C3. Composition of movements

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\OQrelvec}{\vec{\Os_{\textrm{REL}}\Qs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\Orel}{\Os_{\textrm{REL}}} \newcommand{\omegarelab}{\vec{\Omega}^{\textrm{REL}}_{\textrm{AB}}} \newcommand{\velQab}{\vel{Q}{AB}} \newcommand{\velQrel}{\vel{Q}{REL}} \newcommand{\velQar}{\vel{Q}{ar}} }[/math]

Very often, the motion of a point [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] looks complicated relative to a reference frame R (it is neither circular nor rectilinear) but it can be guessed when that motion is simple (rectilinear, circular or zero) relative to another reference frame R’, and that of R’ relative to R is also simple (for instance, it is a translational motion or a simple rotation). Combining the motion of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to R’ and that of R’ relative to R to obtain the motion of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to R is known as composition of movements (Figure C3.1).

File:C3-1-cat-color.png

Figure C3.1 Combination of two simple uniform motions to describe a complicated one

In the example in Figure C3.2, the composition of movements can be applied to determine the motion of particle [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to the vehicle (R’), from the motion of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to the ground (R), which is a simple one.

File:C3-2-cat-color.png

Figure C3.2 The motion of Q relative to R’ (reference frame associated with the vehicle chassis) can be obtained from the motion relative to R.

Video C3.1 Visualització de la trajectòria d'un mateix punt en dues referències

Traditionally, the reference frames R and R’ implied in the composition are called AB (absolute) and REL (relative). We will use these names from now on.

The relationship between [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} }[/math] and [math]\displaystyle{ \vel{Q}{REL} }[/math] , and that between [math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB} }[/math] and [math]\displaystyle{ \acc{Q}{REL} }[/math] presented in this unit are always valid, regardless the motions of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to the frames REL or AB and the motion between AB and REL are simple or not. When they are simple, the composition of movements is an algebraic alternative (it does not imply time derivatives) to calculate velocities and accelerations (Figure C3.3). When they are not simple, it may be advisable to use other methods (as the time derivative).

File:C3-3-cat-color.png

Figure C3.3 General formulation of the composition of movements. The names of the reference frames may be swapped: the AB frame may correspond to that where the motion of Q is simple, and the REL frame, that where it is complicated.

---

---

C3.1 Composition of velocities

At every time instant, the equation relating the velocity of a point [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] in two different reference frames AB and REL is:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} = \vel{Q}{REL}+\vel{Q}{ar} }[/math]

The second term in the right hand side is the transportation velocity, and it corresponds to the velocity of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] at that precise time instant relative to AB if it were fixed to REL (at the same position it has at that time instant):

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar} = \overline{\textbf{v}}_{\textrm{AB}}(\Qs \in \textrm{REL}) }[/math]

💭 Proof ➕

The velocities [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} }[/math] and [math]\displaystyle{ \vel{Q}{REL} }[/math] can be calculated as time derivatives of the corresponding position vectors:

File:C3-Demo1-1-cat,esp.png

[math]\displaystyle{ \newcommand{\punt}[2]{\textbf{#1}_\textrm{#2}} \vel{Q}{AB} = \dert{\vec{\punt{O}{AB}\punt{Q}{ }}}{AB} = \dert{\vec{\punt{O}{AB}\punt{O}{REL}}}{AB} + \dert{\OQrelvec}{AB} = \vel{$\punt{O}{REL}$}{AB} +\dert{\OQrelvec}{AB} }[/math]

The last term in the equation has no physical interpretation: it is the time derivative of a REL position (as its origin, [math]\displaystyle{ \punt{O}{REL} }[/math] is a point belonging to REL), but the derivative is not performed in REL but in AB. Using the expression relating the time derivative of a same vector in two different reference frames:

[math]\displaystyle{ \dert{\OQrelvec}{AB} = \dert{\OQrelvec}{REL} + \omegarelab\times\OQrelvec = \vel{Q}{REL}+\omegarelab \times \OQrelvec }[/math]

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} = \vel{Q}{REL}+\vvec_\textrm{AB}(\Orel) + \omegarelab \times \OQrelvec }[/math]

Though the last equation is correct (it has been proved!), it contains two terms with [math]\displaystyle{ \Orel }[/math], a point not univocally defined (it may be any point fixed in REL). That drawback can be overcome if we introduce the transportation motion: [math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar} = \vvec_\textrm{AB}(\Qs \in \textrm{REL}) }[/math]. If we imagine that [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] is a point fixed in REL, its velocity relative to AB is:

