C2. Movement of a mechanical system

From Mechanics

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textrm{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \definecolor{blau}{RGB}{39, 127, 255} \definecolor{verd}{RGB}{9, 131, 9} }[/math]

C2.1 Velocity of a particle

The velocity of a particle [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (or a point that belongs to a rigid body) relative to a reference frame R, [math]\displaystyle{ \vvec_{\Rs}(\Qs) }[/math], is the rate of change of its position vector with time. Mathematically, it is the time derivative of a position vector (relative to R). The time derivative of two different position vectors ([math]\displaystyle{ \overline{\Or\Qs} }[/math], [math]\displaystyle{ \overline{\Os'_\Rs\Qs} }[/math] ) yield the same velocity because points [math]\displaystyle{ \Os_\Rs }[/math] and [math]\displaystyle{ \Os'_\Rs }[/math] are mutually fixed and fixed to the reference frame, hence [math]\displaystyle{ \overline{\Os_\Rs\Os'_\Rs} }[/math] is constant in R:

[math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) = \dert{\vec{\Os_{\Rs}\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Os_{\Rs}\Os_{\Rs}'}}{R} + \dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R} }[/math]

One must bear in mind that the time derivative of a vector depends on the reference frame where it is being calculated. For that reason, there is a subscript R in the preceding equations which reminds of that dependency.

The [[Vector calculus#V.2 Operations between vectors with geometric representation|time derivative of a vector relative to a reference frame R ]] assesses the evolution of the characteristics of that vector (direction and value) between two close time instants, separated by a time differential. Hence, the velocity [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) }[/math] is nonzero whenever the value of the position vector, or its direction, or both change.

✏️ EXAMPLE C2-1.1: rotating platform; geometric calculation

The platform (RP) rotates about an axis perpendicular to the ground (R). The movement of a point [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] on the platform periphery depends on whether it is observed from the ground or from the platform.


C2-Ex1-1-1-neut.png
The center of the platform ([math]\displaystyle{ \Os }[/math]) is fixed to both reference frames. Hence, [math]\displaystyle{ \vec{\Os\Qs} }[/math] is a position vector for point [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] both in R and RP. It is evident that [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs)\neq \vec{0} }[/math] i [math]\displaystyle{ \vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)= \vec{0} }[/math], though the vector whose time derivative is being calculated is the same.
As [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] is the platform radius r, its value is constant. Hence, the time derivative of [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] can only be associated with a change of direction.
To assess the change of orientation of [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] relative to the ground or to the platform, we have to define an angle between a straight line fixed in the reference frame (“departure” line) and vector [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] (“arrival” line). For the sake of clarity, we have represented the “departure” line as the direction of the arm of an observer located in the reference frame (thus not moving relative to it).
C2-Ex1-1-2-neut.png

[math]\displaystyle{ \psi(t)\neq\psi(t+dt) \implies \OQvec }[/math] changes its direction relative to R [math]\displaystyle{ \implies \textcolor{blau}{\vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{blau}{) \neq \vec{0}} }[/math]


As seen in section V.1, [math]\displaystyle{ \textcolor{blau}{\vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{blau}{)} }[/math] is perpendicular to [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math], and its value is that of [math]\displaystyle{ \OQvec(\textrm{r}) }[/math] times the rate of change of orientation of [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] relative to R [math]\displaystyle{ (\dot{\psi}) }[/math]:


C2-Ex1-1-3-neut.png
Velocity of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to the platform (RP):
C2-Ex1-1-4-neut.png

[math]\displaystyle{ \psi(t)=\psi(t+dt) \implies \OQvec }[/math] does not change its direction relative to RP [math]\displaystyle{ \textcolor{verd}{\implies \vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{verd}{) = \vec{0}} }[/math]


Analytical calculation ➕
The two logical vector bases for the calculation are:
  • Basis B (1,2,3) fixed in R (thus moving in RP): [math]\displaystyle{ \velang{B}{R}=\vec{0},\velang{B}{RP}= \vec{\dot{\psi}} }[/math]
  • Basis B' (1',2',3') fixed in RP (thus moving in R): [math]\displaystyle{ \velang{B'}{RP}=\vec{0},\velang{B'}{R} = -\vec{\dot{\psi}} }[/math]
C2-Ex1-1-5-neut.png
Projection of the position vector [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] on both bases:

[math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B}=\vector{rcos\psi}{rsin\psi}{0}, \: \: \braq{\OQvec}{B'}=\vector{r}{0}{0} }[/math]

Velocity of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to R:

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_\Rs(\Qs)}{B} = \braq{\dert{\OQvec}{R}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B} = \vector{-r\dot \psi sin\psi}{r\dot{\psi} cos\psi}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_\Rs(\Qs)}{B'}=\braq{\dert{\OQvec}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B'}=\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B'}=\vector{0}{0}{\dot\psi} \times \vector{r}{0}{0}= \vector{0}{r\dot\psi}{0} }[/math]

Velocity of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to RP:

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)}{B} =\braq{\dert{\OQvec}{RP}}{B}= \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B}+\braq{\velang{B}{RP}\times \OQvec}{B}=\vector{-r\dot\psi sin\psi}{r\dot\psi cos\psi}{0}+ \vector{0}{0}{-\dot\psi}\times\vector{rcos\psi}{rsin\psi}{0}= \vector{0}{0}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)}{B'} =\braq{\dert{\OQvec}{RP}}{B'}= \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{RP}\times \OQvec}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'} = \vector{0}{0}{0} }[/math]


