https://mec.etseib.upc.edu/ca/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Bros
Mecànica - Contribucions de l'usuari [ca]
2026-04-24T16:21:48Z
Contribucions de l'usuari
MediaWiki 1.37.1
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7804
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T14:01:12Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
<br />
{|<br />
|<br />
::[[Fitxer:Captura de pantalla 2025-08-10 155549.png|thumb|center|150px|link=]]<br />
|<br />
:Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
|}<br />
<br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow \text{politja}} \cdot \bar{\Omega}^{\text{politja}}_{T} = ( \Gamma) \cdot (\otimes \frac{v_0}{r}) = - \Gamma \frac{v_0}{r}</math><br />
<br />
El parell de frenada no és una dada, i cal recórrer al TMC per calcular-lo.<br />
<br />
<math><br />
<br />
\left.<br />
\begin{array}{l}<br />
\text{SISTEMA: politja + bloc} \\<br />
\text{TMC a }\mathbf{O}<br />
\end{array}<br />
\right\}<br />
\quad<br />
\sum \vec{M}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{O}) = <br />
\dot{\vec{H}}_{\mathrm{RTO}}(\mathbf{O})<br />
<br />
</math><br />
<br />
El moment cinètic prové de les dues peces. Ja que '''O''' no és fix al bloc, cal descomposició baricèntrica per calcular el moment cinètic del bloc:<br />
<br />
<math><br />
<br />
\begin{align*}<br />
\vec{H}_{\mathrm{RTO} = T}(\mathbf{O}) <br />
&= \vec{H}_T^{\mathrm{politja}}(\mathbf{O}) <br />
+ \vec{H}_T^{\mathrm{bloc}}(\mathbf{O}) = \vec{H}_T^{\mathrm{politja}}(\mathbf{O}) <br />
+ \vec{H}_T^{\mathrm{bloc}}(\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}})<br />
+ \vec{H}_T^{\oplus\,\mathrm{bloc}}(\mathbf{O}) \\<br />
&= \mathbf{I}_{\mathbf{O}}^{\mathrm{politja}} \, \boldsymbol{\Omega}_T^{\mathrm{politja}}<br />
+ \mathbf{I}_{\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}}}^{\mathrm{bloc}} \, \boldsymbol{\Omega}_T^{\mathrm{bloc}}<br />
+ \overline{\mathbf{OG}}_{\mathrm{bloc}} \times m \, \overline{\mathbf{v}}_T(\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}})= \left( \otimes \mathbf{I}_{\mathbf{O}} \frac{v_0}{r} \right)<br />
+ (\otimes m v_0 r) \, .<br />
\end{align*}<br />
<br />
</math><br />
<br />
Es tracta d’un moment cinètic constant en direcció i valor. Per tant:<br />
<br />
<math><br />
<br />
\dot{\vec{H}}_{\mathrm{RTO}}(\mathbf{O}) = 0 <br />
\Rightarrow \sum \vec{M}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{O}) <br />
= (\Gamma) + (\otimes m g r) = 0 <br />
\Rightarrow \Gamma = m g r<br />
<br />
</math><br />
<br />
Finalment: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = - \Gamma \frac{v_0}{r} = - mgv_0</math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=Fitxer:Captura_de_pantalla_2025-08-10_155549.png&diff=7803
Fitxer:Captura de pantalla 2025-08-10 155549.png
2025-08-10T14:00:49Z
<p>Bros: </p>
<hr />
<div>.</div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7802
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:53:47Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow \text{politja}} \cdot \bar{\Omega}^{\text{politja}}_{T} = ( \Gamma) \cdot (\otimes \frac{v_0}{r}) = - \Gamma \frac{v_0}{r}</math><br />
<br />
El parell de frenada no és una dada, i cal recórrer al TMC per calcular-lo.<br />
<br />
<math><br />
<br />
\left.<br />
\begin{array}{l}<br />
\text{SISTEMA: politja + bloc} \\<br />
\text{TMC a }\mathbf{O}<br />
\end{array}<br />
\right\}<br />
\quad<br />
\sum \vec{M}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{O}) = <br />
\dot{\vec{H}}_{\mathrm{RTO}}(\mathbf{O})<br />
<br />
</math><br />
<br />
El moment cinètic prové de les dues peces. Ja que '''O''' no és fix al bloc, cal descomposició baricèntrica per calcular el moment cinètic del bloc:<br />
<br />
<math><br />
<br />
\begin{align*}<br />
\vec{H}_{\mathrm{RTO} = T}(\mathbf{O}) <br />
&= \vec{H}_T^{\mathrm{politja}}(\mathbf{O}) <br />
+ \vec{H}_T^{\mathrm{bloc}}(\mathbf{O}) = \vec{H}_T^{\mathrm{politja}}(\mathbf{O}) <br />
+ \vec{H}_T^{\mathrm{bloc}}(\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}})<br />
+ \vec{H}_T^{\oplus\,\mathrm{bloc}}(\mathbf{O}) \\<br />
&= \mathbf{I}_{\mathbf{O}}^{\mathrm{politja}} \, \boldsymbol{\Omega}_T^{\mathrm{politja}}<br />
+ \mathbf{I}_{\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}}}^{\mathrm{bloc}} \, \boldsymbol{\Omega}_T^{\mathrm{bloc}}<br />
+ \overline{\mathbf{OG}}_{\mathrm{bloc}} \times m \, \overline{\mathbf{v}}_T(\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}})= \left( \otimes \mathbf{I}_{\mathbf{O}} \frac{v_0}{r} \right)<br />
+ (\otimes m v_0 r) \, .<br />
\end{align*}<br />
<br />
</math><br />
<br />
Es tracta d’un moment cinètic constant en direcció i valor. Per tant:<br />
<br />
<math><br />
<br />
\dot{\vec{H}}_{\mathrm{RTO}}(\mathbf{O}) = 0 <br />
\Rightarrow \sum \vec{M}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{O}) <br />
= (\Gamma) + (\otimes m g r) = 0 <br />
\Rightarrow \Gamma = m g r<br />
<br />
</math><br />
<br />
Finalment: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = - \Gamma \frac{v_0}{r} = - mgv_0</math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7801
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:53:30Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow \text{politja}} \cdot \bar{\Omega}^{\text{politja}}_{T} = ( \Gamma) \cdot (\otimes \frac{v_0}{r}) = - \Gamma \frac{v_0}{r}</math><br />
<br />
El parell de frenada no és una dada, i cal recórrer al TMC per calcular-lo.<br />
<br />
<math><br />
<br />
\left.<br />
\begin{array}{l}<br />
\text{SISTEMA: politja + bloc} \\<br />
\text{TMC a }\mathbf{O}<br />
\end{array}<br />
\right\}<br />
\quad<br />
\sum \vec{M}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{O}) = <br />
\dot{\vec{H}}_{\mathrm{RTO}}(\mathbf{O})<br />
<br />
</math><br />
<br />
El moment cinètic prové de les dues peces. Ja que '''O''' no és fix al bloc, cal descomposició baricèntrica per calcular el moment cinètic del bloc:<br />
<br />
<math><br />
<br />
\begin{align*}<br />
\vec{H}_{\mathrm{RTO} = T}(\mathbf{O}) <br />
&= \vec{H}_T^{\mathrm{politja}}(\mathbf{O}) <br />
+ \vec{H}_T^{\mathrm{bloc}}(\mathbf{O}) = \vec{H}_T^{\mathrm{politja}}(\mathbf{O}) <br />
+ \vec{H}_T^{\mathrm{bloc}}(\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}})<br />
+ \vec{H}_T^{\oplus\,\mathrm{bloc}}(\mathbf{O}) \\<br />
&= \mathbf{I}_{\mathbf{O}}^{\mathrm{politja}} \, \boldsymbol{\Omega}_T^{\mathrm{politja}}<br />
+ \mathbf{I}_{\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}}}^{\mathrm{bloc}} \, \boldsymbol{\Omega}_T^{\mathrm{bloc}}<br />
+ \overline{\mathbf{OG}}_{\mathrm{bloc}} \times m \, \overline{\mathbf{v}}_T(\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}})= \left( \otimes \mathbf{I}_{\mathbf{O}} \frac{v_0}{r} \right)<br />
+ (\otimes m v_0 r) \, .<br />
\end{align*}<br />
<br />
</math><br />
<br />
Es tracta d’un moment cinètic constant en direcció i valor. Per tant:<br />
<br />
<math><br />
<br />
\dot{\vec{H}}_{\mathrm{RTO}}(\mathbf{O}) = 0 <br />
\Rightarrow \sum \vec{M}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{O}) <br />
= (\Gamma) + (\otimes m g r) = 0 <br />
\Rightarrow \Gamma = m g r<br />
<br />
</math><br />
<br />
Finalment: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = - \Gamma \frac{v_0}{r} = - \text{mgv}_0</math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7800
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:53:07Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow \text{politja}} \cdot \bar{\Omega}^{\text{politja}}_{T} = ( \Gamma) \cdot (\otimes \frac{v_0}{r}) = - \Gamma \frac{v_0}{r}</math><br />
<br />
El parell de frenada no és una dada, i cal recórrer al TMC per calcular-lo.<br />
<br />
<math><br />
<br />
\left.<br />
\begin{array}{l}<br />
\text{SISTEMA: politja + bloc} \\<br />
\text{TMC a }\mathbf{O}<br />
\end{array}<br />
\right\}<br />
\quad<br />
\sum \vec{M}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{O}) = <br />
\dot{\vec{H}}_{\mathrm{RTO}}(\mathbf{O})<br />
<br />
</math><br />
<br />
El moment cinètic prové de les dues peces. Ja que '''O''' no és fix al bloc, cal descomposició baricèntrica per calcular el moment cinètic del bloc:<br />
<br />
<math><br />
<br />
\begin{align*}<br />
\vec{H}_{\mathrm{RTO} = T}(\mathbf{O}) <br />
&= \vec{H}_T^{\mathrm{politja}}(\mathbf{O}) <br />
+ \vec{H}_T^{\mathrm{bloc}}(\mathbf{O}) = \vec{H}_T^{\mathrm{politja}}(\mathbf{O}) <br />
+ \vec{H}_T^{\mathrm{bloc}}(\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}})<br />
+ \vec{H}_T^{\oplus\,\mathrm{bloc}}(\mathbf{O}) \\<br />
&= \mathbf{I}_{\mathbf{O}}^{\mathrm{politja}} \, \boldsymbol{\Omega}_T^{\mathrm{politja}}<br />
+ \mathbf{I}_{\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}}}^{\mathrm{bloc}} \, \boldsymbol{\Omega}_T^{\mathrm{bloc}}<br />
+ \overline{\mathbf{OG}}_{\mathrm{bloc}} \times m \, \overline{\mathbf{v}}_T(\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}})= \left( \otimes \mathbf{I}_{\mathbf{O}} \frac{v_0}{r} \right)<br />
+ (\otimes m v_0 r) \, .<br />
\end{align*}<br />
<br />
</math><br />
<br />
Es tracta d’un moment cinètic constant en direcció i valor. Per tant:<br />
<br />
<math><br />
<br />
\dot{\vec{H}}_{\mathrm{RTO}}(\mathbf{O}) = 0 <br />
\Rightarrow \sum \vec{M}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{O}) <br />
= (\Gamma) + (\otimes m g r) = 0 <br />
\Rightarrow \Gamma = m g r<br />
<br />
</math><br />
<br />
Finalment: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = - \Gamma \frac{v_0}{r} = - \text{m g v_0}</math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7799
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:50:30Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow \text{politja}} \cdot \bar{\Omega}^{\text{politja}}_{T} = ( \Gamma) \cdot (\otimes \frac{v_0}{r}) = - \Gamma \frac{v_0}{r}</math><br />
<br />
El parell de frenada no és una dada, i cal recórrer al TMC per calcular-lo.<br />
<br />
<math><br />
<br />
\left.<br />
\begin{array}{l}<br />
\text{SISTEMA: politja + bloc} \\<br />
\text{TMC a }\mathbf{O}<br />
\end{array}<br />
\right\}<br />
\quad<br />
\sum \vec{M}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{O}) = <br />
\dot{\vec{H}}_{\mathrm{RTO}}(\mathbf{O})<br />
<br />
</math><br />
<br />
El moment cinètic prové de les dues peces. Ja que '''O''' no és fix al bloc, cal descomposició baricèntrica per calcular el moment cinètic del bloc:<br />
<br />
<math><br />
<br />
\begin{align*}<br />
\vec{H}_{\mathrm{RTO} = T}(\mathbf{O}) <br />
&= \vec{H}_T^{\mathrm{politja}}(\mathbf{O}) <br />
+ \vec{H}_T^{\mathrm{bloc}}(\mathbf{O}) = \vec{H}_T^{\mathrm{politja}}(\mathbf{O}) <br />
+ \vec{H}_T^{\mathrm{bloc}}(\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}})<br />
+ \vec{H}_T^{\oplus\,\mathrm{bloc}}(\mathbf{O}) \\<br />
&= \mathbf{I}_{\mathbf{O}}^{\mathrm{politja}} \, \boldsymbol{\Omega}_T^{\mathrm{politja}}<br />
+ \mathbf{I}_{\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}}}^{\mathrm{bloc}} \, \boldsymbol{\Omega}_T^{\mathrm{bloc}}<br />
+ \overline{\mathbf{OG}}_{\mathrm{bloc}} \times m \, \overline{\mathbf{v}}_T(\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}})= \left( \otimes \mathbf{I}_{\mathbf{O}} \frac{v_0}{r} \right)<br />
+ (\otimes m v_0 r) \, .<br />
\end{align*}<br />
<br />
</math><br />
<br />
Es tracta d’un moment cinètic constant en direcció i valor. Per tant:<br />
<br />
<math><br />
<br />
\dot{\vec{H}}_{\mathrm{RTO}}(\mathbf{O}) = 0 <br />
\Rightarrow \sum \vec{M}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{O}) <br />
= (\Gamma) + (\otimes m g r) = 0 <br />
\Rightarrow \Gamma = m g r<br />
<br />
</math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7798