[math]\displaystyle{ \vvec_\textrm{AB}(\Qs \in \textrm{REL}) = \vvec_\textrm{REL}(\Qs \in \textrm{REL}) + \vvec_\textrm{AB}(\Orel) + \omegarelab \times \OQrelvec = \vvec_\textrm{AB}(\Orel) + \omegarelab \times \OQrelvec }[/math]

Finally, [math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB}=\vel{Q}{REL}+\vel{Q}{ar} }[/math]

The equation of composition of velocities implies an instantaneous operation between vectors: [math]\displaystyle{ \velQab }[/math] (or [math]\displaystyle{ \velQrel }[/math]) eat time t is obtained from two vectors, [math]\displaystyle{ \velQrel }[/math] (or [math]\displaystyle{ \velQab }[/math]) and [math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar} }[/math] at the same time t. That mathematical operation is simpler than the time derivative (which is not instantaneous, as it calls for the position vector at two close time instants to obtain the velocity). As will be seen in example C3-1.1, time t may correspond to a particular configuration or to a generic configuration.

In section C3.3 we will comment farther on the differences between the composition of movements and the time derivative of vectors to calculate velocities and accelerations.

✏️ EXAMPLE C3-1.1: rotating ring

---

The circular guide (REL) moves with a simple rotation relative to the ground (AB) , with value [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] . The particle [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] moves in the guide.

The time instant shown in the figure is generic as the [math]\displaystyle{ \theta }[/math] coordinate does not have a precise numerical value. The velocity of point [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to the ground can be obtained in a straightforward way through a composition:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB}=\vel{Q}{REL}+\vel{Q}{ar} }[/math]

The motion [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to REL is circular with radius r, and the velocity is tangent to the guide. If [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] were fixed to the guide, its motion relative to the ground (transportation motion) would be circular, with radius [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} \equiv \rho }[/math] and center [math]\displaystyle{ \Os }[/math], and the velocity would be perpendicular to [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] with value [math]\displaystyle{ \rho\dot\psi }[/math] . As the [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] direction (hence the direction perpendicular to [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math])do not correspond to the directions suggested by the system (as that of the ring handle, or the [math]\displaystyle{ \vecbf{CQ} }[/math] direction), it is better to describe the transportation velocity as the addition of two vectors:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar} = \vvec_\textrm{AB}(\Qs \in \textrm{REL}) = \vec{\dot\psi} \times \OQvec = \vec{\dot\psi} \times \vecbf{OC} + \vec{\dot\psi} \times \vecbf{CQ} }[/math]

File:C3-Ex1-1-2-cat,esp.png

The result obtained for [math]\displaystyle{ \velQab }[/math] is generic, as [math]\displaystyle{ \theta }[/math] may have any value (thus, it is a result valid for all times). For that reason, the acceleration of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to the ground ([math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB} }[/math]) could be obtained as the time derivative of the [math]\displaystyle{ \velQab }[/math].

In this system, the guide drags physically the particle [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]. In general, though, when using the composition of movements, this is not always the case (see example C3-1.3 and example C3-1.4).

Animació interactiva C3.1 Anella giratòria de l'exemple C3-1.1 amb R=2r, AB=Terra i REL=Guia [© GeoGebra]

✏️ EXAMPLE C3-1.2: wheel on a rotating support

---

The support (REL) moves with a simple rotation relative to the ground (AB) , about the vertical axis and with value [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] . The wheel is linked to the support through a revolute joint, and rotates with angular velocity[math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] relative to the support.

At the time instant shown in the figure, the velocity of point [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to the ground is straightforward through composition:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} = \velQrel + \vel{Q}{ar} }[/math]

The motion of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] with respect to REL is circular with radius R at all times. At the time instant shown in the figure, [math]\displaystyle{ \velQrel }[/math] is vertical pointing downwards and with value [math]\displaystyle{ \Rs\omega_0 }[/math].

The transportation motion, at that particular time instant, is zero: if [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] were fixed to the support, as it is located precisely on the rotation axis, its instantaneous velocity would be zero [math]\displaystyle{ (\vel{Q}{ar} = \vec{0}) }[/math] . Hence:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{AB} = \velQrel + \vel{Q}{ar}=\velQrel = \downarrow \Rs\omega_0 }[/math]

If the [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] location were diametrically opposite to the one shown in the figure, the transportation motion would be circular on a horizontal plane, with radius 2R and center of curvature on the rotation axis pf the support.

The configuration considered in this example is not generic, as it corresponds just to the time instant when [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] is located on the support rotation axis. For that reason, it does not contain the information along time needed to calculate [math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB} }[/math] as time derivative of the velocity [math]\displaystyle{ \velQab }[/math] that has been obtained.

