelo) se puede calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mediante descomposición baricéntrica:

:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{O}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times 4\ms\vel{G}{T} =</math>
<math>\hspace{1cm} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math>


</div>

© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecánica:Derechos de autor |Todos los derechos reservados]]
-------------

<center>
[[D3. Interacciones entre sólidos rígidos|<<< D3. Interacciones entre sólidos rígidos]]

[[D5. Tensor de inercia|D5. Tensor de inercia >>>]]
</center>

D4. Teoremas vectoriales

2026-02-24T17:06:53Z

Eantem: /* ✏️ EJEMPLO D4.3: estudi de una condición límite */

<div class="noautonum">__TOC__</div>

<math>
\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
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\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
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\newcommand{\ns}{\textrm{n}}
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\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
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\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
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\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
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\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\JGvec}{\vec{\Js\Gs}}
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}
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\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}
\newcommand{\H}[3]{\vec{\mathbf{H}}_{\text{#3}}^{#2}(\textbf{#1})}
</math>

Los '''Teoremas Vectoriales''' son una herramienta para resolver la dinámica de los sistemas mecánicos, y se obtienen a partir de la ley fundamental de la dinámica ([[D1.Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.5 Segunda ley de Newton (ley fundamental de la dinámica)|'''segunda ley de Newton''']]) y del principio de acción y reacción ([[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.6 Tercera ley de Newton (principio de acción y reacción)|'''tercera ley de Newton''']]).

En este curso, es presenta sólo la versión de los teoremes para el caso de sistemas de materia constante. Aunque esto incluye sistemas con fluidos, los ejemplos de aplicación en este curso son esencialmente sistemas multisólido formados por sólidos rígidos.

Cuando se aborda un problema, es esencial identificar las incógnitas que contiene el sistema que se estudia y analizar si los teoremas vectoriales proporcionan el número suficiente de ecuaciones para resolverlas todas (¡hay que saber si el problema es determinado o indeterminado!). Las incógnitas se pueden clasificar en dos grupos:

:* Evolución temporal de los [[C2. Movimiento de un sistema mecánico#C2.6 Grados de libertad de un sistema mecánico|'''grados de libertad''']] libres (no controlados por actuadores) del sistema. Las ecuaciones que las rigen se denominan '''ecuaciones del movimiento'''. Si los GL libres se describen mediante derivadas temporales de coordenadas (<math>\dot{q}_i</math>, con i=1,2,3...), su evolución temporal son las segundas derivadas temporales de estas coordenadas (aceleraciones). Su aspecto general es:

<center><math>\ddot{\qs}_\is=f(\qs_\js,\dot{\qs}_\js,\ddot{\qs}_\js,\text{parámetros dinámicos, parámetros geométricos})</math></center>

La dependencia en las segundas derivadas temporales <math>(\ddot{q}_j)</math> siempre es lineal, mientras que la dependencia en las coordenadas y las velocidades <math>(q_i,\dot{q}_j)</math> puede ser de cualquier tipo. Los parámetros dinámicos son la masa de los elementos y los asociados a su distribución en el espacio, y los parámetros asociados a las interacciones sobre el sistema (constantes de muelles y amortiguadores, coeficientes de fricción, constantes del campo gravitatorio...); los parámetros geométricos tienen que ver con la forma de los elementos del sistema (distancias y ángulos).

:* [[D2.Fuerzas de interacción entre particulas#D2.6 Interacción a través de actuadores|'''Acciones de los actuadores''']]: son las fuerzas (si se trata de actuadores lineales) y momentos (si son actuadores rotacionales) necesarios para garantizar unas evoluciones prefijadas de los GL que controlan. Como se ha comentado en la [[D2.Fuerzas de interacción entre particulas#D2.6 Interacción a través de actuadores|'''sección D2.6''']], en algunos casos se puede considerar que las acciones de los actuadores son datos, y entonces las incógnitas asociadas son las evoluciones de los GL que controlan.

:* [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos|'''Fuerzas y momentos de enlace''']]: el número de incógnitas asociadas a los enlaces depende de la descripción que se haga de ellos ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|'''enlaces directos''']], [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''enlaces indirectos''']]). Cuando un problema de dinámica es indeterminado, la indeterminación siempre se refiere a las componentes de los torsores de enlace, nunca a los GL (libres o forzados).

