C2. Movement of a mechanical system

[math]\displaystyle{ \newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ts}{\textrm{t}} \newcommand{\us}{\textrm{u}} \newcommand{\vs}{\textrm{v}} \newcommand{\Rs}{\textrm{R}} \newcommand{\Ts}{\textrm{T}} \newcommand{\Ls}{\textrm{L}} \newcommand{\Bs}{\textrm{B}} \newcommand{\es}{\textrm{e}} \newcommand{\is}{\textrm{i}} \newcommand{\rs}{\textrm{r}} \newcommand{\Os}{\textbf{O}} \newcommand{\Cbf}{\textbf{C}} \newcommand{\Or}{\Os_\Rs} \newcommand{\Qs}{\textbf{Q}} \newcommand{\Cs}{\textbf{C}} \newcommand{\Ps}{\textrm{P}} \newcommand{\Ss}{\textbf{S}} \newcommand{\deg}{^\textsf{o}} \newcommand{\xs}{\textsf{x}} \newcommand{\ys}{\textsf{y}} \newcommand{\zs}{\textsf{z}} \newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}} \newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}} \newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\vector}[3]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2}\\ {#3} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vecdosd}[2]{ \begin{Bmatrix} {#1}\\ {#2} \end{Bmatrix}} \newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})} \newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})} \newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}} \newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}} \newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}} \newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})} \definecolor{blau}{RGB}{39, 127, 255} \definecolor{verd}{RGB}{9, 131, 9} }[/math]

C2.1 Velocity of a particle

The velocity of a particle [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (or a point that belongs to a rigid body) relative to a reference frame R, [math]\displaystyle{ \vvec_{\Rs}(\Qs) }[/math], is the rate of change of its position vector with time. Mathematically, it is the time derivative of a position vector (relative to R). The time derivative of two different position vectors ([math]\displaystyle{ \overline{\Or\Qs} }[/math], [math]\displaystyle{ \overline{\Os'_\Rs\Qs} }[/math] ) yield the same velocity because points [math]\displaystyle{ \Os_\Rs }[/math] and [math]\displaystyle{ \Os'_\Rs }[/math] are mutually fixed and fixed to the reference frame, hence [math]\displaystyle{ \overline{\Os_\Rs\Os'_\Rs} }[/math] is constant in R:

[math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) = \dert{\vec{\Os_{\Rs}\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Os_{\Rs}\Os_{\Rs}'}}{R} + \dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Os_{\Rs}'\Qs}}{R} }[/math]

One must bear in mind that the time derivative of a vector depends on the reference frame where it is being calculated. For that reason, there is a subscript R in the preceding equations which reminds of that dependency.

The time derivative of a vector relative to a reference frame R assesses the evolution of the characteristics of that vector (direction and value) between two close time instants, separated by a time differential. Hence, the velocity [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs) }[/math] is nonzero whenever the value of the position vector, or its direction, or both change.

✏️ EXAMPLE C2-1.1: rotating platform

---

The platform (RP) rotates about an axis perpendicular to the ground (R). The movement of a point [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] on the platform periphery depends on whether it is observed from the ground or from the platform.

The center of the platform ([math]\displaystyle{ \Os }[/math]) is fixed to both reference frames. Hence, [math]\displaystyle{ \vec{\Os\Qs} }[/math] is a position vector for point [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] both in R and RP. It is evident that [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\Qs)\neq \vec{0} }[/math] i [math]\displaystyle{ \vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)= \vec{0} }[/math], though the vector whose time derivative is being calculated is the same.

As [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] is the platform radius r, its value is constant. Hence, the time derivative of [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] can only be associated with a change of direction.

To assess the change of orientation of [math]\displaystyle{ \abs{\OQvec} }[/math] relative to the ground or to the platform, we have to define an angle between a straight line fixed in the reference frame (“departure” line) and vector [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] (“arrival” line). For the sake of clarity, we have represented the “departure” line as the direction of the arm of an observer located in the reference frame (thus not moving relative to it).

[math]\displaystyle{ \psi(t)\neq\psi(t+dt) \implies \OQvec }[/math] changes its direction relative to R [math]\displaystyle{ \implies \textcolor{blau}{\vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{blau}{) \neq \vec{0}} }[/math]

As seen in section V.1, [math]\displaystyle{ \textcolor{blau}{\vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{blau}{)} }[/math] is perpendicular to [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math], and its value is that of [math]\displaystyle{ \OQvec(\textrm{r}) }[/math] times the rate of change of orientation of [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] relative to R [math]\displaystyle{ (\dot{\psi}) }[/math]:

Velocity of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to the platform (RP):

[math]\displaystyle{ \psi(t)=\psi(t+dt) \implies \OQvec }[/math] does not change its direction relative to RP [math]\displaystyle{ \textcolor{verd}{\implies \vvec_\Rs(}\Qs\textcolor{verd}{) = \vec{0}} }[/math]

Analytical calculation ➕

The two logical vector bases for the calculation are:

• Basis B (1,2,3) fixed in R (thus moving in RP): [math]\displaystyle{ \velang{B}{R}=\vec{0},\velang{B}{RP}= \vec{\dot{\psi}} }[/math]
• Basis B' (1',2',3') fixed in RP (thus moving in R): [math]\displaystyle{ \velang{B'}{RP}=\vec{0},\velang{B'}{R} = -\vec{\dot{\psi}} }[/math]

Projection of the position vector [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] on both bases:

[math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B}=\vector{rcos\psi}{rsin\psi}{0}, \: \: \braq{\OQvec}{B'}=\vector{r}{0}{0} }[/math]

Velocity of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to R:

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_\Rs(\Qs)}{B} = \braq{\dert{\OQvec}{R}}{B}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B} = \vector{-r\dot \psi sin\psi}{r\dot{\psi} cos\psi}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_\Rs(\Qs)}{B'}=\braq{\dert{\OQvec}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B'}=\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B'}=\vector{0}{0}{\dot\psi} \times \vector{r}{0}{0}= \vector{0}{r\dot\psi}{0} }[/math]

