C5. Rigid body kinematics: planar motion

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Js}{\textbf{J}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\CPvec}{\vec{\Cs\Ps}} \newcommand{\OQrelvec}{\vec{\Os_{\textrm{REL}}\Qs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\Orel}{\Os_{\textrm{REL}}} \newcommand{\omegarelab}[2]{\vec{\Omega}^{\textrm{REL}}_{\textrm{AB}}} \newcommand{\velQab}{\vel{Q}{AB}} \newcommand{\velQrel}{\vel{Q}{REL}} \newcommand{\velQar}{\vel{Q}{ar}} \newcommand{\omeg}[2]{\vec{\Omega}^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} }[/math]

A rigid body is said to have a planar motion when all its points describe planar trajectories. This is the case when two conditions are fulfilled: the velocity along the ISA is zero [math]\displaystyle{ \vvec_{\textrm{ISA}}=0 }[/math], and the direction of the angular velocity is constant (and so [math]\displaystyle{ \Alfavec }[/math] is parellel to [math]\displaystyle{ \Omegavec }[/math] as it is only associated with a change in value of [math]\displaystyle{ \Omegavec }[/math] ).

In this unit, the results obtained for the velocity distribution in a general motion of a rigid body in space are particularized to the case of planar motion.

---

---

C5.1 Instantaneous Center of Rotation (ICR)

When a rigid body has a planar motion, the velocity distribution on all sections perpendicular to its angular is the same. Thus, just one section has to be analysed, and only the intersection of the ISA with that section is needed. That point is the Instantaneous Center of Rotation ([math]\displaystyle{ \textrm{ICR}\equiv\textrm{I} }[/math], Figure C5.1), and it is the only point (on that section) having a zero velocity. The velocity of any other point is associated to the rotation about the ICR:

[math]\displaystyle{ \vel{P}{R} = \vel{I}{R}+\omeg{S}{R} \times \vecbf{IP} =\omeg{S}{R} \times \vecbf{IP} }[/math]  ; [math]\displaystyle{ |\vel{P}{R}| = \Omega^{\textrm{S}}_{\textrm{R}} · |\overline{\textbf{IP}}| }[/math]

File:C5-1-cat,esp.png

Figure C5.1 Planar motion of a rigid body, and Instantaneous Center of Rotation

Knowing the ICR is always useful. There two methods to localize it:

• Taking into account that the velocity of a point is always orthogonal to the straight line through that point and the ICR: if we know the direction of the velocity of two points of the rigid body (and those two directions are not parallel), the intersection of the straight lines orthogonal to those velocities is the ICR (Figure C5.2a).
• Taking into account that the velocity of a point is proportional to its distance to the ICR: if we know quantitatively (that is, both in direction and value) the velocity of two points of the rigid body (whose velocities are parallel), the triangle of velocities defined by those velocities has the ICR in one of its vertices (Figure C5.2b).

File:C5-2-cat.png

Figure C5.2 Two methods to determine the position of the ICR.

Sometimes, the ICR is always the same point of the rigid body. In that case, it is a permanent center of rotation, and it is also the center of curvature of all points in the rigid body.

C5.2 Examples

✏️ EXAMPLE C5-2.1

---

File:C5-Ex2-1-1-cat.png

The pulley does not slide on the inextensible cable. Its ICR relative to the ground can be found in a straightforward way from that constraint condition. The two cable spans that are not in contact with the pulley can be treated as rigid bodies with ICR located at their endpoint fixed to the ground (they both have zero velocity).

The velocity of all other points in those spans cannot have a component in the direction of the cable (otherwise it would not be inextensible!), but they may have a component perpendicular to it. The nonsliding condition between cable and pulley implies that the velocity of the contact points tangent to the pulley have also a velocity direction perpendicular to the cable. The intersection of the two directions orthogonal to those points is the ICR of the pulley.

