E1. Work-Energy Theorem: differential form

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\ns}{\textrm{n}} \newcommand{\hs}{\textrm{h}} \newcommand{\cs}{\textrm{c}} \newcommand{\gs}{\textrm{g}} \newcommand{\Ns}{\textrm{N}} \newcommand{\Hs}{\textrm{H}} \newcommand{\Fs}{\textrm{F}} \newcommand{\ms}{\textrm{m}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Es}{\textrm{E}} \newcommand{\Ws}{\textrm{W}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\As}{\textrm{A}} \newcommand{\Ds}{\textrm{D}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\fs}{\textrm{f}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\Is}{\textrm{I}} \newcommand{\ks}{\textrm{k}} \newcommand{\js}{\textrm{j}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\as}{\textrm{a}} \newcommand{\ss}{\textrm{s}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Gs}{\textbf{G}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textbf{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\Js}{\textbf{J}} \newcommand{\P}{\textrm{P}} \newcommand{\Q}{\textrm{Q}} \newcommand{\Ms}{\textrm{M}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}} \newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}} \newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}} \newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}} \newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}} \newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}} \newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}} \newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}} \newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}} \newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}} \newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}} \newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}} \newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}} \newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}} \newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\matriz}[9]{ \begin{bmatrix} {#1} & {#2} & {#3}\\ {#4} & {#5} & {#6}\\ {#7} & {#8} & {#9} \end{bmatrix}} \newcommand{\diag}[3]{ \begin{bmatrix} {#1} & {0} & {0}\\ {0} & {#2} & {0}\\ {0} & {0} & {#3} \end{bmatrix}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0} \newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}} \newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)} \newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)} \newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}} \newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}} \newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}} }[/math]

The Work-Energy Theorem plays a prominent role in physics, as it bridges all branches of science (electromagnetism, thermodynamics, etc.): all of them deal with energy.

There is a certain parallel between the Vector Theorems and the Work-Energy Theorem: they all allow us to understand the evolution of a magnitude that depends on the mechanical state of the system. In the case of the former, we are dealing with the instantaneous evolution of vector magnitudes (linear momentum, angular momentum), while the latter deals with the finite change (in a finite time interval) of a scalar magnitude (mechanical energy).

This unit presents the differential form of this theorem (the power balance). The integrated form (which is the Work-Energy Theorem itself) is presented in unit E2.

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E1.1 Power balance in a system of particles

Figure E1.1 Forces on a particle of a system with constant matter

Let us consider a system of constant matter, and let’s apply Newton's second law to each particle (or each mass differential) of this system in a general reference frame R (which may be non-Galilean) (Figure E1.1):

[math]\displaystyle{ \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{}{\text{ar}\rightarrow\Ps} + \Fcal{}{\text{Cor}\rightarrow\Ps} =\ms_\Ps\acc{P}{R} }[/math]

[math]\displaystyle{ \F{\rightarrow \Ps} }[/math] is the resultant interaction force on P, and it comes from internal interactions (with particles of the same system) and external ones:

[math]\displaystyle{ \F{\rightarrow \Ps}=\F{\rightarrow \Ps}^\text{int}+\F{\rightarrow \Ps}^\text{ext} }[/math]

If both sides of the equation are multiplied by [math]\displaystyle{ \vel{P}{R} }[/math], all forces (interaction and inertia forces) orthogonal to [math]\displaystyle{ \vel{P}{R} }[/math] are filtered out. Specifically, since [math]\displaystyle{ \acc{P}{R}=\accs{P}{R} + \accn{P}{R} }[/math], where [math]\displaystyle{ \accn{P}{R} \perp \vel{P}{R} }[/math], and since the Coriolis force is always orthogonal to [math]\displaystyle{ \vel{P}{R} (\Fcal{}{\text{Cor}\rightarrow\Ps} = -2\ms_\Ps \velang{R}{Gal} \times \vel{P}{R}) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \vel{P}{R} \cdot \left( \F{\rightarrow \Ps}^\text{int}+\F{\rightarrow \Ps}^\text{ext} + \Fcal{}{\text{ar}\rightarrow\Ps} \right) = \ms_\Ps\accs{P}{R} \cdot \vel{P}{R} = \frac{\ds}{\ds \ts} \left(\frac{1}{2}\ms_\Ps \vvec_\Rs^2(\Ps) \right) \equiv \frac{\ds\Ts_\Rs(\Ps)}{\ds\ts}=\dot{\Ts}_\Rs(\Ps) }[/math]

The scalar function [math]\displaystyle{ \Ts_\Rs(\Ps) }[/math] is the kinetic energy of the particle, and is a function of the mechanical state of P. The scalar product of a force and the velocity of its application point is the force power: [math]\displaystyle{ \vel{P}{R} \cdot \F{\rightarrow \Ps} \equiv \dot{\Ws}_\Rs^{\F{\rightarrow \Ps}} }[/math]. Both scalar quantities [math]\displaystyle{ (\Ts_\Rs(\Ps), \dot{\Ws}_\Rs^{\F{\rightarrow \Ps}}) }[/math] depend on the reference frame. For the same set of interaction forces acting on P, the reference frame determines which are filtered out and which are not.

The equation can be rewritten as [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Rs^{\text{ext}\rightarrow \Ps}+\dot{\Ws}_\Rs^{\text{int}\rightarrow \Ps}+\dot{\Ws}_\Rs^{\text{ar}\rightarrow \Ps} =\dot{\Ts}_\Rs(\Ps) }[/math], and constitutes the power balance for particle P in the R reference frame. Summing for all particles in the system:

[math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Rs^{\text{ext}}+\dot{\Ws}^{\text{int}}+\dot{\Ws}_\Rs^{\text{ar}} =\dot{\Ts}_\Rs^\text{syst} }[/math]

The calculation of kinetic energy is covered in unit E2. This unit focuses on the calculation of powers. section E1-2 shows that the power of internal interactions does not depend on the reference frame (which is why the subscript R does not appear in the [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^{\text{int}} }[/math] term of the previous equation).

