D4. Vector theorems
[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\as}{\textrm{a}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ns}{\textrm{n}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\qs}{\textrm{q}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\gs}{\textrm{g}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Js}{\textbf{J}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\ss}{\textsf{s}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\JGvec}{\vec{\Js\Gs}} \newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}} \newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}} \newcommand{\H}[3]{\vec{\mathbf{H}}_{\text{#3}}^{#2}(\textbf{#1})} }[/math]
The Vector Theorems are a tool for solving the dynamics of mechanical systems, and are obtained from the fundamental law of dynamics (Newton's second law) and the principle of action and reaction (Newton's third law).
In this course, only the version of the theorems for the case of constant matter systems is presented. Although this includes systems with fluids, the application examples in this course are essentially multibody systems made up of rigid bodies.
When addressing a problem, it is essential to identify the unknowns contained in the system under study and to analyze whether the vector theorems provide a sufficient number of equations to solve them all (one must know whether the problem is determinate or indeterminate!). The unknowns can be classified into three groups:
- Time evolution of the free degrees of freedom (DoF) (not controlled by actuators) of the system. The equations that govern these DoF are called equations of motion. If the free DoF are described by time derivatives of coordinates ([math]\displaystyle{ \qs_i }[/math], with i=1,2,3...), their time evolution is the second time derivatives of these coordinates (accelerations). Their general aspect is:
The dependence of the equations of motion on the second time derivatives is always linear, while the dependence on the coordinates and velocities can be of any type. The dynamic parameters are the mass of the elements and those associated with their distribution in space, and the parameters associated with the interactions on the system (spring and damper constants, coefficients of friction, gravitational field constants...); the geometric parameters have to do with the shape of the elements of the system (distances and angles).
- Actuator actions: these are the forces (in the case of linear actuators) and moments (in the case of rotatory actuators) required to ensure predetermined evolutions of the DoF they control. As discussed in section D2.6, in some cases the actuator actions can be considered as data, and then the associated unknowns are the evolutions of the DoF they control.
- Constraint forces and movements: the number of unknowns associated with the constraints depends on the description given of them (direct constraints, indirect constraints). When a dynamics problem is indeterminate, the indeterminacy always refers to the constraint torsor components, never to the DoF (free or forced).
D4.1 Linear Momentum Theorem (LMT) in Galilean reference frames
Let us consider a system of particles with constant matter (Figure D4.1). The Linear Momentum Theorem (LMT) is obtained by applying Newton's second law to each particle P of the system. If the chosen reference frame is Galilean:
[math]\displaystyle{ \F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal} }[/math], where [math]\displaystyle{ \F{\rightarrow\Ps} }[/math] is the interaction resultant force on P.
The forces acting on each particle can be classified into two groups: internal (which come from the interaction with other particles in the system) and external (associated with interactions with elements external to the system): [math]\displaystyle{ \F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal} }[/math]. If these equations are added for all particles, the internal forces between pairs of particles cancel out two by two by the principle of action and reaction:
The term on the left-hand side is the resultant of external forces on the system, and is often written simply as [math]\displaystyle{ \sum\F{ext} }[/math]. The term on the right-hand side can be rewritten as [math]\displaystyle{ \Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right] }[/math], where M is the total mass of the system [math]\displaystyle{ \left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right) }[/math]. The term [math]\displaystyle{ \left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right] }[/math] is a weighted acceleration, where the weighting is proportional to the mass of each particle. This acceleration is associated with a point called center of mass (or center of inertia) of the system, and in this course it is designated by letter G. For any reference frame, then, the kinematics of G are described by the equations (Figure D4.2):
In continuous sets of particles (such as a set of rigid or deformable bodies, or fluids), the summation for particles is actually an integral:
Finally, the LMT is written as:
This equation is very similar to Newton's second law: the centre of mass G behaves as if it were a particle of mass equal to the total mass of the system, and on which all the forces external to the system acted. Despite the parallelism between the LMT and the particle dynamics equation, there are two fundamental differences:
- the mass of the system is not localized at G (G might be even located in a massless region of the system, as in the case of a homogeneous ring);
- the external forces are not applied to G in general.
The LMT is so named because it allows us to know the evolution, based on the knowledge of the initial mechanical state and the external interactions, of the linear momentum of the system (which, in any reference frame R, is defined as [math]\displaystyle{ \sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R} }[/math]):
The location of the center of mass in the systems under study (whether it is a single rigid body or a multi-body system) is briefly introduced in unit D4. For homogeneous bodies with very simple geometry, the position of G can often be deduced from the body symmetries.