File:C5-Ex2-1-2-cat,esp.png

✏️ EXAMPLE C5-2.2

---

File:C5-Ex2-2-1-cat.png

The bar [math]\displaystyle{ \Os\Js }[/math] has a sliding single-point contact with the ground, and it is linked to the [math]\displaystyle{ \Os\Qs }[/math] bar through a revolute joint. Moreover, the bar [math]\displaystyle{ \Os\Qs }[/math] is linked through revolute joints to two wheels moving on inclined surfaces.

The position of the ICR of bar [math]\displaystyle{ \Os\Js }[/math] relative to the ground can be deduced from all those constraint conditions.

The velocity of [math]\displaystyle{ \Js }[/math] relative to the ground is horizontal, hence the ICR of the [math]\displaystyle{ \Os\Js }[/math] bar has to be on the vertical line through [math]\displaystyle{ \Js }[/math]. On the other hand, the velocity of the wheels centers has to be strictly parallel to the inclined surfaces. As those centers are also point ¡s of the[math]\displaystyle{ \Os\Qs }[/math] bar, the intersection of the directions through those centers and orthogonal to the inclines is the ICR of the [math]\displaystyle{ \Os\Qs }[/math] bar.

File:C5-Ex2-2-2cat,esp.png

From that ICR, we can obtain the direction of the [math]\displaystyle{ \Os }[/math] velocity relative to the ground. The intersection of the direction orthogonal to that velocity and the vertical line through [math]\displaystyle{ \Js }[/math] is the ICR of the [math]\displaystyle{ \Os\Js }[/math] bar.[math]\displaystyle{ \Os\Js }[/math].

File:C5-Ex2-2-3-cat,esp.png

✏️ EXAMPLE C5-2.3

---

File:C5-Ex2-3-1-cat.png

La barra està articulada a l’element [math]\displaystyle{ \Os\Qs }[/math], que al seu temps està articulada al terra, i té un enllaç prismàtic amb el suport, el qual no llisca respecte al terra. El ICR de la barra respecte del terra es pot determinar a partir d’aquestes condicions d’enllaç. Els ICRs respecte al terra de l’element [math]\displaystyle{ \Os\Qs }[/math] i del suport són immediats ([math]\displaystyle{ \Os }[/math] i [math]\displaystyle{ \Js }[/math], respectivament). Del de la barra, es pot dir que es troba sobre la recta [math]\displaystyle{ \Os\Qs }[/math], ja que és la direcció perpendicular a la velocitat que pot tenir [math]\displaystyle{ \Qs }[/math].

Trobar la direcció de velocitat d’un altre punt de la barra no és tan immediat. L’altre enllaç que restringISAx el seu moviment dóna informació sobre la direcció de velocitat dels punts de la barra respecte al suport: ha de ser en la direcció de la pròpia barra. A partir d’aquesta informació, la velocitat respecte al terra dels punts de la barra es pot obtenir per composició de moviments. Si terra=AB i suport=REL, el moviment d’arrossegament és de rotació al voltant de [math]\displaystyle{ \Js }[/math].

File:C5-Ex2-3-2-cat,esp.png

File:C5-Ex2-3-3-cat.png

Tot i que les direccions del moviment relatiu i del d’arrossegament són qualitativament exactes, la direcció de la seva suma (que seria la del moviment absolut) no està determinada en general unívocament en no tenir un conISAxement quantitatiu de les dues velocitats. Ara bé, si es troba un punt de la barra on un dels dos vectors és nul o bé els vectors són paral·lels, la direcció de la velocitat absoluta quedarà definida amb precisió. Ja que la direcció de la velocitat d’arrossegament canvia segons el punt de la barra que es consideri però la de la velocitat relativa no ho fa, ens podem desplaçar per la barra fins trobar un punt que complISAxi la condició [math]\displaystyle{ \vec{\textbf{v}}_{REL}||\vec{\textbf{v}}_{ar} }[/math]. Per a aquest punt, [math]\displaystyle{ \vec{\textbf{v}}_{AB} }[/math] té la direcció de la barra. Si es traça la perpendicular a la barra que passa per aquest punt, la seva intersecció amb la direcció de l’element [math]\displaystyle{ \Os\Qs }[/math] és el ICR de la barra respecte al terra.