Velocity of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to RP:

[math]\displaystyle{ \braq{\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)}{B} =\braq{\dert{\OQvec}{RP}}{B}= \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B}+\braq{\velang{B}{RP}\times \OQvec}{B}=\vector{-r\dot\psi sin\psi}{r\dot\psi cos\psi}{0}+ \vector{0}{0}{-\dot\psi}\times\vector{rcos\psi}{rsin\psi}{0}= \vector{0}{0}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\vvec_{\Rs\Ps}(\Qs)}{B'} =\braq{\dert{\OQvec}{RP}}{B'}= \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'}+\braq{\velang{B'}{RP}\times \OQvec}{B'}=\frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'} = \vector{0}{0}{0} }[/math]

✏️ Exemple C2-1.2: Euler pendulum

---

The endpoint [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] of Euler pendulum describes a circular motion relative to the block. The corresponding velocity [math]\displaystyle{ \vel{Q}{BL} = \dert{\vecbf{CQ}}{BL} }[/math] can be obtained in a similar way as that used in the previous example.

The angle [math]\displaystyle{ \psi }[/math] orientates the bar both relative to the block and the ground, as its origin (vertical line) has a constant orientation in both reference frames

The velocity of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to the ground can be obtained as the time derivative of vector [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Qs} (=\vec{\Or\Cbf}+\vecbf{CQ}) }[/math] relative to the ground:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Qs}}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R}+ \dert{\vec{\Cbf\Qs}}{R} }[/math]

Vector [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Cbf} }[/math] has a constant direction in R but a variable value. Hence, its time derivative is parallel to [math]\displaystyle{ \vec{\Or\Cbf} }[/math] with value [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math]. Vector [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math], however, has a constant value (L) but variable direction. Consequently, its time derivative is perpendicular to [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math], and its value is that of[math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math] times the rate of change of orientation of [math]\displaystyle{ \vec{\Cbf\Qs} }[/math] relative to R ([math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math]):

The [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] direction is not any of the directions associated with the system (it is not vertical, not horizontal, not parallel to the bar, not perpendicular to the bar). For that reason, it is better to represent it as the addition of the terms [math]\displaystyle{ \dot\xs }[/math] and [math]\displaystyle{ L\dot\psi }[/math], whose directions do correspond to one of those singular directions.

The first term of the expression [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R}+\dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] corresponds to the velocity of [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] relative to the ground [math]\displaystyle{ \left(\vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Or\Cbf}}{R} \right) }[/math], whereas the second one has no physical interpretation: point [math]\displaystyle{ \Cs }[/math] is not fixed in R, thus it is not a position vector in that reference frame.

Analytical calculation ➕

The two logical vector bases for the calculation are:

• Basis B (1,2,3) fixed relative to R and BL [math]\displaystyle{ \Omegavec_\Rs^\Bs=\vec{0},\Omegavec_{\Bs\Ls}^\Bs = \vec{0} }[/math]
• Basis B' (1',2',3') fixed relative to the bar, thus moving in R and BL: [math]\displaystyle{ \velang{P}{B'}=\vec{0} }[/math], [math]\displaystyle{ \velang{RL}{B'} = -\vec{\dot{\psi}} }[/math]

Projection of the position vector [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] on both bases:

[math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B} = \vector{\xs+\Ls sin\psi}{\Ls cos\psi}{0} }[/math], [math]\displaystyle{ \braq{\OQvec}{B'} = \vector{\Ls+\xs sin\psi}{xcos\psi}{0} }[/math]

Velocity of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to BL:

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{R}}{B} = \braq{\dert{\OQvec}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B} = \vector{\dot\xs+\Ls\dot\psi cos\psi}{-\Ls\dot\psi sin\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\OQvec}{B'} + \braq{\velang{B'}{R} \times \OQvec}{B'} = \vector{\dot\xs sin\psi+\xs\dot\psi cos\psi}{\dot\xs cos\psi - \xs \dot\psi sin \psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{\Ls+\xs sin\psi}{\xs cos\psi}{0}=\vector{\dot\xs sin \psi}{\dot\xs cos\psi + \Ls\dot\psi}{0} }[/math]

If we want to calculate the velocity of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to BL, the position vector to be differentiated is [math]\displaystyle{ \vecbf{CQ} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \braq{\vecbf{CQ}}{B} = \vector{\Ls sin \psi}{\Ls cos \psi}{0}; \braq{\vecbf{CQ}}{B'}=\vector{\Ls}{0}{0} }[/math]

---

---

C2.2 Acceleration of a particle

The acceleration of a particle [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] (or of a point belonging to a rigid body) relative to a reference frame R, [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math], is the rate of change of its velocity with time:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} = \dert{\vel{Q}{R}}{R} }[/math]

✏️ EXAMPLE C2-2.1: rotating platform

---

In the circular motion of point [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] of the platform relative to the ground , the acceleration [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] comes both from the change of value and the change of orientation of [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]. As [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] is always perpendicular to [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math], its rate of change of orientation is [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math], the same as that of [math]\displaystyle{ \OQvec }[/math] :

File:C2-Ex2-1-cat.png

The [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] direction is not any of the directions associated to the system (not the radial direction, not that perpendicular to the radius). For that reason, it is better to represent it as the addition of the two terms [math]\displaystyle{ \rs\ddot\psi }[/math] and [math]\displaystyle{ r\dot\psi^2 }[/math] , whose directions do correspond to one of those singular directions.

Analytical calculation ➕

The vector bases B and B’ are the same as in example C2-1.1.

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B} = \vector{-\rs \ddot\psi sin\psi - \rs \dot\psi^2cos\psi}{\rs\ddot\psi cos\psi - \rs \dot\psi^2sin\psi}{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'} + \braq{\velang{B'}{R} \times \vel{Q}{R}}{B} = \vector{0}{\rs\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi} \times \vector{0}{\rs\dot\psi}{0} = \vector{-\rs\dot\psi^2}{\rs\ddot\psi}{0} }[/math]

✏️ EXAMPLE C2-1.2: Euler pendulum

---

The calculation of the acceleration of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to the ground (R) is laborious because the velocity [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] comes from the addition of two terms:

[math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} = \dert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R} + \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math].

