Mecànica - Canvis recents [ca]

D6. Exemples de dinàmica 2D

Eantem — Wed, 22 Jul 2026 11:54:44 GMT

✏️ Exemple D6.1bis: equació del moviment i condició límit de pèrdua de contacte

← Versió més antiga		Revisió del 11:54, 22 jul 2026
(Hi ha 41 revisions intermèdies del mateix usuari que no es mostren)
Línia 183:		Línia 183:

	[[Fitxer:ExD6-1bis-1-cat.png\|thumb\|left\|210px\|link=]]		[[Fitxer:ExD6-1bis-1-cat.png\|thumb\|left\|210px\|link=]]
			<br>
			<br>
	El disc homogeni, de massa m i radi r, es mou sense lliscar sobre una superfície cilíndrica fixa a terra. Es tracta de <u>determinar l’equació del moviment per a la coordenada θ .</u><br>		El disc homogeni, de massa m i radi r, es mou sense lliscar sobre una superfície cilíndrica fixa a terra. Es tracta de <u>determinar l’equació del moviment per a la coordenada θ .</u><br>



	Les descripcions cinemàtica i dinàmica (DSL) del problema són:		Les descripcions cinemàtica i dinàmica (DSL) del problema són:
			<br>
			<br>
			<br>
			<br>

	---~~---------~~		[[Fitxer:ExD6-1bis-2-cat.png\|thumb\|center\|420px\|link=]]

	~~[[Fitxer:ExD6-2-2-cat-esp.png\|thumb\|center\|420px\|link=]]~~		Les incògnites del problema són <math>\dot{\theta}, \Ns, \Ts</math><br>
	Les incògnites del problema són <math>\~~ddot~~{\theta}, \Ns, \Ts</math> ~~. La força tangencial T és l’objectiu del càlcul, doncs la condició límit de lliscament imminent es formula sobre aquesta força: <math>\Ts_\mathrm{màx}=\mu_\mathrm{mín}\Ns.</math> .~~ <br>

	<u>Full de ruta</u><br>		<u>Full de ruta</u><br>

	~~La força T apareix tant~~ a ~~la component horitzontal del TQM com a la component perpendicular al pla del~~ TMC a ~~<math>\Gs</math>~~. En ~~les dues equacions~~, ~~però, apareix també~~ la ~~incògnita <math>\ddot{\theta}</math>. Per altra banda~~, ~~cal conèixer també el valor de N~~ per ~~poder imposar~~ la ~~condició límit~~. ~~Per tant~~:<math>\boxed{\text{Full de ruta: ~~TQM i~~ TMC a } ~~\Gs~~}</math> ~~<br>~~		En tractar-se d’un GL de rotació, el full de ruta òptim és aplicar el TMC a '''J'''. Però ja que '''J''' és un punt de
			contacte, pot ser més senzill aplicar el TMC a '''G'''. En aquest cas, la força T apareixerà (doncs dóna
			moment no nul respecte de '''G'''), i caldrà afegir una equació per determinar-la. Així doncs:
			<br>

			<math>\boxed{\text{Full de ruta: TMC a G i TQM (component tangencial)}}</math>



	<math>		<math>
	\left.\begin{array}{ll}		\left.\begin{array}{ll}
	\~~text~~ { TQM~~: } \hspace{1.2cm~~} ~~\left\~~{\~~begin~~{~~array~~}{l}		\mathrm{TQM\|}_{\text {tang }} \hspace{1.2cm} (\nwarrow\mathrm{T})+(\searrow \mathrm{mg} \sin \theta)=m\left(\searrow \mathrm{(R+r)} \ddot{\mathrm{\theta}}\right) \\
	(\~~rightarrow \mathrm~~{F} ~~\cos \beta)+~~(\~~leftarrow~~ \mathrm{T})=(\~~rightarrow~~ \mathrm{mR} \~~ddot{~~\theta}) \\		\text { TMC a }\Gs: \hspace{0.5cm}\quad (\otimes\Ts\rs)=(\otimes \Is_\mathrm{G} \ddot{\theta})=\left(\otimes \frac{1}{2} \ms \rs^2\ddot{\theta} \right)
	(\~~downarrow~~ \mathrm{F} \~~sin \beta)+(\uparrow~~ \mathrm{N}~~)=0~~
	~~\end{array~~}\right. \\
	\text { TMC a }\Gs: \quad (\otimes\Ts\Rs)=(\otimes \Is_\mathrm{G} \ddot{\theta})=\left(\otimes \frac{1}{2} \ms \Rs^2\ddot{\theta} \right)
	\end{array}\right\}		\end{array}\right\}
	\Rightarrow		\Rightarrow
	\left\{\begin{array}{l}		\left\{\begin{array}{l}
	\ddot{\theta}=\frac{2}{3} \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{mR}~~} \cos \beta \\~~		\ddot{\theta}=\frac{2}{3} \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{R+r}} \sin \theta
	~~\mathrm{T}=\frac{1}{3} \mathrm{~F} \cos \beta \\~~
	~~\mathrm{N}=\mathrm{F~~} \sin \~~beta~~
	\end{array}\right.		\end{array}\right.
	</math><br>		</math><br>