File:C5-Ex2-3-4-cat.png

✏️ Exemple C5-1.4: transmissió epicicloidal

---

File:C5-Ex2-4-1-cat.png

El portador té el punt mig articulat al terra, i els tres punts extrems articulats a tres rodetes idèntiques. En contacte amb aquestes tres rodetes, hi ha una roda central del matISAx radi també articulada a terra. El conjunt es troba dins d’una corona.

Si no hi ha lliscament a cap dels contactes, i les velocitats angulars del portador i de la corona respecte al terra es conISAxen (en aquest cas, tenen el matISAx valor [math]\displaystyle{ \omega }[/math] però signe oposat), la velocitat angular de la roda central queda unívocament determinada.

Els ICRs respecte al terra del portador, de la corona i de la roda central coincidISAxen amb el punt central del mecanisme (que és fix a terra i per tant té velocitat nul·la). El conISAxement dels ICRs i de les velocitats angulars del portador i de la corona permet calcular la velocitat del centre de les rodetes i del seu punt de contacte amb la corona.

File:C5-Ex2-4-2-cat,esp.png

Ja que les velocitats d’aquests dos punts (per a una matISAxa roda) són de signe oposat, el ICR de cada rodeta s’ha de trobar entre els dos. El valor de les velocitats és proporcional a la distància dels punts al ICR. Per tant, el ICR es troba a (2/5)r del centre.

File:C5-Ex2-4-3-REV01-cat.png

Una altra manera de veure quant val la velocitat del punt més alt de la roda és entendre que la distribució de velocitats en un sòlid rígid és lineal, i per tant, el canvi de la velocitat entre el punt més baix i el punt central ([math]\displaystyle{ \textrm{5r}\omega }[/math]) ha de ser el matISAx que el canvi entre la velocitat del punt central i el punt més alt. Això és perquè hi ha la matISAxa distància entre el punt més baix i el centre que entre el centre i el punt més alt.

A partir d’aquí, la velocitat del punt de les rodetes que està en contacte amb la roda central és immediata, i la velocitat angular d’aquesta roda també.

File:C5-Ex2-4-4-cat.png

Video C5.1 Aplicació d'una transmissió epicicloidal: canvi de marxes de les bicicletes nòrdiques

✏️ Exemple C5-1.5

---

File:C5-Ex2-5-1-cat,esp.png

Les politges no llisquen al damunt del cable inextensible. Les dues superiors estan articulades al sostre.

A partir de la velocitat del centre de les dues politges inferiors i de les condicions d’enllaç que actuen en el sistema, és possible determinar la velocitat del bloc.

Tal com s’ha fet a l’exemple C5-1.1, els trams de cable que no estan en contacte amb les politges es poden tractar com a sòlids rígids. En no haver-hi moviment pendular, tots els punts del tram de l’esquerra han de tenir velocitat nul·la respecte al terra (ja que el punt de dalt està lligat al sostre).

La condició de contacte sense lliscament amb la primera politja (la de l’esquerra) permet identificar immediatament el ICR d’aquesta, i amb això calcular la velocitat del punt diametralment oposat, que haurà de ser doble de la del centre perquè es troba dues vegades més lluny del ICR.

Aquesta velocitat [math]\displaystyle{ \downarrow 2\vs }[/math] es transmet a tots els punts del segon tram de la corda. Ja que el ICR de la següent politja és el punt central, el punt extrem de la dreta del seu diàmetre horitzontal tindrà una velocitat [math]\displaystyle{ \uparrow 2\vs }[/math], que es transmetrà fins a la següent politja a través del següent tram de cable.