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:50:10Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow \text{politja}} \cdot \bar{\Omega}^{\text{politja}}_{T} = ( \Gamma) \cdot (\otimes \frac{v_0}{r}) = - \Gamma \frac{v_0}{r}</math><br />
<br />
El parell de frenada no és una dada, i cal recórrer al TMC per calcular-lo.<br />
<br />
<math><br />
<br />
\left.<br />
\begin{array}{l}<br />
\text{SISTEMA: politja + bloc} \\<br />
\text{TMC a }\mathbf{O}<br />
\end{array}<br />
\right\}<br />
\quad<br />
\sum \vec{M}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{O}) = <br />
\dot{\vec{H}}_{\mathrm{RTO}}(\mathbf{O})<br />
<br />
</math><br />
<br />
El moment cinètic prové de les dues peces. Ja que '''O''' no és fix al bloc, cal descomposició baricèntrica per calcular el moment cinètic del bloc:<br />
<br />
<math><br />
<br />
\begin{align*}<br />
\vec{H}_{\mathrm{RTO} = T}(\mathbf{O}) <br />
&= \vec{H}_T^{\mathrm{politja}}(\mathbf{O}) <br />
+ \vec{H}_T^{\mathrm{bloc}}(\mathbf{O}) = \vec{H}_T^{\mathrm{politja}}(\mathbf{O}) <br />
+ \vec{H}_T^{\mathrm{bloc}}(\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}})<br />
+ \vec{H}_T^{\oplus\,\mathrm{bloc}}(\mathbf{O}) \\<br />
&= \mathbf{I}_{\mathbf{O}}^{\mathrm{politja}} \, \boldsymbol{\Omega}_T^{\mathrm{politja}}<br />
+ \mathbf{I}_{\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}}}^{\mathrm{bloc}} \, \boldsymbol{\Omega}_T^{\mathrm{bloc}}<br />
+ \overline{\mathbf{OG}}_{\mathrm{bloc}} \times m \, \overline{\mathbf{v}}_T(\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}})= \left( \otimes \mathbf{I}_{\mathbf{O}} \frac{v_0}{r} \right)<br />
+ (\otimes m v_0 r) \, .<br />
\end{align*}<br />
<br />
</math><br />
<br />
Es tracta d’un moment cinètic constant en direcció i valor. Per tant:<br />
<br />
<math><br />
<br />
\dot{\vec{H}}_{\mathrm{RTO}}(\mathbf{O}) = 0 <br />
\Rightarrow \sum \vec{M}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{O}) <br />
= (\mathbb{\square} \, \Gamma) + (\otimes m g r) = 0 <br />
\Rightarrow \Gamma = m g r<br />
<br />
</math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7797
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:49:17Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow \text{politja}} \cdot \bar{\Omega}^{\text{politja}}_{T} = ( \Gamma) \cdot (\otimes \frac{v_0}{r}) = - \Gamma \frac{v_0}{r}</math><br />
<br />
El parell de frenada no és una dada, i cal recórrer al TMC per calcular-lo.<br />
<br />
<math><br />
<br />
\left.<br />
\begin{array}{l}<br />
\text{SISTEMA: politja + bloc} \\<br />
\text{TMC a }\mathbf{O}<br />
\end{array}<br />
\right\}<br />
\quad<br />
\sum \vec{M}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{O}) = <br />
\dot{\vec{H}}_{\mathrm{RTO}}(\mathbf{O})<br />
<br />
</math><br />
<br />
El moment cinètic prové de les dues peces. Ja que '''O''' no és fix al bloc, cal descomposició baricèntrica per calcular el moment cinètic del bloc:<br />
<br />
<math><br />
<br />
\begin{align*}<br />
\vec{H}_{\mathrm{RTO} = T}(\mathbf{O}) <br />
&= \vec{H}_T^{\mathrm{politja}}(\mathbf{O}) <br />
+ \vec{H}_T^{\mathrm{bloc}}(\mathbf{O}) = \vec{H}_T^{\mathrm{politja}}(\mathbf{O}) <br />
+ \vec{H}_T^{\mathrm{bloc}}(\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}})<br />
+ \vec{H}_T^{\oplus\,\mathrm{bloc}}(\mathbf{O}) \\<br />
&= \mathbf{I}_{\mathbf{O}}^{\mathrm{politja}} \, \boldsymbol{\Omega}_T^{\mathrm{politja}}<br />
+ \mathbf{I}_{\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}}}^{\mathrm{bloc}} \, \boldsymbol{\Omega}_T^{\mathrm{bloc}}<br />
+ \overline{\mathbf{OG}}_{\mathrm{bloc}} \times m \, \overline{\mathbf{v}}_T(\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}})= \left( \otimes \mathbf{I}_{\mathbf{O}} \frac{v_0}{r} \right)<br />
+ (\otimes m v_0 r) \, .<br />
\end{align*}<br />
<br />
</math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7796
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:48:36Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow \text{politja}} \cdot \bar{\Omega}^{\text{politja}}_{T} = ( \Gamma) \cdot (\otimes \frac{v_0}{r}) = - \Gamma \frac{v_0}{r}</math><br />
<br />
El parell de frenada no és una dada, i cal recórrer al TMC per calcular-lo.<br />
<br />
<math><br />
<br />
\left.<br />
\begin{array}{l}<br />
\text{SISTEMA: politja + bloc} \\<br />
\text{TMC a }\mathbf{O}<br />
\end{array}<br />
\right\}<br />
\quad<br />
\sum \vec{M}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{O}) = <br />
\dot{\vec{H}}_{\mathrm{RTO}}(\mathbf{O})<br />
<br />
</math><br />
<br />
El moment cinètic prové de les dues peces. Ja que '''O''' no és fix al bloc, cal descomposició baricèntrica per calcular el moment cinètic del bloc:<br />
<br />
<math><br />
<br />
\begin{align*}<br />
\vec{H}_{\mathrm{RTO} = T}(\mathbf{O}) <br />
&= \vec{H}_T^{\mathrm{politja}}(\mathbf{O}) <br />
+ \vec{H}_T^{\mathrm{bloc}}(\mathbf{O}) \\<br />
&= \vec{H}_T^{\mathrm{politja}}(\mathbf{O}) <br />
+ \vec{H}_T^{\mathrm{bloc}}(\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}})<br />
+ \vec{H}_T^{\oplus\,\mathrm{bloc}}(\mathbf{O}) \\<br />
&= \mathbf{I}_{\mathbf{O}}^{\mathrm{politja}} \, \boldsymbol{\Omega}_T^{\mathrm{politja}}<br />
+ \mathbf{I}_{\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}}}^{\mathrm{bloc}} \, \boldsymbol{\Omega}_T^{\mathrm{bloc}}<br />
+ \overline{\mathbf{OG}}_{\mathrm{bloc}} \times m \, \overline{\mathbf{v}}_T(\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}}) \\<br />
&= \left( \otimes \mathbf{I}_{\mathbf{O}} \frac{v_0}{r} \right)<br />
+ (\otimes m v_0 r) \, .<br />
\end{align*}<br />
<br />
</math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7795
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:47:36Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow \text{politja}} \cdot \bar{\Omega}^{\text{politja}}_{T} = ( \Gamma) \cdot (\otimes \frac{v_0}{r}) = - \Gamma \frac{v_0}{r}</math><br />
<br />
El parell de frenada no és una dada, i cal recórrer al TMC per calcular-lo.<br />
<br />
<math><br />
<br />
\left.<br />
\begin{array}{l}<br />
\text{SISTEMA: politja + bloc} \\<br />
\text{TMC a }\mathbf{O}<br />
\end{array}<br />
\right\}<br />
\quad<br />
\sum \vec{M}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{O}) = <br />
\dot{\vec{H}}_{\mathrm{RTO}}(\mathbf{O})<br />
<br />
</math><br />
<br />
El moment cinètic prové de les dues peces. Ja que '''O''' no és fix al bloc, cal descomposició baricèntrica per calcular el moment cinètic del bloc:<br />
<br />
<math><br />
<br />
\vec{H}_{\mathrm{RTO} = T}(\mathbf{O})<br />
= \vec{H}_T^{\mathrm{politja}}(\mathbf{O}) <br />
+ \vec{H}_T^{\mathrm{bloc}}(\mathbf{O})<br />
= \vec{H}_T^{\mathrm{politja}}(\mathbf{O}) <br />
+ \vec{H}_T^{\mathrm{bloc}}(\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}})<br />
+ \vec{H}_T^{\oplus\,\mathrm{bloc}}(\mathbf{O})<br />
\]<br />
\[<br />
= \mathbf{I}_{\mathbf{O}}^{\mathrm{politja}} \, \boldsymbol{\Omega}_T^{\mathrm{politja}}<br />
+ \mathbf{I}_{\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}}}^{\mathrm{bloc}} \, \boldsymbol{\Omega}_T^{\mathrm{bloc}}<br />
+ \overline{\mathbf{OG}}_{\mathrm{bloc}} \times m \, \overline{\mathbf{v}}_T(\mathbf{G}_{\mathrm{bloc}})<br />
= \left( \otimes \mathbf{I}_{\mathbf{O}} \frac{v_0}{r} \right)<br />
+ (\otimes m v_0 r) \, .<br />
<br />
</math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7794
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:46:21Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow \text{politja}} \cdot \bar{\Omega}^{\text{politja}}_{T} = ( \Gamma) \cdot (\otimes \frac{v_0}{r}) = - \Gamma \frac{v_0}{r}</math><br />
<br />
El parell de frenada no és una dada, i cal recórrer al TMC per calcular-lo.<br />
<br />
<math><br />
<br />
\left.<br />
\begin{array}{l}<br />
\text{SISTEMA: politja + bloc} \\<br />
\text{TMC a }\mathbf{O}<br />
\end{array}<br />
\right\}<br />
\quad<br />
\sum \vec{M}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{O}) = <br />
\dot{\vec{H}}_{\mathrm{RTO}}(\mathbf{O})<br />
<br />
</math><br />
<br />
El moment cinètic prové de les dues peces. Ja que '''O''' no és fix al bloc, cal descomposició baricèntrica per calcular el moment cinètic del bloc:</div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7793
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:45:47Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow \text{politja}} \cdot \bar{\Omega}^{\text{politja}}_{T} = ( \Gamma) \cdot (\otimes \frac{v_0}{r}) = - \Gamma \frac{v_0}{r}</math><br />
<br />
El parell de frenada no és una dada, i cal recórrer al TMC per calcular-lo.<br />
<br />
<math><br />
<br />
\left.<br />
\begin{array}{l}<br />
\text{SISTEMA: politja + bloc} \\<br />
\text{TMC a }\mathbf{O}<br />
\end{array}<br />
\right\}<br />
\quad<br />
\sum \vec{M}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{O}) = <br />
\dot{\vec{H}}_{\mathrm{RTO}}(\mathbf{O})<br />
<br />
</math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7792
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:44:47Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow \text{politja}} \cdot \bar{\Omega}^{\text{politja}}_{T} = ( \Gamma) \cdot (\otimes \frac{v_0}{r}) = - \Gamma \frac{v_0}{r}</math><br />
<br />
El parell de frenada no és una dada, i cal recórrer al TMC per calcular-lo.<br />
<br />
<math><br />
<br />
\text{SISTEMA: politja + bloc} <br />
\quad\text{TMC a }\mathbf{O}<br />
\quad\left\{<br />
\sum \vec{M}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{O}) = <br />
\dot{\vec{H}}_{\mathrm{RTO}}(\mathbf{O})<br />
\right.<br />
<br />
</math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7791
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:44:34Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow \text{politja}} \cdot \bar{\Omega}^{\text{politja}}_{T} = ( \Gamma) \cdot (\otimes \frac{v_0}{r}) = - \Gamma \frac{v_0}{r}</math><br />
<br />
El parell de frenada no és una dada, i cal recórrer al TMC per calcular-lo.<br />
<br />
<math><br />
\[<br />
\text{SISTEMA: politja + bloc} <br />
\quad\text{TMC a }\mathbf{O}<br />
\quad\left\{<br />
\sum \vec{M}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{O}) = <br />
\dot{\vec{H}}_{\mathrm{RTO}}(\mathbf{O})<br />
\right.<br />
\]<br />
</math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7790
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:42:49Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow \text{politja}} \cdot \bar{\Omega}^{\text{politja}}_{T} = ( \Gamma) \cdot (\otimes \frac{v_0}{r}) = - \Omega \frac{v_0}{r}</math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7789
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:42:30Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow \text{politja}} \cdot \bar{\Omega}^{\text{politja}}_{T} = (\stackon[-0.5ex]{\square}{\times} \Gamma) \cdot (\otimes \frac{v_0}{r}) = - \Omega \frac{v_0}{r}</math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7788
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:42:02Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow \text{politja}} \cdot \bar{\Omega}^{\text{politja}}_{T} = (\squarecross \Gamma) \cdot (\otimes \frac{v_0}{r}) = - \Omega \frac{v_0}{r}</math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7787
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:41:03Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow \text{politja}} \cdot \bar{\Omega}^{\text{politja}}_{T} = (\mathbb{\square} \Gamma) \cdot (\otimes \frac{v_0}{r}) = - \Omega \frac{v_0}{r}</math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7786
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:36:08Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow \text{politja}} \cdot \bar{\Omega}^{\text{politja}}_{T} = </math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7785
