D5. Geometria de masses

2024-07-05T08:54:05Z

Ebosch: /* D5.1 Centre d'inèrcia */

D5. Geometria de masses

2024-07-05T08:53:50Z

Ebosch: /* D5.1 Centre d'inèrcia */

D5. Geometria de masses

2024-07-05T08:53:38Z

Ebosch: /* D5.1 Centre d'inèrcia */

D4. Teoremes vectorials

2024-05-05T19:51:39Z

Ebosch: /* 💭 Demostració ➕ */

<div class="noautonum">__TOC__</div>

<math>
\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\ss}{\textsf{s}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\JGvec}{\vec{\Js\Gs}}
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}
\newcommand{\H}[3]{\vec{\mathbf{H}}_{\text{#3}}^{#2}(\textbf{#1})}
</math>

Els '''Teoremes Vectorials''' són una eina per resoldre la dinàmica dels sistemes mecànics, i s’obtenen a partir de la llei fonamental de la dinàmica ([[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]) i del principi d’acció i reacció ([[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''tercera llei de Newton''']]).

En aquest curs, es presenta només la versió dels teoremes per al cas de sistemes de matèria constant. Tot i que això inclou sistemes amb fluids, els exemples d’aplicació en aquest curs són essencialment sistemes multisòlid formats per sòlids rígids.

En començar un problema, és essencial identificar les incògnites que conté el sistema que s’estudia i analitzar si els teoremes vectorials proporcionen el nombre suficient d’equacions per resoldre-les totes (cal saber si el problema és determinat o indeterminat!). Les incògnites es poden classificar en tres grups:
:*Evolució temporal dels [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''graus de llibertat''']] lliures (no controlats per actuadors) del sistema. Les equacions que les regeixen s’anomenen '''equacions del moviment'''. Si els GL lliures es descriuen mitjançant derivades temporals de coordenades (<math>\dot{q}_i</math>, amb i=1,2,3...), la seva evolució temporal són les segones derivades temporals d’aquests coordenades (acceleracions). El seu aspecte general és:

<center><math>\ddot{\qs}_\is=f(\qs_\js,\dot{\qs}_\js,\ddot{\qs}_\js,\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center>

La dependència en les segones derivades temporals <math>(\ddot{q}_j)</math> és sempre lineal, en tant que al dependència en les coordenades i les velocitats <math>(q_i,\dot{q}_j)</math> pot ser de qualsevol tipus. Els paràmetres dinàmics són la massa dels elements i els associats a la seva distribució a l’espai, i els paràmetres associats a les interaccions sobre el sistema (constants de molles i amortidors, coeficients de fricció, constants del camp gravitatori...); els paràmetres geomètrics tenen a veure amb la forma dels elements del sistema (distàncies i angles).

:* Accions dels [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.6 Interacció per mitjà d’actuadors|'''actuadors''']]: són les forces (si es tracta d’actuadors lineals) i moments (si són actuadors rotacionals) necessaris per garantir unes evolucions prefixades dels GL que controlen. Com s’ha comentat a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.6 Interacció per mitjà d’actuadors|'''secció D2.6''']], en alguns casos es pot considerar que les accions dels actuadors són dades, i llavors les incògnites associades són les evolucions dels GL que controlen.

:* [[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''Forces i moments d’enllaç''']]: el nombre d’incògnites associades als enllaços depèn de la descripció que se’n faci ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''enllaços directes''']], [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''enllaços indirectes''']]). Quan un problema de dinàmica és indeterminat, la indeterminació sempre es refereix a les components dels torsors d’enllaç, mai als GL (lliures o forçats).

---------
---------
==D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes==
Considerem un sistema de partícules de matèria constant ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Quantitat de Moviment''' (TQM) s’obté a partir de l’aplicació de la segona llei de Newton a cada partícula <math>\Ps</math> del sistema. Si la referència que es considera és galileana:

<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, on <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> és la força resultant d’interacció sobre <math>\Ps</math>.

[[Fitxer:D4-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]
<center>'''Figura D4.1''' Forces sobre una partícula d’un sistema de partícules de matèria constant</center>

Les forces que actuen sobre cada partícula es poden classificar en dos grups: internes (que provenen de la interacció amb altres partícules del sistema) i externes (associades a les interaccions amb elements externs al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si aquestes equacions se sumen per a totes les partícules, les forces internes entre parelles de partícules es cancel·len dues a dues pel principi d’acció i reacció:

<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math></center>

El terme de l’esquerra és la resultant de forces externes sobre el sistema, i se sol escriure simplement com a <math>\sum\F{ext}</math>. El terme de la dreta es pot reescriure com a <math>M\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{M}\acc{P}{RGal}\right]</math>, on M és la massa total del sistema <math>\left(M\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El terme <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{M}\acc{P}{RGal}\right]</math> és una acceleració ponderada, on la ponderació és proporcional a la massa de cada partícula. Aquesta acceleració s’associa a un punt anomenat '''centre de masses''' (o '''centre d’inèrcia''') del sistema, i en aquest curs es designa amb la lletra <math>\Gs</math>. Per a una referència qualsevol, doncs, la cinemàtica de <math>\Gs</math> queda descrita per les equacions ('''Figura D4.2'''):

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps_\is}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center>

[[Fitxer:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
<center>'''Figura D4.2''' Centre de masses (o d’inèrcia) d’un sistema de matèria constant</center>

En el cas de conjunts continus de partícules (com són un conjunt de sòlids rígids, deformables, o fluids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center>

Finalment, el TQM s’escriu com a:

<center><math>\sum\F{ext}=M\acc{P}{RGal}</math></center>

Aquesta equació és molt propera a la [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]: el centre de masses <math>\Gs</math> es comporta com si fos una partícula de massa igual a la massa total del sistema, i sobre la qual actuessin totes les forces externes al sistema. Malgrat el paral·lelisme entre el TQM i l’equació de dinàmica de la partícula, hi ha dues diferències fonamentals:

:*la massa del sistema no està localitzada a <math>\Gs</math> (fins i tot, pot ser que <math>\Gs</math> estigui situat en una zona del sistema sense massa, com és el cas en una anella homogènia);

:*les forces externes no estan aplicades a <math>\Gs</math> en general.

El TQM s’anomena així perquè permet conèixer l’evolució, a partir del coneixement de [[C1. Configuració d'un sistema mecànic|'''l’estat mecànic''']] inicial i de les interaccions externes, de la '''quantitat de moviment''' del sistema (que, en una referència qualsevol R, es defineix com a <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=M\vel{G}{R}</math>):

<center><math>\sum\F{ext}=M\acc{G}{RGal}=\dert{M\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center>

La localització del centre de masses en els sistemes que s’estudien (ja sigui un únic sòlid rígid o un sistema multisòlid) es presenta breument a la [[D5. Tensor d’inèrcia#D5.1 Centre de masses|'''secció D5.1''']]. Per a sòlids homogenis de geometria molt senzilla, la posició de G es pot deduir sovint a partir de les simetries del sòlid.
En problemes plans (de cinemàtica 2D), només les dues components del TQM compreses en el pla són interessants.

------------
------------

==D4.2 Exemples d’aplicació del TQM==

<div>
====✏️ Exemple D4.1: càlcul d’una força d’enllaç ====

------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex1-1-neut.png|thumb|center|180px|link=]]
|Els tres blocs homogenis són llisos i estan en contacte entre ells i amb un terra horitzontal, també llis. Es tracta d’investigar el valor de la força horitzontal d’enllaç entre els blocs Q i S quan s’aplica una força horitzontal F al bloc de l’esquerra.
Tots els enllaços que apareixen en aquest sistema són contactes multipuntuals entre superfícies llises. Per tant, cada torsor associat, caracteritzat en un punt del contacte corresponent, conté una component de força i una de moment ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|exemple D3.4]]). Tot i així, en l’aplicació del TQM només intervenen les forces, i per tant no es representen els moments en les figures següents.
|}

Per tal que la força d’enllaç <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparegui a la component horitzontal del TQM, cal aplicar el teorema a un sistema on aquesta força sigui externa. Per exemple, al bloc S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>.

[[Fitxer:D4-Ex1-2new-neut.png|thumb|center|200px|link=]]

Aquesta equació conté dues incògnites: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> i <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ja que el moviment dels tres blocs provocat per la força F és el mateix, l’acceleració es pot obtenir amb el TQM aplicat a tot el sistema:
<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center>

</div>
<div>

====✏️ Exemple D4.2: moviment inicial d’un sistema ====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex2-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]
|Els blocs homogenis es troben inicialment en repòs sobre un terra rugós, i units mitjançant una molla comprimida amb una tensió <math>\Fs_0=\ms\gs</math> i un fil inextensible. En un cert instant, es talla el fil i el sistema comença a moure’s.
|}

Es tracta de calcular l’acceleració del centre d’inèrcia del sistema respecte del terra. Aquesta acceleració es pot obtenir a partir de la component horitzontal del TQM aplicat a tot el sistema. La molla és interna, i per tant la seva força no apareix: <math>\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{terra}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.

Les forces que el terra exerceix sobre cadascun dels blocs poden ser d’enllaç (si els blocs no es mouen, i llavors són incògnites), o de fricció (si els blocs es mouen respecte del terra, i en aquest cas són formulables). També pot donar-se el cas que un bloc llisqui i l’altre no.

El valor d’una força d’enllaç s’adapta per tal de garantir una restricció. En el cas dels blocs, cal investigar si aquestes forces poden assolir el valor necessari per evitar que els blocs llisquin sobre el terra, i estan acotades pel valor del coeficient de fricció estàtica entre blocs i terra:

<math>|\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math>

<math>|\F{\text{terra}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math>

Si s’aplica el TQM a cada bloc per separat, la força de la molla passa a ser externa. Aquesta força (de valor mg) pot ser contrarestada per la força d’enllaç en el cas del bloc de massa <math>2\ms</math> (per tant, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), però no en el del bloc de massa m:
[[Fitxer:D4-Ex2-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

L’aplicació del TQM al bloc de massa m condueix a:

<math>\left.\begin{aligned}
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{terra}\rightarrow2\ms}+\F{\text{molla}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math>

Finalment: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.

</div>
<div>
====✏️ Exemple D4.3: estudi d’una condició límit ====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]
|L’esfera homogènia de massa M descansa sobre dues falques idèntiques, de massa m, que es troben al damunt del terra. Entre esfera i falques no hi ha fregament, però entre falques i terra hi ha fregament de coeficient <math>\mu</math>. El sistema es troba inicialment en repòs respecte del terra. Es tracta de terminar el valor màxim de M, en funció de m, que permet que el sistema segueixi en repòs.
|}

Si res no belluga, les forces horitzontals d’interacció entre terra i falques són d’enllaç i no superen el valor límit <math>/mu\ns</math> (on <math>\Ns</math> és la força normal que cada falca rep del terra). El torsor d’enllaç del terra sobre les falques conté també un moment resultant perpendicular a la figura:
Si es vol estudiar la possibilitat de bolcament de les falques, aquest moment és rellevant. En aquest exemple, però, la forma les falques garanteix que no bolquen, i es treballa només amb les forces.
L’aplicació del TQM a tot el sistema, a una falca i a l’esfera condueix a les equacions següents:

[[Fitxer:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]

<center>
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"
|- style="vertical-align:top;"
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + falques

<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: falca de l'esquerra

<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera

<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math>
|}</center>

Combinant les dues últimes equacions: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor màxim de M per al qual encara hi ha equilibri correspon a la situació en què la força tangencial d’enllaç T pren el valor màxim possible: <math>\Ts = \Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns</math>. Tenint en compte que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs</math>:

<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{màx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{màx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math>

</div>

------------
------------

==D4.3 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències no galileanes==
La versió del TQM en una referència no galileana NGal s’obté també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada partícula (o cada diferencial de massa) del sistema a la referència NGal (secció D1.7). En principi, doncs, aquesta equació contindrà dues forces d’inèrcia: la d’arrossegament i la de Coriolis ('''Figura D4.3'''):

<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,

on <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> i <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math>
[[Fitxer:D4-3-cat.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.3:''' Forces d’inèrcia en una referència no galileana</center>
Sumant les equacions per a totes les partícules, s’obté: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math>
massa total del sistema.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
------
:
Pel principi d’acció i reacció, la suma per a totes les partícules de les forces d’interacció condueix a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math>

Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el
centre de masses (secció D4.2):

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

Així doncs: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math>

</div>

<div>
====✏️ Exemple D4.4: desplaçament vibratori====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
|El bloc de massa m es troba inicialment en repòs
sobre un suport que oscil·la respecte del terra
d’acord amb el gràfic de velocitat que es mostra a
la figura. Es tracta d’investigar la possibilitat que
el bloc llisqui al damunt del suport.
La condició de repòs del bloc respecte del suport
(que és una referència no galileana en tenir un
moviment accelerat respecte del terra) demana:

<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sup\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> perquè <math>\velang{sup}{T} = \vec{0}</math>
|}

La força d’arrossegament sobre el bloc és estrictament horitzontal. Per tant, la component vertical d’aquesta equació condueix a <math>N = mg</math> . Pel que fa a la component horitzontal, contindrà la força
d’interacció entre bloc i suport. Si el bloc no llisca al damunt del suport, aquesta força és d’enllaç, i el seu valor està acotat: <math>0\leq\mid\Fs_{sup\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si llisca, és una força de fricció de valor <math>\mu\ms\gs</math>, oposada a la velocitat de lliscament.

Entre <math>t=0</math> i <math>t = 0,4s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math> i per tant la força
d’arrossegament és <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$suport}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor es troba dins del marge de valors permesos per a la força d’enllaç horitzontal del suport sobre el bloc. Per tant, aquesta força prendrà el valor <math>\F{sup\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>, contrarestarà la <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs}</math> i es mantindrà el repòs entre els dos elements.

Entre <math>t=0,4s</math> i <math>t = 0,6s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Per tant,<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. En sobrepassar el valor màxim de la força horitzontal d’enllaç, no podrà ser contrarestada. El bloc començarà a lliscar, i la força horitzontal d’interacció entre suport i bloc serà de fricció:

<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} + \F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

A l’instant <math>t = 0,6s</math>, la velocitat del bloc respecte del suport és

<math>\vel{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.

Tot i entrar en la zona on <math>\mid\Fcal{ar}{sup\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la força horitzontal entre suport i bloc segueix sent de fricció <math>(\F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> fins aconseguir aturar el bloc.

L’acceleració del bloc respecte del suport és:

<math>\acc{G}{sup} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

En tractar-se d’un moviment uniformement desaccelerat, és fàcil calcular l'instant per al qual el bloc deixa de lliscar:

<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sup} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sup} + \acc{$\Gs,t_f$}{sup}(t_f - t_i)</math>,
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math>

En aquest instant, la força del suport sobre el bloc passa a ser d’enllaç, i ens trobem en una situació anàloga a la inicial. Per tant, el lliscament no recomençarà fins a <math>\ts = 1,4s</math>. L’estudi per als intervals posteriors segueix els mateixos passos que en l’estudi de l’interval <math>[0,1,4s]</math>. La figura mostra l’evolució de la cinemàtica del bloc respecte del suport, i de les forces que hi actuen.

[[Fitxer:D4-Ex4-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

</div>

-----------
-----------

==D4.4 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulació general==

L’estudi de la dinàmica d’un sòlid rígid (i per tant, d’un sistema multisòlid) no queda mai totalment resolta amb el TQM quan el sòlid gira: el TQM només informa sobre el moviment d’un punt (<math>\Gs</math>), i no sobre la rotació.

El '''Teorema del Moment Cinètic''' (TMC) es troba a la literatura enunciat de dues maneres diferents. En aquest curs, s’ha optat per una formulació paral·lela a la del TQM: en una banda apareixen termes que només tenen a veure amb les interaccions externes sobre el sistema, mentre que a la dreta apareix la derivada temporal d’un vector que depèn només de la geometria de masses del sistema i del seu [[C1. Configuració d'un sistema mecànic#|'''estat mecànic''']].

Com ja s’ha vist quan s’ha introduït el concepte de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor d’un sistema de forces''']], el que es relaciona amb la rotació d’un sòlid és el moment de les forces, no la força resultant. Per tant, si bé el TMC es demostra també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada diferencial de massa del sistema, caldrà transformar les forces que hi apareixen en moment d’aquestes forces respecte d’un punt <math>\Qs</math>.

Aquestes dues consideracions (formulació paral·lela al TQM i necessitat de triar un punt <math>\Qs</math> per calcular el moment de les forces) porta a partir de la formulació de la segona llei de Newton en la '''Referència que es Trasllada amb Q (RTQ)''' respecte d’una referència galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, aquesta referència no és galileana, i per tant cal tenir en compte en principi les [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''forces d’inèrcia d’arrossegament''']] ('''Figura D4.3''').

[[Fitxer:D4-4-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D4.4:''' Forces d’inèrcia a la Referència que es Trasllada amb un punt <math>\Qs</math> (RTQ)</center> 

Considerem un sistema de partícules amb matèria constant. La segona llei de Newton aplicada a cada partícula del sistema i a la RTQ és: 

<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , 

on <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , i <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ja que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>. 

Si els dos costats de l’equació es multipliquen vectorialment per <math>\QPvec</math> i es suma per totes les partícules (o elements de massa) del sistema, s’obté el TMC al punt <math>\Qs</math>: 

<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{P}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math> 

on <math>\Ms</math> és la massa total del sistema, i <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> és el '''moment cinètic del sistema respecte el punt''' <math>\Qs</math>. 

Si el sistema té elements continus (per exemple, un sistema amb N sòlids rígids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \frac{1}{\Ms_\is} \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====

La segona llei de Newton per a cada element de massa multiplicada vectorialment per <math>\QPvec</math> és:

<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math>

El terme de la dreta es pot reescriure com a:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

En ser <math>\Qs</math> un punt de la RTQ, es pot prendre com a origen d’un vector de posició de <math>\Ps</math> en aquesta referència, i per tant:

<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

Tenint en compte que la massa és constant:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math>

La suma d’aquest terme per a tots els elements P condueix a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

Si les forces d’interacció sobre cada partícula <math>\Ps</math> es classifiquen en internes i externes, la suma per a totes les partícules del sistema del costat esquerre de la primera equació esdevé:

<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math>

<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> 
ja que el principi d’acció i reacció garanteix que el moment total d’una parella de forces d’acció i reacció és nul: 

<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math> 
Agrupant tots els termes: 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

</div>

---------
---------

==D4.5 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulacions particulars==
El TMC pren expressions més senzilles quan el punt <math>\Qs</math> és fix a una referència galileana o quan és el centre de masses del sistema. 

* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, anomenem aquesta versió “TMC a punt fix”, on se sobreentén que “fix” vol dir “fix a una referència galileana”. Quan és el cas, normalment emprarem la lletra <math>\Os</math> per designar el punt <math>\Qs</math>. 

* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math>Cal notar que, si bé l’expressió és similar a la versió a punt fix, el centre de masses <math>\Gs</math> no té per què ser fix a una referència galileana.

Quan <math>\Qs</math> no és ni un punt fix a RGal ni coincideix amb el centre de masses, se sol parlar de la versió del TMC “a punt mòbil”. Tot i que <math>\Qs</math> sigui un punt mòbil respecte de RGal, el terme associat a les forces d’inèrcia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> pot ser nul si <math>\Qs</math> es mou a velocitat costant respecte de RGal, o si la seva acceleració respecte de RGal és paral·lela a <math>\QGvec</math> .

<center>
{| class="wikitable"
|+
|-
! '''TMC a punt fix''' !! '''TMA a '''<math>\Gs</math> !! '''TMC a un punt mòbil '''<math>\Qs</math>
|-
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center>
||
<center>
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center>
||
<center>
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math> 

<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center>

|}
</center>

El vector moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no és senzill de calcular en general, i es presenta a la [[D5. Geometria de masses|'''unitat D5''']]. 

En problemes de cinemàtica plana (2D), si el moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sòlid del sistema que s’estudia és paral·lel a la velocitat angular del sòlid <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que és de direcció ortogonal al pla del moviment), només la component del TMC perpendicular al pla és interessant. En aquest cas es diu que el problema és de dinàmica plana (2D). 

En problemes d’estàtica, tant la quantitat de moviment com el moment cinètic a qualsevol punt són nuls permanentment, i per tant són nul·les també les seves derivades temporals. L’estudi de la dinàmica en un pla també es pot fer a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.

<div>
===TMC en un punt de contacte entre dos sòlids===
Un enllaç que apareix sovint en els sistemes mecànics és el contacte puntual entre parelles de sòlids (S1 i S2, per exemple). Aquest enllaç pot introduir entre 1 i 3 incògnites d’enllaç (segons la rugositat de les superfícies i la cinemàtica del contacte – amb o sense lliscament). Quan aquestes forces no es volen calcular, és temptador aplicar el TMC al punt de contacte <math>\Js</math> (ja que el seu moment respecte de <math>\Js</math> és nul). 
[[Fitxer:TMCaJ-0-cat.png|thumb|right|230px|link=]]
L’aplicació del TMC a <math>\Js</math> és molt delicada. Cal precisar de quin punt <math>\Js</math> es parla ([[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''exemple C5-1.8''']]): si es tracta del <math>\Js</math> del sòlid S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sòlid S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math> , o bé si és el punt geomètric de contacte <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math> . Per una banda, aquests tres punts tenen cinemàtiques diferents <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math> , i el terme complementari associat al moment de les forces d’inèrcia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> és diferent. Per altra banda, si per exemple el TMC s’aplica al solid S1, cal tenir present que, tot i que <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertany a S1 i es pot calcular el moment cinètic a partir del tensor d’inèrcia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> i <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no hi pertanyen, i cal fer servir la descomposició baricèntrica per calcular aquest vector.

Finalment, ja que el moment cinètic s’ha de derivar, el seu càlcul s’ha de fer en una configuració general (és a dir, quan <math>\Js</math> no és encara el punt de contacte), i és només després d’haver fet la derivada que es pot particularitzar el resultat a la configuració en què <math>\Js</math> és el punt de contacte. Com a il·lustració de tot plegat, l’esquema següent mostra l’aplicació del TMC a una roda amb moviment pla que toca a terra i llisca. 

[[Fitxer:TMCaJ-1-cat.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{roda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{roda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{roda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math>
</center> 

[[Fitxer:TMCaJ-2-cat.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}
\end{array}\right.
</math> 

[[Fitxer:TMCaJ-3-cat-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)
\end{array}\right.
</math>
</center></center>
</div>

------
------

==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==
<div>
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex5-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:
[[Fitxer:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
|}

En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant: 

<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math> 

Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math>

Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math>

</div>
<div>
====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex6-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]
|Els blocs pengen de dos fils inextensibles lligats a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de calcular l’acceleració angular de les politges. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :
[[Fitxer:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|center|140px|link=]]
|}

En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> : 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math> 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math> 

Per la definició de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs: 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math> 

<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math> 

[[Fitxer:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
Resolució alternativa 

Si s’aplica el TMC al punt <math>\Os</math> per al sistema format per les politges i les cordes, el pes dels blocs ja no apareix com a interacció externa, però apareixen en canvi les tensions de les dues cordes (que són incògnites d’enllaç). 

El moment cinètic del sistema és nul perquè no té massa: 

SIST: politges + cordes 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math> 
[[Fitxer:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]

L’aplicació del TQM a cadascun dels blocs genera dues equacions més: 

SIST: bloc de 10kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math> 

SIST: bloc de 5kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math> 

La resolució del sistema d’equacions condueix a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>. 

La primera resolució és més ràpida (només fa servir una equació escalar), però implica el càlcul del moment cinètic. Aquesta segona resolució és més llarga (sistema de tres equacions) però que no requereix calcular cap moment cinètic.

</div>

<div>
====✏️ Exemple D4.7: dinàmica longitudinal d’un vehicle====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex7-1-cat.png|thumb|center|200px|link=]]
|El vehicle sense suspensions es mou sobre una carretera rectilínia. La massa de les rodes és negligible comparada amb la de la resta dels elements, i es considera que el seu contacte amb el terra es puntual. Es tracta d’analitzar les forces normals d’enllaç entre terra i rodes.
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre tot el vehicle es redueixen al pes i a l’enllaç amb el terra. Si l’acceleració del xassís respecte del terra és una dada, l’aplicació del TQM condueix a:
|}

{|
|

<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}

\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)
\end{aligned}\right.</math>

on <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> i <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> són les forces normal i tangencial que en total reben les dues rodes del davant i les dues rodes del darrere, respectivament.
El TMC a G condueix a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs}) + \Ts_{\ds\rs}] =0</math>
(el moment cinètic <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> és permanentment nul ja que les rodes no tenen massa, i la resta del vehicle té moviment nul respecte de la RTG).
|[[Fitxer:D4-Ex7-2-cat.png|thumb|center|200px|link=]]
|}

Resolent el sistema d’equacions: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math>

Aquest resultat és vàlid per a qualsevol valor de <math>\as_\Ls</math>:
:*Situació estàtica (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la força normal és més gran a la roda que té l’eix més proper a <math>\Gs</math>.

:*Accelerant (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math> ; hi ha un transvasament de força del davant cap al darrere (es carrega la roda del darrere i es descarrega la del davant). Si l’acceleració <math>|\as_\Ts|</math> és prou elevada, la força normal al davant passa a ser negativa, la qual cosa indica que s’ha perdut el contacte i el vehicle bolca en sentit antihorari. Llavors, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el xassís passa a tenir, en principi, acceleració angular, i com a conseqüència el centre de masses <math>\Gs</math> passa a tenir acceleració vertical.

:*Frenant (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hi ha un transvasament de força del darrere cap al davant (es descarrega la roda del darrere i es carrega la del davant). Com en el cas precedent, hi ha un valor crític de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el bolcament, ara en sentit horari.

---------
---------
</div>

==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==

L’aplicació dels teoremes vectorials als [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''']] (SAE) és senzilla ja que els termes de la dreta (variació de quantitat de moviment i variació de moment cinètic) són nuls en ser nul·la la seva massa: 

<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{qualsevol} \hspace{0.2cm} \mathrm{punt}) \approx \overline{0}.</math> 

Per al cas d’un SAE (sòlid S) connectant dos sòlids rígids S1 i S2 ('''Figura D4.5'''), aquestes equacions permeten demostrar que el torsor que actua sobre S1 es pot obtenir a partir d’una equació de caracterització analítica on la cinemàtica del punt <math>\Ps</math> de caracterització (que ha de pertànyer al sòlid S1) s’avalua a la referència solidària a S2: 

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math> 

(Quan es tracta de velocitats, és important especificar a quin sòlid pertany el punt <math>\Ps</math>. Això, en canvi, és irrellevant quan es tracta de moments: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>). 

[[Fitxer:D4-5-cat.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.5:'''Sòlid Auxiliar d’Enllaç entre dos sòlids de massa no nul·la</center> 

<div>
=====💭 Demostració ➕=====

Els teoremes vectorials aplicats sobre el SAE impliquen que les torsors d’enllaç que rep de S1 i S2 en un mateix punt <math>\Ps</math> han de sumar zero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)
\end{array}\right.</math> 

Per altra banda, aquests torsors compleixen l’[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''equació de caracterització analítica''']]: 

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math> 

Si es combinen totes les equacions anteriors, s’obté: 

<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math> 

Una [[C3. Composició de moviments#C3.1 Composició de velocitats|'''composició de moviments''']] permet reescriure l’equació anterior de manera més compacta: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math> 

Finalment: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math>

</div>
<div>

====✏️ Exemple D4.8: dinàmica longitudinal d’un vehicle ====
---------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex8-1-cat.png|thumb|left|220px|link=]]
|En el vehicle de l’exemple D4.7, es considera que la tracció és posterior. Això vol dir que el motor del vehicle actua entre el xassís i les rodes posteriors, en tant que les del davant només estan sotmeses a interaccions d’enllaç (articulació amb el xassís i contacte amb el terra). 

Si es tracten les rodes del davant com a SAE, l’anàlisi cinemàtica del xassís respecte del terra per a la caracterització de l’enllaç a través de les rodes del davant condueix a un torsor en el centre de la roda (que és fix al xassís) amb només una component de força:
|}
[[Fitxer:D4-Ex8-2-cat.png|thumb|center|370px|link=]]
L’existència de d’una component horitzontal de força entre les rodes posteriors (necessària per accelerar o frenar el vehicle!) està associada al parell motor. Si es plantegen els teoremes vectorials a les rodes posteriors, les interaccions externes a tenir en compte són l’enllaç amb el terra, l’articulació amb el xassís i el parell motor <math>\Gamma</math> :
[[Fitxer:D4-Ex8-3-cat.png|thumb|center|370px|link=]]

<math>\ms_\mathrm{rodes} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{TQM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dv}=\Ns'_\mathrm{dv} , \Ts_\mathrm{dv}=\Ts'_\mathrm{dv} \\
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{a} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dv}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dv}=\Gamma / \rs
\end{array}\right. </math> 

La força tangencial sobre les rodes motrius és directament proporcional al parell motor que se’ls aplica. Cal no oblidar, però, que com a força tangencial d’enllaç, el seu valor està limitat per <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math> . Això permet calcular l’acceleració màxima que pot adquirir el vehicle (mentre la roda del davant no perdi contacte amb el terra): 

<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Ts_\mathrm{dr,màx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>. 

En terrenys de baix fregament ( <math>\mu_\es</math> de valor baix), un motor capaç de subministrar un parell màxim alt és inútil: qui posa límit a l’acceleració és el valor del coeficient de fricció <math>\mu_\es</math> : <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math> . En terrenys d’alt fregament, si el parell màxim és baix és ell qui posa límit a l’acceleració: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la roda del davant no perd contacte amb el terra).

</div>

---------
---------

==D4.8 Descomposició baricèntrica del moment cinètic==

La versió del TMC que s’ha presentat permet triar lliurement el punt <math>\Qs</math> d’aplicació. El criteri per triar-lo es basa en el que es vulgui investigar (una força d’enllaç, una equació del moviment...). A la unitat D6 es discuteix aquest criteri.
En alguns casos, pot ser interessant triar un punt <math>\Qs</math> que no pertanyi a cap element material del sistema. Llavors, és útil referir el càlcul del moment cinètic <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al moment cinètic al centre de masses <math>\Gs</math> del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Això es coneix amb el nom de '''descomposició baricèntrica''' del moment cinètic:

<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>,

on el superíndex <math>\oplus</math> indica que el moment cinètic s’ha de calcular com si el sistema s’hagués reduït a una partícula concentrada a <math>\Gs</math> amb massa igual a la massa total del sistema (M):

<math>\H{G}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math>

<div>
=====💭 Demostració ➕=====

:La definició de moment cinètic és: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocitat <math>\vel{P}{RTQ}</math> es pot escriure com a suma de dos termes si s’aplica una composició de moviments:

:<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math> 

:Per tant: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.

:La definició de [[D4. Teoremes vectorials#D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes|'''centre de masses''']] porta a reescriure el segon terme com a:

:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincideix amb el moment cinètic respecte de <math>\Qs</math> d’una partícula de massa M situada a <math>\Gs</math>: <math>\QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ} = \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.

:En el primer terme de l’expressió de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, es pot descompondre <math>\QPvec</math> en suma de dos termes:

:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math>

:Per definició de centre de masses: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.

:Per tant: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.

</div>

<div>
===== ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica =====
----------

{|

|[[Fitxer:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|El sòlid està format per dues barres de massa negligible i quatre partícules (<math>\Ps</math>) amb massa m unides als extrems de les barres. El sòlid està articulat a un suport que es pot moure al llarg d’una guia fixa a terra.
El seu moment cinètic a G és:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math>

La RTG és fixa al suport, i la velocitat de les partícules respecte d’aquesta referència és proporcional a la rotació <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Per tant:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math>
|}
:El moment cinètic a <math>\Os</math> (fix al terra) es pot calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mitjançant descomposició baricèntrica:

:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times\Ms\vel{G}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times\Ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math>


</div>

© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|<<< D3. Interaccions entre sòlids rígids]]

[[D5. Geometria de masses|D5. Geometria de masses >>>]]
</center>

D4. Teoremes vectorials

2024-05-05T19:51:00Z

Ebosch: /* 💭 Demostració ➕ */

<div class="noautonum">__TOC__</div>

<math>
\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\ss}{\textsf{s}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\JGvec}{\vec{\Js\Gs}}
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}
\newcommand{\H}[3]{\vec{\mathbf{H}}_{\text{#3}}^{#2}(\textbf{#1})}
</math>

Els '''Teoremes Vectorials''' són una eina per resoldre la dinàmica dels sistemes mecànics, i s’obtenen a partir de la llei fonamental de la dinàmica ([[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]) i del principi d’acció i reacció ([[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''tercera llei de Newton''']]).

En aquest curs, es presenta només la versió dels teoremes per al cas de sistemes de matèria constant. Tot i que això inclou sistemes amb fluids, els exemples d’aplicació en aquest curs són essencialment sistemes multisòlid formats per sòlids rígids.

En començar un problema, és essencial identificar les incògnites que conté el sistema que s’estudia i analitzar si els teoremes vectorials proporcionen el nombre suficient d’equacions per resoldre-les totes (cal saber si el problema és determinat o indeterminat!). Les incògnites es poden classificar en tres grups:
:*Evolució temporal dels [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''graus de llibertat''']] lliures (no controlats per actuadors) del sistema. Les equacions que les regeixen s’anomenen '''equacions del moviment'''. Si els GL lliures es descriuen mitjançant derivades temporals de coordenades (<math>\dot{q}_i</math>, amb i=1,2,3...), la seva evolució temporal són les segones derivades temporals d’aquests coordenades (acceleracions). El seu aspecte general és:

<center><math>\ddot{\qs}_\is=f(\qs_\js,\dot{\qs}_\js,\ddot{\qs}_\js,\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center>

La dependència en les segones derivades temporals <math>(\ddot{q}_j)</math> és sempre lineal, en tant que al dependència en les coordenades i les velocitats <math>(q_i,\dot{q}_j)</math> pot ser de qualsevol tipus. Els paràmetres dinàmics són la massa dels elements i els associats a la seva distribució a l’espai, i els paràmetres associats a les interaccions sobre el sistema (constants de molles i amortidors, coeficients de fricció, constants del camp gravitatori...); els paràmetres geomètrics tenen a veure amb la forma dels elements del sistema (distàncies i angles).

:* Accions dels [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.6 Interacció per mitjà d’actuadors|'''actuadors''']]: són les forces (si es tracta d’actuadors lineals) i moments (si són actuadors rotacionals) necessaris per garantir unes evolucions prefixades dels GL que controlen. Com s’ha comentat a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.6 Interacció per mitjà d’actuadors|'''secció D2.6''']], en alguns casos es pot considerar que les accions dels actuadors són dades, i llavors les incògnites associades són les evolucions dels GL que controlen.

:* [[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''Forces i moments d’enllaç''']]: el nombre d’incògnites associades als enllaços depèn de la descripció que se’n faci ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''enllaços directes''']], [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''enllaços indirectes''']]). Quan un problema de dinàmica és indeterminat, la indeterminació sempre es refereix a les components dels torsors d’enllaç, mai als GL (lliures o forçats).

---------
---------
==D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes==
Considerem un sistema de partícules de matèria constant ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Quantitat de Moviment''' (TQM) s’obté a partir de l’aplicació de la segona llei de Newton a cada partícula <math>\Ps</math> del sistema. Si la referència que es considera és galileana:

<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, on <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> és la força resultant d’interacció sobre <math>\Ps</math>.

[[Fitxer:D4-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]
<center>'''Figura D4.1''' Forces sobre una partícula d’un sistema de partícules de matèria constant</center>

Les forces que actuen sobre cada partícula es poden classificar en dos grups: internes (que provenen de la interacció amb altres partícules del sistema) i externes (associades a les interaccions amb elements externs al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si aquestes equacions se sumen per a totes les partícules, les forces internes entre parelles de partícules es cancel·len dues a dues pel principi d’acció i reacció:

<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math></center>

El terme de l’esquerra és la resultant de forces externes sobre el sistema, i se sol escriure simplement com a <math>\sum\F{ext}</math>. El terme de la dreta es pot reescriure com a <math>M\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{M}\acc{P}{RGal}\right]</math>, on M és la massa total del sistema <math>\left(M\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El terme <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{M}\acc{P}{RGal}\right]</math> és una acceleració ponderada, on la ponderació és proporcional a la massa de cada partícula. Aquesta acceleració s’associa a un punt anomenat '''centre de masses''' (o '''centre d’inèrcia''') del sistema, i en aquest curs es designa amb la lletra <math>\Gs</math>. Per a una referència qualsevol, doncs, la cinemàtica de <math>\Gs</math> queda descrita per les equacions ('''Figura D4.2'''):

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps_\is}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center>

[[Fitxer:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
<center>'''Figura D4.2''' Centre de masses (o d’inèrcia) d’un sistema de matèria constant</center>

En el cas de conjunts continus de partícules (com són un conjunt de sòlids rígids, deformables, o fluids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center>

Finalment, el TQM s’escriu com a:

<center><math>\sum\F{ext}=M\acc{P}{RGal}</math></center>

Aquesta equació és molt propera a la [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]: el centre de masses <math>\Gs</math> es comporta com si fos una partícula de massa igual a la massa total del sistema, i sobre la qual actuessin totes les forces externes al sistema. Malgrat el paral·lelisme entre el TQM i l’equació de dinàmica de la partícula, hi ha dues diferències fonamentals:

:*la massa del sistema no està localitzada a <math>\Gs</math> (fins i tot, pot ser que <math>\Gs</math> estigui situat en una zona del sistema sense massa, com és el cas en una anella homogènia);

:*les forces externes no estan aplicades a <math>\Gs</math> en general.

El TQM s’anomena així perquè permet conèixer l’evolució, a partir del coneixement de [[C1. Configuració d'un sistema mecànic|'''l’estat mecànic''']] inicial i de les interaccions externes, de la '''quantitat de moviment''' del sistema (que, en una referència qualsevol R, es defineix com a <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=M\vel{G}{R}</math>):

<center><math>\sum\F{ext}=M\acc{G}{RGal}=\dert{M\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center>

La localització del centre de masses en els sistemes que s’estudien (ja sigui un únic sòlid rígid o un sistema multisòlid) es presenta breument a la [[D5. Tensor d’inèrcia#D5.1 Centre de masses|'''secció D5.1''']]. Per a sòlids homogenis de geometria molt senzilla, la posició de G es pot deduir sovint a partir de les simetries del sòlid.
En problemes plans (de cinemàtica 2D), només les dues components del TQM compreses en el pla són interessants.

------------
------------

==D4.2 Exemples d’aplicació del TQM==

<div>
====✏️ Exemple D4.1: càlcul d’una força d’enllaç ====

------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex1-1-neut.png|thumb|center|180px|link=]]
|Els tres blocs homogenis són llisos i estan en contacte entre ells i amb un terra horitzontal, també llis. Es tracta d’investigar el valor de la força horitzontal d’enllaç entre els blocs Q i S quan s’aplica una força horitzontal F al bloc de l’esquerra.
Tots els enllaços que apareixen en aquest sistema són contactes multipuntuals entre superfícies llises. Per tant, cada torsor associat, caracteritzat en un punt del contacte corresponent, conté una component de força i una de moment ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|exemple D3.4]]). Tot i així, en l’aplicació del TQM només intervenen les forces, i per tant no es representen els moments en les figures següents.
|}

Per tal que la força d’enllaç <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparegui a la component horitzontal del TQM, cal aplicar el teorema a un sistema on aquesta força sigui externa. Per exemple, al bloc S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>.

[[Fitxer:D4-Ex1-2new-neut.png|thumb|center|200px|link=]]

Aquesta equació conté dues incògnites: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> i <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ja que el moviment dels tres blocs provocat per la força F és el mateix, l’acceleració es pot obtenir amb el TQM aplicat a tot el sistema:
<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center>

</div>
<div>

====✏️ Exemple D4.2: moviment inicial d’un sistema ====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex2-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]
|Els blocs homogenis es troben inicialment en repòs sobre un terra rugós, i units mitjançant una molla comprimida amb una tensió <math>\Fs_0=\ms\gs</math> i un fil inextensible. En un cert instant, es talla el fil i el sistema comença a moure’s.
|}

Es tracta de calcular l’acceleració del centre d’inèrcia del sistema respecte del terra. Aquesta acceleració es pot obtenir a partir de la component horitzontal del TQM aplicat a tot el sistema. La molla és interna, i per tant la seva força no apareix: <math>\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{terra}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.

Les forces que el terra exerceix sobre cadascun dels blocs poden ser d’enllaç (si els blocs no es mouen, i llavors són incògnites), o de fricció (si els blocs es mouen respecte del terra, i en aquest cas són formulables). També pot donar-se el cas que un bloc llisqui i l’altre no.

El valor d’una força d’enllaç s’adapta per tal de garantir una restricció. En el cas dels blocs, cal investigar si aquestes forces poden assolir el valor necessari per evitar que els blocs llisquin sobre el terra, i estan acotades pel valor del coeficient de fricció estàtica entre blocs i terra:

<math>|\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math>

<math>|\F{\text{terra}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math>

Si s’aplica el TQM a cada bloc per separat, la força de la molla passa a ser externa. Aquesta força (de valor mg) pot ser contrarestada per la força d’enllaç en el cas del bloc de massa <math>2\ms</math> (per tant, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), però no en el del bloc de massa m:
[[Fitxer:D4-Ex2-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

L’aplicació del TQM al bloc de massa m condueix a:

<math>\left.\begin{aligned}
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{terra}\rightarrow2\ms}+\F{\text{molla}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math>

Finalment: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.

</div>
<div>
====✏️ Exemple D4.3: estudi d’una condició límit ====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]
|L’esfera homogènia de massa M descansa sobre dues falques idèntiques, de massa m, que es troben al damunt del terra. Entre esfera i falques no hi ha fregament, però entre falques i terra hi ha fregament de coeficient <math>\mu</math>. El sistema es troba inicialment en repòs respecte del terra. Es tracta de terminar el valor màxim de M, en funció de m, que permet que el sistema segueixi en repòs.
|}

Si res no belluga, les forces horitzontals d’interacció entre terra i falques són d’enllaç i no superen el valor límit <math>/mu\ns</math> (on <math>\Ns</math> és la força normal que cada falca rep del terra). El torsor d’enllaç del terra sobre les falques conté també un moment resultant perpendicular a la figura:
Si es vol estudiar la possibilitat de bolcament de les falques, aquest moment és rellevant. En aquest exemple, però, la forma les falques garanteix que no bolquen, i es treballa només amb les forces.
L’aplicació del TQM a tot el sistema, a una falca i a l’esfera condueix a les equacions següents:

[[Fitxer:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]

<center>
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"
|- style="vertical-align:top;"
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + falques

<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: falca de l'esquerra

<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera

<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math>
|}</center>

Combinant les dues últimes equacions: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor màxim de M per al qual encara hi ha equilibri correspon a la situació en què la força tangencial d’enllaç T pren el valor màxim possible: <math>\Ts = \Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns</math>. Tenint en compte que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs</math>:

<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{màx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{màx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math>

</div>

------------
------------

==D4.3 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències no galileanes==
La versió del TQM en una referència no galileana NGal s’obté també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada partícula (o cada diferencial de massa) del sistema a la referència NGal (secció D1.7). En principi, doncs, aquesta equació contindrà dues forces d’inèrcia: la d’arrossegament i la de Coriolis ('''Figura D4.3'''):

<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,

on <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> i <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math>
[[Fitxer:D4-3-cat.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.3:''' Forces d’inèrcia en una referència no galileana</center>
Sumant les equacions per a totes les partícules, s’obté: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math>
massa total del sistema.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
------
:
Pel principi d’acció i reacció, la suma per a totes les partícules de les forces d’interacció condueix a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math>

Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el
centre de masses (secció D4.2):

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

Així doncs: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math>

</div>

<div>
====✏️ Exemple D4.4: desplaçament vibratori====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
|El bloc de massa m es troba inicialment en repòs
sobre un suport que oscil·la respecte del terra
d’acord amb el gràfic de velocitat que es mostra a
la figura. Es tracta d’investigar la possibilitat que
el bloc llisqui al damunt del suport.
La condició de repòs del bloc respecte del suport
(que és una referència no galileana en tenir un
moviment accelerat respecte del terra) demana:

<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sup\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> perquè <math>\velang{sup}{T} = \vec{0}</math>
|}

La força d’arrossegament sobre el bloc és estrictament horitzontal. Per tant, la component vertical d’aquesta equació condueix a <math>N = mg</math> . Pel que fa a la component horitzontal, contindrà la força
d’interacció entre bloc i suport. Si el bloc no llisca al damunt del suport, aquesta força és d’enllaç, i el seu valor està acotat: <math>0\leq\mid\Fs_{sup\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si llisca, és una força de fricció de valor <math>\mu\ms\gs</math>, oposada a la velocitat de lliscament.

Entre <math>t=0</math> i <math>t = 0,4s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math> i per tant la força
d’arrossegament és <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$suport}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor es troba dins del marge de valors permesos per a la força d’enllaç horitzontal del suport sobre el bloc. Per tant, aquesta força prendrà el valor <math>\F{sup\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>, contrarestarà la <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs}</math> i es mantindrà el repòs entre els dos elements.

Entre <math>t=0,4s</math> i <math>t = 0,6s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Per tant,<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. En sobrepassar el valor màxim de la força horitzontal d’enllaç, no podrà ser contrarestada. El bloc començarà a lliscar, i la força horitzontal d’interacció entre suport i bloc serà de fricció:

<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} + \F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

A l’instant <math>t = 0,6s</math>, la velocitat del bloc respecte del suport és

<math>\vel{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.

Tot i entrar en la zona on <math>\mid\Fcal{ar}{sup\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la força horitzontal entre suport i bloc segueix sent de fricció <math>(\F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> fins aconseguir aturar el bloc.

L’acceleració del bloc respecte del suport és:

<math>\acc{G}{sup} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

En tractar-se d’un moviment uniformement desaccelerat, és fàcil calcular l'instant per al qual el bloc deixa de lliscar:

<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sup} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sup} + \acc{$\Gs,t_f$}{sup}(t_f - t_i)</math>,
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math>

En aquest instant, la força del suport sobre el bloc passa a ser d’enllaç, i ens trobem en una situació anàloga a la inicial. Per tant, el lliscament no recomençarà fins a <math>\ts = 1,4s</math>. L’estudi per als intervals posteriors segueix els mateixos passos que en l’estudi de l’interval <math>[0,1,4s]</math>. La figura mostra l’evolució de la cinemàtica del bloc respecte del suport, i de les forces que hi actuen.

[[Fitxer:D4-Ex4-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

</div>

-----------
-----------

==D4.4 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulació general==

L’estudi de la dinàmica d’un sòlid rígid (i per tant, d’un sistema multisòlid) no queda mai totalment resolta amb el TQM quan el sòlid gira: el TQM només informa sobre el moviment d’un punt (<math>\Gs</math>), i no sobre la rotació.

El '''Teorema del Moment Cinètic''' (TMC) es troba a la literatura enunciat de dues maneres diferents. En aquest curs, s’ha optat per una formulació paral·lela a la del TQM: en una banda apareixen termes que només tenen a veure amb les interaccions externes sobre el sistema, mentre que a la dreta apareix la derivada temporal d’un vector que depèn només de la geometria de masses del sistema i del seu [[C1. Configuració d'un sistema mecànic#|'''estat mecànic''']].

Com ja s’ha vist quan s’ha introduït el concepte de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor d’un sistema de forces''']], el que es relaciona amb la rotació d’un sòlid és el moment de les forces, no la força resultant. Per tant, si bé el TMC es demostra també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada diferencial de massa del sistema, caldrà transformar les forces que hi apareixen en moment d’aquestes forces respecte d’un punt <math>\Qs</math>.

Aquestes dues consideracions (formulació paral·lela al TQM i necessitat de triar un punt <math>\Qs</math> per calcular el moment de les forces) porta a partir de la formulació de la segona llei de Newton en la '''Referència que es Trasllada amb Q (RTQ)''' respecte d’una referència galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, aquesta referència no és galileana, i per tant cal tenir en compte en principi les [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''forces d’inèrcia d’arrossegament''']] ('''Figura D4.3''').

[[Fitxer:D4-4-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D4.4:''' Forces d’inèrcia a la Referència que es Trasllada amb un punt <math>\Qs</math> (RTQ)</center> 

Considerem un sistema de partícules amb matèria constant. La segona llei de Newton aplicada a cada partícula del sistema i a la RTQ és: 

<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , 

on <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , i <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ja que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>. 

Si els dos costats de l’equació es multipliquen vectorialment per <math>\QPvec</math> i es suma per totes les partícules (o elements de massa) del sistema, s’obté el TMC al punt <math>\Qs</math>: 

<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{P}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math> 

on <math>\Ms</math> és la massa total del sistema, i <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> és el '''moment cinètic del sistema respecte el punt''' <math>\Qs</math>. 

Si el sistema té elements continus (per exemple, un sistema amb N sòlids rígids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \frac{1}{\Ms_\is} \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
La segona llei de Newton per a cada element de massa multiplicada vectorialment per <math>\QPvec</math> és:

<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math>

El terme de la dreta es pot reescriure com a:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

En ser <math>\Qs</math> un punt de la RTQ, es pot prendre com a origen d’un vector de posició de <math>\Ps</math> en aquesta referència, i per tant:

<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

Tenint en compte que la massa és constant:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math>

La suma d’aquest terme per a tots els elements P condueix a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

Si les forces d’interacció sobre cada partícula <math>\Ps</math> es classifiquen en internes i externes, la suma per a totes les partícules del sistema del costat esquerre de la primera equació esdevé:

<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math>

<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> 
ja que el principi d’acció i reacció garanteix que el moment total d’una parella de forces d’acció i reacció és nul: 

<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math> 
Agrupant tots els termes: 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>
</div>

---------
---------

==D4.5 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulacions particulars==
El TMC pren expressions més senzilles quan el punt <math>\Qs</math> és fix a una referència galileana o quan és el centre de masses del sistema. 

* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, anomenem aquesta versió “TMC a punt fix”, on se sobreentén que “fix” vol dir “fix a una referència galileana”. Quan és el cas, normalment emprarem la lletra <math>\Os</math> per designar el punt <math>\Qs</math>. 

* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math>Cal notar que, si bé l’expressió és similar a la versió a punt fix, el centre de masses <math>\Gs</math> no té per què ser fix a una referència galileana.

Quan <math>\Qs</math> no és ni un punt fix a RGal ni coincideix amb el centre de masses, se sol parlar de la versió del TMC “a punt mòbil”. Tot i que <math>\Qs</math> sigui un punt mòbil respecte de RGal, el terme associat a les forces d’inèrcia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> pot ser nul si <math>\Qs</math> es mou a velocitat costant respecte de RGal, o si la seva acceleració respecte de RGal és paral·lela a <math>\QGvec</math> .

<center>
{| class="wikitable"
|+
|-
! '''TMC a punt fix''' !! '''TMA a '''<math>\Gs</math> !! '''TMC a un punt mòbil '''<math>\Qs</math>
|-
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center>
||
<center>
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center>
||
<center>
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math> 

<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center>

|}
</center>

El vector moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no és senzill de calcular en general, i es presenta a la [[D5. Geometria de masses|'''unitat D5''']]. 

En problemes de cinemàtica plana (2D), si el moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sòlid del sistema que s’estudia és paral·lel a la velocitat angular del sòlid <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que és de direcció ortogonal al pla del moviment), només la component del TMC perpendicular al pla és interessant. En aquest cas es diu que el problema és de dinàmica plana (2D). 

En problemes d’estàtica, tant la quantitat de moviment com el moment cinètic a qualsevol punt són nuls permanentment, i per tant són nul·les també les seves derivades temporals. L’estudi de la dinàmica en un pla també es pot fer a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.

<div>
===TMC en un punt de contacte entre dos sòlids===
Un enllaç que apareix sovint en els sistemes mecànics és el contacte puntual entre parelles de sòlids (S1 i S2, per exemple). Aquest enllaç pot introduir entre 1 i 3 incògnites d’enllaç (segons la rugositat de les superfícies i la cinemàtica del contacte – amb o sense lliscament). Quan aquestes forces no es volen calcular, és temptador aplicar el TMC al punt de contacte <math>\Js</math> (ja que el seu moment respecte de <math>\Js</math> és nul). 
[[Fitxer:TMCaJ-0-cat.png|thumb|right|230px|link=]]
L’aplicació del TMC a <math>\Js</math> és molt delicada. Cal precisar de quin punt <math>\Js</math> es parla ([[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''exemple C5-1.8''']]): si es tracta del <math>\Js</math> del sòlid S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sòlid S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math> , o bé si és el punt geomètric de contacte <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math> . Per una banda, aquests tres punts tenen cinemàtiques diferents <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math> , i el terme complementari associat al moment de les forces d’inèrcia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> és diferent. Per altra banda, si per exemple el TMC s’aplica al solid S1, cal tenir present que, tot i que <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertany a S1 i es pot calcular el moment cinètic a partir del tensor d’inèrcia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> i <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no hi pertanyen, i cal fer servir la descomposició baricèntrica per calcular aquest vector.

Finalment, ja que el moment cinètic s’ha de derivar, el seu càlcul s’ha de fer en una configuració general (és a dir, quan <math>\Js</math> no és encara el punt de contacte), i és només després d’haver fet la derivada que es pot particularitzar el resultat a la configuració en què <math>\Js</math> és el punt de contacte. Com a il·lustració de tot plegat, l’esquema següent mostra l’aplicació del TMC a una roda amb moviment pla que toca a terra i llisca. 

[[Fitxer:TMCaJ-1-cat.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{roda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{roda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{roda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math>
</center> 

[[Fitxer:TMCaJ-2-cat.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}
\end{array}\right.
</math> 

[[Fitxer:TMCaJ-3-cat-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)
\end{array}\right.
</math>
</center></center>
</div>

------
------

==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==
<div>
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex5-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:
[[Fitxer:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
|}

En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant: 

<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math> 

Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math>

Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math>

</div>
<div>
====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex6-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]
|Els blocs pengen de dos fils inextensibles lligats a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de calcular l’acceleració angular de les politges. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :
[[Fitxer:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|center|140px|link=]]
|}

En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> : 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math> 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math> 

Per la definició de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs: 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math> 

<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math> 

[[Fitxer:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
Resolució alternativa 

Si s’aplica el TMC al punt <math>\Os</math> per al sistema format per les politges i les cordes, el pes dels blocs ja no apareix com a interacció externa, però apareixen en canvi les tensions de les dues cordes (que són incògnites d’enllaç). 

El moment cinètic del sistema és nul perquè no té massa: 

SIST: politges + cordes 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math> 
[[Fitxer:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]

L’aplicació del TQM a cadascun dels blocs genera dues equacions més: 

SIST: bloc de 10kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math> 

SIST: bloc de 5kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math> 

La resolució del sistema d’equacions condueix a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>. 

La primera resolució és més ràpida (només fa servir una equació escalar), però implica el càlcul del moment cinètic. Aquesta segona resolució és més llarga (sistema de tres equacions) però que no requereix calcular cap moment cinètic.

</div>

<div>
====✏️ Exemple D4.7: dinàmica longitudinal d’un vehicle====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex7-1-cat.png|thumb|center|200px|link=]]
|El vehicle sense suspensions es mou sobre una carretera rectilínia. La massa de les rodes és negligible comparada amb la de la resta dels elements, i es considera que el seu contacte amb el terra es puntual. Es tracta d’analitzar les forces normals d’enllaç entre terra i rodes.
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre tot el vehicle es redueixen al pes i a l’enllaç amb el terra. Si l’acceleració del xassís respecte del terra és una dada, l’aplicació del TQM condueix a:
|}

{|
|

<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}

\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)
\end{aligned}\right.</math>

on <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> i <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> són les forces normal i tangencial que en total reben les dues rodes del davant i les dues rodes del darrere, respectivament.
El TMC a G condueix a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs}) + \Ts_{\ds\rs}] =0</math>
(el moment cinètic <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> és permanentment nul ja que les rodes no tenen massa, i la resta del vehicle té moviment nul respecte de la RTG).
|[[Fitxer:D4-Ex7-2-cat.png|thumb|center|200px|link=]]
|}

Resolent el sistema d’equacions: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math>

Aquest resultat és vàlid per a qualsevol valor de <math>\as_\Ls</math>:
:*Situació estàtica (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la força normal és més gran a la roda que té l’eix més proper a <math>\Gs</math>.

:*Accelerant (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math> ; hi ha un transvasament de força del davant cap al darrere (es carrega la roda del darrere i es descarrega la del davant). Si l’acceleració <math>|\as_\Ts|</math> és prou elevada, la força normal al davant passa a ser negativa, la qual cosa indica que s’ha perdut el contacte i el vehicle bolca en sentit antihorari. Llavors, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el xassís passa a tenir, en principi, acceleració angular, i com a conseqüència el centre de masses <math>\Gs</math> passa a tenir acceleració vertical.

:*Frenant (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hi ha un transvasament de força del darrere cap al davant (es descarrega la roda del darrere i es carrega la del davant). Com en el cas precedent, hi ha un valor crític de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el bolcament, ara en sentit horari.

---------
---------
</div>

==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==

L’aplicació dels teoremes vectorials als [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''']] (SAE) és senzilla ja que els termes de la dreta (variació de quantitat de moviment i variació de moment cinètic) són nuls en ser nul·la la seva massa: 

<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{qualsevol} \hspace{0.2cm} \mathrm{punt}) \approx \overline{0}.</math> 

Per al cas d’un SAE (sòlid S) connectant dos sòlids rígids S1 i S2 ('''Figura D4.5'''), aquestes equacions permeten demostrar que el torsor que actua sobre S1 es pot obtenir a partir d’una equació de caracterització analítica on la cinemàtica del punt <math>\Ps</math> de caracterització (que ha de pertànyer al sòlid S1) s’avalua a la referència solidària a S2: 

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math> 

(Quan es tracta de velocitats, és important especificar a quin sòlid pertany el punt <math>\Ps</math>. Això, en canvi, és irrellevant quan es tracta de moments: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>). 

[[Fitxer:D4-5-cat.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.5:'''Sòlid Auxiliar d’Enllaç entre dos sòlids de massa no nul·la</center> 

<div>
=====💭 Demostració ➕=====

Els teoremes vectorials aplicats sobre el SAE impliquen que les torsors d’enllaç que rep de S1 i S2 en un mateix punt <math>\Ps</math> han de sumar zero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)
\end{array}\right.</math> 

Per altra banda, aquests torsors compleixen l’[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''equació de caracterització analítica''']]: 

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math> 

Si es combinen totes les equacions anteriors, s’obté: 

<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math> 

Una [[C3. Composició de moviments#C3.1 Composició de velocitats|'''composició de moviments''']] permet reescriure l’equació anterior de manera més compacta: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math> 

Finalment: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math>

</div>
<div>

====✏️ Exemple D4.8: dinàmica longitudinal d’un vehicle ====
---------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex8-1-cat.png|thumb|left|220px|link=]]
|En el vehicle de l’exemple D4.7, es considera que la tracció és posterior. Això vol dir que el motor del vehicle actua entre el xassís i les rodes posteriors, en tant que les del davant només estan sotmeses a interaccions d’enllaç (articulació amb el xassís i contacte amb el terra). 

Si es tracten les rodes del davant com a SAE, l’anàlisi cinemàtica del xassís respecte del terra per a la caracterització de l’enllaç a través de les rodes del davant condueix a un torsor en el centre de la roda (que és fix al xassís) amb només una component de força:
|}
[[Fitxer:D4-Ex8-2-cat.png|thumb|center|370px|link=]]
L’existència de d’una component horitzontal de força entre les rodes posteriors (necessària per accelerar o frenar el vehicle!) està associada al parell motor. Si es plantegen els teoremes vectorials a les rodes posteriors, les interaccions externes a tenir en compte són l’enllaç amb el terra, l’articulació amb el xassís i el parell motor <math>\Gamma</math> :
[[Fitxer:D4-Ex8-3-cat.png|thumb|center|370px|link=]]

<math>\ms_\mathrm{rodes} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{TQM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dv}=\Ns'_\mathrm{dv} , \Ts_\mathrm{dv}=\Ts'_\mathrm{dv} \\
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{a} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dv}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dv}=\Gamma / \rs
\end{array}\right. </math> 

La força tangencial sobre les rodes motrius és directament proporcional al parell motor que se’ls aplica. Cal no oblidar, però, que com a força tangencial d’enllaç, el seu valor està limitat per <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math> . Això permet calcular l’acceleració màxima que pot adquirir el vehicle (mentre la roda del davant no perdi contacte amb el terra): 

<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Ts_\mathrm{dr,màx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>. 

En terrenys de baix fregament ( <math>\mu_\es</math> de valor baix), un motor capaç de subministrar un parell màxim alt és inútil: qui posa límit a l’acceleració és el valor del coeficient de fricció <math>\mu_\es</math> : <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math> . En terrenys d’alt fregament, si el parell màxim és baix és ell qui posa límit a l’acceleració: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la roda del davant no perd contacte amb el terra).

</div>

---------
---------

==D4.8 Descomposició baricèntrica del moment cinètic==

La versió del TMC que s’ha presentat permet triar lliurement el punt <math>\Qs</math> d’aplicació. El criteri per triar-lo es basa en el que es vulgui investigar (una força d’enllaç, una equació del moviment...). A la unitat D6 es discuteix aquest criteri.
En alguns casos, pot ser interessant triar un punt <math>\Qs</math> que no pertanyi a cap element material del sistema. Llavors, és útil referir el càlcul del moment cinètic <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al moment cinètic al centre de masses <math>\Gs</math> del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Això es coneix amb el nom de '''descomposició baricèntrica''' del moment cinètic:

<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>,

on el superíndex <math>\oplus</math> indica que el moment cinètic s’ha de calcular com si el sistema s’hagués reduït a una partícula concentrada a <math>\Gs</math> amb massa igual a la massa total del sistema (M):

<math>\H{G}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math>

<div>
=====💭 Demostració ➕=====

:La definició de moment cinètic és: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocitat <math>\vel{P}{RTQ}</math> es pot escriure com a suma de dos termes si s’aplica una composició de moviments:

:<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math> 

:Per tant: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.

:La definició de [[D4. Teoremes vectorials#D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes|'''centre de masses''']] porta a reescriure el segon terme com a:

:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincideix amb el moment cinètic respecte de <math>\Qs</math> d’una partícula de massa M situada a <math>\Gs</math>: <math>\QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ} = \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.

:En el primer terme de l’expressió de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, es pot descompondre <math>\QPvec</math> en suma de dos termes:

:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math>

:Per definició de centre de masses: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.

:Per tant: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.

</div>

<div>
===== ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica =====
----------

{|

|[[Fitxer:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|El sòlid està format per dues barres de massa negligible i quatre partícules (<math>\Ps</math>) amb massa m unides als extrems de les barres. El sòlid està articulat a un suport que es pot moure al llarg d’una guia fixa a terra.
El seu moment cinètic a G és:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math>

La RTG és fixa al suport, i la velocitat de les partícules respecte d’aquesta referència és proporcional a la rotació <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Per tant:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math>
|}
:El moment cinètic a <math>\Os</math> (fix al terra) es pot calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mitjançant descomposició baricèntrica:

:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times\Ms\vel{G}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times\Ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math>


</div>

© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|<<< D3. Interaccions entre sòlids rígids]]

[[D5. Geometria de masses|D5. Geometria de masses >>>]]
</center>

D4. Teoremes vectorials

2024-05-05T19:50:23Z

2024-04-29T12:11:00Z

Ebosch: /* ✏️ EXEMPLE D6.5: placa articulada */

D6. Exemples de dinàmica 2D

2024-04-29T12:10:30Z

Ebosch:

D2. Forces d’interacció entre partícules

2024-04-25T13:34:56Z

Ebosch: /* D2.1 Dependència cinemàtica de les forces d’interacció */

D3. Interaccions entre sòlids rígids

2024-04-25T13:27:49Z

Ebosch: /* Caracterització analítica del torsor d’enllaç entre dos sòlids rígids \mathrm{S}1 i \mathrm{S}2 */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
</math>
Com s’ha vist a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules|'''unitat D2''']], les interaccions entre parelles de partícules <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> queden descrites per una única força de direcció <math>\overline{\Ps \Qs}</math> . Quan la interacció és entre parelles de sòlids rígids (que es poden considerar com a dos conjunts d’infinites partícules), la descripció partícula a partícula portaria a treballar amb un sistema d’infinites forces. En aquest cas, cal passar a una descripció compacta d’aquest sistema de forces que retingui, però, la informació necessària per estudiar la dinàmica dels sòlids rígids: el sistema de forces es substitueix per un '''torsor resultant'''. 

Aquesta unitat introdueix el concepte de '''torsor associat a un sistema de forces''', i després l’aplica a les diverses interaccions entre sòlids (a distància, de contacte i per mitjà d’elements intermedis).

-----------
-----------
==D3.1 Torsor associat a un sistema de forces==
La reducció d’un sistema de forces sobre un sòlid rígid a un torsor és absolutament necessària quan el nombre de forces és molt elevat (infinit). Quan es tracta d’un sistema de poques forces, sol ser opcional. 

Una operació matemàtica eficaç per reduir el nombre de forces sobre un sòlid S és la suma: per molt elevat que sigui el nombre de forces, la suma condueix a una única '''força resultant'''. Aquesta reducció dràstica, però, implica una pèrdua d’informació essencial en molts casos. Sempre i quan no interessi estudiar la deformació dels objectes (és a dir, quan només s’estudiï la dinàmica de sòlids rígids), això es resol afegint un segon vector a la descripció compacta del sistema: el '''moment''' (o '''parell''') '''resultant respecte d’un punt''' <math>\Qs</math>. El conjunt d’aquests dos vectors és el '''torsor del sistema de forces en el punt''' <math>\Qs</math> ('''Figura D3.1'''). 

[[Fitxer:D3-1-cat.png|thumb|center|370px|link=]]
<center>'''Figura D3.1''' Torsor associat a un sistema de forces que actuen sobre un sòlid rígid.
</center> 

A tall d’exemple, considerem el cas d’una barra rígida inicialment en repòs que se sotmet a un sistema de forces amb força resultant nul·la. La '''Figura D3.2''' presenta tres situacions diferents que corresponen a aquesta resultant: ('''a''') lliure de forces, ('''b''') forces paral·leles a la barra, ('''c''') forces perpendiculars a la barra. En els dos casos primers ('''a''', '''b'''), el sistema de forces no modifica l’estat de repòs. En el tercer ('''c'''), les forces provoquen una rotació horària de la barra. El torsor resultant en qualsevol punt permet distingir entre ('''c''') i ('''a''', '''b'''). 

[[Fitxer:D3-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.2''' Barra rígida sotmesa a una força resultant nul·la.
</center> 

La força resultant no depèn mai del punt on es calcula el torsor. En canvi, el moment resultant en general sí que en depèn ('''Figura D3.3'''). 

[[Fitxer:D3-3-neut.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.3''' Barra rígida sotmesa a dues forces de valor diferent.
</center> 

El torsor resultant es representa en el punt on s’ha calculat el moment resultant ('''Figura D3.4'''). 

[[Fitxer:D3-4-neut.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.4''' Torsors a diferents punts per a l’exemple de la barra rígida de la '''Figura D3.3'''.
</center>
El moment resultant en un punt <math>\Qs’</math> es pot obtenir a partir del torsor en un punt <math>\Qs</math>: 

<math>\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs ')=\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs) + \overline{\Qs '\Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs</math>

<div>
=====💭 Demostració ➕=====


:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)=\sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is</math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\sum \overline{\Qs ' \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum (\overline{\Qs ' \Qs}+\overline{\Qs \Ps_\is}) \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum \overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\is + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\overline{\Qs ' \Qs} \times (\sum \overline{\mathbf{F}}_\is) + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is </math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs+\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)</math>

</div>

-----------
-----------

==D3.2 Atracció gravitatòria==
El càlcul del torsor resultant gravitatori sobre un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> per causa d’un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> no és senzill. La força gravitatòria resultant sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) prové de les forces (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> ) que cada diferencial de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> exerceix sobre <math>\Ps</math> ('''Figura D3.5'''). El torsor resultant sobre <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> s’obté a partir de totes aquestes forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> sobre tots els diferencials de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> . 

[[Fitxer:D3-5-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
<center><math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> és la suma de totes les <math>\mathbf{F}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math>
</center>
<center>'''Figura D3.5''' Càlcul de la força total gravitatòria del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> (<math> \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math>.
</center> 

Quan es tracta de l’atracció gravitatòria terrestre (<math>\mathrm{S}_\mathrm{Q} = \mathrm{Terra}</math>) sobre un sòlid de petites dimensions comparades amb les de la Terra i prop de la superfície terrestre, és usual emprar l’aproximació de camp uniforme: les forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> pràcticament paral·leles entre elles i el seu valor és <math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps} = \mathrm{gdm}(\Ps)</math> , amb <math>\mathrm{g}</math> constant i igual al camp gravitatori a la superfície terrestre:<math>\mathrm{g}=\mathrm{G}_0 \frac{\mathrm{M}_\Ts}{\Rs_\Ts^2}</math>(on <math>\mathrm{G}_0</math> és la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.3 Atracció gravitatòria|'''constant universal de gravitació''']], i <math>\mathrm{M}_\Ts</math> i <math>\Rs_\Ts</math> són la massa i el radi de la Terra, respectivament). En aquest cas, es pot demostrar que existeix un punt de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> en el qual el torsor gravitatori es redueix a una força resultant <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{T}} \rightarrow \mathrm{S}_{\mathrm{P}}}</math> de valor mg (on m és la massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> ) dirigida cap al centre de la terra, i un moment resultant gravitatori nul. Aquest punt s’anomena '''centre de gravetat''' del sòlid, es representarà amb la lletra '''G''' ('''Figura D3.6'''). 

[[Fitxer:D3-6-cat.png|thumb|center|600px|link=]]
<center>'''Figura D3.6''' Atracció gravitatòria terrestre sobre un sòlid rígid en l‘aproximació de camp uniforme.
</center>

-----------
-----------
==D3.3 Interacció per mitjà de molles i amortidors==
===Molles i amortidors lineals===
Quan una molla o un amortidor lineal connecta dos punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> de dos sòlids diferents, cal assegurar que la connexió es fa de manera que la força que es transmet entre els punts té la direcció de l’element, i que no es transmet cap moment (o parell). 

En alguns casos, això es pot aconseguir inserint l’element entre dos trams de fil inextensible ('''Figura D3.7a'''). En aquest cas, la força que introdueix entre els punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> només pot ser d’atracció (a causa del caràcter unilateral de l’actuació del fil). 

En d’altres casos, cal recórrer a unions mitjançant [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''articulacions''']] (si es tracta d’un problema pla, '''Figura D3.7b''') o [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''ròtules esfèriques''']] (si és un problema 3D). 

[[Fitxer:D3-7-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D3.7''' Molles i amortidors lineals connectats a dos sòlids rígids diferents.
</center>

====✏️ Exemple D3.1: força de repulsió d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------

[[Fitxer:ExD3-1-1-neut.png|thumb|left|175px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, actua entre el suport fix a terra i un eix vertical que està en contacte amb la barra. Per a <math>\theta = 0</math> , el sistema està en equilibri, i la força que la molla exerceix entre els seus extrems és <math>\mathrm{F}_0</math> . 

