D8. Conservation of dynamic magnitudes

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\ns}{\textrm{n}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\cs}{\textrm{c}} \newcommand{\gs}{\textrm{g}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Hs}{\textrm{H}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\As}{\textrm{A}} \newcommand{\Ds}{\textrm{D}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\Js}{\textbf{J}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}} \newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}} \newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}} \newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}} \newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}} \newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}} \newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\matriz}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\diag}[3]{ \begin{bmatrix} {#1} & {0} & {0}\\ {0} & {#2} & {0}\\ {0} & {0} & {#3} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} }[/math]

The vector theorems relate the variation of two dynamic magnitudes ([math]\displaystyle{ \overline{\Ds\Ms} }[/math]) that depend on the mass geometry and the motion of the system (the linear momentum and the angular momentum) with the resultant of the external actions on the system [math]\displaystyle{ (\sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}}) }[/math] ( [math]\displaystyle{ \sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}} }[/math] includes the external interactions and, if working in a non-Galilean reference frame,the associated inertial actions). In a generic way, these theorems can be written in the following form:

[math]\displaystyle{ \sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}}=\dert{\overline{\Ds\Ms}}{R}. }[/math]

When in a direction fixed to the reference frame R(dfR) direction fixed to the reference frame R is conserved:[math]\displaystyle{ \left. \sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}}\right]_\mathrm{dfR}=0 \Rightarrow \left. \overline{\Ds\Ms}\right]_\mathrm{dfR}=\text{constant} }[/math].

A conservation is an interesting property: it allows one to ignore the evolution of the system for a finite time and maintain a partial knowledge (if not all the components of [math]\displaystyle{ \overline{\Ds\Ms} }[/math]) are conserved) or a total knowledge (if the conservation occurs in the three directions of the space of R) of the system’s state.

Two important things have to be kept in mind when it comes to invoking conservations:

• We have to be sure that the component of the external actions that is zero corresponds to a direction fixed in the reference frame (a zero value in a direction variable with respect to R means that the [math]\displaystyle{ \overline{\Ds\Ms} }[/math] component in that direction has a constant value, but not a constant direction!).
  

• We have to remember that conservation refers to a dynamic magnitude and not a kinematic one (in principle). When the [math]\displaystyle{ \overline{\Ds\Ms} }[/math] is the linear momentum [math]\displaystyle{ (\overline{\Ds\Ms}=\Ms\vel{G}{R}) }[/math], as it is proportional to the velocity of the center of mass, the corresponding component of [math]\displaystyle{ \vel{G}{R} }[/math] is conserved. When it is the angular momentum of a single rigid body about a point that belongs to that rigid body [math]\displaystyle{ \overline{\Ds\Ms} }[/math] since in general it is not proportional to the angular velocity [math]\displaystyle{ (\overline{\Ds\Ms}=\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs),\Qs \in \mathrm{S}) }[/math] the conservation of [math]\displaystyle{ \overline{\Ds\Ms} }[/math] does not imply that of [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math].
  

Conservations are often the consequence of simplifications in the formulation of problems, such as neglecting friction. In real life, in general nothing is conserved.

💭 Proof ➕

Let’s project the vector thorem in a vector basis with a dierction fixed to the reference frame (for example, direction3):

[math]\displaystyle{ \sum \overline{\As\mathrm{C}_\mathrm{ext}}=\dert{\overline{\Ds\Ms}}{R} \quad \Rightarrow \quad \vector{\sum\As\mathrm{C}_1}{\sum\As\mathrm{C}_2}{\sum\As\mathrm{C}_3}=\left\{\dert{\overline{\Ds\Ms}}{R}\right\}=\vector{\dot{\Ds\Ms_1}}{\dot{\Ds\Ms_2}}{\dot{\Ds\Ms_3}}+\left\{\velang{B}{R}\right\}\times \vector{\Ds\Ms_1}{\Ds\Ms_2}{\Ds\Ms_3} }[/math]

Since direction 3 is fixed to R, the angular velocity of the vector basis relative to R [math]\displaystyle{ \velang{B}{R} }[/math] must have a component in that direction. Therefore:

[math]\displaystyle{ \vector{\sum\As\mathrm{C}_1}{\sum\As\mathrm{C}_2}{\sum\As\mathrm{C}_3}=\left\{\dert{\overline{\Ds\Ms}}{R}\right\}=\vector{\dot{\Ds\Ms_1}}{\dot{\Ds\Ms_2}}{\dot{\Ds\Ms_3}}=\vector{0}{0}{\Omega_3}\times \vector{\Ds\Ms_1}{\Ds\Ms_2}{\Ds\Ms_3}= \vector{\dot{\Ds\Ms_1}-\Omega_3\cdot\Ds\Ms_2}{\dot{\Ds\Ms_2}-\Omega_3\cdot\Ds\Ms_1}{\dot{\Ds\Ms_3}} }[/math]

Si [math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_3=0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ds\Ms_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \Ds\Ms_3=\text{CONSTANT!}. }[/math]

However, if [math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_1 }[/math] or [math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_2 }[/math] are zero, the corresponding components in [math]\displaystyle{ \overline{\Ds\Ms} }[/math] ( [math]\displaystyle{ \Ds\Ms_1 }[/math] or [math]\displaystyle{ \Ds\Ms_2 }[/math]) are not constant in principle:

[math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_1=0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ds\Ms_1}-\Omega_3\cdot\Ds\Ms_2 =0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ds\Ms_1}=\Omega_3\cdot\Ds\Ms_2 \quad \Rightarrow \quad \Ds\Ms_1 \neq \text{constant}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum \As\mathrm{C}_2=0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ds\Ms_2}+\Omega_3\cdot\Ds\Ms_1 =0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ds\Ms_2}=-\Omega_3\cdot\Ds\Ms_1 \quad \Rightarrow \quad \Ds\Ms_2 \neq \text{constant} . }[/math]

---

---

D8.1 Examples

✏️ EXAMPLE D8.1: person jumping on a platform

---

thumb|left|180px|link=

A person of mass M, moving at speed [math]\displaystyle{ \mathrm{v}_0 }[/math] on a smooth ground [math]\displaystyle{ (\mu=0) }[/math], jumps onto a platform of mass m which is initially at rest with respect to the floor, and comes to rest relative to it. We want to investigate the evolution of the motion of these two elements (person and platform).

