D7. Examples of 3D dynamics
Revision as of 09:04, 11 September 2024 by Bros (talk | contribs) (→✏️ EXAMPLE D7.3: rotating frame with particles)
[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\As}{\textrm{A}} \newcommand{\as}{\textrm{a}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\Hs}{\textrm{H}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\cs}{\textrm{c}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\qs}{\textrm{q}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Js}{\textbf{J}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\gs}{\textrm{g}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\mat}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\dth}{\dot{\theta}} \newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}} \newcommand{\sth}{\text{sin}\theta} \newcommand{\cth}{\text{cos}\theta} \newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta} \newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta} \newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}} }[/math]
In this unit, the systematic procedure proposed in section D6.4 is applied to 3D dynamics examples to obtain equations of motion and motor torques. A systematic analysis of the equations of motion is also presented.
D7.1 Analysis of the equations of motion
Obtaining the equations of motion of the free DoF of multibody systems is not, in general, the objective of dynamics problems, but rather a previous step to their integration in order to know how the coordinates that describe the configuration of the system evolve over time:
[math]\displaystyle{ \ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is} }[/math]
However, these equations are often nonlinear, and their integration is necessarily numerical. Despite this, there are some aspects of the system's behavior that can be investigated analytically.
Equilibrium configurations
Equilibrium configurations are those configurations for which, if the system is left at rest [math]\displaystyle{ (\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0) }[/math], it remains at rest [math]\displaystyle{ (\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0) }[/math]. Therefore, the value of the coordinates in equilibrium is given by:
The equation that defines the [math]\displaystyle{ \qs_{\text{j,eq}} }[/math] may be transcendental and not have an analytical solution. In this case, a numerical or graphical solution may be used.
Analysis of small oscillations about an equilibrium configuration
If the value of the coordinates is considered to be very close to that of an equilibrium configuration [math]\displaystyle{ (\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js, }[/math] with [math]\displaystyle{ \varepsilon_\js \lt \lt 1 }[/math], hence [math]\displaystyle{ \varepsilon_\js^2 \approx 0 }[/math]) the nonlinear functions appearing in the equations of motion can be approximated by the linear terms of their Taylor series expansion. For example:
- if polynomials of degree greater than 1 appear:
- [math]\displaystyle{ \qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon }[/math]
- [math]\displaystyle{ \qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon }[/math]
- [math]\displaystyle{ \qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3 }[/math]
- if it is an angular coordinate [math]\displaystyle{ (\qs_\js=\theta) }[/math] and sine and cosine functions appear:
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\ \sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\ \cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\ \text{sin}\varepsilon = \varepsilon + (1/3)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\ \text{cos}\varepsilon = 1 + (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1 \end{aligned}\right\} \Rightarrow \begin{cases} \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\ \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq} \end{cases} }[/math]
Once linearized, the equation is of the form: [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0 }[/math], where A, B, and C are scalars. In this course, however, the equation is often simpler and contains no first time derivative: [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon = 0 }[/math]. The general solution is: [math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) }[/math], with [math]\displaystyle{ \omega = \sqrt{\Bs/\As} }[/math]. The integration constants ([math]\displaystyle{ \as, \varphi }[/math]) depend on the initial conditions [math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 }[/math].
💭 Proof ➕
- The solution [math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts) }[/math] of the equation [math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon = 0 }[/math] must be a function whose second time derivative is proportional to the function before differentiation. The sine, cosine and exponential functions satisfy this condition. If the first one (with two integration constants) is tested:
- [math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) }[/math]
- If these expressions are substituted into the equation of motion:
- [math]\displaystyle{ -\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}} }[/math]
- The motion is an oscillation around the equilibrium configuration [math]\displaystyle{ \qs_{\es\qs} }[/math] whose angular frequency [math]\displaystyle{ (\omega) }[/math] depends on system parameters.
- The integration constants, on the other hand, depend on the initial conditions ([math]\displaystyle{ \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi) }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi) }[/math]), and therefore, are not intrinsic to the system.
- position initial conditions:
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\ \dot\varepsilon(\ts = 0) = 0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned} \varphi = 90\deg\\ \as = \varepsilon_0 \end{aligned}\right. }[/math]
- velocity initial conditions:
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \varepsilon(\ts = 0) = 0 \\ \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned} \varphi = 0\deg\\ \as = \dot\varepsilon_0/\omega \end{aligned}\right. }[/math]
- position and velocity initial conditions:
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\ \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned} \text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\ \as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0^2/\omega)^2} \end{aligned}\right. }[/math]
Analysis of the stability of small oscillations about an equilibrium configuration
Oscillations about an equilibrium configuration are only possible when that configuration is stable. Stability can be analyzed very easily from the linearized equation of motion:
[math]\displaystyle{ \As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\Bs/\As) \gt 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon\lt 0\Rightarrow\varepsilon(\ts) }[/math] decreases, and the system returns to the equilibrium configuration [math]\displaystyle{ \qs_{\es\qs} }[/math]. It is a STABLE behaviour.