---------
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==D4.1 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias galileanas==

Consideremos un sistema de partículas de materia constante ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Cantidad de Movimiento''' ('''TCM''') se obtiene a partir de la aplicación de la segunda ley de Newton a cada partícula P del sistema. Si la referencia que se considera es galileana:

<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, donde <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> es la fuerza resultante de interacción sobre '''P'''.

[[Archivo:D4-1-esp.png|thumb|center|300px|link=]]
<center>'''Figura D4.1''' Fuerzas sobre una partícula de un sistema de partículas de materia constante</center>

La fuerzas que actúan sobre cada partícula se pueden clasificar en dos grupos: internas (que provienen de la interacción con otras partículas del sistema) y externas (asociadas a las interacciones con elementos externos al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si estas ecuaciones se suman para todas las partículas, las fuerzas internas entre parejas de partículas se cancelan dos a dos por el principio de acción y reacción:

<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\:\acc{P}{RGal}</math></center>

El término de la izquierda es la resultante de fuerzas externas sobre el sistema, y se suele escribir simplemente como <math>\sum\F{ext}</math>. El de la derecha se puede reescribir como <math>\Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math>, donde M es la masa total del sistema <math>\left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El término <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math> es una aceleración ponderada, donde la ponderación es proporcional a la masa de cada partícula. Esta aceleración se asocia a un punto denominado '''centro de masas''' (o '''centro de inercia''') del sistema, y en este curso se designa con la letra '''G'''. Para una referencia cualquiera, pues, la cinemática de G queda descrita por las ecuaciones ('''Figura D4.2'''):

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center>

[[Archivo:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
<center>'''Figura D4.2''' Centro de masas (o de inercia) de un sistema de materia constante</center>

En el caso de conjuntos continuos de partículas (como son un conjunto de sólidos rígidos, deformables, o fluidos), el sumatorio para partículas es de hecho una integral:

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center>

Finalmente, el TCM se escribe como:

<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\:\acc{G}{RGal}</math></center>

Esta ecuación se parece mucho a la [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.5 Segunda ley de Newton (ley fundamental de la dinámica)|'''segunda ley de Newton''']]: el centro de masas '''G''' se comporta como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema, y sobre la que actuasen todas las fuerzas externas al sistema. A pesar del paralelismo entre el TCM y la ecuación de dinámica de la partícula, hay dos diferencias fundamentales:

:*la masa del sistema no está localizada en '''G''' (puede ser incluso que '''G''' esté situado en una zona del sistema sin masa, como en el caso de una anilla homogénea);

:*las fuerzas externas no están aplicadas a '''G''' en general.

El TCM recibe este nombre porque permite conocer la evolución, a partir del conocimiento del [[C1. Configuración de un sistema mecánico|'''estado mecánico''']] inicial y de las interacciones externas, de la cantidad de movimiento del sistema (que, en una referencia cualquiera R, se define como <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R}</math>):

<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\acc{G}{RGal}=\dert{\Ms\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center>

La localización del centro de masas en los sistemas que se estudian (tanto si es un único sólido rígido como un sistema multisólido) se presenta brevemente en la [[D5. Tensor de inercia#D5.1 Centro de masas|'''sección D5.1''']]. Para sólidos homogéneos de geometría muy simple, la posición de '''G''' se puede deducir a menudo de las simetrías del sólido.

En problemas planos (de cinemática 2D), sólo las dos componentes del TCM comprendidas en el plano son interesantes.

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------------

==D4.2 Ejemplos de aplicación del TCM==

<div>
====✏️ EJEMPLO D4.1: cálculo de una fuerza de enlace ====

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:
{|
|[[Archivo:D4-Ex1-1-neut.png|mthumb|center|180px|link=]]
|Los tres bloques homogéneos son lisos y están en contacto entre ellos y con un suelo horizontal, también liso. Se trata de investigar el valor de la fuerza horizontal de enlace entre los bloques Q y S cuando se aplica una fuerza horizontal F al bloque de la izquierda.
Todos los enlaces que aparecen en este sistema son contactos multipuntuales entre superficies lisas. Por tanto, cada torsor asociado, caracterizado en un punto del contacto correspondiente, contiene una componente de fuerza y una de momento ([[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|ejemplo D3.4]]). Aun así, en la aplicación del TCM sólo intervienen las fuerzas, y por tanto no se representan los momentos en las figuras siguientes.
|}

Para que la fuerza de enlace <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparezca en la componente horizontal del TCM, hay que aplicar el teorema a un sistema donde esta fuerza sea externa. Por ejemplo, al bloque S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>.