	<math>\mathrm{T}_{\text {màx }}=\mu_{\text {mín }} \mathrm{N} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{3} \mathrm{F}_{\mathrm{màx} } \cos \beta=\mu_{\text {mín }} \mathrm{F}_{\mathrm{màx}} \sin \beta \quad \Rightarrow \quad \mu_{\text{mín} }=\frac{1}{3 \tan \beta} \\
	~~</math>~~
	~~</small>~~

	====✏️ Exemple D6.2: condició límit de lliscament ====		====✏️ Exemple D6.2: condició límit de lliscament ====

Fitxer:ExD6-1bis-2-cat.png

Eantem — Wed, 22 Jul 2026 10:58:59 GMT

Eantem ha carregat Fitxer:ExD6-1bis-2-cat.png

Pàgina nova

D6. Exemples de dinàmica 2D

Eantem — Wed, 22 Jul 2026 10:57:16 GMT

✏️ Exemple D6.1bis: equació del moviment i condició límit de pèrdua de contacte

@@ Línia 176: / Línia 176: @@
 ==D6.3 Exemples d’un únic sòlid==
 ====✏️ Exemple D6.2: condició límit de lliscament ====
 ------

Fitxer:ExD6-1bis-1-cat.png

Eantem — Wed, 22 Jul 2026 10:52:34 GMT

Eantem ha carregat Fitxer:ExD6-1bis-1-cat.png

Pàgina nova

D6. Exemples de dinàmica 2D

Eantem — Wed, 22 Jul 2026 10:44:49 GMT

D6.2 Diagrama de sòlid lliure (DSL) i full de ruta per un sistema d'un únic sòlid

← Versió més antiga		Revisió del 10:44, 22 jul 2026
(Hi ha 3 revisions intermèdies del mateix usuari que no es mostren)
Línia 165:		Línia 165:
	immediata) en la direcció de <math>\overline{\dot{\qs_\mathrm{i}}}</math> no conté cap moment d’enllaç. Si no hi ha friccions, aquesta component condueix directament a l’equació del moviment. Si hi ha frec sec, cal alguna equació més.		immediata) en la direcció de <math>\overline{\dot{\qs_\mathrm{i}}}</math> no conté cap moment d’enllaç. Si no hi ha friccions, aquesta component condueix directament a l’equació del moviment. Si hi ha frec sec, cal alguna equació més.

	De vegades, la caracterització immediata és possible només en un punt de contacte del sòlid amb el terra (punt J). L’aplicació del TMC a J és delicada: cal especificar si es tracta de <math>\Js_\mathrm{sòlid}</math>, <math>\Js_\mathrm{terra}</math>, <math>\Js_\mathrm{geom}</math> (<span style="text-decoration: underline;">[[D4.5_Teorema_del_Moment_Cinètic_(TMC):_formulacions_particulars\|'''secció D4.5''']]</span>), i això és una dificultat afegida. En aquest cas pot ser més segur aplicar el TMC en un altre punt. Llavors caldrà combinar diverses equacions escalar per arribar a l’equació del moviment.		De vegades, la caracterització immediata és possible només en un punt de contacte del sòlid amb el terra (punt J). L’aplicació del TMC a J és delicada: cal especificar si es tracta de <math>\Js_\mathrm{sòlid}</math>, <math>\Js_\mathrm{terra}</math>, <math>\Js_\mathrm{geom}</math> (<span style="text-decoration: underline;">[[D4._Teoremes_vectorials#D4.5_Teorema_del_Moment_Cinètic_(TMC):_formulacions_particulars\|'''secció D4.5''']]</span>), i això és una dificultat afegida. En aquest cas pot ser més segur aplicar el TMC en un altre punt. Llavors caldrà combinar diverses equacions escalar per arribar a l’equació del moviment.


	~~[[D4._Teoremes_vectorials#D4.5_Teorema_del_Moment_Cinètic_(TMC):_formulacions_particulars\|secció D4.5]]~~

	<u>Full de ruta per a la determinació de forces (o moments) associats a enllaços o a actuadors.</u>		<u>Full de ruta per a la determinació de forces (o moments) associats a enllaços o a actuadors.</u>
Línia 173:		Línia 173:
	Per calcular forces o moments, no és possible donar una sistemàtica tan segura com la que s’ha exposat per a les equacions del moviment. En general, però, és aconsellable començar per explorar la component del TQM/TMC (si es vol determinar una força(un moment) que correspon a la direcció de la força/moment.		Per calcular forces o moments, no és possible donar una sistemàtica tan segura com la que s’ha exposat per a les equacions del moviment. En general, però, és aconsellable començar per explorar la component del TQM/TMC (si es vol determinar una força(un moment) que correspon a la direcció de la força/moment.

	<u>NOTA</u>: Com s’acaba d’explicar, les friccions compliquen els procediments de resolució. És possible, però, que ~~encesos~~ amb frec ser hi hagi fulls de ruta òptims (que minimitzen el nombre d’equacions escalars a manipular) que s’escapen a les sistemàtiques exposades abans.		<u>NOTA</u>: Com s’acaba d’explicar, les friccions compliquen els procediments de resolució. És possible, però, que en casos amb frec ser hi hagi fulls de ruta òptims (que minimitzen el nombre d’equacions escalars a manipular) que s’escapen a les sistemàtiques exposades abans.




	~~\overline{\dot{\qs_\mathrm{i}}}~~

	==D6.3 Exemples d’un únic sòlid==		==D6.3 Exemples d’un únic sòlid==