✏️ EXAMPLE E1-1.1: free particle

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A particle P, with mass m, is released from the ring of a Ferris wheel when it is at its highest point. We want to calculate the power, at this instant, of all forces acting on the particle from three different reference frames: the ground, the ring, and the Ferris wheel cabin.

Ground reference frame: Since this is a Galilean reference frame, all forces on P are interaction forces.

[math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm}\sum\dot{\Ws}_\Ts=\dot{\Ws}_\Ts^\text{weight}= \left(\leftarrow \Rs\Omega_0\right) \cdot \left(\downarrow \ms\gs\right)=0 }[/math]

Ring reference frame: It is a non-Galilean reference, and the transportation force on P must be taken into account.

[math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm} }[/math] AB:ground, REL:ring [math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm}\vel{P}{REL}=\vel{P}{AB}-\vel{P}{ar}= \left(\leftarrow \Rs\Omega_0\right)-\left(\leftarrow \Rs\Omega_0\right)=\overline{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm} }[/math] Since the velocity is zero, the total power is zero.

Cabin reference frame: It is also a non-Galilean reference, and the transportation force on P must be taken into account.

[math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm} }[/math]AB:ground, REL:cabin [math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm}\vel{P}{REL}=\vel{P}{AB}-\vel{P}{ar}= \left(\leftarrow \Rs\Omega_0\right)-\left(\uparrow \Rs\Omega_0\right) }[/math] [math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm}\dot{\Ws}_\text{cabin}^\text{weight}=\left[ \left(\leftarrow \Rs\Omega_0\right)+\left(\downarrow \Rs\Omega_0\right) \right] \cdot \left(\downarrow\ms\gs\right) =\ms\gs\Rs\Omega_0 }[/math] [math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm}\dot{\Ws}_\text{cabin}^\text{ar}=\left[ \left(\leftarrow \Rs\Omega_0\right)+\left(\downarrow \Rs\Omega_0\right) \right] \cdot \left(\rightarrow\ms\Rs^2\Omega_0^2\right) =-\ms\gs\Rs^2 \Omega_0^3 }[/math] [math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm}\sum\dot{\Ws}_\text{cabin}=\ms\Rs\Omega_0(\gs-\Rs\Omega_0^2) }[/math]