:En absència de molla, la barra, que està articulada al suport al punt <math>\mathbf{O}</math>, tendiria a caure (rotació horària). Si per a <math>\theta = 0</math> hi ha equilibri, la molla ha d’estar fent necessàriament una repulsió entre els seus extrems en aquesta configuració. Per tant, el més lògic és calcular l’expressió de la força de la molla per a una configuració general com a força repulsiva: 

<math> \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}= \mathrm{F}_0 - \mathrm{k}\Delta\rho=\mathrm{F}_0-\mathrm{k}[\rho(\theta) - \rho(\theta=0)]</math>. 

L’increment <math>\Delta \rho </math> de llargària de la molla a partir de l’equilibri és proporcional a la tangent de l’angle:<math>\mathrm{tan}\theta=\Delta\rho/\mathrm{L}</math>. Per tant: <math>\mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}=\mathrm{F}_0-\mathrm{kL}\mathrm{tan}\theta</math>. 

La força de repulsió de l’amortidor s’obté a partir de l’allargament anterior per derivació: 

<math>\rho=\mathrm{Ltan}\theta \Rightarrow \dot{\rho} = \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c}\dot{\rho}=-\mathrm{c} \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta}</math>


====✏️ Exemple D3.2: força d’atracció d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------


[[Fitxer:ExD3-2-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, té un extrem fix al xassís del vehicle, i l’altre a un fil que s’enrotlla al damunt d’un corró de radi <math>\rs</math> solidari a la roda de radi <math>2\rs</math>, que no llisca al damunt del terra. Per a <math>\xs = 0</math> , la molla està estirada i exerceix una força <math>\mathrm{F}_0</math> entre els seus extrems.
[[Fitxer:ExD3-2-2-cat.png|thumb|right|220px|link=]]
:La coordenada <math>\xs</math> descriu la posició del xassís respecte del terra, i per tant també la del centre de la roda de radi <math>2\rs</math>. En tenir la molla un extrem lligat a un fil que s’enrotlla al corró, el desplaçament d’aquest extrem respecte del terra es pot obtenir per integració de la seva velocitat. 

:Vistes les velocitats dels dos extrems de la molla, és evident que s’escurça. La velocitat d’escurçament entre els extrems és: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{3}{2}\dot{\xs}-\dot{\xs}=\frac{1}{2}\dot{\xs}</math>, i per tant, l’escurçament de la molla a partir de la configuració <math>\xs = 0</math> és:<math>\frac{1}{2}\xs(=-\Delta \rho)</math> 

:L’expressió de la força d’atracció de la molla (ja que la <math>\mathrm{F}_0</math> és una atracció ja que la molla està estirada per a <math>\xs = 0</math> ) és:<math>\mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{molla}} + \mathrm{k}\Delta \rho = \mathrm{F}_0 - \frac{1}{2}\mathrm{k}\xs </math> 

:La força d’atracció de l’amortidor s’obté a partir de la velocitat l’escurçament que ja s’ha trobat: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{1}{2}\dot{\xs} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c} \dot{\rho}=-\frac{1}{2} \mathrm{c} \dot{\xs}</math>


===Molles i amortidors torsionals===

Les '''molles''' i els '''amortidors torsionals''' introdueixen moments però no forces entre els dos sòlids que connecten. Igual que en el cas dels elements lineals, la unió a cadascun dels sòlids ha de garantir que només es transmet un moment en una direcció determinada. Igual que en els casos dels elements lineals, les maneres d’aconseguir-ho són diverses. 

Quan les molles i els amortidors torsionals són de comportament lineal, l’increment de moment que introdueixen entre els sòlids, quan l’orientació relativa entre ells s’incrementa en un angle <math>\Delta \theta</math>, és proporcional a <math>\Delta \theta</math> i <math>\dot{\theta}</math>, respectivament ('''Figura D3.8'''). 

[[Fitxer:D3-8-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.8''' Formulació de molles i amortidors torsionals de comportament lineal.
</center>

-----------
-----------

==D3.4 Interaccions d’enllaç directes==
Les interaccions directes d’enllaç entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math> es produeixen quan estan en contacte, i provenen de les petites deformacions locals dels sòlids en la zona de contacte. Des del punt de vista macroscòpic, això es tradueix en impenetrabilitat i rugositat dels sòlids. Com ja s’ha comentat a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|'''secció D2.7''']], en tractar aquest curs de la dinàmica d’objectes rígids, les deformacions no es formulen, i per tant les forces associades són incògnites del problema dinàmic. 

Quan els enllaços impliquen sòlids, cal precisar si són llisos o rugosos. Una superfície llisa no pot impedir que un element llisqui respecte d’ella tot mantenint-hi contacte, mentre que una de rugosa sí que ho pot impedir. Això té una conseqüència directa en la caracterització de l’enllaç. 

Com a introducció a la caracterització d’enllaços entre sòlids, és útil considerar el cas més senzill del contacte puntual.

Considerem dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> que mantenen un contacte puntual entre ells. Els punts de contacte són <math>\Ps_1</math> i <math>\Ps_2</math> , respectivament. La caracterització de l’enllaç que <math>\mathrm{S}2</math> fa sobre <math>\Ps_1</math> (o que <math>\mathrm{S}1</math> fa sobre <math>\Ps_2</math> ) s’obté de manera anàloga a la de l’[[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|enllaç partícula-sòlid]] ('''Figura D3.12'''). El valor límit de força tangencial d'enllaç també s'obté com en el cas [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.8 Fricció|partícula-sòlid]]

[[Fitxer:D3-12-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.12''' Caracterització de l’enllaç puntual del sòlid <math>\mathrm{S}_2</math> sobre el sòlid <math>\mathrm{S}_1</math>.
</center> 
Quan l’enllaç entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> és multipuntual, la condició d’ortogonalitat entre força d’enllaç i velocitat permesa es pot aplicar a cada punt on es produeix contacte (la qual cosa implica acceptar que l’enllaç multipuntual es pot obtenir com a superposició d’enllaços puntuals independents). De vegades, això condueix a un nombre de components de forces d’enllaç elevat (fins i tot infinit, si el contacte es produeix al llarg d’un tram lineal o superficial continu), i cal reduir el sistema de forces a un torsor resultant d’enllaç. En alguns casos, aquesta reducció es pot obtenir molt fàcilment a partir de la descripció de l’enllaç punt a punt. 

Si bé és possible calcular el torsor d’un sistema de forces en qualsevol punt ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]), quan es tracta de torsors d’enllaç és convenient que aquest punt pertanyi al sòlid sotmès al sistema de forces en qüestió, perquè d’això sen deriva una propietat important.

====✏️ Exemple D3.3: torsor d’enllaç en un contacte bipuntual====
---------

[[Fitxer:ExD3-3-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El bloc manté contacte bipuntual amb un terra llis, i es mou només en un pla. 
[[Fitxer:ExD3-3-2-neut.png|thumb|right|175px|link=]]
:La descripció de l’enllaç com a superposició de dos enllaços puntuals condueix a dues forces normals: Si només hi hagués contacte a <math>\Ps</math>, l’enllaç introduiria només una força a <math>\Ps</math> normal al terra (<math>\Ns_\mathrm{P}</math>); si el contacte fos només a <math>\Qs</math>, introduiria una força a <math>\Qs</math> normal al bloc (<math>\Ns_\mathrm{Q}</math>). Els valors de <math>\Ns_\mathrm{P}</math> i <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> són independents (conèixer <math>\Ns_\mathrm{P}</math> no implica conèixer <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> ). El contacte bipuntual, doncs, introdueix dues incògnites d’enllaç. 

En tractar-se només de dues forces, la reducció a un torsor no és necessària, Per altra banda, aquesta desripció és útil per estudiar les dues condicions límit: <math>\Ns_\mathrm{P}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Ps</math> (per tant, bolcament en sentit horari), mentre que <math>\Ns_\mathrm{Q}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Qs</math> (per tant, bolcament en sentit antihorari).

En aquest cas, el torsor associat a aquest sistema de forces no redueix el nombre d’incògnites, que segueix sent 2. La força resultant té dues components independents:

<center>
<math>\left\{\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{T} \rightarrow \text { bloc }}\right\}=\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1 \\
\mathrm{F}_2 \\
0
\end{array}\right\} \text {, amb }\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1=-\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \sin \theta \\
\mathrm{F}_2=\mathrm{N}_{\mathrm{p}}+\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \cos \theta
\end{array}\right. \text {. }</math>
</center>

El moment resultant depèn del punt del bloc on es caracteritza el torsor, i quan no és nul, es pot escriure en funció de les components de força. 

[[Fitxer:ExD3-3-3-cat.png|thumb|center|600px|link=]]

Passar de la descripció punt a punt al torsor no té cap avantatge en aquest cas: no redueix el nombre d’incògnites d’enllaç, i dificulta l’estudi de les condicions límit.


====✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-4-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El corró es troba en contacte amb lliscament sobre un terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La descripció de l’enllaç multipuntual com a superposició d’enllaços puntuals condueix a un conjunt d’infinites forces normals <math>\Ns_{\rightarrow \mathrm{J}}</math> als punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> en la direcció normal al terra (direcció 3). La força resultant d’enllaç sobre el corró, per tant, és també de direcció 3, i ha de ser estrictament positiva ja que és un enllaç unilateral: 

<math>\int_{\mathrm{J} \in \text { corró }} \mathrm{N}_{\rightarrow \mathrm{J}}=\mathrm{N}>0 .</math> 

El moment resultant d’enllaç depèn del punt del corró on es calculi. Si es tria un punt extrem del contacte (<math>\Ps</math> o <math>\Qs</math>), el moment resultant té signe definit: 

<center>
<math>\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{P})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{P J}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2>0 \\
0
\end{array}\right\},\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{Q})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{QJ}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2<0 \\
0
\end{array}\right\} .</math>
</center>
[[Fitxer:ExD3-4-2-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
La descripció de l’enllaç per mitjà del torsor és molt avantatjosa: redueix dràsticament el nombre d’incògnites d’enllaç (passem a tenir-ne només dues). Si el torsor es caracteritza a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math>, l’estudi de la condició límit de bolcament és fàcil: <math>\mathrm{M}_2=0</math>. Si es caracteritza en qualsevol altre punt de la generatriu de contacte, cal passar a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math> per investigar el bolcament.


===Caracterització analítica del torsor d’enllaç entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math>===

La caracterització del torsor d’enllaç entre dos sòlids es pot fer sense passar per la descripció de l’enllaç punt a punt: si el punt de caracterització pertany a un dels dos sòlids, n’hi ha prou en combinar la condició d’ortogonalitat entre força i velocitat a cada punt de contacte amb la cinemàtica de sòlid rígid, i sumar totes les equacions que en resulten ('''Figura D3.13'''). 

[[Fitxer:Opcio-ana.png|thumb|center|800px|link=]]
<center>
'''Figura D3.13''' Caracterització analítica d’un enllaç multipuntual entre dos sòlids.

</center> 

Els vectors <math>\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \text{ i }\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}</math> es poden treure factor comú. Finalment: 

<math> \Biggl(\sum_\mathrm{J} \overline{\mathbf{F}}_{\rightarrow \mathrm{J}} \Biggl) \cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \Biggr[ \sum_\mathrm{J} (\overline{\mathbf{PJ}} \times \mathbf{F}_{\rightarrow \mathrm{J}}) \Biggr] \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} = 0 \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}=0 </math> 

Aquesta equació és l’equació de '''caracterització analítica''' del torsor d’enllaç. Expressa l’ortogonalitat entre el torsor d’enllaç <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)\bigl\}^\top</math> i el torsor cinemàtic <math>\bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \quad \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}^\top</math> de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>:<math>\left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps)\\
\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}
\end{array}\right\} =0.</math> 

Aquesta ortogonalitat no implica ortogonalitat entre força i velocitat per una banda, i entre moment i velocitat angular per l’altra. En principi,<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \neq 0 \text{, } \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \neq 0 </math>. 

Quan es fa servir l’equació de caracterització analítica, cal considerar inicialment que tant la força com el moment resultants tenen les tres components no nul·les. Pel que fa al torsor cinemàtic, cal escriure les seves components no nul·les en funció dels GL de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>. 

Per altra banda, en aparèixer multiplicades escalarment la força i la velocitat del punt per una banda, i el moment i la velocitat angular per l’altra, es poden fer servir bases vectorials diferents per a cadascun d’aquests productes escalars, doncs el seu resultat no depèn de la base: 

<math>\bigl\{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \bigl\}_\mathrm{B} \cdot \bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B} + \bigl\{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B'} \cdot \bigl\{\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}_\mathrm{B'} </math>

====✏️ Exemple D3.5: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-5-1-cat.png|thumb|left|165px|link=]]
:El corró no llisca sobre el terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe del terra sobre el corró, al punt <math>\Ps</math> és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}
\cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} =0</math> 

Totes les components del torsor d’enllaç tret de <math>\mathrm{M}_1</math> poden tenir qualsevol valor, doncs van multiplicades per zero. En canvi, com que <math>\Omega_1</math> no és zero en principi, <math>\mathrm{M}_1</math> ha de ser zero per tal de que es compleixi l’equació d’ortogonalitat. Així doncs, el torsor resultant d’enllaç és: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps)\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad \mathrm{M}_2 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top . </math> 

Com s'ha comentat a l’[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua|'''exemple D3.4''']], M2 ha de ser positiu. Un valor negatiu seria indicatiu de bolcament. 

Les cinc components no nul·les són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL del corró respecte de <math>\mathrm{S}</math> és 6. 

El torsor del mateix enllaç en un punt diferent es pot obtenir bé aplicant novament l’equació de caracterització analítica bé a partir del torsor a <math>\Ps</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). Per exemple, per al punt <math>\mathbf{C}</math> aquests dos mètodes condueixen a: 

* Caracterització analítica: <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\mathbf{C}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\mathbf{C}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math>

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_2 = - \rs \Omega_1\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
...\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math>

:<math>(-\rs \mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1)\Omega_1 =0 \quad \Rightarrow \quad -\rs\mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1=0 </math> 

Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

* Obtenció a partir del torsor a <math>\Ps</math>: <math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{P})+ \overline{\mathbf{CP}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} </math> 

:<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\}+ \left\{\begin{array}{c}
0\\
0 \\
-\rs
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
\rs \mathrm{F}_2\\
\mathrm{M}_2 - \rs \mathrm{F}_1 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math> 

:Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

El nombre de components no nul·les del torsor a <math>\mathbf{C}</math> és 6, però el nombre de components independents és 5, doncs hi ha una relació de dependència entre <math>\mathrm{M}_1</math> i <math>\mathrm{F}_2</math> . Per tant, segueix complint-se que el nombre de components independents de torsor més el de GL és 6.

====✏️ Exemple D3.6: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte puntual sense lliscament====
---------
[[Fitxer:ExD3-6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:La bola de radi r no llisca dins la cavitat esfèrica. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe de la cavitat sobre la bola, al seu centre <math>\mathbf{G}</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{cav}(\mathbf{G}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{cav}^\mathrm{bola}=0 </math> 

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{v}_1\\
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
\Omega_2\\
\Omega_3
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
... \\
...
\end{array}\right\} </math>

En no haver-hi lliscament al punt de contacte, les components de velocitat <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> són proporcionals a <math>\Omega_3</math> i <math>\Omega_1</math> , respectivament: <math>\mathrm{v}_1=-\rs \Omega_3</math>, <math>\mathrm{v}_3=\rs \Omega_1</math> (el signe negatiu de la primera igualtat indica que una <math>\Omega_3</math> positiva genera una <math>\mathrm{v}_1</math> negativa). Substituïnt a l’equació de caracterització i desenvolupant el producte escalar (sense incloure la component <math>\mathrm{F}_2</math> , perquè va multiplicada per zero): 

<math>(-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3) \Omega_3 + (\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1) \Omega_1 + \mathrm{M}_2\Omega_2=0. </math> 

Com que les tres rotacions són independents, els coeficients que les multipliquen han de ser zero perquè l’equació es compleixi per a qualsevol valor de <math>\Omega_3</math> i de <math>\Omega_1</math>: <math>-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3=0</math> ,<math>\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1</math> , <math>\mathrm{M}_2=0</math>. 

Finalment:

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad \mathrm{M}_1 \quad 0 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top</math>, amb <math>\mathrm{M}_3=\rs \mathrm{F}_1</math> i <math>\mathrm{M}_1=-\rs \mathrm{F}_3.</math> 

El torsor té cinc components no nul·les, però només tres són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL de la bola respecte de la cavitat és 6. 

Aquest torsor també es pot obtenir a partir de la caracterització a <math>\mathbf{J}</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). En tractar-se d’un contacte puntual sense lliscament, a <math>\mathbf{J}</math> hi ha tres components de força d’enllaç i cap moment: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{J})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad 0 \quad 0 \bigl\}^\top</math> 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{J})+ \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} = \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}</math> 

<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} = \left\{\begin{array}{c}
0\\
-\rs\\
0
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
-\rs \mathrm{F}_3\\
0 \\
\rs \mathrm{F}_1
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
0 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} </math> 

-----------

Com s’ha vist als exemples anteriors, l’equació de caracterització analítica garanteix que la suma del nombre de components independents del torsor d’enllaç entre dos sòlids i del nombre de GL relatius entre els sòlids és sempre 6:

<center><math>\boxed{\text{comps. indeps. torsor + GL relatius = 6}}</math></center>

===Caracterització immediata del torsor d’enllaç===

Quan es tria un punt <math>\Ps</math> de caracterització la velocitat del qual,<math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math>, és independent de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math>, i una base vectorial tal que les components de <math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math> són independents entre elles i les de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math> també, la '''caracterització és immediata''': a cada component nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component no nul·la del torsor dinàmic, i a cada component no nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component nul·la del torsor dinàmic.

====✏️ Exemple D3.7: caracterització immediata del torsor d’enllaç en un contacte multipuntual continu====
---------

[[Fitxer:ExD3-7-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La mola cònica no llisca sobre el terra cònic (T). La caracterització del torsor de l’enllaç directe del terra sobre qualsevol dels punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> de la mola amb el terra pot ser immediata, perquè <math>\vvec_\mathrm{T}(\mathbf{J})</math> independentment de la velocitat angular mola <math>\velang{mola}{T}</math> . 

Perquè ho sigui realment, cal triar una base vectorial per expressar el moment d’enllaç tal que els components de mola <math>\velang{mola}{T}</math> siguin independents. Ja que la direcció de mola <math>\velang{mola}{T}</math> està unívocament determinada (la mola te 1 GL respecte del terra), qualsevol base que tingui un eix paral·lel a l’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la mola és adequada: 

[[Fitxer:ExD3-7-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]] 
:Finalment: <math>\braq{\fvec{T}{mola}}{} = \vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{T}{mola}(\mathbf{J})}{} = \vector{\mathrm{M}_1}{0}{\mathrm{M}_3}.</math>


====✏️ Exemple D3.8: caracterització del torsor d’enllaç d’una unió helicoïdal====
---------

[[Fitxer:ExD3-8-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La caracterització del torsor de l’enllaç directe de la femella de la unió helicoïdal sobre el mascle no pot ser directa, 

En una unió helicoïdal, no hi ha cap punt del mascle que tingui velocitat respecte de la femella independent de la rotació entre les dues peces. Per tant, la caracterització immediata no és possible. 

Si es tria com a punt de caracterització qualsevol punt <math>\mathbf{O}</math> de l’eix 3, la caracterització analítica condueix a: 

<math>\fvec{femella}{mascle}\cdot \vvec_\mathrm{femella}(\mathbf{O})+ \mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O}) \cdot \velang{mascle}{femella}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{\mathrm{v}_3}+\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}\vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{...}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{...}.</math> 

La velocitat d’<math>\mathbf{O}</math> al llarg de l’eix és directament proporcional a la rotació per mitjà del pas de rosca e. Ja que <math>\Omega_3</math> es mesura en rad/s, <math>\mathrm{v}_3</math> en m/s, i e es dóna en mm/volta, cal fer una conversió d’unitats: 

<math>\mathrm{v}_3\left[\frac{\ms}{\ss}\right] = \Omega_3\left[\frac{\mathrm{rad}}{\ss}\right]\es\left[\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{ volta}}\right]\frac{1 \ms}{10^3 \mathrm{ mm}}\frac{1 \mathrm{volta}}{2 \pi \mathrm{ rad}} \Rightarrow \mathrm{v}_3= \Omega_3 \frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3}</math> 

Finalment: <math>\braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{M}_3= -\frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3} \mathrm{F}_3 </math>


===Torsors d'enllaç associats als enllaços directes habituals entre sòlids rígids===

Els [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''enllaços habituals entre parelles de sòlids rígids''']] s’han analitzat des del punt de vistacinemàtic. A partir d’aquesta descripció, es poden caracteritzar els torsors d’enllaç corresponents ('''Figura D3.14'''). 

[[Fitxer:D3-14-TABLE-cat.png|thumb|center|670px|link=]]
<center>
'''Figura D3.14''' Caracterització immediata dels enllaços directes habituals

</center> 

En els sistemes multisòlid formats únicament per sòlids rígids amb massa no negligible connectats mitjançant aquests enllaços habituals, la descripció dinàmica dels enllaços es fa considerant per separat cada parella de sòlids connectats com si la resta d’elements del sistema no hi fos.

====✏️ EXEMPLE D3.9: anàlisi d’incògnites en un sistema multisòlid====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-9-1-cat.png|thumb|left|300px|link=]] 

|El sistema multisòlid conté 5 enllaços habituals: 

* 3 enllaços de revolució (o articulacions)
* 1 enllaç cilíndric
* 1 enllaç esfèric (o ròtula esfèrica) 

Tenint en compte que una articulació introdueix 5 components independents de torsor d’enllaç, un enllaç cilíndric n’introdueix 4, i un d’esfèric 3, en el sistema hi ha un total de 22 incògnites d’enllaç.
|}


-----------
-----------

==D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç==
En els sistemes multisòlid, és freqüent que alguns sòlids tinguin massa negligible comparats amb els altres i que no reben altres forces que les d’enllaç amb altres sòlids. Aquests sòlids s’anomenen '''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''' ('''SAE'''), i se’ls pot donar un tractament particular quan es tracta de caracteritzar enllaços. 

La '''Figura D3.15''' presenta un sòlid <math>\mathrm{S1}</math> en contacte amb un sòlid <math>\mathrm{S}</math> de massa negligible, que no està sotmès a cap força que no sigui d’enllaç, en dues situacions diferents: <math>\mathrm{S}</math> només en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math> ('''Figura D3.15a''') i <math>\mathrm{S}</math> en contacte amb dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> ('''Figura D3.15b'''). 

[[Fitxer:D3-15-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.15''' Interacció entre sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i<math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’un sòlid auxiliar d’enllaç (SAE).

</center> 

En absència de <math>\mathrm{S2}</math> i, la presència de <math>\mathrm{S}</math> (en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math>) és dinàmicament irrellevant: <math>\mathrm{S}</math> no representa cap obstacle per moure <math>\mathrm{S1}</math>. Conseqüentment, <math>\mathrm{S}</math> no és capaç d’introduir cap força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Però quan <math>\mathrm{S}</math> interconnecta <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, <math>\mathrm{S}</math> esdevé un transmissor: <math>\mathrm{S2}</math> pot ser un obstacle quan es tracta de provocar certs moviments de <math>\mathrm{S1}</math>, i això es tradueix en forces d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Com a cas senzill per il·lustrar-ho, la '''Figura D3.16''' mostra dos exemples (que considerarem plans) on dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> sobre un pla llis estan connectats a través d’una barra de massa negligible (comparada amb la de <math>\mathrm{S1}</math> i la de <math>\mathrm{S2}</math>) articulada en els dos extrems:<

(a) les articulacions són perfectes (sense frec) 

(b) una de les articulacions té un molla torsional associada 

[[Fitxer:D3-16-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.16''' Enllaç indirecte entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’una barra <math>\mathrm{S}</math> articulada de massa negligible.

</center> 

En el cas (a), la barra és un SAE (no està sotmesa a cap força que no sigui d’enllaç). Provocar velocitat del punt <math>\mathbf{O}</math> de <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra implica moure <math>\mathrm{S}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> . En canvi, moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció ortogonal a la barra provoca moviment de <math>\mathrm{S}</math> però no de <math>\mathrm{S2}</math> , mentre que fer girar <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> no provoca el moviment cap dels dos (ni de <math>\mathrm{S}</math> ni de <math>\mathrm{S2}</math> ). En conseqüència, només té sentit associar una força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra. El responsable d’aquesta força no és <math>\mathrm{S}</math> sinó <math>\mathrm{S2}</math> : quan es tracta de caracteritzar l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> s’ha devaluar des de <math>\mathrm{S2}</math>. Es diu que entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> hi ha un '''enllaç indirecte a través del SAE'''. 

En el cas (b), la barra no és un SAE perquè està sotmesa a una interacció que no és d’enllaç (la de la molla). Com en el cas (a), moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció de la barra obliga a moure <math>\mathrm{S2}</math> . Però ara, el moviment de <math>\mathbf{O}</math> en direcció perpendicular a la barra obliga a deformar la molla, la qual actua sobre <math>\mathrm{S2}</math> i el fa bellugar. El moviment de rotació de <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> segueix sent possible sense haver de moure <math>\mathrm{S2}</math> ni deformar la molla. En la caracterització de l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , cal avaluar la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> de manera que <math>\mathbf{O}</math> no tingui velocitat : cal avaluar-la des de S. 

====✏️ Exemple D3.10: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-10-1-cat -nou.png|thumb|left|250px|link=]]
El carretó té 2 GL lliures respecte del terra (translació longitudinal i rotació vertical). Si la massa dels tres elements (rodes i xassís) és comparable, la representació simplificada del sistema i el nombre d’incògnites d’enllaç que conté és la següent: 

[[Fitxer:ExD3-10-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
En total, doncs, el sistema conté 17 incògnites d’enllaç. 

Aquest nombre es pot reduir en el cas que la massa de les rodes sigui negligible (comparada amb la del xassís): el xassís passa a tenir tres enllaços amb el terra, un de directe i dos d’indirectes a través de les rodes, que són SAE. El nombre d’incògnites que introdueix un d’aquests enllaços indirectes no és sempre evident a priori, i és aconsellable caracteritzar-lo analíticament. Cal recordar, però, que la cinemàtica que es descriu correspon a la que té el xassís respecte del terra com si només hi actués l’enllaç que es considera. En aquest cas, doncs, en la caracterització de l’enllaç indirecte entre terra i xassís a través de les rodes cal avaluar la cinemàtica com si el contacte directe amb el terra (a la part del davant del xassís) no hi fos. 

[[Fitxer:ExD3-10-3-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al seu centre <math>\mathbf{C}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Cs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad</math>

<math>\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs)}{}= \overline{0}</math>

El nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 

La caracterització també es pot fer al punt <math>\Os</math> (punt mig de l’eix de les rodes), doncs també pertany a la roda. Les components de la força han de ser les mateixes, però les del moment poden canviar. 

Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> només són possibles si hi ha rotació <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_1=\rs\Omega_2 </math> ,<math>\mathrm{v}_3=\Ls\Omega_2 </math> . Si s’introdueixen aquestes relacions i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>(\rs \mathrm{F}_1 + \Ls \mathrm{F}_3 +\mathrm{M}_2')\Omega_2+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+\mathrm{M}_1'\Omega_1+\mathrm{M}_3'\Omega_3=0</math> 

Ja que <math>(\mathrm{v}_2,\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3)</math> són independents, els coeficients de cadascuna d’aquestes velocitats ha de ser zero. Per tant, l’enllaç indirecte introdueix només 2 incògnites: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2'}{0}</math>, amb <math>\mathrm{M}_2'=-\rs \mathrm{F}_1 -\Ls\mathrm{F}_3</math> 

A aquest resultat també es podria haver arribat a partir de la relació que hi ha entre torsors associats a la mateixa interacció però en punts diferents ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]): 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)= \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) + \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} = \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} </math> , 

<math>\vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} = \vector{\Ls}{0}{-\rs} \times \vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} = \vector{0}{-\rs\mathrm{F}_1 -\Ls \mathrm{F}_3}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç segueix sent 5. 

Finalment, una altra opció és caracteritzar l’enllaç del terra sobre el xassís per mitjà de els dues rodes simultàniament. 

[[Fitxer:ExD3-10-4-cat.png|thumb|right|200px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de les dues rodes, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1''}{\mathrm{F}_2''}{\mathrm{F}_3''}\vector{0}{\mathrm{v}_2}{0}+ \vector{\mathrm{M}_1''}{\mathrm{M}_2''}{\mathrm{M}_3''} \vector{\Omega_1}{0}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents:

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1''}{0}{\mathrm{F}_3''} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2''}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç es redueix a 4.


====✏️ Exemple D3.11: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-11-2-cat.png|thumb|right|270px|link=]]
{|
[[Fitxer:ExD3-11-1-cat.png|thumb|left|210px|link=]]

|La placa té el vèrtex <math>\Ps</math> obligat a moure’s dins la guia, i el punt <math>\Qs</math> connectat al punt <math>\Os</math> del terra (T) mitjançant una barra amb articulacions als extrems. El sistema té només 1 GL, descrit per mitjà de <math>\dot{\theta}</math>. 

Si es considera el problema només en dues dimensions i cap element té massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 
|}
{|
|[[Fitxer:ExD3-11-3-cat.png|thumb|left|215px|link=]]
|Si la barra és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la placa per mitjà de la barra al punt <math>\Qs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Qs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
\Omega_1
\end{array}\right\}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
...
\end{array}\right\}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació de la barra, però no de la de la placa: en haver-hi una articulació a <math>\Qs</math>, la placa pot fer un moviment de translació circular quan la barra gira. Per tant, es tracta d’una caracterització immediata: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
0
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
0
\end{array}\right\}</math> 
|}


====✏️ Exemple D3.12: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-12-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-2-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-3-cat.png|thumb|left|150px|link=]]

La bola té 4 GL lliures respecte del terra (translacions al llarg de l’eix r-r’ i de l’eix 2, rotacions al voltant de l’eix r-r’ i de l’eix 2). Si no hi ha cap element de massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 8. 

Si l’element T és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la bola per mitjà d’aquest element al punt <math>\Gs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs) \cdot \velang{bola}{T}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{...}{\mathrm{M}_3}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> només és possible si l’element T (i per tant la bola) giren amb <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_3=-\xs\Omega_2</math>. Si s’introdueix aquesta relació i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>\mathrm{F}_1\mathrm{v}_1+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+(-\xs\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2)\Omega_2+\mathrm{M}_1\Omega_1</math> 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math> 

Tot i que el torsor a <math>\Gs</math> té tres components no nul·les, d’independents només n’hi ha dues.


---------
 

Un cas paradigmàtic en què la dimensió es redueix dràsticament és el del '''coixinet de boles''' ('''Figura D3.17'''). Si es tracta el problema com a pla i les N boles no es consideren SAE, el nombre d’incògnites d’enllaç del sistema és 4N (cada bola manté contacte puntual sense llisament amb els dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, i en el cas pla,el contacte puntual es redueix a dues incògnites d’enllaç). Si es tracten com a SAE, l’enllaç indirecte entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> a través de les boles es redueix a dues incògnites d’enllaç. 

[[Fitxer:D3-17-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.17''' Coixinet de boles.
</center> 

====✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-13-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:El sistema multisòlid té 2 GL respecte del terra: la translació circular de la placa respecte de l’eix i la rotació de tots els elements al voltant de l’eix vertical (permesa pel coixinet). Si cap element té massa negligible, el nombre: total d’incògnites d’enllaç és 25. 

:Si es negligeixen les masses de l’eix i de les dues barres i es tracten com a SAE, el sistema es redueix a un enllaç indirecte: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{...}{\mathrm{M}_3} </math> 

:La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació del conjunt al voltant de l’eix vertical: <math>\mathrm{v}_3=-(\mathrm{h} + \mathrm{Lcos}\theta)\Omega_2</math> . Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_2</math> provenen de la translació circular de la placa, i per tant no són independents: <math>\frac{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}=-\mathrm{tan}\theta</math> 

:Si es desenvolupa el producte escalar tenint en compte aquestes relacions: 

:<math>(-\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta+\mathrm{F}_2)\mathrm{v}_2+ [-(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2]\Omega_2=0, </math> 

:<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta</math> i <math>\mathrm{M}_2=(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3</math> 

:El nombre d’incògnites d’enllaç s’ha reduït a 4.


====✏️ Exemple D3.14: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-14-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:Si al sistema de l’ [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid|'''exemple D3.13''']] se li afegeix una molla torsional amb un extrem lligat a l’eix, el nombre de GL no es modifica, però en la descripció dels enllaços, l’eix no es pot tractar com a SAE encara que la seva massa sigui negligible. Les dues barres, però, segueixen estant sotmeses només a interaccions d’enllaç, i per tant, si es negligeix la seva massa, són SAE: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\mathrm{eix} (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{eix}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{-\mathrm{v}_2\mathrm{tan}\theta}{\mathrm{v}_2}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}, \mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta </math> 

:El nombre total d’incògnites d’enllaç és 10: 5 associades a l’enllaç indirecte que s’acaba de caracteritzar, i 5 més al coixinet entre terra i eix. 

[[Fitxer:ExD3-14-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]


---------
---------

==D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals==
Els actuadors (o accionaments) són elements concebuts per controlar un grau de llibertat (de translació o de rotació) entre dos sòlids i eliminar-ne d’altres. 

Externament, un actuador són dues peces que entre elles només tenen el GL a controlar (en el cas d’actuador rotacionals, aquestes peces s’anomenen '''estator''' i '''rotor'''). Quan s’insereix entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math>, la manera com es connecta als sòlids determina els GL eliminats entre ells. En aquest curs, la massa dels actuador es considera negligible sempre. 

La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> , doncs, es descriu mitjançant una força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o un parell <math>\Gamma</math> (o moment), segons que es tracti d’un actuador lineal o rotacional, i un torsor d’enllaç. 

Hi ha dues maneres de descriure el sistema format per <math>\mathrm{S}1</math>, <math>\mathrm{S}2</math>, <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math>: 

* Opció 1: Es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a dos sòlids més del sistema. Entre elles, el torsor de l’enllaç directe es caracteritza com si l’actuador estigués desactivat (permetent el GL que controla entre les dues peces quan està activat). Tant si l’actuador és lineal com si és rotacional, el torsor d’enllaç conté 5 components independents. A més, entre <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> hi ha la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math>. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{P}1</math>, i entre <math>\mathrm{S}2</math> i <math>\mathrm{P}2</math> es descriu mitjançant l’enllaç corresponent. 

* Opció 2: Es considera l’actuador desactivat, i es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']]. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> queda explicada llavors mitjançant el torsor de l’enllaç indirecte associat a aquesta cadena de SAEs, i la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math> .

====✏️ Exemple D3.15: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-15-1-cat.png|thumb|left|260px|link=]]

|L’actuador lineal, de massa negligible, actua entre terra i pèndol, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 1.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i el pèndol. 
|}
Opció 1 

Ja que la peça 1 de l’actuador està enganxada a terra, es poden considerar com a una de sola. La peça 2, en canvi, no està enganxada sinó articulada al pèndol. 

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització a <math>\Os</math> dels dos enllaços és immediata: 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

Opció 2 

El torsor de l’enllaç indirecte entre terra i pèndol a través de l’actuador es pot caracteritzar analíticament: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}} \cdot \vvec_\mathrm{terra} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os) \cdot \velang{pèndol}{terra}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}}{}=\vector{0}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{0}</math> 

:En aquest cas, la caracterització a <math>\Os</math> és immediata. 

:Les interaccions entre terra i pèndol per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


====✏️ Exemple D3.16: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-16-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]

|L’actuador lineal actua entre el suport i l’hèlix, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 2 (la qual cosa fa girar l’hèlix sempre i quan no es passi per configuracions singulars – per exemple, quan la direcció de l’actuador és vertical i passa per <math>\Os</math>). Es tracta de descriure la interacció entre el suport i l’hèlix.

|}
Opció 1 
Cap de les peces que formen l’actuador és fixa al suport ni a l’hèlix. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]] 

La caracterització dels tres enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os')}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

 

Opció 2 

: El torsor de l’enllaç indirecte entre suport i hèlix a través de l’actuador és nul: en haver-hi ròtules esfèriques als dos extrems de l’actuador, el punt <math>\Os</math> podria tenir velocitat en totes les direccions respecte del suport. 

:La interacció entre suport i hèlix a través de l’actuador es redueix a una força (que és la que fa l’actuador quan està activat): 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
 

====✏️ Exemple D3.17: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-17-1-cat,esp.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor, de massa negligible, actua entre terra i anella, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i l’anella. 

Opció 1 

En aquest cas, l’estàtor (P1) és fix a terra, i el rotor (P2) és fix a l’anella. Per tant, només té sentit l’opció 1. 

Les interaccions entre terra i anella per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-17-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]]

El torsor de l’enllaç entre terra (+P1) i anella (+P2) és el que correspon a una articulació, i la seva caracterització és immediata: 

<center>
<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math>
</center>
|}


====✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-18-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor actua entre la forquilla i la roda, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre la forquilla i la roda. 
|}
Opció 1 

Una de les peces que formen l’actuador (el rotor) és fixa la roda. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització dels dos enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

Opció 2 

:La caracterització del torsor d’enllaç entre forquilla i roda a través del motor és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}} \cdot \vvec_\mathrm{forq} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os) \cdot \velang{roda}{forq}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{M}_3}</math> 

:La interacció entre forquilla i roda a través del motor es resumeix en el diagrama següent: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D2. Forces d’interacció entre partícules|<<< D2. Forces d’interacció entre partícules]]

[[D4. Teoremes vectorials|D4. Teoremes vectorials >>>]]
</center>

D3. Interaccions entre sòlids rígids

2024-04-25T13:27:21Z

Ebosch: /* Caracterització analítica del torsor d’enllaç entre dos sòlids rígids \mathrm{S}1 i \mathrm{S}2 */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
</math>
Com s’ha vist a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules|'''unitat D2''']], les interaccions entre parelles de partícules <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> queden descrites per una única força de direcció <math>\overline{\Ps \Qs}</math> . Quan la interacció és entre parelles de sòlids rígids (que es poden considerar com a dos conjunts d’infinites partícules), la descripció partícula a partícula portaria a treballar amb un sistema d’infinites forces. En aquest cas, cal passar a una descripció compacta d’aquest sistema de forces que retingui, però, la informació necessària per estudiar la dinàmica dels sòlids rígids: el sistema de forces es substitueix per un '''torsor resultant'''. 

Aquesta unitat introdueix el concepte de '''torsor associat a un sistema de forces''', i després l’aplica a les diverses interaccions entre sòlids (a distància, de contacte i per mitjà d’elements intermedis).

-----------
-----------
==D3.1 Torsor associat a un sistema de forces==
La reducció d’un sistema de forces sobre un sòlid rígid a un torsor és absolutament necessària quan el nombre de forces és molt elevat (infinit). Quan es tracta d’un sistema de poques forces, sol ser opcional. 

Una operació matemàtica eficaç per reduir el nombre de forces sobre un sòlid S és la suma: per molt elevat que sigui el nombre de forces, la suma condueix a una única '''força resultant'''. Aquesta reducció dràstica, però, implica una pèrdua d’informació essencial en molts casos. Sempre i quan no interessi estudiar la deformació dels objectes (és a dir, quan només s’estudiï la dinàmica de sòlids rígids), això es resol afegint un segon vector a la descripció compacta del sistema: el '''moment''' (o '''parell''') '''resultant respecte d’un punt''' <math>\Qs</math>. El conjunt d’aquests dos vectors és el '''torsor del sistema de forces en el punt''' <math>\Qs</math> ('''Figura D3.1'''). 

[[Fitxer:D3-1-cat.png|thumb|center|370px|link=]]
<center>'''Figura D3.1''' Torsor associat a un sistema de forces que actuen sobre un sòlid rígid.
</center> 

A tall d’exemple, considerem el cas d’una barra rígida inicialment en repòs que se sotmet a un sistema de forces amb força resultant nul·la. La '''Figura D3.2''' presenta tres situacions diferents que corresponen a aquesta resultant: ('''a''') lliure de forces, ('''b''') forces paral·leles a la barra, ('''c''') forces perpendiculars a la barra. En els dos casos primers ('''a''', '''b'''), el sistema de forces no modifica l’estat de repòs. En el tercer ('''c'''), les forces provoquen una rotació horària de la barra. El torsor resultant en qualsevol punt permet distingir entre ('''c''') i ('''a''', '''b'''). 

[[Fitxer:D3-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.2''' Barra rígida sotmesa a una força resultant nul·la.
</center> 

La força resultant no depèn mai del punt on es calcula el torsor. En canvi, el moment resultant en general sí que en depèn ('''Figura D3.3'''). 

[[Fitxer:D3-3-neut.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.3''' Barra rígida sotmesa a dues forces de valor diferent.
</center> 

El torsor resultant es representa en el punt on s’ha calculat el moment resultant ('''Figura D3.4'''). 

[[Fitxer:D3-4-neut.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.4''' Torsors a diferents punts per a l’exemple de la barra rígida de la '''Figura D3.3'''.
</center>
El moment resultant en un punt <math>\Qs’</math> es pot obtenir a partir del torsor en un punt <math>\Qs</math>: 

<math>\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs ')=\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs) + \overline{\Qs '\Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs</math>

<div>
=====💭 Demostració ➕=====


:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)=\sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is</math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\sum \overline{\Qs ' \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum (\overline{\Qs ' \Qs}+\overline{\Qs \Ps_\is}) \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum \overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\is + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\overline{\Qs ' \Qs} \times (\sum \overline{\mathbf{F}}_\is) + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is </math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs+\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)</math>

</div>

-----------
-----------

==D3.2 Atracció gravitatòria==
El càlcul del torsor resultant gravitatori sobre un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> per causa d’un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> no és senzill. La força gravitatòria resultant sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) prové de les forces (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> ) que cada diferencial de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> exerceix sobre <math>\Ps</math> ('''Figura D3.5'''). El torsor resultant sobre <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> s’obté a partir de totes aquestes forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> sobre tots els diferencials de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> . 

[[Fitxer:D3-5-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
<center><math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> és la suma de totes les <math>\mathbf{F}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math>
</center>
<center>'''Figura D3.5''' Càlcul de la força total gravitatòria del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> (<math> \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math>.
</center> 

Quan es tracta de l’atracció gravitatòria terrestre (<math>\mathrm{S}_\mathrm{Q} = \mathrm{Terra}</math>) sobre un sòlid de petites dimensions comparades amb les de la Terra i prop de la superfície terrestre, és usual emprar l’aproximació de camp uniforme: les forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> pràcticament paral·leles entre elles i el seu valor és <math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps} = \mathrm{gdm}(\Ps)</math> , amb <math>\mathrm{g}</math> constant i igual al camp gravitatori a la superfície terrestre:<math>\mathrm{g}=\mathrm{G}_0 \frac{\mathrm{M}_\Ts}{\Rs_\Ts^2}</math>(on <math>\mathrm{G}_0</math> és la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.3 Atracció gravitatòria|'''constant universal de gravitació''']], i <math>\mathrm{M}_\Ts</math> i <math>\Rs_\Ts</math> són la massa i el radi de la Terra, respectivament). En aquest cas, es pot demostrar que existeix un punt de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> en el qual el torsor gravitatori es redueix a una força resultant <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{T}} \rightarrow \mathrm{S}_{\mathrm{P}}}</math> de valor mg (on m és la massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> ) dirigida cap al centre de la terra, i un moment resultant gravitatori nul. Aquest punt s’anomena '''centre de gravetat''' del sòlid, es representarà amb la lletra '''G''' ('''Figura D3.6'''). 

[[Fitxer:D3-6-cat.png|thumb|center|600px|link=]]
<center>'''Figura D3.6''' Atracció gravitatòria terrestre sobre un sòlid rígid en l‘aproximació de camp uniforme.
</center>

-----------
-----------
==D3.3 Interacció per mitjà de molles i amortidors==
===Molles i amortidors lineals===
Quan una molla o un amortidor lineal connecta dos punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> de dos sòlids diferents, cal assegurar que la connexió es fa de manera que la força que es transmet entre els punts té la direcció de l’element, i que no es transmet cap moment (o parell). 

En alguns casos, això es pot aconseguir inserint l’element entre dos trams de fil inextensible ('''Figura D3.7a'''). En aquest cas, la força que introdueix entre els punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> només pot ser d’atracció (a causa del caràcter unilateral de l’actuació del fil). 

En d’altres casos, cal recórrer a unions mitjançant [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''articulacions''']] (si es tracta d’un problema pla, '''Figura D3.7b''') o [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''ròtules esfèriques''']] (si és un problema 3D). 

[[Fitxer:D3-7-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D3.7''' Molles i amortidors lineals connectats a dos sòlids rígids diferents.
</center>

====✏️ Exemple D3.1: força de repulsió d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------

[[Fitxer:ExD3-1-1-neut.png|thumb|left|175px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, actua entre el suport fix a terra i un eix vertical que està en contacte amb la barra. Per a <math>\theta = 0</math> , el sistema està en equilibri, i la força que la molla exerceix entre els seus extrems és <math>\mathrm{F}_0</math> . 

:En absència de molla, la barra, que està articulada al suport al punt <math>\mathbf{O}</math>, tendiria a caure (rotació horària). Si per a <math>\theta = 0</math> hi ha equilibri, la molla ha d’estar fent necessàriament una repulsió entre els seus extrems en aquesta configuració. Per tant, el més lògic és calcular l’expressió de la força de la molla per a una configuració general com a força repulsiva: 

<math> \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}= \mathrm{F}_0 - \mathrm{k}\Delta\rho=\mathrm{F}_0-\mathrm{k}[\rho(\theta) - \rho(\theta=0)]</math>. 

L’increment <math>\Delta \rho </math> de llargària de la molla a partir de l’equilibri és proporcional a la tangent de l’angle:<math>\mathrm{tan}\theta=\Delta\rho/\mathrm{L}</math>. Per tant: <math>\mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}=\mathrm{F}_0-\mathrm{kL}\mathrm{tan}\theta</math>. 

La força de repulsió de l’amortidor s’obté a partir de l’allargament anterior per derivació: 

<math>\rho=\mathrm{Ltan}\theta \Rightarrow \dot{\rho} = \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c}\dot{\rho}=-\mathrm{c} \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta}</math>


====✏️ Exemple D3.2: força d’atracció d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------


[[Fitxer:ExD3-2-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, té un extrem fix al xassís del vehicle, i l’altre a un fil que s’enrotlla al damunt d’un corró de radi <math>\rs</math> solidari a la roda de radi <math>2\rs</math>, que no llisca al damunt del terra. Per a <math>\xs = 0</math> , la molla està estirada i exerceix una força <math>\mathrm{F}_0</math> entre els seus extrems.
[[Fitxer:ExD3-2-2-cat.png|thumb|right|220px|link=]]
:La coordenada <math>\xs</math> descriu la posició del xassís respecte del terra, i per tant també la del centre de la roda de radi <math>2\rs</math>. En tenir la molla un extrem lligat a un fil que s’enrotlla al corró, el desplaçament d’aquest extrem respecte del terra es pot obtenir per integració de la seva velocitat. 

:Vistes les velocitats dels dos extrems de la molla, és evident que s’escurça. La velocitat d’escurçament entre els extrems és: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{3}{2}\dot{\xs}-\dot{\xs}=\frac{1}{2}\dot{\xs}</math>, i per tant, l’escurçament de la molla a partir de la configuració <math>\xs = 0</math> és:<math>\frac{1}{2}\xs(=-\Delta \rho)</math> 

:L’expressió de la força d’atracció de la molla (ja que la <math>\mathrm{F}_0</math> és una atracció ja que la molla està estirada per a <math>\xs = 0</math> ) és:<math>\mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{molla}} + \mathrm{k}\Delta \rho = \mathrm{F}_0 - \frac{1}{2}\mathrm{k}\xs </math> 

:La força d’atracció de l’amortidor s’obté a partir de la velocitat l’escurçament que ja s’ha trobat: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{1}{2}\dot{\xs} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c} \dot{\rho}=-\frac{1}{2} \mathrm{c} \dot{\xs}</math>


===Molles i amortidors torsionals===

Les '''molles''' i els '''amortidors torsionals''' introdueixen moments però no forces entre els dos sòlids que connecten. Igual que en el cas dels elements lineals, la unió a cadascun dels sòlids ha de garantir que només es transmet un moment en una direcció determinada. Igual que en els casos dels elements lineals, les maneres d’aconseguir-ho són diverses. 

Quan les molles i els amortidors torsionals són de comportament lineal, l’increment de moment que introdueixen entre els sòlids, quan l’orientació relativa entre ells s’incrementa en un angle <math>\Delta \theta</math>, és proporcional a <math>\Delta \theta</math> i <math>\dot{\theta}</math>, respectivament ('''Figura D3.8'''). 

[[Fitxer:D3-8-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.8''' Formulació de molles i amortidors torsionals de comportament lineal.
</center>

-----------
-----------

==D3.4 Interaccions d’enllaç directes==
Les interaccions directes d’enllaç entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math> es produeixen quan estan en contacte, i provenen de les petites deformacions locals dels sòlids en la zona de contacte. Des del punt de vista macroscòpic, això es tradueix en impenetrabilitat i rugositat dels sòlids. Com ja s’ha comentat a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|'''secció D2.7''']], en tractar aquest curs de la dinàmica d’objectes rígids, les deformacions no es formulen, i per tant les forces associades són incògnites del problema dinàmic. 

Quan els enllaços impliquen sòlids, cal precisar si són llisos o rugosos. Una superfície llisa no pot impedir que un element llisqui respecte d’ella tot mantenint-hi contacte, mentre que una de rugosa sí que ho pot impedir. Això té una conseqüència directa en la caracterització de l’enllaç. 

Com a introducció a la caracterització d’enllaços entre sòlids, és útil considerar el cas més senzill del contacte puntual.

Considerem dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> que mantenen un contacte puntual entre ells. Els punts de contacte són <math>\Ps_1</math> i <math>\Ps_2</math> , respectivament. La caracterització de l’enllaç que <math>\mathrm{S}2</math> fa sobre <math>\Ps_1</math> (o que <math>\mathrm{S}1</math> fa sobre <math>\Ps_2</math> ) s’obté de manera anàloga a la de l’[[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|enllaç partícula-sòlid]] ('''Figura D3.12'''). El valor límit de força tangencial d'enllaç també s'obté com en el cas [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.8 Fricció|partícula-sòlid]]

[[Fitxer:D3-12-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.12''' Caracterització de l’enllaç puntual del sòlid <math>\mathrm{S}_2</math> sobre el sòlid <math>\mathrm{S}_1</math>.
</center> 
Quan l’enllaç entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> és multipuntual, la condició d’ortogonalitat entre força d’enllaç i velocitat permesa es pot aplicar a cada punt on es produeix contacte (la qual cosa implica acceptar que l’enllaç multipuntual es pot obtenir com a superposició d’enllaços puntuals independents). De vegades, això condueix a un nombre de components de forces d’enllaç elevat (fins i tot infinit, si el contacte es produeix al llarg d’un tram lineal o superficial continu), i cal reduir el sistema de forces a un torsor resultant d’enllaç. En alguns casos, aquesta reducció es pot obtenir molt fàcilment a partir de la descripció de l’enllaç punt a punt. 

Si bé és possible calcular el torsor d’un sistema de forces en qualsevol punt ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]), quan es tracta de torsors d’enllaç és convenient que aquest punt pertanyi al sòlid sotmès al sistema de forces en qüestió, perquè d’això sen deriva una propietat important.

====✏️ Exemple D3.3: torsor d’enllaç en un contacte bipuntual====
---------

[[Fitxer:ExD3-3-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El bloc manté contacte bipuntual amb un terra llis, i es mou només en un pla. 
[[Fitxer:ExD3-3-2-neut.png|thumb|right|175px|link=]]
:La descripció de l’enllaç com a superposició de dos enllaços puntuals condueix a dues forces normals: Si només hi hagués contacte a <math>\Ps</math>, l’enllaç introduiria només una força a <math>\Ps</math> normal al terra (<math>\Ns_\mathrm{P}</math>); si el contacte fos només a <math>\Qs</math>, introduiria una força a <math>\Qs</math> normal al bloc (<math>\Ns_\mathrm{Q}</math>). Els valors de <math>\Ns_\mathrm{P}</math> i <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> són independents (conèixer <math>\Ns_\mathrm{P}</math> no implica conèixer <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> ). El contacte bipuntual, doncs, introdueix dues incògnites d’enllaç. 

En tractar-se només de dues forces, la reducció a un torsor no és necessària, Per altra banda, aquesta desripció és útil per estudiar les dues condicions límit: <math>\Ns_\mathrm{P}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Ps</math> (per tant, bolcament en sentit horari), mentre que <math>\Ns_\mathrm{Q}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Qs</math> (per tant, bolcament en sentit antihorari).

En aquest cas, el torsor associat a aquest sistema de forces no redueix el nombre d’incògnites, que segueix sent 2. La força resultant té dues components independents:

<center>
<math>\left\{\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{T} \rightarrow \text { bloc }}\right\}=\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1 \\
\mathrm{F}_2 \\
0
\end{array}\right\} \text {, amb }\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1=-\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \sin \theta \\
\mathrm{F}_2=\mathrm{N}_{\mathrm{p}}+\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \cos \theta
\end{array}\right. \text {. }</math>
</center>

El moment resultant depèn del punt del bloc on es caracteritza el torsor, i quan no és nul, es pot escriure en funció de les components de força. 

[[Fitxer:ExD3-3-3-cat.png|thumb|center|600px|link=]]

Passar de la descripció punt a punt al torsor no té cap avantatge en aquest cas: no redueix el nombre d’incògnites d’enllaç, i dificulta l’estudi de les condicions límit.


====✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-4-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El corró es troba en contacte amb lliscament sobre un terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La descripció de l’enllaç multipuntual com a superposició d’enllaços puntuals condueix a un conjunt d’infinites forces normals <math>\Ns_{\rightarrow \mathrm{J}}</math> als punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> en la direcció normal al terra (direcció 3). La força resultant d’enllaç sobre el corró, per tant, és també de direcció 3, i ha de ser estrictament positiva ja que és un enllaç unilateral: 

<math>\int_{\mathrm{J} \in \text { corró }} \mathrm{N}_{\rightarrow \mathrm{J}}=\mathrm{N}>0 .</math> 

El moment resultant d’enllaç depèn del punt del corró on es calculi. Si es tria un punt extrem del contacte (<math>\Ps</math> o <math>\Qs</math>), el moment resultant té signe definit: 

<center>
<math>\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{P})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{P J}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2>0 \\
0
\end{array}\right\},\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{Q})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{QJ}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2<0 \\
0
\end{array}\right\} .</math>
</center>
[[Fitxer:ExD3-4-2-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
La descripció de l’enllaç per mitjà del torsor és molt avantatjosa: redueix dràsticament el nombre d’incògnites d’enllaç (passem a tenir-ne només dues). Si el torsor es caracteritza a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math>, l’estudi de la condició límit de bolcament és fàcil: <math>\mathrm{M}_2=0</math>. Si es caracteritza en qualsevol altre punt de la generatriu de contacte, cal passar a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math> per investigar el bolcament.


===Caracterització analítica del torsor d’enllaç entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math>===

La caracterització del torsor d’enllaç entre dos sòlids es pot fer sense passar per la descripció de l’enllaç punt a punt: si el punt de caracterització pertany a un dels dos sòlids, n’hi ha prou en combinar la condició d’ortogonalitat entre força i velocitat a cada punt de contacte amb la cinemàtica de sòlid rígid, i sumar totes les equacions que en resulten ('''Figura D3.13'''). 

[[Fitxer:Opcio-ana.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.13''' Caracterització analítica d’un enllaç multipuntual entre dos sòlids.

</center> 

Els vectors <math>\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \text{ i }\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}</math> es poden treure factor comú. Finalment: 

<math> \Biggl(\sum_\mathrm{J} \overline{\mathbf{F}}_{\rightarrow \mathrm{J}} \Biggl) \cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \Biggr[ \sum_\mathrm{J} (\overline{\mathbf{PJ}} \times \mathbf{F}_{\rightarrow \mathrm{J}}) \Biggr] \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} = 0 \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}=0 </math> 

Aquesta equació és l’equació de '''caracterització analítica''' del torsor d’enllaç. Expressa l’ortogonalitat entre el torsor d’enllaç <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)\bigl\}^\top</math> i el torsor cinemàtic <math>\bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \quad \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}^\top</math> de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>:<math>\left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps)\\
\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}
\end{array}\right\} =0.</math> 

Aquesta ortogonalitat no implica ortogonalitat entre força i velocitat per una banda, i entre moment i velocitat angular per l’altra. En principi,<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \neq 0 \text{, } \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \neq 0 </math>. 

Quan es fa servir l’equació de caracterització analítica, cal considerar inicialment que tant la força com el moment resultants tenen les tres components no nul·les. Pel que fa al torsor cinemàtic, cal escriure les seves components no nul·les en funció dels GL de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>. 

Per altra banda, en aparèixer multiplicades escalarment la força i la velocitat del punt per una banda, i el moment i la velocitat angular per l’altra, es poden fer servir bases vectorials diferents per a cadascun d’aquests productes escalars, doncs el seu resultat no depèn de la base: 

<math>\bigl\{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \bigl\}_\mathrm{B} \cdot \bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B} + \bigl\{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B'} \cdot \bigl\{\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}_\mathrm{B'} </math>

====✏️ Exemple D3.5: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-5-1-cat.png|thumb|left|165px|link=]]
:El corró no llisca sobre el terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe del terra sobre el corró, al punt <math>\Ps</math> és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}
\cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} =0</math> 

Totes les components del torsor d’enllaç tret de <math>\mathrm{M}_1</math> poden tenir qualsevol valor, doncs van multiplicades per zero. En canvi, com que <math>\Omega_1</math> no és zero en principi, <math>\mathrm{M}_1</math> ha de ser zero per tal de que es compleixi l’equació d’ortogonalitat. Així doncs, el torsor resultant d’enllaç és: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps)\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad \mathrm{M}_2 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top . </math> 

Com s'ha comentat a l’[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua|'''exemple D3.4''']], M2 ha de ser positiu. Un valor negatiu seria indicatiu de bolcament. 

Les cinc components no nul·les són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL del corró respecte de <math>\mathrm{S}</math> és 6. 

El torsor del mateix enllaç en un punt diferent es pot obtenir bé aplicant novament l’equació de caracterització analítica bé a partir del torsor a <math>\Ps</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). Per exemple, per al punt <math>\mathbf{C}</math> aquests dos mètodes condueixen a: 

* Caracterització analítica: <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\mathbf{C}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\mathbf{C}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math>

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_2 = - \rs \Omega_1\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
...\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math>

:<math>(-\rs \mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1)\Omega_1 =0 \quad \Rightarrow \quad -\rs\mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1=0 </math> 

Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

* Obtenció a partir del torsor a <math>\Ps</math>: <math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{P})+ \overline{\mathbf{CP}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} </math> 

:<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\}+ \left\{\begin{array}{c}
0\\
0 \\
-\rs
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
\rs \mathrm{F}_2\\
\mathrm{M}_2 - \rs \mathrm{F}_1 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math> 

:Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

El nombre de components no nul·les del torsor a <math>\mathbf{C}</math> és 6, però el nombre de components independents és 5, doncs hi ha una relació de dependència entre <math>\mathrm{M}_1</math> i <math>\mathrm{F}_2</math> . Per tant, segueix complint-se que el nombre de components independents de torsor més el de GL és 6.

====✏️ Exemple D3.6: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte puntual sense lliscament====
---------
[[Fitxer:ExD3-6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:La bola de radi r no llisca dins la cavitat esfèrica. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe de la cavitat sobre la bola, al seu centre <math>\mathbf{G}</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{cav}(\mathbf{G}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{cav}^\mathrm{bola}=0 </math> 

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{v}_1\\
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
\Omega_2\\
\Omega_3
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
... \\
...
\end{array}\right\} </math>

En no haver-hi lliscament al punt de contacte, les components de velocitat <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> són proporcionals a <math>\Omega_3</math> i <math>\Omega_1</math> , respectivament: <math>\mathrm{v}_1=-\rs \Omega_3</math>, <math>\mathrm{v}_3=\rs \Omega_1</math> (el signe negatiu de la primera igualtat indica que una <math>\Omega_3</math> positiva genera una <math>\mathrm{v}_1</math> negativa). Substituïnt a l’equació de caracterització i desenvolupant el producte escalar (sense incloure la component <math>\mathrm{F}_2</math> , perquè va multiplicada per zero): 

<math>(-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3) \Omega_3 + (\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1) \Omega_1 + \mathrm{M}_2\Omega_2=0. </math> 

Com que les tres rotacions són independents, els coeficients que les multipliquen han de ser zero perquè l’equació es compleixi per a qualsevol valor de <math>\Omega_3</math> i de <math>\Omega_1</math>: <math>-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3=0</math> ,<math>\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1</math> , <math>\mathrm{M}_2=0</math>. 

Finalment:

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad \mathrm{M}_1 \quad 0 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top</math>, amb <math>\mathrm{M}_3=\rs \mathrm{F}_1</math> i <math>\mathrm{M}_1=-\rs \mathrm{F}_3.</math> 

El torsor té cinc components no nul·les, però només tres són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL de la bola respecte de la cavitat és 6. 

Aquest torsor també es pot obtenir a partir de la caracterització a <math>\mathbf{J}</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). En tractar-se d’un contacte puntual sense lliscament, a <math>\mathbf{J}</math> hi ha tres components de força d’enllaç i cap moment: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{J})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad 0 \quad 0 \bigl\}^\top</math> 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{J})+ \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} = \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}</math> 

<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} = \left\{\begin{array}{c}
0\\
-\rs\\
0
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
-\rs \mathrm{F}_3\\
0 \\
\rs \mathrm{F}_1
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
0 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} </math> 

-----------

Com s’ha vist als exemples anteriors, l’equació de caracterització analítica garanteix que la suma del nombre de components independents del torsor d’enllaç entre dos sòlids i del nombre de GL relatius entre els sòlids és sempre 6:

<center><math>\boxed{\text{comps. indeps. torsor + GL relatius = 6}}</math></center>

===Caracterització immediata del torsor d’enllaç===

Quan es tria un punt <math>\Ps</math> de caracterització la velocitat del qual,<math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math>, és independent de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math>, i una base vectorial tal que les components de <math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math> són independents entre elles i les de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math> també, la '''caracterització és immediata''': a cada component nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component no nul·la del torsor dinàmic, i a cada component no nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component nul·la del torsor dinàmic.

====✏️ Exemple D3.7: caracterització immediata del torsor d’enllaç en un contacte multipuntual continu====
---------

[[Fitxer:ExD3-7-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La mola cònica no llisca sobre el terra cònic (T). La caracterització del torsor de l’enllaç directe del terra sobre qualsevol dels punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> de la mola amb el terra pot ser immediata, perquè <math>\vvec_\mathrm{T}(\mathbf{J})</math> independentment de la velocitat angular mola <math>\velang{mola}{T}</math> . 

Perquè ho sigui realment, cal triar una base vectorial per expressar el moment d’enllaç tal que els components de mola <math>\velang{mola}{T}</math> siguin independents. Ja que la direcció de mola <math>\velang{mola}{T}</math> està unívocament determinada (la mola te 1 GL respecte del terra), qualsevol base que tingui un eix paral·lel a l’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la mola és adequada: 

[[Fitxer:ExD3-7-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]] 
:Finalment: <math>\braq{\fvec{T}{mola}}{} = \vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{T}{mola}(\mathbf{J})}{} = \vector{\mathrm{M}_1}{0}{\mathrm{M}_3}.</math>


====✏️ Exemple D3.8: caracterització del torsor d’enllaç d’una unió helicoïdal====
---------

[[Fitxer:ExD3-8-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La caracterització del torsor de l’enllaç directe de la femella de la unió helicoïdal sobre el mascle no pot ser directa, 

En una unió helicoïdal, no hi ha cap punt del mascle que tingui velocitat respecte de la femella independent de la rotació entre les dues peces. Per tant, la caracterització immediata no és possible. 

Si es tria com a punt de caracterització qualsevol punt <math>\mathbf{O}</math> de l’eix 3, la caracterització analítica condueix a: 

<math>\fvec{femella}{mascle}\cdot \vvec_\mathrm{femella}(\mathbf{O})+ \mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O}) \cdot \velang{mascle}{femella}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{\mathrm{v}_3}+\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}\vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{...}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{...}.</math> 

La velocitat d’<math>\mathbf{O}</math> al llarg de l’eix és directament proporcional a la rotació per mitjà del pas de rosca e. Ja que <math>\Omega_3</math> es mesura en rad/s, <math>\mathrm{v}_3</math> en m/s, i e es dóna en mm/volta, cal fer una conversió d’unitats: 

<math>\mathrm{v}_3\left[\frac{\ms}{\ss}\right] = \Omega_3\left[\frac{\mathrm{rad}}{\ss}\right]\es\left[\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{ volta}}\right]\frac{1 \ms}{10^3 \mathrm{ mm}}\frac{1 \mathrm{volta}}{2 \pi \mathrm{ rad}} \Rightarrow \mathrm{v}_3= \Omega_3 \frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3}</math> 

Finalment: <math>\braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{M}_3= -\frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3} \mathrm{F}_3 </math>


===Torsors d'enllaç associats als enllaços directes habituals entre sòlids rígids===

Els [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''enllaços habituals entre parelles de sòlids rígids''']] s’han analitzat des del punt de vistacinemàtic. A partir d’aquesta descripció, es poden caracteritzar els torsors d’enllaç corresponents ('''Figura D3.14'''). 

[[Fitxer:D3-14-TABLE-cat.png|thumb|center|670px|link=]]
<center>
'''Figura D3.14''' Caracterització immediata dels enllaços directes habituals

</center> 

En els sistemes multisòlid formats únicament per sòlids rígids amb massa no negligible connectats mitjançant aquests enllaços habituals, la descripció dinàmica dels enllaços es fa considerant per separat cada parella de sòlids connectats com si la resta d’elements del sistema no hi fos.

====✏️ EXEMPLE D3.9: anàlisi d’incògnites en un sistema multisòlid====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-9-1-cat.png|thumb|left|300px|link=]] 

|El sistema multisòlid conté 5 enllaços habituals: 

* 3 enllaços de revolució (o articulacions)
* 1 enllaç cilíndric
* 1 enllaç esfèric (o ròtula esfèrica) 

Tenint en compte que una articulació introdueix 5 components independents de torsor d’enllaç, un enllaç cilíndric n’introdueix 4, i un d’esfèric 3, en el sistema hi ha un total de 22 incògnites d’enllaç.
|}


-----------
-----------

==D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç==
En els sistemes multisòlid, és freqüent que alguns sòlids tinguin massa negligible comparats amb els altres i que no reben altres forces que les d’enllaç amb altres sòlids. Aquests sòlids s’anomenen '''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''' ('''SAE'''), i se’ls pot donar un tractament particular quan es tracta de caracteritzar enllaços. 

La '''Figura D3.15''' presenta un sòlid <math>\mathrm{S1}</math> en contacte amb un sòlid <math>\mathrm{S}</math> de massa negligible, que no està sotmès a cap força que no sigui d’enllaç, en dues situacions diferents: <math>\mathrm{S}</math> només en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math> ('''Figura D3.15a''') i <math>\mathrm{S}</math> en contacte amb dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> ('''Figura D3.15b'''). 

[[Fitxer:D3-15-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.15''' Interacció entre sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i<math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’un sòlid auxiliar d’enllaç (SAE).

</center> 

En absència de <math>\mathrm{S2}</math> i, la presència de <math>\mathrm{S}</math> (en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math>) és dinàmicament irrellevant: <math>\mathrm{S}</math> no representa cap obstacle per moure <math>\mathrm{S1}</math>. Conseqüentment, <math>\mathrm{S}</math> no és capaç d’introduir cap força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Però quan <math>\mathrm{S}</math> interconnecta <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, <math>\mathrm{S}</math> esdevé un transmissor: <math>\mathrm{S2}</math> pot ser un obstacle quan es tracta de provocar certs moviments de <math>\mathrm{S1}</math>, i això es tradueix en forces d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Com a cas senzill per il·lustrar-ho, la '''Figura D3.16''' mostra dos exemples (que considerarem plans) on dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> sobre un pla llis estan connectats a través d’una barra de massa negligible (comparada amb la de <math>\mathrm{S1}</math> i la de <math>\mathrm{S2}</math>) articulada en els dos extrems:<

(a) les articulacions són perfectes (sense frec) 

(b) una de les articulacions té un molla torsional associada 

[[Fitxer:D3-16-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.16''' Enllaç indirecte entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’una barra <math>\mathrm{S}</math> articulada de massa negligible.

</center> 

En el cas (a), la barra és un SAE (no està sotmesa a cap força que no sigui d’enllaç). Provocar velocitat del punt <math>\mathbf{O}</math> de <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra implica moure <math>\mathrm{S}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> . En canvi, moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció ortogonal a la barra provoca moviment de <math>\mathrm{S}</math> però no de <math>\mathrm{S2}</math> , mentre que fer girar <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> no provoca el moviment cap dels dos (ni de <math>\mathrm{S}</math> ni de <math>\mathrm{S2}</math> ). En conseqüència, només té sentit associar una força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra. El responsable d’aquesta força no és <math>\mathrm{S}</math> sinó <math>\mathrm{S2}</math> : quan es tracta de caracteritzar l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> s’ha devaluar des de <math>\mathrm{S2}</math>. Es diu que entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> hi ha un '''enllaç indirecte a través del SAE'''. 

En el cas (b), la barra no és un SAE perquè està sotmesa a una interacció que no és d’enllaç (la de la molla). Com en el cas (a), moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció de la barra obliga a moure <math>\mathrm{S2}</math> . Però ara, el moviment de <math>\mathbf{O}</math> en direcció perpendicular a la barra obliga a deformar la molla, la qual actua sobre <math>\mathrm{S2}</math> i el fa bellugar. El moviment de rotació de <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> segueix sent possible sense haver de moure <math>\mathrm{S2}</math> ni deformar la molla. En la caracterització de l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , cal avaluar la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> de manera que <math>\mathbf{O}</math> no tingui velocitat : cal avaluar-la des de S. 

====✏️ Exemple D3.10: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-10-1-cat -nou.png|thumb|left|250px|link=]]
El carretó té 2 GL lliures respecte del terra (translació longitudinal i rotació vertical). Si la massa dels tres elements (rodes i xassís) és comparable, la representació simplificada del sistema i el nombre d’incògnites d’enllaç que conté és la següent: 

[[Fitxer:ExD3-10-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
En total, doncs, el sistema conté 17 incògnites d’enllaç. 