In planar problems (with 2D kinematics), only the two components of the LMT contained in the plane of motion are interesting.
D4.2 LMT: application examples
✏️ EXAMPLE D4.1: calculation of a constraint force
| The three homogeneous blocks are smooth, and are in contact with each other and with a smooth horizontal ground. We want to investigate the value of the horizontal constraint force between blocks Q and S when a horizontal force F is applied to the block on the left.
All constraints appearing in this system are multiple-point contacts between smooth surfaces. Therefore, each associated torsor, characterized at a contact point, contains a force and a moment component (example D3.4). However, in the application of the LMT only the forces are involved, so the moments will not be shown in the following figures. |
In order for the constraint force [math]\displaystyle{ \Fs_{\Qs\rightarrow\Ss} }[/math] to appear in the horizontal component of the LMT, the theorem must be applied to a system where this force is external. For example, to block S: [math]\displaystyle{ (\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\Es_\Ts(\Gs_\Ss)] }[/math].
Since the motion of the three blocks caused by force F is the same, the acceleration can be obtained through the LMT applied to the whole system:
Aquesta equació conté dues incògnites: [math]\displaystyle{ \Fs_{\Qs\rightarrow\Ss} }[/math] i [math]\displaystyle{ \as_\Ts(\Gs_\Ss) }[/math]. Ja que el moviment dels tres blocs provocat per la força F és el mateix, l’acceleració es pot obtenir amb el TQM aplicat a tot el sistema:
✏️ Exemple D4.2: moviment inicial d’un sistema
| thumb|center|300px|link= | Els blocs homogenis es troben inicialment en repòs sobre un terra rugós, i units mitjançant una molla comprimida amb una tensió [math]\displaystyle{ \Fs_0=\ms\gs }[/math] i un fil inextensible. En un cert instant, es talla el fil i el sistema comença a moure’s. |
Es tracta de calcular l’acceleració del centre d’inèrcia del sistema respecte del terra. Aquesta acceleració es pot obtenir a partir de la component horitzontal del TQM aplicat a tot el sistema. La molla és interna, i per tant la seva força no apareix: [math]\displaystyle{ \F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{terra}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T} }[/math].
Les forces que el terra exerceix sobre cadascun dels blocs poden ser d’enllaç (si els blocs no es mouen, i llavors són incògnites), o de fricció (si els blocs es mouen respecte del terra, i en aquest cas són formulables). També pot donar-se el cas que un bloc llisqui i l’altre no.
El valor d’una força d’enllaç s’adapta per tal de garantir una restricció. En el cas dels blocs, cal investigar si aquestes forces poden assolir el valor necessari per evitar que els blocs llisquin sobre el terra, i estan acotades pel valor del coeficient de fricció estàtica entre blocs i terra:
[math]\displaystyle{ |\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs }[/math]
[math]\displaystyle{ |\F{\text{terra}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs }[/math]
Si s’aplica el TQM a cada bloc per separat, la força de la molla passa a ser externa. Aquesta força (de valor mg) pot ser contrarestada per la força d’enllaç en el cas del bloc de massa [math]\displaystyle{ 2\ms }[/math] (per tant, [math]\displaystyle{ \as_\Ts(2\ms) = 0 }[/math]), però no en el del bloc de massa m: thumb|center|450px|link=
L’aplicació del TQM al bloc de massa m condueix a:
[math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{terra}\rightarrow2\ms}+\F{\text{molla}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\ \sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs) }[/math]
Finalment: [math]\displaystyle{ \acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs }[/math].
