C4. Rigid body kinematics

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Js}{\textbf{J}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\Is}{\textbf{I}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\CPvec}{\vec{\Cs\Ps}} \newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\JCvec}{\vec{\Js\Cs}} \newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}} \newcommand{\OQrelvec}{\vec{\Os_{\textrm{REL}}\Qs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\braqII}[1]{\left.{#1}\right]_{||\QPvec}} \newcommand{\braqL}[1]{\left.{#1}\right]_{\perp\QPvec}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\Orel}{\Os_{\textrm{REL}}} \newcommand{\omeg}[2]{\vec{\mathbf{\Omega}}^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} }[/math]

A rigid body is a set of points whose mutual distances are constant. As a consequence, the motion of different points in a rigid body is related (though not necessarily the same) (Figure C4.1).

thumb|center|500px|link=

Figure C4.1 Velocities of points of a same rigid body for two different movements

The constant distance between any pair of points [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] and [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] of a same rigid body S is the reason why, in a general motion of S, the component in the [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math], direction has to be the same, though that in the direction perpendicular to [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] may be different (Figure C4.2): [math]\displaystyle{ \braqII{\vel{P}{R}}=\braqII{\vel{Q}{R}} }[/math].

If this were not the case, points would be approaching [math]\displaystyle{ \left(\braqII{\vel{P}{R}}\lt \braqII{\vel{Q}{R}}\right) }[/math] or separating [math]\displaystyle{ \left(\braqII{\vel{P}{R}}\gt \braqII{\vel{Q}{R}}\right) }[/math]. This property is known as equiprojectivity.

thumb|center|250px|link=

Figure C4.2 Equiprojectivity in a general motion of two points of a same rigid body

Thus unit presents the relationships among velocities and accelerations of different points of a same rigid body (equations of velocity and acceleration distribution), and explores the geometry of the velocity distribution. That of the acceleration distribution is not as simple and useful, and is not included here.

---

---

C4.1 Velocity distribution

The equation relating the velocity of two points [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] and [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] of a same rigid body S (Figure C4.2) is:

[math]\displaystyle{ \vel{P}{R}=\vel{Q}{R}+\velang{S}{R}\times\QPvec }[/math]

This equation implies instantaneous operations between vectors, thus it is a method to obtain [math]\displaystyle{ \vel{P}{R} }[/math] simpler than the time derivative. If the operations are done for a generic configuration, the result is valid at all times. As R may be any reference frame, the subscript will be suppressed from now on once that frame has been clearly identified.

Figure C4.3 Necessary information for the calculation of the velocity distribution in a rigid body. The subscript S in both points emphasizes that they belong to S. If there is no possible confusion, it may be omitted.

💭 Proof ➕

The velocity [math]\displaystyle{ \vel{P}{R} }[/math] may be obtained as the time derivative of a position vector:

[math]\displaystyle{ \vel{P}{R}=\dert{\overline{\textbf{O}_\textrm{R} \textbf{P}}}{R}=\dert{\overline{\textbf{O}_\textrm{R} \textbf{Q}}}{R}+\dert{\QPvec}{R}=\vel{Q}{R}+\dert{\QPvec}{R} }[/math]

The [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] value is constant because, as both points belong to the same rigid body, their mutual distance is constant. As far as direction is concerned, as [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] is a vector fixed to the rigid body, its rate of change of orientation relative to R [math]\displaystyle{ \left(\velang{$\QPvec$}{R}\right) }[/math] is the same as that of the rigid body: [math]\displaystyle{ \velang{$\QPvec$}{R}=\velang{S}{R} }[/math]. Hence:

[math]\displaystyle{ \dert{\QPvec}{R}=\velang{S}{R}\times\QPvec\Rightarrow\vel{P}{R}=\vel{Q}{R}+\velang{S}{R}\times\QPvec }[/math]

The velocity equation shows that we just need to know the velocity of one of its points [math]\displaystyle{ \left(\vel{Q}{}\right) }[/math] and the angular velocity [math]\displaystyle{ \left(\velang{s}{}\right) }[/math]. to calculate the velocity of any point in the rigid body. In the most general case (rigid body moving in space without restrictions), that information consists of six scalar independent variables (6 DoF) that have to be provided as data of the problem. When there are constraints acting on the rigid body (and has less than 6 DoF), those two velocities may be inferred from the associated kinematic restrictions .

The equiprojectivity shown in Figure C4.2 can be proved from the equation of velocity Distribution. Both [math]\displaystyle{ \vel{P}{R} }[/math] and [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] ecan be decomposed into two components, one parallel to [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] and another one perpendicular to [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math]:

[math]\displaystyle{ \vel{P}{R}=\vel{Q}{R}+\velang{S}{R}\times\QPvec\Rightarrow\braqII{\vel{P}{R}}+\braqL{\vel{P}{R}}=\braqII{\vel{Q}{R}}+\braqL{\vel{Q}{R}}+\velang{S}{R}\times\QPvec }[/math]

The term [math]\displaystyle{ \velang{S}{R}\times\QPvec }[/math] is always perpendicular to [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] because it is a cross product involving [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math]. Thus:

• [math]\displaystyle{ \braqII{\vel{P}{R}}=\braqII{\vel{Q}{R}}\Leftrightarrow }[/math] equal [math]\displaystyle{ ||\QPvec }[/math] components,
• [math]\displaystyle{ \braqL{\vel{P}{R}}=\braqL{\vel{Q}{R}}+\velang{S}{R}\times\QPvec\Leftrightarrow }[/math] different [math]\displaystyle{ \perp\QPvec }[/math] components in principle.

✏️ EXAMPLE C4-1.1: wheel on a rotating support

---

File:C4-Ex1-1-1-cat.png

Between ground and support, and between support and wheel, there is a revolute joint. Because of those links, the support and the wheel can only move according to a simple rotation relative to the ground (R) and to the support, respectively. The angular velocity of the wheel relative to the ground is the superposition of those two rotations, which correspond to a first and a second Euler rotations. The movement of the wheel center [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to the ground is circular with radius r about a vertical axis. Its velocity relative to the ground is straightforward, with value [math]\displaystyle{ r\dot\psi_0 }[/math].