✏️ Exemple C2-1.2: pèndol d'Euler

L’extrem [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] del pèndol d’Euler descriu un moviment circular respecte del bloc. La velocitat associada [math]\displaystyle{ \vel{Q}{BL} = \dert{\vecbf{CQ}}{BL} }[/math] s’obté de manera anàloga a l’exemple anterior.
C2-Ex1-2-1-neut.png
L’angle [math]\displaystyle{ \psi }[/math] orienta la barra tant respecte del bloc com respecte del terra, doncs el seu origen (recta vertical) té orientació constant a les dues referències.
La velocitat de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte del terra es pot obtenir derivant el vector [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Qs} (=\vec{\Or\Cbf}+\vecbf{CQ}) }[/math] respecte del terra:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R}+ \dert{\vec{\Cbf\Qs}}{R} }[/math]

El vector [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Cbf} }[/math] té direcció constant a R però valor variable, per tant la seva derivada és paral·lela a [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Cbf} }[/math] i de valor [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math] . El vector [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math] , en canvi, té valor constant L però direcció variable. Per tant, la seva derivada és perpendicular a [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math], i el seu valor és el mòdul de [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math] per la velocitat de canvi d’orientació de [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math] respecte de R ([math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math]):
C2-Ex1-2-2-neut.png
La direcció de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] no és cap de les direccions associades al sistema (ni la vertical, ni l’horitzontal, ni paral·lela a la barra ni perpendicular a la barra). Per aquest motiu, és millor deixar-la dibuixada com a suma dels dos termes [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math] i [math]\displaystyle{ L\dot\psi }[/math] , les direccions dels quals sí corresponen a una d’aquestes direccions singulars.
És interessant veure que el primer terme de l’expressió [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R}+\dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] correspon a la velocitat de [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] respecte del terra [math]\displaystyle{ \left(\vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R} \right) }[/math] , mentre que el segon no té interpretació física: el punt [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] no és fix a R, i per tant no és un vector de posició en aquesta referència.


Càlcul analític ➕
Les dues bases vectorials lògiques per fer els càlculs són:
C2-Ex1-2-3-neut.png


  • Base B (1,2,3) fixa respecte de R i de BL: [math]\displaystyle{ \Omegavec_\Rs^\Bs=\vec{0},\Omegavec_{\Bs\Ls}^\Bs = \vec{0} }[/math]
  • Base B' (1',2',3') fixa respecte de la barra, i per tant mòbil a R i BL: [math]\displaystyle{ \velang{P}{B'}=\vec{0} }[/math], [math]\displaystyle{ \velang{RL}{B'} = -\vec{\dot{\psi}} }[/math]


Projecció del vector de posició [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] en les dues bases:
[math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B} = \vector{\xs+\Ls sin\psi}{\Ls cos\psi}{0} }[/math], [math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B'} = \vector{\Ls+\xs sin\psi}{xcos\psi}{0} }[/math]
Velocitat de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de BL:

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{R}}{B} = \braq{\dert{\OQvec}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B} = \vector{\dot\xs+\Ls\dot\psi cos\psi}{-\Ls\dot\psi sin\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'} + \braq{\velang{B'}{R} \times \OQvec}{B'} = \vector{\dot\xs sin\psi+\xs\dot\psi cos\psi}{\dot\xs cos\psi - \xs \dot\psi sin \psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{\Ls+\xs sin\psi}{\xs cos\psi}{0}=\vector{\dot\xs sin \psi}{\dot\xs cos\psi + \Ls\dot\psi}{0} }[/math]

Si es vol calcular la velocitat de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de BL, el vector de posició a derivar és [math]\displaystyle{ \vecbf{CQ} }[/math]:
[math]\displaystyle{ \braq{\vecbf{CQ}}{B} = \vector{\Ls sin \psi}{\Ls cos \psi}{0}; \braq{\vecbf{CQ}}{B'}=\vector{\Ls}{0}{0} }[/math]


C2.2 Acceleració d’una partícula

L’acceleració d’una partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (o d’un punt que pertany a un sòlid) respecte d’una referència R, [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] , és el ritme de canvi de la velocitat al llarg del temps:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} = \dert{\vel{Q}{R}}{R} }[/math]


✏️ Exemple C2-2.1: plataforma giratòria

En el moviment circular del punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] de la plataforma respecte del terra, l’acceleració [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] prové tant del canvi de valor com del canvi d’orientació de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]. En ser [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] permanentment perpendicular a [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] , el seu ritme de canvi d’orientació és [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] , el mateix que el de [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] :
File:C2-Ex2-1-cat.png
La direcció de [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] no és cap de les direccions associades al sistema (ni la radial, ni la perpendicular al radi). Per aquest motiu, és millor deixar-la dibuixada com a suma dels dos termes [math]\displaystyle{ \rs\ddot\psi }[/math] i [math]\displaystyle{ r\dot\psi^2 }[/math] , les direccions dels quals sí corresponen a una d’aquestes direccions singulars.
Càlcul analític ➕
Les bases B i B’ són les mateixes de l’exemple C2-1.1.
[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B} = \vector{-\rs \ddot\psi sin\psi - \rs \dot\psi^2cos\psi}{\rs\ddot\psi cos\psi - \rs \dot\psi^2sin\psi}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'} + \braq{\velang{B'}{R} \times \vel{Q}{R}}{B} = \vector{0}{\rs\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi} \times \vector{0}{\rs\dot\psi}{0} = \vector{-\rs\dot\psi^2}{\rs\ddot\psi}{0} }[/math]


✏️ Exemple C2-2.2: pèndol d’Euler

El càlcul de l’acceleració de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte del terra (R) és laboriós perquè la velocitat [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] prové de la suma de dos termes: [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R} + \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math].
  • [math]\displaystyle{ \dert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R} }[/math]: direcció constant (horitzontal), valor [math]\displaystyle{ (\dot\xs) }[/math] variable. La seva derivada [math]\displaystyle{ \ddert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R} }[/math] , doncs, serà horitzontal i de valor [math]\displaystyle{ \ddot\xs }[/math] .
  • [math]\displaystyle{ \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math]: direcció perpendicular a la barra i per tant variable; valor [math]\displaystyle{ \Ls\dot\psi }[/math] variable. La seva derivada [math]\displaystyle{ \ddert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] , doncs, tindrà una part perpendicular a [math]\displaystyle{ \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] (i per tant paral·lela a la barra) de valor [math]\displaystyle{ \Ls\dot\psi\cdot\dot\psi }[/math] , i una part paral·lela a [math]\displaystyle{ \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] (i per tant perpendicular a la barra) de valor [math]\displaystyle{ \Ls\ddot\psi }[/math].