Is the linear momentum conserved?.

The person's jump takes place on a smooth ground that does not introduce any horizontal force on the person or on the platform. Therefore, during the jump and for the SYSTEM (person + platform) and the ground reference frame:

[math]\displaystyle{ \left.\sum \overline{\Fs}_\mathrm{ext}\right]_\mathrm{horizontal}=0 \quad \Rightarrow \quad }[/math] CONSTANT horizontal linear momentum relative to the ground!

Before jumping [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{inicial}) }[/math], the linear momentum (relative to the ground) is only associated with the person: [math]\displaystyle{ (\rightarrow \ms\vs_0) }[/math]. Just after jumping [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{final}) }[/math], as the person is at rest relative to the platform, both elements move with the same velocity relative to the ground [math]\displaystyle{ \left[\rightarrow (\Ms+\ms)\vs \right]. }[/math].

thumb|center|350px|link=

The conservation of the horizontal linear momentum between these two time instants allows us to calculate the final velocity of the system: [math]\displaystyle{ (\rightarrow \ms\vs_0) = \left[\rightarrow (\Ms+\ms)\vs \right] \quad \Rightarrow \quad \vs=\frac{\ms}{\Ms+\ms}\vs_0. }[/math].

This speed is constant while the system slides on the smooth ground, but as soon as it enters the rough area [math]\displaystyle{ (\mu \neq 0) }[/math], that will change: the friction force of the ground on the platform, horizontal and opposite to [math]\displaystyle{ \overline{\vs}_\Ts }[/math] (platform) will make it decrease. The linear momentum is no longer conserved:

[math]\displaystyle{ \overline{\Fs}_\mathrm{ground \rightarrow syst}=(\leftarrow \Fs_\mathrm{friction})=(\Ms+\ms)\acc{G}{E}. }[/math]

The horizontal linear momentum of the person and the platform (separately) are not conserved during the jump because of the horizontal constraint forces that appear between them when the person-platform contact begins.

ANIMACIONS

✏️ EXAMPLE D8.2: stopping a block on a wagon

---

thumb|left|180px|link=

A person stands on a wagon, both initially at rest relative to the ground. The mass of the system (person + wagon) is M, and the wheels of the wagon are massless. The block, with mass m, has an initial velocity [math]\displaystyle{ \vs_0 }[/math] relative to the ground directed towards the person, which stops it relative to the platform. The friction associated with the joints between wheels and wagon is neglected. We want to investigate the evolution of the movement of the system.

Is the linear momentum conserved?.

The wheels are Auxiliary Constraint Elements (ACE) and cannot transmit horizontal forces (see example D3.10). Hence, for the SYSTEM (person + wagon with wheels + block) and the ground reference frame:

[math]\displaystyle{ \left.\sum \overline{\Fs}_\mathrm{ext}\right]_\mathrm{horitzontal}=0 \quad \Rightarrow \quad }[/math] CONSTANT horizontal linear momentum (LM) relative to the ground!

Before stopping the block, the LM relative to the ground is associated only with the block: [math]\displaystyle{ (\leftarrow \ms\vs_0) }[/math]. But just after [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{final}) }[/math], since the person and the block are at rest relative to the wagon, the entire system moves with the same velocity relative to the ground:[math]\displaystyle{ \left[\leftarrow (\Ms+\ms)\vs \right]. }[/math]. The conservation of horizontal LM between these two time instants allows the calculation of the final velocity of the system: [math]\displaystyle{ (\leftarrow \ms\vs_0) = \left[\leftarrow (\Ms+\ms)\vs \right] \quad \Rightarrow \quad \vs=\frac{\ms}{\Ms+\ms}\vs_0. }[/math].

thumb|center|400px|link=

The LM of just the block relative to the ground does not remain constant because of the friction force of the wagon on the block, which tends to stop it. For a time instant between the initial and final ones [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{initial}\lt \ts\lt \ts_\mathrm{final}) }[/math] when the speed of the block relative to the ground has been reduced to [math]\displaystyle{ \vs'(\lt \vs_0) }[/math], the velocity of the system (person + wagon) can be calculated through the conservation of horizontal LM for the system (person + wagon with wheels + block):

[math]\displaystyle{ (\leftarrow \ms\vs_0) = (\leftarrow \ms\vs') + \left[\leftarrow (\Ms+\ms)\vs'' \right] \quad \Rightarrow \quad \vs''=\frac{\ms}{\Ms+\ms}(\vs_0-\vs'). }[/math]

thumb|center|300px|link=

ANIMACIONS

✏️ EXAMPLE D8.3: skater on ice

---

thumb|left|100px|link=

A person is skating on an ice rink. At a certain moment, his arms are symmetrically wide open and he he spins with angular velocity [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] In that configuration, the vertical axis through [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] is a principal axis of inertia and the corresponding moment of inertia is [math]\displaystyle{ \Is_0 }[/math]. We want to investigate the evolution of the rotation when the configuration of his arms changes assuming that the friction between the ice and the skates is negligible [math]\displaystyle{ \mu=0 }[/math].

thumb|right|140px|link=

Is the angular momentum conserved?.