The velocity of [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] relative to the ground for the configuration shown in the figure can be obtained through the velocity equation for the wheel:

[math]\displaystyle{ \vel{P}{}=\vel{Q}{}+\vec{\Omega}\times\QPvec=(\otimes\;\;r\dot\psi_0)+(\Uparrow\dot\psi_0+\odot\;\;\dot\theta_0)\times(\rightarrow r)=(\otimes\;\;r\dot\psi_0)+(\otimes\;\;\dot\psi_0)+(\uparrow r\dot\theta_0)=(\otimes\;\;2r\dot\psi_0)+(\uparrow r\dot\theta_0) }[/math]

File:C4-Ex1-1-2-cat.png

Though vectors [math]\displaystyle{ \vel{Q}{} }[/math] and [math]\displaystyle{ \velang{}{} }[/math] appearing in the equation are valid at all times, the result obtained for [math]\displaystyle{ \vel{P}{} }[/math] is not because vector [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] is not always perpendicular to [math]\displaystyle{ \velang{}{} }[/math].

For instance, later on [math]\displaystyle{ \QPvec }[/math] is vertical, and then:

[math]\displaystyle{ \vel{P}{}=\vel{Q}{}+\velang{}{}\times\QPvec=(\otimes\;\;r\dot\psi_0)+(\Uparrow\dot\psi_0+\odot\;\;\dot\theta_0)\times(\uparrow\QPvec)=(\otimes\;\;r\dot\psi_0)+(\leftarrow r\dot\theta_0) }[/math]

File:C4-Ex1-1-3-cat.png

Analytical calculation ➕

If we choose a vector basis fixed to the support: [math]\displaystyle{ \left\{\vel{P}{}\right\}=\left\{\vel{Q}{}\right\}+\{\velang{}{}\}\times\{\QPvec\}=\vector{-r\dot\psi_0}{0}{0}+\vector{\dot\theta_0}{0}{\dot\psi_0}\times\{\QPvec\} }[/math]

File:C4-Ex2-1-2-cat,esp.png

[math]\displaystyle{ \left\{\vel{P}{}\right\}=\vector{-r\dot\psi_0}{0}{0}+\vector{\dot\theta_0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{r}{0}=\vector{-2r\dot\psi_0}{0}{r\dot\theta_0} }[/math]          [math]\displaystyle{ \left\{\vel{P}{}\right\}=\vector{-r\dot\psi_0}{0}{0}+\vector{\dot\theta_0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{0}{r}=\vector{-r\dot\psi_0}{-r\dot\theta_0}{0}. }[/math]

✏️ EXAMPLE C4-1.2: wheel perpendicular to the ground and not sliding

---

File:C4-Ex2-2-1-cat.png

The constraints on the wheel provide information on its angular velocity and on the velocity of one of its points: Perpendicular to the ground: the second Euler angle (inclination relative to the ground) is constant, so [math]\displaystyle{ \velang{}{}=\vec{\dot\psi}+\vec{\dot\varphi} }[/math]. Nonsliding contact with the ground: the velocity of the wheel point touching the ground has to be instantaneously zero (section C2.8), [math]\displaystyle{ \vel{J}{}=\vec{0} }[/math].

The velocity of [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] can be calculated from that information: [math]\displaystyle{ \vel{C}{}=\vel{J}{}+\velang{}{}\times\JCvec=(\vec{\dot\psi}+\vec{\dot\varphi})\times\JCvec=\vec{\dot\varphi}\times\JCvec }[/math], as [math]\displaystyle{ \vec{\dot\psi} }[/math] and [math]\displaystyle{ \JCvec }[/math] are always orthogonal. As [math]\displaystyle{ \vec{\dot\varphi} }[/math] is always perpendicular to the ground and horizontal, and [math]\displaystyle{ \JCvec }[/math] is always vertical, the cross product has the direction of the horizontal diameter of the wheel.

File:C4-Ex1-2-2-cat,esp.png

Similarly:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \vel{P}{} & =\vel{J}{}+\velang{}{}\times\JQvec=(\Uparrow\vec{\dot\psi}+\otimes\;\;\vec{\dot\varphi})\times(\nwarrow r) =(\Uparrow\vec{\dot\psi}+\otimes\;\;\vec{\dot\varphi})\times\left(\uparrow\frac{r}{\sqrt{2}}+\leftarrow\frac{r}{\sqrt{2}}\right)=\\ & =(\Uparrow\vec{\dot\psi})\times\left(\leftarrow\frac{r}{\sqrt{2}}\right)+(\otimes\;\;\vec{\dot\varphi})\times\left(\uparrow\frac{r}{\sqrt{2}}+\leftarrow\frac{r}{\sqrt{2}}\right)=(\odot\;\; r\dot\psi)+\left(\rightarrow\frac{r\dot\varphi}{\sqrt{2}}\right)+\left(\uparrow\frac{r\dot\varphi}{\sqrt{2}}\right) \end{align} }[/math]

Analytical calculation ➕

If we choose a vector basis fixed to the vertical plane containing the wheel (that is, with [math]\displaystyle{ \velang{B}{T}=\vec{\dot\psi} }[/math]): [math]\displaystyle{ \left\{\vel{C}{}\right\}=\left\{\velang{}{}\right\}\times\left\{\JCvec\right\}=\vector{-\dot\varphi}{0}{\dot\psi}\times\vector{0}{0}{r}=\vector{0}{r\dot\varphi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \left\{\vel{Q}{}\right\}=\left\{\velang{}{}\right\}\times\left\{\JQvec\right\}=\vector{-\dot\varphi}{0}{\dot\psi}\times\vector{0}{-r/\sqrt{2}}{r/\sqrt{2}}=\vector{r\dot\psi/\sqrt{2}}{r\dot\varphi/\sqrt{2}}{r\dot\varphi/\sqrt{2}} }[/math]

File:C4-Ex2-2-2-cat,esp.png

---

---

C4.2 Acceleration distribution

The equation relating the acceleration of two points [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] and [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] of a same rigid body S (Figure C4.3) is:

[math]\displaystyle{ \acc{P}{R}=\acc{Q}{R}+\velang{S}{R}\times\left(\velang{S}{R}\times\QPvec\right)+\accang{S}{R}\times\QPvec }[/math]

