Vector calculus

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} }[/math]

V.1 Geometric representation of a vector

Vectors may be represented geometrically through an image, showing their direction with an arrow and their value with a scalar (positive or negative) (Figure V.1). Both direction and value may change with time.

File:V-1-neutre-color.png

Figure V.1 Geometric representation of the position vector of a point [math]\displaystyle{ \Os }[/math] moving along a straight line: (a) geometric definition of a positive value; (b) three particular cases

The usual operations between vectors (addition, subtraction, scalar product, vector product, time derivative) may be carried out from their geometric representations. The next section summarizes the procedures.

---

---

V.2 Operations between vectors with geometric representation

Instantaneous operations: addition, scalar product, vector product

Figure V.2 summarizes the procedures to carry out the three operations between vectors that involve just one time instant.

File:V-2-cat-color.png

Figure V.2 Geometric calculation of instantaneous operations between vectors

Operations along time: time derivative

The two vector operations along time are the time derivative and the time integral, and they both depend on the reference frame where vectors are being observed. The time integral from the geometric representation is more complicated than the time derivative, and will not be presented. The time derivative of a vector relative to a reference frame R assesses the rate of change along time of the two vector characteristics (direction and value) between two close time instants, separated by a time differential (dt). The symbolic representation of that operation is [math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\Rs }[/math]. The subscript R reminds that the result depends on the reference frame from which the time evolution of the vector is observed.

The result of the time derivative is different from zero whenever the value, or the direction, or both characteristics change.

Many textbooks use a dot to indicate the time derivative of scalars and vectors:

Scalar variable: [math]\displaystyle{ \frac{\ds\rho}{\ds\ts}\equiv \dot{\rho} }[/math]

Vector variable: [math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\Rs\equiv \dot{\uvec}\bigr]_\Rs }[/math]

In this course, the dot is used mainly for the time derivative of scalars.

Particular case: Time derivative of a vector with constant direction

When only the value of a vector [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] changes (that is, when its direction is constant with respect to the reference frame), its time derivative is a vector parallel to[math]\displaystyle{ \uvec }[/math] with a value equal to the change of its value u in a dt ([math]\displaystyle{ \ds\us/\ds\ts\eq\dot\us }[/math]). As the size of an object at a given time is an invariant, that result does not depend on the reference frame (Figure V.3):

[math]\displaystyle{ \begin{equation} \frac{\ds\uvec}{\ds\ts} \bigg]_\Rs = \frac{\ds\uvec}{\ds\ts} = \dot{\us}\frac{\uvec}{|\uvec|}\end{equation} }[/math] , on [math]\displaystyle{ \frac{\uvec}{|\uvec|} }[/math] és el versor de la direcció del vector [math]\displaystyle{ \uvec }[/math].

File:V-3-cat-color.png

Figura V.3 La derivada d’un vector que només canvia de valor és paral·lela al vector,
i és independent de referència: (a) signe([math]\displaystyle{ \dot\us }[/math]) = signe([math]\displaystyle{ \us }[/math]); (b) signe([math]\displaystyle{ \dot\us }[/math]) = -signe([math]\displaystyle{ \us }[/math])

Cas particular: Derivada d’un vector de valor constant que evoluciona sobre un pla fix a la referència

Considerem primer un vector [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] que evoluciona sobre un pla [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] fix a la referència R (vector amb moviment pla respecte de R). Si només canvia de direcció en R, la seva derivada és un vector ortogonal a [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] de valor igual al producte del valor del vector (u) pel ritme de canvi (en un dt) de l’angle d’orientació del vector en el pla [math]\displaystyle{ \Pi }[/math], [math]\displaystyle{ \us\frac{\ds\theta}{\ds\ts}=\us\dot{\theta} }[/math] (Figura V.4).

File:V-4-cat-color.png

Figura V.4 La derivada d’un vector que només canvia de direcció és ortogonal al vector,
i depèn de la referència

El concepte ritme de canvi d’orientació ([math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] a les figures V.4 i V.5) demana la introducció prèvia de l’angle d’orientació ([math]\displaystyle{ \theta }[/math] a les figures V.4 i V.5), definit en un pla [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] a partir d’una direcció fixa al pla [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] i el vector que es deriva. L’orientació d’aquest pla a R i el ritme de canvi d’orientació [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] del vector es poden combinar en un únic objecte matemàtic: la velocitat angular del vector respecte de R, de valor [math]\displaystyle{ \dot{\theta} }[/math] i direcció ortogonal al pla. El sentit del vector s’associa a la regla del cargol (Figura V.5). La notació genèrica que es fa servir en aquest curs per a la velocitat angular d’un objecte en una referència R és [math]\displaystyle{ \Omegavec^{\textup{objecte}}_\Rs }[/math].

File:V-5-cat-color.png

Figura V.5 Vector velocitat angular d’un vector de valor constant en una referència

La derivada es pot escriure a partir d’aquest vector de velocitat angular com a [math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\Rs = {\Omegavec}^{\uvec}_\Rs \times \uvec }[/math].