✏️ Exemple D4.3: estudi d’una condició límit
| thumb|center|200px|link= | L’esfera homogènia de massa M descansa sobre dues falques idèntiques, de massa m, que es troben al damunt del terra. Entre esfera i falques no hi ha fregament, però entre falques i terra hi ha fregament de coeficient [math]\displaystyle{ \mu }[/math]. El sistema es troba inicialment en repòs respecte del terra. Es tracta de determinar el valor màxim de M, en funció de m, que permet que el sistema segueixi en repòs. |
Si res no belluga, les forces horitzontals d’interacció entre terra i falques són d’enllaç i no superen el valor límit [math]\displaystyle{ /mu\ns }[/math] (on [math]\displaystyle{ \Ns }[/math] és la força normal que cada falca rep del terra). El torsor d’enllaç del terra sobre les falques conté també un moment resultant perpendicular a la figura. Si es vol estudiar la possibilitat de bolcament de les falques, aquest moment és rellevant. En aquest exemple, però, la forma les falques garanteix que no bolquen, i es treballa només amb les forces. L’aplicació del TQM a tot el sistema, a una falca i a l’esfera condueix a les equacions següents:
| SISTEMA: esfera + falques
[math]\displaystyle{ \left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs }[/math] |
SISTEMA: falca de l'esquerra
[math]\displaystyle{ \left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}} }[/math] |
SISTEMA: esfera
[math]\displaystyle{ \left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}} }[/math] |
Combinant les dues últimes equacions: [math]\displaystyle{ \Ts = \Ms\gs/2 }[/math]. El valor màxim de M per al qual encara hi ha equilibri correspon a la situació en què la força tangencial d’enllaç T pren el valor màxim possible: [math]\displaystyle{ \Ts = \Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns }[/math]. Tenint en compte que [math]\displaystyle{ N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs }[/math]:
[math]\displaystyle{ \Ts=\frac{\Ms_{\text{màx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{màx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu} }[/math]
D4.3 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències no galileanes
La versió del TQM en una referència no galileana NGal s’obté també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada partícula (o cada diferencial de massa) del sistema a la referència NGal (secció D1.7). En principi, doncs, aquesta equació contindrà dues forces d’inèrcia: la d’arrossegament i la de Coriolis (Figura D4.3):
[math]\displaystyle{ \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal} }[/math],
on [math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal} }[/math] i [math]\displaystyle{ \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} }[/math] thumb|center|350px|link=
Sumant les equacions per a totes les partícules, s’obté: [math]\displaystyle{ \sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal} }[/math] massa total del sistema.
💭 Demostració ➕
Pel principi d’acció i reacció, la suma per a totes les partícules de les forces d’interacció condueix a:
[math]\displaystyle{ \sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext} }[/math]
Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el centre de masses (secció D4.2):
[math]\displaystyle{ \sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} }[/math]
Així doncs: [math]\displaystyle{ \sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal} }[/math]
✏️ Exemple D4.4: desplaçament vibratori
| thumb|center|250px|link= | El bloc de massa m es troba inicialment en repòs
sobre un suport que oscil·la respecte del terra d’acord amb el gràfic de velocitat que es mostra a la figura. Es tracta d’investigar la possibilitat que el bloc llisqui al damunt del suport. La condició de repòs del bloc respecte del suport (que és una referència no galileana en tenir un moviment accelerat respecte del terra) demana: [math]\displaystyle{ \sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sup\rightarrow\Gs}= \vec{0}) }[/math] perque [math]\displaystyle{ \velang{sup}{T} = \vec{0} }[/math] |
La força d’arrossegament sobre el bloc és estrictament horitzontal. Per tant, la component vertical d’aquesta equació condueix a [math]\displaystyle{ N = mg }[/math] . Pel que fa a la component horitzontal, contindrà la força d’interacció entre bloc i suport. Si el bloc no llisca al damunt del suport, aquesta força és d’enllaç, i el seu valor està acotat: [math]\displaystyle{ 0\leq\mid\Fs_{sup\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms }[/math]. Si llisca, és una força de fricció de valor [math]\displaystyle{ \mu\ms\gs }[/math], oposada a la velocitat de lliscament.
Entre [math]\displaystyle{ t=0 }[/math] i [math]\displaystyle{ t = 0,4s }[/math], l’acceleració del suport respecte del terra és [math]\displaystyle{ \ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2 }[/math] i per tant la força d’arrossegament és [math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$suport}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms] }[/math]. El valor es troba dins del marge de valors permesos per a la força d’enllaç horitzontal del suport sobre el bloc. Per tant, aquesta força prendrà el valor [math]\displaystyle{ \F{sup\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2) }[/math], contrarestarà la [math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} }[/math] i es mantindrà el repòs entre els dos elements.
Entre [math]\displaystyle{ t=0,4s }[/math] i [math]\displaystyle{ t = 0,6s }[/math], l’acceleració del suport respecte del terra és 2[math]\displaystyle{ \ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2} }[/math]. Per tant,[math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] }[/math]. En sobrepassar el valor màxim de la força horitzontal d’enllaç, no podrà ser contrarestada. El bloc començarà a lliscar, i la força horitzontal d’interacció entre suport i bloc serà de fricció:
[math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} + \F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right) }[/math]
A l’instant [math]\displaystyle{ t = 0,6s }[/math], la velocitat del bloc respecte del suport és
[math]\displaystyle{ \vel{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) }[/math].