Aquest nombre es pot reduir en el cas que la massa de les rodes sigui negligible (comparada amb la del xassís): el xassís passa a tenir tres enllaços amb el terra, un de directe i dos d’indirectes a través de les rodes, que són SAE. El nombre d’incògnites que introdueix un d’aquests enllaços indirectes no és sempre evident a priori, i és aconsellable caracteritzar-lo analíticament. Cal recordar, però, que la cinemàtica que es descriu correspon a la que té el xassís respecte del terra com si només hi actués l’enllaç que es considera. En aquest cas, doncs, en la caracterització de l’enllaç indirecte entre terra i xassís a través de les rodes cal avaluar la cinemàtica com si el contacte directe amb el terra (a la part del davant del xassís) no hi fos. 

[[Fitxer:ExD3-10-3-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al seu centre <math>\mathbf{C}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Cs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad</math>

<math>\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs)}{}= \overline{0}</math>

El nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 

La caracterització també es pot fer al punt <math>\Os</math> (punt mig de l’eix de les rodes), doncs també pertany a la roda. Les components de la força han de ser les mateixes, però les del moment poden canviar. 

Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> només són possibles si hi ha rotació <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_1=\rs\Omega_2 </math> ,<math>\mathrm{v}_3=\Ls\Omega_2 </math> . Si s’introdueixen aquestes relacions i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>(\rs \mathrm{F}_1 + \Ls \mathrm{F}_3 +\mathrm{M}_2')\Omega_2+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+\mathrm{M}_1'\Omega_1+\mathrm{M}_3'\Omega_3=0</math> 

Ja que <math>(\mathrm{v}_2,\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3)</math> són independents, els coeficients de cadascuna d’aquestes velocitats ha de ser zero. Per tant, l’enllaç indirecte introdueix només 2 incògnites: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2'}{0}</math>, amb <math>\mathrm{M}_2'=-\rs \mathrm{F}_1 -\Ls\mathrm{F}_3</math> 

A aquest resultat també es podria haver arribat a partir de la relació que hi ha entre torsors associats a la mateixa interacció però en punts diferents ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]): 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)= \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) + \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} = \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} </math> , 

<math>\vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} = \vector{\Ls}{0}{-\rs} \times \vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} = \vector{0}{-\rs\mathrm{F}_1 -\Ls \mathrm{F}_3}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç segueix sent 5. 

Finalment, una altra opció és caracteritzar l’enllaç del terra sobre el xassís per mitjà de els dues rodes simultàniament. 

[[Fitxer:ExD3-10-4-cat.png|thumb|right|200px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de les dues rodes, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1''}{\mathrm{F}_2''}{\mathrm{F}_3''}\vector{0}{\mathrm{v}_2}{0}+ \vector{\mathrm{M}_1''}{\mathrm{M}_2''}{\mathrm{M}_3''} \vector{\Omega_1}{0}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents:

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1''}{0}{\mathrm{F}_3''} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2''}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç es redueix a 4.


====✏️ Exemple D3.11: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-11-2-cat.png|thumb|right|270px|link=]]
{|
[[Fitxer:ExD3-11-1-cat.png|thumb|left|210px|link=]]

|La placa té el vèrtex <math>\Ps</math> obligat a moure’s dins la guia, i el punt <math>\Qs</math> connectat al punt <math>\Os</math> del terra (T) mitjançant una barra amb articulacions als extrems. El sistema té només 1 GL, descrit per mitjà de <math>\dot{\theta}</math>. 

Si es considera el problema només en dues dimensions i cap element té massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 
|}
{|
|[[Fitxer:ExD3-11-3-cat.png|thumb|left|215px|link=]]
|Si la barra és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la placa per mitjà de la barra al punt <math>\Qs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Qs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
\Omega_1
\end{array}\right\}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
...
\end{array}\right\}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació de la barra, però no de la de la placa: en haver-hi una articulació a <math>\Qs</math>, la placa pot fer un moviment de translació circular quan la barra gira. Per tant, es tracta d’una caracterització immediata: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
0
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
0
\end{array}\right\}</math> 
|}


====✏️ Exemple D3.12: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-12-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-2-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-3-cat.png|thumb|left|150px|link=]]

La bola té 4 GL lliures respecte del terra (translacions al llarg de l’eix r-r’ i de l’eix 2, rotacions al voltant de l’eix r-r’ i de l’eix 2). Si no hi ha cap element de massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 8. 

Si l’element T és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la bola per mitjà d’aquest element al punt <math>\Gs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs) \cdot \velang{bola}{T}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{...}{\mathrm{M}_3}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> només és possible si l’element T (i per tant la bola) giren amb <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_3=-\xs\Omega_2</math>. Si s’introdueix aquesta relació i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>\mathrm{F}_1\mathrm{v}_1+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+(-\xs\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2)\Omega_2+\mathrm{M}_1\Omega_1</math> 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math> 

Tot i que el torsor a <math>\Gs</math> té tres components no nul·les, d’independents només n’hi ha dues.


---------
 

Un cas paradigmàtic en què la dimensió es redueix dràsticament és el del '''coixinet de boles''' ('''Figura D3.17'''). Si es tracta el problema com a pla i les N boles no es consideren SAE, el nombre d’incògnites d’enllaç del sistema és 4N (cada bola manté contacte puntual sense llisament amb els dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, i en el cas pla,el contacte puntual es redueix a dues incògnites d’enllaç). Si es tracten com a SAE, l’enllaç indirecte entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> a través de les boles es redueix a dues incògnites d’enllaç. 

[[Fitxer:D3-17-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.17''' Coixinet de boles.
</center> 

====✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-13-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:El sistema multisòlid té 2 GL respecte del terra: la translació circular de la placa respecte de l’eix i la rotació de tots els elements al voltant de l’eix vertical (permesa pel coixinet). Si cap element té massa negligible, el nombre: total d’incògnites d’enllaç és 25. 

:Si es negligeixen les masses de l’eix i de les dues barres i es tracten com a SAE, el sistema es redueix a un enllaç indirecte: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{...}{\mathrm{M}_3} </math> 

:La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació del conjunt al voltant de l’eix vertical: <math>\mathrm{v}_3=-(\mathrm{h} + \mathrm{Lcos}\theta)\Omega_2</math> . Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_2</math> provenen de la translació circular de la placa, i per tant no són independents: <math>\frac{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}=-\mathrm{tan}\theta</math> 

:Si es desenvolupa el producte escalar tenint en compte aquestes relacions: 

:<math>(-\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta+\mathrm{F}_2)\mathrm{v}_2+ [-(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2]\Omega_2=0, </math> 

:<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta</math> i <math>\mathrm{M}_2=(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3</math> 

:El nombre d’incògnites d’enllaç s’ha reduït a 4.


====✏️ Exemple D3.14: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-14-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:Si al sistema de l’ [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid|'''exemple D3.13''']] se li afegeix una molla torsional amb un extrem lligat a l’eix, el nombre de GL no es modifica, però en la descripció dels enllaços, l’eix no es pot tractar com a SAE encara que la seva massa sigui negligible. Les dues barres, però, segueixen estant sotmeses només a interaccions d’enllaç, i per tant, si es negligeix la seva massa, són SAE: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\mathrm{eix} (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{eix}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{-\mathrm{v}_2\mathrm{tan}\theta}{\mathrm{v}_2}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}, \mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta </math> 

:El nombre total d’incògnites d’enllaç és 10: 5 associades a l’enllaç indirecte que s’acaba de caracteritzar, i 5 més al coixinet entre terra i eix. 

[[Fitxer:ExD3-14-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]


---------
---------

==D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals==
Els actuadors (o accionaments) són elements concebuts per controlar un grau de llibertat (de translació o de rotació) entre dos sòlids i eliminar-ne d’altres. 

Externament, un actuador són dues peces que entre elles només tenen el GL a controlar (en el cas d’actuador rotacionals, aquestes peces s’anomenen '''estator''' i '''rotor'''). Quan s’insereix entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math>, la manera com es connecta als sòlids determina els GL eliminats entre ells. En aquest curs, la massa dels actuador es considera negligible sempre. 

La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> , doncs, es descriu mitjançant una força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o un parell <math>\Gamma</math> (o moment), segons que es tracti d’un actuador lineal o rotacional, i un torsor d’enllaç. 

Hi ha dues maneres de descriure el sistema format per <math>\mathrm{S}1</math>, <math>\mathrm{S}2</math>, <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math>: 

* Opció 1: Es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a dos sòlids més del sistema. Entre elles, el torsor de l’enllaç directe es caracteritza com si l’actuador estigués desactivat (permetent el GL que controla entre les dues peces quan està activat). Tant si l’actuador és lineal com si és rotacional, el torsor d’enllaç conté 5 components independents. A més, entre <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> hi ha la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math>. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{P}1</math>, i entre <math>\mathrm{S}2</math> i <math>\mathrm{P}2</math> es descriu mitjançant l’enllaç corresponent. 

* Opció 2: Es considera l’actuador desactivat, i es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']]. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> queda explicada llavors mitjançant el torsor de l’enllaç indirecte associat a aquesta cadena de SAEs, i la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math> .

====✏️ Exemple D3.15: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-15-1-cat.png|thumb|left|260px|link=]]

|L’actuador lineal, de massa negligible, actua entre terra i pèndol, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 1.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i el pèndol. 
|}
Opció 1 

Ja que la peça 1 de l’actuador està enganxada a terra, es poden considerar com a una de sola. La peça 2, en canvi, no està enganxada sinó articulada al pèndol. 

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització a <math>\Os</math> dels dos enllaços és immediata: 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

Opció 2 

El torsor de l’enllaç indirecte entre terra i pèndol a través de l’actuador es pot caracteritzar analíticament: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}} \cdot \vvec_\mathrm{terra} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os) \cdot \velang{pèndol}{terra}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}}{}=\vector{0}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{0}</math> 

:En aquest cas, la caracterització a <math>\Os</math> és immediata. 

:Les interaccions entre terra i pèndol per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


====✏️ Exemple D3.16: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-16-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]

|L’actuador lineal actua entre el suport i l’hèlix, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 2 (la qual cosa fa girar l’hèlix sempre i quan no es passi per configuracions singulars – per exemple, quan la direcció de l’actuador és vertical i passa per <math>\Os</math>). Es tracta de descriure la interacció entre el suport i l’hèlix.

|}
Opció 1 
Cap de les peces que formen l’actuador és fixa al suport ni a l’hèlix. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]] 

La caracterització dels tres enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os')}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

 

Opció 2 

: El torsor de l’enllaç indirecte entre suport i hèlix a través de l’actuador és nul: en haver-hi ròtules esfèriques als dos extrems de l’actuador, el punt <math>\Os</math> podria tenir velocitat en totes les direccions respecte del suport. 

:La interacció entre suport i hèlix a través de l’actuador es redueix a una força (que és la que fa l’actuador quan està activat): 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
 

====✏️ Exemple D3.17: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-17-1-cat,esp.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor, de massa negligible, actua entre terra i anella, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i l’anella. 

Opció 1 

En aquest cas, l’estàtor (P1) és fix a terra, i el rotor (P2) és fix a l’anella. Per tant, només té sentit l’opció 1. 

Les interaccions entre terra i anella per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-17-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]]

El torsor de l’enllaç entre terra (+P1) i anella (+P2) és el que correspon a una articulació, i la seva caracterització és immediata: 

<center>
<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math>
</center>
|}


====✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-18-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor actua entre la forquilla i la roda, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre la forquilla i la roda. 
|}
Opció 1 

Una de les peces que formen l’actuador (el rotor) és fixa la roda. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització dels dos enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

Opció 2 

:La caracterització del torsor d’enllaç entre forquilla i roda a través del motor és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}} \cdot \vvec_\mathrm{forq} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os) \cdot \velang{roda}{forq}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{M}_3}</math> 

:La interacció entre forquilla i roda a través del motor es resumeix en el diagrama següent: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D2. Forces d’interacció entre partícules|<<< D2. Forces d’interacció entre partícules]]

[[D4. Teoremes vectorials|D4. Teoremes vectorials >>>]]
</center>

D3. Interaccions entre sòlids rígids

2024-04-25T13:27:02Z

Ebosch: /* Caracterització analítica del torsor d’enllaç entre dos sòlids rígids \mathrm{S}1 i \mathrm{S}2 */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
</math>
Com s’ha vist a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules|'''unitat D2''']], les interaccions entre parelles de partícules <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> queden descrites per una única força de direcció <math>\overline{\Ps \Qs}</math> . Quan la interacció és entre parelles de sòlids rígids (que es poden considerar com a dos conjunts d’infinites partícules), la descripció partícula a partícula portaria a treballar amb un sistema d’infinites forces. En aquest cas, cal passar a una descripció compacta d’aquest sistema de forces que retingui, però, la informació necessària per estudiar la dinàmica dels sòlids rígids: el sistema de forces es substitueix per un '''torsor resultant'''. 

Aquesta unitat introdueix el concepte de '''torsor associat a un sistema de forces''', i després l’aplica a les diverses interaccions entre sòlids (a distància, de contacte i per mitjà d’elements intermedis).

-----------
-----------
==D3.1 Torsor associat a un sistema de forces==
La reducció d’un sistema de forces sobre un sòlid rígid a un torsor és absolutament necessària quan el nombre de forces és molt elevat (infinit). Quan es tracta d’un sistema de poques forces, sol ser opcional. 

Una operació matemàtica eficaç per reduir el nombre de forces sobre un sòlid S és la suma: per molt elevat que sigui el nombre de forces, la suma condueix a una única '''força resultant'''. Aquesta reducció dràstica, però, implica una pèrdua d’informació essencial en molts casos. Sempre i quan no interessi estudiar la deformació dels objectes (és a dir, quan només s’estudiï la dinàmica de sòlids rígids), això es resol afegint un segon vector a la descripció compacta del sistema: el '''moment''' (o '''parell''') '''resultant respecte d’un punt''' <math>\Qs</math>. El conjunt d’aquests dos vectors és el '''torsor del sistema de forces en el punt''' <math>\Qs</math> ('''Figura D3.1'''). 

[[Fitxer:D3-1-cat.png|thumb|center|370px|link=]]
<center>'''Figura D3.1''' Torsor associat a un sistema de forces que actuen sobre un sòlid rígid.
</center> 

A tall d’exemple, considerem el cas d’una barra rígida inicialment en repòs que se sotmet a un sistema de forces amb força resultant nul·la. La '''Figura D3.2''' presenta tres situacions diferents que corresponen a aquesta resultant: ('''a''') lliure de forces, ('''b''') forces paral·leles a la barra, ('''c''') forces perpendiculars a la barra. En els dos casos primers ('''a''', '''b'''), el sistema de forces no modifica l’estat de repòs. En el tercer ('''c'''), les forces provoquen una rotació horària de la barra. El torsor resultant en qualsevol punt permet distingir entre ('''c''') i ('''a''', '''b'''). 

[[Fitxer:D3-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.2''' Barra rígida sotmesa a una força resultant nul·la.
</center> 

La força resultant no depèn mai del punt on es calcula el torsor. En canvi, el moment resultant en general sí que en depèn ('''Figura D3.3'''). 

[[Fitxer:D3-3-neut.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.3''' Barra rígida sotmesa a dues forces de valor diferent.
</center> 

El torsor resultant es representa en el punt on s’ha calculat el moment resultant ('''Figura D3.4'''). 

[[Fitxer:D3-4-neut.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.4''' Torsors a diferents punts per a l’exemple de la barra rígida de la '''Figura D3.3'''.
</center>
El moment resultant en un punt <math>\Qs’</math> es pot obtenir a partir del torsor en un punt <math>\Qs</math>: 

<math>\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs ')=\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs) + \overline{\Qs '\Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs</math>

<div>
=====💭 Demostració ➕=====


:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)=\sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is</math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\sum \overline{\Qs ' \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum (\overline{\Qs ' \Qs}+\overline{\Qs \Ps_\is}) \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum \overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\is + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\overline{\Qs ' \Qs} \times (\sum \overline{\mathbf{F}}_\is) + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is </math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs+\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)</math>

</div>

-----------
-----------

==D3.2 Atracció gravitatòria==
El càlcul del torsor resultant gravitatori sobre un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> per causa d’un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> no és senzill. La força gravitatòria resultant sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) prové de les forces (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> ) que cada diferencial de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> exerceix sobre <math>\Ps</math> ('''Figura D3.5'''). El torsor resultant sobre <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> s’obté a partir de totes aquestes forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> sobre tots els diferencials de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> . 

[[Fitxer:D3-5-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
<center><math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> és la suma de totes les <math>\mathbf{F}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math>
</center>
<center>'''Figura D3.5''' Càlcul de la força total gravitatòria del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> (<math> \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math>.
</center> 

Quan es tracta de l’atracció gravitatòria terrestre (<math>\mathrm{S}_\mathrm{Q} = \mathrm{Terra}</math>) sobre un sòlid de petites dimensions comparades amb les de la Terra i prop de la superfície terrestre, és usual emprar l’aproximació de camp uniforme: les forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> pràcticament paral·leles entre elles i el seu valor és <math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps} = \mathrm{gdm}(\Ps)</math> , amb <math>\mathrm{g}</math> constant i igual al camp gravitatori a la superfície terrestre:<math>\mathrm{g}=\mathrm{G}_0 \frac{\mathrm{M}_\Ts}{\Rs_\Ts^2}</math>(on <math>\mathrm{G}_0</math> és la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.3 Atracció gravitatòria|'''constant universal de gravitació''']], i <math>\mathrm{M}_\Ts</math> i <math>\Rs_\Ts</math> són la massa i el radi de la Terra, respectivament). En aquest cas, es pot demostrar que existeix un punt de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> en el qual el torsor gravitatori es redueix a una força resultant <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{T}} \rightarrow \mathrm{S}_{\mathrm{P}}}</math> de valor mg (on m és la massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> ) dirigida cap al centre de la terra, i un moment resultant gravitatori nul. Aquest punt s’anomena '''centre de gravetat''' del sòlid, es representarà amb la lletra '''G''' ('''Figura D3.6'''). 

[[Fitxer:D3-6-cat.png|thumb|center|600px|link=]]
<center>'''Figura D3.6''' Atracció gravitatòria terrestre sobre un sòlid rígid en l‘aproximació de camp uniforme.
</center>

-----------
-----------
==D3.3 Interacció per mitjà de molles i amortidors==
===Molles i amortidors lineals===
Quan una molla o un amortidor lineal connecta dos punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> de dos sòlids diferents, cal assegurar que la connexió es fa de manera que la força que es transmet entre els punts té la direcció de l’element, i que no es transmet cap moment (o parell). 

En alguns casos, això es pot aconseguir inserint l’element entre dos trams de fil inextensible ('''Figura D3.7a'''). En aquest cas, la força que introdueix entre els punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> només pot ser d’atracció (a causa del caràcter unilateral de l’actuació del fil). 

En d’altres casos, cal recórrer a unions mitjançant [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''articulacions''']] (si es tracta d’un problema pla, '''Figura D3.7b''') o [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''ròtules esfèriques''']] (si és un problema 3D). 

[[Fitxer:D3-7-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D3.7''' Molles i amortidors lineals connectats a dos sòlids rígids diferents.
</center>

====✏️ Exemple D3.1: força de repulsió d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------

[[Fitxer:ExD3-1-1-neut.png|thumb|left|175px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, actua entre el suport fix a terra i un eix vertical que està en contacte amb la barra. Per a <math>\theta = 0</math> , el sistema està en equilibri, i la força que la molla exerceix entre els seus extrems és <math>\mathrm{F}_0</math> . 

:En absència de molla, la barra, que està articulada al suport al punt <math>\mathbf{O}</math>, tendiria a caure (rotació horària). Si per a <math>\theta = 0</math> hi ha equilibri, la molla ha d’estar fent necessàriament una repulsió entre els seus extrems en aquesta configuració. Per tant, el més lògic és calcular l’expressió de la força de la molla per a una configuració general com a força repulsiva: 

<math> \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}= \mathrm{F}_0 - \mathrm{k}\Delta\rho=\mathrm{F}_0-\mathrm{k}[\rho(\theta) - \rho(\theta=0)]</math>. 

L’increment <math>\Delta \rho </math> de llargària de la molla a partir de l’equilibri és proporcional a la tangent de l’angle:<math>\mathrm{tan}\theta=\Delta\rho/\mathrm{L}</math>. Per tant: <math>\mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}=\mathrm{F}_0-\mathrm{kL}\mathrm{tan}\theta</math>. 

La força de repulsió de l’amortidor s’obté a partir de l’allargament anterior per derivació: 

<math>\rho=\mathrm{Ltan}\theta \Rightarrow \dot{\rho} = \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c}\dot{\rho}=-\mathrm{c} \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta}</math>


====✏️ Exemple D3.2: força d’atracció d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------


[[Fitxer:ExD3-2-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, té un extrem fix al xassís del vehicle, i l’altre a un fil que s’enrotlla al damunt d’un corró de radi <math>\rs</math> solidari a la roda de radi <math>2\rs</math>, que no llisca al damunt del terra. Per a <math>\xs = 0</math> , la molla està estirada i exerceix una força <math>\mathrm{F}_0</math> entre els seus extrems.
[[Fitxer:ExD3-2-2-cat.png|thumb|right|220px|link=]]
:La coordenada <math>\xs</math> descriu la posició del xassís respecte del terra, i per tant també la del centre de la roda de radi <math>2\rs</math>. En tenir la molla un extrem lligat a un fil que s’enrotlla al corró, el desplaçament d’aquest extrem respecte del terra es pot obtenir per integració de la seva velocitat. 

:Vistes les velocitats dels dos extrems de la molla, és evident que s’escurça. La velocitat d’escurçament entre els extrems és: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{3}{2}\dot{\xs}-\dot{\xs}=\frac{1}{2}\dot{\xs}</math>, i per tant, l’escurçament de la molla a partir de la configuració <math>\xs = 0</math> és:<math>\frac{1}{2}\xs(=-\Delta \rho)</math> 

:L’expressió de la força d’atracció de la molla (ja que la <math>\mathrm{F}_0</math> és una atracció ja que la molla està estirada per a <math>\xs = 0</math> ) és:<math>\mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{molla}} + \mathrm{k}\Delta \rho = \mathrm{F}_0 - \frac{1}{2}\mathrm{k}\xs </math> 

:La força d’atracció de l’amortidor s’obté a partir de la velocitat l’escurçament que ja s’ha trobat: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{1}{2}\dot{\xs} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c} \dot{\rho}=-\frac{1}{2} \mathrm{c} \dot{\xs}</math>


===Molles i amortidors torsionals===

Les '''molles''' i els '''amortidors torsionals''' introdueixen moments però no forces entre els dos sòlids que connecten. Igual que en el cas dels elements lineals, la unió a cadascun dels sòlids ha de garantir que només es transmet un moment en una direcció determinada. Igual que en els casos dels elements lineals, les maneres d’aconseguir-ho són diverses. 

Quan les molles i els amortidors torsionals són de comportament lineal, l’increment de moment que introdueixen entre els sòlids, quan l’orientació relativa entre ells s’incrementa en un angle <math>\Delta \theta</math>, és proporcional a <math>\Delta \theta</math> i <math>\dot{\theta}</math>, respectivament ('''Figura D3.8'''). 

[[Fitxer:D3-8-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.8''' Formulació de molles i amortidors torsionals de comportament lineal.
</center>

-----------
-----------

==D3.4 Interaccions d’enllaç directes==
Les interaccions directes d’enllaç entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math> es produeixen quan estan en contacte, i provenen de les petites deformacions locals dels sòlids en la zona de contacte. Des del punt de vista macroscòpic, això es tradueix en impenetrabilitat i rugositat dels sòlids. Com ja s’ha comentat a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|'''secció D2.7''']], en tractar aquest curs de la dinàmica d’objectes rígids, les deformacions no es formulen, i per tant les forces associades són incògnites del problema dinàmic. 

Quan els enllaços impliquen sòlids, cal precisar si són llisos o rugosos. Una superfície llisa no pot impedir que un element llisqui respecte d’ella tot mantenint-hi contacte, mentre que una de rugosa sí que ho pot impedir. Això té una conseqüència directa en la caracterització de l’enllaç. 

Com a introducció a la caracterització d’enllaços entre sòlids, és útil considerar el cas més senzill del contacte puntual.

Considerem dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> que mantenen un contacte puntual entre ells. Els punts de contacte són <math>\Ps_1</math> i <math>\Ps_2</math> , respectivament. La caracterització de l’enllaç que <math>\mathrm{S}2</math> fa sobre <math>\Ps_1</math> (o que <math>\mathrm{S}1</math> fa sobre <math>\Ps_2</math> ) s’obté de manera anàloga a la de l’[[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|enllaç partícula-sòlid]] ('''Figura D3.12'''). El valor límit de força tangencial d'enllaç també s'obté com en el cas [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.8 Fricció|partícula-sòlid]]

[[Fitxer:D3-12-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.12''' Caracterització de l’enllaç puntual del sòlid <math>\mathrm{S}_2</math> sobre el sòlid <math>\mathrm{S}_1</math>.
</center> 
Quan l’enllaç entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> és multipuntual, la condició d’ortogonalitat entre força d’enllaç i velocitat permesa es pot aplicar a cada punt on es produeix contacte (la qual cosa implica acceptar que l’enllaç multipuntual es pot obtenir com a superposició d’enllaços puntuals independents). De vegades, això condueix a un nombre de components de forces d’enllaç elevat (fins i tot infinit, si el contacte es produeix al llarg d’un tram lineal o superficial continu), i cal reduir el sistema de forces a un torsor resultant d’enllaç. En alguns casos, aquesta reducció es pot obtenir molt fàcilment a partir de la descripció de l’enllaç punt a punt. 

Si bé és possible calcular el torsor d’un sistema de forces en qualsevol punt ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]), quan es tracta de torsors d’enllaç és convenient que aquest punt pertanyi al sòlid sotmès al sistema de forces en qüestió, perquè d’això sen deriva una propietat important.

====✏️ Exemple D3.3: torsor d’enllaç en un contacte bipuntual====
---------

[[Fitxer:ExD3-3-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El bloc manté contacte bipuntual amb un terra llis, i es mou només en un pla. 
[[Fitxer:ExD3-3-2-neut.png|thumb|right|175px|link=]]
:La descripció de l’enllaç com a superposició de dos enllaços puntuals condueix a dues forces normals: Si només hi hagués contacte a <math>\Ps</math>, l’enllaç introduiria només una força a <math>\Ps</math> normal al terra (<math>\Ns_\mathrm{P}</math>); si el contacte fos només a <math>\Qs</math>, introduiria una força a <math>\Qs</math> normal al bloc (<math>\Ns_\mathrm{Q}</math>). Els valors de <math>\Ns_\mathrm{P}</math> i <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> són independents (conèixer <math>\Ns_\mathrm{P}</math> no implica conèixer <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> ). El contacte bipuntual, doncs, introdueix dues incògnites d’enllaç. 

En tractar-se només de dues forces, la reducció a un torsor no és necessària, Per altra banda, aquesta desripció és útil per estudiar les dues condicions límit: <math>\Ns_\mathrm{P}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Ps</math> (per tant, bolcament en sentit horari), mentre que <math>\Ns_\mathrm{Q}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Qs</math> (per tant, bolcament en sentit antihorari).

En aquest cas, el torsor associat a aquest sistema de forces no redueix el nombre d’incògnites, que segueix sent 2. La força resultant té dues components independents:

<center>
<math>\left\{\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{T} \rightarrow \text { bloc }}\right\}=\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1 \\
\mathrm{F}_2 \\
0
\end{array}\right\} \text {, amb }\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1=-\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \sin \theta \\
\mathrm{F}_2=\mathrm{N}_{\mathrm{p}}+\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \cos \theta
\end{array}\right. \text {. }</math>
</center>

El moment resultant depèn del punt del bloc on es caracteritza el torsor, i quan no és nul, es pot escriure en funció de les components de força. 

[[Fitxer:ExD3-3-3-cat.png|thumb|center|600px|link=]]

Passar de la descripció punt a punt al torsor no té cap avantatge en aquest cas: no redueix el nombre d’incògnites d’enllaç, i dificulta l’estudi de les condicions límit.


====✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-4-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El corró es troba en contacte amb lliscament sobre un terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La descripció de l’enllaç multipuntual com a superposició d’enllaços puntuals condueix a un conjunt d’infinites forces normals <math>\Ns_{\rightarrow \mathrm{J}}</math> als punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> en la direcció normal al terra (direcció 3). La força resultant d’enllaç sobre el corró, per tant, és també de direcció 3, i ha de ser estrictament positiva ja que és un enllaç unilateral: 

<math>\int_{\mathrm{J} \in \text { corró }} \mathrm{N}_{\rightarrow \mathrm{J}}=\mathrm{N}>0 .</math> 

El moment resultant d’enllaç depèn del punt del corró on es calculi. Si es tria un punt extrem del contacte (<math>\Ps</math> o <math>\Qs</math>), el moment resultant té signe definit: 

<center>
<math>\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{P})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{P J}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2>0 \\
0
\end{array}\right\},\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{Q})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{QJ}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2<0 \\
0
\end{array}\right\} .</math>
</center>
[[Fitxer:ExD3-4-2-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
La descripció de l’enllaç per mitjà del torsor és molt avantatjosa: redueix dràsticament el nombre d’incògnites d’enllaç (passem a tenir-ne només dues). Si el torsor es caracteritza a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math>, l’estudi de la condició límit de bolcament és fàcil: <math>\mathrm{M}_2=0</math>. Si es caracteritza en qualsevol altre punt de la generatriu de contacte, cal passar a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math> per investigar el bolcament.


===Caracterització analítica del torsor d’enllaç entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math>===

La caracterització del torsor d’enllaç entre dos sòlids es pot fer sense passar per la descripció de l’enllaç punt a punt: si el punt de caracterització pertany a un dels dos sòlids, n’hi ha prou en combinar la condició d’ortogonalitat entre força i velocitat a cada punt de contacte amb la cinemàtica de sòlid rígid, i sumar totes les equacions que en resulten ('''Figura D3.13'''). 

[[Fitxer:Opcio-ana.png|thumb|center|900px|link=]]
<center>
'''Figura D3.13''' Caracterització analítica d’un enllaç multipuntual entre dos sòlids.

</center> 

Els vectors <math>\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \text{ i }\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}</math> es poden treure factor comú. Finalment: 

<math> \Biggl(\sum_\mathrm{J} \overline{\mathbf{F}}_{\rightarrow \mathrm{J}} \Biggl) \cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \Biggr[ \sum_\mathrm{J} (\overline{\mathbf{PJ}} \times \mathbf{F}_{\rightarrow \mathrm{J}}) \Biggr] \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} = 0 \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}=0 </math> 

Aquesta equació és l’equació de '''caracterització analítica''' del torsor d’enllaç. Expressa l’ortogonalitat entre el torsor d’enllaç <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)\bigl\}^\top</math> i el torsor cinemàtic <math>\bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \quad \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}^\top</math> de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>:<math>\left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps)\\
\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}
\end{array}\right\} =0.</math> 

Aquesta ortogonalitat no implica ortogonalitat entre força i velocitat per una banda, i entre moment i velocitat angular per l’altra. En principi,<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \neq 0 \text{, } \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \neq 0 </math>. 

Quan es fa servir l’equació de caracterització analítica, cal considerar inicialment que tant la força com el moment resultants tenen les tres components no nul·les. Pel que fa al torsor cinemàtic, cal escriure les seves components no nul·les en funció dels GL de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>. 

Per altra banda, en aparèixer multiplicades escalarment la força i la velocitat del punt per una banda, i el moment i la velocitat angular per l’altra, es poden fer servir bases vectorials diferents per a cadascun d’aquests productes escalars, doncs el seu resultat no depèn de la base: 

<math>\bigl\{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \bigl\}_\mathrm{B} \cdot \bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B} + \bigl\{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B'} \cdot \bigl\{\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}_\mathrm{B'} </math>

====✏️ Exemple D3.5: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-5-1-cat.png|thumb|left|165px|link=]]
:El corró no llisca sobre el terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe del terra sobre el corró, al punt <math>\Ps</math> és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}
\cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} =0</math> 

Totes les components del torsor d’enllaç tret de <math>\mathrm{M}_1</math> poden tenir qualsevol valor, doncs van multiplicades per zero. En canvi, com que <math>\Omega_1</math> no és zero en principi, <math>\mathrm{M}_1</math> ha de ser zero per tal de que es compleixi l’equació d’ortogonalitat. Així doncs, el torsor resultant d’enllaç és: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps)\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad \mathrm{M}_2 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top . </math> 

Com s'ha comentat a l’[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua|'''exemple D3.4''']], M2 ha de ser positiu. Un valor negatiu seria indicatiu de bolcament. 

Les cinc components no nul·les són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL del corró respecte de <math>\mathrm{S}</math> és 6. 

El torsor del mateix enllaç en un punt diferent es pot obtenir bé aplicant novament l’equació de caracterització analítica bé a partir del torsor a <math>\Ps</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). Per exemple, per al punt <math>\mathbf{C}</math> aquests dos mètodes condueixen a: 

* Caracterització analítica: <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\mathbf{C}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\mathbf{C}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math>

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_2 = - \rs \Omega_1\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
...\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math>

:<math>(-\rs \mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1)\Omega_1 =0 \quad \Rightarrow \quad -\rs\mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1=0 </math> 

Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

* Obtenció a partir del torsor a <math>\Ps</math>: <math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{P})+ \overline{\mathbf{CP}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} </math> 

:<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\}+ \left\{\begin{array}{c}
0\\
0 \\
-\rs
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
\rs \mathrm{F}_2\\
\mathrm{M}_2 - \rs \mathrm{F}_1 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math> 

:Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

El nombre de components no nul·les del torsor a <math>\mathbf{C}</math> és 6, però el nombre de components independents és 5, doncs hi ha una relació de dependència entre <math>\mathrm{M}_1</math> i <math>\mathrm{F}_2</math> . Per tant, segueix complint-se que el nombre de components independents de torsor més el de GL és 6.

====✏️ Exemple D3.6: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte puntual sense lliscament====
---------
[[Fitxer:ExD3-6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:La bola de radi r no llisca dins la cavitat esfèrica. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe de la cavitat sobre la bola, al seu centre <math>\mathbf{G}</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{cav}(\mathbf{G}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{cav}^\mathrm{bola}=0 </math> 

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{v}_1\\
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
\Omega_2\\
\Omega_3
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
... \\
...
\end{array}\right\} </math>

En no haver-hi lliscament al punt de contacte, les components de velocitat <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> són proporcionals a <math>\Omega_3</math> i <math>\Omega_1</math> , respectivament: <math>\mathrm{v}_1=-\rs \Omega_3</math>, <math>\mathrm{v}_3=\rs \Omega_1</math> (el signe negatiu de la primera igualtat indica que una <math>\Omega_3</math> positiva genera una <math>\mathrm{v}_1</math> negativa). Substituïnt a l’equació de caracterització i desenvolupant el producte escalar (sense incloure la component <math>\mathrm{F}_2</math> , perquè va multiplicada per zero): 

<math>(-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3) \Omega_3 + (\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1) \Omega_1 + \mathrm{M}_2\Omega_2=0. </math> 

Com que les tres rotacions són independents, els coeficients que les multipliquen han de ser zero perquè l’equació es compleixi per a qualsevol valor de <math>\Omega_3</math> i de <math>\Omega_1</math>: <math>-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3=0</math> ,<math>\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1</math> , <math>\mathrm{M}_2=0</math>. 

Finalment:

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad \mathrm{M}_1 \quad 0 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top</math>, amb <math>\mathrm{M}_3=\rs \mathrm{F}_1</math> i <math>\mathrm{M}_1=-\rs \mathrm{F}_3.</math> 

El torsor té cinc components no nul·les, però només tres són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL de la bola respecte de la cavitat és 6. 

Aquest torsor també es pot obtenir a partir de la caracterització a <math>\mathbf{J}</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). En tractar-se d’un contacte puntual sense lliscament, a <math>\mathbf{J}</math> hi ha tres components de força d’enllaç i cap moment: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{J})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad 0 \quad 0 \bigl\}^\top</math> 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{J})+ \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} = \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}</math> 

<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} = \left\{\begin{array}{c}
0\\
-\rs\\
0
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
-\rs \mathrm{F}_3\\
0 \\
\rs \mathrm{F}_1
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
0 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} </math> 

-----------

Com s’ha vist als exemples anteriors, l’equació de caracterització analítica garanteix que la suma del nombre de components independents del torsor d’enllaç entre dos sòlids i del nombre de GL relatius entre els sòlids és sempre 6:

<center><math>\boxed{\text{comps. indeps. torsor + GL relatius = 6}}</math></center>

===Caracterització immediata del torsor d’enllaç===

Quan es tria un punt <math>\Ps</math> de caracterització la velocitat del qual,<math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math>, és independent de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math>, i una base vectorial tal que les components de <math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math> són independents entre elles i les de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math> també, la '''caracterització és immediata''': a cada component nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component no nul·la del torsor dinàmic, i a cada component no nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component nul·la del torsor dinàmic.

====✏️ Exemple D3.7: caracterització immediata del torsor d’enllaç en un contacte multipuntual continu====
---------

[[Fitxer:ExD3-7-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La mola cònica no llisca sobre el terra cònic (T). La caracterització del torsor de l’enllaç directe del terra sobre qualsevol dels punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> de la mola amb el terra pot ser immediata, perquè <math>\vvec_\mathrm{T}(\mathbf{J})</math> independentment de la velocitat angular mola <math>\velang{mola}{T}</math> . 

Perquè ho sigui realment, cal triar una base vectorial per expressar el moment d’enllaç tal que els components de mola <math>\velang{mola}{T}</math> siguin independents. Ja que la direcció de mola <math>\velang{mola}{T}</math> està unívocament determinada (la mola te 1 GL respecte del terra), qualsevol base que tingui un eix paral·lel a l’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la mola és adequada: 

[[Fitxer:ExD3-7-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]] 
:Finalment: <math>\braq{\fvec{T}{mola}}{} = \vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{T}{mola}(\mathbf{J})}{} = \vector{\mathrm{M}_1}{0}{\mathrm{M}_3}.</math>


====✏️ Exemple D3.8: caracterització del torsor d’enllaç d’una unió helicoïdal====
---------

[[Fitxer:ExD3-8-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La caracterització del torsor de l’enllaç directe de la femella de la unió helicoïdal sobre el mascle no pot ser directa, 

En una unió helicoïdal, no hi ha cap punt del mascle que tingui velocitat respecte de la femella independent de la rotació entre les dues peces. Per tant, la caracterització immediata no és possible. 

Si es tria com a punt de caracterització qualsevol punt <math>\mathbf{O}</math> de l’eix 3, la caracterització analítica condueix a: 

<math>\fvec{femella}{mascle}\cdot \vvec_\mathrm{femella}(\mathbf{O})+ \mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O}) \cdot \velang{mascle}{femella}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{\mathrm{v}_3}+\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}\vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{...}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{...}.</math> 

La velocitat d’<math>\mathbf{O}</math> al llarg de l’eix és directament proporcional a la rotació per mitjà del pas de rosca e. Ja que <math>\Omega_3</math> es mesura en rad/s, <math>\mathrm{v}_3</math> en m/s, i e es dóna en mm/volta, cal fer una conversió d’unitats: 

<math>\mathrm{v}_3\left[\frac{\ms}{\ss}\right] = \Omega_3\left[\frac{\mathrm{rad}}{\ss}\right]\es\left[\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{ volta}}\right]\frac{1 \ms}{10^3 \mathrm{ mm}}\frac{1 \mathrm{volta}}{2 \pi \mathrm{ rad}} \Rightarrow \mathrm{v}_3= \Omega_3 \frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3}</math> 

Finalment: <math>\braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{M}_3= -\frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3} \mathrm{F}_3 </math>


===Torsors d'enllaç associats als enllaços directes habituals entre sòlids rígids===

Els [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''enllaços habituals entre parelles de sòlids rígids''']] s’han analitzat des del punt de vistacinemàtic. A partir d’aquesta descripció, es poden caracteritzar els torsors d’enllaç corresponents ('''Figura D3.14'''). 

[[Fitxer:D3-14-TABLE-cat.png|thumb|center|670px|link=]]
<center>
'''Figura D3.14''' Caracterització immediata dels enllaços directes habituals

</center> 

En els sistemes multisòlid formats únicament per sòlids rígids amb massa no negligible connectats mitjançant aquests enllaços habituals, la descripció dinàmica dels enllaços es fa considerant per separat cada parella de sòlids connectats com si la resta d’elements del sistema no hi fos.

====✏️ EXEMPLE D3.9: anàlisi d’incògnites en un sistema multisòlid====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-9-1-cat.png|thumb|left|300px|link=]] 

|El sistema multisòlid conté 5 enllaços habituals: 

* 3 enllaços de revolució (o articulacions)
* 1 enllaç cilíndric
* 1 enllaç esfèric (o ròtula esfèrica) 

Tenint en compte que una articulació introdueix 5 components independents de torsor d’enllaç, un enllaç cilíndric n’introdueix 4, i un d’esfèric 3, en el sistema hi ha un total de 22 incògnites d’enllaç.
|}


-----------
-----------

==D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç==
En els sistemes multisòlid, és freqüent que alguns sòlids tinguin massa negligible comparats amb els altres i que no reben altres forces que les d’enllaç amb altres sòlids. Aquests sòlids s’anomenen '''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''' ('''SAE'''), i se’ls pot donar un tractament particular quan es tracta de caracteritzar enllaços. 

La '''Figura D3.15''' presenta un sòlid <math>\mathrm{S1}</math> en contacte amb un sòlid <math>\mathrm{S}</math> de massa negligible, que no està sotmès a cap força que no sigui d’enllaç, en dues situacions diferents: <math>\mathrm{S}</math> només en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math> ('''Figura D3.15a''') i <math>\mathrm{S}</math> en contacte amb dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> ('''Figura D3.15b'''). 

[[Fitxer:D3-15-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.15''' Interacció entre sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i<math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’un sòlid auxiliar d’enllaç (SAE).

</center> 

En absència de <math>\mathrm{S2}</math> i, la presència de <math>\mathrm{S}</math> (en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math>) és dinàmicament irrellevant: <math>\mathrm{S}</math> no representa cap obstacle per moure <math>\mathrm{S1}</math>. Conseqüentment, <math>\mathrm{S}</math> no és capaç d’introduir cap força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Però quan <math>\mathrm{S}</math> interconnecta <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, <math>\mathrm{S}</math> esdevé un transmissor: <math>\mathrm{S2}</math> pot ser un obstacle quan es tracta de provocar certs moviments de <math>\mathrm{S1}</math>, i això es tradueix en forces d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Com a cas senzill per il·lustrar-ho, la '''Figura D3.16''' mostra dos exemples (que considerarem plans) on dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> sobre un pla llis estan connectats a través d’una barra de massa negligible (comparada amb la de <math>\mathrm{S1}</math> i la de <math>\mathrm{S2}</math>) articulada en els dos extrems:<

(a) les articulacions són perfectes (sense frec) 

(b) una de les articulacions té un molla torsional associada 

[[Fitxer:D3-16-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.16''' Enllaç indirecte entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’una barra <math>\mathrm{S}</math> articulada de massa negligible.

</center> 

En el cas (a), la barra és un SAE (no està sotmesa a cap força que no sigui d’enllaç). Provocar velocitat del punt <math>\mathbf{O}</math> de <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra implica moure <math>\mathrm{S}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> . En canvi, moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció ortogonal a la barra provoca moviment de <math>\mathrm{S}</math> però no de <math>\mathrm{S2}</math> , mentre que fer girar <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> no provoca el moviment cap dels dos (ni de <math>\mathrm{S}</math> ni de <math>\mathrm{S2}</math> ). En conseqüència, només té sentit associar una força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra. El responsable d’aquesta força no és <math>\mathrm{S}</math> sinó <math>\mathrm{S2}</math> : quan es tracta de caracteritzar l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> s’ha devaluar des de <math>\mathrm{S2}</math>. Es diu que entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> hi ha un '''enllaç indirecte a través del SAE'''. 

En el cas (b), la barra no és un SAE perquè està sotmesa a una interacció que no és d’enllaç (la de la molla). Com en el cas (a), moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció de la barra obliga a moure <math>\mathrm{S2}</math> . Però ara, el moviment de <math>\mathbf{O}</math> en direcció perpendicular a la barra obliga a deformar la molla, la qual actua sobre <math>\mathrm{S2}</math> i el fa bellugar. El moviment de rotació de <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> segueix sent possible sense haver de moure <math>\mathrm{S2}</math> ni deformar la molla. En la caracterització de l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , cal avaluar la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> de manera que <math>\mathbf{O}</math> no tingui velocitat : cal avaluar-la des de S. 

====✏️ Exemple D3.10: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-10-1-cat -nou.png|thumb|left|250px|link=]]
El carretó té 2 GL lliures respecte del terra (translació longitudinal i rotació vertical). Si la massa dels tres elements (rodes i xassís) és comparable, la representació simplificada del sistema i el nombre d’incògnites d’enllaç que conté és la següent: 

[[Fitxer:ExD3-10-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
En total, doncs, el sistema conté 17 incògnites d’enllaç. 

Aquest nombre es pot reduir en el cas que la massa de les rodes sigui negligible (comparada amb la del xassís): el xassís passa a tenir tres enllaços amb el terra, un de directe i dos d’indirectes a través de les rodes, que són SAE. El nombre d’incògnites que introdueix un d’aquests enllaços indirectes no és sempre evident a priori, i és aconsellable caracteritzar-lo analíticament. Cal recordar, però, que la cinemàtica que es descriu correspon a la que té el xassís respecte del terra com si només hi actués l’enllaç que es considera. En aquest cas, doncs, en la caracterització de l’enllaç indirecte entre terra i xassís a través de les rodes cal avaluar la cinemàtica com si el contacte directe amb el terra (a la part del davant del xassís) no hi fos. 

[[Fitxer:ExD3-10-3-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al seu centre <math>\mathbf{C}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Cs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad</math>

<math>\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs)}{}= \overline{0}</math>

El nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 

La caracterització també es pot fer al punt <math>\Os</math> (punt mig de l’eix de les rodes), doncs també pertany a la roda. Les components de la força han de ser les mateixes, però les del moment poden canviar. 

Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> només són possibles si hi ha rotació <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_1=\rs\Omega_2 </math> ,<math>\mathrm{v}_3=\Ls\Omega_2 </math> . Si s’introdueixen aquestes relacions i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>(\rs \mathrm{F}_1 + \Ls \mathrm{F}_3 +\mathrm{M}_2')\Omega_2+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+\mathrm{M}_1'\Omega_1+\mathrm{M}_3'\Omega_3=0</math> 

Ja que <math>(\mathrm{v}_2,\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3)</math> són independents, els coeficients de cadascuna d’aquestes velocitats ha de ser zero. Per tant, l’enllaç indirecte introdueix només 2 incògnites: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2'}{0}</math>, amb <math>\mathrm{M}_2'=-\rs \mathrm{F}_1 -\Ls\mathrm{F}_3</math> 

A aquest resultat també es podria haver arribat a partir de la relació que hi ha entre torsors associats a la mateixa interacció però en punts diferents ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]): 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)= \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) + \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} = \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} </math> , 

<math>\vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} = \vector{\Ls}{0}{-\rs} \times \vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} = \vector{0}{-\rs\mathrm{F}_1 -\Ls \mathrm{F}_3}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç segueix sent 5. 

Finalment, una altra opció és caracteritzar l’enllaç del terra sobre el xassís per mitjà de els dues rodes simultàniament. 

[[Fitxer:ExD3-10-4-cat.png|thumb|right|200px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de les dues rodes, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1''}{\mathrm{F}_2''}{\mathrm{F}_3''}\vector{0}{\mathrm{v}_2}{0}+ \vector{\mathrm{M}_1''}{\mathrm{M}_2''}{\mathrm{M}_3''} \vector{\Omega_1}{0}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents:

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1''}{0}{\mathrm{F}_3''} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2''}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç es redueix a 4.


====✏️ Exemple D3.11: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-11-2-cat.png|thumb|right|270px|link=]]
{|
[[Fitxer:ExD3-11-1-cat.png|thumb|left|210px|link=]]

|La placa té el vèrtex <math>\Ps</math> obligat a moure’s dins la guia, i el punt <math>\Qs</math> connectat al punt <math>\Os</math> del terra (T) mitjançant una barra amb articulacions als extrems. El sistema té només 1 GL, descrit per mitjà de <math>\dot{\theta}</math>. 

Si es considera el problema només en dues dimensions i cap element té massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 
|}
{|
|[[Fitxer:ExD3-11-3-cat.png|thumb|left|215px|link=]]
|Si la barra és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la placa per mitjà de la barra al punt <math>\Qs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Qs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
\Omega_1
\end{array}\right\}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
...
\end{array}\right\}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació de la barra, però no de la de la placa: en haver-hi una articulació a <math>\Qs</math>, la placa pot fer un moviment de translació circular quan la barra gira. Per tant, es tracta d’una caracterització immediata: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
0
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
0
\end{array}\right\}</math> 
|}


====✏️ Exemple D3.12: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-12-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-2-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-3-cat.png|thumb|left|150px|link=]]

La bola té 4 GL lliures respecte del terra (translacions al llarg de l’eix r-r’ i de l’eix 2, rotacions al voltant de l’eix r-r’ i de l’eix 2). Si no hi ha cap element de massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 8. 

Si l’element T és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la bola per mitjà d’aquest element al punt <math>\Gs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs) \cdot \velang{bola}{T}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{...}{\mathrm{M}_3}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> només és possible si l’element T (i per tant la bola) giren amb <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_3=-\xs\Omega_2</math>. Si s’introdueix aquesta relació i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>\mathrm{F}_1\mathrm{v}_1+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+(-\xs\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2)\Omega_2+\mathrm{M}_1\Omega_1</math> 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math> 

Tot i que el torsor a <math>\Gs</math> té tres components no nul·les, d’independents només n’hi ha dues.


---------
 

Un cas paradigmàtic en què la dimensió es redueix dràsticament és el del '''coixinet de boles''' ('''Figura D3.17'''). Si es tracta el problema com a pla i les N boles no es consideren SAE, el nombre d’incògnites d’enllaç del sistema és 4N (cada bola manté contacte puntual sense llisament amb els dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, i en el cas pla,el contacte puntual es redueix a dues incògnites d’enllaç). Si es tracten com a SAE, l’enllaç indirecte entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> a través de les boles es redueix a dues incògnites d’enllaç. 

[[Fitxer:D3-17-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.17''' Coixinet de boles.
</center> 

====✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-13-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:El sistema multisòlid té 2 GL respecte del terra: la translació circular de la placa respecte de l’eix i la rotació de tots els elements al voltant de l’eix vertical (permesa pel coixinet). Si cap element té massa negligible, el nombre: total d’incògnites d’enllaç és 25. 

:Si es negligeixen les masses de l’eix i de les dues barres i es tracten com a SAE, el sistema es redueix a un enllaç indirecte: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{...}{\mathrm{M}_3} </math> 

:La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació del conjunt al voltant de l’eix vertical: <math>\mathrm{v}_3=-(\mathrm{h} + \mathrm{Lcos}\theta)\Omega_2</math> . Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_2</math> provenen de la translació circular de la placa, i per tant no són independents: <math>\frac{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}=-\mathrm{tan}\theta</math> 

:Si es desenvolupa el producte escalar tenint en compte aquestes relacions: 

:<math>(-\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta+\mathrm{F}_2)\mathrm{v}_2+ [-(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2]\Omega_2=0, </math> 

:<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta</math> i <math>\mathrm{M}_2=(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3</math> 

:El nombre d’incògnites d’enllaç s’ha reduït a 4.


====✏️ Exemple D3.14: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-14-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:Si al sistema de l’ [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid|'''exemple D3.13''']] se li afegeix una molla torsional amb un extrem lligat a l’eix, el nombre de GL no es modifica, però en la descripció dels enllaços, l’eix no es pot tractar com a SAE encara que la seva massa sigui negligible. Les dues barres, però, segueixen estant sotmeses només a interaccions d’enllaç, i per tant, si es negligeix la seva massa, són SAE: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\mathrm{eix} (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{eix}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{-\mathrm{v}_2\mathrm{tan}\theta}{\mathrm{v}_2}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}, \mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta </math> 

:El nombre total d’incògnites d’enllaç és 10: 5 associades a l’enllaç indirecte que s’acaba de caracteritzar, i 5 més al coixinet entre terra i eix. 

[[Fitxer:ExD3-14-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]


---------
---------

==D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals==
Els actuadors (o accionaments) són elements concebuts per controlar un grau de llibertat (de translació o de rotació) entre dos sòlids i eliminar-ne d’altres. 

Externament, un actuador són dues peces que entre elles només tenen el GL a controlar (en el cas d’actuador rotacionals, aquestes peces s’anomenen '''estator''' i '''rotor'''). Quan s’insereix entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math>, la manera com es connecta als sòlids determina els GL eliminats entre ells. En aquest curs, la massa dels actuador es considera negligible sempre. 

La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> , doncs, es descriu mitjançant una força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o un parell <math>\Gamma</math> (o moment), segons que es tracti d’un actuador lineal o rotacional, i un torsor d’enllaç. 

Hi ha dues maneres de descriure el sistema format per <math>\mathrm{S}1</math>, <math>\mathrm{S}2</math>, <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math>: 

* Opció 1: Es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a dos sòlids més del sistema. Entre elles, el torsor de l’enllaç directe es caracteritza com si l’actuador estigués desactivat (permetent el GL que controla entre les dues peces quan està activat). Tant si l’actuador és lineal com si és rotacional, el torsor d’enllaç conté 5 components independents. A més, entre <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> hi ha la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math>. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{P}1</math>, i entre <math>\mathrm{S}2</math> i <math>\mathrm{P}2</math> es descriu mitjançant l’enllaç corresponent. 

* Opció 2: Es considera l’actuador desactivat, i es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']]. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> queda explicada llavors mitjançant el torsor de l’enllaç indirecte associat a aquesta cadena de SAEs, i la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math> .

====✏️ Exemple D3.15: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-15-1-cat.png|thumb|left|260px|link=]]

|L’actuador lineal, de massa negligible, actua entre terra i pèndol, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 1.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i el pèndol. 
|}
Opció 1 

Ja que la peça 1 de l’actuador està enganxada a terra, es poden considerar com a una de sola. La peça 2, en canvi, no està enganxada sinó articulada al pèndol. 

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització a <math>\Os</math> dels dos enllaços és immediata: 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

Opció 2 

El torsor de l’enllaç indirecte entre terra i pèndol a través de l’actuador es pot caracteritzar analíticament: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}} \cdot \vvec_\mathrm{terra} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os) \cdot \velang{pèndol}{terra}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}}{}=\vector{0}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{0}</math> 

:En aquest cas, la caracterització a <math>\Os</math> és immediata. 

:Les interaccions entre terra i pèndol per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


====✏️ Exemple D3.16: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-16-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]

|L’actuador lineal actua entre el suport i l’hèlix, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 2 (la qual cosa fa girar l’hèlix sempre i quan no es passi per configuracions singulars – per exemple, quan la direcció de l’actuador és vertical i passa per <math>\Os</math>). Es tracta de descriure la interacció entre el suport i l’hèlix.

|}
Opció 1 
Cap de les peces que formen l’actuador és fixa al suport ni a l’hèlix. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]] 

La caracterització dels tres enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os')}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

 

Opció 2 

: El torsor de l’enllaç indirecte entre suport i hèlix a través de l’actuador és nul: en haver-hi ròtules esfèriques als dos extrems de l’actuador, el punt <math>\Os</math> podria tenir velocitat en totes les direccions respecte del suport. 

:La interacció entre suport i hèlix a través de l’actuador es redueix a una força (que és la que fa l’actuador quan està activat): 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
 

====✏️ Exemple D3.17: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-17-1-cat,esp.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor, de massa negligible, actua entre terra i anella, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i l’anella. 

Opció 1 

En aquest cas, l’estàtor (P1) és fix a terra, i el rotor (P2) és fix a l’anella. Per tant, només té sentit l’opció 1. 

Les interaccions entre terra i anella per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-17-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]]

El torsor de l’enllaç entre terra (+P1) i anella (+P2) és el que correspon a una articulació, i la seva caracterització és immediata: 

<center>
<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math>
</center>
|}


====✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-18-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor actua entre la forquilla i la roda, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre la forquilla i la roda. 
|}
Opció 1 

Una de les peces que formen l’actuador (el rotor) és fixa la roda. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització dels dos enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

Opció 2 

:La caracterització del torsor d’enllaç entre forquilla i roda a través del motor és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}} \cdot \vvec_\mathrm{forq} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os) \cdot \velang{roda}{forq}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{M}_3}</math> 

:La interacció entre forquilla i roda a través del motor es resumeix en el diagrama següent: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D2. Forces d’interacció entre partícules|<<< D2. Forces d’interacció entre partícules]]

[[D4. Teoremes vectorials|D4. Teoremes vectorials >>>]]
</center>

D3. Interaccions entre sòlids rígids

2024-04-25T13:26:36Z

Ebosch: /* Caracterització analítica del torsor d’enllaç entre dos sòlids rígids \mathrm{S}1 i \mathrm{S}2 */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
</math>
Com s’ha vist a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules|'''unitat D2''']], les interaccions entre parelles de partícules <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> queden descrites per una única força de direcció <math>\overline{\Ps \Qs}</math> . Quan la interacció és entre parelles de sòlids rígids (que es poden considerar com a dos conjunts d’infinites partícules), la descripció partícula a partícula portaria a treballar amb un sistema d’infinites forces. En aquest cas, cal passar a una descripció compacta d’aquest sistema de forces que retingui, però, la informació necessària per estudiar la dinàmica dels sòlids rígids: el sistema de forces es substitueix per un '''torsor resultant'''. 

Aquesta unitat introdueix el concepte de '''torsor associat a un sistema de forces''', i després l’aplica a les diverses interaccions entre sòlids (a distància, de contacte i per mitjà d’elements intermedis).

-----------
-----------
==D3.1 Torsor associat a un sistema de forces==
La reducció d’un sistema de forces sobre un sòlid rígid a un torsor és absolutament necessària quan el nombre de forces és molt elevat (infinit). Quan es tracta d’un sistema de poques forces, sol ser opcional. 

Una operació matemàtica eficaç per reduir el nombre de forces sobre un sòlid S és la suma: per molt elevat que sigui el nombre de forces, la suma condueix a una única '''força resultant'''. Aquesta reducció dràstica, però, implica una pèrdua d’informació essencial en molts casos. Sempre i quan no interessi estudiar la deformació dels objectes (és a dir, quan només s’estudiï la dinàmica de sòlids rígids), això es resol afegint un segon vector a la descripció compacta del sistema: el '''moment''' (o '''parell''') '''resultant respecte d’un punt''' <math>\Qs</math>. El conjunt d’aquests dos vectors és el '''torsor del sistema de forces en el punt''' <math>\Qs</math> ('''Figura D3.1'''). 

[[Fitxer:D3-1-cat.png|thumb|center|370px|link=]]
<center>'''Figura D3.1''' Torsor associat a un sistema de forces que actuen sobre un sòlid rígid.
</center> 

A tall d’exemple, considerem el cas d’una barra rígida inicialment en repòs que se sotmet a un sistema de forces amb força resultant nul·la. La '''Figura D3.2''' presenta tres situacions diferents que corresponen a aquesta resultant: ('''a''') lliure de forces, ('''b''') forces paral·leles a la barra, ('''c''') forces perpendiculars a la barra. En els dos casos primers ('''a''', '''b'''), el sistema de forces no modifica l’estat de repòs. En el tercer ('''c'''), les forces provoquen una rotació horària de la barra. El torsor resultant en qualsevol punt permet distingir entre ('''c''') i ('''a''', '''b'''). 

[[Fitxer:D3-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.2''' Barra rígida sotmesa a una força resultant nul·la.
</center> 

La força resultant no depèn mai del punt on es calcula el torsor. En canvi, el moment resultant en general sí que en depèn ('''Figura D3.3'''). 

[[Fitxer:D3-3-neut.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.3''' Barra rígida sotmesa a dues forces de valor diferent.
</center> 

El torsor resultant es representa en el punt on s’ha calculat el moment resultant ('''Figura D3.4'''). 

[[Fitxer:D3-4-neut.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.4''' Torsors a diferents punts per a l’exemple de la barra rígida de la '''Figura D3.3'''.
</center>
El moment resultant en un punt <math>\Qs’</math> es pot obtenir a partir del torsor en un punt <math>\Qs</math>: 

<math>\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs ')=\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs) + \overline{\Qs '\Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs</math>

<div>
=====💭 Demostració ➕=====


:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)=\sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is</math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\sum \overline{\Qs ' \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum (\overline{\Qs ' \Qs}+\overline{\Qs \Ps_\is}) \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum \overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\is + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\overline{\Qs ' \Qs} \times (\sum \overline{\mathbf{F}}_\is) + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is </math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs+\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)</math>

</div>

-----------
-----------

==D3.2 Atracció gravitatòria==
El càlcul del torsor resultant gravitatori sobre un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> per causa d’un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> no és senzill. La força gravitatòria resultant sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) prové de les forces (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> ) que cada diferencial de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> exerceix sobre <math>\Ps</math> ('''Figura D3.5'''). El torsor resultant sobre <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> s’obté a partir de totes aquestes forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> sobre tots els diferencials de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> . 

[[Fitxer:D3-5-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
<center><math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> és la suma de totes les <math>\mathbf{F}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math>
</center>
<center>'''Figura D3.5''' Càlcul de la força total gravitatòria del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> (<math> \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math>.
</center> 

Quan es tracta de l’atracció gravitatòria terrestre (<math>\mathrm{S}_\mathrm{Q} = \mathrm{Terra}</math>) sobre un sòlid de petites dimensions comparades amb les de la Terra i prop de la superfície terrestre, és usual emprar l’aproximació de camp uniforme: les forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> pràcticament paral·leles entre elles i el seu valor és <math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps} = \mathrm{gdm}(\Ps)</math> , amb <math>\mathrm{g}</math> constant i igual al camp gravitatori a la superfície terrestre:<math>\mathrm{g}=\mathrm{G}_0 \frac{\mathrm{M}_\Ts}{\Rs_\Ts^2}</math>(on <math>\mathrm{G}_0</math> és la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.3 Atracció gravitatòria|'''constant universal de gravitació''']], i <math>\mathrm{M}_\Ts</math> i <math>\Rs_\Ts</math> són la massa i el radi de la Terra, respectivament). En aquest cas, es pot demostrar que existeix un punt de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> en el qual el torsor gravitatori es redueix a una força resultant <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{T}} \rightarrow \mathrm{S}_{\mathrm{P}}}</math> de valor mg (on m és la massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> ) dirigida cap al centre de la terra, i un moment resultant gravitatori nul. Aquest punt s’anomena '''centre de gravetat''' del sòlid, es representarà amb la lletra '''G''' ('''Figura D3.6'''). 

[[Fitxer:D3-6-cat.png|thumb|center|600px|link=]]
<center>'''Figura D3.6''' Atracció gravitatòria terrestre sobre un sòlid rígid en l‘aproximació de camp uniforme.
</center>

-----------
-----------
==D3.3 Interacció per mitjà de molles i amortidors==
===Molles i amortidors lineals===
Quan una molla o un amortidor lineal connecta dos punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> de dos sòlids diferents, cal assegurar que la connexió es fa de manera que la força que es transmet entre els punts té la direcció de l’element, i que no es transmet cap moment (o parell). 

En alguns casos, això es pot aconseguir inserint l’element entre dos trams de fil inextensible ('''Figura D3.7a'''). En aquest cas, la força que introdueix entre els punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> només pot ser d’atracció (a causa del caràcter unilateral de l’actuació del fil). 

En d’altres casos, cal recórrer a unions mitjançant [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''articulacions''']] (si es tracta d’un problema pla, '''Figura D3.7b''') o [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''ròtules esfèriques''']] (si és un problema 3D). 

[[Fitxer:D3-7-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D3.7''' Molles i amortidors lineals connectats a dos sòlids rígids diferents.
</center>

====✏️ Exemple D3.1: força de repulsió d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------

[[Fitxer:ExD3-1-1-neut.png|thumb|left|175px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, actua entre el suport fix a terra i un eix vertical que està en contacte amb la barra. Per a <math>\theta = 0</math> , el sistema està en equilibri, i la força que la molla exerceix entre els seus extrems és <math>\mathrm{F}_0</math> . 

:En absència de molla, la barra, que està articulada al suport al punt <math>\mathbf{O}</math>, tendiria a caure (rotació horària). Si per a <math>\theta = 0</math> hi ha equilibri, la molla ha d’estar fent necessàriament una repulsió entre els seus extrems en aquesta configuració. Per tant, el més lògic és calcular l’expressió de la força de la molla per a una configuració general com a força repulsiva: 

<math> \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}= \mathrm{F}_0 - \mathrm{k}\Delta\rho=\mathrm{F}_0-\mathrm{k}[\rho(\theta) - \rho(\theta=0)]</math>. 

L’increment <math>\Delta \rho </math> de llargària de la molla a partir de l’equilibri és proporcional a la tangent de l’angle:<math>\mathrm{tan}\theta=\Delta\rho/\mathrm{L}</math>. Per tant: <math>\mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}=\mathrm{F}_0-\mathrm{kL}\mathrm{tan}\theta</math>. 

La força de repulsió de l’amortidor s’obté a partir de l’allargament anterior per derivació: 

<math>\rho=\mathrm{Ltan}\theta \Rightarrow \dot{\rho} = \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c}\dot{\rho}=-\mathrm{c} \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta}</math>


====✏️ Exemple D3.2: força d’atracció d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------


[[Fitxer:ExD3-2-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, té un extrem fix al xassís del vehicle, i l’altre a un fil que s’enrotlla al damunt d’un corró de radi <math>\rs</math> solidari a la roda de radi <math>2\rs</math>, que no llisca al damunt del terra. Per a <math>\xs = 0</math> , la molla està estirada i exerceix una força <math>\mathrm{F}_0</math> entre els seus extrems.
[[Fitxer:ExD3-2-2-cat.png|thumb|right|220px|link=]]
:La coordenada <math>\xs</math> descriu la posició del xassís respecte del terra, i per tant també la del centre de la roda de radi <math>2\rs</math>. En tenir la molla un extrem lligat a un fil que s’enrotlla al corró, el desplaçament d’aquest extrem respecte del terra es pot obtenir per integració de la seva velocitat. 

:Vistes les velocitats dels dos extrems de la molla, és evident que s’escurça. La velocitat d’escurçament entre els extrems és: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{3}{2}\dot{\xs}-\dot{\xs}=\frac{1}{2}\dot{\xs}</math>, i per tant, l’escurçament de la molla a partir de la configuració <math>\xs = 0</math> és:<math>\frac{1}{2}\xs(=-\Delta \rho)</math> 

:L’expressió de la força d’atracció de la molla (ja que la <math>\mathrm{F}_0</math> és una atracció ja que la molla està estirada per a <math>\xs = 0</math> ) és:<math>\mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{molla}} + \mathrm{k}\Delta \rho = \mathrm{F}_0 - \frac{1}{2}\mathrm{k}\xs </math> 

:La força d’atracció de l’amortidor s’obté a partir de la velocitat l’escurçament que ja s’ha trobat: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{1}{2}\dot{\xs} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c} \dot{\rho}=-\frac{1}{2} \mathrm{c} \dot{\xs}</math>


===Molles i amortidors torsionals===

Les '''molles''' i els '''amortidors torsionals''' introdueixen moments però no forces entre els dos sòlids que connecten. Igual que en el cas dels elements lineals, la unió a cadascun dels sòlids ha de garantir que només es transmet un moment en una direcció determinada. Igual que en els casos dels elements lineals, les maneres d’aconseguir-ho són diverses. 

Quan les molles i els amortidors torsionals són de comportament lineal, l’increment de moment que introdueixen entre els sòlids, quan l’orientació relativa entre ells s’incrementa en un angle <math>\Delta \theta</math>, és proporcional a <math>\Delta \theta</math> i <math>\dot{\theta}</math>, respectivament ('''Figura D3.8'''). 

[[Fitxer:D3-8-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.8''' Formulació de molles i amortidors torsionals de comportament lineal.
</center>

-----------
-----------

==D3.4 Interaccions d’enllaç directes==
Les interaccions directes d’enllaç entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math> es produeixen quan estan en contacte, i provenen de les petites deformacions locals dels sòlids en la zona de contacte. Des del punt de vista macroscòpic, això es tradueix en impenetrabilitat i rugositat dels sòlids. Com ja s’ha comentat a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|'''secció D2.7''']], en tractar aquest curs de la dinàmica d’objectes rígids, les deformacions no es formulen, i per tant les forces associades són incògnites del problema dinàmic. 

Quan els enllaços impliquen sòlids, cal precisar si són llisos o rugosos. Una superfície llisa no pot impedir que un element llisqui respecte d’ella tot mantenint-hi contacte, mentre que una de rugosa sí que ho pot impedir. Això té una conseqüència directa en la caracterització de l’enllaç. 

Com a introducció a la caracterització d’enllaços entre sòlids, és útil considerar el cas més senzill del contacte puntual.

Considerem dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> que mantenen un contacte puntual entre ells. Els punts de contacte són <math>\Ps_1</math> i <math>\Ps_2</math> , respectivament. La caracterització de l’enllaç que <math>\mathrm{S}2</math> fa sobre <math>\Ps_1</math> (o que <math>\mathrm{S}1</math> fa sobre <math>\Ps_2</math> ) s’obté de manera anàloga a la de l’[[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|enllaç partícula-sòlid]] ('''Figura D3.12'''). El valor límit de força tangencial d'enllaç també s'obté com en el cas [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.8 Fricció|partícula-sòlid]]

[[Fitxer:D3-12-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.12''' Caracterització de l’enllaç puntual del sòlid <math>\mathrm{S}_2</math> sobre el sòlid <math>\mathrm{S}_1</math>.
</center> 
Quan l’enllaç entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> és multipuntual, la condició d’ortogonalitat entre força d’enllaç i velocitat permesa es pot aplicar a cada punt on es produeix contacte (la qual cosa implica acceptar que l’enllaç multipuntual es pot obtenir com a superposició d’enllaços puntuals independents). De vegades, això condueix a un nombre de components de forces d’enllaç elevat (fins i tot infinit, si el contacte es produeix al llarg d’un tram lineal o superficial continu), i cal reduir el sistema de forces a un torsor resultant d’enllaç. En alguns casos, aquesta reducció es pot obtenir molt fàcilment a partir de la descripció de l’enllaç punt a punt. 

Si bé és possible calcular el torsor d’un sistema de forces en qualsevol punt ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]), quan es tracta de torsors d’enllaç és convenient que aquest punt pertanyi al sòlid sotmès al sistema de forces en qüestió, perquè d’això sen deriva una propietat important.