✏️ EXAMPLE E1-1.2: pendulum

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A particle P of mass m hangs from an inextensible thread of length L attached to the ceiling. The assembly oscillates in a vertical plane fixed to the ground. We want to calculate the power of all the forces acting on the particle in two different reference frames: the ground and a platform rotating relative to the ground with a constant angular velocity [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math]. Ground reference frame: Since it is a Galilean reference frame, P is only subjected to interaction forces. [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Es^\Ts=(\nearrow\Ls\dot{\theta})\cdot(\nwarrow\Ts)=0 }[/math] [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Es^\text{weight}=(\nearrow\Ls\dot{\theta}\cdot(\downarrow \ms\gs)=-\ms\gs\Ls\dot{\theta}\sin\theta }[/math] Platform reference frame: It is a non Galilean reference frame, and the transportation force on P has to be taken into account. AB:ground, REL:platform [math]\displaystyle{ \vel{P}{REL}=\vel{P}{AB}-\vel{P}{ar}=(\nearrow\Ls\dot{\theta})-(\otimes \Ls \Omega_0 \sin \theta) }[/math] [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Es^\Ts\left[(\nearrow\Ls\dot{\theta})+(\odot\Ls\Omega_0\sin\theta)\right]\cdot(\nwarrow\Ts)=0 }[/math] [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Es^\text{weight}\left[(\nearrow\Ls\dot{\theta})+(\odot\Ls\Omega_0\sin\theta)\right]\cdot(\downarrow \ms\gs)=-\ms\gs\Ls\dot{\theta}\sin\theta }[/math] [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Es^\text{ar}\left[(\nearrow\Ls\dot{\theta})+(\odot\Ls\Omega_0\sin\theta)\right]\cdot(\rightarrow \ms\Ls\Omega_0^2\sin\theta)=\ms\Ls^2\Omega_0^2\dot{\theta}\cos\theta }[/math] E1.2 Power of an action-reaction pair The total power associated with internal interactions in a constant-mass system is not zero in principle (since the two forces of each action-reaction pair are applied to particles that may have different velocities relative to the reference frame in which the calculation is made), and it is independent of the reference frame in which it is evaluated. It only depends on the separation velocity of the two particles. The power balance for the system is therefore written as: [math]\displaystyle{ \dot{\Ts}_\Rs^\text{syst}=\dot{\Ws}_\Rs^\text{ext} + \dot{\Ws}^\text{int} + \dot{\Ws}_\Rs^\text{ar} }[/math] . 💭 PROOF ➕ [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{ac-reac}=\overline{\Fs}_{\Ps \rightarrow \Qs}\cdot \vel{Q}{R} + \overline{\Fs}_{\Qs \rightarrow \Ps}\cdot \vel{P}{R}= \overline{\Fs}_{\Ps \rightarrow \Qs}\cdot \left[ \vel{Q}{R}-\vel{P}{R}\right] }[/math] By the action-reaction principle, [math]\displaystyle{ \overline{\Fs}_{\Ps \rightarrow \Qs}=-\overline{\Fs}_{\Qs \rightarrow \Ps} }[/math]. Therefore: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{ac-reac}=\overline{\Fs}_{\Ps \rightarrow \Qs}\cdot \left[ \vel{Q}{R}-\vel{P}{R}\right] }[/math] As [math]\displaystyle{ \overline{\Fs}_{\Ps \rightarrow \Qs} }[/math] has the [math]\displaystyle{ \PQvec }[/math] direction, only the components of the velocities in that direction have to be considered: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{ac-reac}=\overline{\Fs}_{\Ps \rightarrow \Qs}\cdot \biggl( \vel{Q}{R} \Bigr]_{||\Ps\Qs}-\ \vel{P}{R} \Bigr]_{||\Ps\Qs}\biggl) }[/math] The difference [math]\displaystyle{ \biggl( \vel{Q}{R} \Bigr]_{\Ps\Qs}-\ \vel{P}{R} \Bigr]_{\Ps\Qs}\biggl) }[/math] is the separation velocity [math]\displaystyle{ \dot{\rho} }[/math] between P and Q, and it does not dpend on the reference frame since it is the derivative of a scalar (the distance [math]\displaystyle{ \dot{\rho} }[/math] between the two particles). For the previous drawing, [math]\displaystyle{ \dot{\rho}\gt 0 }[/math]. Since this is an attractive interaction, [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{ac-reac} \lt 0 }[/math]. With a drawing, it is easy to see that: attractive interaction and particle approach [math]\displaystyle{ (\dot{\rho}\lt 0) }[/math] : [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{ac-reac} \gt 0 }[/math] ; repulsive interaction and particle separation [math]\displaystyle{ (\dot{\rho}\gt 0) }[/math] : [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{ac-reac} \gt 0 }[/math] repulsive interaction and particle approach [math]\displaystyle{ (\dot{\rho}\lt 0) }[/math] : [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{ac-reac} \lt 0 }[/math] There are two particular cases of interaction forces whose power always has the same sign: Friction action-reaction pair between P and Q: since the friction force always opposes the relative velocity between the two points, its power is always negative: [math]\displaystyle{ \hspace{1cm} \dot{\Ws}^\text{friction}=\dot{\Ws}^{\text{fric}\rightarrow\Ps}_\text{RTQ}+\dot{\Ws}^{\text{fric}\rightarrow\Qs}_\text{RTQ}=\overline{\Fs}^{\text{fric}\rightarrow\Ps} \cdot \vel{P}{RTQ} = - \abs{\overline{\Fs}^{\text{fric}\rightarrow\Ps}} \frac{\vel{P}{RTQ}}{\abs{\vel{P}{RTQ}}} \cdot \vel{P}{RTQ}\lt 0; }[/math] Constraint action-reaction pair between P and Q: from the analytical characterization equation of the constraint forces between two points P and Q belonging to two rigid bodies [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\Ps }[/math] and [math]\displaystyle{ \mathrm{S}_\Qs }[/math], it is easy to see that the associated power is zero: [math]\displaystyle{ \hspace{1cm} \dot{\Ws}^\text{constraint}=\dot{\Ws}^{\text{constraint}\rightarrow\Ps}_{\mathrm{S}_\Ps}+\dot{\Ws}^{\text{constraint}\rightarrow\Qs}_{\mathrm{S}_\Ps}=\overline{\Fs}^{\text{constraint}\rightarrow\Ps} \cdot \overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S}_\Qs}(\Ps) = - 0; }[/math] ✏️ EXAMPLE E1-2.1: power of