C1. Configuration of a mechanical system
[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} }[/math]
The study of a mechanical system, composed either by free particles, free rigid bodies, or assembled rigid bodies and particles (multibody system), starts with the description of its mechanical state: its configuration (position of all its points) and velocity distribution (velocity of all its points) with respect to a reference frame.
In this unit C1, we describe the configuration of mechanical systems. The description of the velocity distribution is presented in unit C2.
C1.1 Posició d'una partícula
The position of a particle (a point) Q in a reference frame R can be described through a position vector [math]\displaystyle{ \overline{\Os_\Rs\Qs} }[/math], where [math]\displaystyle{ \Os_\Rs }[/math] is a point fixed in R (a point that belongs to the reference frame R). That vector is not univocally defined, as its origin may be any point fixed in R (Figure C1.1).
An alternative to the vectorial description of the position is the scalar description through three coordinates (Cartesian, polar...). In that case, we have to choose a coordinate origin, which may be any point fixed in R (Figure C1.2). In this course, however, we will use the vectorial description.
The main interest in mechanics is not the position of points but rather their evolution with time (their motion). A particle [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] moves relative to a reference frame R when its position in R changes with time or, what is the same, goes through different points fixed in R with time. The set of those different points in R define the trajectory of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] in R (trajectory of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to R).
C1.2 Configuration of a rigid body
When it comes to describing the configuration of a rigid body, the position of just one of its points is not enough. A first option would be giving the position of three points [math]\displaystyle{ \Ps }[/math], [math]\displaystyle{ \Qs }[/math], R not aligned. But it is evident that those vectors fulfil some restrictions: as the points of a rigid body have to be mutually fixed, the differences between pairs of points are vectors with constant value (Figure C1.4):
In a scalar description, if we provide three coordinates per point, the configuration of the rigid body is given by 9 coordinates, but as there are 3 relationships between them, only 6 coordinates are strictly necessary (Figure C1.5).
There are many options to define the configuration of a rigid body, but in this course we will describe it through the position of one of its points and the orientation of the rigid body. Though the position of a point may be defined through a vector or three scalar coordinates, the orientation can only be described through scalar variables.
C1.3 Orientation of a rigid body with planar motion
A rigid body has a planar motion relative to a reference frame R when all its points describe trajectories contained in parallel planes. In that case, its orientation may be given through an angle defined by the intersection between a direction fixed in R (“departure” direction) and a direction fixed to the rigid body (“arrival” direction), both contained in the plane of motion. As those directions are not univocally defined, neither is the orientation angle (Figure C1.6).
The vertical arrow ([math]\displaystyle{ \Downarrow g }[/math]) shows the Earth gravitational attraction.
When the orientation angle changes its value with time, the rigid body moves according to a simple rotation about an axis perpendicular to the plane of motion, in a clockwise or counterclockwise direction, according to the orientation angle that has been chosen (Figure C1.7)
C1.4 Orientation of a rigid body moving in space
The description of the orientation of a rigid body moving in space is more complicated, and there are several ways to do it. Two options are the rotations about fixed directions and Euler rotations.
Rotations about fixed directions
They are simple rotations about three directions permanently orthogonal between them and whose orientation relative to the reference frame R is constant (“fixed” directions). A characteristic of this orientation method is that, for a same set of values of the angles and starting always from a same initial orientation, the final orientation of the rigid body depends on the sequence followed to introduce the angles. It is a sequential method.
Figure C1.8 illustrates this for a triangular object undergoing three rotations of 90[math]\displaystyle{ \deg }[/math] about three directions fixed in a reference frame R.
✏️ Example C1-4.1: the mechanical mouse of a computer
- In a mechanical mouse of a computer, the ball may rotate relative to the mouse case (R) about two orthogonal axes fixed to the case. The angle rotated about each axis is proportional to that rotated by the two small wheels that are in contact with the ball.
Euler rotations
Euler rotations are a non-sequential method to orientate rigid bodies. They are widely used in engineering because many mechanical systems include physical axes (associated with constraints between the rigid bodies) that allow this type of rotations.
Euler rotations are 3 chained simple rotations (in series), so that the rotation about the first axis causes a rotation of the other two, and the rotation about the second axis causes the rotation of the third one. In this course, the variables ([math]\displaystyle{ \psi }[/math], [math]\displaystyle{ \theta }[/math], [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]) are associated with the three rotations:
- 1st rotation [math]\displaystyle{ (\psi) }[/math]: about an axis with constant orientation relative to R (axis fixed in R).
- 2nd rotation [math]\displaystyle{ (\theta) }[/math]: about an axis rotating because of [math]\displaystyle{ \psi }[/math] relative to R.