====✏️ Exemple D3.3: torsor d’enllaç en un contacte bipuntual====
---------

[[Fitxer:ExD3-3-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El bloc manté contacte bipuntual amb un terra llis, i es mou només en un pla. 
[[Fitxer:ExD3-3-2-neut.png|thumb|right|175px|link=]]
:La descripció de l’enllaç com a superposició de dos enllaços puntuals condueix a dues forces normals: Si només hi hagués contacte a <math>\Ps</math>, l’enllaç introduiria només una força a <math>\Ps</math> normal al terra (<math>\Ns_\mathrm{P}</math>); si el contacte fos només a <math>\Qs</math>, introduiria una força a <math>\Qs</math> normal al bloc (<math>\Ns_\mathrm{Q}</math>). Els valors de <math>\Ns_\mathrm{P}</math> i <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> són independents (conèixer <math>\Ns_\mathrm{P}</math> no implica conèixer <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> ). El contacte bipuntual, doncs, introdueix dues incògnites d’enllaç. 

En tractar-se només de dues forces, la reducció a un torsor no és necessària, Per altra banda, aquesta desripció és útil per estudiar les dues condicions límit: <math>\Ns_\mathrm{P}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Ps</math> (per tant, bolcament en sentit horari), mentre que <math>\Ns_\mathrm{Q}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Qs</math> (per tant, bolcament en sentit antihorari).

En aquest cas, el torsor associat a aquest sistema de forces no redueix el nombre d’incògnites, que segueix sent 2. La força resultant té dues components independents:

<center>
<math>\left\{\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{T} \rightarrow \text { bloc }}\right\}=\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1 \\
\mathrm{F}_2 \\
0
\end{array}\right\} \text {, amb }\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1=-\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \sin \theta \\
\mathrm{F}_2=\mathrm{N}_{\mathrm{p}}+\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \cos \theta
\end{array}\right. \text {. }</math>
</center>

El moment resultant depèn del punt del bloc on es caracteritza el torsor, i quan no és nul, es pot escriure en funció de les components de força. 

[[Fitxer:ExD3-3-3-cat.png|thumb|center|600px|link=]]

Passar de la descripció punt a punt al torsor no té cap avantatge en aquest cas: no redueix el nombre d’incògnites d’enllaç, i dificulta l’estudi de les condicions límit.


====✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-4-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El corró es troba en contacte amb lliscament sobre un terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La descripció de l’enllaç multipuntual com a superposició d’enllaços puntuals condueix a un conjunt d’infinites forces normals <math>\Ns_{\rightarrow \mathrm{J}}</math> als punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> en la direcció normal al terra (direcció 3). La força resultant d’enllaç sobre el corró, per tant, és també de direcció 3, i ha de ser estrictament positiva ja que és un enllaç unilateral: 

<math>\int_{\mathrm{J} \in \text { corró }} \mathrm{N}_{\rightarrow \mathrm{J}}=\mathrm{N}>0 .</math> 

El moment resultant d’enllaç depèn del punt del corró on es calculi. Si es tria un punt extrem del contacte (<math>\Ps</math> o <math>\Qs</math>), el moment resultant té signe definit: 

<center>
<math>\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{P})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{P J}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2>0 \\
0
\end{array}\right\},\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{Q})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{QJ}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2<0 \\
0
\end{array}\right\} .</math>
</center>
[[Fitxer:ExD3-4-2-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
La descripció de l’enllaç per mitjà del torsor és molt avantatjosa: redueix dràsticament el nombre d’incògnites d’enllaç (passem a tenir-ne només dues). Si el torsor es caracteritza a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math>, l’estudi de la condició límit de bolcament és fàcil: <math>\mathrm{M}_2=0</math>. Si es caracteritza en qualsevol altre punt de la generatriu de contacte, cal passar a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math> per investigar el bolcament.


===Caracterització analítica del torsor d’enllaç entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math>===

La caracterització del torsor d’enllaç entre dos sòlids es pot fer sense passar per la descripció de l’enllaç punt a punt: si el punt de caracterització pertany a un dels dos sòlids, n’hi ha prou en combinar la condició d’ortogonalitat entre força i velocitat a cada punt de contacte amb la cinemàtica de sòlid rígid, i sumar totes les equacions que en resulten ('''Figura D3.13'''). 

[[Fitxer:Opcio-ana.png|thumb|center|6000px|link=]]
<center>
'''Figura D3.13''' Caracterització analítica d’un enllaç multipuntual entre dos sòlids.

</center> 

Els vectors <math>\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \text{ i }\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}</math> es poden treure factor comú. Finalment: 

<math> \Biggl(\sum_\mathrm{J} \overline{\mathbf{F}}_{\rightarrow \mathrm{J}} \Biggl) \cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \Biggr[ \sum_\mathrm{J} (\overline{\mathbf{PJ}} \times \mathbf{F}_{\rightarrow \mathrm{J}}) \Biggr] \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} = 0 \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}=0 </math> 

Aquesta equació és l’equació de '''caracterització analítica''' del torsor d’enllaç. Expressa l’ortogonalitat entre el torsor d’enllaç <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)\bigl\}^\top</math> i el torsor cinemàtic <math>\bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \quad \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}^\top</math> de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>:<math>\left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps)\\
\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}
\end{array}\right\} =0.</math> 

Aquesta ortogonalitat no implica ortogonalitat entre força i velocitat per una banda, i entre moment i velocitat angular per l’altra. En principi,<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \neq 0 \text{, } \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \neq 0 </math>. 

Quan es fa servir l’equació de caracterització analítica, cal considerar inicialment que tant la força com el moment resultants tenen les tres components no nul·les. Pel que fa al torsor cinemàtic, cal escriure les seves components no nul·les en funció dels GL de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>. 

Per altra banda, en aparèixer multiplicades escalarment la força i la velocitat del punt per una banda, i el moment i la velocitat angular per l’altra, es poden fer servir bases vectorials diferents per a cadascun d’aquests productes escalars, doncs el seu resultat no depèn de la base: 

<math>\bigl\{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \bigl\}_\mathrm{B} \cdot \bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B} + \bigl\{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B'} \cdot \bigl\{\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}_\mathrm{B'} </math>

====✏️ Exemple D3.5: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-5-1-cat.png|thumb|left|165px|link=]]
:El corró no llisca sobre el terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe del terra sobre el corró, al punt <math>\Ps</math> és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}
\cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} =0</math> 

Totes les components del torsor d’enllaç tret de <math>\mathrm{M}_1</math> poden tenir qualsevol valor, doncs van multiplicades per zero. En canvi, com que <math>\Omega_1</math> no és zero en principi, <math>\mathrm{M}_1</math> ha de ser zero per tal de que es compleixi l’equació d’ortogonalitat. Així doncs, el torsor resultant d’enllaç és: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps)\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad \mathrm{M}_2 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top . </math> 

Com s'ha comentat a l’[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua|'''exemple D3.4''']], M2 ha de ser positiu. Un valor negatiu seria indicatiu de bolcament. 

Les cinc components no nul·les són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL del corró respecte de <math>\mathrm{S}</math> és 6. 

El torsor del mateix enllaç en un punt diferent es pot obtenir bé aplicant novament l’equació de caracterització analítica bé a partir del torsor a <math>\Ps</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). Per exemple, per al punt <math>\mathbf{C}</math> aquests dos mètodes condueixen a: 

* Caracterització analítica: <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\mathbf{C}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\mathbf{C}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math>

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_2 = - \rs \Omega_1\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
...\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math>

:<math>(-\rs \mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1)\Omega_1 =0 \quad \Rightarrow \quad -\rs\mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1=0 </math> 

Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

* Obtenció a partir del torsor a <math>\Ps</math>: <math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{P})+ \overline{\mathbf{CP}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} </math> 

:<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\}+ \left\{\begin{array}{c}
0\\
0 \\
-\rs
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
\rs \mathrm{F}_2\\
\mathrm{M}_2 - \rs \mathrm{F}_1 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math> 

:Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

El nombre de components no nul·les del torsor a <math>\mathbf{C}</math> és 6, però el nombre de components independents és 5, doncs hi ha una relació de dependència entre <math>\mathrm{M}_1</math> i <math>\mathrm{F}_2</math> . Per tant, segueix complint-se que el nombre de components independents de torsor més el de GL és 6.

====✏️ Exemple D3.6: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte puntual sense lliscament====
---------
[[Fitxer:ExD3-6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:La bola de radi r no llisca dins la cavitat esfèrica. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe de la cavitat sobre la bola, al seu centre <math>\mathbf{G}</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{cav}(\mathbf{G}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{cav}^\mathrm{bola}=0 </math> 

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{v}_1\\
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
\Omega_2\\
\Omega_3
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
... \\
...
\end{array}\right\} </math>

En no haver-hi lliscament al punt de contacte, les components de velocitat <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> són proporcionals a <math>\Omega_3</math> i <math>\Omega_1</math> , respectivament: <math>\mathrm{v}_1=-\rs \Omega_3</math>, <math>\mathrm{v}_3=\rs \Omega_1</math> (el signe negatiu de la primera igualtat indica que una <math>\Omega_3</math> positiva genera una <math>\mathrm{v}_1</math> negativa). Substituïnt a l’equació de caracterització i desenvolupant el producte escalar (sense incloure la component <math>\mathrm{F}_2</math> , perquè va multiplicada per zero): 

<math>(-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3) \Omega_3 + (\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1) \Omega_1 + \mathrm{M}_2\Omega_2=0. </math> 

Com que les tres rotacions són independents, els coeficients que les multipliquen han de ser zero perquè l’equació es compleixi per a qualsevol valor de <math>\Omega_3</math> i de <math>\Omega_1</math>: <math>-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3=0</math> ,<math>\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1</math> , <math>\mathrm{M}_2=0</math>. 

Finalment:

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad \mathrm{M}_1 \quad 0 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top</math>, amb <math>\mathrm{M}_3=\rs \mathrm{F}_1</math> i <math>\mathrm{M}_1=-\rs \mathrm{F}_3.</math> 

El torsor té cinc components no nul·les, però només tres són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL de la bola respecte de la cavitat és 6. 

Aquest torsor també es pot obtenir a partir de la caracterització a <math>\mathbf{J}</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). En tractar-se d’un contacte puntual sense lliscament, a <math>\mathbf{J}</math> hi ha tres components de força d’enllaç i cap moment: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{J})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad 0 \quad 0 \bigl\}^\top</math> 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{J})+ \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} = \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}</math> 

<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} = \left\{\begin{array}{c}
0\\
-\rs\\
0
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
-\rs \mathrm{F}_3\\
0 \\
\rs \mathrm{F}_1
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
0 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} </math> 

-----------

Com s’ha vist als exemples anteriors, l’equació de caracterització analítica garanteix que la suma del nombre de components independents del torsor d’enllaç entre dos sòlids i del nombre de GL relatius entre els sòlids és sempre 6:

<center><math>\boxed{\text{comps. indeps. torsor + GL relatius = 6}}</math></center>

===Caracterització immediata del torsor d’enllaç===

Quan es tria un punt <math>\Ps</math> de caracterització la velocitat del qual,<math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math>, és independent de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math>, i una base vectorial tal que les components de <math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math> són independents entre elles i les de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math> també, la '''caracterització és immediata''': a cada component nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component no nul·la del torsor dinàmic, i a cada component no nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component nul·la del torsor dinàmic.

====✏️ Exemple D3.7: caracterització immediata del torsor d’enllaç en un contacte multipuntual continu====
---------

[[Fitxer:ExD3-7-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La mola cònica no llisca sobre el terra cònic (T). La caracterització del torsor de l’enllaç directe del terra sobre qualsevol dels punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> de la mola amb el terra pot ser immediata, perquè <math>\vvec_\mathrm{T}(\mathbf{J})</math> independentment de la velocitat angular mola <math>\velang{mola}{T}</math> . 

Perquè ho sigui realment, cal triar una base vectorial per expressar el moment d’enllaç tal que els components de mola <math>\velang{mola}{T}</math> siguin independents. Ja que la direcció de mola <math>\velang{mola}{T}</math> està unívocament determinada (la mola te 1 GL respecte del terra), qualsevol base que tingui un eix paral·lel a l’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la mola és adequada: 

[[Fitxer:ExD3-7-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]] 
:Finalment: <math>\braq{\fvec{T}{mola}}{} = \vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{T}{mola}(\mathbf{J})}{} = \vector{\mathrm{M}_1}{0}{\mathrm{M}_3}.</math>


====✏️ Exemple D3.8: caracterització del torsor d’enllaç d’una unió helicoïdal====
---------

[[Fitxer:ExD3-8-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La caracterització del torsor de l’enllaç directe de la femella de la unió helicoïdal sobre el mascle no pot ser directa, 

En una unió helicoïdal, no hi ha cap punt del mascle que tingui velocitat respecte de la femella independent de la rotació entre les dues peces. Per tant, la caracterització immediata no és possible. 

Si es tria com a punt de caracterització qualsevol punt <math>\mathbf{O}</math> de l’eix 3, la caracterització analítica condueix a: 

<math>\fvec{femella}{mascle}\cdot \vvec_\mathrm{femella}(\mathbf{O})+ \mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O}) \cdot \velang{mascle}{femella}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{\mathrm{v}_3}+\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}\vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{...}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{...}.</math> 

La velocitat d’<math>\mathbf{O}</math> al llarg de l’eix és directament proporcional a la rotació per mitjà del pas de rosca e. Ja que <math>\Omega_3</math> es mesura en rad/s, <math>\mathrm{v}_3</math> en m/s, i e es dóna en mm/volta, cal fer una conversió d’unitats: 

<math>\mathrm{v}_3\left[\frac{\ms}{\ss}\right] = \Omega_3\left[\frac{\mathrm{rad}}{\ss}\right]\es\left[\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{ volta}}\right]\frac{1 \ms}{10^3 \mathrm{ mm}}\frac{1 \mathrm{volta}}{2 \pi \mathrm{ rad}} \Rightarrow \mathrm{v}_3= \Omega_3 \frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3}</math> 

Finalment: <math>\braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{M}_3= -\frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3} \mathrm{F}_3 </math>


===Torsors d'enllaç associats als enllaços directes habituals entre sòlids rígids===

Els [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''enllaços habituals entre parelles de sòlids rígids''']] s’han analitzat des del punt de vistacinemàtic. A partir d’aquesta descripció, es poden caracteritzar els torsors d’enllaç corresponents ('''Figura D3.14'''). 

[[Fitxer:D3-14-TABLE-cat.png|thumb|center|670px|link=]]
<center>
'''Figura D3.14''' Caracterització immediata dels enllaços directes habituals

</center> 

En els sistemes multisòlid formats únicament per sòlids rígids amb massa no negligible connectats mitjançant aquests enllaços habituals, la descripció dinàmica dels enllaços es fa considerant per separat cada parella de sòlids connectats com si la resta d’elements del sistema no hi fos.

====✏️ EXEMPLE D3.9: anàlisi d’incògnites en un sistema multisòlid====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-9-1-cat.png|thumb|left|300px|link=]] 

|El sistema multisòlid conté 5 enllaços habituals: 

* 3 enllaços de revolució (o articulacions)
* 1 enllaç cilíndric
* 1 enllaç esfèric (o ròtula esfèrica) 

Tenint en compte que una articulació introdueix 5 components independents de torsor d’enllaç, un enllaç cilíndric n’introdueix 4, i un d’esfèric 3, en el sistema hi ha un total de 22 incògnites d’enllaç.
|}


-----------
-----------

==D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç==
En els sistemes multisòlid, és freqüent que alguns sòlids tinguin massa negligible comparats amb els altres i que no reben altres forces que les d’enllaç amb altres sòlids. Aquests sòlids s’anomenen '''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''' ('''SAE'''), i se’ls pot donar un tractament particular quan es tracta de caracteritzar enllaços. 

La '''Figura D3.15''' presenta un sòlid <math>\mathrm{S1}</math> en contacte amb un sòlid <math>\mathrm{S}</math> de massa negligible, que no està sotmès a cap força que no sigui d’enllaç, en dues situacions diferents: <math>\mathrm{S}</math> només en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math> ('''Figura D3.15a''') i <math>\mathrm{S}</math> en contacte amb dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> ('''Figura D3.15b'''). 

[[Fitxer:D3-15-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.15''' Interacció entre sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i<math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’un sòlid auxiliar d’enllaç (SAE).

</center> 

En absència de <math>\mathrm{S2}</math> i, la presència de <math>\mathrm{S}</math> (en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math>) és dinàmicament irrellevant: <math>\mathrm{S}</math> no representa cap obstacle per moure <math>\mathrm{S1}</math>. Conseqüentment, <math>\mathrm{S}</math> no és capaç d’introduir cap força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Però quan <math>\mathrm{S}</math> interconnecta <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, <math>\mathrm{S}</math> esdevé un transmissor: <math>\mathrm{S2}</math> pot ser un obstacle quan es tracta de provocar certs moviments de <math>\mathrm{S1}</math>, i això es tradueix en forces d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Com a cas senzill per il·lustrar-ho, la '''Figura D3.16''' mostra dos exemples (que considerarem plans) on dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> sobre un pla llis estan connectats a través d’una barra de massa negligible (comparada amb la de <math>\mathrm{S1}</math> i la de <math>\mathrm{S2}</math>) articulada en els dos extrems:<

(a) les articulacions són perfectes (sense frec) 

(b) una de les articulacions té un molla torsional associada 

[[Fitxer:D3-16-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.16''' Enllaç indirecte entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’una barra <math>\mathrm{S}</math> articulada de massa negligible.

</center> 

En el cas (a), la barra és un SAE (no està sotmesa a cap força que no sigui d’enllaç). Provocar velocitat del punt <math>\mathbf{O}</math> de <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra implica moure <math>\mathrm{S}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> . En canvi, moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció ortogonal a la barra provoca moviment de <math>\mathrm{S}</math> però no de <math>\mathrm{S2}</math> , mentre que fer girar <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> no provoca el moviment cap dels dos (ni de <math>\mathrm{S}</math> ni de <math>\mathrm{S2}</math> ). En conseqüència, només té sentit associar una força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra. El responsable d’aquesta força no és <math>\mathrm{S}</math> sinó <math>\mathrm{S2}</math> : quan es tracta de caracteritzar l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> s’ha devaluar des de <math>\mathrm{S2}</math>. Es diu que entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> hi ha un '''enllaç indirecte a través del SAE'''. 

En el cas (b), la barra no és un SAE perquè està sotmesa a una interacció que no és d’enllaç (la de la molla). Com en el cas (a), moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció de la barra obliga a moure <math>\mathrm{S2}</math> . Però ara, el moviment de <math>\mathbf{O}</math> en direcció perpendicular a la barra obliga a deformar la molla, la qual actua sobre <math>\mathrm{S2}</math> i el fa bellugar. El moviment de rotació de <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> segueix sent possible sense haver de moure <math>\mathrm{S2}</math> ni deformar la molla. En la caracterització de l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , cal avaluar la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> de manera que <math>\mathbf{O}</math> no tingui velocitat : cal avaluar-la des de S. 

====✏️ Exemple D3.10: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-10-1-cat -nou.png|thumb|left|250px|link=]]
El carretó té 2 GL lliures respecte del terra (translació longitudinal i rotació vertical). Si la massa dels tres elements (rodes i xassís) és comparable, la representació simplificada del sistema i el nombre d’incògnites d’enllaç que conté és la següent: 

[[Fitxer:ExD3-10-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
En total, doncs, el sistema conté 17 incògnites d’enllaç. 

Aquest nombre es pot reduir en el cas que la massa de les rodes sigui negligible (comparada amb la del xassís): el xassís passa a tenir tres enllaços amb el terra, un de directe i dos d’indirectes a través de les rodes, que són SAE. El nombre d’incògnites que introdueix un d’aquests enllaços indirectes no és sempre evident a priori, i és aconsellable caracteritzar-lo analíticament. Cal recordar, però, que la cinemàtica que es descriu correspon a la que té el xassís respecte del terra com si només hi actués l’enllaç que es considera. En aquest cas, doncs, en la caracterització de l’enllaç indirecte entre terra i xassís a través de les rodes cal avaluar la cinemàtica com si el contacte directe amb el terra (a la part del davant del xassís) no hi fos. 

[[Fitxer:ExD3-10-3-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al seu centre <math>\mathbf{C}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Cs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad</math>

<math>\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs)}{}= \overline{0}</math>

El nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 

La caracterització també es pot fer al punt <math>\Os</math> (punt mig de l’eix de les rodes), doncs també pertany a la roda. Les components de la força han de ser les mateixes, però les del moment poden canviar. 

Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> només són possibles si hi ha rotació <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_1=\rs\Omega_2 </math> ,<math>\mathrm{v}_3=\Ls\Omega_2 </math> . Si s’introdueixen aquestes relacions i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>(\rs \mathrm{F}_1 + \Ls \mathrm{F}_3 +\mathrm{M}_2')\Omega_2+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+\mathrm{M}_1'\Omega_1+\mathrm{M}_3'\Omega_3=0</math> 

Ja que <math>(\mathrm{v}_2,\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3)</math> són independents, els coeficients de cadascuna d’aquestes velocitats ha de ser zero. Per tant, l’enllaç indirecte introdueix només 2 incògnites: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2'}{0}</math>, amb <math>\mathrm{M}_2'=-\rs \mathrm{F}_1 -\Ls\mathrm{F}_3</math> 

A aquest resultat també es podria haver arribat a partir de la relació que hi ha entre torsors associats a la mateixa interacció però en punts diferents ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]): 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)= \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) + \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} = \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} </math> , 

<math>\vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} = \vector{\Ls}{0}{-\rs} \times \vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} = \vector{0}{-\rs\mathrm{F}_1 -\Ls \mathrm{F}_3}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç segueix sent 5. 

Finalment, una altra opció és caracteritzar l’enllaç del terra sobre el xassís per mitjà de els dues rodes simultàniament. 

[[Fitxer:ExD3-10-4-cat.png|thumb|right|200px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de les dues rodes, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1''}{\mathrm{F}_2''}{\mathrm{F}_3''}\vector{0}{\mathrm{v}_2}{0}+ \vector{\mathrm{M}_1''}{\mathrm{M}_2''}{\mathrm{M}_3''} \vector{\Omega_1}{0}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents:

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1''}{0}{\mathrm{F}_3''} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2''}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç es redueix a 4.


====✏️ Exemple D3.11: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-11-2-cat.png|thumb|right|270px|link=]]
{|
[[Fitxer:ExD3-11-1-cat.png|thumb|left|210px|link=]]

|La placa té el vèrtex <math>\Ps</math> obligat a moure’s dins la guia, i el punt <math>\Qs</math> connectat al punt <math>\Os</math> del terra (T) mitjançant una barra amb articulacions als extrems. El sistema té només 1 GL, descrit per mitjà de <math>\dot{\theta}</math>. 

Si es considera el problema només en dues dimensions i cap element té massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 
|}
{|
|[[Fitxer:ExD3-11-3-cat.png|thumb|left|215px|link=]]
|Si la barra és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la placa per mitjà de la barra al punt <math>\Qs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Qs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
\Omega_1
\end{array}\right\}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
...
\end{array}\right\}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació de la barra, però no de la de la placa: en haver-hi una articulació a <math>\Qs</math>, la placa pot fer un moviment de translació circular quan la barra gira. Per tant, es tracta d’una caracterització immediata: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
0
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
0
\end{array}\right\}</math> 
|}


====✏️ Exemple D3.12: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-12-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-2-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-3-cat.png|thumb|left|150px|link=]]

La bola té 4 GL lliures respecte del terra (translacions al llarg de l’eix r-r’ i de l’eix 2, rotacions al voltant de l’eix r-r’ i de l’eix 2). Si no hi ha cap element de massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 8. 

Si l’element T és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la bola per mitjà d’aquest element al punt <math>\Gs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs) \cdot \velang{bola}{T}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{...}{\mathrm{M}_3}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> només és possible si l’element T (i per tant la bola) giren amb <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_3=-\xs\Omega_2</math>. Si s’introdueix aquesta relació i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>\mathrm{F}_1\mathrm{v}_1+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+(-\xs\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2)\Omega_2+\mathrm{M}_1\Omega_1</math> 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math> 

Tot i que el torsor a <math>\Gs</math> té tres components no nul·les, d’independents només n’hi ha dues.


---------
 

Un cas paradigmàtic en què la dimensió es redueix dràsticament és el del '''coixinet de boles''' ('''Figura D3.17'''). Si es tracta el problema com a pla i les N boles no es consideren SAE, el nombre d’incògnites d’enllaç del sistema és 4N (cada bola manté contacte puntual sense llisament amb els dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, i en el cas pla,el contacte puntual es redueix a dues incògnites d’enllaç). Si es tracten com a SAE, l’enllaç indirecte entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> a través de les boles es redueix a dues incògnites d’enllaç. 

[[Fitxer:D3-17-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.17''' Coixinet de boles.
</center> 

====✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-13-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:El sistema multisòlid té 2 GL respecte del terra: la translació circular de la placa respecte de l’eix i la rotació de tots els elements al voltant de l’eix vertical (permesa pel coixinet). Si cap element té massa negligible, el nombre: total d’incògnites d’enllaç és 25. 

:Si es negligeixen les masses de l’eix i de les dues barres i es tracten com a SAE, el sistema es redueix a un enllaç indirecte: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{...}{\mathrm{M}_3} </math> 

:La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació del conjunt al voltant de l’eix vertical: <math>\mathrm{v}_3=-(\mathrm{h} + \mathrm{Lcos}\theta)\Omega_2</math> . Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_2</math> provenen de la translació circular de la placa, i per tant no són independents: <math>\frac{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}=-\mathrm{tan}\theta</math> 

:Si es desenvolupa el producte escalar tenint en compte aquestes relacions: 

:<math>(-\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta+\mathrm{F}_2)\mathrm{v}_2+ [-(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2]\Omega_2=0, </math> 

:<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta</math> i <math>\mathrm{M}_2=(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3</math> 

:El nombre d’incògnites d’enllaç s’ha reduït a 4.


====✏️ Exemple D3.14: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-14-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:Si al sistema de l’ [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid|'''exemple D3.13''']] se li afegeix una molla torsional amb un extrem lligat a l’eix, el nombre de GL no es modifica, però en la descripció dels enllaços, l’eix no es pot tractar com a SAE encara que la seva massa sigui negligible. Les dues barres, però, segueixen estant sotmeses només a interaccions d’enllaç, i per tant, si es negligeix la seva massa, són SAE: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\mathrm{eix} (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{eix}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{-\mathrm{v}_2\mathrm{tan}\theta}{\mathrm{v}_2}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}, \mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta </math> 

:El nombre total d’incògnites d’enllaç és 10: 5 associades a l’enllaç indirecte que s’acaba de caracteritzar, i 5 més al coixinet entre terra i eix. 

[[Fitxer:ExD3-14-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]


---------
---------

==D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals==
Els actuadors (o accionaments) són elements concebuts per controlar un grau de llibertat (de translació o de rotació) entre dos sòlids i eliminar-ne d’altres. 

Externament, un actuador són dues peces que entre elles només tenen el GL a controlar (en el cas d’actuador rotacionals, aquestes peces s’anomenen '''estator''' i '''rotor'''). Quan s’insereix entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math>, la manera com es connecta als sòlids determina els GL eliminats entre ells. En aquest curs, la massa dels actuador es considera negligible sempre. 

La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> , doncs, es descriu mitjançant una força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o un parell <math>\Gamma</math> (o moment), segons que es tracti d’un actuador lineal o rotacional, i un torsor d’enllaç. 

Hi ha dues maneres de descriure el sistema format per <math>\mathrm{S}1</math>, <math>\mathrm{S}2</math>, <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math>: 

* Opció 1: Es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a dos sòlids més del sistema. Entre elles, el torsor de l’enllaç directe es caracteritza com si l’actuador estigués desactivat (permetent el GL que controla entre les dues peces quan està activat). Tant si l’actuador és lineal com si és rotacional, el torsor d’enllaç conté 5 components independents. A més, entre <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> hi ha la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math>. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{P}1</math>, i entre <math>\mathrm{S}2</math> i <math>\mathrm{P}2</math> es descriu mitjançant l’enllaç corresponent. 

* Opció 2: Es considera l’actuador desactivat, i es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']]. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> queda explicada llavors mitjançant el torsor de l’enllaç indirecte associat a aquesta cadena de SAEs, i la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math> .

====✏️ Exemple D3.15: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-15-1-cat.png|thumb|left|260px|link=]]

|L’actuador lineal, de massa negligible, actua entre terra i pèndol, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 1.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i el pèndol. 
|}
Opció 1 

Ja que la peça 1 de l’actuador està enganxada a terra, es poden considerar com a una de sola. La peça 2, en canvi, no està enganxada sinó articulada al pèndol. 

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització a <math>\Os</math> dels dos enllaços és immediata: 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

Opció 2 

El torsor de l’enllaç indirecte entre terra i pèndol a través de l’actuador es pot caracteritzar analíticament: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}} \cdot \vvec_\mathrm{terra} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os) \cdot \velang{pèndol}{terra}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}}{}=\vector{0}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{0}</math> 

:En aquest cas, la caracterització a <math>\Os</math> és immediata. 

:Les interaccions entre terra i pèndol per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


====✏️ Exemple D3.16: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-16-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]

|L’actuador lineal actua entre el suport i l’hèlix, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 2 (la qual cosa fa girar l’hèlix sempre i quan no es passi per configuracions singulars – per exemple, quan la direcció de l’actuador és vertical i passa per <math>\Os</math>). Es tracta de descriure la interacció entre el suport i l’hèlix.

|}
Opció 1 
Cap de les peces que formen l’actuador és fixa al suport ni a l’hèlix. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]] 

La caracterització dels tres enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os')}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

 

Opció 2 

: El torsor de l’enllaç indirecte entre suport i hèlix a través de l’actuador és nul: en haver-hi ròtules esfèriques als dos extrems de l’actuador, el punt <math>\Os</math> podria tenir velocitat en totes les direccions respecte del suport. 

:La interacció entre suport i hèlix a través de l’actuador es redueix a una força (que és la que fa l’actuador quan està activat): 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
 

====✏️ Exemple D3.17: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-17-1-cat,esp.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor, de massa negligible, actua entre terra i anella, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i l’anella. 

Opció 1 

En aquest cas, l’estàtor (P1) és fix a terra, i el rotor (P2) és fix a l’anella. Per tant, només té sentit l’opció 1. 

Les interaccions entre terra i anella per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-17-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]]

El torsor de l’enllaç entre terra (+P1) i anella (+P2) és el que correspon a una articulació, i la seva caracterització és immediata: 

<center>
<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math>
</center>
|}


====✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-18-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor actua entre la forquilla i la roda, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre la forquilla i la roda. 
|}
Opció 1 

Una de les peces que formen l’actuador (el rotor) és fixa la roda. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització dels dos enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

Opció 2 

:La caracterització del torsor d’enllaç entre forquilla i roda a través del motor és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}} \cdot \vvec_\mathrm{forq} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os) \cdot \velang{roda}{forq}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{M}_3}</math> 

:La interacció entre forquilla i roda a través del motor es resumeix en el diagrama següent: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D2. Forces d’interacció entre partícules|<<< D2. Forces d’interacció entre partícules]]

[[D4. Teoremes vectorials|D4. Teoremes vectorials >>>]]
</center>

D3. Interaccions entre sòlids rígids

2024-04-25T13:26:14Z

Ebosch: /* Caracterització analítica del torsor d’enllaç entre dos sòlids rígids \mathrm{S}1 i \mathrm{S}2 */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
</math>
Com s’ha vist a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules|'''unitat D2''']], les interaccions entre parelles de partícules <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> queden descrites per una única força de direcció <math>\overline{\Ps \Qs}</math> . Quan la interacció és entre parelles de sòlids rígids (que es poden considerar com a dos conjunts d’infinites partícules), la descripció partícula a partícula portaria a treballar amb un sistema d’infinites forces. En aquest cas, cal passar a una descripció compacta d’aquest sistema de forces que retingui, però, la informació necessària per estudiar la dinàmica dels sòlids rígids: el sistema de forces es substitueix per un '''torsor resultant'''. 

Aquesta unitat introdueix el concepte de '''torsor associat a un sistema de forces''', i després l’aplica a les diverses interaccions entre sòlids (a distància, de contacte i per mitjà d’elements intermedis).

-----------
-----------
==D3.1 Torsor associat a un sistema de forces==
La reducció d’un sistema de forces sobre un sòlid rígid a un torsor és absolutament necessària quan el nombre de forces és molt elevat (infinit). Quan es tracta d’un sistema de poques forces, sol ser opcional. 

Una operació matemàtica eficaç per reduir el nombre de forces sobre un sòlid S és la suma: per molt elevat que sigui el nombre de forces, la suma condueix a una única '''força resultant'''. Aquesta reducció dràstica, però, implica una pèrdua d’informació essencial en molts casos. Sempre i quan no interessi estudiar la deformació dels objectes (és a dir, quan només s’estudiï la dinàmica de sòlids rígids), això es resol afegint un segon vector a la descripció compacta del sistema: el '''moment''' (o '''parell''') '''resultant respecte d’un punt''' <math>\Qs</math>. El conjunt d’aquests dos vectors és el '''torsor del sistema de forces en el punt''' <math>\Qs</math> ('''Figura D3.1'''). 

[[Fitxer:D3-1-cat.png|thumb|center|370px|link=]]
<center>'''Figura D3.1''' Torsor associat a un sistema de forces que actuen sobre un sòlid rígid.
</center> 

A tall d’exemple, considerem el cas d’una barra rígida inicialment en repòs que se sotmet a un sistema de forces amb força resultant nul·la. La '''Figura D3.2''' presenta tres situacions diferents que corresponen a aquesta resultant: ('''a''') lliure de forces, ('''b''') forces paral·leles a la barra, ('''c''') forces perpendiculars a la barra. En els dos casos primers ('''a''', '''b'''), el sistema de forces no modifica l’estat de repòs. En el tercer ('''c'''), les forces provoquen una rotació horària de la barra. El torsor resultant en qualsevol punt permet distingir entre ('''c''') i ('''a''', '''b'''). 

[[Fitxer:D3-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.2''' Barra rígida sotmesa a una força resultant nul·la.
</center> 

La força resultant no depèn mai del punt on es calcula el torsor. En canvi, el moment resultant en general sí que en depèn ('''Figura D3.3'''). 

[[Fitxer:D3-3-neut.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.3''' Barra rígida sotmesa a dues forces de valor diferent.
</center> 

El torsor resultant es representa en el punt on s’ha calculat el moment resultant ('''Figura D3.4'''). 

[[Fitxer:D3-4-neut.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.4''' Torsors a diferents punts per a l’exemple de la barra rígida de la '''Figura D3.3'''.
</center>
El moment resultant en un punt <math>\Qs’</math> es pot obtenir a partir del torsor en un punt <math>\Qs</math>: 

<math>\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs ')=\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs) + \overline{\Qs '\Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs</math>

<div>
=====💭 Demostració ➕=====


:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)=\sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is</math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\sum \overline{\Qs ' \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum (\overline{\Qs ' \Qs}+\overline{\Qs \Ps_\is}) \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum \overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\is + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\overline{\Qs ' \Qs} \times (\sum \overline{\mathbf{F}}_\is) + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is </math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs+\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)</math>

</div>

-----------
-----------

==D3.2 Atracció gravitatòria==
El càlcul del torsor resultant gravitatori sobre un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> per causa d’un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> no és senzill. La força gravitatòria resultant sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) prové de les forces (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> ) que cada diferencial de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> exerceix sobre <math>\Ps</math> ('''Figura D3.5'''). El torsor resultant sobre <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> s’obté a partir de totes aquestes forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> sobre tots els diferencials de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> . 

[[Fitxer:D3-5-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
<center><math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> és la suma de totes les <math>\mathbf{F}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math>
</center>
<center>'''Figura D3.5''' Càlcul de la força total gravitatòria del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> (<math> \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math>.
</center> 

Quan es tracta de l’atracció gravitatòria terrestre (<math>\mathrm{S}_\mathrm{Q} = \mathrm{Terra}</math>) sobre un sòlid de petites dimensions comparades amb les de la Terra i prop de la superfície terrestre, és usual emprar l’aproximació de camp uniforme: les forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> pràcticament paral·leles entre elles i el seu valor és <math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps} = \mathrm{gdm}(\Ps)</math> , amb <math>\mathrm{g}</math> constant i igual al camp gravitatori a la superfície terrestre:<math>\mathrm{g}=\mathrm{G}_0 \frac{\mathrm{M}_\Ts}{\Rs_\Ts^2}</math>(on <math>\mathrm{G}_0</math> és la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.3 Atracció gravitatòria|'''constant universal de gravitació''']], i <math>\mathrm{M}_\Ts</math> i <math>\Rs_\Ts</math> són la massa i el radi de la Terra, respectivament). En aquest cas, es pot demostrar que existeix un punt de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> en el qual el torsor gravitatori es redueix a una força resultant <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{T}} \rightarrow \mathrm{S}_{\mathrm{P}}}</math> de valor mg (on m és la massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> ) dirigida cap al centre de la terra, i un moment resultant gravitatori nul. Aquest punt s’anomena '''centre de gravetat''' del sòlid, es representarà amb la lletra '''G''' ('''Figura D3.6'''). 

[[Fitxer:D3-6-cat.png|thumb|center|600px|link=]]
<center>'''Figura D3.6''' Atracció gravitatòria terrestre sobre un sòlid rígid en l‘aproximació de camp uniforme.
</center>

-----------
-----------
==D3.3 Interacció per mitjà de molles i amortidors==
===Molles i amortidors lineals===
Quan una molla o un amortidor lineal connecta dos punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> de dos sòlids diferents, cal assegurar que la connexió es fa de manera que la força que es transmet entre els punts té la direcció de l’element, i que no es transmet cap moment (o parell). 

En alguns casos, això es pot aconseguir inserint l’element entre dos trams de fil inextensible ('''Figura D3.7a'''). En aquest cas, la força que introdueix entre els punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> només pot ser d’atracció (a causa del caràcter unilateral de l’actuació del fil). 

En d’altres casos, cal recórrer a unions mitjançant [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''articulacions''']] (si es tracta d’un problema pla, '''Figura D3.7b''') o [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''ròtules esfèriques''']] (si és un problema 3D). 

[[Fitxer:D3-7-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D3.7''' Molles i amortidors lineals connectats a dos sòlids rígids diferents.
</center>

====✏️ Exemple D3.1: força de repulsió d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------

[[Fitxer:ExD3-1-1-neut.png|thumb|left|175px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, actua entre el suport fix a terra i un eix vertical que està en contacte amb la barra. Per a <math>\theta = 0</math> , el sistema està en equilibri, i la força que la molla exerceix entre els seus extrems és <math>\mathrm{F}_0</math> . 

:En absència de molla, la barra, que està articulada al suport al punt <math>\mathbf{O}</math>, tendiria a caure (rotació horària). Si per a <math>\theta = 0</math> hi ha equilibri, la molla ha d’estar fent necessàriament una repulsió entre els seus extrems en aquesta configuració. Per tant, el més lògic és calcular l’expressió de la força de la molla per a una configuració general com a força repulsiva: 

<math> \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}= \mathrm{F}_0 - \mathrm{k}\Delta\rho=\mathrm{F}_0-\mathrm{k}[\rho(\theta) - \rho(\theta=0)]</math>. 

L’increment <math>\Delta \rho </math> de llargària de la molla a partir de l’equilibri és proporcional a la tangent de l’angle:<math>\mathrm{tan}\theta=\Delta\rho/\mathrm{L}</math>. Per tant: <math>\mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}=\mathrm{F}_0-\mathrm{kL}\mathrm{tan}\theta</math>. 

La força de repulsió de l’amortidor s’obté a partir de l’allargament anterior per derivació: 

<math>\rho=\mathrm{Ltan}\theta \Rightarrow \dot{\rho} = \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c}\dot{\rho}=-\mathrm{c} \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta}</math>


====✏️ Exemple D3.2: força d’atracció d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------


[[Fitxer:ExD3-2-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, té un extrem fix al xassís del vehicle, i l’altre a un fil que s’enrotlla al damunt d’un corró de radi <math>\rs</math> solidari a la roda de radi <math>2\rs</math>, que no llisca al damunt del terra. Per a <math>\xs = 0</math> , la molla està estirada i exerceix una força <math>\mathrm{F}_0</math> entre els seus extrems.
[[Fitxer:ExD3-2-2-cat.png|thumb|right|220px|link=]]
:La coordenada <math>\xs</math> descriu la posició del xassís respecte del terra, i per tant també la del centre de la roda de radi <math>2\rs</math>. En tenir la molla un extrem lligat a un fil que s’enrotlla al corró, el desplaçament d’aquest extrem respecte del terra es pot obtenir per integració de la seva velocitat. 

:Vistes les velocitats dels dos extrems de la molla, és evident que s’escurça. La velocitat d’escurçament entre els extrems és: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{3}{2}\dot{\xs}-\dot{\xs}=\frac{1}{2}\dot{\xs}</math>, i per tant, l’escurçament de la molla a partir de la configuració <math>\xs = 0</math> és:<math>\frac{1}{2}\xs(=-\Delta \rho)</math> 

:L’expressió de la força d’atracció de la molla (ja que la <math>\mathrm{F}_0</math> és una atracció ja que la molla està estirada per a <math>\xs = 0</math> ) és:<math>\mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{molla}} + \mathrm{k}\Delta \rho = \mathrm{F}_0 - \frac{1}{2}\mathrm{k}\xs </math> 

:La força d’atracció de l’amortidor s’obté a partir de la velocitat l’escurçament que ja s’ha trobat: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{1}{2}\dot{\xs} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c} \dot{\rho}=-\frac{1}{2} \mathrm{c} \dot{\xs}</math>


===Molles i amortidors torsionals===

Les '''molles''' i els '''amortidors torsionals''' introdueixen moments però no forces entre els dos sòlids que connecten. Igual que en el cas dels elements lineals, la unió a cadascun dels sòlids ha de garantir que només es transmet un moment en una direcció determinada. Igual que en els casos dels elements lineals, les maneres d’aconseguir-ho són diverses. 

Quan les molles i els amortidors torsionals són de comportament lineal, l’increment de moment que introdueixen entre els sòlids, quan l’orientació relativa entre ells s’incrementa en un angle <math>\Delta \theta</math>, és proporcional a <math>\Delta \theta</math> i <math>\dot{\theta}</math>, respectivament ('''Figura D3.8'''). 

[[Fitxer:D3-8-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.8''' Formulació de molles i amortidors torsionals de comportament lineal.
</center>

-----------
-----------

==D3.4 Interaccions d’enllaç directes==
Les interaccions directes d’enllaç entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math> es produeixen quan estan en contacte, i provenen de les petites deformacions locals dels sòlids en la zona de contacte. Des del punt de vista macroscòpic, això es tradueix en impenetrabilitat i rugositat dels sòlids. Com ja s’ha comentat a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|'''secció D2.7''']], en tractar aquest curs de la dinàmica d’objectes rígids, les deformacions no es formulen, i per tant les forces associades són incògnites del problema dinàmic. 

Quan els enllaços impliquen sòlids, cal precisar si són llisos o rugosos. Una superfície llisa no pot impedir que un element llisqui respecte d’ella tot mantenint-hi contacte, mentre que una de rugosa sí que ho pot impedir. Això té una conseqüència directa en la caracterització de l’enllaç. 

Com a introducció a la caracterització d’enllaços entre sòlids, és útil considerar el cas més senzill del contacte puntual.

Considerem dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> que mantenen un contacte puntual entre ells. Els punts de contacte són <math>\Ps_1</math> i <math>\Ps_2</math> , respectivament. La caracterització de l’enllaç que <math>\mathrm{S}2</math> fa sobre <math>\Ps_1</math> (o que <math>\mathrm{S}1</math> fa sobre <math>\Ps_2</math> ) s’obté de manera anàloga a la de l’[[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|enllaç partícula-sòlid]] ('''Figura D3.12'''). El valor límit de força tangencial d'enllaç també s'obté com en el cas [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.8 Fricció|partícula-sòlid]]

[[Fitxer:D3-12-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.12''' Caracterització de l’enllaç puntual del sòlid <math>\mathrm{S}_2</math> sobre el sòlid <math>\mathrm{S}_1</math>.
</center> 
Quan l’enllaç entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> és multipuntual, la condició d’ortogonalitat entre força d’enllaç i velocitat permesa es pot aplicar a cada punt on es produeix contacte (la qual cosa implica acceptar que l’enllaç multipuntual es pot obtenir com a superposició d’enllaços puntuals independents). De vegades, això condueix a un nombre de components de forces d’enllaç elevat (fins i tot infinit, si el contacte es produeix al llarg d’un tram lineal o superficial continu), i cal reduir el sistema de forces a un torsor resultant d’enllaç. En alguns casos, aquesta reducció es pot obtenir molt fàcilment a partir de la descripció de l’enllaç punt a punt. 

Si bé és possible calcular el torsor d’un sistema de forces en qualsevol punt ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]), quan es tracta de torsors d’enllaç és convenient que aquest punt pertanyi al sòlid sotmès al sistema de forces en qüestió, perquè d’això sen deriva una propietat important.

====✏️ Exemple D3.3: torsor d’enllaç en un contacte bipuntual====
---------

[[Fitxer:ExD3-3-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El bloc manté contacte bipuntual amb un terra llis, i es mou només en un pla. 
[[Fitxer:ExD3-3-2-neut.png|thumb|right|175px|link=]]
:La descripció de l’enllaç com a superposició de dos enllaços puntuals condueix a dues forces normals: Si només hi hagués contacte a <math>\Ps</math>, l’enllaç introduiria només una força a <math>\Ps</math> normal al terra (<math>\Ns_\mathrm{P}</math>); si el contacte fos només a <math>\Qs</math>, introduiria una força a <math>\Qs</math> normal al bloc (<math>\Ns_\mathrm{Q}</math>). Els valors de <math>\Ns_\mathrm{P}</math> i <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> són independents (conèixer <math>\Ns_\mathrm{P}</math> no implica conèixer <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> ). El contacte bipuntual, doncs, introdueix dues incògnites d’enllaç. 

En tractar-se només de dues forces, la reducció a un torsor no és necessària, Per altra banda, aquesta desripció és útil per estudiar les dues condicions límit: <math>\Ns_\mathrm{P}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Ps</math> (per tant, bolcament en sentit horari), mentre que <math>\Ns_\mathrm{Q}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Qs</math> (per tant, bolcament en sentit antihorari).

En aquest cas, el torsor associat a aquest sistema de forces no redueix el nombre d’incògnites, que segueix sent 2. La força resultant té dues components independents:

<center>
<math>\left\{\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{T} \rightarrow \text { bloc }}\right\}=\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1 \\
\mathrm{F}_2 \\
0
\end{array}\right\} \text {, amb }\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1=-\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \sin \theta \\
\mathrm{F}_2=\mathrm{N}_{\mathrm{p}}+\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \cos \theta
\end{array}\right. \text {. }</math>
</center>

El moment resultant depèn del punt del bloc on es caracteritza el torsor, i quan no és nul, es pot escriure en funció de les components de força. 

[[Fitxer:ExD3-3-3-cat.png|thumb|center|600px|link=]]

Passar de la descripció punt a punt al torsor no té cap avantatge en aquest cas: no redueix el nombre d’incògnites d’enllaç, i dificulta l’estudi de les condicions límit.


====✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-4-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El corró es troba en contacte amb lliscament sobre un terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La descripció de l’enllaç multipuntual com a superposició d’enllaços puntuals condueix a un conjunt d’infinites forces normals <math>\Ns_{\rightarrow \mathrm{J}}</math> als punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> en la direcció normal al terra (direcció 3). La força resultant d’enllaç sobre el corró, per tant, és també de direcció 3, i ha de ser estrictament positiva ja que és un enllaç unilateral: 

<math>\int_{\mathrm{J} \in \text { corró }} \mathrm{N}_{\rightarrow \mathrm{J}}=\mathrm{N}>0 .</math> 

El moment resultant d’enllaç depèn del punt del corró on es calculi. Si es tria un punt extrem del contacte (<math>\Ps</math> o <math>\Qs</math>), el moment resultant té signe definit: 

<center>
<math>\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{P})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{P J}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2>0 \\
0
\end{array}\right\},\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{Q})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{QJ}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2<0 \\
0
\end{array}\right\} .</math>
</center>
[[Fitxer:ExD3-4-2-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
La descripció de l’enllaç per mitjà del torsor és molt avantatjosa: redueix dràsticament el nombre d’incògnites d’enllaç (passem a tenir-ne només dues). Si el torsor es caracteritza a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math>, l’estudi de la condició límit de bolcament és fàcil: <math>\mathrm{M}_2=0</math>. Si es caracteritza en qualsevol altre punt de la generatriu de contacte, cal passar a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math> per investigar el bolcament.


===Caracterització analítica del torsor d’enllaç entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math>===

La caracterització del torsor d’enllaç entre dos sòlids es pot fer sense passar per la descripció de l’enllaç punt a punt: si el punt de caracterització pertany a un dels dos sòlids, n’hi ha prou en combinar la condició d’ortogonalitat entre força i velocitat a cada punt de contacte amb la cinemàtica de sòlid rígid, i sumar totes les equacions que en resulten ('''Figura D3.13'''). 

[[Fitxer:Opcio-ana.png|thumb|center|7000px|link=]]
<center>
'''Figura D3.13''' Caracterització analítica d’un enllaç multipuntual entre dos sòlids.

</center> 

Els vectors <math>\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \text{ i }\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}</math> es poden treure factor comú. Finalment: 

<math> \Biggl(\sum_\mathrm{J} \overline{\mathbf{F}}_{\rightarrow \mathrm{J}} \Biggl) \cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \Biggr[ \sum_\mathrm{J} (\overline{\mathbf{PJ}} \times \mathbf{F}_{\rightarrow \mathrm{J}}) \Biggr] \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} = 0 \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}=0 </math> 

Aquesta equació és l’equació de '''caracterització analítica''' del torsor d’enllaç. Expressa l’ortogonalitat entre el torsor d’enllaç <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)\bigl\}^\top</math> i el torsor cinemàtic <math>\bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \quad \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}^\top</math> de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>:<math>\left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps)\\
\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}
\end{array}\right\} =0.</math> 

Aquesta ortogonalitat no implica ortogonalitat entre força i velocitat per una banda, i entre moment i velocitat angular per l’altra. En principi,<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \neq 0 \text{, } \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \neq 0 </math>. 

Quan es fa servir l’equació de caracterització analítica, cal considerar inicialment que tant la força com el moment resultants tenen les tres components no nul·les. Pel que fa al torsor cinemàtic, cal escriure les seves components no nul·les en funció dels GL de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>. 

Per altra banda, en aparèixer multiplicades escalarment la força i la velocitat del punt per una banda, i el moment i la velocitat angular per l’altra, es poden fer servir bases vectorials diferents per a cadascun d’aquests productes escalars, doncs el seu resultat no depèn de la base: 

<math>\bigl\{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \bigl\}_\mathrm{B} \cdot \bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B} + \bigl\{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B'} \cdot \bigl\{\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}_\mathrm{B'} </math>

====✏️ Exemple D3.5: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-5-1-cat.png|thumb|left|165px|link=]]
:El corró no llisca sobre el terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe del terra sobre el corró, al punt <math>\Ps</math> és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}
\cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} =0</math> 

Totes les components del torsor d’enllaç tret de <math>\mathrm{M}_1</math> poden tenir qualsevol valor, doncs van multiplicades per zero. En canvi, com que <math>\Omega_1</math> no és zero en principi, <math>\mathrm{M}_1</math> ha de ser zero per tal de que es compleixi l’equació d’ortogonalitat. Així doncs, el torsor resultant d’enllaç és: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps)\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad \mathrm{M}_2 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top . </math> 

Com s'ha comentat a l’[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua|'''exemple D3.4''']], M2 ha de ser positiu. Un valor negatiu seria indicatiu de bolcament. 

Les cinc components no nul·les són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL del corró respecte de <math>\mathrm{S}</math> és 6. 

El torsor del mateix enllaç en un punt diferent es pot obtenir bé aplicant novament l’equació de caracterització analítica bé a partir del torsor a <math>\Ps</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). Per exemple, per al punt <math>\mathbf{C}</math> aquests dos mètodes condueixen a: 

* Caracterització analítica: <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\mathbf{C}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\mathbf{C}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math>

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_2 = - \rs \Omega_1\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
...\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math>

:<math>(-\rs \mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1)\Omega_1 =0 \quad \Rightarrow \quad -\rs\mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1=0 </math> 

Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

* Obtenció a partir del torsor a <math>\Ps</math>: <math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{P})+ \overline{\mathbf{CP}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} </math> 

:<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\}+ \left\{\begin{array}{c}
0\\
0 \\
-\rs
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
\rs \mathrm{F}_2\\
\mathrm{M}_2 - \rs \mathrm{F}_1 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math> 

:Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

El nombre de components no nul·les del torsor a <math>\mathbf{C}</math> és 6, però el nombre de components independents és 5, doncs hi ha una relació de dependència entre <math>\mathrm{M}_1</math> i <math>\mathrm{F}_2</math> . Per tant, segueix complint-se que el nombre de components independents de torsor més el de GL és 6.

====✏️ Exemple D3.6: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte puntual sense lliscament====
---------
[[Fitxer:ExD3-6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:La bola de radi r no llisca dins la cavitat esfèrica. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe de la cavitat sobre la bola, al seu centre <math>\mathbf{G}</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{cav}(\mathbf{G}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{cav}^\mathrm{bola}=0 </math> 

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{v}_1\\
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
\Omega_2\\
\Omega_3
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
... \\
...
\end{array}\right\} </math>

En no haver-hi lliscament al punt de contacte, les components de velocitat <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> són proporcionals a <math>\Omega_3</math> i <math>\Omega_1</math> , respectivament: <math>\mathrm{v}_1=-\rs \Omega_3</math>, <math>\mathrm{v}_3=\rs \Omega_1</math> (el signe negatiu de la primera igualtat indica que una <math>\Omega_3</math> positiva genera una <math>\mathrm{v}_1</math> negativa). Substituïnt a l’equació de caracterització i desenvolupant el producte escalar (sense incloure la component <math>\mathrm{F}_2</math> , perquè va multiplicada per zero): 

<math>(-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3) \Omega_3 + (\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1) \Omega_1 + \mathrm{M}_2\Omega_2=0. </math> 

Com que les tres rotacions són independents, els coeficients que les multipliquen han de ser zero perquè l’equació es compleixi per a qualsevol valor de <math>\Omega_3</math> i de <math>\Omega_1</math>: <math>-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3=0</math> ,<math>\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1</math> , <math>\mathrm{M}_2=0</math>. 

Finalment:

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad \mathrm{M}_1 \quad 0 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top</math>, amb <math>\mathrm{M}_3=\rs \mathrm{F}_1</math> i <math>\mathrm{M}_1=-\rs \mathrm{F}_3.</math> 

El torsor té cinc components no nul·les, però només tres són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL de la bola respecte de la cavitat és 6. 

Aquest torsor també es pot obtenir a partir de la caracterització a <math>\mathbf{J}</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). En tractar-se d’un contacte puntual sense lliscament, a <math>\mathbf{J}</math> hi ha tres components de força d’enllaç i cap moment: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{J})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad 0 \quad 0 \bigl\}^\top</math> 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{J})+ \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} = \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}</math> 

<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} = \left\{\begin{array}{c}
0\\
-\rs\\
0
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
-\rs \mathrm{F}_3\\
0 \\
\rs \mathrm{F}_1
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
0 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} </math> 

-----------

Com s’ha vist als exemples anteriors, l’equació de caracterització analítica garanteix que la suma del nombre de components independents del torsor d’enllaç entre dos sòlids i del nombre de GL relatius entre els sòlids és sempre 6:

<center><math>\boxed{\text{comps. indeps. torsor + GL relatius = 6}}</math></center>

===Caracterització immediata del torsor d’enllaç===

Quan es tria un punt <math>\Ps</math> de caracterització la velocitat del qual,<math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math>, és independent de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math>, i una base vectorial tal que les components de <math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math> són independents entre elles i les de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math> també, la '''caracterització és immediata''': a cada component nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component no nul·la del torsor dinàmic, i a cada component no nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component nul·la del torsor dinàmic.

====✏️ Exemple D3.7: caracterització immediata del torsor d’enllaç en un contacte multipuntual continu====
---------

[[Fitxer:ExD3-7-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La mola cònica no llisca sobre el terra cònic (T). La caracterització del torsor de l’enllaç directe del terra sobre qualsevol dels punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> de la mola amb el terra pot ser immediata, perquè <math>\vvec_\mathrm{T}(\mathbf{J})</math> independentment de la velocitat angular mola <math>\velang{mola}{T}</math> . 

Perquè ho sigui realment, cal triar una base vectorial per expressar el moment d’enllaç tal que els components de mola <math>\velang{mola}{T}</math> siguin independents. Ja que la direcció de mola <math>\velang{mola}{T}</math> està unívocament determinada (la mola te 1 GL respecte del terra), qualsevol base que tingui un eix paral·lel a l’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la mola és adequada: 

[[Fitxer:ExD3-7-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]] 
:Finalment: <math>\braq{\fvec{T}{mola}}{} = \vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{T}{mola}(\mathbf{J})}{} = \vector{\mathrm{M}_1}{0}{\mathrm{M}_3}.</math>


====✏️ Exemple D3.8: caracterització del torsor d’enllaç d’una unió helicoïdal====
---------

[[Fitxer:ExD3-8-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La caracterització del torsor de l’enllaç directe de la femella de la unió helicoïdal sobre el mascle no pot ser directa, 

En una unió helicoïdal, no hi ha cap punt del mascle que tingui velocitat respecte de la femella independent de la rotació entre les dues peces. Per tant, la caracterització immediata no és possible. 

Si es tria com a punt de caracterització qualsevol punt <math>\mathbf{O}</math> de l’eix 3, la caracterització analítica condueix a: 

<math>\fvec{femella}{mascle}\cdot \vvec_\mathrm{femella}(\mathbf{O})+ \mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O}) \cdot \velang{mascle}{femella}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{\mathrm{v}_3}+\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}\vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{...}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{...}.</math> 

La velocitat d’<math>\mathbf{O}</math> al llarg de l’eix és directament proporcional a la rotació per mitjà del pas de rosca e. Ja que <math>\Omega_3</math> es mesura en rad/s, <math>\mathrm{v}_3</math> en m/s, i e es dóna en mm/volta, cal fer una conversió d’unitats: 

<math>\mathrm{v}_3\left[\frac{\ms}{\ss}\right] = \Omega_3\left[\frac{\mathrm{rad}}{\ss}\right]\es\left[\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{ volta}}\right]\frac{1 \ms}{10^3 \mathrm{ mm}}\frac{1 \mathrm{volta}}{2 \pi \mathrm{ rad}} \Rightarrow \mathrm{v}_3= \Omega_3 \frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3}</math> 

Finalment: <math>\braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{M}_3= -\frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3} \mathrm{F}_3 </math>


===Torsors d'enllaç associats als enllaços directes habituals entre sòlids rígids===

Els [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''enllaços habituals entre parelles de sòlids rígids''']] s’han analitzat des del punt de vistacinemàtic. A partir d’aquesta descripció, es poden caracteritzar els torsors d’enllaç corresponents ('''Figura D3.14'''). 

[[Fitxer:D3-14-TABLE-cat.png|thumb|center|670px|link=]]
<center>
'''Figura D3.14''' Caracterització immediata dels enllaços directes habituals

</center> 

En els sistemes multisòlid formats únicament per sòlids rígids amb massa no negligible connectats mitjançant aquests enllaços habituals, la descripció dinàmica dels enllaços es fa considerant per separat cada parella de sòlids connectats com si la resta d’elements del sistema no hi fos.

====✏️ EXEMPLE D3.9: anàlisi d’incògnites en un sistema multisòlid====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-9-1-cat.png|thumb|left|300px|link=]] 

|El sistema multisòlid conté 5 enllaços habituals: 

* 3 enllaços de revolució (o articulacions)
* 1 enllaç cilíndric
* 1 enllaç esfèric (o ròtula esfèrica) 

Tenint en compte que una articulació introdueix 5 components independents de torsor d’enllaç, un enllaç cilíndric n’introdueix 4, i un d’esfèric 3, en el sistema hi ha un total de 22 incògnites d’enllaç.
|}


-----------
-----------

==D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç==
En els sistemes multisòlid, és freqüent que alguns sòlids tinguin massa negligible comparats amb els altres i que no reben altres forces que les d’enllaç amb altres sòlids. Aquests sòlids s’anomenen '''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''' ('''SAE'''), i se’ls pot donar un tractament particular quan es tracta de caracteritzar enllaços. 

La '''Figura D3.15''' presenta un sòlid <math>\mathrm{S1}</math> en contacte amb un sòlid <math>\mathrm{S}</math> de massa negligible, que no està sotmès a cap força que no sigui d’enllaç, en dues situacions diferents: <math>\mathrm{S}</math> només en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math> ('''Figura D3.15a''') i <math>\mathrm{S}</math> en contacte amb dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> ('''Figura D3.15b'''). 

[[Fitxer:D3-15-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.15''' Interacció entre sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i<math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’un sòlid auxiliar d’enllaç (SAE).

</center> 

En absència de <math>\mathrm{S2}</math> i, la presència de <math>\mathrm{S}</math> (en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math>) és dinàmicament irrellevant: <math>\mathrm{S}</math> no representa cap obstacle per moure <math>\mathrm{S1}</math>. Conseqüentment, <math>\mathrm{S}</math> no és capaç d’introduir cap força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Però quan <math>\mathrm{S}</math> interconnecta <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, <math>\mathrm{S}</math> esdevé un transmissor: <math>\mathrm{S2}</math> pot ser un obstacle quan es tracta de provocar certs moviments de <math>\mathrm{S1}</math>, i això es tradueix en forces d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Com a cas senzill per il·lustrar-ho, la '''Figura D3.16''' mostra dos exemples (que considerarem plans) on dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> sobre un pla llis estan connectats a través d’una barra de massa negligible (comparada amb la de <math>\mathrm{S1}</math> i la de <math>\mathrm{S2}</math>) articulada en els dos extrems:<

(a) les articulacions són perfectes (sense frec) 

(b) una de les articulacions té un molla torsional associada 

[[Fitxer:D3-16-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.16''' Enllaç indirecte entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’una barra <math>\mathrm{S}</math> articulada de massa negligible.

</center> 

En el cas (a), la barra és un SAE (no està sotmesa a cap força que no sigui d’enllaç). Provocar velocitat del punt <math>\mathbf{O}</math> de <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra implica moure <math>\mathrm{S}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> . En canvi, moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció ortogonal a la barra provoca moviment de <math>\mathrm{S}</math> però no de <math>\mathrm{S2}</math> , mentre que fer girar <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> no provoca el moviment cap dels dos (ni de <math>\mathrm{S}</math> ni de <math>\mathrm{S2}</math> ). En conseqüència, només té sentit associar una força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra. El responsable d’aquesta força no és <math>\mathrm{S}</math> sinó <math>\mathrm{S2}</math> : quan es tracta de caracteritzar l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> s’ha devaluar des de <math>\mathrm{S2}</math>. Es diu que entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> hi ha un '''enllaç indirecte a través del SAE'''. 

En el cas (b), la barra no és un SAE perquè està sotmesa a una interacció que no és d’enllaç (la de la molla). Com en el cas (a), moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció de la barra obliga a moure <math>\mathrm{S2}</math> . Però ara, el moviment de <math>\mathbf{O}</math> en direcció perpendicular a la barra obliga a deformar la molla, la qual actua sobre <math>\mathrm{S2}</math> i el fa bellugar. El moviment de rotació de <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> segueix sent possible sense haver de moure <math>\mathrm{S2}</math> ni deformar la molla. En la caracterització de l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , cal avaluar la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> de manera que <math>\mathbf{O}</math> no tingui velocitat : cal avaluar-la des de S. 

====✏️ Exemple D3.10: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-10-1-cat -nou.png|thumb|left|250px|link=]]
El carretó té 2 GL lliures respecte del terra (translació longitudinal i rotació vertical). Si la massa dels tres elements (rodes i xassís) és comparable, la representació simplificada del sistema i el nombre d’incògnites d’enllaç que conté és la següent: 

[[Fitxer:ExD3-10-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
En total, doncs, el sistema conté 17 incògnites d’enllaç. 

Aquest nombre es pot reduir en el cas que la massa de les rodes sigui negligible (comparada amb la del xassís): el xassís passa a tenir tres enllaços amb el terra, un de directe i dos d’indirectes a través de les rodes, que són SAE. El nombre d’incògnites que introdueix un d’aquests enllaços indirectes no és sempre evident a priori, i és aconsellable caracteritzar-lo analíticament. Cal recordar, però, que la cinemàtica que es descriu correspon a la que té el xassís respecte del terra com si només hi actués l’enllaç que es considera. En aquest cas, doncs, en la caracterització de l’enllaç indirecte entre terra i xassís a través de les rodes cal avaluar la cinemàtica com si el contacte directe amb el terra (a la part del davant del xassís) no hi fos. 

[[Fitxer:ExD3-10-3-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al seu centre <math>\mathbf{C}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Cs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad</math>

<math>\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs)}{}= \overline{0}</math>

El nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 

La caracterització també es pot fer al punt <math>\Os</math> (punt mig de l’eix de les rodes), doncs també pertany a la roda. Les components de la força han de ser les mateixes, però les del moment poden canviar. 

Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> només són possibles si hi ha rotació <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_1=\rs\Omega_2 </math> ,<math>\mathrm{v}_3=\Ls\Omega_2 </math> . Si s’introdueixen aquestes relacions i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>(\rs \mathrm{F}_1 + \Ls \mathrm{F}_3 +\mathrm{M}_2')\Omega_2+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+\mathrm{M}_1'\Omega_1+\mathrm{M}_3'\Omega_3=0</math> 

Ja que <math>(\mathrm{v}_2,\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3)</math> són independents, els coeficients de cadascuna d’aquestes velocitats ha de ser zero. Per tant, l’enllaç indirecte introdueix només 2 incògnites: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2'}{0}</math>, amb <math>\mathrm{M}_2'=-\rs \mathrm{F}_1 -\Ls\mathrm{F}_3</math> 

A aquest resultat també es podria haver arribat a partir de la relació que hi ha entre torsors associats a la mateixa interacció però en punts diferents ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]): 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)= \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) + \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} = \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} </math> , 

<math>\vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} = \vector{\Ls}{0}{-\rs} \times \vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} = \vector{0}{-\rs\mathrm{F}_1 -\Ls \mathrm{F}_3}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç segueix sent 5. 

Finalment, una altra opció és caracteritzar l’enllaç del terra sobre el xassís per mitjà de els dues rodes simultàniament. 

[[Fitxer:ExD3-10-4-cat.png|thumb|right|200px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de les dues rodes, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1''}{\mathrm{F}_2''}{\mathrm{F}_3''}\vector{0}{\mathrm{v}_2}{0}+ \vector{\mathrm{M}_1''}{\mathrm{M}_2''}{\mathrm{M}_3''} \vector{\Omega_1}{0}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents:

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1''}{0}{\mathrm{F}_3''} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2''}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç es redueix a 4.


====✏️ Exemple D3.11: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-11-2-cat.png|thumb|right|270px|link=]]
{|
[[Fitxer:ExD3-11-1-cat.png|thumb|left|210px|link=]]

|La placa té el vèrtex <math>\Ps</math> obligat a moure’s dins la guia, i el punt <math>\Qs</math> connectat al punt <math>\Os</math> del terra (T) mitjançant una barra amb articulacions als extrems. El sistema té només 1 GL, descrit per mitjà de <math>\dot{\theta}</math>. 

Si es considera el problema només en dues dimensions i cap element té massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 
|}
{|
|[[Fitxer:ExD3-11-3-cat.png|thumb|left|215px|link=]]
|Si la barra és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la placa per mitjà de la barra al punt <math>\Qs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Qs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
\Omega_1
\end{array}\right\}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
...
\end{array}\right\}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació de la barra, però no de la de la placa: en haver-hi una articulació a <math>\Qs</math>, la placa pot fer un moviment de translació circular quan la barra gira. Per tant, es tracta d’una caracterització immediata: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
0
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
0
\end{array}\right\}</math> 
|}


====✏️ Exemple D3.12: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-12-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-2-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-3-cat.png|thumb|left|150px|link=]]

La bola té 4 GL lliures respecte del terra (translacions al llarg de l’eix r-r’ i de l’eix 2, rotacions al voltant de l’eix r-r’ i de l’eix 2). Si no hi ha cap element de massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 8. 

Si l’element T és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la bola per mitjà d’aquest element al punt <math>\Gs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs) \cdot \velang{bola}{T}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{...}{\mathrm{M}_3}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> només és possible si l’element T (i per tant la bola) giren amb <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_3=-\xs\Omega_2</math>. Si s’introdueix aquesta relació i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>\mathrm{F}_1\mathrm{v}_1+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+(-\xs\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2)\Omega_2+\mathrm{M}_1\Omega_1</math> 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math> 

Tot i que el torsor a <math>\Gs</math> té tres components no nul·les, d’independents només n’hi ha dues.


---------
 

Un cas paradigmàtic en què la dimensió es redueix dràsticament és el del '''coixinet de boles''' ('''Figura D3.17'''). Si es tracta el problema com a pla i les N boles no es consideren SAE, el nombre d’incògnites d’enllaç del sistema és 4N (cada bola manté contacte puntual sense llisament amb els dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, i en el cas pla,el contacte puntual es redueix a dues incògnites d’enllaç). Si es tracten com a SAE, l’enllaç indirecte entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> a través de les boles es redueix a dues incògnites d’enllaç. 

[[Fitxer:D3-17-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.17''' Coixinet de boles.
</center> 

====✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-13-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:El sistema multisòlid té 2 GL respecte del terra: la translació circular de la placa respecte de l’eix i la rotació de tots els elements al voltant de l’eix vertical (permesa pel coixinet). Si cap element té massa negligible, el nombre: total d’incògnites d’enllaç és 25. 

:Si es negligeixen les masses de l’eix i de les dues barres i es tracten com a SAE, el sistema es redueix a un enllaç indirecte: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{...}{\mathrm{M}_3} </math> 

:La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació del conjunt al voltant de l’eix vertical: <math>\mathrm{v}_3=-(\mathrm{h} + \mathrm{Lcos}\theta)\Omega_2</math> . Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_2</math> provenen de la translació circular de la placa, i per tant no són independents: <math>\frac{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}=-\mathrm{tan}\theta</math> 

:Si es desenvolupa el producte escalar tenint en compte aquestes relacions: 

:<math>(-\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta+\mathrm{F}_2)\mathrm{v}_2+ [-(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2]\Omega_2=0, </math> 

:<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta</math> i <math>\mathrm{M}_2=(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3</math> 

:El nombre d’incògnites d’enllaç s’ha reduït a 4.


====✏️ Exemple D3.14: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-14-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:Si al sistema de l’ [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid|'''exemple D3.13''']] se li afegeix una molla torsional amb un extrem lligat a l’eix, el nombre de GL no es modifica, però en la descripció dels enllaços, l’eix no es pot tractar com a SAE encara que la seva massa sigui negligible. Les dues barres, però, segueixen estant sotmeses només a interaccions d’enllaç, i per tant, si es negligeix la seva massa, són SAE: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\mathrm{eix} (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{eix}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{-\mathrm{v}_2\mathrm{tan}\theta}{\mathrm{v}_2}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}, \mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta </math> 

:El nombre total d’incògnites d’enllaç és 10: 5 associades a l’enllaç indirecte que s’acaba de caracteritzar, i 5 més al coixinet entre terra i eix. 