• [math]\displaystyle{ \dert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R} }[/math]: constant direction (horizontal), variable value [math]\displaystyle{ (\dot\xs) }[/math]. Thus, its time derivative [math]\displaystyle{ \ddert{\vec{\Os_\Rs\Cbf}}{R} }[/math] is horizontal with value [math]\displaystyle{ \ddot\xs }[/math].
• [math]\displaystyle{ \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math]: direction perpendicular to the bar, thus variable; variable value [math]\displaystyle{ \Ls\dot\psi }[/math]. Thus, its time derivative [math]\displaystyle{ \ddert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] has a component perpendicular to [math]\displaystyle{ \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] (parallel to the bar) with value [math]\displaystyle{ \Ls\dot\psi\cdot\dot\psi }[/math] , and another one parallel to [math]\displaystyle{ \dert{\vecbf{CQ}}{R} }[/math] (perpendicular to the bar) with value [math]\displaystyle{ \Ls\ddot\psi }[/math].

Analytical calculation ➕

The vector bases B and B’ are the same as in example C2-1.2.

Acceleration of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to BL:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B} = \vector{\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls \dot\psi^2 sin\psi}{-\Ls \ddot\psi sin\psi -\Ls \dot\psi^2 cos\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B'}+ \braq{\velang{B'}{BL}\times \OQvec}{B} = \vector{0}{\Ls\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{0}{\Ls\dot\psi}{0} = \vector{-\Ls\dot\psi^2}{\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]

Acceleration of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to R:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B}=\vector{\ddot\xs+\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls\dot\psi^2sin\psi}{-\Ls\ddot\psi sin\psi-\Ls\dot\psi^2cos\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B'}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B}=\vector{\ddot\xs sin\psi+\dot\xs\dot\psi cos\psi}{\ddot\xs cos\psi-\dot\xs\dot\psi sin\psi +\Ls\ddot\psi}{0}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot\xs sin\psi}{\dot\xs cos\psi+\Ls\dot\psi}{0}=\vector{\ddot\xs sin\psi - \Ls \dot\psi^2}{\ddot\xs cos\psi+\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]

---

---

C2.3 Intrinsic directions. Intrinsic components of the acceleration

A simple drawing shows that the velocity of a point [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to a reference frame R is always tangent to the trajectory it describes in R (Figure C2.1). Its direction is the tangential direction.

File:C2-1-cat.png

Figure C2.1 The velocity vector is always tangent to the trajectory

In a general case, the velocity [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] changes both its value and its direction. Hence, the acceleration [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] has two components, one associated with the change of value (parallel to [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]) and another one associated with the change of direction (orthogonal to [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]). Those components are the intrinsic components of the acceleration, and they are called tangential component [math]\displaystyle{ \accs{Q}{R} }[/math] and normal component [math]\displaystyle{ \accn{Q}{R} }[/math], respectively:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{R}=\accs{Q}{R}+\accn{Q}{R} }[/math]

In a circular motion, the tangential component is perpendicular to the radius, and the normal one is parallel to the radius and pointing to the center of the trajectory (Figure C2.2):

Figure C2.2 Intrinsic components of the acceleration in a circular motion

That result may be used locally for any other movement. Indeed, as the calculation of the velocity of a point [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] with respect to a reference frame R ([math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]) calls for two consecutive position vectors (or, what is the same, two consecutive points of the trajectory), that of the acceleration [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] calls for three:

[math]\displaystyle{ \acc{Q}{R}=\dert{\vel{Q}{R}}{R}\simeq\frac{\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm{t+dt})-\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t)}{\Delta t(\rightarrow0)}\equiv\frac{\Delta\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t)}{\Delta t(\rightarrow0)} }[/math]

The calculation of vector [math]\displaystyle{ \Delta\vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t) }[/math] calls for three consecutive points of the trajectory (two for each velocity, where the last point to calculate [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm t) }[/math] and the first point to calculate [math]\displaystyle{ \vvec_\Rs(\textbf{Q},\textrm{t+dt}) }[/math] are the same). These three points define a plane (osculating plane), and there is just one circle containing the three of them. That is: any trajectory may be approximated locally by a circle (osculating circle). The center and the radius of that circle are the center of curvature and the radius of curvature of the trajectory of Q relative R ([math]\displaystyle{ \textrm{CC}_\textrm{R}(\textbf{Q}) }[/math] and [math]\displaystyle{ \Re_\textrm{R}(\textbf Q) }[/math] respectively). The results obtained for the circular motion may be used locally to calculate [math]\displaystyle{ \Re_\textrm{R}(\textbf Q) }[/math] (Figure C2.3).

File:C2-3-cat.png

Figure C2.3 local geometry of the trajectory of a particle Q relative to a reference frame R

Both the radius of curvature and the position of the center of curvature change along the trajectory in general. In rectilinear spans, as there is no change in the velocity direction, the normal component of the acceleration is zero, and the radius of curvature becomes infinite.

The tangential unit vector [math]\displaystyle{ \vecbf{s} }[/math] ([math]\displaystyle{ \vecbf{s}=\velo{R}/|\velo{R}|=\accso{R}/|\accso{R}| }[/math]) and the normal unit vector [math]\displaystyle{ \vecbf{n} }[/math] ([math]\displaystyle{ \vecbf{n}=\accno{R}/|\accno{R}| }[/math]) may be completed with a third unit vector [math]\displaystyle{ \vecbf{b} }[/math] orthogonal to the other two (binormal unit vector, [math]\displaystyle{ \vecbf{b}\equiv\vecbf{s}\times\vecbf{n} }[/math]), and constitute the intrinsic basis or Frenet basis for the motion of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] in the reference frame R.