It is also an equation implying instantaneous operations (as the velocity equation), but it requires more information to calculate [math]\displaystyle{ \acc{P}{R} }[/math]: the acceleration of a point [math]\displaystyle{ \left(\acc{Q}{R}\right) }[/math], the angular velocity [math]\displaystyle{ \left(\velang{S}{R}\right) }[/math] and the angular acceleration of the rigid body [math]\displaystyle{ \left(\accang{S}{R}\right) }[/math]. Though constraints yield direct information on linear and angular velocities (as seen in the previous example), this is not so when it comes to accelerations. In general, the angular acceleration can be obtained as the time derivative of [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math], but discovering a point whose acceleration is straightforward is not that evident. That and the fact that the number of required operations to calculate accelerations (two additions and three cross products) is much higher than that needed for the calculation of velocities (one addition and one cross product), is the reason why obtaining [math]\displaystyle{ \vel{P}{R} }[/math] with rígid body kinematics and then calculate [math]\displaystyle{ \acc{P}{R} }[/math] as time derivative of [math]\displaystyle{ \vel{P}{R} }[/math] is a good alternative (whenever the result obtained for[math]\displaystyle{ \vel{P}{R} }[/math] is generic).

Figure C4.4: Information required for the calculation of the acceleration distribution in a rigid body

💭 Proof ➕

The equation of acceleration distribution can be obtained as the time derivative of the velocity distribution:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \acc{P}{R} & =\dert{\vel{P}{R}}{R}=\dert{\vel{Q}{R}}{R}+\dert{\velang{S}{R}\times\QPvec}{R}=\acc{Q}{R}+\velang{S}{R}\times\dert{\QPvec}{R}+\dert{\velang{S}{R}}{R}\times\QPvec=\\ & =\acc{Q}{R}+\velang{S}{R}\times\left(\velang{S}{R}\times\QPvec\right)+\accang{S}{R}\times\QPvec \end{align} }[/math]

✏️ EXAMPLE C4-2.1: wheel on a rotating support

---

File:C4-Ex2-1-1-cat.png

The angular acceleration of the wheel relative to the ground can be obtained through the geometric time derivative of the angular velocity: [math]\displaystyle{ \accang{wheel}{T}=\dert{\velang{wheel}{T}}{T}=\dert{\left(\vec{\dot\psi_0}+\vec{\dot\theta_0}\right)}{T}=\dert{\Uparrow\dot\psi_0}{T}+\dert{\odot\;\dot\theta_0}{T} }[/math] If we assume that the values [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 }[/math] and [math]\displaystyle{ \dot\theta_0 }[/math] are constant, the first term in the time derivative is zero because its direction is constant (it is always vertical). The second one, though, is variable: its direction is always perpendicular to the vertical plane containing the wheel, and so rotates at a rate [math]\displaystyle{ \dot\psi_0 }[/math] relative to the ground:

[math]\displaystyle{ \accang{wheel}{T}=\left(\vec{\dot\psi_0}\times\vec{\dot\theta_0}\right)=\left(\Uparrow\dot\psi_0\right)\times\left(\odot\;\dot\theta_0\right)=\left(\Rightarrow\dot\theta_0\dot\psi_0\right) }[/math]

The acceleration of [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] relative to the ground is straightforward because it is a circular motion with constant speed: it has only a normal component with value [math]\displaystyle{ r\dot\psi^{2}_0 }[/math] pointing to the center of curvature: [math]\displaystyle{ \acc{C}{}=\left(\leftarrow r\dot\psi^2_0\right) }[/math].

Hence,

[math]\displaystyle{ \begin{align}\acc{P}{}& =\acc{C}{}+\Omegavec\times(\velang{}{}\times\CPvec)+\Alfavec\times\CPvec=(\leftarrow r\dot\psi^{2}_0)+(\Uparrow\dot\psi_0+\odot\;\dot\theta_0)\times\left[(\Uparrow\dot\psi_0+\odot\;\dot\theta_0)\times(\rightarrow r)\right] +(\Rightarrow\dot\psi_0\dot\theta_0)\times(\rightarrow r)=\\ &=(\leftarrow r\dot\psi^{2}_0)+(\Uparrow\dot\psi_0+\odot\;\dot\theta_0)\times[\otimes\; r\dot\psi_0+\uparrow r\dot\theta_0]=(\leftarrow r\dot\psi^{2}_0)+(\Uparrow\dot\psi_0)\times(\otimes\; r\dot\psi_0)+(\odot\;\dot\theta_0)\times(\uparrow r\dot\theta_0)=(\leftarrow r\dot\psi^{2}_0)+(\leftarrow r\dot\psi^{2}_0)+(\leftarrow r\dot\theta^{2}_0)=\\ &=[\leftarrow r(2\dot\psi^{2}_0+\dot\theta^{2}_0)]\end{align} }[/math]

Analytical calculation ➕

File:C4-Ex2-1-2-cat,esp.png

If we choose a vector basis fixed to the support: [math]\displaystyle{ \{\accang{wheel}{T}(\Ps)\}=\frac{\ds}{\ds\ts}=\{\velang{wheel}{T}\}+\{\velang{B}{T}\}\times\{\velang{wheel}{T}\}=\vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{\dot\theta_0}{0}{\dot\psi_0}=\vector{0}{\dot\theta_0\dot\psi_0}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \{\acc{P}{}\}=\{\acc{C}{}\}+\{\Omegavec\times(\Omegavec\times\CPvec)\}+\{\Alfavec\times\CPvec\}=\vector{0}{-r\dot\psi_0}{0}+\vector{\dot\theta_0}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dot\theta_0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{r}{0}\right)+\vector{0}{\dot\theta_0\dot\psi_0}{0}\times\vector{0}{r}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \{\acc{P}{}\}=\vector{0}{-r\dot\psi_0}{0}+\vector{\dot\theta_0}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dot\theta_0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{r}{0}\right)=\vector{0}{-r\dot\psi_0}{0}+\vector{\dot\theta_0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-r\dot\psi_0}{0}{r\dot\theta_0}=\vector{0}{-2r\dot\psi^2_0-r\dot\theta^2_0}{0} }[/math]

The acceleration of [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] cannot be obtained through the analytical time derivative of its velocity as the latter is only valid for one time instant (the one represented in the figure). Indeed, if we do perform that time derivative, the result is wrong:

[math]\displaystyle{ \vel{P}{}=\vector{-2r\dot\psi_0}{0}{r\dot\theta_0}\Rightarrow\left\{\dert{\vel{P}{}}{T}\right\}=\frac{\ds}{\ds\ts}\{\vel{P}{}\} +\{\velang{B}{T}\}\times\{\vel{P}{}\}=\vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-2r\dot\psi_0}{0}{r\dot\theta_0}=\vector{0}{-2r\dot\psi^2_0}{0}\neq\{\acc{P}{}\} }[/math]

✏️ EXAMPLE C4-2.2: wheel perpendicular to the ground and not sliding

---

File:C4-Ex2-2-1-cat.png

Let’s assume that the wheel in example C4-1.2 has an angular velocity relative to the ground with constant value [math]\displaystyle{ \velang{wheel}{T}=\vec{\dot\psi_0}+\vec{\dot\varphi_0}. }[/math] The angular acceleration of the wheel relative to the ground may be obtained through the geometric time derivative of its angular velocity. If we draw the vectors on the plane perpendicular to [math]\displaystyle{ \vec{\dot\varphi_0}: }[/math] [math]\displaystyle{ \accang{wheel}{T}=\dert{\velang{wheel}{T}}{T}=\dert{(\vec{\dot\psi_0}+\vec{\dot\varphi_0})}{T}=\dert{\left(\Uparrow\dot\psi_0\right)}{T}+\dert{\left(\otimes\;\dot\varphi_0\right)}{T} }[/math]

The first term of the time derivative is zero because [math]\displaystyle{ \vec{\dot\psi_0} }[/math] has a constant direction (vertical), whereas the second one is not as the [math]\displaystyle{ \vec{\dot\varphi_0} }[/math] direction is variable (because of [math]\displaystyle{ \vec{\dot\psi_0} }[/math]):

[math]\displaystyle{ \accang{wheel}{T}=\left(\Uparrow\dot\psi_0\right)\times\left(\otimes\;\dot\varphi_0\right)=(\Leftarrow\dot\psi_0\dot\varphi_0). }[/math]

There is no point with a simple motion (rectilinear or circular) whose acceleration is straightforward.

A usual error is considering that, as the velocity of point [math]\displaystyle{ \Js }[/math] of the wheel in contact with the ground is zero, its acceleration will also be zero: [math]\displaystyle{ \vel{J}{}=\vec{0}\Rightarrow\acc{J}{}=\vec{0} }[/math]. That is wrong. The velocity is instantaneously zero: just after (or just before) touching the ground, it is not, and it is a different point of the wheel periphery the one in contact with the ground. That means that the velocity of [math]\displaystyle{ \Js }[/math] goes from being zero to being nonzero (or form being nonzero to being zero). If the velocity changes, the acceleration is not zero.

The velocity of [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] calculated in example C4-1.2 is valid at all times (is not instantaneous): the [math]\displaystyle{ \psi }[/math] and [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] values have no consequences on [math]\displaystyle{ \vel{C}{} }[/math]. Hence, the acceleration [math]\displaystyle{ \acc{C}{} }[/math] can be obtained through a time derivative. The [math]\displaystyle{ \vel{C}{} }[/math] value is constant, but its direction is not: it is the direction of the horizontal diameter (contained in the wheel plane), thus it rotates relative to the ground because of [math]\displaystyle{ \vec{\dot\psi_0} }[/math] (but not because of [math]\displaystyle{ \vec{\dot\varphi_0} }[/math] : if this rotation did affect [math]\displaystyle{ \vel{C}{} }[/math], that velocity would not be horizontal). Hence:

[math]\displaystyle{ \acc{C}{}=\dert{\vel{C}{}}{T}=\dert{(\rightarrow r\dot\varphi_0)}{T}=(\Uparrow\dot\psi_0)\times(\rightarrow r\dot\varphi_0)=(\otimes\; r\dot\psi_0\dot\varphi_0) }[/math]

Regarding point [math]\displaystyle{ \Js }[/math], as its motion slows down as it approaches the ground –where its velocity becomes zero- and then moves away while increasing its separating speed, its acceleration has a vertical component pointing upwards. Thus can be checked though the acceleration equation from the acceleration of [math]\displaystyle{ \Cs }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \acc{J}{} & =\acc{C}{}+\Omegavec\times(\Omegavec\times\CJvec)+\Alfavec\times\CJvec=(\otimes\; r\dot\psi_0\dot\theta_0)+(\Uparrow\dot\psi_0+\odot\;\dot\theta_0)\times[(\Uparrow\dot\psi_0+\odot\;\dot\theta_0)\times(\downarrow r)]+[(\Leftarrow\dot\psi_0\dot\theta_0)]\times(\downarrow r)=\\ & =(\otimes\; r\dot\psi_0\dot\theta_0)+(\Uparrow\dot\psi_0+\odot\;\dot\theta_0)\times[(\rightarrow r\dot\theta_0)]+(\odot\; r\dot\psi_0\dot\theta_0)=(\otimes\; r\dot\psi_0\dot\theta_0)+(\uparrow r\dot\theta^2_0) \end{align} }[/math]

Analytical calculation ➕

If we choose a vector basis fixed to the vertical vertical plane containing the wheel [math]\displaystyle{ (\velang{B}{T}=\vec{\dot\psi_0}): }[/math] Calculation of [math]\displaystyle{ \accang{wheel}{T} }[/math] through analytical time derivative: [math]\displaystyle{ \{\accang{wheel}{T}\}=\left\{\dert{\velang{wheel}{T}}{T}\right\}=\{\velang{B}{T}\}\times\{\velang{wheel}{T}\}=\vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi_0}=\vector{0}{-\dot\psi_0\dot\varphi_0}{0} }[/math] Calculation of [math]\displaystyle{ \acc{C}{} }[/math] through analytical time derivative:: [math]\displaystyle{ \{\acc{C}{}\}=\left\{\dert{\vel{C}{}}{T}\right\}=\{\velang{B}{T}\}\times\{\vel{C}{}\}=\vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi_0}=\vector{0}{-\dot\psi_0\dot\varphi_0}{0} }[/math]