Since [math]\displaystyle{ \mu=0 }[/math] between ice and kates, the only external forces on the system (person + skates) are vertical (the weight and the normal forces of the ice on the skates). Those vertical forces cannot generate vertical momento about [math]\displaystyle{ \Gs }[/math]. Hence, for the system (person + skates):

[math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms_\mathrm{ext}}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical}=0=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTG}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical} \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical} \text{CONSTANT!} }[/math]

The vertical angular momentum in the initial configuration is [math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{initial})=(\Uparrow \Is_0 \Omega_0) }[/math]. When approachng or separating the arms from the trunk, the inertia moment of the person about the vertical axis through [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] changes. For any value [math]\displaystyle{ \Is }[/math] of this inertia moment, conservation implies: [math]\displaystyle{ (\Uparrow \Is_0 \Omega_0)=(\Uparrow \Is \Omega) }[/math]. When approaching the arms to the trunk, [math]\displaystyle{ \Is\lt \Is_0 }[/math], therefore [math]\displaystyle{ \Omega\gt \Omega_0 }[/math] (the angular velocity increases). For the paricular case [math]\displaystyle{ \Is=\Is_0/2 }[/math], the angular velocity becomes twice the initial value: [math]\displaystyle{ \Omega=2\Omega_0 }[/math].

ANIMACIONS

✏️ EXAMPLE D8.4: collision between two bars

---

thumb|left|180px|link=

Two bars, with their mass concentrated at one end, move on a perfectly smooth horizontal ground (the friction coefficient between the ground and the bars is zero, [math]\displaystyle{ \mu=0 }[/math]) towards each other until they collide and become stuck. We want to describe the final motion of the system.

Is the linear momentum conserved?.

If we consider the system formed by the two bars, the external forces on them are strictly vertical (perpendicular to the plane of motion): the weight and the normal forces associated with the ground contact. Therefore, for this system:

[math]\displaystyle{ \left.\sum \overline{\Fs}_\mathrm{ext}\right]_\mathrm{horitzontal}=0 \quad \Rightarrow \quad }[/math] CONSTANT horizontal linear momentum (LM) relative to the ground!

Before collision [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{before}) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left.\overline{\mathrm{QM}}\right]_\mathrm{horitzontal}=\Ms \vel{G}{T}=2\ms\overline{\vs}_\Ts(\mathrm{barra P})+\ms\overline{\vs}_\Ts(\mathrm{barra Q})=(\rightarrow \ms\vs_0)+(\leftarrow \ms2\vs_0)=0 }[/math]

Després de la col·lisió [math]\displaystyle{ \ts_\mathrm{després} }[/math], [math]\displaystyle{ \left.\overline{\mathrm{QM}}\right]_\mathrm{horitzontal} }[/math] del sistema ha de seguir sent zero, i per tant la velocitat del centre d’inèrcia del sistema també: [math]\displaystyle{ \overline{\vs}_\Ts(\Gs,\ts_\mathrm{després}) }[/math]. Això vol dir que, després de la col·lisió, el sòlid únic format per les dues barres tindrà el CIR respecte del terra col·locat permanentment a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math]:

thumb|right|350px|link=

Posició del centre d’inèrcia [math]\displaystyle{ \Gs }[/math]: sobre la línia que uneix [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \Qs }[/math], a una distància 4L per sota de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math].

[math]\displaystyle{ \left.\QGvec\right]_{\uparrow \downarrow}=\frac{\left.\ms \QQvec \right]_{\uparrow \downarrow} +\left. 2\ms \QPvec\right]_{\uparrow \downarrow}}{\ms+2\ms} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\QGvec\right]_{\uparrow \downarrow}=\frac{2}{3}(\downarrow 6\Ls)=(\downarrow 4\Ls) }[/math]

Per a cada barra per separat no hi ha conservació de la quantitat de moviment: la col·lisió genera forces molt intenses entre elles en direcció perpendicular a les barres que provoquen acceleració en els centres d’inèrcia respectius.

Hi ha conservació del moment cinètic?

Per altra banda, les forces verticals (perpendiculars al pla del moviment) no poden generar moments verticals respecte de cap punt. Si es considera el TMC a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] per al sistema format per les dues barres:

[math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms_\mathrm{ext}}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical}=0=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTG}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical} \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs)\right]_\mathrm{vertical} \text{CONSTANT!} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{abans})\right]_\mathrm{vertical}=\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{després})\right]_\mathrm{vertical} }[/math]

En l’instant [math]\displaystyle{ \ts_\mathrm{abans} }[/math], les dues barres es traslladen, i per tant [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] no pertany cinemàticament a cap d’elles. El càlcul del moment cinètic s’ha de fer per descomposició baricèntrica . Tenint en compte que el centre d’inèrcia de la barra P és a [math]\displaystyle{ \Ps }[/math], i el de la barra Q és a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]:

[math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{abans})=\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{abans})\right]_\mathrm{barraP}+\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{abans})\right]_\mathrm{barraQ}= }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{2.9cm}=\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTP}(\Ps,\ts_\mathrm{abans}) \right]_\mathrm{barraP}+\GPvec\times 2\ms\vel{P}{RTG}+\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTQ}(\Qs,\ts_\mathrm{abans})\right]_\mathrm{barraQ}+\GQvec \times 2\ms\vel{Q}{RTG}= }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{2.9cm}=\Is_\mathrm{P}\velang{barraP}{RTG} + \GPvec \times 2\ms\vel{P}{RTG}+\Is_\mathrm{Q}\velang{barraQ}{RTG}+\GQvec\times 2\ms\vel{Q}{RTG} }[/math]