✏️ EXAMPLE C2-3.1: Euler pendulum

---

In the circular motion of the endpoint [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] of the bar relative to the block, the two intrinsic components of the acceleration [math]\displaystyle{ \acc{Q}{BL} }[/math] are nonzero. Their values and directions are those of the circular motion:

• tangential acceleration [math]\displaystyle{ \accs{Q}{BL} }[/math]: parallel to [math]\displaystyle{ \vel{Q}{BL} }[/math] with value L[math]\displaystyle{ \ddot\psi }[/math].
• normal acceleration [math]\displaystyle{ \accn{Q}{BL} }[/math] : perpendicular to [math]\displaystyle{ \vel{Q}{BL} }[/math] with value L[math]\displaystyle{ \dot\psi^2 }[/math].

Though it is evident that the radius of curvature of the trajectory of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to BL is L (it is a circular motion), it can also be obtained as [math]\displaystyle{ \frac{\vecbf{v}_{\textrm{BL}}^2(\Qs)}{|\accn{Q}{BL}|}=\frac{(\Ls\dot\psi)^2}{\Ls\dot\psi^2}=\Ls }[/math].

The acceleration [math]\displaystyle{ \acc{Q}{R} }[/math] has been described in example C2-2.2 as the addition of three terms (the two horizontal ones corresponding to [math]\displaystyle{ \acc{Q}{BL} }[/math] plus a permanently horizontal one with value [math]\displaystyle{ \ddot\xs }[/math]). Identifying in that case which is the tangential component (parallel to [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]) and which is the normal one (orthogonal to [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math]) is not straightforward, as the [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] direction is not that of a singular direction of the problem example C2-1.2.

That identification is straightforward in two particular configurations where the [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math] direction (which is the tangential direction) is horizontal:

File:C2-Ex3-1-2-cat.png

The radius of curvature of the pendulum endpoint relative to the ground for the [math]\displaystyle{ \psi=0 }[/math] configuration is:

File:C2-Ex3-1-3-cat.png

The center of curvature is always above [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] because the normal acceleration points in that direction.

Particular cases:

File:C2-Ex3-1-4-neut.png

The dotted circular lines correspond to the approximation of the trajectory in the neighbourhood of the [math]\displaystyle{ \psi=0 }[/math] configuration for those two particular cases.

Though it is a laborious, it is possible to calculate [math]\displaystyle{ \re{Q}{R} }[/math] for a general configuration if we remember that only the parallel components participate in the scalar product [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R}\cdot\acc{Q}{R} }[/math] (and so [math]\displaystyle{ \accs{Q}{R} }[/math]), and that only the orthogonal components participate in the cross product [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R}\times\acc{Q}{R} }[/math], (and so [math]\displaystyle{ \accn{Q}{R} }[/math]) (example C2-3.1 analytical). The result is:

[math]\displaystyle{ \re{Q}{R}=\frac{\textbf{v}_{\Rs}^2(\Qs)}{|\accn{Q}{R}|}=\frac{\left[\dot\xs^2+\left(\Ls\dot\psi\right)^2+2\Ls\dot\xs\dot\psi cos\psi\right]^{3/2}}{\left|\Ls(\ddot\xs\dot\psi-\dot\xs\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot\xs cos\psi)\right|} }[/math]

When the calculated expressions are complicated (as the previous one), it is advisable to check that it works in simple situations to avoid easily detectable errors. For example:

• If [math]\displaystyle{ \dot\xs=0 }[/math] permanently (that is, [math]\displaystyle{ \ddot\xs=0 }[/math]), the trajectory of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to R is circular with radius L:

[math]\displaystyle{ \re{Q}{R}\big]_{\dot\xs=0, \ddot\xs=0}=\frac{\left(\Ls^2\dot\psi^2\right)^{3/2}}{\Ls\dot\psi^2\Ls\dot\psi}=\Ls }[/math]

• If [math]\displaystyle{ \dot\psi=0 }[/math] permanently ([math]\displaystyle{ \ddot\psi=0 }[/math]), the trajectory of [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] relative to R is rectilinear, and the radius of curvature has to be infinite:

[math]\displaystyle{ \re{Q}{R}\big]_{\dot\psi=0, \ddot\psi=0}=\frac{(\dot\xs^2)^{3/2}}{0}\rightarrow\infty }[/math]

Càlcul analític ➕

Les bases B i B’ són les mateixes de l’exemple C2-2.1.

Acceleració de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de BL:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B} = \vector{\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls \dot\psi^2 sin\psi}{-\Ls \ddot\psi sin\psi -\Ls \dot\psi^2 cos\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{BL}}{B'} = \braq{\dert{\vel{Q}{BL}}{BL}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{BL}}{B'}+ \braq{\velang{B'}{BL}\times \OQvec}{B} = \vector{0}{\Ls\ddot\psi}{0} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times \vector{0}{\Ls\dot\psi}{0} = \vector{-\Ls\dot\psi^2}{\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]

Acceleració de [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] respecte de R:

[math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B}=\vector{\ddot\xs+\Ls\ddot\psi cos\psi-\Ls\dot\psi^2sin\psi}{-\Ls\ddot\psi sin\psi-\Ls\dot\psi^2cos\psi}{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\acc{Q}{R}}{B'}=\braq{\dert{\vel{Q}{R}}{R}}{B'} = \frac{\ds}{\ds\ts}\braq{\vel{Q}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times \OQvec}{B}=\vector{\ddot\xs sin\psi+\dot\xs\dot\psi cos\psi}{\ddot\xs cos\psi-\dot\xs\dot\psi sin\psi +\Ls\ddot\psi}{0}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot\xs sin\psi}{\dot\xs cos\psi+\Ls\dot\psi}{0}=\vector{\ddot\xs sin\psi - \Ls \dot\psi^2}{\ddot\xs cos\psi+\Ls\ddot\psi}{0} }[/math]

El càlcul del radi de curvatura per a la configuració general és laboriós. Com que es tracta d’un moviment pla, on la velocitat i l’acceleració només tenen dos components, s’ometrà la tercera component. La base emprada és la B (però es pot treballar també en la base B’).