Cas particular: Derivada d’un vector de valor constant que evoluciona de manera general a la referència

Es pot demostrar que, quan el vector [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] que es deriva no evoluciona sobre un pla sinó que té una evolució 3D, el resultat de la derivada s’obté de la mateixa manera a través de la seva velocitat angular [math]\displaystyle{ \Omegavec^{\uvec}_\Rs }[/math] [Batlle, J.A., Barjau, A. (2020) chapter 1 in Rigid body kinematics. Cambridge University Press]. L’obtenció d’aquesta velocitat angular (unitats C1 i C2), però, és més complicada.

Cas general: Derivada d’un vector que evoluciona de manera general respecte d’una referència R

Si el vector [math]\displaystyle{ \uvec }[/math] evoluciona de manera general en una referencia R (és a dir, canvia de valor i de direcció), la seva derivada temporal és (Figura V.6):

[math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\Rs = [\text{canvi de valor}]+[\text{canvi de direcció}]_\Rs = \dot{\us}\frac{\uvec}{|\uvec|} + {\Omegavec}^{\uvec}_\Rs\times\uvec }[/math]

File:V6-cat-180ppp.png

Figura V.6 Derivada temporal d’un vector relativa a una referència: cas general

Relació entre les derivades temporals d'un mateix vector en dues referències diferents

A partir de l'equació anterior, és fàcil veure que la diferència entre les derivades d’un mateix vector a dues referències diferents R1 i R2 és:

[math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\textrm{R1}-\frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\textrm{R2} = (\Omegavec^\uvec_\textrm{R1}-\Omegavec^\uvec_\textrm{R2})\times \uvec }[/math]

Es pot demostrar que [math]\displaystyle{ (\Omegavec^\uvec_\textrm{R1}-\Omegavec^\uvec_\textrm{R2}=\Omegavec^\textrm{R2}_\textrm{R1}) }[/math] (la demostració general és llarga i no s’inclou aquí). Per tant, quan dues referències no giren una respecte de l’altra [math]\displaystyle{ (\Omegavec^\textrm{R2}_\textrm{R1}=0) }[/math], la derivada temporal d’un vector en totes dues condueix al mateix resultat. Altrament:

[math]\displaystyle{ \frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\textrm{R1}=\frac{\ds\uvec}{\ds\ts}\bigg]_\textrm{R2} + \Omegavec^\textrm{R2}_\textrm{R1}\times \uvec }[/math]

---

---

V.3 Representació analítica d’un vector

Un vector també es pot representar de manera analítica mitjançant les seves components en tres direccions independents de l’espai. Els vectors unitaris (versors) d’aquestes direccions s’anomenen [math]\displaystyle{ (\evec_1, \evec_2, \evec_3) }[/math] i constitueixen una base vectorial. En aquesta base, el vector s’expressa com a combinació lineal d’aquests versors, i els coeficients són les components del vector en aquesta base:

[math]\displaystyle{ \uvec=\textrm{u}_1\evec_1+\textrm{u}_2\evec_2+\textrm{u}_3\evec_3 }[/math]

En aquest curs, ens limitem a bases ortogonals i directes (dextrògires), és a dir, on el versor de la direcció 3 és el producte vectorial dels versors de les direccions 1 i 2: [math]\displaystyle{ \evec_1\times \evec_2=\evec_3 }[/math]. A l’hora de representar una base en un dibuix, sovint es col·loquen tres eixos que interseccionen en un punt. Aquest punt d'intersecció és irrellevant, i de cap manera es pot dir que és l'"origen de la base": el concepte d’origen no és aplicable a les bases vectorials (l’únic que defineix una base son les tres direccions que la composen). Un mateix vector es pot projectar en diverses bases, però això no en modifica ni el seu valor ni la seva direcció.

La Figura V.7 mostra la projecció, en dues bases diferents, del vector [math]\displaystyle{ \overline{\textrm{r}} }[/math], associat a un radi d’una plataforma giratòria amb moviment pla respecte de R. La base [math]\displaystyle{ (1,2,3) }[/math] no canvia d’orientació respecte de R, mentre que la base [math]\displaystyle{ (1',2',3') }[/math] canvia d’orientació respecte de R però no respecte de R' (que és la plataforma).

Figura V.7 Un mateix vector projectat en dues bases diferents

Una notació alternativa (que és la que preferentment es farà servir en aquests curs per expressar vectors projectats en bases vectorials) és la de posar les components en columna, ordenades segons l’ordre dels eixos de la base:

[math]\displaystyle{ \left\{\overline{\textbf{r}}\right\}_{\textrm{123}}\equiv \left\{\overline{\textbf{r}}\right\}_{\Bs}= \begin{Bmatrix}\textrm{r}cos\theta \\\textrm{r}sin\theta \\\textup{0} \end{Bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\overline{\textbf{r}}\right\}_{\textrm{1'2'3'}}\equiv \left\{\overline{\textbf{r}}\right\}_{\textrm{B'}}= \begin{Bmatrix}\textrm{r} \\\textup{0} \\\textup{0} \end{Bmatrix} }[/math]

Si els versors tenen sempre la mateixa direcció respecte de la referència, es diu que es tracta d’una base fixa. En canvi, si la direcció dels versors varia al llarg del temps, es diu que és una base mòbil. Tenint en compte que els tres versors son permanentment ortogonals entre ells, es pot parlar de l’orientació de la base B, i del seu ritme de canvi d’orientació respecte d’una referència R (o velocitat angular de la base respecte de R), [math]\displaystyle{ \Omegavec^\Bs_\Rs }[/math].