[[Archivo:D4-Ex1-2-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]

Esta ecuación contiene dos incógnitas: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> y <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ya que el movimiento de los tres bloques provocado per la fuerza F es el mismo, la aceleración se puede obtener con el TCM aplicado a todo el sistema:

<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center>

</div>
<div>

====✏️ EJEMPLO D4.2: movimiento inicial de un sistema ====
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:
{|
|[[Archivo:D4-Ex2-1-esp.png|thumb|center|300px|link=]]
|Los bloques homogéneos están inicialmente en reposo sobre un suelo rugoso, y unidos mediante un muelle comprimido con una tensión <math>\Fs_0=\ms\gs</math> y un hilo inextensible. En un cierto instante, se corta el hilo y el sistema empieza a moverse.
|}

Se trata de calcular la aceleración del centro de inercia del sistema respecto al suelo. Esta aceleración se puede obtener a partir de la componente horizontal del TCM aplicado a todo el sistema. El muelle es interno, y por tanto su fuerza no aparece: <math>\F{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{suelo}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.

Las fuerzas que el suelo ejerce sobre cada uno de los bloques pueden ser de enlace (si los bloques no se mueven, y entonces son incógnitas), o de fricción (si los bloques se mueven respecto al suelo, en cuyo caso son formulables). También puede ocurrir que un bloque deslice y el otro no.

El valor de una fuerza de enlace se adapta para garantizar una restricción. En el caso de los bloques, hay que investigar si estas fuerzas pueden alcanzar el valor necesario per evitar que los bloques deslicen sobre el suelo, y están acotadas por el valor del coeficiente de fricción estática entre bloques y suelo:

<math>|\F{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math>

<math>|\F{\text{suelo}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{suelo}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{sueloghtarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math>

Si se aplica el TCM a cada bloque por separado, la fuerza deluelle pasa a ser externa. Esta fuerza (de valor mg) puede ser contrarrestada por la fuerza de enlace en el caso del bloque de masa 2m (por tanto, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), pero no en el del bloque de masa m:

[[Archivo:D4-Ex2-2-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

La aplicación del TCM al bloque de masa m conduce a:

<math>\left.\begin{aligned}
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{suelo}\rightarrow2\ms}+\F{\text{muelle}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math>

Finalmente: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.

</div>
<div>
====✏️ EJEMPLO D4.3: estudio de una condición límite ====
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:
{|
|[[Archivo:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]
|La esfera homogénea de masa M descansa sobre dos cuñas idénticas, de masa m, que se encuentran sobre el suelo. Entre esfera y cuñas no hi hay rozamiento, pero entre cuñas y suelo hay rozamiento de coeficiente <math>\mu</math>. El sistema se encuentra inicialmente en reposo respecto al suelo. Se trata de determinar el valor máximo de M, en función de m, que permite que el sistema se mantenga en reposo.
|}

Si no se mueve nada, las fuerzas horizontales de interacción entre suelo y cuñas son de enlace y no superan el valor límite <math>/mu\ns</math> (donde N es la fuerza normal que cada cuña recibe del suelo). El torsor de enlace del suelo sobre las cuñas contiene también un momento resultante perpendicular a la figura. Si se quiere estudiar la posibilidad de vuelque de las cuñas, este momento es relevante. Pero en este ejemplo, la forma de las cuñas garantiza que no vuelquen, y se trabaja sólo con las fuerzas.

La aplicación del TCM a todo el sistema, a una cuña y a la esfera conduce a las ecuaciones siguientes:

[[Archivo:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]

<center>
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"
|- style="vertical-align:top;"
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + cuñas

<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: cuña de la izquierda

<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera

<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math>
|}</center>

Combinando las dos últimas ecuaciones: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor máximo de M para el que aún hay equilibrio corresponde a la situación en la que la fuerza tangencial de enlace T toma el valor máximo posible: <math>\Ts = \Ts_{\text{máx}}=\mu\Ns</math>. Teniendo en cuenta que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{máx}}+2\ms)\gs</math>:

<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{máx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{máx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{máx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{máx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math>

</div>

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==D4.3 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias no galileanas==

La versión del TCM en una referencia no galileana NGal se obtiene también a partir de la [[D1. Leyes fundacionales de la dinámica newtoniana#D1.7 Dinámica de la partícula en referencias no galileanas|'''segunda ley de Newton aplicada a cada partícula''']] (o cada diferencial de masa) del sistema en la referencia NGal. En principio, pues, esta ecuación contendrá dos fuerzas de inercia: la de arrastre y la de Coriolis ('''Figura D4.3'''):