[math]\displaystyle{ \braq{\vel{Q}{R}}{B} = \vecdosd{\dot\xs + \Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls \dot\psi sin\psi}, \braq{\acc{Q}{R}}{B} = \vecdosd{\ddot\xs + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi} }[/math] [math]\displaystyle{ \abs{\accn{Q}{R}}=\abs{\acc{Q}{R}\times\frac{\vel{Q}{R}}{\abs{\vel{Q}{R}}}} }[/math] [math]\displaystyle{ \abs{\accn{Q}{R}}=\abs{\frac{1}{\sqrt{({\dot\xs + \Ls\dot\psi cos\psi)^2+(\Ls \dot\psi sin\psi)^2}}}\vecdosd{\ddot\xs + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi}{\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi}\times\vecdosd{\dot\xs + \Ls\dot\psi cos\psi}{\Ls\dot\psi sin\psi}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \abs{\accn{Q}{R}}=\abs{ \frac { (\ddot\xs + \Ls \ddot\psi cos \psi -\Ls \dot\psi^2sin\psi)\Ls \dot\psi sin\psi-(\Ls\ddot\psi sin\psi + \Ls \dot\psi^2 cos\psi)(\dot\xs + \Ls\dot\psi cos\psi) } { \sqrt{\dot\xs^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot\xs\dot\psi cos\psi} }} }[/math]

[math]\displaystyle{ \abs{\accn{Q}{R}}= \abs{ \frac { \Ls\ddot\xs\dot\psi sin\psi-\Ls\dot\xs\ddot\psi sin\psi-L^2\dot\psi^3-\Ls\dot\xs\dot\psi^2cos\psi } { \sqrt{\dot\xs^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot\xs\dot\psi cos\psi} } }= \abs{ \frac { \Ls(\ddot\xs\dot\psi-\dot\xs\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot\xs cos\psi) } { \sqrt{\dot\xs^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls \dot\xs\dot\psi cos\psi} } } }[/math]

[math]\displaystyle{ \Re_\Rs(\Qs)=\frac{\textrm{v}^2_\Rs(\Qs)}{\abs{\accn{Q}{R}}}= \frac { \left( \dot\xs^2+(\Ls\dot\psi)^2+2\Ls\dot\xs\dot\psi cos\psi\right)^{3/2} } { \abs{ \Ls(\ddot\xs\dot\psi-\dot\xs\ddot\psi)sin\psi-\Ls\dot\psi^2(\Ls\dot\psi+\dot\xs cos\psi) } } }[/math]

---

---

C2.4 Velocitat angular d’un sòlid rígid

De la mateixa manera que la configuració d’un sòlid rígid S respecte d’una referència R queda definida per la posició d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] del sòlid i per l’orientació de S a R (descrita, per exemple, mitjançant angles d’Euler), el canvi de la configuració respecte de R es pot descriure mitjançant la velocitat d’un punt [math]\displaystyle{ \Qs }[/math] del sòlid, [math]\displaystyle{ \vel{Q}{R} }[/math], i la velocitat angular del sòlid [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] (ritme de canvi d’orientació al llarg del temps). Quan l’orientació respecte de R es manté constant al llarg del temps, es diu que el sòlid té un moviment de translació [math]\displaystyle{ \left(\velang{S}{R}=0\right) }[/math].

Rotació simple

L’orientació d’un sòlid rígid que descriu un moviment pla respecte d’una referència R queda definida mitjançant un únic angle [math]\displaystyle{ \psi }[/math]. El canvi d’aquesta orientació implica [math]\displaystyle{ \dot\psi\neq0 }[/math] .

Donar el valor de [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] [math]\displaystyle{ [rad/s] }[/math] no és suficient per definir com canvia d’orientació un sòlid que descriu un moviment pla.

✏️ Exemple C2-4.1: roda amb moviment pla

---

File:C2-Ex4-1-1-cat.png

La roda descriu un moviment pla respecte de R. El seu centre [math]\displaystyle{ \Cbf }[/math] és fix a R, i la seva orientació canvia a ritme [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math] [math]\displaystyle{ [rad/s] }[/math]. Amb aquesta informació, no podem saber quin moviment està fent. Per exemple, la informació podria correspondre a qualsevol dels dos casos següents:

• Cas (a): angle [math]\displaystyle{ \psi }[/math] definit en el pla horitzontal; el pla del moviment és horitzontal.
• Cas (b): angle [math]\displaystyle{ \psi }[/math] definit en un pla vertical; el pla del moviment és vertical.

Si no es diu en quin pla està definit l’angle (i això és equivalent a donar una direcció: la perpendicular al pla en qüestió), el moviment no queda definit.

---

El moviment associat al canvi d’orientació, doncs, queda definit pel ritme de canvi de l’angle i per una direcció. L’objecte matemàtic que incorpora aquestes dues característiques és un vector. Per tant, la velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] és un vector. El conveni per associar-li un sentit és la regla del cargol (o de la mà dreta, o del llevataps).

✏️ Exemple C2-4.2: roda amb moviment pla

---

La velocitat angular associada als moviments (a) i (b) de l’exemple anterior és:

File:C2-Ex4-2-1-cat.png

---

Rotació a l’espai

L’orientació d’un sòlid rígid S que es mou de manera general respecte d’una referència R es pot definir mitjançant tres angles d’Euler [math]\displaystyle{ (\psi,\theta,\varphi) }[/math]. La variació de cadascun d'aquests angles, per separat, correspon a una rotació simple. La velocitat angular del sòlid S respecte de R és la superposició de les tres velocitats angulars associades a aquestes rotacions simples:

[math]\displaystyle{ \velang{S}{R} = \vecdot\psi + \vecdot\theta + \vecdot\varphi }[/math]

Tot i tractar-se d’una superposició intuïtiva, cal una demostració rigorosa. No s’inclou aquí però es pot trobar a [Batlle, J.A., Barjau, A. (2020) chapter 1 in Rigid body kinematics. Cambridge University Press].