File:C4-Ex2-2-2-cat,esp.png

• Calculation of [math]\displaystyle{ \acc{J}{} }[/math] through rigid body kinematics:

[math]\displaystyle{ \{\acc{J}{}\}=\{\acc{C}{}\}+\{\Omegavec\}\times(\{\Omegavec\}\times\{\CJvec\})+\{\Alfavec\}\times\{\CJvec\} }[/math]

[math]\displaystyle{ \{\acc{J}{}\}=\vector{-r\dot\psi_0\dot\varphi_0}{0}{0}+\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{0}{-r}\right)+\vector{0}{-\dot\psi_0\dot\varphi_0}{0}\times\vector{0}{0}{-r}=\vector{-r\dot\psi_0\dot\varphi_0}{0}{0}+\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{-r\dot\varphi_0}{0}+\vector{r\dot\psi_0\dot\varphi_0}{0}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \{\acc{J}{}\}=\vector{r\dot\psi_0\dot\varphi_0}{0}{r\dot\varphi^2_0} }[/math]

---

---

C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)

L’equació de distribució de velocitats d’un sòlid rígid (que es pot aplicar en configuracions particulars o genèriques) sembla dir que tots els punts tenen velocitat diferent quan el sòlid gira:

[math]\displaystyle{ \vel{P}{}=\vel{Q}{}+\omeg{S}{}\times \vecbf{QP} \: ; \omeg{S}{} \neq \vec{0} }[/math]

Tot i així, hi ha aspectes comuns entre les velocitats, tal com s’ha comentat a la introducció (Figura C4.2), per causa de la constància de les distàncies entre punts. Per exemple, aquesta constància implica la igualtat de les components de velocitat en la direcció de la recta que uneix les parelles de punts (propietat d’equiprojectivitat). Ara bé, aquesta component es diferent en principi per a diferents parelles de punts (Figura C4.5), i el seu valor pot canviar instant rere instant. 260px|thumb|center|link=

Figura C4.5 Propietat d’equiprojectivitat de la distribució de velocitats en un sòlid rígid

Aquesta secció explora altres similituds instantànies entre velocitats de diferents punts d’un sòlid a partir de l’equació de distribució de velocitats.

Comencem per preguntar-nos si és possible que punts del mateix sòlid tinguin la mateixa velocitat (no només una component) quan el sòlid gira: [math]\displaystyle{ \vel{P}{}=\vel{Q}{} }[/math] encara que [math]\displaystyle{ \omeg{S}{} \neq \vecbf{0} }[/math] ? Perquè sigui així, cal que [math]\displaystyle{ \omeg{S}{} \times \vecbf{QP} = \vec{0} }[/math] , i aquest és el cas quan [math]\displaystyle{ \omeg{S}{} }[/math] i [math]\displaystyle{ \vecbf{QP} }[/math] són paral·lels. Per tant, tots els punts situats en una recta paral·lela a [math]\displaystyle{ \omeg{S}{} }[/math] tenen la mateixa velocitat instantàniament. No es tracta de la igualtat de velocitats d’una parella de punts sinó d’infinits punts (Figura C4.6). Cal tenir present, però, que a cada recta paral·lela a [math]\displaystyle{ \omeg{S}{} }[/math] li correspon una velocitat diferent. 300px|thumb|center|link=

Figura C4.6 Igualtat de velocitats de punts situats en rectes paral·leles a [math]\displaystyle{ \omeg{S}{} }[/math]

La direcció de [math]\displaystyle{ \omeg{S}{} }[/math] , doncs, sembla tenir una importància singular quan es tracta de descobrir la geometria de la distribució de velocitats. Per això és interessant projectar l’equació de velocitats en aquesta direcció. En general, la velocitat de qualsevol punt es pot descompondre en una component paral·lela a [math]\displaystyle{ \omeg{S}{} }[/math] i una de perpendicular a [math]\displaystyle{ \omeg{S}{} }[/math]: ,[math]\displaystyle{ \vel{P}{} = \left.\vel{P}{}\right]_{\parallel\omeg{S}{}}+\left.\vel{P}{}\right]_{\perp\omeg{S}{}} }[/math] i [math]\displaystyle{ \vel{Q}{} = \left.\vel{Q}{}\right]_{\parallel\omeg{S}{}}+\left.\vel{Q}{}\right]_{\perp\omeg{S}{}} }[/math] . Si introduïm aquesta descomposició a l’equació de velocitats:

[math]\displaystyle{ \left.\vel{P}{}\right]_{\parallel\omeg{S}{}}+\left.\vel{P}{}\right]_{\perp\omeg{S}{}}=\left.\vel{Q}{}\right]_{\parallel\omeg{S}{}}+\left.\vel{Q}{}\right]_{\perp\omeg{S}{}}+\omeg{S}{}\times \vecbf{QP}\implies \begin{equation} \left\{\begin{array}{@{}l@{}} \left.\vel{P}{}\right]_{\parallel\omeg{S}{}}=\left.\vel{Q}{}\right]_{\parallel\omeg{S}{}}\\ \left.\vel{P}{}\right]_{\perp\omeg{S}{}}=\left.\vel{Q}{} \right]_{\perp\omeg{S}{}}+\omeg{S}{}\times \vecbf{QP} \end{array} \right.\,. \end{equation} }[/math]

Aquesta equació demostra que la projecció de la velocitat de tots els punts del sòlid en la direcció de [math]\displaystyle{ \omeg{S}{} }[/math] és la mateixa instantàniament (Figura C4.7), encara que aquest valor pot canviar al llarg del temps:[math]\displaystyle{ \left.\vel{P}{}\right]_{\parallel\omeg{S}{}}=\left.\vel{Q}{}\right]_{\parallel\omeg{S}{}}=\textrm{v}_\Omega }[/math] . És una situació ben diferent de la que s’ha mostrat a la Figura C4.5. 300px|thumb|center|link=

Figura C4.7 Igualtat de la component de la velocitat de tots els punts en la direcció de [math]\displaystyle{ \omeg{S}{} }[/math]