[[Fitxer:ExD3-14-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]


---------
---------

==D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals==
Els actuadors (o accionaments) són elements concebuts per controlar un grau de llibertat (de translació o de rotació) entre dos sòlids i eliminar-ne d’altres. 

Externament, un actuador són dues peces que entre elles només tenen el GL a controlar (en el cas d’actuador rotacionals, aquestes peces s’anomenen '''estator''' i '''rotor'''). Quan s’insereix entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math>, la manera com es connecta als sòlids determina els GL eliminats entre ells. En aquest curs, la massa dels actuador es considera negligible sempre. 

La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> , doncs, es descriu mitjançant una força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o un parell <math>\Gamma</math> (o moment), segons que es tracti d’un actuador lineal o rotacional, i un torsor d’enllaç. 

Hi ha dues maneres de descriure el sistema format per <math>\mathrm{S}1</math>, <math>\mathrm{S}2</math>, <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math>: 

* Opció 1: Es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a dos sòlids més del sistema. Entre elles, el torsor de l’enllaç directe es caracteritza com si l’actuador estigués desactivat (permetent el GL que controla entre les dues peces quan està activat). Tant si l’actuador és lineal com si és rotacional, el torsor d’enllaç conté 5 components independents. A més, entre <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> hi ha la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math>. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{P}1</math>, i entre <math>\mathrm{S}2</math> i <math>\mathrm{P}2</math> es descriu mitjançant l’enllaç corresponent. 

* Opció 2: Es considera l’actuador desactivat, i es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']]. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> queda explicada llavors mitjançant el torsor de l’enllaç indirecte associat a aquesta cadena de SAEs, i la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math> .

====✏️ Exemple D3.15: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-15-1-cat.png|thumb|left|260px|link=]]

|L’actuador lineal, de massa negligible, actua entre terra i pèndol, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 1.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i el pèndol. 
|}
Opció 1 

Ja que la peça 1 de l’actuador està enganxada a terra, es poden considerar com a una de sola. La peça 2, en canvi, no està enganxada sinó articulada al pèndol. 

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització a <math>\Os</math> dels dos enllaços és immediata: 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

Opció 2 

El torsor de l’enllaç indirecte entre terra i pèndol a través de l’actuador es pot caracteritzar analíticament: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}} \cdot \vvec_\mathrm{terra} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os) \cdot \velang{pèndol}{terra}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}}{}=\vector{0}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{0}</math> 

:En aquest cas, la caracterització a <math>\Os</math> és immediata. 

:Les interaccions entre terra i pèndol per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


====✏️ Exemple D3.16: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-16-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]

|L’actuador lineal actua entre el suport i l’hèlix, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 2 (la qual cosa fa girar l’hèlix sempre i quan no es passi per configuracions singulars – per exemple, quan la direcció de l’actuador és vertical i passa per <math>\Os</math>). Es tracta de descriure la interacció entre el suport i l’hèlix.

|}
Opció 1 
Cap de les peces que formen l’actuador és fixa al suport ni a l’hèlix. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]] 

La caracterització dels tres enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os')}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

 

Opció 2 

: El torsor de l’enllaç indirecte entre suport i hèlix a través de l’actuador és nul: en haver-hi ròtules esfèriques als dos extrems de l’actuador, el punt <math>\Os</math> podria tenir velocitat en totes les direccions respecte del suport. 

:La interacció entre suport i hèlix a través de l’actuador es redueix a una força (que és la que fa l’actuador quan està activat): 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
 

====✏️ Exemple D3.17: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-17-1-cat,esp.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor, de massa negligible, actua entre terra i anella, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i l’anella. 

Opció 1 

En aquest cas, l’estàtor (P1) és fix a terra, i el rotor (P2) és fix a l’anella. Per tant, només té sentit l’opció 1. 

Les interaccions entre terra i anella per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-17-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]]

El torsor de l’enllaç entre terra (+P1) i anella (+P2) és el que correspon a una articulació, i la seva caracterització és immediata: 

<center>
<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math>
</center>
|}


====✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-18-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor actua entre la forquilla i la roda, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre la forquilla i la roda. 
|}
Opció 1 

Una de les peces que formen l’actuador (el rotor) és fixa la roda. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització dels dos enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

Opció 2 

:La caracterització del torsor d’enllaç entre forquilla i roda a través del motor és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}} \cdot \vvec_\mathrm{forq} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os) \cdot \velang{roda}{forq}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{M}_3}</math> 

:La interacció entre forquilla i roda a través del motor es resumeix en el diagrama següent: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D2. Forces d’interacció entre partícules|<<< D2. Forces d’interacció entre partícules]]

[[D4. Teoremes vectorials|D4. Teoremes vectorials >>>]]
</center>

D3. Interaccions entre sòlids rígids

2024-04-25T13:16:23Z

Ebosch: /* Molles i amortidors torsionals */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
</math>
Com s’ha vist a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules|'''unitat D2''']], les interaccions entre parelles de partícules <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> queden descrites per una única força de direcció <math>\overline{\Ps \Qs}</math> . Quan la interacció és entre parelles de sòlids rígids (que es poden considerar com a dos conjunts d’infinites partícules), la descripció partícula a partícula portaria a treballar amb un sistema d’infinites forces. En aquest cas, cal passar a una descripció compacta d’aquest sistema de forces que retingui, però, la informació necessària per estudiar la dinàmica dels sòlids rígids: el sistema de forces es substitueix per un '''torsor resultant'''. 

Aquesta unitat introdueix el concepte de '''torsor associat a un sistema de forces''', i després l’aplica a les diverses interaccions entre sòlids (a distància, de contacte i per mitjà d’elements intermedis).

-----------
-----------
==D3.1 Torsor associat a un sistema de forces==
La reducció d’un sistema de forces sobre un sòlid rígid a un torsor és absolutament necessària quan el nombre de forces és molt elevat (infinit). Quan es tracta d’un sistema de poques forces, sol ser opcional. 

Una operació matemàtica eficaç per reduir el nombre de forces sobre un sòlid S és la suma: per molt elevat que sigui el nombre de forces, la suma condueix a una única '''força resultant'''. Aquesta reducció dràstica, però, implica una pèrdua d’informació essencial en molts casos. Sempre i quan no interessi estudiar la deformació dels objectes (és a dir, quan només s’estudiï la dinàmica de sòlids rígids), això es resol afegint un segon vector a la descripció compacta del sistema: el '''moment''' (o '''parell''') '''resultant respecte d’un punt''' <math>\Qs</math>. El conjunt d’aquests dos vectors és el '''torsor del sistema de forces en el punt''' <math>\Qs</math> ('''Figura D3.1'''). 

[[Fitxer:D3-1-cat.png|thumb|center|370px|link=]]
<center>'''Figura D3.1''' Torsor associat a un sistema de forces que actuen sobre un sòlid rígid.
</center> 

A tall d’exemple, considerem el cas d’una barra rígida inicialment en repòs que se sotmet a un sistema de forces amb força resultant nul·la. La '''Figura D3.2''' presenta tres situacions diferents que corresponen a aquesta resultant: ('''a''') lliure de forces, ('''b''') forces paral·leles a la barra, ('''c''') forces perpendiculars a la barra. En els dos casos primers ('''a''', '''b'''), el sistema de forces no modifica l’estat de repòs. En el tercer ('''c'''), les forces provoquen una rotació horària de la barra. El torsor resultant en qualsevol punt permet distingir entre ('''c''') i ('''a''', '''b'''). 

[[Fitxer:D3-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.2''' Barra rígida sotmesa a una força resultant nul·la.
</center> 

La força resultant no depèn mai del punt on es calcula el torsor. En canvi, el moment resultant en general sí que en depèn ('''Figura D3.3'''). 

[[Fitxer:D3-3-neut.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.3''' Barra rígida sotmesa a dues forces de valor diferent.
</center> 

El torsor resultant es representa en el punt on s’ha calculat el moment resultant ('''Figura D3.4'''). 

[[Fitxer:D3-4-neut.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.4''' Torsors a diferents punts per a l’exemple de la barra rígida de la '''Figura D3.3'''.
</center>
El moment resultant en un punt <math>\Qs’</math> es pot obtenir a partir del torsor en un punt <math>\Qs</math>: 

<math>\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs ')=\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs) + \overline{\Qs '\Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs</math>

<div>
=====💭 Demostració ➕=====


:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)=\sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is</math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\sum \overline{\Qs ' \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum (\overline{\Qs ' \Qs}+\overline{\Qs \Ps_\is}) \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum \overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\is + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\overline{\Qs ' \Qs} \times (\sum \overline{\mathbf{F}}_\is) + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is </math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs+\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)</math>

</div>

-----------
-----------

==D3.2 Atracció gravitatòria==
El càlcul del torsor resultant gravitatori sobre un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> per causa d’un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> no és senzill. La força gravitatòria resultant sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) prové de les forces (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> ) que cada diferencial de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> exerceix sobre <math>\Ps</math> ('''Figura D3.5'''). El torsor resultant sobre <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> s’obté a partir de totes aquestes forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> sobre tots els diferencials de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> . 

[[Fitxer:D3-5-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
<center><math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> és la suma de totes les <math>\mathbf{F}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math>
</center>
<center>'''Figura D3.5''' Càlcul de la força total gravitatòria del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> (<math> \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math>.
</center> 

Quan es tracta de l’atracció gravitatòria terrestre (<math>\mathrm{S}_\mathrm{Q} = \mathrm{Terra}</math>) sobre un sòlid de petites dimensions comparades amb les de la Terra i prop de la superfície terrestre, és usual emprar l’aproximació de camp uniforme: les forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> pràcticament paral·leles entre elles i el seu valor és <math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps} = \mathrm{gdm}(\Ps)</math> , amb <math>\mathrm{g}</math> constant i igual al camp gravitatori a la superfície terrestre:<math>\mathrm{g}=\mathrm{G}_0 \frac{\mathrm{M}_\Ts}{\Rs_\Ts^2}</math>(on <math>\mathrm{G}_0</math> és la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.3 Atracció gravitatòria|'''constant universal de gravitació''']], i <math>\mathrm{M}_\Ts</math> i <math>\Rs_\Ts</math> són la massa i el radi de la Terra, respectivament). En aquest cas, es pot demostrar que existeix un punt de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> en el qual el torsor gravitatori es redueix a una força resultant <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{T}} \rightarrow \mathrm{S}_{\mathrm{P}}}</math> de valor mg (on m és la massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> ) dirigida cap al centre de la terra, i un moment resultant gravitatori nul. Aquest punt s’anomena '''centre de gravetat''' del sòlid, es representarà amb la lletra '''G''' ('''Figura D3.6'''). 

[[Fitxer:D3-6-cat.png|thumb|center|600px|link=]]
<center>'''Figura D3.6''' Atracció gravitatòria terrestre sobre un sòlid rígid en l‘aproximació de camp uniforme.
</center>

-----------
-----------
==D3.3 Interacció per mitjà de molles i amortidors==
===Molles i amortidors lineals===
Quan una molla o un amortidor lineal connecta dos punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> de dos sòlids diferents, cal assegurar que la connexió es fa de manera que la força que es transmet entre els punts té la direcció de l’element, i que no es transmet cap moment (o parell). 

En alguns casos, això es pot aconseguir inserint l’element entre dos trams de fil inextensible ('''Figura D3.7a'''). En aquest cas, la força que introdueix entre els punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> només pot ser d’atracció (a causa del caràcter unilateral de l’actuació del fil). 

En d’altres casos, cal recórrer a unions mitjançant [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''articulacions''']] (si es tracta d’un problema pla, '''Figura D3.7b''') o [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''ròtules esfèriques''']] (si és un problema 3D). 

[[Fitxer:D3-7-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D3.7''' Molles i amortidors lineals connectats a dos sòlids rígids diferents.
</center>

====✏️ Exemple D3.1: força de repulsió d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------

[[Fitxer:ExD3-1-1-neut.png|thumb|left|175px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, actua entre el suport fix a terra i un eix vertical que està en contacte amb la barra. Per a <math>\theta = 0</math> , el sistema està en equilibri, i la força que la molla exerceix entre els seus extrems és <math>\mathrm{F}_0</math> . 

:En absència de molla, la barra, que està articulada al suport al punt <math>\mathbf{O}</math>, tendiria a caure (rotació horària). Si per a <math>\theta = 0</math> hi ha equilibri, la molla ha d’estar fent necessàriament una repulsió entre els seus extrems en aquesta configuració. Per tant, el més lògic és calcular l’expressió de la força de la molla per a una configuració general com a força repulsiva: 

<math> \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}= \mathrm{F}_0 - \mathrm{k}\Delta\rho=\mathrm{F}_0-\mathrm{k}[\rho(\theta) - \rho(\theta=0)]</math>. 

L’increment <math>\Delta \rho </math> de llargària de la molla a partir de l’equilibri és proporcional a la tangent de l’angle:<math>\mathrm{tan}\theta=\Delta\rho/\mathrm{L}</math>. Per tant: <math>\mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}=\mathrm{F}_0-\mathrm{kL}\mathrm{tan}\theta</math>. 

La força de repulsió de l’amortidor s’obté a partir de l’allargament anterior per derivació: 

<math>\rho=\mathrm{Ltan}\theta \Rightarrow \dot{\rho} = \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c}\dot{\rho}=-\mathrm{c} \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta}</math>


====✏️ Exemple D3.2: força d’atracció d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------


[[Fitxer:ExD3-2-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, té un extrem fix al xassís del vehicle, i l’altre a un fil que s’enrotlla al damunt d’un corró de radi <math>\rs</math> solidari a la roda de radi <math>2\rs</math>, que no llisca al damunt del terra. Per a <math>\xs = 0</math> , la molla està estirada i exerceix una força <math>\mathrm{F}_0</math> entre els seus extrems.
[[Fitxer:ExD3-2-2-cat.png|thumb|right|220px|link=]]
:La coordenada <math>\xs</math> descriu la posició del xassís respecte del terra, i per tant també la del centre de la roda de radi <math>2\rs</math>. En tenir la molla un extrem lligat a un fil que s’enrotlla al corró, el desplaçament d’aquest extrem respecte del terra es pot obtenir per integració de la seva velocitat. 

:Vistes les velocitats dels dos extrems de la molla, és evident que s’escurça. La velocitat d’escurçament entre els extrems és: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{3}{2}\dot{\xs}-\dot{\xs}=\frac{1}{2}\dot{\xs}</math>, i per tant, l’escurçament de la molla a partir de la configuració <math>\xs = 0</math> és:<math>\frac{1}{2}\xs(=-\Delta \rho)</math> 

:L’expressió de la força d’atracció de la molla (ja que la <math>\mathrm{F}_0</math> és una atracció ja que la molla està estirada per a <math>\xs = 0</math> ) és:<math>\mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{molla}} + \mathrm{k}\Delta \rho = \mathrm{F}_0 - \frac{1}{2}\mathrm{k}\xs </math> 

:La força d’atracció de l’amortidor s’obté a partir de la velocitat l’escurçament que ja s’ha trobat: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{1}{2}\dot{\xs} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c} \dot{\rho}=-\frac{1}{2} \mathrm{c} \dot{\xs}</math>


===Molles i amortidors torsionals===

Les '''molles''' i els '''amortidors torsionals''' introdueixen moments però no forces entre els dos sòlids que connecten. Igual que en el cas dels elements lineals, la unió a cadascun dels sòlids ha de garantir que només es transmet un moment en una direcció determinada. Igual que en els casos dels elements lineals, les maneres d’aconseguir-ho són diverses. 

Quan les molles i els amortidors torsionals són de comportament lineal, l’increment de moment que introdueixen entre els sòlids, quan l’orientació relativa entre ells s’incrementa en un angle <math>\Delta \theta</math>, és proporcional a <math>\Delta \theta</math> i <math>\dot{\theta}</math>, respectivament ('''Figura D3.8'''). 

[[Fitxer:D3-8-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.8''' Formulació de molles i amortidors torsionals de comportament lineal.
</center>

-----------
-----------

==D3.4 Interaccions d’enllaç directes==
Les interaccions directes d’enllaç entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math> es produeixen quan estan en contacte, i provenen de les petites deformacions locals dels sòlids en la zona de contacte. Des del punt de vista macroscòpic, això es tradueix en impenetrabilitat i rugositat dels sòlids. Com ja s’ha comentat a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|'''secció D2.7''']], en tractar aquest curs de la dinàmica d’objectes rígids, les deformacions no es formulen, i per tant les forces associades són incògnites del problema dinàmic. 

Quan els enllaços impliquen sòlids, cal precisar si són llisos o rugosos. Una superfície llisa no pot impedir que un element llisqui respecte d’ella tot mantenint-hi contacte, mentre que una de rugosa sí que ho pot impedir. Això té una conseqüència directa en la caracterització de l’enllaç. 

Com a introducció a la caracterització d’enllaços entre sòlids, és útil considerar el cas més senzill del contacte puntual.

Considerem dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> que mantenen un contacte puntual entre ells. Els punts de contacte són <math>\Ps_1</math> i <math>\Ps_2</math> , respectivament. La caracterització de l’enllaç que <math>\mathrm{S}2</math> fa sobre <math>\Ps_1</math> (o que <math>\mathrm{S}1</math> fa sobre <math>\Ps_2</math> ) s’obté de manera anàloga a la de l’[[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|enllaç partícula-sòlid]] ('''Figura D3.12'''). El valor límit de força tangencial d'enllaç també s'obté com en el cas [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.8 Fricció|partícula-sòlid]]

[[Fitxer:D3-12-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.12''' Caracterització de l’enllaç puntual del sòlid <math>\mathrm{S}_2</math> sobre el sòlid <math>\mathrm{S}_1</math>.
</center> 
Quan l’enllaç entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> és multipuntual, la condició d’ortogonalitat entre força d’enllaç i velocitat permesa es pot aplicar a cada punt on es produeix contacte (la qual cosa implica acceptar que l’enllaç multipuntual es pot obtenir com a superposició d’enllaços puntuals independents). De vegades, això condueix a un nombre de components de forces d’enllaç elevat (fins i tot infinit, si el contacte es produeix al llarg d’un tram lineal o superficial continu), i cal reduir el sistema de forces a un torsor resultant d’enllaç. En alguns casos, aquesta reducció es pot obtenir molt fàcilment a partir de la descripció de l’enllaç punt a punt. 

Si bé és possible calcular el torsor d’un sistema de forces en qualsevol punt ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]), quan es tracta de torsors d’enllaç és convenient que aquest punt pertanyi al sòlid sotmès al sistema de forces en qüestió, perquè d’això sen deriva una propietat important.

====✏️ Exemple D3.3: torsor d’enllaç en un contacte bipuntual====
---------

[[Fitxer:ExD3-3-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El bloc manté contacte bipuntual amb un terra llis, i es mou només en un pla. 
[[Fitxer:ExD3-3-2-neut.png|thumb|right|175px|link=]]
:La descripció de l’enllaç com a superposició de dos enllaços puntuals condueix a dues forces normals: Si només hi hagués contacte a <math>\Ps</math>, l’enllaç introduiria només una força a <math>\Ps</math> normal al terra (<math>\Ns_\mathrm{P}</math>); si el contacte fos només a <math>\Qs</math>, introduiria una força a <math>\Qs</math> normal al bloc (<math>\Ns_\mathrm{Q}</math>). Els valors de <math>\Ns_\mathrm{P}</math> i <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> són independents (conèixer <math>\Ns_\mathrm{P}</math> no implica conèixer <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> ). El contacte bipuntual, doncs, introdueix dues incògnites d’enllaç. 

En tractar-se només de dues forces, la reducció a un torsor no és necessària, Per altra banda, aquesta desripció és útil per estudiar les dues condicions límit: <math>\Ns_\mathrm{P}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Ps</math> (per tant, bolcament en sentit horari), mentre que <math>\Ns_\mathrm{Q}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Qs</math> (per tant, bolcament en sentit antihorari).

En aquest cas, el torsor associat a aquest sistema de forces no redueix el nombre d’incògnites, que segueix sent 2. La força resultant té dues components independents:

<center>
<math>\left\{\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{T} \rightarrow \text { bloc }}\right\}=\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1 \\
\mathrm{F}_2 \\
0
\end{array}\right\} \text {, amb }\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1=-\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \sin \theta \\
\mathrm{F}_2=\mathrm{N}_{\mathrm{p}}+\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \cos \theta
\end{array}\right. \text {. }</math>
</center>

El moment resultant depèn del punt del bloc on es caracteritza el torsor, i quan no és nul, es pot escriure en funció de les components de força. 

[[Fitxer:ExD3-3-3-cat.png|thumb|center|600px|link=]]

Passar de la descripció punt a punt al torsor no té cap avantatge en aquest cas: no redueix el nombre d’incògnites d’enllaç, i dificulta l’estudi de les condicions límit.


====✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-4-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El corró es troba en contacte amb lliscament sobre un terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La descripció de l’enllaç multipuntual com a superposició d’enllaços puntuals condueix a un conjunt d’infinites forces normals <math>\Ns_{\rightarrow \mathrm{J}}</math> als punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> en la direcció normal al terra (direcció 3). La força resultant d’enllaç sobre el corró, per tant, és també de direcció 3, i ha de ser estrictament positiva ja que és un enllaç unilateral: 

<math>\int_{\mathrm{J} \in \text { corró }} \mathrm{N}_{\rightarrow \mathrm{J}}=\mathrm{N}>0 .</math> 

El moment resultant d’enllaç depèn del punt del corró on es calculi. Si es tria un punt extrem del contacte (<math>\Ps</math> o <math>\Qs</math>), el moment resultant té signe definit: 

<center>
<math>\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{P})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{P J}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2>0 \\
0
\end{array}\right\},\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{Q})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{QJ}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2<0 \\
0
\end{array}\right\} .</math>
</center>
[[Fitxer:ExD3-4-2-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
La descripció de l’enllaç per mitjà del torsor és molt avantatjosa: redueix dràsticament el nombre d’incògnites d’enllaç (passem a tenir-ne només dues). Si el torsor es caracteritza a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math>, l’estudi de la condició límit de bolcament és fàcil: <math>\mathrm{M}_2=0</math>. Si es caracteritza en qualsevol altre punt de la generatriu de contacte, cal passar a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math> per investigar el bolcament.


===Caracterització analítica del torsor d’enllaç entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math>===

La caracterització del torsor d’enllaç entre dos sòlids es pot fer sense passar per la descripció de l’enllaç punt a punt: si el punt de caracterització pertany a un dels dos sòlids, n’hi ha prou en combinar la condició d’ortogonalitat entre força i velocitat a cada punt de contacte amb la cinemàtica de sòlid rígid, i sumar totes les equacions que en resulten ('''Figura D3.13'''). 

[[Fitxer:Opcio-ana.png|thumb|center|8000px|link=]]
<center>
'''Figura D3.13''' Caracterització analítica d’un enllaç multipuntual entre dos sòlids.

</center> 

Els vectors <math>\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \text{ i }\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}</math> es poden treure factor comú. Finalment: 

<math> \Biggl(\sum_\mathrm{J} \overline{\mathbf{F}}_{\rightarrow \mathrm{J}} \Biggl) \cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \Biggr[ \sum_\mathrm{J} (\overline{\mathbf{PJ}} \times \mathbf{F}_{\rightarrow \mathrm{J}}) \Biggr] \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} = 0 \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}=0 </math> 

Aquesta equació és l’equació de '''caracterització analítica''' del torsor d’enllaç. Expressa l’ortogonalitat entre el torsor d’enllaç <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)\bigl\}^\top</math> i el torsor cinemàtic <math>\bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \quad \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}^\top</math> de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>:<math>\left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps)\\
\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}
\end{array}\right\} =0.</math> 

Aquesta ortogonalitat no implica ortogonalitat entre força i velocitat per una banda, i entre moment i velocitat angular per l’altra. En principi,<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \neq 0 \text{, } \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \neq 0 </math>. 

Quan es fa servir l’equació de caracterització analítica, cal considerar inicialment que tant la força com el moment resultants tenen les tres components no nul·les. Pel que fa al torsor cinemàtic, cal escriure les seves components no nul·les en funció dels GL de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>. 

Per altra banda, en aparèixer multiplicades escalarment la força i la velocitat del punt per una banda, i el moment i la velocitat angular per l’altra, es poden fer servir bases vectorials diferents per a cadascun d’aquests productes escalars, doncs el seu resultat no depèn de la base: 

<math>\bigl\{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \bigl\}_\mathrm{B} \cdot \bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B} + \bigl\{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B'} \cdot \bigl\{\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}_\mathrm{B'} </math>

====✏️ Exemple D3.5: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-5-1-cat.png|thumb|left|165px|link=]]
:El corró no llisca sobre el terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe del terra sobre el corró, al punt <math>\Ps</math> és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}
\cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} =0</math> 

Totes les components del torsor d’enllaç tret de <math>\mathrm{M}_1</math> poden tenir qualsevol valor, doncs van multiplicades per zero. En canvi, com que <math>\Omega_1</math> no és zero en principi, <math>\mathrm{M}_1</math> ha de ser zero per tal de que es compleixi l’equació d’ortogonalitat. Així doncs, el torsor resultant d’enllaç és: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps)\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad \mathrm{M}_2 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top . </math> 

Com s'ha comentat a l’[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua|'''exemple D3.4''']], M2 ha de ser positiu. Un valor negatiu seria indicatiu de bolcament. 

Les cinc components no nul·les són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL del corró respecte de <math>\mathrm{S}</math> és 6. 

El torsor del mateix enllaç en un punt diferent es pot obtenir bé aplicant novament l’equació de caracterització analítica bé a partir del torsor a <math>\Ps</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). Per exemple, per al punt <math>\mathbf{C}</math> aquests dos mètodes condueixen a: 

* Caracterització analítica: <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\mathbf{C}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\mathbf{C}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math>

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_2 = - \rs \Omega_1\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
...\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math>

:<math>(-\rs \mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1)\Omega_1 =0 \quad \Rightarrow \quad -\rs\mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1=0 </math> 

Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

* Obtenció a partir del torsor a <math>\Ps</math>: <math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{P})+ \overline{\mathbf{CP}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} </math> 

:<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\}+ \left\{\begin{array}{c}
0\\
0 \\
-\rs
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
\rs \mathrm{F}_2\\
\mathrm{M}_2 - \rs \mathrm{F}_1 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math> 

:Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

El nombre de components no nul·les del torsor a <math>\mathbf{C}</math> és 6, però el nombre de components independents és 5, doncs hi ha una relació de dependència entre <math>\mathrm{M}_1</math> i <math>\mathrm{F}_2</math> . Per tant, segueix complint-se que el nombre de components independents de torsor més el de GL és 6.

====✏️ Exemple D3.6: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte puntual sense lliscament====
---------
[[Fitxer:ExD3-6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:La bola de radi r no llisca dins la cavitat esfèrica. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe de la cavitat sobre la bola, al seu centre <math>\mathbf{G}</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{cav}(\mathbf{G}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{cav}^\mathrm{bola}=0 </math> 

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{v}_1\\
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
\Omega_2\\
\Omega_3
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
... \\
...
\end{array}\right\} </math>

En no haver-hi lliscament al punt de contacte, les components de velocitat <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> són proporcionals a <math>\Omega_3</math> i <math>\Omega_1</math> , respectivament: <math>\mathrm{v}_1=-\rs \Omega_3</math>, <math>\mathrm{v}_3=\rs \Omega_1</math> (el signe negatiu de la primera igualtat indica que una <math>\Omega_3</math> positiva genera una <math>\mathrm{v}_1</math> negativa). Substituïnt a l’equació de caracterització i desenvolupant el producte escalar (sense incloure la component <math>\mathrm{F}_2</math> , perquè va multiplicada per zero): 

<math>(-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3) \Omega_3 + (\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1) \Omega_1 + \mathrm{M}_2\Omega_2=0. </math> 

Com que les tres rotacions són independents, els coeficients que les multipliquen han de ser zero perquè l’equació es compleixi per a qualsevol valor de <math>\Omega_3</math> i de <math>\Omega_1</math>: <math>-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3=0</math> ,<math>\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1</math> , <math>\mathrm{M}_2=0</math>. 

Finalment:

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad \mathrm{M}_1 \quad 0 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top</math>, amb <math>\mathrm{M}_3=\rs \mathrm{F}_1</math> i <math>\mathrm{M}_1=-\rs \mathrm{F}_3.</math> 

El torsor té cinc components no nul·les, però només tres són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL de la bola respecte de la cavitat és 6. 

Aquest torsor també es pot obtenir a partir de la caracterització a <math>\mathbf{J}</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). En tractar-se d’un contacte puntual sense lliscament, a <math>\mathbf{J}</math> hi ha tres components de força d’enllaç i cap moment: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{J})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad 0 \quad 0 \bigl\}^\top</math> 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{J})+ \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} = \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}</math> 

<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} = \left\{\begin{array}{c}
0\\
-\rs\\
0
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
-\rs \mathrm{F}_3\\
0 \\
\rs \mathrm{F}_1
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
0 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} </math> 

-----------

Com s’ha vist als exemples anteriors, l’equació de caracterització analítica garanteix que la suma del nombre de components independents del torsor d’enllaç entre dos sòlids i del nombre de GL relatius entre els sòlids és sempre 6:

<center><math>\boxed{\text{comps. indeps. torsor + GL relatius = 6}}</math></center>

===Caracterització immediata del torsor d’enllaç===

Quan es tria un punt <math>\Ps</math> de caracterització la velocitat del qual,<math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math>, és independent de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math>, i una base vectorial tal que les components de <math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math> són independents entre elles i les de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math> també, la '''caracterització és immediata''': a cada component nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component no nul·la del torsor dinàmic, i a cada component no nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component nul·la del torsor dinàmic.

====✏️ Exemple D3.7: caracterització immediata del torsor d’enllaç en un contacte multipuntual continu====
---------

[[Fitxer:ExD3-7-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La mola cònica no llisca sobre el terra cònic (T). La caracterització del torsor de l’enllaç directe del terra sobre qualsevol dels punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> de la mola amb el terra pot ser immediata, perquè <math>\vvec_\mathrm{T}(\mathbf{J})</math> independentment de la velocitat angular mola <math>\velang{mola}{T}</math> . 

Perquè ho sigui realment, cal triar una base vectorial per expressar el moment d’enllaç tal que els components de mola <math>\velang{mola}{T}</math> siguin independents. Ja que la direcció de mola <math>\velang{mola}{T}</math> està unívocament determinada (la mola te 1 GL respecte del terra), qualsevol base que tingui un eix paral·lel a l’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la mola és adequada: 

[[Fitxer:ExD3-7-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]] 
:Finalment: <math>\braq{\fvec{T}{mola}}{} = \vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{T}{mola}(\mathbf{J})}{} = \vector{\mathrm{M}_1}{0}{\mathrm{M}_3}.</math>


====✏️ Exemple D3.8: caracterització del torsor d’enllaç d’una unió helicoïdal====
---------

[[Fitxer:ExD3-8-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La caracterització del torsor de l’enllaç directe de la femella de la unió helicoïdal sobre el mascle no pot ser directa, 

En una unió helicoïdal, no hi ha cap punt del mascle que tingui velocitat respecte de la femella independent de la rotació entre les dues peces. Per tant, la caracterització immediata no és possible. 

Si es tria com a punt de caracterització qualsevol punt <math>\mathbf{O}</math> de l’eix 3, la caracterització analítica condueix a: 

<math>\fvec{femella}{mascle}\cdot \vvec_\mathrm{femella}(\mathbf{O})+ \mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O}) \cdot \velang{mascle}{femella}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{\mathrm{v}_3}+\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}\vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{...}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{...}.</math> 

La velocitat d’<math>\mathbf{O}</math> al llarg de l’eix és directament proporcional a la rotació per mitjà del pas de rosca e. Ja que <math>\Omega_3</math> es mesura en rad/s, <math>\mathrm{v}_3</math> en m/s, i e es dóna en mm/volta, cal fer una conversió d’unitats: 

<math>\mathrm{v}_3\left[\frac{\ms}{\ss}\right] = \Omega_3\left[\frac{\mathrm{rad}}{\ss}\right]\es\left[\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{ volta}}\right]\frac{1 \ms}{10^3 \mathrm{ mm}}\frac{1 \mathrm{volta}}{2 \pi \mathrm{ rad}} \Rightarrow \mathrm{v}_3= \Omega_3 \frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3}</math> 

Finalment: <math>\braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{M}_3= -\frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3} \mathrm{F}_3 </math>


===Torsors d'enllaç associats als enllaços directes habituals entre sòlids rígids===

Els [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''enllaços habituals entre parelles de sòlids rígids''']] s’han analitzat des del punt de vistacinemàtic. A partir d’aquesta descripció, es poden caracteritzar els torsors d’enllaç corresponents ('''Figura D3.14'''). 

[[Fitxer:D3-14-TABLE-cat.png|thumb|center|670px|link=]]
<center>
'''Figura D3.14''' Caracterització immediata dels enllaços directes habituals

</center> 

En els sistemes multisòlid formats únicament per sòlids rígids amb massa no negligible connectats mitjançant aquests enllaços habituals, la descripció dinàmica dels enllaços es fa considerant per separat cada parella de sòlids connectats com si la resta d’elements del sistema no hi fos.

====✏️ EXEMPLE D3.9: anàlisi d’incògnites en un sistema multisòlid====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-9-1-cat.png|thumb|left|300px|link=]] 

|El sistema multisòlid conté 5 enllaços habituals: 

* 3 enllaços de revolució (o articulacions)
* 1 enllaç cilíndric
* 1 enllaç esfèric (o ròtula esfèrica) 

Tenint en compte que una articulació introdueix 5 components independents de torsor d’enllaç, un enllaç cilíndric n’introdueix 4, i un d’esfèric 3, en el sistema hi ha un total de 22 incògnites d’enllaç.
|}


-----------
-----------

==D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç==
En els sistemes multisòlid, és freqüent que alguns sòlids tinguin massa negligible comparats amb els altres i que no reben altres forces que les d’enllaç amb altres sòlids. Aquests sòlids s’anomenen '''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''' ('''SAE'''), i se’ls pot donar un tractament particular quan es tracta de caracteritzar enllaços. 

La '''Figura D3.15''' presenta un sòlid <math>\mathrm{S1}</math> en contacte amb un sòlid <math>\mathrm{S}</math> de massa negligible, que no està sotmès a cap força que no sigui d’enllaç, en dues situacions diferents: <math>\mathrm{S}</math> només en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math> ('''Figura D3.15a''') i <math>\mathrm{S}</math> en contacte amb dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> ('''Figura D3.15b'''). 

[[Fitxer:D3-15-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.15''' Interacció entre sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i<math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’un sòlid auxiliar d’enllaç (SAE).

</center> 

En absència de <math>\mathrm{S2}</math> i, la presència de <math>\mathrm{S}</math> (en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math>) és dinàmicament irrellevant: <math>\mathrm{S}</math> no representa cap obstacle per moure <math>\mathrm{S1}</math>. Conseqüentment, <math>\mathrm{S}</math> no és capaç d’introduir cap força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Però quan <math>\mathrm{S}</math> interconnecta <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, <math>\mathrm{S}</math> esdevé un transmissor: <math>\mathrm{S2}</math> pot ser un obstacle quan es tracta de provocar certs moviments de <math>\mathrm{S1}</math>, i això es tradueix en forces d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Com a cas senzill per il·lustrar-ho, la '''Figura D3.16''' mostra dos exemples (que considerarem plans) on dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> sobre un pla llis estan connectats a través d’una barra de massa negligible (comparada amb la de <math>\mathrm{S1}</math> i la de <math>\mathrm{S2}</math>) articulada en els dos extrems:<

(a) les articulacions són perfectes (sense frec) 

(b) una de les articulacions té un molla torsional associada 

[[Fitxer:D3-16-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.16''' Enllaç indirecte entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’una barra <math>\mathrm{S}</math> articulada de massa negligible.

</center> 

En el cas (a), la barra és un SAE (no està sotmesa a cap força que no sigui d’enllaç). Provocar velocitat del punt <math>\mathbf{O}</math> de <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra implica moure <math>\mathrm{S}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> . En canvi, moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció ortogonal a la barra provoca moviment de <math>\mathrm{S}</math> però no de <math>\mathrm{S2}</math> , mentre que fer girar <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> no provoca el moviment cap dels dos (ni de <math>\mathrm{S}</math> ni de <math>\mathrm{S2}</math> ). En conseqüència, només té sentit associar una força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra. El responsable d’aquesta força no és <math>\mathrm{S}</math> sinó <math>\mathrm{S2}</math> : quan es tracta de caracteritzar l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> s’ha devaluar des de <math>\mathrm{S2}</math>. Es diu que entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> hi ha un '''enllaç indirecte a través del SAE'''. 

En el cas (b), la barra no és un SAE perquè està sotmesa a una interacció que no és d’enllaç (la de la molla). Com en el cas (a), moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció de la barra obliga a moure <math>\mathrm{S2}</math> . Però ara, el moviment de <math>\mathbf{O}</math> en direcció perpendicular a la barra obliga a deformar la molla, la qual actua sobre <math>\mathrm{S2}</math> i el fa bellugar. El moviment de rotació de <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> segueix sent possible sense haver de moure <math>\mathrm{S2}</math> ni deformar la molla. En la caracterització de l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , cal avaluar la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> de manera que <math>\mathbf{O}</math> no tingui velocitat : cal avaluar-la des de S. 

====✏️ Exemple D3.10: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-10-1-cat -nou.png|thumb|left|250px|link=]]
El carretó té 2 GL lliures respecte del terra (translació longitudinal i rotació vertical). Si la massa dels tres elements (rodes i xassís) és comparable, la representació simplificada del sistema i el nombre d’incògnites d’enllaç que conté és la següent: 

[[Fitxer:ExD3-10-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
En total, doncs, el sistema conté 17 incògnites d’enllaç. 

Aquest nombre es pot reduir en el cas que la massa de les rodes sigui negligible (comparada amb la del xassís): el xassís passa a tenir tres enllaços amb el terra, un de directe i dos d’indirectes a través de les rodes, que són SAE. El nombre d’incògnites que introdueix un d’aquests enllaços indirectes no és sempre evident a priori, i és aconsellable caracteritzar-lo analíticament. Cal recordar, però, que la cinemàtica que es descriu correspon a la que té el xassís respecte del terra com si només hi actués l’enllaç que es considera. En aquest cas, doncs, en la caracterització de l’enllaç indirecte entre terra i xassís a través de les rodes cal avaluar la cinemàtica com si el contacte directe amb el terra (a la part del davant del xassís) no hi fos. 

[[Fitxer:ExD3-10-3-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al seu centre <math>\mathbf{C}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Cs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad</math>

<math>\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs)}{}= \overline{0}</math>

El nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 

La caracterització també es pot fer al punt <math>\Os</math> (punt mig de l’eix de les rodes), doncs també pertany a la roda. Les components de la força han de ser les mateixes, però les del moment poden canviar. 

Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> només són possibles si hi ha rotació <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_1=\rs\Omega_2 </math> ,<math>\mathrm{v}_3=\Ls\Omega_2 </math> . Si s’introdueixen aquestes relacions i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>(\rs \mathrm{F}_1 + \Ls \mathrm{F}_3 +\mathrm{M}_2')\Omega_2+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+\mathrm{M}_1'\Omega_1+\mathrm{M}_3'\Omega_3=0</math> 

Ja que <math>(\mathrm{v}_2,\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3)</math> són independents, els coeficients de cadascuna d’aquestes velocitats ha de ser zero. Per tant, l’enllaç indirecte introdueix només 2 incògnites: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2'}{0}</math>, amb <math>\mathrm{M}_2'=-\rs \mathrm{F}_1 -\Ls\mathrm{F}_3</math> 

A aquest resultat també es podria haver arribat a partir de la relació que hi ha entre torsors associats a la mateixa interacció però en punts diferents ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]): 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)= \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) + \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} = \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} </math> , 

<math>\vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} = \vector{\Ls}{0}{-\rs} \times \vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} = \vector{0}{-\rs\mathrm{F}_1 -\Ls \mathrm{F}_3}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç segueix sent 5. 

Finalment, una altra opció és caracteritzar l’enllaç del terra sobre el xassís per mitjà de els dues rodes simultàniament. 

[[Fitxer:ExD3-10-4-cat.png|thumb|right|200px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de les dues rodes, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1''}{\mathrm{F}_2''}{\mathrm{F}_3''}\vector{0}{\mathrm{v}_2}{0}+ \vector{\mathrm{M}_1''}{\mathrm{M}_2''}{\mathrm{M}_3''} \vector{\Omega_1}{0}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents:

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1''}{0}{\mathrm{F}_3''} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2''}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç es redueix a 4.


====✏️ Exemple D3.11: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-11-2-cat.png|thumb|right|270px|link=]]
{|
[[Fitxer:ExD3-11-1-cat.png|thumb|left|210px|link=]]

|La placa té el vèrtex <math>\Ps</math> obligat a moure’s dins la guia, i el punt <math>\Qs</math> connectat al punt <math>\Os</math> del terra (T) mitjançant una barra amb articulacions als extrems. El sistema té només 1 GL, descrit per mitjà de <math>\dot{\theta}</math>. 

Si es considera el problema només en dues dimensions i cap element té massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 
|}
{|
|[[Fitxer:ExD3-11-3-cat.png|thumb|left|215px|link=]]
|Si la barra és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la placa per mitjà de la barra al punt <math>\Qs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Qs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
\Omega_1
\end{array}\right\}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
...
\end{array}\right\}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació de la barra, però no de la de la placa: en haver-hi una articulació a <math>\Qs</math>, la placa pot fer un moviment de translació circular quan la barra gira. Per tant, es tracta d’una caracterització immediata: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
0
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
0
\end{array}\right\}</math> 
|}


====✏️ Exemple D3.12: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-12-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-2-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-3-cat.png|thumb|left|150px|link=]]

La bola té 4 GL lliures respecte del terra (translacions al llarg de l’eix r-r’ i de l’eix 2, rotacions al voltant de l’eix r-r’ i de l’eix 2). Si no hi ha cap element de massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 8. 

Si l’element T és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la bola per mitjà d’aquest element al punt <math>\Gs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs) \cdot \velang{bola}{T}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{...}{\mathrm{M}_3}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> només és possible si l’element T (i per tant la bola) giren amb <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_3=-\xs\Omega_2</math>. Si s’introdueix aquesta relació i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>\mathrm{F}_1\mathrm{v}_1+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+(-\xs\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2)\Omega_2+\mathrm{M}_1\Omega_1</math> 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math> 

Tot i que el torsor a <math>\Gs</math> té tres components no nul·les, d’independents només n’hi ha dues.


---------
 

Un cas paradigmàtic en què la dimensió es redueix dràsticament és el del '''coixinet de boles''' ('''Figura D3.17'''). Si es tracta el problema com a pla i les N boles no es consideren SAE, el nombre d’incògnites d’enllaç del sistema és 4N (cada bola manté contacte puntual sense llisament amb els dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, i en el cas pla,el contacte puntual es redueix a dues incògnites d’enllaç). Si es tracten com a SAE, l’enllaç indirecte entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> a través de les boles es redueix a dues incògnites d’enllaç. 

[[Fitxer:D3-17-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.17''' Coixinet de boles.
</center> 

====✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-13-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:El sistema multisòlid té 2 GL respecte del terra: la translació circular de la placa respecte de l’eix i la rotació de tots els elements al voltant de l’eix vertical (permesa pel coixinet). Si cap element té massa negligible, el nombre: total d’incògnites d’enllaç és 25. 

:Si es negligeixen les masses de l’eix i de les dues barres i es tracten com a SAE, el sistema es redueix a un enllaç indirecte: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{...}{\mathrm{M}_3} </math> 

:La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació del conjunt al voltant de l’eix vertical: <math>\mathrm{v}_3=-(\mathrm{h} + \mathrm{Lcos}\theta)\Omega_2</math> . Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_2</math> provenen de la translació circular de la placa, i per tant no són independents: <math>\frac{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}=-\mathrm{tan}\theta</math> 

:Si es desenvolupa el producte escalar tenint en compte aquestes relacions: 

:<math>(-\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta+\mathrm{F}_2)\mathrm{v}_2+ [-(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2]\Omega_2=0, </math> 

:<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta</math> i <math>\mathrm{M}_2=(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3</math> 

:El nombre d’incògnites d’enllaç s’ha reduït a 4.


====✏️ Exemple D3.14: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-14-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:Si al sistema de l’ [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid|'''exemple D3.13''']] se li afegeix una molla torsional amb un extrem lligat a l’eix, el nombre de GL no es modifica, però en la descripció dels enllaços, l’eix no es pot tractar com a SAE encara que la seva massa sigui negligible. Les dues barres, però, segueixen estant sotmeses només a interaccions d’enllaç, i per tant, si es negligeix la seva massa, són SAE: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\mathrm{eix} (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{eix}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{-\mathrm{v}_2\mathrm{tan}\theta}{\mathrm{v}_2}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}, \mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta </math> 

:El nombre total d’incògnites d’enllaç és 10: 5 associades a l’enllaç indirecte que s’acaba de caracteritzar, i 5 més al coixinet entre terra i eix. 

[[Fitxer:ExD3-14-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]


---------
---------

==D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals==
Els actuadors (o accionaments) són elements concebuts per controlar un grau de llibertat (de translació o de rotació) entre dos sòlids i eliminar-ne d’altres. 

Externament, un actuador són dues peces que entre elles només tenen el GL a controlar (en el cas d’actuador rotacionals, aquestes peces s’anomenen '''estator''' i '''rotor'''). Quan s’insereix entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math>, la manera com es connecta als sòlids determina els GL eliminats entre ells. En aquest curs, la massa dels actuador es considera negligible sempre. 

La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> , doncs, es descriu mitjançant una força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o un parell <math>\Gamma</math> (o moment), segons que es tracti d’un actuador lineal o rotacional, i un torsor d’enllaç. 

Hi ha dues maneres de descriure el sistema format per <math>\mathrm{S}1</math>, <math>\mathrm{S}2</math>, <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math>: 

* Opció 1: Es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a dos sòlids més del sistema. Entre elles, el torsor de l’enllaç directe es caracteritza com si l’actuador estigués desactivat (permetent el GL que controla entre les dues peces quan està activat). Tant si l’actuador és lineal com si és rotacional, el torsor d’enllaç conté 5 components independents. A més, entre <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> hi ha la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math>. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{P}1</math>, i entre <math>\mathrm{S}2</math> i <math>\mathrm{P}2</math> es descriu mitjançant l’enllaç corresponent. 

* Opció 2: Es considera l’actuador desactivat, i es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']]. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> queda explicada llavors mitjançant el torsor de l’enllaç indirecte associat a aquesta cadena de SAEs, i la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math> .

====✏️ Exemple D3.15: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-15-1-cat.png|thumb|left|260px|link=]]

|L’actuador lineal, de massa negligible, actua entre terra i pèndol, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 1.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i el pèndol. 
|}
Opció 1 

Ja que la peça 1 de l’actuador està enganxada a terra, es poden considerar com a una de sola. La peça 2, en canvi, no està enganxada sinó articulada al pèndol. 

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització a <math>\Os</math> dels dos enllaços és immediata: 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

Opció 2 

El torsor de l’enllaç indirecte entre terra i pèndol a través de l’actuador es pot caracteritzar analíticament: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}} \cdot \vvec_\mathrm{terra} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os) \cdot \velang{pèndol}{terra}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}}{}=\vector{0}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{0}</math> 

:En aquest cas, la caracterització a <math>\Os</math> és immediata. 

:Les interaccions entre terra i pèndol per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


====✏️ Exemple D3.16: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-16-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]

|L’actuador lineal actua entre el suport i l’hèlix, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 2 (la qual cosa fa girar l’hèlix sempre i quan no es passi per configuracions singulars – per exemple, quan la direcció de l’actuador és vertical i passa per <math>\Os</math>). Es tracta de descriure la interacció entre el suport i l’hèlix.

|}
Opció 1 
Cap de les peces que formen l’actuador és fixa al suport ni a l’hèlix. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]] 

La caracterització dels tres enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os')}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

 

Opció 2 

: El torsor de l’enllaç indirecte entre suport i hèlix a través de l’actuador és nul: en haver-hi ròtules esfèriques als dos extrems de l’actuador, el punt <math>\Os</math> podria tenir velocitat en totes les direccions respecte del suport. 

:La interacció entre suport i hèlix a través de l’actuador es redueix a una força (que és la que fa l’actuador quan està activat): 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
 

====✏️ Exemple D3.17: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-17-1-cat,esp.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor, de massa negligible, actua entre terra i anella, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i l’anella. 

Opció 1 

En aquest cas, l’estàtor (P1) és fix a terra, i el rotor (P2) és fix a l’anella. Per tant, només té sentit l’opció 1. 

Les interaccions entre terra i anella per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-17-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]]

El torsor de l’enllaç entre terra (+P1) i anella (+P2) és el que correspon a una articulació, i la seva caracterització és immediata: 

<center>
<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math>
</center>
|}


====✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-18-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor actua entre la forquilla i la roda, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre la forquilla i la roda. 
|}
Opció 1 

Una de les peces que formen l’actuador (el rotor) és fixa la roda. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització dels dos enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

Opció 2 

:La caracterització del torsor d’enllaç entre forquilla i roda a través del motor és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}} \cdot \vvec_\mathrm{forq} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os) \cdot \velang{roda}{forq}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{M}_3}</math> 

:La interacció entre forquilla i roda a través del motor es resumeix en el diagrama següent: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D2. Forces d’interacció entre partícules|<<< D2. Forces d’interacció entre partícules]]

[[D4. Teoremes vectorials|D4. Teoremes vectorials >>>]]
</center>

D3. Interaccions entre sòlids rígids

2024-04-25T13:14:28Z

Ebosch: /* D3.3 Interacció per mitjà de molles i amortidors */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
</math>
Com s’ha vist a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules|'''unitat D2''']], les interaccions entre parelles de partícules <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> queden descrites per una única força de direcció <math>\overline{\Ps \Qs}</math> . Quan la interacció és entre parelles de sòlids rígids (que es poden considerar com a dos conjunts d’infinites partícules), la descripció partícula a partícula portaria a treballar amb un sistema d’infinites forces. En aquest cas, cal passar a una descripció compacta d’aquest sistema de forces que retingui, però, la informació necessària per estudiar la dinàmica dels sòlids rígids: el sistema de forces es substitueix per un '''torsor resultant'''. 

Aquesta unitat introdueix el concepte de '''torsor associat a un sistema de forces''', i després l’aplica a les diverses interaccions entre sòlids (a distància, de contacte i per mitjà d’elements intermedis).

-----------
-----------
==D3.1 Torsor associat a un sistema de forces==
La reducció d’un sistema de forces sobre un sòlid rígid a un torsor és absolutament necessària quan el nombre de forces és molt elevat (infinit). Quan es tracta d’un sistema de poques forces, sol ser opcional. 

Una operació matemàtica eficaç per reduir el nombre de forces sobre un sòlid S és la suma: per molt elevat que sigui el nombre de forces, la suma condueix a una única '''força resultant'''. Aquesta reducció dràstica, però, implica una pèrdua d’informació essencial en molts casos. Sempre i quan no interessi estudiar la deformació dels objectes (és a dir, quan només s’estudiï la dinàmica de sòlids rígids), això es resol afegint un segon vector a la descripció compacta del sistema: el '''moment''' (o '''parell''') '''resultant respecte d’un punt''' <math>\Qs</math>. El conjunt d’aquests dos vectors és el '''torsor del sistema de forces en el punt''' <math>\Qs</math> ('''Figura D3.1'''). 

[[Fitxer:D3-1-cat.png|thumb|center|370px|link=]]
<center>'''Figura D3.1''' Torsor associat a un sistema de forces que actuen sobre un sòlid rígid.
</center> 

A tall d’exemple, considerem el cas d’una barra rígida inicialment en repòs que se sotmet a un sistema de forces amb força resultant nul·la. La '''Figura D3.2''' presenta tres situacions diferents que corresponen a aquesta resultant: ('''a''') lliure de forces, ('''b''') forces paral·leles a la barra, ('''c''') forces perpendiculars a la barra. En els dos casos primers ('''a''', '''b'''), el sistema de forces no modifica l’estat de repòs. En el tercer ('''c'''), les forces provoquen una rotació horària de la barra. El torsor resultant en qualsevol punt permet distingir entre ('''c''') i ('''a''', '''b'''). 

[[Fitxer:D3-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.2''' Barra rígida sotmesa a una força resultant nul·la.
</center> 

La força resultant no depèn mai del punt on es calcula el torsor. En canvi, el moment resultant en general sí que en depèn ('''Figura D3.3'''). 

[[Fitxer:D3-3-neut.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.3''' Barra rígida sotmesa a dues forces de valor diferent.
</center> 

El torsor resultant es representa en el punt on s’ha calculat el moment resultant ('''Figura D3.4'''). 

[[Fitxer:D3-4-neut.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.4''' Torsors a diferents punts per a l’exemple de la barra rígida de la '''Figura D3.3'''.
</center>
El moment resultant en un punt <math>\Qs’</math> es pot obtenir a partir del torsor en un punt <math>\Qs</math>: 

<math>\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs ')=\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs) + \overline{\Qs '\Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs</math>

<div>
=====💭 Demostració ➕=====


:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)=\sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is</math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\sum \overline{\Qs ' \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum (\overline{\Qs ' \Qs}+\overline{\Qs \Ps_\is}) \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum \overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\is + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\overline{\Qs ' \Qs} \times (\sum \overline{\mathbf{F}}_\is) + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is </math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs+\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)</math>

</div>

-----------
-----------

==D3.2 Atracció gravitatòria==
El càlcul del torsor resultant gravitatori sobre un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> per causa d’un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> no és senzill. La força gravitatòria resultant sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) prové de les forces (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> ) que cada diferencial de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> exerceix sobre <math>\Ps</math> ('''Figura D3.5'''). El torsor resultant sobre <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> s’obté a partir de totes aquestes forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> sobre tots els diferencials de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> . 

[[Fitxer:D3-5-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
<center><math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> és la suma de totes les <math>\mathbf{F}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math>
</center>
<center>'''Figura D3.5''' Càlcul de la força total gravitatòria del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> (<math> \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math>.
</center> 

Quan es tracta de l’atracció gravitatòria terrestre (<math>\mathrm{S}_\mathrm{Q} = \mathrm{Terra}</math>) sobre un sòlid de petites dimensions comparades amb les de la Terra i prop de la superfície terrestre, és usual emprar l’aproximació de camp uniforme: les forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> pràcticament paral·leles entre elles i el seu valor és <math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps} = \mathrm{gdm}(\Ps)</math> , amb <math>\mathrm{g}</math> constant i igual al camp gravitatori a la superfície terrestre:<math>\mathrm{g}=\mathrm{G}_0 \frac{\mathrm{M}_\Ts}{\Rs_\Ts^2}</math>(on <math>\mathrm{G}_0</math> és la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.3 Atracció gravitatòria|'''constant universal de gravitació''']], i <math>\mathrm{M}_\Ts</math> i <math>\Rs_\Ts</math> són la massa i el radi de la Terra, respectivament). En aquest cas, es pot demostrar que existeix un punt de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> en el qual el torsor gravitatori es redueix a una força resultant <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{T}} \rightarrow \mathrm{S}_{\mathrm{P}}}</math> de valor mg (on m és la massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> ) dirigida cap al centre de la terra, i un moment resultant gravitatori nul. Aquest punt s’anomena '''centre de gravetat''' del sòlid, es representarà amb la lletra '''G''' ('''Figura D3.6'''). 

[[Fitxer:D3-6-cat.png|thumb|center|600px|link=]]
<center>'''Figura D3.6''' Atracció gravitatòria terrestre sobre un sòlid rígid en l‘aproximació de camp uniforme.
</center>

-----------
-----------
==D3.3 Interacció per mitjà de molles i amortidors==
===Molles i amortidors lineals===
Quan una molla o un amortidor lineal connecta dos punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> de dos sòlids diferents, cal assegurar que la connexió es fa de manera que la força que es transmet entre els punts té la direcció de l’element, i que no es transmet cap moment (o parell). 

En alguns casos, això es pot aconseguir inserint l’element entre dos trams de fil inextensible ('''Figura D3.7a'''). En aquest cas, la força que introdueix entre els punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> només pot ser d’atracció (a causa del caràcter unilateral de l’actuació del fil). 

En d’altres casos, cal recórrer a unions mitjançant [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''articulacions''']] (si es tracta d’un problema pla, '''Figura D3.7b''') o [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''ròtules esfèriques''']] (si és un problema 3D). 

[[Fitxer:D3-7-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D3.7''' Molles i amortidors lineals connectats a dos sòlids rígids diferents.
</center>

====✏️ Exemple D3.1: força de repulsió d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------

[[Fitxer:ExD3-1-1-neut.png|thumb|left|175px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, actua entre el suport fix a terra i un eix vertical que està en contacte amb la barra. Per a <math>\theta = 0</math> , el sistema està en equilibri, i la força que la molla exerceix entre els seus extrems és <math>\mathrm{F}_0</math> . 

:En absència de molla, la barra, que està articulada al suport al punt <math>\mathbf{O}</math>, tendiria a caure (rotació horària). Si per a <math>\theta = 0</math> hi ha equilibri, la molla ha d’estar fent necessàriament una repulsió entre els seus extrems en aquesta configuració. Per tant, el més lògic és calcular l’expressió de la força de la molla per a una configuració general com a força repulsiva: 

<math> \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}= \mathrm{F}_0 - \mathrm{k}\Delta\rho=\mathrm{F}_0-\mathrm{k}[\rho(\theta) - \rho(\theta=0)]</math>. 

L’increment <math>\Delta \rho </math> de llargària de la molla a partir de l’equilibri és proporcional a la tangent de l’angle:<math>\mathrm{tan}\theta=\Delta\rho/\mathrm{L}</math>. Per tant: <math>\mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}=\mathrm{F}_0-\mathrm{kL}\mathrm{tan}\theta</math>. 

La força de repulsió de l’amortidor s’obté a partir de l’allargament anterior per derivació: 

<math>\rho=\mathrm{Ltan}\theta \Rightarrow \dot{\rho} = \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c}\dot{\rho}=-\mathrm{c} \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta}</math>


====✏️ Exemple D3.2: força d’atracció d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------


[[Fitxer:ExD3-2-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, té un extrem fix al xassís del vehicle, i l’altre a un fil que s’enrotlla al damunt d’un corró de radi <math>\rs</math> solidari a la roda de radi <math>2\rs</math>, que no llisca al damunt del terra. Per a <math>\xs = 0</math> , la molla està estirada i exerceix una força <math>\mathrm{F}_0</math> entre els seus extrems.
[[Fitxer:ExD3-2-2-cat.png|thumb|right|220px|link=]]
:La coordenada <math>\xs</math> descriu la posició del xassís respecte del terra, i per tant també la del centre de la roda de radi <math>2\rs</math>. En tenir la molla un extrem lligat a un fil que s’enrotlla al corró, el desplaçament d’aquest extrem respecte del terra es pot obtenir per integració de la seva velocitat. 

:Vistes les velocitats dels dos extrems de la molla, és evident que s’escurça. La velocitat d’escurçament entre els extrems és: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{3}{2}\dot{\xs}-\dot{\xs}=\frac{1}{2}\dot{\xs}</math>, i per tant, l’escurçament de la molla a partir de la configuració <math>\xs = 0</math> és:<math>\frac{1}{2}\xs(=-\Delta \rho)</math> 

:L’expressió de la força d’atracció de la molla (ja que la <math>\mathrm{F}_0</math> és una atracció ja que la molla està estirada per a <math>\xs = 0</math> ) és:<math>\mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{molla}} + \mathrm{k}\Delta \rho = \mathrm{F}_0 - \frac{1}{2}\mathrm{k}\xs </math> 

:La força d’atracció de l’amortidor s’obté a partir de la velocitat l’escurçament que ja s’ha trobat: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{1}{2}\dot{\xs} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c} \dot{\rho}=-\frac{1}{2} \mathrm{c} \dot{\xs}</math>


===Molles i amortidors torsionals===

Les '''molles''' i els '''amortidors torsionals''' introdueixen moments però no forces entre els dos sòlids que connecten. Igual que en el cas dels elements lineals, la unió a cadascun dels sòlids ha de garantir que només es transmet un moment en una direcció determinada. Igual que en els casos dels elements lineals, les maneres d’aconseguir-ho són diverses. 

Quan les molles i els amortidors torsionals són de comportament lineal, l’increment de moment que introdueixen entre els sòlids, quan l’orientació relativa entre ells s’incrementa en un angle <math>\Delta \theta</math>, és proporcional a <math>\Delta \theta</math> i <math>\dot{\theta}</math>, respectivament ('''Figura D3.8'''). 

[[Fitxer:D3-8-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.8''' Formulació de molles i amortidors torsionals de comportament lineal.
</center>

-----------
-----------

==D3.4 Interaccions d’enllaç directes==
Les interaccions directes d’enllaç entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math> es produeixen quan estan en contacte, i provenen de les petites deformacions locals dels sòlids en la zona de contacte. Des del punt de vista macroscòpic, això es tradueix en impenetrabilitat i rugositat dels sòlids. Com ja s’ha comentat a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|'''secció D2.7''']], en tractar aquest curs de la dinàmica d’objectes rígids, les deformacions no es formulen, i per tant les forces associades són incògnites del problema dinàmic. 

Quan els enllaços impliquen sòlids, cal precisar si són llisos o rugosos. Una superfície llisa no pot impedir que un element llisqui respecte d’ella tot mantenint-hi contacte, mentre que una de rugosa sí que ho pot impedir. Això té una conseqüència directa en la caracterització de l’enllaç. 

Com a introducció a la caracterització d’enllaços entre sòlids, és útil considerar el cas més senzill del contacte puntual.

Considerem dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> que mantenen un contacte puntual entre ells. Els punts de contacte són <math>\Ps_1</math> i <math>\Ps_2</math> , respectivament. La caracterització de l’enllaç que <math>\mathrm{S}2</math> fa sobre <math>\Ps_1</math> (o que <math>\mathrm{S}1</math> fa sobre <math>\Ps_2</math> ) s’obté de manera anàloga a la de l’[[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|enllaç partícula-sòlid]] ('''Figura D3.12'''). El valor límit de força tangencial d'enllaç també s'obté com en el cas [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.8 Fricció|partícula-sòlid]]

[[Fitxer:D3-12-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.12''' Caracterització de l’enllaç puntual del sòlid <math>\mathrm{S}_2</math> sobre el sòlid <math>\mathrm{S}_1</math>.
</center> 
Quan l’enllaç entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> és multipuntual, la condició d’ortogonalitat entre força d’enllaç i velocitat permesa es pot aplicar a cada punt on es produeix contacte (la qual cosa implica acceptar que l’enllaç multipuntual es pot obtenir com a superposició d’enllaços puntuals independents). De vegades, això condueix a un nombre de components de forces d’enllaç elevat (fins i tot infinit, si el contacte es produeix al llarg d’un tram lineal o superficial continu), i cal reduir el sistema de forces a un torsor resultant d’enllaç. En alguns casos, aquesta reducció es pot obtenir molt fàcilment a partir de la descripció de l’enllaç punt a punt. 

Si bé és possible calcular el torsor d’un sistema de forces en qualsevol punt ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]), quan es tracta de torsors d’enllaç és convenient que aquest punt pertanyi al sòlid sotmès al sistema de forces en qüestió, perquè d’això sen deriva una propietat important.

====✏️ Exemple D3.3: torsor d’enllaç en un contacte bipuntual====
---------

[[Fitxer:ExD3-3-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El bloc manté contacte bipuntual amb un terra llis, i es mou només en un pla. 
[[Fitxer:ExD3-3-2-neut.png|thumb|right|175px|link=]]
:La descripció de l’enllaç com a superposició de dos enllaços puntuals condueix a dues forces normals: Si només hi hagués contacte a <math>\Ps</math>, l’enllaç introduiria només una força a <math>\Ps</math> normal al terra (<math>\Ns_\mathrm{P}</math>); si el contacte fos només a <math>\Qs</math>, introduiria una força a <math>\Qs</math> normal al bloc (<math>\Ns_\mathrm{Q}</math>). Els valors de <math>\Ns_\mathrm{P}</math> i <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> són independents (conèixer <math>\Ns_\mathrm{P}</math> no implica conèixer <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> ). El contacte bipuntual, doncs, introdueix dues incògnites d’enllaç. 

En tractar-se només de dues forces, la reducció a un torsor no és necessària, Per altra banda, aquesta desripció és útil per estudiar les dues condicions límit: <math>\Ns_\mathrm{P}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Ps</math> (per tant, bolcament en sentit horari), mentre que <math>\Ns_\mathrm{Q}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Qs</math> (per tant, bolcament en sentit antihorari).

En aquest cas, el torsor associat a aquest sistema de forces no redueix el nombre d’incògnites, que segueix sent 2. La força resultant té dues components independents:

<center>
<math>\left\{\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{T} \rightarrow \text { bloc }}\right\}=\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1 \\
\mathrm{F}_2 \\
0
\end{array}\right\} \text {, amb }\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1=-\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \sin \theta \\
\mathrm{F}_2=\mathrm{N}_{\mathrm{p}}+\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \cos \theta
\end{array}\right. \text {. }</math>
</center>

El moment resultant depèn del punt del bloc on es caracteritza el torsor, i quan no és nul, es pot escriure en funció de les components de força. 

[[Fitxer:ExD3-3-3-cat.png|thumb|center|600px|link=]]

Passar de la descripció punt a punt al torsor no té cap avantatge en aquest cas: no redueix el nombre d’incògnites d’enllaç, i dificulta l’estudi de les condicions límit.


====✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-4-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El corró es troba en contacte amb lliscament sobre un terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La descripció de l’enllaç multipuntual com a superposició d’enllaços puntuals condueix a un conjunt d’infinites forces normals <math>\Ns_{\rightarrow \mathrm{J}}</math> als punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> en la direcció normal al terra (direcció 3). La força resultant d’enllaç sobre el corró, per tant, és també de direcció 3, i ha de ser estrictament positiva ja que és un enllaç unilateral: 

<math>\int_{\mathrm{J} \in \text { corró }} \mathrm{N}_{\rightarrow \mathrm{J}}=\mathrm{N}>0 .</math> 

El moment resultant d’enllaç depèn del punt del corró on es calculi. Si es tria un punt extrem del contacte (<math>\Ps</math> o <math>\Qs</math>), el moment resultant té signe definit: 

<center>
<math>\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{P})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{P J}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2>0 \\
0
\end{array}\right\},\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{Q})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{QJ}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2<0 \\
0
\end{array}\right\} .</math>
</center>
[[Fitxer:ExD3-4-2-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
La descripció de l’enllaç per mitjà del torsor és molt avantatjosa: redueix dràsticament el nombre d’incògnites d’enllaç (passem a tenir-ne només dues). Si el torsor es caracteritza a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math>, l’estudi de la condició límit de bolcament és fàcil: <math>\mathrm{M}_2=0</math>. Si es caracteritza en qualsevol altre punt de la generatriu de contacte, cal passar a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math> per investigar el bolcament.


===Caracterització analítica del torsor d’enllaç entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math>===

La caracterització del torsor d’enllaç entre dos sòlids es pot fer sense passar per la descripció de l’enllaç punt a punt: si el punt de caracterització pertany a un dels dos sòlids, n’hi ha prou en combinar la condició d’ortogonalitat entre força i velocitat a cada punt de contacte amb la cinemàtica de sòlid rígid, i sumar totes les equacions que en resulten ('''Figura D3.13'''). 

[[Fitxer:Opcio-ana.png|thumb|center|8000px|link=]]
<center>
'''Figura D3.13''' Caracterització analítica d’un enllaç multipuntual entre dos sòlids.

</center> 

Els vectors <math>\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \text{ i }\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}</math> es poden treure factor comú. Finalment: 

<math> \Biggl(\sum_\mathrm{J} \overline{\mathbf{F}}_{\rightarrow \mathrm{J}} \Biggl) \cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \Biggr[ \sum_\mathrm{J} (\overline{\mathbf{PJ}} \times \mathbf{F}_{\rightarrow \mathrm{J}}) \Biggr] \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} = 0 \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}=0 </math> 

Aquesta equació és l’equació de '''caracterització analítica''' del torsor d’enllaç. Expressa l’ortogonalitat entre el torsor d’enllaç <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)\bigl\}^\top</math> i el torsor cinemàtic <math>\bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \quad \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}^\top</math> de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>:<math>\left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps)\\
\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}
\end{array}\right\} =0.</math> 

Aquesta ortogonalitat no implica ortogonalitat entre força i velocitat per una banda, i entre moment i velocitat angular per l’altra. En principi,<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \neq 0 \text{, } \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \neq 0 </math>. 

Quan es fa servir l’equació de caracterització analítica, cal considerar inicialment que tant la força com el moment resultants tenen les tres components no nul·les. Pel que fa al torsor cinemàtic, cal escriure les seves components no nul·les en funció dels GL de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>. 

Per altra banda, en aparèixer multiplicades escalarment la força i la velocitat del punt per una banda, i el moment i la velocitat angular per l’altra, es poden fer servir bases vectorials diferents per a cadascun d’aquests productes escalars, doncs el seu resultat no depèn de la base: 

<math>\bigl\{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \bigl\}_\mathrm{B} \cdot \bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B} + \bigl\{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B'} \cdot \bigl\{\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}_\mathrm{B'} </math>

====✏️ Exemple D3.5: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-5-1-cat.png|thumb|left|165px|link=]]
:El corró no llisca sobre el terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe del terra sobre el corró, al punt <math>\Ps</math> és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}
\cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} =0</math> 

Totes les components del torsor d’enllaç tret de <math>\mathrm{M}_1</math> poden tenir qualsevol valor, doncs van multiplicades per zero. En canvi, com que <math>\Omega_1</math> no és zero en principi, <math>\mathrm{M}_1</math> ha de ser zero per tal de que es compleixi l’equació d’ortogonalitat. Així doncs, el torsor resultant d’enllaç és: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps)\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad \mathrm{M}_2 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top . </math> 

Com s'ha comentat a l’[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua|'''exemple D3.4''']], M2 ha de ser positiu. Un valor negatiu seria indicatiu de bolcament. 

Les cinc components no nul·les són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL del corró respecte de <math>\mathrm{S}</math> és 6. 