✏️ Exemple C2-4.3: giroscopi

---

L’orientació d’un giroscopi respecte del terra (R) es pot donar mitjançant tres angles d’Euler. Les velocitats angulars associades a [math]\displaystyle{ (\dot\psi,\dot\theta,\dot\varphi) }[/math] tenen les interpretacions següents: [math]\displaystyle{ \vecdot\psi=\velang{forquilla}{R} }[/math], [math]\displaystyle{ \vecdot\theta=\velang{braç}{forquilla} }[/math], [math]\displaystyle{ \vecdot\varphi=\velang{volant}{braç} }[/math]. La velocitat angular del volant respecte del terra és la superposició de les tres:

[math]\displaystyle{ \velang{volant}{R} = \velang{volant}{braç} + \velang{braç}{forquilla} + \velang{forquilla}{R} = \vecdot\varphi + \vecdot\theta + \vecdot\psi }[/math]

File:C2-Ex4-3-1-cat-jpg.jpg

Aquestes velocitats angulars es poden projectar en qualsevol de les bases vectorials que suggereix el problema:

• Base [math]\displaystyle{ \Bs_\Rs }[/math] fixa a la referència
• Base [math]\displaystyle{ \Bs }[/math] fixa a la forquilla (es pot generar a partir de [math]\displaystyle{ \Bs_\Rs }[/math] mitjançant la rotació [math]\displaystyle{ \dot\psi }[/math])
• Base [math]\displaystyle{ \Bs' }[/math] fixa a al braç (es pot generar a partir de [math]\displaystyle{ \Bs }[/math] mitjançant la rotació [math]\displaystyle{ \dot\theta }[/math])
• Base [math]\displaystyle{ \Bs_\textrm{V} }[/math] fixa al volant

File:C2-Ex4-3-2-cat-jpg.jpg

Ara bé, és aconsellable triar una base on el nombre màxim de rotacions tinguin la direcció d’un dels eixos de la base, per evitar haver de projectar. Ja que els eixos de les tres rotacions no formen un triedre ortogonal, sempre caldrà projectar com a mínim una de les velocitats angulars ([math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}}, \vec{\dot{\theta}}, \vec{\dot{\varphi}} }[/math]). Si es tria adequadament la base, es pot aconseguir que les velocitats a projectar estiguin contingudes en un pla definit per dos eixos de la base, i això simplifica l’operació. Això porta a triar la base B o la B’. Les velocitats angulars que tindran dues components seran [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\varphi}} }[/math], quan s’empri la B, i [math]\displaystyle{ \vec{\dot{\psi}} }[/math] quan s’empri la B’:

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{forquilla}{R}}{B}=\vector{0}{0}{\dot\psi}, \braq{\velang{braç}{forquilla}}{B}=\vector{\dot{\theta}}{0}{0}, \braq{\velang{volant}{braç}}{B}=\vector{0}{\dot{\varphi}cos\theta}{\dot{\varphi}sin\theta} }[/math] [math]\displaystyle{ \braq{\velang{forquilla}{R}}{B'}=\vector{0}{\dot{\psi}sin\theta}{\dot{\psi}cos\theta}, \braq{\velang{braç}{forquilla}}{B'}=\vector{\dot{\theta}}{0}{0}, \braq{\velang{volant}{braç}}{B'}=\vector{0}{\dot{\varphi}}{0} }[/math]

---

---

C2.5 Acceleració angular d’un sòlid rígid

L’acceleració angular d’un sòlid rígid S respecte d’una referència R ([math]\displaystyle{ \accang{S}{R} }[/math]) és la derivada temporal de la seva velocitat angular respecte de R:

[math]\displaystyle{ \accang{S}{R}= \dert{\velang{S}{R}}{R} }[/math]

La descripció de la velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] pot ser qualsevol (rotacions al voltant d’eixos fixos, rotacions d’Euler...). Quan el sòlid fa un moviment pla respecte de R, la direcció de la seva velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] no canvia (és sempre perpendicular al pla del moviment). Per tant, l’acceleració angular només prové del canvi de valor de [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math], i és paral·lela a [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math]. En moviments generals a l’espai, si [math]\displaystyle{ \velang{S}{R} }[/math] es descriu mitjançant rotacions d’Euler, [math]\displaystyle{ \accang{S}{R} }[/math] pot provenir del canvi dels valors de ([math]\displaystyle{ \vecdot\psi }[/math], [math]\displaystyle{ \vecdot\theta }[/math],[math]\displaystyle{ \vecdot\varphi }[/math]) i del canvi de direcció de [math]\displaystyle{ \vecdot\theta }[/math] i [math]\displaystyle{ \vecdot\varphi }[/math] ([math]\displaystyle{ \vecdot\psi }[/math] és sempre de direcció constant respecte de R).

✏️ Exemple C2-5.1: giroscopi

---

La forquilla d’un giroscopi té moviment pla respecte del terra (R), amb velocitat angular [math]\displaystyle{ \velang{forquilla}{R}=\vecdot\psi }[/math] vertical. La seva acceleració angular és també vertical, de valor [math]\displaystyle{ \ddot{\psi}: \accang{S}{R}=\vec{\ddot{\psi}} }[/math].

L’acceleració angular del volant és més complicada. Es pot obtenir mitjançant la derivació geomètrica de [math]\displaystyle{ \velang{volant}{R}=\vecdot\psi+\vecdot\theta+\vecdot\varphi }[/math]. La rotació [math]\displaystyle{ \vecdot\varphi }[/math] es pot descompondre en una component vertical de valor [math]\displaystyle{ \dot\varphi\textrm{sin}\theta }[/math], i una d’horitzontal de valor [math]\displaystyle{ \dot\varphi\textrm{cos}\theta }[/math]. La component vertical només pot canviar de valor, mentre que l'horitzontal canvia de valor i de direcció (per causa de [math]\displaystyle{ \vecdot\psi }[/math]).