La component de les velocitats perpendicular a [math]\displaystyle{ \omeg{S}{} }[/math] és en principi diferent per causa del terme [math]\displaystyle{ \omeg{S}{}\times \vecbf{QP} }[/math] . El mòdul de la velocitat d’un punt es pot calcular com a

[math]\displaystyle{ \abs{\vel{P}{}}= \sqrt{ \left( \left. \vel{P}{} \right]_{\parallel\omeg{S}{}} \right)^2 + \left( \left. \vel{P}{} \right]_{\perp\omeg{S}{}} \right)^2}= \sqrt{\textrm{v}^2_\Omega+\left(\left.\vel{P}{}\right]_{\perp\omeg{S}{}}\right)^2}\ge \textrm{v}_\Omega }[/math]

Aquesta equació proporciona una interpretació de la velocitat [math]\displaystyle{ \textrm{v}_\Omega }[/math]: és el valor mínim de velocitat que poden tenir els punts del sòlid. Cal no perdre de vista, però, que aquest valor pot canviar a cada instant, doncs l’anàlisi que s’està fent és instantània.

Si trobem un punt [math]\displaystyle{ \Is }[/math] que té exactament aquest valor de velocitat [math]\displaystyle{ (|\vel{I}{}|=\textrm{v}_\Omega) }[/math] i invoquem la propietat representada a la Figura C4.7, veurem de seguida que tots els punts la recta paral·lela a [math]\displaystyle{ \omeg{S}{} }[/math] que passa per [math]\displaystyle{ \Is }[/math] tenen velocitat mínima. Aquesta recta s’anomena Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL), i la velocitat [math]\displaystyle{ \vs_\Omega }[/math], que té la direcció de l’EIRL, s’anomena velocitat de lliscament al llarg de l’EIRL. A partir d’ara, la [math]\displaystyle{ \vs_\Omega }[/math] s’escriurà com a [math]\displaystyle{ \vs_\textrm{EI} }[/math].

Tant l’ERIL com la [math]\displaystyle{ \vs_\textrm{EI} }[/math] són conceptes associats a velocitats, i per tant depenen de la referència R des d’on s’avalua el moviment. Estrictament, doncs, haurien de portar un subíndex R indicatiu d’aquesta referència. Si la referència queda prou clara en la descripció del problema, es pot ometre. La velocitat de qualsevol punt es pot calcular molt ràpidament a partir de l’EIRL (Figura C4.8). 550px|thumb|center|link=

Figura C4.8 Càlcul de la velocitat d’un punt a partir de l’EIRL

El terme [math]\displaystyle{ \vs_\textrm{EI} }[/math] s’anomena velocitat de lliscament al llarg de l’EIRL. El terme [math]\displaystyle{ \omeg{S}{}\times\vecbf{IP} }[/math] s’anomena velocitat de rotació al voltant de l’EIRL, i el seu valor es el producte de la distància de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] fins a l’EIRL per la velocitat angular [math]\displaystyle{ \omeg{S}{} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \vel{P}{}=\vel{I}{}+\omeg{S}{}\times\vecbf{IP}=\vvec_\textrm{EI}+\overline{\textbf{v}}_{\textrm{rotació}}(\Ps) }[/math]

✏️ Exemple C4-3.1: cargol

---

100px|thumb|left|link=

En el moviment d’un cargol respecte de la referència de la rosca femella (R), l’EIRL és molt fàcil d’identificar perquè [math]\displaystyle{ \omeg{cargol}{R} }[/math] és immediata: té sempre la direcció de l’eix del cargol (de fet, en aquest cas és un eix permanent de rotació). La velocitat dels punts de l’EIRL [math]\displaystyle{ \vs_\textrm{EI} }[/math] és diferent de zero, i en aquest cas és proporcional a la [math]\displaystyle{ \omeg{cargol}{R} }[/math] a través del pas de rosca '[math]\displaystyle{ \textrm{e} }[/math]'. Si '[math]\displaystyle{ \textrm{e} }[/math]' es dona en (mm/volta), cal transformar els unitats al sistema internacional: [math]\displaystyle{ \textrm{e}\left(\frac{mm}{volta}\right)\cdot \left(\frac{1m}{10^3mm}\right)\cdot \left(\frac{1 volta}{2\pi rad}\right)=\frac{\textrm{e}}{10^3\cdot 2\pi}(\frac{m}{rad}) }[/math] [math]\displaystyle{ \vs\left(\frac{m}{s}\right)=\frac{\textrm{e}}{10^3\cdot 2\pi}\left(\frac{m}{rad}\right)\cdot\omeg{cargol}{R}\left(\frac{rad}{s}\right)=\frac{\textrm{e}}{10^3\cdot 2\pi}\cdot\omeg{cargol}{R}\left(\frac{m}{s}\right) }[/math] La velocitat del punt [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] és: [math]\displaystyle{ \vel{P}{R}=(\uparrow\vs_\textrm{EI})+(\otimes\;\; r\omeg{cargol}{R}) }[/math]

---

Video C4.1 Exemples de la geometria de la distribució de velocitats en un sòlid rígid

✏️ Exemple C4-3.2: bola sobre pista circular

---

250px|thumb|left|link=

La bola es mou mantenint contacte sense lliscar amb una pista circular fixa a terra (T). La seva rotació no és senzilla: es tracta d’un moviment 3D.

El fet que la bola es mou en una zona reduïda de l’espai per causa de la guia, l’eix de revolució de la qual és l’eix vertical [math]\displaystyle{ \vecbf{OO'} }[/math], pot fer pensar erròniament que la seva rotació és al voltant d’aquest eix, i que la seva velocitat angular és vertical.

Si fos el cas, el moviment de la bola seria pla, i tots els seus punts descriurien trajectòries circulars amb centre de curvatura sobre l’eix [math]\displaystyle{ \vecbf{OO'} }[/math]. Això contradiu la hipòtesi de no lliscament entre bola i terra: els punts [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] lliscarien sobre terra.