- [math]\displaystyle{ (\Bs/\As) \lt 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon \gt 0\Rightarrow\varepsilon(\ts) }[/math] increases, and the system moves away from the equilibrium configuration [math]\displaystyle{ \qs_{\es\qs} }[/math]. It is UNSTABLE behaviour.
D7.2 General examples
✏️ EXAMPLE D7.1: rotating rectangular plate
- FOTO
- The homogeneous rectangular plate, with mass m, is articulated to a massless fork that rotates with constant angular velocity [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] relative to the ground under the action of a motor. We want to find the equation of motion associated with the movement between the plate and the fork, and the value of the torque that guarantees a constant [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math].
|
- General diagram of interactions
- It is a two-DoF system (forced [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math], free [math]\displaystyle{ \dth }[/math]) with 10 constraint unknowns. On the other hand, it contains 2 rigid bodies, and the two vector theorems generate 6 equations per solid. The problema is determinate:
- equations: 2 rigid bodies [math]\displaystyle{ \times\frac{6\text{ eqs}}{\text{r.body}} = 12\text{eqs} }[/math]
- unknowns: 2 associated with the DoF + 10 constraint unk. = 12 unk.
- Roadmap for the equation of motion
- The plate is the only element whose movement depends on [math]\displaystyle{ \dth }[/math]. Therefore, the systems where [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] will appear when applying the vector theorems are: plate, plate + fork.
- FOTOx2
- The six equations generated when applying the vector theorems to the plate allow the calculation of the 6 unknowns, while in the other option, the number of unknowns exceeds the number of equations that can be generated. The external interactions on the plate are:
- The characterization of the constraint torsor of the fork on the plate at point [math]\displaystyle{ \Os }[/math] is straightforward whether the base B or B’ is used.
- If the AMT is applied, the three components include constraint unknowns. If the AMT is applied at [math]\displaystyle{ \Os }[/math], the constraint force will not appear, and component 3 (or 3’) will be free of constraint unknowns.
- A good proposal is: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Roadmap:SYSTEM(plate), AMT at }\Os]_{3=3'}} }[/math]
- AMT at [math]\displaystyle{ \Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Os\in }[/math] plate: [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{plate}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth] }[/math]
- In order to have an inertia tensor with constant terms, it is convenient to use the B vector basis fixed to the plate:
- [math]\displaystyle{ [\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{large}}{0}{0}{0}{\I{low}}{0}{0}{0}{\I{large + low}} }[/math], amb [math]\displaystyle{ \left\{\begin{aligned} \I{low} = (4/3)\ms\Ls^2 \\ \I{large} = (16/3)\ms\Ls^2 \end{aligned}\right. }[/math]
- [math]\displaystyle{ \{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{large}}{0}{0}{0}{\I{low}}{0}{0}{0}{\I{large + low}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{large}\Omega_0\sth}{\I{low}\Omega_0\cth}{\I{large + low}\dth} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{large}\Omega_0\dth\cth}{\I{low}\Omega_0\dth\sth}{\I{large + low}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{large}\Omega_0\sth}{\I{low}\Omega_0\cth}{\I{large + low}\dth} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{large + low})\ddth + \I{low - large}\Omega_0^2\sth\cth\\ \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth \end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{large + low})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{low} - \I{large})\Omega_0\cth\right]\sth = 0} }[/math]
- If [math]\displaystyle{ \I{large + low} }[/math] and [math]\displaystyle{ \I{low} - \I{large} }[/math] are substituted and by the values given in the tables, the equation becomes:
- [math]\displaystyle{ \boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0} }[/math]
- Analysis of the equation of motion: equilibrium configurations
- [math]\displaystyle{ \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0 }[/math]. This equation has two families of solutions:
- [math]\displaystyle{ \left\{\begin{aligned} \sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\ \frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \end{aligned}\right. }[/math]
- Since the cosine function is bounded between -1 and +1, the second family only exists if [math]\displaystyle{ \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1 }[/math], and this is true only if the angular velocity [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] is above the critical value [math]\displaystyle{ \Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}} }[/math].
- Analysis of the equation of motion: motion of the plate relative to the fork
- Since this is a nonlinear equation (due to the sine function), the general motion is obtained by numerical integration.
- Analytical analysis for small amplitudes [math]\displaystyle{ (\varepsilon) }[/math] about an equilibrium configuration [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} }[/math] can be done by approximating the trigonometric functions (section D7.1):
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\ \varepsilon^2\approx 0 \end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0 }[/math]
- For small amplitudes around [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = 0 }[/math], , the equation of motion is [math]\displaystyle{ \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0 }[/math].
- If the initial conditions are [math]\displaystyle{ (\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0) }[/math], , the time evolution of [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] is given by: [math]\displaystyle{ \ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon }[/math].
- For [math]\displaystyle{ \Omega_0^2 \gt \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon \gt 0\Rightarrow \varepsilon }[/math] increases. It is an UNSTABLE configuration, and no oscillation around this configuration is possible.
- For [math]\displaystyle{ \Omega_0^2 \lt \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon \lt 0\Rightarrow \varepsilon }[/math] decreases. . The movement is an oscillation about a STABLE. configuration. The angular frequency [rad/s] is [math]\displaystyle{ \omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)} }[/math].
- NOTE: If the initial conditions are [math]\displaystyle{ \theta(\ts = 0) = 0 }[/math] and [math]\displaystyle{ \dot\theta(\ts = 0) = 0 }[/math], the pendulum motion does not appear, and the system moves only according with the rotation [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math].
- ANIMACIO
- Additional comment
- If the plate had been suspended from the fork so that axis 2 was the one with a large moment of inertia and axis 1 was the one with a low moment of inertia, the equation of motion would have been:
- [math]\displaystyle{ (\I{large + low})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{large} - \I{low})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0 }[/math]
- If linearized around the configuration [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = 0 }[/math]:
- [math]\displaystyle{ (\I{large + low})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{large} - \I{low})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0 }[/math]
- For all values of [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math], the coefficient [math]\displaystyle{ \left[2\ms\gs\Ls + (\I{large} - \I{low})\Omega_0^2\right] }[/math] is positive, hence the [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = 0 }[/math] configuration is always STABLE.
ANIMACIO
- Roadmap for the motor torque
- There are two options for calculating the motor torque: fork, fork + plate:
- The option (fork + plate) is the most suitable. The description of external interactions on this system is shown in the figure.
- Since the unknown is a torque, the AMT is the right theorem to arrive at the solution:
- [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Roadmap: SYSTEM (fork + plate), AMT at }\Os]_\text{vert = 2'}} }[/math]
- The angular momentum is the same as that calculated before (since the fork has no mass).
- [math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{large}\Omega_0\dth\cth}{-\I{low}\Omega_0\dth\sth}{(\I{large} + \I{low})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{large}\Omega_0\sth}{\I{low}\Omega_0\cth}{(\I{large} + \I{low})\dth} = \vector{2\I{large}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{low}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\ \left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma \end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)} }[/math]
✏️ EXAMPLE D7.2: rotating bars
- The system consists of a massless frame and two identical homogeneous bars attached to the frame. The part is articulated to a massless fork which rotates with constant angular velocity [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] relative to the ground under the action of a motor. The revolute joint between the frame and the fork allows a free DoF (rotation [math]\displaystyle{ \sth }[/math] with axis orthogonal to the frame), but we want to investigate whether it is possible for this movement not to occur (therefore, investigating whether the equation of motion for the [math]\displaystyle{ \theta }[/math] coordinate can be simply [math]\displaystyle{ \ddth = 0 }[/math] and that the [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] rotation remains constant)..
- General diagram of interactions
- It is a 2-DoF system (forced [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math], free [math]\displaystyle{ \dth }[/math]) with 10 constraint unknowns. On the other hand, it contains 2 rigid bodies, and the two vector theorems generate 6 equations per rigid body. It is a determinate problem:
- equations: 2 rigid bodies [math]\displaystyle{ \times\frac{6\text{eqs.}}{\text{r. body}} = 12 }[/math] eqs.
- unknowns: 2 associated with the DoF + 10 constraint unk. = 12 unk.
- Roadmap for the equation of motion
- The plate is the only element whose movement depends [math]\displaystyle{ \dth }[/math]. Therefore, the systems in which [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] would appear in the application of the vector theorems are: rigid body, rigid body + fork.
- The six equations generated by applying the vector theorems to the rigid body allow the calculation of the 6 unknowns, while in the other option the number of unknowns exceeds the number of equations that can be generated. The external interactions on the piece are shown in the figure.
- If the AMT is applied, all three components contain constraint unknowns. If the AMT is applied at [math]\displaystyle{ \Os }[/math], the constrint force will not appear. Hence
- AMT at [math]\displaystyle{ \Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Os\in }[/math] rigid body [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{r.body}{RTO=E}= \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0) }[/math]
- In order to have an inertia tensor of constant terms, it is convenient to use the B vector basis fixed to the frame. Since we assumed that the movement corresponds only to the forced GL, that vector basis rotates relative to the ground with angular velocity [math]\displaystyle{ \vec\Omega_0 }[/math].
- The qualitative analysis of the inertia tensor can be done by first considering the tensor of each bar at its center of inertia and then adding the Steiner corrections to move to [math]\displaystyle{ \Os }[/math]:
- [math]\displaystyle{ [\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{-3/2}{0}{-3/2}{9/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2} }[/math]
- Taking into account that [math]\displaystyle{ 2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 : }[/math] [math]\displaystyle{ [\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0} }[/math]
- The angular momentum [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] has a constant value and is contained in the frame plane. Therefore, it rotates with [math]\displaystyle{ \vec\Omega_0 }[/math] relative to the ground and sweeps a conical surface. The [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] time derivative of comes from this change in direction:
- [math]\displaystyle{ \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{large}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2) }[/math]
- The time derivative can also be calculated analyically:
- [math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{large}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0} }[/math]
- The only moment about point [math]\displaystyle{ \Os }[/math] external to the rigid body is the constraint moment associated with the revolute joint:
- [math]\displaystyle{ \sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2) }[/math].
- None of those two componentes is consistent with the time derivative of the angular momentum:
- [math]\displaystyle{ (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️ }[/math]
- Conclusion: the motion that we were looking for (without the rotation [math]\displaystyle{ \dth }[/math] of the frame relative to the fork but keeping a constant [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math]) is not possible. The reason is the [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] horizontal component, which is the one that generates [math]\displaystyle{ \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0 }[/math]. If [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] were strictly vertical (parallel to[math]\displaystyle{ \vec\Omega_0 }[/math]), then [math]\displaystyle{ \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0 }[/math], and the application of the AMT would lead to zero value of the two moment components [math]\displaystyle{ \Ms_1 = \Ms_2 = 0 }[/math]. In other words: if the direction of the angular velocity were a principal direction of inertia for point [math]\displaystyle{ \Os }[/math], keeping it constant would be possible without the need for an external moment.
- Constant vertical rotation [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] can be achieved by applying a force on the frame that generates the required moment. For example, the following forces could be applied with a single finger:
- The value of the two forces is different, but the direction of the moment they exert about [math]\displaystyle{ \Os }[/math] is the same.
- As long as the finger introduces one of these forces, [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] remains constant without changing the frame orientation relative to the horizontal plane (without the appearance of [math]\displaystyle{ \dth }[/math]). According to the principle of action and reaction, the frame exerts on the finger the same force but in opposite direction (that is, the frame “rests” on the finger). If at any time the finger is removed, the frame is left without support and deviates from its initial orientation in a clockwise direction:
ANIMACIONS
ALTERNATIVE
- The initial direction of the deflection can be investigated from the equation of motion for the [math]\displaystyle{ \theta }[/math] coordinate, which can be found with the [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Roadmap: SYSTEM (rigid body), AMT at}\Os]_3]} }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth }[/math].
- The equation of motion is:
- [math]\displaystyle{ \frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0 }[/math]
- The equilibrium configurations [math]\displaystyle{ (\ddth_{eq} = 0) }[/math] are the solutions of the transcendental equation:
- [math]\displaystyle{ \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq} }[/math], and it is evident that, if [math]\displaystyle{ \Omega_0\neq 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = 0 }[/math] is not one of them.
- The initial conditions are: [math]\displaystyle{ \theta(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dth(\ts=0) = 0 }[/math]. Substituting them into the equation of motion, the initial acceleration [math]\displaystyle{ \ddth(\ts=0) }[/math] can be determined:
- [math]\displaystyle{ \frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2\gt 0 }[/math].
- The fact that [math]\displaystyle{ \ddth(\ts=0)\gt 0 }[/math] indicates that it has the same direction as the deviation [math]\displaystyle{ \theta }[/math] that has been represented in the previous figure. Therefore, a clockwise rotation appears.
✏️ EXAMPLE D7.3: rotating frame with particles
- The system consists of a massless frame and two identical particles attached to it. The frame is articulated to a massless fork which rotates with constant angular velocity [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] relative to the ground under the action of a motor. The articulation between the frame and the fork allows a free DoF ([math]\displaystyle{ \dth }[/math] rotation with axis orthogonal to the frame), and we want to investigate whether it is possible for this movement not to occur (therefore, investigating whether the equation of the [math]\displaystyle{ \theta }[/math] coordinate movement can be simply [math]\displaystyle{ \ddth = 0 }[/math] and that the [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] rotation remains constant..
- General diagram of interactions
- És un sistema del mateix tipus que el de l’example D7.2: it has 2 DoF (forces [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math], free [math]\displaystyle{ \dth }[/math]) with 10 constraint unknowns. The number of equations that can be generated if the vector theorems are applied to the two rigid bodies is 12: it is a determinate problem.
- Roadmap for the equation of motion
- The rigid body (frame + particles) is the only element whose movement would depend on [math]\displaystyle{ \dth }[/math]. Therefore, the systems in which [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] would appear in the application of the vector theorems are: rigid body, rigid body + fork. As in example D7.2, a suitable roadmap is:
- [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Roadmap: SYSTEM (rigid body), AMT at }\Os} }[/math]
- AMT at [math]\displaystyle{ \Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Os\in }[/math] rigid body [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{r.body}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0) }[/math]
- The inertia tensor in the B vector basis fixed to the frame is straightforward:
- [math]\displaystyle{ [\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{up. part.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{low. part.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} }[/math]
- The angular momentum [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] has constant value, is contained in the frame plane, and rotates relative to the ground with [math]\displaystyle{ \vec\Omega_0 }[/math] while sweeping a conical surface. The [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] time derivative comes from this change of direction:
- [math]\displaystyle{ \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2) }[/math]
- The time derivative can also be obtained analytically:
- [math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2} }[/math]
- The inertia center of the rigid body is located on the vertical line through [math]\displaystyle{ \Os }[/math], and therefore the only moment about point [math]\displaystyle{ \Os }[/math] external to the rigid body is the constaint moment associated with the revolute joint:
- [math]\displaystyle{ \sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2) }[/math]
- Neither of these two components can provide the time derivative of the angular momentum:
- [math]\displaystyle{ (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2) }[/math]
- As in example D7.2, the intended motion (without rotation of the frame relative to the fork but keeping [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] constant) is not possible because the direction of the angular velocity is not a principal direction of inertia.
- Constant vertical rotation [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] can be achieved by applying a force to the frame that generates the required moment. For example, the following forces could be applied with just a finger:
- The values of the two forces are different, but the direction of the moment they generate about [math]\displaystyle{ \Os }[/math] is the same.
- While one of these forces is introduced, [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] remains constant without changing the orientation of the frame relative to the horizontal plane. By the principle of action and reaction, the frame exerts the same force on the finger but in the opposite direction (i.e., the frame “rests” on the finger). If at any time the finger is removed, the frame is left without support and deviates from its initial orientation in a counterclockwise direction:
ANIMACIONS
ALTERNATIVE
- El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3} }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth }[/math]
- L’equació del moviment és:
- [math]\displaystyle{ 3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0 }[/math]
- Les configuracions d’equiibri [math]\displaystyle{ (\ddth_{\es\qs} = 0) }[/math] són les solucions de l’equació transcendent:
- [math]\displaystyle{ \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs} }[/math], i és evident que [math]\displaystyle{ \theta = 0 }[/math] no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.
- Les condicions inicials són: [math]\displaystyle{ \theta(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dth(\ts=0) = 0 }[/math]. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial [math]\displaystyle{ \ddth(\ts=0) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ 3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2\gt 0 }[/math]
- El fet que [math]\displaystyle{ \ddth(\ts=0)\gt 0 }[/math] indica que té el mateix sentit que la desviació [math]\displaystyle{ \theta }[/math] que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria
- La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul [math]\displaystyle{ (\mu_\text{rad} = 0) }[/math]. Es tracta d’investigar si la rotació [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
- Descripció cinemàtica
- L’EIRL de la bola respecte del terra és la recta [math]\displaystyle{ \Os\Js }[/math], i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:
- Diagrama general d’interaccions
- És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:
- (17 inc. d'enllaç, 1GL)[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] 18 incògnites
- 3 sòlids rígids [math]\displaystyle{ \times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}} }[/math]= 18 equacions
- La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a SAE, doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:
- El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents [math]\displaystyle{ (\Omega_3,\Omega_1) }[/math] respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:
- (11 inc. d'enllaç, 1GL)[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] 12 incògnites
- 2 sòlids rígids [math]\displaystyle{ \times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}} }[/math] = 12 equacions
- Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
- La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.
- La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:
- Si s’aplica el TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math], les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
- [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}} }[/math]
- El moment cinètic [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] (ja que [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math], [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs) }[/math] és paral·lel a la velocitat angular de la bola:
- [math]\displaystyle{ \begin{aligned} \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\ &= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\ &=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) \end{aligned} }[/math]
- Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical [math]\displaystyle{ \vec{\Omega_0} }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\ \left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls] \end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} }[/math]
- La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.
- Alternativa:
- Si el càlcul de [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) }[/math] es fa a partir de [math]\displaystyle{ \Is\Is(\Os) }[/math] i la derivada es fa de manera analítica:
- [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\ &=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} \end{aligned} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\ \left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls} \end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} }[/math]
✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria
- L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \dot\varphi_0 }[/math] constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math]. Inicialment, [math]\displaystyle{ \dot\psi(t=0) = 0 }[/math]. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix [math]\displaystyle{ \dot\varphi_0 }[/math] constant mentre hi ha lliscament.
- Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
- Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, [math]\displaystyle{ \dot\varphi_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI (exemple D3.18) són:
- Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) (secció D3.6):
- En els dos casos, el problema és determinat:
- Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] 18 incògnites, 3 sòlids rígids[math]\displaystyle{ \times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} = }[/math] 18 equacions
- Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] 12 incògnites, 2 sòlids rígids[math]\displaystyle{ \times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} = }[/math] 12 equacions
- OPCIÓ 1
- En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre braç i sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:
- Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada [math]\displaystyle{ \psi }[/math]
- Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de [math]\displaystyle{ \psi }[/math]. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.
- La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:
- Si s’aplica el TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math], s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç [math]\displaystyle{ (\Ns, \Ms_1) }[/math]. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç. Caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.
- [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os} }[/math]
- El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] perquè [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és fix a l’anella:
- [math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} }[/math], amb [math]\displaystyle{ 2\Is = \ms\rs^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ {\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = \left(\mat{\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\rs^2} + \mat{0}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}{0}{0}{0}{\ms(2\rs^2)}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi} }[/math]
- [math]\displaystyle{ {\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{0}{9\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{-2\dot\varphi_0}{0}{9\dot\psi} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} }[/math]
- Els moments externs a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] provenen del pes, de les forces a [math]\displaystyle{ \Js }[/math] i del moment [math]\displaystyle{ \Ms_1 }[/math] associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:
- [math]\displaystyle{ \sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs} }[/math]
- La segona component condueix a [math]\displaystyle{ \Ns = \ms\gs+\frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0 }[/math], i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:
- [math]\displaystyle{ \boxed{\ddot\psi = \frac{2}{9}\mu\left(2\frac{\gs}{\rs}+\dot\psi\dot\varphi_0\right)} }[/math]
- A l’instant inicial, [math]\displaystyle{ \dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{4}{9}\mu\frac{\gs}{\rs}\gt 0 }[/math], i per tant la velocitat angular [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a [math]\displaystyle{ \Js }[/math].
- Quan [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] arriba al valor [math]\displaystyle{ (\dot\varphi_0/2) }[/math], el lliscament a [math]\displaystyle{ \Js }[/math] s’atura:
- [math]\displaystyle{ \vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{roda}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0 }[/math]
- A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a [math]\displaystyle{ \Js }[/math] apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.
- Full de ruta per al parell motor
- Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la [math]\displaystyle{ \psi }[/math] i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:
- La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:
- La component 1 del TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:
- [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1} }[/math]
- El moment cinètic a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:
- [math]\displaystyle{ \left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)} }[/math]
- OPCIÓ 2
- Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada [math]\displaystyle{ \psi }[/math]
- Només l’anella té un moviment que depèn de [math]\displaystyle{ \psi }[/math]. Per tant, hi ha dues opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, anella+forquilla.
- Les dues opcions semblen equivalents. Per triar-ne una, cal analitzar els interaccions externes que actuen sobre cadascun dels dos sistemes:
- En els dos casos, si s’aplica el TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] s’eviten tres components de força d’enllaç, però en la direcció 1 (que és on pot aparèixer la [math]\displaystyle{ \ddot\varphi }[/math]) hi ha sempre un moment (el parell motor en un cas, o el [math]\displaystyle{ \Ms_1 }[/math] entre sostre i forquilla en l’altre). S’agafi un sistema o l’altre, caldrà treballar en principi amb més d’una component del TMC per arribar a l’equació del moviment. A continuació es consideren les dues opcions.
- [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os} }[/math]
- El moment cinètic a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] i la seva derivada són els mateixos calculats a l’opció 1:
- [math]\displaystyle{ \left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\: \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} }[/math]
- Els moments externs a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] provenen del pes, de les forces a J, del parell motor i del moment [math]\displaystyle{ \Ms_1 }[/math] a:
- [math]\displaystyle{ \sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3} }[/math]
- La segona component dóna el valor de N: [math]\displaystyle{ \Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0 }[/math]. En ser sempre positiu, el contacte a [math]\displaystyle{ \Js }[/math] està garantit.
- La primera component dóna el parell motor: [math]\displaystyle{ \Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right) }[/math].
- Però a la tercera, l’acceleració [math]\displaystyle{ \ddot\varphi }[/math] està en funció de [math]\displaystyle{ \Ms_3 }[/math]. Per tant, aquesta opció no sembla adequada.
- [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + forquilla),TMC a }\Os} }[/math]
- Els moments externs són diferents al cas anterior:
- [math]\displaystyle{ \sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs} }[/math]
- En aquesta opció, l’acceleració [math]\displaystyle{ \ddot\varphi }[/math] està en funció de N, però les altres components no permeten calcular aquesta força.
Ara bé, si es combinen es resultats per a les dues opcions, l’equació del moviment és immediata:
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \text{SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_2\\ \text{SISTEMA (anella + forquilla), TMC a }\left.\Os\right]_3 \end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi }[/math]
FALTA
- L’aturada del lliscament s’estudia exactament igual que en l’opció 1.
✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori
- El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 }[/math] sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.
- Descripció cinemàtica
- És un sistema de 3 GL: el moviment pendular [math]\displaystyle{ \dot\theta }[/math], el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math]) i la rotació vertical forçada [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 }[/math].
- El moviment del centre de l’anella [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \text{AB: guia} \\ \text{AB: suport} \end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \text{AB: terra} \\ \text{AB: guia} \end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth) }[/math]
- Descripció cinemàtica
- El problema és determinat:
- (15 inc. d'enllaç, 3GL) [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] 18 incògnites
- 3 sòlids rígids [math]\displaystyle{ \times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}} }[/math] = 18 equacions
- Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada [math]\displaystyle{ \theta }[/math]
- Només el moviment de l’anella depèn de [math]\displaystyle{ \ddth }[/math]. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.
- La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:
- Si s’aplica el TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular [math]\displaystyle{ \dth }[/math] (i, per tant, el canvi del seu valor [math]\displaystyle{ \ddth }[/math]). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:
- [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1} }[/math]
- Ja que el punt O es mou respecte del terra: :[math]\displaystyle{ \sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}} }[/math]
- Per altra banda, [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és un punt fix a l’anella: :[math]\displaystyle{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right] }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0} }[/math], amb [math]\displaystyle{ 2\Is = \ms\Rs^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth }[/math]
- [math]\displaystyle{ \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth) }[/math]
- Finalment: [math]\displaystyle{ \boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0 }[/math].
- Aquesta equació del moviment inclou també la variable [math]\displaystyle{ \ddot\xs }[/math]. Això vol dir que els graus de llibertat [math]\displaystyle{ \dth }[/math] i [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math] estan acoblats: encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.
- La component 1 del TMC a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] per al sistema anella és l’única on apareixen [math]\displaystyle{ \dth }[/math] i [math]\displaystyle{ \ddot\xs }[/math]. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.
- Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x
- El moviment de l’anella i el del suport depenen de [math]\displaystyle{ \ddot\xs }[/math]. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la [math]\displaystyle{ \theta }[/math], [math]\displaystyle{ \ddth }[/math] ja no és una incògnita.
- Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
- Per tant: [math]\displaystyle{ \boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}} }[/math].
- [math]\displaystyle{ \sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal} }[/math]
- Càlcul de l’acceleració de G:
- Opció 1: per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.
- [math]\displaystyle{ \left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth }[/math]
- Opció 2: per cinemàtica del sòlid rígid.
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \Gs\in\text{anella} \\ \Os\in\text{anella} \end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec }[/math]
- [math]\displaystyle{ \velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth) }[/math]
- L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de [math]\displaystyle{ \vec{\dth} }[/math]: [math]\displaystyle{ \accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth }[/math]
- Formulació de la força de la molla
- El GL de translació vertical del suport [math]\displaystyle{ (\dot\xs) }[/math] està associat a la variació d’una coordenada [math]\displaystyle{ \xs }[/math] l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.
- Si es pren [math]\displaystyle{ \xs=0 }[/math] per a l’equilibri en absència de rotació [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 }[/math], és clar que la molla haurà d’exercir una força [math]\displaystyle{ \Fs_0 }[/math] d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: [math]\displaystyle{ \Fs_0 = \ms\gs }[/math]. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: [math]\displaystyle{ \Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho }[/math].
- Ja que el moviment [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math] s’ha definit positiu cap a baix, un augment de [math]\displaystyle{ \xs }[/math] implica un augment de llargària de la molla. Per tant: [math]\displaystyle{ \Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs }[/math].
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\ \left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth) \end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0} }[/math]
- Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL
- Les condicions inicials [math]\displaystyle{ \xs(\ts=0) }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\xs(\ts=0) }[/math], [math]\displaystyle{ \theta(\ts=0) }[/math], [math]\displaystyle{ \dth(\ts=0) }[/math] amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.
- Una condició inicial del tipus [math]\displaystyle{ \xs(\ts=0) = \xs_0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0 }[/math], [math]\displaystyle{ \theta(\ts=0)=0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dth(\ts=0) =0 }[/math] no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:
- [math]\displaystyle{ (\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0 }[/math].
- En canvi, una condició inicial del tipus [math]\displaystyle{ \xs(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\xs(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \theta(\ts=0)=\theta_0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dth(\ts=0) =\dth_0 }[/math] sí que genera movement vertical [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math], doncs l’equació que governa la [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math] per a l’instant inicial és:
- [math]\displaystyle{ \ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0 }[/math].
- ANIMACIO
- Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
- Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 = 0 }[/math]) s’obtenen de les equacions del moviment imposant [math]\displaystyle{ \ddot\xs_\text{eq} = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\xs_\text{eq} = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \ddth_\text{eq} = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dth_\text{eq} = 0 }[/math]:
- Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri [math]\displaystyle{ (\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta) }[/math], les equacions es poden (secció D7.1)linealitzar. Per a la configuració [math]\displaystyle{ (\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \sth\sim\varepsilon_\theta \\ \cth\sim 1 \end{aligned}\right\} \Rightarrow \begin{cases} \ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs \lt 0\\ (\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta \lt 0 \end{cases} }[/math]
- Ja que [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\xs \lt 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\theta \lt 0 }[/math], es tracta d’una configuració ESTABLE.
- Per a la configuració [math]\displaystyle{ (\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \left.\begin{aligned} \sth\sim -\varepsilon_\theta \\ \cth\sim -1 \end{aligned}\right\} \Rightarrow \begin{cases} \ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs \gt 0\\ (\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta \gt 0 \end{cases} }[/math]
- Ja que [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\xs \gt 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\theta \gt 0 }[/math], es tracta d’una configuració INESTABLE.
- Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació
- Si [math]\displaystyle{ \dot\psi_0\gt 0 }[/math], per a [math]\displaystyle{ \ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0 }[/math] l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, [math]\displaystyle{ \xs_\text{eq}=0 }[/math] és estable: [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\xs \lt 0 }[/math]), però la de la [math]\displaystyle{ \theta }[/math] té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:
- [math]\displaystyle{ (\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \begin{cases} \text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\ \text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right) \end{cases} }[/math]
- La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de [math]\displaystyle{ \dot\psi_0^2 }[/math] ja que la funció [math]\displaystyle{ \text{cos}\theta_\text{eq} }[/math] està acotada entre -1 i +1:
- [math]\displaystyle{ |\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls} }[/math]
- Per a la configuració [math]\displaystyle{ (\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0) }[/math], la linealització de l’equació del moviment per a la [math]\displaystyle{ \theta }[/math] condueix a:
- [math]\displaystyle{ (\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta }[/math]
- Si [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 \lt \dot\psi_{\cs\rs} }[/math] i [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\theta \lt 0 }[/math], la configuració és ESTABLE. Si [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 \gt \dot\psi_{\cs\rs} }[/math] i [math]\displaystyle{ \ddot\varepsilon_\theta \gt 0 }[/math], la configuració és INESTABLE.
- Per a la configuració [math]\displaystyle{ (\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg) }[/math], l’equació del moviment per a la [math]\displaystyle{ \theta }[/math] linealitzada és:
- [math]\displaystyle{ (\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta \gt 0 }[/math]
- La configuració és INESTABLE per a qualsevol valor de [math]\displaystyle{ \dot\psi_0^2 }[/math].
- L’estudi de les configuracions [math]\displaystyle{ \theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2) }[/math] es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.
ANIMACIO
© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats
<<< D6. Exemples de dinàmica 2D
EN CONSTRUCCIÓ >>>