Derivada de les components verticals:

Derivada de les components horitzontals:

Càlcul analític ➕

El mateix resultat s’obté si la derivada es fa de manera analítica a través de la base vectorial que gira amb [math]\displaystyle{ \vecdot\psi }[/math] respecte de R o de la que gira amb [math]\displaystyle{ \vecdot\psi+\vecdot\theta }[/math] (també respecte de R):

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{volant}{R}}{B}=\vector{\dot\theta}{\dot\varphi cos\theta}{\dot\psi+\dot\varphi sin\theta}, }[/math]          [math]\displaystyle{ \braq{\accang{volant}{R}}{B}=\braq{\dert{\velang{volant}{R}}{R}}{B}=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}\braq{\velang{volant}{R}}{B}+\braq{\velang{B}{R}\times\velang{volant}{R}}{B} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\accang{volant}{R}}{B}=\vector{\ddot\theta}{\ddot\varphi cos\theta-\dot\varphi\dot\psi sin\theta}{\ddot\psi+\ddot\varphi sin\theta+\dot\varphi\dot\psi cos\theta}+\vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot\theta}{\dot\varphi cos\theta}{\dot\psi+\dot\varphi sin\theta}=\vector{\ddot\theta-\dot\psi\dot\varphi cos\theta}{\ddot\varphi cos\theta-\dot\varphi\dot\psi sin\theta+\dot\psi\dot\theta}{\ddot\psi+\ddot\varphi sin\theta+\dot\varphi\dot\psi cos\theta} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\velang{volant}{R}}{B'}=\vector{\dot\theta}{\dot\varphi+\dot\psi sin\theta}{\dot\psi cos\theta}, }[/math]          [math]\displaystyle{ \braq{\accang{volant}{R}}{B'}=\braq{\dert{\velang{volant}{R}}{R}}{B'}=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}\braq{\velang{volant}{R}}{B'}+\braq{\velang{B'}{R}\times\velang{volant}{R}}{B'} }[/math]

[math]\displaystyle{ \braq{\accang{volant}{R}}{B'}=\vector{\ddot\theta}{\ddot\varphi+\ddot\psi sin\theta+\dot\psi\dot\theta cos\theta}{\ddot\psi cos\theta-\dot\psi\dot\theta sin\theta}+\vector{\dot\theta}{0}{\dot\psi}\times\vector{\dot\theta}{\dot\varphi+\dot\psi sin\theta}{\dot\psi cos\theta}=\vector{\ddot\theta-\dot\psi(\dot\varphi+\dot\psi sin\theta)}{\ddot\varphi+\ddot\psi sin\theta+\dot\psi\dot\theta}{\ddot\psi cos\theta+\dot\theta\dot\varphi} }[/math]

---

---

C2.6 Cinemàtica de partícula VS cinemàtica de sòlid rígid

Partícula (punt) i sòlid rígid són dos models molt diferents. Des del punt de vista de la cinemàtica, el segon és molt més ric en incloure el concepte de rotació (inexistent en partícules, ja que aquestes no es poden orientar perquè no tenen dimensions). Per causa de les rotacions, els punts d’un mateix sòlid rígid poden descriure trajectòries diferents.

És important tenir present això per no emprar erròniament conceptes que només s’apliquen a un dels dos models quan es parla de l’altre. Els exemples següents il·lustren algunes afirmacions errònies i correctes.

✏️ Exemple C2-6.1: partícula dins una guia circular

---

La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] gira respecte de R: ERRONI El vector [math]\displaystyle{ \vec{\textbf{OP}} }[/math] gira respecte de R: CORRECTE La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] descriu una trajectòria circular respecte de R (o té un moviment circular respecte de R): CORRECTE

✏️ Exemple C2-6.2: partícula en un pla inclinat

---

La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] es trasllada respecte de R: ERRONI La partícula [math]\displaystyle{ \Ps }[/math] descriu una trajectòria rectilínia respecte de R (o té un moviment rectilini respecte de R): CORRECTE

✏️ Exemple C2-6.3: roda en contacte amb el terra sense lliscar i amb moviment pla

---

Els punts de la roda giren respecte de R: ERRONI

La roda gira respecte de R: CORRECTE

El centre de la roda es trasllada respecte de R: ERRONI

El centre de la roda té un moviment rectilini respecte de R: CORRECTE

Un sòlid rígid que gira pot tenir punts que facin moviments rectilinis.

Video C2.1 Visualització de les trajectòries de punts

✏️ Exemple C2-6.4: moviment d’una sínia

---

File:C2-Ex6-4-1-cat.png	L’anella gira respecte de R: CORRECTE La cabina gira respecte de R: ERRONI (si negligim el moviment pendular, el terra i el sostre de la cabina sempre són paral·lels al terra, i per tant no gira). La cabina es trasllada respecte de R: CORRECTE
	En aquest cas, tots els punts de la cabina fan moviments circulars del mateix radi respecte de R, però amb diferents centres de curvatura. En un cas com aquest, es poden combinar un concepte de cinemàtica de sòlid rígid (translació) amb un concepte de cinemàtica de partícula (moviment circular) per descriure el moviment de la cabina: La cabina té un moviment de translació circular respecte de R.

Els punts d’un sòlid rígid que es trasllada poden descriure moviments curvilinis.

---

---

C2.7 Graus de llibertat

Segons s’ha vist a través dels diversos exemples d’aquesta unitat, les velocitats dels punts d’un sistema mecànic depenen d’un conjunt de variables escalars de dimensions (longitud/temps) o (angle/temps). El conjunt mínim de variables escalars d’aquesta mena que cal per descriure el moviment del sistema constitueix el conjunt de graus de llibertat (GL) del sistema.

Quan el sistema és un únic sòlid rígid lliure a l’espai (sense contacte amb cap objecte material), el nombre de GL és 6: tres associats al moviment d’un punt (per exemple, [math]\displaystyle{ (\dot{\textrm{x}}, \dot{\textrm{y}}, \dot{\textrm{z}}) }[/math]) i tres al canvi d’orientació del sòlid (per exemple, [math]\displaystyle{ (\dot{\psi}, \dot{\theta}, \dot{\varphi}) }[/math]).

En el context de l’enginyeria mecànica, els sistemes mecànics habituals són sistemes multisòlid: conjunts de sòlids rígids mútuament enllaçats mitjançant articulacions, ròtules, juntes diverses... Per causa d’aquests enllaços, l’estat mecànic de cada sòlid (és a dir, la seva configuració a l’espai i el seu moviment) està relacionat amb el dels altres: en un sistema multisòlid amb N sòlids, el nombre de GL és inferior a 6N.