A la Figura V.6, la base [math]\displaystyle{ B=(1,2,3) }[/math] no canvia d’orientació respecte de R (és una base fixa a R) però si que canvia d'orientació respecte de R' (seria una base mòbil a R'): [math]\displaystyle{ \Omegavec^\Bs_\Rs = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \Omegavec^\Bs_{\Rs'} \not= 0 }[/math].

En canvi, la base [math]\displaystyle{ B'=(1',2',3') }[/math] canvia d’orientació respecte de R però no respecte de R' (és una base fixa a R' però mòbil a R): , [math]\displaystyle{ \Omegavec^{\Bs'}_\Rs \not= 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \Omegavec^{\Bs'}_{\Rs'} = 0 }[/math].

---

---

V.4 Operacions entre vectors amb representació analítica

Operacions instantànies: suma, producte escalar, producte vectorial.

Les operacions instantànies entre vectors es poden fer a través de les bases vectorials. En ser instantànies, el caràcter fix o mòbil de la base és irrellevant. El que és fonamental és que tots dos vectors estiguin projectats a la mateixa base.

[math]\displaystyle{ \left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}= \begin{Bmatrix}\us_1 \\\us_2 \\\us_3 \end{Bmatrix} }[/math] , [math]\displaystyle{ \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}= \begin{Bmatrix}\vs_1 \\\vs_2 \\\vs_3 \end{Bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}+ \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}= \begin{Bmatrix}\us_1+\vs_1 \\\us_2+\vs_2 \\\us_3+\vs_3 \end{Bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}· \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}= \us_1\vs_1+\us_2\vs_2+\us_3\vs_3 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{\uvec\right\}_{\textrm{B}}\times \left\{\vvec\right\}_{\textrm{B}}= \begin{Bmatrix}\us_1 \\\us_2 \\\us_3 \end{Bmatrix} \times \begin{Bmatrix}\vs_1 \\\vs_2 \\\vs_3 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}\us_2\vs_3-\us_3\vs_2 \\\us_3\vs_1-\us_1\vs_3 \\\us_1\vs_2-\us_2\vs_1 \end{Bmatrix} }[/math]

Video V.1 Alroritme per al càlcul analític del producte vectorial

Operacions al llarg del temps: derivació temporal (mètode analític)

Aquest mètode també es coneix com derivació en base.

Projectar un vector en una base vectorial [math]\displaystyle{ (\evec_1, \evec_2, \evec_3) }[/math] és expressar-lo com a suma de tres vectors ortogonals:

[math]\displaystyle{ \uvec=\sum_{\is}^{}\us_\is\evec_\is }[/math]

Si la base és fixa respecte de la referència R on es calcula la derivada, aquests vectors no canvien d’orientació, i per tant:

[math]\displaystyle{ \frac{\ds(\us_\is\evec_\is)}{\ds\ts} =\dot{\us}_\is\evec_\is }[/math] , [math]\displaystyle{ \left\{\left.\frac{\ds\uvec}{\ds\ts} \right]_{\Rs}\right\}_\Bs=\frac{\ds}{\ds\ts}\left\{\uvec\right\}_\Bs= \begin{Bmatrix}\dot{\us}_1 \\\dot{\us}_2 \\\dot{\us}_3 \end{Bmatrix} }[/math]

Si la base és mòbil respecte de R, aquests vectors canvien d’orientació amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \left\{\Omegavec^\Bs_\Rs\right\}_\Bs }[/math]:

[math]\displaystyle{ \frac{\ds(\us_\is \evec_\is)}{\ds\ts} =\dot{\us}_\is\evec_\is+\left.\us_\is\frac{\ds\evec_\is}{\ds\ts}\right]_\Rs=\dot{\us}_\is\evec_\is+\us_\is(\Omegavec^\Bs_\Rs\times \evec_\is) }[/math] ,

De manera que la derivació temporal d'un vector es pot escriure analíticament de la següent manera:

[math]\displaystyle{ \left\{\left.\frac{\ds\uvec}{\ds\ts} \right]_\Rs\right\}_\Bs = \frac{\ds}{\ds\ts}\left\{\uvec\right\}_\Bs +\left\{\Omegavec^\Bs_\Rs\right\}_\Bs \times \left\{\uvec\right\}_\Bs= \begin{Bmatrix}\dot{\us}_1 \\\dot{\us}_2 \\\dot{\us}_3 \end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix}\Omega_1 \\\Omega_2 \\\Omega_3 \end{Bmatrix} \times \begin{Bmatrix}\us_1 \\\us_2 \\\us_3 \end{Bmatrix} }[/math]

© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats

---

---

<<< Introducció

C1. Configuració d'un sistema mecànic >>>