<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,

donde <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> y <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math>

[[Archivo:D4-3-esp.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.3:''' Fuerzas de inercia en una referencia no galileana</center>

Sumando las ecuaciones para todas las partículas, se obtiene: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math>, donde M es la masa total del sistema.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====
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:
Por el principio de acción y reacción, la suma para todas las partículas de las fuerzas de interacción conduce a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math>

En cuanto a las fuerzas de inercia, al ser proporcionales a la aceleración de arrastre y de Coriolis de cada partícula, su suma para todas las partículas corresponde a la cinemática ponderada que define el [[D4. Teoremas vectoriales#D4.2 Ejemplos de aplicación del TCM|'''centro de masas''']]:

Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el
centre de masses (secció D4.2):

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

Así pues: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math>

</div>

<div>
====✏️ EJEMPLO D4.4: desplazamiento vibratorio====
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:
{|
|[[Archivo:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
|El bloque de masa m está inicialmente en reposo sobre un soporte que oscila respecto al suelo de acuerdo con el gráfico de velocidad que se muestra en la figura. Se trata de investigar la posibilidad de que el bloque deslice sobre el soporte. La condición de reposo del bloque respecto al soporte (que es una referencia no galileana ya que tiene un movimiento acelerado respecto al suelo) pide:

<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sop\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> porque <math>\velang{sop}{T} = \vec{0}</math>
|}

La fuerza de arrastre sobre el bloque es estrictamente horizontal. Por tanto, la componente vertical de esta ecuación conduce a <math>N = mg</math>. En cuanto a la componente horizontal, contendrá la fuerza de interacción entre bloque y soporte. Si el bloque no desliza sobre el soporte, esta fuerza es de enlace, y su valor está acotado: <math>0\leq\mid\Fs_{sop\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si desliza, es una fuerza de fricción de valor <math>\mu\ms\gs</math>, opuesta a la velocidad de deslizamiento.

Entre <math>t=0</math> y <math>t = 0,4s</math>, la aceleración del soporte respecto al suelo es <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math>, y por tanto la fuerza de arrastre es <math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$soporte}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor está dentro del margen de valores permitidos para la fuerza de enlace horizontal del soporte sobre el bloque. Por tanto, esta fuerza tomará el valor <math>\F{sop\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>,, contrarrestará la<math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs}</math> y se mantendrá el reposo entre los dos elementos.

Entre <math>t=0,4s</math> y <math>t = 0,6s</math>, la aceleración del soporte respecto al suelo es 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Por tanto, <math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. Al sobrepasar el valor máximo de la fuerza horizontal de enlace, no podrá ser contrarrestada. El bloque empezará a deslizar, y la fuerza horizontal de interacción entre soporte y bloque será de fricción:

<math>\Fcal{ar}{sop\rightarrow\Gs} + \F{sop\rightarrow bloque}^{fricción} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sop} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

En el instante <math>t = 0,6s</math>, la velocidad del bloque respecto al soporte es

<math>\vel{G}{sop} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.

Aunque entre en la fase en la que <math>\mid\Fcal{ar}{sop\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la fuerza horizontal entre soporte y bloque sigue siendo de fricción <math>(\F{sop\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> hasta conseguir parar el bloque.

La aceleración del bloque respecto al soporte es:

<math>\acc{G}{sop} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

Al tratarse de un movimiento uniformemente desacelerado, es fácil calcular el instante <math>t_f</math> para el que el bloque deja de deslizar:

<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sop} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sop} + \acc{$\Gs,t_f$}{sop}(t_f - t_i)</math>,
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math>

En este instante, la fuerza del soporte sobre el bloque pasa a ser de enlace, y nos encontramos en una situación análoga a la inicial. Por tanto, el deslizamiento no volverá a producirse hasta <math>\ts = 1,4s</math>. El estudio para los intervalos posteriores sigue los mismos pasos que el estudio del intervalo <math>[0,1,4s]</math>. La figura muestra la evolución de la cinemática del bloque respecto al soporte, y de las fuerzas que actúan sobre él.

[[Archivo:D4-Ex4-2-esp.png|thumb|center|450px|link=]]

</div>

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==D4.4 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulación general==

La dinámica de un sólido rígido (y por tanto, de un sistema multisólido) no queda nunca totalmente resuelta con el TCM cuando el sólido gira: el TCM sólo informa sobre el movimiento de un punto ('''G'''), y no sobre la rotación.