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:35:50Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{\text{fre}} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow \text{politja}} \cdot \Omega^{\text{politja}}_{T} = </math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7784
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:34:54Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{fre} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow politja} \dot \Omega^{politja}_{T} = </math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7783
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:34:42Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{fre} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow politja} \dot \bar{\Omega}^{politja}_{T} = </math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7782
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:33:49Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{fre} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow politja} \dot \bar{\Omega}}^{politja}_{T} = </math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7781
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:33:38Z
<p>Bros: /* E2.1 Teorema de l’energia */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{fre} = \bar{\Gamma}^{\rightarrow politja} \dot \bar{\Omega}^{politja}_{T} = </math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7780
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:32:06Z
<p>Bros: /* E2.1 Teorema de l’energia */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>: <math>\dot{W}_R^{fre} = \bar{\varGamma}^{\rightarrow politja}</math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7779
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:29:17Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.<br />
<br />
<u>Càlcul directe</u>:</div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7778
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:28:49Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. <u>Es tracta de calcular la potència del fre</u>.</div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7777
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-08-10T13:27:15Z
<p>Bros: /* E2.1 Teorema de l’energia */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math><br />
<br />
====✏️ Exemple E2-1.1: politja frenada====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|<br />
Un bloc de massa m penja d’un fil inextensible lligat a un punt de la perifèria d’una politja de radi r. Entre suport (fix a terra) i politja actua un fre que garanteix que el bloc baixa a velocitat constant respecte del terra. Es tracta de calcular la potència del fre.</div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7776
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-06-13T13:22:14Z
<p>Bros: /* E2.1 Teorema de l’energia */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \overline{\mathbf{F}} \cdot \overline{\mathbf{v}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math><br />
<br />
Sumant per a totes les partícules del sistema: <math>\Delta \mathbf{T}_R^{sist} = <br />
\left. W_R^{\text{ext}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar}} \right|_i^f</math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7775
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-06-13T13:19:57Z
<p>Bros: /* E2.1 Teorema de l’energia */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\overline{\mathbf{s}}_R(\mathbf{P}) \, dt</math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7774
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-06-13T13:19:05Z
<p>Bros: /* E2.1 Teorema de l’energia */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).<br />
<br />
Tenint en compte que <math>\mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> correspon al diferencial de recorregut de <math>\Ps</math> sobre la seva trajectòria respecte de R, el treball es pot reescriure com a integral de la força al llarg del recorregut de <math>\Ps</math>:<br />
<br />
<math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \text{d}\mathbf{s}_R(\mathbf{P}) \, dt</math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7773
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-06-09T19:00:54Z
<p>Bros: /* E2.1 Teorema de l’energia */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>\left. W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}_R(\mathbf{P}) \, dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).</div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7772
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-06-09T19:00:08Z
<p>Bros: /* E2.1 Teorema de l’energia */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br><br />
<br />
on <math>\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \mathbf{T}_R^f(\mathbf{P}) - \mathbf{T}_R^i(\mathbf{P}) = \frac{1}{2} m \left( \left[ \mathbf{v}_R^f(\mathbf{P}) \right]^2 - \left[ \mathbf{v}_R^i(\mathbf{P}) \right]^2 \right)</math>, i <math>W_R^{\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f = \int_i^f \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}_R(\mathbf{P})dt</math> és el '''treball de la força''' F entre els instants (i) I (f).</div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7771
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-06-09T18:57:00Z
<p>Bros: /* E2.1 Teorema de l’energia */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):<br />
<br />
<math>\mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = \dot{W}_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} + \dot{W}_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}}<br />
\quad \xrightarrow{\int_i^f \cdots \, dt} \quad<br />
\Delta \mathbf{T}_R(\mathbf{P}) = <br />
\left. W_R^{\text{ext} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{int} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f + <br />
\left. W_R^{\text{ar} \rightarrow \mathbf{P}} \right|_i^f</math><br></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7770
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-06-09T18:55:13Z
<p>Bros: </p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>\Ps</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):</div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7769
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-06-09T18:54:44Z
<p>Bros: </p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.<br />
<br />
------<br />
------<br />
==E2.1 Teorema de l’energia==<br />
<br />
El balanç de potències per a una partícula <math>P</math> en una referència R general (que pot ser no Galileana) es pot integrar entre dos instants temporals inicial (i) i final (f):</div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7768
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-06-09T18:53:03Z
<p>Bros: </p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math><br />
<br />
Aquesta unitat presenta el '''Teorema de l’Energia''' com a integral temporal del balanç de potències. Les propietats de la potència de les parelles d’acció i reacció i dels sistemes de forces sobre un sòlid rígid donen lloc a propietats similars quan es tracta de '''treballs''' (integral temporal de les potències), i per tant no es tornen a demostrar.</div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=E2._Teorema_de_l%E2%80%99energia:_versi%C3%B3_integrada&diff=7767
E2. Teorema de l’energia: versió integrada
2025-06-09T18:51:32Z
<p>Bros: Es crea la pàgina amb «<div class="noautonum">__TOC__</div> <math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}} \newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}} \newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}} \newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}} \newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}} \newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}} \newcommand{\ds}{\textrm{d}} \newcommand{\ps}{\textrm{p}} \newcommand{\n...».</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<math>\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\ps}{\textrm{p}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\cs}{\textrm{c}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Hs}{\textrm{H}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ws}{\textrm{W}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\As}{\textrm{A}}<br />
\newcommand{\Ds}{\textrm{D}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ss}{\textrm{s}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\GQvec}{\vec{\Gs\Qs}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\PSvec}{\vec{\Ps\Ss}}<br />
\newcommand{\QQvec}{\vec{\Qs\Qs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\JQvec}{\vec{\Js\Qs}}<br />
\newcommand{\PQvec}{\vec{\Ps\Qs}}<br />
\newcommand{\GJvec}{\vec{\Gs\Js}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\CJvec}{\vec{\Cs\Js}}<br />
\newcommand{\GCvec}{\vec{\Gs\Cs}}<br />
\newcommand{\PGvec}{\vec{\Ps\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\matriz}[9]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {#2} & {#3}\\<br />
{#4} & {#5} & {#6}\\<br />
{#7} & {#8} & {#9}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\diag}[3]{<br />
\begin{bmatrix}<br />
{#1} & {0} & {0}\\<br />
{0} & {#2} & {0}\\<br />
{0} & {0} & {#3}<br />
\end{bmatrix}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\fvec}[2]{\overline{\mathbf{F}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\mvec}[2]{\overline{\mathbf{M}}_{\textrm{#1}\rightarrow\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
</math></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=P%C3%A0gina_principal&diff=7766
Pàgina principal
2025-06-09T18:50:30Z
<p>Bros: /* ENERGÈTICA */</p>
<hr />
<div>[[Fitxer:Segwaywiki.jpg|right|top|200px|link=]] <br />
Aquest és un lloc web especialment concebut per a complementar l'aprenentatge del curs de '''Mecànica''' dels estudis de grau impartits a l''''[https://etseib.upc.edu/ca Escola Tècnica Superior d'Enginyeria Industrial de Barcelona]''' de la '''[https://www.upc.edu/ca Universitat Politècnica de Catalunya · BarcelonaTech]'''.<br />
<br />
Aquest espai vol ser una '''eina oberta''', '''accessible''' i '''interactiva'''. Es va començar a desenvolupar durant l'any 2022 i recull l'experiència de més de cinquanta anys de docència de l'assignatura. El contingut està organitzat en unitats breus que contenen la presentació de conceptes fonamentals i uns quants exemples il·lustratius. S’inclouen les demostracions senzilles. Per a les demostracions llargues o complexes, es donen referències bibliogràfiques.<br />
<br />
El projecte se centra en el '''moviment general a l'espai del sòlid rígid i de sistemes compostos per sòlids rígids''', tot i que també s'hi consideren les '''partícules'''. La formulació de la dinàmica és vectorial per la rellevància que té en l’enginyeria mecànica el concepte del vector força. Les últimes unitats constitueixen una introducció a l'energètica.<br />
<br />
<br />
<small><br />
El projecte s'ha dut a terme amb recursos limitats, tant informàtics com humans. Ara mateix, el servidor presenta alguns problemes. En cas que apareguin errors a l'hora de navegar, convidem els usuaris a refrescar la pàgina i seguir gaudint dels continguts 😊.<br />
<br />
La millor experiència s'obté des d'ordinador o tauleta 📵.<br />
</small><br />
<br />
<p align="right"><small>© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]</small></p><br />
__NOTOC__<br />
------------<br />
------------<br />
===[[Introducció]]===<br />
:: [[Introducció#I.1 Què és la mecànica?|I.1 Què és la mecànica?]]<br />
:: [[Introducció#I.2 Models d'objectes materials|I.2 Models d'objectes materials]]<br />