✏️ EXAMPLE C3-1.3: vehicles

---

Points [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] and [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] of vehicles VP and VQ, respectively, describe circular trajectories relative to the ground (R), with the same radius r but different center of curvature. Their speed is [math]\displaystyle{ \vs_0 }[/math].

For the time instant shown in the figure, the velocity of point [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to vehicle VP is straightforward through composition:

Si [math]\displaystyle{ \textrm{AB} = \Rs }[/math] i [math]\displaystyle{ \textrm{REL} = \textrm{VP} }[/math]

[math]\displaystyle{ \velQrel=\velQab-\vel{Q}{ar} = (\rightarrow\vs_0)-\vel{Q}{ar} }[/math]

Vehicle VP moves with a simple rotation relative to the ground. From a kinematical point of view, it is totally equivalent to a rotating platform with any radius with center [math]\displaystyle{ \Os }[/math] fixed to the ground.

If [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] were fixed to the platform, its motion relative to the ground would be circular, with center [math]\displaystyle{ \Os }[/math] and speed twice that of [math]\displaystyle{ \Ps }[/math], as it is at a distance 2r from [math]\displaystyle{ \Os }[/math]: [math]\displaystyle{ \vel{Q}{ar}=(\leftarrow 2\vs_0) }[/math].

Finally:

[math]\displaystyle{ \velQrel= (\rightarrow\vs_0)-(\leftarrow 2\vs_0)=\rightarrow 3\vs_0 }[/math]

In this case, the platform (vehicle VQ) does not drag physically point [math]\displaystyle{ \Qs }[/math].

✏️ EXAMPLE C3-1.4: ferris wheel

---

The ring of the ferris wheel rotates with angular velocity [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] relative to the ground (R). The cabin is linked to the ring through a revolute joint. If we neglect the small oscillation allowed by the joint, the cabin does not rotate relative to the ground (example C2-6.4).

The velocity of point [math]\displaystyle{ \Qs }[/math], fixed to the ground, relative to the cabin, is:

Revisar versio catala

If [math]\displaystyle{ \textrm{AB} = \textrm{terra} }[/math] [math]\displaystyle{ (\Rs }[/math]) i [math]\displaystyle{ \textrm{REL} = \textrm{cabina} }[/math]

[math]\displaystyle{ \velQrel=\velQab-\velQar=-\velQar }[/math]

Si imaginem que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] were fixed to the cabin, its motion relative to the ground would be identical to that of [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] because the cabin does not rotate relative to the ground: circular, with radius r and value [math]\displaystyle{ \rs\Omega_0 }[/math]. What is different is the location of the center of curvature: for the [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] motion, it is point [math]\displaystyle{ \Os }[/math]; for the [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] transportation motion, it is at a distance R from [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] to the right. Hence:

[math]\displaystyle{ \velQrel=-\velQar=-(\downarrow\rs\Omega_0)=\uparrow\rs\Omega_0 }[/math]

File:C3-Ex1-4-2-cat,esp.png

---

---

C3.2 Composició d'acceleracions

L’equació que relaciona l’acceleració d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en dues referències AB i REL diferents és:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\acc{Q}{REL}+\acc{Q}{ar}+\acc{Q}{Cor} }[/math]

on [math]\displaystyle{ \acc{Q}{ar} }[/math] és l’acceleració d’arrossegament i [math]\displaystyle{ \acc{Q}{Cor} }[/math] és l’acceleració de Coriolis.

L’acceleració d’arrossegament correspon a l’acceleració que tindria [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] en aquest instant si fos un punt fix a REL (a la posició que té en aquest instant) i s’avalués la seva acceleració des de la referència AB:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{ar}=\vecbf{a}_\textrm{AB}(\Qs\in \textrm{REL}) }[/math]

L’acceleració de Coriolis té la següent expressió és no té una interpretació física senzilla:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{Cor}=2\velang{REL}{AB}\times\vel{Q}{REL} }[/math]

La velocitat [math]\displaystyle{ \velang{REL}{AB} }[/math] es pot anomenar velocitat angular d’arrossegament [math]\displaystyle{ (\velang{REL}{AB}\equiv\velang{ }{ar}) }[/math].