[math]\displaystyle{ \velang{barraP}{RTG}=\velang{barraQ}{RTG}=\vec{0} \quad \Rightarrow \quad \overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{abans})=(\downarrow 2\Ls)\times 2\ms(\rightarrow \vs_0)+(\uparrow 4\Ls)\times \ms (\leftarrow 2\vs_0)=(\otimes 10\ms\vs_0\Ls) }[/math]

Després de la col·lisió, [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] pertany al sòlid únic que s’ha format. Per tant:

[math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Gs,\ts_\mathrm{després})= \Is_\mathrm{G}\velang{}{RTG}=\left[2\ms(2\Ls)^2+\ms(4\Ls)^2\right](\otimes \Omega_\mathrm{T})=(\otimes 24\ms\Ls^2\Omega_\mathrm{T}) }[/math]

Finalment: [math]\displaystyle{ (\otimes 10\ms\Ls\vs_0)=(\otimes\ms\Ls^2\Omega_\mathrm{T})\quad \Rightarrow \quad \Omega_\mathrm{T}=\frac{5}{12}\frac{\vs_0}{\Ls} }[/math] .

Comentari important

Tot i que, per al sistema format per les dues barres, el moment extern vertical és nul per a qualsevol punt, no es conserva el moment cinètic ni a [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] ni a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] perquè tots dos punts estan accelerats (canvien bruscament de velocitat quan hi ha la col·lisió):

[math]\displaystyle{ \acc{P}{Gal}=\frac{\Delta \vel{P}{Gal}}{\ts_\mathrm{després}-\ts_\mathrm{abans}}=\frac{\left[\rightarrow (\vs_0-2\Ls\Omega_\mathrm{T})\right]}{\ts_\mathrm{després}-\ts_\mathrm{abans}} }[/math] , [math]\displaystyle{ \acc{Q}{Gal}=\frac{\Delta \vel{Q}{Gal}}{\ts_\mathrm{després}-\ts_\mathrm{abans}}=\frac{\left[\rightarrow (2\vs_0-4\Ls\Omega_\mathrm{T})\right]}{\ts_\mathrm{després}-\ts_\mathrm{abans}} }[/math] .

Per tant:

[math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms_\mathrm{ext}}(\Ps)\right]_\mathrm{vertical}+ \left.\PGvec \times \ms \acc{P}{Gal}\right]_\mathrm{vertical}=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTP}(\Ps)\right]_\mathrm{vertical} }[/math]

[math]\displaystyle{ (\uparrow 2\Ls)\times \ms \frac{\left[\rightarrow (\vs_0-2\Ls\Omega_\mathrm{T})\right]}{\ts_\mathrm{després}-\ts_\mathrm{abans}} =\left[\otimes \frac{2\ms\Ls(\vs_0-2\Ls\Omega_\mathrm{T})}{\ts_\mathrm{després}-\ts_\mathrm{abans}} \right]=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTP}(\Ps)\right]_\mathrm{vertical} \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTP}(\Ps)\right]_\mathrm{vertical}\neq \text{constant} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms_\mathrm{ext}}(\Qs)\right]_\mathrm{vertical}+ \left.\QGvec \times \ms \acc{Q}{Gal}\right]_\mathrm{vertical}=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)\right]_\mathrm{vertical} }[/math]

[math]\displaystyle{ (\downarrow 4\Ls)\times \ms \frac{\left[\leftarrow (2\vs_0-4\Ls\Omega_\mathrm{T})\right]}{\ts_\mathrm{després}-\ts_\mathrm{abans}} =\left[\otimes \frac{8\ms\Ls(\vs_0-2\Ls\Omega_\mathrm{T})}{\ts_\mathrm{després}-\ts_\mathrm{abans}} \right]=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)\right]_\mathrm{vertical} \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTQ}(\Qs)\right]_\mathrm{vertical}\neq \text{constant} }[/math]

ANIMACIONS

✏️ Exemple D8.5: col·lisió d’una anella i un braç

---

thumb|left|180px|link=

L’anella, de radi L i massa m, es mou sobre un terra horitzontal llis amb velocitat angular respecte del terra [math]\displaystyle{ \Omega_0=\ns\vs_0/\Ls }[/math] (on n és un número enter), i el seu centre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] s’apropa amb velocitat [math]\displaystyle{ \vs_0 }[/math] cap a l’extrem [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] del braç, de longitud 2L i massa M, que està articulat al punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] fix a terra i es troba inicialment en repòs. Després de la col·lisió, anella i braç queden enganxats. Es negligeix la fricció associada a l’articulació a [math]\displaystyle{ \Os }[/math]. Es tracta d’investigar el moviment del sistema després de la col·lisió.

Hi ha conservació de la quantitat de moviment?.

Per a cada element per separat (anella i braç) no hi ha conservació de la quantitat de moviment: la col·lisió genera forces molt intenses entre elles en direcció horitzontal que provoquen acceleració en els centres d’inèrcia respectius. A més, el braç rep una força intensa a l’articulació a [math]\displaystyle{ \Os }[/math].

Per al sistema (anella + braç) tampoc no n’hi ha: l’articulació a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] introdueix forces en el pla del moviment que provoquen acceleració en el centre d’inèrcia conjunt [math]\displaystyle{ \Gs }[/math].