File:C5-Ex2-5-2-cat,esp.png

Ja que el punt de l’esquerra del diàmetre horitzontal de la tercera politja puja amb [math]\displaystyle{ \uparrow 2\vs }[/math] però el seu centre baixa amb [math]\displaystyle{ \downarrow 2\vs }[/math], el ICR d’aquesta politja estarà en el punt mig entre aquests dos punts. A partir d’aquí, és fàcil deduir que el bloc pujarà amb celeritat [math]\displaystyle{ 6\vs }[/math].

File:C5-Ex2-5-3-cat,esp.png

✏️ Exemple C5-1.6

---

File:C5-Ex2-6-1-cat.png

El politja fixa a terra i la politja mòbil estan connectades a través d’un braç que està articulat als seus centres, i una corretja inextensible que te els extrems lligats a la politja fixa i no llisca sobre la politja mòbil. Els ICR del braç respecte al terra és el centre [math]\displaystyle{ \Os }[/math] de la politja fixa. El ICR de la politja mòbil, en canvi, no és immediat, però es pot determinar a partir de les condicions d’enllaç.

Si se suposa que la velocitat angular del braç respecte del terra és antihorària de valor , es pot calcular la velocitat del centre de la politja mòbil, però això és insuficient per localitzar el seu ICR respecte al terra.

Si el mecanisme s’estudia des de la referència del braç (=REL), el ICR de tots els elements és immediat. Ja que el braç gira respecte del terra en sentit antihorari, la politja fixa girarà respecte del braç en sentit horari però amb el matISAx valor de velocitat angular. Invocant novament la transmissió de velocitat a través de la corretja (com a l’exemple C5-1.5), s’obté la velocitat angular de la politja mòbil respecte al braç.

File:C5-Ex2-6-2-cat.png

Ara es pot analitzar la cinemàtica de la politja mòbil respecte al terra fent una composició de moviments: [math]\displaystyle{ \velang{politja}{AB}=\velang{politja}{REL}+\velang{politja$\in$ REL}{AB}=\otimes\; 2\omega+\odot\;\omega=\otimes\;\omega }[/math] A partir d’aquesta velocitat angular i de la velocitat del centre de la politja, es determina immediatament el seu ICR respecte al terra. El resultat és independent de la velocitat que hem suposat per al braç.

File:C5-Ex2-6-3-cat.png

✏️ Exemple C5-1.7

---

File:C5-Ex2-7-1-cat.png

La roda es mou sense lliscar sobre un suport semicilíndric fix a terra. La geometria de la trajectòria de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] respecte al terra i, en particular, el seu radi de curvatura, està totalment determinada per les restriccions cinemàtiques que imposa aquest enllaç: [math]\displaystyle{ \re{P}{T}=\frac{\vs^2_T(\textbf{P})}{|\accn{P}{T}|} }[/math]

Suposem que la velocitat angular de la roda respecte al terra és horària de valor [math]\displaystyle{ \omega }[/math]. Ja que [math]\displaystyle{ \Js }[/math] és el ICR, es pot calcular immediatament la velocitat instantània de [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] i de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math].

Per altra banda, [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] sempre s’ha de trobar a distància r del terra (altrament la roda no estaria en contacte amb el terra o bé s’encastaria dins del terra). Per tant, la seva trajectòria és ICRcular de radi 3r i centre [math]\displaystyle{ \Os }[/math], i les components intrínseques de [math]\displaystyle{ \acc{C}{T} }[/math] són immediates.

File:C5-Ex2-7-2-cat.png

L’acceleració de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] es pot obtenir a partir de l’equació de distribució d’acceleracions del sòlid rígid:

[math]\displaystyle{ \acc{P}{T}=\acc{C}{T}+\velang{roda}{T}\times\left(\velang{roda}{T}\times\CPvec\right)+\accang{roda}{T}\times\CPvec=(\rightarrow r\dot\omega)+\left(\downarrow\frac{1}{3}r\omega^2\right)+(\otimes\;\omega)\times[(\otimes\;\omega)\times(\uparrow r)]+(\otimes\;\dot\omega)\times(\uparrow r) }[/math]