:: [[Introducció#I.3 Limitacions de la Mecànica Newtoniana|I.3 Limitacions de la Mecànica Newtoniana]]<br />
:: [[Introducció#I.4 Referència (o marc de referència)|I.4 Referència]]<br />
<br />
===[[Càlcul vectorial]]===<br />
::[[Càlcul vectorial#V.1 Representació geomètrica d’un vector|V.1 Representació geomètrica d’un vector]]<br />
::[[Càlcul vectorial#V.2 Operacions entre vectors amb representació geomètrica|V.2 Operacions entre vectors amb representació geomètrica]]<br />
::::[[Càlcul vectorial#Operacions instantànies: suma, producte escalar, producte vectorial|Operacions instantànies: suma, producte escalar, producte vectorial]]<br />
::::[[Càlcul vectorial#Operacions al llarg del temps: derivació temporal (mètode geomètric)|Operacions al llarg del temps: derivació temporal (mètode geomètric)]]<br />
::[[Càlcul vectorial#V.3 Representació analítica d’un vector|V.3 Representació analítica d’un vector]]<br />
::[[Càlcul vectorial#V.4 Operacions entre vectors amb representació analítica|V.4 Operacions entre vectors amb representació analítica]]<br />
::::[[Càlcul vectorial#Operacions instantànies: suma, producte escalar, producte vectorial.|Operacions instantànies: suma, producte escalar, producte vectorial]]<br />
::::[[Càlcul vectorial#Operacions al llarg del temps: derivació temporal (mètode analític)|Operacions al llarg del temps: derivació temporal (mètode analític)]]<br />
<br />
==CINEMÀTICA==<br />
===[[C1. Configuració d'un sistema mecànic]]===<br />
::[[C1. Configuració d'un sistema mecànic#C1.1 Posició d'una partícula|C1.1 Posició d'una partícula]]<br />
::[[C1. Configuració d'un sistema mecànic#C1.2 Configuració d'un sòlid rígid|C1.2 Configuració d'un sòlid rígid]]<br />
::[[C1. Configuració d'un sistema mecànic#C1.3 Orientació d'un sòlid rígid amb moviment pla|C1.3 Orientació d'un sòlid rígid amb moviment pla]]<br />
::[[C1. Configuració d'un sistema mecànic#C1.4 Orientació d'un sòlid rígid amb moviment a l'espai|C1.4 Orientació d'un sòlid rígid amb moviment a l'espai]]<br />
::::[[C1. Configuració d'un sistema mecànic#Rotacions al voltant de direccions fixes|Rotacions al voltant de direccions fixes]]<br />
::::[[C1. Configuració d'un sistema mecànic#Rotacions d'Euler|Rotacions d'Euler]]<br />
::[[C1. Configuració d'un sistema mecànic#C1.5 Coordenades independents|C1.5 Coordenades independents]]<br />
<br />
===[[C2. Moviment d'un sistema mecànic]]===<br />
::[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.1 Velocitat d’una partícula|C2.1 Velocitat d’una partícula]]<br />
::[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.2 Acceleració d’una partícula|C2.2 Acceleració d’una partícula]]<br />
::[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.3 Direccions intrínseques. Components intrínseques de l’acceleració|C2.3 Direccions intrínseques. Components intrínseques de l’acceleració]]<br />
::[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.4 Velocitat angular d’un sòlid rígid|C2.4 Velocitat angular d’un sòlid rígid]]<br />
::::[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#Rotació simple|Rotació simple]]<br />
::::[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#Rotació a l’espai|Rotació a l’espai (Rotacions d'Euler)]]<br />
::[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.5 Acceleració angular d’un sòlid rígid|C2.5 Acceleració angular d’un sòlid rígid]]<br />
::[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.6 Cinemàtica de partícula VS cinemàtica de sòlid rígid|C2.6 Cinemàtica de partícula VS cinemàtica de sòlid rígid]]<br />
::[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|C2.7 Graus de llibertat]]<br />
::[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics|C2.8 Enllaços habituals en els sistemes mecànics]]<br />
::[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.E Exercicis resolts|C2.E Exercicis resolts]]<br />
<br />
===[[C3. Composició de moviments]]===<br />
::[[C3. Composició de moviments#C3.1 Composició de velocitats|C3.1 Composició de velocitats]]<br />
::[[C3. Composició de moviments#C3.2 Composició d'acceleracions|C3.2 Composició d'acceleracions]]<br />
::[[C3. Composició de moviments#C3.3 Composició de moviments VS derivació temporal|C3.3 Composició de moviments VS derivació temporal]]<br />
::[[C3. Composició de moviments#C3.E Exercicis resolts|C3.E Exercicis resolts]]<br />
<br />
===[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid]]===<br />
::[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.1 Distribució de velocitats|C4.1 Distribució de velocitats]]<br />
::[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.2 Distribució d’acceleracions|C4.2 Distribució d’acceleracions]]<br />
::[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL) |C4.3 Geometria de la distribució de velocitats: Eix Instantani de Rotació i Lliscament (EIRL) ]]<br />
::[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.4 Axoide fix i axoide mòbil|C4.4 Axoide fix i axoide mòbil]]<br />
::[[C4. Cinemàtica del sòlid rígid#C4.E Exercicis resolts|C4.E Exercicis resolts]]<br />
<br />
===[[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid]]===<br />
::[[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#C5.1 Centre Instantani de Rotació (CIR)|C5.1 Centre Instantani de Rotació (CIR)]]<br />
::[[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#C5.2 Introducció a la cinemàtica de vehicles|C5.2 Introducció a la cinemàtica de vehicles]]<br />
::[[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#C5.E Exercicis resolts|C5.E Exercicis resolts]]<br />
<br />
==DINÀMICA==<br />
===[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#|D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana]]===<br />
::[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.1 Referències galileanes|D1.1 Referències galileanes]]<br />
::[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.2 Principi de Relativitat de Galileu|D1.2 Principi de Relativitat de Galileu]]<br />
::[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.3 Principi de Determinació de Newton|D1.3 Principi de Determinació de Newton]]<br />
::[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.4 Primera llei de Newton (llei de la inèrcia)|D1.4 Primera llei de Newton (llei de la inèrcia)]]<br />
::[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)]]<br />
::[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)]]<br />
::[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes]]<br />
===[[D2. Forces d’interacció entre partícules#|D2. Forces d’interacció entre partícules]]===<br />
::[[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.1 Dependència cinemàtica de les forces d’interacció|D2.1 Dependència cinemàtica de les forces d’interacció]]<br />
::[[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.2 Classificació de les forces d’interacció|D2.2 Classificació de les forces d’interacció]]<br />
::[[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.3 Atracció gravitatòria|D2.3 Atracció gravitatòria]]<br />
::[[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.4 Interacció per mitjà de molles|D2.4 Interacció per mitjà de molles]]<br />
::[[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.5 Interacció per mitjà d’amortidors|D2.5 Interacció per mitjà d’amortidors]]<br />
::[[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.6 Interacció per mitjà d’actuadors|D2.6 Interacció per mitjà d’actuadors]]<br />
::[[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.7 Interaccions d’enllaç|D2.7 Interaccions d’enllaç]]<br />
::[[D2. Forces d’interacció entre partícules#D2.8 Fricció|D2.8 Fricció]]<br />
<br />
===[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#|D3. Interaccions entre sòlids rígids]]===<br />
::[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|D3.1 Torsor associat a un sistema de forces]]<br />
::[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.2 Atracció gravitatòria|D3.2 Atracció gravitatòria]]<br />
::[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.3 Interacció per mitjà de molles i amortidors|D3.3 Interacció per mitjà de molles i amortidors]]<br />
::[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions d’enllaç directes|D3.4 Interaccions d’enllaç directes]]<br />
::[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç|D3.5 Interaccions d’enllaç indirectes: Sòlids Auxiliars d’Enllaç]]<br />
::[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals|D3.6 Interaccions per mitjà d’actuadors lineals i rotacionals]]<br />
<br />
===[[D4. Teoremes vectorials#|D4. Teoremes vectorials]]===<br />
::[[D4. Teoremes vectorials#D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes|D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes]]<br />
::[[D4. Teoremes vectorials#D4.2 Exemples d’aplicació del TQM|D4.2 Exemples d’aplicació del TQM]]<br />
::[[D4. Teoremes vectorials#D4.3 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències no galileanes|D4.3 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències no galileanes]]<br />
::[[D4. Teoremes vectorials#D4.4 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulació general|D4.4 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulació general]]<br />
::[[D4. Teoremes vectorials#D4.5 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulacions particulars|D4.5 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulacions particulars]]<br />
::[[D4. Teoremes vectorials#D4.6 Exemples d’aplicació del TMC|D4.6 Exemples d’aplicació del TMC]]<br />
::[[D4. Teoremes vectorials#D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d’Enllaç|D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d’Enllaç]]<br />
::[[D4. Teoremes vectorials#D4.8 Descomposició baricèntrica del moment cinètic|D4.8 Descomposició baricèntrica del moment cinètic]]<br />
===[[D5. Geometria de masses#|D5. Geometria de masses]]===<br />
::[[D5. Geometria de masses#D5.1 Centre d'inèrcia|D5.1 Centre d'inèrcia]]<br />
::[[D5. Geometria de masses#D5.2 Tensor d’inèrcia|D5.2 Tensor d’inèrcia]]<br />
::[[D5. Geometria de masses#D5.3 Eixos principals d'inèrcia|D5.3 Eixos principals d'inèrcia]]<br />
::[[D5. Geometria de masses#D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia|D5.4 Algunes propietats rellevants del tensor d’inèrcia]]<br />
::[[D5. Geometria de masses#D5.5 Teorema de Steiner|D5.5 Teorema de Steiner]]<br />
::[[D5. Geometria de masses#D5.6 Canvi de base del tensor d'inèrcia|D5.6 Canvi de base del tensor d'inèrcia]]<br />
::[[D5. Geometria de masses#D5.7 Taula de centres i tensors d'inèrcia de sòlids rígids homogenis|D5.7 Taula de centres i tensors d'inèrcia de sòlids rígids homogenis]]<br />
<br />
===[[D6. Exemples de dinàmica 2D#|D6. Exemples de dinàmica 2D]]===<br />
::[[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.1 Cinemàtica 2D i dinàmica 2D|D6.1 Cinemàtica 2D i dinàmica 2D]]<br />
::[[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.2 Diagrama de sòlid lliure (DSL) i full de ruta|D6.2 Diagrama de sòlid lliure (DSL) i full de ruta]]<br />
::[[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.3 Exemples d’un únic sòlid|D6.3 Exemples d’un únic sòlid]]<br />
::[[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)|D6.4 Diagrama general d’interaccions (DGI)]]<br />
::[[D6. Exemples de dinàmica 2D#D6.5 Exemples de sistemes multisòlid|D6.5 Exemples de sistemes multisòlid]]<br />
<br />
===[[D7. Exemples de dinàmica 3D#|D7. Exemples de dinàmica 3D]]===<br />
::[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment|D7.1 Anàlisi d’equacions del moviment]]<br />
::[[D7. Exemples de dinàmica 3D#D7.2 Exemples generals|D7.2 Exemples generals]]<br />
<br />
===[[D8. Conservacions#|D8. Conservacions]]===<br />
::[[D8. Conservacions#D8.1 Exemples|D8.1 Exemples]]<br />
<br />
==ENERGÈTICA==<br />