El torsor del mateix enllaç en un punt diferent es pot obtenir bé aplicant novament l’equació de caracterització analítica bé a partir del torsor a <math>\Ps</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). Per exemple, per al punt <math>\mathbf{C}</math> aquests dos mètodes condueixen a: 

* Caracterització analítica: <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\mathbf{C}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\mathbf{C}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math>

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_2 = - \rs \Omega_1\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
...\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math>

:<math>(-\rs \mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1)\Omega_1 =0 \quad \Rightarrow \quad -\rs\mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1=0 </math> 

Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

* Obtenció a partir del torsor a <math>\Ps</math>: <math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{P})+ \overline{\mathbf{CP}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} </math> 

:<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\}+ \left\{\begin{array}{c}
0\\
0 \\
-\rs
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
\rs \mathrm{F}_2\\
\mathrm{M}_2 - \rs \mathrm{F}_1 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math> 

:Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

El nombre de components no nul·les del torsor a <math>\mathbf{C}</math> és 6, però el nombre de components independents és 5, doncs hi ha una relació de dependència entre <math>\mathrm{M}_1</math> i <math>\mathrm{F}_2</math> . Per tant, segueix complint-se que el nombre de components independents de torsor més el de GL és 6.

====✏️ Exemple D3.6: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte puntual sense lliscament====
---------
[[Fitxer:ExD3-6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:La bola de radi r no llisca dins la cavitat esfèrica. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe de la cavitat sobre la bola, al seu centre <math>\mathbf{G}</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{cav}(\mathbf{G}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{cav}^\mathrm{bola}=0 </math> 

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{v}_1\\
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
\Omega_2\\
\Omega_3
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
... \\
...
\end{array}\right\} </math>

En no haver-hi lliscament al punt de contacte, les components de velocitat <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> són proporcionals a <math>\Omega_3</math> i <math>\Omega_1</math> , respectivament: <math>\mathrm{v}_1=-\rs \Omega_3</math>, <math>\mathrm{v}_3=\rs \Omega_1</math> (el signe negatiu de la primera igualtat indica que una <math>\Omega_3</math> positiva genera una <math>\mathrm{v}_1</math> negativa). Substituïnt a l’equació de caracterització i desenvolupant el producte escalar (sense incloure la component <math>\mathrm{F}_2</math> , perquè va multiplicada per zero): 

<math>(-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3) \Omega_3 + (\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1) \Omega_1 + \mathrm{M}_2\Omega_2=0. </math> 

Com que les tres rotacions són independents, els coeficients que les multipliquen han de ser zero perquè l’equació es compleixi per a qualsevol valor de <math>\Omega_3</math> i de <math>\Omega_1</math>: <math>-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3=0</math> ,<math>\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1</math> , <math>\mathrm{M}_2=0</math>. 

Finalment:

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad \mathrm{M}_1 \quad 0 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top</math>, amb <math>\mathrm{M}_3=\rs \mathrm{F}_1</math> i <math>\mathrm{M}_1=-\rs \mathrm{F}_3.</math> 

El torsor té cinc components no nul·les, però només tres són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL de la bola respecte de la cavitat és 6. 

Aquest torsor també es pot obtenir a partir de la caracterització a <math>\mathbf{J}</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). En tractar-se d’un contacte puntual sense lliscament, a <math>\mathbf{J}</math> hi ha tres components de força d’enllaç i cap moment: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{J})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad 0 \quad 0 \bigl\}^\top</math> 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{J})+ \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} = \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}</math> 

<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} = \left\{\begin{array}{c}
0\\
-\rs\\
0
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
-\rs \mathrm{F}_3\\
0 \\
\rs \mathrm{F}_1
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
0 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} </math> 

-----------

Com s’ha vist als exemples anteriors, l’equació de caracterització analítica garanteix que la suma del nombre de components independents del torsor d’enllaç entre dos sòlids i del nombre de GL relatius entre els sòlids és sempre 6:

<center><math>\boxed{\text{comps. indeps. torsor + GL relatius = 6}}</math></center>

===Caracterització immediata del torsor d’enllaç===

Quan es tria un punt <math>\Ps</math> de caracterització la velocitat del qual,<math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math>, és independent de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math>, i una base vectorial tal que les components de <math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math> són independents entre elles i les de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math> també, la '''caracterització és immediata''': a cada component nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component no nul·la del torsor dinàmic, i a cada component no nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component nul·la del torsor dinàmic.

====✏️ Exemple D3.7: caracterització immediata del torsor d’enllaç en un contacte multipuntual continu====
---------

[[Fitxer:ExD3-7-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La mola cònica no llisca sobre el terra cònic (T). La caracterització del torsor de l’enllaç directe del terra sobre qualsevol dels punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> de la mola amb el terra pot ser immediata, perquè <math>\vvec_\mathrm{T}(\mathbf{J})</math> independentment de la velocitat angular mola <math>\velang{mola}{T}</math> . 

Perquè ho sigui realment, cal triar una base vectorial per expressar el moment d’enllaç tal que els components de mola <math>\velang{mola}{T}</math> siguin independents. Ja que la direcció de mola <math>\velang{mola}{T}</math> està unívocament determinada (la mola te 1 GL respecte del terra), qualsevol base que tingui un eix paral·lel a l’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la mola és adequada: 

[[Fitxer:ExD3-7-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]] 
:Finalment: <math>\braq{\fvec{T}{mola}}{} = \vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{T}{mola}(\mathbf{J})}{} = \vector{\mathrm{M}_1}{0}{\mathrm{M}_3}.</math>


====✏️ Exemple D3.8: caracterització del torsor d’enllaç d’una unió helicoïdal====
---------

[[Fitxer:ExD3-8-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La caracterització del torsor de l’enllaç directe de la femella de la unió helicoïdal sobre el mascle no pot ser directa, 

En una unió helicoïdal, no hi ha cap punt del mascle que tingui velocitat respecte de la femella independent de la rotació entre les dues peces. Per tant, la caracterització immediata no és possible. 

Si es tria com a punt de caracterització qualsevol punt <math>\mathbf{O}</math> de l’eix 3, la caracterització analítica condueix a: 

<math>\fvec{femella}{mascle}\cdot \vvec_\mathrm{femella}(\mathbf{O})+ \mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O}) \cdot \velang{mascle}{femella}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{\mathrm{v}_3}+\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}\vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{...}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{...}.</math> 

La velocitat d’<math>\mathbf{O}</math> al llarg de l’eix és directament proporcional a la rotació per mitjà del pas de rosca e. Ja que <math>\Omega_3</math> es mesura en rad/s, <math>\mathrm{v}_3</math> en m/s, i e es dóna en mm/volta, cal fer una conversió d’unitats: 

<math>\mathrm{v}_3\left[\frac{\ms}{\ss}\right] = \Omega_3\left[\frac{\mathrm{rad}}{\ss}\right]\es\left[\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{ volta}}\right]\frac{1 \ms}{10^3 \mathrm{ mm}}\frac{1 \mathrm{volta}}{2 \pi \mathrm{ rad}} \Rightarrow \mathrm{v}_3= \Omega_3 \frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3}</math> 

Finalment: <math>\braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{M}_3= -\frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3} \mathrm{F}_3 </math>


===Torsors d'enllaç associats als enllaços directes habituals entre sòlids rígids===

Els [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''enllaços habituals entre parelles de sòlids rígids''']] s’han analitzat des del punt de vistacinemàtic. A partir d’aquesta descripció, es poden caracteritzar els torsors d’enllaç corresponents ('''Figura D3.14'''). 

[[Fitxer:D3-14-TABLE-cat.png|thumb|center|670px|link=]]
<center>
'''Figura D3.14''' Caracterització immediata dels enllaços directes habituals

</center> 

En els sistemes multisòlid formats únicament per sòlids rígids amb massa no negligible connectats mitjançant aquests enllaços habituals, la descripció dinàmica dels enllaços es fa considerant per separat cada parella de sòlids connectats com si la resta d’elements del sistema no hi fos.

====✏️ EXEMPLE D3.9: anàlisi d’incògnites en un sistema multisòlid====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-9-1-cat.png|thumb|left|300px|link=]] 

|El sistema multisòlid conté 5 enllaços habituals: 

* 3 enllaços de revolució (o articulacions)
* 1 enllaç cilíndric
* 1 enllaç esfèric (o ròtula esfèrica) 

Tenint en compte que una articulació introdueix 5 components independents de torsor d’enllaç, un enllaç cilíndric n’introdueix 4, i un d’esfèric 3, en el sistema hi ha un total de 22 incògnites d’enllaç.
|}


-----------
-----------

==D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç==
En els sistemes multisòlid, és freqüent que alguns sòlids tinguin massa negligible comparats amb els altres i que no reben altres forces que les d’enllaç amb altres sòlids. Aquests sòlids s’anomenen '''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''' ('''SAE'''), i se’ls pot donar un tractament particular quan es tracta de caracteritzar enllaços. 

La '''Figura D3.15''' presenta un sòlid <math>\mathrm{S1}</math> en contacte amb un sòlid <math>\mathrm{S}</math> de massa negligible, que no està sotmès a cap força que no sigui d’enllaç, en dues situacions diferents: <math>\mathrm{S}</math> només en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math> ('''Figura D3.15a''') i <math>\mathrm{S}</math> en contacte amb dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> ('''Figura D3.15b'''). 

[[Fitxer:D3-15-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.15''' Interacció entre sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i<math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’un sòlid auxiliar d’enllaç (SAE).

</center> 

En absència de <math>\mathrm{S2}</math> i, la presència de <math>\mathrm{S}</math> (en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math>) és dinàmicament irrellevant: <math>\mathrm{S}</math> no representa cap obstacle per moure <math>\mathrm{S1}</math>. Conseqüentment, <math>\mathrm{S}</math> no és capaç d’introduir cap força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Però quan <math>\mathrm{S}</math> interconnecta <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, <math>\mathrm{S}</math> esdevé un transmissor: <math>\mathrm{S2}</math> pot ser un obstacle quan es tracta de provocar certs moviments de <math>\mathrm{S1}</math>, i això es tradueix en forces d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Com a cas senzill per il·lustrar-ho, la '''Figura D3.16''' mostra dos exemples (que considerarem plans) on dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> sobre un pla llis estan connectats a través d’una barra de massa negligible (comparada amb la de <math>\mathrm{S1}</math> i la de <math>\mathrm{S2}</math>) articulada en els dos extrems:<

(a) les articulacions són perfectes (sense frec) 

(b) una de les articulacions té un molla torsional associada 

[[Fitxer:D3-16-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.16''' Enllaç indirecte entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’una barra <math>\mathrm{S}</math> articulada de massa negligible.

</center> 

En el cas (a), la barra és un SAE (no està sotmesa a cap força que no sigui d’enllaç). Provocar velocitat del punt <math>\mathbf{O}</math> de <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra implica moure <math>\mathrm{S}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> . En canvi, moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció ortogonal a la barra provoca moviment de <math>\mathrm{S}</math> però no de <math>\mathrm{S2}</math> , mentre que fer girar <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> no provoca el moviment cap dels dos (ni de <math>\mathrm{S}</math> ni de <math>\mathrm{S2}</math> ). En conseqüència, només té sentit associar una força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra. El responsable d’aquesta força no és <math>\mathrm{S}</math> sinó <math>\mathrm{S2}</math> : quan es tracta de caracteritzar l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> s’ha devaluar des de <math>\mathrm{S2}</math>. Es diu que entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> hi ha un '''enllaç indirecte a través del SAE'''. 

En el cas (b), la barra no és un SAE perquè està sotmesa a una interacció que no és d’enllaç (la de la molla). Com en el cas (a), moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció de la barra obliga a moure <math>\mathrm{S2}</math> . Però ara, el moviment de <math>\mathbf{O}</math> en direcció perpendicular a la barra obliga a deformar la molla, la qual actua sobre <math>\mathrm{S2}</math> i el fa bellugar. El moviment de rotació de <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> segueix sent possible sense haver de moure <math>\mathrm{S2}</math> ni deformar la molla. En la caracterització de l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , cal avaluar la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> de manera que <math>\mathbf{O}</math> no tingui velocitat : cal avaluar-la des de S. 

====✏️ Exemple D3.10: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-10-1-cat -nou.png|thumb|left|250px|link=]]
El carretó té 2 GL lliures respecte del terra (translació longitudinal i rotació vertical). Si la massa dels tres elements (rodes i xassís) és comparable, la representació simplificada del sistema i el nombre d’incògnites d’enllaç que conté és la següent: 

[[Fitxer:ExD3-10-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
En total, doncs, el sistema conté 17 incògnites d’enllaç. 

Aquest nombre es pot reduir en el cas que la massa de les rodes sigui negligible (comparada amb la del xassís): el xassís passa a tenir tres enllaços amb el terra, un de directe i dos d’indirectes a través de les rodes, que són SAE. El nombre d’incògnites que introdueix un d’aquests enllaços indirectes no és sempre evident a priori, i és aconsellable caracteritzar-lo analíticament. Cal recordar, però, que la cinemàtica que es descriu correspon a la que té el xassís respecte del terra com si només hi actués l’enllaç que es considera. En aquest cas, doncs, en la caracterització de l’enllaç indirecte entre terra i xassís a través de les rodes cal avaluar la cinemàtica com si el contacte directe amb el terra (a la part del davant del xassís) no hi fos. 

[[Fitxer:ExD3-10-3-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al seu centre <math>\mathbf{C}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Cs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad</math>

<math>\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs)}{}= \overline{0}</math>

El nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 

La caracterització també es pot fer al punt <math>\Os</math> (punt mig de l’eix de les rodes), doncs també pertany a la roda. Les components de la força han de ser les mateixes, però les del moment poden canviar. 

Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> només són possibles si hi ha rotació <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_1=\rs\Omega_2 </math> ,<math>\mathrm{v}_3=\Ls\Omega_2 </math> . Si s’introdueixen aquestes relacions i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>(\rs \mathrm{F}_1 + \Ls \mathrm{F}_3 +\mathrm{M}_2')\Omega_2+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+\mathrm{M}_1'\Omega_1+\mathrm{M}_3'\Omega_3=0</math> 

Ja que <math>(\mathrm{v}_2,\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3)</math> són independents, els coeficients de cadascuna d’aquestes velocitats ha de ser zero. Per tant, l’enllaç indirecte introdueix només 2 incògnites: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2'}{0}</math>, amb <math>\mathrm{M}_2'=-\rs \mathrm{F}_1 -\Ls\mathrm{F}_3</math> 

A aquest resultat també es podria haver arribat a partir de la relació que hi ha entre torsors associats a la mateixa interacció però en punts diferents ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]): 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)= \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) + \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} = \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} </math> , 

<math>\vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} = \vector{\Ls}{0}{-\rs} \times \vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} = \vector{0}{-\rs\mathrm{F}_1 -\Ls \mathrm{F}_3}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç segueix sent 5. 

Finalment, una altra opció és caracteritzar l’enllaç del terra sobre el xassís per mitjà de els dues rodes simultàniament. 

[[Fitxer:ExD3-10-4-cat.png|thumb|right|200px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de les dues rodes, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1''}{\mathrm{F}_2''}{\mathrm{F}_3''}\vector{0}{\mathrm{v}_2}{0}+ \vector{\mathrm{M}_1''}{\mathrm{M}_2''}{\mathrm{M}_3''} \vector{\Omega_1}{0}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents:

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1''}{0}{\mathrm{F}_3''} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2''}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç es redueix a 4.


====✏️ Exemple D3.11: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-11-2-cat.png|thumb|right|270px|link=]]
{|
[[Fitxer:ExD3-11-1-cat.png|thumb|left|210px|link=]]

|La placa té el vèrtex <math>\Ps</math> obligat a moure’s dins la guia, i el punt <math>\Qs</math> connectat al punt <math>\Os</math> del terra (T) mitjançant una barra amb articulacions als extrems. El sistema té només 1 GL, descrit per mitjà de <math>\dot{\theta}</math>. 

Si es considera el problema només en dues dimensions i cap element té massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 
|}
{|
|[[Fitxer:ExD3-11-3-cat.png|thumb|left|215px|link=]]
|Si la barra és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la placa per mitjà de la barra al punt <math>\Qs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Qs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
\Omega_1
\end{array}\right\}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
...
\end{array}\right\}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació de la barra, però no de la de la placa: en haver-hi una articulació a <math>\Qs</math>, la placa pot fer un moviment de translació circular quan la barra gira. Per tant, es tracta d’una caracterització immediata: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
0
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
0
\end{array}\right\}</math> 
|}


====✏️ Exemple D3.12: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-12-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-2-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-3-cat.png|thumb|left|150px|link=]]

La bola té 4 GL lliures respecte del terra (translacions al llarg de l’eix r-r’ i de l’eix 2, rotacions al voltant de l’eix r-r’ i de l’eix 2). Si no hi ha cap element de massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 8. 

Si l’element T és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la bola per mitjà d’aquest element al punt <math>\Gs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs) \cdot \velang{bola}{T}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{...}{\mathrm{M}_3}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> només és possible si l’element T (i per tant la bola) giren amb <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_3=-\xs\Omega_2</math>. Si s’introdueix aquesta relació i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>\mathrm{F}_1\mathrm{v}_1+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+(-\xs\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2)\Omega_2+\mathrm{M}_1\Omega_1</math> 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math> 

Tot i que el torsor a <math>\Gs</math> té tres components no nul·les, d’independents només n’hi ha dues.


---------
 

Un cas paradigmàtic en què la dimensió es redueix dràsticament és el del '''coixinet de boles''' ('''Figura D3.17'''). Si es tracta el problema com a pla i les N boles no es consideren SAE, el nombre d’incògnites d’enllaç del sistema és 4N (cada bola manté contacte puntual sense llisament amb els dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, i en el cas pla,el contacte puntual es redueix a dues incògnites d’enllaç). Si es tracten com a SAE, l’enllaç indirecte entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> a través de les boles es redueix a dues incògnites d’enllaç. 

[[Fitxer:D3-17-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.17''' Coixinet de boles.
</center> 

====✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-13-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:El sistema multisòlid té 2 GL respecte del terra: la translació circular de la placa respecte de l’eix i la rotació de tots els elements al voltant de l’eix vertical (permesa pel coixinet). Si cap element té massa negligible, el nombre: total d’incògnites d’enllaç és 25. 

:Si es negligeixen les masses de l’eix i de les dues barres i es tracten com a SAE, el sistema es redueix a un enllaç indirecte: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{...}{\mathrm{M}_3} </math> 

:La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació del conjunt al voltant de l’eix vertical: <math>\mathrm{v}_3=-(\mathrm{h} + \mathrm{Lcos}\theta)\Omega_2</math> . Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_2</math> provenen de la translació circular de la placa, i per tant no són independents: <math>\frac{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}=-\mathrm{tan}\theta</math> 

:Si es desenvolupa el producte escalar tenint en compte aquestes relacions: 

:<math>(-\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta+\mathrm{F}_2)\mathrm{v}_2+ [-(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2]\Omega_2=0, </math> 

:<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta</math> i <math>\mathrm{M}_2=(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3</math> 

:El nombre d’incògnites d’enllaç s’ha reduït a 4.


====✏️ Exemple D3.14: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-14-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:Si al sistema de l’ [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid|'''exemple D3.13''']] se li afegeix una molla torsional amb un extrem lligat a l’eix, el nombre de GL no es modifica, però en la descripció dels enllaços, l’eix no es pot tractar com a SAE encara que la seva massa sigui negligible. Les dues barres, però, segueixen estant sotmeses només a interaccions d’enllaç, i per tant, si es negligeix la seva massa, són SAE: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\mathrm{eix} (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{eix}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{-\mathrm{v}_2\mathrm{tan}\theta}{\mathrm{v}_2}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}, \mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta </math> 

:El nombre total d’incògnites d’enllaç és 10: 5 associades a l’enllaç indirecte que s’acaba de caracteritzar, i 5 més al coixinet entre terra i eix. 

[[Fitxer:ExD3-14-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]


---------
---------

==D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals==
Els actuadors (o accionaments) són elements concebuts per controlar un grau de llibertat (de translació o de rotació) entre dos sòlids i eliminar-ne d’altres. 

Externament, un actuador són dues peces que entre elles només tenen el GL a controlar (en el cas d’actuador rotacionals, aquestes peces s’anomenen '''estator''' i '''rotor'''). Quan s’insereix entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math>, la manera com es connecta als sòlids determina els GL eliminats entre ells. En aquest curs, la massa dels actuador es considera negligible sempre. 

La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> , doncs, es descriu mitjançant una força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o un parell <math>\Gamma</math> (o moment), segons que es tracti d’un actuador lineal o rotacional, i un torsor d’enllaç. 

Hi ha dues maneres de descriure el sistema format per <math>\mathrm{S}1</math>, <math>\mathrm{S}2</math>, <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math>: 

* Opció 1: Es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a dos sòlids més del sistema. Entre elles, el torsor de l’enllaç directe es caracteritza com si l’actuador estigués desactivat (permetent el GL que controla entre les dues peces quan està activat). Tant si l’actuador és lineal com si és rotacional, el torsor d’enllaç conté 5 components independents. A més, entre <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> hi ha la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math>. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{P}1</math>, i entre <math>\mathrm{S}2</math> i <math>\mathrm{P}2</math> es descriu mitjançant l’enllaç corresponent. 

* Opció 2: Es considera l’actuador desactivat, i es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']]. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> queda explicada llavors mitjançant el torsor de l’enllaç indirecte associat a aquesta cadena de SAEs, i la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math> .

====✏️ Exemple D3.15: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-15-1-cat.png|thumb|left|260px|link=]]

|L’actuador lineal, de massa negligible, actua entre terra i pèndol, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 1.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i el pèndol. 
|}
Opció 1 

Ja que la peça 1 de l’actuador està enganxada a terra, es poden considerar com a una de sola. La peça 2, en canvi, no està enganxada sinó articulada al pèndol. 

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització a <math>\Os</math> dels dos enllaços és immediata: 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

Opció 2 

El torsor de l’enllaç indirecte entre terra i pèndol a través de l’actuador es pot caracteritzar analíticament: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}} \cdot \vvec_\mathrm{terra} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os) \cdot \velang{pèndol}{terra}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}}{}=\vector{0}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{0}</math> 

:En aquest cas, la caracterització a <math>\Os</math> és immediata. 

:Les interaccions entre terra i pèndol per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


====✏️ Exemple D3.16: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-16-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]

|L’actuador lineal actua entre el suport i l’hèlix, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 2 (la qual cosa fa girar l’hèlix sempre i quan no es passi per configuracions singulars – per exemple, quan la direcció de l’actuador és vertical i passa per <math>\Os</math>). Es tracta de descriure la interacció entre el suport i l’hèlix.

|}
Opció 1 
Cap de les peces que formen l’actuador és fixa al suport ni a l’hèlix. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]] 

La caracterització dels tres enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os')}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

 

Opció 2 

: El torsor de l’enllaç indirecte entre suport i hèlix a través de l’actuador és nul: en haver-hi ròtules esfèriques als dos extrems de l’actuador, el punt <math>\Os</math> podria tenir velocitat en totes les direccions respecte del suport. 

:La interacció entre suport i hèlix a través de l’actuador es redueix a una força (que és la que fa l’actuador quan està activat): 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
 

====✏️ Exemple D3.17: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-17-1-cat,esp.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor, de massa negligible, actua entre terra i anella, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i l’anella. 

Opció 1 

En aquest cas, l’estàtor (P1) és fix a terra, i el rotor (P2) és fix a l’anella. Per tant, només té sentit l’opció 1. 

Les interaccions entre terra i anella per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-17-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]]

El torsor de l’enllaç entre terra (+P1) i anella (+P2) és el que correspon a una articulació, i la seva caracterització és immediata: 

<center>
<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math>
</center>
|}


====✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-18-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor actua entre la forquilla i la roda, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre la forquilla i la roda. 
|}
Opció 1 

Una de les peces que formen l’actuador (el rotor) és fixa la roda. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització dels dos enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

Opció 2 

:La caracterització del torsor d’enllaç entre forquilla i roda a través del motor és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}} \cdot \vvec_\mathrm{forq} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os) \cdot \velang{roda}{forq}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{M}_3}</math> 

:La interacció entre forquilla i roda a través del motor es resumeix en el diagrama següent: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D2. Forces d’interacció entre partícules|<<< D2. Forces d’interacció entre partícules]]

[[D4. Teoremes vectorials|D4. Teoremes vectorials >>>]]
</center>

D3. Interaccions entre sòlids rígids

2024-04-25T13:12:46Z

Ebosch: /* ✏️ Exemple D3.10: caracterització d’un enllaç indirecte */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
</math>
Com s’ha vist a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules|'''unitat D2''']], les interaccions entre parelles de partícules <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> queden descrites per una única força de direcció <math>\overline{\Ps \Qs}</math> . Quan la interacció és entre parelles de sòlids rígids (que es poden considerar com a dos conjunts d’infinites partícules), la descripció partícula a partícula portaria a treballar amb un sistema d’infinites forces. En aquest cas, cal passar a una descripció compacta d’aquest sistema de forces que retingui, però, la informació necessària per estudiar la dinàmica dels sòlids rígids: el sistema de forces es substitueix per un '''torsor resultant'''. 

Aquesta unitat introdueix el concepte de '''torsor associat a un sistema de forces''', i després l’aplica a les diverses interaccions entre sòlids (a distància, de contacte i per mitjà d’elements intermedis).

-----------
-----------
==D3.1 Torsor associat a un sistema de forces==
La reducció d’un sistema de forces sobre un sòlid rígid a un torsor és absolutament necessària quan el nombre de forces és molt elevat (infinit). Quan es tracta d’un sistema de poques forces, sol ser opcional. 

Una operació matemàtica eficaç per reduir el nombre de forces sobre un sòlid S és la suma: per molt elevat que sigui el nombre de forces, la suma condueix a una única '''força resultant'''. Aquesta reducció dràstica, però, implica una pèrdua d’informació essencial en molts casos. Sempre i quan no interessi estudiar la deformació dels objectes (és a dir, quan només s’estudiï la dinàmica de sòlids rígids), això es resol afegint un segon vector a la descripció compacta del sistema: el '''moment''' (o '''parell''') '''resultant respecte d’un punt''' <math>\Qs</math>. El conjunt d’aquests dos vectors és el '''torsor del sistema de forces en el punt''' <math>\Qs</math> ('''Figura D3.1'''). 

[[Fitxer:D3-1-cat.png|thumb|center|370px|link=]]
<center>'''Figura D3.1''' Torsor associat a un sistema de forces que actuen sobre un sòlid rígid.
</center> 

A tall d’exemple, considerem el cas d’una barra rígida inicialment en repòs que se sotmet a un sistema de forces amb força resultant nul·la. La '''Figura D3.2''' presenta tres situacions diferents que corresponen a aquesta resultant: ('''a''') lliure de forces, ('''b''') forces paral·leles a la barra, ('''c''') forces perpendiculars a la barra. En els dos casos primers ('''a''', '''b'''), el sistema de forces no modifica l’estat de repòs. En el tercer ('''c'''), les forces provoquen una rotació horària de la barra. El torsor resultant en qualsevol punt permet distingir entre ('''c''') i ('''a''', '''b'''). 

[[Fitxer:D3-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.2''' Barra rígida sotmesa a una força resultant nul·la.
</center> 

La força resultant no depèn mai del punt on es calcula el torsor. En canvi, el moment resultant en general sí que en depèn ('''Figura D3.3'''). 

[[Fitxer:D3-3-neut.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.3''' Barra rígida sotmesa a dues forces de valor diferent.
</center> 

El torsor resultant es representa en el punt on s’ha calculat el moment resultant ('''Figura D3.4'''). 

[[Fitxer:D3-4-neut.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.4''' Torsors a diferents punts per a l’exemple de la barra rígida de la '''Figura D3.3'''.
</center>
El moment resultant en un punt <math>\Qs’</math> es pot obtenir a partir del torsor en un punt <math>\Qs</math>: 

<math>\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs ')=\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs) + \overline{\Qs '\Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs</math>

<div>
=====💭 Demostració ➕=====


:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)=\sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is</math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\sum \overline{\Qs ' \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum (\overline{\Qs ' \Qs}+\overline{\Qs \Ps_\is}) \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum \overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\is + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\overline{\Qs ' \Qs} \times (\sum \overline{\mathbf{F}}_\is) + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is </math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs+\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)</math>

</div>

-----------
-----------

==D3.2 Atracció gravitatòria==
El càlcul del torsor resultant gravitatori sobre un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> per causa d’un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> no és senzill. La força gravitatòria resultant sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) prové de les forces (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> ) que cada diferencial de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> exerceix sobre <math>\Ps</math> ('''Figura D3.5'''). El torsor resultant sobre <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> s’obté a partir de totes aquestes forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> sobre tots els diferencials de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> . 

[[Fitxer:D3-5-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
<center><math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> és la suma de totes les <math>\mathbf{F}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math>
</center>
<center>'''Figura D3.5''' Càlcul de la força total gravitatòria del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> (<math> \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math>.
</center> 

Quan es tracta de l’atracció gravitatòria terrestre (<math>\mathrm{S}_\mathrm{Q} = \mathrm{Terra}</math>) sobre un sòlid de petites dimensions comparades amb les de la Terra i prop de la superfície terrestre, és usual emprar l’aproximació de camp uniforme: les forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> pràcticament paral·leles entre elles i el seu valor és <math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps} = \mathrm{gdm}(\Ps)</math> , amb <math>\mathrm{g}</math> constant i igual al camp gravitatori a la superfície terrestre:<math>\mathrm{g}=\mathrm{G}_0 \frac{\mathrm{M}_\Ts}{\Rs_\Ts^2}</math>(on <math>\mathrm{G}_0</math> és la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.3 Atracció gravitatòria|'''constant universal de gravitació''']], i <math>\mathrm{M}_\Ts</math> i <math>\Rs_\Ts</math> són la massa i el radi de la Terra, respectivament). En aquest cas, es pot demostrar que existeix un punt de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> en el qual el torsor gravitatori es redueix a una força resultant <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{T}} \rightarrow \mathrm{S}_{\mathrm{P}}}</math> de valor mg (on m és la massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> ) dirigida cap al centre de la terra, i un moment resultant gravitatori nul. Aquest punt s’anomena '''centre de gravetat''' del sòlid, es representarà amb la lletra '''G''' ('''Figura D3.6'''). 

[[Fitxer:D3-6-cat.png|thumb|center|600px|link=]]
<center>'''Figura D3.6''' Atracció gravitatòria terrestre sobre un sòlid rígid en l‘aproximació de camp uniforme.
</center>

-----------
-----------
==D3.3 Interacció per mitjà de molles i amortidors==
===Molles i amortidors lineals===
Quan una molla o un amortidor lineal connecta dos punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> de dos sòlids diferents, cal assegurar que la connexió es fa de manera que la força que es transmet entre els punts té la direcció de l’element, i que no es transmet cap moment (o parell). 

En alguns casos, això es pot aconseguir inserint l’element entre dos trams de fil inextensible ('''Figura D3.7a'''). En aquest cas, la força que introdueix entre els punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> només pot ser d’atracció (a causa del caràcter unilateral de l’actuació del fil). 

En d’altres casos, cal recórrer a unions mitjançant [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''articulacions''']] (si es tracta d’un problema pla, '''Figura D3.7b''') o [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''ròtules esfèriques''']] (si és un problema 3D). 

[[Fitxer:D3-7-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D3.7''' Molles i amortidors lineals connectats a dos sòlids rígids diferents.
</center>

====✏️ Exemple D3.1: força de repulsió d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------

[[Fitxer:ExD3-1-1-neut.png|thumb|left|175px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, actua entre el suport fix a terra i un eix vertical que està en contacte amb la barra. Per a <math>\theta = 0</math> , el sistema està en equilibri, i la força que la molla exerceix entre els seus extrems és <math>\mathrm{F}_0</math> . 

:En absència de molla, la barra, que està articulada al suport al punt <math>\mathbf{O}</math>, tendiria a caure (rotació horària). Si per a <math>\theta = 0</math> hi ha equilibri, la molla ha d’estar fent necessàriament una repulsió entre els seus extrems en aquesta configuració. Per tant, el més lògic és calcular l’expressió de la força de la molla per a una configuració general com a força repulsiva: 

<math> \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}= \mathrm{F}_0 - \mathrm{k}\Delta\rho=\mathrm{F}_0-\mathrm{k}[\rho(\theta) - \rho(\theta=0)]</math>. 

L’increment <math>\Delta \rho </math> de llargària de la molla a partir de l’equilibri és proporcional a la tangent de l’angle:<math>\mathrm{tan}\theta=\Delta\rho/\mathrm{L}</math>. Per tant: <math>\mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}=\mathrm{F}_0-\mathrm{kL}\mathrm{tan}\theta</math>. 

La força de repulsió de l’amortidor s’obté a partir de l’allargament anterior per derivació: 

<math>\rho=\mathrm{Ltan}\theta \Rightarrow \dot{\rho} = \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c}\dot{\rho}=-\mathrm{c} \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta}</math>


====✏️ Exemple D3.2: força d’atracció d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------


[[Fitxer:ExD3-2-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, té un extrem fix al xassís del vehicle, i l’altre a un fil que s’enrotlla al damunt d’un corró de radi <math>\rs</math> solidari a la roda de radi <math>2\rs</math>, que no llisca al damunt del terra. Per a <math>\xs = 0</math> , la molla està estirada i exerceix una força <math>\mathrm{F}_0</math> entre els seus extrems.
[[Fitxer:ExD3-2-2-cat.png|thumb|right|220px|link=]]
:La coordenada <math>\xs</math> descriu la posició del xassís respecte del terra, i per tant també la del centre de la roda de radi <math>2\rs</math>. En tenir la molla un extrem lligat a un fil que s’enrotlla al corró, el desplaçament d’aquest extrem respecte del terra es pot obtenir per integració de la seva velocitat. 

:Vistes les velocitats dels dos extrems de la molla, és evident que s’escurça. La velocitat d’escurçament entre els extrems és: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{3}{2}\dot{\xs}-\dot{\xs}=\frac{1}{2}\dot{\xs}</math>, i per tant, l’escurçament de la molla a partir de la configuració <math>\xs = 0</math> és:<math>\frac{1}{2}\xs(=-\Delta \rho)</math> 

:L’expressió de la força d’atracció de la molla (ja que la <math>\mathrm{F}_0</math> és una atracció ja que la molla està estirada per a <math>\xs = 0</math> ) és:<math>\mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{molla}} + \mathrm{k}\Delta \rho = \mathrm{F}_0 - \frac{1}{2}\mathrm{k}\xs </math> 

:La força d’atracció de l’amortidor s’obté a partir de la velocitat l’escurçament que ja s’ha trobat: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{1}{2}\dot{\xs} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c} \dot{\rho}=-\frac{1}{2} \mathrm{c} \dot{\xs}</math>


-----------

===Molles i amortidors torsionals===

Les '''molles''' i els '''amortidors torsionals''' introdueixen moments però no forces entre els dos sòlids que connecten. Igual que en el cas dels elements lineals, la unió a cadascun dels sòlids ha de garantir que només es transmet un moment en una direcció determinada. Igual que en els casos dels elements lineals, les maneres d’aconseguir-ho són diverses. 

Quan les molles i els amortidors torsionals són de comportament lineal, l’increment de moment que introdueixen entre els sòlids, quan l’orientació relativa entre ells s’incrementa en un angle <math>\Delta \theta</math>, és proporcional a <math>\Delta \theta</math> i <math>\dot{\theta}</math>, respectivament ('''Figura D3.8'''). 

[[Fitxer:D3-8-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.8''' Formulació de molles i amortidors torsionals de comportament lineal.
</center>

-----------
-----------

==D3.4 Interaccions d’enllaç directes==
Les interaccions directes d’enllaç entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math> es produeixen quan estan en contacte, i provenen de les petites deformacions locals dels sòlids en la zona de contacte. Des del punt de vista macroscòpic, això es tradueix en impenetrabilitat i rugositat dels sòlids. Com ja s’ha comentat a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|'''secció D2.7''']], en tractar aquest curs de la dinàmica d’objectes rígids, les deformacions no es formulen, i per tant les forces associades són incògnites del problema dinàmic. 

Quan els enllaços impliquen sòlids, cal precisar si són llisos o rugosos. Una superfície llisa no pot impedir que un element llisqui respecte d’ella tot mantenint-hi contacte, mentre que una de rugosa sí que ho pot impedir. Això té una conseqüència directa en la caracterització de l’enllaç. 

Com a introducció a la caracterització d’enllaços entre sòlids, és útil considerar el cas més senzill del contacte puntual.

Considerem dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> que mantenen un contacte puntual entre ells. Els punts de contacte són <math>\Ps_1</math> i <math>\Ps_2</math> , respectivament. La caracterització de l’enllaç que <math>\mathrm{S}2</math> fa sobre <math>\Ps_1</math> (o que <math>\mathrm{S}1</math> fa sobre <math>\Ps_2</math> ) s’obté de manera anàloga a la de l’[[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|enllaç partícula-sòlid]] ('''Figura D3.12'''). El valor límit de força tangencial d'enllaç també s'obté com en el cas [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.8 Fricció|partícula-sòlid]]

[[Fitxer:D3-12-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.12''' Caracterització de l’enllaç puntual del sòlid <math>\mathrm{S}_2</math> sobre el sòlid <math>\mathrm{S}_1</math>.
</center> 
Quan l’enllaç entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> és multipuntual, la condició d’ortogonalitat entre força d’enllaç i velocitat permesa es pot aplicar a cada punt on es produeix contacte (la qual cosa implica acceptar que l’enllaç multipuntual es pot obtenir com a superposició d’enllaços puntuals independents). De vegades, això condueix a un nombre de components de forces d’enllaç elevat (fins i tot infinit, si el contacte es produeix al llarg d’un tram lineal o superficial continu), i cal reduir el sistema de forces a un torsor resultant d’enllaç. En alguns casos, aquesta reducció es pot obtenir molt fàcilment a partir de la descripció de l’enllaç punt a punt. 

Si bé és possible calcular el torsor d’un sistema de forces en qualsevol punt ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]), quan es tracta de torsors d’enllaç és convenient que aquest punt pertanyi al sòlid sotmès al sistema de forces en qüestió, perquè d’això sen deriva una propietat important.

====✏️ Exemple D3.3: torsor d’enllaç en un contacte bipuntual====
---------

[[Fitxer:ExD3-3-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El bloc manté contacte bipuntual amb un terra llis, i es mou només en un pla. 
[[Fitxer:ExD3-3-2-neut.png|thumb|right|175px|link=]]
:La descripció de l’enllaç com a superposició de dos enllaços puntuals condueix a dues forces normals: Si només hi hagués contacte a <math>\Ps</math>, l’enllaç introduiria només una força a <math>\Ps</math> normal al terra (<math>\Ns_\mathrm{P}</math>); si el contacte fos només a <math>\Qs</math>, introduiria una força a <math>\Qs</math> normal al bloc (<math>\Ns_\mathrm{Q}</math>). Els valors de <math>\Ns_\mathrm{P}</math> i <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> són independents (conèixer <math>\Ns_\mathrm{P}</math> no implica conèixer <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> ). El contacte bipuntual, doncs, introdueix dues incògnites d’enllaç. 

En tractar-se només de dues forces, la reducció a un torsor no és necessària, Per altra banda, aquesta desripció és útil per estudiar les dues condicions límit: <math>\Ns_\mathrm{P}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Ps</math> (per tant, bolcament en sentit horari), mentre que <math>\Ns_\mathrm{Q}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Qs</math> (per tant, bolcament en sentit antihorari).

En aquest cas, el torsor associat a aquest sistema de forces no redueix el nombre d’incògnites, que segueix sent 2. La força resultant té dues components independents:

<center>
<math>\left\{\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{T} \rightarrow \text { bloc }}\right\}=\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1 \\
\mathrm{F}_2 \\
0
\end{array}\right\} \text {, amb }\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1=-\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \sin \theta \\
\mathrm{F}_2=\mathrm{N}_{\mathrm{p}}+\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \cos \theta
\end{array}\right. \text {. }</math>
</center>

El moment resultant depèn del punt del bloc on es caracteritza el torsor, i quan no és nul, es pot escriure en funció de les components de força. 

[[Fitxer:ExD3-3-3-cat.png|thumb|center|600px|link=]]

Passar de la descripció punt a punt al torsor no té cap avantatge en aquest cas: no redueix el nombre d’incògnites d’enllaç, i dificulta l’estudi de les condicions límit.


====✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-4-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El corró es troba en contacte amb lliscament sobre un terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La descripció de l’enllaç multipuntual com a superposició d’enllaços puntuals condueix a un conjunt d’infinites forces normals <math>\Ns_{\rightarrow \mathrm{J}}</math> als punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> en la direcció normal al terra (direcció 3). La força resultant d’enllaç sobre el corró, per tant, és també de direcció 3, i ha de ser estrictament positiva ja que és un enllaç unilateral: 

<math>\int_{\mathrm{J} \in \text { corró }} \mathrm{N}_{\rightarrow \mathrm{J}}=\mathrm{N}>0 .</math> 

El moment resultant d’enllaç depèn del punt del corró on es calculi. Si es tria un punt extrem del contacte (<math>\Ps</math> o <math>\Qs</math>), el moment resultant té signe definit: 

<center>
<math>\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{P})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{P J}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2>0 \\
0
\end{array}\right\},\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{Q})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{QJ}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2<0 \\
0
\end{array}\right\} .</math>
</center>
[[Fitxer:ExD3-4-2-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
La descripció de l’enllaç per mitjà del torsor és molt avantatjosa: redueix dràsticament el nombre d’incògnites d’enllaç (passem a tenir-ne només dues). Si el torsor es caracteritza a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math>, l’estudi de la condició límit de bolcament és fàcil: <math>\mathrm{M}_2=0</math>. Si es caracteritza en qualsevol altre punt de la generatriu de contacte, cal passar a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math> per investigar el bolcament.


===Caracterització analítica del torsor d’enllaç entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math>===

La caracterització del torsor d’enllaç entre dos sòlids es pot fer sense passar per la descripció de l’enllaç punt a punt: si el punt de caracterització pertany a un dels dos sòlids, n’hi ha prou en combinar la condició d’ortogonalitat entre força i velocitat a cada punt de contacte amb la cinemàtica de sòlid rígid, i sumar totes les equacions que en resulten ('''Figura D3.13'''). 

[[Fitxer:Opcio-ana.png|thumb|center|8000px|link=]]
<center>
'''Figura D3.13''' Caracterització analítica d’un enllaç multipuntual entre dos sòlids.

</center> 

Els vectors <math>\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \text{ i }\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}</math> es poden treure factor comú. Finalment: 

<math> \Biggl(\sum_\mathrm{J} \overline{\mathbf{F}}_{\rightarrow \mathrm{J}} \Biggl) \cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \Biggr[ \sum_\mathrm{J} (\overline{\mathbf{PJ}} \times \mathbf{F}_{\rightarrow \mathrm{J}}) \Biggr] \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} = 0 \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}=0 </math> 

Aquesta equació és l’equació de '''caracterització analítica''' del torsor d’enllaç. Expressa l’ortogonalitat entre el torsor d’enllaç <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)\bigl\}^\top</math> i el torsor cinemàtic <math>\bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \quad \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}^\top</math> de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>:<math>\left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps)\\
\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}
\end{array}\right\} =0.</math> 

Aquesta ortogonalitat no implica ortogonalitat entre força i velocitat per una banda, i entre moment i velocitat angular per l’altra. En principi,<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \neq 0 \text{, } \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \neq 0 </math>. 

Quan es fa servir l’equació de caracterització analítica, cal considerar inicialment que tant la força com el moment resultants tenen les tres components no nul·les. Pel que fa al torsor cinemàtic, cal escriure les seves components no nul·les en funció dels GL de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>. 

Per altra banda, en aparèixer multiplicades escalarment la força i la velocitat del punt per una banda, i el moment i la velocitat angular per l’altra, es poden fer servir bases vectorials diferents per a cadascun d’aquests productes escalars, doncs el seu resultat no depèn de la base: 

<math>\bigl\{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \bigl\}_\mathrm{B} \cdot \bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B} + \bigl\{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B'} \cdot \bigl\{\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}_\mathrm{B'} </math>

====✏️ Exemple D3.5: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-5-1-cat.png|thumb|left|165px|link=]]
:El corró no llisca sobre el terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe del terra sobre el corró, al punt <math>\Ps</math> és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}
\cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} =0</math> 

Totes les components del torsor d’enllaç tret de <math>\mathrm{M}_1</math> poden tenir qualsevol valor, doncs van multiplicades per zero. En canvi, com que <math>\Omega_1</math> no és zero en principi, <math>\mathrm{M}_1</math> ha de ser zero per tal de que es compleixi l’equació d’ortogonalitat. Així doncs, el torsor resultant d’enllaç és: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps)\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad \mathrm{M}_2 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top . </math> 

Com s'ha comentat a l’[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua|'''exemple D3.4''']], M2 ha de ser positiu. Un valor negatiu seria indicatiu de bolcament. 

Les cinc components no nul·les són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL del corró respecte de <math>\mathrm{S}</math> és 6. 

El torsor del mateix enllaç en un punt diferent es pot obtenir bé aplicant novament l’equació de caracterització analítica bé a partir del torsor a <math>\Ps</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). Per exemple, per al punt <math>\mathbf{C}</math> aquests dos mètodes condueixen a: 

* Caracterització analítica: <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\mathbf{C}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\mathbf{C}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math>

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_2 = - \rs \Omega_1\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
...\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math>

:<math>(-\rs \mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1)\Omega_1 =0 \quad \Rightarrow \quad -\rs\mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1=0 </math> 

Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

* Obtenció a partir del torsor a <math>\Ps</math>: <math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{P})+ \overline{\mathbf{CP}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} </math> 

:<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\}+ \left\{\begin{array}{c}
0\\
0 \\
-\rs
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
\rs \mathrm{F}_2\\
\mathrm{M}_2 - \rs \mathrm{F}_1 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math> 

:Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

El nombre de components no nul·les del torsor a <math>\mathbf{C}</math> és 6, però el nombre de components independents és 5, doncs hi ha una relació de dependència entre <math>\mathrm{M}_1</math> i <math>\mathrm{F}_2</math> . Per tant, segueix complint-se que el nombre de components independents de torsor més el de GL és 6.

====✏️ Exemple D3.6: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte puntual sense lliscament====
---------
[[Fitxer:ExD3-6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:La bola de radi r no llisca dins la cavitat esfèrica. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe de la cavitat sobre la bola, al seu centre <math>\mathbf{G}</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{cav}(\mathbf{G}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{cav}^\mathrm{bola}=0 </math> 

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{v}_1\\
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
\Omega_2\\
\Omega_3
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
... \\
...
\end{array}\right\} </math>

En no haver-hi lliscament al punt de contacte, les components de velocitat <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> són proporcionals a <math>\Omega_3</math> i <math>\Omega_1</math> , respectivament: <math>\mathrm{v}_1=-\rs \Omega_3</math>, <math>\mathrm{v}_3=\rs \Omega_1</math> (el signe negatiu de la primera igualtat indica que una <math>\Omega_3</math> positiva genera una <math>\mathrm{v}_1</math> negativa). Substituïnt a l’equació de caracterització i desenvolupant el producte escalar (sense incloure la component <math>\mathrm{F}_2</math> , perquè va multiplicada per zero): 

<math>(-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3) \Omega_3 + (\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1) \Omega_1 + \mathrm{M}_2\Omega_2=0. </math> 

Com que les tres rotacions són independents, els coeficients que les multipliquen han de ser zero perquè l’equació es compleixi per a qualsevol valor de <math>\Omega_3</math> i de <math>\Omega_1</math>: <math>-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3=0</math> ,<math>\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1</math> , <math>\mathrm{M}_2=0</math>. 

Finalment:

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad \mathrm{M}_1 \quad 0 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top</math>, amb <math>\mathrm{M}_3=\rs \mathrm{F}_1</math> i <math>\mathrm{M}_1=-\rs \mathrm{F}_3.</math> 

El torsor té cinc components no nul·les, però només tres són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL de la bola respecte de la cavitat és 6. 

Aquest torsor també es pot obtenir a partir de la caracterització a <math>\mathbf{J}</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). En tractar-se d’un contacte puntual sense lliscament, a <math>\mathbf{J}</math> hi ha tres components de força d’enllaç i cap moment: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{J})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad 0 \quad 0 \bigl\}^\top</math> 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{J})+ \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} = \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}</math> 

<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} = \left\{\begin{array}{c}
0\\
-\rs\\
0
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
-\rs \mathrm{F}_3\\
0 \\
\rs \mathrm{F}_1
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
0 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} </math> 

-----------

Com s’ha vist als exemples anteriors, l’equació de caracterització analítica garanteix que la suma del nombre de components independents del torsor d’enllaç entre dos sòlids i del nombre de GL relatius entre els sòlids és sempre 6:

<center><math>\boxed{\text{comps. indeps. torsor + GL relatius = 6}}</math></center>

===Caracterització immediata del torsor d’enllaç===

Quan es tria un punt <math>\Ps</math> de caracterització la velocitat del qual,<math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math>, és independent de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math>, i una base vectorial tal que les components de <math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math> són independents entre elles i les de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math> també, la '''caracterització és immediata''': a cada component nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component no nul·la del torsor dinàmic, i a cada component no nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component nul·la del torsor dinàmic.

====✏️ Exemple D3.7: caracterització immediata del torsor d’enllaç en un contacte multipuntual continu====
---------

[[Fitxer:ExD3-7-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La mola cònica no llisca sobre el terra cònic (T). La caracterització del torsor de l’enllaç directe del terra sobre qualsevol dels punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> de la mola amb el terra pot ser immediata, perquè <math>\vvec_\mathrm{T}(\mathbf{J})</math> independentment de la velocitat angular mola <math>\velang{mola}{T}</math> . 

Perquè ho sigui realment, cal triar una base vectorial per expressar el moment d’enllaç tal que els components de mola <math>\velang{mola}{T}</math> siguin independents. Ja que la direcció de mola <math>\velang{mola}{T}</math> està unívocament determinada (la mola te 1 GL respecte del terra), qualsevol base que tingui un eix paral·lel a l’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la mola és adequada: 

[[Fitxer:ExD3-7-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]] 
:Finalment: <math>\braq{\fvec{T}{mola}}{} = \vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{T}{mola}(\mathbf{J})}{} = \vector{\mathrm{M}_1}{0}{\mathrm{M}_3}.</math>


====✏️ Exemple D3.8: caracterització del torsor d’enllaç d’una unió helicoïdal====
---------

[[Fitxer:ExD3-8-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La caracterització del torsor de l’enllaç directe de la femella de la unió helicoïdal sobre el mascle no pot ser directa, 

En una unió helicoïdal, no hi ha cap punt del mascle que tingui velocitat respecte de la femella independent de la rotació entre les dues peces. Per tant, la caracterització immediata no és possible. 

Si es tria com a punt de caracterització qualsevol punt <math>\mathbf{O}</math> de l’eix 3, la caracterització analítica condueix a: 

<math>\fvec{femella}{mascle}\cdot \vvec_\mathrm{femella}(\mathbf{O})+ \mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O}) \cdot \velang{mascle}{femella}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{\mathrm{v}_3}+\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}\vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{...}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{...}.</math> 

La velocitat d’<math>\mathbf{O}</math> al llarg de l’eix és directament proporcional a la rotació per mitjà del pas de rosca e. Ja que <math>\Omega_3</math> es mesura en rad/s, <math>\mathrm{v}_3</math> en m/s, i e es dóna en mm/volta, cal fer una conversió d’unitats: 

<math>\mathrm{v}_3\left[\frac{\ms}{\ss}\right] = \Omega_3\left[\frac{\mathrm{rad}}{\ss}\right]\es\left[\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{ volta}}\right]\frac{1 \ms}{10^3 \mathrm{ mm}}\frac{1 \mathrm{volta}}{2 \pi \mathrm{ rad}} \Rightarrow \mathrm{v}_3= \Omega_3 \frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3}</math> 

Finalment: <math>\braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{M}_3= -\frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3} \mathrm{F}_3 </math>


===Torsors d'enllaç associats als enllaços directes habituals entre sòlids rígids===

Els [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''enllaços habituals entre parelles de sòlids rígids''']] s’han analitzat des del punt de vistacinemàtic. A partir d’aquesta descripció, es poden caracteritzar els torsors d’enllaç corresponents ('''Figura D3.14'''). 

[[Fitxer:D3-14-TABLE-cat.png|thumb|center|670px|link=]]
<center>
'''Figura D3.14''' Caracterització immediata dels enllaços directes habituals

</center> 

En els sistemes multisòlid formats únicament per sòlids rígids amb massa no negligible connectats mitjançant aquests enllaços habituals, la descripció dinàmica dels enllaços es fa considerant per separat cada parella de sòlids connectats com si la resta d’elements del sistema no hi fos.

====✏️ EXEMPLE D3.9: anàlisi d’incògnites en un sistema multisòlid====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-9-1-cat.png|thumb|left|300px|link=]] 

|El sistema multisòlid conté 5 enllaços habituals: 

* 3 enllaços de revolució (o articulacions)
* 1 enllaç cilíndric
* 1 enllaç esfèric (o ròtula esfèrica) 

Tenint en compte que una articulació introdueix 5 components independents de torsor d’enllaç, un enllaç cilíndric n’introdueix 4, i un d’esfèric 3, en el sistema hi ha un total de 22 incògnites d’enllaç.
|}


-----------
-----------

==D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç==
En els sistemes multisòlid, és freqüent que alguns sòlids tinguin massa negligible comparats amb els altres i que no reben altres forces que les d’enllaç amb altres sòlids. Aquests sòlids s’anomenen '''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''' ('''SAE'''), i se’ls pot donar un tractament particular quan es tracta de caracteritzar enllaços. 

La '''Figura D3.15''' presenta un sòlid <math>\mathrm{S1}</math> en contacte amb un sòlid <math>\mathrm{S}</math> de massa negligible, que no està sotmès a cap força que no sigui d’enllaç, en dues situacions diferents: <math>\mathrm{S}</math> només en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math> ('''Figura D3.15a''') i <math>\mathrm{S}</math> en contacte amb dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> ('''Figura D3.15b'''). 

[[Fitxer:D3-15-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.15''' Interacció entre sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i<math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’un sòlid auxiliar d’enllaç (SAE).

</center> 

En absència de <math>\mathrm{S2}</math> i, la presència de <math>\mathrm{S}</math> (en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math>) és dinàmicament irrellevant: <math>\mathrm{S}</math> no representa cap obstacle per moure <math>\mathrm{S1}</math>. Conseqüentment, <math>\mathrm{S}</math> no és capaç d’introduir cap força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Però quan <math>\mathrm{S}</math> interconnecta <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, <math>\mathrm{S}</math> esdevé un transmissor: <math>\mathrm{S2}</math> pot ser un obstacle quan es tracta de provocar certs moviments de <math>\mathrm{S1}</math>, i això es tradueix en forces d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Com a cas senzill per il·lustrar-ho, la '''Figura D3.16''' mostra dos exemples (que considerarem plans) on dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> sobre un pla llis estan connectats a través d’una barra de massa negligible (comparada amb la de <math>\mathrm{S1}</math> i la de <math>\mathrm{S2}</math>) articulada en els dos extrems:<

(a) les articulacions són perfectes (sense frec) 

(b) una de les articulacions té un molla torsional associada 

[[Fitxer:D3-16-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.16''' Enllaç indirecte entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’una barra <math>\mathrm{S}</math> articulada de massa negligible.

</center> 

En el cas (a), la barra és un SAE (no està sotmesa a cap força que no sigui d’enllaç). Provocar velocitat del punt <math>\mathbf{O}</math> de <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra implica moure <math>\mathrm{S}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> . En canvi, moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció ortogonal a la barra provoca moviment de <math>\mathrm{S}</math> però no de <math>\mathrm{S2}</math> , mentre que fer girar <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> no provoca el moviment cap dels dos (ni de <math>\mathrm{S}</math> ni de <math>\mathrm{S2}</math> ). En conseqüència, només té sentit associar una força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra. El responsable d’aquesta força no és <math>\mathrm{S}</math> sinó <math>\mathrm{S2}</math> : quan es tracta de caracteritzar l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> s’ha devaluar des de <math>\mathrm{S2}</math>. Es diu que entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> hi ha un '''enllaç indirecte a través del SAE'''. 

En el cas (b), la barra no és un SAE perquè està sotmesa a una interacció que no és d’enllaç (la de la molla). Com en el cas (a), moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció de la barra obliga a moure <math>\mathrm{S2}</math> . Però ara, el moviment de <math>\mathbf{O}</math> en direcció perpendicular a la barra obliga a deformar la molla, la qual actua sobre <math>\mathrm{S2}</math> i el fa bellugar. El moviment de rotació de <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> segueix sent possible sense haver de moure <math>\mathrm{S2}</math> ni deformar la molla. En la caracterització de l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , cal avaluar la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> de manera que <math>\mathbf{O}</math> no tingui velocitat : cal avaluar-la des de S. 

====✏️ Exemple D3.10: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-10-1-cat -nou.png|thumb|left|250px|link=]]
El carretó té 2 GL lliures respecte del terra (translació longitudinal i rotació vertical). Si la massa dels tres elements (rodes i xassís) és comparable, la representació simplificada del sistema i el nombre d’incògnites d’enllaç que conté és la següent: 

[[Fitxer:ExD3-10-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
En total, doncs, el sistema conté 17 incògnites d’enllaç. 

Aquest nombre es pot reduir en el cas que la massa de les rodes sigui negligible (comparada amb la del xassís): el xassís passa a tenir tres enllaços amb el terra, un de directe i dos d’indirectes a través de les rodes, que són SAE. El nombre d’incògnites que introdueix un d’aquests enllaços indirectes no és sempre evident a priori, i és aconsellable caracteritzar-lo analíticament. Cal recordar, però, que la cinemàtica que es descriu correspon a la que té el xassís respecte del terra com si només hi actués l’enllaç que es considera. En aquest cas, doncs, en la caracterització de l’enllaç indirecte entre terra i xassís a través de les rodes cal avaluar la cinemàtica com si el contacte directe amb el terra (a la part del davant del xassís) no hi fos. 

[[Fitxer:ExD3-10-3-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al seu centre <math>\mathbf{C}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Cs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad</math>

<math>\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs)}{}= \overline{0}</math>

El nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 

La caracterització també es pot fer al punt <math>\Os</math> (punt mig de l’eix de les rodes), doncs també pertany a la roda. Les components de la força han de ser les mateixes, però les del moment poden canviar. 

Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> només són possibles si hi ha rotació <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_1=\rs\Omega_2 </math> ,<math>\mathrm{v}_3=\Ls\Omega_2 </math> . Si s’introdueixen aquestes relacions i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>(\rs \mathrm{F}_1 + \Ls \mathrm{F}_3 +\mathrm{M}_2')\Omega_2+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+\mathrm{M}_1'\Omega_1+\mathrm{M}_3'\Omega_3=0</math> 

Ja que <math>(\mathrm{v}_2,\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3)</math> són independents, els coeficients de cadascuna d’aquestes velocitats ha de ser zero. Per tant, l’enllaç indirecte introdueix només 2 incògnites: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2'}{0}</math>, amb <math>\mathrm{M}_2'=-\rs \mathrm{F}_1 -\Ls\mathrm{F}_3</math> 

A aquest resultat també es podria haver arribat a partir de la relació que hi ha entre torsors associats a la mateixa interacció però en punts diferents ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]): 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)= \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) + \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} = \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} </math> , 

<math>\vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} = \vector{\Ls}{0}{-\rs} \times \vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} = \vector{0}{-\rs\mathrm{F}_1 -\Ls \mathrm{F}_3}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç segueix sent 5. 

Finalment, una altra opció és caracteritzar l’enllaç del terra sobre el xassís per mitjà de els dues rodes simultàniament. 

[[Fitxer:ExD3-10-4-cat.png|thumb|right|200px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de les dues rodes, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1''}{\mathrm{F}_2''}{\mathrm{F}_3''}\vector{0}{\mathrm{v}_2}{0}+ \vector{\mathrm{M}_1''}{\mathrm{M}_2''}{\mathrm{M}_3''} \vector{\Omega_1}{0}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents:

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1''}{0}{\mathrm{F}_3''} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2''}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç es redueix a 4.


====✏️ Exemple D3.11: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-11-2-cat.png|thumb|right|270px|link=]]
{|
[[Fitxer:ExD3-11-1-cat.png|thumb|left|210px|link=]]

|La placa té el vèrtex <math>\Ps</math> obligat a moure’s dins la guia, i el punt <math>\Qs</math> connectat al punt <math>\Os</math> del terra (T) mitjançant una barra amb articulacions als extrems. El sistema té només 1 GL, descrit per mitjà de <math>\dot{\theta}</math>. 

Si es considera el problema només en dues dimensions i cap element té massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 
|}
{|
|[[Fitxer:ExD3-11-3-cat.png|thumb|left|215px|link=]]
|Si la barra és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la placa per mitjà de la barra al punt <math>\Qs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Qs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
\Omega_1
\end{array}\right\}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
...
\end{array}\right\}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació de la barra, però no de la de la placa: en haver-hi una articulació a <math>\Qs</math>, la placa pot fer un moviment de translació circular quan la barra gira. Per tant, es tracta d’una caracterització immediata: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
0
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
0
\end{array}\right\}</math> 
|}


====✏️ Exemple D3.12: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-12-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-2-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-3-cat.png|thumb|left|150px|link=]]

La bola té 4 GL lliures respecte del terra (translacions al llarg de l’eix r-r’ i de l’eix 2, rotacions al voltant de l’eix r-r’ i de l’eix 2). Si no hi ha cap element de massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 8. 

Si l’element T és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la bola per mitjà d’aquest element al punt <math>\Gs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs) \cdot \velang{bola}{T}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{...}{\mathrm{M}_3}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> només és possible si l’element T (i per tant la bola) giren amb <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_3=-\xs\Omega_2</math>. Si s’introdueix aquesta relació i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>\mathrm{F}_1\mathrm{v}_1+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+(-\xs\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2)\Omega_2+\mathrm{M}_1\Omega_1</math> 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math> 

Tot i que el torsor a <math>\Gs</math> té tres components no nul·les, d’independents només n’hi ha dues.


---------
 

Un cas paradigmàtic en què la dimensió es redueix dràsticament és el del '''coixinet de boles''' ('''Figura D3.17'''). Si es tracta el problema com a pla i les N boles no es consideren SAE, el nombre d’incògnites d’enllaç del sistema és 4N (cada bola manté contacte puntual sense llisament amb els dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, i en el cas pla,el contacte puntual es redueix a dues incògnites d’enllaç). Si es tracten com a SAE, l’enllaç indirecte entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> a través de les boles es redueix a dues incògnites d’enllaç. 

[[Fitxer:D3-17-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.17''' Coixinet de boles.
</center> 

====✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-13-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:El sistema multisòlid té 2 GL respecte del terra: la translació circular de la placa respecte de l’eix i la rotació de tots els elements al voltant de l’eix vertical (permesa pel coixinet). Si cap element té massa negligible, el nombre: total d’incògnites d’enllaç és 25. 

:Si es negligeixen les masses de l’eix i de les dues barres i es tracten com a SAE, el sistema es redueix a un enllaç indirecte: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{...}{\mathrm{M}_3} </math> 

:La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació del conjunt al voltant de l’eix vertical: <math>\mathrm{v}_3=-(\mathrm{h} + \mathrm{Lcos}\theta)\Omega_2</math> . Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_2</math> provenen de la translació circular de la placa, i per tant no són independents: <math>\frac{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}=-\mathrm{tan}\theta</math> 

:Si es desenvolupa el producte escalar tenint en compte aquestes relacions: 

:<math>(-\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta+\mathrm{F}_2)\mathrm{v}_2+ [-(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2]\Omega_2=0, </math> 

:<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta</math> i <math>\mathrm{M}_2=(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3</math> 

:El nombre d’incògnites d’enllaç s’ha reduït a 4.


====✏️ Exemple D3.14: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-14-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:Si al sistema de l’ [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid|'''exemple D3.13''']] se li afegeix una molla torsional amb un extrem lligat a l’eix, el nombre de GL no es modifica, però en la descripció dels enllaços, l’eix no es pot tractar com a SAE encara que la seva massa sigui negligible. Les dues barres, però, segueixen estant sotmeses només a interaccions d’enllaç, i per tant, si es negligeix la seva massa, són SAE: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\mathrm{eix} (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{eix}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{-\mathrm{v}_2\mathrm{tan}\theta}{\mathrm{v}_2}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}, \mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta </math> 

:El nombre total d’incògnites d’enllaç és 10: 5 associades a l’enllaç indirecte que s’acaba de caracteritzar, i 5 més al coixinet entre terra i eix. 

[[Fitxer:ExD3-14-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]


---------
---------

==D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals==
Els actuadors (o accionaments) són elements concebuts per controlar un grau de llibertat (de translació o de rotació) entre dos sòlids i eliminar-ne d’altres. 

Externament, un actuador són dues peces que entre elles només tenen el GL a controlar (en el cas d’actuador rotacionals, aquestes peces s’anomenen '''estator''' i '''rotor'''). Quan s’insereix entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math>, la manera com es connecta als sòlids determina els GL eliminats entre ells. En aquest curs, la massa dels actuador es considera negligible sempre. 

La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> , doncs, es descriu mitjançant una força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o un parell <math>\Gamma</math> (o moment), segons que es tracti d’un actuador lineal o rotacional, i un torsor d’enllaç. 

Hi ha dues maneres de descriure el sistema format per <math>\mathrm{S}1</math>, <math>\mathrm{S}2</math>, <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math>: 

* Opció 1: Es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a dos sòlids més del sistema. Entre elles, el torsor de l’enllaç directe es caracteritza com si l’actuador estigués desactivat (permetent el GL que controla entre les dues peces quan està activat). Tant si l’actuador és lineal com si és rotacional, el torsor d’enllaç conté 5 components independents. A més, entre <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> hi ha la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math>. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{P}1</math>, i entre <math>\mathrm{S}2</math> i <math>\mathrm{P}2</math> es descriu mitjançant l’enllaç corresponent. 

* Opció 2: Es considera l’actuador desactivat, i es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']]. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> queda explicada llavors mitjançant el torsor de l’enllaç indirecte associat a aquesta cadena de SAEs, i la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math> .

====✏️ Exemple D3.15: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-15-1-cat.png|thumb|left|260px|link=]]

|L’actuador lineal, de massa negligible, actua entre terra i pèndol, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 1.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i el pèndol. 
|}
Opció 1 

Ja que la peça 1 de l’actuador està enganxada a terra, es poden considerar com a una de sola. La peça 2, en canvi, no està enganxada sinó articulada al pèndol. 

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització a <math>\Os</math> dels dos enllaços és immediata: 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

Opció 2 

El torsor de l’enllaç indirecte entre terra i pèndol a través de l’actuador es pot caracteritzar analíticament: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}} \cdot \vvec_\mathrm{terra} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os) \cdot \velang{pèndol}{terra}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}}{}=\vector{0}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{0}</math> 

:En aquest cas, la caracterització a <math>\Os</math> és immediata. 

:Les interaccions entre terra i pèndol per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


====✏️ Exemple D3.16: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-16-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]

|L’actuador lineal actua entre el suport i l’hèlix, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 2 (la qual cosa fa girar l’hèlix sempre i quan no es passi per configuracions singulars – per exemple, quan la direcció de l’actuador és vertical i passa per <math>\Os</math>). Es tracta de descriure la interacció entre el suport i l’hèlix.

|}
Opció 1 
Cap de les peces que formen l’actuador és fixa al suport ni a l’hèlix. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]] 

La caracterització dels tres enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os')}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

 

Opció 2 

: El torsor de l’enllaç indirecte entre suport i hèlix a través de l’actuador és nul: en haver-hi ròtules esfèriques als dos extrems de l’actuador, el punt <math>\Os</math> podria tenir velocitat en totes les direccions respecte del suport. 

:La interacció entre suport i hèlix a través de l’actuador es redueix a una força (que és la que fa l’actuador quan està activat): 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
 

====✏️ Exemple D3.17: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-17-1-cat,esp.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor, de massa negligible, actua entre terra i anella, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i l’anella. 

Opció 1 

En aquest cas, l’estàtor (P1) és fix a terra, i el rotor (P2) és fix a l’anella. Per tant, només té sentit l’opció 1. 

Les interaccions entre terra i anella per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-17-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]]

El torsor de l’enllaç entre terra (+P1) i anella (+P2) és el que correspon a una articulació, i la seva caracterització és immediata: 

<center>
<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math>
</center>
|}


====✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-18-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor actua entre la forquilla i la roda, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre la forquilla i la roda. 
|}
Opció 1 

Una de les peces que formen l’actuador (el rotor) és fixa la roda. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització dels dos enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

Opció 2 

:La caracterització del torsor d’enllaç entre forquilla i roda a través del motor és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}} \cdot \vvec_\mathrm{forq} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os) \cdot \velang{roda}{forq}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{M}_3}</math> 

:La interacció entre forquilla i roda a través del motor es resumeix en el diagrama següent: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D2. Forces d’interacció entre partícules|<<< D2. Forces d’interacció entre partícules]]

[[D4. Teoremes vectorials|D4. Teoremes vectorials >>>]]
</center>

D3. Interaccions entre sòlids rígids

2024-04-25T13:12:26Z

Ebosch: /* ✏️ EXEMPLE D3.9: anàlisi d’incògnites en un sistema multisòlid */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
</math>
Com s’ha vist a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules|'''unitat D2''']], les interaccions entre parelles de partícules <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> queden descrites per una única força de direcció <math>\overline{\Ps \Qs}</math> . Quan la interacció és entre parelles de sòlids rígids (que es poden considerar com a dos conjunts d’infinites partícules), la descripció partícula a partícula portaria a treballar amb un sistema d’infinites forces. En aquest cas, cal passar a una descripció compacta d’aquest sistema de forces que retingui, però, la informació necessària per estudiar la dinàmica dels sòlids rígids: el sistema de forces es substitueix per un '''torsor resultant'''. 

Aquesta unitat introdueix el concepte de '''torsor associat a un sistema de forces''', i després l’aplica a les diverses interaccions entre sòlids (a distància, de contacte i per mitjà d’elements intermedis).

-----------
-----------
==D3.1 Torsor associat a un sistema de forces==
La reducció d’un sistema de forces sobre un sòlid rígid a un torsor és absolutament necessària quan el nombre de forces és molt elevat (infinit). Quan es tracta d’un sistema de poques forces, sol ser opcional. 

Una operació matemàtica eficaç per reduir el nombre de forces sobre un sòlid S és la suma: per molt elevat que sigui el nombre de forces, la suma condueix a una única '''força resultant'''. Aquesta reducció dràstica, però, implica una pèrdua d’informació essencial en molts casos. Sempre i quan no interessi estudiar la deformació dels objectes (és a dir, quan només s’estudiï la dinàmica de sòlids rígids), això es resol afegint un segon vector a la descripció compacta del sistema: el '''moment''' (o '''parell''') '''resultant respecte d’un punt''' <math>\Qs</math>. El conjunt d’aquests dos vectors és el '''torsor del sistema de forces en el punt''' <math>\Qs</math> ('''Figura D3.1'''). 

[[Fitxer:D3-1-cat.png|thumb|center|370px|link=]]
<center>'''Figura D3.1''' Torsor associat a un sistema de forces que actuen sobre un sòlid rígid.
</center> 

A tall d’exemple, considerem el cas d’una barra rígida inicialment en repòs que se sotmet a un sistema de forces amb força resultant nul·la. La '''Figura D3.2''' presenta tres situacions diferents que corresponen a aquesta resultant: ('''a''') lliure de forces, ('''b''') forces paral·leles a la barra, ('''c''') forces perpendiculars a la barra. En els dos casos primers ('''a''', '''b'''), el sistema de forces no modifica l’estat de repòs. En el tercer ('''c'''), les forces provoquen una rotació horària de la barra. El torsor resultant en qualsevol punt permet distingir entre ('''c''') i ('''a''', '''b'''). 

[[Fitxer:D3-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.2''' Barra rígida sotmesa a una força resultant nul·la.
</center> 

La força resultant no depèn mai del punt on es calcula el torsor. En canvi, el moment resultant en general sí que en depèn ('''Figura D3.3'''). 

[[Fitxer:D3-3-neut.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.3''' Barra rígida sotmesa a dues forces de valor diferent.
</center> 

El torsor resultant es representa en el punt on s’ha calculat el moment resultant ('''Figura D3.4'''). 

[[Fitxer:D3-4-neut.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.4''' Torsors a diferents punts per a l’exemple de la barra rígida de la '''Figura D3.3'''.
</center>
El moment resultant en un punt <math>\Qs’</math> es pot obtenir a partir del torsor en un punt <math>\Qs</math>: 

<math>\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs ')=\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs) + \overline{\Qs '\Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs</math>

<div>
=====💭 Demostració ➕=====


:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)=\sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is</math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\sum \overline{\Qs ' \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum (\overline{\Qs ' \Qs}+\overline{\Qs \Ps_\is}) \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum \overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\is + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\overline{\Qs ' \Qs} \times (\sum \overline{\mathbf{F}}_\is) + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is </math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs+\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)</math>

</div>

-----------
-----------

==D3.2 Atracció gravitatòria==
El càlcul del torsor resultant gravitatori sobre un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> per causa d’un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> no és senzill. La força gravitatòria resultant sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) prové de les forces (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> ) que cada diferencial de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> exerceix sobre <math>\Ps</math> ('''Figura D3.5'''). El torsor resultant sobre <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> s’obté a partir de totes aquestes forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> sobre tots els diferencials de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> . 

[[Fitxer:D3-5-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
<center><math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> és la suma de totes les <math>\mathbf{F}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math>
</center>
<center>'''Figura D3.5''' Càlcul de la força total gravitatòria del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> (<math> \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math>.
</center> 

Quan es tracta de l’atracció gravitatòria terrestre (<math>\mathrm{S}_\mathrm{Q} = \mathrm{Terra}</math>) sobre un sòlid de petites dimensions comparades amb les de la Terra i prop de la superfície terrestre, és usual emprar l’aproximació de camp uniforme: les forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> pràcticament paral·leles entre elles i el seu valor és <math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps} = \mathrm{gdm}(\Ps)</math> , amb <math>\mathrm{g}</math> constant i igual al camp gravitatori a la superfície terrestre:<math>\mathrm{g}=\mathrm{G}_0 \frac{\mathrm{M}_\Ts}{\Rs_\Ts^2}</math>(on <math>\mathrm{G}_0</math> és la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.3 Atracció gravitatòria|'''constant universal de gravitació''']], i <math>\mathrm{M}_\Ts</math> i <math>\Rs_\Ts</math> són la massa i el radi de la Terra, respectivament). En aquest cas, es pot demostrar que existeix un punt de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> en el qual el torsor gravitatori es redueix a una força resultant <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{T}} \rightarrow \mathrm{S}_{\mathrm{P}}}</math> de valor mg (on m és la massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> ) dirigida cap al centre de la terra, i un moment resultant gravitatori nul. Aquest punt s’anomena '''centre de gravetat''' del sòlid, es representarà amb la lletra '''G''' ('''Figura D3.6'''). 

[[Fitxer:D3-6-cat.png|thumb|center|600px|link=]]
<center>'''Figura D3.6''' Atracció gravitatòria terrestre sobre un sòlid rígid en l‘aproximació de camp uniforme.
</center>

-----------
-----------
==D3.3 Interacció per mitjà de molles i amortidors==
===Molles i amortidors lineals===
Quan una molla o un amortidor lineal connecta dos punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> de dos sòlids diferents, cal assegurar que la connexió es fa de manera que la força que es transmet entre els punts té la direcció de l’element, i que no es transmet cap moment (o parell). 

En alguns casos, això es pot aconseguir inserint l’element entre dos trams de fil inextensible ('''Figura D3.7a'''). En aquest cas, la força que introdueix entre els punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> només pot ser d’atracció (a causa del caràcter unilateral de l’actuació del fil). 

En d’altres casos, cal recórrer a unions mitjançant [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''articulacions''']] (si es tracta d’un problema pla, '''Figura D3.7b''') o [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''ròtules esfèriques''']] (si és un problema 3D). 

[[Fitxer:D3-7-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D3.7''' Molles i amortidors lineals connectats a dos sòlids rígids diferents.
</center>

====✏️ Exemple D3.1: força de repulsió d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------

[[Fitxer:ExD3-1-1-neut.png|thumb|left|175px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, actua entre el suport fix a terra i un eix vertical que està en contacte amb la barra. Per a <math>\theta = 0</math> , el sistema està en equilibri, i la força que la molla exerceix entre els seus extrems és <math>\mathrm{F}_0</math> . 

:En absència de molla, la barra, que està articulada al suport al punt <math>\mathbf{O}</math>, tendiria a caure (rotació horària). Si per a <math>\theta = 0</math> hi ha equilibri, la molla ha d’estar fent necessàriament una repulsió entre els seus extrems en aquesta configuració. Per tant, el més lògic és calcular l’expressió de la força de la molla per a una configuració general com a força repulsiva: 

<math> \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}= \mathrm{F}_0 - \mathrm{k}\Delta\rho=\mathrm{F}_0-\mathrm{k}[\rho(\theta) - \rho(\theta=0)]</math>. 

L’increment <math>\Delta \rho </math> de llargària de la molla a partir de l’equilibri és proporcional a la tangent de l’angle:<math>\mathrm{tan}\theta=\Delta\rho/\mathrm{L}</math>. Per tant: <math>\mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}=\mathrm{F}_0-\mathrm{kL}\mathrm{tan}\theta</math>. 

La força de repulsió de l’amortidor s’obté a partir de l’allargament anterior per derivació: 

<math>\rho=\mathrm{Ltan}\theta \Rightarrow \dot{\rho} = \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c}\dot{\rho}=-\mathrm{c} \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta}</math>


====✏️ Exemple D3.2: força d’atracció d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------


[[Fitxer:ExD3-2-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, té un extrem fix al xassís del vehicle, i l’altre a un fil que s’enrotlla al damunt d’un corró de radi <math>\rs</math> solidari a la roda de radi <math>2\rs</math>, que no llisca al damunt del terra. Per a <math>\xs = 0</math> , la molla està estirada i exerceix una força <math>\mathrm{F}_0</math> entre els seus extrems.
[[Fitxer:ExD3-2-2-cat.png|thumb|right|220px|link=]]
:La coordenada <math>\xs</math> descriu la posició del xassís respecte del terra, i per tant també la del centre de la roda de radi <math>2\rs</math>. En tenir la molla un extrem lligat a un fil que s’enrotlla al corró, el desplaçament d’aquest extrem respecte del terra es pot obtenir per integració de la seva velocitat. 

:Vistes les velocitats dels dos extrems de la molla, és evident que s’escurça. La velocitat d’escurçament entre els extrems és: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{3}{2}\dot{\xs}-\dot{\xs}=\frac{1}{2}\dot{\xs}</math>, i per tant, l’escurçament de la molla a partir de la configuració <math>\xs = 0</math> és:<math>\frac{1}{2}\xs(=-\Delta \rho)</math> 

:L’expressió de la força d’atracció de la molla (ja que la <math>\mathrm{F}_0</math> és una atracció ja que la molla està estirada per a <math>\xs = 0</math> ) és:<math>\mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{molla}} + \mathrm{k}\Delta \rho = \mathrm{F}_0 - \frac{1}{2}\mathrm{k}\xs </math> 

:La força d’atracció de l’amortidor s’obté a partir de la velocitat l’escurçament que ja s’ha trobat: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{1}{2}\dot{\xs} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c} \dot{\rho}=-\frac{1}{2} \mathrm{c} \dot{\xs}</math>


-----------

===Molles i amortidors torsionals===

Les '''molles''' i els '''amortidors torsionals''' introdueixen moments però no forces entre els dos sòlids que connecten. Igual que en el cas dels elements lineals, la unió a cadascun dels sòlids ha de garantir que només es transmet un moment en una direcció determinada. Igual que en els casos dels elements lineals, les maneres d’aconseguir-ho són diverses. 

Quan les molles i els amortidors torsionals són de comportament lineal, l’increment de moment que introdueixen entre els sòlids, quan l’orientació relativa entre ells s’incrementa en un angle <math>\Delta \theta</math>, és proporcional a <math>\Delta \theta</math> i <math>\dot{\theta}</math>, respectivament ('''Figura D3.8'''). 

[[Fitxer:D3-8-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.8''' Formulació de molles i amortidors torsionals de comportament lineal.
</center>

-----------
-----------

==D3.4 Interaccions d’enllaç directes==
Les interaccions directes d’enllaç entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math> es produeixen quan estan en contacte, i provenen de les petites deformacions locals dels sòlids en la zona de contacte. Des del punt de vista macroscòpic, això es tradueix en impenetrabilitat i rugositat dels sòlids. Com ja s’ha comentat a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|'''secció D2.7''']], en tractar aquest curs de la dinàmica d’objectes rígids, les deformacions no es formulen, i per tant les forces associades són incògnites del problema dinàmic. 

Quan els enllaços impliquen sòlids, cal precisar si són llisos o rugosos. Una superfície llisa no pot impedir que un element llisqui respecte d’ella tot mantenint-hi contacte, mentre que una de rugosa sí que ho pot impedir. Això té una conseqüència directa en la caracterització de l’enllaç. 

Com a introducció a la caracterització d’enllaços entre sòlids, és útil considerar el cas més senzill del contacte puntual.

Considerem dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> que mantenen un contacte puntual entre ells. Els punts de contacte són <math>\Ps_1</math> i <math>\Ps_2</math> , respectivament. La caracterització de l’enllaç que <math>\mathrm{S}2</math> fa sobre <math>\Ps_1</math> (o que <math>\mathrm{S}1</math> fa sobre <math>\Ps_2</math> ) s’obté de manera anàloga a la de l’[[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|enllaç partícula-sòlid]] ('''Figura D3.12'''). El valor límit de força tangencial d'enllaç també s'obté com en el cas [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.8 Fricció|partícula-sòlid]]

[[Fitxer:D3-12-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.12''' Caracterització de l’enllaç puntual del sòlid <math>\mathrm{S}_2</math> sobre el sòlid <math>\mathrm{S}_1</math>.
</center> 
Quan l’enllaç entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> és multipuntual, la condició d’ortogonalitat entre força d’enllaç i velocitat permesa es pot aplicar a cada punt on es produeix contacte (la qual cosa implica acceptar que l’enllaç multipuntual es pot obtenir com a superposició d’enllaços puntuals independents). De vegades, això condueix a un nombre de components de forces d’enllaç elevat (fins i tot infinit, si el contacte es produeix al llarg d’un tram lineal o superficial continu), i cal reduir el sistema de forces a un torsor resultant d’enllaç. En alguns casos, aquesta reducció es pot obtenir molt fàcilment a partir de la descripció de l’enllaç punt a punt. 

Si bé és possible calcular el torsor d’un sistema de forces en qualsevol punt ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]), quan es tracta de torsors d’enllaç és convenient que aquest punt pertanyi al sòlid sotmès al sistema de forces en qüestió, perquè d’això sen deriva una propietat important.

====✏️ Exemple D3.3: torsor d’enllaç en un contacte bipuntual====
---------

[[Fitxer:ExD3-3-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El bloc manté contacte bipuntual amb un terra llis, i es mou només en un pla. 
[[Fitxer:ExD3-3-2-neut.png|thumb|right|175px|link=]]
:La descripció de l’enllaç com a superposició de dos enllaços puntuals condueix a dues forces normals: Si només hi hagués contacte a <math>\Ps</math>, l’enllaç introduiria només una força a <math>\Ps</math> normal al terra (<math>\Ns_\mathrm{P}</math>); si el contacte fos només a <math>\Qs</math>, introduiria una força a <math>\Qs</math> normal al bloc (<math>\Ns_\mathrm{Q}</math>). Els valors de <math>\Ns_\mathrm{P}</math> i <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> són independents (conèixer <math>\Ns_\mathrm{P}</math> no implica conèixer <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> ). El contacte bipuntual, doncs, introdueix dues incògnites d’enllaç. 

En tractar-se només de dues forces, la reducció a un torsor no és necessària, Per altra banda, aquesta desripció és útil per estudiar les dues condicions límit: <math>\Ns_\mathrm{P}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Ps</math> (per tant, bolcament en sentit horari), mentre que <math>\Ns_\mathrm{Q}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Qs</math> (per tant, bolcament en sentit antihorari).

En aquest cas, el torsor associat a aquest sistema de forces no redueix el nombre d’incògnites, que segueix sent 2. La força resultant té dues components independents:

<center>
<math>\left\{\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{T} \rightarrow \text { bloc }}\right\}=\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1 \\
\mathrm{F}_2 \\
0
\end{array}\right\} \text {, amb }\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1=-\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \sin \theta \\
\mathrm{F}_2=\mathrm{N}_{\mathrm{p}}+\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \cos \theta
\end{array}\right. \text {. }</math>
</center>

El moment resultant depèn del punt del bloc on es caracteritza el torsor, i quan no és nul, es pot escriure en funció de les components de força. 

[[Fitxer:ExD3-3-3-cat.png|thumb|center|600px|link=]]

Passar de la descripció punt a punt al torsor no té cap avantatge en aquest cas: no redueix el nombre d’incògnites d’enllaç, i dificulta l’estudi de les condicions límit.


====✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-4-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El corró es troba en contacte amb lliscament sobre un terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La descripció de l’enllaç multipuntual com a superposició d’enllaços puntuals condueix a un conjunt d’infinites forces normals <math>\Ns_{\rightarrow \mathrm{J}}</math> als punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> en la direcció normal al terra (direcció 3). La força resultant d’enllaç sobre el corró, per tant, és també de direcció 3, i ha de ser estrictament positiva ja que és un enllaç unilateral: 

<math>\int_{\mathrm{J} \in \text { corró }} \mathrm{N}_{\rightarrow \mathrm{J}}=\mathrm{N}>0 .</math> 

El moment resultant d’enllaç depèn del punt del corró on es calculi. Si es tria un punt extrem del contacte (<math>\Ps</math> o <math>\Qs</math>), el moment resultant té signe definit: 

<center>
<math>\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{P})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{P J}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2>0 \\
0
\end{array}\right\},\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{Q})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{QJ}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2<0 \\
0
\end{array}\right\} .</math>
</center>
[[Fitxer:ExD3-4-2-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
La descripció de l’enllaç per mitjà del torsor és molt avantatjosa: redueix dràsticament el nombre d’incògnites d’enllaç (passem a tenir-ne només dues). Si el torsor es caracteritza a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math>, l’estudi de la condició límit de bolcament és fàcil: <math>\mathrm{M}_2=0</math>. Si es caracteritza en qualsevol altre punt de la generatriu de contacte, cal passar a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math> per investigar el bolcament.


===Caracterització analítica del torsor d’enllaç entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math>===

La caracterització del torsor d’enllaç entre dos sòlids es pot fer sense passar per la descripció de l’enllaç punt a punt: si el punt de caracterització pertany a un dels dos sòlids, n’hi ha prou en combinar la condició d’ortogonalitat entre força i velocitat a cada punt de contacte amb la cinemàtica de sòlid rígid, i sumar totes les equacions que en resulten ('''Figura D3.13'''). 

[[Fitxer:Opcio-ana.png|thumb|center|8000px|link=]]
<center>
'''Figura D3.13''' Caracterització analítica d’un enllaç multipuntual entre dos sòlids.

</center> 

Els vectors <math>\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \text{ i }\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}</math> es poden treure factor comú. Finalment: 

<math> \Biggl(\sum_\mathrm{J} \overline{\mathbf{F}}_{\rightarrow \mathrm{J}} \Biggl) \cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \Biggr[ \sum_\mathrm{J} (\overline{\mathbf{PJ}} \times \mathbf{F}_{\rightarrow \mathrm{J}}) \Biggr] \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} = 0 \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}=0 </math> 

Aquesta equació és l’equació de '''caracterització analítica''' del torsor d’enllaç. Expressa l’ortogonalitat entre el torsor d’enllaç <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)\bigl\}^\top</math> i el torsor cinemàtic <math>\bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \quad \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}^\top</math> de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>:<math>\left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps)\\
\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}
\end{array}\right\} =0.</math> 

Aquesta ortogonalitat no implica ortogonalitat entre força i velocitat per una banda, i entre moment i velocitat angular per l’altra. En principi,<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \neq 0 \text{, } \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \neq 0 </math>. 

Quan es fa servir l’equació de caracterització analítica, cal considerar inicialment que tant la força com el moment resultants tenen les tres components no nul·les. Pel que fa al torsor cinemàtic, cal escriure les seves components no nul·les en funció dels GL de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>. 

Per altra banda, en aparèixer multiplicades escalarment la força i la velocitat del punt per una banda, i el moment i la velocitat angular per l’altra, es poden fer servir bases vectorials diferents per a cadascun d’aquests productes escalars, doncs el seu resultat no depèn de la base: 

<math>\bigl\{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \bigl\}_\mathrm{B} \cdot \bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B} + \bigl\{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B'} \cdot \bigl\{\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}_\mathrm{B'} </math>

====✏️ Exemple D3.5: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-5-1-cat.png|thumb|left|165px|link=]]
:El corró no llisca sobre el terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe del terra sobre el corró, al punt <math>\Ps</math> és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}
\cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} =0</math> 

Totes les components del torsor d’enllaç tret de <math>\mathrm{M}_1</math> poden tenir qualsevol valor, doncs van multiplicades per zero. En canvi, com que <math>\Omega_1</math> no és zero en principi, <math>\mathrm{M}_1</math> ha de ser zero per tal de que es compleixi l’equació d’ortogonalitat. Així doncs, el torsor resultant d’enllaç és: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps)\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad \mathrm{M}_2 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top . </math> 

Com s'ha comentat a l’[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua|'''exemple D3.4''']], M2 ha de ser positiu. Un valor negatiu seria indicatiu de bolcament. 

Les cinc components no nul·les són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL del corró respecte de <math>\mathrm{S}</math> és 6. 

El torsor del mateix enllaç en un punt diferent es pot obtenir bé aplicant novament l’equació de caracterització analítica bé a partir del torsor a <math>\Ps</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). Per exemple, per al punt <math>\mathbf{C}</math> aquests dos mètodes condueixen a: 

* Caracterització analítica: <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\mathbf{C}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\mathbf{C}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math>

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_2 = - \rs \Omega_1\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
...\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math>

:<math>(-\rs \mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1)\Omega_1 =0 \quad \Rightarrow \quad -\rs\mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1=0 </math> 

Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

* Obtenció a partir del torsor a <math>\Ps</math>: <math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{P})+ \overline{\mathbf{CP}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} </math> 

:<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\}+ \left\{\begin{array}{c}
0\\
0 \\
-\rs
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
\rs \mathrm{F}_2\\
\mathrm{M}_2 - \rs \mathrm{F}_1 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math> 

:Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

El nombre de components no nul·les del torsor a <math>\mathbf{C}</math> és 6, però el nombre de components independents és 5, doncs hi ha una relació de dependència entre <math>\mathrm{M}_1</math> i <math>\mathrm{F}_2</math> . Per tant, segueix complint-se que el nombre de components independents de torsor més el de GL és 6.

====✏️ Exemple D3.6: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte puntual sense lliscament====
---------
[[Fitxer:ExD3-6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:La bola de radi r no llisca dins la cavitat esfèrica. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe de la cavitat sobre la bola, al seu centre <math>\mathbf{G}</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{cav}(\mathbf{G}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{cav}^\mathrm{bola}=0 </math> 

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{v}_1\\
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
\Omega_2\\
\Omega_3
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
... \\
...
\end{array}\right\} </math>

En no haver-hi lliscament al punt de contacte, les components de velocitat <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> són proporcionals a <math>\Omega_3</math> i <math>\Omega_1</math> , respectivament: <math>\mathrm{v}_1=-\rs \Omega_3</math>, <math>\mathrm{v}_3=\rs \Omega_1</math> (el signe negatiu de la primera igualtat indica que una <math>\Omega_3</math> positiva genera una <math>\mathrm{v}_1</math> negativa). Substituïnt a l’equació de caracterització i desenvolupant el producte escalar (sense incloure la component <math>\mathrm{F}_2</math> , perquè va multiplicada per zero): 

<math>(-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3) \Omega_3 + (\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1) \Omega_1 + \mathrm{M}_2\Omega_2=0. </math> 

Com que les tres rotacions són independents, els coeficients que les multipliquen han de ser zero perquè l’equació es compleixi per a qualsevol valor de <math>\Omega_3</math> i de <math>\Omega_1</math>: <math>-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3=0</math> ,<math>\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1</math> , <math>\mathrm{M}_2=0</math>. 

Finalment:

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad \mathrm{M}_1 \quad 0 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top</math>, amb <math>\mathrm{M}_3=\rs \mathrm{F}_1</math> i <math>\mathrm{M}_1=-\rs \mathrm{F}_3.</math> 

El torsor té cinc components no nul·les, però només tres són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL de la bola respecte de la cavitat és 6. 

Aquest torsor també es pot obtenir a partir de la caracterització a <math>\mathbf{J}</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). En tractar-se d’un contacte puntual sense lliscament, a <math>\mathbf{J}</math> hi ha tres components de força d’enllaç i cap moment: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{J})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad 0 \quad 0 \bigl\}^\top</math> 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{J})+ \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} = \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}</math> 

<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} = \left\{\begin{array}{c}
0\\
-\rs\\
0
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
-\rs \mathrm{F}_3\\
0 \\
\rs \mathrm{F}_1
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
0 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} </math> 

-----------

Com s’ha vist als exemples anteriors, l’equació de caracterització analítica garanteix que la suma del nombre de components independents del torsor d’enllaç entre dos sòlids i del nombre de GL relatius entre els sòlids és sempre 6:

<center><math>\boxed{\text{comps. indeps. torsor + GL relatius = 6}}</math></center>

===Caracterització immediata del torsor d’enllaç===

Quan es tria un punt <math>\Ps</math> de caracterització la velocitat del qual,<math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math>, és independent de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math>, i una base vectorial tal que les components de <math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math> són independents entre elles i les de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math> també, la '''caracterització és immediata''': a cada component nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component no nul·la del torsor dinàmic, i a cada component no nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component nul·la del torsor dinàmic.

====✏️ Exemple D3.7: caracterització immediata del torsor d’enllaç en un contacte multipuntual continu====
---------

[[Fitxer:ExD3-7-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La mola cònica no llisca sobre el terra cònic (T). La caracterització del torsor de l’enllaç directe del terra sobre qualsevol dels punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> de la mola amb el terra pot ser immediata, perquè <math>\vvec_\mathrm{T}(\mathbf{J})</math> independentment de la velocitat angular mola <math>\velang{mola}{T}</math> . 

Perquè ho sigui realment, cal triar una base vectorial per expressar el moment d’enllaç tal que els components de mola <math>\velang{mola}{T}</math> siguin independents. Ja que la direcció de mola <math>\velang{mola}{T}</math> està unívocament determinada (la mola te 1 GL respecte del terra), qualsevol base que tingui un eix paral·lel a l’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la mola és adequada: 

[[Fitxer:ExD3-7-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]] 
:Finalment: <math>\braq{\fvec{T}{mola}}{} = \vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{T}{mola}(\mathbf{J})}{} = \vector{\mathrm{M}_1}{0}{\mathrm{M}_3}.</math>


====✏️ Exemple D3.8: caracterització del torsor d’enllaç d’una unió helicoïdal====
---------

[[Fitxer:ExD3-8-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La caracterització del torsor de l’enllaç directe de la femella de la unió helicoïdal sobre el mascle no pot ser directa, 

En una unió helicoïdal, no hi ha cap punt del mascle que tingui velocitat respecte de la femella independent de la rotació entre les dues peces. Per tant, la caracterització immediata no és possible. 

Si es tria com a punt de caracterització qualsevol punt <math>\mathbf{O}</math> de l’eix 3, la caracterització analítica condueix a: 

<math>\fvec{femella}{mascle}\cdot \vvec_\mathrm{femella}(\mathbf{O})+ \mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O}) \cdot \velang{mascle}{femella}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{\mathrm{v}_3}+\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}\vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{...}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{...}.</math> 

La velocitat d’<math>\mathbf{O}</math> al llarg de l’eix és directament proporcional a la rotació per mitjà del pas de rosca e. Ja que <math>\Omega_3</math> es mesura en rad/s, <math>\mathrm{v}_3</math> en m/s, i e es dóna en mm/volta, cal fer una conversió d’unitats: 

<math>\mathrm{v}_3\left[\frac{\ms}{\ss}\right] = \Omega_3\left[\frac{\mathrm{rad}}{\ss}\right]\es\left[\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{ volta}}\right]\frac{1 \ms}{10^3 \mathrm{ mm}}\frac{1 \mathrm{volta}}{2 \pi \mathrm{ rad}} \Rightarrow \mathrm{v}_3= \Omega_3 \frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3}</math> 

Finalment: <math>\braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{M}_3= -\frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3} \mathrm{F}_3 </math>


===Torsors d'enllaç associats als enllaços directes habituals entre sòlids rígids===

Els [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''enllaços habituals entre parelles de sòlids rígids''']] s’han analitzat des del punt de vistacinemàtic. A partir d’aquesta descripció, es poden caracteritzar els torsors d’enllaç corresponents ('''Figura D3.14'''). 

[[Fitxer:D3-14-TABLE-cat.png|thumb|center|670px|link=]]
<center>
'''Figura D3.14''' Caracterització immediata dels enllaços directes habituals

</center> 

En els sistemes multisòlid formats únicament per sòlids rígids amb massa no negligible connectats mitjançant aquests enllaços habituals, la descripció dinàmica dels enllaços es fa considerant per separat cada parella de sòlids connectats com si la resta d’elements del sistema no hi fos.

====✏️ EXEMPLE D3.9: anàlisi d’incògnites en un sistema multisòlid====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-9-1-cat.png|thumb|left|300px|link=]] 

|El sistema multisòlid conté 5 enllaços habituals: 

* 3 enllaços de revolució (o articulacions)
* 1 enllaç cilíndric
* 1 enllaç esfèric (o ròtula esfèrica) 

Tenint en compte que una articulació introdueix 5 components independents de torsor d’enllaç, un enllaç cilíndric n’introdueix 4, i un d’esfèric 3, en el sistema hi ha un total de 22 incògnites d’enllaç.
|}


-----------
-----------

==D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç==
En els sistemes multisòlid, és freqüent que alguns sòlids tinguin massa negligible comparats amb els altres i que no reben altres forces que les d’enllaç amb altres sòlids. Aquests sòlids s’anomenen '''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''' ('''SAE'''), i se’ls pot donar un tractament particular quan es tracta de caracteritzar enllaços. 

La '''Figura D3.15''' presenta un sòlid <math>\mathrm{S1}</math> en contacte amb un sòlid <math>\mathrm{S}</math> de massa negligible, que no està sotmès a cap força que no sigui d’enllaç, en dues situacions diferents: <math>\mathrm{S}</math> només en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math> ('''Figura D3.15a''') i <math>\mathrm{S}</math> en contacte amb dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> ('''Figura D3.15b'''). 

[[Fitxer:D3-15-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.15''' Interacció entre sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i<math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’un sòlid auxiliar d’enllaç (SAE).

</center> 

En absència de <math>\mathrm{S2}</math> i, la presència de <math>\mathrm{S}</math> (en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math>) és dinàmicament irrellevant: <math>\mathrm{S}</math> no representa cap obstacle per moure <math>\mathrm{S1}</math>. Conseqüentment, <math>\mathrm{S}</math> no és capaç d’introduir cap força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Però quan <math>\mathrm{S}</math> interconnecta <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, <math>\mathrm{S}</math> esdevé un transmissor: <math>\mathrm{S2}</math> pot ser un obstacle quan es tracta de provocar certs moviments de <math>\mathrm{S1}</math>, i això es tradueix en forces d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Com a cas senzill per il·lustrar-ho, la '''Figura D3.16''' mostra dos exemples (que considerarem plans) on dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> sobre un pla llis estan connectats a través d’una barra de massa negligible (comparada amb la de <math>\mathrm{S1}</math> i la de <math>\mathrm{S2}</math>) articulada en els dos extrems:<

(a) les articulacions són perfectes (sense frec) 

(b) una de les articulacions té un molla torsional associada 

[[Fitxer:D3-16-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.16''' Enllaç indirecte entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’una barra <math>\mathrm{S}</math> articulada de massa negligible.

</center> 

En el cas (a), la barra és un SAE (no està sotmesa a cap força que no sigui d’enllaç). Provocar velocitat del punt <math>\mathbf{O}</math> de <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra implica moure <math>\mathrm{S}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> . En canvi, moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció ortogonal a la barra provoca moviment de <math>\mathrm{S}</math> però no de <math>\mathrm{S2}</math> , mentre que fer girar <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> no provoca el moviment cap dels dos (ni de <math>\mathrm{S}</math> ni de <math>\mathrm{S2}</math> ). En conseqüència, només té sentit associar una força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra. El responsable d’aquesta força no és <math>\mathrm{S}</math> sinó <math>\mathrm{S2}</math> : quan es tracta de caracteritzar l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> s’ha devaluar des de <math>\mathrm{S2}</math>. Es diu que entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> hi ha un '''enllaç indirecte a través del SAE'''. 

En el cas (b), la barra no és un SAE perquè està sotmesa a una interacció que no és d’enllaç (la de la molla). Com en el cas (a), moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció de la barra obliga a moure <math>\mathrm{S2}</math> . Però ara, el moviment de <math>\mathbf{O}</math> en direcció perpendicular a la barra obliga a deformar la molla, la qual actua sobre <math>\mathrm{S2}</math> i el fa bellugar. El moviment de rotació de <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> segueix sent possible sense haver de moure <math>\mathrm{S2}</math> ni deformar la molla. En la caracterització de l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , cal avaluar la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> de manera que <math>\mathbf{O}</math> no tingui velocitat : cal avaluar-la des de S. 

====✏️ Exemple D3.10: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-10-1-cat -nou.png|thumb|left|200px|link=]]
El carretó té 2 GL lliures respecte del terra (translació longitudinal i rotació vertical). Si la massa dels tres elements (rodes i xassís) és comparable, la representació simplificada del sistema i el nombre d’incògnites d’enllaç que conté és la següent: 

[[Fitxer:ExD3-10-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
En total, doncs, el sistema conté 17 incògnites d’enllaç. 

Aquest nombre es pot reduir en el cas que la massa de les rodes sigui negligible (comparada amb la del xassís): el xassís passa a tenir tres enllaços amb el terra, un de directe i dos d’indirectes a través de les rodes, que són SAE. El nombre d’incògnites que introdueix un d’aquests enllaços indirectes no és sempre evident a priori, i és aconsellable caracteritzar-lo analíticament. Cal recordar, però, que la cinemàtica que es descriu correspon a la que té el xassís respecte del terra com si només hi actués l’enllaç que es considera. En aquest cas, doncs, en la caracterització de l’enllaç indirecte entre terra i xassís a través de les rodes cal avaluar la cinemàtica com si el contacte directe amb el terra (a la part del davant del xassís) no hi fos. 

[[Fitxer:ExD3-10-3-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al seu centre <math>\mathbf{C}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Cs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad</math>

<math>\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs)}{}= \overline{0}</math>

El nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 

La caracterització també es pot fer al punt <math>\Os</math> (punt mig de l’eix de les rodes), doncs també pertany a la roda. Les components de la força han de ser les mateixes, però les del moment poden canviar. 

Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> només són possibles si hi ha rotació <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_1=\rs\Omega_2 </math> ,<math>\mathrm{v}_3=\Ls\Omega_2 </math> . Si s’introdueixen aquestes relacions i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>(\rs \mathrm{F}_1 + \Ls \mathrm{F}_3 +\mathrm{M}_2')\Omega_2+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+\mathrm{M}_1'\Omega_1+\mathrm{M}_3'\Omega_3=0</math> 

Ja que <math>(\mathrm{v}_2,\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3)</math> són independents, els coeficients de cadascuna d’aquestes velocitats ha de ser zero. Per tant, l’enllaç indirecte introdueix només 2 incògnites: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2'}{0}</math>, amb <math>\mathrm{M}_2'=-\rs \mathrm{F}_1 -\Ls\mathrm{F}_3</math> 

A aquest resultat també es podria haver arribat a partir de la relació que hi ha entre torsors associats a la mateixa interacció però en punts diferents ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]): 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)= \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) + \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} = \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} </math> , 

<math>\vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} = \vector{\Ls}{0}{-\rs} \times \vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} = \vector{0}{-\rs\mathrm{F}_1 -\Ls \mathrm{F}_3}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç segueix sent 5. 

Finalment, una altra opció és caracteritzar l’enllaç del terra sobre el xassís per mitjà de els dues rodes simultàniament. 

[[Fitxer:ExD3-10-4-cat.png|thumb|right|200px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de les dues rodes, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1''}{\mathrm{F}_2''}{\mathrm{F}_3''}\vector{0}{\mathrm{v}_2}{0}+ \vector{\mathrm{M}_1''}{\mathrm{M}_2''}{\mathrm{M}_3''} \vector{\Omega_1}{0}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents:

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1''}{0}{\mathrm{F}_3''} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2''}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç es redueix a 4.


====✏️ Exemple D3.11: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-11-2-cat.png|thumb|right|270px|link=]]
{|
[[Fitxer:ExD3-11-1-cat.png|thumb|left|210px|link=]]

|La placa té el vèrtex <math>\Ps</math> obligat a moure’s dins la guia, i el punt <math>\Qs</math> connectat al punt <math>\Os</math> del terra (T) mitjançant una barra amb articulacions als extrems. El sistema té només 1 GL, descrit per mitjà de <math>\dot{\theta}</math>. 

Si es considera el problema només en dues dimensions i cap element té massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 
|}
{|
|[[Fitxer:ExD3-11-3-cat.png|thumb|left|215px|link=]]
|Si la barra és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la placa per mitjà de la barra al punt <math>\Qs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Qs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
\Omega_1
\end{array}\right\}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
...
\end{array}\right\}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació de la barra, però no de la de la placa: en haver-hi una articulació a <math>\Qs</math>, la placa pot fer un moviment de translació circular quan la barra gira. Per tant, es tracta d’una caracterització immediata: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
0
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
0
\end{array}\right\}</math> 
|}


====✏️ Exemple D3.12: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-12-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-2-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-3-cat.png|thumb|left|150px|link=]]

La bola té 4 GL lliures respecte del terra (translacions al llarg de l’eix r-r’ i de l’eix 2, rotacions al voltant de l’eix r-r’ i de l’eix 2). Si no hi ha cap element de massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 8. 

Si l’element T és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la bola per mitjà d’aquest element al punt <math>\Gs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs) \cdot \velang{bola}{T}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{...}{\mathrm{M}_3}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> només és possible si l’element T (i per tant la bola) giren amb <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_3=-\xs\Omega_2</math>. Si s’introdueix aquesta relació i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>\mathrm{F}_1\mathrm{v}_1+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+(-\xs\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2)\Omega_2+\mathrm{M}_1\Omega_1</math> 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math> 

Tot i que el torsor a <math>\Gs</math> té tres components no nul·les, d’independents només n’hi ha dues.


---------
 

Un cas paradigmàtic en què la dimensió es redueix dràsticament és el del '''coixinet de boles''' ('''Figura D3.17'''). Si es tracta el problema com a pla i les N boles no es consideren SAE, el nombre d’incògnites d’enllaç del sistema és 4N (cada bola manté contacte puntual sense llisament amb els dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, i en el cas pla,el contacte puntual es redueix a dues incògnites d’enllaç). Si es tracten com a SAE, l’enllaç indirecte entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> a través de les boles es redueix a dues incògnites d’enllaç. 

[[Fitxer:D3-17-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.17''' Coixinet de boles.
</center> 

====✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-13-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:El sistema multisòlid té 2 GL respecte del terra: la translació circular de la placa respecte de l’eix i la rotació de tots els elements al voltant de l’eix vertical (permesa pel coixinet). Si cap element té massa negligible, el nombre: total d’incògnites d’enllaç és 25. 

:Si es negligeixen les masses de l’eix i de les dues barres i es tracten com a SAE, el sistema es redueix a un enllaç indirecte: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{...}{\mathrm{M}_3} </math> 

:La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació del conjunt al voltant de l’eix vertical: <math>\mathrm{v}_3=-(\mathrm{h} + \mathrm{Lcos}\theta)\Omega_2</math> . Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_2</math> provenen de la translació circular de la placa, i per tant no són independents: <math>\frac{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}=-\mathrm{tan}\theta</math> 

:Si es desenvolupa el producte escalar tenint en compte aquestes relacions: 

:<math>(-\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta+\mathrm{F}_2)\mathrm{v}_2+ [-(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2]\Omega_2=0, </math> 

:<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta</math> i <math>\mathrm{M}_2=(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3</math> 

:El nombre d’incògnites d’enllaç s’ha reduït a 4.


====✏️ Exemple D3.14: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-14-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:Si al sistema de l’ [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid|'''exemple D3.13''']] se li afegeix una molla torsional amb un extrem lligat a l’eix, el nombre de GL no es modifica, però en la descripció dels enllaços, l’eix no es pot tractar com a SAE encara que la seva massa sigui negligible. Les dues barres, però, segueixen estant sotmeses només a interaccions d’enllaç, i per tant, si es negligeix la seva massa, són SAE: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\mathrm{eix} (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{eix}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{-\mathrm{v}_2\mathrm{tan}\theta}{\mathrm{v}_2}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}, \mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta </math> 

:El nombre total d’incògnites d’enllaç és 10: 5 associades a l’enllaç indirecte que s’acaba de caracteritzar, i 5 més al coixinet entre terra i eix. 

[[Fitxer:ExD3-14-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]


---------
---------

==D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals==
Els actuadors (o accionaments) són elements concebuts per controlar un grau de llibertat (de translació o de rotació) entre dos sòlids i eliminar-ne d’altres. 

Externament, un actuador són dues peces que entre elles només tenen el GL a controlar (en el cas d’actuador rotacionals, aquestes peces s’anomenen '''estator''' i '''rotor'''). Quan s’insereix entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math>, la manera com es connecta als sòlids determina els GL eliminats entre ells. En aquest curs, la massa dels actuador es considera negligible sempre. 

La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> , doncs, es descriu mitjançant una força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o un parell <math>\Gamma</math> (o moment), segons que es tracti d’un actuador lineal o rotacional, i un torsor d’enllaç. 

Hi ha dues maneres de descriure el sistema format per <math>\mathrm{S}1</math>, <math>\mathrm{S}2</math>, <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math>: 

* Opció 1: Es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a dos sòlids més del sistema. Entre elles, el torsor de l’enllaç directe es caracteritza com si l’actuador estigués desactivat (permetent el GL que controla entre les dues peces quan està activat). Tant si l’actuador és lineal com si és rotacional, el torsor d’enllaç conté 5 components independents. A més, entre <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> hi ha la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math>. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{P}1</math>, i entre <math>\mathrm{S}2</math> i <math>\mathrm{P}2</math> es descriu mitjançant l’enllaç corresponent. 

* Opció 2: Es considera l’actuador desactivat, i es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']]. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> queda explicada llavors mitjançant el torsor de l’enllaç indirecte associat a aquesta cadena de SAEs, i la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math> .

====✏️ Exemple D3.15: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-15-1-cat.png|thumb|left|260px|link=]]

|L’actuador lineal, de massa negligible, actua entre terra i pèndol, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 1.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i el pèndol. 
|}
Opció 1 

Ja que la peça 1 de l’actuador està enganxada a terra, es poden considerar com a una de sola. La peça 2, en canvi, no està enganxada sinó articulada al pèndol. 

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització a <math>\Os</math> dels dos enllaços és immediata: 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

Opció 2 

El torsor de l’enllaç indirecte entre terra i pèndol a través de l’actuador es pot caracteritzar analíticament: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}} \cdot \vvec_\mathrm{terra} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os) \cdot \velang{pèndol}{terra}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}}{}=\vector{0}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{0}</math> 

:En aquest cas, la caracterització a <math>\Os</math> és immediata. 

:Les interaccions entre terra i pèndol per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


====✏️ Exemple D3.16: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-16-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]

|L’actuador lineal actua entre el suport i l’hèlix, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 2 (la qual cosa fa girar l’hèlix sempre i quan no es passi per configuracions singulars – per exemple, quan la direcció de l’actuador és vertical i passa per <math>\Os</math>). Es tracta de descriure la interacció entre el suport i l’hèlix.

|}
Opció 1 
Cap de les peces que formen l’actuador és fixa al suport ni a l’hèlix. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]] 

La caracterització dels tres enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os')}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

 

Opció 2 

: El torsor de l’enllaç indirecte entre suport i hèlix a través de l’actuador és nul: en haver-hi ròtules esfèriques als dos extrems de l’actuador, el punt <math>\Os</math> podria tenir velocitat en totes les direccions respecte del suport. 

:La interacció entre suport i hèlix a través de l’actuador es redueix a una força (que és la que fa l’actuador quan està activat): 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
 

====✏️ Exemple D3.17: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-17-1-cat,esp.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor, de massa negligible, actua entre terra i anella, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i l’anella. 

Opció 1 

En aquest cas, l’estàtor (P1) és fix a terra, i el rotor (P2) és fix a l’anella. Per tant, només té sentit l’opció 1. 

Les interaccions entre terra i anella per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-17-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]]

El torsor de l’enllaç entre terra (+P1) i anella (+P2) és el que correspon a una articulació, i la seva caracterització és immediata: 

<center>
<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math>
</center>
|}


====✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-18-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor actua entre la forquilla i la roda, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre la forquilla i la roda. 
|}
Opció 1 

Una de les peces que formen l’actuador (el rotor) és fixa la roda. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització dels dos enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

Opció 2 

:La caracterització del torsor d’enllaç entre forquilla i roda a través del motor és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}} \cdot \vvec_\mathrm{forq} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os) \cdot \velang{roda}{forq}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{M}_3}</math> 

:La interacció entre forquilla i roda a través del motor es resumeix en el diagrama següent: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D2. Forces d’interacció entre partícules|<<< D2. Forces d’interacció entre partícules]]

[[D4. Teoremes vectorials|D4. Teoremes vectorials >>>]]
</center>

D3. Interaccions entre sòlids rígids

2024-04-25T13:11:46Z

Ebosch: /* D3.4 Interaccions d’enllaç directes */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
</math>
Com s’ha vist a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules|'''unitat D2''']], les interaccions entre parelles de partícules <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> queden descrites per una única força de direcció <math>\overline{\Ps \Qs}</math> . Quan la interacció és entre parelles de sòlids rígids (que es poden considerar com a dos conjunts d’infinites partícules), la descripció partícula a partícula portaria a treballar amb un sistema d’infinites forces. En aquest cas, cal passar a una descripció compacta d’aquest sistema de forces que retingui, però, la informació necessària per estudiar la dinàmica dels sòlids rígids: el sistema de forces es substitueix per un '''torsor resultant'''. 

Aquesta unitat introdueix el concepte de '''torsor associat a un sistema de forces''', i després l’aplica a les diverses interaccions entre sòlids (a distància, de contacte i per mitjà d’elements intermedis).

-----------
-----------
==D3.1 Torsor associat a un sistema de forces==
La reducció d’un sistema de forces sobre un sòlid rígid a un torsor és absolutament necessària quan el nombre de forces és molt elevat (infinit). Quan es tracta d’un sistema de poques forces, sol ser opcional. 

Una operació matemàtica eficaç per reduir el nombre de forces sobre un sòlid S és la suma: per molt elevat que sigui el nombre de forces, la suma condueix a una única '''força resultant'''. Aquesta reducció dràstica, però, implica una pèrdua d’informació essencial en molts casos. Sempre i quan no interessi estudiar la deformació dels objectes (és a dir, quan només s’estudiï la dinàmica de sòlids rígids), això es resol afegint un segon vector a la descripció compacta del sistema: el '''moment''' (o '''parell''') '''resultant respecte d’un punt''' <math>\Qs</math>. El conjunt d’aquests dos vectors és el '''torsor del sistema de forces en el punt''' <math>\Qs</math> ('''Figura D3.1'''). 

[[Fitxer:D3-1-cat.png|thumb|center|370px|link=]]
<center>'''Figura D3.1''' Torsor associat a un sistema de forces que actuen sobre un sòlid rígid.
</center> 

A tall d’exemple, considerem el cas d’una barra rígida inicialment en repòs que se sotmet a un sistema de forces amb força resultant nul·la. La '''Figura D3.2''' presenta tres situacions diferents que corresponen a aquesta resultant: ('''a''') lliure de forces, ('''b''') forces paral·leles a la barra, ('''c''') forces perpendiculars a la barra. En els dos casos primers ('''a''', '''b'''), el sistema de forces no modifica l’estat de repòs. En el tercer ('''c'''), les forces provoquen una rotació horària de la barra. El torsor resultant en qualsevol punt permet distingir entre ('''c''') i ('''a''', '''b'''). 

[[Fitxer:D3-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.2''' Barra rígida sotmesa a una força resultant nul·la.
</center> 

La força resultant no depèn mai del punt on es calcula el torsor. En canvi, el moment resultant en general sí que en depèn ('''Figura D3.3'''). 

[[Fitxer:D3-3-neut.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.3''' Barra rígida sotmesa a dues forces de valor diferent.
</center> 

El torsor resultant es representa en el punt on s’ha calculat el moment resultant ('''Figura D3.4'''). 

[[Fitxer:D3-4-neut.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.4''' Torsors a diferents punts per a l’exemple de la barra rígida de la '''Figura D3.3'''.
</center>
El moment resultant en un punt <math>\Qs’</math> es pot obtenir a partir del torsor en un punt <math>\Qs</math>: 

<math>\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs ')=\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs) + \overline{\Qs '\Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs</math>

<div>
=====💭 Demostració ➕=====


:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)=\sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is</math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\sum \overline{\Qs ' \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum (\overline{\Qs ' \Qs}+\overline{\Qs \Ps_\is}) \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum \overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\is + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\overline{\Qs ' \Qs} \times (\sum \overline{\mathbf{F}}_\is) + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is </math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs+\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)</math>

</div>

-----------
-----------

==D3.2 Atracció gravitatòria==
El càlcul del torsor resultant gravitatori sobre un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> per causa d’un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> no és senzill. La força gravitatòria resultant sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) prové de les forces (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> ) que cada diferencial de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> exerceix sobre <math>\Ps</math> ('''Figura D3.5'''). El torsor resultant sobre <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> s’obté a partir de totes aquestes forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> sobre tots els diferencials de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> . 

[[Fitxer:D3-5-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
<center><math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> és la suma de totes les <math>\mathbf{F}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math>
</center>
<center>'''Figura D3.5''' Càlcul de la força total gravitatòria del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> (<math> \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math>.
</center> 

Quan es tracta de l’atracció gravitatòria terrestre (<math>\mathrm{S}_\mathrm{Q} = \mathrm{Terra}</math>) sobre un sòlid de petites dimensions comparades amb les de la Terra i prop de la superfície terrestre, és usual emprar l’aproximació de camp uniforme: les forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> pràcticament paral·leles entre elles i el seu valor és <math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps} = \mathrm{gdm}(\Ps)</math> , amb <math>\mathrm{g}</math> constant i igual al camp gravitatori a la superfície terrestre:<math>\mathrm{g}=\mathrm{G}_0 \frac{\mathrm{M}_\Ts}{\Rs_\Ts^2}</math>(on <math>\mathrm{G}_0</math> és la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.3 Atracció gravitatòria|'''constant universal de gravitació''']], i <math>\mathrm{M}_\Ts</math> i <math>\Rs_\Ts</math> són la massa i el radi de la Terra, respectivament). En aquest cas, es pot demostrar que existeix un punt de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> en el qual el torsor gravitatori es redueix a una força resultant <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{T}} \rightarrow \mathrm{S}_{\mathrm{P}}}</math> de valor mg (on m és la massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> ) dirigida cap al centre de la terra, i un moment resultant gravitatori nul. Aquest punt s’anomena '''centre de gravetat''' del sòlid, es representarà amb la lletra '''G''' ('''Figura D3.6'''). 

[[Fitxer:D3-6-cat.png|thumb|center|600px|link=]]
<center>'''Figura D3.6''' Atracció gravitatòria terrestre sobre un sòlid rígid en l‘aproximació de camp uniforme.
</center>

-----------
-----------
==D3.3 Interacció per mitjà de molles i amortidors==
===Molles i amortidors lineals===
Quan una molla o un amortidor lineal connecta dos punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> de dos sòlids diferents, cal assegurar que la connexió es fa de manera que la força que es transmet entre els punts té la direcció de l’element, i que no es transmet cap moment (o parell). 

En alguns casos, això es pot aconseguir inserint l’element entre dos trams de fil inextensible ('''Figura D3.7a'''). En aquest cas, la força que introdueix entre els punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> només pot ser d’atracció (a causa del caràcter unilateral de l’actuació del fil). 

En d’altres casos, cal recórrer a unions mitjançant [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''articulacions''']] (si es tracta d’un problema pla, '''Figura D3.7b''') o [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''ròtules esfèriques''']] (si és un problema 3D). 

[[Fitxer:D3-7-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D3.7''' Molles i amortidors lineals connectats a dos sòlids rígids diferents.
</center>

====✏️ Exemple D3.1: força de repulsió d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------

[[Fitxer:ExD3-1-1-neut.png|thumb|left|175px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, actua entre el suport fix a terra i un eix vertical que està en contacte amb la barra. Per a <math>\theta = 0</math> , el sistema està en equilibri, i la força que la molla exerceix entre els seus extrems és <math>\mathrm{F}_0</math> . 

:En absència de molla, la barra, que està articulada al suport al punt <math>\mathbf{O}</math>, tendiria a caure (rotació horària). Si per a <math>\theta = 0</math> hi ha equilibri, la molla ha d’estar fent necessàriament una repulsió entre els seus extrems en aquesta configuració. Per tant, el més lògic és calcular l’expressió de la força de la molla per a una configuració general com a força repulsiva: 

<math> \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}= \mathrm{F}_0 - \mathrm{k}\Delta\rho=\mathrm{F}_0-\mathrm{k}[\rho(\theta) - \rho(\theta=0)]</math>. 

L’increment <math>\Delta \rho </math> de llargària de la molla a partir de l’equilibri és proporcional a la tangent de l’angle:<math>\mathrm{tan}\theta=\Delta\rho/\mathrm{L}</math>. Per tant: <math>\mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}=\mathrm{F}_0-\mathrm{kL}\mathrm{tan}\theta</math>. 

La força de repulsió de l’amortidor s’obté a partir de l’allargament anterior per derivació: 

<math>\rho=\mathrm{Ltan}\theta \Rightarrow \dot{\rho} = \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c}\dot{\rho}=-\mathrm{c} \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta}</math>


====✏️ Exemple D3.2: força d’atracció d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------


[[Fitxer:ExD3-2-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, té un extrem fix al xassís del vehicle, i l’altre a un fil que s’enrotlla al damunt d’un corró de radi <math>\rs</math> solidari a la roda de radi <math>2\rs</math>, que no llisca al damunt del terra. Per a <math>\xs = 0</math> , la molla està estirada i exerceix una força <math>\mathrm{F}_0</math> entre els seus extrems.
[[Fitxer:ExD3-2-2-cat.png|thumb|right|220px|link=]]
:La coordenada <math>\xs</math> descriu la posició del xassís respecte del terra, i per tant també la del centre de la roda de radi <math>2\rs</math>. En tenir la molla un extrem lligat a un fil que s’enrotlla al corró, el desplaçament d’aquest extrem respecte del terra es pot obtenir per integració de la seva velocitat. 

:Vistes les velocitats dels dos extrems de la molla, és evident que s’escurça. La velocitat d’escurçament entre els extrems és: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{3}{2}\dot{\xs}-\dot{\xs}=\frac{1}{2}\dot{\xs}</math>, i per tant, l’escurçament de la molla a partir de la configuració <math>\xs = 0</math> és:<math>\frac{1}{2}\xs(=-\Delta \rho)</math> 

:L’expressió de la força d’atracció de la molla (ja que la <math>\mathrm{F}_0</math> és una atracció ja que la molla està estirada per a <math>\xs = 0</math> ) és:<math>\mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{molla}} + \mathrm{k}\Delta \rho = \mathrm{F}_0 - \frac{1}{2}\mathrm{k}\xs </math> 

:La força d’atracció de l’amortidor s’obté a partir de la velocitat l’escurçament que ja s’ha trobat: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{1}{2}\dot{\xs} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c} \dot{\rho}=-\frac{1}{2} \mathrm{c} \dot{\xs}</math>


-----------

===Molles i amortidors torsionals===

Les '''molles''' i els '''amortidors torsionals''' introdueixen moments però no forces entre els dos sòlids que connecten. Igual que en el cas dels elements lineals, la unió a cadascun dels sòlids ha de garantir que només es transmet un moment en una direcció determinada. Igual que en els casos dels elements lineals, les maneres d’aconseguir-ho són diverses. 

Quan les molles i els amortidors torsionals són de comportament lineal, l’increment de moment que introdueixen entre els sòlids, quan l’orientació relativa entre ells s’incrementa en un angle <math>\Delta \theta</math>, és proporcional a <math>\Delta \theta</math> i <math>\dot{\theta}</math>, respectivament ('''Figura D3.8'''). 

[[Fitxer:D3-8-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.8''' Formulació de molles i amortidors torsionals de comportament lineal.
</center>

-----------
-----------

==D3.4 Interaccions d’enllaç directes==
Les interaccions directes d’enllaç entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math> es produeixen quan estan en contacte, i provenen de les petites deformacions locals dels sòlids en la zona de contacte. Des del punt de vista macroscòpic, això es tradueix en impenetrabilitat i rugositat dels sòlids. Com ja s’ha comentat a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|'''secció D2.7''']], en tractar aquest curs de la dinàmica d’objectes rígids, les deformacions no es formulen, i per tant les forces associades són incògnites del problema dinàmic. 

Quan els enllaços impliquen sòlids, cal precisar si són llisos o rugosos. Una superfície llisa no pot impedir que un element llisqui respecte d’ella tot mantenint-hi contacte, mentre que una de rugosa sí que ho pot impedir. Això té una conseqüència directa en la caracterització de l’enllaç. 

Com a introducció a la caracterització d’enllaços entre sòlids, és útil considerar el cas més senzill del contacte puntual.

Considerem dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> que mantenen un contacte puntual entre ells. Els punts de contacte són <math>\Ps_1</math> i <math>\Ps_2</math> , respectivament. La caracterització de l’enllaç que <math>\mathrm{S}2</math> fa sobre <math>\Ps_1</math> (o que <math>\mathrm{S}1</math> fa sobre <math>\Ps_2</math> ) s’obté de manera anàloga a la de l’[[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|enllaç partícula-sòlid]] ('''Figura D3.12'''). El valor límit de força tangencial d'enllaç també s'obté com en el cas [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.8 Fricció|partícula-sòlid]]

[[Fitxer:D3-12-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.12''' Caracterització de l’enllaç puntual del sòlid <math>\mathrm{S}_2</math> sobre el sòlid <math>\mathrm{S}_1</math>.
</center> 
Quan l’enllaç entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> és multipuntual, la condició d’ortogonalitat entre força d’enllaç i velocitat permesa es pot aplicar a cada punt on es produeix contacte (la qual cosa implica acceptar que l’enllaç multipuntual es pot obtenir com a superposició d’enllaços puntuals independents). De vegades, això condueix a un nombre de components de forces d’enllaç elevat (fins i tot infinit, si el contacte es produeix al llarg d’un tram lineal o superficial continu), i cal reduir el sistema de forces a un torsor resultant d’enllaç. En alguns casos, aquesta reducció es pot obtenir molt fàcilment a partir de la descripció de l’enllaç punt a punt. 

Si bé és possible calcular el torsor d’un sistema de forces en qualsevol punt ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]), quan es tracta de torsors d’enllaç és convenient que aquest punt pertanyi al sòlid sotmès al sistema de forces en qüestió, perquè d’això sen deriva una propietat important.

====✏️ Exemple D3.3: torsor d’enllaç en un contacte bipuntual====
---------

[[Fitxer:ExD3-3-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El bloc manté contacte bipuntual amb un terra llis, i es mou només en un pla. 
[[Fitxer:ExD3-3-2-neut.png|thumb|right|175px|link=]]
:La descripció de l’enllaç com a superposició de dos enllaços puntuals condueix a dues forces normals: Si només hi hagués contacte a <math>\Ps</math>, l’enllaç introduiria només una força a <math>\Ps</math> normal al terra (<math>\Ns_\mathrm{P}</math>); si el contacte fos només a <math>\Qs</math>, introduiria una força a <math>\Qs</math> normal al bloc (<math>\Ns_\mathrm{Q}</math>). Els valors de <math>\Ns_\mathrm{P}</math> i <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> són independents (conèixer <math>\Ns_\mathrm{P}</math> no implica conèixer <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> ). El contacte bipuntual, doncs, introdueix dues incògnites d’enllaç. 

En tractar-se només de dues forces, la reducció a un torsor no és necessària, Per altra banda, aquesta desripció és útil per estudiar les dues condicions límit: <math>\Ns_\mathrm{P}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Ps</math> (per tant, bolcament en sentit horari), mentre que <math>\Ns_\mathrm{Q}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Qs</math> (per tant, bolcament en sentit antihorari).

En aquest cas, el torsor associat a aquest sistema de forces no redueix el nombre d’incògnites, que segueix sent 2. La força resultant té dues components independents:

<center>
<math>\left\{\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{T} \rightarrow \text { bloc }}\right\}=\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1 \\
\mathrm{F}_2 \\
0
\end{array}\right\} \text {, amb }\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1=-\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \sin \theta \\
\mathrm{F}_2=\mathrm{N}_{\mathrm{p}}+\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \cos \theta
\end{array}\right. \text {. }</math>
</center>

El moment resultant depèn del punt del bloc on es caracteritza el torsor, i quan no és nul, es pot escriure en funció de les components de força. 

[[Fitxer:ExD3-3-3-cat.png|thumb|center|600px|link=]]

Passar de la descripció punt a punt al torsor no té cap avantatge en aquest cas: no redueix el nombre d’incògnites d’enllaç, i dificulta l’estudi de les condicions límit.


====✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-4-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El corró es troba en contacte amb lliscament sobre un terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La descripció de l’enllaç multipuntual com a superposició d’enllaços puntuals condueix a un conjunt d’infinites forces normals <math>\Ns_{\rightarrow \mathrm{J}}</math> als punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> en la direcció normal al terra (direcció 3). La força resultant d’enllaç sobre el corró, per tant, és també de direcció 3, i ha de ser estrictament positiva ja que és un enllaç unilateral: 

<math>\int_{\mathrm{J} \in \text { corró }} \mathrm{N}_{\rightarrow \mathrm{J}}=\mathrm{N}>0 .</math> 

El moment resultant d’enllaç depèn del punt del corró on es calculi. Si es tria un punt extrem del contacte (<math>\Ps</math> o <math>\Qs</math>), el moment resultant té signe definit: 

<center>
<math>\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{P})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{P J}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2>0 \\
0
\end{array}\right\},\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{Q})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{QJ}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2<0 \\
0
\end{array}\right\} .</math>
</center>
[[Fitxer:ExD3-4-2-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
La descripció de l’enllaç per mitjà del torsor és molt avantatjosa: redueix dràsticament el nombre d’incògnites d’enllaç (passem a tenir-ne només dues). Si el torsor es caracteritza a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math>, l’estudi de la condició límit de bolcament és fàcil: <math>\mathrm{M}_2=0</math>. Si es caracteritza en qualsevol altre punt de la generatriu de contacte, cal passar a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math> per investigar el bolcament.


===Caracterització analítica del torsor d’enllaç entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math>===

La caracterització del torsor d’enllaç entre dos sòlids es pot fer sense passar per la descripció de l’enllaç punt a punt: si el punt de caracterització pertany a un dels dos sòlids, n’hi ha prou en combinar la condició d’ortogonalitat entre força i velocitat a cada punt de contacte amb la cinemàtica de sòlid rígid, i sumar totes les equacions que en resulten ('''Figura D3.13'''). 

[[Fitxer:Opcio-ana.png|thumb|center|8000px|link=]]
<center>
'''Figura D3.13''' Caracterització analítica d’un enllaç multipuntual entre dos sòlids.

</center> 

Els vectors <math>\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \text{ i }\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}</math> es poden treure factor comú. Finalment: 

<math> \Biggl(\sum_\mathrm{J} \overline{\mathbf{F}}_{\rightarrow \mathrm{J}} \Biggl) \cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \Biggr[ \sum_\mathrm{J} (\overline{\mathbf{PJ}} \times \mathbf{F}_{\rightarrow \mathrm{J}}) \Biggr] \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} = 0 \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}=0 </math> 

Aquesta equació és l’equació de '''caracterització analítica''' del torsor d’enllaç. Expressa l’ortogonalitat entre el torsor d’enllaç <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)\bigl\}^\top</math> i el torsor cinemàtic <math>\bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \quad \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}^\top</math> de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>:<math>\left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps)\\
\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}
\end{array}\right\} =0.</math> 

Aquesta ortogonalitat no implica ortogonalitat entre força i velocitat per una banda, i entre moment i velocitat angular per l’altra. En principi,<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \neq 0 \text{, } \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \neq 0 </math>. 

Quan es fa servir l’equació de caracterització analítica, cal considerar inicialment que tant la força com el moment resultants tenen les tres components no nul·les. Pel que fa al torsor cinemàtic, cal escriure les seves components no nul·les en funció dels GL de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>. 

Per altra banda, en aparèixer multiplicades escalarment la força i la velocitat del punt per una banda, i el moment i la velocitat angular per l’altra, es poden fer servir bases vectorials diferents per a cadascun d’aquests productes escalars, doncs el seu resultat no depèn de la base: 

<math>\bigl\{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \bigl\}_\mathrm{B} \cdot \bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B} + \bigl\{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B'} \cdot \bigl\{\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}_\mathrm{B'} </math>

====✏️ Exemple D3.5: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-5-1-cat.png|thumb|left|165px|link=]]
:El corró no llisca sobre el terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe del terra sobre el corró, al punt <math>\Ps</math> és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}
\cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} =0</math> 

Totes les components del torsor d’enllaç tret de <math>\mathrm{M}_1</math> poden tenir qualsevol valor, doncs van multiplicades per zero. En canvi, com que <math>\Omega_1</math> no és zero en principi, <math>\mathrm{M}_1</math> ha de ser zero per tal de que es compleixi l’equació d’ortogonalitat. Així doncs, el torsor resultant d’enllaç és: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps)\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad \mathrm{M}_2 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top . </math> 

Com s'ha comentat a l’[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua|'''exemple D3.4''']], M2 ha de ser positiu. Un valor negatiu seria indicatiu de bolcament. 

Les cinc components no nul·les són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL del corró respecte de <math>\mathrm{S}</math> és 6. 

El torsor del mateix enllaç en un punt diferent es pot obtenir bé aplicant novament l’equació de caracterització analítica bé a partir del torsor a <math>\Ps</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). Per exemple, per al punt <math>\mathbf{C}</math> aquests dos mètodes condueixen a: 

* Caracterització analítica: <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\mathbf{C}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\mathbf{C}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math>

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_2 = - \rs \Omega_1\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
...\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math>

:<math>(-\rs \mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1)\Omega_1 =0 \quad \Rightarrow \quad -\rs\mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1=0 </math> 

Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

* Obtenció a partir del torsor a <math>\Ps</math>: <math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{P})+ \overline{\mathbf{CP}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} </math> 

:<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\}+ \left\{\begin{array}{c}
0\\
0 \\
-\rs
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
\rs \mathrm{F}_2\\
\mathrm{M}_2 - \rs \mathrm{F}_1 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math> 

:Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

El nombre de components no nul·les del torsor a <math>\mathbf{C}</math> és 6, però el nombre de components independents és 5, doncs hi ha una relació de dependència entre <math>\mathrm{M}_1</math> i <math>\mathrm{F}_2</math> . Per tant, segueix complint-se que el nombre de components independents de torsor més el de GL és 6.

====✏️ Exemple D3.6: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte puntual sense lliscament====
---------
[[Fitxer:ExD3-6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:La bola de radi r no llisca dins la cavitat esfèrica. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe de la cavitat sobre la bola, al seu centre <math>\mathbf{G}</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{cav}(\mathbf{G}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{cav}^\mathrm{bola}=0 </math> 

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{v}_1\\
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
\Omega_2\\
\Omega_3
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
... \\
...
\end{array}\right\} </math>

En no haver-hi lliscament al punt de contacte, les components de velocitat <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> són proporcionals a <math>\Omega_3</math> i <math>\Omega_1</math> , respectivament: <math>\mathrm{v}_1=-\rs \Omega_3</math>, <math>\mathrm{v}_3=\rs \Omega_1</math> (el signe negatiu de la primera igualtat indica que una <math>\Omega_3</math> positiva genera una <math>\mathrm{v}_1</math> negativa). Substituïnt a l’equació de caracterització i desenvolupant el producte escalar (sense incloure la component <math>\mathrm{F}_2</math> , perquè va multiplicada per zero): 

<math>(-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3) \Omega_3 + (\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1) \Omega_1 + \mathrm{M}_2\Omega_2=0. </math> 

Com que les tres rotacions són independents, els coeficients que les multipliquen han de ser zero perquè l’equació es compleixi per a qualsevol valor de <math>\Omega_3</math> i de <math>\Omega_1</math>: <math>-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3=0</math> ,<math>\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1</math> , <math>\mathrm{M}_2=0</math>. 

Finalment:

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad \mathrm{M}_1 \quad 0 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top</math>, amb <math>\mathrm{M}_3=\rs \mathrm{F}_1</math> i <math>\mathrm{M}_1=-\rs \mathrm{F}_3.</math> 

El torsor té cinc components no nul·les, però només tres són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL de la bola respecte de la cavitat és 6. 

Aquest torsor també es pot obtenir a partir de la caracterització a <math>\mathbf{J}</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). En tractar-se d’un contacte puntual sense lliscament, a <math>\mathbf{J}</math> hi ha tres components de força d’enllaç i cap moment: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{J})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad 0 \quad 0 \bigl\}^\top</math> 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{J})+ \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} = \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}</math> 

<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} = \left\{\begin{array}{c}
0\\
-\rs\\
0
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
-\rs \mathrm{F}_3\\
0 \\
\rs \mathrm{F}_1
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
0 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} </math> 

-----------

Com s’ha vist als exemples anteriors, l’equació de caracterització analítica garanteix que la suma del nombre de components independents del torsor d’enllaç entre dos sòlids i del nombre de GL relatius entre els sòlids és sempre 6:

<center><math>\boxed{\text{comps. indeps. torsor + GL relatius = 6}}</math></center>

===Caracterització immediata del torsor d’enllaç===

Quan es tria un punt <math>\Ps</math> de caracterització la velocitat del qual,<math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math>, és independent de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math>, i una base vectorial tal que les components de <math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math> són independents entre elles i les de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math> també, la '''caracterització és immediata''': a cada component nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component no nul·la del torsor dinàmic, i a cada component no nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component nul·la del torsor dinàmic.

====✏️ Exemple D3.7: caracterització immediata del torsor d’enllaç en un contacte multipuntual continu====
---------

[[Fitxer:ExD3-7-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La mola cònica no llisca sobre el terra cònic (T). La caracterització del torsor de l’enllaç directe del terra sobre qualsevol dels punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> de la mola amb el terra pot ser immediata, perquè <math>\vvec_\mathrm{T}(\mathbf{J})</math> independentment de la velocitat angular mola <math>\velang{mola}{T}</math> . 

Perquè ho sigui realment, cal triar una base vectorial per expressar el moment d’enllaç tal que els components de mola <math>\velang{mola}{T}</math> siguin independents. Ja que la direcció de mola <math>\velang{mola}{T}</math> està unívocament determinada (la mola te 1 GL respecte del terra), qualsevol base que tingui un eix paral·lel a l’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la mola és adequada: 

[[Fitxer:ExD3-7-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]] 
:Finalment: <math>\braq{\fvec{T}{mola}}{} = \vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{T}{mola}(\mathbf{J})}{} = \vector{\mathrm{M}_1}{0}{\mathrm{M}_3}.</math>


====✏️ Exemple D3.8: caracterització del torsor d’enllaç d’una unió helicoïdal====
---------

[[Fitxer:ExD3-8-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La caracterització del torsor de l’enllaç directe de la femella de la unió helicoïdal sobre el mascle no pot ser directa, 

En una unió helicoïdal, no hi ha cap punt del mascle que tingui velocitat respecte de la femella independent de la rotació entre les dues peces. Per tant, la caracterització immediata no és possible. 

Si es tria com a punt de caracterització qualsevol punt <math>\mathbf{O}</math> de l’eix 3, la caracterització analítica condueix a: 

<math>\fvec{femella}{mascle}\cdot \vvec_\mathrm{femella}(\mathbf{O})+ \mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O}) \cdot \velang{mascle}{femella}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{\mathrm{v}_3}+\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}\vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{...}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{...}.</math> 

La velocitat d’<math>\mathbf{O}</math> al llarg de l’eix és directament proporcional a la rotació per mitjà del pas de rosca e. Ja que <math>\Omega_3</math> es mesura en rad/s, <math>\mathrm{v}_3</math> en m/s, i e es dóna en mm/volta, cal fer una conversió d’unitats: 

<math>\mathrm{v}_3\left[\frac{\ms}{\ss}\right] = \Omega_3\left[\frac{\mathrm{rad}}{\ss}\right]\es\left[\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{ volta}}\right]\frac{1 \ms}{10^3 \mathrm{ mm}}\frac{1 \mathrm{volta}}{2 \pi \mathrm{ rad}} \Rightarrow \mathrm{v}_3= \Omega_3 \frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3}</math> 

Finalment: <math>\braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{M}_3= -\frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3} \mathrm{F}_3 </math>


===Torsors d'enllaç associats als enllaços directes habituals entre sòlids rígids===

Els [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''enllaços habituals entre parelles de sòlids rígids''']] s’han analitzat des del punt de vistacinemàtic. A partir d’aquesta descripció, es poden caracteritzar els torsors d’enllaç corresponents ('''Figura D3.14'''). 

[[Fitxer:D3-14-TABLE-cat.png|thumb|center|670px|link=]]
<center>
'''Figura D3.14''' Caracterització immediata dels enllaços directes habituals

</center> 

En els sistemes multisòlid formats únicament per sòlids rígids amb massa no negligible connectats mitjançant aquests enllaços habituals, la descripció dinàmica dels enllaços es fa considerant per separat cada parella de sòlids connectats com si la resta d’elements del sistema no hi fos.

====✏️ EXEMPLE D3.9: anàlisi d’incògnites en un sistema multisòlid====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-9-1-cat.png|thumb|left|209px|link=]] 

|El sistema multisòlid conté 5 enllaços habituals: 

* 3 enllaços de revolució (o articulacions)
* 1 enllaç cilíndric
* 1 enllaç esfèric (o ròtula esfèrica) 

Tenint en compte que una articulació introdueix 5 components independents de torsor d’enllaç, un enllaç cilíndric n’introdueix 4, i un d’esfèric 3, en el sistema hi ha un total de 22 incògnites d’enllaç.
|}


-----------
-----------

==D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç==
En els sistemes multisòlid, és freqüent que alguns sòlids tinguin massa negligible comparats amb els altres i que no reben altres forces que les d’enllaç amb altres sòlids. Aquests sòlids s’anomenen '''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''' ('''SAE'''), i se’ls pot donar un tractament particular quan es tracta de caracteritzar enllaços. 

La '''Figura D3.15''' presenta un sòlid <math>\mathrm{S1}</math> en contacte amb un sòlid <math>\mathrm{S}</math> de massa negligible, que no està sotmès a cap força que no sigui d’enllaç, en dues situacions diferents: <math>\mathrm{S}</math> només en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math> ('''Figura D3.15a''') i <math>\mathrm{S}</math> en contacte amb dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> ('''Figura D3.15b'''). 

[[Fitxer:D3-15-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.15''' Interacció entre sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i<math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’un sòlid auxiliar d’enllaç (SAE).

</center> 

En absència de <math>\mathrm{S2}</math> i, la presència de <math>\mathrm{S}</math> (en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math>) és dinàmicament irrellevant: <math>\mathrm{S}</math> no representa cap obstacle per moure <math>\mathrm{S1}</math>. Conseqüentment, <math>\mathrm{S}</math> no és capaç d’introduir cap força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Però quan <math>\mathrm{S}</math> interconnecta <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, <math>\mathrm{S}</math> esdevé un transmissor: <math>\mathrm{S2}</math> pot ser un obstacle quan es tracta de provocar certs moviments de <math>\mathrm{S1}</math>, i això es tradueix en forces d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Com a cas senzill per il·lustrar-ho, la '''Figura D3.16''' mostra dos exemples (que considerarem plans) on dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> sobre un pla llis estan connectats a través d’una barra de massa negligible (comparada amb la de <math>\mathrm{S1}</math> i la de <math>\mathrm{S2}</math>) articulada en els dos extrems:<

(a) les articulacions són perfectes (sense frec) 

(b) una de les articulacions té un molla torsional associada 

[[Fitxer:D3-16-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.16''' Enllaç indirecte entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’una barra <math>\mathrm{S}</math> articulada de massa negligible.

</center> 

En el cas (a), la barra és un SAE (no està sotmesa a cap força que no sigui d’enllaç). Provocar velocitat del punt <math>\mathbf{O}</math> de <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra implica moure <math>\mathrm{S}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> . En canvi, moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció ortogonal a la barra provoca moviment de <math>\mathrm{S}</math> però no de <math>\mathrm{S2}</math> , mentre que fer girar <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> no provoca el moviment cap dels dos (ni de <math>\mathrm{S}</math> ni de <math>\mathrm{S2}</math> ). En conseqüència, només té sentit associar una força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra. El responsable d’aquesta força no és <math>\mathrm{S}</math> sinó <math>\mathrm{S2}</math> : quan es tracta de caracteritzar l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> s’ha devaluar des de <math>\mathrm{S2}</math>. Es diu que entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> hi ha un '''enllaç indirecte a través del SAE'''. 

En el cas (b), la barra no és un SAE perquè està sotmesa a una interacció que no és d’enllaç (la de la molla). Com en el cas (a), moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció de la barra obliga a moure <math>\mathrm{S2}</math> . Però ara, el moviment de <math>\mathbf{O}</math> en direcció perpendicular a la barra obliga a deformar la molla, la qual actua sobre <math>\mathrm{S2}</math> i el fa bellugar. El moviment de rotació de <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> segueix sent possible sense haver de moure <math>\mathrm{S2}</math> ni deformar la molla. En la caracterització de l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , cal avaluar la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> de manera que <math>\mathbf{O}</math> no tingui velocitat : cal avaluar-la des de S. 

====✏️ Exemple D3.10: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-10-1-cat -nou.png|thumb|left|200px|link=]]
El carretó té 2 GL lliures respecte del terra (translació longitudinal i rotació vertical). Si la massa dels tres elements (rodes i xassís) és comparable, la representació simplificada del sistema i el nombre d’incògnites d’enllaç que conté és la següent: 

[[Fitxer:ExD3-10-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
En total, doncs, el sistema conté 17 incògnites d’enllaç. 

Aquest nombre es pot reduir en el cas que la massa de les rodes sigui negligible (comparada amb la del xassís): el xassís passa a tenir tres enllaços amb el terra, un de directe i dos d’indirectes a través de les rodes, que són SAE. El nombre d’incògnites que introdueix un d’aquests enllaços indirectes no és sempre evident a priori, i és aconsellable caracteritzar-lo analíticament. Cal recordar, però, que la cinemàtica que es descriu correspon a la que té el xassís respecte del terra com si només hi actués l’enllaç que es considera. En aquest cas, doncs, en la caracterització de l’enllaç indirecte entre terra i xassís a través de les rodes cal avaluar la cinemàtica com si el contacte directe amb el terra (a la part del davant del xassís) no hi fos. 

[[Fitxer:ExD3-10-3-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al seu centre <math>\mathbf{C}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Cs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad</math>

<math>\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs)}{}= \overline{0}</math>

El nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 

La caracterització també es pot fer al punt <math>\Os</math> (punt mig de l’eix de les rodes), doncs també pertany a la roda. Les components de la força han de ser les mateixes, però les del moment poden canviar. 

Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> només són possibles si hi ha rotació <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_1=\rs\Omega_2 </math> ,<math>\mathrm{v}_3=\Ls\Omega_2 </math> . Si s’introdueixen aquestes relacions i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>(\rs \mathrm{F}_1 + \Ls \mathrm{F}_3 +\mathrm{M}_2')\Omega_2+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+\mathrm{M}_1'\Omega_1+\mathrm{M}_3'\Omega_3=0</math> 

Ja que <math>(\mathrm{v}_2,\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3)</math> són independents, els coeficients de cadascuna d’aquestes velocitats ha de ser zero. Per tant, l’enllaç indirecte introdueix només 2 incògnites: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2'}{0}</math>, amb <math>\mathrm{M}_2'=-\rs \mathrm{F}_1 -\Ls\mathrm{F}_3</math> 

A aquest resultat també es podria haver arribat a partir de la relació que hi ha entre torsors associats a la mateixa interacció però en punts diferents ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]): 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)= \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) + \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} = \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} </math> , 

<math>\vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} = \vector{\Ls}{0}{-\rs} \times \vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} = \vector{0}{-\rs\mathrm{F}_1 -\Ls \mathrm{F}_3}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç segueix sent 5. 

Finalment, una altra opció és caracteritzar l’enllaç del terra sobre el xassís per mitjà de els dues rodes simultàniament. 

[[Fitxer:ExD3-10-4-cat.png|thumb|right|200px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de les dues rodes, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1''}{\mathrm{F}_2''}{\mathrm{F}_3''}\vector{0}{\mathrm{v}_2}{0}+ \vector{\mathrm{M}_1''}{\mathrm{M}_2''}{\mathrm{M}_3''} \vector{\Omega_1}{0}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents:

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1''}{0}{\mathrm{F}_3''} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2''}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç es redueix a 4.


====✏️ Exemple D3.11: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-11-2-cat.png|thumb|right|270px|link=]]
{|
[[Fitxer:ExD3-11-1-cat.png|thumb|left|210px|link=]]

|La placa té el vèrtex <math>\Ps</math> obligat a moure’s dins la guia, i el punt <math>\Qs</math> connectat al punt <math>\Os</math> del terra (T) mitjançant una barra amb articulacions als extrems. El sistema té només 1 GL, descrit per mitjà de <math>\dot{\theta}</math>. 

Si es considera el problema només en dues dimensions i cap element té massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 
|}
{|
|[[Fitxer:ExD3-11-3-cat.png|thumb|left|215px|link=]]
|Si la barra és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la placa per mitjà de la barra al punt <math>\Qs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Qs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
\Omega_1
\end{array}\right\}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
...
\end{array}\right\}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació de la barra, però no de la de la placa: en haver-hi una articulació a <math>\Qs</math>, la placa pot fer un moviment de translació circular quan la barra gira. Per tant, es tracta d’una caracterització immediata: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
0
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
0
\end{array}\right\}</math> 
|}


====✏️ Exemple D3.12: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-12-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-2-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-3-cat.png|thumb|left|150px|link=]]

La bola té 4 GL lliures respecte del terra (translacions al llarg de l’eix r-r’ i de l’eix 2, rotacions al voltant de l’eix r-r’ i de l’eix 2). Si no hi ha cap element de massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 8. 

Si l’element T és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la bola per mitjà d’aquest element al punt <math>\Gs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs) \cdot \velang{bola}{T}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{...}{\mathrm{M}_3}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> només és possible si l’element T (i per tant la bola) giren amb <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_3=-\xs\Omega_2</math>. Si s’introdueix aquesta relació i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>\mathrm{F}_1\mathrm{v}_1+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+(-\xs\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2)\Omega_2+\mathrm{M}_1\Omega_1</math> 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math> 

Tot i que el torsor a <math>\Gs</math> té tres components no nul·les, d’independents només n’hi ha dues.


---------
 

Un cas paradigmàtic en què la dimensió es redueix dràsticament és el del '''coixinet de boles''' ('''Figura D3.17'''). Si es tracta el problema com a pla i les N boles no es consideren SAE, el nombre d’incògnites d’enllaç del sistema és 4N (cada bola manté contacte puntual sense llisament amb els dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, i en el cas pla,el contacte puntual es redueix a dues incògnites d’enllaç). Si es tracten com a SAE, l’enllaç indirecte entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> a través de les boles es redueix a dues incògnites d’enllaç. 

[[Fitxer:D3-17-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.17''' Coixinet de boles.
</center> 

====✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-13-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:El sistema multisòlid té 2 GL respecte del terra: la translació circular de la placa respecte de l’eix i la rotació de tots els elements al voltant de l’eix vertical (permesa pel coixinet). Si cap element té massa negligible, el nombre: total d’incògnites d’enllaç és 25. 

:Si es negligeixen les masses de l’eix i de les dues barres i es tracten com a SAE, el sistema es redueix a un enllaç indirecte: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{...}{\mathrm{M}_3} </math> 

:La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació del conjunt al voltant de l’eix vertical: <math>\mathrm{v}_3=-(\mathrm{h} + \mathrm{Lcos}\theta)\Omega_2</math> . Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_2</math> provenen de la translació circular de la placa, i per tant no són independents: <math>\frac{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}=-\mathrm{tan}\theta</math> 

:Si es desenvolupa el producte escalar tenint en compte aquestes relacions: 

:<math>(-\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta+\mathrm{F}_2)\mathrm{v}_2+ [-(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2]\Omega_2=0, </math> 

:<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta</math> i <math>\mathrm{M}_2=(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3</math> 

:El nombre d’incògnites d’enllaç s’ha reduït a 4.


====✏️ Exemple D3.14: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-14-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:Si al sistema de l’ [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid|'''exemple D3.13''']] se li afegeix una molla torsional amb un extrem lligat a l’eix, el nombre de GL no es modifica, però en la descripció dels enllaços, l’eix no es pot tractar com a SAE encara que la seva massa sigui negligible. Les dues barres, però, segueixen estant sotmeses només a interaccions d’enllaç, i per tant, si es negligeix la seva massa, són SAE: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\mathrm{eix} (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{eix}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{-\mathrm{v}_2\mathrm{tan}\theta}{\mathrm{v}_2}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}, \mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta </math> 

:El nombre total d’incògnites d’enllaç és 10: 5 associades a l’enllaç indirecte que s’acaba de caracteritzar, i 5 més al coixinet entre terra i eix. 

[[Fitxer:ExD3-14-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]


---------
---------

==D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals==
Els actuadors (o accionaments) són elements concebuts per controlar un grau de llibertat (de translació o de rotació) entre dos sòlids i eliminar-ne d’altres. 

Externament, un actuador són dues peces que entre elles només tenen el GL a controlar (en el cas d’actuador rotacionals, aquestes peces s’anomenen '''estator''' i '''rotor'''). Quan s’insereix entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math>, la manera com es connecta als sòlids determina els GL eliminats entre ells. En aquest curs, la massa dels actuador es considera negligible sempre. 

La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> , doncs, es descriu mitjançant una força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o un parell <math>\Gamma</math> (o moment), segons que es tracti d’un actuador lineal o rotacional, i un torsor d’enllaç. 

Hi ha dues maneres de descriure el sistema format per <math>\mathrm{S}1</math>, <math>\mathrm{S}2</math>, <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math>: 

* Opció 1: Es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a dos sòlids més del sistema. Entre elles, el torsor de l’enllaç directe es caracteritza com si l’actuador estigués desactivat (permetent el GL que controla entre les dues peces quan està activat). Tant si l’actuador és lineal com si és rotacional, el torsor d’enllaç conté 5 components independents. A més, entre <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> hi ha la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math>. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{P}1</math>, i entre <math>\mathrm{S}2</math> i <math>\mathrm{P}2</math> es descriu mitjançant l’enllaç corresponent. 

* Opció 2: Es considera l’actuador desactivat, i es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']]. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> queda explicada llavors mitjançant el torsor de l’enllaç indirecte associat a aquesta cadena de SAEs, i la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math> .

====✏️ Exemple D3.15: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-15-1-cat.png|thumb|left|260px|link=]]

|L’actuador lineal, de massa negligible, actua entre terra i pèndol, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 1.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i el pèndol. 
|}
Opció 1 

Ja que la peça 1 de l’actuador està enganxada a terra, es poden considerar com a una de sola. La peça 2, en canvi, no està enganxada sinó articulada al pèndol. 

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització a <math>\Os</math> dels dos enllaços és immediata: 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

Opció 2 

El torsor de l’enllaç indirecte entre terra i pèndol a través de l’actuador es pot caracteritzar analíticament: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}} \cdot \vvec_\mathrm{terra} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os) \cdot \velang{pèndol}{terra}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}}{}=\vector{0}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{0}</math> 

:En aquest cas, la caracterització a <math>\Os</math> és immediata. 

:Les interaccions entre terra i pèndol per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


====✏️ Exemple D3.16: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-16-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]

|L’actuador lineal actua entre el suport i l’hèlix, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 2 (la qual cosa fa girar l’hèlix sempre i quan no es passi per configuracions singulars – per exemple, quan la direcció de l’actuador és vertical i passa per <math>\Os</math>). Es tracta de descriure la interacció entre el suport i l’hèlix.

|}
Opció 1 
Cap de les peces que formen l’actuador és fixa al suport ni a l’hèlix. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]] 

La caracterització dels tres enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os')}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

 

Opció 2 

: El torsor de l’enllaç indirecte entre suport i hèlix a través de l’actuador és nul: en haver-hi ròtules esfèriques als dos extrems de l’actuador, el punt <math>\Os</math> podria tenir velocitat en totes les direccions respecte del suport. 

:La interacció entre suport i hèlix a través de l’actuador es redueix a una força (que és la que fa l’actuador quan està activat): 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
 

====✏️ Exemple D3.17: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-17-1-cat,esp.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor, de massa negligible, actua entre terra i anella, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i l’anella. 

Opció 1 

En aquest cas, l’estàtor (P1) és fix a terra, i el rotor (P2) és fix a l’anella. Per tant, només té sentit l’opció 1. 

Les interaccions entre terra i anella per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-17-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]]

El torsor de l’enllaç entre terra (+P1) i anella (+P2) és el que correspon a una articulació, i la seva caracterització és immediata: 

<center>
<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math>
</center>
|}


====✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-18-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor actua entre la forquilla i la roda, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre la forquilla i la roda. 
|}
Opció 1 

Una de les peces que formen l’actuador (el rotor) és fixa la roda. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització dels dos enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

Opció 2 

:La caracterització del torsor d’enllaç entre forquilla i roda a través del motor és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}} \cdot \vvec_\mathrm{forq} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os) \cdot \velang{roda}{forq}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{M}_3}</math> 

:La interacció entre forquilla i roda a través del motor es resumeix en el diagrama següent: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D2. Forces d’interacció entre partícules|<<< D2. Forces d’interacció entre partícules]]

[[D4. Teoremes vectorials|D4. Teoremes vectorials >>>]]
</center>

D3. Interaccions entre sòlids rígids

2024-04-25T13:11:10Z

Ebosch: /* ✏️ Exemple D3.6: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte puntual sense lliscament */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
</math>
Com s’ha vist a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules|'''unitat D2''']], les interaccions entre parelles de partícules <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> queden descrites per una única força de direcció <math>\overline{\Ps \Qs}</math> . Quan la interacció és entre parelles de sòlids rígids (que es poden considerar com a dos conjunts d’infinites partícules), la descripció partícula a partícula portaria a treballar amb un sistema d’infinites forces. En aquest cas, cal passar a una descripció compacta d’aquest sistema de forces que retingui, però, la informació necessària per estudiar la dinàmica dels sòlids rígids: el sistema de forces es substitueix per un '''torsor resultant'''. 

Aquesta unitat introdueix el concepte de '''torsor associat a un sistema de forces''', i després l’aplica a les diverses interaccions entre sòlids (a distància, de contacte i per mitjà d’elements intermedis).

-----------
-----------
==D3.1 Torsor associat a un sistema de forces==
La reducció d’un sistema de forces sobre un sòlid rígid a un torsor és absolutament necessària quan el nombre de forces és molt elevat (infinit). Quan es tracta d’un sistema de poques forces, sol ser opcional. 

Una operació matemàtica eficaç per reduir el nombre de forces sobre un sòlid S és la suma: per molt elevat que sigui el nombre de forces, la suma condueix a una única '''força resultant'''. Aquesta reducció dràstica, però, implica una pèrdua d’informació essencial en molts casos. Sempre i quan no interessi estudiar la deformació dels objectes (és a dir, quan només s’estudiï la dinàmica de sòlids rígids), això es resol afegint un segon vector a la descripció compacta del sistema: el '''moment''' (o '''parell''') '''resultant respecte d’un punt''' <math>\Qs</math>. El conjunt d’aquests dos vectors és el '''torsor del sistema de forces en el punt''' <math>\Qs</math> ('''Figura D3.1'''). 

[[Fitxer:D3-1-cat.png|thumb|center|370px|link=]]
<center>'''Figura D3.1''' Torsor associat a un sistema de forces que actuen sobre un sòlid rígid.
</center> 

A tall d’exemple, considerem el cas d’una barra rígida inicialment en repòs que se sotmet a un sistema de forces amb força resultant nul·la. La '''Figura D3.2''' presenta tres situacions diferents que corresponen a aquesta resultant: ('''a''') lliure de forces, ('''b''') forces paral·leles a la barra, ('''c''') forces perpendiculars a la barra. En els dos casos primers ('''a''', '''b'''), el sistema de forces no modifica l’estat de repòs. En el tercer ('''c'''), les forces provoquen una rotació horària de la barra. El torsor resultant en qualsevol punt permet distingir entre ('''c''') i ('''a''', '''b'''). 

[[Fitxer:D3-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.2''' Barra rígida sotmesa a una força resultant nul·la.
</center> 

La força resultant no depèn mai del punt on es calcula el torsor. En canvi, el moment resultant en general sí que en depèn ('''Figura D3.3'''). 

[[Fitxer:D3-3-neut.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.3''' Barra rígida sotmesa a dues forces de valor diferent.
</center> 

El torsor resultant es representa en el punt on s’ha calculat el moment resultant ('''Figura D3.4'''). 

[[Fitxer:D3-4-neut.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.4''' Torsors a diferents punts per a l’exemple de la barra rígida de la '''Figura D3.3'''.
</center>
El moment resultant en un punt <math>\Qs’</math> es pot obtenir a partir del torsor en un punt <math>\Qs</math>: 

<math>\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs ')=\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{R}(\Qs) + \overline{\Qs '\Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs</math>

<div>
=====💭 Demostració ➕=====


:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)=\sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is</math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\sum \overline{\Qs ' \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum (\overline{\Qs ' \Qs}+\overline{\Qs \Ps_\is}) \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\sum \overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\is + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is=\overline{\Qs ' \Qs} \times (\sum \overline{\mathbf{F}}_\is) + \sum \overline{\Qs \Ps_\is} \times \overline{\mathbf{F}}_\is </math> 

:<math>\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs ')=\overline{\Qs ' \Qs} \times \overline{\mathbf{F}}_\Rs+\overline{\mathbf{M}}_\Rs(\Qs)</math>

</div>

-----------
-----------

==D3.2 Atracció gravitatòria==
El càlcul del torsor resultant gravitatori sobre un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> per causa d’un sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> no és senzill. La força gravitatòria resultant sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) prové de les forces (<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> ) que cada diferencial de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> exerceix sobre <math>\Ps</math> ('''Figura D3.5'''). El torsor resultant sobre <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> s’obté a partir de totes aquestes forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math> sobre tots els diferencials de massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> . 

[[Fitxer:D3-5-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
<center><math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> és la suma de totes les <math>\mathbf{F}_{\Qs \rightarrow \Ps}</math>
</center>
<center>'''Figura D3.5''' Càlcul de la força total gravitatòria del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{Q}</math> (<math> \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math>) sobre un diferencial de massa dm(<math>\Ps</math>) del sòlid <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math>.
</center> 

Quan es tracta de l’atracció gravitatòria terrestre (<math>\mathrm{S}_\mathrm{Q} = \mathrm{Terra}</math>) sobre un sòlid de petites dimensions comparades amb les de la Terra i prop de la superfície terrestre, és usual emprar l’aproximació de camp uniforme: les forces <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps}</math> pràcticament paral·leles entre elles i el seu valor és <math>\mathbf{F}_{\mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \rightarrow \Ps} = \mathrm{gdm}(\Ps)</math> , amb <math>\mathrm{g}</math> constant i igual al camp gravitatori a la superfície terrestre:<math>\mathrm{g}=\mathrm{G}_0 \frac{\mathrm{M}_\Ts}{\Rs_\Ts^2}</math>(on <math>\mathrm{G}_0</math> és la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.3 Atracció gravitatòria|'''constant universal de gravitació''']], i <math>\mathrm{M}_\Ts</math> i <math>\Rs_\Ts</math> són la massa i el radi de la Terra, respectivament). En aquest cas, es pot demostrar que existeix un punt de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> en el qual el torsor gravitatori es redueix a una força resultant <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}_{\mathrm{T}} \rightarrow \mathrm{S}_{\mathrm{P}}}</math> de valor mg (on m és la massa de <math>\mathrm{S}_\mathrm{P}</math> ) dirigida cap al centre de la terra, i un moment resultant gravitatori nul. Aquest punt s’anomena '''centre de gravetat''' del sòlid, es representarà amb la lletra '''G''' ('''Figura D3.6'''). 

[[Fitxer:D3-6-cat.png|thumb|center|600px|link=]]
<center>'''Figura D3.6''' Atracció gravitatòria terrestre sobre un sòlid rígid en l‘aproximació de camp uniforme.
</center>

-----------
-----------
==D3.3 Interacció per mitjà de molles i amortidors==
===Molles i amortidors lineals===
Quan una molla o un amortidor lineal connecta dos punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> de dos sòlids diferents, cal assegurar que la connexió es fa de manera que la força que es transmet entre els punts té la direcció de l’element, i que no es transmet cap moment (o parell). 

En alguns casos, això es pot aconseguir inserint l’element entre dos trams de fil inextensible ('''Figura D3.7a'''). En aquest cas, la força que introdueix entre els punts <math>\Ps</math> i <math>\Qs</math> només pot ser d’atracció (a causa del caràcter unilateral de l’actuació del fil). 

En d’altres casos, cal recórrer a unions mitjançant [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''articulacions''']] (si es tracta d’un problema pla, '''Figura D3.7b''') o [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''ròtules esfèriques''']] (si és un problema 3D). 

[[Fitxer:D3-7-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D3.7''' Molles i amortidors lineals connectats a dos sòlids rígids diferents.
</center>

====✏️ Exemple D3.1: força de repulsió d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------

[[Fitxer:ExD3-1-1-neut.png|thumb|left|175px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, actua entre el suport fix a terra i un eix vertical que està en contacte amb la barra. Per a <math>\theta = 0</math> , el sistema està en equilibri, i la força que la molla exerceix entre els seus extrems és <math>\mathrm{F}_0</math> . 

:En absència de molla, la barra, que està articulada al suport al punt <math>\mathbf{O}</math>, tendiria a caure (rotació horària). Si per a <math>\theta = 0</math> hi ha equilibri, la molla ha d’estar fent necessàriament una repulsió entre els seus extrems en aquesta configuració. Per tant, el més lògic és calcular l’expressió de la força de la molla per a una configuració general com a força repulsiva: 

<math> \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}= \mathrm{F}_0 - \mathrm{k}\Delta\rho=\mathrm{F}_0-\mathrm{k}[\rho(\theta) - \rho(\theta=0)]</math>. 

L’increment <math>\Delta \rho </math> de llargària de la molla a partir de l’equilibri és proporcional a la tangent de l’angle:<math>\mathrm{tan}\theta=\Delta\rho/\mathrm{L}</math>. Per tant: <math>\mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{molla}}=\mathrm{F}_0-\mathrm{kL}\mathrm{tan}\theta</math>. 

La força de repulsió de l’amortidor s’obté a partir de l’allargament anterior per derivació: 

<math>\rho=\mathrm{Ltan}\theta \Rightarrow \dot{\rho} = \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{rep}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c}\dot{\rho}=-\mathrm{c} \frac{\mathrm{L}\dot{\theta}}{\mathrm{cos}^2\theta}</math>


====✏️ Exemple D3.2: força d’atracció d’una molla i un amortidor lineals de comportament lineal====
---------


[[Fitxer:ExD3-2-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]
:La molla, que és de comportament lineal, té un extrem fix al xassís del vehicle, i l’altre a un fil que s’enrotlla al damunt d’un corró de radi <math>\rs</math> solidari a la roda de radi <math>2\rs</math>, que no llisca al damunt del terra. Per a <math>\xs = 0</math> , la molla està estirada i exerceix una força <math>\mathrm{F}_0</math> entre els seus extrems.
[[Fitxer:ExD3-2-2-cat.png|thumb|right|220px|link=]]
:La coordenada <math>\xs</math> descriu la posició del xassís respecte del terra, i per tant també la del centre de la roda de radi <math>2\rs</math>. En tenir la molla un extrem lligat a un fil que s’enrotlla al corró, el desplaçament d’aquest extrem respecte del terra es pot obtenir per integració de la seva velocitat. 

:Vistes les velocitats dels dos extrems de la molla, és evident que s’escurça. La velocitat d’escurçament entre els extrems és: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{3}{2}\dot{\xs}-\dot{\xs}=\frac{1}{2}\dot{\xs}</math>, i per tant, l’escurçament de la molla a partir de la configuració <math>\xs = 0</math> és:<math>\frac{1}{2}\xs(=-\Delta \rho)</math> 

:L’expressió de la força d’atracció de la molla (ja que la <math>\mathrm{F}_0</math> és una atracció ja que la molla està estirada per a <math>\xs = 0</math> ) és:<math>\mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{molla}} + \mathrm{k}\Delta \rho = \mathrm{F}_0 - \frac{1}{2}\mathrm{k}\xs </math> 

:La força d’atracció de l’amortidor s’obté a partir de la velocitat l’escurçament que ja s’ha trobat: 

:<math>\mathrm{v}_{\mathrm{escurçament}}(=-\dot{\rho})=\frac{1}{2}\dot{\xs} \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{at}}^{\mathrm{amort}}=\mathrm{c} \dot{\rho}=-\frac{1}{2} \mathrm{c} \dot{\xs}</math>


-----------

===Molles i amortidors torsionals===

Les '''molles''' i els '''amortidors torsionals''' introdueixen moments però no forces entre els dos sòlids que connecten. Igual que en el cas dels elements lineals, la unió a cadascun dels sòlids ha de garantir que només es transmet un moment en una direcció determinada. Igual que en els casos dels elements lineals, les maneres d’aconseguir-ho són diverses. 

Quan les molles i els amortidors torsionals són de comportament lineal, l’increment de moment que introdueixen entre els sòlids, quan l’orientació relativa entre ells s’incrementa en un angle <math>\Delta \theta</math>, és proporcional a <math>\Delta \theta</math> i <math>\dot{\theta}</math>, respectivament ('''Figura D3.8'''). 

[[Fitxer:D3-8-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>'''Figura D3.8''' Formulació de molles i amortidors torsionals de comportament lineal.
</center>

-----------
-----------

==D3.4 Interaccions d’enllaç directes==
Les interaccions directes d’enllaç entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math> es produeixen quan estan en contacte, i provenen de les petites deformacions locals dels sòlids en la zona de contacte. Des del punt de vista macroscòpic, això es tradueix en impenetrabilitat i rugositat dels sòlids. Com ja s’ha comentat a la [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|'''secció D2.7''']], en tractar aquest curs de la dinàmica d’objectes rígids, les deformacions no es formulen, i per tant les forces associades són incògnites del problema dinàmic. 

Quan els enllaços impliquen sòlids, cal precisar si són llisos o rugosos. Una superfície llisa no pot impedir que un element llisqui respecte d’ella tot mantenint-hi contacte, mentre que una de rugosa sí que ho pot impedir. Això té una conseqüència directa en la caracterització de l’enllaç. 

Com a introducció a la caracterització d’enllaços entre sòlids, és útil considerar el cas més senzill del contacte puntual.

Considerem dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> que mantenen un contacte puntual entre ells. Els punts de contacte són <math>\Ps_1</math> i <math>\Ps_2</math> , respectivament. La caracterització de l’enllaç que <math>\mathrm{S}2</math> fa sobre <math>\Ps_1</math> (o que <math>\mathrm{S}1</math> fa sobre <math>\Ps_2</math> ) s’obté de manera anàloga a la de l’[[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|enllaç partícula-sòlid]] ('''Figura D3.12'''). El valor límit de força tangencial d'enllaç també s'obté com en el cas [[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.8 Fricció|partícula-sòlid]]

[[Fitxer:D3-12-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
<center>'''Figura D3.12''' Caracterització de l’enllaç puntual del sòlid <math>\mathrm{S}_2</math> sobre el sòlid <math>\mathrm{S}_1</math>.
</center> 
Quan l’enllaç entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> és multipuntual, la condició d’ortogonalitat entre força d’enllaç i velocitat permesa es pot aplicar a cada punt on es produeix contacte (la qual cosa implica acceptar que l’enllaç multipuntual es pot obtenir com a superposició d’enllaços puntuals independents). De vegades, això condueix a un nombre de components de forces d’enllaç elevat (fins i tot infinit, si el contacte es produeix al llarg d’un tram lineal o superficial continu), i cal reduir el sistema de forces a un torsor resultant d’enllaç. En alguns casos, aquesta reducció es pot obtenir molt fàcilment a partir de la descripció de l’enllaç punt a punt. 

Si bé és possible calcular el torsor d’un sistema de forces en qualsevol punt ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]), quan es tracta de torsors d’enllaç és convenient que aquest punt pertanyi al sòlid sotmès al sistema de forces en qüestió, perquè d’això sen deriva una propietat important.

====✏️ Exemple D3.3: torsor d’enllaç en un contacte bipuntual====
---------

[[Fitxer:ExD3-3-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El bloc manté contacte bipuntual amb un terra llis, i es mou només en un pla. 
[[Fitxer:ExD3-3-2-neut.png|thumb|right|175px|link=]]
:La descripció de l’enllaç com a superposició de dos enllaços puntuals condueix a dues forces normals: Si només hi hagués contacte a <math>\Ps</math>, l’enllaç introduiria només una força a <math>\Ps</math> normal al terra (<math>\Ns_\mathrm{P}</math>); si el contacte fos només a <math>\Qs</math>, introduiria una força a <math>\Qs</math> normal al bloc (<math>\Ns_\mathrm{Q}</math>). Els valors de <math>\Ns_\mathrm{P}</math> i <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> són independents (conèixer <math>\Ns_\mathrm{P}</math> no implica conèixer <math>\Ns_\mathrm{Q}</math> ). El contacte bipuntual, doncs, introdueix dues incògnites d’enllaç. 

En tractar-se només de dues forces, la reducció a un torsor no és necessària, Per altra banda, aquesta desripció és útil per estudiar les dues condicions límit: <math>\Ns_\mathrm{P}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Ps</math> (per tant, bolcament en sentit horari), mentre que <math>\Ns_\mathrm{Q}=0</math> indica pèrdua de contacte a <math>\Qs</math> (per tant, bolcament en sentit antihorari).

En aquest cas, el torsor associat a aquest sistema de forces no redueix el nombre d’incògnites, que segueix sent 2. La força resultant té dues components independents:

<center>
<math>\left\{\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{T} \rightarrow \text { bloc }}\right\}=\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1 \\
\mathrm{F}_2 \\
0
\end{array}\right\} \text {, amb }\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{F}_1=-\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \sin \theta \\
\mathrm{F}_2=\mathrm{N}_{\mathrm{p}}+\mathrm{N}_{\mathrm{Q}} \cos \theta
\end{array}\right. \text {. }</math>
</center>

El moment resultant depèn del punt del bloc on es caracteritza el torsor, i quan no és nul, es pot escriure en funció de les components de força. 

[[Fitxer:ExD3-3-3-cat.png|thumb|center|600px|link=]]

Passar de la descripció punt a punt al torsor no té cap avantatge en aquest cas: no redueix el nombre d’incògnites d’enllaç, i dificulta l’estudi de les condicions límit.


====✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-4-1-cat.png|thumb|left|175px|link=]]

:El corró es troba en contacte amb lliscament sobre un terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La descripció de l’enllaç multipuntual com a superposició d’enllaços puntuals condueix a un conjunt d’infinites forces normals <math>\Ns_{\rightarrow \mathrm{J}}</math> als punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> en la direcció normal al terra (direcció 3). La força resultant d’enllaç sobre el corró, per tant, és també de direcció 3, i ha de ser estrictament positiva ja que és un enllaç unilateral: 

<math>\int_{\mathrm{J} \in \text { corró }} \mathrm{N}_{\rightarrow \mathrm{J}}=\mathrm{N}>0 .</math> 

El moment resultant d’enllaç depèn del punt del corró on es calculi. Si es tria un punt extrem del contacte (<math>\Ps</math> o <math>\Qs</math>), el moment resultant té signe definit: 

<center>
<math>\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{P})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{P J}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2>0 \\
0
\end{array}\right\},\{\overline{\mathbf{M}}(\mathbf{Q})\}=\left\{\int_{\text {J} \in \mathrm{corró }} \overline{\mathbf{QJ}} \times \overline{\mathbf{N}}_{\rightarrow \mathrm{J}}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0 \\
\mathbf{M}_2<0 \\
0
\end{array}\right\} .</math>
</center>
[[Fitxer:ExD3-4-2-cat.png|thumb|center|700px|link=]]
La descripció de l’enllaç per mitjà del torsor és molt avantatjosa: redueix dràsticament el nombre d’incògnites d’enllaç (passem a tenir-ne només dues). Si el torsor es caracteritza a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math>, l’estudi de la condició límit de bolcament és fàcil: <math>\mathrm{M}_2=0</math>. Si es caracteritza en qualsevol altre punt de la generatriu de contacte, cal passar a <math>\Ps</math> o a <math>\Qs</math> per investigar el bolcament.


===Caracterització analítica del torsor d’enllaç entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math>===

La caracterització del torsor d’enllaç entre dos sòlids es pot fer sense passar per la descripció de l’enllaç punt a punt: si el punt de caracterització pertany a un dels dos sòlids, n’hi ha prou en combinar la condició d’ortogonalitat entre força i velocitat a cada punt de contacte amb la cinemàtica de sòlid rígid, i sumar totes les equacions que en resulten ('''Figura D3.13'''). 

[[Fitxer:Opcio-ana.png|thumb|center|8000px|link=]]
<center>
'''Figura D3.13''' Caracterització analítica d’un enllaç multipuntual entre dos sòlids.

</center> 

Els vectors <math>\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \text{ i }\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}</math> es poden treure factor comú. Finalment: 

<math> \Biggl(\sum_\mathrm{J} \overline{\mathbf{F}}_{\rightarrow \mathrm{J}} \Biggl) \cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \Biggr[ \sum_\mathrm{J} (\overline{\mathbf{PJ}} \times \mathbf{F}_{\rightarrow \mathrm{J}}) \Biggr] \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} = 0 \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}=0 </math> 

Aquesta equació és l’equació de '''caracterització analítica''' del torsor d’enllaç. Expressa l’ortogonalitat entre el torsor d’enllaç <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)\bigl\}^\top</math> i el torsor cinemàtic <math>\bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \quad \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}^\top</math> de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>:<math>\left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps)
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps)\\
\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2}
\end{array}\right\} =0.</math> 

Aquesta ortogonalitat no implica ortogonalitat entre força i velocitat per una banda, i entre moment i velocitat angular per l’altra. En principi,<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \neq 0 \text{, } \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \neq 0 </math>. 

Quan es fa servir l’equació de caracterització analítica, cal considerar inicialment que tant la força com el moment resultants tenen les tres components no nul·les. Pel que fa al torsor cinemàtic, cal escriure les seves components no nul·les en funció dels GL de <math>\mathrm{S2}</math> respecte de <math>\mathrm{S1}</math>. 

Per altra banda, en aparèixer multiplicades escalarment la força i la velocitat del punt per una banda, i el moment i la velocitat angular per l’altra, es poden fer servir bases vectorials diferents per a cadascun d’aquests productes escalars, doncs el seu resultat no depèn de la base: 

<math>\bigl\{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}} \bigl\}_\mathrm{B} \cdot \bigl\{\overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S1}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B} + \bigl\{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S1}\rightarrow \mathrm{S2}}(\Ps) \bigl\}_\mathrm{B'} \cdot \bigl\{\overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S1}^\mathrm{S2} \bigl\}_\mathrm{B'} </math>

====✏️ Exemple D3.5: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua====
---------

[[Fitxer:ExD3-5-1-cat.png|thumb|left|165px|link=]]
:El corró no llisca sobre el terra horitzontal <math>\mathrm{S}</math>. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe del terra sobre el corró, al punt <math>\Ps</math> és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\Ps) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}
\cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} =0</math> 

Totes les components del torsor d’enllaç tret de <math>\mathrm{M}_1</math> poden tenir qualsevol valor, doncs van multiplicades per zero. En canvi, com que <math>\Omega_1</math> no és zero en principi, <math>\mathrm{M}_1</math> ha de ser zero per tal de que es compleixi l’equació d’ortogonalitat. Així doncs, el torsor resultant d’enllaç és: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\Ps)\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad \mathrm{M}_2 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top . </math> 

Com s'ha comentat a l’[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.4: torsor d’enllaç en un contacte al llarg d’una línia contínua|'''exemple D3.4''']], M2 ha de ser positiu. Un valor negatiu seria indicatiu de bolcament. 

Les cinc components no nul·les són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL del corró respecte de <math>\mathrm{S}</math> és 6. 

El torsor del mateix enllaç en un punt diferent es pot obtenir bé aplicant novament l’equació de caracterització analítica bé a partir del torsor a <math>\Ps</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). Per exemple, per al punt <math>\mathbf{C}</math> aquests dos mètodes condueixen a: 

* Caracterització analítica: <math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{S}(\mathbf{C}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}}(\mathbf{C}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{S}^\mathrm{corró}=0 </math>

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_2 = - \rs \Omega_1\\
0
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
0 \\
0
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
...\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math>

:<math>(-\rs \mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1)\Omega_1 =0 \quad \Rightarrow \quad -\rs\mathrm{F}_2 + \mathrm{M'}_1=0 </math> 

Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

* Obtenció a partir del torsor a <math>\Ps</math>: <math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{P})+ \overline{\mathbf{CP}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} </math> 

:<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\}+ \left\{\begin{array}{c}
0\\
0 \\
-\rs
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
\rs \mathrm{F}_2\\
\mathrm{M}_2 - \rs \mathrm{F}_1 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\} </math> 

:Finalment: <math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} \bigl\}=\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{corró}} (\mathbf{C}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M'}_1\\
\mathrm{M'}_2 \\
\mathrm{M'}_3
\end{array}\right\}</math>, amb <math>\mathrm{M'}_1=\rs\mathrm{F}_2</math> 

El nombre de components no nul·les del torsor a <math>\mathbf{C}</math> és 6, però el nombre de components independents és 5, doncs hi ha una relació de dependència entre <math>\mathrm{M}_1</math> i <math>\mathrm{F}_2</math> . Per tant, segueix complint-se que el nombre de components independents de torsor més el de GL és 6.

====✏️ Exemple D3.6: caracterització analítica del torsor d’enllaç en un contacte puntual sense lliscament====
---------
[[Fitxer:ExD3-6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:La bola de radi r no llisca dins la cavitat esfèrica. La caracterització analítica del torsor de l’enllaç directe de la cavitat sobre la bola, al seu centre <math>\mathbf{G}</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}\cdot \overline{\mathbf{v}}_\mathrm{cav}(\mathbf{G}) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G}) \cdot \overline{\boldsymbol{\Omega}}_\mathrm{cav}^\mathrm{bola}=0 </math> 

:<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{v}_1\\
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
\mathrm{M}_2 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} \cdot \left\{\begin{array}{c}
\Omega_1\\
\Omega_2\\
\Omega_3
\end{array}\right\} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \bigl\}= \left\{\begin{array}{c}
...\\
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\} \quad \text{,} \quad \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} =\left\{\begin{array}{c}
...\\
... \\
...
\end{array}\right\} </math>

En no haver-hi lliscament al punt de contacte, les components de velocitat <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> són proporcionals a <math>\Omega_3</math> i <math>\Omega_1</math> , respectivament: <math>\mathrm{v}_1=-\rs \Omega_3</math>, <math>\mathrm{v}_3=\rs \Omega_1</math> (el signe negatiu de la primera igualtat indica que una <math>\Omega_3</math> positiva genera una <math>\mathrm{v}_1</math> negativa). Substituïnt a l’equació de caracterització i desenvolupant el producte escalar (sense incloure la component <math>\mathrm{F}_2</math> , perquè va multiplicada per zero): 

<math>(-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3) \Omega_3 + (\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1) \Omega_1 + \mathrm{M}_2\Omega_2=0. </math> 

Com que les tres rotacions són independents, els coeficients que les multipliquen han de ser zero perquè l’equació es compleixi per a qualsevol valor de <math>\Omega_3</math> i de <math>\Omega_1</math>: <math>-\rs \mathrm{F}_1 + \mathrm{M}_3=0</math> ,<math>\rs \mathrm{F}_3 + \mathrm{M}_1</math> , <math>\mathrm{M}_2=0</math>. 

Finalment:

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{G})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad \mathrm{M}_1 \quad 0 \quad \mathrm{M}_3 \bigl\}^\top</math>, amb <math>\mathrm{M}_3=\rs \mathrm{F}_1</math> i <math>\mathrm{M}_1=-\rs \mathrm{F}_3.</math> 

El torsor té cinc components no nul·les, però només tres són independents, i es compleix que la suma del nombre de components independents del torsor i el de GL de la bola respecte de la cavitat és 6. 

Aquest torsor també es pot obtenir a partir de la caracterització a <math>\mathbf{J}</math> ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]). En tractar-se d’un contacte puntual sense lliscament, a <math>\mathbf{J}</math> hi ha tres components de força d’enllaç i cap moment: 

<math>\bigl\{ \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} \quad \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}(\mathbf{J})\bigl\}^\top = \bigl\{\mathrm{F}_1 \quad \mathrm{F}_2 \quad \mathrm{F}_3 \qquad 0 \quad 0 \quad 0 \bigl\}^\top</math> 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G})=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{J})+ \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} = \overline{\mathbf{GJ}} \times \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}}</math> 

<math> \bigl\{ \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{cav}\rightarrow \mathrm{bola}} (\mathbf{G}) \bigl\} = \left\{\begin{array}{c}
0\\
-\rs\\
0
\end{array}\right\} \times \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_1\\
\mathrm{F}_2 \\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\} = \left\{\begin{array}{c}
-\rs \mathrm{F}_3\\
0 \\
\rs \mathrm{F}_1
\end{array}\right\} \equiv \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1\\
0 \\
\mathrm{M}_3
\end{array}\right\} </math> 

-----------

Com s’ha vist als exemples anteriors, l’equació de caracterització analítica garanteix que la suma del nombre de components independents del torsor d’enllaç entre dos sòlids i del nombre de GL relatius entre els sòlids és sempre 6:

<center><math>\boxed{\text{comps. indeps. torsor + GL relatius = 6}}</math></center>

===Caracterització immediata del torsor d’enllaç===

Quan es tria un punt <math>\Ps</math> de caracterització la velocitat del qual,<math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math>, és independent de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math>, i una base vectorial tal que les components de <math>\overline{\mathbf{v}}_{\mathrm{S1}}(\Ps)</math> són independents entre elles i les de <math>\overline{\mathbf{\Omega}}_{\mathrm{S1}}^{\mathrm{S2}}</math> també, la '''caracterització és immediata''': a cada component nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component no nul·la del torsor dinàmic, i a cada component no nul·la del torsor cinemàtic li correspon una component nul·la del torsor dinàmic.

====✏️ Exemple D3.7: caracterització immediata del torsor d’enllaç en un contacte multipuntual continu====
---------

[[Fitxer:ExD3-7-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La mola cònica no llisca sobre el terra cònic (T). La caracterització del torsor de l’enllaç directe del terra sobre qualsevol dels punts de contacte <math>\mathbf{J}</math> de la mola amb el terra pot ser immediata, perquè <math>\vvec_\mathrm{T}(\mathbf{J})</math> independentment de la velocitat angular mola <math>\velang{mola}{T}</math> . 

Perquè ho sigui realment, cal triar una base vectorial per expressar el moment d’enllaç tal que els components de mola <math>\velang{mola}{T}</math> siguin independents. Ja que la direcció de mola <math>\velang{mola}{T}</math> està unívocament determinada (la mola te 1 GL respecte del terra), qualsevol base que tingui un eix paral·lel a l’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la mola és adequada: 

[[Fitxer:ExD3-7-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]] 
:Finalment: <math>\braq{\fvec{T}{mola}}{} = \vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{T}{mola}(\mathbf{J})}{} = \vector{\mathrm{M}_1}{0}{\mathrm{M}_3}.</math>


====✏️ Exemple D3.8: caracterització del torsor d’enllaç d’una unió helicoïdal====
---------

[[Fitxer:ExD3-8-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
La caracterització del torsor de l’enllaç directe de la femella de la unió helicoïdal sobre el mascle no pot ser directa, 

En una unió helicoïdal, no hi ha cap punt del mascle que tingui velocitat respecte de la femella independent de la rotació entre les dues peces. Per tant, la caracterització immediata no és possible. 

Si es tria com a punt de caracterització qualsevol punt <math>\mathbf{O}</math> de l’eix 3, la caracterització analítica condueix a: 

<math>\fvec{femella}{mascle}\cdot \vvec_\mathrm{femella}(\mathbf{O})+ \mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O}) \cdot \velang{mascle}{femella}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{\mathrm{v}_3}+\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}\vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{...}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{...}.</math> 

La velocitat d’<math>\mathbf{O}</math> al llarg de l’eix és directament proporcional a la rotació per mitjà del pas de rosca e. Ja que <math>\Omega_3</math> es mesura en rad/s, <math>\mathrm{v}_3</math> en m/s, i e es dóna en mm/volta, cal fer una conversió d’unitats: 

<math>\mathrm{v}_3\left[\frac{\ms}{\ss}\right] = \Omega_3\left[\frac{\mathrm{rad}}{\ss}\right]\es\left[\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{ volta}}\right]\frac{1 \ms}{10^3 \mathrm{ mm}}\frac{1 \mathrm{volta}}{2 \pi \mathrm{ rad}} \Rightarrow \mathrm{v}_3= \Omega_3 \frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3}</math> 

Finalment: <math>\braq{\fvec{femella}{mascle}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\quad \text{,} \quad \braq{\mvec{femella}{mascle}(\mathbf{O})}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{M}_3= -\frac{\es}{2 \pi \cdot 10^3} \mathrm{F}_3 </math>


===Torsors d'enllaç associats als enllaços directes habituals entre sòlids rígids===

Els [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|'''enllaços habituals entre parelles de sòlids rígids''']] s’han analitzat des del punt de vistacinemàtic. A partir d’aquesta descripció, es poden caracteritzar els torsors d’enllaç corresponents ('''Figura D3.14'''). 

[[Fitxer:D3-14-TABLE-cat.png|thumb|center|670px|link=]]
<center>
'''Figura D3.14''' Caracterització immediata dels enllaços directes habituals

</center> 

En els sistemes multisòlid formats únicament per sòlids rígids amb massa no negligible connectats mitjançant aquests enllaços habituals, la descripció dinàmica dels enllaços es fa considerant per separat cada parella de sòlids connectats com si la resta d’elements del sistema no hi fos.

====✏️ EXEMPLE D3.9: anàlisi d’incògnites en un sistema multisòlid====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-9-1-cat.png|thumb|left|209px|link=]] 

|El sistema multisòlid conté 5 enllaços habituals: 

* 3 enllaços de revolució (o articulacions)
* 1 enllaç cilíndric
* 1 enllaç esfèric (o ròtula esfèrica) 

Tenint en compte que una articulació introdueix 5 components independents de torsor d’enllaç, un enllaç cilíndric n’introdueix 4, i un d’esfèric 3, en el sistema hi ha un total de 22 incògnites d’enllaç.
|}


-----------
-----------

==D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç==
En els sistemes multisòlid, és freqüent que alguns sòlids tinguin massa negligible comparats amb els altres i que no reben altres forces que les d’enllaç amb altres sòlids. Aquests sòlids s’anomenen '''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''' ('''SAE'''), i se’ls pot donar un tractament particular quan es tracta de caracteritzar enllaços. 

La '''Figura D3.15''' presenta un sòlid <math>\mathrm{S1}</math> en contacte amb un sòlid <math>\mathrm{S}</math> de massa negligible, que no està sotmès a cap força que no sigui d’enllaç, en dues situacions diferents: <math>\mathrm{S}</math> només en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math> ('''Figura D3.15a''') i <math>\mathrm{S}</math> en contacte amb dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> ('''Figura D3.15b'''). 

[[Fitxer:D3-15-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.15''' Interacció entre sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i<math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’un sòlid auxiliar d’enllaç (SAE).

</center> 

En absència de <math>\mathrm{S2}</math> i, la presència de <math>\mathrm{S}</math> (en contacte amb <math>\mathrm{S1}</math>) és dinàmicament irrellevant: <math>\mathrm{S}</math> no representa cap obstacle per moure <math>\mathrm{S1}</math>. Conseqüentment, <math>\mathrm{S}</math> no és capaç d’introduir cap força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Però quan <math>\mathrm{S}</math> interconnecta <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, <math>\mathrm{S}</math> esdevé un transmissor: <math>\mathrm{S2}</math> pot ser un obstacle quan es tracta de provocar certs moviments de <math>\mathrm{S1}</math>, i això es tradueix en forces d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math>. 

Com a cas senzill per il·lustrar-ho, la '''Figura D3.16''' mostra dos exemples (que considerarem plans) on dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> sobre un pla llis estan connectats a través d’una barra de massa negligible (comparada amb la de <math>\mathrm{S1}</math> i la de <math>\mathrm{S2}</math>) articulada en els dos extrems:<

(a) les articulacions són perfectes (sense frec) 

(b) una de les articulacions té un molla torsional associada 

[[Fitxer:D3-16-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.16''' Enllaç indirecte entre dos sòlids rígids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> per mitjà d’una barra <math>\mathrm{S}</math> articulada de massa negligible.

</center> 

En el cas (a), la barra és un SAE (no està sotmesa a cap força que no sigui d’enllaç). Provocar velocitat del punt <math>\mathbf{O}</math> de <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra implica moure <math>\mathrm{S}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> . En canvi, moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció ortogonal a la barra provoca moviment de <math>\mathrm{S}</math> però no de <math>\mathrm{S2}</math> , mentre que fer girar <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> no provoca el moviment cap dels dos (ni de <math>\mathrm{S}</math> ni de <math>\mathrm{S2}</math> ). En conseqüència, només té sentit associar una força d’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> en la direcció de la barra. El responsable d’aquesta força no és <math>\mathrm{S}</math> sinó <math>\mathrm{S2}</math> : quan es tracta de caracteritzar l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> s’ha devaluar des de <math>\mathrm{S2}</math>. Es diu que entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> hi ha un '''enllaç indirecte a través del SAE'''. 

En el cas (b), la barra no és un SAE perquè està sotmesa a una interacció que no és d’enllaç (la de la molla). Com en el cas (a), moure <math>\mathbf{O}</math> en la direcció de la barra obliga a moure <math>\mathrm{S2}</math> . Però ara, el moviment de <math>\mathbf{O}</math> en direcció perpendicular a la barra obliga a deformar la molla, la qual actua sobre <math>\mathrm{S2}</math> i el fa bellugar. El moviment de rotació de <math>\mathrm{S1}</math> al voltant de <math>\mathbf{O}</math> segueix sent possible sense haver de moure <math>\mathrm{S2}</math> ni deformar la molla. En la caracterització de l’enllaç sobre <math>\mathrm{S1}</math> , cal avaluar la cinemàtica de <math>\mathrm{S1}</math> de manera que <math>\mathbf{O}</math> no tingui velocitat : cal avaluar-la des de S. 

====✏️ Exemple D3.10: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-10-1-cat -nou.png|thumb|left|200px|link=]]
El carretó té 2 GL lliures respecte del terra (translació longitudinal i rotació vertical). Si la massa dels tres elements (rodes i xassís) és comparable, la representació simplificada del sistema i el nombre d’incògnites d’enllaç que conté és la següent: 

[[Fitxer:ExD3-10-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
En total, doncs, el sistema conté 17 incògnites d’enllaç. 

Aquest nombre es pot reduir en el cas que la massa de les rodes sigui negligible (comparada amb la del xassís): el xassís passa a tenir tres enllaços amb el terra, un de directe i dos d’indirectes a través de les rodes, que són SAE. El nombre d’incògnites que introdueix un d’aquests enllaços indirectes no és sempre evident a priori, i és aconsellable caracteritzar-lo analíticament. Cal recordar, però, que la cinemàtica que es descriu correspon a la que té el xassís respecte del terra com si només hi actués l’enllaç que es considera. En aquest cas, doncs, en la caracterització de l’enllaç indirecte entre terra i xassís a través de les rodes cal avaluar la cinemàtica com si el contacte directe amb el terra (a la part del davant del xassís) no hi fos. 

[[Fitxer:ExD3-10-3-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al seu centre <math>\mathbf{C}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Cs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad</math>

<math>\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs)}{}= \overline{0}</math>

El nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 

La caracterització també es pot fer al punt <math>\Os</math> (punt mig de l’eix de les rodes), doncs també pertany a la roda. Les components de la força han de ser les mateixes, però les del moment poden canviar. 

Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de la roda posterior dreta, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3}+ \vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{\Omega_3}=0 </math> 

Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_3</math> només són possibles si hi ha rotació <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_1=\rs\Omega_2 </math> ,<math>\mathrm{v}_3=\Ls\Omega_2 </math> . Si s’introdueixen aquestes relacions i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>(\rs \mathrm{F}_1 + \Ls \mathrm{F}_3 +\mathrm{M}_2')\Omega_2+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+\mathrm{M}_1'\Omega_1+\mathrm{M}_3'\Omega_3=0</math> 

Ja que <math>(\mathrm{v}_2,\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3)</math> són independents, els coeficients de cadascuna d’aquestes velocitats ha de ser zero. Per tant, l’enllaç indirecte introdueix només 2 incògnites: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2'}{0}</math>, amb <math>\mathrm{M}_2'=-\rs \mathrm{F}_1 -\Ls\mathrm{F}_3</math> 

A aquest resultat també es podria haver arribat a partir de la relació que hi ha entre torsors associats a la mateixa interacció però en punts diferents ( [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''secció D3.1''']]): 

<math>\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)= \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Cs) + \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} = \overline{\Os\Cs} \times \overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} </math> , 

<math>\vector{\mathrm{M}_1'}{\mathrm{M}_2'}{\mathrm{M}_3'} = \vector{\Ls}{0}{-\rs} \times \vector{\mathrm{F}_1}{0}{\mathrm{F}_3} = \vector{0}{-\rs\mathrm{F}_1 -\Ls \mathrm{F}_3}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç segueix sent 5. 

Finalment, una altra opció és caracteritzar l’enllaç del terra sobre el xassís per mitjà de els dues rodes simultàniament. 

[[Fitxer:ExD3-10-4-cat.png|thumb|right|200px|link=]]
Caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i el xassís per mitjà de les dues rodes, al punt <math>\mathbf{O}</math> i per a la base (1,2,3): 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}} \cdot \vvec_\Ts (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os) \cdot \velang{xassís}{T}=0 \quad,\quad\vector{\mathrm{F}_1''}{\mathrm{F}_2''}{\mathrm{F}_3''}\vector{0}{\mathrm{v}_2}{0}+ \vector{\mathrm{M}_1''}{\mathrm{M}_2''}{\mathrm{M}_3''} \vector{\Omega_1}{0}{\Omega_3}=0 </math> 

Ja que totes les variables cinemàtiques són independents:

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1''}{0}{\mathrm{F}_3''} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(roda)} \rightarrow \mathrm{xassís}}(\Os)}{}=\vector{0}{\mathrm{M}_2''}{0}</math> 

El nombre total d’incògnites d’enllaç es redueix a 4.


====✏️ Exemple D3.11: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-11-2-cat.png|thumb|right|270px|link=]]
{|
[[Fitxer:ExD3-11-1-cat.png|thumb|left|210px|link=]]

|La placa té el vèrtex <math>\Ps</math> obligat a moure’s dins la guia, i el punt <math>\Qs</math> connectat al punt <math>\Os</math> del terra (T) mitjançant una barra amb articulacions als extrems. El sistema té només 1 GL, descrit per mitjà de <math>\dot{\theta}</math>. 

Si es considera el problema només en dues dimensions i cap element té massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 5. 
|}
{|
|[[Fitxer:ExD3-11-3-cat.png|thumb|left|215px|link=]]
|Si la barra és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la placa per mitjà de la barra al punt <math>\Qs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Qs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

<math>\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
\mathrm{F}_3
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
0\\
\mathrm{v}_3
\end{array}\right\} + \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{M}_1
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
\Omega_1
\end{array}\right\}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
...
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
...
\end{array}\right\}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació de la barra, però no de la de la placa: en haver-hi una articulació a <math>\Qs</math>, la placa pot fer un moviment de translació circular quan la barra gira. Per tant, es tracta d’una caracterització immediata: 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}= \left\{\begin{array}{c}
\mathrm{F}_2\\
0
\end{array}\right\}\quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(barra)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Qs)}{}=\left\{\begin{array}{c}
0
\end{array}\right\}</math> 
|}


====✏️ Exemple D3.12: caracterització d’un enllaç indirecte====
---------

[[Fitxer:ExD3-12-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-2-cat.png|thumb|right|300px|link=]]
[[Fitxer:ExD3-12-3-cat.png|thumb|left|150px|link=]]

La bola té 4 GL lliures respecte del terra (translacions al llarg de l’eix r-r’ i de l’eix 2, rotacions al voltant de l’eix r-r’ i de l’eix 2). Si no hi ha cap element de massa negligible, el nombre total d’incògnites d’enllaç és 8. 

Si l’element T és de massa negligible i es tracta com a SAE, la caracterització del torsor de l’enllaç indirecte entre el terra i la bola per mitjà d’aquest element al punt <math>\Gs</math> és: 

<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs) \cdot \velang{bola}{T}=0</math> 

<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{...}{\mathrm{M}_3}</math> 

La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> només és possible si l’element T (i per tant la bola) giren amb <math>\Omega_2</math> : <math>\mathrm{v}_3=-\xs\Omega_2</math>. Si s’introdueix aquesta relació i es desenvolupa el producte escalar: 

<math>\mathrm{F}_1\mathrm{v}_1+\mathrm{F}_2\mathrm{v}_2+(-\xs\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2)\Omega_2+\mathrm{M}_1\Omega_1</math> 

<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(elemT)} \rightarrow \mathrm{bola}}(\Gs)}{}=\vector{...}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math> 

Tot i que el torsor a <math>\Gs</math> té tres components no nul·les, d’independents només n’hi ha dues.


---------
 

Un cas paradigmàtic en què la dimensió es redueix dràsticament és el del '''coixinet de boles''' ('''Figura D3.17'''). Si es tracta el problema com a pla i les N boles no es consideren SAE, el nombre d’incògnites d’enllaç del sistema és 4N (cada bola manté contacte puntual sense llisament amb els dos sòlids <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math>, i en el cas pla,el contacte puntual es redueix a dues incògnites d’enllaç). Si es tracten com a SAE, l’enllaç indirecte entre <math>\mathrm{S1}</math> i <math>\mathrm{S2}</math> a través de les boles es redueix a dues incògnites d’enllaç. 

[[Fitxer:D3-17-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
<center>
'''Figura D3.17''' Coixinet de boles.
</center> 

====✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-13-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:El sistema multisòlid té 2 GL respecte del terra: la translació circular de la placa respecte de l’eix i la rotació de tots els elements al voltant de l’eix vertical (permesa pel coixinet). Si cap element té massa negligible, el nombre: total d’incògnites d’enllaç és 25. 

:Si es negligeixen les masses de l’eix i de les dues barres i es tracten com a SAE, el sistema es redueix a un enllaç indirecte: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\Ts (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{T}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}{\mathrm{v}_3} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{...}{...}{...} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{...}{\mathrm{M}_3} </math> 

:La velocitat <math>\mathrm{v}_3</math> prové de la rotació del conjunt al voltant de l’eix vertical: <math>\mathrm{v}_3=-(\mathrm{h} + \mathrm{Lcos}\theta)\Omega_2</math> . Les velocitats <math>\mathrm{v}_1</math> i <math>\mathrm{v}_2</math> provenen de la translació circular de la placa, i per tant no són independents: <math>\frac{\mathrm{v}_1}{\mathrm{v}_2}=-\mathrm{tan}\theta</math> 

:Si es desenvolupa el producte escalar tenint en compte aquestes relacions: 

:<math>(-\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta+\mathrm{F}_2)\mathrm{v}_2+ [-(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3+\mathrm{M}_2]\Omega_2=0, </math> 

:<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\Ts \rightarrow \mathrm{(SAE)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}</math>, amb <math>\mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta</math> i <math>\mathrm{M}_2=(\hs+\Ls\mathrm{cos}\theta)\mathrm{F}_3</math> 

:El nombre d’incògnites d’enllaç s’ha reduït a 4.


====✏️ Exemple D3.14: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid====
---------

[[Fitxer:ExD3-14-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]

:Si al sistema de l’ [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.13: anàlisi d’enllaços en un sistema multisòlid|'''exemple D3.13''']] se li afegeix una molla torsional amb un extrem lligat a l’eix, el nombre de GL no es modifica, però en la descripció dels enllaços, l’eix no es pot tractar com a SAE encara que la seva massa sigui negligible. Les dues barres, però, segueixen estant sotmeses només a interaccions d’enllaç, i per tant, si es negligeix la seva massa, són SAE: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}} \cdot \vvec_\mathrm{eix} (\Gs) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs) \cdot \velang{placa}{eix}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{-\mathrm{v}_2\mathrm{tan}\theta}{\mathrm{v}_2}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{eix} \rightarrow \mathrm{(barres)} \rightarrow \mathrm{placa}}(\Gs)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3}, \mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1\mathrm{tan}\theta </math> 

:El nombre total d’incògnites d’enllaç és 10: 5 associades a l’enllaç indirecte que s’acaba de caracteritzar, i 5 més al coixinet entre terra i eix. 

[[Fitxer:ExD3-14-2-cat.png|thumb|center|400px|link=]]


---------
---------

==D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals==
Els actuadors (o accionaments) són elements concebuts per controlar un grau de llibertat (de translació o de rotació) entre dos sòlids i eliminar-ne d’altres. 

Externament, un actuador són dues peces que entre elles només tenen el GL a controlar (en el cas d’actuador rotacionals, aquestes peces s’anomenen '''estator''' i '''rotor'''). Quan s’insereix entre dos sòlids <math>\mathrm{S}_1</math> i <math>\mathrm{S}_2</math>, la manera com es connecta als sòlids determina els GL eliminats entre ells. En aquest curs, la massa dels actuador es considera negligible sempre. 

La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> , doncs, es descriu mitjançant una força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o un parell <math>\Gamma</math> (o moment), segons que es tracti d’un actuador lineal o rotacional, i un torsor d’enllaç. 

Hi ha dues maneres de descriure el sistema format per <math>\mathrm{S}1</math>, <math>\mathrm{S}2</math>, <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math>: 

* Opció 1: Es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a dos sòlids més del sistema. Entre elles, el torsor de l’enllaç directe es caracteritza com si l’actuador estigués desactivat (permetent el GL que controla entre les dues peces quan està activat). Tant si l’actuador és lineal com si és rotacional, el torsor d’enllaç conté 5 components independents. A més, entre <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> hi ha la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math>. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{P}1</math>, i entre <math>\mathrm{S}2</math> i <math>\mathrm{P}2</math> es descriu mitjançant l’enllaç corresponent. 

* Opció 2: Es considera l’actuador desactivat, i es tracten <math>\mathrm{P}1</math> i <math>\mathrm{P}2</math> com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']]. La interacció entre <math>\mathrm{S}1</math> i <math>\mathrm{S}2</math> queda explicada llavors mitjançant el torsor de l’enllaç indirecte associat a aquesta cadena de SAEs, i la força <math>\mathrm{F}_\mathrm{ac}</math> o el parell <math>\Gamma</math> .

====✏️ Exemple D3.15: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-15-1-cat.png|thumb|left|260px|link=]]

|L’actuador lineal, de massa negligible, actua entre terra i pèndol, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 1.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i el pèndol. 
|}
Opció 1 

Ja que la peça 1 de l’actuador està enganxada a terra, es poden considerar com a una de sola. La peça 2, en canvi, no està enganxada sinó articulada al pèndol. 

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització a <math>\Os</math> dels dos enllaços és immediata: 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

Opció 2 

El torsor de l’enllaç indirecte entre terra i pèndol a través de l’actuador es pot caracteritzar analíticament: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}} \cdot \vvec_\mathrm{terra} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os) \cdot \velang{pèndol}{terra}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{\mathrm{v}_1}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{0}{0}{\Omega_3}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}}{}=\vector{0}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra} \rightarrow \mathrm{(acc)} \rightarrow \mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{0}</math> 

:En aquest cas, la caracterització a <math>\Os</math> és immediata. 

:Les interaccions entre terra i pèndol per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-15-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


====✏️ Exemple D3.16: actuador lineal entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-16-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]

|L’actuador lineal actua entre el suport i l’hèlix, i controla la velocitat del punt <math>\Os</math> en la direcció 2 (la qual cosa fa girar l’hèlix sempre i quan no es passi per configuracions singulars – per exemple, quan la direcció de l’actuador és vertical i passa per <math>\Os</math>). Es tracta de descriure la interacció entre el suport i l’hèlix.

|}
Opció 1 
Cap de les peces que formen l’actuador és fixa al suport ni a l’hèlix. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]] 

La caracterització dels tres enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{suport}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os')}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Enllaç prismàtic: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}}{}=\vector{0}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{P}2}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}2\rightarrow\mathrm{pèndol}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

 

Opció 2 

: El torsor de l’enllaç indirecte entre suport i hèlix a través de l’actuador és nul: en haver-hi ròtules esfèriques als dos extrems de l’actuador, el punt <math>\Os</math> podria tenir velocitat en totes les direccions respecte del suport. 

:La interacció entre suport i hèlix a través de l’actuador es redueix a una força (que és la que fa l’actuador quan està activat): 

[[Fitxer:ExD3-16-2-cat.png|thumb|center|500px|link=]]
 

====✏️ Exemple D3.17: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-17-1-cat,esp.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor, de massa negligible, actua entre terra i anella, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre el terra i l’anella. 

Opció 1 

En aquest cas, l’estàtor (P1) és fix a terra, i el rotor (P2) és fix a l’anella. Per tant, només té sentit l’opció 1. 

Les interaccions entre terra i anella per causa de l’actuador es resumeixen en el diagrama següent:

[[Fitxer:ExD3-17-2-cat (1).png|thumb|center|500px|link=]]

El torsor de l’enllaç entre terra (+P1) i anella (+P2) és el que correspon a una articulació, i la seva caracterització és immediata: 

<center>
<math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{terra}\rightarrow\mathrm{anella}}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math>
</center>
|}


====✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids====
---------

{|
|[[Fitxer:ExD3-18-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]

|El motor actua entre la forquilla i la roda, i controla la velocitat angular entre els dos.Es tracta de descriure la interacció entre la forquilla i la roda. 
|}
Opció 1 

Una de les peces que formen l’actuador (el rotor) és fixa la roda. Per tant: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat (1).png|thumb|center|550px|link=]] 

La caracterització dels dos enllaços és immediata: 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forquilla}\rightarrow\mathrm{P}1}(\Os)}{}=\vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0}</math> 

* Articulació: <math>\braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}}{}=\vector{\Fs_1}{\Fs_2}{\Fs_3}, \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{P}1\rightarrow\mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{\Ms_2}{\Ms_3}</math> 

Opció 2 

:La caracterització del torsor d’enllaç entre forquilla i roda a través del motor és: 

:<math>\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}} \cdot \vvec_\mathrm{forq} (\Os) + \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os) \cdot \velang{roda}{forq}=0</math> 

:<math>\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3}\vector{0}{0}{0} + \vector{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}{\mathrm{M}_3} \vector{\Omega_1}{\Omega_2}{0}=0 \quad \Rightarrow \quad \braq{\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}}{}=\vector{\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2}{\mathrm{F}_3} \quad \text{,} \quad \braq{\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{forq} \rightarrow \mathrm{(motor)} \rightarrow \mathrm{roda}}(\Os)}{}=\vector{0}{0}{\mathrm{M}_3}</math> 

:La interacció entre forquilla i roda a través del motor es resumeix en el diagrama següent: 

[[Fitxer:ExD3-18-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]


© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D2. Forces d’interacció entre partícules|<<< D2. Forces d’interacció entre partícules]]

[[D4. Teoremes vectorials|D4. Teoremes vectorials >>>]]
</center>