an action-reaction friction pair A homogeneous wheel, with radius r and mass m, moves down an inclined plane without sliding until it joins a conveyor belt moving at a constant velocity [math]\displaystyle{ \vs_0 }[/math] relative to the ground. At the moment it makes contact with the belt, the center of the wheel has a velocity [math]\displaystyle{ \vs_0 }[/math] relative to the ground in the same direction as the belt. We want to calculate the power of the friction force between the belt and the wheel at this instant. At that momento, the [math]\displaystyle{ \mathbf{ICR}^\text{wheel}_\Es }[/math] is point [math]\displaystyle{ \Js_\text{wheel} }[/math] in contact with the belt. This point slides backwards with respect to the belt, therefore the friction force on the wheel is forwards: [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \text { AB: ground } \\ \text { REL: belt } \end{array}\right\} \quad \bar{\vs}_{\text {REL }}\left(\Js_{\text {wheel }}\right)=\bar{\vs}_{\text{AB}}\left(\Js_{\text {wheel }}\right)-\bar{\vs}_{\mathrm{ar}}\left(\Js_{\text {wheel }}\right)=-\bar{\vs}_{\mathrm{ar}}\left(\Js_{\text {wheel }}\right)=-\left(\rightarrow \mathrm{v}_0\right)=\left(\leftarrow \mathrm{v}_0\right) . }[/math] Calculation of the friction power: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{friction}=\dot{\Ws}_\Rs^{\text{friction}\rightarrow \text{wheel}}+ \dot{\Ws}_\Rs^{\text{friction}\rightarrow \text{belt}} }[/math], where R may be any reference frame. To quickly calculate this power, it is advisable to choose a reference frame R where one of the two points subjected to the action-reaction pair has zero speed, so that one of the two terms is directly zero: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{friction}=\dot{\Ws}_\text{belt}^{\text{fric}\rightarrow \text{wheel}}+ \dot{\Ws}_\text{belt}^{\text{fric }\rightarrow \text{belt}}=\overline{\Fs}^{\text{fric}\rightarrow \text{wheel}} \cdot \bar{\vs}_{\text {belt}}\left(\Js_{\text {wheel }}\right)=(\rightarrow \mu\ms\gs)\cdot(\leftarrow \vs_0)=-\mu\ms\gs\vs_0. }[/math] If the calculation is done in any other reference frame, the result is the same: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{friction}=\dot{\Ws}_\text{E}^{\text{fric}\rightarrow \text{wheel}}+ \dot{\Ws}_\text{E}^{\text{fric} \rightarrow \text{belt}}=(\rightarrow \mu\ms\gs)\cdot 0 + (\leftarrow \mu\ms\gs)\cdot(\rightarrow \vs_0)=-\mu\ms\gs\vs_0. }[/math] [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\text{friction}=\dot{\Ws}_\text{vehicle}^{\text{fric}\rightarrow \text{wheel}}+ \dot{\Ws}_\text{vehicle}^{\text{fric} \rightarrow \text{belt}}=(\rightarrow \mu\ms\gs)\cdot (\rightarrow\vs_0) + (\leftarrow \mu\ms\gs) \cdot(\rightarrow 3\vs_0)=-\mu\ms\gs\vs_0. }[/math] However, if only the power of one of the two forces is calculated (for example, the friction on the wheel), the result depends on the reference frame and can have any sign: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\text{belt}^{\text{fric }\rightarrow \text{wheel}}=(\rightarrow \mu\ms\gs)\cdot(\leftarrow \vs_0)=-\mu\ms\gs\vs_0 , }[/math] [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\text{E}^{\text{fric} \rightarrow \text{wheel}}=(\rightarrow \mu\ms\gs)\cdot 0 = 0 , }[/math] [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\text{vehicle}^{\text{fric} \rightarrow \text{wheel}}=(\rightarrow \mu\ms\gs)\cdot (\rightarrow\vs_0)=\mu\ms\gs\vs_0. }[/math] E1.3 Power of a system of forces on a rigid body Figure E1.3: Kinematic torsor of a rigid body in a reference frame R, and forces on different points (dm) of that rigid body When calculating the power of a system of forces on a rigid body S, the term associated with internal interactions is zero because those interactions are all constraint (cohesion) forces and, as seen in section E1.2, their total power is zero. The total power of a system of forces on S can be calculated from the torsor of the system at any point O of the rigid body, [math]\displaystyle{ (\overline{\Fs},\overline{\Ms}(\Os)) }[/math]. Taking into account rigid body kinematics (Figure E1.3): [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Rs^{\rightarrow \Ss} =\sum_\Ps\overline{\Fs}^{\rightarrow \Ps} \cdot \vel{P}{R}= \sum_\Ps \left[ \overline{\Fs}^{\rightarrow \Ps} \cdot \vel{O}{R} + \velang{S}{R} \times \OPvec \right] }[/math] [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Rs^{\rightarrow \Ss} =\left(\sum_\Ps\overline{\Fs}^{\rightarrow \Ps} \right)\cdot \vel{O}{R} + \sum_\Ps\overline{\Fs}^{\rightarrow \Ps} \cdot \left(\velang{S}{R} \times \OPvec \right) = \left( \sum_\Ps\overline{\Fs}^{\rightarrow \Ps} \right) \cdot \vel{O}{R} + \left[ \sum_\Ps \left( \OPvec \times \overline{\Fs}^{\rightarrow \Ps} \right)\right] \cdot \velang{S}{R} = \overline{\Fs}\cdot \vel{O}{R} + \overline{\Ms}(\Os)\cdot \velang{S}{R} }[/math] This calculation also shows that the power of a moment (or a torque [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math]) on a rigid body in a reference frame R is the product of the moment by the angular velocity of the rigid body: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Rs^{\Gamma\rightarrow \mathrm{S}} = \overline{\Gamma} \cdot \velang{S}{R} }[/math]. The power balance for a rigid body is: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Rs^{ \rightarrow \mathrm{S}} = \dot{\Ws}_\Rs^{ \mathrm{ext}} + \dot{\Ws}_\Rs^{ \mathrm{ar}}. }[/math] ✏️ EXAMPLE E1-3.1: roller sliding on a slope A homogeneous roller, with mass m and radius r, slides down a slope. The friction coefficient between the ground and the roller is [math]\displaystyle{ \mu }[/math]. We want to calculate the power of every force acting on the roller in the ground reference frame. It is a 2D problem. The kinematic and dynamic descriptions