===[[E1. Teorema de l’energia: versió diferencial#|E1. Teorema de l’energia: versió diferencial]]===<br />
::[[E1. Teorema de l’energia: versió diferencial#E1.1 Balanç de potències en un sistema de partícules|E1.1 Balanç de potències en un sistema de partícules]]<br />
::[[E1. Teorema de l’energia: versió diferencial#E1.2 Potència d’una parella d’acció-reacció|E1.2 Potència d’una parella d’acció-reacció]]<br />
::[[E1. Teorema de l’energia: versió diferencial#E1.3 Potència d’un sistema de forces sobre un sòlid rígid|E1.3 Potència d’un sistema de forces sobre un sòlid rígid]]<br />
::[[E1. Teorema de l’energia: versió diferencial#E1.4 Balanç de potències per a un sistema multisòlid|E1.4 Balanç de potències per a un sistema multisòlid]]<br />
<br />
===[[E2. Teorema de l’energia: versió integrada#|E2. Teorema de l’energia: versió integrada]]===<br />
::[[E2. Teorema de l’energia: versió integrada#E2.1 Teorema de l’energia|E2.1 Teorema de l’energia]]<br />
-----------<br />
-----------<br />
<br />
==Autors==<br />
<br />
<center><gallery><br />
Fitxer:Autors Ana.png|alt=Ana Barjau Condomines|Ana Barjau Condomines|link=https://directori.upc.edu/directori/dadesPersona.jsp?id=1001000<br />
Fitxer:Lluis Ros2.png|alt=Lluís Ros Giralt|Lluís Ros Giralt|link=https://directori.upc.edu/dadesPersona/1002527<br />
Fitxer:Autors Ernest4.jpg|alt=Ernest Bosch Soldevila|Ernest Bosch Soldevila|link=https://www.linkedin.com/in/ernest-bosch-soldevila/<br />
<br />
</gallery></center><br />
<br />
::'''Il·lustracions:'''<br />
<center><gallery><br />
Fitxer:Autors_Joaquim.png|alt=Joaquim Agulló i Batlle|Joquim Agulló i Batlle|link=https://www.agullobatlle.cat/<br />
</gallery></center><br />
<br />
::'''Col·laboradors:'''<br />
<center><gallery><br />
Fitxer:Autors_Daniel.png|alt=Daniel Clos Costa|Daniel Clos Costa|link=https://directori.upc.edu/directori/dadesPersona.jsp?id=1002252<br />
Fitxer:Autors_Rosa.png|alt=Rosa Pàmies Vilà|Rosa Pàmies Vilà|link=https://directori.upc.edu/directori/dadesPersona.jsp?id=1066910<br />
Fitxer:Autors_Albert.png|alt=Albert Peiret Giménez|Albert Peiret Giménez|link=https://directori.upc.edu/directori/dadesPersona.jsp?id=1115007<br />
Fitxer:Autors_Javier.png|alt=Javier Sistiaga Vidal-Ribas|Javier Sistiaga Vidal-Ribas|link=https://directori.upc.edu/directori/dadesPersona.jsp?id=1114855<br />
</gallery></center><br />
<br />
::'''Edició i animacions interactives:'''<br />
<center><gallery><br />
Fitxer:Autors_Arnau.png|alt=Arnau Marzábal Gatell|Arnau Marzábal Gatell|link=https://www.linkedin.com/in/arnau-marzabal/<br />
Fitxer:Autors_Berta.png|alt=Berta Ros Blanco|Berta Ros Blanco|link=https://www.linkedin.com/in/berta-ros/<br />
Fitxer:Ana Pons.png|alt=Ana Pons Ferrer|Ana Pons Ferrer|link=https://www.linkedin.com/in/anaponsferrer/<br />
Fitxer:Jana.jpg|alt=Jana Bonet|Jana Bonet Fernández|link=https://www.linkedin.com/in/jana-bonet-fern%C3%A1ndez-980aa51b9<br />
Fitxer:Gemma3.jpg|alt=Gemma Izquierdo|Gemma Izquierdo Santamaria|link=https://es.linkedin.com/in/gemma-izquierdo-santamaria-b5a8ba240<br />
</gallery></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><br />
[https://www.youtube.com/channel/UCqWvnHTViRPI1wHlUQXqH-Q '''Laboratori de Mecànica'''] ''' - ''' [https://etseib.upc.edu/ '''Escola Tècnica Superior d'Enginyeria Industrial de Barcelona''']<br />
<br />
[https://em.upc.edu/ca '''Departament d'Enginyeria Mecànica'''] ''' - ''' [https://www.upc.edu/ca '''Universitat Politècnica de Catalunya · BarcelonaTech''']<br />
</center><br />
<br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==Bibliografia==<br />
Batlle, J. A., Barjau, A. (2020) “'''Rigid Body Kinematics'''” Cambridge Univerity Press. ISBN: 978-1-108-47907-3<br />
<br />
Batlle, J. A., Barjau, A. (2022) “'''Rigid Body Dynamics'''” Cambridge Univerity Press. ISBN: 978-1-108-84213-6<br />
<br />
Agulló, J. (2002) “'''Mecànica de la partícula i del sòlid rígid'''" Publicacions OK Punt. ISBN: 84-920850-6-1 (''Disponible en accés obert al [https://www.agullobatlle.cat/activitat-docent '''web de l'autor'''])<br />
<br />
Agulló, J. (2000) “'''Mecánica de la partícula i del sólido rígido'''" Publicacions OK Punt. ISBN: 84-920850-5-3 (''Disponible en accés obert al [https://www.agullobatlle.cat/activitat-docent '''web de l'autor'''])<br />
<br />
<br />
<center><br />
<gallery><br />
Fitxer:RBK portada.png|alt=Rigid body kinematics|link=https://www.cambridge.org/es/academic/subjects/engineering/engineering-design-kinematics-and-robotics/rigid-body-kinematics?format=HB&isbn=9781108479073<br />
Fitxer:RBD portada.png|alt=Rigid body dynamics|link=https://www.cambridge.org/es/academic/subjects/engineering/engineering-design-kinematics-and-robotics/rigid-body-dynamics?format=HB&isbn=9781108842136<br />
Fitxer:Llibre verd.png|alt=Mecànica de la partícula i del sòlid rígid|link=https://www.agullobatlle.cat/activitat-docent<br />
Fitxer:Llibre vermell.jpg|alt=Mecánica de la partícula i del sólido rígido|link=https://www.agullobatlle.cat/activitat-docent<br />
</gallery><br />
</center><br />
<br />
<br />
---------<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Fitxer:Logo Lab Mec horitzontal.png|thumb|center|500px|link=| ]]</div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=D4._Teoremes_vectorials&diff=7764
D4. Teoremes vectorials
2025-05-14T07:08:42Z
<p>Bros: /* D4.8 Descomposició baricèntrica del moment cinètic */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<br />
<math><br />
\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\ss}{\textsf{s}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\JGvec}{\vec{\Js\Gs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
\newcommand{\H}[3]{\vec{\mathbf{H}}_{\text{#3}}^{#2}(\textbf{#1})}<br />
</math><br />
<br />
Els '''Teoremes Vectorials''' són una eina per estudiar la dinàmica dels sistemes mecànics, i s’obtenen a partir de la llei fonamental de la dinàmica (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>) i del principi d’acció i reacció (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''tercera llei de Newton''']]</span>).<br />
<br />
En aquest curs, es presenta només la <span style="text-decoration: underline;">versió dels teoremes per al cas de sistemes de matèria constant</span>. Tot i que això inclou sistemes amb fluids, els exemples d’aplicació en aquest curs són essencialment sistemes multisòlid formats per sòlids rígids.<br />
<br />
En estudiar la dinàmica d'un <span style="text-decoration: underline;">[[Introducción#I.1 Què és la mecànica?|'''sistema mecànic''']]</span>, és essencial identificar les incògnites que conté el sistema que s’estudia i analitzar si els teoremes vectorials proporcionen el nombre suficient d’equacions per resoldre-les totes (cal saber si el problema és determinat o indeterminat!). Les incògnites es poden classificar en dos grups:<br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''graus de llibertat''']]</span></u><br />
<br />
Els GL d’un sistema mecànic poden ser <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''lliures o actuats''']]</span> (o forçats, associats a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''actuadors''']]</span>). En ambdós casos, el seu valor inicial (el valor en començar un experiment o en posar en marxa el sistema) és conegut. Quan es tracta de GL lliures, l’evolució d’aquest valor inicial no es coneix: és una incògnita. Es diu que el problema és de '''dinàmica directa'''.<br />
<br />
Aquest és el cas també quan es tracta de GL actuats si l’acció de l’actuador associat és coneguda (és a dir, quan es coneix el valor de <math>\Fs_{ac}</math>– cas dels actuadors lineals –, o de <math>\gamma</math>– cas dels rotacionals). El problema també és de dinàmica directa.<br />
<br />
Les equacions que regeixen l’evolució dels GL s’anomenen '''equacions del moviment'''. Si els GL es descriuen mitjançant derivades temporals de coordenades (<math>\dot{q}_i</math>, amb i=1,2,3...), la seva evolució temporal són les segones derivades temporals d’aquests coordenades (acceleracions). <br />
<br />
Per a un sistema amb 2 GL lliures descrits, per exemple, per (x, <math>\dot{\theta}</math>), aquestes equacions tindrien el següent aspecte general:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\theta} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
on <math>\Gamma</math> seria el parell motor de l’actuador rotacional associat al moviment <math>\theta</math>.<br />
<br />
La dependència en les segones derivades temporals <math>(\ddot{xs}, \ddot{\theta})</math> és sempre lineal, en tant que al dependència en les coordenades i les velocitats <math>(\xs, \theta, \dot{xs}, \dot{\theta})</math> pot ser de qualsevol tipus. Els paràmetres dinàmics són la massa dels elements i els associats a la seva distribució a l’espai, i els paràmetres associats a les interaccions sobre el sistema (constants de molles i amortidors, coeficients de fricció, constants del camp gravitatori...); els paràmetres geomètrics tenen a veure amb la forma dels elements del sistema (distàncies i angles).<br />
<br />
En algunes ocasions, les accions dels actuadors (<math>\Fs_{ac}, \Gamma</math>) no són conegudes, mentre que les evolucions temporals dels GL actuats són prefixades. Llavors, les incògnites associades als GL actuats són el valor de les forces (si es tracta d’actuadors lineals) i moments (si són actuadors rotacionals) necessaris per garantir aquestes evolucions prefixades. Es diu que el problema és de '''dinàmica inversa'''.<br />
<br />
Per al cas de l’exemple anterior, si <math>\dot{\theta}</math> està prefixada, les equacions que descriuen les incògnites del problema associades als GL són:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\Gamma} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''enllaços''']]</span></u><br />
<br />
Són els valors de les components de les <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''torsors d'enllaç''']]</span>. El nombre d’incògnites associades als enllaços depèn de la descripció que se’n faci (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''enllaços directes''']]</span>, <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''enllaços indirectes''']]</span>). Quan un problema de dinàmica és indeterminat, la indeterminació sempre es refereix a les components dels torsors d’enllaç, mai als GL (lliures o forçats).<br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
==D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes==<br />
Considerem un sistema de partícules de matèria constant ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Quantitat de Moviment''' (TQM) s’obté a partir de l’aplicació de la segona llei de Newton a cada partícula <math>\Ps</math> del sistema. Si la referència que es considera és galileana: <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, on <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> és la força resultant d’interacció sobre <math>\Ps</math>.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.1''' Forces sobre una partícula d’un sistema de partícules de matèria constant</center><br />
<br />
Les forces que actuen sobre cada partícula es poden classificar en dos grups: internes (que provenen de la interacció amb altres partícules del sistema) i externes (associades a les interaccions amb elements externs al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si aquestes equacions se sumen per a totes les partícules, les forces internes entre parelles de partícules es cancel·len dues a dues pel principi d’acció i reacció:<br />
<br />
<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\:\acc{P}{RGal}</math></center><br />
<br />