Tot i entrar en la fase on [math]\displaystyle{ \mid\Fcal{ar}{sup\rightarrow G}\mid\lt \mu\Ms\gs }[/math], la força horitzontal entre suport i bloc segueix sent de fricció [math]\displaystyle{ (\F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms]) }[/math] fins aconseguir aturar el bloc.
L’acceleració del bloc respecte del suport és:
[math]\displaystyle{ \acc{G}{sup} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right) }[/math]
En tractar-se d’un moviment uniformement desaccelerat, és fàcil calcular l'instant per al qual el bloc deixa de lliscar:
[math]\displaystyle{ \vel{$\Gs,t_f$}{sup} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sup} + \acc{$\Gs,t_f$}{sup}(t_f - t_i) }[/math], [math]\displaystyle{ t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s }[/math]
En aquest instant, la força del suport sobre el bloc passa a ser d’enllaç, i ens trobem en una situació anàloga a la inicial. Per tant, el lliscament no recomençarà fins a [math]\displaystyle{ \ts = 1,4s }[/math]. L’estudi per als intervals posteriors segueix els mateixos passos que en l’estudi de l’interval [math]\displaystyle{ [0,1,4s] }[/math]. La figura mostra l’evolució de la cinemàtica del bloc respecte del suport, i de les forces que hi actuen.
D4.4 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulació general
L’estudi de la dinàmica d’un sòlid rígid (i per tant, d’un sistema multisòlid) no queda mai totalment resolta amb el TQM quan el sòlid gira: el TQM només informa sobre el moviment d’un punt ([math]\displaystyle{ \Gs }[/math]), i no sobre la rotació.
El Teorema del Moment Cinètic (TMC) es troba a la literatura enunciat de dues maneres diferents. En aquest curs, s’ha optat per una formulació paral·lela a la del TQM: a l'esquerra apareixen termes que només tenen a veure amb les interaccions externes sobre el sistema, mentre que a la dreta apareix la derivada temporal d’un vector que depèn només de la geometria de masses del sistema i del seu estat mecànic.
Com ja s’ha vist quan s’ha introduït el concepte de torsor d’un sistema de forces, el que es relaciona amb la rotació d’un sòlid és el moment de les forces, no la força resultant. Per tant, si bé el TMC es demostra també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada diferencial de massa del sistema, caldrà transformar les forces que hi apareixen en moment d’aquestes forces respecte d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math].
Aquestes dues consideracions (formulació paral·lela al TQM i necessitat de triar un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] per calcular el moment de les forces) porta a partir de la formulació de la segona llei de Newton en la Referència que es Trasllada amb Q (RTQ) respecte d’una referència galileana [math]\displaystyle{ \velang{RTQ}{RGal} = \vec{0} }[/math]. Si [math]\displaystyle{ \acc{Q}{RGal}\neq\vec{0} }[/math], aquesta referència no és galileana, i per tant cal tenir en compte en principi les forces d’inèrcia d’arrossegament (Figura D4.3).
Considerem un sistema de partícules amb matèria constant. La segona llei de Newton aplicada a cada partícula del sistema i a la RTQ és:
[math]\displaystyle{ \sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} }[/math] ,
on [math]\displaystyle{ \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal} }[/math] , i [math]\displaystyle{ \Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0} }[/math] ja que [math]\displaystyle{ \velang{RTQ}{RGal}=\overline{0} }[/math].
Si els dos costats de l’equació es multipliquen vectorialment per [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] i es suma per totes les partícules (o elements de massa) del sistema, s’obté el TMC al punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]:
[math]\displaystyle{ \sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) }[/math]
on [math]\displaystyle{ \Ms }[/math] és la massa total del sistema, i [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ} }[/math] és el moment cinètic del sistema respecte el punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math].
Si el sistema té elements continus (per exemple, un sistema amb N sòlids rígids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:
[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right ) }[/math].