El '''Teorema del Momento Cinético''' (TMC) se encuentra enunciado de dos maneras distintas en la literatura. En este curso, se ha optado por una formulación paralela a la del TCM: a la izquierda aparecen términos que sólo tienen que ver con las interacciones externas sobre el sistema, mientras que a la derecha aparece la derivada temporal de un vector que depende sólo de la geometría de masas del sistema y de su [[C1. Configuración de un sistema mecánico#|'''estado mecánico''']].

Como ya se ha visto cuando se introdujo el concepto de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor de un sistema de fuerzas''']], lo que se relaciona con la rotación de un sólido es el momento de las fuerzas, no la fuerza resultante. Por tanto, si bien el TMC se demuestra también a partir de la segunda ley de Newton aplicada a cada diferencial de masa del sistema, habrá que transformar las fuerzas que aparecen en momento de estas fuerzas respecto a un punto '''Q'''.

Estas dos consideraciones (formulación paralela al TCM y necesidad de escoger un punto '''Q''' para calcular el momento de las fuerzas) lleva a partir de la formulación de la segunda ley de Newton en la '''Referencia que se Traslada con Q (RTQ)''' respecto a una referencia galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, esta referencia no es galileana, y por tanto hay que tener en cuenta en principio las [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''fuerzas de inercia de arrastre''']] ('''Figura D4.3''').

[[Archivo:D4-4-esp.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D4.4:''' Fuerzas de inercia en la Referencia que se Traslada con un punto '''Q''' (RTQ)</center> 

Consideremos un sistema de partículas con materia constante. La segunda ley de Newton aplicada a cada partícula del sistema y en la RTQ es: 

<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , 

donde <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , y <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ya que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>. 

Si los dos lados de la ecuación se multiplican vectorialmente por <math>\QPvec</math> y se suma para todas las partículas (o elementos de masa) del sistema, se obtiene el TMC en el punto '''Q''':

<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math> 

donde <math>\Ms</math> es la masa total del sistema, y <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> es el '''momento cinético del sistema respecto al punto Q'''. 

Si el sistema tiene elementos continuos (por ejemplo, un sistema con N sólidos rígidos <math>S_i</math>), el sumatorio para partículas es de hecho una integral:

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.

<div>
=====💭 Demostración ➕=====

La segunda ley de Newton para cada elemento de masa multiplicada vectorialmente por <math>\QPvec</math es:

<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math>

El término de la derecha se puede reescribir como:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

Al ser '''Q''' un punto de la RTQ, se puede tomar como origen de un vector de posición de '''P''' en esta referencia. Por tanto:

<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

Teniendo en cuenta que la masa es constante:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math>

La suma de este término para todos los elementos '''P''' conduce a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

Si las fuerzas de interacción sobre cada partícula '''P''' se clasifican en internas y externas, la suma para todas las partículas del sistema del lado izquierdo de la primera ecuación se convierte en:

<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math>

<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> 

ya que el principio de acción y reacción garantiza que el momento total de una pareja de fuerzas de acción y reacción es nulo: 

<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math> 

Agrupando todos los términos: 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

</div>

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==D4.5 Teorema del Momento Cinético (TMC): formulaciones particulares==
El TMC toma expresiones más sencillas cuando el punto '''Q''' es fijo a una referencia galileana o cuando es el centro de masas del sistema.

* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, llamamos a esta versión “TMC en punto fijo”, donde se sobreentiende que “fijo” quiere decir “fijo a una referencia galileana”. En este caso, normalmente utilizaremos la letra '''O''' para designar el punto '''Q'''.

* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math> Hay que notar que, si bien la expresión es similar a la versión en punto fijo, el centro de masas '''G''' no tiene por qué ser fijo a una referencia galileana.

Cuando '''Q''' no es ni un punto fijo a RGal ni coincide con el centro de masas, se suele hablar de la versión del TMC “en punto móvil”. Aunque '''Q''' sea un punto móvil respecto a RGal, el término asociado a las fuerzas de inercia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> puede ser nulo si '''Q''' se mueve a velocidad constante respecto a RGal, o si su aceleración respecto a RGal es paralela a <math>\QGvec</math>.

<center>
{| class="wikitable"
|+
|-
! '''TMC en punto fijo''' !! '''TMC en '''<math>\Gs</math> !! '''TMC en punto móvil '''<math>\Qs</math>
|-
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center>
||
<center>
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center>
||
<center>
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math> 

<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center>

|}
</center>

El vector momento cinético <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no es sencillo de calcular en general, y se presenta en la [[D5. Tensor de inercia|'''unidad D5''']].