El terme de l’esquerra és la resultant de forces externes sobre el sistema, i se sol escriure simplement com a <math>\sum\F{ext}</math>. El terme de la dreta es pot reescriure com a <math>\Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math>, on M és la massa total del sistema <math>\left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El terme <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math> és una acceleració ponderada, on la ponderació és proporcional a la massa de cada partícula. Aquesta acceleració s’associa a un punt anomenat '''centre de masses''' (o '''centre d’inèrcia''') del sistema, i en aquest curs es designa amb la lletra <math>\Gs</math>. Per a una referència qualsevol, doncs, la cinemàtica de <math>\Gs</math> queda descrita per les equacions ('''Figura D4.2'''):<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center><br />
<br />
[[Fitxer:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.2''' Centre de masses (o d’inèrcia) d’un sistema de matèria constant</center><br />
<br />
En el cas de conjunts continus de partícules (com són un conjunt de sòlids rígids, deformables, o fluids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center><br />
<br />
Finalment, el TQM s’escriu com a:<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\:\acc{G}{RGal}</math></center><br />
<br />
Aquesta equació és molt propera a la <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>: el centre de masses <math>\Gs</math> es comporta com si fos una partícula de massa igual a la massa total del sistema, i sobre la qual actuessin totes les forces externes al sistema. Malgrat el paral·lelisme entre el TQM i l’equació de dinàmica de la partícula, hi ha dues diferències fonamentals:<br />
<br />
:*la massa del sistema no està localitzada a <math>\Gs</math> (fins i tot, pot ser que <math>\Gs</math> estigui situat en una zona del sistema sense massa, com és el cas en una anella homogènia);<br />
<br />
:*les forces externes no estan aplicades a <math>\Gs</math> en general.<br />
<br />
El TQM s’anomena així perquè permet conèixer l’evolució, a partir del coneixement de <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic|'''l’estat mecànic''']]</span> inicial i de les interaccions externes, de la '''quantitat de moviment''' del sistema (que, en una referència qualsevol R, es defineix com a <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R}</math>):<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\acc{G}{RGal}=\dert{\Ms\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center><br />
<br />
La localització del centre de masses en els sistemes que s’estudien (ja sigui un únic sòlid rígid o un sistema multisòlid) es presenta breument a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Tensor d’inèrcia#D5.1 Centre de masses|'''secció D5.1''']]</span>. Per a sòlids homogenis de geometria molt senzilla, la posició de G es pot deduir sovint a partir de les simetries del sòlid. <br />
En problemes plans (de cinemàtica 2D), només les dues components del TQM compreses en el pla són interessants.<br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.2 Exemples d’aplicació del TQM==<br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.1: càlcul d’una força d’enllaç ====<br />
<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex1-1-neut.png|thumb|center|180px|link=]]<br />
|Els tres blocs homogenis són llisos i estan en contacte entre ells i amb un terra horitzontal, també llis. Es tracta d’investigar el <span style="text-decoration: underline;">valor de la força horitzontal d’enllaç entre els blocs Q i S</span> quan s’aplica una força horitzontal F al bloc de l’esquerra. <br />
Tots els enllaços que apareixen en aquest sistema són contactes multipuntuals entre superfícies llises. Per tant, cada torsor associat, caracteritzat en un punt del contacte corresponent, conté una component de força i una de moment (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|exemple D3.4]]</span>). Tot i així, en l’aplicació del TQM només intervenen les forces, i per tant no es representen els moments en les figures següents.<br />
|}<br />
<br />
<br />
Per tal que la força d’enllaç <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparegui a la component horitzontal del TQM, cal aplicar el teorema a un sistema on aquesta força sigui externa. Per exemple, al bloc S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>. <br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex1-2new-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
<br />
Aquesta equació conté dues incògnites: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> i <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ja que el moviment dels tres blocs provocat per la força F és el mateix, l’acceleració es pot obtenir amb el TQM aplicat a tot el sistema:<br />
<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.2: moviment inicial d’un sistema ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex2-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|Els blocs homogenis es troben inicialment en repòs sobre un terra rugós, i units mitjançant una molla comprimida amb una tensió <math>\Fs_0=\ms\gs</math> i un fil inextensible. En un cert instant, es talla el fil i el sistema comença a moure’s. <br />
|}<br />
<br />
<br />
Es tracta de calcular l’<span style="text-decoration: underline;">acceleració del centre d’inèrcia del sistema respecte del terra</span>. Aquesta acceleració es pot obtenir a partir de la component horitzontal del TQM aplicat a tot el sistema. La molla és interna, i per tant la seva força no apareix: <math>\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{terra}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.<br />
<br />
Les forces que el terra exerceix sobre cadascun dels blocs poden ser d’enllaç (si els blocs no es mouen, i llavors són incògnites), o de fricció (si els blocs es mouen respecte del terra, i en aquest cas són formulables). També pot donar-se el cas que un bloc llisqui i l’altre no.<br />
<br />
El valor d’una força d’enllaç s’adapta per tal de garantir una restricció. En el cas dels blocs, cal investigar si aquestes forces poden assolir el valor necessari per evitar que els blocs llisquin sobre el terra, i estan acotades pel valor del coeficient de fricció estàtica entre blocs i terra:<br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math><br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math><br />
<br />
Si s’aplica el TQM a cada bloc per separat, la força de la molla passa a ser externa. Aquesta força (de valor mg) pot ser contrarestada per la força d’enllaç en el cas del bloc de massa <math>2\ms</math> (per tant, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), però no en el del bloc de massa m:<br />
[[Fitxer:D4-Ex2-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
<br />
L’aplicació del TQM al bloc de massa m condueix a:<br />
<br />
<math>\left.\begin{aligned}<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{terra}\rightarrow2\ms}+\F{\text{molla}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0<br />
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math><br />
<br />
<br />
Finalment: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.3: estudi d’una condició límit ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|L’esfera homogènia de massa M descansa sobre dues falques idèntiques, de massa m, que es troben al damunt del terra. Entre esfera i falques no hi ha fregament, però entre falques i terra hi ha fregament de coeficient <math>\mu</math>. El sistema es troba inicialment en repòs respecte del terra. Es tracta de determinar el <span style="text-decoration: underline;">valor màxim de M, en funció de m, que permet que el sistema segueixi en repòs</span>.<br />
|}<br />
<br />
Si res no belluga, les forces horitzontals d’interacció entre terra i falques són d’enllaç i no superen el valor límit <math>/mu\ns</math> (on <math>\Ns</math> és la força normal que cada falca rep del terra). El torsor d’enllaç del terra sobre les falques conté també un moment resultant perpendicular a la figura.<br />
Si es vol estudiar la possibilitat de bolcament de les falques, aquest moment és rellevant. En aquest exemple, però, la forma les falques garanteix que no bolquen, i es treballa només amb les forces.<br />
L’aplicació del TQM a tot el sistema, a una falca i a l’esfera condueix a les equacions següents:<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<br />
<center><br />
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"<br />
|- style="vertical-align:top;"<br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + falques<br />
<br />
<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: falca de l'esquerra<br />
<br />
<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera<br />
<br />
<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math><br />
|}</center><br />
<br />
Combinant les dues últimes equacions: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor màxim de M per al qual encara hi ha equilibri correspon a la situació en què la força tangencial d’enllaç T pren el valor màxim possible: <math>\Ts = \Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns</math>. Tenint en compte que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs</math>:<br />
<br />
<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{màx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{màx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.3 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències no galileanes==<br />
La versió del TQM en una referència no galileana NGal s’obté també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada partícula (o cada diferencial de massa) del sistema a la referència NGal (secció D1.7). En principi, doncs, aquesta equació contindrà dues forces d’inèrcia: la d’arrossegament i la de Coriolis ('''Figura D4.3'''): <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,<br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> i <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math><br />
[[Fitxer:D4-3-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.3:''' Forces d’inèrcia en una referència no galileana</center><br />
Sumant les equacions per a totes les partícules, s’obté: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
massa total del sistema.<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
------<br />
:<small><br />
Pel principi d’acció i reacció, la suma per a totes les partícules de les forces d’interacció condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math><br />
<br />
Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada<br />
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el<br />
centre de masses (secció D4.2):<br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
Així doncs: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.4: desplaçament vibratori====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
|El bloc de massa m es troba inicialment en repòs<br />
sobre un suport que oscil·la respecte del terra<br />
d’acord amb el gràfic de velocitat que es mostra a<br />
la figura. Es tracta d’investigar la <span style="text-decoration: underline;">possibilitat que<br />
el bloc llisqui al damunt del suport</span>.<br />
La condició de repòs del bloc respecte del suport<br />
(que és una referència no galileana en tenir un<br />
moviment accelerat respecte del terra) demana:<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sup\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> perque <math>\velang{sup}{T} = \vec{0}</math><br />
|}<br />
<br />
La força d’arrossegament sobre el bloc és estrictament horitzontal. Per tant, la component vertical d’aquesta equació condueix a <math>N = mg</math> . Pel que fa a la component horitzontal, contindrà la força<br />