💭 Demostració ➕
La segona llei de Newton per a cada element de massa multiplicada vectorialment per [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] és:
[math]\displaystyle{ \sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} }[/math]
El terme de la dreta es pot reescriure com a:
[math]\displaystyle{ \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} }[/math]
En ser [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] un punt de la RTQ, es pot prendre com a origen d’un vector de posició de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] en aquesta referència, i per tant:
[math]\displaystyle{ \vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} }[/math] [math]\displaystyle{ =\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} }[/math]
Tenint en compte que la massa és constant:
[math]\displaystyle{ \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} }[/math]
La suma d’aquest terme per a tots els elements [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] condueix a:
[math]\displaystyle{ \sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) }[/math]
Si les forces d’interacció sobre cada partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] es classifiquen en internes i externes, la suma per a totes les partícules del sistema del costat esquerre de la primera equació esdevé:
[math]\displaystyle{ \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}= }[/math]
[math]\displaystyle{ = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , }[/math]
ja que el principi d’acció i reacció garanteix que el moment total d’una parella de forces d’acció i reacció és nul:
[math]\displaystyle{ \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0} }[/math]
Agrupant tots els termes:
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) }[/math]
D4.5 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulacions particulars
El TMC pren expressions més senzilles quan el punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] és fix a una referència galileana o quan és el centre de masses del sistema.
- [math]\displaystyle{ \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). }[/math] De manera concisa, anomenem aquesta versió “TMC a punt fix”, on se sobreentén que “fix” vol dir “fix a una referència galileana”. Quan és el cas, normalment emprarem la lletra [math]\displaystyle{ \Os }[/math] per designar el punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math].
- [math]\displaystyle{ \Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs). }[/math]Cal notar que, si bé l’expressió és similar a la versió a punt fix, el centre de masses [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] no té per què ser fix a una referència galileana.
Quan [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] no és ni un punt fix a RGal ni coincideix amb el centre de masses, se sol parlar de la versió del TMC “a punt mòbil”. Tot i que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] sigui un punt mòbil respecte de RGal, el terme associat a les forces d’inèrcia [math]\displaystyle{ \left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right) }[/math] pot ser nul si [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] es mou a velocitat costant respecte de RGal, o si la seva acceleració respecte de RGal és paral·lela a [math]\displaystyle{ \QGvec }[/math] .
| TMC a punt fix | TMA a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] | TMC a un punt mòbil [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] |
|---|---|---|
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os) }[/math] |
[math]\displaystyle{ \quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad }[/math] |
[math]\displaystyle{ \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad }[/math] |
El vector moment cinètic [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) }[/math] no és senzill de calcular en general, i es presenta a la unitat D5.
En problemes de cinemàtica plana (2D), si el moment cinètic [math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is) }[/math] de cada sòlid del sistema que s’estudia és paral·lel a la velocitat angular del sòlid [math]\displaystyle{ \velang{Si}{RTQ} }[/math] (que és de direcció ortogonal al pla del moviment), només la component del TMC perpendicular al pla és interessant. En aquest cas es diu que el problema és de dinàmica plana (2D).
En problemes d’estàtica, tant la quantitat de moviment com el moment cinètic a qualsevol punt són nuls permanentment, i per tant són nul·les també les seves derivades temporals. L’estudi de la dinàmica en un pla també es pot fer a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.
TMC en un punt de contacte entre dos sòlids
Un enllaç que apareix sovint en els sistemes mecànics és el contacte puntual entre parelles de sòlids (S1 i S2, per exemple). Aquest enllaç pot introduir entre 1 i 3 incògnites d’enllaç (segons la rugositat de les superfícies i la cinemàtica del contacte – amb o sense lliscament). Quan aquestes forces no es volen calcular, és temptador aplicar el TMC al punt de contacte [math]\displaystyle{ \Js }[/math] (ja que el seu moment respecte de [math]\displaystyle{ \Js }[/math] és nul).
thumb|right|230px|link=
L’aplicació del TMC a [math]\displaystyle{ \Js }[/math] és molt delicada. Cal precisar de quin punt [math]\displaystyle{ \Js }[/math] es parla (exemple C5-1.8): si es tracta del [math]\displaystyle{ \Js }[/math] del sòlid S1 [math]\displaystyle{ (\Js_{\mathrm{S}1}) }[/math], del sòlid S2 [math]\displaystyle{ (\Js_{\mathrm{S}2}) }[/math] , o bé si és el punt geomètric de contacte [math]\displaystyle{ (\Js_{\mathrm{geom}}) }[/math] . Per una banda, aquests tres punts tenen cinemàtiques diferents [math]\displaystyle{ \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right) }[/math] , i el terme complementari associat al moment de les forces d’inèrcia [math]\displaystyle{ \left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right) }[/math] és diferent. Per altra banda, si per exemple el TMC s’aplica al solid S1, cal tenir present que, tot i que [math]\displaystyle{ \Js_{\mathrm{S}1} }[/math] pertany a S1 i es pot calcular el moment cinètic a partir del tensor d’inèrcia, [math]\displaystyle{ \Js_{\mathrm{S}1} }[/math] i [math]\displaystyle{ \Js_{\mathrm{geom}} }[/math] no hi pertanyen, i cal fer servir la descomposició baricèntrica per calcular aquest vector.