En problemas de cinemática plana (2D), si el momento cinético <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sólido del sistema que se estudia es paralelo a la velocidad angular del sólido <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que es de dirección ortogonal al plano del movimiento), sólo la componente del TMC perpendicular al plano es interesante. Se dice entonces que el problema es de dinámica plana (2D), y el problema se puede hacer a partir de dos componentes del TCM y de una del TMC.

En problemes d’estàtica, tant la quantitat de moviment com el moment cinètic a qualsevol punt són nuls permanentment, i per tant són nul·les també les seves derivades temporals. L’estudi de la dinàmica en un pla també es pot fer a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.

<div>
===TMC en un punto de contacto entre dos sólidos===
Un enlace que aparece a menudo en los sistemas mecánicos es el contacto puntual entre parejas de sólidos (S1 y S2, por ejemplo). Este enlace puede introducir entre 1 y 3 incógnitas de enlace (según la rugosidad de las superficies y la cinemática del contacto – con o sin deslizamiento). Cuando estas fuerzas no se quieren calcular, es tentador aplicar el TMC en el punto de contacto '''J''' (ya que su momento respecto a '''J''' es nulo). 

[[Archivo:TMCaJ-0-esp.png|thumb|right|230px|link=]]

La aplicación del TMC en '''J''' es muy delicada. Hay que precisar de qué punto '''J''' se habla ([[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''ejemplo C5-1.8''']]): si se trata del J del sólido S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sólido S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math>, o bien si es el punto geométrico de contacto <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math>. Por un lado, estos tres puntos tienen cinemáticas distintas <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math>, y el término complementario asociado al momento de las fuerzas de inercia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> es distinto. Por otro lado, si por ejemplo el TMC se aplica al sólido S1, hay que tener presente que, aunque <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertenece a S1 y se puede calcular el momento cinético a partir del tensor de inercia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> y <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no pertenecen a S1, y hay que hace la descomposición baricéntrica para calcular este vector.

Finalmente, ya que hay que derivar el momento cinético, hay que calcularlo en una configuración general (es decir, cuando '''J''' no es aún el punto de contacto), y sólo después de haber hecho la derivada se puede particularizar el resultado a la configuración en que '''J''' es el punto de contacto. Como ilustración de todo ello, el esquema siguiente muestra la aplicación del TMC a una rueda con movimiento plano que toca al suelo y desliza.

[[Archivo:TMCaJ-1-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{rueda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{rueda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJrueda}(\Js_\mathrm{rueda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{rueda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJrueda}(\Js_\mathrm{rueda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math>
</center> 

[[Archivo:TMCaJ-2-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}
\end{array}\right.
</math> 

[[Archivo:TMCaJ-3-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)
\end{array}\right.
</math>
</center></center>
</div>

------
------

==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==
<div>
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====
------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex5-1-esp.png|thumb|left|180px|link=]]
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:
[[Archivo:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
|}

En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant: 

<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math> 

Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math>

Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math>

</div>

<div>
====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====
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:
{|
|[[Archivo:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|left|230px|link=]]
|Els blocs pengen de dos fils inextensibles lligats a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de calcular l’acceleració angular de les politges. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :
[[Archivo:D4-Ex6-2-neut.png|thumb|center|340px|link=]]
|}

En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> : 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math> 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math> 

Per la definició de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs: 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math> 

<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math> 

[[Archivo:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
Resolución alternativa 

Si se aplica el TMC al punto '''O''' para el sistema formado por las poleas y las cuerdas, el peso de los bloques ya no aparece como interacción externa, pero aparecen en cambio las tensiones de las dos cuerdas (que son incógnitas de enlace).

El momento cinético del sistema es nulo porque no tiene masa: 

SIST: poleas + cuerdas 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math> 
[[Archivo:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]

La aplicación del TCM a cada uno de los bloques genera dos ecuaciones más: 

SIST: bloque de 10kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloque}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math> 

SIST: bloque de 5kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloque}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math> 

La resolución del sistema de ecuaciones conduce a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>. 

La primera resolución es más rápida (solo utiliza una ecuación escalar), pero implica el cálculo del momento cinético. Esta segunda resolución es más larga (sistema de tres ecuaciones) pero no requiere calcular ningún momento cinético.