💭 Demostració ➕

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\dert{\vel{Q}{AB}}{AB}=\dert{\vel{Q}{REL}}{AB}+\dert{\vel{Q}{ar}}{AB}=\dert{\vel{Q}{REL}}{AB} + \dert{\vel{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB}}{AB}+\dert{(\velang{REL}{AB}\times\OQrelvec)}{AB} }[/math]

El terme [math]\displaystyle{ \dert{\vel{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB}}{AB} }[/math] s’identifica immediatament com a [math]\displaystyle{ \acc{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB} }[/math]. Fent servir la relació que hi ha entre la derivada temporal de un mateix vector en dues referències diferents, els altres termes es poden reescriure com a:

[math]\displaystyle{ \dert{\vel{Q}{REL}}{AB}=\dert{\vel{Q}{REL}}{REL}+\velang{REL}{AB}\times\vel{Q}{REL}=\acc{Q}{REL}+\velang{ }{ar}\times\vel{Q}{REL}, }[/math] [math]\displaystyle{ \begin{align} \dert{(\velang{REL}{AB}\times\OQrelvec)}{AB} & =\dert{(\velang{}{ar}\times\OQrelvec)}{AB}= \dert{\velang{}{ar}}{AB}\times\OQrelvec+\velang{ }{ar}\times\dert{\OQrelvec}{AB}= \\ & = \accang{}{ar}\times\OQrelvec+\velang{}{ar}\times\left(\dert{\OQrelvec}{REL}+\velang{}{ar}\times\OQrelvec\right)= \\ & = \accang{}{ar}\times\OQrelvec+\velang{}{ar}\times\vel{Q}{REL}+\velang{}{ar}\times\left(\velang{}{ar}\times\OQrelvec\right) \end{align}\\ }[/math]

Agrupant tots els termes i reordenant-los, s’obté:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\acc{Q}{REL}+\acc{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB}+\velang{}{ar}\times\left(\velang{}{ar}\times\OQrelvec\right)+\accang{}{ar}\times\OQrelvec+2\velang{}{ar}\times\vel{Q}{REL}. }[/math]

Els tres termes que contenen el punt [math]\displaystyle{ \Orel }[/math] corresponen a l’acceleració d’arrossegament de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math]: si imaginem que [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] pertany a REL, [math]\displaystyle{ \overline{\textbf{v}}_{\textrm{REL}}(\Qs \in \textrm{REL})=\vec{0} }[/math], [math]\displaystyle{ \overline{\textbf{a}}_{\textrm{REL}}(\Qs \in \textrm{REL})=\vec{0} }[/math]. Introduint això a l’expressió anterior:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{ar}=\overline{\textbf{a}}_{\textrm{AB}}(\Qs \in \textrm{REL})=\acc{$\textbf{O}_{\textrm{REL}}$}{AB}+\velang{}{ar}\times\left(\velang{}{ar}\times\OQrelvec\right)+\accang{}{ar}\times\OQrelvec. }[/math]

Finalment, [math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\acc{Q}{REL}+\acc{Q}{ar}+2\velang{}{ar}\times\vel{Q}{REL}\equiv\acc{Q}{REL}+\acc{Q}{ar}+\acc{Q}{Cor}. }[/math]

✏️ Exemple C3-2.1: roda sobre suport giratori

---

Per al sistema de l’exemple C3-1.2, el moviment d’arrossegament de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] és nul. Per tant:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\acc{Q}{REL}+\acc{Q}{Cor}=\acc{Q}{REL}+2\velang{}{ar}\times\vel{Q}{REL} }[/math]

Si es considera que [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] és constant, el moviment relatiu de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (que és circular) només té component normal d’acceleració. Per tant:

✏️ Exemple C3-2.2: vehicles

---

En l’exemple C3-1.3, la velocitat angular d’arrossegament és vertical (perpendicular al dibuix) i de valor [math]\displaystyle{ \textrm{v}_0 /\textrm{r} }[/math]. Si es considera que els punts [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] i [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] tenen celeritat constant ([math]\displaystyle{ \textrm{v}_0 }[/math] constant), l’acceleració del moviment relatiu i la del d’arrossegament de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (tots dos circulars) només tenen component normal. Per tant:

File:C3-Ex2-2-1-cat,esp.png

✏️ Exemple C3-2.3: sínia

---

Suposem que la velocitat angular [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] de l’anella de la sínia de l’exemple C3-1.4 és constant. Llavors, l’acceleració del moviment d’arrossegament només té component normal. Per altra banda, ja que la cabina no gira respecte del terra [math]\displaystyle{ \left(\Omega_{ar}=\Omega_{R}^{cabina}=0\right) }[/math], [math]\displaystyle{ \acc{Q}{Cor}=\vec{0} }[/math]. Així:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{REL}=\acc{Q}{AB}-\acc{Q}{ar}=-(\rightarrow\textrm{r}\Omega_0^2)=\leftarrow\textrm{r}\Omega_0^2 }[/math]