L’únic punt que fa una trajectòria circular és el centre [math]\displaystyle{ \Cbf }[/math]: per causa del contacte amb la guia, la seva distància al terra i a l’eix [math]\displaystyle{ \vecbf{OO'} }[/math] és constant. A aquest moviment se li pot associar una velocitat angular vertical [math]\displaystyle{ \vec{\dot\psi} }[/math] : correspon a la rotació del pla vertical que conté el punt [math]\displaystyle{ \Cbf }[/math]. Aquest punt, per tant, pertany a dos sòlids diferents: aquest pla vertical i la bola. Com a punt del pla, la seva velocitat es pot calcular a partir de [math]\displaystyle{ \omeg{pla}{T} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \vel{C}{}=\vel{O}{}+\omeg{pla}{}\times\vecbf{OC}=\vec{\dot\psi}\times\vecbf{OC} }[/math]

Però recordem: [math]\displaystyle{ \omeg{bola}{T}\neq \vec{\dot\psi} }[/math]. Tot i així, ambdues velocitats estan relacionades: si aturem la rotació del pla [math]\displaystyle{ \vec{\dot\psi}=\vec{0} }[/math] i es manté la condició de no lliscar a [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \Qs }[/math], la bola queda aturada [math]\displaystyle{ (\omeg{bola}{T}=\vec{0}) }[/math].

En aquesta situació, l’EIRL és útil per descobrir la [math]\displaystyle{ \omeg{bola}{T} }[/math]. Si no hi ha lliscament a [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \Qs }[/math], la seva velocitat instantània respecte del terra és zero: . En no existir un valor de velocitat inferior a zero, [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] tenen velocitat mínima,[math]\displaystyle{ \vs_\textrm{EI}=\vec{0} }[/math] , i l’EIRL és la recta radial que passa per [math]\displaystyle{ \Ps }[/math], [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] i O’. La velocitat de [math]\displaystyle{ \Cbf }[/math] es pot calcular com a punt de la bola: tota prové de la rotació al voltant de l’EIRL de la bola. EL resultat ha de ser el mateix que el que s’ha obtingut aplicant cinemàtica del pla giratori.

525px|thumb|center|link=

Per tant: [math]\displaystyle{ h\Omega=R\dot\psi\implies\Omega=\frac{R}{h}\dot\psi }[/math]

Tots els punts de la bola que es troben sobre la recta [math]\displaystyle{ \vecbf{CO} }[/math] tenen la mateixa velocitat que [math]\displaystyle{ \Cbf }[/math] (la seva distància a l’EIRL és també h). La velocitat del punt de la bola que es troba a la posició més alta té la direcció i el sentit de [math]\displaystyle{ \vel{C}{} }[/math] , i valor [math]\displaystyle{ (h+r)\Omega=\frac{R}{h}(h+r)\dot\psi }[/math] .

---

Video C4.2 Moviment d'una bola sobre una pista circular

✏️ Exemple C4-3.3: roda sobre plataforma giratòria

---

175px|thumb|left|link=

La roda manté contacte sense lliscar amb la plataforma, que gira respecte del terra amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \omega }[/math]. L’eix [math]\displaystyle{ \Os\Cbf }[/math] de la roda gira amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \omega }[/math] impulsat per un motor. La velocitat angular de la roda no és ni la de l’eix ni la de la plataforma, però està condicionada per les dues.

El punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] manté constant la seva distància a tots els punts de la roda. Per tant, pertany a la roda. A més, ja que la seva velocitat és zero (permanentment), l’EIRL de la roda ha de passar per [math]\displaystyle{ \Os }[/math], i [math]\displaystyle{ \vvec_\textrm{EI}=\vec{0} }[/math]. Ara cal trobar un altre punt de velocitat nul·la per determinar l’EIRL amb precisió.

Els punts [math]\displaystyle{ \Js_\textrm{plat} }[/math] i [math]\displaystyle{ \Js_\textrm{roda} }[/math] de la plataforma i de la roda que es troben instantàniament en contacte tenen la mateixa velocitat si no hi ha lliscament (secció C2.8). Per altra banda, [math]\displaystyle{ \Cbf }[/math] pertany a l’eix [math]\displaystyle{ \Os\Cbf }[/math], i la seva velocitat es pot calcular a partir de la rotació de l’eix: [math]\displaystyle{ \vvec_\textrm{T}(\Cbf_\textrm{eix})=\otimes\;\Rs\omega }[/math] . Finalment, ja que [math]\displaystyle{ \Cbf }[/math] i [math]\displaystyle{ \Js }[/math] tenen la mateixa celeritat però signe oposat, el punt mig entre els dos [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] té velocitat nul·la:

[math]\displaystyle{ \begin{equation} \left.\begin{array}{lr} \vvec_\textrm{T}(\Cbf_\textrm{eix})=\otimes\; \Rs \omega \\ \vvec_\textrm{T}(\Cbf_\textrm{roda})=\otimes\; \textrm{s}\Omega=\otimes\;(\Rs sin\beta_0)\Omega \\ sin\beta_0=(\rs/2)\left/\sqrt{\Rs^2+(\rs/2)^2}\right. \end{array} \right\} \end{equation}\implies \Omega=\frac{\omega}{sin\beta_0}=\omega\sqrt{\left(\frac{\Rs}{textrm{s}/2}\right)^2+1} }[/math]

400px|thumb|center|link=

---

Els exemples precedents tracten de sòlids amb un únic grau de llibertat. L’EIRL no està unívocament definit quan un sòlid té més d’1 GL de rotació, i en aquest cas no sol tenir massa interès.

---

---

C4.4 Axoide fix i axoide mòbil

Els exemples anteriors (exemple C4-3.1, exemple C4-3.2) mostren la utilitat de l’EIRL per determinar la velocitat angular d’un sòlid [math]\displaystyle{ \omeg{S}{T} }[/math]. Qualsevol velocitat angular s’hauria de poder descriure com a superposició de rotacions d’Euler, però no sempre és immediat. Per al cas d’objectes de simetria esfèrica (com la bola de l’exemple C4-3.2), la tria del tercer eix (fix al sòlid) no és evident: l’excés de simetria fa que no hi hagi direccions singulars fixes al sòlid fàcils de recordar. Els conceptes d’axoide fix i axoide mòbil són de gran ajuda quan es tracta de fer aquesta descripció. Els axoides són superfícies reglades (generades per una successió de rectes) que contenen els punts pels que en algun moment passa l’EIRL. Quan es tracta de rectes de punts de la referència, es parla d’axoide fix. Quan són rectes de punts del sòlid, es parla d’axoide mòbil. L’un i l’altre són fixos a la referència i el sòlid, respectivament.