</div>

<div>

====✏️ EJEMPLO D4.7: dinámica longitudinal de un vehículo====
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:
{|
|[[Archivo:D4-Ex7-1-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|El vehículo sin suspensiones se mueve sobre una carretera rectilínea. La masa de las ruedas es despreciable comparada con la del resto de los elementos, y se considera que su contacto con el suelo es puntual. Se trata de analizar las fuerzas normales de enlace entre suelo y ruedas.

Es un problema de dinámica plana. Las fuerzas externas sobre el vehículo se reducen al peso y al enlace con el suelo. Si la aceleración del chasis respecto al suelo es un dato, la aplicación del TCM conduce a:
|}

{|
|

<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}

\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)
\end{aligned}\right.</math>

donde <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> y <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> son las fuerzas normal y tangencial que en total reciben las dos ruedas delanteras y las dos traseras, respectivamente.

El TMC en G conduce a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs}) + \Ts_{\ds\rs}] =0</math> (el momento cinético <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> es permanentemente nulo ya que las ruedas no tienen masa, y el resto del vehículo tiene movimiento nulo respecto a la RTG).
|
[[Archivo:D4-Ex7-2-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|}

Resolviendo el sistema de ecuaciones: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math>

Este resultado es válido para cualquier valor de <math>\as_\Ls</math>:

:*Situación estática (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la fuerza normal es mayor en las ruedas que tienen el eje más cerca de '''G'''.

:*Acelerando (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hay un trasvase de fuerza de delante hacia detrás (se cargan las ruedas traseras y se descargan las delanteras). Si la aceleración <math>|\as_\Ts|</math> es suficientemente elevada, la fuerza normal delantera pasa a ser negativa, cosa que indica que se ha perdido el contacto y el vehículo vuelca en sentido antihorario. Entonces, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el chasis pasa a tener, en principio, aceleración angular, y como consecuencia el centro de masas '''G''' adquiere aceleración vertical.

:*Frenando (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hay un trasvase de fuerza del atrás hacia delante (se descargan las ruedas traseras y se cargan las delanteras). Como en el caso precedente, hay un valor crítico de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el vuelco, esta vez en sentido horario.


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</div>

==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==

La aplicación de los teoremas vectoriales a los [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.5 Interacciones indirectas de enlace: Sólidos Auxiliares de Enlace (SAE)|'''Sòlidos Auxiliares de Enlace''']] (SAE) es sencilla ya que los términos de la derecha (variación de cantidad de movimiento y variación de momento cinético) son nulos por ser nula su masa:

<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{cualquier} \hspace{0.2cm} \mathrm{punto}) \approx \overline{0}.</math> 

Para el caso de un SAE (sólido S) que conecta dos sólidos rígidos S1 y S2 ('''Figura D4.5'''), estas ecuaciones permiten demostrar que el torsor que actúa sobre S1 se puede obtener a partir de una ecuación de caracterización analítica donde la cinemática del punto P de caracterización (que tiene que pertenecer al sólido S1) se evalúa en la referencia solidaria a S2:

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math> 

(Cuando se trata de velocidades, es importante especificar a qué sólido pertenece el punto P. Esto, en cambio, es irrelevante cuando se trata de momentos: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>). 

[[Archivo:D4-5-esp.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.5:'''Sólido Auxiliar de Enlace entre dos sólidos de masa no nula</center> 

<div>
=====💭 Demostración ➕=====

Los teoremas vectoriales aplicados sobre el SAE implican que los torsores de enlace que recibe de S1 y S2 en un mismo punto '''P''' han de sumar cero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)
\end{array}\right.</math> 

Por otro lado, estos torsores cumplen la [[D3. Interacciones entre sólidos rígidos#D3.4 Interacciones directas de enlace|'''ecuación de caracterización analítica''']]:

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math> 

Si se combinan todas las ecuaciones anteriores, se obtiene: 

<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math> 

Una [[C3. Composición de movimientos#C3.1 Composición de velocidades|'''composición de movimientos''']] permite reescribir la ecuación anterior de manera más compacta:

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math> 

Finalmente: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math>

</div>

<div>
====✏️ EJEMPLO D4.8: dinámica longitudinal de un vehículo ====
---------
:
{|
|[[Archivo:D4-Ex8-1-esp.png|thumb|left|220px|link=]]
|En el vehículo del ejemplo D4.7, se considera que la tracción es posterior. Esto quiere decir que el motor del vehículo actúa entre el chasis y las ruedas posteriores, mientras que las delanteras sólo están sometidas a interacciones de enlace (articulación con el chasis y contacto con el suelo).