Finalment, ja que el moment cinètic s’ha de derivar, el seu càlcul s’ha de fer en una configuració general (és a dir, quan [math]\displaystyle{ \Js }[/math] no és encara el punt de contacte), i és només després d’haver fet la derivada que es pot particularitzar el resultat a la configuració en què [math]\displaystyle{ \Js }[/math] és el punt de contacte. Com a il·lustració de tot plegat, l’esquema següent mostra l’aplicació del TMC a una roda amb moviment pla que toca a terra i llisca.
[math]\displaystyle{ \overline{\Js_\mathrm{roda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{roda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{roda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ} }[/math]
[math]\displaystyle{ \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}
\end{array}\right.
}[/math]
[math]\displaystyle{ \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\ \dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0) \end{array}\right. }[/math]
D4.6 Exemples d’aplicació del TMC
✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica
| thumb|left|180px|link= | El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul [math]\displaystyle{ \mu_\mathrm{Q} }[/math] ). Es tracta de calcular el valor mínim de [math]\displaystyle{ \mu_\mathrm{Q} }[/math] que permet l’equilibri. És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són: thumb|center|300px|link= |
En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, [math]\displaystyle{ \acc{G}{T}=\overline{0} }[/math] i la força externa total ha de ser zero. Per tant:
[math]\displaystyle{ \Ns_\Ps=\Ns_\Qs }[/math] , [math]\displaystyle{ \ms\gs=\Ts_\Qs }[/math]
Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] ha arribat al seu valor màxim possible: [math]\displaystyle{ \Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs }[/math]. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular [math]\displaystyle{ \Ns_\Qs }[/math] , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a [math]\displaystyle{ \Ps }[/math], com a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] o a [math]\displaystyle{ \Os }[/math], el moment cinètic és zero:
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}. }[/math]
Per tant: [math]\displaystyle{ \Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. }[/math]
✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood
| thumb|left|230px|link= | Els blocs pengen de dues cordes inextensibles amb un extrem lligat a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de calcular l’acceleració angular de les politges. És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són [math]\displaystyle{ (\gs \approx 10 \ms/\ss^2) }[/math] : thumb|center|140px|link= |
En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math] de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix [math]\displaystyle{ \ddot{\theta} }[/math] :
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) }[/math]
[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) }[/math]
Per la definició de centre de masses: [math]\displaystyle{ \int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} }[/math] . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial [math]\displaystyle{ \OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc}) }[/math] només contribueix la component horitzontal de [math]\displaystyle{ \OGvec_\mathrm{bloc} }[/math] . Així doncs:
[math]\displaystyle{ \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs} }[/math]
thumb|right|150px|link=
Resolució alternativa
Si s’aplica el TMC al punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] per al sistema format per les politges i les cordes, el pes dels blocs ja no apareix com a interacció externa, però apareixen en canvi les tensions de les dues cordes (que són incògnites d’enllaç).
El moment cinètic del sistema és nul perquè no té massa:
SIST: politges + cordes
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0 }[/math]
thumb|right|220px|link=
L’aplicació del TQM a cadascun dels blocs genera dues equacions més:
SIST: bloc de 10kg
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(10\ks\gs)(\uparrow 2\rs \ddot{\theta}) }[/math]
SIST: bloc de 5kg
[math]\displaystyle{ \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(5\ks\gs)(\uparrow \rs \ddot{\theta}) }[/math]
La resolució del sistema d’equacions condueix a [math]\displaystyle{ \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs} }[/math].
La primera resolució és més ràpida (només fa servir una equació escalar), però implica el càlcul del moment cinètic. Aquesta segona resolució és més llarga (sistema de tres equacions) però que no requereix calcular cap moment cinètic.
✏️ Exemple D4.7: dinàmica longitudinal d’un vehicle
| thumb|center|200px|link= | El vehicle sense suspensions es mou sobre una carretera rectilínia. La massa de les rodes és negligible comparada amb la de la resta dels elements, i es considera que el seu contacte amb el terra es puntual. Es tracta d’analitzar les forces normals d’enllaç entre terra i rodes.