Conservació del moment cinètic?

thumb|right|200px|link=

Per al sistema (anella + braç), les forces associades a l’articulació provoquen moment extern vertical (ortogonal al pla del moviment) a qualsevol punt tret del punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms_\mathrm{ext}}(\Os)\right]_\mathrm{vertical}=0=\left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTG}(\Os)\right]_\mathrm{vertical} \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Os)\right]_\mathrm{vertical} \text{CONSTANT!} }[/math]

En ser [math]\displaystyle{ \Os }[/math] permanentment fix a terra, ha de ser el CIR permanent respecte del terra del sòlid únic format després de la col·lisió. Abans de la col·lisió, el CIR de l’anella es troba a [math]\displaystyle{ \Ls/2 }[/math] per sota del centre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math]:

[math]\displaystyle{ \vel{S}{T}=\vel{P}{T}+\velang{}{0}\times \PSvec = (\rightarrow \vs_0) + \left(\otimes \frac{\ns\vs_0}{\Ls}\right)\times (\downarrow \Ls)=\left[\leftarrow (\ns-1)\vs_0\right]. }[/math]

La distància e entre [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i el CIR de l’anella respecte del terra abans de la col·lisió es pot trobar a partir de:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \left|\vel{P}{T}\right|=\vs_0=\es \Omega_0 \\ \left|\vel{S}{T}\right|=(\ns-1) \vs_0=(\Ls-\es) \Omega_0 \end{array}\right\} \Rightarrow \es=\frac{\Ls}{\ns} . }[/math]

Un valor negatiu de n voldria dir que el CIR es troba a una distància e pel damunt de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math].

thumb|center|500px|link=

Abans de la col·lisió [math]\displaystyle{ \ts_\mathrm{abans} }[/math], [math]\displaystyle{ \Os }[/math] no pertany en general cinemàticament a l’anella (no és el seu CIR). El càlcul del seu moment cinètic s’ha de fer per descomposició baricèntrica . El moment cinètic inicial del braç és nul perquè no es mou:

[math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTO=T}(\Os,\ts_\mathrm{abans})=\left.\overline{\Hs}_\mathrm{T}(\Os,\ts_\mathrm{abans})\right]_\mathrm{anella}= \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTP}(\Ps,\ts_\mathrm{abans})\right]_\mathrm{anella} + \OPvec \times 2\ms\vel{P}{T}= }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{3.4cm}=\Is_\mathrm{P} \left(\otimes \frac{\ns\vs_0}{\Ls} \right) + \left(\downarrow 2\Ls \right)\times \ms\left(\rightarrow \vs_0 \right) = \left(\otimes \ms\Ls^2 \frac{\ns\vs_0}{\Ls}\right) + \left(\odot 2\ms\Ls\vs_0 \right) = \left[ \otimes (\ns-2)\ms\Ls\vs_0 \right] }[/math]

Després de la col·lisió:

[math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os,\ts_\mathrm{després})= \Is_\mathrm{O}\overline{\Omega}_\Ts=\left( \Is_\mathrm{O}^\mathrm{anella}+ \Is_\mathrm{O}^\mathrm{braç} \right) \overline{\Omega}_\Ts= \left( \Is_\mathrm{G}^\mathrm{anella}+ \Is_\mathrm{O}^{\mathrm{anella}\otimes}+\Is_\mathrm{O}^\mathrm{braç} \right) \overline{\Omega}_\Ts = \left[ \ms\Ls^2 + \ms(2\Ls)^2+ \frac{4}{3} \ms\Ls^2\right]\overline{\Omega}_\Ts }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \bar{\mathrm{H}}_{\text {RTO }}\left(\Os, \mathrm{t}_{\text {després }}\right)=\left(\otimes \frac{19}{3} \ms\Ls^2 \Omega_{\mathrm{T}}\right) \\ \bar{\mathrm{H}}_{\text {RTO }}\left(\Os, \mathrm{t}_{\text {abans }}\right)=\left[\otimes(\mathrm{n}-2) \mathrm{mLv}_0\right] \end{array}\right\} \Rightarrow \bar{\Omega}_{\mathrm{T}}=\left[\otimes(\mathrm{n}-2) \frac{19}{3} \frac{\mathrm{v}_0}{\mathrm{~L}}\right] }[/math]

Per a n>2 , el sistema gira en sentit horari. Per a valors de n<2, el sistema gira en sentit antihorari. Per a n=2 , el sistema queda en repòs.

ANIMACIONS

✏️ Exemple D8.6: sòlid lliure a l’espai

---

thumb|left|180px|link=

El sòlid està format per dues plaques homogènies, de la mateixa massa i alçària però amplàries diferents, enganxades pel punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math]. Es tracta d’investigar si alguna magnitud dinàmica es conserva quan es llança enlaire.Es negligeixen les interaccions aerodinàmiques.

Hi ha conservació de la quantitat de moviment?.

El sòlid està sotmès a l’atracció gravitatòria terrestre com a única força externa. Per tant, la component vertical de la quantitat de moviment respecte del terra no es conserva, però les horitzontals sí..

Ja que la quantitat de moviment respecte del terra i la velocitat del centre d’inèrcia [math]\displaystyle{ \vel{G=O}{T} }[/math] són estrictament proporcionals, les components horitzontals de [math]\displaystyle{ \vel{G}{T} }[/math] es mantenen constants..

Hi ha conservació del moment cinètic?