d’interacció entre bloc i suport. Si el bloc no llisca al damunt del suport, aquesta força és d’enllaç, i el seu valor està acotat: <math>0\leq\mid\Fs_{sup\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si llisca, és una força de fricció de valor <math>\mu\ms\gs</math>, oposada a la velocitat de lliscament.<br />
<br />
Entre <math>t=0</math> i <math>t = 0,4s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math> i per tant la força<br />
d’arrossegament és <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$suport}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor es troba dins del marge de valors permesos per a la força d’enllaç horitzontal del suport sobre el bloc. Per tant, aquesta força prendrà el valor <math>\F{sup\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>, contrarestarà la <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs}</math> i es mantindrà el repòs entre els dos elements.<br />
<br />
Entre <math>t=0,4s</math> i <math>t = 0,6s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Per tant,<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. En sobrepassar el valor màxim de la força horitzontal d’enllaç, no podrà ser contrarestada. El bloc començarà a lliscar, i la força horitzontal d’interacció entre suport i bloc serà de fricció:<br />
<br />
<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} + \F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
A l’instant <math>t = 0,6s</math>, la velocitat del bloc respecte del suport és <br />
<br />
<math>\vel{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.<br />
<br />
Tot i entrar en la fase on <math>\mid\Fcal{ar}{sup\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la força horitzontal entre suport i bloc segueix sent de fricció <math>(\F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> fins aconseguir aturar el bloc. <br />
<br />
L’acceleració del bloc respecte del suport és:<br />
<br />
<math>\acc{G}{sup} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
En tractar-se d’un moviment uniformement desaccelerat, és fàcil calcular l'instant per al qual el bloc deixa de lliscar:<br />
<br />
<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sup} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sup} + \acc{$\Gs,t_f$}{sup}(t_f - t_i)</math>,<br />
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math><br />
<br />
En aquest instant, la força del suport sobre el bloc passa a ser d’enllaç, i ens trobem en una situació anàloga a la inicial. Per tant, el lliscament no recomençarà fins a <math>\ts = 1,4s</math>. L’estudi per als intervals posteriors segueix els mateixos passos que l’estudi de l’interval <math>[0,1,4s]</math>. La figura mostra l’evolució de la cinemàtica del bloc respecte del suport, i de les forces que hi actuen.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex4-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
-----------<br />
-----------<br />
<br />
==D4.4 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulació general==<br />
<br />
La dinàmica d’un sòlid rígid (i per tant, d’un sistema multisòlid) no queda mai totalment resolta amb el TQM quan el sòlid gira: el TQM només informa sobre el moviment d’un punt (<math>\Gs</math>), i no sobre la rotació.<br />
<br />
El '''Teorema del Moment Cinètic''' (TMC) es troba a la literatura enunciat de dues maneres diferents. En aquest curs, s’ha optat per una formulació paral·lela a la del TQM: a l'esquerra apareixen termes que només tenen a veure amb les interaccions externes sobre el sistema, mentre que a la dreta apareix la derivada temporal d’un vector que depèn només de la geometria de masses del sistema i del seu <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic#|'''estat mecànic''']]</span>.<br />
<br />
Com ja s’ha vist quan s’ha introduït el concepte de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor d’un sistema de forces''']]</span>, el que es relaciona amb la rotació d’un sòlid és el moment de les forces, no la força resultant. Per tant, si bé el TMC es demostra també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada diferencial de massa del sistema, caldrà transformar les forces que hi apareixen en moment d’aquestes forces respecte d’un punt <math>\Qs</math>.<br />
<br />
Aquestes dues consideracions (formulació paral·lela al TQM i necessitat de triar un punt <math>\Qs</math> per calcular el moment de les forces) porta a partir de la formulació de la segona llei de Newton en la '''Referència que es Trasllada amb Q (RTQ)''' respecte d’una referència galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, aquesta referència no és galileana, i per tant cal tenir en compte en principi les <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''forces d’inèrcia d’arrossegament''']]</span> ('''Figura D4.3''').<br />
<br />
[[Fitxer:D4-4-cat.png|thumb|center|400px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.4:''' Forces d’inèrcia a la Referència que es Trasllada amb un punt <math>\Qs</math> (RTQ)</center><br><br />
<br />
<br />
Considerem un sistema de partícules amb matèria constant. La segona llei de Newton aplicada a cada partícula del sistema i a la RTQ és:<br><br />
<br />
<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , <br><br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , i <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ja que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>.<br><br />
<br />
Si els dos costats de l’equació es multipliquen vectorialment per <math>\QPvec</math> i es suma per totes les partícules (o elements de massa) del sistema, s’obté el TMC al punt <math>\Qs</math>:<br><br />
<br />
<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br><br />
<br />
on <math>\Ms</math> és la massa total del sistema, i <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> és el '''moment cinètic del sistema respecte el punt''' <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
Si el sistema té elements continus (per exemple, un sistema amb N sòlids rígids <math>\Ss_i</math>), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.<br />
<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
La segona llei de Newton per a cada element de massa multiplicada vectorialment per <math>\QPvec</math> és:<br />
<br />
<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math><br />
<br />
El terme de la dreta es pot reescriure com a:<br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
En ser <math>\Qs</math> un punt de la RTQ, es pot prendre com a origen d’un vector de posició de <math>\Ps</math> en aquesta referència, i per tant:<br />
<br />
<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
Tenint en compte que la massa és constant: <br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math><br />
<br />
La suma d’aquest terme per a tots els elements <math>\Ps</math> condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
<br />
Si les forces d’interacció sobre cada partícula <math>\Ps</math> es classifiquen en internes i externes, la suma per a totes les partícules del sistema del costat esquerre de la primera equació esdevé:<br />
<br />
<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math><br />
<br />
<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> <br><br />
ja que el principi d’acció i reacció garanteix que el moment total d’una parella de forces d’acció i reacció és nul:<br><br />
<br />
<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math><br><br />
Agrupant tots els termes:<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.5 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulacions particulars==<br />
El TMC pren expressions més senzilles quan el punt <math>\Qs</math> és fix a una referència galileana o quan és el centre de masses del sistema.<br><br />
<br />
* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, anomenem aquesta versió “TMC a punt fix”, on se sobreentén que “fix” vol dir “fix a una referència galileana”. Quan és el cas, normalment emprarem la lletra <math>\Os</math> per designar el punt <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math>Cal notar que, si bé l’expressió és similar a la versió a punt fix, el centre de masses <math>\Gs</math> no té per què ser fix a una referència galileana.<br />
<br />
Quan <math>\Qs</math> no és ni un punt fix a RGal ni coincideix amb el centre de masses, se sol parlar de la versió del TMC “a punt mòbil”. Tot i que <math>\Qs</math> sigui un punt mòbil respecte de RGal, el terme associat a les forces d’inèrcia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> pot ser nul si <math>\Qs</math> es mou a velocitat costant respecte de RGal, o si la seva acceleració respecte de RGal és paral·lela a <math>\QGvec</math> .<br />
<br />
<center><br />
{| class="wikitable"<br />
|+ <br />
|-<br />
! '''TMC a punt fix''' !! '''TMA a '''<math>\Gs</math> !! '''TMC a un punt mòbil '''<math>\Qs</math><br />
|-<br />
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center><br />
|| <br />
<center><br />
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center><br />
|| <br />
<center><br />
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math><br><br />
<br />
<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center><br />
<br />
|}<br />
</center><br />
<br />
<br />
El vector moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no és senzill de calcular en general, i es presenta a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Geometria de masses|'''unitat D5''']]</span>. <br><br />
<br />
En problemes de cinemàtica plana (2D), si el moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sòlid del sistema que s’estudia és paral·lel a la velocitat angular del sòlid <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que és de direcció ortogonal al pla del moviment), només la component del TMC perpendicular al pla és interessant. En aquest cas es diu que el problema és de dinàmica plana (2D), i el problema es pot resoldre a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.<br />
<br />
<div><br />
===<u>TMC en un punt de contacte entre dos sòlids</u>===<br />
Un enllaç que apareix sovint en els sistemes mecànics és el contacte puntual entre parelles de sòlids (S1 i S2, per exemple). Aquest enllaç pot introduir entre 1 i 3 incògnites d’enllaç (segons la rugositat de les superfícies i la cinemàtica del contacte – amb o sense lliscament). Quan aquestes forces no es volen calcular, és temptador aplicar el TMC al punt de contacte <math>\Js</math> (ja que el seu moment respecte de <math>\Js</math> és nul). <br><br />
[[Fitxer:TMCaJ-0-cat.png|thumb|right|230px|link=]]<br />
L’aplicació del TMC a <math>\Js</math> és molt delicada. Cal precisar de quin punt <math>\Js</math> es parla (<span style="text-decoration: underline;">[[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''exemple C5-1.8''']]</span>): si es tracta del <math>\Js</math> del sòlid S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sòlid S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math> , o bé si és el punt geomètric de contacte <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math> . Per una banda, aquests tres punts tenen cinemàtiques diferents <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math> , i el terme complementari associat al moment de les forces d’inèrcia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> és diferent. Per altra banda, si per exemple el TMC s’aplica al solid S1, cal tenir present que, tot i que <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertany a S1 i es pot calcular el moment cinètic a partir del tensor d’inèrcia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> i <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no hi pertanyen, i cal fer servir la descomposició baricèntrica per calcular aquest vector.<br />