are: [math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm}\vel{J}{E}=\vel{C}{T} + \velang{}{E} \times \CJvec= }[/math] [math]\displaystyle{ \hspace{1.7cm}=\left( \rightarrow \vs_\Es \right) + \left( \otimes \Omega_\Es\right) \times \left( \downarrow \rs \right) }[/math] [math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm}\vel{J}{E} = \left[\rightarrow (\vs_\Es -\rs\Omega_\Es)\right] }[/math] [math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm} \dot{\Ws}_\Es^{\mathrm{ext}} = \dot{\Ws}_\Es^{\mathrm{weight}} + \dot{\Ws}_\Es^{\mathrm{friction}} + \dot{\Ws}_\Es^{\mathrm{constraint}}= \Bigr[\left(\downarrow \ms\gs\cos\beta\right)+\left(\rightarrow \ms\gs\sin\beta\right)\Bigr] \cdot (\rightarrow \vs_\Es) + \Bigr[(\leftarrow \mu \Ns) + (\uparrow \Ns ) \Bigr] \cdot \Bigr[\rightarrow (\vs_\Es -\rs\Omega_\Es)\Bigr] }[/math] Since the roller center has no motion perpendicular to the plane, the AMT leads to [math]\displaystyle{ \Ns =\ms\gs\cos\beta }[/math]. Therefore: thumb|right|140px|link= [math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm} \dot{\Ws}_\Ts^{\mathrm{ext}} = \ms\gs\vs_\Ts \sin \beta - \ms\gs(\vs_\Ts -\rs\Omega_\Ts)\cos\beta=\ms\gs \Bigr[ \vs_\Ts (\sin\beta-\cos\beta)+\rs\Omega_\Ts \cos\beta \Bigr]. }[/math] [math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm} }[/math] If instead of considering the friction at J we consider the equivalent torsor at point C, we must consider the force applied in C and the moment about C, which is not zero: [math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm} \dot{\Ws}_\Es^{ \mathrm{friction}} = (\leftarrow \mu\Ns)\cdot(\rightarrow\vs_\Es)+(\otimes \mu\Ns\rs)\cdot(\otimes \Omega_\Es) =\mu\ms\gs\cos\beta(\rs\Omega_\Es-\vs_\Es) }[/math], [math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm} \dot{\Ws}_\Es^{\mathrm{ext}} = \dot{\Ws}_\Es^{ \mathrm{weight}} + \dot{\Ws}_\Es^{ \mathrm{friction}}+ \dot{\Ws}_\Es^{ \mathrm{constraint}}= \ms\gs\vs_\Es\sin\beta+\mu\ms\gs\cos\beta (\rs\Omega_\Es-\vs_\Es) }[/math]. [math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm} }[/math] The result is the same. ✏️ EXAMPLE E1-3.2: block sliding on a truck A truck brakes with acceleration a relative to the ground at the instant in which its velocity (also relative to the ground) is v. At the same instant, the homogeneous block, of mass m, slides with velocity v' relative to the truck. We want to perform a power balance for the block in two different reference frames: the ground and the truck. Ground reference frame: It is a 2D problem. The kinematic and dynamic descriptions are: The constraint between the truck and the block allows only one translational DoF between the two. Therefore, in the 2D approximation, the associated torsor has two independent components. If characterized at the midpoint of the contact surface, these components are a normal force and a moment perpendicular to the plane. The AMT applied to the block leads to [math]\displaystyle{ \Ns=\ms\gs }[/math]. The powers associated with all interactions on the block in the ground reference are: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Es^{\rightarrow \mathrm{bloque}}=\dot{\Ws}_\Ts^{\mathrm{ext}}=\dot{\Ws}_\Ts^{\mathrm{peso}}+\dot{\Ws}_\Ts^{\mathrm{fricción}}+\dot{\Ws}_\Ts^{\mathrm{enlace}}= \Bigr[(\downarrow \ms\gs)+(\leftarrow \mu\ms\gs)+(\uparrow \Ns) \Bigr] \cdot \Bigr[\rightarrow(\vs+\vs')\Bigr] + (\odot \Ms_\es)\cdot 0 = -\mu\ms\gs(\vs+\vs') }[/math] Ya que el bloque se traslada respecto al suelo, su energía cinética total es inmediata, y se puede plantear fácilmente el balance de potencias: [math]\displaystyle{ \Ts_\Ts^\mathrm{bloque}=\frac{1}{2}\int_\mathrm{bloque}\ds\ms \vs_\Ts^2(\mathrm{bloque})=\frac{1}{2}\ms \vs_\Ts^2(\mathrm{bloc})\quad \Rightarrow \quad \dot{\Ts}_\Ts^\mathrm{bloque}=\ms\vs_\Ts( \mathrm{bloque})\dot{\vs}_\Ts( \mathrm{bloque}) }[/math] Como la única fuerza horizontal sobre el bloque es la fricción: [math]\displaystyle{ \dot{\vs}_\Ts(\mathrm{bloque})=-\mu\gs\quad \Rightarrow \quad \dot{\Ts}_\Ts^\mathrm{bloque}=-\mu\ms\gs(\vs+\vs'). }[/math] El balance de potencias es consistente: [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \dot{\mathrm{W}}_\Ts^{\rightarrow \text { bloque }}=\dot{\mathrm{W}}_{\mathrm{T}}^{\text {ext }}=-\mu \mathrm{mg}\left(\mathrm{v}+\mathrm{v}^{\prime}\right) \\ \dot{\mathrm{T}}_{\mathrm{T}}^{\text {bloque }}=-\mu \mathrm{mg}\left(\mathrm{v}+\mathrm{v}^{\prime}\right) \end{array}\right\} \Rightarrow \dot{\mathrm{W}}_{\mathrm{T}}^{\rightarrow \text { bloque }}=\dot{\mathrm{T}}_{\mathrm{T}}^{\text {bloque }} }[/math] Referencia camión: Al estar el camión acelerado respecto al suelo, hay que tener en cuenta las fuerzas de arrastre sobre todos los diferenciales de masa (dm) del bloque: thumb|right|250px|link= [math]\displaystyle{ \cal{\Fs}^{\rightarrow \ds\ms}_{\mathrm{ar}}=-\ds\ms\overline{\as}_\mathrm{ar}(\ds\ms)=-\ds\ms (\leftarrow \as)=(\rightarrow \ds\ms \cdot \as) }[/math]. El torsor resultante de este sistema de fuerzas en el centro de inercia G se reduce a una fuerza horizontal. [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\rightarrow \mathrm{bloque}}=\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{ext}} + \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{ar}} =\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{peso}} + \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{fricción}} + \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{enlace}} + \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{ar}} , }[/math] [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\rightarrow \mathrm{bloque}}= \Bigr[(\downarrow \ms\gs)+(\leftarrow \mu\ms\gs)+(\uparrow \Ns) + (\rightarrow \ms\as)\Bigr] \cdot(\rightarrow \vs')+(\odot\Ms_\es) \cdot0=\ms(\as-\mu\gs)\vs'. }[/math] Se puede comprobar que el balance de potencias es consistente: [math]\displaystyle{ \Ts^\mathrm{bloque}_\mathrm{camión}=\frac{1}{2}\ms\vs^2_\mathrm{camión}(\mathrm{bloque}) \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ts}^\mathrm{bloque}_\mathrm{camión} = \ms\vs_\mathrm{camión}(\mathrm{bloque})\dot{\vs}_\mathrm{camión}(\mathrm{bloque}) }[/math] [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \mathrm{AB}:\mathrm{suelo} \\ \mathrm{REL}:\mathrm{camión} \end{array}\right\} \quad \dot{\vs}_\mathrm{camión}(\mathrm{bloque})= \dot{\vs}_\mathrm{T}(\mathrm{bloque})-\dot{\vs}_\mathrm{ar}(\mathrm{bloque}) = (-\mu\gs)-(-\as)=\as-\mu\gs \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ts}^\mathrm{bloque}_\mathrm{camión}=\ms\vs'(\as-\mu\gs) }[/math] [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\rightarrow \mathrm{bloque}}=\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{ext}} + \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{ar}}= \ms(\as-\mu\gs)\vs'\\ \dot{\Ts}^\mathrm{bloque}_\mathrm{camión}=\ms\vs'(\as-\mu\gs) \end{array}\right\} \Rightarrow\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\rightarrow \mathrm{bloque}}= \dot{\Ts}^\mathrm{bloque}_\mathrm{camión} }[/math] ✏️ EJEMPLO E1-3.3: camión frenando con carga thumb|left|220px|link= Un camión frena con aceleración a respecto al suelo en el instante en el que su velocidad (también respecto al suelo) es v. Los pares de frenada en el eje delantero y en el trasero son iguales y valen [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math], y las ruedas, de radio r y masa despreciable, no deslizan sobre el suelo. En el mismo instante, el bloque homogéneo, de masa m, desliz con velocidad v' relativa al camión. Se trata de hacer un balance de potencias para el sistema (bloque+camión) en la referencia del suelo y en la del camión. Ya que la potencia de las interacciones internas no es nula en principio (no se trata de un único sólido rígido), es conveniente hacer un DGI del sistema para no olvidar ninguna: thumb|right|250px|link= c.p.s.d.: contacto puntual sin deslizamiento c.m.c.d.: contacto multipuntual con deslizamiento El sistema sobre el que se hace el balance de potencias es todo menos el suelo. Teniendo en cuenta que la potencia de los enlaces internos es siempre nula, las únicas interacciones que hay que tener en cuenta son el peso, los enlaces de las ruedas con el suelo, los pares de frenada y la fricción entre bloque y camión: thumb|center|300px|link= Referencia suelo: Las fuerzas de enlace del suelo sobre las ruedas están aplicadas a puntos de velocidad cero, y por tanto no hacen potencia. El peso es una fuerza vertical, y el movimiento del camión y del bloque es horizontal, por tanto su potencia también es cero. [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Ts^{\rightarrow \mathrm{sist}}=\dot{\Ws}_\Ts^{\mathrm{ext}}+\dot{\Ws}^{\mathrm{int}}=\dot{\Ws}_\Ts^{\mathrm{peso}}+\dot{\Ws}_\Ts^{\mathrm{enlace}}+\dot{\Ws}^{\mathrm{fricción}}+\dot{\Ws}^{\Gamma}=\dot{\Ws}^{\mathrm{fricción}}+\dot{\Ws}^{\Gamma}. }[/math] Las potencias de interacciones internas se pueden calcular en cualquier referencia. Por tanto: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^{\mathrm{fricción}}= \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{fric}\rightarrow \mathrm{bloque}} +\dot{\Ws}_\mathrm{camió}^{\mathrm{fric}\rightarrow \mathrm{camión}} = \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{fric}\rightarrow \mathrm{bloque}}= (\leftarrow \mu\ms\gs)\cdot (\rightarrow \vs')=-\mu\ms\gs\vs' }[/math] [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^{\Gamma}= \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\Gamma\rightarrow \mathrm{ruedas}} +\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\Gamma\rightarrow \mathrm{camión}} = \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\Gamma\rightarrow \mathrm{ruedas}}= 2 \left(\odot \Gamma \right)\cdot \left(\otimes \frac{\vs}{\rs}\right)=-2\Gamma\frac{\vs}{\rs}. }[/math] Por otro lado: [math]\displaystyle{ \Ts_\Ts^\mathrm{sist}=\frac{1}{2}\ms\vs_\Ts^2(\mathrm{bloque})+\frac{1}{2}\ms\vs_\Ts^2(\mathrm{camión})\quad \Rightarrow \quad \dot{\Ts}_\Ts^\mathrm{sist}=-\ms(\vs+\vs')\mu\gs-\Ms\vs\as. }[/math] Finalmente: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Ts^{\rightarrow \mathrm{sist}}=\dot{\Ts}_\Ts^\mathrm{sist} \quad \Rightarrow \quad -\mu\ms\gs\vs'-2\Gamma\frac{\vs}{\rs}=-\ms(\vs+\vs')\mu\gs-\Ms\vs\as. }[/math] Esta ecuación permite calcular el par de frenada: [math]\displaystyle{ \Gamma=\frac{1}{2}(\mu\ms\gs+\Ms\as)\rs. }[/math] Referencia camión: En esta referencia hay que tener en cuenta las fuerzas de arrastre. Por otro lado, las fuerzas de enlace del suelo sobre las ruedas están aplicadas a puntos que ya no tienen velocidad cero, y por tanto hacen potencia. Como antes, la potencia del peso es cero. [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\rightarrow \mathrm{sist}}=\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{ext}}+\dot{\Ws}^{\mathrm{int}}+\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{ar}}=\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{enlace}}+\dot{\Ws}^{\mathrm{fricción}}+\dot{\Ws}^{\Gamma}+\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{ar}}. }[/math] Las fuerzas de arrastre sobre el camión no hacen potencia porque el camión está parado en esta referencia. La de las fuerzas de arrastre sobre el bloque se ha calculado en el ejemplo E1-3.2. La potencia de la fricción y de los pares de frenada es la misma de antes ya que no depende de la referencia. [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\rightarrow \mathrm{sist}}=\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{enllaç}}+\dot{\Ws}^{\mathrm{fricción}}+\dot{\Ws}^{\Gamma}+\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{ar} \rightarrow \mathrm{bloque}}= \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{enlace}} -\mu\ms\gs\vs'-2\Gamma\frac{\vs}{\rs} +\ms\as\vs'. }[/math] Las descripciones cinemática y dinámica de la rueda son: thumb|center|430px|link= [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\mathrm{enlace}}=2\Bigr[(\leftarrow \Ts)+(\uparrow \Ns)\Bigr]\cdot(\leftarrow\vs)=2\Ts\vs. }[/math] La fuerza tangencial de enlace se puede calcular a partir del TMC aplicado al centro C de la rueda. Como no tiene masa: [math]\displaystyle{ \sum\overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Cs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot \Gamma)+(\otimes \Ts\rs)=0\quad \Rightarrow \quad \Ts=\Gamma/\rs. }[/math] Por tanto: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\mathrm{camió}^{\rightarrow \mathrm{sist}} =2\frac{\Gamma}{\rs}\vs-\mu\ms\gs\vs'-2\Gamma\frac{\vs}{\rs}+\ms\as\vs'=\ms(\as-\mu\gs)\vs'. }[/math] Por otro lado, como se ha visto en el ejemplo E1-3.2: [math]\displaystyle{ \Ts_\mathrm{camión}^\mathrm{sist}= \Ts_\mathrm{camión}^\mathrm{bloque}=\frac{1}{2}\ms\vs_\mathrm{camión}^2(\mathrm{bloque}) \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ts}_\mathrm{camión}^\mathrm{sist}= \dot{\Ts}_\mathrm{camión}^\mathrm{bloque}=\ms\vs'(\as-\mu\gs). }[/math] El balance de potencias es consistente: [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\rightarrow \mathrm{sist}}= \ms(\as-\mu\gs)\vs'\\ \dot{\Ts}^\mathrm{sist}_\mathrm{camión}=\ms(\as-\mu\gs)\vs' \end{array}\right\} \Rightarrow\dot{\Ws}_\mathrm{camión}^{\rightarrow \mathrm{sist}}= \dot{\Ts}^\mathrm{sist}_\mathrm{camión} }[/math] E1.4 Balance de potencias para un sistema multisólido: cálculo directo y cálculo indirecto El cálculo directo (a partir de su definición) de la potencia asociada a una interacción (una fuerza sobre un punto P o un momento sobre un sólido rígido S) exige el conocimiento de la interacción (fuerza o momento): [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}_\Rs^{\Fs\rightarrow \Ps}=\overline{\Fs}_{\rightarrow\Ps} \cdot \vel{P}{R} \quad , \quad \dot{\Ws}_\Rs^{\Ms\rightarrow \Ss}=\overline{\Ms}_{\rightarrow\Ss} \cdot \velang{S}{R} }[/math] Cuando no se trata de una interacción formulable, hay que recurrir a los teoremas vectoriales para determinarla. El cálculo indirecto es una alternativa que no necesita recurrir a estos teoremas. Se basa en la evaluación de un balance de potencias para un sistema y una referencia adecuados de manera que la potencia a determinar sea el único término desconocido de la ecuación (el único que no se puede calcular de manera directa). Cuando el balance incluye más de un término desconocido, se pueden combinar varios balances (para distintos sistemas y referencias) hasta tener un número suficiente de ecuaciones que permitan la determinación de todas las potencias desconocidas. ✏️ EJEMPLO E1-4.1: polea frenada thumb|left|150px|link= Un bloque de masa m cuelga de un hilo inextensible atado a un punto de la periferia de una polea de radio r. Entre soporte (fijo al suelo) y polea actúa un freno que garantiza que el bloque baja a velocidad constante respecto al suelo. Se trata de calcular la potencia del freno. Càlculo directo: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^{\mathrm{freno}}= \overline{\Gamma}^{\rightarrow \mathrm{polea}}\cdot\velang{polea}{T}=\left(\odot\Gamma\right)\cdot\left( \otimes \frac{\vs_0}{\rs}\right)=-\Gamma \frac{\vs_0}{\rs}. }[/math] El par de frenada no es un dato, y hay que recurrir al TMC para calcularlo. [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \text{SISTEMA: polea + bloque}\\ \text{TMC en } \Os \end{array}\right\} \sum\overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Os)=\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTO}(\Os) }[/math] El momento cinético proviene de las dos piezas. Ya que O no es fijo al bloque, hay que hacer descomposición baricéntrica para calcular el momento cinético del bloque: [math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTO=T} (\Os) =\overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{politja}(\Os) + \overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{bloc}(\Os)= \overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{politja}(\Os) + \overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{bloc}(\Gs_\mathrm{bloc})+ \overline{\Hs}_\Ts^{\oplus\mathrm{bloc}}(\Os) = }[/math] [math]\displaystyle{ \hspace{2.3cm}=\Is_\mathrm{O}^\mathrm{polea} \velang{polea}{T}+\Is_{\Gs_\mathrm{bloque}}^\mathrm{bloque}+\OGvec_\mathrm{bloque}\times \ms\overline{\vs}_\Ts(\Gs_\mathrm{bloque})=\left(\otimes \Is_\mathrm{O}\frac{\vs_0}{\rs}\right)+(\otimes \ms\vs_0\rs). }[/math] thumb|right|180px|link= Se trata de un momento cinético constante en dirección y valor. Por tanto: [math]\displaystyle{ \dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTO}(\Os)=0 \quad \Rightarrow \quad \sum{\overline{\Ms}}_\mathrm{ext}(\Os)=(\odot\Gamma)+(\otimes \ms\gs\rs) =0\quad \Rightarrow \quad \Gamma= \ms\gs\rs }[/math]. Finalmente: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^{\mathrm{freno}}= -\Gamma \frac{\vs_0}{\rs} = -\ms\gs\vs_0. }[/math] Cálculo indirecto: [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \text{SISTEMA: polea + soporte + bloque}\\ \text{REF: suelo(Gal)} \end{array}\right\} \quad \dot{\Ts}^\mathrm{sist}_\Ts=\dot{\Ws}^\mathrm{ext}_\Ts+ \dot{\Ws}^\mathrm{int} }[/math] [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \dot{\Ts}^\mathrm{sist}_\Ts=0\\ \dot{\Ws}^\mathrm{ext}_\Ts=\left(\downarrow \ms\gs\right)\cdot\left(\downarrow \vs_0\right)= \ms\gs\vs_0\\ \dot{\Ws}^\mathrm{int}=\dot{\Ws}^{\mathrm{freno}} \end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ws}^{\mathrm{freno}} =-\ms\gs\vs_0 }[/math] ✏️ EJEMPLO E1-4.2: mono y plátanos thumb|left|180px|link= Unos plátanos de masa [math]\displaystyle{ (2/3)\ms }[/math] cuelgan de una cuerda inextensible que se apoya sin deslizar sobre una polea de radio r y masa despreciable, articulada respecto al suelo. En el otro extremo de la cuerda se agarra un mono de masa m. La polea gira con velocidad angular constante [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] respecto al suelo bajo la acción de un motor. El mono se mueve respecto a la cuerda sin que sus manos se froten contra la cuerda, y de manera que la distancia de su centro de masas al suelo se mantiene constante. Se trata de calcular la potencia del motor. Cálculo directo: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^{\mathrm{freno}}= \overline{\Gamma}^{\rightarrow \mathrm{polea}}\cdot\velang{polea}{T}=\left(\odot\Gamma\right)\cdot\left( \odot \Omega_0\right)=\Gamma \Omega_0. }[/math] El par motor no es un dato, y hay que recurrir al TMC para calcularlo. [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \text{SISTEMA: polea + mono + plátanos}\\ \text{TMC en } \Os \end{array}\right\} \sum\overline{\Ms}_\mathrm{ext}(\Os)=\dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTO}(\Os) }[/math] El momento cinético proviene del mono y de los plátanos. En primera aproximación, se puede considerar la masa del mono concentrada en su tronco y su cabeza, de manera que no gira y su velocidad respecto al suelo es nula. Teniendo en cuenta que el punto O no se mueve respecto al mono pero sí respecto a los plátanos: [math]\displaystyle{ \overline{\Hs}_\mathrm{RTO=T} (\Os) =\overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{mono}(\Os) + \overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{plátanos}(\Os)= \overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{mono}(\Os) + \overline{\Hs}_\Ts^\mathrm{plátanos}(\Gs_\mathrm{plát})+ \OGvec_\mathrm{plát} \times \frac{2}{3} \ms \overline{\vs}_\Ts(\Gs_\mathrm{plát})= }[/math] [math]\displaystyle{ \hspace{2.3cm}=\OGvec_\mathrm{plát}\times \frac{2}{3} \ms \overline{\vs}_\Ts(\Gs_\mathrm{plát}) = \Bigr[(\rightarrow \rs)+(\downarrow \xs)\Bigr] \times\frac{2}{3} \ms \left(\downarrow \rs\Omega_0\right)=\left(\otimes \frac{2}{3}\ms\rs^2\Omega_0\right). }[/math] Se trata de un momento cinético constante en dirección y valor. Por tanto: [math]\displaystyle{ \dot{\overline{\Hs}}_\mathrm{RTO}(\Os)=0 \quad \Rightarrow \quad \sum{\overline{\Ms}}_\mathrm{ext}(\Os)=(\odot\Gamma)+(\otimes \ms\gs\rs) + \left(\otimes \frac{2}{3}\ms\gs\rs\right)=0\quad \Rightarrow \quad \Gamma= \frac{5}{3}\ms\gs\rs }[/math]. Finalmente: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^{\mathrm{motor}}= \Gamma \Omega_0 = \frac{5}{3}\ms\gs\rs\Omega_0. }[/math] Cálculo indirecto Hay que tener presente que es un problema con dos tipos de actuadores: el motor y la musculatura del mono. Hay diversos modelos biomecánicos para formular las fuerzas de los músculos, pero quedan fuera del ámbito de este curso. Ya que el mono se mueve, sus músculos desarrollan una potencia no nula. [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \text{SISTEMA: polea + mono + plátano}\\ \text{REF: suelo(Gal)} \end{array}\right\} \quad \dot{\Ts}^\mathrm{sist}_\Ts=\dot{\Ws}^\mathrm{ext}_\Ts+ \dot{\Ws}^\mathrm{int} }[/math] [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \dot{\Ts}^\mathrm{sist}_\Ts=0\\ \dot{\Ws}^\mathrm{ext}_\Ts=\left(\downarrow \frac{2}{3}\ms\gs\right)\cdot\left(\downarrow \rs\Omega_0\right)= \frac{2}{3}\ms\gs\rs\Omega_0\\ \dot{\Ws}^\mathrm{int}=\dot{\Ws}^{\mathrm{musc}}+\dot{\Ws}^{\mathrm{motor}} \end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ws}^{\mathrm{musc}} + \dot{\Ws}^{\mathrm{motor}}=-\frac{2}{3}\ms\gs\rs\Omega_0 }[/math] Este balance proporciona una ecuación con dos incógnitas. Se puede plantear un segundo balance para un sistema donde una de las dos no aparezca: un sistema sin el mono o un sistema sin el motor. Si se hace un balance de potencias para el sistema (mono + trozo de cuerda), las fuerzas externas a considerar son el peso y la tensión de la cuerda. Si se sigue trabajando en la referencia del suelo, esta tensión (desconocida) hará potencia no nula ya que está aplicada a un punto de velocidad ascendente. thumb|right|330px|link= Para evitar que aparezca un término asociado a la tensión de la cuerda, se puede trabajar en la referencia del trozo de cuerda que se ha considerado, que al tener velocidad ascendente constante es galileana. En esta referencia, el mono baja con velocidad constante: [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \text{REL: trozo de cuerda}\\ \text{AB: suelo} \end{array}\right\} }[/math] [math]\displaystyle{ \overline{\vs}_\mathrm{REL}(\mathrm{mono})=\overline{\vs}_\mathrm{ar}(\mathrm{mono})=-\overline{\vs}_\mathrm{ar}(\mathrm{mono})=(\downarrow \rs\Omega_0) }[/math] [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \text{SISTEMA: mono+ trozo de cuerda}\\ \text{REF: trozo de cuerda(Gal)} \end{array}\right\} \quad \dot{\Ts}^\mathrm{sist}_\mathrm{cuerda} =\dot{\Ws}^\mathrm{ext}_\mathrm{cuerda}+ \dot{\Ws}^\mathrm{int} }[/math] [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} \dot{\Ts}^\mathrm{sist}_\mathrm{cuerda}=0\\ \dot{\Ws}^\mathrm{ext}_\mathrm{cuerda}=\left(\downarrow \ms\gs\right)\cdot\left(\downarrow \rs\Omega_0\right)= \ms\gs\rs\Omega_0\\ \dot{\Ws}^\mathrm{int}=\dot{\Ws}^{\mathrm{musc}} \end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad \dot{\Ws}^{\mathrm{musc}} =-\ms\gs\rs\Omega_0 }[/math] Combinando este resultado con el del balance anterior: [math]\displaystyle{ \dot{\Ws}^\mathrm{motor}=-\frac{2}{3}\ms\gs\rs\Omega_0-\dot{\Ws}^\mathrm{musc}=-\frac{5}{3}\ms\gs\rs\Omega_0 }[/math] © Universitat Politècnica de Catalunya. 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