El torsor gravitatori al centre de gravetat [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] (que coincideix amb el centre d’inèrcia [math]\displaystyle{ \Os }[/math]) es redueix a una força resultant i cap moment. Per tant:

[math]\displaystyle{ \sum\overline{\mathrm{M}}_\mathrm{ext}(\Gs)=\overline{0}=\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs) \quad \Rightarrow \quad \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTG} (\Gs) \mathrm{CONSTANT!} }[/math]

Per al cas del sòlid que s’estudia: [math]\displaystyle{ \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTG} (\Gs) = \Is\Is (\Gs) \velang{}{RTG} = \Is\Is (\Gs) \velang{}{T}. }[/math]

El moment cinètic i la velocitat angular no són proporcionals en general (només ho són quan la direcció de la velocitat angular és una direcció principal d’inèrcia per al centre d’inèrcia [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] ), i la conservació del primer no implica la constància de la segona.

Avaluació qualitativa del tensor d’inèrcia

En tractar-se les dues plaques de sòlids plans simètrics:

[math]\displaystyle{ \left[\Is\Is(\Gs)\right]=\left[\Is\Is(\Gs)\right]_\text{placa inf} + \left[\Is\Is(\Gs)\right]_\text{placa sup.} = \diag{\Is_{11}}{\Is_{11} + \Is_{33}}{\Is_{33}}+ \diag{2\Is}{\Is}{\Is} , \text{ amb} \Is_{11}\lt \Is_{33}. }[/math]

Avaluació quantitativa del tensor d’inèrcia

[math]\displaystyle{ \left[\Is\Is(\Gs)\right]=\frac{1}{3} \ms\Ls^2 \diag{1}{1+4}{4}+\frac{1}{3} \ms\Ls^2 \diag{2}{1}{1}=\frac{1}{3} \ms\Ls^2 \diag{3}{6}{5} \equiv \diag{\Is_\mathrm{petit}}{\Is_\mathrm{gran}}{\Is_\mathrm{mitjà}} }[/math]

Les direccions 1, 2 i 3 són les direccions principals d’inèrcia per a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math].

Cálcul del moment cinètic

[math]\displaystyle{ \left\{\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTG} (\Gs)\right\}=\diag{\Is_\mathrm{petit}}{\Is_\mathrm{gran}}{\Is_\mathrm{mitjà}} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=\vector{\Is_\mathrm{petit}\Omega_1}{\Is_\mathrm{gran}\Omega_2}{\Is_\mathrm{mitjà}\Omega_3} }[/math],no és proporcional a [math]\displaystyle{ \velang{}{T} }[/math] en principi.

Si la velocitat angular inicial és exclusivament en una de les tres direccions (és a dir, si la seva direcció es principal d’inèrcia per a [math]\displaystyle{ \Gs }[/math]), llavors sí que hi ha proporcionalitat entre [math]\displaystyle{ \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTG} (\Gs) }[/math] i [math]\displaystyle{ \velang{}{T} }[/math], i la conservació del primer implica la de la segona.

ANIMACIONS

✏️ Exemple D8.7: giroscopi

---

thumb|left|180px|link=

El sistema consta d’un disc homogeni, de massa m i radi r, que està articulat a un suport de massa negligible, i d’una forquilla que pot girar lliurement al voltant de l’eix vertical. Entre suport i forquilla hi ha un motor. El moment d’inèrcia del suport respecte de l’eix vertical que passa pel centre del disc és [math]\displaystyle{ \Is=(\lambda/2)\ms\rs^2 }[/math]. Inicialment [math]\displaystyle{ (\ts_\mathrm{incial} }[/math] el disc està paral·lel a terra, i gira amb velocitat angular vertical [math]\displaystyle{ \velang{disc}{T}=\psio }[/math] . Es negligeixen les friccions associades a totes les articulacions. Es tracta d’investigar com es mou el suport quan el motor canvia l’orientació del disc respecte del terra .

Hi ha conservació del moment cinètic?.

Per al SISTEMA disc, el moment total respecte del seu centre d’inèrcia [math]\displaystyle{ \Gs }[/math] és nul en la direcció del seu eix. El motor pot canviar l’orientació d’aquest eix respecte del terra (i respecte de qualsevol referència que es traslladi respecte del terra), i per tant no es tracta d’una direcció fixa al terra (per tant, tampoc a la RTG): no es conserva el moment cinètic en aquesta direcció.

Per al SISTEMA (disc + suport + forquilla), el moment total respecte del centre del disc [math]\displaystyle{ \Os }[/math] és nul en la direcció vertical, que sí que és fixa a terra. Per tant:

[math]\displaystyle{ \left.\sum \overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Os)\right]_\mathrm{vert} =0 \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO=T}(\Os) \right]_\mathrm{vert} \text{ CONSTANT!} }[/math]

Mentre el motor canvia l’orientació del pla del disc [math]\displaystyle{ (\dot{\theta} \neq 0) }[/math] , apareix la rotació del suport al voltant de l’eix vertical [math]\displaystyle{ \dot{\psi} }[/math] . El moment cinètic a [math]\displaystyle{ \Os }[/math] en cada instant és:

thumb|right|180px|link=

[math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTO=T}(\Os,\ts)=\Is\Is^\mathrm{forq}(\Os)\velang{forq}{T}(\ts)+\Is\Is^\mathrm{disc}(\Os)\velang{disc}{T}(\ts)=\Is\Is^\mathrm{forq}(\Os)\dot{\psi}+\Is\Is^\mathrm{forq}(\Os)\left( \overline{\dot{\psi}}+ \overline{\dot{\theta}}+ \overline{\dot{\varphi}}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{forq}(\Os,\ts)}{B}=\diag{\Is_{11}}{\Is_{22}}{(\lambda/2)\ms\rs^2}\vector{0}{0}{\dot{\psi}}=\vector{0}{0}{(\lambda/2)\ms\rs^2 \dot{\psi}}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{disc}(\Os,\ts)}{B'}=\frac{1}{4}\ms\rs^2\diag{1}{1}{2}\vector{-\dot{\theta}}{-\dot{\psi} \sin\theta}{\dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta}=\frac{1}{4}\ms\rs^2\vector{-\dot{\theta}}{-\dot{\psi} \sin\theta}{2(\dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta)} }[/math]

El moment cinètic en direcció vertical prové de la projecció de les components 2 i 3:

[math]\displaystyle{ \left.\overline{\Hs}_\Ts(\Os,\ts)\right]_\mathrm{vert} =\overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{sup}(\Os,\ts)+ \left.\overline{\Hs}_\Ts^ \mathrm{disc} (\Os,\ts) \right]_{3'}\cos\theta - \left.\overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{disc}(\Os,\ts)\right]_{2'} \sin\theta , }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\overline{\Hs}_\Ts(\Os,\ts)\right]_\mathrm{vert} = \left(\Uparrow \frac{\lambda}{2}\ms\rs^2\dot{\psi}\right)+ \left(\Uparrow \frac{1}{4}\ms\rs^2\left[2\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}(1+\cos^2\theta)\right]\right) }[/math]

Imposant la conservació de moment cinètic vertical:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{ll} \left.\overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}}(\mathbf{O}, \mathrm{t})\right]_{\text {vert }}=\left(\Uparrow \frac{1}{4} \mathrm{mr}^2\left[2 \dot{\varphi} \cos \theta+\dot{\psi}\left(1+2 \lambda+\cos ^2 \theta\right)\right]\right) \\ \left.\begin{array}{l} \dot{\psi}\left(\mathrm{t}_{\text {inicial }}\right)=0 \\ \dot{\varphi}\left(\mathrm{t}_{\text {inicial }}\right)=\dot{\varphi}_0 \\ \theta\left(\mathrm{t}_{\text {inicial }}\right)=0 \end{array}\right\} \left.\Rightarrow \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}}\left(\mathbf{O}, \mathrm{t}_{\text {inicial }}\right)\right]_{\text {vert }}=\left[\Uparrow\left(\frac{1}{2} \mathrm{mr}^2 \dot{\varphi}_0\right)\right] \\ \end{array}\right\} \Rightarrow 2 \dot{\varphi} \cos \theta+\dot{\psi}\left(1+2 \lambda+\cos ^2 \theta\right)=2 \dot{\varphi}_0 }[/math]

Per altra banda, per al SISTEMA disc, el moment extern en la direcció de l’eix del disc (direcció 3’) és nul.

Per tant, [math]\displaystyle{ \left.\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{disc,T}(\Os)\right]_{3'}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{disc,T}(\Os,\ts)}{B'}=\frac{1}{4}\ms\rs^2 \vector{-\ddot{\theta}}{-\ddot{\psi} \sin\theta -\dot{\psi}\dot{\theta}\cos\theta}{2(\ddot{\varphi}+\ddot{\psi}\cos\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\sin\theta)} + \vector{-\dot{\theta}}{-\dot{\psi}\sin\theta}{\dot{\psi}\cos\theta}\times\frac{1}{4}\ms\rs^2\vector{-\dot{\theta}}{-\dot{\psi}\sin\theta}{2(\dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta)}= }[/math]

[math]\displaystyle{ \hspace{2.5cm}= \frac{1}{4}\ms\rs^2\vector{-\ddot{\theta}-\dot{\psi}(2\dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta)\sin\theta}{-\ddot{\psi}\sin\theta + 2\dot{\theta}\dot{\varphi}}{2(\ddot{\varphi}+\ddot{\psi}\cos\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\sin\theta)} \Rightarrow \ddot{\varphi}+\ddot{\psi}\cos\theta-\dot{\psi}\dot{\theta}\sin\theta=0. }[/math]

thumb|right|350px|link=

La integració d’aquesta equació condueix a: [math]\displaystyle{ \dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta=\dot{\varphi}_0 }[/math] , on [math]\displaystyle{ \dot{\varphi}_0 }[/math] és la constant d’integració, que es determina imposant les condicions inicials.

Combinant aquest resultat amb l’anterior:

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} 2\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}(1+2\lambda+\cos^2\theta )=2\dot{\varphi}_0\\ \dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos\theta=\dot{\varphi}_0 \end{array}\right\} \Rightarrow \frac{\dot{\psi}}{\dot{\varphi}_0}=\frac{2(1-\cos\theta)}{2\lambda+\sin^2\theta} }[/math]

thumb|center|210px|link=

✏️ Exemple D8.8: barra dins de guia llisa giratòria

---

thumb|left|180px|link=

La barra PQ, homogènia i de massa m, es mou mantenint els seus dos extrems dins d’una guia llisa [math]\displaystyle{ (\mu=0) }[/math] , de radi r i massa negligible, que pot girar lliurement al voltant de la direcció vertical. L’angle POQ és de [math]\displaystyle{ 120^o }[/math]. Es tracta de determinar l’equació del moviment per a la coordenada [math]\displaystyle{ \psi }[/math] . Es negligeix la rotació de la barra sobre el seu eix (rotació pròpia [math]\displaystyle{ \dot{\varphi} }[/math] ).

Hi ha conservació de la quantitat de moviment?.

Les forces externes sobre la barra no són nul·les: a més del pes, hi ha forces de la guia sobre la barra a [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] que només tenen component normal (dirigida cap a [math]\displaystyle{ \Os }[/math]) i component perpendicular al pla de la guia. En total, doncs, la força externa resultant sobre la barra té components en les tres direccions de l’espai, i la quantitat de moviment no es conserva.