- 3rd rotation [math]\displaystyle{ (\varphi) }[/math]: about an axis with constant orientation relative to the rigid body (axis rotating because of [math]\displaystyle{ \psi }[/math] and [math]\displaystyle{ \theta }[/math] relative to R).
Figure C1.9 shows the Euler axes in a gyroscope, which consists of a support fixed to the ground (R), a fork linked to the support through a revolute joint, an arm linked to the fork through a revolute joint, and a disk linked to the support arm through a revolute joint. The rotations of these elements relative to the ground are:
- Fork: rotation [math]\displaystyle{ \psi }[/math] about the vertical axis fixed to R; the angle [math]\displaystyle{ \psi }[/math] is defined on the horizontal plane.
- Arm: rotation [math]\displaystyle{ \psi }[/math], and rotation [math]\displaystyle{ \theta }[/math] about an axis rotating with [math]\displaystyle{ \psi }[/math]; the [math]\displaystyle{ \theta }[/math] is defined on the vertical plane containing the arm.
- Disk: rotation [math]\displaystyle{ \psi }[/math], rotation [math]\displaystyle{ \theta }[/math], and rotation [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] about an axis rotating with [math]\displaystyle{ \psi }[/math] and [math]\displaystyle{ \theta }[/math] (and whose orientation relative to the disk is constant); the angle [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] is defined on the disk plane.
A characteristic of Euler rotations is that the angle between the first and the second ([math]\displaystyle{ \beta_{\psi\theta} }[/math]), and that between the second and the third axes ([math]\displaystyle{ \beta_{\theta\varphi} }[/math]), are constant. In a gyroscope, those angles are [math]\displaystyle{ \beta_{\psi\theta} = \beta_{\theta\varphi } = }[/math] 90[math]\displaystyle{ \deg. }[/math]. However, the angle between the first and the third axes is not constant. In the gyroscope in Figure C1.9 it may vary approximately between 30[math]\displaystyle{ \deg }[/math] and 150[math]\displaystyle{ \deg }[/math].
If the angles [math]\displaystyle{ \beta_{\psi\theta} }[/math] and [math]\displaystyle{ \beta_{\theta\varphi} }[/math] are not equal to 90[math]\displaystyle{ \deg }[/math], the rigid body cannot have any orientation in space (there would be some unattainable configurations). For that reason, the first and second Euler axes are usually orthogonal, and the second and third axes as well.
The description of the orientation of a rigid body that does not belong to a multibody system (for instance, an object floating in water, or a ball in the air) is more complicated to visualize as the rotation axes are not physically associated with any links. In that case, we proceed in different ways according to whether the object has a characteristic motion (as a spinning top) or does not have that characteristic motion (as a dice in gaming).
In the first case, the axes may correspond to characteristic rotations of the object. In a spinning top, the fast rotation about its symmetry axis (introduced as an initial condition when playing with the spinning top) suggests choosing that axis as third Euler axis. If that initial rotation is fast enough, the spinning tops takes a long time before falling to the ground, and the symmetry axis precesses slowly about a vertical axis. That vertical axis can be chosen as first Euler axis. The second rotation corresponds to the approaching motion of the symmetry axis towards the ground (Figure C1.10). Actually, the motion of a spinning top is identical to that of the disk in a gyroscope.
Per a la baldufa i el giroscopi (i per a sòlids que tinguin un moviment comparable, com el de la roda del Video C1.3), la primer rotació d'Euler s'anomena precessió, la segona nutació o inclinació i la tercera rotació pròpia o spin.
En el cas d’un objecte sense moviment característic, el més senzill és triar lliurement el primer i el tercer eix (fix a la referència i fix a l’objecte, respectivament). El segon es determina d’acord amb els angles constants que es vol que formi amb els altres dos eixos ([math]\displaystyle{ \beta_{\psi\theta} }[/math], [math]\displaystyle{ \beta_{\theta\varphi} }[/math]). Si es decideix que siguin de 90[math]\displaystyle{ \deg }[/math], el segon eix és la intersecció del pla ortogonal al primer amb el pla ortogonal al tercer.
✏️ Exemple C1-4.2: orientació d'un dau
|
|
|
- Es pot comprovar la no seqüencialitat d’aquests angles partint d’una mateixa orientació inicial i introduint increments de cadascun d’ells de 90[math]\displaystyle{ \deg }[/math] segons seqüencies diferents. Si es fa correctament, s’arriba sempre a la mateixa orientació final.
- NOTA: En un dau, la suma dels números en cares oposades és sempre 7.