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el vehicle es redueixen al pes i a l’enllaç amb el terra. Si l’acceleració del xassís respecte del terra és una dada, l’aplicació del TQM condueix a: |
|
[math]\displaystyle{ \sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned} \uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\ [\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts) \end{aligned}\right. }[/math]
|
thumb|center|200px|link= |
Resolent el sistema d’equacions: [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, }[/math]
Aquest resultat és vàlid per a qualsevol valor de [math]\displaystyle{ \as_\Ls }[/math]:
- Situació estàtica ([math]\displaystyle{ \as_\Ts = 0 }[/math]): [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math], [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math]; la força normal és més gran a les rodes que tenen l’eix més proper a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math].
- Accelerant ([math]\displaystyle{ \as_\Ls \gt 0 }[/math]): [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math], [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math] ; hi ha un transvasament de força del davant cap al darrere (es carreguen les rodes del darrere i es descarreguen les del davant). Si l’acceleració [math]\displaystyle{ |\as_\Ts| }[/math] és prou elevada, la força normal al davant passa a ser negativa, la qual cosa indica que s’ha perdut el contacte i el vehicle bolca en sentit antihorari. Llavors, [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\vs} = 0 }[/math], el xassís passa a tenir, en principi, acceleració angular, i com a conseqüència el centre de masses [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] passa a tenir acceleració vertical.
- Frenant ([math]\displaystyle{ \as_\Ls \lt 0 }[/math]): [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math], [math]\displaystyle{ \Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}} }[/math]; hi ha un transvasament de força del darrere cap al davant (es descarreguen les rodes del darrere i es carreguen les del davant). Com en el cas precedent, hi ha un valor crític de [math]\displaystyle{ |\as_\Ts| }[/math] que provoca el bolcament, ara en sentit horari.
D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç
L’aplicació dels teoremes vectorials als Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE) és senzilla ja que els termes de la dreta (variació de quantitat de moviment i variació de moment cinètic) són nuls en ser nul·la la seva massa:
[math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{qualsevol} \hspace{0.2cm} \mathrm{punt}) \approx \overline{0}. }[/math]
Per al cas d’un SAE (sòlid S) connectant dos sòlids rígids S1 i S2 (Figura D4.5), aquestes equacions permeten demostrar que el torsor que actua sobre S1 es pot obtenir a partir d’una equació de caracterització analítica on la cinemàtica del punt [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] de caracterització (que ha de pertànyer al sòlid S1) s’avalua a la referència solidària a S2:
[math]\displaystyle{ \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0. }[/math]
(Quan es tracta de velocitats, és important especificar a quin sòlid pertany el punt [math]\displaystyle{ \Ps }[/math]. Això, en canvi, és irrellevant quan es tracta de moments: [math]\displaystyle{ \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps) }[/math]).
💭 Demostració ➕
Els teoremes vectorials aplicats sobre el SAE impliquen que els torsors d’enllaç que rep de S1 i S2 en un mateix punt [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] han de sumar zero:
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)
\end{array}\right. }[/math]
Per altra banda, aquests torsors compleixen l’equació de caracterització analítica:
[math]\displaystyle{ \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. }[/math]
Si es combinen totes les equacions anteriors, s’obté:
[math]\displaystyle{ \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. }[/math]
Una composició de moviments permet reescriure l’equació anterior de manera més compacta:
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) }[/math]
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) }[/math]
Finalment: [math]\displaystyle{ \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0. }[/math]
✏️ Exemple D4.8: dinàmica longitudinal d’un vehicle
| thumb|left|220px|link= | En el vehicle de l’exemple D4.7, es considera que la tracció és posterior. Això vol dir que el motor del vehicle actua entre el xassís i les rodes posteriors, en tant que les del davant només estan sotmeses a interaccions d’enllaç (articulació amb el xassís i contacte amb el terra). Si es tracten les rodes del davant com a SAE, l’anàlisi cinemàtica del xassís respecte del terra per a la caracterització de l’enllaç a través de les rodes del davant condueix a un torsor en el centre de la roda (que és fix al xassís) amb només una component de força: |
thumb|center|370px|link= L’existència d’una component horitzontal de força entre les rodes posteriors (necessària per accelerar o frenar el vehicle!) està associada al parell motor. Si s'apliquen els teoremes vectorials a les rodes posteriors, les interaccions externes a tenir en compte són l’enllaç amb el terra, l’articulació amb el xassís i el parell motor [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] : thumb|center|370px|link=
[math]\displaystyle{ \ms_\mathrm{rodes} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{TQM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dr}=\Ns'_\mathrm{dr} , \Ts_\mathrm{dr}=\Ts'_\mathrm{dr} \\
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{a} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dr}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs
\end{array}\right. }[/math]
La força tangencial sobre les rodes motrius és directament proporcional al parell motor que se’ls aplica. Cal no oblidar, però, que com a força tangencial d’enllaç, el seu valor està limitat per [math]\displaystyle{ \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} }[/math] . Això permet calcular l’acceleració màxima que pot adquirir el vehicle (mentre la roda del davant no perdi contacte amb el terra):
[math]\displaystyle{ \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Ts_\mathrm{dr,màx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} }[/math].