File:C3-Ex2-3-1-cat,esp.png

---

Video C3.2 Aplicació de la composició de moviments en el mecanitzat de peces (la forma del mecanitzat és la trajectòria de la punta de l'eina de tall relativa a la peça que està girant)

---

---

C3.3 Composició de moviments VS derivació temporal

Com s’ha comentat anteriorment, l’avantatge principal de la composició de moviments és que es basa en una operació instantània entre vectors (tot i que el resultat que s’obté pot ser vàlid per a qualsevol instant de temps si la configuració en la que es realitza la composició és genèrica). Si, a més, el moviment del punt respecte a una de les dues referències (AB o REL) és senzill i el moviment entre les dues referències també ho és, la composició de moviments és un mètode més intuïtiu i directe que la derivació temporal. En qualsevol cas, a l’hora de fer un càlcul cinemàtic, cal avaluar quin és el mètode més ràpid i segur per arribar al resultat. Això pot portar de vegades a emprar la composició per al càlcul de velocitats i la derivació per al d’acceleracions (sempre que l’expressió de la velocitat que es pretengui derivar sigui genèrica, és a dir, vàlida per a qualsevol instant de temps).

✏️ Exemple C3-3.1: partícula dins de guia rectilínia giratòria

---

La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] es mou dins d’una guia rectilínia que gira respecte del terra amb velocitat angular constant [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math]. Si es pren la guia com a referència REL i el terra com a AB, la composició de moviments dóna lloc a la velocitat i l’acceleració següents:

File:C3-Ex3-1-2-cat,esp.png

Ja que la velocitat que s’ha obtingut és per a una posició general de [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] (la coordenada r no té un valor numèric concret), aquesta velocitat és vàlida per a qualsevol instant de temps. Per tant, es pot derivar per obtenir l’acceleració:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{AB}=\dert{\vel{Q}{AB}}{AB}=\dert{\vel{Q}{REL}}{AB}+\dert{\vel{Q}{ar}}{AB} }[/math]

El resultat és el mateix que el que s’ha trobat per composició d’acceleracions.

✏️ Exemple C3-3.2: pèndol d’Euler

---

En la configuració particular del pèndol d’Euler que es mostra, si es pren el bloc com a referència REL i el terra com a AB, el moviment relatiu de l’extrem del pèndol [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] és circular de radi L (longitud del pèndol) i centre de curvatura situat a l’articulació entre pèndol i bloc. El moviment d’arrossegament és rectilini ja que el bloc es trasllada respecte del terra [math]\displaystyle{ (\Omega_{AB}^{REL}=\Omega_{ar}=0) }[/math]. La composició de moviments dóna lloc a la velocitat i l’acceleració següents:

File:C3-Ex3-2-1-cat.png

L’obtenció de l’acceleració per derivació de la velocitat és arriscada. En tenir la velocitat particularitzada a la configuració vertical del pèndol, es pot pensar erròniament que la velocitat no canvia de direcció (que és sempre paral·lela al terra) o que ho fa igual que el pèndol (amb ritme de canvi d’orientació [math]\displaystyle{ \dot{\psi} }[/math]). Això donaria els resultats erronis següents:

File:C3-Ex3-2-2-cat.png

Si es raona adequadament, la derivació geomètrica pot conduir al resultat correcte. Cal tenir present que una part de la velocitat (la que correspon al moviment relatiu) canvia d’orientació a ritme [math]\displaystyle{ \dot{\psi} }[/math], mentre que l’altra (la del moviment d’arrossegament) és sempre horitzontal.

La derivació analítica és més enganyosa. Si es projecta la velocitat en una base on un dels eixos és paral·lel al pèndol en aquest instant, no queda clar si [math]\displaystyle{ \velang{B}{R}=\vec{0} }[/math] o bé [math]\displaystyle{ \velang{B}{R}=\odot\;\dot{\psi} }[/math] (que correspon exactament als dos errors que condueixen a la figura anterior).

---

---

C3.E Exercicis resolts

🔎 Exercici C3-E.1

---

EN CONSTRUCCIÓ

Resolució ➕

EN CONSTRUCCIÓ

🔎 Exercici C3-E.2

---

EN CONSTRUCCIÓ

Resolució ➕

EN CONSTRUCCIÓ

🔎 Exercici C3-E.3

---

EN CONSTRUCCIÓ

Resolució ➕

EN CONSTRUCCIÓ

© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats

---

---

<<< C2. Movement of a mechanical system

C4. Cinemàtica del sòlid rígid >>>