C2-Ex2-2-neut.png
Càlcul analític ➕
Les bases B i B’ són les mateixes de l’exemple C2-1.2.
Acceleració de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de BL:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B} = \vector{\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls \dot\psi^2 sin\psi}{-\Ls \ddot\psi sin\psi -\Ls \dot\psi^2 cos\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B'}+ \braq{\velang{B'}{BL}\times \OQvec}{B} = \vector{0}{\Ls\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{0}{\Ls\dot\psi}{0} = \vector{-\Ls\dot\psi^2}{\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]

Acceleració de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de R:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B}=\vector{\ddot\xs+\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls\dot\psi^2sin\psi}{-\Ls\ddot\psi sin\psi-\Ls\dot\psi^2cos\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B'}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B}=\vector{\ddot\xs sin\psi+\dot\xs\dot\psi cos\psi}{\ddot\xs cos\psi-\dot\xs\dot\psi sin\psi +\Ls\ddot\psi}{0}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot\xs sin\psi}{\dot\xs cos\psi+\Ls\dot\psi}{0}=\vector{\ddot\xs sin\psi - \Ls \dot\psi^2}{\ddot\xs cos\psi+\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]


C2.3 Direccions intrínseques. Components intrínseques de l’acceleració

Un simple dibuix posa de manifest que la velocitat d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relativa a una referència R és sempre tangent a la trajectòria que descriu a R (Figura C2.1). La seva direcció és la direcció tangencial.

File:C2-1-cat.png
Figura C2.1 El vector de velocitat sempre és tangent a la trajectòria

En un cas general, la velocitat [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] canvia tant en valor com en direcció. Per tant, l’acceleració [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] té dues components, una associada al canvi de valor (paral·lela a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]) i l’altra associada al canvi de direcció (ortogonal a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]). Aquestes components són les components intrínseques de l’acceleració, i s’anomenen component tangencial [math]\displaystyle{ \accs{Q}{R} }[/math] i component normal [math]\displaystyle{ \accn{Q}{R} }[/math], respectivament:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{R}=\accs{Q}{R}+\accn{Q}{R} }[/math]

Per al cas del moviment circular, la component tangencial és perpendicular al radi, i la normal és paral·lela al radi i dirigida cap al centre de la trajectòria (Figura C2.2):

C2-2-neut.png
Figura C2.2 Components intrínseques de l’acceleració en el moviment circular

Aquest resultat es pot fer servir localment per a qualsevol altre moviment. Efectivament, així com el càlcul de la velocitat d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte d’una referència R ([math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]) es basa en dos vectors de posició consecutius (o, el que és el mateix, en dos punts consecutius de la trajectòria), el de l’acceleració [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] en demana tres:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{R}=\dert{\vel{Q}{R}}{R}\simeq\frac{\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm{t+dt})-\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t)}{\Delta t(\rightarrow0)}\equiv\frac{\Delta\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t)}{\Delta t(\rightarrow0)} }[/math]

El càlcul del vector [math]\displaystyle{ \Delta\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t) }[/math] requereix tres punts consecutius de la trajectòria (dos per a cada velocitat, on l’últim punt per calcular [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t) }[/math] i el primer per calcular [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm{t+dt}) }[/math] són el mateix). Aquests tres punts defineixen un pla (pla osculador), i hi ha un únic cercle que els pot contenir tots tres. En altres paraules: qualsevol trajectòria es pot aproximar localment per un cercle (cercle osculador). El centre i el radi d’aquest cercle s’anomenen centre de curvatura i radi de curvatura de la trajectòria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de R ([math]\displaystyle{ \textrm{CC}_\textrm{R}(\textbf{Q}) }[/math] i [math]\displaystyle{ \Re_\textrm{R}(\textbf Q) }[/math] respectivament). Els resultats obtinguts per al moviment circular es poden fer servir localment per calcular [math]\displaystyle{ \Re_\textrm{R}(\textbf Q) }[/math] (Figura C2.3).

File:C2-3-cat.png
Figura C2.3 Geometria local de la trajectòria d’una partícula [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte d’una referència R

Tant el radi de curvatura com la posició del centre de curvatura canvien al llarg de la trajectòria en general. En trams rectilinis, en no haver-hi canvi de direcció de la velocitat, la component normal de l’acceleració és zero, i el radi de curvatura es fa infinit.

El versor tangencial [math]\displaystyle{ \vecbf{s} }[/math] ([math]\displaystyle{ \vecbf{s}=\velo{R}/|\velo{R}|=\accso{R}/|\accso{R}| }[/math]) i el versor normal [math]\displaystyle{ \vecbf{n} }[/math] ([math]\displaystyle{ \vecbf{n}=\accno{R}/|\accno{R}| }[/math]) es poden completar amb un tercer versor [math]\displaystyle{ \vecbf{b} }[/math] ortogonal a tots dos (versor binormal, [math]\displaystyle{ \vecbf{b}\equiv\vecbf{s}\times\vecbf{n} }[/math]), i formar la base intrínseca o base de Frenet per al moviment de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] a la referència R.


✏️ Exemple C2-3.1: pèndol d'Euler

En el moviment circular de l’extrem [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] de la barra respecte del bloc, les dues components intrínseques de l’acceleració [math]\displaystyle{ \acc{Q}{BL} }[/math] són diferents de zero. Els seus valors i direccions són els del moviment circular:
  • acceleració tangencial [math]\displaystyle{ \accs{Q}{BL} }[/math]: paral·lela a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{BL} }[/math] i de valor L[math]\displaystyle{ \ddot\psi }[/math].
  • acceleració normal [math]\displaystyle{ \accn{Q}{BL} }[/math] : perpendicular a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{BL} }[/math] i de valor L[math]\displaystyle{ \dot\psi^2 }[/math].
C2-Ex3-1-1-neut.png
Tot i ser evident que el radi de curvatura de la trajectòria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] a la referència BL és L (ja que fa un moviment circular), també es pot obtenir com a [math]\displaystyle{ \frac{\vecbf{v}_{\textrm{BL}}^2(\Qs)}{|\accn{Q}{BL}|}=\frac{(\Ls\dot\psi)^2}{\Ls\dot\psi^2}=\Ls }[/math].
L’acceleració [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] s’ha descrit a l’exemple C2-2.2 com a suma de tres termes (els dos de [math]\displaystyle{ \acc{Q}{BL} }[/math] més un permanentment horitzontal de valor [math]\displaystyle{ \ddot\xs }[/math]). Identificar en aquest cas quina és la component tangencial (paral·lela a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]) i quina la normal (ortogonal a [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]) no és immediat, doncs la direcció de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] no és cap de les direccions singulars del problema.
Aquesta identificació sí que és immediata per a dues configuracions particulars per a les quals la direcció de [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] (que és la direcció tangencial) és horitzontal:
File:C2-Ex3-1-2-cat.png
El radi de curvatura de l’extrem del pèndol respecte del terra per a la configuració [math]\displaystyle{ \psi=0 }[/math] és:
File:C2-Ex3-1-3-cat.png
El centre de curvatura sempre es troba per sobre de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] perquè l’acceleració normal apunta cap a dalt.
Casos particulars:
File:C2-Ex3-1-4-neut.png
Les línies circulars discontínues indiquen l’aproximació de la trajectòria en l’entorn de la configuració [math]\displaystyle{ \psi=0 }[/math] per a aquests dos casos particulars.
Tot i que és laboriós, és possible calcular [math]\displaystyle{ \re{Q}{R} }[/math] per a una configuració general recordant que en el producte escalar [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R}\cdot\acc{Q}{R} }[/math] només participen les components paral·leles (i per tant la [math]\displaystyle{ \accs{Q}{R} }[/math]), i en el producte vectorial [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R}\times\acc{Q}{R} }[/math], només les ortogonals (i per tant la [math]\displaystyle{ \accn{Q}{R} }[/math]) (exemple C2-3.1 analític). El resultat és:
[math]\displaystyle{ \re{Q}{R}=\frac{\textbf{v}_{\Rs}^2(\Qs)}{|\accn{Q}{R}|}=\frac{\left[\dot\xs^2+\left(\Ls\dot\psi\right)^2+2\Ls\dot\xs\dot\psi cos\psi\right]^{3/2}}{\left|\Ls(\ddot\xs\dot\psi-\dot\xs\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot\xs cos\psi)\right|} }[/math]
Quan s’obtenen expressions complicades com l’anterior, és aconsellable fer alguna comprovació per assegurar-se que no hi ha errors evidents evitables. Per exemple:
  • Si [math]\displaystyle{ \dot\xs=0 }[/math] permanentment (és a dir, [math]\displaystyle{ \ddot\xs=0 }[/math]), la trajectòria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de R és circular de radi L:
[math]\displaystyle{ \re{Q}{R}\big]_{\dot\xs=0, \ddot\xs=0}=\frac{\left(\Ls^2\dot\psi^2\right)^{3/2}}{\Ls\dot\psi^2\Ls\dot\psi}=\Ls }[/math]
  • Si [math]\displaystyle{ \dot\psi=0 }[/math] permanentment ([math]\displaystyle{ \ddot\psi=0 }[/math]), la trajectòria de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de R és rectilínia, i el radi de curvatura ha de ser infinit:
[math]\displaystyle{ \re{Q}{R}\big]_{\dot\psi=0, \ddot\psi=0}=\frac{(\dot\xs^2)^{3/2}}{0}\rightarrow\infty }[/math]
Càlcul analític ➕
Les bases B i B’ són les mateixes de l’exemple C2-2.1.
Acceleració de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de BL:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B} = \vector{\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls \dot\psi^2 sin\psi}{-\Ls \ddot\psi sin\psi -\Ls \dot\psi^2 cos\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B'}+ \braq{\velang{B'}{BL}\times \OQvec}{B} = \vector{0}{\Ls\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{0}{\Ls\dot\psi}{0} = \vector{-\Ls\dot\psi^2}{\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]

Acceleració de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de R:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B}=\vector{\ddot\xs+\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls\dot\psi^2sin\psi}{-\Ls\ddot\psi sin\psi-\Ls\dot\psi^2cos\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B'}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B}=\vector{\ddot\xs sin\psi+\dot\xs\dot\psi cos\psi}{\ddot\xs cos\psi-\dot\xs\dot\psi sin\psi +\Ls\ddot\psi}{0}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot\xs sin\psi}{\dot\xs cos\psi+\Ls\dot\psi}{0}=\vector{\ddot\xs sin\psi - \Ls \dot\psi^2}{\ddot\xs cos\psi+\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]

C2-Ex3-1-6-neut.png
El càlcul del radi de curvatura per a la configuració general és laboriós. Com que es tracta d’un moviment pla, on la velocitat i l’acceleració només tenen dos components, s’ometrà la tercera component. La base emprada és la B (però es pot treballar també en la base B’).

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{R}}{B} = \vecdosd{\dot\xs + \Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls \dot\psi sin\psi}, \braq{\acc{Q}{R}}{B} = \vecdosd{\ddot\xs + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi} }[/math] [math]\displaystyle{ \abs{\accn{Q}{R}}=\abs{\acc{Q}{R}\times\frac{\vel{Q}{R}}{\abs{\vel{Q}{R}}}} }[/math] [math]\displaystyle{ \abs{\accn{Q}{R}}=\abs{\frac{1}{\sqrt{({\dot\xs + \Ls\dot\psi cos\psi)^2+(\Ls \dot\psi sin\psi)^2}}}\vecdosd{\ddot\xs + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi}\times\vecdosd{\dot\xs + \Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls\dot\psi sin\psi}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \abs{\accn{Q}{R}}=\abs{ \frac { (\ddot\xs + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi)\Ls \dot\psi sin\psi-(\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi)(\dot\xs + \Ls\dot\psi cos\psi) } { \sqrt{\dot\xs^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot\xs\dot\psi cos\psi} }} }[/math]

[math]\displaystyle{ \abs{\accn{Q}{R}}= \abs{ \frac { \Ls\ddot\xs\dot\psi sin\psi-\Ls\dot\xs\ddot\psi sin\psi-L^2\dot\psi^3-\Ls\dot\xs\dot\psi^2cos\psi } { \sqrt{\dot\xs^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot\xs\dot\psi cos\psi} } }= \abs{ \frac { \Ls(\ddot\xs\dot\psi-\dot\xs\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot\xs cos\psi) } { \sqrt{\dot\xs^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot\xs\dot\psi cos\psi} } } }[/math]

[math]\displaystyle{ \Re_\Rs(\Qs)=\frac{\textrm{v}^2_\Rs(\Qs)}{\abs{\accn{Q}{R}}}= \frac { \left( \dot\xs^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls\dot\xs\dot\psi cos\psi\right)^{3/2} } { \abs{ \Ls(\ddot\xs\dot\psi-\dot\xs\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot\xs cos\psi) } } }[/math]


C2.4 Velocitat angular d’un sòlid rígid

De la mateixa manera que la configuració d’un sòlid rígid S respecte d’una referència R queda definida per la posició d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] del sòlid i per l’orientació de S a R (descrita, per exemple, mitjançant angles d’Euler), el canvi de la configuració respecte de R es pot descriure mitjançant la velocitat d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] del sòlid, [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math], i la velocitat angular del sòlid [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] (ritme de canvi d’orientació al llarg del temps). Quan l’orientació respecte de R es manté constant al llarg del temps, es diu que el sòlid té un moviment de translació [math]\displaystyle{ \left(\velang{S}{R}=0\right) }[/math].


Rotació simple

L’orientació d’un sòlid rígid que descriu un moviment pla respecte d’una referència R queda definida mitjançant un únic angle [math]\displaystyle{ \psi }[/math]. El canvi d’aquesta orientació implica [math]\displaystyle{ \dot\psi\neq0 }[/math] .

Donar el valor de [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] [math]\displaystyle{ [rad/s] }[/math] no és suficient per definir com canvia d’orientació un sòlid que descriu un moviment pla.


✏️ Exemple C2-4.1: roda amb moviment pla

File:C2-Ex4-1-1-cat.png
La roda descriu un moviment pla respecte de R. El seu centre [math]\displaystyle{ \Cbf }[/math] és fix a R, i la seva orientació canvia a ritme [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] [math]\displaystyle{ [rad/s] }[/math]. Amb aquesta informació, no podem saber quin moviment està fent. Per exemple, la informació podria correspondre a qualsevol dels dos casos següents:
C2-Ex4-1-2-neut.png
  • Cas (a): angle [math]\displaystyle{ \psi }[/math] definit en el pla horitzontal; el pla del moviment és horitzontal.
  • Cas (b): angle [math]\displaystyle{ \psi }[/math] definit en un pla vertical; el pla del moviment és vertical.
Si no es diu en quin pla està definit l’angle (i això és equivalent a donar una direcció: la perpendicular al pla en qüestió), el moviment no queda definit.


El moviment associat al canvi d’orientació, doncs, queda definit pel ritme de canvi de l’angle i per una direcció. L’objecte matemàtic que incorpora aquestes dues característiques és un vector. Per tant, la velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] és un vector. El conveni per associar-li un sentit és la regla del cargol (o de la mà dreta, o del llevataps).


✏️ Exemple C2-4.2: roda amb moviment pla

La velocitat angular associada als moviments (a) i (b) de l’exemple anterior és:
File:C2-Ex4-2-1-cat.png


Rotació a l’espai

L’orientació d’un sòlid rígid S que es mou de manera general respecte d’una referència R es pot definir mitjançant tres angles d’Euler [math]\displaystyle{ (\psi,\theta,\varphi) }[/math]. La variació de cadascun d'aquests angles, per separat, correspon a una rotació simple. La velocitat angular del sòlid S respecte de R és la superposició de les tres velocitats angulars associades a aquestes rotacions simples:

[math]\displaystyle{ \velang{S}{R} = \vecdot\psi + \vecdot\theta + \vecdot\varphi }[/math]

Tot i tractar-se d’una superposició intuïtiva, cal una demostració rigorosa. No s’inclou aquí però es pot trobar a [Batlle, J.A., Barjau, A. (2020) chapter 1 in Rigid body kinematics. Cambridge University Press].


✏️ Exemple C2-4.3: giroscopi

L’orientació d’un giroscopi respecte del terra (R) es pot donar mitjançant tres angles d’Euler. Les velocitats angulars associades a [math]\displaystyle{ (\dot\psi,\dot\theta,\dot\varphi) }[/math] tenen les interpretacions següents: [math]\displaystyle{ \vecdot\psi=\velang{forquilla}{R} }[/math], [math]\displaystyle{ \vecdot\theta=\velang{braç}{forquilla} }[/math], [math]\displaystyle{ \vecdot\varphi=\velang{volant}{braç} }[/math]. La velocitat angular del volant respecte del terra és la superposició de les tres:


[math]\displaystyle{ \velang{volant}{R} = \velang{volant}{braç} + \velang{braç}{forquilla} + \velang{forquilla}{R} = \vecdot\varphi + \vecdot\theta + \vecdot\psi }[/math]


File:C2-Ex4-3-1-cat-jpg.jpg
Aquestes velocitats angulars es poden projectar en qualsevol de les bases vectorials que suggereix el problema:
  • Base [math]\displaystyle{ \Bs_\Rs }[/math] fixa a la referència
  • Base [math]\displaystyle{ \Bs }[/math] fixa a la forquilla (es pot generar a partir de [math]\displaystyle{ \Bs_\Rs }[/math] mitjançant la rotació [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math])
  • Base [math]\displaystyle{ \Bs' }[/math] fixa a al braç (es pot generar a partir de [math]\displaystyle{ \Bs }[/math] mitjançant la rotació [math]\displaystyle{ \dot\theta }[/math])
  • Base [math]\displaystyle{ \Bs_\textrm{V} }[/math] fixa al volant
File:C2-Ex4-3-2-cat-jpg.jpg
Ara bé, és aconsellable triar una base on el nombre màxim de rotacions tinguin la direcció d’un dels eixos de la base, per evitar haver de projectar. Ja que els eixos de les tres rotacions no formen un triedre ortogonal, sempre caldrà projectar com a mínim una de les velocitats angulars ([math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}}, \vec{\dot{\theta}}, \vec{\dot{\varphi}} }[/math]). Si es tria adequadament la base, es pot aconseguir que les velocitats a projectar estiguin contingudes en un pla definit per dos eixos de la base, i això simplifica l’operació. Això porta a triar la base B o la B’. Les velocitats angulars que tindran dues components seran [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\varphi}} }[/math], quan s’empri la B, i [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}} }[/math] quan s’empri la B’:
[math]\displaystyle{ \braq{\velang{forquilla}{R}}{B}=\vector{0}{0}{\dot\psi}, \braq{\velang{braç}{forquilla}}{B}=\vector{\dot{\theta}}{0}{0}, \braq{\velang{volant}{braç}}{B}=\vector{0}{\dot{\varphi}cos\theta}{\dot{\varphi}sin\theta} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{forquilla}{R}}{B'}=\vector{0}{\dot{\psi}sin\theta}{\dot{\psi}cos\theta}, \braq{\velang{braç}{forquilla}}{B'}=\vector{\dot{\theta}}{0}{0}, \braq{\velang{volant}{braç}}{B'}=\vector{0}{\dot{\varphi}}{0} }[/math]

C2-Ex4-3-3-neut.png

C2.5 Acceleració angular d’un sòlid rígid

L’acceleració angular d’un sòlid rígid S respecte d’una referència R ([math]\displaystyle{ \accang{S}{R} }[/math]) és la derivada temporal de la seva velocitat angular respecte de R:

[math]\displaystyle{ \accang{S}{R}= \dert{\velang{S}{R}}{R} }[/math]

La descripció de la velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] pot ser qualsevol (rotacions al voltant d’eixos fixos, rotacions d’Euler...). Quan el sòlid fa un moviment pla respecte de R, la direcció de la seva velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] no canvia (és sempre perpendicular al pla del moviment). Per tant, l’acceleració angular només prové del canvi de valor de [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math], i és paral·lela a [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math]. En moviments generals a l’espai, si [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] es descriu mitjançant rotacions d’Euler, [math]\displaystyle{ \accang{S}{R} }[/math] pot provenir del canvi dels valors de ([math]\displaystyle{ \vecdot\psi }[/math], [math]\displaystyle{ \vecdot\theta }[/math],[math]\displaystyle{ \vecdot\varphi }[/math]) i del canvi de direcció de [math]\displaystyle{ \vecdot\theta }[/math] i [math]\displaystyle{ \vecdot\varphi }[/math] ([math]\displaystyle{ \vecdot\psi }[/math] és sempre de direcció constant respecte de R).


✏️ Exemple C2-5.1: giroscopi

La forquilla d’un giroscopi té moviment pla respecte del terra (R), amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{forquilla}{R}=\vecdot\psi }[/math] vertical. La seva acceleració angular és també vertical, de valor [math]\displaystyle{ \ddot{\psi}: \accang{S}{R}=\vec{\ddot{\psi}} }[/math].
L’acceleració angular del volant és més complicada. Es pot obtenir mitjançant la derivació geomètrica de [math]\displaystyle{ \velang{volant}{R}=\vecdot\psi+\vecdot\theta+\vecdot\varphi }[/math]. La rotació [math]\displaystyle{ \vecdot\varphi }[/math] es pot descompondre en una component vertical de valor [math]\displaystyle{ \dot\varphi\textrm{sin}\theta }[/math], i una d’horitzontal de valor [math]\displaystyle{ \dot\varphi\textrm{cos}\theta }[/math]. La component vertical només pot canviar de valor, mentre que l'horitzontal canvia de valor i de direcció (per causa de [math]\displaystyle{ \vecdot\psi }[/math]).


C2-Ex5-1-neut.png


Derivada de les components verticals:

C2-Ex5-3-neut.png
Derivada de les components horitzontals:
C2-Ex5-4-neut.png


Càlcul analític ➕
El mateix resultat s’obté si la derivada es fa de manera analítica a través de la base vectorial que gira amb [math]\displaystyle{ \vecdot\psi }[/math] respecte de R o de la que gira amb [math]\displaystyle{ \vecdot\psi+\vecdot\theta }[/math] (també respecte de R):

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{volant}{R}}{B}=\vector{\dot\theta}{\dot\varphi cos\theta}{\dot\psi+\dot\varphi sin\theta}, }[/math]          [math]\displaystyle{ \braq{\accang{volant}{R}}{B}=\braq{\dert{\velang{volant}{R}}{R}}{B}=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}\braq{\velang{volant}{R}}{B}+\braq{\velang{B}{R}\times\velang{volant}{R}}{B} }[/math]


[math]\displaystyle{ \braq{\accang{volant}{R}}{B}=\vector{\ddot\theta}{\ddot\varphi cos\theta-\dot\varphi\dot\psi sin\theta}{\ddot\psi+\ddot\varphi sin\theta+\dot\varphi\dot\psi cos\theta}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot\theta}{\dot\varphi cos\theta}{\dot\psi+\dot\varphi sin\theta}=\vector{\ddot\theta-\dot\psi\dot\varphi cos\theta}{\ddot\varphi cos\theta-\dot\varphi\dot\psi sin\theta+\dot\psi\dot\theta}{\ddot\psi+\ddot\varphi sin\theta+\dot\varphi\dot\psi cos\theta} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{volant}{R}}{B'}=\vector{\dot\theta}{\dot\varphi+\dot\psi sin\theta}{\dot\psi cos\theta}, }[/math]          [math]\displaystyle{ \braq{\accang{volant}{R}}{B'}=\braq{\dert{\velang{volant}{R}}{R}}{B'}=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}\braq{\velang{volant}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times\velang{volant}{R}}{B'} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\accang{volant}{R}}{B'}=\vector{\ddot\theta}{\ddot\varphi+\ddot\psi sin\theta+\dot\psi\dot\theta cos\theta}{\ddot\psi cos\theta-\dot\psi\dot\theta sin\theta}+\vector{\dot\theta}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot\theta}{\dot\varphi+\dot\psi sin\theta}{\dot\psi cos\theta}=\vector{\ddot\theta-\dot\psi(\dot\varphi+\dot\psi sin\theta)}{\ddot\varphi+\ddot\psi sin\theta+\dot\psi\dot\theta}{\ddot\psi cos\theta+\dot\theta\dot\varphi} }[/math]


C2.6 Cinemàtica de partícula VS cinemàtica de sòlid rígid

Partícula (punt) i sòlid rígid són dos models molt diferents. Des del punt de vista de la cinemàtica, el segon és molt més ric en incloure el concepte de rotació (inexistent en partícules, ja que aquestes no es poden orientar perquè no tenen dimensions). Per causa de les rotacions, els punts d’un mateix sòlid rígid poden descriure trajectòries diferents.

És important tenir present això per no emprar erròniament conceptes que només s’apliquen a un dels dos models quan es parla de l’altre. Els exemples següents il·lustren algunes afirmacions errònies i correctes.


✏️ Exemple C2-6.1: partícula dins una guia circular

C2-Ex6-1-neut REV01.png
La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] gira respecte de R: ERRONI


El vector [math]\displaystyle{ \vec{\textbf{OP}} }[/math] gira respecte de R: CORRECTE


La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] descriu una trajectòria circular respecte de R (o té un moviment circular respecte de R): CORRECTE

✏️ Exemple C2-6.2: partícula en un pla inclinat

C2-Ex6-2-neut.png
La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] es trasllada respecte de R: ERRONI


La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] descriu una trajectòria rectilínia respecte de R (o té un moviment rectilini respecte de R): CORRECTE

✏️ Exemple C2-6.3: roda en contacte amb el terra sense lliscar i amb moviment pla

C2-Ex6-3-neut.png
Els punts de la roda giren respecte de R: ERRONI
La roda gira respecte de R: CORRECTE
El centre de la roda es trasllada respecte de R: ERRONI
El centre de la roda té un moviment rectilini respecte de R: CORRECTE


Un sòlid rígid que gira pot tenir punts que facin moviments rectilinis.


Video C2.1 Visualització de les trajectòries de punts

✏️ Exemple C2-6.4: moviment d’una sínia

File:C2-Ex6-4-1-cat.png
L’anella gira respecte de R: CORRECTE


La cabina gira respecte de R: ERRONI (si negligim el moviment pendular, el terra i el sostre de la cabina sempre són paral·lels al terra, i per tant no gira).


La cabina es trasllada respecte de R: CORRECTE

C2-Ex6-4-2-neut.png
En aquest cas, tots els punts de la cabina fan moviments circulars del mateix radi respecte de R, però amb diferents centres de curvatura.


En un cas com aquest, es poden combinar un concepte de cinemàtica de sòlid rígid (translació) amb un concepte de cinemàtica de partícula (moviment circular) per descriure el moviment de la cabina:


La cabina té un moviment de translació circular respecte de R.

Els punts d’un sòlid rígid que es trasllada poden descriure moviments curvilinis.


C2.7 Graus de llibertat

Segons s’ha vist a través dels diversos exemples d’aquesta unitat, les velocitats dels punts d’un sistema mecànic depenen d’un conjunt de variables escalars de dimensions (longitud/temps) o (angle/temps). El conjunt mínim de variables escalars d’aquesta mena que cal per descriure el moviment del sistema constitueix el conjunt de graus de llibertat (GL) del sistema.

Quan el sistema és un únic sòlid rígid lliure a l’espai (sense contacte amb cap objecte material), el nombre de GL és 6: tres associats al moviment d’un punt (per exemple, [math]\displaystyle{ (\dot{\textrm{x}}, \dot{\textrm{y}}, \dot{\textrm{z}}) }[/math]) i tres al canvi d’orientació del sòlid (per exemple, [math]\displaystyle{ (\dot{\psi}, \dot{\theta}, \dot{\varphi}) }[/math]).

En el context de l’enginyeria mecànica, els sistemes mecànics habituals són sistemes multisòlid: conjunts de sòlids rígids mútuament enllaçats mitjançant articulacions, ròtules, juntes diverses... Per causa d’aquests enllaços, l’estat mecànic de cada sòlid (és a dir, la seva configuració a l’espai i el seu moviment) està relacionat amb el dels altres: en un sistema multisòlid amb N sòlids, el nombre de GL és inferior a 6N.


C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics

Un enllaç restringeix el moviment relatiu entre dos sòlids, i per tant limita el nombre de graus de llibertat d'un respecte de l'altre. La taula següent recull els enllaços més habituals.


File:C2-8-contpuntual-cat.png

Contacte puntual amb lliscament:
Permet tres rotacions independents entre els dos sòlids (al voltant de la direcció normal i de les dues tangencials), i dues translacions independents (al llarg de les dues direccions tangencials).

Contacte puntual sense lliscament:
Permet tres rotacions independents entre els dos sòlids (al voltant de la direcció normal i de les dues tangencials).

C2-8-revolucio-neut.png

Enllaç de revolució (articulació):
Permet una rotació entre els dos sòlids al voltant de l’eix 1.

C2-8-cilindric-neut.png

Enllaç cilíndric:
Permet una rotació entre els dos sòlids al voltant de l’eix 1, i una translació (desplaçament sense rotació) al llarg de l’eix 1.

C2-8-prismatic-neut.png

Enllaç prismàtic:
Permet una translació entre els dos sòlids al llarg de l’eix 1.

C2-8-esferic-neut.png

Enllaç esfèric (ròtula esfèrica):
Permet tres rotacions independents entre els dos sòlids al voltant dels eixos 1, 2, 3.

C2-8-helicoidal-neut.png

Enllaç helicoidal (enllaç cargolat):
Permet una rotació entre els dos sòlids al voltant de l’eix 3; aquesta rotació provoca un desplaçament al llarg de l’eix 3. La relació entre la rotació i el desplaçament ve donada pel pas de rosca e [mm/volta].

File:C2-8-Cardan rev.png

Junta Cardan (junta universal o de creueta):
Permet dues rotacions independents entre els dos sòlids al voltant dels eixos 1, 3. L'enllaç és indirecte, a través de la creueta, que es considera un sòlid auxiliar d'enllaç (Video C2.2).


Video C2.2 Junta Cardan (junta universal o de creueta)


Video C2.3 Graus de Llibertat d'una roda emb moviment pla i contacte amb el terra


✏️ Exemple C2-8.1: GL d’un giroscopi

En el giroscopi, el suport no es mou respecte del terra (R). Entre forquilla i suport, entre braç i forquilla, i entre volant i braç hi ha articulacions. Va bé representar això en un diagrama simplificat:
File:C2-Ex8-1-cat-color.png
La posició respecte del terra del punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] no canvia. Per tant, la configuració del giroscopi queda totalment definida pels tres angles [math]\displaystyle{ (\psi,\theta,\varphi) }[/math]: el giroscopi té 3 CI respecte del terra.
Pel que fa al seu moviment, ja que la variació de qualsevol d’aquests angles no implica la dels altres dos, les seves evolucions són independents: el giroscopi té 3 GL respecte del terra, que es poden descriure com a [math]\displaystyle{ (\dot\psi,\dot\theta,\dot\varphi) }[/math].


✏️ Exemple C2-8.2: GL d’un tricicle

El tricicle és un sistema de 5 sòlids: el xassís, el manillar i les tres rodes. No hi ha cap element fix a terra. Entre les rodes del darrere i el xassís, entre el manillar i el xassís, i entre la roda del davant i el manillar hi ha articulacions. Per altra banda, les rodes toquen a terra: això també és una restricció. Si es mou sobre un terra pla sense que les rodes patinin, aquest contacte es pot idealitzar com a contacte puntual sense lliscament (que hi hagi o no lliscament en un contacte és una conseqüència de la dinàmica del sistema; en el context de la cinemàtica, això es formula com a hipòtesi).
File:C2-Ex8-2-1-cat.png
C2-Ex8-2-2-neut.png
Una manera eficaç de determinar el nombre de GL d’un sistema respecte d’una referència és comptar quants moviments cal aturar perquè el sistema quedi totalment en repòs. En el cas del tricicle, si s’atura el moviment del punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] (que només pot ser en la direcció longitudinal si les rodes no patinen), el xassís no es podria moure [math]\displaystyle{ (\dot\psi=0) }[/math], però el manillar i la roda del davant podrien pivotar al voltant de l’eix vertical que passa pel centre de la roda [math]\displaystyle{ (\dot\psi'\neq 0) }[/math]. Si s'atura aquest últim moviment, el tricicle ja no es mou. S’han aturat dos moviments, per tant el tricicle té 2 GL.


✏️ Exemple C2-8.3: GL d’una closca esfèrica sobre una plataforma

El sistema consta de 4 sòlids: la plataforma, la closca, el braç i la forquilla. Entre la plataforma i el terra, entre la closca i el braç, entre el braç i la forquilla, i entre la forquilla i el sostre (terra) hi ha articulacions. Per altra banda, entre closca i plataforma hi ha un contacte puntual sense lliscament.
File:C2-Ex8-3-cat-color.png
Per comptar els GL del sistema respecte del terra (R), es poden bloquejar moviments fins que tot queda aturat:
  • bloquegem la rotació de la plataforma respecte del terra
  • bloquegem la rotació de la forquilla respecte del terra
En aquestes condicions, tot i que l’articulació entre closca i braç permet una rotació, aquesta rotació faria patinar la closca sobre la plataforma, i això va en contra de la hipòtesi que es tracta d’un contacte sense lliscament. Per tant, el sistema està totalment aturat: té 2 GL respecte del terra.


C2.E Exercicis resolts

🔎 Exercici C2-E.1

EN CONSTRUCCIÓ


Resolució ➕

EN CONSTRUCCIÓ


🔎 Exercici C2-E.2

EN CONSTRUCCIÓ


Resolució ➕

EN CONSTRUCCIÓ


🔎 Exercici C2-E.3

EN CONSTRUCCIÓ


Resolució ➕

EN CONSTRUCCIÓ


© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats



<<< C1. Configuració d'un sistema mecànic

C3. Composició de moviments >>>

Retrieved from "https://mec.etseib.upc.edu/en/index.php?title=C2._Movement_of_a_mechanical_system&oldid=97"