En terrenys de baix fregament ( [math]\displaystyle{ \mu_\es }[/math] de valor baix), un motor capaç de subministrar un parell màxim alt és inútil: qui posa límit a l’acceleració és el valor del coeficient de fricció [math]\displaystyle{ \mu_\es }[/math] : [math]\displaystyle{ \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms }[/math] . En terrenys d’alt fregament, si el parell màxim és baix és ell qui posa límit a l’acceleració: [math]\displaystyle{ \left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs }[/math] (si la roda del davant no perd contacte amb el terra).
D4.8 Descomposició baricèntrica del moment cinètic
La versió del TMC que s’ha presentat permet triar lliurement el punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] d’aplicació. El criteri per triar-lo es basa en el que es vulgui investigar (una força d’enllaç, una equació del moviment...). A la unitat D6 es discuteix aquest criteri. En alguns casos, pot ser interessant triar un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] que no pertanyi a cap element material del sistema. Llavors, és útil referir el càlcul del moment cinètic [math]\displaystyle{ \H{Q}{}{RTQ} }[/math] al moment cinètic al centre de masses [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] del sistema, [math]\displaystyle{ \H{G}{}{RTG} }[/math]. Això es coneix amb el nom de descomposició baricèntrica del moment cinètic:
[math]\displaystyle{ \H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ} }[/math],
on el superíndex [math]\displaystyle{ \oplus }[/math] indica que el moment cinètic s’ha de calcular com si el sistema s’hagués reduït a una partícula concentrada a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] amb massa igual a la massa total del sistema (M):
[math]\displaystyle{ \H{G}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ} }[/math]
💭 Demostració ➕
- La definició de moment cinètic és: [math]\displaystyle{ \H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) }[/math]. La velocitat [math]\displaystyle{ \vel{P}{RTQ} }[/math] es pot escriure com a suma de dos termes si s’aplica una composició de moviments:
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ} }[/math]
- Per tant: [math]\displaystyle{ \H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ} }[/math].
- La definició de centre de masses porta a reescriure el segon terme com a:
- [math]\displaystyle{ \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ} }[/math], que coincideix amb el moment cinètic respecte de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] d’una partícula de massa M situada a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math]: [math]\displaystyle{ \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ} = \H{G}{\oplus}{RTQ} }[/math].
- En el primer terme de l’expressió de [math]\displaystyle{ \H{Q}{\Ss}{RTQ} }[/math], es pot descompondre [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] en suma de dos termes:
- [math]\displaystyle{ \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG} }[/math]
- Per definició de centre de masses: [math]\displaystyle{ \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0} }[/math].
- Per tant: [math]\displaystyle{ \H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ} }[/math].
✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica
| thumb|center|200px|link= | El sòlid està format per dues barres de massa negligible i quatre partícules ([math]\displaystyle{ \Ps }[/math]) amb massa m unides als extrems de les barres. El sòlid està articulat a un suport que es pot moure al llarg d’una guia fixa a terra.
El seu moment cinètic a G és: [math]\displaystyle{ \H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} }[/math] La RTG és fixa al suport, i la velocitat de les partícules respecte d’aquesta referència és proporcional a la rotació [math]\displaystyle{ \omega }[/math]: [math]\displaystyle{ |\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega }[/math]. Per tant: [math]\displaystyle{ \H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) }[/math] |
- El moment cinètic a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] (fix al terra) es pot calcular a partir de [math]\displaystyle{ \H{G}{}{RTG} }[/math] mitjançant descomposició baricèntrica:
- [math]\displaystyle{ \H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times\Ms\vel{G}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times\Ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs) }[/math]
© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats