Mecànica - Contribucions de l'usuari [ca]

D4. Teoremes vectorials

2026-06-03T15:39:40Z

Eantem: /* ✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood */

<div class="noautonum">__TOC__</div>

<math>
\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\ss}{\textsf{s}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\JGvec}{\vec{\Js\Gs}}
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}
\newcommand{\H}[3]{\vec{\mathbf{H}}_{\text{#3}}^{#2}(\textbf{#1})}
</math>

Els '''Teoremes Vectorials''' són una eina per estudiar la dinàmica dels sistemes mecànics, i s’obtenen a partir de la llei fonamental de la dinàmica ([[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]) i del principi d’acció i reacció ([[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''tercera llei de Newton''']]).

En aquest curs, es presenta només la versió dels teoremes per al cas de sistemes de matèria constant. Tot i que això inclou sistemes amb fluids, els exemples d’aplicació en aquest curs són essencialment sistemes multisòlid formats per sòlids rígids.

En estudiar la dinàmica d'un [[Introducción#I.1 Què és la mecànica?|'''sistema mecànic''']], és essencial identificar les incògnites que conté el sistema que s’estudia i analitzar si els teoremes vectorials proporcionen el nombre suficient d’equacions per resoldre-les totes (cal saber si el problema és determinat o indeterminat!). Les incògnites es poden classificar en dos grups:

Incògnites associades a [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''graus de llibertat''']]

Els GL d’un sistema mecànic poden ser [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''lliures o actuats''']] (o forçats, associats a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''actuadors''']]). En ambdós casos, el seu valor inicial (el valor en començar un experiment o en posar en marxa el sistema) és conegut. Quan es tracta de GL lliures, l’evolució d’aquest valor inicial no es coneix: és una incògnita. Es diu que el problema és de '''dinàmica directa'''.

Aquest és el cas també quan es tracta de GL actuats si l’acció de l’actuador associat és coneguda (és a dir, quan es coneix el valor de <math>\Fs_{ac}</math>– cas dels actuadors lineals –, o de <math>\Gamma</math>– cas dels rotacionals). El problema també és de dinàmica directa.

Les equacions que regeixen l’evolució dels GL s’anomenen '''equacions del moviment'''. Si els GL es descriuen mitjançant derivades temporals de coordenades (<math>\dot{q}_i</math>, amb i=1,2,3...), la seva evolució temporal són les segones derivades temporals d’aquests coordenades (acceleracions).

Per a un sistema amb 2 GL lliures descrits, per exemple, per (x, <math>\dot{\theta}</math>), aquestes equacions tindrien el següent aspecte general:

<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center>

<center><math>\ddot{\theta} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\xs},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center>

La dependència en les segones derivades temporals <math>(\ddot{\xs}, \ddot{\theta})</math> és sempre lineal, en tant que al dependència en les coordenades i les velocitats <math>(\xs, \theta, \dot{\xs}, \dot{\theta})</math> pot ser de qualsevol tipus. Els paràmetres dinàmics són la massa dels elements i els associats a la seva distribució a l’espai, i els paràmetres associats a les interaccions sobre el sistema (constants de molles i amortidors, coeficients de fricció, constants del camp gravitatori...); els paràmetres geomètrics tenen a veure amb la forma dels elements del sistema (distàncies i angles).

En algunes ocasions, les accions dels actuadors (<math>\Fs_{ac}, \Gamma</math>) no són conegudes, mentre que les evolucions temporals dels GL actuats són prefixades. Llavors, les incògnites associades als GL actuats són el valor de les forces (si es tracta d’actuadors lineals) i moments (si són actuadors rotacionals) necessaris per garantir aquestes evolucions prefixades. Es diu que el problema és de '''dinàmica inversa'''.

Per al cas de l’exemple anterior, si <math>\dot{\theta}</math> està prefixada, les equacions que descriuen les incògnites del problema associades als GL són:

<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center>

<center><math>\Gamma = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center>

on <math>\Gamma</math> seria el parell motor de l’actuador rotacional associat al moviment <math>\theta</math>.

Incògnites associades a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''enllaços''']]

Són els valors de les components de les [[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''torsors d'enllaç''']]. El nombre d’incògnites associades als enllaços depèn de la descripció que se’n faci ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''enllaços directes''']], [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''enllaços indirectes''']]). Quan un problema de dinàmica és indeterminat, la indeterminació sempre es refereix a les components dels torsors d’enllaç, mai als GL (lliures o forçats).

---------
---------
==D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes==
Considerem un sistema de partícules de matèria constant ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Quantitat de Moviment''' (TQM) s’obté a partir de l’aplicació de la segona llei de Newton a cada partícula <math>\Ps</math> del sistema. Si la referència que es considera és galileana:

<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, on <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> és la força resultant d’interacció sobre <math>\Ps</math>.

[[Fitxer:D4-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]
<center>'''Figura D4.1''' Forces sobre una partícula d’un sistema de partícules de matèria constant</center>

Les forces que actuen sobre cada partícula es poden classificar en dos grups: internes (que provenen de la interacció amb altres partícules del sistema) i externes (associades a les interaccions amb elements externs al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si aquestes equacions se sumen per a totes les partícules, les forces internes entre parelles de partícules es cancel·len dues a dues pel principi d’acció i reacció:

<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\:\acc{P}{RGal}</math></center>

El terme de l’esquerra és la resultant de forces externes sobre el sistema, i se sol escriure simplement com a <math>\sum\F{ext}</math>. El terme de la dreta es pot reescriure com a <math>\Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math>, on M és la massa total del sistema <math>\left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El terme <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math> és una acceleració ponderada, on la ponderació és proporcional a la massa de cada partícula. Aquesta acceleració s’associa a un punt anomenat '''centre de masses''' (o '''centre d’inèrcia''') del sistema, i en aquest curs es designa amb la lletra <math>\Gs</math>. Per a una referència qualsevol, doncs, la cinemàtica de <math>\Gs</math> queda descrita per les equacions ('''Figura D4.2'''):

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center>

[[Fitxer:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
<center>'''Figura D4.2''' Centre de masses (o d’inèrcia) d’un sistema de matèria constant</center>

En el cas de conjunts continus de partícules (com són un conjunt de sòlids rígids, deformables, o fluids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center>

Finalment, el TQM s’escriu com a:

<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\:\acc{G}{RGal}</math></center>

Aquesta equació és molt propera a la [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]: el centre de masses <math>\Gs</math> es comporta com si fos una partícula de massa igual a la massa total del sistema, i sobre la qual actuessin totes les forces externes al sistema. Malgrat el paral·lelisme entre el TQM i l’equació de dinàmica de la partícula, hi ha dues diferències fonamentals:

:*la massa del sistema no està localitzada a <math>\Gs</math> (fins i tot, pot ser que <math>\Gs</math> estigui situat en una zona del sistema sense massa, com és el cas en una anella homogènia);

:*les forces externes no estan aplicades a <math>\Gs</math> en general.

El TQM s’anomena així perquè permet conèixer l’evolució, a partir del coneixement de [[C1. Configuració d'un sistema mecànic|'''l’estat mecànic''']] inicial i de les interaccions externes, de la '''quantitat de moviment''' del sistema (que, en una referència qualsevol R, es defineix com a <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R}</math>):

<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\acc{G}{RGal}=\dert{\Ms\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center>

La localització del centre de masses en els sistemes que s’estudien (ja sigui un únic sòlid rígid o un sistema multisòlid) es presenta breument a la [[D5. Tensor d’inèrcia#D5.1 Centre de masses|'''secció D5.1''']]. Per a sòlids homogenis de geometria molt senzilla, la posició de G es pot deduir sovint a partir de les simetries del sòlid.
En problemes plans (de cinemàtica 2D), només les dues components del TQM compreses en el pla són interessants.

------------
------------

==D4.2 Exemples d’aplicació del TQM==

<div>
====✏️ Exemple D4.1: càlcul d’una força d’enllaç ====

------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex1-1-neut.png|thumb|center|180px|link=]]
|Els tres blocs homogenis són llisos i estan en contacte entre ells i amb un terra horitzontal, també llis. Es tracta d’investigar el valor de la força horitzontal d’enllaç entre els blocs Q i S quan s’aplica una força horitzontal F al bloc de l’esquerra.
Tots els enllaços que apareixen en aquest sistema són contactes multipuntuals entre superfícies llises. Per tant, cada torsor associat, caracteritzat en un punt del contacte corresponent, conté una component de força i una de moment ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|exemple D3.4]]). Tot i així, en l’aplicació del TQM només intervenen les forces, i per tant no es representen els moments en les figures següents.
|}

Per tal que la força d’enllaç <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparegui a la component horitzontal del TQM, cal aplicar el teorema a un sistema on aquesta força sigui externa. Per exemple, al bloc S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>.

[[Fitxer:D4-Ex1-2new-neut.png|thumb|center|200px|link=]]

Aquesta equació conté dues incògnites: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> i <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ja que el moviment dels tres blocs provocat per la força F és el mateix, l’acceleració es pot obtenir amb el TQM aplicat a tot el sistema:
<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center>

</div>
<div>

====✏️ Exemple D4.2: moviment inicial d’un sistema ====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex2-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]
|Els blocs homogenis es troben inicialment en repòs sobre un terra rugós, i units mitjançant una molla comprimida amb una tensió <math>\Fs_0=\ms\gs</math> i un fil inextensible. En un cert instant, es talla el fil i el sistema comença a moure’s.
|}

Es tracta de calcular l’acceleració del centre d’inèrcia del sistema respecte del terra. Aquesta acceleració es pot obtenir a partir de la component horitzontal del TQM aplicat a tot el sistema. La molla és interna, i per tant la seva força no apareix: <math>\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{terra}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.

Les forces que el terra exerceix sobre cadascun dels blocs poden ser d’enllaç (si els blocs no es mouen, i llavors són incògnites), o de fricció (si els blocs es mouen respecte del terra, i en aquest cas són formulables). També pot donar-se el cas que un bloc llisqui i l’altre no.

El valor d’una força d’enllaç s’adapta per tal de garantir una restricció. En el cas dels blocs, cal investigar si aquestes forces poden assolir el valor necessari per evitar que els blocs llisquin sobre el terra, i estan acotades pel valor del coeficient de fricció estàtica entre blocs i terra:

<math>|\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math>

<math>|\F{\text{terra}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math>

Si s’aplica el TQM a cada bloc per separat, la força de la molla passa a ser externa. Aquesta força (de valor mg) pot ser contrarestada per la força d’enllaç en el cas del bloc de massa <math>2\ms</math> (per tant, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), però no en el del bloc de massa m:
[[Fitxer:D4-Ex2-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

L’aplicació del TQM al bloc de massa m condueix a:

<math>\left.\begin{aligned}
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{terra}\rightarrow2\ms}+\F{\text{molla}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math>

Finalment: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.

</div>
<div>
====✏️ Exemple D4.3: estudi d’una condició límit ====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]
|L’esfera homogènia de massa M descansa sobre dues falques idèntiques, de massa m, que es troben al damunt del terra. Entre esfera i falques no hi ha fregament, però entre falques i terra hi ha fregament de coeficient <math>\mu</math>. El sistema es troba inicialment en repòs respecte del terra. Es tracta de determinar el valor màxim de M, en funció de m, que permet que el sistema segueixi en repòs.
|}

Si res no belluga, les forces horitzontals d’interacció entre terra i falques són d’enllaç i no superen el valor límit <math>/mu\ns</math> (on <math>\Ns</math> és la força normal que cada falca rep del terra). El torsor d’enllaç del terra sobre les falques conté també un moment resultant perpendicular a la figura.
Si es vol estudiar la possibilitat de bolcament de les falques, aquest moment és rellevant. En aquest exemple, però, la forma les falques garanteix que no bolquen, i es treballa només amb les forces.
L’aplicació del TQM a tot el sistema, a una falca i a l’esfera condueix a les equacions següents:

[[Fitxer:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]

<center>
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"
|- style="vertical-align:top;"
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + falques

<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: falca de l'esquerra

<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera

<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math>
|}</center>

Combinant les dues últimes equacions: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor màxim de M per al qual encara hi ha equilibri correspon a la situació en què la força tangencial d’enllaç T pren el valor màxim possible: <math>\Ts = \Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns</math>. Tenint en compte que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs</math>:

<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{màx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{màx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math>

</div>

------------
------------

==D4.3 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències no galileanes==
La versió del TQM en una referència no galileana NGal s’obté també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada partícula (o cada diferencial de massa) del sistema a la referència NGal (secció D1.7). En principi, doncs, aquesta equació contindrà dues forces d’inèrcia: la d’arrossegament i la de Coriolis ('''Figura D4.3'''):

<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,

on <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> i <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math>
[[Fitxer:D4-3-cat.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.3:''' Forces d’inèrcia en una referència no galileana</center>
Sumant les equacions per a totes les partícules, s’obté: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math>
massa total del sistema.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
------
:
Pel principi d’acció i reacció, la suma per a totes les partícules de les forces d’interacció condueix a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math>

Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el
centre de masses (secció D4.2):

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

Així doncs: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math>

</div>

<div>
====✏️ Exemple D4.4: desplaçament vibratori====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
|El bloc de massa m es troba inicialment en repòs
sobre un suport que oscil·la respecte del terra
d’acord amb el gràfic de velocitat que es mostra a
la figura. Es tracta d’investigar la possibilitat que
el bloc llisqui al damunt del suport.
La condició de repòs del bloc respecte del suport
(que és una referència no galileana en tenir un
moviment accelerat respecte del terra) demana:

<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sup\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> perque <math>\velang{sup}{T} = \vec{0}</math>
|}

La força d’arrossegament sobre el bloc és estrictament horitzontal. Per tant, la component vertical d’aquesta equació condueix a <math>N = mg</math> . Pel que fa a la component horitzontal, contindrà la força
d’interacció entre bloc i suport. Si el bloc no llisca al damunt del suport, aquesta força és d’enllaç, i el seu valor està acotat: <math>0\leq\mid\Fs_{sup\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si llisca, és una força de fricció de valor <math>\mu\ms\gs</math>, oposada a la velocitat de lliscament.

Entre <math>t=0</math> i <math>t = 0,4s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math> i per tant la força
d’arrossegament és <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$suport}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor es troba dins del marge de valors permesos per a la força d’enllaç horitzontal del suport sobre el bloc. Per tant, aquesta força prendrà el valor <math>\F{sup\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>, contrarestarà la <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs}</math> i es mantindrà el repòs entre els dos elements.

Entre <math>t=0,4s</math> i <math>t = 0,6s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Per tant,<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. En sobrepassar el valor màxim de la força horitzontal d’enllaç, no podrà ser contrarestada. El bloc començarà a lliscar, i la força horitzontal d’interacció entre suport i bloc serà de fricció:

<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} + \F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

A l’instant <math>t = 0,6s</math>, la velocitat del bloc respecte del suport és

<math>\vel{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.

Tot i entrar en la fase on <math>\mid\Fcal{ar}{sup\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la força horitzontal entre suport i bloc segueix sent de fricció <math>(\F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> fins aconseguir aturar el bloc.

L’acceleració del bloc respecte del suport és:

<math>\acc{G}{sup} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

En tractar-se d’un moviment uniformement desaccelerat, és fàcil calcular l'instant per al qual el bloc deixa de lliscar:

<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sup} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sup} + \acc{$\Gs,t_f$}{sup}(t_f - t_i)</math>,
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math>

En aquest instant, la força del suport sobre el bloc passa a ser d’enllaç, i ens trobem en una situació anàloga a la inicial. Per tant, el lliscament no recomençarà fins a <math>\ts = 1,4s</math>. L’estudi per als intervals posteriors segueix els mateixos passos que l’estudi de l’interval <math>[0,1,4s]</math>. La figura mostra l’evolució de la cinemàtica del bloc respecte del suport, i de les forces que hi actuen.

[[Fitxer:D4-Ex4-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

</div>

-----------
-----------

==D4.4 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulació general==

La dinàmica d’un sòlid rígid (i per tant, d’un sistema multisòlid) no queda mai totalment resolta amb el TQM quan el sòlid gira: el TQM només informa sobre el moviment d’un punt (<math>\Gs</math>), i no sobre la rotació.

El '''Teorema del Moment Cinètic''' (TMC) es troba a la literatura enunciat de dues maneres diferents. En aquest curs, s’ha optat per una formulació paral·lela a la del TQM: a l'esquerra apareixen termes que només tenen a veure amb les interaccions externes sobre el sistema, mentre que a la dreta apareix la derivada temporal d’un vector que depèn només de la geometria de masses del sistema i del seu [[C1. Configuració d'un sistema mecànic#|'''estat mecànic''']].

Com ja s’ha vist quan s’ha introduït el concepte de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor d’un sistema de forces''']], el que es relaciona amb la rotació d’un sòlid és el moment de les forces, no la força resultant. Per tant, si bé el TMC es demostra també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada diferencial de massa del sistema, caldrà transformar les forces que hi apareixen en moment d’aquestes forces respecte d’un punt <math>\Qs</math>.

Aquestes dues consideracions (formulació paral·lela al TQM i necessitat de triar un punt <math>\Qs</math> per calcular el moment de les forces) porta a partir de la formulació de la segona llei de Newton en la '''Referència que es Trasllada amb Q (RTQ)''' respecte d’una referència galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, aquesta referència no és galileana, i per tant cal tenir en compte en principi les [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''forces d’inèrcia d’arrossegament''']] ('''Figura D4.3''').

[[Fitxer:D4-4-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D4.4:''' Forces d’inèrcia a la Referència que es Trasllada amb un punt <math>\Qs</math> (RTQ)</center> 

Considerem un sistema de partícules amb matèria constant. La segona llei de Newton aplicada a cada partícula del sistema i a la RTQ és: 

<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , 

on <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , i <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ja que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>. 

Si els dos costats de l’equació es multipliquen vectorialment per <math>\QPvec</math> i es suma per totes les partícules (o elements de massa) del sistema, s’obté el TMC al punt <math>\Qs</math>: 

<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math> 

on <math>\Ms</math> és la massa total del sistema, i <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> és el '''moment cinètic del sistema respecte el punt''' <math>\Qs</math>. 

Si el sistema té elements continus (per exemple, un sistema amb N sòlids rígids <math>\Ss_i</math>), el sumatori per a partícules és de fet una integral:

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====

La segona llei de Newton per a cada element de massa multiplicada vectorialment per <math>\QPvec</math> és:

<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math>

El terme de la dreta es pot reescriure com a:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

En ser <math>\Qs</math> un punt de la RTQ, es pot prendre com a origen d’un vector de posició de <math>\Ps</math> en aquesta referència, i per tant:

<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

Tenint en compte que la massa és constant:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math>

La suma d’aquest terme per a tots els elements <math>\Ps</math> condueix a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

Si les forces d’interacció sobre cada partícula <math>\Ps</math> es classifiquen en internes i externes, la suma per a totes les partícules del sistema del costat esquerre de la primera equació esdevé:

<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math>

<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> 
ja que el principi d’acció i reacció garanteix que el moment total d’una parella de forces d’acció i reacció és nul: 

<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math> 
Agrupant tots els termes: 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

</div>

---------
---------

==D4.5 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulacions particulars==
El TMC pren expressions més senzilles quan el punt <math>\Qs</math> és fix a una referència galileana o quan és el centre de masses del sistema. 

* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, anomenem aquesta versió “TMC a punt fix”, on se sobreentén que “fix” vol dir “fix a una referència galileana”. Quan és el cas, normalment emprarem la lletra <math>\Os</math> per designar el punt <math>\Qs</math>. 

* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math>Cal notar que, si bé l’expressió és similar a la versió a punt fix, el centre de masses <math>\Gs</math> no té per què ser fix a una referència galileana.

Quan <math>\Qs</math> no és ni un punt fix a RGal ni coincideix amb el centre de masses, se sol parlar de la versió del TMC “a punt mòbil”. Tot i que <math>\Qs</math> sigui un punt mòbil respecte de RGal, el terme associat a les forces d’inèrcia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> pot ser nul si <math>\Qs</math> es mou a velocitat costant respecte de RGal, o si la seva acceleració respecte de RGal és paral·lela a <math>\QGvec</math> .

<center>
{| class="wikitable"
|+
|-
! '''TMC a punt fix''' !! '''TMA a '''<math>\Gs</math> !! '''TMC a un punt mòbil '''<math>\Qs</math>
|-
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center>
||
<center>
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center>
||
<center>
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math> 

<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center>

|}
</center>

El vector moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no és senzill de calcular en general, i es presenta a la [[D5. Geometria de masses|'''unitat D5''']]. 

En problemes de cinemàtica plana (2D), si el moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sòlid del sistema que s’estudia és paral·lel a la velocitat angular del sòlid <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que és de direcció ortogonal al pla del moviment), només la component del TMC perpendicular al pla és interessant. En aquest cas es diu que el problema és de dinàmica plana (2D), i el problema es pot resoldre a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.

<div>
===TMC en un punt de contacte entre dos sòlids===
Un enllaç que apareix sovint en els sistemes mecànics és el contacte puntual entre parelles de sòlids (S1 i S2, per exemple). Aquest enllaç pot introduir entre 1 i 3 incògnites d’enllaç (segons la rugositat de les superfícies i la cinemàtica del contacte – amb o sense lliscament). Quan aquestes forces no es volen calcular, és temptador aplicar el TMC al punt de contacte <math>\Js</math> (ja que el seu moment respecte de <math>\Js</math> és nul). 
[[Fitxer:TMCaJ-0-cat.png|thumb|right|230px|link=]]
L’aplicació del TMC a <math>\Js</math> és molt delicada. Cal precisar de quin punt <math>\Js</math> es parla ([[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''exemple C5-1.8''']]): si es tracta del <math>\Js</math> del sòlid S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sòlid S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math> , o bé si és el punt geomètric de contacte <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math> . Per una banda, aquests tres punts tenen cinemàtiques diferents <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math> , i el terme complementari associat al moment de les forces d’inèrcia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> és diferent. Per altra banda, si per exemple el TMC s’aplica al solid S1, cal tenir present que, tot i que <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertany a S1 i es pot calcular el moment cinètic a partir del tensor d’inèrcia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> i <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no hi pertanyen, i cal fer servir la descomposició baricèntrica per calcular aquest vector.

Finalment, ja que el moment cinètic s’ha de derivar, el seu càlcul s’ha de fer en una configuració general (és a dir, quan <math>\Js</math> no és encara el punt de contacte), i és només després d’haver fet la derivada que es pot particularitzar el resultat a la configuració en què <math>\Js</math> és el punt de contacte. Com a il·lustració de tot plegat, l’esquema següent mostra l’aplicació del TMC a una roda amb moviment pla que toca a terra i llisca. 

[[Fitxer:TMCaJ-1-cat.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{roda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{roda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{roda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math>
</center> 

[[Fitxer:TMCaJ-2-cat.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}
\end{array}\right.
</math> 

[[Fitxer:TMCaJ-3-cat-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)
\end{array}\right.
</math>
</center></center>
</div>

------
------

==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==
<div>
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex5-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:
[[Fitxer:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
|}

En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant: 

<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math> 

Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math>

Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math>

</div>
<div>

====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex6-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]
|Els blocs pengen de dues cordes inextensibles amb un extrem lligat a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de calcular l’acceleració angular de les politges. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :
[[Fitxer:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|center|140px|link=]]
|}

En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> : 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math> 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math> 

Per la definició de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs: 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math> 

<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math> 

[[Fitxer:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
Resolució alternativa 

Si s’aplica el TMC al punt <math>\Os</math> per al sistema format per les politges i les cordes, el pes dels blocs ja no apareix com a interacció externa, però apareixen en canvi les tensions de les dues cordes (que són incògnites d’enllaç). 

El moment cinètic del sistema és nul perquè no té massa: 

SIST: politges + cordes 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math> 
[[Fitxer:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]

L’aplicació del TQM a cadascun dels blocs genera dues equacions més: 

SIST: bloc de 10kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(10\ks\gs)(\downarrow 2\rs \ddot{\theta})</math> 

SIST: bloc de 5kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(5\ks\gs)(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math> 

La resolució del sistema d’equacions condueix a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>. 

La primera resolució és més ràpida (només fa servir una equació escalar), però implica el càlcul del moment cinètic. Aquesta segona resolució és més llarga (sistema de tres equacions) però que no requereix calcular cap moment cinètic.

</div>

<div>

====✏️ Exemple D4.7: dinàmica longitudinal d’un vehicle====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex7-1-cat.png|thumb|center|200px|link=]]
|El vehicle sense suspensions es mou sobre una carretera rectilínia. La massa de les rodes és negligible comparada amb la de la resta dels elements, i es considera que el seu contacte amb el terra es puntual. Es tracta d’analitzar les forces normals d’enllaç entre terra i rodes.
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el vehicle es redueixen al pes i a l’enllaç amb el terra. Si l’acceleració del xassís respecte del terra és una dada, l’aplicació del TQM condueix a:
|}

{|
|

<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}

\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)
\end{aligned}\right.</math>

on <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> i <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> són les forces normal i tangencial que en total reben les dues rodes del davant i les dues rodes del darrere, respectivament.
El TMC a G condueix a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs} + \Ts_{\ds\rs})] =0</math>
(el moment cinètic <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> és permanentment nul ja que les rodes no tenen massa, i la resta del vehicle té moviment nul respecte de la RTG).
|[[Fitxer:D4-Ex7-2-cat.png|thumb|center|200px|link=]]
|}

Resolent el sistema d’equacions: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math>

Aquest resultat és vàlid per a qualsevol valor de <math>\as_\Ls</math>:
:*Situació estàtica (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la força normal és més gran a les rodes que tenen l’eix més proper a <math>\Gs</math>.

:*Accelerant (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math> ; hi ha un transvasament de força del davant cap al darrere (es carreguen les rodes del darrere i es descarreguen les del davant). Si l’acceleració <math>|\as_\Ts|</math> és prou elevada, la força normal al davant passa a ser negativa, la qual cosa indica que s’ha perdut el contacte i el vehicle bolca en sentit antihorari. Llavors, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el xassís passa a tenir, en principi, acceleració angular, i com a conseqüència el centre de masses <math>\Gs</math> passa a tenir acceleració vertical.

:*Frenant (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hi ha un transvasament de força del darrere cap al davant (es descarreguen les rodes del darrere i es carreguen les del davant). Com en el cas precedent, hi ha un valor crític de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el bolcament, ara en sentit horari.

---------
---------
</div>

==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==

L’aplicació dels teoremes vectorials als [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''']] (SAE) és senzilla ja que els termes de la dreta (variació de quantitat de moviment i variació de moment cinètic) són nuls en ser nul·la la seva massa: 

<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{qualsevol} \hspace{0.2cm} \mathrm{punt}) \approx \overline{0}.</math> 

Per al cas d’un SAE (sòlid S) connectant dos sòlids rígids S1 i S2 ('''Figura D4.5'''), aquestes equacions permeten demostrar que el torsor que actua sobre S1 es pot obtenir a partir d’una equació de caracterització analítica on la cinemàtica del punt <math>\Ps</math> de caracterització (que ha de pertànyer al sòlid S1) s’avalua a la referència solidària a S2: 

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math> 

(Quan es tracta de velocitats, és important especificar a quin sòlid pertany el punt <math>\Ps</math>. Això, en canvi, és irrellevant quan es tracta de moments: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>). 

[[Fitxer:D4-5-cat.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.5:'''Sòlid Auxiliar d’Enllaç entre dos sòlids de massa no nul·la</center> 

<div>
=====💭 Demostració ➕=====

Els teoremes vectorials aplicats sobre el SAE impliquen que els torsors d’enllaç que rep de S1 i S2 en un mateix punt <math>\Ps</math> han de sumar zero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)
\end{array}\right.</math> 

Per altra banda, aquests torsors compleixen l’[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''equació de caracterització analítica''']]: 

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math> 

Si es combinen totes les equacions anteriors, s’obté: 

<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math> 

Una [[C3. Composició de moviments#C3.1 Composició de velocitats|'''composició de moviments''']] permet reescriure l’equació anterior de manera més compacta: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math> 

Finalment: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math>

</div>
<div>

====✏️ Exemple D4.8: dinàmica longitudinal d’un vehicle ====
---------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex8-1-cat.png|thumb|left|220px|link=]]
|En el vehicle de l’exemple D4.7, es considera que la tracció és posterior. Això vol dir que el motor del vehicle actua entre el xassís i les rodes posteriors, en tant que les del davant només estan sotmeses a interaccions d’enllaç (articulació amb el xassís i contacte amb el terra). 

Si es tracten les rodes del davant com a SAE, l’anàlisi cinemàtica del xassís respecte del terra per a la caracterització de l’enllaç a través de les rodes del davant condueix a un torsor en el centre de la roda (que és fix al xassís) amb només una component de força:
|}
[[Fitxer:D4-Ex8-2-cat.png|thumb|center|370px|link=]]
L’existència d’una component horitzontal de força entre les rodes posteriors (necessària per accelerar o frenar el vehicle!) està associada al parell motor. Si s'apliquen els teoremes vectorials a les rodes posteriors, les interaccions externes a tenir en compte són l’enllaç amb el terra, l’articulació amb el xassís i el parell motor <math>\Gamma</math> :
[[Fitxer:D4-Ex8-3-cat.png|thumb|center|370px|link=]]

<math>\ms_\mathrm{rodes} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{TQM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dr}=\Ns'_\mathrm{dr} , \Ts_\mathrm{dr}=\Ts'_\mathrm{dr} \\
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{a} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dr}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs
\end{array}\right. </math> 

La força tangencial sobre les rodes motrius és directament proporcional al parell motor que se’ls aplica. Cal no oblidar, però, que com a força tangencial d’enllaç, el seu valor està limitat per <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math> . Això permet calcular l’acceleració màxima que pot adquirir el vehicle (mentre la roda del davant no perdi contacte amb el terra): 

<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Ts_\mathrm{dr,màx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>. 

En terrenys de baix fregament ( <math>\mu_\es</math> de valor baix), un motor capaç de subministrar un parell màxim alt és inútil: qui posa límit a l’acceleració és el valor del coeficient de fricció <math>\mu_\es</math> : <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math> . En terrenys d’alt fregament, si el parell màxim és baix és ell qui posa límit a l’acceleració: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la roda del davant no perd contacte amb el terra).

</div>

---------
---------

==D4.8 Descomposició baricèntrica del moment cinètic==

La versió del TMC que s’ha presentat permet triar lliurement el punt <math>\Qs</math> d’aplicació. El criteri per triar-lo es basa en el que es vulgui investigar (una força d’enllaç, una equació del moviment...). A la [[D6. Exemples de dinàmica 2D|'''unitat D6''']] es discuteix aquest criteri.
En alguns casos, pot ser interessant triar un punt <math>\Qs</math> que no pertanyi a cap element material del sistema. Llavors, és útil referir el càlcul del moment cinètic <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al moment cinètic al centre de masses <math>\Gs</math> del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Això es coneix amb el nom de '''descomposició baricèntrica''' del moment cinètic:

<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>,

on el superíndex <math>\oplus</math> indica que el moment cinètic s’ha de calcular com si el sistema s’hagués reduït a una partícula concentrada a <math>\Gs</math> amb massa igual a la massa total del sistema (M):

<math>\H{Q}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math>

<div>
=====💭 Demostració ➕=====

:La definició de moment cinètic d'un sòlid rígid <math>\Ss_i</math> és: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocitat <math>\vel{P}{RTQ}</math> es pot escriure com a suma de dos termes si s’aplica una composició de moviments:

:<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math> 

:Per tant: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.

:La definició de [[D4. Teoremes vectorials#D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes|'''centre de masses''']] porta a reescriure el segon terme com a:

:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincideix amb el moment cinètic respecte de <math>\Qs</math> d’una partícula de massa M situada a <math>\Gs</math>: <math>\QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ} = \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.

:En el primer terme de l’expressió de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, es pot descompondre <math>\QPvec</math> en suma de dos termes:

:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math>

:Per definició de centre de masses: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.

:Per tant: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.

</div>

<div>

===== ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica =====
----------

{|

|[[Fitxer:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|El sòlid està format per dues barres de massa negligible i quatre partícules (<math>\Ps</math>) amb massa m unides als extrems de les barres. El sòlid està articulat a un suport que es pot moure al llarg d’una guia fixa a terra.
El seu moment cinètic a G és:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math>

La RTG és fixa al suport, i la velocitat de les partícules respecte d’aquesta referència és proporcional a la rotació <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Per tant:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math>
|}
:El moment cinètic a <math>\Os</math> (fix al terra) es pot calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mitjançant descomposició baricèntrica:

:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{O}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times 4\ms\vel{G}{T} =</math>
<math>\hspace{1cm} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) =</math>
<math>\hspace{1cm}= (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math>


</div>

© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|<<< D3. Interaccions entre sòlids rígids]]

[[D5. Geometria de masses|D5. Geometria de masses >>>]]
</center>

D4. Teoremes vectorials

2026-06-03T15:35:51Z

Eantem: /* ✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood */

<div class="noautonum">__TOC__</div>

<math>
\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\ss}{\textsf{s}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\JGvec}{\vec{\Js\Gs}}
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}
\newcommand{\H}[3]{\vec{\mathbf{H}}_{\text{#3}}^{#2}(\textbf{#1})}
</math>

Els '''Teoremes Vectorials''' són una eina per estudiar la dinàmica dels sistemes mecànics, i s’obtenen a partir de la llei fonamental de la dinàmica ([[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]) i del principi d’acció i reacció ([[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''tercera llei de Newton''']]).

En aquest curs, es presenta només la versió dels teoremes per al cas de sistemes de matèria constant. Tot i que això inclou sistemes amb fluids, els exemples d’aplicació en aquest curs són essencialment sistemes multisòlid formats per sòlids rígids.

En estudiar la dinàmica d'un [[Introducción#I.1 Què és la mecànica?|'''sistema mecànic''']], és essencial identificar les incògnites que conté el sistema que s’estudia i analitzar si els teoremes vectorials proporcionen el nombre suficient d’equacions per resoldre-les totes (cal saber si el problema és determinat o indeterminat!). Les incògnites es poden classificar en dos grups:

Incògnites associades a [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''graus de llibertat''']]

Els GL d’un sistema mecànic poden ser [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''lliures o actuats''']] (o forçats, associats a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''actuadors''']]). En ambdós casos, el seu valor inicial (el valor en començar un experiment o en posar en marxa el sistema) és conegut. Quan es tracta de GL lliures, l’evolució d’aquest valor inicial no es coneix: és una incògnita. Es diu que el problema és de '''dinàmica directa'''.

Aquest és el cas també quan es tracta de GL actuats si l’acció de l’actuador associat és coneguda (és a dir, quan es coneix el valor de <math>\Fs_{ac}</math>– cas dels actuadors lineals –, o de <math>\Gamma</math>– cas dels rotacionals). El problema també és de dinàmica directa.

Les equacions que regeixen l’evolució dels GL s’anomenen '''equacions del moviment'''. Si els GL es descriuen mitjançant derivades temporals de coordenades (<math>\dot{q}_i</math>, amb i=1,2,3...), la seva evolució temporal són les segones derivades temporals d’aquests coordenades (acceleracions).

Per a un sistema amb 2 GL lliures descrits, per exemple, per (x, <math>\dot{\theta}</math>), aquestes equacions tindrien el següent aspecte general:

<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center>

<center><math>\ddot{\theta} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\xs},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center>

La dependència en les segones derivades temporals <math>(\ddot{\xs}, \ddot{\theta})</math> és sempre lineal, en tant que al dependència en les coordenades i les velocitats <math>(\xs, \theta, \dot{\xs}, \dot{\theta})</math> pot ser de qualsevol tipus. Els paràmetres dinàmics són la massa dels elements i els associats a la seva distribució a l’espai, i els paràmetres associats a les interaccions sobre el sistema (constants de molles i amortidors, coeficients de fricció, constants del camp gravitatori...); els paràmetres geomètrics tenen a veure amb la forma dels elements del sistema (distàncies i angles).

En algunes ocasions, les accions dels actuadors (<math>\Fs_{ac}, \Gamma</math>) no són conegudes, mentre que les evolucions temporals dels GL actuats són prefixades. Llavors, les incògnites associades als GL actuats són el valor de les forces (si es tracta d’actuadors lineals) i moments (si són actuadors rotacionals) necessaris per garantir aquestes evolucions prefixades. Es diu que el problema és de '''dinàmica inversa'''.

Per al cas de l’exemple anterior, si <math>\dot{\theta}</math> està prefixada, les equacions que descriuen les incògnites del problema associades als GL són:

<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center>

<center><math>\Gamma = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center>

on <math>\Gamma</math> seria el parell motor de l’actuador rotacional associat al moviment <math>\theta</math>.

Incògnites associades a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''enllaços''']]

Són els valors de les components de les [[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''torsors d'enllaç''']]. El nombre d’incògnites associades als enllaços depèn de la descripció que se’n faci ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''enllaços directes''']], [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''enllaços indirectes''']]). Quan un problema de dinàmica és indeterminat, la indeterminació sempre es refereix a les components dels torsors d’enllaç, mai als GL (lliures o forçats).

---------
---------
==D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes==
Considerem un sistema de partícules de matèria constant ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Quantitat de Moviment''' (TQM) s’obté a partir de l’aplicació de la segona llei de Newton a cada partícula <math>\Ps</math> del sistema. Si la referència que es considera és galileana:

<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, on <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> és la força resultant d’interacció sobre <math>\Ps</math>.

[[Fitxer:D4-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]
<center>'''Figura D4.1''' Forces sobre una partícula d’un sistema de partícules de matèria constant</center>

Les forces que actuen sobre cada partícula es poden classificar en dos grups: internes (que provenen de la interacció amb altres partícules del sistema) i externes (associades a les interaccions amb elements externs al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si aquestes equacions se sumen per a totes les partícules, les forces internes entre parelles de partícules es cancel·len dues a dues pel principi d’acció i reacció:

<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\:\acc{P}{RGal}</math></center>

El terme de l’esquerra és la resultant de forces externes sobre el sistema, i se sol escriure simplement com a <math>\sum\F{ext}</math>. El terme de la dreta es pot reescriure com a <math>\Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math>, on M és la massa total del sistema <math>\left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El terme <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math> és una acceleració ponderada, on la ponderació és proporcional a la massa de cada partícula. Aquesta acceleració s’associa a un punt anomenat '''centre de masses''' (o '''centre d’inèrcia''') del sistema, i en aquest curs es designa amb la lletra <math>\Gs</math>. Per a una referència qualsevol, doncs, la cinemàtica de <math>\Gs</math> queda descrita per les equacions ('''Figura D4.2'''):

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center>

[[Fitxer:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
<center>'''Figura D4.2''' Centre de masses (o d’inèrcia) d’un sistema de matèria constant</center>

En el cas de conjunts continus de partícules (com són un conjunt de sòlids rígids, deformables, o fluids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center>

Finalment, el TQM s’escriu com a:

<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\:\acc{G}{RGal}</math></center>

Aquesta equació és molt propera a la [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]: el centre de masses <math>\Gs</math> es comporta com si fos una partícula de massa igual a la massa total del sistema, i sobre la qual actuessin totes les forces externes al sistema. Malgrat el paral·lelisme entre el TQM i l’equació de dinàmica de la partícula, hi ha dues diferències fonamentals:

:*la massa del sistema no està localitzada a <math>\Gs</math> (fins i tot, pot ser que <math>\Gs</math> estigui situat en una zona del sistema sense massa, com és el cas en una anella homogènia);

:*les forces externes no estan aplicades a <math>\Gs</math> en general.

El TQM s’anomena així perquè permet conèixer l’evolució, a partir del coneixement de [[C1. Configuració d'un sistema mecànic|'''l’estat mecànic''']] inicial i de les interaccions externes, de la '''quantitat de moviment''' del sistema (que, en una referència qualsevol R, es defineix com a <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R}</math>):

<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\acc{G}{RGal}=\dert{\Ms\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center>

La localització del centre de masses en els sistemes que s’estudien (ja sigui un únic sòlid rígid o un sistema multisòlid) es presenta breument a la [[D5. Tensor d’inèrcia#D5.1 Centre de masses|'''secció D5.1''']]. Per a sòlids homogenis de geometria molt senzilla, la posició de G es pot deduir sovint a partir de les simetries del sòlid.
En problemes plans (de cinemàtica 2D), només les dues components del TQM compreses en el pla són interessants.

------------
------------

==D4.2 Exemples d’aplicació del TQM==

<div>
====✏️ Exemple D4.1: càlcul d’una força d’enllaç ====

------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex1-1-neut.png|thumb|center|180px|link=]]
|Els tres blocs homogenis són llisos i estan en contacte entre ells i amb un terra horitzontal, també llis. Es tracta d’investigar el valor de la força horitzontal d’enllaç entre els blocs Q i S quan s’aplica una força horitzontal F al bloc de l’esquerra.
Tots els enllaços que apareixen en aquest sistema són contactes multipuntuals entre superfícies llises. Per tant, cada torsor associat, caracteritzat en un punt del contacte corresponent, conté una component de força i una de moment ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|exemple D3.4]]). Tot i així, en l’aplicació del TQM només intervenen les forces, i per tant no es representen els moments en les figures següents.
|}

Per tal que la força d’enllaç <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparegui a la component horitzontal del TQM, cal aplicar el teorema a un sistema on aquesta força sigui externa. Per exemple, al bloc S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>.

[[Fitxer:D4-Ex1-2new-neut.png|thumb|center|200px|link=]]

Aquesta equació conté dues incògnites: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> i <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ja que el moviment dels tres blocs provocat per la força F és el mateix, l’acceleració es pot obtenir amb el TQM aplicat a tot el sistema:
<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center>

</div>
<div>

====✏️ Exemple D4.2: moviment inicial d’un sistema ====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex2-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]
|Els blocs homogenis es troben inicialment en repòs sobre un terra rugós, i units mitjançant una molla comprimida amb una tensió <math>\Fs_0=\ms\gs</math> i un fil inextensible. En un cert instant, es talla el fil i el sistema comença a moure’s.
|}

Es tracta de calcular l’acceleració del centre d’inèrcia del sistema respecte del terra. Aquesta acceleració es pot obtenir a partir de la component horitzontal del TQM aplicat a tot el sistema. La molla és interna, i per tant la seva força no apareix: <math>\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{terra}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.

Les forces que el terra exerceix sobre cadascun dels blocs poden ser d’enllaç (si els blocs no es mouen, i llavors són incògnites), o de fricció (si els blocs es mouen respecte del terra, i en aquest cas són formulables). També pot donar-se el cas que un bloc llisqui i l’altre no.

El valor d’una força d’enllaç s’adapta per tal de garantir una restricció. En el cas dels blocs, cal investigar si aquestes forces poden assolir el valor necessari per evitar que els blocs llisquin sobre el terra, i estan acotades pel valor del coeficient de fricció estàtica entre blocs i terra:

<math>|\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math>

<math>|\F{\text{terra}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math>

Si s’aplica el TQM a cada bloc per separat, la força de la molla passa a ser externa. Aquesta força (de valor mg) pot ser contrarestada per la força d’enllaç en el cas del bloc de massa <math>2\ms</math> (per tant, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), però no en el del bloc de massa m:
[[Fitxer:D4-Ex2-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

L’aplicació del TQM al bloc de massa m condueix a:

<math>\left.\begin{aligned}
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{terra}\rightarrow2\ms}+\F{\text{molla}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math>

Finalment: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.

</div>
<div>
====✏️ Exemple D4.3: estudi d’una condició límit ====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]
|L’esfera homogènia de massa M descansa sobre dues falques idèntiques, de massa m, que es troben al damunt del terra. Entre esfera i falques no hi ha fregament, però entre falques i terra hi ha fregament de coeficient <math>\mu</math>. El sistema es troba inicialment en repòs respecte del terra. Es tracta de determinar el valor màxim de M, en funció de m, que permet que el sistema segueixi en repòs.
|}

Si res no belluga, les forces horitzontals d’interacció entre terra i falques són d’enllaç i no superen el valor límit <math>/mu\ns</math> (on <math>\Ns</math> és la força normal que cada falca rep del terra). El torsor d’enllaç del terra sobre les falques conté també un moment resultant perpendicular a la figura.
Si es vol estudiar la possibilitat de bolcament de les falques, aquest moment és rellevant. En aquest exemple, però, la forma les falques garanteix que no bolquen, i es treballa només amb les forces.
L’aplicació del TQM a tot el sistema, a una falca i a l’esfera condueix a les equacions següents:

[[Fitxer:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]

<center>
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"
|- style="vertical-align:top;"
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + falques

<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: falca de l'esquerra

<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera

<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math>
|}</center>

Combinant les dues últimes equacions: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor màxim de M per al qual encara hi ha equilibri correspon a la situació en què la força tangencial d’enllaç T pren el valor màxim possible: <math>\Ts = \Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns</math>. Tenint en compte que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs</math>:

<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{màx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{màx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math>

</div>

------------
------------

==D4.3 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències no galileanes==
La versió del TQM en una referència no galileana NGal s’obté també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada partícula (o cada diferencial de massa) del sistema a la referència NGal (secció D1.7). En principi, doncs, aquesta equació contindrà dues forces d’inèrcia: la d’arrossegament i la de Coriolis ('''Figura D4.3'''):

<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,

on <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> i <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math>
[[Fitxer:D4-3-cat.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.3:''' Forces d’inèrcia en una referència no galileana</center>
Sumant les equacions per a totes les partícules, s’obté: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math>
massa total del sistema.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
------
:
Pel principi d’acció i reacció, la suma per a totes les partícules de les forces d’interacció condueix a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math>

Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el
centre de masses (secció D4.2):

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

Així doncs: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math>

</div>

<div>
====✏️ Exemple D4.4: desplaçament vibratori====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
|El bloc de massa m es troba inicialment en repòs
sobre un suport que oscil·la respecte del terra
d’acord amb el gràfic de velocitat que es mostra a
la figura. Es tracta d’investigar la possibilitat que
el bloc llisqui al damunt del suport.
La condició de repòs del bloc respecte del suport
(que és una referència no galileana en tenir un
moviment accelerat respecte del terra) demana:

<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sup\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> perque <math>\velang{sup}{T} = \vec{0}</math>
|}

La força d’arrossegament sobre el bloc és estrictament horitzontal. Per tant, la component vertical d’aquesta equació condueix a <math>N = mg</math> . Pel que fa a la component horitzontal, contindrà la força
d’interacció entre bloc i suport. Si el bloc no llisca al damunt del suport, aquesta força és d’enllaç, i el seu valor està acotat: <math>0\leq\mid\Fs_{sup\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si llisca, és una força de fricció de valor <math>\mu\ms\gs</math>, oposada a la velocitat de lliscament.

Entre <math>t=0</math> i <math>t = 0,4s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math> i per tant la força
d’arrossegament és <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$suport}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor es troba dins del marge de valors permesos per a la força d’enllaç horitzontal del suport sobre el bloc. Per tant, aquesta força prendrà el valor <math>\F{sup\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>, contrarestarà la <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs}</math> i es mantindrà el repòs entre els dos elements.

Entre <math>t=0,4s</math> i <math>t = 0,6s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Per tant,<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. En sobrepassar el valor màxim de la força horitzontal d’enllaç, no podrà ser contrarestada. El bloc començarà a lliscar, i la força horitzontal d’interacció entre suport i bloc serà de fricció:

<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} + \F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

A l’instant <math>t = 0,6s</math>, la velocitat del bloc respecte del suport és

<math>\vel{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.

Tot i entrar en la fase on <math>\mid\Fcal{ar}{sup\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la força horitzontal entre suport i bloc segueix sent de fricció <math>(\F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> fins aconseguir aturar el bloc.

L’acceleració del bloc respecte del suport és:

<math>\acc{G}{sup} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

En tractar-se d’un moviment uniformement desaccelerat, és fàcil calcular l'instant per al qual el bloc deixa de lliscar:

<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sup} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sup} + \acc{$\Gs,t_f$}{sup}(t_f - t_i)</math>,
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math>

En aquest instant, la força del suport sobre el bloc passa a ser d’enllaç, i ens trobem en una situació anàloga a la inicial. Per tant, el lliscament no recomençarà fins a <math>\ts = 1,4s</math>. L’estudi per als intervals posteriors segueix els mateixos passos que l’estudi de l’interval <math>[0,1,4s]</math>. La figura mostra l’evolució de la cinemàtica del bloc respecte del suport, i de les forces que hi actuen.

[[Fitxer:D4-Ex4-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

</div>

-----------
-----------

==D4.4 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulació general==

La dinàmica d’un sòlid rígid (i per tant, d’un sistema multisòlid) no queda mai totalment resolta amb el TQM quan el sòlid gira: el TQM només informa sobre el moviment d’un punt (<math>\Gs</math>), i no sobre la rotació.

El '''Teorema del Moment Cinètic''' (TMC) es troba a la literatura enunciat de dues maneres diferents. En aquest curs, s’ha optat per una formulació paral·lela a la del TQM: a l'esquerra apareixen termes que només tenen a veure amb les interaccions externes sobre el sistema, mentre que a la dreta apareix la derivada temporal d’un vector que depèn només de la geometria de masses del sistema i del seu [[C1. Configuració d'un sistema mecànic#|'''estat mecànic''']].

Com ja s’ha vist quan s’ha introduït el concepte de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor d’un sistema de forces''']], el que es relaciona amb la rotació d’un sòlid és el moment de les forces, no la força resultant. Per tant, si bé el TMC es demostra també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada diferencial de massa del sistema, caldrà transformar les forces que hi apareixen en moment d’aquestes forces respecte d’un punt <math>\Qs</math>.

Aquestes dues consideracions (formulació paral·lela al TQM i necessitat de triar un punt <math>\Qs</math> per calcular el moment de les forces) porta a partir de la formulació de la segona llei de Newton en la '''Referència que es Trasllada amb Q (RTQ)''' respecte d’una referència galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, aquesta referència no és galileana, i per tant cal tenir en compte en principi les [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''forces d’inèrcia d’arrossegament''']] ('''Figura D4.3''').

[[Fitxer:D4-4-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D4.4:''' Forces d’inèrcia a la Referència que es Trasllada amb un punt <math>\Qs</math> (RTQ)</center> 

Considerem un sistema de partícules amb matèria constant. La segona llei de Newton aplicada a cada partícula del sistema i a la RTQ és: 

<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , 

on <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , i <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ja que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>. 

Si els dos costats de l’equació es multipliquen vectorialment per <math>\QPvec</math> i es suma per totes les partícules (o elements de massa) del sistema, s’obté el TMC al punt <math>\Qs</math>: 

<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math> 

on <math>\Ms</math> és la massa total del sistema, i <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> és el '''moment cinètic del sistema respecte el punt''' <math>\Qs</math>. 

Si el sistema té elements continus (per exemple, un sistema amb N sòlids rígids <math>\Ss_i</math>), el sumatori per a partícules és de fet una integral:

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====

La segona llei de Newton per a cada element de massa multiplicada vectorialment per <math>\QPvec</math> és:

<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math>

El terme de la dreta es pot reescriure com a:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

En ser <math>\Qs</math> un punt de la RTQ, es pot prendre com a origen d’un vector de posició de <math>\Ps</math> en aquesta referència, i per tant:

<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

Tenint en compte que la massa és constant:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math>

La suma d’aquest terme per a tots els elements <math>\Ps</math> condueix a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

Si les forces d’interacció sobre cada partícula <math>\Ps</math> es classifiquen en internes i externes, la suma per a totes les partícules del sistema del costat esquerre de la primera equació esdevé:

<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math>

<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> 
ja que el principi d’acció i reacció garanteix que el moment total d’una parella de forces d’acció i reacció és nul: 

<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math> 
Agrupant tots els termes: 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

</div>

---------
---------

==D4.5 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulacions particulars==
El TMC pren expressions més senzilles quan el punt <math>\Qs</math> és fix a una referència galileana o quan és el centre de masses del sistema. 

* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, anomenem aquesta versió “TMC a punt fix”, on se sobreentén que “fix” vol dir “fix a una referència galileana”. Quan és el cas, normalment emprarem la lletra <math>\Os</math> per designar el punt <math>\Qs</math>. 

* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math>Cal notar que, si bé l’expressió és similar a la versió a punt fix, el centre de masses <math>\Gs</math> no té per què ser fix a una referència galileana.

Quan <math>\Qs</math> no és ni un punt fix a RGal ni coincideix amb el centre de masses, se sol parlar de la versió del TMC “a punt mòbil”. Tot i que <math>\Qs</math> sigui un punt mòbil respecte de RGal, el terme associat a les forces d’inèrcia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> pot ser nul si <math>\Qs</math> es mou a velocitat costant respecte de RGal, o si la seva acceleració respecte de RGal és paral·lela a <math>\QGvec</math> .

<center>
{| class="wikitable"
|+
|-
! '''TMC a punt fix''' !! '''TMA a '''<math>\Gs</math> !! '''TMC a un punt mòbil '''<math>\Qs</math>
|-
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center>
||
<center>
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center>
||
<center>
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math> 

<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center>

|}
</center>

El vector moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no és senzill de calcular en general, i es presenta a la [[D5. Geometria de masses|'''unitat D5''']]. 

En problemes de cinemàtica plana (2D), si el moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sòlid del sistema que s’estudia és paral·lel a la velocitat angular del sòlid <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que és de direcció ortogonal al pla del moviment), només la component del TMC perpendicular al pla és interessant. En aquest cas es diu que el problema és de dinàmica plana (2D), i el problema es pot resoldre a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.

<div>
===TMC en un punt de contacte entre dos sòlids===
Un enllaç que apareix sovint en els sistemes mecànics és el contacte puntual entre parelles de sòlids (S1 i S2, per exemple). Aquest enllaç pot introduir entre 1 i 3 incògnites d’enllaç (segons la rugositat de les superfícies i la cinemàtica del contacte – amb o sense lliscament). Quan aquestes forces no es volen calcular, és temptador aplicar el TMC al punt de contacte <math>\Js</math> (ja que el seu moment respecte de <math>\Js</math> és nul). 
[[Fitxer:TMCaJ-0-cat.png|thumb|right|230px|link=]]
L’aplicació del TMC a <math>\Js</math> és molt delicada. Cal precisar de quin punt <math>\Js</math> es parla ([[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''exemple C5-1.8''']]): si es tracta del <math>\Js</math> del sòlid S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sòlid S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math> , o bé si és el punt geomètric de contacte <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math> . Per una banda, aquests tres punts tenen cinemàtiques diferents <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math> , i el terme complementari associat al moment de les forces d’inèrcia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> és diferent. Per altra banda, si per exemple el TMC s’aplica al solid S1, cal tenir present que, tot i que <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertany a S1 i es pot calcular el moment cinètic a partir del tensor d’inèrcia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> i <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no hi pertanyen, i cal fer servir la descomposició baricèntrica per calcular aquest vector.

Finalment, ja que el moment cinètic s’ha de derivar, el seu càlcul s’ha de fer en una configuració general (és a dir, quan <math>\Js</math> no és encara el punt de contacte), i és només després d’haver fet la derivada que es pot particularitzar el resultat a la configuració en què <math>\Js</math> és el punt de contacte. Com a il·lustració de tot plegat, l’esquema següent mostra l’aplicació del TMC a una roda amb moviment pla que toca a terra i llisca. 

[[Fitxer:TMCaJ-1-cat.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{roda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{roda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{roda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math>
</center> 

[[Fitxer:TMCaJ-2-cat.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}
\end{array}\right.
</math> 

[[Fitxer:TMCaJ-3-cat-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)
\end{array}\right.
</math>
</center></center>
</div>

------
------

==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==
<div>
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex5-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:
[[Fitxer:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
|}

En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant: 

<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math> 

Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math>

Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math>

</div>
<div>

====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex6-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]
|Els blocs pengen de dues cordes inextensibles amb un extrem lligat a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de calcular l’acceleració angular de les politges. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :
[[Fitxer:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|center|140px|link=]]
|}

En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> : 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math> 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math> 

Per la definició de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs: 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math> 

<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math> 

[[Fitxer:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
Resolució alternativa 

Si s’aplica el TMC al punt <math>\Os</math> per al sistema format per les politges i les cordes, el pes dels blocs ja no apareix com a interacció externa, però apareixen en canvi les tensions de les dues cordes (que són incògnites d’enllaç). 

El moment cinètic del sistema és nul perquè no té massa: 

SIST: politges + cordes 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math> 
[[Fitxer:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]

L’aplicació del TQM a cadascun dels blocs genera dues equacions més: 

SIST: bloc de 10kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(10\ks\gs)(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math> 

SIST: bloc de 5kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(5\ks\gs)(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math> 

La resolució del sistema d’equacions condueix a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>. 

La primera resolució és més ràpida (només fa servir una equació escalar), però implica el càlcul del moment cinètic. Aquesta segona resolució és més llarga (sistema de tres equacions) però que no requereix calcular cap moment cinètic.

</div>

<div>

====✏️ Exemple D4.7: dinàmica longitudinal d’un vehicle====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex7-1-cat.png|thumb|center|200px|link=]]
|El vehicle sense suspensions es mou sobre una carretera rectilínia. La massa de les rodes és negligible comparada amb la de la resta dels elements, i es considera que el seu contacte amb el terra es puntual. Es tracta d’analitzar les forces normals d’enllaç entre terra i rodes.
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el vehicle es redueixen al pes i a l’enllaç amb el terra. Si l’acceleració del xassís respecte del terra és una dada, l’aplicació del TQM condueix a:
|}

{|
|

<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}

\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)
\end{aligned}\right.</math>

on <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> i <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> són les forces normal i tangencial que en total reben les dues rodes del davant i les dues rodes del darrere, respectivament.
El TMC a G condueix a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs} + \Ts_{\ds\rs})] =0</math>
(el moment cinètic <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> és permanentment nul ja que les rodes no tenen massa, i la resta del vehicle té moviment nul respecte de la RTG).
|[[Fitxer:D4-Ex7-2-cat.png|thumb|center|200px|link=]]
|}

Resolent el sistema d’equacions: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math>

Aquest resultat és vàlid per a qualsevol valor de <math>\as_\Ls</math>:
:*Situació estàtica (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la força normal és més gran a les rodes que tenen l’eix més proper a <math>\Gs</math>.

:*Accelerant (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math> ; hi ha un transvasament de força del davant cap al darrere (es carreguen les rodes del darrere i es descarreguen les del davant). Si l’acceleració <math>|\as_\Ts|</math> és prou elevada, la força normal al davant passa a ser negativa, la qual cosa indica que s’ha perdut el contacte i el vehicle bolca en sentit antihorari. Llavors, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el xassís passa a tenir, en principi, acceleració angular, i com a conseqüència el centre de masses <math>\Gs</math> passa a tenir acceleració vertical.

:*Frenant (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hi ha un transvasament de força del darrere cap al davant (es descarreguen les rodes del darrere i es carreguen les del davant). Com en el cas precedent, hi ha un valor crític de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el bolcament, ara en sentit horari.

---------
---------
</div>

==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==

L’aplicació dels teoremes vectorials als [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''']] (SAE) és senzilla ja que els termes de la dreta (variació de quantitat de moviment i variació de moment cinètic) són nuls en ser nul·la la seva massa: 

<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{qualsevol} \hspace{0.2cm} \mathrm{punt}) \approx \overline{0}.</math> 

Per al cas d’un SAE (sòlid S) connectant dos sòlids rígids S1 i S2 ('''Figura D4.5'''), aquestes equacions permeten demostrar que el torsor que actua sobre S1 es pot obtenir a partir d’una equació de caracterització analítica on la cinemàtica del punt <math>\Ps</math> de caracterització (que ha de pertànyer al sòlid S1) s’avalua a la referència solidària a S2: 

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math> 

(Quan es tracta de velocitats, és important especificar a quin sòlid pertany el punt <math>\Ps</math>. Això, en canvi, és irrellevant quan es tracta de moments: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>). 

[[Fitxer:D4-5-cat.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.5:'''Sòlid Auxiliar d’Enllaç entre dos sòlids de massa no nul·la</center> 

<div>
=====💭 Demostració ➕=====

Els teoremes vectorials aplicats sobre el SAE impliquen que els torsors d’enllaç que rep de S1 i S2 en un mateix punt <math>\Ps</math> han de sumar zero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)
\end{array}\right.</math> 

Per altra banda, aquests torsors compleixen l’[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''equació de caracterització analítica''']]: 

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math> 

Si es combinen totes les equacions anteriors, s’obté: 

<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math> 

Una [[C3. Composició de moviments#C3.1 Composició de velocitats|'''composició de moviments''']] permet reescriure l’equació anterior de manera més compacta: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math> 

Finalment: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math>

</div>
<div>

====✏️ Exemple D4.8: dinàmica longitudinal d’un vehicle ====
---------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex8-1-cat.png|thumb|left|220px|link=]]
|En el vehicle de l’exemple D4.7, es considera que la tracció és posterior. Això vol dir que el motor del vehicle actua entre el xassís i les rodes posteriors, en tant que les del davant només estan sotmeses a interaccions d’enllaç (articulació amb el xassís i contacte amb el terra). 

Si es tracten les rodes del davant com a SAE, l’anàlisi cinemàtica del xassís respecte del terra per a la caracterització de l’enllaç a través de les rodes del davant condueix a un torsor en el centre de la roda (que és fix al xassís) amb només una component de força:
|}
[[Fitxer:D4-Ex8-2-cat.png|thumb|center|370px|link=]]
L’existència d’una component horitzontal de força entre les rodes posteriors (necessària per accelerar o frenar el vehicle!) està associada al parell motor. Si s'apliquen els teoremes vectorials a les rodes posteriors, les interaccions externes a tenir en compte són l’enllaç amb el terra, l’articulació amb el xassís i el parell motor <math>\Gamma</math> :
[[Fitxer:D4-Ex8-3-cat.png|thumb|center|370px|link=]]

<math>\ms_\mathrm{rodes} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{TQM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dr}=\Ns'_\mathrm{dr} , \Ts_\mathrm{dr}=\Ts'_\mathrm{dr} \\
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{a} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dr}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs
\end{array}\right. </math> 

La força tangencial sobre les rodes motrius és directament proporcional al parell motor que se’ls aplica. Cal no oblidar, però, que com a força tangencial d’enllaç, el seu valor està limitat per <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math> . Això permet calcular l’acceleració màxima que pot adquirir el vehicle (mentre la roda del davant no perdi contacte amb el terra): 

<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Ts_\mathrm{dr,màx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>. 

En terrenys de baix fregament ( <math>\mu_\es</math> de valor baix), un motor capaç de subministrar un parell màxim alt és inútil: qui posa límit a l’acceleració és el valor del coeficient de fricció <math>\mu_\es</math> : <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math> . En terrenys d’alt fregament, si el parell màxim és baix és ell qui posa límit a l’acceleració: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la roda del davant no perd contacte amb el terra).

</div>

---------
---------

==D4.8 Descomposició baricèntrica del moment cinètic==

La versió del TMC que s’ha presentat permet triar lliurement el punt <math>\Qs</math> d’aplicació. El criteri per triar-lo es basa en el que es vulgui investigar (una força d’enllaç, una equació del moviment...). A la [[D6. Exemples de dinàmica 2D|'''unitat D6''']] es discuteix aquest criteri.
En alguns casos, pot ser interessant triar un punt <math>\Qs</math> que no pertanyi a cap element material del sistema. Llavors, és útil referir el càlcul del moment cinètic <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al moment cinètic al centre de masses <math>\Gs</math> del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Això es coneix amb el nom de '''descomposició baricèntrica''' del moment cinètic:

<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>,

on el superíndex <math>\oplus</math> indica que el moment cinètic s’ha de calcular com si el sistema s’hagués reduït a una partícula concentrada a <math>\Gs</math> amb massa igual a la massa total del sistema (M):

<math>\H{Q}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math>

<div>
=====💭 Demostració ➕=====

:La definició de moment cinètic d'un sòlid rígid <math>\Ss_i</math> és: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocitat <math>\vel{P}{RTQ}</math> es pot escriure com a suma de dos termes si s’aplica una composició de moviments:

:<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math> 

:Per tant: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.

:La definició de [[D4. Teoremes vectorials#D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes|'''centre de masses''']] porta a reescriure el segon terme com a:

:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincideix amb el moment cinètic respecte de <math>\Qs</math> d’una partícula de massa M situada a <math>\Gs</math>: <math>\QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ} = \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.

:En el primer terme de l’expressió de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, es pot descompondre <math>\QPvec</math> en suma de dos termes:

:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math>

:Per definició de centre de masses: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.

:Per tant: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.

</div>

<div>

===== ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica =====
----------

{|

|[[Fitxer:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|El sòlid està format per dues barres de massa negligible i quatre partícules (<math>\Ps</math>) amb massa m unides als extrems de les barres. El sòlid està articulat a un suport que es pot moure al llarg d’una guia fixa a terra.
El seu moment cinètic a G és:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math>

La RTG és fixa al suport, i la velocitat de les partícules respecte d’aquesta referència és proporcional a la rotació <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Per tant:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math>
|}
:El moment cinètic a <math>\Os</math> (fix al terra) es pot calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mitjançant descomposició baricèntrica:

:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{O}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times 4\ms\vel{G}{T} =</math>
<math>\hspace{1cm} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) =</math>
<math>\hspace{1cm}= (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math>


</div>

© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|<<< D3. Interaccions entre sòlids rígids]]

[[D5. Geometria de masses|D5. Geometria de masses >>>]]
</center>

D4. Teoremes vectorials

2026-06-03T15:33:05Z

Eantem: /* ✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood */

<div class="noautonum">__TOC__</div>

<math>
\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\ss}{\textsf{s}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\JGvec}{\vec{\Js\Gs}}
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}
\newcommand{\H}[3]{\vec{\mathbf{H}}_{\text{#3}}^{#2}(\textbf{#1})}
</math>

Els '''Teoremes Vectorials''' són una eina per estudiar la dinàmica dels sistemes mecànics, i s’obtenen a partir de la llei fonamental de la dinàmica ([[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]) i del principi d’acció i reacció ([[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''tercera llei de Newton''']]).

En aquest curs, es presenta només la versió dels teoremes per al cas de sistemes de matèria constant. Tot i que això inclou sistemes amb fluids, els exemples d’aplicació en aquest curs són essencialment sistemes multisòlid formats per sòlids rígids.

En estudiar la dinàmica d'un [[Introducción#I.1 Què és la mecànica?|'''sistema mecànic''']], és essencial identificar les incògnites que conté el sistema que s’estudia i analitzar si els teoremes vectorials proporcionen el nombre suficient d’equacions per resoldre-les totes (cal saber si el problema és determinat o indeterminat!). Les incògnites es poden classificar en dos grups:

Incògnites associades a [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''graus de llibertat''']]

Els GL d’un sistema mecànic poden ser [[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''lliures o actuats''']] (o forçats, associats a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''actuadors''']]). En ambdós casos, el seu valor inicial (el valor en començar un experiment o en posar en marxa el sistema) és conegut. Quan es tracta de GL lliures, l’evolució d’aquest valor inicial no es coneix: és una incògnita. Es diu que el problema és de '''dinàmica directa'''.

Aquest és el cas també quan es tracta de GL actuats si l’acció de l’actuador associat és coneguda (és a dir, quan es coneix el valor de <math>\Fs_{ac}</math>– cas dels actuadors lineals –, o de <math>\Gamma</math>– cas dels rotacionals). El problema també és de dinàmica directa.

Les equacions que regeixen l’evolució dels GL s’anomenen '''equacions del moviment'''. Si els GL es descriuen mitjançant derivades temporals de coordenades (<math>\dot{q}_i</math>, amb i=1,2,3...), la seva evolució temporal són les segones derivades temporals d’aquests coordenades (acceleracions).

Per a un sistema amb 2 GL lliures descrits, per exemple, per (x, <math>\dot{\theta}</math>), aquestes equacions tindrien el següent aspecte general:

<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center>

<center><math>\ddot{\theta} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\xs},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center>

La dependència en les segones derivades temporals <math>(\ddot{\xs}, \ddot{\theta})</math> és sempre lineal, en tant que al dependència en les coordenades i les velocitats <math>(\xs, \theta, \dot{\xs}, \dot{\theta})</math> pot ser de qualsevol tipus. Els paràmetres dinàmics són la massa dels elements i els associats a la seva distribució a l’espai, i els paràmetres associats a les interaccions sobre el sistema (constants de molles i amortidors, coeficients de fricció, constants del camp gravitatori...); els paràmetres geomètrics tenen a veure amb la forma dels elements del sistema (distàncies i angles).

En algunes ocasions, les accions dels actuadors (<math>\Fs_{ac}, \Gamma</math>) no són conegudes, mentre que les evolucions temporals dels GL actuats són prefixades. Llavors, les incògnites associades als GL actuats són el valor de les forces (si es tracta d’actuadors lineals) i moments (si són actuadors rotacionals) necessaris per garantir aquestes evolucions prefixades. Es diu que el problema és de '''dinàmica inversa'''.

Per al cas de l’exemple anterior, si <math>\dot{\theta}</math> està prefixada, les equacions que descriuen les incògnites del problema associades als GL són:

<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center>

<center><math>\Gamma = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center>

on <math>\Gamma</math> seria el parell motor de l’actuador rotacional associat al moviment <math>\theta</math>.

Incògnites associades a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''enllaços''']]

Són els valors de les components de les [[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''torsors d'enllaç''']]. El nombre d’incògnites associades als enllaços depèn de la descripció que se’n faci ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''enllaços directes''']], [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''enllaços indirectes''']]). Quan un problema de dinàmica és indeterminat, la indeterminació sempre es refereix a les components dels torsors d’enllaç, mai als GL (lliures o forçats).

---------
---------
==D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes==
Considerem un sistema de partícules de matèria constant ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Quantitat de Moviment''' (TQM) s’obté a partir de l’aplicació de la segona llei de Newton a cada partícula <math>\Ps</math> del sistema. Si la referència que es considera és galileana:

<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, on <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> és la força resultant d’interacció sobre <math>\Ps</math>.

[[Fitxer:D4-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]
<center>'''Figura D4.1''' Forces sobre una partícula d’un sistema de partícules de matèria constant</center>

Les forces que actuen sobre cada partícula es poden classificar en dos grups: internes (que provenen de la interacció amb altres partícules del sistema) i externes (associades a les interaccions amb elements externs al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si aquestes equacions se sumen per a totes les partícules, les forces internes entre parelles de partícules es cancel·len dues a dues pel principi d’acció i reacció:

<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\:\acc{P}{RGal}</math></center>

El terme de l’esquerra és la resultant de forces externes sobre el sistema, i se sol escriure simplement com a <math>\sum\F{ext}</math>. El terme de la dreta es pot reescriure com a <math>\Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math>, on M és la massa total del sistema <math>\left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El terme <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math> és una acceleració ponderada, on la ponderació és proporcional a la massa de cada partícula. Aquesta acceleració s’associa a un punt anomenat '''centre de masses''' (o '''centre d’inèrcia''') del sistema, i en aquest curs es designa amb la lletra <math>\Gs</math>. Per a una referència qualsevol, doncs, la cinemàtica de <math>\Gs</math> queda descrita per les equacions ('''Figura D4.2'''):

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center>

[[Fitxer:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
<center>'''Figura D4.2''' Centre de masses (o d’inèrcia) d’un sistema de matèria constant</center>

En el cas de conjunts continus de partícules (com són un conjunt de sòlids rígids, deformables, o fluids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:

<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center>

Finalment, el TQM s’escriu com a:

<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\:\acc{G}{RGal}</math></center>

Aquesta equació és molt propera a la [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]: el centre de masses <math>\Gs</math> es comporta com si fos una partícula de massa igual a la massa total del sistema, i sobre la qual actuessin totes les forces externes al sistema. Malgrat el paral·lelisme entre el TQM i l’equació de dinàmica de la partícula, hi ha dues diferències fonamentals:

:*la massa del sistema no està localitzada a <math>\Gs</math> (fins i tot, pot ser que <math>\Gs</math> estigui situat en una zona del sistema sense massa, com és el cas en una anella homogènia);

:*les forces externes no estan aplicades a <math>\Gs</math> en general.

El TQM s’anomena així perquè permet conèixer l’evolució, a partir del coneixement de [[C1. Configuració d'un sistema mecànic|'''l’estat mecànic''']] inicial i de les interaccions externes, de la '''quantitat de moviment''' del sistema (que, en una referència qualsevol R, es defineix com a <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R}</math>):

<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\acc{G}{RGal}=\dert{\Ms\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center>

La localització del centre de masses en els sistemes que s’estudien (ja sigui un únic sòlid rígid o un sistema multisòlid) es presenta breument a la [[D5. Tensor d’inèrcia#D5.1 Centre de masses|'''secció D5.1''']]. Per a sòlids homogenis de geometria molt senzilla, la posició de G es pot deduir sovint a partir de les simetries del sòlid.
En problemes plans (de cinemàtica 2D), només les dues components del TQM compreses en el pla són interessants.

------------
------------

==D4.2 Exemples d’aplicació del TQM==

<div>
====✏️ Exemple D4.1: càlcul d’una força d’enllaç ====

------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex1-1-neut.png|thumb|center|180px|link=]]
|Els tres blocs homogenis són llisos i estan en contacte entre ells i amb un terra horitzontal, també llis. Es tracta d’investigar el valor de la força horitzontal d’enllaç entre els blocs Q i S quan s’aplica una força horitzontal F al bloc de l’esquerra.
Tots els enllaços que apareixen en aquest sistema són contactes multipuntuals entre superfícies llises. Per tant, cada torsor associat, caracteritzat en un punt del contacte corresponent, conté una component de força i una de moment ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|exemple D3.4]]). Tot i així, en l’aplicació del TQM només intervenen les forces, i per tant no es representen els moments en les figures següents.
|}

Per tal que la força d’enllaç <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparegui a la component horitzontal del TQM, cal aplicar el teorema a un sistema on aquesta força sigui externa. Per exemple, al bloc S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>.

[[Fitxer:D4-Ex1-2new-neut.png|thumb|center|200px|link=]]

Aquesta equació conté dues incògnites: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> i <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ja que el moviment dels tres blocs provocat per la força F és el mateix, l’acceleració es pot obtenir amb el TQM aplicat a tot el sistema:
<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center>

</div>
<div>

====✏️ Exemple D4.2: moviment inicial d’un sistema ====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex2-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]
|Els blocs homogenis es troben inicialment en repòs sobre un terra rugós, i units mitjançant una molla comprimida amb una tensió <math>\Fs_0=\ms\gs</math> i un fil inextensible. En un cert instant, es talla el fil i el sistema comença a moure’s.
|}

Es tracta de calcular l’acceleració del centre d’inèrcia del sistema respecte del terra. Aquesta acceleració es pot obtenir a partir de la component horitzontal del TQM aplicat a tot el sistema. La molla és interna, i per tant la seva força no apareix: <math>\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{terra}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.

Les forces que el terra exerceix sobre cadascun dels blocs poden ser d’enllaç (si els blocs no es mouen, i llavors són incògnites), o de fricció (si els blocs es mouen respecte del terra, i en aquest cas són formulables). També pot donar-se el cas que un bloc llisqui i l’altre no.

El valor d’una força d’enllaç s’adapta per tal de garantir una restricció. En el cas dels blocs, cal investigar si aquestes forces poden assolir el valor necessari per evitar que els blocs llisquin sobre el terra, i estan acotades pel valor del coeficient de fricció estàtica entre blocs i terra:

<math>|\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math>

<math>|\F{\text{terra}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math>

Si s’aplica el TQM a cada bloc per separat, la força de la molla passa a ser externa. Aquesta força (de valor mg) pot ser contrarestada per la força d’enllaç en el cas del bloc de massa <math>2\ms</math> (per tant, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), però no en el del bloc de massa m:
[[Fitxer:D4-Ex2-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

L’aplicació del TQM al bloc de massa m condueix a:

<math>\left.\begin{aligned}
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{terra}\rightarrow2\ms}+\F{\text{molla}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math>

Finalment: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.

</div>
<div>
====✏️ Exemple D4.3: estudi d’una condició límit ====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]
|L’esfera homogènia de massa M descansa sobre dues falques idèntiques, de massa m, que es troben al damunt del terra. Entre esfera i falques no hi ha fregament, però entre falques i terra hi ha fregament de coeficient <math>\mu</math>. El sistema es troba inicialment en repòs respecte del terra. Es tracta de determinar el valor màxim de M, en funció de m, que permet que el sistema segueixi en repòs.
|}

Si res no belluga, les forces horitzontals d’interacció entre terra i falques són d’enllaç i no superen el valor límit <math>/mu\ns</math> (on <math>\Ns</math> és la força normal que cada falca rep del terra). El torsor d’enllaç del terra sobre les falques conté també un moment resultant perpendicular a la figura.
Si es vol estudiar la possibilitat de bolcament de les falques, aquest moment és rellevant. En aquest exemple, però, la forma les falques garanteix que no bolquen, i es treballa només amb les forces.
L’aplicació del TQM a tot el sistema, a una falca i a l’esfera condueix a les equacions següents:

[[Fitxer:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]

<center>
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"
|- style="vertical-align:top;"
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + falques

<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: falca de l'esquerra

<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math>
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera

<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math>

<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math>
|}</center>

Combinant les dues últimes equacions: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor màxim de M per al qual encara hi ha equilibri correspon a la situació en què la força tangencial d’enllaç T pren el valor màxim possible: <math>\Ts = \Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns</math>. Tenint en compte que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs</math>:

<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{màx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{màx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math>

</div>

------------
------------

==D4.3 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències no galileanes==
La versió del TQM en una referència no galileana NGal s’obté també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada partícula (o cada diferencial de massa) del sistema a la referència NGal (secció D1.7). En principi, doncs, aquesta equació contindrà dues forces d’inèrcia: la d’arrossegament i la de Coriolis ('''Figura D4.3'''):

<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,

on <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> i <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math>
[[Fitxer:D4-3-cat.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.3:''' Forces d’inèrcia en una referència no galileana</center>
Sumant les equacions per a totes les partícules, s’obté: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math>
massa total del sistema.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
------
:
Pel principi d’acció i reacció, la suma per a totes les partícules de les forces d’interacció condueix a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math>

Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el
centre de masses (secció D4.2):

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

<math>
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}
</math>

Així doncs: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math>

</div>

<div>
====✏️ Exemple D4.4: desplaçament vibratori====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]
|El bloc de massa m es troba inicialment en repòs
sobre un suport que oscil·la respecte del terra
d’acord amb el gràfic de velocitat que es mostra a
la figura. Es tracta d’investigar la possibilitat que
el bloc llisqui al damunt del suport.
La condició de repòs del bloc respecte del suport
(que és una referència no galileana en tenir un
moviment accelerat respecte del terra) demana:

<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sup\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> perque <math>\velang{sup}{T} = \vec{0}</math>
|}

La força d’arrossegament sobre el bloc és estrictament horitzontal. Per tant, la component vertical d’aquesta equació condueix a <math>N = mg</math> . Pel que fa a la component horitzontal, contindrà la força
d’interacció entre bloc i suport. Si el bloc no llisca al damunt del suport, aquesta força és d’enllaç, i el seu valor està acotat: <math>0\leq\mid\Fs_{sup\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si llisca, és una força de fricció de valor <math>\mu\ms\gs</math>, oposada a la velocitat de lliscament.

Entre <math>t=0</math> i <math>t = 0,4s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math> i per tant la força
d’arrossegament és <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$suport}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor es troba dins del marge de valors permesos per a la força d’enllaç horitzontal del suport sobre el bloc. Per tant, aquesta força prendrà el valor <math>\F{sup\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>, contrarestarà la <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs}</math> i es mantindrà el repòs entre els dos elements.

Entre <math>t=0,4s</math> i <math>t = 0,6s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Per tant,<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. En sobrepassar el valor màxim de la força horitzontal d’enllaç, no podrà ser contrarestada. El bloc començarà a lliscar, i la força horitzontal d’interacció entre suport i bloc serà de fricció:

<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} + \F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

A l’instant <math>t = 0,6s</math>, la velocitat del bloc respecte del suport és

<math>\vel{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.

Tot i entrar en la fase on <math>\mid\Fcal{ar}{sup\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la força horitzontal entre suport i bloc segueix sent de fricció <math>(\F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> fins aconseguir aturar el bloc.

L’acceleració del bloc respecte del suport és:

<math>\acc{G}{sup} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math>

En tractar-se d’un moviment uniformement desaccelerat, és fàcil calcular l'instant per al qual el bloc deixa de lliscar:

<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sup} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sup} + \acc{$\Gs,t_f$}{sup}(t_f - t_i)</math>,
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math>

En aquest instant, la força del suport sobre el bloc passa a ser d’enllaç, i ens trobem en una situació anàloga a la inicial. Per tant, el lliscament no recomençarà fins a <math>\ts = 1,4s</math>. L’estudi per als intervals posteriors segueix els mateixos passos que l’estudi de l’interval <math>[0,1,4s]</math>. La figura mostra l’evolució de la cinemàtica del bloc respecte del suport, i de les forces que hi actuen.

[[Fitxer:D4-Ex4-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

</div>

-----------
-----------

==D4.4 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulació general==

La dinàmica d’un sòlid rígid (i per tant, d’un sistema multisòlid) no queda mai totalment resolta amb el TQM quan el sòlid gira: el TQM només informa sobre el moviment d’un punt (<math>\Gs</math>), i no sobre la rotació.

El '''Teorema del Moment Cinètic''' (TMC) es troba a la literatura enunciat de dues maneres diferents. En aquest curs, s’ha optat per una formulació paral·lela a la del TQM: a l'esquerra apareixen termes que només tenen a veure amb les interaccions externes sobre el sistema, mentre que a la dreta apareix la derivada temporal d’un vector que depèn només de la geometria de masses del sistema i del seu [[C1. Configuració d'un sistema mecànic#|'''estat mecànic''']].

Com ja s’ha vist quan s’ha introduït el concepte de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor d’un sistema de forces''']], el que es relaciona amb la rotació d’un sòlid és el moment de les forces, no la força resultant. Per tant, si bé el TMC es demostra també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada diferencial de massa del sistema, caldrà transformar les forces que hi apareixen en moment d’aquestes forces respecte d’un punt <math>\Qs</math>.

Aquestes dues consideracions (formulació paral·lela al TQM i necessitat de triar un punt <math>\Qs</math> per calcular el moment de les forces) porta a partir de la formulació de la segona llei de Newton en la '''Referència que es Trasllada amb Q (RTQ)''' respecte d’una referència galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, aquesta referència no és galileana, i per tant cal tenir en compte en principi les [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''forces d’inèrcia d’arrossegament''']] ('''Figura D4.3''').

[[Fitxer:D4-4-cat.png|thumb|center|400px|link=]]
<center>'''Figura D4.4:''' Forces d’inèrcia a la Referència que es Trasllada amb un punt <math>\Qs</math> (RTQ)</center> 

Considerem un sistema de partícules amb matèria constant. La segona llei de Newton aplicada a cada partícula del sistema i a la RTQ és: 

<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , 

on <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , i <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ja que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>. 

Si els dos costats de l’equació es multipliquen vectorialment per <math>\QPvec</math> i es suma per totes les partícules (o elements de massa) del sistema, s’obté el TMC al punt <math>\Qs</math>: 

<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math> 

on <math>\Ms</math> és la massa total del sistema, i <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> és el '''moment cinètic del sistema respecte el punt''' <math>\Qs</math>. 

Si el sistema té elements continus (per exemple, un sistema amb N sòlids rígids <math>\Ss_i</math>), el sumatori per a partícules és de fet una integral:

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====

La segona llei de Newton per a cada element de massa multiplicada vectorialment per <math>\QPvec</math> és:

<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math>

El terme de la dreta es pot reescriure com a:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

En ser <math>\Qs</math> un punt de la RTQ, es pot prendre com a origen d’un vector de posició de <math>\Ps</math> en aquesta referència, i per tant:

<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math>

Tenint en compte que la massa és constant:

<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math>

La suma d’aquest terme per a tots els elements <math>\Ps</math> condueix a:

<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

Si les forces d’interacció sobre cada partícula <math>\Ps</math> es classifiquen en internes i externes, la suma per a totes les partícules del sistema del costat esquerre de la primera equació esdevé:

<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math>

<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> 
ja que el principi d’acció i reacció garanteix que el moment total d’una parella de forces d’acció i reacció és nul: 

<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math> 
Agrupant tots els termes: 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math>

</div>

---------
---------

==D4.5 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulacions particulars==
El TMC pren expressions més senzilles quan el punt <math>\Qs</math> és fix a una referència galileana o quan és el centre de masses del sistema. 

* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, anomenem aquesta versió “TMC a punt fix”, on se sobreentén que “fix” vol dir “fix a una referència galileana”. Quan és el cas, normalment emprarem la lletra <math>\Os</math> per designar el punt <math>\Qs</math>. 

* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math>Cal notar que, si bé l’expressió és similar a la versió a punt fix, el centre de masses <math>\Gs</math> no té per què ser fix a una referència galileana.

Quan <math>\Qs</math> no és ni un punt fix a RGal ni coincideix amb el centre de masses, se sol parlar de la versió del TMC “a punt mòbil”. Tot i que <math>\Qs</math> sigui un punt mòbil respecte de RGal, el terme associat a les forces d’inèrcia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> pot ser nul si <math>\Qs</math> es mou a velocitat costant respecte de RGal, o si la seva acceleració respecte de RGal és paral·lela a <math>\QGvec</math> .

<center>
{| class="wikitable"
|+
|-
! '''TMC a punt fix''' !! '''TMA a '''<math>\Gs</math> !! '''TMC a un punt mòbil '''<math>\Qs</math>
|-
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center>
||
<center>
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center>
||
<center>
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math> 

<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center>

|}
</center>

El vector moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no és senzill de calcular en general, i es presenta a la [[D5. Geometria de masses|'''unitat D5''']]. 

En problemes de cinemàtica plana (2D), si el moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sòlid del sistema que s’estudia és paral·lel a la velocitat angular del sòlid <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que és de direcció ortogonal al pla del moviment), només la component del TMC perpendicular al pla és interessant. En aquest cas es diu que el problema és de dinàmica plana (2D), i el problema es pot resoldre a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.

<div>
===TMC en un punt de contacte entre dos sòlids===
Un enllaç que apareix sovint en els sistemes mecànics és el contacte puntual entre parelles de sòlids (S1 i S2, per exemple). Aquest enllaç pot introduir entre 1 i 3 incògnites d’enllaç (segons la rugositat de les superfícies i la cinemàtica del contacte – amb o sense lliscament). Quan aquestes forces no es volen calcular, és temptador aplicar el TMC al punt de contacte <math>\Js</math> (ja que el seu moment respecte de <math>\Js</math> és nul). 
[[Fitxer:TMCaJ-0-cat.png|thumb|right|230px|link=]]
L’aplicació del TMC a <math>\Js</math> és molt delicada. Cal precisar de quin punt <math>\Js</math> es parla ([[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''exemple C5-1.8''']]): si es tracta del <math>\Js</math> del sòlid S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sòlid S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math> , o bé si és el punt geomètric de contacte <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math> . Per una banda, aquests tres punts tenen cinemàtiques diferents <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math> , i el terme complementari associat al moment de les forces d’inèrcia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> és diferent. Per altra banda, si per exemple el TMC s’aplica al solid S1, cal tenir present que, tot i que <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertany a S1 i es pot calcular el moment cinètic a partir del tensor d’inèrcia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> i <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no hi pertanyen, i cal fer servir la descomposició baricèntrica per calcular aquest vector.

Finalment, ja que el moment cinètic s’ha de derivar, el seu càlcul s’ha de fer en una configuració general (és a dir, quan <math>\Js</math> no és encara el punt de contacte), i és només després d’haver fet la derivada que es pot particularitzar el resultat a la configuració en què <math>\Js</math> és el punt de contacte. Com a il·lustració de tot plegat, l’esquema següent mostra l’aplicació del TMC a una roda amb moviment pla que toca a terra i llisca. 

[[Fitxer:TMCaJ-1-cat.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{roda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{roda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{roda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math>
</center> 

[[Fitxer:TMCaJ-2-cat.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}
\end{array}\right.
</math> 

[[Fitxer:TMCaJ-3-cat-esp.png|thumb|center|520px|link=]]
<center>
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)
\end{array}\right.
</math>
</center></center>
</div>

------
------

==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==
<div>
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex5-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:
[[Fitxer:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]
|}

En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant: 

<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math> 

Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math>

Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math>

</div>
<div>

====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex6-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]
|Els blocs pengen de dues cordes inextensibles amb un extrem lligat a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de calcular l’acceleració angular de les politges. 

És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :
[[Fitxer:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|center|140px|link=]]
|}

En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> : 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math> 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math> 

Per la definició de [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs: 

<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math> 

<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math> 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math> 

[[Fitxer:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
Resolució alternativa 

Si s’aplica el TMC al punt <math>\Os</math> per al sistema format per les politges i les cordes, el pes dels blocs ja no apareix com a interacció externa, però apareixen en canvi les tensions de les dues cordes (que són incògnites d’enllaç). 

El moment cinètic del sistema és nul perquè no té massa: 

SIST: politges + cordes 

<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math> 
[[Fitxer:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]

L’aplicació del TQM a cadascun dels blocs genera dues equacions més: 

SIST: bloc de 10kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(10\ks\gs)(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math> 

SIST: bloc de 5kg 

<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(5\ks\gs)(\downarrow \rs \ddot{\theta})</math> 

La resolució del sistema d’equacions condueix a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>. 

La primera resolució és més ràpida (només fa servir una equació escalar), però implica el càlcul del moment cinètic. Aquesta segona resolució és més llarga (sistema de tres equacions) però que no requereix calcular cap moment cinètic.

</div>

<div>

====✏️ Exemple D4.7: dinàmica longitudinal d’un vehicle====
------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex7-1-cat.png|thumb|center|200px|link=]]
|El vehicle sense suspensions es mou sobre una carretera rectilínia. La massa de les rodes és negligible comparada amb la de la resta dels elements, i es considera que el seu contacte amb el terra es puntual. Es tracta d’analitzar les forces normals d’enllaç entre terra i rodes.
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el vehicle es redueixen al pes i a l’enllaç amb el terra. Si l’acceleració del xassís respecte del terra és una dada, l’aplicació del TQM condueix a:
|}

{|
|

<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}

\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)
\end{aligned}\right.</math>

on <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> i <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> són les forces normal i tangencial que en total reben les dues rodes del davant i les dues rodes del darrere, respectivament.
El TMC a G condueix a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs} + \Ts_{\ds\rs})] =0</math>
(el moment cinètic <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> és permanentment nul ja que les rodes no tenen massa, i la resta del vehicle té moviment nul respecte de la RTG).
|[[Fitxer:D4-Ex7-2-cat.png|thumb|center|200px|link=]]
|}

Resolent el sistema d’equacions: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math>

Aquest resultat és vàlid per a qualsevol valor de <math>\as_\Ls</math>:
:*Situació estàtica (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la força normal és més gran a les rodes que tenen l’eix més proper a <math>\Gs</math>.

:*Accelerant (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math> ; hi ha un transvasament de força del davant cap al darrere (es carreguen les rodes del darrere i es descarreguen les del davant). Si l’acceleració <math>|\as_\Ts|</math> és prou elevada, la força normal al davant passa a ser negativa, la qual cosa indica que s’ha perdut el contacte i el vehicle bolca en sentit antihorari. Llavors, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el xassís passa a tenir, en principi, acceleració angular, i com a conseqüència el centre de masses <math>\Gs</math> passa a tenir acceleració vertical.

:*Frenant (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hi ha un transvasament de força del darrere cap al davant (es descarreguen les rodes del darrere i es carreguen les del davant). Com en el cas precedent, hi ha un valor crític de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el bolcament, ara en sentit horari.

---------
---------
</div>

==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==

L’aplicació dels teoremes vectorials als [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''']] (SAE) és senzilla ja que els termes de la dreta (variació de quantitat de moviment i variació de moment cinètic) són nuls en ser nul·la la seva massa: 

<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{qualsevol} \hspace{0.2cm} \mathrm{punt}) \approx \overline{0}.</math> 

Per al cas d’un SAE (sòlid S) connectant dos sòlids rígids S1 i S2 ('''Figura D4.5'''), aquestes equacions permeten demostrar que el torsor que actua sobre S1 es pot obtenir a partir d’una equació de caracterització analítica on la cinemàtica del punt <math>\Ps</math> de caracterització (que ha de pertànyer al sòlid S1) s’avalua a la referència solidària a S2: 

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math> 

(Quan es tracta de velocitats, és important especificar a quin sòlid pertany el punt <math>\Ps</math>. Això, en canvi, és irrellevant quan es tracta de moments: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>). 

[[Fitxer:D4-5-cat.png|thumb|center|350px|link=]]
<center>'''Figura D4.5:'''Sòlid Auxiliar d’Enllaç entre dos sòlids de massa no nul·la</center> 

<div>
=====💭 Demostració ➕=====

Els teoremes vectorials aplicats sobre el SAE impliquen que els torsors d’enllaç que rep de S1 i S2 en un mateix punt <math>\Ps</math> han de sumar zero: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)
\end{array}\right.</math> 

Per altra banda, aquests torsors compleixen l’[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''equació de caracterització analítica''']]: 

<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math> 

Si es combinen totes les equacions anteriors, s’obté: 

<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math> 

Una [[C3. Composició de moviments#C3.1 Composició de velocitats|'''composició de moviments''']] permet reescriure l’equació anterior de manera més compacta: 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math> 

<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\
\mathrm{REL}: \mathrm{S}
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math> 

Finalment: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math>

</div>
<div>

====✏️ Exemple D4.8: dinàmica longitudinal d’un vehicle ====
---------
:
{|
|[[Fitxer:D4-Ex8-1-cat.png|thumb|left|220px|link=]]
|En el vehicle de l’exemple D4.7, es considera que la tracció és posterior. Això vol dir que el motor del vehicle actua entre el xassís i les rodes posteriors, en tant que les del davant només estan sotmeses a interaccions d’enllaç (articulació amb el xassís i contacte amb el terra). 

Si es tracten les rodes del davant com a SAE, l’anàlisi cinemàtica del xassís respecte del terra per a la caracterització de l’enllaç a través de les rodes del davant condueix a un torsor en el centre de la roda (que és fix al xassís) amb només una component de força:
|}
[[Fitxer:D4-Ex8-2-cat.png|thumb|center|370px|link=]]
L’existència d’una component horitzontal de força entre les rodes posteriors (necessària per accelerar o frenar el vehicle!) està associada al parell motor. Si s'apliquen els teoremes vectorials a les rodes posteriors, les interaccions externes a tenir en compte són l’enllaç amb el terra, l’articulació amb el xassís i el parell motor <math>\Gamma</math> :
[[Fitxer:D4-Ex8-3-cat.png|thumb|center|370px|link=]]

<math>\ms_\mathrm{rodes} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{TQM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dr}=\Ns'_\mathrm{dr} , \Ts_\mathrm{dr}=\Ts'_\mathrm{dr} \\
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{a} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dr}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs
\end{array}\right. </math> 

La força tangencial sobre les rodes motrius és directament proporcional al parell motor que se’ls aplica. Cal no oblidar, però, que com a força tangencial d’enllaç, el seu valor està limitat per <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math> . Això permet calcular l’acceleració màxima que pot adquirir el vehicle (mentre la roda del davant no perdi contacte amb el terra): 

<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Ts_\mathrm{dr,màx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>. 

En terrenys de baix fregament ( <math>\mu_\es</math> de valor baix), un motor capaç de subministrar un parell màxim alt és inútil: qui posa límit a l’acceleració és el valor del coeficient de fricció <math>\mu_\es</math> : <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math> . En terrenys d’alt fregament, si el parell màxim és baix és ell qui posa límit a l’acceleració: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la roda del davant no perd contacte amb el terra).

</div>

---------
---------

==D4.8 Descomposició baricèntrica del moment cinètic==

La versió del TMC que s’ha presentat permet triar lliurement el punt <math>\Qs</math> d’aplicació. El criteri per triar-lo es basa en el que es vulgui investigar (una força d’enllaç, una equació del moviment...). A la [[D6. Exemples de dinàmica 2D|'''unitat D6''']] es discuteix aquest criteri.
En alguns casos, pot ser interessant triar un punt <math>\Qs</math> que no pertanyi a cap element material del sistema. Llavors, és útil referir el càlcul del moment cinètic <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al moment cinètic al centre de masses <math>\Gs</math> del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Això es coneix amb el nom de '''descomposició baricèntrica''' del moment cinètic:

<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>,

on el superíndex <math>\oplus</math> indica que el moment cinètic s’ha de calcular com si el sistema s’hagués reduït a una partícula concentrada a <math>\Gs</math> amb massa igual a la massa total del sistema (M):

<math>\H{Q}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math>

<div>
=====💭 Demostració ➕=====

:La definició de moment cinètic d'un sòlid rígid <math>\Ss_i</math> és: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocitat <math>\vel{P}{RTQ}</math> es pot escriure com a suma de dos termes si s’aplica una composició de moviments:

:<math>\left.\begin{array}{l}
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math> 

:Per tant: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.

:La definició de [[D4. Teoremes vectorials#D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes|'''centre de masses''']] porta a reescriure el segon terme com a:

:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincideix amb el moment cinètic respecte de <math>\Qs</math> d’una partícula de massa M situada a <math>\Gs</math>: <math>\QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ} = \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.

:En el primer terme de l’expressió de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, es pot descompondre <math>\QPvec</math> en suma de dos termes:

:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math>

:Per definició de centre de masses: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.

:Per tant: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.

</div>

<div>

===== ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica =====
----------

{|

|[[Fitxer:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]
|El sòlid està format per dues barres de massa negligible i quatre partícules (<math>\Ps</math>) amb massa m unides als extrems de les barres. El sòlid està articulat a un suport que es pot moure al llarg d’una guia fixa a terra.
El seu moment cinètic a G és:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math>

La RTG és fixa al suport, i la velocitat de les partícules respecte d’aquesta referència és proporcional a la rotació <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Per tant:

<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math>
|}
:El moment cinètic a <math>\Os</math> (fix al terra) es pot calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mitjançant descomposició baricèntrica:

:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{O}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times 4\ms\vel{G}{T} =</math>
<math>\hspace{1cm} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) =</math>
<math>\hspace{1cm}= (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math>


</div>

© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|<<< D3. Interaccions entre sòlids rígids]]

[[D5. Geometria de masses|D5. Geometria de masses >>>]]
</center>

D7. Exemples de dinàmica 3D

2026-03-18T18:24:25Z

Eantem: /* ✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>
<center>''EN CONSTRUCCIÓ''</center>

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la [[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|'''secció D6.4''']] s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

==D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment==

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures (<math>\dot{\qs}_{i}</math>) dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, roman en repòs <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>
</center>

L’equació que defineix les <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js,</math> amb <math>\varepsilon_\js << 1</math>, i per tant <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

:* si apareixen polinomis de grau superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si es tracta d’una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> i apareixen funcions sinus i cosinus:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solució general és: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, amb <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
:La solució <math>\varepsilon(\ts)</math> de l’equació <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math> la freqüència angular de la qual <math>(\omega)</math> depèn de paràmetres del sistema.

:Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), i per tant, no són intrínseques al sistema.

:* condicions inicials només de posició: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials només de velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials de posició i velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable.
L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada:
<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''INESTABLE'''.

==D7.2 Exemples generals==
====✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria====
------

:[[Fitxer:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Fitxer:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripció cinemàtica:

:Una altra opció per calcular <math>\vel{G}{T}</math> és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general d’interaccions

[[Fitxer:D7-Ex1-3-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs}</math>

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

:Full de ruta per a l’equació del moviment

:Només la placa té un moviment que depèn de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà <math>\ddth</math> quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

[[Fitxer:D7-Ex1-4-cat.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enllaç + <math>\ddth</math> = 6 inc.enllaç <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enllaç + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc.enllaç</center>
 
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

[[Fitxer:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt <math>\Os</math> és immediata tant si sempre la base B com la B’.

:Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

:Una bona proposta és:<math>\boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC a <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si es substitueixen <math>\I{gran + petit}</math> i <math>\I{petit} - \I{gran}</math> pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, i això es compleix només si la velocitat angular <math>\Omega_0</math> està per sobre del valor crític <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

:En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

:L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Per a les petites amplituds al voltant de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, l’equació del moviment és <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si les condicions inicials són <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, l’evolució de <math>\varepsilon</math> ve donada per: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Per a <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''augmenta'''. És una configuració '''INESTABLE''' i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

:* Per a <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminueix'''. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració '''ESTABLE'''. La freqüència angular [rad/s] és <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si les condicions inicials són <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> i <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentari addicional

[[Fitxer:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

:<math>(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si es linealitza al voltant de la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Per a qualsevol valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficient <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]</math> és positiu, i per tant la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math> és sempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Full de ruta per al parell motor

:Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

[[Fitxer:D7-Ex1-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Fitxer:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:
:En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ Exemple D7.2: barres giratòries====
-----

:[[Fitxer:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\sth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant).

:Diagrama general d’interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex2-2-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12</math> eqs.

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex2-3-cat.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:
:Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

<center><math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os}</math></center>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat <math>\Omega_0</math>, és la base que gira amb <math>\Omega_0</math> respecte del terra.

:L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de [[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|'''Steiner''']] per passar a <math>\Os</math>:
:[[Fitxer:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Tenint en compte que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> i escombra una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:[[Fitxer:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:L’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que és la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fos estrictament vertical (paral·lel a <math>\vec\Omega_0</math>), llavors <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']] per al punt <math>\Os</math>, mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui <math>\dth</math>). Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

:[[Fitxer:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada <math>\theta</math>, que es pot trobar amb el <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:L’equació del moviment és:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equilibri <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> són les solucions de l’equació trascendent:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, i està clar que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no és una d’elles.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

</div>


====✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules====
-----
:
:[[Fitxer:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\dth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant.

:Diagrama general d’interaccions

:És un sistema del mateix tipus que el de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']]: té dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:[[Fitxer:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el full de ruta adequat és:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os}</math>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:
:[[Fitxer:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> tot escombrant una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per <math>\Os</math>, i per tant l’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:[[Fitxer:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Com a l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#✏️ EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']].

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

:[[Fitxer:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Fitxer:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:L’equació del moviment és:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equiibri <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> són les solucions de l’equació transcendent:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, i és evident que <math>\theta = 0</math> no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
</div>



====✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex4-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Es tracta d’investigar si la rotació <math>\Omega_0</math> pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
 
 
 
 
 
 
:Descripció cinemàtica
:L’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la bola respecte del terra és la recta <math>\Os\Js</math>, i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

:[[Fitxer:D7-Ex4-2-cat-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general d’interaccions
::[[Fitxer:D7-Ex4-3-cat.png|thumb|left|250px|link=]]
:És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

:(17 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites 
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math>= 18 equacions

:La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']], doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

:[[Fitxer:D7-Ex4-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

:(11 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites 
:2 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math> = 12 equacions

:Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
:La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex4-5-cat.png|thumb|center|510px|link=]]

:La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

:[[Fitxer:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}}</math>

:El moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a <math>\Os</math> (ja que <math>\Os</math> és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

:[[Fitxer:D7-Ex4-7-cat.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

:Alternativa:

:Si el càlcul de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es fa a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> i la derivada es fa de manera analítica:

:[[Fitxer:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex5-1-cat.png|thumb|left|250px|link=]]

:L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular <math>\dot\varphi_0</math> constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular <math>\dot\psi</math>. Inicialment, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix <math>\dot\varphi_0</math> constant mentre hi ha lliscament.

:Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
:Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, <math>\dot\varphi_0</math> i <math>\dot\psi</math> són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids|'''exemple D3.18''']]) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-2-cat.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|'''secció D3.6''']]):

:[[Fitxer:D7-Ex5-3-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, el problema és determinat:

:Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites, 3 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 equacions

:Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites, 2 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 equacions

:<big>'''OPCIÓ 1'''</big>
:En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre P1 i el sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

:[[Fitxer:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

:[[Fitxer:D7-Ex5-5-cat.png|thumb|center|690px|link=]]

<center> 6 inc. d'enllaç + <math>\ddot\psi = </math> 7 inc.<math>\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:</math> 9 inc. d'enllaç + <math>\Gamma + \ddot\psi = </math> 11 inc.<math>\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:</math> 5 inc. d'enllaç + <math>\ddot\psi = </math> 6 inc.</center>

:La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç, caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a <math>\Os</math> perquè <math>\Os</math> és fix a l’anella:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a <math>\Js</math> i del moment <math>\Ms_1</math> associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}</math>

:La segona component condueix a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

:<center><math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2\mu}{\Rs^2+2\Ls^2}(\gs\Ls+\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0)}</math></center>

:A l’instant inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{2\mu gL}{\Rs^2+2\Ls^2}>0</math>, i per tant la velocitat angular <math>\dot\psi</math> creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a <math>\Js</math>.

:Quan <math>\dot\psi</math> arriba al valor <math>(\text{R}/\text{L})\dot\varphi_0</math> (la velocitat de J s'ha calculat al començament), el lliscament a <math>\Js</math> s’atura:

:<math>\vel{J}{T} = [\otimes (R \dot{\varphi_0}- \text{L}\dot{\psi})] = 0 ⇒ \dot{\psi} = \frac{\Rs}{\Ls}\dot{\varphi_0} </math>

:A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a <math>\Js</math> apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

:Full de ruta per al parell motor

:Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la <math>\psi</math> i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

:[[Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\Rs=\mu\ms\Rs^2\left(\frac{\gs}{\Rs} + \frac{\Rs}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓ 2'''</big>

:En aquesta opció, no és possible determinar l'equació del moviment ni el parell motor a partir d'un únic teorema, i per aquest motiu no es desenvolupa.

====✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant <math>\dot\psi_0</math> sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

:Descripció cinemàtica
:[[Fitxer:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:És un sistema de 3 GL: el moviment pendular <math>\dot\theta</math>, el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem <math>\dot\xs</math>) i la rotació vertical forçada <math>\dot\psi_0</math>.

:El moviment del centre de l’anella <math>\Gs</math> respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guia} \\
\text{AB: suport}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guia}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general d'interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex6-3-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema és determinat:

:(15 inc. d'enllaç, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incògnites
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}}</math> = 18 equacions
 
 
 
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math>

:Només el moviment de l’anella depèn de <math>\ddth</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

:[[Fitxer:D7-Ex6-4-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

:[[Fitxer:D7-Ex6-5-cat.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular <math>\dth</math> (i, per tant, el canvi del seu valor <math>\ddth</math>). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ja que el punt O es mou respecte del terra: :<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Per altra banda, <math>\Os</math> és un punt fix a l’anella: :<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalment: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Aquesta equació del moviment inclou també la variable <math>\ddot\xs</math>. Això vol dir que els graus de llibertat <math>\dth</math> i <math>\dot\xs</math> estan '''acoblats''': encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

:El moviment de l’anella i el del suport depenen de <math>\ddot\xs</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ja no és una incògnita.

:[[Fitxer:D7-Ex6-6-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex6-7-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
:Per tant: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Càlcul de l’acceleració de G: 

:'''Opció 1''': per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opció 2''': per cinemàtica del sòlid rígid.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anella} \\
\Os\in\text{anella}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulació de la força de la molla

:[[Fitxer:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translació vertical del suport <math>(\dot\xs)</math> està associat a la variació d’una coordenada <math>\xs</math> l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

:Si es pren <math>\xs=0</math> per a l’equilibri en absència de rotació <math>\dot\psi_0</math>, és clar que la molla haurà d’exercir una força <math>\Fs_0</math> d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ja que el moviment <math>\dot\xs</math> s’ha definit positiu cap a baix, un augment de <math>\xs</math> implica un augment de llargària de la molla. Per tant: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

:Les condicions inicials <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

:Una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En canvi, una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movement vertical <math>\dot\xs</math>, doncs l’equació que governa la <math>\dot\xs</math> per a l’instant inicial és:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
:Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb <math>\dot\psi_0 = 0</math>) s’obtenen de les equacions del moviment imposant <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, les equacions es poden (secció D7.1)[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|'''linealitzar''']]. Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, es tracta d’una configuració '''ESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, es tracta d’una configuració '''INESTABLE'''.

:Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, per a <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, <math>\xs_\text{eq}=0</math> és estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), però la de la <math>\theta</math> té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de <math>\dot\psi_0^2</math> ja que la funció <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> està acotada entre -1 i +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealització de l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> condueix a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuració és '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuració és '''INESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuració és '''INESTABLE''' per a qualsevol valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:L’estudi de les configuracions <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.



© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D6. Exemples de dinàmica 2D|<<< D6. Exemples de dinàmica 2D]]

[[D8. Conservacions|D8. Conservacions >>>]]

</center>

D7. Exemples de dinàmica 3D

2026-03-18T18:07:17Z

Eantem: /* ✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>
<center>''EN CONSTRUCCIÓ''</center>

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la [[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|'''secció D6.4''']] s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

==D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment==

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures (<math>\dot{\qs}_{i}</math>) dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, roman en repòs <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>
</center>

L’equació que defineix les <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js,</math> amb <math>\varepsilon_\js << 1</math>, i per tant <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

:* si apareixen polinomis de grau superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si es tracta d’una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> i apareixen funcions sinus i cosinus:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solució general és: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, amb <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
:La solució <math>\varepsilon(\ts)</math> de l’equació <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math> la freqüència angular de la qual <math>(\omega)</math> depèn de paràmetres del sistema.

:Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), i per tant, no són intrínseques al sistema.

:* condicions inicials només de posició: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials només de velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials de posició i velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable.
L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada:
<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''INESTABLE'''.

==D7.2 Exemples generals==
====✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria====
------

:[[Fitxer:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Fitxer:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripció cinemàtica:

:Una altra opció per calcular <math>\vel{G}{T}</math> és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general d’interaccions

[[Fitxer:D7-Ex1-3-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs}</math>

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

:Full de ruta per a l’equació del moviment

:Només la placa té un moviment que depèn de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà <math>\ddth</math> quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

[[Fitxer:D7-Ex1-4-cat.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enllaç + <math>\ddth</math> = 6 inc.enllaç <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enllaç + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc.enllaç</center>
 
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

[[Fitxer:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt <math>\Os</math> és immediata tant si sempre la base B com la B’.

:Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

:Una bona proposta és:<math>\boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC a <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si es substitueixen <math>\I{gran + petit}</math> i <math>\I{petit} - \I{gran}</math> pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, i això es compleix només si la velocitat angular <math>\Omega_0</math> està per sobre del valor crític <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

:En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

:L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Per a les petites amplituds al voltant de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, l’equació del moviment és <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si les condicions inicials són <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, l’evolució de <math>\varepsilon</math> ve donada per: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Per a <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''augmenta'''. És una configuració '''INESTABLE''' i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

:* Per a <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminueix'''. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració '''ESTABLE'''. La freqüència angular [rad/s] és <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si les condicions inicials són <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> i <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentari addicional

[[Fitxer:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

:<math>(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si es linealitza al voltant de la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Per a qualsevol valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficient <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]</math> és positiu, i per tant la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math> és sempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Full de ruta per al parell motor

:Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

[[Fitxer:D7-Ex1-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Fitxer:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:
:En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ Exemple D7.2: barres giratòries====
-----

:[[Fitxer:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\sth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant).

:Diagrama general d’interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex2-2-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12</math> eqs.

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex2-3-cat.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:
:Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

<center><math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os}</math></center>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat <math>\Omega_0</math>, és la base que gira amb <math>\Omega_0</math> respecte del terra.

:L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de [[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|'''Steiner''']] per passar a <math>\Os</math>:
:[[Fitxer:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Tenint en compte que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> i escombra una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:[[Fitxer:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:L’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que és la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fos estrictament vertical (paral·lel a <math>\vec\Omega_0</math>), llavors <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']] per al punt <math>\Os</math>, mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui <math>\dth</math>). Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

:[[Fitxer:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada <math>\theta</math>, que es pot trobar amb el <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:L’equació del moviment és:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equilibri <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> són les solucions de l’equació trascendent:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, i està clar que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no és una d’elles.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

</div>


====✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules====
-----
:
:[[Fitxer:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\dth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant.

:Diagrama general d’interaccions

:És un sistema del mateix tipus que el de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']]: té dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:[[Fitxer:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el full de ruta adequat és:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os}</math>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:
:[[Fitxer:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> tot escombrant una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per <math>\Os</math>, i per tant l’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:[[Fitxer:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Com a l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#✏️ EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']].

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

:[[Fitxer:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Fitxer:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:L’equació del moviment és:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equiibri <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> són les solucions de l’equació transcendent:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, i és evident que <math>\theta = 0</math> no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
</div>



====✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex4-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Es tracta d’investigar si la rotació <math>\Omega_0</math> pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
 
 
 
 
 
 
:Descripció cinemàtica
:L’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la bola respecte del terra és la recta <math>\Os\Js</math>, i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

:[[Fitxer:D7-Ex4-2-cat-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general d’interaccions
::[[Fitxer:D7-Ex4-3-cat.png|thumb|left|250px|link=]]
:És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

:(17 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites 
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math>= 18 equacions

:La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']], doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

:[[Fitxer:D7-Ex4-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

:(11 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites 
:2 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math> = 12 equacions

:Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
:La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex4-5-cat.png|thumb|center|510px|link=]]

:La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

:[[Fitxer:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}}</math>

:El moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a <math>\Os</math> (ja que <math>\Os</math> és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

:[[Fitxer:D7-Ex4-7-cat.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

:Alternativa:

:Si el càlcul de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es fa a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> i la derivada es fa de manera analítica:

:[[Fitxer:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex5-1-cat.png|thumb|left|250px|link=]]

:L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular <math>\dot\varphi_0</math> constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular <math>\dot\psi</math>. Inicialment, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix <math>\dot\varphi_0</math> constant mentre hi ha lliscament.

:Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
:Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, <math>\dot\varphi_0</math> i <math>\dot\psi</math> són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids|'''exemple D3.18''']]) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-2-cat.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|'''secció D3.6''']]):

:[[Fitxer:D7-Ex5-3-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, el problema és determinat:

:Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites, 3 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 equacions

:Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites, 2 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 equacions

:<big>'''OPCIÓ 1'''</big>
:En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre P1 i el sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

:[[Fitxer:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

:[[Fitxer:D7-Ex5-5-cat.png|thumb|center|690px|link=]]

<center> 6 inc. d'enllaç + <math>\ddot\psi = </math> 7 inc.<math>\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:</math> 9 inc. d'enllaç + <math>\Gamma + \ddot\psi = </math> 11 inc.<math>\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:</math> 5 inc. d'enllaç + <math>\ddot\psi = </math> 6 inc.</center>

:La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç, caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a <math>\Os</math> perquè <math>\Os</math> és fix a l’anella:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a <math>\Js</math> i del moment <math>\Ms_1</math> associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segona component condueix a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

:<center><math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2\mu}{\Rs^2+2\Ls^2}(\gs\Ls+\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0)}</math></center>

:A l’instant inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{2\mu gL}{\Rs^2+2\Ls^2}>0</math>, i per tant la velocitat angular <math>\dot\psi</math> creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a <math>\Js</math>.

:Quan <math>\dot\psi</math> arriba al valor <math>(\text{R}/\text{L})\dot\varphi_0</math> (la velocitat de J s'ha calculat al començament), el lliscament a <math>\Js</math> s’atura:

:<math>\vel{J}{T} = [\otimes (R \dot{\varphi_0}- \text{L}\dot{\psi})] = 0 ⇒ \dot{\psi} = \frac{\Rs}{\Ls}\dot{\varphi_0} </math>

:A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a <math>\Js</math> apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

:Full de ruta per al parell motor

:Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la <math>\psi</math> i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

:[[Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\Rs=\mu\ms\Rs^2\left(\frac{\gs}{\Rs} + \frac{\Rs}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓ 2'''</big>

:En aquesta opció, no és possible determinar l'equació del moviment ni el parell motor a partir d'un únic teorema, i per aquest motiu no es desenvolupa.

====✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant <math>\dot\psi_0</math> sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

:Descripció cinemàtica
:[[Fitxer:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:És un sistema de 3 GL: el moviment pendular <math>\dot\theta</math>, el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem <math>\dot\xs</math>) i la rotació vertical forçada <math>\dot\psi_0</math>.

:El moviment del centre de l’anella <math>\Gs</math> respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guia} \\
\text{AB: suport}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guia}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general d'interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex6-3-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema és determinat:

:(15 inc. d'enllaç, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incògnites
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}}</math> = 18 equacions
 
 
 
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math>

:Només el moviment de l’anella depèn de <math>\ddth</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

:[[Fitxer:D7-Ex6-4-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

:[[Fitxer:D7-Ex6-5-cat.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular <math>\dth</math> (i, per tant, el canvi del seu valor <math>\ddth</math>). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ja que el punt O es mou respecte del terra: :<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Per altra banda, <math>\Os</math> és un punt fix a l’anella: :<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalment: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Aquesta equació del moviment inclou també la variable <math>\ddot\xs</math>. Això vol dir que els graus de llibertat <math>\dth</math> i <math>\dot\xs</math> estan '''acoblats''': encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

:El moviment de l’anella i el del suport depenen de <math>\ddot\xs</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ja no és una incògnita.

:[[Fitxer:D7-Ex6-6-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex6-7-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
:Per tant: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Càlcul de l’acceleració de G: 

:'''Opció 1''': per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opció 2''': per cinemàtica del sòlid rígid.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anella} \\
\Os\in\text{anella}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulació de la força de la molla

:[[Fitxer:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translació vertical del suport <math>(\dot\xs)</math> està associat a la variació d’una coordenada <math>\xs</math> l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

:Si es pren <math>\xs=0</math> per a l’equilibri en absència de rotació <math>\dot\psi_0</math>, és clar que la molla haurà d’exercir una força <math>\Fs_0</math> d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ja que el moviment <math>\dot\xs</math> s’ha definit positiu cap a baix, un augment de <math>\xs</math> implica un augment de llargària de la molla. Per tant: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

:Les condicions inicials <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

:Una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En canvi, una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movement vertical <math>\dot\xs</math>, doncs l’equació que governa la <math>\dot\xs</math> per a l’instant inicial és:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
:Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb <math>\dot\psi_0 = 0</math>) s’obtenen de les equacions del moviment imposant <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, les equacions es poden (secció D7.1)[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|'''linealitzar''']]. Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, es tracta d’una configuració '''ESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, es tracta d’una configuració '''INESTABLE'''.

:Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, per a <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, <math>\xs_\text{eq}=0</math> és estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), però la de la <math>\theta</math> té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de <math>\dot\psi_0^2</math> ja que la funció <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> està acotada entre -1 i +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealització de l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> condueix a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuració és '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuració és '''INESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuració és '''INESTABLE''' per a qualsevol valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:L’estudi de les configuracions <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.



© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D6. Exemples de dinàmica 2D|<<< D6. Exemples de dinàmica 2D]]

[[D8. Conservacions|D8. Conservacions >>>]]

</center>

D7. Exemples de dinàmica 3D

2026-03-18T17:52:39Z

Eantem: /* ✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>
<center>''EN CONSTRUCCIÓ''</center>

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la [[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|'''secció D6.4''']] s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

==D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment==

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures (<math>\dot{\qs}_{i}</math>) dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, roman en repòs <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>
</center>

L’equació que defineix les <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js,</math> amb <math>\varepsilon_\js << 1</math>, i per tant <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

:* si apareixen polinomis de grau superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si es tracta d’una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> i apareixen funcions sinus i cosinus:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solució general és: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, amb <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
:La solució <math>\varepsilon(\ts)</math> de l’equació <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math> la freqüència angular de la qual <math>(\omega)</math> depèn de paràmetres del sistema.

:Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), i per tant, no són intrínseques al sistema.

:* condicions inicials només de posició: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials només de velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials de posició i velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable.
L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada:
<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''INESTABLE'''.

==D7.2 Exemples generals==
====✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria====
------

:[[Fitxer:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Fitxer:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripció cinemàtica:

:Una altra opció per calcular <math>\vel{G}{T}</math> és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general d’interaccions

[[Fitxer:D7-Ex1-3-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs}</math>

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

:Full de ruta per a l’equació del moviment

:Només la placa té un moviment que depèn de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà <math>\ddth</math> quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

[[Fitxer:D7-Ex1-4-cat.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enllaç + <math>\ddth</math> = 6 inc.enllaç <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enllaç + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc.enllaç</center>
 
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

[[Fitxer:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt <math>\Os</math> és immediata tant si sempre la base B com la B’.

:Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

:Una bona proposta és:<math>\boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC a <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si es substitueixen <math>\I{gran + petit}</math> i <math>\I{petit} - \I{gran}</math> pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, i això es compleix només si la velocitat angular <math>\Omega_0</math> està per sobre del valor crític <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

:En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

:L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Per a les petites amplituds al voltant de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, l’equació del moviment és <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si les condicions inicials són <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, l’evolució de <math>\varepsilon</math> ve donada per: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Per a <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''augmenta'''. És una configuració '''INESTABLE''' i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

:* Per a <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminueix'''. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració '''ESTABLE'''. La freqüència angular [rad/s] és <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si les condicions inicials són <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> i <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentari addicional

[[Fitxer:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

:<math>(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si es linealitza al voltant de la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Per a qualsevol valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficient <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]</math> és positiu, i per tant la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math> és sempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Full de ruta per al parell motor

:Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

[[Fitxer:D7-Ex1-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Fitxer:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:
:En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ Exemple D7.2: barres giratòries====
-----

:[[Fitxer:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\sth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant).

:Diagrama general d’interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex2-2-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12</math> eqs.

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex2-3-cat.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:
:Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

<center><math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os}</math></center>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat <math>\Omega_0</math>, és la base que gira amb <math>\Omega_0</math> respecte del terra.

:L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de [[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|'''Steiner''']] per passar a <math>\Os</math>:
:[[Fitxer:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Tenint en compte que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> i escombra una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:[[Fitxer:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:L’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que és la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fos estrictament vertical (paral·lel a <math>\vec\Omega_0</math>), llavors <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']] per al punt <math>\Os</math>, mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui <math>\dth</math>). Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

:[[Fitxer:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada <math>\theta</math>, que es pot trobar amb el <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:L’equació del moviment és:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equilibri <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> són les solucions de l’equació trascendent:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, i està clar que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no és una d’elles.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

</div>


====✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules====
-----
:
:[[Fitxer:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\dth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant.

:Diagrama general d’interaccions

:És un sistema del mateix tipus que el de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']]: té dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:[[Fitxer:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el full de ruta adequat és:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os}</math>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:
:[[Fitxer:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> tot escombrant una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per <math>\Os</math>, i per tant l’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:[[Fitxer:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Com a l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#✏️ EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']].

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

:[[Fitxer:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Fitxer:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:L’equació del moviment és:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equiibri <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> són les solucions de l’equació transcendent:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, i és evident que <math>\theta = 0</math> no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
</div>



====✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex4-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Es tracta d’investigar si la rotació <math>\Omega_0</math> pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
 
 
 
 
 
 
:Descripció cinemàtica
:L’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la bola respecte del terra és la recta <math>\Os\Js</math>, i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

:[[Fitxer:D7-Ex4-2-cat-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general d’interaccions
::[[Fitxer:D7-Ex4-3-cat.png|thumb|left|250px|link=]]
:És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

:(17 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites 
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math>= 18 equacions

:La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']], doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

:[[Fitxer:D7-Ex4-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

:(11 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites 
:2 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math> = 12 equacions

:Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
:La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex4-5-cat.png|thumb|center|510px|link=]]

:La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

:[[Fitxer:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}}</math>

:El moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a <math>\Os</math> (ja que <math>\Os</math> és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

:[[Fitxer:D7-Ex4-7-cat.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

:Alternativa:

:Si el càlcul de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es fa a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> i la derivada es fa de manera analítica:

:[[Fitxer:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex5-1-cat.png|thumb|left|250px|link=]]

:L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular <math>\dot\varphi_0</math> constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular <math>\dot\psi</math>. Inicialment, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix <math>\dot\varphi_0</math> constant mentre hi ha lliscament.

:Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
:Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, <math>\dot\varphi_0</math> i <math>\dot\psi</math> són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids|'''exemple D3.18''']]) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-2-cat.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|'''secció D3.6''']]):

:[[Fitxer:D7-Ex5-3-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, el problema és determinat:

:Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites, 3 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 equacions

:Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites, 2 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 equacions

:<big>'''OPCIÓ 1'''</big>
:En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre P1 i el sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

:[[Fitxer:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

:[[Fitxer:D7-Ex5-5-cat.png|thumb|center|690px|link=]]

<center> 6 inc. d'enllaç + <math>\ddot\psi = </math> 7 inc.<math>\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:</math> 9 inc. d'enllaç + <math>\Gamma + \ddot\psi = </math> 11 inc.<math>\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:</math> 5 inc. d'enllaç + <math>\ddot\psi = </math> 6 inc.</center>

:La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç, caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a <math>\Os</math> perquè <math>\Os</math> és fix a l’anella:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a <math>\Js</math> i del moment <math>\Ms_1</math> associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segona component condueix a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

:<center><math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2\mu}{\Rs^2+2\Ls^2}(\gs\Ls+\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0)}</math></center>

:A l’instant inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{2\mu gL}{\Rs^2+2\Ls^2}>0</math>, i per tant la velocitat angular <math>\dot\psi</math> creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a <math>\Js</math>.

:Quan <math>\dot\psi</math> arriba al valor <math>(\text{R}/\text{L})\dot\varphi_0</math> (la velocitat de J s'ha calculat al començament), el lliscament a <math>\Js</math> s’atura:

:<math>\vel{J}{T} = [\otimes (R \dot{\varphi_0}- \text{L}\dot{\psi})] = 0 ⇒ \dot{\psi} = \frac{\Rs}{\Ls}\dot{\varphi_0} </math>

:A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a <math>\Js</math> apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

:Full de ruta per al parell motor

:Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la <math>\psi</math> i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

:[[Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\Rs=\mu\ms\Rs^2\left(\frac{\gs}{\Rs} + \frac{\Rs}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓ 2'''</big>
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:En aquesta opció, no és possible determinar l'equació del moviment ni el parell motor a partir d'un únic teorema, i per aquest motiu no es desenvolupa.

====✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant <math>\dot\psi_0</math> sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

:Descripció cinemàtica
:[[Fitxer:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:És un sistema de 3 GL: el moviment pendular <math>\dot\theta</math>, el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem <math>\dot\xs</math>) i la rotació vertical forçada <math>\dot\psi_0</math>.

:El moviment del centre de l’anella <math>\Gs</math> respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guia} \\
\text{AB: suport}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guia}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general d'interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex6-3-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema és determinat:

:(15 inc. d'enllaç, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incògnites
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}}</math> = 18 equacions
 
 
 
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math>

:Només el moviment de l’anella depèn de <math>\ddth</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

:[[Fitxer:D7-Ex6-4-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

:[[Fitxer:D7-Ex6-5-cat.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular <math>\dth</math> (i, per tant, el canvi del seu valor <math>\ddth</math>). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ja que el punt O es mou respecte del terra: :<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Per altra banda, <math>\Os</math> és un punt fix a l’anella: :<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalment: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Aquesta equació del moviment inclou també la variable <math>\ddot\xs</math>. Això vol dir que els graus de llibertat <math>\dth</math> i <math>\dot\xs</math> estan '''acoblats''': encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

:El moviment de l’anella i el del suport depenen de <math>\ddot\xs</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ja no és una incògnita.

:[[Fitxer:D7-Ex6-6-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex6-7-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
:Per tant: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Càlcul de l’acceleració de G: 

:'''Opció 1''': per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opció 2''': per cinemàtica del sòlid rígid.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anella} \\
\Os\in\text{anella}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulació de la força de la molla

:[[Fitxer:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translació vertical del suport <math>(\dot\xs)</math> està associat a la variació d’una coordenada <math>\xs</math> l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

:Si es pren <math>\xs=0</math> per a l’equilibri en absència de rotació <math>\dot\psi_0</math>, és clar que la molla haurà d’exercir una força <math>\Fs_0</math> d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ja que el moviment <math>\dot\xs</math> s’ha definit positiu cap a baix, un augment de <math>\xs</math> implica un augment de llargària de la molla. Per tant: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

:Les condicions inicials <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

:Una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En canvi, una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movement vertical <math>\dot\xs</math>, doncs l’equació que governa la <math>\dot\xs</math> per a l’instant inicial és:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
:Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb <math>\dot\psi_0 = 0</math>) s’obtenen de les equacions del moviment imposant <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, les equacions es poden (secció D7.1)[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|'''linealitzar''']]. Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, es tracta d’una configuració '''ESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, es tracta d’una configuració '''INESTABLE'''.

:Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, per a <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, <math>\xs_\text{eq}=0</math> és estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), però la de la <math>\theta</math> té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de <math>\dot\psi_0^2</math> ja que la funció <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> està acotada entre -1 i +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealització de l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> condueix a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuració és '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuració és '''INESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuració és '''INESTABLE''' per a qualsevol valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:L’estudi de les configuracions <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.



© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D6. Exemples de dinàmica 2D|<<< D6. Exemples de dinàmica 2D]]

[[D8. Conservacions|D8. Conservacions >>>]]

</center>

D7. Exemples de dinàmica 3D

2026-03-18T17:36:08Z

Eantem: /* ✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>
<center>''EN CONSTRUCCIÓ''</center>

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la [[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|'''secció D6.4''']] s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

==D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment==

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures (<math>\dot{\qs}_{i}</math>) dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, roman en repòs <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>
</center>

L’equació que defineix les <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js,</math> amb <math>\varepsilon_\js << 1</math>, i per tant <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

:* si apareixen polinomis de grau superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si es tracta d’una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> i apareixen funcions sinus i cosinus:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solució general és: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, amb <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
:La solució <math>\varepsilon(\ts)</math> de l’equació <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math> la freqüència angular de la qual <math>(\omega)</math> depèn de paràmetres del sistema.

:Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), i per tant, no són intrínseques al sistema.

:* condicions inicials només de posició: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials només de velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials de posició i velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable.
L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada:
<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''INESTABLE'''.

==D7.2 Exemples generals==
====✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria====
------

:[[Fitxer:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Fitxer:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripció cinemàtica:

:Una altra opció per calcular <math>\vel{G}{T}</math> és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general d’interaccions

[[Fitxer:D7-Ex1-3-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs}</math>

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

:Full de ruta per a l’equació del moviment

:Només la placa té un moviment que depèn de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà <math>\ddth</math> quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

[[Fitxer:D7-Ex1-4-cat.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enllaç + <math>\ddth</math> = 6 inc.enllaç <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enllaç + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc.enllaç</center>
 
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

[[Fitxer:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt <math>\Os</math> és immediata tant si sempre la base B com la B’.

:Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

:Una bona proposta és:<math>\boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC a <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si es substitueixen <math>\I{gran + petit}</math> i <math>\I{petit} - \I{gran}</math> pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, i això es compleix només si la velocitat angular <math>\Omega_0</math> està per sobre del valor crític <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

:En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

:L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Per a les petites amplituds al voltant de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, l’equació del moviment és <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si les condicions inicials són <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, l’evolució de <math>\varepsilon</math> ve donada per: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Per a <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''augmenta'''. És una configuració '''INESTABLE''' i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

:* Per a <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminueix'''. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració '''ESTABLE'''. La freqüència angular [rad/s] és <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si les condicions inicials són <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> i <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentari addicional

[[Fitxer:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

:<math>(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si es linealitza al voltant de la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Per a qualsevol valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficient <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]</math> és positiu, i per tant la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math> és sempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Full de ruta per al parell motor

:Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

[[Fitxer:D7-Ex1-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Fitxer:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:
:En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ Exemple D7.2: barres giratòries====
-----

:[[Fitxer:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\sth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant).

:Diagrama general d’interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex2-2-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12</math> eqs.

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex2-3-cat.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:
:Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

<center><math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os}</math></center>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat <math>\Omega_0</math>, és la base que gira amb <math>\Omega_0</math> respecte del terra.

:L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de [[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|'''Steiner''']] per passar a <math>\Os</math>:
:[[Fitxer:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Tenint en compte que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> i escombra una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:[[Fitxer:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:L’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que és la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fos estrictament vertical (paral·lel a <math>\vec\Omega_0</math>), llavors <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']] per al punt <math>\Os</math>, mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui <math>\dth</math>). Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

:[[Fitxer:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada <math>\theta</math>, que es pot trobar amb el <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:L’equació del moviment és:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equilibri <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> són les solucions de l’equació trascendent:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, i està clar que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no és una d’elles.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

</div>


====✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules====
-----
:
:[[Fitxer:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\dth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant.

:Diagrama general d’interaccions

:És un sistema del mateix tipus que el de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']]: té dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:[[Fitxer:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el full de ruta adequat és:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os}</math>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:
:[[Fitxer:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> tot escombrant una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per <math>\Os</math>, i per tant l’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:[[Fitxer:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Com a l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#✏️ EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']].

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

:[[Fitxer:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Fitxer:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:L’equació del moviment és:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equiibri <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> són les solucions de l’equació transcendent:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, i és evident que <math>\theta = 0</math> no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
</div>



====✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex4-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Es tracta d’investigar si la rotació <math>\Omega_0</math> pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
 
 
 
 
 
 
:Descripció cinemàtica
:L’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la bola respecte del terra és la recta <math>\Os\Js</math>, i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

:[[Fitxer:D7-Ex4-2-cat-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general d’interaccions
::[[Fitxer:D7-Ex4-3-cat.png|thumb|left|250px|link=]]
:És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

:(17 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites 
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math>= 18 equacions

:La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']], doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

:[[Fitxer:D7-Ex4-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

:(11 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites 
:2 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math> = 12 equacions

:Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
:La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex4-5-cat.png|thumb|center|510px|link=]]

:La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

:[[Fitxer:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}}</math>

:El moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a <math>\Os</math> (ja que <math>\Os</math> és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

:[[Fitxer:D7-Ex4-7-cat.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

:Alternativa:

:Si el càlcul de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es fa a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> i la derivada es fa de manera analítica:

:[[Fitxer:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex5-1-cat.png|thumb|left|250px|link=]]

:L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular <math>\dot\varphi_0</math> constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular <math>\dot\psi</math>. Inicialment, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix <math>\dot\varphi_0</math> constant mentre hi ha lliscament.

:Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
:Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, <math>\dot\varphi_0</math> i <math>\dot\psi</math> són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids|'''exemple D3.18''']]) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-2-cat.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|'''secció D3.6''']]):

:[[Fitxer:D7-Ex5-3-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, el problema és determinat:

:Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites, 3 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 equacions

:Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites, 2 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 equacions

:<big>'''OPCIÓ 1'''</big>
:En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre P1 i el sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

:[[Fitxer:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

:[[Fitxer:D7-Ex5-5-cat.png|thumb|center|690px|link=]]

<center> 6 inc. d'enllaç + <math>\ddot\psi = </math> 7 inc.<math>\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:</math> 9 inc. d'enllaç + <math>\Gamma + \ddot\psi = </math> 11 inc.<math>\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:</math> 5 inc. d'enllaç + <math>\ddot\psi = </math> 6 inc.</center>

:La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç, caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a <math>\Os</math> perquè <math>\Os</math> és fix a l’anella:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a <math>\Js</math> i del moment <math>\Ms_1</math> associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segona component condueix a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

:<center><math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2\mu}{\Rs^2+2\Ls^2}(\gs\Ls+\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0)}</math></center>

:A l’instant inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{2\mu gL}{\Rs^2+2\Ls^2}>0</math>, i per tant la velocitat angular <math>\dot\psi</math> creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a <math>\Js</math>.

:Quan <math>\dot\psi</math> arriba al valor <math>(\text{R}/\text{L})\dot\varphi_0</math> (la velocitat de J s'ha calculat al començament), el lliscament a <math>\Js</math> s’atura:

:<math>\vel{J}{T} = [\otimes (R \dot{\varphi_0}- \text{L}\dot{\psi})] = 0 ⇒ \dot{\psi} = \frac{\Rs}{\Ls}\dot{\varphi_0} </math>

:A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a <math>\Js</math> apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

:Full de ruta per al parell motor

:Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la <math>\psi</math> i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

:[[Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\Rs=\mu\ms\Rs^2\left(\frac{\gs}{\Rs} + \frac{\Rs}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓ 2'''</big>
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:En aquesta opció, no és possible determinar l'equació del moviment ni el parell motor a partir d'un únic teorema, i per aquest motiu no es desenvolupa.

====✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant <math>\dot\psi_0</math> sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

:Descripció cinemàtica
:[[Fitxer:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:És un sistema de 3 GL: el moviment pendular <math>\dot\theta</math>, el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem <math>\dot\xs</math>) i la rotació vertical forçada <math>\dot\psi_0</math>.

:El moviment del centre de l’anella <math>\Gs</math> respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guia} \\
\text{AB: suport}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guia}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general d'interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex6-3-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema és determinat:

:(15 inc. d'enllaç, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incògnites
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}}</math> = 18 equacions
 
 
 
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math>

:Només el moviment de l’anella depèn de <math>\ddth</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

:[[Fitxer:D7-Ex6-4-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

:[[Fitxer:D7-Ex6-5-cat.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular <math>\dth</math> (i, per tant, el canvi del seu valor <math>\ddth</math>). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ja que el punt O es mou respecte del terra: :<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Per altra banda, <math>\Os</math> és un punt fix a l’anella: :<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalment: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Aquesta equació del moviment inclou també la variable <math>\ddot\xs</math>. Això vol dir que els graus de llibertat <math>\dth</math> i <math>\dot\xs</math> estan '''acoblats''': encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

:El moviment de l’anella i el del suport depenen de <math>\ddot\xs</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ja no és una incògnita.

:[[Fitxer:D7-Ex6-6-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex6-7-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
:Per tant: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Càlcul de l’acceleració de G: 

:'''Opció 1''': per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opció 2''': per cinemàtica del sòlid rígid.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anella} \\
\Os\in\text{anella}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulació de la força de la molla

:[[Fitxer:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translació vertical del suport <math>(\dot\xs)</math> està associat a la variació d’una coordenada <math>\xs</math> l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

:Si es pren <math>\xs=0</math> per a l’equilibri en absència de rotació <math>\dot\psi_0</math>, és clar que la molla haurà d’exercir una força <math>\Fs_0</math> d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ja que el moviment <math>\dot\xs</math> s’ha definit positiu cap a baix, un augment de <math>\xs</math> implica un augment de llargària de la molla. Per tant: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

:Les condicions inicials <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

:Una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En canvi, una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movement vertical <math>\dot\xs</math>, doncs l’equació que governa la <math>\dot\xs</math> per a l’instant inicial és:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
:Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb <math>\dot\psi_0 = 0</math>) s’obtenen de les equacions del moviment imposant <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, les equacions es poden (secció D7.1)[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|'''linealitzar''']]. Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, es tracta d’una configuració '''ESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, es tracta d’una configuració '''INESTABLE'''.

:Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, per a <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, <math>\xs_\text{eq}=0</math> és estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), però la de la <math>\theta</math> té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de <math>\dot\psi_0^2</math> ja que la funció <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> està acotada entre -1 i +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealització de l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> condueix a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuració és '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuració és '''INESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuració és '''INESTABLE''' per a qualsevol valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:L’estudi de les configuracions <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.



© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D6. Exemples de dinàmica 2D|<<< D6. Exemples de dinàmica 2D]]

[[D8. Conservacions|D8. Conservacions >>>]]

</center>

D7. Exemples de dinàmica 3D

2026-03-18T17:35:48Z

Eantem: /* ✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>
<center>''EN CONSTRUCCIÓ''</center>

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la [[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|'''secció D6.4''']] s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

==D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment==

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures (<math>\dot{\qs}_{i}</math>) dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, roman en repòs <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>
</center>

L’equació que defineix les <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js,</math> amb <math>\varepsilon_\js << 1</math>, i per tant <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

:* si apareixen polinomis de grau superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si es tracta d’una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> i apareixen funcions sinus i cosinus:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solució general és: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, amb <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
:La solució <math>\varepsilon(\ts)</math> de l’equació <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math> la freqüència angular de la qual <math>(\omega)</math> depèn de paràmetres del sistema.

:Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), i per tant, no són intrínseques al sistema.

:* condicions inicials només de posició: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials només de velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials de posició i velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable.
L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada:
<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''INESTABLE'''.

==D7.2 Exemples generals==
====✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria====
------

:[[Fitxer:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Fitxer:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripció cinemàtica:

:Una altra opció per calcular <math>\vel{G}{T}</math> és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general d’interaccions

[[Fitxer:D7-Ex1-3-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs}</math>

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

:Full de ruta per a l’equació del moviment

:Només la placa té un moviment que depèn de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà <math>\ddth</math> quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

[[Fitxer:D7-Ex1-4-cat.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enllaç + <math>\ddth</math> = 6 inc.enllaç <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enllaç + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc.enllaç</center>
 
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

[[Fitxer:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt <math>\Os</math> és immediata tant si sempre la base B com la B’.

:Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

:Una bona proposta és:<math>\boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC a <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si es substitueixen <math>\I{gran + petit}</math> i <math>\I{petit} - \I{gran}</math> pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, i això es compleix només si la velocitat angular <math>\Omega_0</math> està per sobre del valor crític <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

:En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

:L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Per a les petites amplituds al voltant de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, l’equació del moviment és <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si les condicions inicials són <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, l’evolució de <math>\varepsilon</math> ve donada per: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Per a <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''augmenta'''. És una configuració '''INESTABLE''' i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

:* Per a <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminueix'''. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració '''ESTABLE'''. La freqüència angular [rad/s] és <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si les condicions inicials són <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> i <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentari addicional

[[Fitxer:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

:<math>(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si es linealitza al voltant de la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Per a qualsevol valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficient <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]</math> és positiu, i per tant la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math> és sempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Full de ruta per al parell motor

:Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

[[Fitxer:D7-Ex1-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Fitxer:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:
:En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ Exemple D7.2: barres giratòries====
-----

:[[Fitxer:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\sth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant).

:Diagrama general d’interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex2-2-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12</math> eqs.

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex2-3-cat.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:
:Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

<center><math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os}</math></center>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat <math>\Omega_0</math>, és la base que gira amb <math>\Omega_0</math> respecte del terra.

:L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de [[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|'''Steiner''']] per passar a <math>\Os</math>:
:[[Fitxer:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Tenint en compte que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> i escombra una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:[[Fitxer:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:L’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que és la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fos estrictament vertical (paral·lel a <math>\vec\Omega_0</math>), llavors <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']] per al punt <math>\Os</math>, mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui <math>\dth</math>). Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

:[[Fitxer:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada <math>\theta</math>, que es pot trobar amb el <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:L’equació del moviment és:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equilibri <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> són les solucions de l’equació trascendent:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, i està clar que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no és una d’elles.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

</div>


====✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules====
-----
:
:[[Fitxer:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\dth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant.

:Diagrama general d’interaccions

:És un sistema del mateix tipus que el de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']]: té dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:[[Fitxer:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el full de ruta adequat és:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os}</math>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:
:[[Fitxer:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> tot escombrant una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per <math>\Os</math>, i per tant l’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:[[Fitxer:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Com a l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#✏️ EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']].

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

:[[Fitxer:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Fitxer:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:L’equació del moviment és:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equiibri <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> són les solucions de l’equació transcendent:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, i és evident que <math>\theta = 0</math> no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
</div>



====✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex4-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Es tracta d’investigar si la rotació <math>\Omega_0</math> pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
 
 
 
 
 
 
:Descripció cinemàtica
:L’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la bola respecte del terra és la recta <math>\Os\Js</math>, i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

:[[Fitxer:D7-Ex4-2-cat-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general d’interaccions
::[[Fitxer:D7-Ex4-3-cat.png|thumb|left|250px|link=]]
:És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

:(17 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites 
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math>= 18 equacions

:La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']], doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

:[[Fitxer:D7-Ex4-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

:(11 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites 
:2 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math> = 12 equacions

:Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
:La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex4-5-cat.png|thumb|center|510px|link=]]

:La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

:[[Fitxer:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}}</math>

:El moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a <math>\Os</math> (ja que <math>\Os</math> és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

:[[Fitxer:D7-Ex4-7-cat.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

:Alternativa:

:Si el càlcul de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es fa a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> i la derivada es fa de manera analítica:

:[[Fitxer:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex5-1-cat.png|thumb|left|250px|link=]]

:L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular <math>\dot\varphi_0</math> constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular <math>\dot\psi</math>. Inicialment, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix <math>\dot\varphi_0</math> constant mentre hi ha lliscament.

:Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
:Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, <math>\dot\varphi_0</math> i <math>\dot\psi</math> són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids|'''exemple D3.18''']]) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-2-cat.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|'''secció D3.6''']]):

:[[Fitxer:D7-Ex5-3-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, el problema és determinat:

:Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites, 3 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 equacions

:Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites, 2 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 equacions

:<big>'''OPCIÓ 1'''</big>
:En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre P1 i el sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

:[[Fitxer:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

:[[Fitxer:D7-Ex5-5-cat.png|thumb|center|690px|link=]]

<center> 6 inc. d'enllaç + <math>\ddot\psi = </math> 7 inc.<math>\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:</math> 9 inc. d'enllaç + <math>\Gamma + \ddot\psi = </math> 11 inc.<math>\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:</math> 5 inc. d'enllaç + <math>\ddot\psi = </math> 6 inc.</center>

:La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç, caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a <math>\Os</math> perquè <math>\Os</math> és fix a l’anella:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a <math>\Js</math> i del moment <math>\Ms_1</math> associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segona component condueix a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

:<center><math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2\mu}{\Rs^2+2\Ls^2}(\gs\Ls+\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0)}</math></center>

:A l’instant inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{2\mu gL}{\Rs^2+2\Ls^2}>0</math>, i per tant la velocitat angular <math>\dot\psi</math> creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a <math>\Js</math>.

:Quan <math>\dot\psi</math> arriba al valor <math>(\text{R}/\text{L})\dot\varphi_0</math> (la velocitat de J s'ha calculat al començament), el lliscament a <math>\Js</math> s’atura:

:<math>\vel{J}{T} = [\otimes (R \dot{\varphi_0}- \text{L}\dot{\psi})] = 0 ⇒ \dot{\psi} = \frac{\Rs}{\Ls}\dot{\varphi_0} </math>

:A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a <math>\Js</math> apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

:Full de ruta per al parell motor

:Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la <math>\psi</math> i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

:[[Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\Rs=\mu\ms\Rs^2\left(\frac{\gs}{\Rs} + \frac{\Rs}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓ 2'''</big>
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:En aquesta opció, no és possible determinar l'equació del moviment ni el parell motor a partir d'un únic teorema, i per aquest motiu no es desenvolupa.

====✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant <math>\dot\psi_0</math> sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

:Descripció cinemàtica
:[[Fitxer:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:És un sistema de 3 GL: el moviment pendular <math>\dot\theta</math>, el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem <math>\dot\xs</math>) i la rotació vertical forçada <math>\dot\psi_0</math>.

:El moviment del centre de l’anella <math>\Gs</math> respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guia} \\
\text{AB: suport}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guia}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general d'interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex6-3-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema és determinat:

:(15 inc. d'enllaç, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incògnites
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}}</math> = 18 equacions
 
 
 
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math>

:Només el moviment de l’anella depèn de <math>\ddth</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

:[[Fitxer:D7-Ex6-4-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

:[[Fitxer:D7-Ex6-5-cat.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular <math>\dth</math> (i, per tant, el canvi del seu valor <math>\ddth</math>). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ja que el punt O es mou respecte del terra: :<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Per altra banda, <math>\Os</math> és un punt fix a l’anella: :<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalment: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Aquesta equació del moviment inclou també la variable <math>\ddot\xs</math>. Això vol dir que els graus de llibertat <math>\dth</math> i <math>\dot\xs</math> estan '''acoblats''': encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

:El moviment de l’anella i el del suport depenen de <math>\ddot\xs</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ja no és una incògnita.

:[[Fitxer:D7-Ex6-6-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex6-7-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
:Per tant: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Càlcul de l’acceleració de G: 

:'''Opció 1''': per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opció 2''': per cinemàtica del sòlid rígid.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anella} \\
\Os\in\text{anella}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulació de la força de la molla

:[[Fitxer:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translació vertical del suport <math>(\dot\xs)</math> està associat a la variació d’una coordenada <math>\xs</math> l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

:Si es pren <math>\xs=0</math> per a l’equilibri en absència de rotació <math>\dot\psi_0</math>, és clar que la molla haurà d’exercir una força <math>\Fs_0</math> d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ja que el moviment <math>\dot\xs</math> s’ha definit positiu cap a baix, un augment de <math>\xs</math> implica un augment de llargària de la molla. Per tant: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

:Les condicions inicials <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

:Una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En canvi, una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movement vertical <math>\dot\xs</math>, doncs l’equació que governa la <math>\dot\xs</math> per a l’instant inicial és:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
:Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb <math>\dot\psi_0 = 0</math>) s’obtenen de les equacions del moviment imposant <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, les equacions es poden (secció D7.1)[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|'''linealitzar''']]. Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, es tracta d’una configuració '''ESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, es tracta d’una configuració '''INESTABLE'''.

:Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, per a <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, <math>\xs_\text{eq}=0</math> és estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), però la de la <math>\theta</math> té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de <math>\dot\psi_0^2</math> ja que la funció <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> està acotada entre -1 i +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealització de l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> condueix a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuració és '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuració és '''INESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuració és '''INESTABLE''' per a qualsevol valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:L’estudi de les configuracions <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.



© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D6. Exemples de dinàmica 2D|<<< D6. Exemples de dinàmica 2D]]

[[D8. Conservacions|D8. Conservacions >>>]]

</center>

D7. Exemples de dinàmica 3D

2026-03-16T17:20:29Z

Eantem: /* ✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>
<center>''EN CONSTRUCCIÓ''</center>

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la [[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|'''secció D6.4''']] s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

==D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment==

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures (<math>\dot{\qs}_{i}</math>) dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, roman en repòs <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>
</center>

L’equació que defineix les <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js,</math> amb <math>\varepsilon_\js << 1</math>, i per tant <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

:* si apareixen polinomis de grau superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si es tracta d’una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> i apareixen funcions sinus i cosinus:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solució general és: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, amb <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
:La solució <math>\varepsilon(\ts)</math> de l’equació <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math> la freqüència angular de la qual <math>(\omega)</math> depèn de paràmetres del sistema.

:Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), i per tant, no són intrínseques al sistema.

:* condicions inicials només de posició: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials només de velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials de posició i velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable.
L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada:
<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''INESTABLE'''.

==D7.2 Exemples generals==
====✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria====
------

:[[Fitxer:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Fitxer:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripció cinemàtica:

:Una altra opció per calcular <math>\vel{G}{T}</math> és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general d’interaccions

[[Fitxer:D7-Ex1-3-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs}</math>

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

:Full de ruta per a l’equació del moviment

:Només la placa té un moviment que depèn de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà <math>\ddth</math> quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

[[Fitxer:D7-Ex1-4-cat.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enllaç + <math>\ddth</math> = 6 inc.enllaç <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enllaç + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc.enllaç</center>
 
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

[[Fitxer:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt <math>\Os</math> és immediata tant si sempre la base B com la B’.

:Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

:Una bona proposta és:<math>\boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC a <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si es substitueixen <math>\I{gran + petit}</math> i <math>\I{petit} - \I{gran}</math> pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, i això es compleix només si la velocitat angular <math>\Omega_0</math> està per sobre del valor crític <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

:En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

:L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Per a les petites amplituds al voltant de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, l’equació del moviment és <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si les condicions inicials són <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, l’evolució de <math>\varepsilon</math> ve donada per: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Per a <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''augmenta'''. És una configuració '''INESTABLE''' i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

:* Per a <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminueix'''. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració '''ESTABLE'''. La freqüència angular [rad/s] és <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si les condicions inicials són <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> i <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentari addicional

[[Fitxer:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

:<math>(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si es linealitza al voltant de la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Per a qualsevol valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficient <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]</math> és positiu, i per tant la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math> és sempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Full de ruta per al parell motor

:Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

[[Fitxer:D7-Ex1-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Fitxer:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:
:En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ Exemple D7.2: barres giratòries====
-----

:[[Fitxer:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\sth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant).

:Diagrama general d’interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex2-2-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12</math> eqs.

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex2-3-cat.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:
:Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

<center><math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os}</math></center>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat <math>\Omega_0</math>, és la base que gira amb <math>\Omega_0</math> respecte del terra.

:L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de [[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|'''Steiner''']] per passar a <math>\Os</math>:
:[[Fitxer:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Tenint en compte que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> i escombra una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:[[Fitxer:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:L’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que és la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fos estrictament vertical (paral·lel a <math>\vec\Omega_0</math>), llavors <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']] per al punt <math>\Os</math>, mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui <math>\dth</math>). Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

:[[Fitxer:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada <math>\theta</math>, que es pot trobar amb el <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:L’equació del moviment és:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equilibri <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> són les solucions de l’equació trascendent:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, i està clar que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no és una d’elles.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

</div>


====✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules====
-----
:
:[[Fitxer:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\dth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant.

:Diagrama general d’interaccions

:És un sistema del mateix tipus que el de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']]: té dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:[[Fitxer:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el full de ruta adequat és:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os}</math>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:
:[[Fitxer:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> tot escombrant una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per <math>\Os</math>, i per tant l’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:[[Fitxer:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Com a l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#✏️ EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']].

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

:[[Fitxer:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Fitxer:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:L’equació del moviment és:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equiibri <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> són les solucions de l’equació transcendent:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, i és evident que <math>\theta = 0</math> no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
</div>



====✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex4-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Es tracta d’investigar si la rotació <math>\Omega_0</math> pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
 
 
 
 
 
 
:Descripció cinemàtica
:L’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la bola respecte del terra és la recta <math>\Os\Js</math>, i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

:[[Fitxer:D7-Ex4-2-cat-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general d’interaccions
::[[Fitxer:D7-Ex4-3-cat.png|thumb|left|250px|link=]]
:És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

:(17 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites 
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math>= 18 equacions

:La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']], doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

:[[Fitxer:D7-Ex4-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

:(11 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites 
:2 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math> = 12 equacions

:Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
:La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex4-5-cat.png|thumb|center|510px|link=]]

:La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

:[[Fitxer:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}}</math>

:El moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a <math>\Os</math> (ja que <math>\Os</math> és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

:[[Fitxer:D7-Ex4-7-cat.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

:Alternativa:

:Si el càlcul de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es fa a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> i la derivada es fa de manera analítica:

:[[Fitxer:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex5-1-cat.png|thumb|left|250px|link=]]

:L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular <math>\dot\varphi_0</math> constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular <math>\dot\psi</math>. Inicialment, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix <math>\dot\varphi_0</math> constant mentre hi ha lliscament.

:Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
:Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, <math>\dot\varphi_0</math> i <math>\dot\psi</math> són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids|'''exemple D3.18''']]) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-2-cat.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|'''secció D3.6''']]):

:[[Fitxer:D7-Ex5-3-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, el problema és determinat:

:Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites, 3 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 equacions

:Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites, 2 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 equacions

:<big>'''OPCIÓ 1'''</big>
:En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre P1 i el sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

:[[Fitxer:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

:[[Fitxer:D7-Ex5-5-cat.png|thumb|center|690px|link=]]

:La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç, caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a <math>\Os</math> perquè <math>\Os</math> és fix a l’anella:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a <math>\Js</math> i del moment <math>\Ms_1</math> associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segona component condueix a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

:<center><math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2\mu}{\Rs^2+2\Ls^2}(\gs\Ls+\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0)}</math></center>

:A l’instant inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{2\mu gL}{\Rs^2+2\Ls^2}>0</math>, i per tant la velocitat angular <math>\dot\psi</math> creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a <math>\Js</math>.

:Quan <math>\dot\psi</math> arriba al valor <math>(\text{R}/\text{L})\dot\varphi_0</math> (la velocitat de J s'ha calculat al començament), el lliscament a <math>\Js</math> s’atura:

:<math>\vel{J}{T} = [\otimes (R \dot{\varphi_0}- \text{L}\dot{\psi})] = 0 ⇒ \dot{\psi} = \frac{\Rs}{\Ls}\dot{\varphi_0} </math>

:A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a <math>\Js</math> apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

:Full de ruta per al parell motor

:Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la <math>\psi</math> i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

:[[Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\Rs=\mu\ms\Rs^2\left(\frac{\gs}{\Rs} + \frac{\Rs}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓ 2'''</big>
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:En aquesta opció, no és possible determinar l'equació del moviment ni el parell motor a partir d'un únic teorema, i per aquest motiu no es desenvolupa.

====✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant <math>\dot\psi_0</math> sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

:Descripció cinemàtica
:[[Fitxer:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:És un sistema de 3 GL: el moviment pendular <math>\dot\theta</math>, el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem <math>\dot\xs</math>) i la rotació vertical forçada <math>\dot\psi_0</math>.

:El moviment del centre de l’anella <math>\Gs</math> respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guia} \\
\text{AB: suport}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guia}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general d'interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex6-3-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema és determinat:

:(15 inc. d'enllaç, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incògnites
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}}</math> = 18 equacions
 
 
 
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math>

:Només el moviment de l’anella depèn de <math>\ddth</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

:[[Fitxer:D7-Ex6-4-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

:[[Fitxer:D7-Ex6-5-cat.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular <math>\dth</math> (i, per tant, el canvi del seu valor <math>\ddth</math>). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ja que el punt O es mou respecte del terra: :<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Per altra banda, <math>\Os</math> és un punt fix a l’anella: :<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalment: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Aquesta equació del moviment inclou també la variable <math>\ddot\xs</math>. Això vol dir que els graus de llibertat <math>\dth</math> i <math>\dot\xs</math> estan '''acoblats''': encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

:El moviment de l’anella i el del suport depenen de <math>\ddot\xs</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ja no és una incògnita.

:[[Fitxer:D7-Ex6-6-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex6-7-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
:Per tant: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Càlcul de l’acceleració de G: 

:'''Opció 1''': per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opció 2''': per cinemàtica del sòlid rígid.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anella} \\
\Os\in\text{anella}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulació de la força de la molla

:[[Fitxer:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translació vertical del suport <math>(\dot\xs)</math> està associat a la variació d’una coordenada <math>\xs</math> l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

:Si es pren <math>\xs=0</math> per a l’equilibri en absència de rotació <math>\dot\psi_0</math>, és clar que la molla haurà d’exercir una força <math>\Fs_0</math> d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ja que el moviment <math>\dot\xs</math> s’ha definit positiu cap a baix, un augment de <math>\xs</math> implica un augment de llargària de la molla. Per tant: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

:Les condicions inicials <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

:Una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En canvi, una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movement vertical <math>\dot\xs</math>, doncs l’equació que governa la <math>\dot\xs</math> per a l’instant inicial és:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
:Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb <math>\dot\psi_0 = 0</math>) s’obtenen de les equacions del moviment imposant <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, les equacions es poden (secció D7.1)[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|'''linealitzar''']]. Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, es tracta d’una configuració '''ESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, es tracta d’una configuració '''INESTABLE'''.

:Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, per a <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, <math>\xs_\text{eq}=0</math> és estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), però la de la <math>\theta</math> té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de <math>\dot\psi_0^2</math> ja que la funció <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> està acotada entre -1 i +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealització de l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> condueix a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuració és '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuració és '''INESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuració és '''INESTABLE''' per a qualsevol valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:L’estudi de les configuracions <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.



© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D6. Exemples de dinàmica 2D|<<< D6. Exemples de dinàmica 2D]]

[[D8. Conservacions|D8. Conservacions >>>]]

</center>

D7. Exemples de dinàmica 3D

2026-03-16T17:19:09Z

Eantem: /* ✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>
<center>''EN CONSTRUCCIÓ''</center>

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la [[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|'''secció D6.4''']] s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

==D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment==

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures (<math>\dot{\qs}_{i}</math>) dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, roman en repòs <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>
</center>

L’equació que defineix les <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js,</math> amb <math>\varepsilon_\js << 1</math>, i per tant <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

:* si apareixen polinomis de grau superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si es tracta d’una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> i apareixen funcions sinus i cosinus:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solució general és: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, amb <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
:La solució <math>\varepsilon(\ts)</math> de l’equació <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math> la freqüència angular de la qual <math>(\omega)</math> depèn de paràmetres del sistema.

:Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), i per tant, no són intrínseques al sistema.

:* condicions inicials només de posició: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials només de velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials de posició i velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable.
L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada:
<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''INESTABLE'''.

==D7.2 Exemples generals==
====✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria====
------

:[[Fitxer:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Fitxer:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripció cinemàtica:

:Una altra opció per calcular <math>\vel{G}{T}</math> és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general d’interaccions

[[Fitxer:D7-Ex1-3-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs}</math>

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

:Full de ruta per a l’equació del moviment

:Només la placa té un moviment que depèn de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà <math>\ddth</math> quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

[[Fitxer:D7-Ex1-4-cat.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enllaç + <math>\ddth</math> = 6 inc.enllaç <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enllaç + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc.enllaç</center>
 
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

[[Fitxer:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt <math>\Os</math> és immediata tant si sempre la base B com la B’.

:Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

:Una bona proposta és:<math>\boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC a <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si es substitueixen <math>\I{gran + petit}</math> i <math>\I{petit} - \I{gran}</math> pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, i això es compleix només si la velocitat angular <math>\Omega_0</math> està per sobre del valor crític <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

:En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

:L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Per a les petites amplituds al voltant de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, l’equació del moviment és <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si les condicions inicials són <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, l’evolució de <math>\varepsilon</math> ve donada per: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Per a <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''augmenta'''. És una configuració '''INESTABLE''' i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

:* Per a <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminueix'''. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració '''ESTABLE'''. La freqüència angular [rad/s] és <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si les condicions inicials són <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> i <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentari addicional

[[Fitxer:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

:<math>(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si es linealitza al voltant de la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Per a qualsevol valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficient <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]</math> és positiu, i per tant la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math> és sempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Full de ruta per al parell motor

:Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

[[Fitxer:D7-Ex1-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Fitxer:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:
:En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ Exemple D7.2: barres giratòries====
-----

:[[Fitxer:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\sth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant).

:Diagrama general d’interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex2-2-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12</math> eqs.

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex2-3-cat.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:
:Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

<center><math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os}</math></center>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat <math>\Omega_0</math>, és la base que gira amb <math>\Omega_0</math> respecte del terra.

:L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de [[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|'''Steiner''']] per passar a <math>\Os</math>:
:[[Fitxer:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Tenint en compte que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> i escombra una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:[[Fitxer:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:L’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que és la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fos estrictament vertical (paral·lel a <math>\vec\Omega_0</math>), llavors <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']] per al punt <math>\Os</math>, mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui <math>\dth</math>). Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

:[[Fitxer:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada <math>\theta</math>, que es pot trobar amb el <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:L’equació del moviment és:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equilibri <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> són les solucions de l’equació trascendent:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, i està clar que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no és una d’elles.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

</div>


====✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules====
-----
:
:[[Fitxer:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\dth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant.

:Diagrama general d’interaccions

:És un sistema del mateix tipus que el de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']]: té dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:[[Fitxer:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el full de ruta adequat és:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os}</math>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:
:[[Fitxer:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> tot escombrant una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per <math>\Os</math>, i per tant l’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:[[Fitxer:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Com a l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#✏️ EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']].

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

:[[Fitxer:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Fitxer:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:L’equació del moviment és:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equiibri <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> són les solucions de l’equació transcendent:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, i és evident que <math>\theta = 0</math> no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
</div>



====✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex4-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Es tracta d’investigar si la rotació <math>\Omega_0</math> pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
 
 
 
 
 
 
:Descripció cinemàtica
:L’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la bola respecte del terra és la recta <math>\Os\Js</math>, i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

:[[Fitxer:D7-Ex4-2-cat-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general d’interaccions
::[[Fitxer:D7-Ex4-3-cat.png|thumb|left|250px|link=]]
:És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

:(17 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites 
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math>= 18 equacions

:La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']], doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

:[[Fitxer:D7-Ex4-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

:(11 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites 
:2 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math> = 12 equacions

:Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
:La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex4-5-cat.png|thumb|center|510px|link=]]

:La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

:[[Fitxer:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}}</math>

:El moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a <math>\Os</math> (ja que <math>\Os</math> és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

:[[Fitxer:D7-Ex4-7-cat.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

:Alternativa:

:Si el càlcul de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es fa a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> i la derivada es fa de manera analítica:

:[[Fitxer:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex5-1-cat.png|thumb|left|250px|link=]]

:L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular <math>\dot\varphi_0</math> constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular <math>\dot\psi</math>. Inicialment, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix <math>\dot\varphi_0</math> constant mentre hi ha lliscament.

:Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
:Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, <math>\dot\varphi_0</math> i <math>\dot\psi</math> són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids|'''exemple D3.18''']]) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-2-cat.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|'''secció D3.6''']]):

:[[Fitxer:D7-Ex5-3-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, el problema és determinat:

:Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites, 3 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 equacions

:Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites, 2 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 equacions

:<big>'''OPCIÓ 1'''</big>
:En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre P1 i el sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

:[[Fitxer:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

:[[Fitxer:D7-Ex5-5-cat.png|thumb|center|690px|link=]]

:La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç, caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a <math>\Os</math> perquè <math>\Os</math> és fix a l’anella:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a <math>\Js</math> i del moment <math>\Ms_1</math> associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segona component condueix a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

:<center><math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2\mu}{\Rs^2+2\Ls^2}(\gs\Ls+\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0)}</math></center>

:A l’instant inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{2\mu gL}{\Rs^2+2\Ls^2}>0</math>, i per tant la velocitat angular <math>\dot\psi</math> creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a <math>\Js</math>.

:Quan <math>\dot\psi</math> arriba al valor <math>(\text{R}/\text{L})\dot\varphi_0</math> (la velocitat de J s'ha calculat al començament), el lliscament a <math>\Js</math> s’atura:

:<math>\vel{J}{T} = [\otimes (R \dot{\varphi_0}- \text{L}\dot{\psi})] = 0 ⇒ \dot{\psi} = \frac{\Rs}{\Ls}\dot{\varphi_0} </math>

:A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a <math>\Js</math> apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

:Full de ruta per al parell motor

:Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la <math>\psi</math> i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

:[[Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\Rs=\mu\ms\Rs^2\left(\frac{\gs}{\Rs} + \frac{\Rs}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓ 2'''</big>
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:En aquesta opció, no és possible determinar l'equació del moviment ni el parell motor a partir d'un únic teorema, i per aquest motiu no es desenvolupa.

====✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant <math>\dot\psi_0</math> sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

:Descripció cinemàtica
:[[Fitxer:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:És un sistema de 3 GL: el moviment pendular <math>\dot\theta</math>, el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem <math>\dot\xs</math>) i la rotació vertical forçada <math>\dot\psi_0</math>.

:El moviment del centre de l’anella <math>\Gs</math> respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guia} \\
\text{AB: suport}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guia}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general d'interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex6-3-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema és determinat:

:(15 inc. d'enllaç, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incògnites
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}}</math> = 18 equacions
 
 
 
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math>

:Només el moviment de l’anella depèn de <math>\ddth</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

:[[Fitxer:D7-Ex6-4-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

:[[Fitxer:D7-Ex6-5-cat.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular <math>\dth</math> (i, per tant, el canvi del seu valor <math>\ddth</math>). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ja que el punt O es mou respecte del terra: :<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Per altra banda, <math>\Os</math> és un punt fix a l’anella: :<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalment: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Aquesta equació del moviment inclou també la variable <math>\ddot\xs</math>. Això vol dir que els graus de llibertat <math>\dth</math> i <math>\dot\xs</math> estan '''acoblats''': encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

:El moviment de l’anella i el del suport depenen de <math>\ddot\xs</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ja no és una incògnita.

:[[Fitxer:D7-Ex6-6-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex6-7-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
:Per tant: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Càlcul de l’acceleració de G: 

:'''Opció 1''': per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opció 2''': per cinemàtica del sòlid rígid.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anella} \\
\Os\in\text{anella}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulació de la força de la molla

:[[Fitxer:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translació vertical del suport <math>(\dot\xs)</math> està associat a la variació d’una coordenada <math>\xs</math> l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

:Si es pren <math>\xs=0</math> per a l’equilibri en absència de rotació <math>\dot\psi_0</math>, és clar que la molla haurà d’exercir una força <math>\Fs_0</math> d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ja que el moviment <math>\dot\xs</math> s’ha definit positiu cap a baix, un augment de <math>\xs</math> implica un augment de llargària de la molla. Per tant: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

:Les condicions inicials <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

:Una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En canvi, una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movement vertical <math>\dot\xs</math>, doncs l’equació que governa la <math>\dot\xs</math> per a l’instant inicial és:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
:Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb <math>\dot\psi_0 = 0</math>) s’obtenen de les equacions del moviment imposant <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, les equacions es poden (secció D7.1)[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|'''linealitzar''']]. Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, es tracta d’una configuració '''ESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, es tracta d’una configuració '''INESTABLE'''.

:Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, per a <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, <math>\xs_\text{eq}=0</math> és estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), però la de la <math>\theta</math> té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de <math>\dot\psi_0^2</math> ja que la funció <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> està acotada entre -1 i +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealització de l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> condueix a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuració és '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuració és '''INESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuració és '''INESTABLE''' per a qualsevol valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:L’estudi de les configuracions <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.



© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D6. Exemples de dinàmica 2D|<<< D6. Exemples de dinàmica 2D]]

[[D8. Conservacions|D8. Conservacions >>>]]

</center>

D7. Exemples de dinàmica 3D

2026-03-16T17:17:55Z

Eantem: /* ✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>
<center>''EN CONSTRUCCIÓ''</center>

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la [[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|'''secció D6.4''']] s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

==D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment==

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures (<math>\dot{\qs}_{i}</math>) dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, roman en repòs <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>
</center>

L’equació que defineix les <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js,</math> amb <math>\varepsilon_\js << 1</math>, i per tant <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

:* si apareixen polinomis de grau superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si es tracta d’una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> i apareixen funcions sinus i cosinus:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solució general és: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, amb <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
:La solució <math>\varepsilon(\ts)</math> de l’equació <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math> la freqüència angular de la qual <math>(\omega)</math> depèn de paràmetres del sistema.

:Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), i per tant, no són intrínseques al sistema.

:* condicions inicials només de posició: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials només de velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials de posició i velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable.
L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada:
<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''INESTABLE'''.

==D7.2 Exemples generals==
====✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria====
------

:[[Fitxer:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Fitxer:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripció cinemàtica:

:Una altra opció per calcular <math>\vel{G}{T}</math> és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general d’interaccions

[[Fitxer:D7-Ex1-3-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs}</math>

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

:Full de ruta per a l’equació del moviment

:Només la placa té un moviment que depèn de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà <math>\ddth</math> quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

[[Fitxer:D7-Ex1-4-cat.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enllaç + <math>\ddth</math> = 6 inc.enllaç <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enllaç + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc.enllaç</center>
 
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

[[Fitxer:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt <math>\Os</math> és immediata tant si sempre la base B com la B’.

:Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

:Una bona proposta és:<math>\boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC a <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si es substitueixen <math>\I{gran + petit}</math> i <math>\I{petit} - \I{gran}</math> pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, i això es compleix només si la velocitat angular <math>\Omega_0</math> està per sobre del valor crític <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

:En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

:L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Per a les petites amplituds al voltant de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, l’equació del moviment és <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si les condicions inicials són <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, l’evolució de <math>\varepsilon</math> ve donada per: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Per a <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''augmenta'''. És una configuració '''INESTABLE''' i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

:* Per a <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminueix'''. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració '''ESTABLE'''. La freqüència angular [rad/s] és <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si les condicions inicials són <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> i <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentari addicional

[[Fitxer:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

:<math>(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si es linealitza al voltant de la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Per a qualsevol valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficient <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]</math> és positiu, i per tant la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math> és sempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Full de ruta per al parell motor

:Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

[[Fitxer:D7-Ex1-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Fitxer:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:
:En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ Exemple D7.2: barres giratòries====
-----

:[[Fitxer:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\sth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant).

:Diagrama general d’interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex2-2-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12</math> eqs.

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex2-3-cat.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:
:Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

<center><math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os}</math></center>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat <math>\Omega_0</math>, és la base que gira amb <math>\Omega_0</math> respecte del terra.

:L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de [[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|'''Steiner''']] per passar a <math>\Os</math>:
:[[Fitxer:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Tenint en compte que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> i escombra una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:[[Fitxer:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:L’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que és la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fos estrictament vertical (paral·lel a <math>\vec\Omega_0</math>), llavors <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']] per al punt <math>\Os</math>, mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui <math>\dth</math>). Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

:[[Fitxer:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada <math>\theta</math>, que es pot trobar amb el <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:L’equació del moviment és:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equilibri <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> són les solucions de l’equació trascendent:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, i està clar que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no és una d’elles.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

</div>


====✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules====
-----
:
:[[Fitxer:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\dth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant.

:Diagrama general d’interaccions

:És un sistema del mateix tipus que el de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']]: té dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:[[Fitxer:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el full de ruta adequat és:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os}</math>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:
:[[Fitxer:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> tot escombrant una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per <math>\Os</math>, i per tant l’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:[[Fitxer:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Com a l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#✏️ EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']].

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

:[[Fitxer:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Fitxer:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:L’equació del moviment és:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equiibri <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> són les solucions de l’equació transcendent:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, i és evident que <math>\theta = 0</math> no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
</div>



====✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex4-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Es tracta d’investigar si la rotació <math>\Omega_0</math> pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
 
 
 
 
 
 
:Descripció cinemàtica
:L’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la bola respecte del terra és la recta <math>\Os\Js</math>, i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

:[[Fitxer:D7-Ex4-2-cat-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general d’interaccions
::[[Fitxer:D7-Ex4-3-cat.png|thumb|left|250px|link=]]
:És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

:(17 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites 
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math>= 18 equacions

:La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']], doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

:[[Fitxer:D7-Ex4-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

:(11 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites 
:2 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math> = 12 equacions

:Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
:La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex4-5-cat.png|thumb|center|510px|link=]]

:La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

:[[Fitxer:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}}</math>

:El moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a <math>\Os</math> (ja que <math>\Os</math> és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

:[[Fitxer:D7-Ex4-7-cat.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

:Alternativa:

:Si el càlcul de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es fa a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> i la derivada es fa de manera analítica:

:[[Fitxer:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex5-1-cat.png|thumb|left|250px|link=]]

:L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular <math>\dot\varphi_0</math> constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular <math>\dot\psi</math>. Inicialment, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix <math>\dot\varphi_0</math> constant mentre hi ha lliscament.

:Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
:Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, <math>\dot\varphi_0</math> i <math>\dot\psi</math> són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids|'''exemple D3.18''']]) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-2-cat.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|'''secció D3.6''']]):

:[[Fitxer:D7-Ex5-3-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, el problema és determinat:

:Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites, 3 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 equacions

:Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites, 2 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 equacions

:<big>'''OPCIÓ 1'''</big>
:En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre P1 i el sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

:[[Fitxer:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

:[[Fitxer:D7-Ex5-5-cat.png|thumb|center|690px|link=]]

:La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç, caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a <math>\Os</math> perquè <math>\Os</math> és fix a l’anella:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a <math>\Js</math> i del moment <math>\Ms_1</math> associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segona component condueix a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

:<center><math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2\mu}{\Rs^2+2\Ls^2}(\gs\Ls+\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0)}</math></center>

:A l’instant inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{2\mu gL}{\Rs^2+2\Ls^2}>0</math>, i per tant la velocitat angular <math>\dot\psi</math> creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a <math>\Js</math>.

:Quan <math>\dot\psi</math> arriba al valor <math>(\text{R}/\text{L})\dot\varphi_0</math> (la velocitat de J s'ha calculat al començament), el lliscament a <math>\Js</math> s’atura:

:<math>\vel{J}{T} = [\otimes (R \dot{\varphi_0}- \text{L}\dot{\psi})] = 0 ⇒ \dot{\psi} = \frac{\Rs}{\Ls}\dot{\varphi_0} </math>

:A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a <math>\Js</math> apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

:Full de ruta per al parell motor

:Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la <math>\psi</math> i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

:[[Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\Rs=\mu\ms\Rs^2\left(\frac{\gs}{\Rs} + \frac{\Rs}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓ 2'''</big>
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Només l’anella té un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha dues opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, anella+forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex5-9-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:Les dues opcions semblen equivalents. Per triar-ne una, cal analitzar els interaccions externes que actuen sobre cadascun dels dos sistemes:

:[[Fitxer:D7-Ex5-10-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> s’eviten tres components de força d’enllaç, però en la direcció 1 (que és on pot aparèixer la <math>\ddot\varphi</math>) hi ha sempre un moment (el parell motor en un cas, o el <math>\Ms_1</math> entre sostre i forquilla en l’altre). S’agafi un sistema o l’altre, caldrà treballar en principi amb més d’una component del TMC per arribar a l’equació del moviment. A continuació es consideren les dues opcions.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> i la seva derivada són els mateixos calculats a l’opció 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a J, del parell motor i del moment <math>\Ms_1</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segona component dóna el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. En ser sempre positiu, el contacte a <math>\Js</math> està garantit.

:La primera component dóna el parell motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Però a la tercera, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de <math>\Ms_3</math>. Per tant, aquesta opció no sembla adequada.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + forquilla),TMC a }\Os}</math>

:Els moments externs són diferents al cas anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En aquesta opció, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de N, però les altres components no permeten calcular aquesta força.
:Ara bé, si es combinen es resultats per a les dues opcions, l’equació del moviment és immediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anella + forquilla), TMC a }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:L’aturada del lliscament s’estudia exactament igual que en l’opció 1.



====✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant <math>\dot\psi_0</math> sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

:Descripció cinemàtica
:[[Fitxer:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:És un sistema de 3 GL: el moviment pendular <math>\dot\theta</math>, el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem <math>\dot\xs</math>) i la rotació vertical forçada <math>\dot\psi_0</math>.

:El moviment del centre de l’anella <math>\Gs</math> respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guia} \\
\text{AB: suport}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guia}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general d'interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex6-3-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema és determinat:

:(15 inc. d'enllaç, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incògnites
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}}</math> = 18 equacions
 
 
 
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math>

:Només el moviment de l’anella depèn de <math>\ddth</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

:[[Fitxer:D7-Ex6-4-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

:[[Fitxer:D7-Ex6-5-cat.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular <math>\dth</math> (i, per tant, el canvi del seu valor <math>\ddth</math>). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ja que el punt O es mou respecte del terra: :<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Per altra banda, <math>\Os</math> és un punt fix a l’anella: :<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalment: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Aquesta equació del moviment inclou també la variable <math>\ddot\xs</math>. Això vol dir que els graus de llibertat <math>\dth</math> i <math>\dot\xs</math> estan '''acoblats''': encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

:El moviment de l’anella i el del suport depenen de <math>\ddot\xs</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ja no és una incògnita.

:[[Fitxer:D7-Ex6-6-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex6-7-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
:Per tant: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Càlcul de l’acceleració de G: 

:'''Opció 1''': per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opció 2''': per cinemàtica del sòlid rígid.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anella} \\
\Os\in\text{anella}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulació de la força de la molla

:[[Fitxer:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translació vertical del suport <math>(\dot\xs)</math> està associat a la variació d’una coordenada <math>\xs</math> l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

:Si es pren <math>\xs=0</math> per a l’equilibri en absència de rotació <math>\dot\psi_0</math>, és clar que la molla haurà d’exercir una força <math>\Fs_0</math> d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ja que el moviment <math>\dot\xs</math> s’ha definit positiu cap a baix, un augment de <math>\xs</math> implica un augment de llargària de la molla. Per tant: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

:Les condicions inicials <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

:Una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En canvi, una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movement vertical <math>\dot\xs</math>, doncs l’equació que governa la <math>\dot\xs</math> per a l’instant inicial és:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
:Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb <math>\dot\psi_0 = 0</math>) s’obtenen de les equacions del moviment imposant <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, les equacions es poden (secció D7.1)[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|'''linealitzar''']]. Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, es tracta d’una configuració '''ESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, es tracta d’una configuració '''INESTABLE'''.

:Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, per a <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, <math>\xs_\text{eq}=0</math> és estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), però la de la <math>\theta</math> té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de <math>\dot\psi_0^2</math> ja que la funció <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> està acotada entre -1 i +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealització de l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> condueix a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuració és '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuració és '''INESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuració és '''INESTABLE''' per a qualsevol valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:L’estudi de les configuracions <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.



© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D6. Exemples de dinàmica 2D|<<< D6. Exemples de dinàmica 2D]]

[[D8. Conservacions|D8. Conservacions >>>]]

</center>

D7. Exemples de dinàmica 3D

2026-03-16T17:16:44Z

Eantem: /* ✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>
<center>''EN CONSTRUCCIÓ''</center>

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la [[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|'''secció D6.4''']] s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

==D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment==

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures (<math>\dot{\qs}_{i}</math>) dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, roman en repòs <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>
</center>

L’equació que defineix les <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js,</math> amb <math>\varepsilon_\js << 1</math>, i per tant <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

:* si apareixen polinomis de grau superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si es tracta d’una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> i apareixen funcions sinus i cosinus:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solució general és: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, amb <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
:La solució <math>\varepsilon(\ts)</math> de l’equació <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math> la freqüència angular de la qual <math>(\omega)</math> depèn de paràmetres del sistema.

:Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), i per tant, no són intrínseques al sistema.

:* condicions inicials només de posició: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials només de velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials de posició i velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable.
L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada:
<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''INESTABLE'''.

==D7.2 Exemples generals==
====✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria====
------

:[[Fitxer:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Fitxer:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripció cinemàtica:

:Una altra opció per calcular <math>\vel{G}{T}</math> és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general d’interaccions

[[Fitxer:D7-Ex1-3-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs}</math>

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

:Full de ruta per a l’equació del moviment

:Només la placa té un moviment que depèn de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà <math>\ddth</math> quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

[[Fitxer:D7-Ex1-4-cat.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enllaç + <math>\ddth</math> = 6 inc.enllaç <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enllaç + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc.enllaç</center>
 
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

[[Fitxer:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt <math>\Os</math> és immediata tant si sempre la base B com la B’.

:Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

:Una bona proposta és:<math>\boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC a <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si es substitueixen <math>\I{gran + petit}</math> i <math>\I{petit} - \I{gran}</math> pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, i això es compleix només si la velocitat angular <math>\Omega_0</math> està per sobre del valor crític <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

:En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

:L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Per a les petites amplituds al voltant de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, l’equació del moviment és <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si les condicions inicials són <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, l’evolució de <math>\varepsilon</math> ve donada per: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Per a <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''augmenta'''. És una configuració '''INESTABLE''' i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

:* Per a <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminueix'''. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració '''ESTABLE'''. La freqüència angular [rad/s] és <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si les condicions inicials són <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> i <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentari addicional

[[Fitxer:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

:<math>(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si es linealitza al voltant de la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Per a qualsevol valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficient <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]</math> és positiu, i per tant la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math> és sempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Full de ruta per al parell motor

:Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

[[Fitxer:D7-Ex1-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Fitxer:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:
:En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ Exemple D7.2: barres giratòries====
-----

:[[Fitxer:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\sth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant).

:Diagrama general d’interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex2-2-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12</math> eqs.

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex2-3-cat.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:
:Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

<center><math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os}</math></center>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat <math>\Omega_0</math>, és la base que gira amb <math>\Omega_0</math> respecte del terra.

:L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de [[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|'''Steiner''']] per passar a <math>\Os</math>:
:[[Fitxer:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Tenint en compte que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> i escombra una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:[[Fitxer:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:L’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que és la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fos estrictament vertical (paral·lel a <math>\vec\Omega_0</math>), llavors <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']] per al punt <math>\Os</math>, mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui <math>\dth</math>). Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

:[[Fitxer:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada <math>\theta</math>, que es pot trobar amb el <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:L’equació del moviment és:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equilibri <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> són les solucions de l’equació trascendent:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, i està clar que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no és una d’elles.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

</div>


====✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules====
-----
:
:[[Fitxer:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\dth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant.

:Diagrama general d’interaccions

:És un sistema del mateix tipus que el de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']]: té dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:[[Fitxer:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el full de ruta adequat és:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os}</math>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:
:[[Fitxer:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> tot escombrant una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per <math>\Os</math>, i per tant l’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:[[Fitxer:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Com a l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#✏️ EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']].

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

:[[Fitxer:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Fitxer:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:L’equació del moviment és:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equiibri <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> són les solucions de l’equació transcendent:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, i és evident que <math>\theta = 0</math> no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
</div>



====✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex4-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Es tracta d’investigar si la rotació <math>\Omega_0</math> pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
 
 
 
 
 
 
:Descripció cinemàtica
:L’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la bola respecte del terra és la recta <math>\Os\Js</math>, i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

:[[Fitxer:D7-Ex4-2-cat-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general d’interaccions
::[[Fitxer:D7-Ex4-3-cat.png|thumb|left|250px|link=]]
:És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

:(17 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites 
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math>= 18 equacions

:La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']], doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

:[[Fitxer:D7-Ex4-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

:(11 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites 
:2 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math> = 12 equacions

:Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
:La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex4-5-cat.png|thumb|center|510px|link=]]

:La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

:[[Fitxer:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}}</math>

:El moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a <math>\Os</math> (ja que <math>\Os</math> és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

:[[Fitxer:D7-Ex4-7-cat.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

:Alternativa:

:Si el càlcul de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es fa a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> i la derivada es fa de manera analítica:

:[[Fitxer:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex5-1-cat.png|thumb|left|250px|link=]]

:L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular <math>\dot\varphi_0</math> constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular <math>\dot\psi</math>. Inicialment, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix <math>\dot\varphi_0</math> constant mentre hi ha lliscament.

:Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
:Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, <math>\dot\varphi_0</math> i <math>\dot\psi</math> són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids|'''exemple D3.18''']]) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-2-cat.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|'''secció D3.6''']]):

:[[Fitxer:D7-Ex5-3-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, el problema és determinat:

:Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites, 3 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 equacions

:Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites, 2 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 equacions

:<big>'''OPCIÓ 1'''</big>
:En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre P1 i el sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

:[[Fitxer:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

:[[Fitxer:D7-Ex5-5-cat.png|thumb|center|690px|link=]]

:La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç, caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a <math>\Os</math> perquè <math>\Os</math> és fix a l’anella:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a <math>\Js</math> i del moment <math>\Ms_1</math> associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segona component condueix a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

:<center><math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2\mu}{\Rs^2+2\Ls^2}(\gs\Ls+\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0)}</math></center>

:A l’instant inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{2\mu gL}{\Rs^2+2\Ls^2}>0</math>, i per tant la velocitat angular <math>\dot\psi</math> creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a <math>\Js</math>.

:Quan <math>\dot\psi</math> arriba al valor <math>(\text{R}/\text{L})\dot\varphi_0</math> (la velocitat de J s'ha calculat al començament), el lliscament a <math>\Js</math> s’atura:

:<math>\vel{J}{T} = [\otimes (R \dot{\varphi_0}- \text{L}\dot{\psi})] = 0 ⇒ \dot{\psi} = \frac{\Rs}{\Ls}\dot{\varphi_0} </math>

:A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a <math>\Js</math> apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

:Full de ruta per al parell motor

:Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la <math>\psi</math> i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

:[[Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\Rs=\mu\ms\Rs^2\left(\frac{\gs}{\Rs} + \frac{R}{L}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓ 2'''</big>
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Només l’anella té un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha dues opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, anella+forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex5-9-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:Les dues opcions semblen equivalents. Per triar-ne una, cal analitzar els interaccions externes que actuen sobre cadascun dels dos sistemes:

:[[Fitxer:D7-Ex5-10-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> s’eviten tres components de força d’enllaç, però en la direcció 1 (que és on pot aparèixer la <math>\ddot\varphi</math>) hi ha sempre un moment (el parell motor en un cas, o el <math>\Ms_1</math> entre sostre i forquilla en l’altre). S’agafi un sistema o l’altre, caldrà treballar en principi amb més d’una component del TMC per arribar a l’equació del moviment. A continuació es consideren les dues opcions.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> i la seva derivada són els mateixos calculats a l’opció 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a J, del parell motor i del moment <math>\Ms_1</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segona component dóna el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. En ser sempre positiu, el contacte a <math>\Js</math> està garantit.

:La primera component dóna el parell motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Però a la tercera, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de <math>\Ms_3</math>. Per tant, aquesta opció no sembla adequada.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + forquilla),TMC a }\Os}</math>

:Els moments externs són diferents al cas anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En aquesta opció, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de N, però les altres components no permeten calcular aquesta força.
:Ara bé, si es combinen es resultats per a les dues opcions, l’equació del moviment és immediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anella + forquilla), TMC a }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:L’aturada del lliscament s’estudia exactament igual que en l’opció 1.



====✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant <math>\dot\psi_0</math> sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

:Descripció cinemàtica
:[[Fitxer:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:És un sistema de 3 GL: el moviment pendular <math>\dot\theta</math>, el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem <math>\dot\xs</math>) i la rotació vertical forçada <math>\dot\psi_0</math>.

:El moviment del centre de l’anella <math>\Gs</math> respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guia} \\
\text{AB: suport}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guia}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general d'interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex6-3-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema és determinat:

:(15 inc. d'enllaç, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incògnites
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}}</math> = 18 equacions
 
 
 
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math>

:Només el moviment de l’anella depèn de <math>\ddth</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

:[[Fitxer:D7-Ex6-4-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

:[[Fitxer:D7-Ex6-5-cat.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular <math>\dth</math> (i, per tant, el canvi del seu valor <math>\ddth</math>). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ja que el punt O es mou respecte del terra: :<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Per altra banda, <math>\Os</math> és un punt fix a l’anella: :<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalment: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Aquesta equació del moviment inclou també la variable <math>\ddot\xs</math>. Això vol dir que els graus de llibertat <math>\dth</math> i <math>\dot\xs</math> estan '''acoblats''': encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

:El moviment de l’anella i el del suport depenen de <math>\ddot\xs</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ja no és una incògnita.

:[[Fitxer:D7-Ex6-6-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex6-7-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
:Per tant: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Càlcul de l’acceleració de G: 

:'''Opció 1''': per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opció 2''': per cinemàtica del sòlid rígid.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anella} \\
\Os\in\text{anella}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulació de la força de la molla

:[[Fitxer:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translació vertical del suport <math>(\dot\xs)</math> està associat a la variació d’una coordenada <math>\xs</math> l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

:Si es pren <math>\xs=0</math> per a l’equilibri en absència de rotació <math>\dot\psi_0</math>, és clar que la molla haurà d’exercir una força <math>\Fs_0</math> d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ja que el moviment <math>\dot\xs</math> s’ha definit positiu cap a baix, un augment de <math>\xs</math> implica un augment de llargària de la molla. Per tant: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

:Les condicions inicials <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

:Una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En canvi, una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movement vertical <math>\dot\xs</math>, doncs l’equació que governa la <math>\dot\xs</math> per a l’instant inicial és:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
:Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb <math>\dot\psi_0 = 0</math>) s’obtenen de les equacions del moviment imposant <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, les equacions es poden (secció D7.1)[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|'''linealitzar''']]. Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, es tracta d’una configuració '''ESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, es tracta d’una configuració '''INESTABLE'''.

:Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, per a <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, <math>\xs_\text{eq}=0</math> és estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), però la de la <math>\theta</math> té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de <math>\dot\psi_0^2</math> ja que la funció <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> està acotada entre -1 i +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealització de l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> condueix a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuració és '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuració és '''INESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuració és '''INESTABLE''' per a qualsevol valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:L’estudi de les configuracions <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.



© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D6. Exemples de dinàmica 2D|<<< D6. Exemples de dinàmica 2D]]

[[D8. Conservacions|D8. Conservacions >>>]]

</center>

Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png

2026-03-16T17:13:56Z

Eantem: Eantem ha carregat una nova versió de Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png

D7-Ex5-7-cat

D7. Exemples de dinàmica 3D

2026-03-16T16:58:47Z

Eantem: /* ✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>
<center>''EN CONSTRUCCIÓ''</center>

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la [[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|'''secció D6.4''']] s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

==D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment==

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures (<math>\dot{\qs}_{i}</math>) dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, roman en repòs <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>
</center>

L’equació que defineix les <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js,</math> amb <math>\varepsilon_\js << 1</math>, i per tant <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

:* si apareixen polinomis de grau superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si es tracta d’una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> i apareixen funcions sinus i cosinus:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solució general és: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, amb <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
:La solució <math>\varepsilon(\ts)</math> de l’equació <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math> la freqüència angular de la qual <math>(\omega)</math> depèn de paràmetres del sistema.

:Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), i per tant, no són intrínseques al sistema.

:* condicions inicials només de posició: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials només de velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials de posició i velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable.
L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada:
<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''INESTABLE'''.

==D7.2 Exemples generals==
====✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria====
------

:[[Fitxer:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Fitxer:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripció cinemàtica:

:Una altra opció per calcular <math>\vel{G}{T}</math> és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general d’interaccions

[[Fitxer:D7-Ex1-3-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs}</math>

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

:Full de ruta per a l’equació del moviment

:Només la placa té un moviment que depèn de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà <math>\ddth</math> quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

[[Fitxer:D7-Ex1-4-cat.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enllaç + <math>\ddth</math> = 6 inc.enllaç <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enllaç + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc.enllaç</center>
 
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

[[Fitxer:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt <math>\Os</math> és immediata tant si sempre la base B com la B’.

:Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

:Una bona proposta és:<math>\boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC a <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si es substitueixen <math>\I{gran + petit}</math> i <math>\I{petit} - \I{gran}</math> pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, i això es compleix només si la velocitat angular <math>\Omega_0</math> està per sobre del valor crític <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

:En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

:L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Per a les petites amplituds al voltant de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, l’equació del moviment és <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si les condicions inicials són <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, l’evolució de <math>\varepsilon</math> ve donada per: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Per a <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''augmenta'''. És una configuració '''INESTABLE''' i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

:* Per a <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminueix'''. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració '''ESTABLE'''. La freqüència angular [rad/s] és <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si les condicions inicials són <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> i <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentari addicional

[[Fitxer:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

:<math>(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si es linealitza al voltant de la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Per a qualsevol valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficient <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]</math> és positiu, i per tant la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math> és sempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Full de ruta per al parell motor

:Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

[[Fitxer:D7-Ex1-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Fitxer:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:
:En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ Exemple D7.2: barres giratòries====
-----

:[[Fitxer:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\sth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant).

:Diagrama general d’interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex2-2-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12</math> eqs.

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex2-3-cat.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:
:Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

<center><math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os}</math></center>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat <math>\Omega_0</math>, és la base que gira amb <math>\Omega_0</math> respecte del terra.

:L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de [[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|'''Steiner''']] per passar a <math>\Os</math>:
:[[Fitxer:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Tenint en compte que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> i escombra una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:[[Fitxer:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:L’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que és la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fos estrictament vertical (paral·lel a <math>\vec\Omega_0</math>), llavors <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']] per al punt <math>\Os</math>, mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui <math>\dth</math>). Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

:[[Fitxer:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada <math>\theta</math>, que es pot trobar amb el <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:L’equació del moviment és:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equilibri <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> són les solucions de l’equació trascendent:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, i està clar que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no és una d’elles.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

</div>


====✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules====
-----
:
:[[Fitxer:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\dth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant.

:Diagrama general d’interaccions

:És un sistema del mateix tipus que el de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']]: té dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:[[Fitxer:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el full de ruta adequat és:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os}</math>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:
:[[Fitxer:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> tot escombrant una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per <math>\Os</math>, i per tant l’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:[[Fitxer:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Com a l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#✏️ EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']].

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

:[[Fitxer:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Fitxer:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:L’equació del moviment és:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equiibri <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> són les solucions de l’equació transcendent:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, i és evident que <math>\theta = 0</math> no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
</div>



====✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex4-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Es tracta d’investigar si la rotació <math>\Omega_0</math> pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
 
 
 
 
 
 
:Descripció cinemàtica
:L’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la bola respecte del terra és la recta <math>\Os\Js</math>, i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

:[[Fitxer:D7-Ex4-2-cat-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general d’interaccions
::[[Fitxer:D7-Ex4-3-cat.png|thumb|left|250px|link=]]
:És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

:(17 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites 
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math>= 18 equacions

:La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']], doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

:[[Fitxer:D7-Ex4-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

:(11 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites 
:2 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math> = 12 equacions

:Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
:La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex4-5-cat.png|thumb|center|510px|link=]]

:La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

:[[Fitxer:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}}</math>

:El moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a <math>\Os</math> (ja que <math>\Os</math> és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

:[[Fitxer:D7-Ex4-7-cat.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

:Alternativa:

:Si el càlcul de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es fa a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> i la derivada es fa de manera analítica:

:[[Fitxer:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex5-1-cat.png|thumb|left|250px|link=]]

:L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular <math>\dot\varphi_0</math> constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular <math>\dot\psi</math>. Inicialment, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix <math>\dot\varphi_0</math> constant mentre hi ha lliscament.

:Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
:Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, <math>\dot\varphi_0</math> i <math>\dot\psi</math> són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids|'''exemple D3.18''']]) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-2-cat.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|'''secció D3.6''']]):

:[[Fitxer:D7-Ex5-3-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, el problema és determinat:

:Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites, 3 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 equacions

:Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites, 2 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 equacions

:<big>'''OPCIÓ 1'''</big>
:En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre P1 i el sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

:[[Fitxer:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

:[[Fitxer:D7-Ex5-5-cat.png|thumb|center|690px|link=]]

:La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç, caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a <math>\Os</math> perquè <math>\Os</math> és fix a l’anella:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a <math>\Js</math> i del moment <math>\Ms_1</math> associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segona component condueix a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

:<center><math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2\mu}{\Rs^2+2\Ls^2}(\gs\Ls+\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0)}</math></center>

:A l’instant inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{2\mu gL}{\Rs^2+2\Ls^2}>0</math>, i per tant la velocitat angular <math>\dot\psi</math> creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a <math>\Js</math>.

:Quan <math>\dot\psi</math> arriba al valor <math>(\text{R}/\text{L})\dot\varphi_0</math> (la velocitat de J s'ha calculat al començament), el lliscament a <math>\Js</math> s’atura:

:<math>\vel{J}{T} = [\otimes (R \dot{\varphi_0}- \text{L}\dot{\psi})] = 0 ⇒ \dot{\psi} = \frac{\Rs}{\Ls}\dot{\varphi_0} </math>

:A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a <math>\Js</math> apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

:Full de ruta per al parell motor

:Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la <math>\psi</math> i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

:[[Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓ 2'''</big>
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Només l’anella té un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha dues opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, anella+forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex5-9-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:Les dues opcions semblen equivalents. Per triar-ne una, cal analitzar els interaccions externes que actuen sobre cadascun dels dos sistemes:

:[[Fitxer:D7-Ex5-10-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> s’eviten tres components de força d’enllaç, però en la direcció 1 (que és on pot aparèixer la <math>\ddot\varphi</math>) hi ha sempre un moment (el parell motor en un cas, o el <math>\Ms_1</math> entre sostre i forquilla en l’altre). S’agafi un sistema o l’altre, caldrà treballar en principi amb més d’una component del TMC per arribar a l’equació del moviment. A continuació es consideren les dues opcions.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> i la seva derivada són els mateixos calculats a l’opció 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a J, del parell motor i del moment <math>\Ms_1</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segona component dóna el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. En ser sempre positiu, el contacte a <math>\Js</math> està garantit.

:La primera component dóna el parell motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Però a la tercera, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de <math>\Ms_3</math>. Per tant, aquesta opció no sembla adequada.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + forquilla),TMC a }\Os}</math>

:Els moments externs són diferents al cas anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En aquesta opció, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de N, però les altres components no permeten calcular aquesta força.
:Ara bé, si es combinen es resultats per a les dues opcions, l’equació del moviment és immediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anella + forquilla), TMC a }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:L’aturada del lliscament s’estudia exactament igual que en l’opció 1.



====✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant <math>\dot\psi_0</math> sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

:Descripció cinemàtica
:[[Fitxer:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:És un sistema de 3 GL: el moviment pendular <math>\dot\theta</math>, el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem <math>\dot\xs</math>) i la rotació vertical forçada <math>\dot\psi_0</math>.

:El moviment del centre de l’anella <math>\Gs</math> respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guia} \\
\text{AB: suport}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guia}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general d'interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex6-3-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema és determinat:

:(15 inc. d'enllaç, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incògnites
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}}</math> = 18 equacions
 
 
 
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math>

:Només el moviment de l’anella depèn de <math>\ddth</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

:[[Fitxer:D7-Ex6-4-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

:[[Fitxer:D7-Ex6-5-cat.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular <math>\dth</math> (i, per tant, el canvi del seu valor <math>\ddth</math>). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ja que el punt O es mou respecte del terra: :<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Per altra banda, <math>\Os</math> és un punt fix a l’anella: :<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalment: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Aquesta equació del moviment inclou també la variable <math>\ddot\xs</math>. Això vol dir que els graus de llibertat <math>\dth</math> i <math>\dot\xs</math> estan '''acoblats''': encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

:El moviment de l’anella i el del suport depenen de <math>\ddot\xs</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ja no és una incògnita.

:[[Fitxer:D7-Ex6-6-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex6-7-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
:Per tant: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Càlcul de l’acceleració de G: 

:'''Opció 1''': per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opció 2''': per cinemàtica del sòlid rígid.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anella} \\
\Os\in\text{anella}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulació de la força de la molla

:[[Fitxer:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translació vertical del suport <math>(\dot\xs)</math> està associat a la variació d’una coordenada <math>\xs</math> l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

:Si es pren <math>\xs=0</math> per a l’equilibri en absència de rotació <math>\dot\psi_0</math>, és clar que la molla haurà d’exercir una força <math>\Fs_0</math> d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ja que el moviment <math>\dot\xs</math> s’ha definit positiu cap a baix, un augment de <math>\xs</math> implica un augment de llargària de la molla. Per tant: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

:Les condicions inicials <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

:Una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En canvi, una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movement vertical <math>\dot\xs</math>, doncs l’equació que governa la <math>\dot\xs</math> per a l’instant inicial és:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
:Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb <math>\dot\psi_0 = 0</math>) s’obtenen de les equacions del moviment imposant <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, les equacions es poden (secció D7.1)[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|'''linealitzar''']]. Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, es tracta d’una configuració '''ESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, es tracta d’una configuració '''INESTABLE'''.

:Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, per a <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, <math>\xs_\text{eq}=0</math> és estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), però la de la <math>\theta</math> té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de <math>\dot\psi_0^2</math> ja que la funció <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> està acotada entre -1 i +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealització de l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> condueix a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuració és '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuració és '''INESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuració és '''INESTABLE''' per a qualsevol valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:L’estudi de les configuracions <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.



© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D6. Exemples de dinàmica 2D|<<< D6. Exemples de dinàmica 2D]]

[[D8. Conservacions|D8. Conservacions >>>]]

</center>

D7. Exemples de dinàmica 3D

2026-03-16T16:57:05Z

Eantem: /* ✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>
<center>''EN CONSTRUCCIÓ''</center>

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la [[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|'''secció D6.4''']] s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

==D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment==

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures (<math>\dot{\qs}_{i}</math>) dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, roman en repòs <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>
</center>

L’equació que defineix les <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js,</math> amb <math>\varepsilon_\js << 1</math>, i per tant <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

:* si apareixen polinomis de grau superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si es tracta d’una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> i apareixen funcions sinus i cosinus:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solució general és: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, amb <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
:La solució <math>\varepsilon(\ts)</math> de l’equació <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math> la freqüència angular de la qual <math>(\omega)</math> depèn de paràmetres del sistema.

:Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), i per tant, no són intrínseques al sistema.

:* condicions inicials només de posició: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials només de velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials de posició i velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable.
L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada:
<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''INESTABLE'''.

==D7.2 Exemples generals==
====✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria====
------

:[[Fitxer:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Fitxer:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripció cinemàtica:

:Una altra opció per calcular <math>\vel{G}{T}</math> és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general d’interaccions

[[Fitxer:D7-Ex1-3-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs}</math>

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

:Full de ruta per a l’equació del moviment

:Només la placa té un moviment que depèn de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà <math>\ddth</math> quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

[[Fitxer:D7-Ex1-4-cat.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enllaç + <math>\ddth</math> = 6 inc.enllaç <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enllaç + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc.enllaç</center>
 
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

[[Fitxer:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt <math>\Os</math> és immediata tant si sempre la base B com la B’.

:Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

:Una bona proposta és:<math>\boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC a <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si es substitueixen <math>\I{gran + petit}</math> i <math>\I{petit} - \I{gran}</math> pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, i això es compleix només si la velocitat angular <math>\Omega_0</math> està per sobre del valor crític <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

:En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

:L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Per a les petites amplituds al voltant de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, l’equació del moviment és <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si les condicions inicials són <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, l’evolució de <math>\varepsilon</math> ve donada per: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Per a <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''augmenta'''. És una configuració '''INESTABLE''' i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

:* Per a <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminueix'''. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració '''ESTABLE'''. La freqüència angular [rad/s] és <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si les condicions inicials són <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> i <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentari addicional

[[Fitxer:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

:<math>(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si es linealitza al voltant de la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Per a qualsevol valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficient <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]</math> és positiu, i per tant la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math> és sempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Full de ruta per al parell motor

:Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

[[Fitxer:D7-Ex1-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Fitxer:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:
:En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ Exemple D7.2: barres giratòries====
-----

:[[Fitxer:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\sth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant).

:Diagrama general d’interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex2-2-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12</math> eqs.

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex2-3-cat.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:
:Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

<center><math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os}</math></center>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat <math>\Omega_0</math>, és la base que gira amb <math>\Omega_0</math> respecte del terra.

:L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de [[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|'''Steiner''']] per passar a <math>\Os</math>:
:[[Fitxer:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Tenint en compte que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> i escombra una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:[[Fitxer:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:L’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que és la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fos estrictament vertical (paral·lel a <math>\vec\Omega_0</math>), llavors <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']] per al punt <math>\Os</math>, mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui <math>\dth</math>). Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

:[[Fitxer:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada <math>\theta</math>, que es pot trobar amb el <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:L’equació del moviment és:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equilibri <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> són les solucions de l’equació trascendent:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, i està clar que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no és una d’elles.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

</div>


====✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules====
-----
:
:[[Fitxer:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\dth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant.

:Diagrama general d’interaccions

:És un sistema del mateix tipus que el de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']]: té dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:[[Fitxer:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el full de ruta adequat és:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os}</math>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:
:[[Fitxer:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> tot escombrant una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per <math>\Os</math>, i per tant l’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:[[Fitxer:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Com a l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#✏️ EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']].

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

:[[Fitxer:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Fitxer:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:L’equació del moviment és:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equiibri <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> són les solucions de l’equació transcendent:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, i és evident que <math>\theta = 0</math> no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
</div>



====✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex4-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Es tracta d’investigar si la rotació <math>\Omega_0</math> pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
 
 
 
 
 
 
:Descripció cinemàtica
:L’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la bola respecte del terra és la recta <math>\Os\Js</math>, i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

:[[Fitxer:D7-Ex4-2-cat-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general d’interaccions
::[[Fitxer:D7-Ex4-3-cat.png|thumb|left|250px|link=]]
:És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

:(17 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites 
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math>= 18 equacions

:La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']], doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

:[[Fitxer:D7-Ex4-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

:(11 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites 
:2 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math> = 12 equacions

:Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
:La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex4-5-cat.png|thumb|center|510px|link=]]

:La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

:[[Fitxer:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}}</math>

:El moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a <math>\Os</math> (ja que <math>\Os</math> és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

:[[Fitxer:D7-Ex4-7-cat.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

:Alternativa:

:Si el càlcul de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es fa a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> i la derivada es fa de manera analítica:

:[[Fitxer:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex5-1-cat.png|thumb|left|250px|link=]]

:L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular <math>\dot\varphi_0</math> constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular <math>\dot\psi</math>. Inicialment, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix <math>\dot\varphi_0</math> constant mentre hi ha lliscament.

:Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
:Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, <math>\dot\varphi_0</math> i <math>\dot\psi</math> són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids|'''exemple D3.18''']]) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-2-cat.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|'''secció D3.6''']]):

:[[Fitxer:D7-Ex5-3-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, el problema és determinat:

:Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites, 3 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 equacions

:Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites, 2 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 equacions

:<big>'''OPCIÓ 1'''</big>
:En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre P1 i el sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

:[[Fitxer:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

:[[Fitxer:D7-Ex5-5-cat.png|thumb|center|690px|link=]]

:La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç, caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a <math>\Os</math> perquè <math>\Os</math> és fix a l’anella:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a <math>\Js</math> i del moment <math>\Ms_1</math> associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segona component condueix a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

:<center><math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2\mu}{\Rs^2+2\Ls^2}(\gs\Ls+\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0)}</math></center>

:A l’instant inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{2\mu gL}{\Rs^2+2\Ls^2}>0</math>, i per tant la velocitat angular <math>\dot\psi</math> creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a <math>\Js</math>.

:Quan <math>\dot\psi</math> arriba al valor <math>(\text{R}/\text{L})\dot\varphi_0</math> (la velocitat de J s'ha calculat al començament), el lliscament a <math>\Js</math> s’atura:

:<math>\vel{J}{T} = [\otimes (R \dot{\varphi_0}- \text{L}\dot{\psi})] = 0</math>

:A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a <math>\Js</math> apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

:Full de ruta per al parell motor

:Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la <math>\psi</math> i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

:[[Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓ 2'''</big>
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Només l’anella té un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha dues opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, anella+forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex5-9-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:Les dues opcions semblen equivalents. Per triar-ne una, cal analitzar els interaccions externes que actuen sobre cadascun dels dos sistemes:

:[[Fitxer:D7-Ex5-10-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> s’eviten tres components de força d’enllaç, però en la direcció 1 (que és on pot aparèixer la <math>\ddot\varphi</math>) hi ha sempre un moment (el parell motor en un cas, o el <math>\Ms_1</math> entre sostre i forquilla en l’altre). S’agafi un sistema o l’altre, caldrà treballar en principi amb més d’una component del TMC per arribar a l’equació del moviment. A continuació es consideren les dues opcions.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> i la seva derivada són els mateixos calculats a l’opció 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a J, del parell motor i del moment <math>\Ms_1</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segona component dóna el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. En ser sempre positiu, el contacte a <math>\Js</math> està garantit.

:La primera component dóna el parell motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Però a la tercera, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de <math>\Ms_3</math>. Per tant, aquesta opció no sembla adequada.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + forquilla),TMC a }\Os}</math>

:Els moments externs són diferents al cas anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En aquesta opció, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de N, però les altres components no permeten calcular aquesta força.
:Ara bé, si es combinen es resultats per a les dues opcions, l’equació del moviment és immediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anella + forquilla), TMC a }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:L’aturada del lliscament s’estudia exactament igual que en l’opció 1.



====✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant <math>\dot\psi_0</math> sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

:Descripció cinemàtica
:[[Fitxer:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:És un sistema de 3 GL: el moviment pendular <math>\dot\theta</math>, el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem <math>\dot\xs</math>) i la rotació vertical forçada <math>\dot\psi_0</math>.

:El moviment del centre de l’anella <math>\Gs</math> respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guia} \\
\text{AB: suport}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guia}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general d'interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex6-3-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema és determinat:

:(15 inc. d'enllaç, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incògnites
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}}</math> = 18 equacions
 
 
 
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math>

:Només el moviment de l’anella depèn de <math>\ddth</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

:[[Fitxer:D7-Ex6-4-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

:[[Fitxer:D7-Ex6-5-cat.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular <math>\dth</math> (i, per tant, el canvi del seu valor <math>\ddth</math>). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ja que el punt O es mou respecte del terra: :<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Per altra banda, <math>\Os</math> és un punt fix a l’anella: :<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalment: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Aquesta equació del moviment inclou també la variable <math>\ddot\xs</math>. Això vol dir que els graus de llibertat <math>\dth</math> i <math>\dot\xs</math> estan '''acoblats''': encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

:El moviment de l’anella i el del suport depenen de <math>\ddot\xs</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ja no és una incògnita.

:[[Fitxer:D7-Ex6-6-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex6-7-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
:Per tant: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Càlcul de l’acceleració de G: 

:'''Opció 1''': per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opció 2''': per cinemàtica del sòlid rígid.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anella} \\
\Os\in\text{anella}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulació de la força de la molla

:[[Fitxer:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translació vertical del suport <math>(\dot\xs)</math> està associat a la variació d’una coordenada <math>\xs</math> l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

:Si es pren <math>\xs=0</math> per a l’equilibri en absència de rotació <math>\dot\psi_0</math>, és clar que la molla haurà d’exercir una força <math>\Fs_0</math> d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ja que el moviment <math>\dot\xs</math> s’ha definit positiu cap a baix, un augment de <math>\xs</math> implica un augment de llargària de la molla. Per tant: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

:Les condicions inicials <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

:Una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En canvi, una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movement vertical <math>\dot\xs</math>, doncs l’equació que governa la <math>\dot\xs</math> per a l’instant inicial és:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
:Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb <math>\dot\psi_0 = 0</math>) s’obtenen de les equacions del moviment imposant <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, les equacions es poden (secció D7.1)[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|'''linealitzar''']]. Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, es tracta d’una configuració '''ESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, es tracta d’una configuració '''INESTABLE'''.

:Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, per a <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, <math>\xs_\text{eq}=0</math> és estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), però la de la <math>\theta</math> té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de <math>\dot\psi_0^2</math> ja que la funció <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> està acotada entre -1 i +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealització de l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> condueix a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuració és '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuració és '''INESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuració és '''INESTABLE''' per a qualsevol valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:L’estudi de les configuracions <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.



© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D6. Exemples de dinàmica 2D|<<< D6. Exemples de dinàmica 2D]]

[[D8. Conservacions|D8. Conservacions >>>]]

</center>

D7. Exemples de dinàmica 3D

2026-03-16T16:56:21Z

Eantem: /* ✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>
<center>''EN CONSTRUCCIÓ''</center>

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la [[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|'''secció D6.4''']] s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

==D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment==

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures (<math>\dot{\qs}_{i}</math>) dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, roman en repòs <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>
</center>

L’equació que defineix les <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js,</math> amb <math>\varepsilon_\js << 1</math>, i per tant <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

:* si apareixen polinomis de grau superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si es tracta d’una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> i apareixen funcions sinus i cosinus:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solució general és: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, amb <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
:La solució <math>\varepsilon(\ts)</math> de l’equació <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math> la freqüència angular de la qual <math>(\omega)</math> depèn de paràmetres del sistema.

:Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), i per tant, no són intrínseques al sistema.

:* condicions inicials només de posició: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials només de velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials de posició i velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable.
L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada:
<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''INESTABLE'''.

==D7.2 Exemples generals==
====✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria====
------

:[[Fitxer:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Fitxer:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripció cinemàtica:

:Una altra opció per calcular <math>\vel{G}{T}</math> és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general d’interaccions

[[Fitxer:D7-Ex1-3-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs}</math>

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

:Full de ruta per a l’equació del moviment

:Només la placa té un moviment que depèn de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà <math>\ddth</math> quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

[[Fitxer:D7-Ex1-4-cat.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enllaç + <math>\ddth</math> = 6 inc.enllaç <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enllaç + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc.enllaç</center>
 
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

[[Fitxer:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt <math>\Os</math> és immediata tant si sempre la base B com la B’.

:Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

:Una bona proposta és:<math>\boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC a <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si es substitueixen <math>\I{gran + petit}</math> i <math>\I{petit} - \I{gran}</math> pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, i això es compleix només si la velocitat angular <math>\Omega_0</math> està per sobre del valor crític <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

:En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

:L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Per a les petites amplituds al voltant de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, l’equació del moviment és <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si les condicions inicials són <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, l’evolució de <math>\varepsilon</math> ve donada per: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Per a <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''augmenta'''. És una configuració '''INESTABLE''' i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

:* Per a <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminueix'''. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració '''ESTABLE'''. La freqüència angular [rad/s] és <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si les condicions inicials són <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> i <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentari addicional

[[Fitxer:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

:<math>(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si es linealitza al voltant de la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Per a qualsevol valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficient <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]</math> és positiu, i per tant la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math> és sempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Full de ruta per al parell motor

:Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

[[Fitxer:D7-Ex1-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Fitxer:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:
:En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ Exemple D7.2: barres giratòries====
-----

:[[Fitxer:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\sth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant).

:Diagrama general d’interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex2-2-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12</math> eqs.

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex2-3-cat.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:
:Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

<center><math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os}</math></center>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat <math>\Omega_0</math>, és la base que gira amb <math>\Omega_0</math> respecte del terra.

:L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de [[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|'''Steiner''']] per passar a <math>\Os</math>:
:[[Fitxer:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Tenint en compte que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> i escombra una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:[[Fitxer:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:L’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que és la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fos estrictament vertical (paral·lel a <math>\vec\Omega_0</math>), llavors <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']] per al punt <math>\Os</math>, mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui <math>\dth</math>). Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

:[[Fitxer:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada <math>\theta</math>, que es pot trobar amb el <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:L’equació del moviment és:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equilibri <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> són les solucions de l’equació trascendent:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, i està clar que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no és una d’elles.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

</div>


====✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules====
-----
:
:[[Fitxer:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\dth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant.

:Diagrama general d’interaccions

:És un sistema del mateix tipus que el de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']]: té dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:[[Fitxer:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el full de ruta adequat és:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os}</math>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:
:[[Fitxer:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> tot escombrant una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per <math>\Os</math>, i per tant l’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:[[Fitxer:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Com a l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#✏️ EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']].

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

:[[Fitxer:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Fitxer:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:L’equació del moviment és:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equiibri <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> són les solucions de l’equació transcendent:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, i és evident que <math>\theta = 0</math> no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
</div>



====✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex4-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Es tracta d’investigar si la rotació <math>\Omega_0</math> pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
 
 
 
 
 
 
:Descripció cinemàtica
:L’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la bola respecte del terra és la recta <math>\Os\Js</math>, i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

:[[Fitxer:D7-Ex4-2-cat-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general d’interaccions
::[[Fitxer:D7-Ex4-3-cat.png|thumb|left|250px|link=]]
:És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

:(17 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites 
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math>= 18 equacions

:La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']], doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

:[[Fitxer:D7-Ex4-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

:(11 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites 
:2 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math> = 12 equacions

:Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
:La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex4-5-cat.png|thumb|center|510px|link=]]

:La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

:[[Fitxer:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}}</math>

:El moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a <math>\Os</math> (ja que <math>\Os</math> és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

:[[Fitxer:D7-Ex4-7-cat.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

:Alternativa:

:Si el càlcul de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es fa a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> i la derivada es fa de manera analítica:

:[[Fitxer:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex5-1-cat.png|thumb|left|250px|link=]]

:L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular <math>\dot\varphi_0</math> constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular <math>\dot\psi</math>. Inicialment, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix <math>\dot\varphi_0</math> constant mentre hi ha lliscament.

:Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
:Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, <math>\dot\varphi_0</math> i <math>\dot\psi</math> són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids|'''exemple D3.18''']]) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-2-cat.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|'''secció D3.6''']]):

:[[Fitxer:D7-Ex5-3-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, el problema és determinat:

:Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites, 3 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 equacions

:Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites, 2 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 equacions

:<big>'''OPCIÓ 1'''</big>
:En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre P1 i el sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

:[[Fitxer:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

:[[Fitxer:D7-Ex5-5-cat.png|thumb|center|690px|link=]]

:La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç, caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a <math>\Os</math> perquè <math>\Os</math> és fix a l’anella:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a <math>\Js</math> i del moment <math>\Ms_1</math> associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segona component condueix a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

:<center><math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2\mu}{\Rs^2+2\Ls^2}(\gs\Ls+\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0)}</math></center>

:A l’instant inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{2\mu gL}{\Rs^2+2\Ls^2}>0</math>, i per tant la velocitat angular <math>\dot\psi</math> creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a <math>\Js</math>.

:Quan <math>\dot\psi</math> arriba al valor <math>(\text{R}/\text{L})\dot\varphi_0</math> (la velocitat de J s'ha calculat al començament), el lliscament a <math>\Js</math> s’atura:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{roda}{T}\times\CJvec = + [\otimes (R \dot{\varphi_0}- \text{L}\dot{\psi})] = 0</math>

:A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a <math>\Js</math> apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

:Full de ruta per al parell motor

:Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la <math>\psi</math> i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

:[[Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓ 2'''</big>
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Només l’anella té un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha dues opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, anella+forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex5-9-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:Les dues opcions semblen equivalents. Per triar-ne una, cal analitzar els interaccions externes que actuen sobre cadascun dels dos sistemes:

:[[Fitxer:D7-Ex5-10-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> s’eviten tres components de força d’enllaç, però en la direcció 1 (que és on pot aparèixer la <math>\ddot\varphi</math>) hi ha sempre un moment (el parell motor en un cas, o el <math>\Ms_1</math> entre sostre i forquilla en l’altre). S’agafi un sistema o l’altre, caldrà treballar en principi amb més d’una component del TMC per arribar a l’equació del moviment. A continuació es consideren les dues opcions.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> i la seva derivada són els mateixos calculats a l’opció 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a J, del parell motor i del moment <math>\Ms_1</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segona component dóna el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. En ser sempre positiu, el contacte a <math>\Js</math> està garantit.

:La primera component dóna el parell motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Però a la tercera, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de <math>\Ms_3</math>. Per tant, aquesta opció no sembla adequada.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + forquilla),TMC a }\Os}</math>

:Els moments externs són diferents al cas anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En aquesta opció, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de N, però les altres components no permeten calcular aquesta força.
:Ara bé, si es combinen es resultats per a les dues opcions, l’equació del moviment és immediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anella + forquilla), TMC a }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:L’aturada del lliscament s’estudia exactament igual que en l’opció 1.



====✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant <math>\dot\psi_0</math> sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

:Descripció cinemàtica
:[[Fitxer:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:És un sistema de 3 GL: el moviment pendular <math>\dot\theta</math>, el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem <math>\dot\xs</math>) i la rotació vertical forçada <math>\dot\psi_0</math>.

:El moviment del centre de l’anella <math>\Gs</math> respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guia} \\
\text{AB: suport}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guia}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general d'interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex6-3-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema és determinat:

:(15 inc. d'enllaç, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incògnites
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}}</math> = 18 equacions
 
 
 
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math>

:Només el moviment de l’anella depèn de <math>\ddth</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

:[[Fitxer:D7-Ex6-4-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

:[[Fitxer:D7-Ex6-5-cat.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular <math>\dth</math> (i, per tant, el canvi del seu valor <math>\ddth</math>). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ja que el punt O es mou respecte del terra: :<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Per altra banda, <math>\Os</math> és un punt fix a l’anella: :<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalment: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Aquesta equació del moviment inclou també la variable <math>\ddot\xs</math>. Això vol dir que els graus de llibertat <math>\dth</math> i <math>\dot\xs</math> estan '''acoblats''': encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

:El moviment de l’anella i el del suport depenen de <math>\ddot\xs</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ja no és una incògnita.

:[[Fitxer:D7-Ex6-6-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex6-7-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
:Per tant: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Càlcul de l’acceleració de G: 

:'''Opció 1''': per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opció 2''': per cinemàtica del sòlid rígid.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anella} \\
\Os\in\text{anella}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulació de la força de la molla

:[[Fitxer:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translació vertical del suport <math>(\dot\xs)</math> està associat a la variació d’una coordenada <math>\xs</math> l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

:Si es pren <math>\xs=0</math> per a l’equilibri en absència de rotació <math>\dot\psi_0</math>, és clar que la molla haurà d’exercir una força <math>\Fs_0</math> d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ja que el moviment <math>\dot\xs</math> s’ha definit positiu cap a baix, un augment de <math>\xs</math> implica un augment de llargària de la molla. Per tant: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

:Les condicions inicials <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

:Una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En canvi, una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movement vertical <math>\dot\xs</math>, doncs l’equació que governa la <math>\dot\xs</math> per a l’instant inicial és:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
:Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb <math>\dot\psi_0 = 0</math>) s’obtenen de les equacions del moviment imposant <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, les equacions es poden (secció D7.1)[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|'''linealitzar''']]. Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, es tracta d’una configuració '''ESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, es tracta d’una configuració '''INESTABLE'''.

:Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, per a <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, <math>\xs_\text{eq}=0</math> és estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), però la de la <math>\theta</math> té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de <math>\dot\psi_0^2</math> ja que la funció <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> està acotada entre -1 i +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealització de l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> condueix a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuració és '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuració és '''INESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuració és '''INESTABLE''' per a qualsevol valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:L’estudi de les configuracions <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.



© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D6. Exemples de dinàmica 2D|<<< D6. Exemples de dinàmica 2D]]

[[D8. Conservacions|D8. Conservacions >>>]]

</center>

D7. Exemples de dinàmica 3D

2026-03-16T16:55:27Z

Eantem: /* ✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>
<center>''EN CONSTRUCCIÓ''</center>

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la [[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|'''secció D6.4''']] s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

==D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment==

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures (<math>\dot{\qs}_{i}</math>) dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, roman en repòs <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>
</center>

L’equació que defineix les <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js,</math> amb <math>\varepsilon_\js << 1</math>, i per tant <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

:* si apareixen polinomis de grau superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si es tracta d’una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> i apareixen funcions sinus i cosinus:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solució general és: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, amb <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
:La solució <math>\varepsilon(\ts)</math> de l’equació <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math> la freqüència angular de la qual <math>(\omega)</math> depèn de paràmetres del sistema.

:Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), i per tant, no són intrínseques al sistema.

:* condicions inicials només de posició: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials només de velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials de posició i velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable.
L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada:
<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''INESTABLE'''.

==D7.2 Exemples generals==
====✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria====
------

:[[Fitxer:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Fitxer:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripció cinemàtica:

:Una altra opció per calcular <math>\vel{G}{T}</math> és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general d’interaccions

[[Fitxer:D7-Ex1-3-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs}</math>

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

:Full de ruta per a l’equació del moviment

:Només la placa té un moviment que depèn de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà <math>\ddth</math> quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

[[Fitxer:D7-Ex1-4-cat.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enllaç + <math>\ddth</math> = 6 inc.enllaç <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enllaç + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc.enllaç</center>
 
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

[[Fitxer:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt <math>\Os</math> és immediata tant si sempre la base B com la B’.

:Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

:Una bona proposta és:<math>\boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC a <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si es substitueixen <math>\I{gran + petit}</math> i <math>\I{petit} - \I{gran}</math> pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, i això es compleix només si la velocitat angular <math>\Omega_0</math> està per sobre del valor crític <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

:En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

:L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Per a les petites amplituds al voltant de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, l’equació del moviment és <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si les condicions inicials són <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, l’evolució de <math>\varepsilon</math> ve donada per: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Per a <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''augmenta'''. És una configuració '''INESTABLE''' i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

:* Per a <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminueix'''. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració '''ESTABLE'''. La freqüència angular [rad/s] és <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si les condicions inicials són <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> i <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentari addicional

[[Fitxer:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

:<math>(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si es linealitza al voltant de la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Per a qualsevol valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficient <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]</math> és positiu, i per tant la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math> és sempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Full de ruta per al parell motor

:Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

[[Fitxer:D7-Ex1-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Fitxer:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:
:En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ Exemple D7.2: barres giratòries====
-----

:[[Fitxer:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\sth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant).

:Diagrama general d’interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex2-2-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12</math> eqs.

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex2-3-cat.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:
:Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

<center><math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os}</math></center>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat <math>\Omega_0</math>, és la base que gira amb <math>\Omega_0</math> respecte del terra.

:L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de [[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|'''Steiner''']] per passar a <math>\Os</math>:
:[[Fitxer:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Tenint en compte que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> i escombra una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:[[Fitxer:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:L’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que és la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fos estrictament vertical (paral·lel a <math>\vec\Omega_0</math>), llavors <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']] per al punt <math>\Os</math>, mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui <math>\dth</math>). Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

:[[Fitxer:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada <math>\theta</math>, que es pot trobar amb el <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:L’equació del moviment és:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equilibri <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> són les solucions de l’equació trascendent:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, i està clar que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no és una d’elles.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

</div>


====✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules====
-----
:
:[[Fitxer:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\dth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant.

:Diagrama general d’interaccions

:És un sistema del mateix tipus que el de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']]: té dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:[[Fitxer:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el full de ruta adequat és:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os}</math>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:
:[[Fitxer:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> tot escombrant una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per <math>\Os</math>, i per tant l’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:[[Fitxer:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Com a l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#✏️ EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']].

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

:[[Fitxer:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Fitxer:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:L’equació del moviment és:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equiibri <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> són les solucions de l’equació transcendent:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, i és evident que <math>\theta = 0</math> no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
</div>



====✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex4-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Es tracta d’investigar si la rotació <math>\Omega_0</math> pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
 
 
 
 
 
 
:Descripció cinemàtica
:L’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la bola respecte del terra és la recta <math>\Os\Js</math>, i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

:[[Fitxer:D7-Ex4-2-cat-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general d’interaccions
::[[Fitxer:D7-Ex4-3-cat.png|thumb|left|250px|link=]]
:És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

:(17 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites 
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math>= 18 equacions

:La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']], doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

:[[Fitxer:D7-Ex4-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

:(11 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites 
:2 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math> = 12 equacions

:Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
:La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex4-5-cat.png|thumb|center|510px|link=]]

:La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

:[[Fitxer:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}}</math>

:El moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a <math>\Os</math> (ja que <math>\Os</math> és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

:[[Fitxer:D7-Ex4-7-cat.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

:Alternativa:

:Si el càlcul de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es fa a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> i la derivada es fa de manera analítica:

:[[Fitxer:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex5-1-cat.png|thumb|left|250px|link=]]

:L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular <math>\dot\varphi_0</math> constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular <math>\dot\psi</math>. Inicialment, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix <math>\dot\varphi_0</math> constant mentre hi ha lliscament.

:Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
:Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, <math>\dot\varphi_0</math> i <math>\dot\psi</math> són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids|'''exemple D3.18''']]) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-2-cat.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|'''secció D3.6''']]):

:[[Fitxer:D7-Ex5-3-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, el problema és determinat:

:Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites, 3 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 equacions

:Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites, 2 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 equacions

:<big>'''OPCIÓ 1'''</big>
:En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre P1 i el sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

:[[Fitxer:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

:[[Fitxer:D7-Ex5-5-cat.png|thumb|center|690px|link=]]

:La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç, caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a <math>\Os</math> perquè <math>\Os</math> és fix a l’anella:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a <math>\Js</math> i del moment <math>\Ms_1</math> associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segona component condueix a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

:<center><math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2\mu}{\Rs^2+2\Ls^2}(\gs\Ls+\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0)}</math></center>

:A l’instant inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{2\mu gL}{\Rs^2+2\Ls^2}>0</math>, i per tant la velocitat angular <math>\dot\psi</math> creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a <math>\Js</math>.

:Quan <math>\dot\psi</math> arriba al valor <math>(\text{R}/\text{L})\dot\varphi_0</math> (la velocitat de J s'ha calculat al començament), el lliscament a <math>\Js</math> s’atura:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{roda}{T}\times\CJvec = + (\otimes (R \dot{\varphi_0}- \text{L}\dot{\psi})) = 0</math>

:A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a <math>\Js</math> apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

:Full de ruta per al parell motor

:Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la <math>\psi</math> i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

:[[Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓ 2'''</big>
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Només l’anella té un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha dues opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, anella+forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex5-9-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:Les dues opcions semblen equivalents. Per triar-ne una, cal analitzar els interaccions externes que actuen sobre cadascun dels dos sistemes:

:[[Fitxer:D7-Ex5-10-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> s’eviten tres components de força d’enllaç, però en la direcció 1 (que és on pot aparèixer la <math>\ddot\varphi</math>) hi ha sempre un moment (el parell motor en un cas, o el <math>\Ms_1</math> entre sostre i forquilla en l’altre). S’agafi un sistema o l’altre, caldrà treballar en principi amb més d’una component del TMC per arribar a l’equació del moviment. A continuació es consideren les dues opcions.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> i la seva derivada són els mateixos calculats a l’opció 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a J, del parell motor i del moment <math>\Ms_1</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segona component dóna el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. En ser sempre positiu, el contacte a <math>\Js</math> està garantit.

:La primera component dóna el parell motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Però a la tercera, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de <math>\Ms_3</math>. Per tant, aquesta opció no sembla adequada.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + forquilla),TMC a }\Os}</math>

:Els moments externs són diferents al cas anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En aquesta opció, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de N, però les altres components no permeten calcular aquesta força.
:Ara bé, si es combinen es resultats per a les dues opcions, l’equació del moviment és immediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anella + forquilla), TMC a }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:L’aturada del lliscament s’estudia exactament igual que en l’opció 1.



====✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant <math>\dot\psi_0</math> sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

:Descripció cinemàtica
:[[Fitxer:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:És un sistema de 3 GL: el moviment pendular <math>\dot\theta</math>, el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem <math>\dot\xs</math>) i la rotació vertical forçada <math>\dot\psi_0</math>.

:El moviment del centre de l’anella <math>\Gs</math> respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guia} \\
\text{AB: suport}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guia}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general d'interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex6-3-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema és determinat:

:(15 inc. d'enllaç, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incògnites
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}}</math> = 18 equacions
 
 
 
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math>

:Només el moviment de l’anella depèn de <math>\ddth</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

:[[Fitxer:D7-Ex6-4-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

:[[Fitxer:D7-Ex6-5-cat.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular <math>\dth</math> (i, per tant, el canvi del seu valor <math>\ddth</math>). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ja que el punt O es mou respecte del terra: :<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Per altra banda, <math>\Os</math> és un punt fix a l’anella: :<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalment: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Aquesta equació del moviment inclou també la variable <math>\ddot\xs</math>. Això vol dir que els graus de llibertat <math>\dth</math> i <math>\dot\xs</math> estan '''acoblats''': encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

:El moviment de l’anella i el del suport depenen de <math>\ddot\xs</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ja no és una incògnita.

:[[Fitxer:D7-Ex6-6-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex6-7-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
:Per tant: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Càlcul de l’acceleració de G: 

:'''Opció 1''': per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opció 2''': per cinemàtica del sòlid rígid.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anella} \\
\Os\in\text{anella}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulació de la força de la molla

:[[Fitxer:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translació vertical del suport <math>(\dot\xs)</math> està associat a la variació d’una coordenada <math>\xs</math> l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

:Si es pren <math>\xs=0</math> per a l’equilibri en absència de rotació <math>\dot\psi_0</math>, és clar que la molla haurà d’exercir una força <math>\Fs_0</math> d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ja que el moviment <math>\dot\xs</math> s’ha definit positiu cap a baix, un augment de <math>\xs</math> implica un augment de llargària de la molla. Per tant: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

:Les condicions inicials <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

:Una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En canvi, una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movement vertical <math>\dot\xs</math>, doncs l’equació que governa la <math>\dot\xs</math> per a l’instant inicial és:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
:Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb <math>\dot\psi_0 = 0</math>) s’obtenen de les equacions del moviment imposant <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, les equacions es poden (secció D7.1)[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|'''linealitzar''']]. Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, es tracta d’una configuració '''ESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, es tracta d’una configuració '''INESTABLE'''.

:Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, per a <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, <math>\xs_\text{eq}=0</math> és estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), però la de la <math>\theta</math> té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de <math>\dot\psi_0^2</math> ja que la funció <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> està acotada entre -1 i +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealització de l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> condueix a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuració és '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuració és '''INESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuració és '''INESTABLE''' per a qualsevol valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:L’estudi de les configuracions <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.



© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D6. Exemples de dinàmica 2D|<<< D6. Exemples de dinàmica 2D]]

[[D8. Conservacions|D8. Conservacions >>>]]

</center>

D7. Exemples de dinàmica 3D

2026-03-16T16:52:16Z

Eantem: /* ✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>
<center>''EN CONSTRUCCIÓ''</center>

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la [[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|'''secció D6.4''']] s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

==D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment==

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures (<math>\dot{\qs}_{i}</math>) dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, roman en repòs <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>
</center>

L’equació que defineix les <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js,</math> amb <math>\varepsilon_\js << 1</math>, i per tant <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

:* si apareixen polinomis de grau superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si es tracta d’una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> i apareixen funcions sinus i cosinus:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solució general és: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, amb <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
:La solució <math>\varepsilon(\ts)</math> de l’equació <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math> la freqüència angular de la qual <math>(\omega)</math> depèn de paràmetres del sistema.

:Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), i per tant, no són intrínseques al sistema.

:* condicions inicials només de posició: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials només de velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials de posició i velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable.
L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada:
<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''INESTABLE'''.

==D7.2 Exemples generals==
====✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria====
------

:[[Fitxer:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Fitxer:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripció cinemàtica:

:Una altra opció per calcular <math>\vel{G}{T}</math> és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general d’interaccions

[[Fitxer:D7-Ex1-3-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs}</math>

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

:Full de ruta per a l’equació del moviment

:Només la placa té un moviment que depèn de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà <math>\ddth</math> quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

[[Fitxer:D7-Ex1-4-cat.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enllaç + <math>\ddth</math> = 6 inc.enllaç <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enllaç + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc.enllaç</center>
 
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

[[Fitxer:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt <math>\Os</math> és immediata tant si sempre la base B com la B’.

:Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

:Una bona proposta és:<math>\boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC a <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si es substitueixen <math>\I{gran + petit}</math> i <math>\I{petit} - \I{gran}</math> pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, i això es compleix només si la velocitat angular <math>\Omega_0</math> està per sobre del valor crític <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

:En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

:L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Per a les petites amplituds al voltant de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, l’equació del moviment és <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si les condicions inicials són <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, l’evolució de <math>\varepsilon</math> ve donada per: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Per a <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''augmenta'''. És una configuració '''INESTABLE''' i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

:* Per a <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminueix'''. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració '''ESTABLE'''. La freqüència angular [rad/s] és <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si les condicions inicials són <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> i <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentari addicional

[[Fitxer:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

:<math>(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si es linealitza al voltant de la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Per a qualsevol valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficient <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]</math> és positiu, i per tant la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math> és sempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Full de ruta per al parell motor

:Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

[[Fitxer:D7-Ex1-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Fitxer:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:
:En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ Exemple D7.2: barres giratòries====
-----

:[[Fitxer:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\sth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant).

:Diagrama general d’interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex2-2-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12</math> eqs.

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex2-3-cat.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:
:Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

<center><math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os}</math></center>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat <math>\Omega_0</math>, és la base que gira amb <math>\Omega_0</math> respecte del terra.

:L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de [[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|'''Steiner''']] per passar a <math>\Os</math>:
:[[Fitxer:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Tenint en compte que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> i escombra una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:[[Fitxer:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:L’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que és la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fos estrictament vertical (paral·lel a <math>\vec\Omega_0</math>), llavors <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']] per al punt <math>\Os</math>, mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui <math>\dth</math>). Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

:[[Fitxer:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada <math>\theta</math>, que es pot trobar amb el <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:L’equació del moviment és:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equilibri <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> són les solucions de l’equació trascendent:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, i està clar que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no és una d’elles.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

</div>


====✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules====
-----
:
:[[Fitxer:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\dth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant.

:Diagrama general d’interaccions

:És un sistema del mateix tipus que el de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']]: té dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:[[Fitxer:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el full de ruta adequat és:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os}</math>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:
:[[Fitxer:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> tot escombrant una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per <math>\Os</math>, i per tant l’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:[[Fitxer:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Com a l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#✏️ EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']].

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

:[[Fitxer:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Fitxer:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:L’equació del moviment és:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equiibri <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> són les solucions de l’equació transcendent:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, i és evident que <math>\theta = 0</math> no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
</div>



====✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex4-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Es tracta d’investigar si la rotació <math>\Omega_0</math> pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
 
 
 
 
 
 
:Descripció cinemàtica
:L’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la bola respecte del terra és la recta <math>\Os\Js</math>, i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

:[[Fitxer:D7-Ex4-2-cat-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general d’interaccions
::[[Fitxer:D7-Ex4-3-cat.png|thumb|left|250px|link=]]
:És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

:(17 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites 
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math>= 18 equacions

:La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']], doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

:[[Fitxer:D7-Ex4-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

:(11 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites 
:2 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math> = 12 equacions

:Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
:La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex4-5-cat.png|thumb|center|510px|link=]]

:La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

:[[Fitxer:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}}</math>

:El moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a <math>\Os</math> (ja que <math>\Os</math> és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

:[[Fitxer:D7-Ex4-7-cat.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

:Alternativa:

:Si el càlcul de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es fa a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> i la derivada es fa de manera analítica:

:[[Fitxer:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex5-1-cat.png|thumb|left|250px|link=]]

:L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular <math>\dot\varphi_0</math> constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular <math>\dot\psi</math>. Inicialment, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix <math>\dot\varphi_0</math> constant mentre hi ha lliscament.

:Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
:Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, <math>\dot\varphi_0</math> i <math>\dot\psi</math> són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids|'''exemple D3.18''']]) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-2-cat.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|'''secció D3.6''']]):

:[[Fitxer:D7-Ex5-3-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, el problema és determinat:

:Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites, 3 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 equacions

:Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites, 2 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 equacions

:<big>'''OPCIÓ 1'''</big>
:En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre P1 i el sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

:[[Fitxer:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

:[[Fitxer:D7-Ex5-5-cat.png|thumb|center|690px|link=]]

:La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç, caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a <math>\Os</math> perquè <math>\Os</math> és fix a l’anella:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a <math>\Js</math> i del moment <math>\Ms_1</math> associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segona component condueix a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

:<center><math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2\mu}{\Rs^2+2\Ls^2}(\gs\Ls+\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0)}</math></center>

:A l’instant inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{2\mu gL}{\Rs^2+2\Ls^2}>0</math>, i per tant la velocitat angular <math>\dot\psi</math> creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a <math>\Js</math>.

:Quan <math>\dot\psi</math> arriba al valor <math>(\text{R}/\text{L})\dot\varphi_0</math> (la velocitat de J s'ha calculat al començament), el lliscament a <math>\Js</math> s’atura:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{roda}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0</math>

:A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a <math>\Js</math> apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

:Full de ruta per al parell motor

:Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la <math>\psi</math> i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

:[[Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓ 2'''</big>
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Només l’anella té un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha dues opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, anella+forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex5-9-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:Les dues opcions semblen equivalents. Per triar-ne una, cal analitzar els interaccions externes que actuen sobre cadascun dels dos sistemes:

:[[Fitxer:D7-Ex5-10-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> s’eviten tres components de força d’enllaç, però en la direcció 1 (que és on pot aparèixer la <math>\ddot\varphi</math>) hi ha sempre un moment (el parell motor en un cas, o el <math>\Ms_1</math> entre sostre i forquilla en l’altre). S’agafi un sistema o l’altre, caldrà treballar en principi amb més d’una component del TMC per arribar a l’equació del moviment. A continuació es consideren les dues opcions.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> i la seva derivada són els mateixos calculats a l’opció 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a J, del parell motor i del moment <math>\Ms_1</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segona component dóna el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. En ser sempre positiu, el contacte a <math>\Js</math> està garantit.

:La primera component dóna el parell motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Però a la tercera, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de <math>\Ms_3</math>. Per tant, aquesta opció no sembla adequada.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + forquilla),TMC a }\Os}</math>

:Els moments externs són diferents al cas anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En aquesta opció, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de N, però les altres components no permeten calcular aquesta força.
:Ara bé, si es combinen es resultats per a les dues opcions, l’equació del moviment és immediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anella + forquilla), TMC a }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:L’aturada del lliscament s’estudia exactament igual que en l’opció 1.



====✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant <math>\dot\psi_0</math> sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

:Descripció cinemàtica
:[[Fitxer:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:És un sistema de 3 GL: el moviment pendular <math>\dot\theta</math>, el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem <math>\dot\xs</math>) i la rotació vertical forçada <math>\dot\psi_0</math>.

:El moviment del centre de l’anella <math>\Gs</math> respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guia} \\
\text{AB: suport}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guia}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general d'interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex6-3-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema és determinat:

:(15 inc. d'enllaç, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incògnites
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}}</math> = 18 equacions
 
 
 
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math>

:Només el moviment de l’anella depèn de <math>\ddth</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

:[[Fitxer:D7-Ex6-4-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

:[[Fitxer:D7-Ex6-5-cat.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular <math>\dth</math> (i, per tant, el canvi del seu valor <math>\ddth</math>). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ja que el punt O es mou respecte del terra: :<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Per altra banda, <math>\Os</math> és un punt fix a l’anella: :<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalment: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Aquesta equació del moviment inclou també la variable <math>\ddot\xs</math>. Això vol dir que els graus de llibertat <math>\dth</math> i <math>\dot\xs</math> estan '''acoblats''': encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

:El moviment de l’anella i el del suport depenen de <math>\ddot\xs</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ja no és una incògnita.

:[[Fitxer:D7-Ex6-6-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex6-7-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
:Per tant: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Càlcul de l’acceleració de G: 

:'''Opció 1''': per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opció 2''': per cinemàtica del sòlid rígid.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anella} \\
\Os\in\text{anella}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulació de la força de la molla

:[[Fitxer:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translació vertical del suport <math>(\dot\xs)</math> està associat a la variació d’una coordenada <math>\xs</math> l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

:Si es pren <math>\xs=0</math> per a l’equilibri en absència de rotació <math>\dot\psi_0</math>, és clar que la molla haurà d’exercir una força <math>\Fs_0</math> d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ja que el moviment <math>\dot\xs</math> s’ha definit positiu cap a baix, un augment de <math>\xs</math> implica un augment de llargària de la molla. Per tant: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

:Les condicions inicials <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

:Una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En canvi, una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movement vertical <math>\dot\xs</math>, doncs l’equació que governa la <math>\dot\xs</math> per a l’instant inicial és:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
:Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb <math>\dot\psi_0 = 0</math>) s’obtenen de les equacions del moviment imposant <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, les equacions es poden (secció D7.1)[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|'''linealitzar''']]. Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, es tracta d’una configuració '''ESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, es tracta d’una configuració '''INESTABLE'''.

:Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, per a <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, <math>\xs_\text{eq}=0</math> és estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), però la de la <math>\theta</math> té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de <math>\dot\psi_0^2</math> ja que la funció <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> està acotada entre -1 i +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealització de l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> condueix a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuració és '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuració és '''INESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuració és '''INESTABLE''' per a qualsevol valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:L’estudi de les configuracions <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.



© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D6. Exemples de dinàmica 2D|<<< D6. Exemples de dinàmica 2D]]

[[D8. Conservacions|D8. Conservacions >>>]]

</center>

D7. Exemples de dinàmica 3D

2026-03-16T16:47:13Z

Eantem: /* ✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>
<center>''EN CONSTRUCCIÓ''</center>

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la [[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|'''secció D6.4''']] s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

==D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment==

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures (<math>\dot{\qs}_{i}</math>) dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, roman en repòs <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>
</center>

L’equació que defineix les <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js,</math> amb <math>\varepsilon_\js << 1</math>, i per tant <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

:* si apareixen polinomis de grau superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si es tracta d’una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> i apareixen funcions sinus i cosinus:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solució general és: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, amb <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
:La solució <math>\varepsilon(\ts)</math> de l’equació <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math> la freqüència angular de la qual <math>(\omega)</math> depèn de paràmetres del sistema.

:Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), i per tant, no són intrínseques al sistema.

:* condicions inicials només de posició: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials només de velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials de posició i velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable.
L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada:
<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''INESTABLE'''.

==D7.2 Exemples generals==
====✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria====
------

:[[Fitxer:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Fitxer:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripció cinemàtica:

:Una altra opció per calcular <math>\vel{G}{T}</math> és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general d’interaccions

[[Fitxer:D7-Ex1-3-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs}</math>

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

:Full de ruta per a l’equació del moviment

:Només la placa té un moviment que depèn de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà <math>\ddth</math> quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

[[Fitxer:D7-Ex1-4-cat.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enllaç + <math>\ddth</math> = 6 inc.enllaç <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enllaç + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc.enllaç</center>
 
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

[[Fitxer:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt <math>\Os</math> és immediata tant si sempre la base B com la B’.

:Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

:Una bona proposta és:<math>\boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC a <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si es substitueixen <math>\I{gran + petit}</math> i <math>\I{petit} - \I{gran}</math> pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, i això es compleix només si la velocitat angular <math>\Omega_0</math> està per sobre del valor crític <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

:En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

:L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Per a les petites amplituds al voltant de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, l’equació del moviment és <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si les condicions inicials són <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, l’evolució de <math>\varepsilon</math> ve donada per: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Per a <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''augmenta'''. És una configuració '''INESTABLE''' i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

:* Per a <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminueix'''. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració '''ESTABLE'''. La freqüència angular [rad/s] és <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si les condicions inicials són <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> i <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentari addicional

[[Fitxer:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

:<math>(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si es linealitza al voltant de la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Per a qualsevol valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficient <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]</math> és positiu, i per tant la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math> és sempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Full de ruta per al parell motor

:Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

[[Fitxer:D7-Ex1-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Fitxer:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:
:En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ Exemple D7.2: barres giratòries====
-----

:[[Fitxer:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\sth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant).

:Diagrama general d’interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex2-2-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12</math> eqs.

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex2-3-cat.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:
:Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

<center><math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os}</math></center>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat <math>\Omega_0</math>, és la base que gira amb <math>\Omega_0</math> respecte del terra.

:L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de [[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|'''Steiner''']] per passar a <math>\Os</math>:
:[[Fitxer:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Tenint en compte que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> i escombra una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:[[Fitxer:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:L’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que és la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fos estrictament vertical (paral·lel a <math>\vec\Omega_0</math>), llavors <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']] per al punt <math>\Os</math>, mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui <math>\dth</math>). Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

:[[Fitxer:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada <math>\theta</math>, que es pot trobar amb el <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:L’equació del moviment és:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equilibri <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> són les solucions de l’equació trascendent:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, i està clar que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no és una d’elles.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

</div>


====✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules====
-----
:
:[[Fitxer:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\dth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant.

:Diagrama general d’interaccions

:És un sistema del mateix tipus que el de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']]: té dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:[[Fitxer:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el full de ruta adequat és:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os}</math>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:
:[[Fitxer:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> tot escombrant una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per <math>\Os</math>, i per tant l’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:[[Fitxer:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Com a l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#✏️ EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']].

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

:[[Fitxer:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Fitxer:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:L’equació del moviment és:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equiibri <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> són les solucions de l’equació transcendent:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, i és evident que <math>\theta = 0</math> no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
</div>



====✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex4-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Es tracta d’investigar si la rotació <math>\Omega_0</math> pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
 
 
 
 
 
 
:Descripció cinemàtica
:L’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la bola respecte del terra és la recta <math>\Os\Js</math>, i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

:[[Fitxer:D7-Ex4-2-cat-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general d’interaccions
::[[Fitxer:D7-Ex4-3-cat.png|thumb|left|250px|link=]]
:És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

:(17 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites 
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math>= 18 equacions

:La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']], doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

:[[Fitxer:D7-Ex4-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

:(11 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites 
:2 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math> = 12 equacions

:Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
:La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex4-5-cat.png|thumb|center|510px|link=]]

:La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

:[[Fitxer:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}}</math>

:El moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a <math>\Os</math> (ja que <math>\Os</math> és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

:[[Fitxer:D7-Ex4-7-cat.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

:Alternativa:

:Si el càlcul de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es fa a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> i la derivada es fa de manera analítica:

:[[Fitxer:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex5-1-cat.png|thumb|left|250px|link=]]

:L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular <math>\dot\varphi_0</math> constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular <math>\dot\psi</math>. Inicialment, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix <math>\dot\varphi_0</math> constant mentre hi ha lliscament.

:Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
:Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, <math>\dot\varphi_0</math> i <math>\dot\psi</math> són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids|'''exemple D3.18''']]) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-2-cat.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|'''secció D3.6''']]):

:[[Fitxer:D7-Ex5-3-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, el problema és determinat:

:Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites, 3 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 equacions

:Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites, 2 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 equacions

:<big>'''OPCIÓ 1'''</big>
:En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre P1 i el sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

:[[Fitxer:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

:[[Fitxer:D7-Ex5-5-cat.png|thumb|center|690px|link=]]

:La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç, caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a <math>\Os</math> perquè <math>\Os</math> és fix a l’anella:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a <math>\Js</math> i del moment <math>\Ms_1</math> associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segona component condueix a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

:<center><math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2\mu}{\Rs^2+2\Ls^2}(\gs\Ls+\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0)}</math></center>

:A l’instant inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{2\mu gL}{\Rs^2+2\Ls^2}>0</math>, i per tant la velocitat angular <math>\dot\psi</math> creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a <math>\Js</math>.

:Quan <math>\dot\psi</math> arriba al valor <math>(\text{R}/\text{L})\dot\varphi_0</math>, el lliscament a <math>\Js</math> s’atura:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{roda}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0</math>

:A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a <math>\Js</math> apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

:Full de ruta per al parell motor

:Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la <math>\psi</math> i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

:[[Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓ 2'''</big>
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Només l’anella té un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha dues opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, anella+forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex5-9-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:Les dues opcions semblen equivalents. Per triar-ne una, cal analitzar els interaccions externes que actuen sobre cadascun dels dos sistemes:

:[[Fitxer:D7-Ex5-10-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> s’eviten tres components de força d’enllaç, però en la direcció 1 (que és on pot aparèixer la <math>\ddot\varphi</math>) hi ha sempre un moment (el parell motor en un cas, o el <math>\Ms_1</math> entre sostre i forquilla en l’altre). S’agafi un sistema o l’altre, caldrà treballar en principi amb més d’una component del TMC per arribar a l’equació del moviment. A continuació es consideren les dues opcions.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> i la seva derivada són els mateixos calculats a l’opció 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a J, del parell motor i del moment <math>\Ms_1</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segona component dóna el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. En ser sempre positiu, el contacte a <math>\Js</math> està garantit.

:La primera component dóna el parell motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Però a la tercera, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de <math>\Ms_3</math>. Per tant, aquesta opció no sembla adequada.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + forquilla),TMC a }\Os}</math>

:Els moments externs són diferents al cas anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En aquesta opció, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de N, però les altres components no permeten calcular aquesta força.
:Ara bé, si es combinen es resultats per a les dues opcions, l’equació del moviment és immediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anella + forquilla), TMC a }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:L’aturada del lliscament s’estudia exactament igual que en l’opció 1.



====✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant <math>\dot\psi_0</math> sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

:Descripció cinemàtica
:[[Fitxer:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:És un sistema de 3 GL: el moviment pendular <math>\dot\theta</math>, el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem <math>\dot\xs</math>) i la rotació vertical forçada <math>\dot\psi_0</math>.

:El moviment del centre de l’anella <math>\Gs</math> respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guia} \\
\text{AB: suport}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guia}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general d'interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex6-3-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema és determinat:

:(15 inc. d'enllaç, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incògnites
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}}</math> = 18 equacions
 
 
 
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math>

:Només el moviment de l’anella depèn de <math>\ddth</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

:[[Fitxer:D7-Ex6-4-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

:[[Fitxer:D7-Ex6-5-cat.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular <math>\dth</math> (i, per tant, el canvi del seu valor <math>\ddth</math>). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ja que el punt O es mou respecte del terra: :<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Per altra banda, <math>\Os</math> és un punt fix a l’anella: :<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalment: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Aquesta equació del moviment inclou també la variable <math>\ddot\xs</math>. Això vol dir que els graus de llibertat <math>\dth</math> i <math>\dot\xs</math> estan '''acoblats''': encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

:El moviment de l’anella i el del suport depenen de <math>\ddot\xs</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ja no és una incògnita.

:[[Fitxer:D7-Ex6-6-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex6-7-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
:Per tant: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Càlcul de l’acceleració de G: 

:'''Opció 1''': per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opció 2''': per cinemàtica del sòlid rígid.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anella} \\
\Os\in\text{anella}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulació de la força de la molla

:[[Fitxer:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translació vertical del suport <math>(\dot\xs)</math> està associat a la variació d’una coordenada <math>\xs</math> l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

:Si es pren <math>\xs=0</math> per a l’equilibri en absència de rotació <math>\dot\psi_0</math>, és clar que la molla haurà d’exercir una força <math>\Fs_0</math> d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ja que el moviment <math>\dot\xs</math> s’ha definit positiu cap a baix, un augment de <math>\xs</math> implica un augment de llargària de la molla. Per tant: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

:Les condicions inicials <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

:Una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En canvi, una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movement vertical <math>\dot\xs</math>, doncs l’equació que governa la <math>\dot\xs</math> per a l’instant inicial és:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
:Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb <math>\dot\psi_0 = 0</math>) s’obtenen de les equacions del moviment imposant <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, les equacions es poden (secció D7.1)[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|'''linealitzar''']]. Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, es tracta d’una configuració '''ESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, es tracta d’una configuració '''INESTABLE'''.

:Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, per a <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, <math>\xs_\text{eq}=0</math> és estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), però la de la <math>\theta</math> té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de <math>\dot\psi_0^2</math> ja que la funció <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> està acotada entre -1 i +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealització de l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> condueix a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuració és '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuració és '''INESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuració és '''INESTABLE''' per a qualsevol valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:L’estudi de les configuracions <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.



© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D6. Exemples de dinàmica 2D|<<< D6. Exemples de dinàmica 2D]]

[[D8. Conservacions|D8. Conservacions >>>]]

</center>

D7. Exemples de dinàmica 3D

2026-03-16T16:44:45Z

Eantem: /* ✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>
<center>''EN CONSTRUCCIÓ''</center>

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la [[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|'''secció D6.4''']] s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

==D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment==

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures (<math>\dot{\qs}_{i}</math>) dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, roman en repòs <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>
</center>

L’equació que defineix les <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js,</math> amb <math>\varepsilon_\js << 1</math>, i per tant <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

:* si apareixen polinomis de grau superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si es tracta d’una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> i apareixen funcions sinus i cosinus:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solució general és: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, amb <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
:La solució <math>\varepsilon(\ts)</math> de l’equació <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math> la freqüència angular de la qual <math>(\omega)</math> depèn de paràmetres del sistema.

:Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), i per tant, no són intrínseques al sistema.

:* condicions inicials només de posició: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials només de velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials de posició i velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable.
L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada:
<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''INESTABLE'''.

==D7.2 Exemples generals==
====✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria====
------

:[[Fitxer:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Fitxer:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripció cinemàtica:

:Una altra opció per calcular <math>\vel{G}{T}</math> és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general d’interaccions

[[Fitxer:D7-Ex1-3-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs}</math>

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

:Full de ruta per a l’equació del moviment

:Només la placa té un moviment que depèn de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà <math>\ddth</math> quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

[[Fitxer:D7-Ex1-4-cat.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enllaç + <math>\ddth</math> = 6 inc.enllaç <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enllaç + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc.enllaç</center>
 
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

[[Fitxer:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt <math>\Os</math> és immediata tant si sempre la base B com la B’.

:Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

:Una bona proposta és:<math>\boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC a <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si es substitueixen <math>\I{gran + petit}</math> i <math>\I{petit} - \I{gran}</math> pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, i això es compleix només si la velocitat angular <math>\Omega_0</math> està per sobre del valor crític <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

:En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

:L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Per a les petites amplituds al voltant de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, l’equació del moviment és <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si les condicions inicials són <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, l’evolució de <math>\varepsilon</math> ve donada per: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Per a <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''augmenta'''. És una configuració '''INESTABLE''' i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

:* Per a <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminueix'''. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració '''ESTABLE'''. La freqüència angular [rad/s] és <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si les condicions inicials són <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> i <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentari addicional

[[Fitxer:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

:<math>(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si es linealitza al voltant de la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Per a qualsevol valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficient <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]</math> és positiu, i per tant la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math> és sempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Full de ruta per al parell motor

:Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

[[Fitxer:D7-Ex1-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Fitxer:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:
:En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ Exemple D7.2: barres giratòries====
-----

:[[Fitxer:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\sth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant).

:Diagrama general d’interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex2-2-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12</math> eqs.

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex2-3-cat.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:
:Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

<center><math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os}</math></center>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat <math>\Omega_0</math>, és la base que gira amb <math>\Omega_0</math> respecte del terra.

:L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de [[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|'''Steiner''']] per passar a <math>\Os</math>:
:[[Fitxer:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Tenint en compte que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> i escombra una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:[[Fitxer:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:L’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que és la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fos estrictament vertical (paral·lel a <math>\vec\Omega_0</math>), llavors <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']] per al punt <math>\Os</math>, mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui <math>\dth</math>). Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

:[[Fitxer:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada <math>\theta</math>, que es pot trobar amb el <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:L’equació del moviment és:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equilibri <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> són les solucions de l’equació trascendent:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, i està clar que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no és una d’elles.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

</div>


====✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules====
-----
:
:[[Fitxer:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\dth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant.

:Diagrama general d’interaccions

:És un sistema del mateix tipus que el de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']]: té dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:[[Fitxer:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el full de ruta adequat és:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os}</math>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:
:[[Fitxer:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> tot escombrant una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per <math>\Os</math>, i per tant l’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:[[Fitxer:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Com a l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#✏️ EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']].

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

:[[Fitxer:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Fitxer:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:L’equació del moviment és:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equiibri <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> són les solucions de l’equació transcendent:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, i és evident que <math>\theta = 0</math> no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
</div>



====✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex4-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Es tracta d’investigar si la rotació <math>\Omega_0</math> pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
 
 
 
 
 
 
:Descripció cinemàtica
:L’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la bola respecte del terra és la recta <math>\Os\Js</math>, i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

:[[Fitxer:D7-Ex4-2-cat-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general d’interaccions
::[[Fitxer:D7-Ex4-3-cat.png|thumb|left|250px|link=]]
:És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

:(17 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites 
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math>= 18 equacions

:La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']], doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

:[[Fitxer:D7-Ex4-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

:(11 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites 
:2 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math> = 12 equacions

:Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
:La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex4-5-cat.png|thumb|center|510px|link=]]

:La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

:[[Fitxer:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}}</math>

:El moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a <math>\Os</math> (ja que <math>\Os</math> és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

:[[Fitxer:D7-Ex4-7-cat.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

:Alternativa:

:Si el càlcul de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es fa a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> i la derivada es fa de manera analítica:

:[[Fitxer:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex5-1-cat.png|thumb|left|250px|link=]]

:L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular <math>\dot\varphi_0</math> constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular <math>\dot\psi</math>. Inicialment, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix <math>\dot\varphi_0</math> constant mentre hi ha lliscament.

:Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
:Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, <math>\dot\varphi_0</math> i <math>\dot\psi</math> són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids|'''exemple D3.18''']]) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-2-cat.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|'''secció D3.6''']]):

:[[Fitxer:D7-Ex5-3-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, el problema és determinat:

:Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites, 3 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 equacions

:Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites, 2 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 equacions

:<big>'''OPCIÓ 1'''</big>
:En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre P1 i el sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

:[[Fitxer:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

:[[Fitxer:D7-Ex5-5-cat.png|thumb|center|690px|link=]]

:La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç, caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a <math>\Os</math> perquè <math>\Os</math> és fix a l’anella:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a <math>\Js</math> i del moment <math>\Ms_1</math> associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segona component condueix a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

:<center><math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2\mu}{\Rs^2+2\Ls^2}(\gs\Ls+\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0)}</math></center>

:A l’instant inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{2\mu gL}{\Rs^2+s\Ls^2}>0</math>, i per tant la velocitat angular <math>\dot\psi</math> creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a <math>\Js</math>.

:Quan <math>\dot\psi</math> arriba al valor <math>(\dot\varphi_0/2)</math>, el lliscament a <math>\Js</math> s’atura:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{roda}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0</math>

:A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a <math>\Js</math> apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

:Full de ruta per al parell motor

:Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la <math>\psi</math> i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

:[[Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓ 2'''</big>
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Només l’anella té un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha dues opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, anella+forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex5-9-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:Les dues opcions semblen equivalents. Per triar-ne una, cal analitzar els interaccions externes que actuen sobre cadascun dels dos sistemes:

:[[Fitxer:D7-Ex5-10-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> s’eviten tres components de força d’enllaç, però en la direcció 1 (que és on pot aparèixer la <math>\ddot\varphi</math>) hi ha sempre un moment (el parell motor en un cas, o el <math>\Ms_1</math> entre sostre i forquilla en l’altre). S’agafi un sistema o l’altre, caldrà treballar en principi amb més d’una component del TMC per arribar a l’equació del moviment. A continuació es consideren les dues opcions.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> i la seva derivada són els mateixos calculats a l’opció 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a J, del parell motor i del moment <math>\Ms_1</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segona component dóna el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. En ser sempre positiu, el contacte a <math>\Js</math> està garantit.

:La primera component dóna el parell motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Però a la tercera, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de <math>\Ms_3</math>. Per tant, aquesta opció no sembla adequada.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + forquilla),TMC a }\Os}</math>

:Els moments externs són diferents al cas anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En aquesta opció, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de N, però les altres components no permeten calcular aquesta força.
:Ara bé, si es combinen es resultats per a les dues opcions, l’equació del moviment és immediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anella + forquilla), TMC a }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:L’aturada del lliscament s’estudia exactament igual que en l’opció 1.



====✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant <math>\dot\psi_0</math> sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

:Descripció cinemàtica
:[[Fitxer:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:És un sistema de 3 GL: el moviment pendular <math>\dot\theta</math>, el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem <math>\dot\xs</math>) i la rotació vertical forçada <math>\dot\psi_0</math>.

:El moviment del centre de l’anella <math>\Gs</math> respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guia} \\
\text{AB: suport}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guia}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general d'interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex6-3-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema és determinat:

:(15 inc. d'enllaç, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incògnites
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}}</math> = 18 equacions
 
 
 
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math>

:Només el moviment de l’anella depèn de <math>\ddth</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

:[[Fitxer:D7-Ex6-4-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

:[[Fitxer:D7-Ex6-5-cat.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular <math>\dth</math> (i, per tant, el canvi del seu valor <math>\ddth</math>). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ja que el punt O es mou respecte del terra: :<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Per altra banda, <math>\Os</math> és un punt fix a l’anella: :<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalment: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Aquesta equació del moviment inclou també la variable <math>\ddot\xs</math>. Això vol dir que els graus de llibertat <math>\dth</math> i <math>\dot\xs</math> estan '''acoblats''': encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

:El moviment de l’anella i el del suport depenen de <math>\ddot\xs</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ja no és una incògnita.

:[[Fitxer:D7-Ex6-6-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex6-7-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
:Per tant: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Càlcul de l’acceleració de G: 

:'''Opció 1''': per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opció 2''': per cinemàtica del sòlid rígid.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anella} \\
\Os\in\text{anella}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulació de la força de la molla

:[[Fitxer:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translació vertical del suport <math>(\dot\xs)</math> està associat a la variació d’una coordenada <math>\xs</math> l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

:Si es pren <math>\xs=0</math> per a l’equilibri en absència de rotació <math>\dot\psi_0</math>, és clar que la molla haurà d’exercir una força <math>\Fs_0</math> d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ja que el moviment <math>\dot\xs</math> s’ha definit positiu cap a baix, un augment de <math>\xs</math> implica un augment de llargària de la molla. Per tant: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

:Les condicions inicials <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

:Una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En canvi, una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movement vertical <math>\dot\xs</math>, doncs l’equació que governa la <math>\dot\xs</math> per a l’instant inicial és:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
:Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb <math>\dot\psi_0 = 0</math>) s’obtenen de les equacions del moviment imposant <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, les equacions es poden (secció D7.1)[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|'''linealitzar''']]. Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, es tracta d’una configuració '''ESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, es tracta d’una configuració '''INESTABLE'''.

:Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, per a <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, <math>\xs_\text{eq}=0</math> és estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), però la de la <math>\theta</math> té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de <math>\dot\psi_0^2</math> ja que la funció <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> està acotada entre -1 i +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealització de l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> condueix a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuració és '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuració és '''INESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuració és '''INESTABLE''' per a qualsevol valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:L’estudi de les configuracions <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.



© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D6. Exemples de dinàmica 2D|<<< D6. Exemples de dinàmica 2D]]

[[D8. Conservacions|D8. Conservacions >>>]]

</center>

D7. Exemples de dinàmica 3D

2026-03-16T16:44:08Z

Eantem: /* ✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>
<center>''EN CONSTRUCCIÓ''</center>

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la [[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|'''secció D6.4''']] s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

==D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment==

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures (<math>\dot{\qs}_{i}</math>) dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, roman en repòs <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>
</center>

L’equació que defineix les <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js,</math> amb <math>\varepsilon_\js << 1</math>, i per tant <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

:* si apareixen polinomis de grau superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si es tracta d’una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> i apareixen funcions sinus i cosinus:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solució general és: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, amb <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
:La solució <math>\varepsilon(\ts)</math> de l’equació <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math> la freqüència angular de la qual <math>(\omega)</math> depèn de paràmetres del sistema.

:Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), i per tant, no són intrínseques al sistema.

:* condicions inicials només de posició: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials només de velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials de posició i velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable.
L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada:
<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''INESTABLE'''.

==D7.2 Exemples generals==
====✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria====
------

:[[Fitxer:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Fitxer:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripció cinemàtica:

:Una altra opció per calcular <math>\vel{G}{T}</math> és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general d’interaccions

[[Fitxer:D7-Ex1-3-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs}</math>

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

:Full de ruta per a l’equació del moviment

:Només la placa té un moviment que depèn de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà <math>\ddth</math> quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

[[Fitxer:D7-Ex1-4-cat.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enllaç + <math>\ddth</math> = 6 inc.enllaç <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enllaç + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc.enllaç</center>
 
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

[[Fitxer:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt <math>\Os</math> és immediata tant si sempre la base B com la B’.

:Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

:Una bona proposta és:<math>\boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC a <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si es substitueixen <math>\I{gran + petit}</math> i <math>\I{petit} - \I{gran}</math> pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, i això es compleix només si la velocitat angular <math>\Omega_0</math> està per sobre del valor crític <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

:En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

:L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Per a les petites amplituds al voltant de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, l’equació del moviment és <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si les condicions inicials són <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, l’evolució de <math>\varepsilon</math> ve donada per: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Per a <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''augmenta'''. És una configuració '''INESTABLE''' i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

:* Per a <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminueix'''. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració '''ESTABLE'''. La freqüència angular [rad/s] és <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si les condicions inicials són <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> i <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentari addicional

[[Fitxer:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

:<math>(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si es linealitza al voltant de la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Per a qualsevol valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficient <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]</math> és positiu, i per tant la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math> és sempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Full de ruta per al parell motor

:Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

[[Fitxer:D7-Ex1-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Fitxer:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:
:En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ Exemple D7.2: barres giratòries====
-----

:[[Fitxer:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\sth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant).

:Diagrama general d’interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex2-2-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12</math> eqs.

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex2-3-cat.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:
:Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

<center><math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os}</math></center>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat <math>\Omega_0</math>, és la base que gira amb <math>\Omega_0</math> respecte del terra.

:L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de [[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|'''Steiner''']] per passar a <math>\Os</math>:
:[[Fitxer:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Tenint en compte que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> i escombra una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:[[Fitxer:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:L’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que és la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fos estrictament vertical (paral·lel a <math>\vec\Omega_0</math>), llavors <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']] per al punt <math>\Os</math>, mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui <math>\dth</math>). Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

:[[Fitxer:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada <math>\theta</math>, que es pot trobar amb el <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:L’equació del moviment és:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equilibri <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> són les solucions de l’equació trascendent:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, i està clar que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no és una d’elles.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

</div>


====✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules====
-----
:
:[[Fitxer:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\dth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant.

:Diagrama general d’interaccions

:És un sistema del mateix tipus que el de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']]: té dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:[[Fitxer:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el full de ruta adequat és:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os}</math>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:
:[[Fitxer:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> tot escombrant una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per <math>\Os</math>, i per tant l’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:[[Fitxer:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Com a l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#✏️ EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']].

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

:[[Fitxer:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Fitxer:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:L’equació del moviment és:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equiibri <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> són les solucions de l’equació transcendent:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, i és evident que <math>\theta = 0</math> no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
</div>



====✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex4-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Es tracta d’investigar si la rotació <math>\Omega_0</math> pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
 
 
 
 
 
 
:Descripció cinemàtica
:L’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la bola respecte del terra és la recta <math>\Os\Js</math>, i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

:[[Fitxer:D7-Ex4-2-cat-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general d’interaccions
::[[Fitxer:D7-Ex4-3-cat.png|thumb|left|250px|link=]]
:És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

:(17 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites 
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math>= 18 equacions

:La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']], doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

:[[Fitxer:D7-Ex4-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

:(11 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites 
:2 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math> = 12 equacions

:Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
:La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex4-5-cat.png|thumb|center|510px|link=]]

:La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

:[[Fitxer:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}}</math>

:El moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a <math>\Os</math> (ja que <math>\Os</math> és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

:[[Fitxer:D7-Ex4-7-cat.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

:Alternativa:

:Si el càlcul de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es fa a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> i la derivada es fa de manera analítica:

:[[Fitxer:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex5-1-cat.png|thumb|left|250px|link=]]

:L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular <math>\dot\varphi_0</math> constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular <math>\dot\psi</math>. Inicialment, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix <math>\dot\varphi_0</math> constant mentre hi ha lliscament.

:Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
:Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, <math>\dot\varphi_0</math> i <math>\dot\psi</math> són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids|'''exemple D3.18''']]) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-2-cat.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|'''secció D3.6''']]):

:[[Fitxer:D7-Ex5-3-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, el problema és determinat:

:Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites, 3 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 equacions

:Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites, 2 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 equacions

:<big>'''OPCIÓ 1'''</big>
:En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre P1 i el sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

:[[Fitxer:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

:[[Fitxer:D7-Ex5-5-cat.png|thumb|center|690px|link=]]

:La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç, caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a <math>\Os</math> perquè <math>\Os</math> és fix a l’anella:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a <math>\Js</math> i del moment <math>\Ms_1</math> associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segona component condueix a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

:<center><math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2\mu}{\Rs^2+2\Ls^2}(\gs\Ls+\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0)}</math></center>

:A l’instant inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{2\mugL}{\Rs^2+s\Ls^2}>0</math>, i per tant la velocitat angular <math>\dot\psi</math> creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a <math>\Js</math>.

:Quan <math>\dot\psi</math> arriba al valor <math>(\dot\varphi_0/2)</math>, el lliscament a <math>\Js</math> s’atura:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{roda}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0</math>

:A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a <math>\Js</math> apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

:Full de ruta per al parell motor

:Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la <math>\psi</math> i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

:[[Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓ 2'''</big>
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Només l’anella té un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha dues opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, anella+forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex5-9-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:Les dues opcions semblen equivalents. Per triar-ne una, cal analitzar els interaccions externes que actuen sobre cadascun dels dos sistemes:

:[[Fitxer:D7-Ex5-10-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> s’eviten tres components de força d’enllaç, però en la direcció 1 (que és on pot aparèixer la <math>\ddot\varphi</math>) hi ha sempre un moment (el parell motor en un cas, o el <math>\Ms_1</math> entre sostre i forquilla en l’altre). S’agafi un sistema o l’altre, caldrà treballar en principi amb més d’una component del TMC per arribar a l’equació del moviment. A continuació es consideren les dues opcions.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> i la seva derivada són els mateixos calculats a l’opció 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a J, del parell motor i del moment <math>\Ms_1</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segona component dóna el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. En ser sempre positiu, el contacte a <math>\Js</math> està garantit.

:La primera component dóna el parell motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Però a la tercera, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de <math>\Ms_3</math>. Per tant, aquesta opció no sembla adequada.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + forquilla),TMC a }\Os}</math>

:Els moments externs són diferents al cas anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En aquesta opció, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de N, però les altres components no permeten calcular aquesta força.
:Ara bé, si es combinen es resultats per a les dues opcions, l’equació del moviment és immediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anella + forquilla), TMC a }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:L’aturada del lliscament s’estudia exactament igual que en l’opció 1.



====✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant <math>\dot\psi_0</math> sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

:Descripció cinemàtica
:[[Fitxer:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:És un sistema de 3 GL: el moviment pendular <math>\dot\theta</math>, el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem <math>\dot\xs</math>) i la rotació vertical forçada <math>\dot\psi_0</math>.

:El moviment del centre de l’anella <math>\Gs</math> respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guia} \\
\text{AB: suport}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guia}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general d'interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex6-3-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema és determinat:

:(15 inc. d'enllaç, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incògnites
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}}</math> = 18 equacions
 
 
 
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math>

:Només el moviment de l’anella depèn de <math>\ddth</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

:[[Fitxer:D7-Ex6-4-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

:[[Fitxer:D7-Ex6-5-cat.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular <math>\dth</math> (i, per tant, el canvi del seu valor <math>\ddth</math>). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ja que el punt O es mou respecte del terra: :<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Per altra banda, <math>\Os</math> és un punt fix a l’anella: :<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalment: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Aquesta equació del moviment inclou també la variable <math>\ddot\xs</math>. Això vol dir que els graus de llibertat <math>\dth</math> i <math>\dot\xs</math> estan '''acoblats''': encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

:El moviment de l’anella i el del suport depenen de <math>\ddot\xs</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ja no és una incògnita.

:[[Fitxer:D7-Ex6-6-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex6-7-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
:Per tant: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Càlcul de l’acceleració de G: 

:'''Opció 1''': per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opció 2''': per cinemàtica del sòlid rígid.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anella} \\
\Os\in\text{anella}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulació de la força de la molla

:[[Fitxer:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translació vertical del suport <math>(\dot\xs)</math> està associat a la variació d’una coordenada <math>\xs</math> l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

:Si es pren <math>\xs=0</math> per a l’equilibri en absència de rotació <math>\dot\psi_0</math>, és clar que la molla haurà d’exercir una força <math>\Fs_0</math> d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ja que el moviment <math>\dot\xs</math> s’ha definit positiu cap a baix, un augment de <math>\xs</math> implica un augment de llargària de la molla. Per tant: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

:Les condicions inicials <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

:Una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En canvi, una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movement vertical <math>\dot\xs</math>, doncs l’equació que governa la <math>\dot\xs</math> per a l’instant inicial és:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
:Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb <math>\dot\psi_0 = 0</math>) s’obtenen de les equacions del moviment imposant <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, les equacions es poden (secció D7.1)[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|'''linealitzar''']]. Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, es tracta d’una configuració '''ESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, es tracta d’una configuració '''INESTABLE'''.

:Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, per a <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, <math>\xs_\text{eq}=0</math> és estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), però la de la <math>\theta</math> té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de <math>\dot\psi_0^2</math> ja que la funció <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> està acotada entre -1 i +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealització de l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> condueix a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuració és '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuració és '''INESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuració és '''INESTABLE''' per a qualsevol valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:L’estudi de les configuracions <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.



© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D6. Exemples de dinàmica 2D|<<< D6. Exemples de dinàmica 2D]]

[[D8. Conservacions|D8. Conservacions >>>]]

</center>

D7. Exemples de dinàmica 3D

2026-03-16T16:42:03Z

Eantem: /* ✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>
<center>''EN CONSTRUCCIÓ''</center>

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la [[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|'''secció D6.4''']] s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

==D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment==

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures (<math>\dot{\qs}_{i}</math>) dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, roman en repòs <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>
</center>

L’equació que defineix les <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js,</math> amb <math>\varepsilon_\js << 1</math>, i per tant <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

:* si apareixen polinomis de grau superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si es tracta d’una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> i apareixen funcions sinus i cosinus:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solució general és: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, amb <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
:La solució <math>\varepsilon(\ts)</math> de l’equació <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math> la freqüència angular de la qual <math>(\omega)</math> depèn de paràmetres del sistema.

:Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), i per tant, no són intrínseques al sistema.

:* condicions inicials només de posició: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials només de velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials de posició i velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable.
L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada:
<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''INESTABLE'''.

==D7.2 Exemples generals==
====✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria====
------

:[[Fitxer:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Fitxer:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripció cinemàtica:

:Una altra opció per calcular <math>\vel{G}{T}</math> és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general d’interaccions

[[Fitxer:D7-Ex1-3-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs}</math>

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

:Full de ruta per a l’equació del moviment

:Només la placa té un moviment que depèn de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà <math>\ddth</math> quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

[[Fitxer:D7-Ex1-4-cat.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enllaç + <math>\ddth</math> = 6 inc.enllaç <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enllaç + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc.enllaç</center>
 
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

[[Fitxer:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt <math>\Os</math> és immediata tant si sempre la base B com la B’.

:Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

:Una bona proposta és:<math>\boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC a <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si es substitueixen <math>\I{gran + petit}</math> i <math>\I{petit} - \I{gran}</math> pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, i això es compleix només si la velocitat angular <math>\Omega_0</math> està per sobre del valor crític <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

:En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

:L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Per a les petites amplituds al voltant de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, l’equació del moviment és <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si les condicions inicials són <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, l’evolució de <math>\varepsilon</math> ve donada per: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Per a <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''augmenta'''. És una configuració '''INESTABLE''' i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

:* Per a <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminueix'''. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració '''ESTABLE'''. La freqüència angular [rad/s] és <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si les condicions inicials són <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> i <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentari addicional

[[Fitxer:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

:<math>(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si es linealitza al voltant de la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Per a qualsevol valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficient <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]</math> és positiu, i per tant la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math> és sempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Full de ruta per al parell motor

:Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

[[Fitxer:D7-Ex1-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Fitxer:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:
:En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ Exemple D7.2: barres giratòries====
-----

:[[Fitxer:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\sth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant).

:Diagrama general d’interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex2-2-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12</math> eqs.

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex2-3-cat.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:
:Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

<center><math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os}</math></center>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat <math>\Omega_0</math>, és la base que gira amb <math>\Omega_0</math> respecte del terra.

:L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de [[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|'''Steiner''']] per passar a <math>\Os</math>:
:[[Fitxer:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Tenint en compte que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> i escombra una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:[[Fitxer:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:L’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que és la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fos estrictament vertical (paral·lel a <math>\vec\Omega_0</math>), llavors <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']] per al punt <math>\Os</math>, mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui <math>\dth</math>). Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

:[[Fitxer:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada <math>\theta</math>, que es pot trobar amb el <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:L’equació del moviment és:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equilibri <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> són les solucions de l’equació trascendent:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, i està clar que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no és una d’elles.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

</div>


====✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules====
-----
:
:[[Fitxer:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\dth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant.

:Diagrama general d’interaccions

:És un sistema del mateix tipus que el de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']]: té dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:[[Fitxer:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el full de ruta adequat és:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os}</math>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:
:[[Fitxer:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> tot escombrant una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per <math>\Os</math>, i per tant l’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:[[Fitxer:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Com a l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#✏️ EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']].

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

:[[Fitxer:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Fitxer:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:L’equació del moviment és:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equiibri <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> són les solucions de l’equació transcendent:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, i és evident que <math>\theta = 0</math> no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
</div>



====✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex4-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Es tracta d’investigar si la rotació <math>\Omega_0</math> pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
 
 
 
 
 
 
:Descripció cinemàtica
:L’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la bola respecte del terra és la recta <math>\Os\Js</math>, i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

:[[Fitxer:D7-Ex4-2-cat-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general d’interaccions
::[[Fitxer:D7-Ex4-3-cat.png|thumb|left|250px|link=]]
:És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

:(17 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites 
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math>= 18 equacions

:La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']], doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

:[[Fitxer:D7-Ex4-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

:(11 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites 
:2 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math> = 12 equacions

:Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
:La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex4-5-cat.png|thumb|center|510px|link=]]

:La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

:[[Fitxer:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}}</math>

:El moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a <math>\Os</math> (ja que <math>\Os</math> és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

:[[Fitxer:D7-Ex4-7-cat.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

:Alternativa:

:Si el càlcul de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es fa a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> i la derivada es fa de manera analítica:

:[[Fitxer:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex5-1-cat.png|thumb|left|250px|link=]]

:L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular <math>\dot\varphi_0</math> constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular <math>\dot\psi</math>. Inicialment, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix <math>\dot\varphi_0</math> constant mentre hi ha lliscament.

:Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
:Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, <math>\dot\varphi_0</math> i <math>\dot\psi</math> són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids|'''exemple D3.18''']]) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-2-cat.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|'''secció D3.6''']]):

:[[Fitxer:D7-Ex5-3-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, el problema és determinat:

:Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites, 3 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 equacions

:Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites, 2 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 equacions

:<big>'''OPCIÓ 1'''</big>
:En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre P1 i el sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

:[[Fitxer:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

:[[Fitxer:D7-Ex5-5-cat.png|thumb|center|690px|link=]]

:La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç, caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a <math>\Os</math> perquè <math>\Os</math> és fix a l’anella:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a <math>\Js</math> i del moment <math>\Ms_1</math> associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segona component condueix a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

:<center><math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2\mu}{\Rs^2+2\Ls^2}(\gs\Ls+\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0)}</math></center>

:A l’instant inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{4}{9}\mu\frac{\gs}{\rs}>0</math>, i per tant la velocitat angular <math>\dot\psi</math> creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a <math>\Js</math>.

:Quan <math>\dot\psi</math> arriba al valor <math>(\dot\varphi_0/2)</math>, el lliscament a <math>\Js</math> s’atura:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{roda}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0</math>

:A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a <math>\Js</math> apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

:Full de ruta per al parell motor

:Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la <math>\psi</math> i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

:[[Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓ 2'''</big>
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Només l’anella té un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha dues opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, anella+forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex5-9-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:Les dues opcions semblen equivalents. Per triar-ne una, cal analitzar els interaccions externes que actuen sobre cadascun dels dos sistemes:

:[[Fitxer:D7-Ex5-10-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> s’eviten tres components de força d’enllaç, però en la direcció 1 (que és on pot aparèixer la <math>\ddot\varphi</math>) hi ha sempre un moment (el parell motor en un cas, o el <math>\Ms_1</math> entre sostre i forquilla en l’altre). S’agafi un sistema o l’altre, caldrà treballar en principi amb més d’una component del TMC per arribar a l’equació del moviment. A continuació es consideren les dues opcions.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> i la seva derivada són els mateixos calculats a l’opció 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a J, del parell motor i del moment <math>\Ms_1</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segona component dóna el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. En ser sempre positiu, el contacte a <math>\Js</math> està garantit.

:La primera component dóna el parell motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Però a la tercera, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de <math>\Ms_3</math>. Per tant, aquesta opció no sembla adequada.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + forquilla),TMC a }\Os}</math>

:Els moments externs són diferents al cas anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En aquesta opció, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de N, però les altres components no permeten calcular aquesta força.
:Ara bé, si es combinen es resultats per a les dues opcions, l’equació del moviment és immediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anella + forquilla), TMC a }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:L’aturada del lliscament s’estudia exactament igual que en l’opció 1.



====✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant <math>\dot\psi_0</math> sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

:Descripció cinemàtica
:[[Fitxer:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:És un sistema de 3 GL: el moviment pendular <math>\dot\theta</math>, el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem <math>\dot\xs</math>) i la rotació vertical forçada <math>\dot\psi_0</math>.

:El moviment del centre de l’anella <math>\Gs</math> respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guia} \\
\text{AB: suport}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guia}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general d'interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex6-3-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema és determinat:

:(15 inc. d'enllaç, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incògnites
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}}</math> = 18 equacions
 
 
 
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math>

:Només el moviment de l’anella depèn de <math>\ddth</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

:[[Fitxer:D7-Ex6-4-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

:[[Fitxer:D7-Ex6-5-cat.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular <math>\dth</math> (i, per tant, el canvi del seu valor <math>\ddth</math>). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ja que el punt O es mou respecte del terra: :<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Per altra banda, <math>\Os</math> és un punt fix a l’anella: :<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalment: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Aquesta equació del moviment inclou també la variable <math>\ddot\xs</math>. Això vol dir que els graus de llibertat <math>\dth</math> i <math>\dot\xs</math> estan '''acoblats''': encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

:El moviment de l’anella i el del suport depenen de <math>\ddot\xs</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ja no és una incògnita.

:[[Fitxer:D7-Ex6-6-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex6-7-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
:Per tant: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Càlcul de l’acceleració de G: 

:'''Opció 1''': per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opció 2''': per cinemàtica del sòlid rígid.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anella} \\
\Os\in\text{anella}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulació de la força de la molla

:[[Fitxer:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translació vertical del suport <math>(\dot\xs)</math> està associat a la variació d’una coordenada <math>\xs</math> l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

:Si es pren <math>\xs=0</math> per a l’equilibri en absència de rotació <math>\dot\psi_0</math>, és clar que la molla haurà d’exercir una força <math>\Fs_0</math> d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ja que el moviment <math>\dot\xs</math> s’ha definit positiu cap a baix, un augment de <math>\xs</math> implica un augment de llargària de la molla. Per tant: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

:Les condicions inicials <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

:Una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En canvi, una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movement vertical <math>\dot\xs</math>, doncs l’equació que governa la <math>\dot\xs</math> per a l’instant inicial és:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
:Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb <math>\dot\psi_0 = 0</math>) s’obtenen de les equacions del moviment imposant <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, les equacions es poden (secció D7.1)[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|'''linealitzar''']]. Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, es tracta d’una configuració '''ESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, es tracta d’una configuració '''INESTABLE'''.

:Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, per a <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, <math>\xs_\text{eq}=0</math> és estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), però la de la <math>\theta</math> té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de <math>\dot\psi_0^2</math> ja que la funció <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> està acotada entre -1 i +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealització de l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> condueix a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuració és '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuració és '''INESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuració és '''INESTABLE''' per a qualsevol valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:L’estudi de les configuracions <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.



© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D6. Exemples de dinàmica 2D|<<< D6. Exemples de dinàmica 2D]]

[[D8. Conservacions|D8. Conservacions >>>]]

</center>

D7. Exemples de dinàmica 3D

2026-03-16T16:40:44Z

Eantem: /* ✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>
<center>''EN CONSTRUCCIÓ''</center>

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la [[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|'''secció D6.4''']] s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

==D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment==

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures (<math>\dot{\qs}_{i}</math>) dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, roman en repòs <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>
</center>

L’equació que defineix les <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js,</math> amb <math>\varepsilon_\js << 1</math>, i per tant <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

:* si apareixen polinomis de grau superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si es tracta d’una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> i apareixen funcions sinus i cosinus:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solució general és: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, amb <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
:La solució <math>\varepsilon(\ts)</math> de l’equació <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math> la freqüència angular de la qual <math>(\omega)</math> depèn de paràmetres del sistema.

:Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), i per tant, no són intrínseques al sistema.

:* condicions inicials només de posició: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials només de velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials de posició i velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable.
L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada:
<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''INESTABLE'''.

==D7.2 Exemples generals==
====✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria====
------

:[[Fitxer:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Fitxer:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripció cinemàtica:

:Una altra opció per calcular <math>\vel{G}{T}</math> és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general d’interaccions

[[Fitxer:D7-Ex1-3-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs}</math>

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

:Full de ruta per a l’equació del moviment

:Només la placa té un moviment que depèn de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà <math>\ddth</math> quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

[[Fitxer:D7-Ex1-4-cat.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enllaç + <math>\ddth</math> = 6 inc.enllaç <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enllaç + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc.enllaç</center>
 
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

[[Fitxer:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt <math>\Os</math> és immediata tant si sempre la base B com la B’.

:Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

:Una bona proposta és:<math>\boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC a <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si es substitueixen <math>\I{gran + petit}</math> i <math>\I{petit} - \I{gran}</math> pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, i això es compleix només si la velocitat angular <math>\Omega_0</math> està per sobre del valor crític <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

:En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

:L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Per a les petites amplituds al voltant de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, l’equació del moviment és <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si les condicions inicials són <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, l’evolució de <math>\varepsilon</math> ve donada per: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Per a <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''augmenta'''. És una configuració '''INESTABLE''' i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

:* Per a <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminueix'''. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració '''ESTABLE'''. La freqüència angular [rad/s] és <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si les condicions inicials són <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> i <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentari addicional

[[Fitxer:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

:<math>(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si es linealitza al voltant de la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Per a qualsevol valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficient <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]</math> és positiu, i per tant la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math> és sempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Full de ruta per al parell motor

:Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

[[Fitxer:D7-Ex1-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Fitxer:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:
:En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ Exemple D7.2: barres giratòries====
-----

:[[Fitxer:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\sth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant).

:Diagrama general d’interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex2-2-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12</math> eqs.

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex2-3-cat.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:
:Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

<center><math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os}</math></center>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat <math>\Omega_0</math>, és la base que gira amb <math>\Omega_0</math> respecte del terra.

:L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de [[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|'''Steiner''']] per passar a <math>\Os</math>:
:[[Fitxer:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Tenint en compte que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> i escombra una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:[[Fitxer:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:L’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que és la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fos estrictament vertical (paral·lel a <math>\vec\Omega_0</math>), llavors <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']] per al punt <math>\Os</math>, mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui <math>\dth</math>). Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

:[[Fitxer:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada <math>\theta</math>, que es pot trobar amb el <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:L’equació del moviment és:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equilibri <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> són les solucions de l’equació trascendent:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, i està clar que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no és una d’elles.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

</div>


====✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules====
-----
:
:[[Fitxer:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\dth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant.

:Diagrama general d’interaccions

:És un sistema del mateix tipus que el de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']]: té dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:[[Fitxer:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el full de ruta adequat és:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os}</math>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:
:[[Fitxer:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> tot escombrant una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per <math>\Os</math>, i per tant l’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:[[Fitxer:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Com a l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#✏️ EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']].

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

:[[Fitxer:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Fitxer:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:L’equació del moviment és:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equiibri <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> són les solucions de l’equació transcendent:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, i és evident que <math>\theta = 0</math> no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
</div>



====✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex4-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Es tracta d’investigar si la rotació <math>\Omega_0</math> pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
 
 
 
 
 
 
:Descripció cinemàtica
:L’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la bola respecte del terra és la recta <math>\Os\Js</math>, i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

:[[Fitxer:D7-Ex4-2-cat-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general d’interaccions
::[[Fitxer:D7-Ex4-3-cat.png|thumb|left|250px|link=]]
:És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

:(17 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites 
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math>= 18 equacions

:La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']], doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

:[[Fitxer:D7-Ex4-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

:(11 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites 
:2 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math> = 12 equacions

:Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
:La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex4-5-cat.png|thumb|center|510px|link=]]

:La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

:[[Fitxer:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}}</math>

:El moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a <math>\Os</math> (ja que <math>\Os</math> és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

:[[Fitxer:D7-Ex4-7-cat.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

:Alternativa:

:Si el càlcul de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es fa a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> i la derivada es fa de manera analítica:

:[[Fitxer:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex5-1-cat.png|thumb|left|250px|link=]]

:L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular <math>\dot\varphi_0</math> constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular <math>\dot\psi</math>. Inicialment, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix <math>\dot\varphi_0</math> constant mentre hi ha lliscament.

:Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
:Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, <math>\dot\varphi_0</math> i <math>\dot\psi</math> són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids|'''exemple D3.18''']]) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-2-cat.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|'''secció D3.6''']]):

:[[Fitxer:D7-Ex5-3-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, el problema és determinat:

:Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites, 3 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 equacions

:Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites, 2 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 equacions

:<big>'''OPCIÓ 1'''</big>
:En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre P1 i el sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

:[[Fitxer:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

:[[Fitxer:D7-Ex5-5-cat.png|thumb|center|690px|link=]]

:La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç, caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a <math>\Os</math> perquè <math>\Os</math> és fix a l’anella:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a <math>\Js</math> i del moment <math>\Ms_1</math> associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segona component condueix a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

:<math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2\mu}{\Rs^2+2\Ls^2}(\gs\Ls+\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0)}</math>

:A l’instant inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{4}{9}\mu\frac{\gs}{\rs}>0</math>, i per tant la velocitat angular <math>\dot\psi</math> creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a <math>\Js</math>.

:Quan <math>\dot\psi</math> arriba al valor <math>(\dot\varphi_0/2)</math>, el lliscament a <math>\Js</math> s’atura:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{roda}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0</math>

:A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a <math>\Js</math> apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

:Full de ruta per al parell motor

:Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la <math>\psi</math> i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

:[[Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓ 2'''</big>
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Només l’anella té un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha dues opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, anella+forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex5-9-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:Les dues opcions semblen equivalents. Per triar-ne una, cal analitzar els interaccions externes que actuen sobre cadascun dels dos sistemes:

:[[Fitxer:D7-Ex5-10-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> s’eviten tres components de força d’enllaç, però en la direcció 1 (que és on pot aparèixer la <math>\ddot\varphi</math>) hi ha sempre un moment (el parell motor en un cas, o el <math>\Ms_1</math> entre sostre i forquilla en l’altre). S’agafi un sistema o l’altre, caldrà treballar en principi amb més d’una component del TMC per arribar a l’equació del moviment. A continuació es consideren les dues opcions.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> i la seva derivada són els mateixos calculats a l’opció 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a J, del parell motor i del moment <math>\Ms_1</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segona component dóna el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. En ser sempre positiu, el contacte a <math>\Js</math> està garantit.

:La primera component dóna el parell motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Però a la tercera, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de <math>\Ms_3</math>. Per tant, aquesta opció no sembla adequada.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + forquilla),TMC a }\Os}</math>

:Els moments externs són diferents al cas anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En aquesta opció, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de N, però les altres components no permeten calcular aquesta força.
:Ara bé, si es combinen es resultats per a les dues opcions, l’equació del moviment és immediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anella + forquilla), TMC a }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:L’aturada del lliscament s’estudia exactament igual que en l’opció 1.



====✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant <math>\dot\psi_0</math> sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

:Descripció cinemàtica
:[[Fitxer:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:És un sistema de 3 GL: el moviment pendular <math>\dot\theta</math>, el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem <math>\dot\xs</math>) i la rotació vertical forçada <math>\dot\psi_0</math>.

:El moviment del centre de l’anella <math>\Gs</math> respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guia} \\
\text{AB: suport}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guia}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general d'interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex6-3-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema és determinat:

:(15 inc. d'enllaç, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incògnites
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}}</math> = 18 equacions
 
 
 
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math>

:Només el moviment de l’anella depèn de <math>\ddth</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

:[[Fitxer:D7-Ex6-4-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

:[[Fitxer:D7-Ex6-5-cat.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular <math>\dth</math> (i, per tant, el canvi del seu valor <math>\ddth</math>). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ja que el punt O es mou respecte del terra: :<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Per altra banda, <math>\Os</math> és un punt fix a l’anella: :<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalment: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Aquesta equació del moviment inclou també la variable <math>\ddot\xs</math>. Això vol dir que els graus de llibertat <math>\dth</math> i <math>\dot\xs</math> estan '''acoblats''': encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

:El moviment de l’anella i el del suport depenen de <math>\ddot\xs</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ja no és una incògnita.

:[[Fitxer:D7-Ex6-6-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex6-7-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
:Per tant: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Càlcul de l’acceleració de G: 

:'''Opció 1''': per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opció 2''': per cinemàtica del sòlid rígid.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anella} \\
\Os\in\text{anella}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulació de la força de la molla

:[[Fitxer:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translació vertical del suport <math>(\dot\xs)</math> està associat a la variació d’una coordenada <math>\xs</math> l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

:Si es pren <math>\xs=0</math> per a l’equilibri en absència de rotació <math>\dot\psi_0</math>, és clar que la molla haurà d’exercir una força <math>\Fs_0</math> d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ja que el moviment <math>\dot\xs</math> s’ha definit positiu cap a baix, un augment de <math>\xs</math> implica un augment de llargària de la molla. Per tant: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

:Les condicions inicials <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

:Una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En canvi, una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movement vertical <math>\dot\xs</math>, doncs l’equació que governa la <math>\dot\xs</math> per a l’instant inicial és:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
:Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb <math>\dot\psi_0 = 0</math>) s’obtenen de les equacions del moviment imposant <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, les equacions es poden (secció D7.1)[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|'''linealitzar''']]. Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, es tracta d’una configuració '''ESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, es tracta d’una configuració '''INESTABLE'''.

:Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, per a <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, <math>\xs_\text{eq}=0</math> és estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), però la de la <math>\theta</math> té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de <math>\dot\psi_0^2</math> ja que la funció <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> està acotada entre -1 i +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealització de l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> condueix a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuració és '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuració és '''INESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuració és '''INESTABLE''' per a qualsevol valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:L’estudi de les configuracions <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.



© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D6. Exemples de dinàmica 2D|<<< D6. Exemples de dinàmica 2D]]

[[D8. Conservacions|D8. Conservacions >>>]]

</center>

D7. Exemples de dinàmica 3D

2026-03-16T16:37:51Z

Eantem: /* ✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>
<center>''EN CONSTRUCCIÓ''</center>

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la [[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|'''secció D6.4''']] s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

==D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment==

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures (<math>\dot{\qs}_{i}</math>) dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, roman en repòs <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>
</center>

L’equació que defineix les <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js,</math> amb <math>\varepsilon_\js << 1</math>, i per tant <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

:* si apareixen polinomis de grau superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si es tracta d’una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> i apareixen funcions sinus i cosinus:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solució general és: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, amb <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
:La solució <math>\varepsilon(\ts)</math> de l’equació <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math> la freqüència angular de la qual <math>(\omega)</math> depèn de paràmetres del sistema.

:Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), i per tant, no són intrínseques al sistema.

:* condicions inicials només de posició: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials només de velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials de posició i velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable.
L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada:
<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''INESTABLE'''.

==D7.2 Exemples generals==
====✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria====
------

:[[Fitxer:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Fitxer:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripció cinemàtica:

:Una altra opció per calcular <math>\vel{G}{T}</math> és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general d’interaccions

[[Fitxer:D7-Ex1-3-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs}</math>

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

:Full de ruta per a l’equació del moviment

:Només la placa té un moviment que depèn de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà <math>\ddth</math> quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

[[Fitxer:D7-Ex1-4-cat.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enllaç + <math>\ddth</math> = 6 inc.enllaç <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enllaç + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc.enllaç</center>
 
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

[[Fitxer:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt <math>\Os</math> és immediata tant si sempre la base B com la B’.

:Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

:Una bona proposta és:<math>\boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC a <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si es substitueixen <math>\I{gran + petit}</math> i <math>\I{petit} - \I{gran}</math> pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, i això es compleix només si la velocitat angular <math>\Omega_0</math> està per sobre del valor crític <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

:En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

:L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Per a les petites amplituds al voltant de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, l’equació del moviment és <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si les condicions inicials són <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, l’evolució de <math>\varepsilon</math> ve donada per: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Per a <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''augmenta'''. És una configuració '''INESTABLE''' i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

:* Per a <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminueix'''. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració '''ESTABLE'''. La freqüència angular [rad/s] és <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si les condicions inicials són <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> i <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentari addicional

[[Fitxer:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

:<math>(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si es linealitza al voltant de la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Per a qualsevol valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficient <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]</math> és positiu, i per tant la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math> és sempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Full de ruta per al parell motor

:Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

[[Fitxer:D7-Ex1-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Fitxer:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:
:En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ Exemple D7.2: barres giratòries====
-----

:[[Fitxer:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\sth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant).

:Diagrama general d’interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex2-2-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12</math> eqs.

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex2-3-cat.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:
:Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

<center><math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os}</math></center>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat <math>\Omega_0</math>, és la base que gira amb <math>\Omega_0</math> respecte del terra.

:L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de [[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|'''Steiner''']] per passar a <math>\Os</math>:
:[[Fitxer:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Tenint en compte que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> i escombra una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:[[Fitxer:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:L’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que és la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fos estrictament vertical (paral·lel a <math>\vec\Omega_0</math>), llavors <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']] per al punt <math>\Os</math>, mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui <math>\dth</math>). Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

:[[Fitxer:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada <math>\theta</math>, que es pot trobar amb el <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:L’equació del moviment és:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equilibri <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> són les solucions de l’equació trascendent:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, i està clar que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no és una d’elles.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

</div>


====✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules====
-----
:
:[[Fitxer:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\dth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant.

:Diagrama general d’interaccions

:És un sistema del mateix tipus que el de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']]: té dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:[[Fitxer:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el full de ruta adequat és:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os}</math>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:
:[[Fitxer:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> tot escombrant una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per <math>\Os</math>, i per tant l’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:[[Fitxer:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Com a l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#✏️ EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']].

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

:[[Fitxer:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Fitxer:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:L’equació del moviment és:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equiibri <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> són les solucions de l’equació transcendent:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, i és evident que <math>\theta = 0</math> no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
</div>



====✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex4-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Es tracta d’investigar si la rotació <math>\Omega_0</math> pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
 
 
 
 
 
 
:Descripció cinemàtica
:L’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la bola respecte del terra és la recta <math>\Os\Js</math>, i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

:[[Fitxer:D7-Ex4-2-cat-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general d’interaccions
::[[Fitxer:D7-Ex4-3-cat.png|thumb|left|250px|link=]]
:És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

:(17 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites 
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math>= 18 equacions

:La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']], doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

:[[Fitxer:D7-Ex4-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

:(11 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites 
:2 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math> = 12 equacions

:Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
:La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex4-5-cat.png|thumb|center|510px|link=]]

:La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

:[[Fitxer:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}}</math>

:El moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a <math>\Os</math> (ja que <math>\Os</math> és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

:[[Fitxer:D7-Ex4-7-cat.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

:Alternativa:

:Si el càlcul de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es fa a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> i la derivada es fa de manera analítica:

:[[Fitxer:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex5-1-cat.png|thumb|left|250px|link=]]

:L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular <math>\dot\varphi_0</math> constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular <math>\dot\psi</math>. Inicialment, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix <math>\dot\varphi_0</math> constant mentre hi ha lliscament.

:Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
:Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, <math>\dot\varphi_0</math> i <math>\dot\psi</math> són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids|'''exemple D3.18''']]) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-2-cat.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|'''secció D3.6''']]):

:[[Fitxer:D7-Ex5-3-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, el problema és determinat:

:Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites, 3 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 equacions

:Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites, 2 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 equacions

:<big>'''OPCIÓ 1'''</big>
:En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre P1 i el sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

:[[Fitxer:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

:[[Fitxer:D7-Ex5-5-cat.png|thumb|center|690px|link=]]

:La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç, caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a <math>\Os</math> perquè <math>\Os</math> és fix a l’anella:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a <math>\Js</math> i del moment <math>\Ms_1</math> associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segona component condueix a <math>\Ns = \ms\gs+\ms\frac{\Rs^2}{\Ls}\dot\psi\dot\varphi_0</math>, i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

:<math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2}{9}\mu\left(2\frac{\gs}{\rs}+\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:A l’instant inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{4}{9}\mu\frac{\gs}{\rs}>0</math>, i per tant la velocitat angular <math>\dot\psi</math> creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a <math>\Js</math>.

:Quan <math>\dot\psi</math> arriba al valor <math>(\dot\varphi_0/2)</math>, el lliscament a <math>\Js</math> s’atura:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{roda}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0</math>

:A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a <math>\Js</math> apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

:Full de ruta per al parell motor

:Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la <math>\psi</math> i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

:[[Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓ 2'''</big>
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Només l’anella té un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha dues opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, anella+forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex5-9-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:Les dues opcions semblen equivalents. Per triar-ne una, cal analitzar els interaccions externes que actuen sobre cadascun dels dos sistemes:

:[[Fitxer:D7-Ex5-10-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> s’eviten tres components de força d’enllaç, però en la direcció 1 (que és on pot aparèixer la <math>\ddot\varphi</math>) hi ha sempre un moment (el parell motor en un cas, o el <math>\Ms_1</math> entre sostre i forquilla en l’altre). S’agafi un sistema o l’altre, caldrà treballar en principi amb més d’una component del TMC per arribar a l’equació del moviment. A continuació es consideren les dues opcions.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> i la seva derivada són els mateixos calculats a l’opció 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a J, del parell motor i del moment <math>\Ms_1</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segona component dóna el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. En ser sempre positiu, el contacte a <math>\Js</math> està garantit.

:La primera component dóna el parell motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Però a la tercera, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de <math>\Ms_3</math>. Per tant, aquesta opció no sembla adequada.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + forquilla),TMC a }\Os}</math>

:Els moments externs són diferents al cas anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En aquesta opció, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de N, però les altres components no permeten calcular aquesta força.
:Ara bé, si es combinen es resultats per a les dues opcions, l’equació del moviment és immediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anella + forquilla), TMC a }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:L’aturada del lliscament s’estudia exactament igual que en l’opció 1.



====✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant <math>\dot\psi_0</math> sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

:Descripció cinemàtica
:[[Fitxer:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:És un sistema de 3 GL: el moviment pendular <math>\dot\theta</math>, el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem <math>\dot\xs</math>) i la rotació vertical forçada <math>\dot\psi_0</math>.

:El moviment del centre de l’anella <math>\Gs</math> respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guia} \\
\text{AB: suport}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guia}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general d'interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex6-3-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema és determinat:

:(15 inc. d'enllaç, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incògnites
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}}</math> = 18 equacions
 
 
 
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math>

:Només el moviment de l’anella depèn de <math>\ddth</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

:[[Fitxer:D7-Ex6-4-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

:[[Fitxer:D7-Ex6-5-cat.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular <math>\dth</math> (i, per tant, el canvi del seu valor <math>\ddth</math>). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ja que el punt O es mou respecte del terra: :<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Per altra banda, <math>\Os</math> és un punt fix a l’anella: :<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalment: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Aquesta equació del moviment inclou també la variable <math>\ddot\xs</math>. Això vol dir que els graus de llibertat <math>\dth</math> i <math>\dot\xs</math> estan '''acoblats''': encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

:El moviment de l’anella i el del suport depenen de <math>\ddot\xs</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ja no és una incògnita.

:[[Fitxer:D7-Ex6-6-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex6-7-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
:Per tant: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Càlcul de l’acceleració de G: 

:'''Opció 1''': per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opció 2''': per cinemàtica del sòlid rígid.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anella} \\
\Os\in\text{anella}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulació de la força de la molla

:[[Fitxer:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translació vertical del suport <math>(\dot\xs)</math> està associat a la variació d’una coordenada <math>\xs</math> l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

:Si es pren <math>\xs=0</math> per a l’equilibri en absència de rotació <math>\dot\psi_0</math>, és clar que la molla haurà d’exercir una força <math>\Fs_0</math> d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ja que el moviment <math>\dot\xs</math> s’ha definit positiu cap a baix, un augment de <math>\xs</math> implica un augment de llargària de la molla. Per tant: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

:Les condicions inicials <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

:Una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En canvi, una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movement vertical <math>\dot\xs</math>, doncs l’equació que governa la <math>\dot\xs</math> per a l’instant inicial és:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
:Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb <math>\dot\psi_0 = 0</math>) s’obtenen de les equacions del moviment imposant <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, les equacions es poden (secció D7.1)[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|'''linealitzar''']]. Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, es tracta d’una configuració '''ESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, es tracta d’una configuració '''INESTABLE'''.

:Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, per a <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, <math>\xs_\text{eq}=0</math> és estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), però la de la <math>\theta</math> té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de <math>\dot\psi_0^2</math> ja que la funció <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> està acotada entre -1 i +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealització de l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> condueix a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuració és '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuració és '''INESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuració és '''INESTABLE''' per a qualsevol valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:L’estudi de les configuracions <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.



© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D6. Exemples de dinàmica 2D|<<< D6. Exemples de dinàmica 2D]]

[[D8. Conservacions|D8. Conservacions >>>]]

</center>

D7. Exemples de dinàmica 3D

2026-03-16T16:31:08Z

Eantem: /* ✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria */

<div class="noautonum">__TOC__</div>
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\As}{\textrm{A}}
\newcommand{\as}{\textrm{a}}
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}
\newcommand{\us}{\textrm{u}}
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}
\newcommand{\es}{\textrm{e}}
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}
\newcommand{\is}{\textrm{i}}
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}
\newcommand{\js}{\textrm{j}}
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}
\newcommand{\P}{\textrm{P}}
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}
\newcommand{\mat}[9]{
\begin{bmatrix}
{#1} & {#2} & {#3}\\
{#4} & {#5} & {#6}\\
{#7} & {#8} & {#9}
\end{bmatrix}}
\newcommand{\vector}[3]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}\\
{#3}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vecdosd}[2]{
\begin{Bmatrix}
{#1}\\
{#2}
\end{Bmatrix}}
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}
\newcommand{\dth}{\dot{\theta}}
\newcommand{\ddth}{\ddot{\theta}}
\newcommand{\sth}{\text{sin}\theta}
\newcommand{\cth}{\text{cos}\theta}
\newcommand{\sqth}{\text{sin}^2\theta}
\newcommand{\cqth}{\text{cos}^2\theta}
\newcommand{\I}[1]{\Is_\text{#1}}
</math>
<center>''EN CONSTRUCCIÓ''</center>

En aquesta unitat, el procediment sistemàtic proposat a la [[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|'''secció D6.4''']] s’aplica a exemples de dinàmica 3D per obtenir equacions del moviment i parells motors. A més, es presenta també una anàlisi sistemàtica de les equacions del moviment.

==D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment==

L’obtenció de les equacions del moviment dels GL lliures (<math>\dot{\qs}_{i}</math>) dels sistemes multisòlid no són, en general, l’objectiu dels problemes de dinàmica, sinó un pas previ a la seva integració per conèixer com evolucionen a llarg del temps les coordenades que descriuen la configuració del sistema:
<center>
<math>\ddot{\qs}_{i}\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}\dot{\qs}_\is\xrightarrow[]{\int{\ds\ts}}{\qs_\is}</math>
</center>
Aquestes equacions, però, solen ser no lineals, i la seva integració s’ha de fer numèricament. Tot i així, hi ha alguns aspectes del comportament del sistema que es poden investigar de manera analítica.

Configuracions d’equilibri

Les configuracions d’equilibri són aquelles configuracions per a les quals, si el sistema s’hi deixa en repòs <math>(\dot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>, roman en repòs <math>(\ddot{\qs}_{\text{j,eq}} = 0)</math>. Per tant, el valor de les coordenades en equilibri ve donat per:

<center>
<math>\ddot{\qs}_i = f(\qs_j, \dot{\qs}_j, \ddot{\qs}_j, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>

<math>\downarrow(\dot{\qs}_{j,eq} = 0, \ddot{\qs}_{j, eq} = 0)</math>

<math>0 = {\fs}_{i,eq}({\qs}_{j, eq}, \text{ paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics}), i = 1...N</math>
</center>

L’equació que defineix les <math>\qs_{\text{j,eq}}</math> pot ser transcendent i no tenir solució analítica. Quan és el cas, es pot recórrer a una resolució numèrica o una resolució gràfica.

Anàlisi de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Si es considera que el valor de les coordenades és molt proper al d’una configuració d’equilibri <math>(\qs_\js = \qs_{\text{j,eq}} + \varepsilon_\js,</math> amb <math>\varepsilon_\js << 1</math>, i per tant <math>\varepsilon_\js^2 \approx 0</math>), les funcions no lineals que apareixen a les equacions del moviment es poden aproximar pels termes lineals del seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Per exemple:

:* si apareixen polinomis de grau superior a 1:

::<math>\qs = \qs_{\text{eq}} + \varepsilon</math>

::<math>\qs^2 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^2 = \varepsilon^2 + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2\approx + 2\qs_{\text{eq}}\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^2</math>

::<math>\qs^3 = (\qs_{\text{eq}} + \varepsilon)^3 = \varepsilon^3 + 3\qs_{\text{eq}}\varepsilon^2 + 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3\approx 3\qs_{\text{eq}}^2\varepsilon + \qs_{\text{eq}}^3</math>

:*si es tracta d’una coordenada angular <math>(\qs_\js=\theta)</math> i apareixen funcions sinus i cosinus:

::<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\

\sth = \text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon + \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\cth = \text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) = \text{cos}\theta_\text{eq}\:\text{cos}\varepsilon -\text{sin}\theta_\text{eq}\:\text{sin}\varepsilon\\

\text{sin}\varepsilon = \varepsilon - (1/3!)\varepsilon^3 + ... \simeq \varepsilon\\

\text{cos}\varepsilon = 1 - (1/2)\varepsilon^2 + ... \simeq 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\text{sin}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{sin}\theta_\text{eq} + \varepsilon\text{cos}\theta_\text{eq}\\

\text{cos}(\theta_\text{eq} + \varepsilon) \simeq\text{cos}\theta_\text{eq} - \varepsilon\text{sin}\theta_\text{eq}
\end{cases}
</math>

Un cop linealitzada, l’equació és del tipus: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\dot\varepsilon + \text{C}\varepsilon = 0</math>, on A, B, i C són escalars. En aquest curs, però, molt sovint l’equació és més senzilla i no conté terme en primera derivada: <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math>. La solució general és: <math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>, amb <math>\omega = \sqrt{\Bs/\As}</math>. Les constants d’integració (\as, \varphi) depenen de les condicions inicials <math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0, \dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0</math>.

<div>
=====💭 Demostració ➕=====
:La solució <math>\varepsilon(\ts)</math> de l’equació <math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0</math> ha de ser una funció la segona derivada de la qual sigui proporcional a la funció sense derivar. Les funcions sinus, cosinus i exponencial compleixen aquesta condició. Si es prova la primera (que ha de contenir dues constants d’integració):

:<math>\varepsilon(\ts) = \as\text{sin}(\omega\ts + \varphi), \:\:\ \dot\varepsilon(\ts) = \as\omega\text{cos}(\omega\ts + \varphi), \:\: \ddot\varepsilon(\ts) = -\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi)</math>

:Substituint aquestes expressions a l’equació del moviment:

:<math>-\As\as\omega^2\text{sin}(\omega\ts + \varphi) +\Bs\as\text{sin}(\omega\ts + \varphi) = 0\Rightarrow\omega = \sqrt{\frac{B}{A}}</math>

:El moviment és una oscil·lació al voltant de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math> la freqüència angular de la qual <math>(\omega)</math> depèn de paràmetres del sistema.

:Les constants d’integració, en canvi, depenen de les condicions inicials (<math>\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0 = \as\text{sin}(\varphi)</math>, <math>\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv\dot\varepsilon_0 = \as\omega\text{cos}(\varphi)</math>), i per tant, no són intrínseques al sistema.

:* condicions inicials només de posició: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0) = 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 90\deg\\
\as = \varepsilon_0
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials només de velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0) = 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\varphi = 0\deg\\
\as = \dot\varepsilon_0/\omega
\end{aligned}\right.</math>

:* condicions inicials de posició i velocitat: <math>\left.\begin{aligned}
\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0 \\
\dot\varepsilon(\ts = 0)\equiv \varepsilon_0\neq 0
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{aligned}
\text{tan}\varphi = \omega(\varepsilon_0/\dot\varepsilon_0)\\
\as = \sqrt{\varepsilon_0^2 + (\varepsilon_0/\omega)^2}
\end{aligned}\right.</math>

</div>

Anàlisi de l’estabilitat de les de petites oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri

Les oscil·lacions al voltant d’una configuració d’equilibri només són possibles quan aquesta és estable.
L’estabilitat es pot analitzar molt fàcilment a partir de l'equació del moviment linealitzada:
<math>\As\ddot\varepsilon + \Bs\varepsilon = 0\Rightarrow\ddot\varepsilon = -(\Bs/\As)\varepsilon</math>
:* <math>(\Bs/\As) > 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon<0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> decreix, i el sistema retorna cap a la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''ESTABLE'''.

:* <math>(\Bs/\As) < 0 \Rightarrow\ddot\varepsilon > 0\Rightarrow\varepsilon(\ts)</math> creix, i el sistema s’allunya de la configuració d’equilibri <math>\qs_{\es\qs}</math>. És un comportament '''INESTABLE'''.

==D7.2 Exemples generals==
====✏️ Exemple D7.1: placa rectangular giratòria====
------

:[[Fitxer:D7-Ex1-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
[[Fitxer:D7-Ex1-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:La placa rectangular homogènia, de massa m, està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant respecte del terra sota l’acció d’un motor. Es tracta de trobar l’equació del moviment associada al moviment entre placa i forquilla, i el valor del parell motor que garanteix <math>\Omega_0</math> constant.

:Descripció cinemàtica:

:Una altra opció per calcular <math>\vel{G}{T}</math> és la cinemàtica de sòlid rígid (sòlid: placa):

:<math>\vel{G}{T} = \vel{O}{T} + \OGvec\times\velang{placa}{T} = (\searrow 2\Ls)\times[(\Uparrow\Omega_0) + (\odot\dth)] = (\otimes 2\Ls\Omega_0\sth) + (\nearrow 2\Ls\dth)</math>

:Diagrama general d’interaccions

[[Fitxer:D7-Ex1-3-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{ eqs}}{\text{sòlid}} = 12\text{eqs}</math>

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 incògnites

:Full de ruta per a l’equació del moviment

:Només la placa té un moviment que depèn de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixerà <math>\ddth</math> quan s’apliquin els teoremes vectorials són: placa, placa + forquilla.

[[Fitxer:D7-Ex1-4-cat.png|thumb|center|450px|link=]]
<center>5 inc. enllaç + <math>\ddth</math> = 6 inc.enllaç <math>\:\:\:\:\:\:\:</math>5 inc. enllaç + <math>\Gamma + \ddth</math> = 7 inc.enllaç</center>
 
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la placa són:

[[Fitxer:D7-Ex1-5-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:La caracterització del torsor d’enllaç de la forquilla sobre la placa a punt <math>\Os</math> és immediata tant si sempre la base B com la B’.

:Si s’aplica el TQM, les tres components inclouen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà, i la component 3 (o 3’) estarà lliure d’incògnites d’enllaç.

:Una bona proposta és:<math>\boxed{\text{Full de ruta:SISTEMA(placa), TMC a }\Os]_{3=3'}}</math>

:TMC a <math>\Os: \:\: \sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_\text{RTO}(\Os)</math>

:<math>\Os\in</math> placa: <math>\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{placa}{RTO=T} = \Is\Is(\Os)[(\Uparrow\Omega_0) + \odot\dth]</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa:

:<math>[\Is\Is(\Os)]_\Bs = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}</math>, amb <math>\left\{\begin{aligned}
\I{petit} = (4/3)\ms\Ls^2 \\
\I{gran} = (16/3)\ms\Ls^2
\end{aligned}\right.</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \mat{\I{gran}}{0}{0}{0}{\I{petit}}{0}{0}{0}{\I{gran + petit}}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = \vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{\I{gran + petit}\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{\I{gran + petit}\dth}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = (\I{gran + petit})\ddth + \I{petit - gran}\Omega_0^2\sth\cth\\
\sum\vec{M}_{\text{ext}}(\Os)]_3 = -\ms\gs 2\Ls\sth
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{petit} - \I{gran})\Omega_0\cth\right]\sth = 0}</math>

:Si es substitueixen <math>\I{gran + petit}</math> i <math>\I{petit} - \I{gran}</math> pels valors que en donen les taules, l’equació queda:

:<math>\boxed{\frac{10}{3}\ddth + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth\right)\sth = 0}</math>

:Anàlisi de l’equació del moviment: configuracions d’equilibri

:<math>\left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>. Aquesta equació té dues famílies de solucions:

:<math>\left\{\begin{aligned}
\sth_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = 0,180\deg\\
\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0\cth_\text{eq} = 0\Rightarrow \cth_\text{eq} = \frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2}
\end{aligned}\right.</math>

:Ja que la funció cosinus està acotada entre -1 i +1, la segona família només existeix si <math>\frac{\gs}{2\Ls\Omega_0^2} \leq 1</math>, i això es compleix només si la velocitat angular <math>\Omega_0</math> està per sobre del valor crític <math>\Omega_\text{cr} = \sqrt{\frac{\gs}{2\Ls}}</math>.

:Anàlisi de l’equació del moviment: moviment de la placa respecte de la forquilla

:En tractar-se d’una equació no lineal (per causa de la funció sinus), el moviment general s’ha d’obtenir per integració numèrica.

:L’anàlisi analítica per a petites amplituds <math>(\varepsilon)</math> al voltant d’una configuració d’equilibri <math>\theta_\text{eq}</math> es pot fer si s’aproximen les funcions trigonomètriques [[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|('''secció D7.1''')]]:

:<math>\left.\begin{aligned}
\theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon\\
\varepsilon^2\approx 0
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left[\frac{\gs}{\Ls} + 2\Omega_0^2(\text{sin}^2\theta_\text{eq} + \text{cos}^2\theta_\text{eq})\right]\varepsilon + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\cth_\text{eq}\right)\sth_\text{eq} = 0</math>

:Per a les petites amplituds al voltant de <math>\theta_\text{eq} = 0</math>, l’equació del moviment és <math>\frac{10}{3}\ddot{\varepsilon} + \left(\frac{\gs}{\Ls} - 2\Omega_0^2\right)\varepsilon = 0</math>.