Si se tratan las ruedas delanteras como SAE, el análisis cinemático del chasis respecto al suelo para la caracterización del enlace a través de las ruedas delanteras conduce a un torsor en el centro de la rueda (que es fijo al chasis) con sólo una componente de fuerza:
|}
[[Archivo:D4-Ex8-2-esp.png|thumb|center|370px|link=]]
La existencia de una componente horizontal de fuerza entre las ruedas posteriores (¡necesaria para acelerar o frenar el vehículo!) está asociada al par motor. Si se aplican los teoremas vectoriales a las ruedas posteriores, las interacciones externas a tener en cuenta son el enlace con el suelo, la articulación con el chasis y el par motor <math>\Gamma</math>:
[[Archivo:D4-Ex8-3-esp.png|thumb|center|370px|link=]]

<math>\ms_\mathrm{ruedas} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{TCM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dv}=\Ns'_\mathrm{dv} , \Ts_\mathrm{dv}=\Ts'_\mathrm{dv} \\
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{en} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dv}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dv}=\Gamma / \rs
\end{array}\right. </math> 

La fuerza tangencial sobre las ruedas motrices es directamente proporcional al par motor que se les aplica. Sin embargo, hay que recordar que, como fuerza tangencial de enlace, su valor está limitado por <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>. Esto permite calcular la aceleración máxima que puede adquirir el vehículo (mientras la rueda delantera no pierda el contacto con el suelo):

<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehículo})\right]_\mathrm{máx}= \Ts_\mathrm{dr,máx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>. 

En terrenos de bajo rozamiento (<math>\mu_\es</math> de valor bajo), un motor capaz de suministrar un par máximo alto es inútil: quien pone límite a la aceleración es el valor del coeficiente de fricción <math>\mu_\es</math>: <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math>.

En terrenos de alto rozamiento, si el par máximo es bajo, es él el que pone límite a la aceleración: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la rueda delantera no pierde contacto con el suelo).


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==D4.8 Descomposición baricéntrica del momento cinético==

La versión del TMC que se ha presentado permite escoger libremente el punto '''Q''' de aplicación. El criterio para escogerlo se basa en lo que se quiera investigar (una fuerza de enlace, una ecuación del movimiento...). En la [[D6. Ejemplos de dinámica 2D|'''unidad D6''']] se discute este criterio.

En algunos casos, puede ser interesante escoger un punto '''Q''' que no pertenezca a ningún elemento material del sistema. Entonces, es útil referir el cálculo del momento cinético <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al momento cinético en el centro de masas '''G''' del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Esto se conoce con el nombre de '''descomposición baricéntrica''' del momento cinético:

<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>,

donde el superíndice <math>\oplus</math> indica que el momento cinético debe calcularse como si el sistema se hubiera reducido a una partícula concentrada en '''G''' con masa igual a la masa total del sistema (M):

<math>\H{Q}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math>

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=====💭 Demostración ➕=====

:La definición de momento cinético de un sólido rígido S es: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocidad <math>\vel{P}{RTQ}</math> se puede escribir como suma de dos términos si se aplica una composición de movimientos:

:<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math> 

:Por tanto: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.

:La definición de [[D4. Teoremas vectoriales#D4.1 Teorema de la Cantidad de Movimiento (TCM) en referencias galileanas|'''centro de masas''']] lleva a reescribir el segundo término como:

:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincide con el momento cinético respecto a '''Q''' de una partícula de masa M situada en '''G''': <math>\QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ} = \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.

:En el primer término de la expresión de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, se puede descomponer <math>\QPvec</math> en suma de dos términos:

:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math>

:Por definición de centro de masas: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.

:Por tanto: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.

</div>

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===== ✏️ EJEMPLO D4.9: descomposición baricéntrica =====
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{|

|[[Archivo:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|El sólido está formado por dos barras de masa despreciable y cuatro partículas ('''P''') con masa m unidas a los extremos de las barras. El sólido está articulado a un soporte que puede moverse a lo largo de una guía fija al suelo. Su momento cinético en G es:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math>

La RTG es fija al soporte, y la velocidad de las partículas respecto a esta referencia es proporcional a la rotación <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Por tanto:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math>
|}
:El momento cinético en '''O''' (fijo al suelo) se puede calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mediante descomposición baricéntrica:

:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{O}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times 4\ms\vel{G}{T} =</math>
<math>\hspace{1cm} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math>


</div>

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