La component normal és:

[math]\displaystyle{ \accn{P}{T}=\left(\downarrow\frac{1}{3}r\omega^2\right)+(\otimes\;\omega)\times[(\otimes\;\omega)\times(\uparrow r)]=\left(\downarrow\frac{1}{3}r\omega^2\right)+(\otimes\;\omega)\times(\rightarrow r\omega)=\left(\frac{4}{3}r\omega^2\right) }[/math]

i el radi de curvatura resulta [math]\displaystyle{ \re{P}{R}=\frac{\vs^2_T(\textbf{P})}{|\accn{P}{T}|}\frac{(2r\omega)^2}{(4/3)r\omega^2}=3r }[/math]. El centre de curvatura es troba a distància 3r de P en sentit descendent (que és el que indica la direcció de l’acceleració normal del punt).

File:C5-Ex2-7-3-cat,esp.png

---

Video C5.2 Translació: la roda de l'extrem es trasllada

Video C5.3 Mecanismes equivalents

Animació interactiva C5.1 Cinemàtica plana d'una bicicleta Animació interactiva C5.2 Corró

---

---

C5.2 Introducció a la cinemàtica de vehicles

Un exemple interessant de moviment pla es troba quan un vehicle sense suspensions es mou sobre un terreny horitzontal (Figura C5.3): el xassís té moviment pla ([math]\displaystyle{ \velang{xassís}{T}=\vec{\dot\psi} }[/math], i [math]\displaystyle{ \vs_{\textrm{ISA}}=0 }[/math] perquè manté la seva distància a terra constant) tot i que les rodes tenen moviment a l’espai (doncs la seva rotació respecte del terra és la superposició de dues rotacions d’Euler).

File:C5-3-cat.png

Figura C5.3 Moviment d’un vehicle sense suspensions sobre un terra horitzontal.
El xassís té moviment pla, però les rodes tenen moviment a l’espai

Per al cas de les rodes posteriors, la velocitat angular es composa de la precessió [math]\displaystyle{ \vec{\dot\psi} }[/math] del xassís i de la rotació pròpia [math]\displaystyle{ \vec{\dot\varphi} }[/math]: [math]\displaystyle{ \velang{davant.esq./dreta}{T}=\vec{\dot\psi}+\vec{\dot\varphi}^{\textrm{davant.esq./dreta}} }[/math]. En el cas de les rodes davanteres, cal afegir la rotació associada a la direcció: [math]\displaystyle{ \velang{ant.esq./dreta}{T}=\vec{\dot\psi}+\vec{\dot\varphi}^{\textrm{ant.esq./dreta}}+\vec{\dot\delta}^{\textrm{esq./dreta}} }[/math]. En qualsevol cas, la velocitat angular de qualsevol roda respecte al terra té una component vertical (amb la precessió [math]\displaystyle{ \vec{\dot\psi} }[/math] comuna a totes elles) i una en la direcció del seu ISAx (diferent per a cada roda). Si les rodes no llisquen sobre el terra, la velocitat del punt J de contacte és instantàniament nul·la, i la velocitat del centre té la direcció del diàmetre horitzontal (exemple C4-1.2). Recordar això permet fer anàlisis ràpides de la cinemàtica de vehicles (sempre que s’assumISAxin les hipòtesi simplificadores esmentades abans).

✏️ Exemple C5-2.1

---

File:C5-Ex3-1-1-cat,esp.png

Les rodes del tricicle no llisquen sobre el terra. En un cert instant, l’angle de direcció de la roda davantera és de , i la velocitat del seu centre és [math]\displaystyle{ \vs_0 }[/math]. A partir d’aquestes dades i del que s’ha comentat sobre la direcció de la velocitat del centre de rodes que no llisquen respecte del terra, es pot determinar la posició del ICR del xassís respecte al terra, i el valor i sentit de la precessió [math]\displaystyle{ \vec{\dot\psi} }[/math].