✏️ Exemple C4-4.1: bola sobre pista circular

---

thumb|left|350px|link=

Prenem el sistema del l’exemple C4-3.2, i dibuixem el conjunt de rectes de punts de la referència T pels que passa l’EIRL al llarg del temps. Totes passen totes per [math]\displaystyle{ \Os' }[/math], i cobreixen un pla horitzontal. Es pot dir, doncs, que l’axoide fix és un pla.

Ara bé, aquesta descripció no reté una informació essencial: el pla s’ha generat a partir de rectes que es tallen totes en un punt. Per tal d’incorporar aquesta particularitat, l’axoide fix es passa a descriure com a una superfície cònica, de vèrtex [math]\displaystyle{ \Os' }[/math], eix vertical i semiobertura [math]\displaystyle{ 90\deg }[/math].

Per visualitzar l’axoide mòbil, és útil pensar en una manera de marcar l’EIRL a la bola. Per exemple, podem imaginar que, instant rere instant, la perforem entre els dos punts de contacte amb la pista ([math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]). Aquesta operació deixarà un conjunt de forats rectes a la bola. La superfície que defineixen és l’axoide mòbil.

Si es té present que els dos axoides comparteixen a cada instant una recta (o, el que és el mateix, que el mòbil rodola sense lliscar al damunt del fix), es fa evident que l’axoide mòbil també ha de ser una superfície cònica de vèrtex [math]\displaystyle{ \Os' }[/math], eix [math]\displaystyle{ \Cbf\Os' }[/math] i semiobertura [math]\displaystyle{ \beta_0=atan(\textrm{h}/\Rs) }[/math].

Ara es poden substituir la pista i la bola pels dos axoides: la cinemàtica del problema és exactament la mateixa. Però ja no tenim la simetria esfèrica de la bola (que dificulta la tria del tercer eix d’Euler). L’axoide mòbil es pot veure com a una baldufa el perfil de la qual ja ha entrat en contacte amb terra (per tant, la seva inclinació [math]\displaystyle{ \theta }[/math] ja no pot variar: [math]\displaystyle{ \dot\theta=0 }[/math]) i no llisca sobre el terra (per tant, la precessió i la rotació pròpia són proporcionals: \dot\varphi\prop\dot\psi). Aquesta visió del problema fa entenedora la velocitat angular horitzontal: és la suma de la primera i la tercera rotació d’Euler.

thumb|center|450px|link=

[math]\displaystyle{ \omeg{bola}{T}\equiv \omeg{}{}=\vec{\dot\psi}+\vec{\dot\varphi},\textrm{amb} \begin{equation}\left\{\begin{array}\dot\varphi=\frac{\Omega}{cos\beta_0} \\ \dot\psi = \dot\varphi sin\beta_0=\Omega tan\beta_0\end{array}\right.\end{equation} }[/math]

---

Video C4.3 Axoides d'una bola sobre una pista circular

Video C4.4 Control d'una bola sobre una pista circular

✏️ Exemple C4-4.2: roda sobre plataforma giratòria

---

Havent vist que l’EIRL de la roda de l’exemple C4-3.3 respecte al terra (T) és la recta [math]\displaystyle{ \vecbf{OQ} }[/math], els axoides es fan molt evidents:

• axoide fix: superfície cònica de vèrtex [math]\displaystyle{ \Os }[/math], eix vertical i semiobertura [math]\displaystyle{ \left(\frac{\pi}{2}-\beta_0\right) }[/math] ,
• axoide mòbil: superfície cònica de vèrtex [math]\displaystyle{ \Os }[/math], eix horitzontal i semiobertura [math]\displaystyle{ \beta_0 }[/math] .

El punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math]manté constant la seva distància a tots els punts de la roda. Per tant, pertany a la roda. A més, ja que la seva velocitat és zero (permanentment), l’EIRL de la roda ha de passar per [math]\displaystyle{ \Os }[/math], i [math]\displaystyle{ \vvec_\textrm{EI}=\vec{0} }[/math] . Ara cal trobar un altre punt de velocitat nul·la per determinar l’EIRL amb precisió.

500px|thumb|center|link=

Novament, el problema és equivalent al d’una baldufa que rodola sense lliscar sobre un terra cònic. Això permet descriure la velocitat angular com a superposició d’una precessió i una rotació pròpia (la suma de les quals ha de tenir la direcció de l’EIRL):

[math]\displaystyle{ \omeg{roda}{T}\equiv \Omegavec=\vec{\dot\psi}+\vec{\dot\varphi},\textrm{amb} \begin{equation}\left\{\begin{array} \dot{\varphi}=\Omega cos\beta_0=\frac{\Omega\Rs}{\sqrt{ \Rs^2+(\rs/2)^2}} \\ \dot\psi = \Omega sin\beta_0=\frac{\Omega\rs}{\sqrt{\Rs^2+(\rs/2)^2}}\end{array}\right.\end{equation} }[/math]

Si l’anàlisi cinemàtica es fa des de la referència de la plataforma, l’EIRL passa per [math]\displaystyle{ \Os }[/math] i per [math]\displaystyle{ \Js }[/math], i els axoides passen a ser:

• axoide fix: superfície cònica de vèrtex [math]\displaystyle{ \Os }[/math], eix vertical i semiobertura [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2}-\gamma_0 }[/math] ,
• axoide mòbil: fix: superfície cònica de vèrtex [math]\displaystyle{ \Os }[/math], eix horitzontal i semiobertura [math]\displaystyle{ \gamma_0 }[/math], amb [math]\displaystyle{ \gamma_0=atan(\rs/Rs) }[/math] .

---

---

C4.E Exercicis resolts

🔎 Exercici C4-E.1

---

EN CONSTRUCCIÓ

Resolució ➕

EN CONSTRUCCIÓ

🔎 Exercici C4-E.2

---

EN CONSTRUCCIÓ

Resolució ➕

EN CONSTRUCCIÓ

🔎 Exercici C4-E.3

---

EN CONSTRUCCIÓ

Resolució ➕

EN CONSTRUCCIÓ

© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats

---

---

<<< C3. Composició de moviments

C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid >>>