:Si les condicions inicials són <math>(\dot\varepsilon = 0, \varepsilon\neq 0)</math>, l’evolució de <math>\varepsilon</math> ve donada per: <math>\ddot{\varepsilon} = \frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)\varepsilon</math>.

:* Per a <math>\Omega_0^2 > \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon > 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''augmenta'''. És una configuració '''INESTABLE''' i no hi pot haver oscil·lació al voltant d’aquesta configuració.

:* Per a <math>\Omega_0^2 < \frac{\gs}{2\Ls},\: \ddot\varepsilon < 0\Rightarrow \varepsilon</math> '''disminueix'''. El moviment és una oscil·lació al voltant d’una configuració '''ESTABLE'''. La freqüència angular [rad/s] és <math>\omega = 2\pi\fs = \sqrt{\frac{3}{10}\left(2\Omega_0^2 - \frac{\gs}{\Ls}\right)}</math>.

:NOTA: si les condicions inicials són <math>\theta(\ts = 0) = 0</math> i <math>\dot\theta(\ts = 0) = 0</math>, el moviment pendular no apareix, i el sistema es mou només amb la rotació <math>\Omega_0</math>.

:ANIMACIO

:Comentari addicional

[[Fitxer:D7-Ex1-6-neut.png|thumb|right|200px|link=]]

:Si la placa s’hagués penjat de la forquilla de manera que l’eix 2 fos el de moment d’inèrcia gran i l’eix 1 fos el d’inèrcia baixa, l’equació del moviment hauria sigut:

:<math>(\I{gran + petit})\ddth + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\cth\right]\sth = 0</math>

:Si es linealitza al voltant de la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math>:

:<math>(\I{gran + petit})\ddot\varepsilon + \left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]\varepsilon = 0</math>

:Per a qualsevol valor de <math>\Omega_0</math>, el coeficient <math>\left[2\ms\gs\Ls + (\I{gran} - \I{petit})\Omega_0^2\right]</math> és positiu, i per tant la configuració <math>\theta_\text{eq} = 0</math> és sempre '''ESTABLE'''.

ANIMACIO

::Full de ruta per al parell motor

:Les opcions de sistema per calcular el parell motor són dues: forquilla, forquilla + placa:

[[Fitxer:D7-Ex1-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

[[Fitxer:D7-Ex1-8-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:L’opció (forquilla + placa) és la més adequada. La descripció d’interaccions externes sobre aquest sistema és:
:En tractar-se d’un parell motor, el TMC és el teorema adequat per arribar a la solució:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (forquilla + placa), TMC a }\Os]_\text{vert = 2'}}</math>

:El moment cinètic és el mateix que s’ha calculat abans (ja que la forquilla no té massa).

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\}_\Bs = \vector{\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{(\I{gran} + \I{petit})\ddth} + \vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth}\times\vector{\I{gran}\Omega_0\sth}{\I{petit}\Omega_0\cth}{(\I{gran} + \I{petit})\dth} = \vector{2\I{gran}\Omega_0\dth\cth}{-2\I{petit}\Omega_0\dth\sth}{...} = \frac{8}{3}\ms\Ls^2\vector{4\Omega_0\dth\cth}{-\Omega_0\dth\sth}{...}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_\text{vert} = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 \sth + \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_2 \cth\\

\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_\text{vert} = \Gamma
\end{aligned}\right\}

\Rightarrow \boxed{\Gamma =\frac{8}{3}\ms\Ls^2\Omega_0\dth(4\text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)}</math>


====✏️ Exemple D7.2: barres giratòries====
-----

:[[Fitxer:D7-Ex2-1-cat-esp.png|thumb|left|170px|link=]]

:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues barres homogènies idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\sth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant).

:Diagrama general d’interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex2-2-cat.png|thumb|right|200px|link=]]

:És un sistema de dos GL (<math>\omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. Per altra banda, conté 2 sòlids, i els dos teoremes vectorials generen 6 equacions per sòlid. Es tracta d’un problema determinat:

:equacions: 2 sòlids <math>\times\frac{6\text{eqs.}}{\text{sòlid}} = 12</math> eqs.

:incògnites: 2 associades als GL + 10 d'enllaç = 12 inc.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex2-3-cat.png|thumb|center|400px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex2-6-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:Les sis equacions que es generen aplicant els teoremes vectorials a la placa permeten calcular les 6 incògnites, mentre que en l’altra opció el nombre d’incògnites supera el nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la peça són:
:Si s’aplica el TQM, les tres components contenen incògnites d’enllaç. Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, la força d’enllaç no apareixerà. Per tant:

<center><math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a} \Os}</math></center>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:Per tal de tenir un tensor d’inèrcia de termes constants, és convenient treballar a la base B solidària a la placa. Ja que s’assumeix que el moviment només prové del GL forçat <math>\Omega_0</math>, és la base que gira amb <math>\Omega_0</math> respecte del terra.

:L’anàlisi qualitativa del tensor d’inèrcia es pot fer considerant primer el tesor de cada barra al seu centre d’inèrcia i afegir després les correccions de [[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|'''Steiner''']] per passar a <math>\Os</math>:
:[[Fitxer:D7-Ex2-4-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:<math>[\Is\Is(\Os)] = \mat{\Is}{+|\Is_{12}|}{0}{+|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \mat{\Is}{-|\Is_{12}|}{0}{-|\Is_{12}|}{\Is}{0}{0}{0}{2\Is} + \ms\Ls^2\mat{9/2}{-3/2}{0}{-3/2}{1/2}{0}{0}{0}{5} + \ms\Ls^2\mat{1/2}{1/2}{0}{1/2}{1/2}{0}{0}{0}{1} = \mat{2\Is + 5\ms\Ls^2}{-\ms\Ls^2}{0}{-\ms\Ls^2}{2\Is + \ms\Ls^2}{0}{0}{0}{4\Is + 6\ms\Ls^2}</math>

: Tenint en compte que <math>2\Is = \frac{1}{3}\ms\Ls^2 :</math> <math>[\Is\Is(\Os)] = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{0}{\Omega_0}{0} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-3\Omega_0}{4\Omega_0}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant i està contingut en el pla de la peça. Per tant, gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> i escombra una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:[[Fitxer:D7-Ex2-5-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Leftarrow\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\I{gran}\Omega_0)] = (\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \{\velang{B}{RTO}\}\times\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\vector{-\ms\Ls^2\Omega_0}{\I{gran}\Omega_0}{0} = \vector{0}{0}{\ms\Ls^2\Omega_0}</math>

:L’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:<math>\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>.

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\odot\ms\Ls^2\Omega_0^2)❗️❗️</math>

:Conclusió: el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible. La raó és la component horitzontal de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math>, que és la que genera <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\neq\vec 0</math>. Si <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> fos estrictament vertical (paral·lel a <math>\vec\Omega_0</math>), llavors <math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)=\vec 0</math>, i l’aplicació del TMC conduiria a valor nul de les dues components de moment <math>\Ms_1 = \Ms_2 = 0</math>. En altres paraules: si la direcció de la velocitat angular fos una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']] per al punt <math>\Os</math>, mantenir-la constant seria possible sense necessitat de moment extern.

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex2-7-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre el dit introdueixi una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal (sense que aparegui <math>\dth</math>). Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit horari:

:[[Fitxer:D7-Ex2-8-neut.png|thumb|center|450px|link=]]
<div>
=====ALTERNATIVA=====

:[[Fitxer:D7-Ex2-9-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada <math>\theta</math>, que es pot trobar amb el <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os]_3]}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\mat{16}{-3}{0}{-3}{4}{0}{0}{0}{20}\vector{-\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{-\dth}</math>

:<math>\left\{\vec{\Hs}_\text{RTO}(\Os)\right\} = \frac{1}{3}\ms\Ls^2\vector{-\Omega_0(16\sth + 3\cth)}{\Omega_0(3\sth + 4\cth)}{-20\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = -\frac{20}{3}\ms\Ls^2\ddth + \ms\Ls^2\Omega_0^2(4\sth\cth + \text{cos}^2\theta - \text{sin}^2\theta)</math>
:<math>\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_3 = \ms\gs\sqrt{2}\Ls\sth</math>.

:L’equació del moviment és:

:<math>\frac{20}{3}\ddth - \Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta) + \text{cos}(2\theta)] + \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equilibri <math>(\ddth_{eq} = 0)</math> són les solucions de l’equació trascendent:

:<math>\Omega_0^2[2\text{sin}(2\theta_\text{eq}) + \text{cos}(2\theta_\text{eq})] = \frac{\gs}{\Ls}\sqrt{2}\text{sin}\theta_\text{eq}</math>, i està clar que, si <math>\Omega_0\neq 0</math>, <math>\theta_\text{eq} = 0</math> no és una d’elles.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>\frac{20}{3}\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{3}{20}\Omega_0^2>0</math>.

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació horària.

</div>


====✏️ Exemple D7.3: peça giratòria amb partícules====
-----
:
:[[Fitxer:D7-Ex3-1-cat-esp.png|thumb|left|150px|link=]]
:El sistema consta d’un marc sense massa i de dues partícules idèntiques solidàries al marc. La peça està articulada a una forquilla de massa negligible que gira amb velocitat angular constant <math>\Omega_0</math> respecte del terra sota l’acció d’un motor. L’articulació entre peça forquilla permet un GL lliure (rotació <math>\dth</math> d’eix ortogonal a la peça), però es tracta d’investigar si és possible que aquest moviment no aparegui (per tant, investigar si l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math> pot ser simplement <math>\ddth = 0</math> i que la rotació <math>\Omega_0</math> es mantingui constant.

:Diagrama general d’interaccions

:És un sistema del mateix tipus que el de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']]: té dos GL (<math>\Omega_0</math> forçat, <math>\dth</math> lliure) amb 10 incògnites d’enllaç. El nombre d’equacions que es poden generar aplicant els teoremes vectorials als dos sòlids és 12: és un problema determinat.

:Full de ruta per a l’equació del moviment
:[[Fitxer:D7-Ex3-2-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:La peça és l’únic element el moviment del qual dependria de <math>\dth</math>. Per tant, els sistemes possibles en els quals apareixeria <math>\ddth</math> en l’aplicació dels teoremes vectorials són: peça, peça + forquilla. Com en de l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el full de ruta adequat és:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a }\Os}</math>

:TMC a <math>\Os:\:\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) </math>
:<math>\Os\in</math> peça <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{peça}{RTO = T} = \Is\Is(\Os)(\Uparrow\Omega_0)</math>

:El tensor d’inèrcia en la base B solidària a la peça és immediat:
:[[Fitxer:D7-Ex3-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]
:<math>[\Is\Is(\Os)] = [\Is\Is^\text{part. sup.}(\Os)] + [\Is\Is^\text{part. inf.}(\Os)] = \ms\Ls^2\left(\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + (\mat{4}{2}{0}{2}{1}{0}{0}{0}{5}\right)</math>
:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = 2\ms\Ls^2 \mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{0}{\Omega_0}{0} = 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0}</math>

:El vector moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> és de valor constant, està contingut en el pla de la peça, i gira respecte del terra amb <math>\vec\Omega_0</math> tot escombrant una superfície cònica. La derivada de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> prové d’aquest canvi de direcció:

:<math>\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os) = \velang{H($\Os$)}{RTO}\times\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = (\Uparrow\Omega_0)\times[(\Rightarrow2\ms\Ls^2\Omega_0) + (\Uparrow\ms\Ls^2\Omega_0)] = (\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:La derivada també es pot fer de manera analítica:

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \left\{ \velang{B}{RTO}\right\}\times\left\{ \vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times 2\ms\Ls^2\Omega_0\vector{1}{1}{0} = \vector{0}{0}{-2\ms\Ls^2\Omega_0^2}</math>

:El centre d’inèrcia de la peça es troba a la vertical que passa per <math>\Os</math>, i per tant l’únic moment respecte del punt <math>\Os</math> extern a la peça és el d’enllaç associat a l’articulació:

:[[Fitxer:D7-Ex3-4-neut.png|thumb|right|150px|link=]]

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = (\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)</math>

:Cap d’aquestes dues components pot proporcionar la derivada de moment cinètic:

:<math>(\Rightarrow\Ms_1) + (\Uparrow\Ms_2)\neq(\otimes 2\ms\Ls^2\Omega_0^2)</math>

:Com a l’[[D7. Exemples de dinàmica 3D#✏️ EXEMPLE D7.2: barres giratòries|'''exemple D7.2''']], el moviment que s’ha previst (sense que aparegui la rotació <math>\dth</math> de la peça respecte de la forquilla però mantenint <math>\Omega_0</math> constant) no és possible perquè la direcció de la velocitat angular no és una [[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|'''direcció principal d’inèrcia''']].

:Es pot aconseguir la rotació vertical constant <math>\Omega_0</math> si s’aplica una força sobre la peça que generi el moment que es requereix. Per exemple, amb un sol dit es podrien aplicar les forces:

:[[Fitxer:D7-Ex3-5-neut.png|thumb|center|400px|link=]]

:El valor de les dues forces és diferent, però el sentit del moment que fan respecte del punt <math>\Os</math> és el mateix.

:Mentre s’introdueix una d’aquestes forces, la <math>\Omega_0</math> es manté constant sense que canviï l’orientació de la peça respecte del pla horitzontal. Pel [[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''principi d’acció i reacció''']], la peça exerceix sobre el dit la mateixa força però amb sentit oposat (és a dir, la peça “recolza” sobre l dit). Si en algun moment s’enretira el dit, la peça es queda sense recolzament i es desvia de l’orientació inicial en sentit antihorari:

:[[Fitxer:D7-Ex3-6-neut.png|thumb|center|500px|link=]]

<div>
=====ALTERNATIVA=====
:[[Fitxer:D7-Ex3-7-neut.png|thumb|left|150px|link=]]

:El sentit inicial de la desviació es pot investigar a partir de l’equació del moviment per a la coordenada , que es pot trobar d’acord amb el full de ruta següent: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (peça), TMC a } \left.\Os\right]_3}</math>:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = 2\ms\Ls^2\mat{2}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{0}{3}\vector{\Omega_0\sth}{\Omega_0\cth}{\dth} = 2\ms\Ls^2\vector{\Omega_0(2\sth + \cth)}{\Omega_0(\sth + \cth)}{3\dth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_3 = 3\ms\Ls^2\ddth + 2\ms\Ls^2\Omega_0(\sqth - \cqth - \sth\cth)</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_3 = -2\ms\gs\Ls\sth</math>

:L’equació del moviment és:
:<math>3\ddth - \Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta)\right] + \frac{\gs}{\Ls}\sth = 0</math>

:Les configuracions d’equiibri <math>(\ddth_{\es\qs} = 0)</math> són les solucions de l’equació transcendent:

:<math>\Omega_0^2\left[2\text{cos}(2\theta_{\es\qs}) + \frac{1}{2}\text{sin}(2\theta_{\es\qs})\right] = \frac{\gs}{\Ls}\text{sin}\theta_{\es\qs}</math>, i és evident que <math>\theta = 0</math> no és una solució, i que per tant la peça necessàriament adquirirà moviment pendular.

:Les condicions inicials són: <math>\theta(\ts=0) = 0</math>, <math>\dth(\ts=0) = 0</math>. Substituint a l’equació del moviment, es pot determinar l’acceleració inicial <math>\ddth(\ts=0)</math>:

:<math>3\ddth(\ts=0) - \Omega_0^2 = 0\Rightarrow\ddth(\ts=0) = \frac{1}{3}\Omega_0^2>0</math>

:El fet que <math>\ddth(\ts=0)>0</math> indica que té el mateix sentit que la desviació <math>\theta</math> que s’ha representat a la figura anterior. Apareix, per tant, una rotació antihorària.
</div>



====✏️ EXEMPLE D7.4: bola giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex4-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 
:La bola, de massa m i radi r, manté un contacte puntual sense lliscament amb el terra i està articulada a un braç horitzontal. El braç està articulat a una forquilla que gira amb velocitat angular constant sota l’acció d’un motor. Braç i forquilla tenen massa negligible. El coeficient de fricció en direcció radial entre bola i terra és nul <math>(\mu_\text{rad} = 0)</math>. Es tracta d’investigar si la rotació <math>\Omega_0</math> pot provocar a pèrdua de contacte entre bola i terra.
 
 
 
 
 
 
:Descripció cinemàtica
:L’[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL)|'''EIRL''']] de la bola respecte del terra és la recta <math>\Os\Js</math>, i la velocitat angular es pot descompondre en dues rotacions d’Euler:

:[[Fitxer:D7-Ex4-2-cat-esp.png|thumb|center|420px|link=]]

:Diagrama general d’interaccions
::[[Fitxer:D7-Ex4-3-cat.png|thumb|left|250px|link=]]
:És un sistema d’un GL amb 17 incògnites d’enllaç. En contenir 3 sòlids rígids, es tracta d’un problema determinat:

:(17 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites 
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math>= 18 equacions

:La descripció del sistema es pot alleugerir si es tracta el braç com a [[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|'''SAE''']], doncs no te massa i només està sotmès a interaccions d’enllaç:

:[[Fitxer:D7-Ex4-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:El nombre d’incògnites d’enllaç associat a l’enllaç indirecte entre bola i forquilla per mitjà del braç és 4, ja que la bola té dues rotacions independents <math>(\Omega_3,\Omega_1)</math> respecte de la forquilla. El problema segueix sent determinat:

:(11 inc. d'enllaç, 1GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites 
:2 sòlids rígids <math>\times\frac{6\text{ eqs.}}{\text{sòlid}}</math> = 12 equacions

:Full de ruta per estudiar la pèrdua de contacte
:La pèrdua de contacte implica la supressió de l’enllaç entre bola i terra, per tant l’anul·lació de la força normal N que el terra exerceix sobre la bola. Els dos sistemes als quals es poden aplicar els teoremes vectorials per calcular la N són: bola, bola + braç + forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex4-5-cat.png|thumb|center|510px|link=]]

:La millor opció és aplicar teoremes vectorials a la bola, doncs el nombre d’incògnites és igual al nombre d’equacions que es poden generar. Les interaccions externes sobre la bola són:

:[[Fitxer:D7-Ex4-6-neut.png|thumb|left|230px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, les forces d’enllaç associades a l’articulació amb la forquilla no apareixeran, i els únics moments en direcció perpendicular al dibuix estaran associats al pes i a la N. Per tant:
:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (bola), TMC a } \Os]_{\perp\text{ al dibuix}}}</math>

:El moment cinètic <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es pot calcular a partir del tensor d’inèrcia a <math>\Os</math> (ja que <math>\Os</math> és un punt fix a la bola) per descomposició baricèntrica. En aquest últim cas, ja que la bola és rotor esfèric a <math>\Gs</math>, <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Gs)</math> és paral·lel a la velocitat angular de la bola:

:[[Fitxer:D7-Ex4-7-cat.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\begin{aligned}
\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) &= \vec{\Hs}_{\text{RTG}}(\Gs) + \OGvec\times\ms\vel{G}{RTO} =\\
&= \left(\Uparrow\frac{2}{5}\ms\rs^2\Omega_0\right) + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Omega_0\right) + (\rightarrow\Ls)\times(\otimes\ms\Ls\Omega_0)=\\
&=\left[\Uparrow\ms\left(\frac{2}{5}\rs^2 + \Ls^2\right)\Omega_0\right] + \left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right)
\end{aligned} </math>

:Les dues components són constats en valor, però la component horitzontal canvia de direcció per causa de la rotació vertical <math>\vec{\Omega_0}</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\dot{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} = (\Uparrow\Omega_0)\times\left(\Leftarrow\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0\right) = \left(\odot\frac{2}{5}\ms\rs\Ls\Omega_0^2\right)\\
\left.\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right]_{\perp\text{al dibuix}} = (\odot\Ns\Ls)+(\otimes\ms\gs\Ls) = [\odot(\Ns-\ms\gs)\Ls]
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\frac{2}{5}\rs\Omega_0\right)} </math>

:La força normal augmenta amb la velocitat angular, i per tant el contacte amb el terra es manté sempre.

:Alternativa:

:Si el càlcul de <math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)</math> es fa a partir de <math>\Is\Is(\Os)</math> i la derivada es fa de manera analítica:

:[[Fitxer:D7-Ex4-8-neut.png|thumb|right|230px|link=]]

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = ([\Is\Is(\Gs)]+[\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{bola}{RTO=T}</math>

:<math>\begin{aligned}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)} &= \left(\frac{2}{5}\ms\rs^2\mat{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{(\Ls/\rs)\Omega_0}{\Omega_0}{0}=\\
&=\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0}
\end{aligned}</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \vector{0}{\Omega_0}{0}\times\ms\Omega_0\vector{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs\Ls}{(2/5)\rs^2+\Ls^2}{0} = \vector{0}{0}{-\ms\Ls\Omega_0^2}\\
\left\{\sum\vec{\Ms}_\text{ext}(\Os)\right\} = \vector{\Ms_1}{\Ms_2}{0} + \vector{0}{0}{\ms\gs\Ls} + \vector{-\Ts\rs}{\Ts\Ls}{-\Ns\Ls}
\end{aligned}\right\}\Rightarrow \boxed{\Ns = \ms\left(g+\rs\Omega_0^2\right)} </math>



====✏️ EXEMPLE D7.5: anella giratòria====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex5-1-cat.png|thumb|left|250px|link=]]

:L’anella, de massa m i radi R, gira amb velocitat angular <math>\dot\varphi_0</math> constant respecte de la forquilla (de massa negligible) impulsada per un motor que té l’estàtor (P1) articulat a la forquilla, i el rotor (P2) solidari a l’anella. La forquilla pot girar respecte del terra amb velocitat angular <math>\dot\psi</math>. Inicialment, <math>\dot\psi(t=0) = 0</math>. Es tracta d’investigar com evoluciona aquesta condició inicial, si el lliscament entre anella i terra s’aturarà en algun moment, i el valor del parell motor que garanteix <math>\dot\varphi_0</math> constant mentre hi ha lliscament.

:Descripció cinemàtica i diagrama general d’interaccions
:Per al moviment més general quan encara hi ha lliscament, <math>\dot\varphi_0</math> i <math>\dot\psi</math> són independents, i la descripció de velocitats del sistema i el DGI ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#✏️ Exemple D3.18: actuador rotacional entre dos sòlids|'''exemple D3.18''']]) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-2-cat.png|thumb|center|250px|link=]]

<center><math>{\vvec}_{\Ts}(J) = {\vvec}_{\Ts}(\textrm{G})+\vec{\Omega}_{\Ts}^\text{anella} \times \vec{\textrm{GJ}} = (\odot L \dot{\psi})+[(\Uparrow\dot{\psi})+(⇒\dot{\varphi_0})] \times (↓R) = (\odot L \dot{\psi}) + (\otimes R \dot{\varphi_0})</math></center>

:Pel que fa a la descripció dinàmica, hi ha dues opcions segons que es considerin els enllaços directes entre la forquilla i l’estàtor del motor (P1), i l’estàtor (P1) i el rotor (P2, solidari a l’anella) (opció 1), o que es tracti l’enllaç indirecte entre forquilla i anella (opció 2) ([[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|'''secció D3.6''']]):

:[[Fitxer:D7-Ex5-3-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, el problema és determinat:

:Opció 1: (16 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 18 incògnites, 3 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 18 equacions

:Opció 2: (10 inc. enllaç, 2GL)<math>\Rightarrow</math> 12 incògnites, 2 sòlids rígids<math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlid}} =</math> 12 equacions

:<big>'''OPCIÓ 1'''</big>
:En aquesta opció, el DGI es pot alleugerir si es tracta la forquilla com a SAE (doncs té massa nul·la i només està sotmès a interaccions d’enllaç). L’enllaç indirecte entre P1 i el sostre (terra) introdueix 4 incògnites, ja que permet dues rotacions independents entre els dos:

:[[Fitxer:D7-Ex5-4-cat.png|thumb|center|420px|link=]]

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Tant l’anella com l’estàtor (P1) tenen un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha tres opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, P1, anella+P1.

:[[Fitxer:D7-Ex5-5-cat.png|thumb|center|690px|link=]]

:La millor opció és (anella+P1). La caracterització de l’enllaç indirecte entre P1 i sostre és immediata: ja que permet dues rotacions independents en direccions 2 i 3 de P1 respecte del terra, el torsor contindrà tres components de força i una de moment (en direcció 1). Les interaccions externes al sistema (anella+P1) són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-6-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math>, s’eviten les tres forces d’enllaç associades a l’enllaç indirecte entre P1 i sostre, i només apareixeran dues incògnites d’enllaç <math>(\Ns, \Ms_1)</math>. En no haver-hi cap component lliure d’incògnites d’enllaç, caldrà treballar en principi amb totes tres per arribar a l’equació del moviment.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella+P1), TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic es pot calcular a partir del tensor a <math>\Os</math> perquè <math>\Os</math> és fix a l’anella:

:<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=([\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)])\velang{anella}{RTO=T},\:\:\:\:\:\: [\Is\Is(\Gs)] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is}</math>, amb <math>2\Is = \ms\rs^2</math>

:<math> \begin{Bmatrix}{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \left(\frac{1}{2}\ms\Rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} + \ms\Ls^2\mat{0}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1}\right)\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}=\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi}
</math>

:<math>\begin{Bmatrix}{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)}\end{Bmatrix}_{\text{B}} = \vector{0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi} + \vector{0}{0}{\dot\psi}\times\vector{-\ms\Rs^2\dot\varphi_0}{0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\dot\psi} = \vector{0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a <math>\Js</math> i del moment <math>\Ms_1</math> associat a l’enllaç indirecte entre P1 i terra:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\
\vector{\mu\Ns\Rs+\Ms_1}{\text{mgL}-\text{NL}}{\mu\text{NL}} = \vector{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{-\ms\Rs^2\dot\psi\dot\varphi_0}{m((\Rs^2/2)+\Ls^2)\ddot\psi}
</math>

:La segona component condueix a <math>\Ns = \ms\gs+\frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>, i substituïnt a la tercera s’obté l’equació del moviment:

:<math>\boxed{\ddot\psi = \frac{2}{9}\mu\left(2\frac{\gs}{\rs}+\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:A l’instant inicial, <math>\dot\psi(\ts=0)=0\Rightarrow\ddot\psi(\ts=0)=\frac{4}{9}\mu\frac{\gs}{\rs}>0</math>, i per tant la velocitat angular <math>\dot\psi</math> creix, la qual cosa fa crèixer la força normal. Això és indicatiu de que no hi ha risc que es perdi el contacte a <math>\Js</math>.

:Quan <math>\dot\psi</math> arriba al valor <math>(\dot\varphi_0/2)</math>, el lliscament a <math>\Js</math> s’atura:

:<math>\vel{J}{T} = \vel{C}{T} + \velang{roda}{T}\times\CJvec = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + [(\Uparrow\dot\psi) + (\otimes\dot\varphi_0)] \times(\downarrow\rs) = (\rightarrow 2\rs\dot\psi) + (\leftarrow \rs\dot\varphi_0) = 0</math>

:A partir d’aquest moment, el sistema passa a tenir només 1 GL, però el nombre d’incògnites augmenta, doncs a <math>\Js</math> apareixen dues components més de força d’enllaç (a més de la N): el problema esdevé indeterminat.

:Full de ruta per al parell motor

:Ja que el parell motor actua entre P1 i l’anella, les dues opcions de sistema per a aplicar els teoremes vectorials són: anella, P1. Ja que l’equació del moviment per a la <math>\psi</math> i la força normal ja són conegudes, el nombre d’incògnites en aquests dos casos és:

:[[Fitxer:D7-Ex5-7-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:La millor opció, doncs, és aplicar teoremes a l’anella. Les interaccions externes sobre aquest sòlid són:

:[[Fitxer:D7-Ex5-8-neut.png|thumb|left|200px|link=]]

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> està lliure d’incògnites d’enllaç (conté el moment de la força de fricció, però la N és coneguda). Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os]_1}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> és el de l’anella, i la seva derivada té component 1 nul·la:

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = \left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right]_1 = 0 \Rightarrow\boxed{\Gamma=\mu\Ns\rs=\mu\ms\rs^2\left(\frac{\gs}{\rs} + \frac{1}{2}\dot\psi\dot\varphi_0\right)}</math>

:<big>'''OPCIÓ 2'''</big>
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\psi</math>
:Només l’anella té un moviment que depèn de <math>\psi</math>. Per tant, hi ha dues opcions per a la tria de sistema a qui aplicar els teoremes vectorials: anella, anella+forquilla.

:[[Fitxer:D7-Ex5-9-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:Les dues opcions semblen equivalents. Per triar-ne una, cal analitzar els interaccions externes que actuen sobre cadascun dels dos sistemes:

:[[Fitxer:D7-Ex5-10-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:En els dos casos, si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> s’eviten tres components de força d’enllaç, però en la direcció 1 (que és on pot aparèixer la <math>\ddot\varphi</math>) hi ha sempre un moment (el parell motor en un cas, o el <math>\Ms_1</math> entre sostre i forquilla en l’altre). S’agafi un sistema o l’altre, caldrà treballar en principi amb més d’una component del TMC per arribar a l’equació del moviment. A continuació es consideren les dues opcions.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella),TMC a }\Os}</math>

:El moment cinètic a <math>\Os</math> i la seva derivada són els mateixos calculats a l’opció 1:

:<math>\left\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\mat{2}{0}{0}{0}{9}{0}{0}{0}{9}\vector{-\dot\varphi_0}{0}{\dot\psi}, \:\:\:\:\:\:
\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\right\} = \frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi}</math>

:Els moments externs a <math>\Os</math> provenen del pes, de les forces a J, del parell motor i del moment <math>\Ms_1</math> a:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs}{2\mu\Ns\rs + \Ms_3}</math>

:La segona component dóna el valor de N: <math>\Ns = \ms\gs + \frac{1}{2}\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0</math>. En ser sempre positiu, el contacte a <math>\Js</math> està garantit.

:La primera component dóna el parell motor: <math>\Gamma = \mu\Ns\rs = \mu\ms\rs\left(\gs + \frac{1}{2}\rs\dot\psi\dot\varphi_0\right)</math>.

:Però a la tercera, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de <math>\Ms_3</math>. Per tant, aquesta opció no sembla adequada.

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + forquilla),TMC a }\Os}</math>

:Els moments externs són diferents al cas anterior:

:<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}(\Os)\Rightarrow\frac{1}{2}\ms\rs^2\vector{0}{-2\dot\psi\dot\varphi_0}{9\ddot\psi} = \vector{-\mu\Ns\rs+\Ms_1}{2(\ms\gs-\Ns)\rs + \Ms_2}{2\mu\Ns\rs}</math>

:En aquesta opció, l’acceleració <math>\ddot\varphi</math> està en funció de N, però les altres components no permeten calcular aquesta força.
:Ara bé, si es combinen es resultats per a les dues opcions, l’equació del moviment és immediata:

:{|
|<math>\boxed{\begin{aligned}
\text{SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_2 \\
\text{SISTEMA (anella + forquilla), TMC a }\left.\Os\right]_3
\end{aligned}}</math>
|<math>\left.\begin{aligned}
\:\:\:\:\Ns = \ms\gs + (1/2)\ms\rs\dot\psi\dot\varphi_0\\
\:\:\:\:(9/2)\ms\rs^2\ddot\psi
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\ddot\psi = 2\mu\Ns\rs</math>

|}

:L’aturada del lliscament s’estudia exactament igual que en l’opció 1.



====✏️ EXEMPLE D7.6: pèndol anular giratori====
-----

:
:[[Fitxer:D7-Ex6-1-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
:El sistema consta d’una anella, de massa m i radi R, unida a un braç que està articulat a un suport. El suport pot lliscar al llarg d’una guia llisa. Una molla lineal de constant k uneix suport i guia. El conjunt gira al voltant d ela vertical amb velocitat angular constant <math>\dot\psi_0</math> sota l’acció d’un motor. La massa de tots els elements, tret de l’anella, és negligible. Es tracta de buscar les equacions del moviment i estudiar les possibles configuracions d’equilibri.

:Descripció cinemàtica
:[[Fitxer:D7-Ex6-2-neut.png|thumb|right|200px|link=]]
:És un sistema de 3 GL: el moviment pendular <math>\dot\theta</math>, el moviment del suport respecte de la guia (que anomenarem <math>\dot\xs</math>) i la rotació vertical forçada <math>\dot\psi_0</math>.

:El moviment del centre de l’anella <math>\Gs</math> respecte del terra es pot trobar fen una doble composició:

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: guia} \\
\text{AB: suport}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs)</math>

:<math>\left.\begin{aligned}
\text{AB: terra} \\
\text{AB: guia}
\end{aligned}\right\} \vel{G}{AB} = \vel{G}{REL} + \vel{G}{ar} = (\nearrow\Ls\dth) + (\downarrow\dot\xs) + (\otimes\Ls\dot\psi_0\cth)</math>
 
 
 
 
:Diagrama general d'interaccions
:[[Fitxer:D7-Ex6-3-cat.png|thumb|left|200px|link=]]
 

:El problema és determinat:

:(15 inc. d'enllaç, 3GL) <math>\Rightarrow</math> 18 incògnites
:3 sòlids rígids <math>\times\frac{\text{6 eqs.}}{\text{sòlids}}</math> = 18 equacions
 
 
 
:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada <math>\theta</math>

:Només el moviment de l’anella depèn de <math>\ddth</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, anella+suport+guia.

:[[Fitxer:D7-Ex6-4-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:La tercera opció és la menys adequada. Pel que fa a les altres dues, les interaccions externes a tenir en compte són:

:[[Fitxer:D7-Ex6-5-cat.png|thumb|left|350px|link=]]

:Si s’aplica el TMC a <math>\Os</math> a l’anella, la component 1 està lliure d’incògnites d’enllaç, i és precisament en aquesta direcció que apareix la velocitat angular <math>\dth</math> (i, per tant, el canvi del seu valor <math>\ddth</math>). En l’opció (anella+suport), aquesta component inclou un moment d’enllaç. Per tant:

:<math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA anella, TMC a }\left.\Os\right]_1}</math>

:Ja que el punt O es mou respecte del terra: :<math>\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os) + \OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = \dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}</math>

:Per altra banda, <math>\Os</math> és un punt fix a l’anella: :<math>\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os) = \Is\Is(\Os)\velang{anella}{RTO=T}=\left[\Is\Is(\Gs)+\Is\Is^\oplus(\Os)\right]\left[(\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)/\right]
</math>

:<math>\left[\Is\Is(\Os)\right] = \mat{2\Is}{0}{0}{0}{\Is}{0}{0}{0}{\Is} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}</math>, amb <math>2\Is = \ms\Rs^2</math>

:<math>\{\vec{\Hs}_{\text{RTO}}(\Os)\} = \left( \mat{\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2}{0}{0}{0}{(1/2)\ms\Rs^2} + \mat{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{\ms\Ls^2}{0}{0}{0}{0}\right)\vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth} </math>

:<math>\left\{\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right\} = \vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\dth\sth}{-(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\dth\cth} + \vector{\dth}{\dot\psi_0\sth}{\dot\psi_0\cth}\times\vector{\ms(\Rs^2 + \Ls^2)\dth}{\ms((1/2)\Rs^2 + \Ls^2)\dot\psi_0\sth}{(1/2)\ms\Rs^2\dot\psi_0\cth}</math>

:<math>\left.\dot{\vec{\Hs}}_{\text{RTO}}\right]_1 = \ms(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth-\ms\Ls^2\dot\psi_0^2\sth\cth</math>

:<math>\left.\sum\vec\Ms_\text{ext}(\Os)\right]_1 = -\ms\gs\Ls\sth</math>

:<math>\OGvec\times\ms\acc{O}{Gal} = (\searrow\Ls)\times\ms(\downarrow\ddot\xs) = [(\rightarrow\Ls\sth) + (\downarrow\Ls\cth)]\times\ms(\uparrow\ddot\xs) = (\otimes\ms\Ls\ddot\xs\sth)</math>

:Finalment: <math>\boxed{(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth + (\gs - \ddot\xs - \Ls\dot\psi_0\cth)\Ls\sth} = 0</math>.

:Aquesta equació del moviment inclou també la variable <math>\ddot\xs</math>. Això vol dir que els graus de llibertat <math>\dth</math> i <math>\dot\xs</math> estan '''acoblats''': encara que el moviment comenci amb unes condicions inicials que només són no nul·les per a un d’ells, l’altre pot aparèixer.

:La component 1 del TMC a <math>\Os</math> per al sistema anella és l’única on apareixen <math>\dth</math> i <math>\ddot\xs</math>. Per tant, l’altra equació del moviment no es pot determinar amb cap de les altres dues components.

:Full de ruta per a l’equació del moviment de la coordenada x

:El moviment de l’anella i el del suport depenen de <math>\ddot\xs</math>. Per tant, els sistemes adequats per aplicar-hi els teoremes vectorials són: anella, anella+suport, suport, suport+guia, anella+suport+guia. Ja que s’ha determinat l’equació del moviment per a la <math>\theta</math>, <math>\ddth</math> ja no és una incògnita.

:[[Fitxer:D7-Ex6-6-cat.png|thumb|center|450px|link=]]

:[[Fitxer:D7-Ex6-7-cat.png|thumb|center|650px|link=]]

:Com abans, les millors opcions són les dues primeres. La primera ja s’ha fet servir, per tant aplicarem els teoremes a la segona. A partir de la representació de les interaccions externes que actuen sobre el sistema (anella+suport), es veu que la component vertical (direcció 3’) del TQM estarà lliure d’incògnites d’enllaç.
:Per tant: <math>\boxed{\text{Full de ruta: SISTEMA (anella + suport), }\left.\Ts\Qs\Ms\right]_{3'}}</math>.

:<math>\sum\vec\Fs_{\es\xs\ts} = \ms\acc{G}{Gal}</math>

:Càlcul de l’acceleració de G: 

:'''Opció 1''': per derivació de la velocitat descrita anteriorment, doncs correspon a una configuració general.

:<math>\left\{\vel{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{-\Ls\dot\psi_0}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}, :\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{\acc{G}{T}\right\}_{\Bs'} = \vector{\Ls\dot\psi_0\dth\sth}{-\Ls\dth^2\sth}{-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth} + \vector{0}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{-\Ls\dot\psi_0\cth}{\Ls\dth\cth}{-\dot\xs + \Ls\dth\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:'''Opció 2''': per cinemàtica del sòlid rígid.

:<math>\left.\begin{aligned}
\Gs\in\text{anella} \\
\Os\in\text{anella}
\end{aligned}\right\} \acc{G}{T} = \acc{O}{T} + \velang{anella}{T}\times\velang{anella}{T}\times\OGvec + \accang{anella}{T}\times\OGvec</math>

:<math>\velang{anella}{T} = (\Uparrow\dot\psi_0) + (\odot\dth)</math>

:L’acceleració angular prove del canvi de valor i de direcció de <math>\vec{\dth}</math>: <math>\accang{anella}{T} = (\odot\ddth) + (\Rightarrow\dot\psi_0\dth)</math>

:<math>\left\{\acc{G}{T}\right\}_{B'} = \vector{0}{0}{-\ddot\xs} + \vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\left(\vector{\dth}{0}{\dot\psi_0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}\right) + \vector{\ddth}{\dot\psi_0\dth}{0}\times\vector{0}{\Ls\cth}{\Ls\sth}</math>

:<math>\left.\acc{G}{T}\right]_{3'} = -\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth</math>

:Formulació de la força de la molla

:[[Fitxer:D7-Ex6-8-neut.png|thumb|right|250px|link=]]

:El GL de translació vertical del suport <math>(\dot\xs)</math> està associat a la variació d’una coordenada <math>\xs</math> l’origen de la qual encara no s’ha definit. És freqüent triar l’origen de les coordenades de manera que coincideixin amb configuracions d’equilibri.

:Si es pren <math>\xs=0</math> per a l’equilibri en absència de rotació <math>\dot\psi_0</math>, és clar que la molla haurà d’exercir una força <math>\Fs_0</math> d’atracció sobre el pèndol per contrarestar el pes: <math>\Fs_0 = \ms\gs</math>. La formulació general de la força d’atracció de la molla serà doncs: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\Delta\rho</math>.

:Ja que el moviment <math>\dot\xs</math> s’ha definit positiu cap a baix, un augment de <math>\xs</math> implica un augment de llargària de la molla. Per tant: <math>\Fs_\ms^{\as\ts} = \ms\gs + \ks\xs</math>.

:<math>\left.\begin{aligned}
\left.\sum\Fs_{\es\xs\ts}\right]_{3'}=\Fs_\ms^\text{at} -\ms\gs = \ks\xs\\
\left.\ms\acc{G}{T}\right]_{3'} = \ms(-\ddot\xs + \Ls\ddth\sth + \Ls\dth^2\cth)
\end{aligned}\right\} \Rightarrow \boxed{\ddot\xs + \frac{\ks}{\ms}\xs -\Ls(\ddth\sth + \dth^2\cth) = 0}</math>

:Comentaris sobre l’acoblament dels dos GL

:Les condicions inicials <math>\xs(\ts=0)</math>, <math>\dot\xs(\ts=0)</math>, <math>\theta(\ts=0)</math>, <math>\dth(\ts=0)</math> amb què s’engega el moviment determinen els GL que apareixeran.

:Una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = \xs_0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = \dot\xs_0</math>, <math>\theta(\ts=0)=0</math>, <math>\dth(\ts=0) =0</math> no aconseguirà mai fer aparèixer el moviment pendular, doncs les equacions per a l’instant inicial són:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddth(\ts=0) = 0, \:\:\:\:\:\:\ddot\xs(\ts=0) + \frac{\ks}{\ms}\xs_0 = 0</math>.

:En canvi, una condició inicial del tipus <math>\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs(\ts=0) = 0</math>, <math>\theta(\ts=0)=\theta_0</math>, <math>\dth(\ts=0) =\dth_0</math> sí que genera movement vertical <math>\dot\xs</math>, doncs l’equació que governa la <math>\dot\xs</math> per a l’instant inicial és:

:<math>\ddot\xs(\ts=0) -\Ls\left[\ddth(\ts=0)\text{sin}\theta_0 + \dth_0^2\text{cos}\theta_0\right] = 0</math>.

:Estudi de les configuracions d’equilibri estàtic
:Les configuracions d’equilibri estàtic (les que corresponen a tenir el sistema completament aturat, amb <math>\dot\psi_0 = 0</math>) s’obtenen de les equacions del moviment imposant <math>\ddot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq} = 0</math>, <math>\ddth_\text{eq} = 0</math>, <math>\dth_\text{eq} = 0</math>:

:Si considerem una petita pertorbació d’aquestes configuracions d’equilibri <math>(\xs = \xs_\text{eq} + \varepsilon_\xs, \theta = \theta_\text{eq} + \varepsilon_\theta)</math>, les equacions es poden (secció D7.1)[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|'''linealitzar''']]. Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim\varepsilon_\theta \\
\cth\sim 1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs < 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = -\frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta < 0
\end{cases}
</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, es tracta d’una configuració '''ESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>:

:<math>\left.\begin{aligned}
\sth\sim -\varepsilon_\theta \\
\cth\sim -1
\end{aligned}\right\} \Rightarrow

\begin{cases}
\ddot\varepsilon_\xs + \frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs = 0\Rightarrow \ddot\varepsilon_\xs = -\frac{\ks}{\ms}\varepsilon_\xs > 0\\
(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\Ls\varepsilon_\theta\Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - \ddot\varepsilon_\xs)\varepsilon_\theta = \frac{\Ls}{\Rs^2 + \Ls^2}(\gs - |\ddot\varepsilon_\xs|)\varepsilon_\theta > 0
\end{cases}</math>

:Ja que <math>\ddot\varepsilon_\xs > 0</math>, <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, es tracta d’una configuració '''INESTABLE'''.

:Estudi de les configuracions d’equilibri en rotació

:Si <math>\dot\psi_0>0</math>, per a <math>\ddot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\xs_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\ddot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math>, <math>\dot\theta_\text{eq}(\ts=0) = 0</math> l’equació del moviment per a la x no canvia (per tant, <math>\xs_\text{eq}=0</math> és estable: <math>\ddot\varepsilon_\xs < 0</math>), però la de la <math>\theta</math> té un terme addicional, i apareixen dues families de configuracions d’equilibri:

:<math>
(\gs-\Ls\dot\psi_0^2\text{cos}\theta_\text{eq})\Ls\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow
\begin{cases}
\text{sin}\theta_\text{eq} = 0\Rightarrow \theta_\text{eq} = (0,180\deg)\\
\text{cos}\theta_\text{eq} = \frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\Rightarrow\theta_\text{eq}\text{arcos}\left(\frac{\gs}{\Ls\dot\psi_0^2}\right)
\end{cases}
</math>

:La segona família, però, només existeix per sobre d’un valor crític de <math>\dot\psi_0^2</math> ja que la funció <math>\text{cos}\theta_\text{eq}</math> està acotada entre -1 i +1:

:<math>|\text{cos}\theta_\text{eq}| \leq 1\Rightarrow \dot\psi_0\geq\dot\psi_\text{cr}\equiv\sqrt\frac{\gs}{\Ls}</math>

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,0)</math>, la linealització de l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> condueix a:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta + (\gs - \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 - \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta</math>

:Si <math>\dot\psi_0 < \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta < 0</math>, la configuració és '''ESTABLE'''. Si <math>\dot\psi_0 > \dot\psi_{\cs\rs}</math> i <math>\ddot\varepsilon_\theta > 0</math>, la configuració és '''INESTABLE'''.

:Per a la configuració <math>(\xs_\text{eq}, \theta_\text{eq}) = (0,180\deg)</math>, l’equació del moviment per a la <math>\theta</math> linealitzada és:

:<math>(\Rs^2 + \Ls^2)\ddot\varepsilon_\theta - (\gs + \Ls\dot\psi_0^2)\Ls\varepsilon_\theta = 0 \Rightarrow \ddot\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \frac{\gs}{\Ls})\varepsilon_\theta = \frac{\Ls^2}{\Rs^2 + \Ls^2}(\dot\psi_0^2 + \dot\psi_{\cs\rs}^2)\varepsilon_\theta > 0</math>

:La configuració és '''INESTABLE''' per a qualsevol valor de <math>\dot\psi_0^2</math>.

:L’estudi de les configuracions <math>\theta_\text{eq} = \text{arcos}(\gs/\Ls\dot\psi_0^2) = \text{arcos}(\dot\psi_{\cs\rs}^2/\dot\psi_0^2)</math> es fa de manera anàloga, però és més farragós. Per aquest motiu, no es fa.



© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]
-------------

<center>
[[D6. Exemples de dinàmica 2D|<<< D6. Exemples de dinàmica 2D]]

[[D8. Conservacions|D8. Conservacions >>>]]

</center>