Els angles d’Euler presenten un problema quan el sòlid es troba en una configuració on el 1r i el 3r eix són paral·lels (configuració singular): el 2n eix no està unívocament definit perquè els plans perpendiculars als altres dos coincideixen. En el cas del volant del giroscopi i del dau de l’exemple anterior, aquesta situació es produeix quan [math]\displaystyle{ \theta = \pm }[/math]90[math]\displaystyle{ \deg }[/math]. En el cas de la baldufa, quan [math]\displaystyle{ \theta = }[/math] 0, [math]\displaystyle{ \pm }[/math]180[math]\displaystyle{ \deg. }[/math]
Una solució per evitar aquesta singularitat és emprar dos sistemes diferents d’angles d’Euler i passar de l’un a l’altre quan la configuració s’apropa a la singularitat.
✏️ Exemple C1-4.3: dues famílies d'angles d'Euler per a un vaixell
- Es poden definir diverses famílies d’angles d’Euler per orientar un vaixell respecte d’una referència R. En aquest exemple, es defineixen les famílies A i B i per a la configuració de referència [math]\displaystyle{ \psi = \theta = \varphi = }[/math] 0, els eixos són els que es mostren a la figura:
- Si es parteix d’aquesta orientació, la configuració [math]\displaystyle{ \psi = \varphi = }[/math] 0, [math]\displaystyle{ \theta = }[/math] [math]\displaystyle{ \textsf{90}\deg }[/math] per a la família A i la configuració [math]\displaystyle{ \psi = \theta = }[/math] 0, [math]\displaystyle{ \varphi = }[/math] [math]\displaystyle{ \textsf{90}\deg }[/math] per a la família B corresponen a una mateixa orientació del vaixell. La família A passa per una singularitat perquè el 1r i el 3r eix són paral·lels, mentre que a la família B el 1r i el 3r eix són ortogonals, i per tant s’està lluny de la singularitat.
En els vaixells, avions i vehicles en general, les rotacions d'Euler reben noms determinats, en funció de la direcció que ocupen els eixos corresponents a la configuració de referència (on tots els angles valen zero). La rotació que inicialment té l'eix en la direcció longitudinal del vehicle s'anomena balanceig. La que inicialment té l'eix en la direcció transversal del vehicle s'anomena capcineig. La que inicialment té l'eix en la direcció perpendicular a les dues anteriors (que coincidiria amb la direcció vertical si el vehicle està estacionat en un terra pla) s'anomena guinyada.
Cal tenir present que, quan el vehicle es troba en configuracions diferents de la incial, aquests noms (balanceig, capcineig i guinyada) estan associats a les rotacions d'Euler, els eixos de les quals ja no tenen perquè coincidir amb les tres direccions fixes al vehicle (longitudinal, transversal i perpendicular a aquestes dues) esmentades anteriorment.
En el Video C1.4 es mostren dues opcions alternatives: a la primera part, la primera rotació és el balanceig, la segona el capcineig i la tercera és la guinyada; a la segona part del vídeo, la primera és la guinyada la segona és el capineig i la tercera és el balanceig. En la major part de la literatura, es tria la guinyada com a primera rotació d'Euler, el capcineig com a segona i el balanceig com a tercera rotació (com a la segona part del Vídeo C1.4 i com a la "família B" de l'exemple C1-4.5).
C1.5 Coordenades independents
Tot i que la posició d’una partícula (un punt) respecte d’una referència es pot descriure mitjançant tres coordenades, aquestes coordenades poden no ser independents quan la partícula està sotmesa a restriccions per causa del seu contacte amb altres objectes. En aquest cas, el conjunt mínim de coordenades per descriure la posició constitueix el conjunt de coordenades independents (CI) de la partícula.
✏️ Exemple C1-5.1: partícula en una guia
|
|
|
Anàlogament, si bé la configuració d’un sòlid rígid lliure (sense contactes amb cap altre objecte) respecte d’una referència demana 6 coordenades, el nombre de coordenades independents és inferior quan el sòlid està sotmès a restriccions.
✏️ Exemple C1-5.2: vehicle sobre un terra pla
|
|
|
✏️ Exemple C1-5.3: rodes d'un vehicle
|
|
En un model simplificat de vehicle com el de l’exemple 5.2, es pot negligir la inclinació variable de les rodes sobre el pla. La configuració de qualsevol d’elles queda unívocament definida si es donen les coordenades (x,y) del seu centre [math]\displaystyle{ \textbf{C} }[/math], l’angle [math]\displaystyle{ \psi }[/math] girat pel pla que la conté i l’angle [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] girat al voltant del seu eix de revolució. Es tracta d’un sòlid amb quatre coordenades independents. |
✏️ Exemple C1-5.4: pèndol d'Euler
|
|
|
|
|
© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats