C3. Composition of movements

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\OQrelvec}{\vec{\Os_{\textrm{REL}}\Qs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\Orel}{\Os_{\textrm{REL}}} \newcommand{\omegarelab}{\vec{\Omega}^{\textrm{REL}}_{\textrm{AB}}} \newcommand{\velQab}{\vel{Q}{AB}} \newcommand{\velQrel}{\vel{Q}{REL}} \newcommand{\velQar}{\vel{Q}{ar}} }[/math]

Very often, the motion of a point [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] looks complicated relative to a reference frame R (it is neither circular nor rectilinear) but it can be guessed when that motion is simple (rectilinear, circular or zero) relative to another reference frame R’, and that of R’ relative to R is also simple (for instance, it is a translational motion or a simple rotation). Combining the motion of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to R’ and that of R’ relative to R to obtain the motion of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to R is known as composition of movements (Figure C3.1).

File:C3-1-cat-color.png

Figure C3.1 Combination of two simple uniform motions to describe a complicated one

In the example in Figure C3.2, the composition of movements can be applied to determine the motion of particle [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to the vehicle (R’), from the motion of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to the ground (R), which is a simple one.

File:C3-2-cat-color.png

Figure C3.2 The motion of Q relative to R’ (reference frame associated with the vehicle chassis) can be obtained from the motion relative to R.

Video C3.1 Visualització de la trajectòria d'un mateix punt en dues referències

Traditionally, the reference frames R and R’ implied in the composition are called AB (absolute) and REL (relative). We will use these names from now on.

The relationship between [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} }[/math] and [math]\displaystyle{ \vel{Q}{REL} }[/math] , and that between [math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB} }[/math] and [math]\displaystyle{ \acc{Q}{REL} }[/math] presented in this unit are always valid, regardless the motions of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to the frames REL or AB and the motion between AB and REL are simple or not. When they are simple, the composition of movements is an algebraic alternative (it does not imply time derivatives) to calculate velocities and accelerations (Figure C3.3). When they are not simple, it may be advisable to use other methods (as the time derivative).

File:C3-3-cat-color.png

Figure C3.3 General formulation of the composition of movements. The names of the reference frames may be swapped: the AB frame may correspond to that where the motion of Q is simple, and the REL frame, that where it is complicated.

---

---

C3.1 Composition of velocities

At every time instant, the equation relating the velocity of a point [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] in two different reference frames AB and REL is:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} = \vel{Q}{REL}+\vel{Q}{ar} }[/math]

The second term in the right hand side is the transportation velocity, and it corresponds to the velocity of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] at that precise time instant relative to AB if it were fixed to REL (at the same position it has at that time instant):

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar} = \overline{\textbf{v}}_{\textrm{AB}}(\Qs \in \textrm{REL}) }[/math]

💭 Proof ➕

The velocities [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} }[/math] and [math]\displaystyle{ \vel{Q}{REL} }[/math] can be calculated as time derivatives of the corresponding position vectors:

File:C3-Demo1-1-cat,esp.png

[math]\displaystyle{ \newcommand{\punt}[2]{\textbf{#1}_\textrm{#2}} \vel{Q}{AB} = \dert{\vec{\punt{O}{AB}\punt{Q}{ }}}{AB} = \dert{\vec{\punt{O}{AB}\punt{O}{REL}}}{AB} + \dert{\OQrelvec}{AB} = \vel{$\punt{O}{REL}$}{AB} +\dert{\OQrelvec}{AB} }[/math]

The last term in the equation has no physical interpretation: it is the time derivative of a REL position (as its origin, [math]\displaystyle{ \punt{O}{REL} }[/math] is a point belonging to REL), but the derivative is not performed in REL but in AB. Using the expression relating the time derivative of a same vector in two different reference frames:

[math]\displaystyle{ \dert{\OQrelvec}{AB} = \dert{\OQrelvec}{REL} + \omegarelab\times\OQrelvec = \vel{Q}{REL}+\omegarelab \times \OQrelvec }[/math]

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} = \vel{Q}{REL}+\vvec_\textrm{AB}(\Orel) + \omegarelab \times \OQrelvec }[/math]

Though the last equation is correct (it has been proved!), it contains two terms with [math]\displaystyle{ \Orel }[/math], a point not univocally defined (it may be any point fixed in REL). That drawback can be overcome if we introduce the transportation motion: [math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar} = \vvec_\textrm{AB}(\Qs \in \textrm{REL}) }[/math]. If we imagine that [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] is a point fixed in REL, its velocity relative to AB is:

[math]\displaystyle{ \vvec_\textrm{AB}(\Qs \in \textrm{REL}) = \vvec_\textrm{REL}(\Qs \in \textrm{REL}) + \vvec_\textrm{AB}(\Orel) + \omegarelab \times \OQrelvec = \vvec_\textrm{AB}(\Orel) + \omegarelab \times \OQrelvec }[/math]

Finally, [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB}=\vel{Q}{REL}+\vel{Q}{ar} }[/math]

The equation of composition of velocities implies an instantaneous operation between vectors: [math]\displaystyle{ \velQab }[/math] (or [math]\displaystyle{ \velQrel }[/math]) eat time t is obtained from two vectors, [math]\displaystyle{ \velQrel }[/math] (or [math]\displaystyle{ \velQab }[/math]) and [math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar} }[/math] at the same time t. That mathematical operation is simpler than the time derivative (which is not instantaneous, as it calls for the position vector at two close time instants to obtain the velocity). As will be seen in example C3-1.1, time t may correspond to a particular configuration or to a generic configuration.

In secció C3.3 we will comment farther on the differences between the composition of movements and the time derivative of vectors to calculate velocities and accelerations.

✏️ Exemple C3-1.1: anella giratòria

---

La guia circular (REL) té un moviment de rotació simple respecte del terra (AB) , amb valor [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] . La partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] es mou dins la guia.

L’instant que es presenta a la figura és genèric ja que la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math] no té un valor numèric concret. La velocitat del punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte del terra es pot obtenir de manera immediata per composició:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB}=\vel{Q}{REL}+\vel{Q}{ar} }[/math]

El moviment de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de REL és circular de radi r, i la velocitat és tangent a la guia. Si imaginem [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] fixa a la guia, el seu moviment respecte del terra (moviment d’arrossegament) és circular, de radi [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} \equiv \rho }[/math] i centre [math]\displaystyle{ \Os }[/math], i la velocitat és perpendicular a [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] i de valor [math]\displaystyle{ \rho\dot\psi }[/math] . Ja que la direcció [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] (i per tant la seva perpendicular) són direccions que no tenen a veure amb les que suggereix el sistema (com ara el mànec de la guia, o la direcció [math]\displaystyle{ \vecbf{CQ} }[/math] ), és millor descriure la velocitat d’arrossegament com a suma de dos vectors:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar} = \vvec_\textrm{AB}(\Qs \in \textrm{REL}) = \vec{\dot\psi} \times \OQvec = \vec{\dot\psi} \times \vecbf{OC} + \vec{\dot\psi} \times \vecbf{CQ} }[/math]

File:C3-Ex1-1-2-cat,esp.png

El resultat obtingut per a [math]\displaystyle{ \velQab }[/math] és genèric, i pot reproduir aquest vector per a qualsevol valor de [math]\displaystyle{ \theta }[/math] (per tant, per a qualsevol instant de temps). Per aquest motiu, l’acceleració de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte del terra ([math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB} }[/math]) es podria obtenir a través de la derivació de [math]\displaystyle{ \velQab }[/math].

En aquest sistema, la guia arrossega físicament la partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]. En l’aplicació de la composició, en general, això no té per què ser així (veure exemple C3-1.3 i exemple C3-1.4).

Animació interactiva C3.1 Anella giratòria de l'exemple C3-1.1 amb R=2r, AB=Terra i REL=Guia [© GeoGebra]

✏️ Exemple C3-1.2: roda sobre suport giratori

---

El suport (REL) té un moviment de rotació simple respecte del terra (AB) , al voltant d’un eix vertical fix i amb valor [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] . La roda està articulada al suport, i gira amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] respecte del suport.

Per a l’instant que es mostra, la velocitat del punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte del terra, es pot obtenir de manera immediata per composició:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} = \velQrel + \vel{Q}{ar} }[/math]

El moviment de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de REL és circular de radi R en tot instant. Per a l’instant representat, [math]\displaystyle{ \velQrel }[/math] és vertical cap a baix de valor [math]\displaystyle{ \Rs\omega_0 }[/math].

El moviment d’arrossegament, per a l’instant representat, és nul: si imaginem [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] fix al suport, com que es troba just al damunt de l’eix de rotació, la seva velocitat instantània és zero [math]\displaystyle{ (\vel{Q}{ar} = \vec{0}) }[/math] . Per tant:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} = \velQrel + \vel{Q}{ar}=\velQrel = \downarrow \Rs\omega_0 }[/math]

Si [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] es trobés a la posició diametralment oposada de la que es mostra, el moviment d’arrossegament seria circular en un pla horitzontal, amb radi 2R i centre de curvatura sobre l’eix de rotació del suport.

La configuració que s’ha estudiat en aquest exemple no és genèrica, doncs es refereix només a l’instant en que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] es troba sobre l’eix de rotació del suport. Per aquest motiu, no conté la informació estesa al llarg del temps necessària per obtenir [math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB} }[/math] com a derivada temporal de la velocitat [math]\displaystyle{ \velQab }[/math] obtinguda.

✏️ Exemple C3-1.3: vehicles

---

Els punts [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] dels vehicles VP i VQ, respectivament, recorren trajectòries circulars respecte del terra (R), del mateix radi r però diferent centre de curvatura. Tots dos tenen celeritat [math]\displaystyle{ \vs_0 }[/math].

Per a l’instant mostrat a la figura, la velocitat del punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte del vehicle VP es pot trobar fàcilment per composició:

Si [math]\displaystyle{ \textrm{AB} = \Rs }[/math] i [math]\displaystyle{ \textrm{REL} = \textrm{VP} }[/math]

[math]\displaystyle{ \velQrel=\velQab-\vel{Q}{ar} = (\rightarrow\vs_0)-\vel{Q}{ar} }[/math]

El vehicle VP fa un moviment de rotació simple respecte del terra. Des del punt de vista cinemàtic, és totalment equivalent a una plataforma giratòria de qualsevol radi amb centre [math]\displaystyle{ \Os }[/math] fix a terra.

Si imaginem que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] pertany a la plataforma, el seu moviment respecte del terra és circular, amb centre [math]\displaystyle{ \Os }[/math] i celeritat doble de la de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math], ja que es troba a distància 2r de [math]\displaystyle{ \Os }[/math]: [math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar}=(\leftarrow 2\vs_0) }[/math].

Finalment:

[math]\displaystyle{ \velQrel= (\rightarrow\vs_0)-(\leftarrow 2\vs_0)=\rightarrow 3\vs_0 }[/math]

En aquest cas, la plataforma (el vehicle VP) no arrossega físicament [math]\displaystyle{ \Qs }[/math].

✏️ Exemple C3-1.4: sínia

---

L’anella de la sínia gira amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] respecte del terra (R). La cabina està articulada a l’anella. Si es negligeix la petita oscil·lació que permet l’articulació, la cabina no gira respecte del terra (exemple C2-6.4).

La velocitat del punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math], fix a terra, respecte de la cabina, és:

Si [math]\displaystyle{ \textrm{AB} = \textrm{terra} }[/math] [math]\displaystyle{ (\Rs }[/math]) i [math]\displaystyle{ \textrm{REL} = \textrm{cabina} }[/math]

[math]\displaystyle{ \velQrel=\velQab-\velQar=-\velQar }[/math]

Si imaginem que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] pertany a la cabina, el seu moviment respecte del terra és com el de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] perquè la cabina no gira respecte del terra: circular, de radi r i valor [math]\displaystyle{ \rs\Omega_0 }[/math]. El que és diferent és la ubicació del centre de curvatura: per al moviment de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math], és el punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math]; per al moviment d’arrossegament de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math], es troba a la dreta de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] a una distància R. Per tant:

[math]\displaystyle{ \velQrel=-\velQar=-(\downarrow\rs\Omega_0)=\uparrow\rs\Omega_0 }[/math]

File:C3-Ex1-4-2-cat,esp.png

---

---

C3.2 Composició d'acceleracions

L’equació que relaciona l’acceleració d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en dues referències AB i REL diferents és:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\acc{Q}{REL}+\acc{Q}{ar}+\acc{Q}{Cor} }[/math]

on [math]\displaystyle{ \acc{Q}{ar} }[/math] és l’acceleració d’arrossegament i [math]\displaystyle{ \acc{Q}{Cor} }[/math] és l’acceleració de Coriolis.

L’acceleració d’arrossegament correspon a l’acceleració que tindria [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en aquest instant si fos un punt fix a REL (a la posició que té en aquest instant) i s’avalués la seva acceleració des de la referència AB:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{ar}=\vecbf{a}_\textrm{AB}(\Qs\in \textrm{REL}) }[/math]

L’acceleració de Coriolis té la següent expressió és no té una interpretació física senzilla:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{Cor}=2\velang{REL}{AB}\times\vel{Q}{REL} }[/math]

La velocitat [math]\displaystyle{ \velang{REL}{AB} }[/math] es pot anomenar velocitat angular d’arrossegament [math]\displaystyle{ (\velang{REL}{AB}\equiv\velang{ }{ar}) }[/math].

💭 Demostració ➕

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\dert{\vel{Q}{AB}}{AB}=\dert{\vel{Q}{REL}}{AB}+\dert{\vel{Q}{ar}}{AB}=\dert{\vel{Q}{REL}}{AB} + \dert{\vel{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB}}{AB}+\dert{(\velang{REL}{AB}\times\OQrelvec)}{AB} }[/math]

El terme [math]\displaystyle{ \dert{\vel{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB}}{AB} }[/math] s’identifica immediatament com a [math]\displaystyle{ \acc{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB} }[/math]. Fent servir la relació que hi ha entre la derivada temporal de un mateix vector en dues referències diferents, els altres termes es poden reescriure com a:

[math]\displaystyle{ \dert{\vel{Q}{REL}}{AB}=\dert{\vel{Q}{REL}}{REL}+\velang{REL}{AB}\times\vel{Q}{REL}=\acc{Q}{REL}+\velang{ }{ar}\times\vel{Q}{REL}, }[/math] [math]\displaystyle{ \begin{align} \dert{(\velang{REL}{AB}\times\OQrelvec)}{AB} & =\dert{(\velang{}{ar}\times\OQrelvec)}{AB}= \dert{\velang{}{ar}}{AB}\times\OQrelvec+\velang{ }{ar}\times\dert{\OQrelvec}{AB}= \\ & = \accang{}{ar}\times\OQrelvec+\velang{}{ar}\times\left(\dert{\OQrelvec}{REL}+\velang{}{ar}\times\OQrelvec\right)= \\ & = \accang{}{ar}\times\OQrelvec+\velang{}{ar}\times\vel{Q}{REL}+\velang{}{ar}\times\left(\velang{}{ar}\times\OQrelvec\right) \end{align}\\ }[/math]

Agrupant tots els termes i reordenant-los, s’obté:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\acc{Q}{REL}+\acc{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB}+\velang{}{ar}\times\left(\velang{}{ar}\times\OQrelvec\right)+\accang{}{ar}\times\OQrelvec+2\velang{}{ar}\times\vel{Q}{REL}. }[/math]

Els tres termes que contenen el punt [math]\displaystyle{ \Orel }[/math] corresponen a l’acceleració d’arrossegament de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]: si imaginem que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] pertany a REL, [math]\displaystyle{ \overline{\textbf{v}}_{\textrm{REL}}(\Qs \in \textrm{REL})=\vec{0} }[/math], [math]\displaystyle{ \overline{\textbf{a}}_{\textrm{REL}}(\Qs \in \textrm{REL})=\vec{0} }[/math]. Introduint això a l’expressió anterior:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{ar}=\overline{\textbf{a}}_{\textrm{AB}}(\Qs \in \textrm{REL})=\acc{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB}+\velang{}{ar}\times\left(\velang{}{ar}\times\OQrelvec\right)+\accang{}{ar}\times\OQrelvec. }[/math]

Finalment, [math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\acc{Q}{REL}+\acc{Q}{ar}+2\velang{}{ar}\times\vel{Q}{REL}\equiv\acc{Q}{REL}+\acc{Q}{ar}+\acc{Q}{Cor}. }[/math]

✏️ Exemple C3-2.1: roda sobre suport giratori

---

Per al sistema de l’exemple C3-1.2, el moviment d’arrossegament de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] és nul. Per tant:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\acc{Q}{REL}+\acc{Q}{Cor}=\acc{Q}{REL}+2\velang{}{ar}\times\vel{Q}{REL} }[/math]

Si es considera que [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] és constant, el moviment relatiu de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (que és circular) només té component normal d’acceleració. Per tant:

✏️ Exemple C3-2.2: vehicles

---

En l’exemple C3-1.3, la velocitat angular d’arrossegament és vertical (perpendicular al dibuix) i de valor [math]\displaystyle{ \textrm{v}_0 /\textrm{r} }[/math]. Si es considera que els punts [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] tenen celeritat constant ([math]\displaystyle{ \textrm{v}_0 }[/math] constant), l’acceleració del moviment relatiu i la del d’arrossegament de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (tots dos circulars) només tenen component normal. Per tant:

File:C3-Ex2-2-1-cat,esp.png

✏️ Exemple C3-2.3: sínia

---

Suposem que la velocitat angular [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] de l’anella de la sínia de l’exemple C3-1.4 és constant. Llavors, l’acceleració del moviment d’arrossegament només té component normal. Per altra banda, ja que la cabina no gira respecte del terra [math]\displaystyle{ \left(\Omega_{ar}=\Omega_{R}^{cabina}=0\right) }[/math], [math]\displaystyle{ \acc{Q}{Cor}=\vec{0} }[/math]. Així:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{REL}=\acc{Q}{AB}-\acc{Q}{ar}=-(\rightarrow\textrm{r}\Omega_0^2)=\leftarrow\textrm{r}\Omega_0^2 }[/math]

File:C3-Ex2-3-1-cat,esp.png

---

Video C3.2 Aplicació de la composició de moviments en el mecanitzat de peces (la forma del mecanitzat és la trajectòria de la punta de l'eina de tall relativa a la peça que està girant)

---

---

C3.3 Composició de moviments VS derivació temporal

Com s’ha comentat anteriorment, l’avantatge principal de la composició de moviments és que es basa en una operació instantània entre vectors (tot i que el resultat que s’obté pot ser vàlid per a qualsevol instant de temps si la configuració en la que es realitza la composició és genèrica). Si, a més, el moviment del punt respecte a una de les dues referències (AB o REL) és senzill i el moviment entre les dues referències també ho és, la composició de moviments és un mètode més intuïtiu i directe que la derivació temporal. En qualsevol cas, a l’hora de fer un càlcul cinemàtic, cal avaluar quin és el mètode més ràpid i segur per arribar al resultat. Això pot portar de vegades a emprar la composició per al càlcul de velocitats i la derivació per al d’acceleracions (sempre que l’expressió de la velocitat que es pretengui derivar sigui genèrica, és a dir, vàlida per a qualsevol instant de temps).

✏️ Exemple C3-3.1: partícula dins de guia rectilínia giratòria

---

La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] es mou dins d’una guia rectilínia que gira respecte del terra amb velocitat angular constant [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math]. Si es pren la guia com a referència REL i el terra com a AB, la composició de moviments dóna lloc a la velocitat i l’acceleració següents:

File:C3-Ex3-1-2-cat,esp.png

Ja que la velocitat que s’ha obtingut és per a una posició general de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] (la coordenada r no té un valor numèric concret), aquesta velocitat és vàlida per a qualsevol instant de temps. Per tant, es pot derivar per obtenir l’acceleració:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\dert{\vel{Q}{AB}}{AB}=\dert{\vel{Q}{REL}}{AB}+\dert{\vel{Q}{ar}}{AB} }[/math]

El resultat és el mateix que el que s’ha trobat per composició d’acceleracions.

✏️ Exemple C3-3.2: pèndol d’Euler

---

En la configuració particular del pèndol d’Euler que es mostra, si es pren el bloc com a referència REL i el terra com a AB, el moviment relatiu de l’extrem del pèndol [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] és circular de radi L (longitud del pèndol) i centre de curvatura situat a l’articulació entre pèndol i bloc. El moviment d’arrossegament és rectilini ja que el bloc es trasllada respecte del terra [math]\displaystyle{ (\Omega_{AB}^{REL}=\Omega_{ar}=0) }[/math]. La composició de moviments dóna lloc a la velocitat i l’acceleració següents:

File:C3-Ex3-2-1-cat.png

L’obtenció de l’acceleració per derivació de la velocitat és arriscada. En tenir la velocitat particularitzada a la configuració vertical del pèndol, es pot pensar erròniament que la velocitat no canvia de direcció (que és sempre paral·lela al terra) o que ho fa igual que el pèndol (amb ritme de canvi d’orientació [math]\displaystyle{ \dot{\psi} }[/math]). Això donaria els resultats erronis següents:

File:C3-Ex3-2-2-cat.png

Si es raona adequadament, la derivació geomètrica pot conduir al resultat correcte. Cal tenir present que una part de la velocitat (la que correspon al moviment relatiu) canvia d’orientació a ritme [math]\displaystyle{ \dot{\psi} }[/math], mentre que l’altra (la del moviment d’arrossegament) és sempre horitzontal.

La derivació analítica és més enganyosa. Si es projecta la velocitat en una base on un dels eixos és paral·lel al pèndol en aquest instant, no queda clar si [math]\displaystyle{ \velang{B}{R}=\vec{0} }[/math] o bé [math]\displaystyle{ \velang{B}{R}=\odot\;\dot{\psi} }[/math] (que correspon exactament als dos errors que condueixen a la figura anterior).

---

---

C3.E Exercicis resolts

🔎 Exercici C3-E.1

---

EN CONSTRUCCIÓ

Resolució ➕

EN CONSTRUCCIÓ

🔎 Exercici C3-E.2

---

EN CONSTRUCCIÓ

Resolució ➕

EN CONSTRUCCIÓ

🔎 Exercici C3-E.3

---

EN CONSTRUCCIÓ

Resolució ➕

EN CONSTRUCCIÓ

© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats

---

---

<<< C2. Moviment d'un sistema mecànic

C4. Cinemàtica del sòlid rígid >>>