La velocitat del centre de la roda posterior esquerra s’obté com a rotació al voltant d’aquest ICR (ja que el centre de la roda és un punt que pertany tant a la roda com al xassís). Com que el resultat ha de ser igual a [math]\displaystyle{ r\dot\varphi }[/math], la rotació pròpia de la roda és immediata: [math]\displaystyle{ \dot\varphi=\frac{\vs_0}{\sqrt{2L}}\frac{L-s}{r} }[/math].

File:C5-Ex3-1-2-cat.png

✏️ Exemple C5-2.2

---

File:C5-Ex3-2-1-cat.png

El vehicle de xassís articulat no té cap roda directriu, els dos xassissos [math]\displaystyle{ \Ss_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ \Ss_2 }[/math] són idèntics i les quatre rodes també. La rotació de les dues rodes del [math]\displaystyle{ \Ss_1 }[/math] determina el moviment del vehicle i, per tant, la rotació de les rodes del [math]\displaystyle{ \Ss_2 }[/math]. Si les rodes del xassís [math]\displaystyle{ \Ss_1 }[/math] giren amb el matISAx valor de spin ([math]\displaystyle{ \dot\varphi=\omega }[/math]), tots els punts de l’ISAx posterior tenen la matISAxa velocitat [math]\displaystyle{ (r\omega) }[/math] i [math]\displaystyle{ \Ss_1 }[/math] es trasllada (no gira). Per tant, la velocitat del punt d’articulació [math]\displaystyle{ \Os }[/math] entre els dos xassissos també és [math]\displaystyle{ r\omega }[/math] i té la direcció longitudinal del xassís [math]\displaystyle{ \Ss_1 }[/math].

La velocitat del centre de la roda dreta del xassís [math]\displaystyle{ \Ss_2 }[/math] és proporcional a la seva rotació pròpia a través del radi: [math]\displaystyle{ r\omega' }[/math]. Per altra banda, la propietat d’equiprojectivitat permet obtenir la velocitat del punt mig de l’ISAx (punt [math]\displaystyle{ \Ps }[/math]): [math]\displaystyle{ r\omega'/\sqrt{2} }[/math]. El ICR del xassís [math]\displaystyle{ \Ss_2 }[/math] és la intersecció de la direcció perpendicular a la velocitat del punt [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i de l’ISAx de les rodes d’aquest xassís. A partir de la velocitat de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i del ICR, es pot determinar la velocitat angular de [math]\displaystyle{ \Ss_2 }[/math] respecte al terra.

File:C5-Ex3-2-2-cat,esp.png

File:C5-Ex3-2-3-cat,esp.png

Finalment, igualant la velocitat [math]\displaystyle{ r\omega' }[/math] a la que s’obté quan es calcula com a rotació al voltant del ICR del xassís [math]\displaystyle{ \Ss_2 }[/math], s’obté la rotació pròpia [math]\displaystyle{ \omega' }[/math]: [math]\displaystyle{ \omega'=\frac{\omega}{2\sqrt{2}} }[/math].

---

Una anàlisi molt completa de la cinemàtica de molts tipus de vehicles terrestres (sempre sota les hipòtesis simplificadores exposades al començament d’aquesta secció) es pot trobar a [Batlle, J.A., Barjau, A. (2020) chapter 3, Appendix 3B a Rigid body kinematics. Cambridge University Press].

---

---

C5.E Exercicis resolts

🔎 Exercici C5-E.1

---

EN CONSTRUCCIÓ

Resolució ➕

EN CONSTRUCCIÓ

🔎 Exercici C5-E.2

---

EN CONSTRUCCIÓ

Resolució ➕

EN CONSTRUCCIÓ

🔎 Exercici C5-E.3

---

EN CONSTRUCCIÓ

Resolució ➕

EN CONSTRUCCIÓ

© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats

---

---

<<< C4. Cinemàtica del sòlid rígid

D.1 EN CONSTRUCCIÓ >>>