Si s’analitzen les forces externes sobre el SISTEMA (barra + guia), la conclusió és la mateixa: a més del pes de la barra, hi ha la força d’enllaç associada al coixinet entre terra i guia, que té tres components no nul·les en principi.

Hi ha conservació del moment cinètic?

Per al SISTEMA (barra + guia), el moment extern sobre qualsevol punt de l’eix de rotació de la guia (en particular, per al punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math]) té component vertical nul·la (doncs el moment d’enllaç del coixinet en aquesta direcció és nul, i el pes no pot donar moment en direcció vertical). Per altra banda, l’acceleració angular de la guia respecte del terra [math]\displaystyle{ \left(\overline{\ddot{\psi}}\right) }[/math] té aquesta direcció. Per tant:

[math]\displaystyle{ \boxed{\left.\text{Full de ruta: SISTEMA (barra+guia), TMC a }\Os\right]_\mathrm{vert}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\sum\overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Os) \right]_\mathrm{vert}=0 \quad \Rightarrow \quad \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTG}(\Os)\right]_\mathrm{vert} \text{ CONSTANT!} }[/math]

L’únic element amb massa és la barra, i el punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] hi pertany cinemàticament :

thumb|right|270px|link=

[math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)=\Is\Is(\Os)\velang{barra}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\bigoplus(\Os)\right]\left(\overline{\dot{\psi}}+\overline{\dot{\theta}}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)}{}=\left(\ms(\sqrt{3\rs})^2\diag{1}{0}{1}+\ms\left(\frac{\rs}{2}\right)^2\diag{1}{1}{0}\right)\vector{\dot{\theta}}{\dot{\psi}\sin\theta}{\dot{\psi}\cos\theta} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)}{}=\frac{1}{4}\ms\rs^2\vector{14\dot{\theta}}{\dot{\psi}\sin\theta}{13\dot{\psi}\cos\theta} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)\right]_\mathrm{vert} =\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)\right]_3\cos\theta+ \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)\right]_2\sin\theta= \frac{1}{4}\ms\rs^2\dot{\psi}(13\cos^2\theta + \sin^2\theta)= \frac{1}{4}\ms\rs^2 \dot{\psi}(1+12\cos^2\theta) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)\right]_\mathrm{vert} =\text{constant } \Rightarrow \quad \frac{\ds\left.\overline{\Hs}_\mathrm{RTO}(\Os)\right]_\mathrm{vert}}{\ds\ts}=0=\frac{1}{4}\ms\rs^2 \dot{\psi}(1+12\cos^2\theta)-6\ms\rs^2 \dot{\psi}\dot{\theta}\sin\theta\cos\theta }[/math]

[math]\displaystyle{ \boxed{\ddot{\psi}(3+7\cos^2\theta)-14\dot{\psi}\dot{\theta} \sin\theta \cos\theta =0} }[/math]

Comentari rellevant

thumb|right|430px|link=

El moment cinètic vertical no es conserva ni a [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] ni a [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] perquè tots dos punts estan accelerats:

[math]\displaystyle{ \sum \overline{\bar{\Ms}}_{\text {ext }}(\mathbf{Q})-\overline{\mathbf{P G}} \times \ms \overline{\mathrm{a}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q})=\dot{\overline{\mathrm{H}}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{Q}), \quad \overline{\mathbf{QG}} \times \ms \overline{\mathrm{a}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q})=\overline{\mathbf{QG}} \times \mathrm{m}\left[\overline{\mathrm{a}}_{\text {RЕL }}(\mathbf{Q})+\overline{\mathrm{a}}_{\mathrm{ar}}(\mathbf{Q})+\overline{\mathrm{a}}_{\text {cor }}(\mathbf{Q})\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\overline{\mathbf{Q G}} \times \ms \bar{\mathrm{a}}_{\mathrm{Gal}}(\mathbf{Q})\right\}=\left\{\begin{array}{c} 0 \\ \sqrt{3\rs} \cos \theta \\ \sqrt{3\rs} \sin \theta \end{array}\right\} \times \ms\left[\left\{\begin{array}{c} 0 \\ \mathrm{a}_{\mathrm{REL}}^{\mathrm{s}} \sin \left(30^{\circ}-\theta\right)-\mathrm{a}_{\mathrm{REL}}^{\mathrm{n}} \cos \left(30^{\circ}-\theta\right) \\ \mathrm{a}_{\mathrm{REL}}^{\mathrm{s}} \cos \left(30^{\circ}-\theta\right)+\mathrm{a}_{\mathrm{REL}}^{\mathrm{n}} \sin \left(30^{\circ}-\theta\right) \end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c} \mathrm{a}_{\mathrm{ar}}^{\mathrm{s}}-\mathrm{a}_{\mathrm{Cor}} \\ -\mathrm{a}_{\mathrm{ar}}^{\mathrm{n}} \\ 0 \end{array}\right\}\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.\left.\left.\overline{\mathbf{Q G}} \times \ms \overline{\mathrm{a}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q})\right]_{\text {vert }}=\overline{\mathbf{QG}} \times \ms \overline{\mathrm{a}}_{\text {Gal }}(\mathbf{Q})\right]_{3^{\prime}}=\sqrt{3} \mathrm{m}\left(\mathrm{a}_{\text {Cor }}-\mathrm{a}_{\mathrm{ar}}^{\mathrm{s}}\right) \sin \theta \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\bar{\Hs}}_{\text {RTQ }}(\mathbf{Q})\right]_{\text {vert }} \neq 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \mu=\text{datos.mean()} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sigma=\text{datos.std()} }[/math]