---

---

C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics

Un enllaç restringeix el moviment relatiu entre dos sòlids, i per tant limita el nombre de graus de llibertat d'un respecte de l'altre. La taula següent recull els enllaços més habituals.

File:C2-8-contpuntual-cat.png	Contacte puntual amb lliscament: Permet tres rotacions independents entre els dos sòlids (al voltant de la direcció normal i de les dues tangencials), i dues translacions independents (al llarg de les dues direccions tangencials). Contacte puntual sense lliscament: Permet tres rotacions independents entre els dos sòlids (al voltant de la direcció normal i de les dues tangencials).
	Enllaç de revolució (articulació): Permet una rotació entre els dos sòlids al voltant de l’eix 1.
	Enllaç cilíndric: Permet una rotació entre els dos sòlids al voltant de l’eix 1, i una translació (desplaçament sense rotació) al llarg de l’eix 1.
	Enllaç prismàtic: Permet una translació entre els dos sòlids al llarg de l’eix 1.
	Enllaç esfèric (ròtula esfèrica): Permet tres rotacions independents entre els dos sòlids al voltant dels eixos 1, 2, 3.
	Enllaç helicoidal (enllaç cargolat): Permet una rotació entre els dos sòlids al voltant de l’eix 3; aquesta rotació provoca un desplaçament al llarg de l’eix 3. La relació entre la rotació i el desplaçament ve donada pel pas de rosca e [mm/volta].
File:C2-8-Cardan rev.png	Junta Cardan (junta universal o de creueta): Permet dues rotacions independents entre els dos sòlids al voltant dels eixos 1, 3. L'enllaç és indirecte, a través de la creueta, que es considera un sòlid auxiliar d'enllaç (Video C2.2).

Video C2.2 Junta Cardan (junta universal o de creueta)

Video C2.3 Graus de Llibertat d'una roda emb moviment pla i contacte amb el terra

✏️ Exemple C2-8.1: GL d’un giroscopi

---

En el giroscopi, el suport no es mou respecte del terra (R). Entre forquilla i suport, entre braç i forquilla, i entre volant i braç hi ha articulacions. Va bé representar això en un diagrama simplificat:

File:C2-Ex8-1-cat-color.png

La posició respecte del terra del punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] no canvia. Per tant, la configuració del giroscopi queda totalment definida pels tres angles [math]\displaystyle{ (\psi,\theta,\varphi) }[/math]: el giroscopi té 3 CI respecte del terra.

Pel que fa al seu moviment, ja que la variació de qualsevol d’aquests angles no implica la dels altres dos, les seves evolucions són independents: el giroscopi té 3 GL respecte del terra, que es poden descriure com a [math]\displaystyle{ (\dot\psi,\dot\theta,\dot\varphi) }[/math].

✏️ Exemple C2-8.2: GL d’un tricicle

---

El tricicle és un sistema de 5 sòlids: el xassís, el manillar i les tres rodes. No hi ha cap element fix a terra. Entre les rodes del darrere i el xassís, entre el manillar i el xassís, i entre la roda del davant i el manillar hi ha articulacions. Per altra banda, les rodes toquen a terra: això també és una restricció. Si es mou sobre un terra pla sense que les rodes patinin, aquest contacte es pot idealitzar com a contacte puntual sense lliscament (que hi hagi o no lliscament en un contacte és una conseqüència de la dinàmica del sistema; en el context de la cinemàtica, això es formula com a hipòtesi).

File:C2-Ex8-2-1-cat.png

Una manera eficaç de determinar el nombre de GL d’un sistema respecte d’una referència és comptar quants moviments cal aturar perquè el sistema quedi totalment en repòs. En el cas del tricicle, si s’atura el moviment del punt [math]\displaystyle{ \Os }[/math] (que només pot ser en la direcció longitudinal si les rodes no patinen), el xassís no es podria moure [math]\displaystyle{ (\dot\psi=0) }[/math], però el manillar i la roda del davant podrien pivotar al voltant de l’eix vertical que passa pel centre de la roda [math]\displaystyle{ (\dot\psi'\neq 0) }[/math]. Si s'atura aquest últim moviment, el tricicle ja no es mou. S’han aturat dos moviments, per tant el tricicle té 2 GL.

✏️ Exemple C2-8.3: GL d’una closca esfèrica sobre una plataforma

---

El sistema consta de 4 sòlids: la plataforma, la closca, el braç i la forquilla. Entre la plataforma i el terra, entre la closca i el braç, entre el braç i la forquilla, i entre la forquilla i el sostre (terra) hi ha articulacions. Per altra banda, entre closca i plataforma hi ha un contacte puntual sense lliscament.

File:C2-Ex8-3-cat-color.png

Per comptar els GL del sistema respecte del terra (R), es poden bloquejar moviments fins que tot queda aturat:

• bloquegem la rotació de la plataforma respecte del terra
• bloquegem la rotació de la forquilla respecte del terra

En aquestes condicions, tot i que l’articulació entre closca i braç permet una rotació, aquesta rotació faria patinar la closca sobre la plataforma, i això va en contra de la hipòtesi que es tracta d’un contacte sense lliscament. Per tant, el sistema està totalment aturat: té 2 GL respecte del terra.

---

---

C2.E Exercicis resolts

🔎 Exercici C2-E.1

---

EN CONSTRUCCIÓ

Resolució ➕

EN CONSTRUCCIÓ

🔎 Exercici C2-E.2

---

EN CONSTRUCCIÓ

Resolució ➕

EN CONSTRUCCIÓ

🔎 Exercici C2-E.3

---

EN CONSTRUCCIÓ

Resolució ➕

EN CONSTRUCCIÓ

© Universitat Politècnica de Catalunya. Tots els drets reservats

---

---

<<< C1. Configuració d'un sistema mecànic

C3. Composició de moviments >>>