<br />
Finalment, ja que el moment cinètic s’ha de derivar, el seu càlcul s’ha de fer en una configuració general (és a dir, quan <math>\Js</math> no és encara el punt de contacte), i és només després d’haver fet la derivada que es pot particularitzar el resultat a la configuració en què <math>\Js</math> és el punt de contacte. Com a il·lustració de tot plegat, l’esquema següent mostra l’aplicació del TMC a una roda amb moviment pla que toca a terra i llisca.<br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-1-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{roda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{roda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{roda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math><br />
</center><br><br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-2-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\<br />
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}<br />
\end{array}\right. <br />
</math><br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-3-cat-esp.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\<br />
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0) <br />
\end{array}\right. <br />
</math><br />
</center></center><br />
</div><br />
<br />
<br />
------<br />
------<br />
<br />
==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex5-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]<br />
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de <u>calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:<br />
[[Fitxer:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant:<br><br />
<br />
<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math><br><br />
<br />
Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero:<br><br />
<br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\<br />
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math><br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math><br />
<br />
Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex6-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]<br />
|Els blocs pengen de dues cordes inextensibles amb un extrem lligat a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de <u>calcular l’acceleració angular de les politges</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|center|140px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> :<br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math><br><br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math><br><br />
<br />
<br />
Per la definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]</span>: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs:<br><br />
<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math><br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]<br />
<u>Resolució alternativa </u><br><br />
<br />
Si s’aplica el TMC al punt <math>\Os</math> per al sistema format per les politges i les cordes, el pes dels blocs ja no apareix com a interacció externa, però apareixen en canvi les tensions de les dues cordes (que són incògnites d’enllaç).<br><br />
<br />
El moment cinètic del sistema és nul perquè no té massa:<br><br />
<br />
SIST: politges + cordes<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math><br><br />
[[Fitxer:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]<br />
<br />
<br />
L’aplicació del TQM a cadascun dels blocs genera dues equacions més:<br><br />
<br />
SIST: bloc de 10kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(10\ks\gs)(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
SIST: bloc de 5kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(5\ks\gs)(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
La resolució del sistema d’equacions condueix a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>.<br><br />
<br />
<br />
La primera resolució és més ràpida (només fa servir una equació escalar), però implica el càlcul del moment cinètic. Aquesta segona resolució és més llarga (sistema de tres equacions) però que no requereix calcular cap moment cinètic.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.7: dinàmica longitudinal d’un vehicle====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-1-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El vehicle sense suspensions es mou sobre una carretera rectilínia. La massa de les rodes és negligible comparada amb la de la resta dels elements, i es considera que el seu contacte amb el terra es puntual. Es tracta d’<u>analitzar les forces normals d’enllaç entre terra i rodes</u>.<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el vehicle es redueixen al pes i a l’enllaç amb el terra. Si l’acceleració del xassís respecte del terra és una dada, l’aplicació del TQM condueix a:<br />
|}<br />
<br />
{|<br />
|<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}<br />
<br />
\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\<br />
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)<br />
\end{aligned}\right.</math><br />
<br />
<br />
on <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> i <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> són les forces normal i tangencial que en total reben les dues rodes del davant i les dues rodes del darrere, respectivament.<br />
El TMC a G condueix a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs} + \Ts_{\ds\rs})] =0</math><br />
(el moment cinètic <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> és permanentment nul ja que les rodes no tenen massa, i la resta del vehicle té moviment nul respecte de la RTG).<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-2-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
Resolent el sistema d’equacions: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math><br />
<br />
Aquest resultat és vàlid per a qualsevol valor de <math>\as_\Ls</math>:<br />
:*Situació estàtica (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la força normal és més gran a les rodes que tenen l’eix més proper a <math>\Gs</math>.<br />
<br />
:*Accelerant (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math> ; hi ha un transvasament de força del davant cap al darrere (es carreguen les rodes del darrere i es descarreguen les del davant). Si l’acceleració <math>|\as_\Ts|</math> és prou elevada, la força normal al davant passa a ser negativa, la qual cosa indica que s’ha perdut el contacte i el vehicle bolca en sentit antihorari. Llavors, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el xassís passa a tenir, en principi, acceleració angular, i com a conseqüència el centre de masses <math>\Gs</math> passa a tenir acceleració vertical.<br />
<br />
:*Frenant (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hi ha un transvasament de força del darrere cap al davant (es descarreguen les rodes del darrere i es carreguen les del davant). Com en el cas precedent, hi ha un valor crític de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el bolcament, ara en sentit horari.<br />
</small><br />
---------<br />
---------<br />
</div><br />
<br />
==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==<br />
<br />
L’aplicació dels teoremes vectorials als <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''']]</span> (SAE) és senzilla ja que els termes de la dreta (variació de quantitat de moviment i variació de moment cinètic) són nuls en ser nul·la la seva massa:<br><br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{qualsevol} \hspace{0.2cm} \mathrm{punt}) \approx \overline{0}.</math><br><br />
<br />
Per al cas d’un SAE (sòlid S) connectant dos sòlids rígids S1 i S2 ('''Figura D4.5'''), aquestes equacions permeten demostrar que el torsor que actua sobre S1 es pot obtenir a partir d’una equació de caracterització analítica on la cinemàtica del punt <math>\Ps</math> de caracterització (que ha de pertànyer al sòlid S1) s’avalua a la referència solidària a S2:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br><br />
<br />
(Quan es tracta de velocitats, és important especificar a quin sòlid pertany el punt <math>\Ps</math>. Això, en canvi, és irrellevant quan es tracta de moments: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>).<br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-5-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.5:'''Sòlid Auxiliar d’Enllaç entre dos sòlids de massa no nul·la</center><br><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
Els teoremes vectorials aplicats sobre el SAE impliquen que els torsors d’enllaç que rep de S1 i S2 en un mateix punt <math>\Ps</math> han de sumar zero:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\<br />
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\<br />
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)<br />
\end{array}\right.</math><br><br />
<br />
Per altra banda, aquests torsors compleixen l’<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''equació de caracterització analítica''']]</span>:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math><br><br />
<br />
Si es combinen totes les equacions anteriors, s’obté:<br><br />
<br />
<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math><br><br />
<br />
Una <span style="text-decration: underline;">[[C3. Composició de moviments#C3.1 Composició de velocitats|'''composició de moviments''']]</span> permet reescriure l’equació anterior de manera més compacta:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math><br><br />
<br />
Finalment: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.8: dinàmica longitudinal d’un vehicle ====<br />
---------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex8-1-cat.png|thumb|left|220px|link=]]<br />
|En el vehicle de l’exemple D4.7, es considera que la tracció és posterior. Això vol dir que el motor del vehicle actua entre el xassís i les rodes posteriors, en tant que les del davant només estan sotmeses a interaccions d’enllaç (articulació amb el xassís i contacte amb el terra). <br><br />
<br />
Si es tracten les rodes del davant com a SAE, l’anàlisi cinemàtica del xassís respecte del terra per a la caracterització de l’enllaç a través de les rodes del davant condueix a un torsor en el centre de la roda (que és fix al xassís) amb només una component de força:<br />
|}<br />
[[Fitxer:D4-Ex8-2-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
L’existència d’una component horitzontal de força entre les rodes posteriors (necessària per accelerar o frenar el vehicle!) està associada al parell motor. Si s'apliquen els teoremes vectorials a les rodes posteriors, les interaccions externes a tenir en compte són l’enllaç amb el terra, l’articulació amb el xassís i el parell motor <math>\Gamma</math> : <br />
[[Fitxer:D4-Ex8-3-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{rodes} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum <br />
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow <br />
\left\{\begin{array}{l}<br />
\mathrm{TQM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dr}=\Ns'_\mathrm{dr} , \Ts_\mathrm{dr}=\Ts'_\mathrm{dr} \\<br />
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{a} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dr}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs<br />
\end{array}\right. </math><br><br />
<br />
La força tangencial sobre les rodes motrius és directament proporcional al parell motor que se’ls aplica. Cal no oblidar, però, que com a força tangencial d’enllaç, el seu valor està limitat per <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math> . Això permet calcular l’acceleració màxima que pot adquirir el vehicle (mentre la roda del davant no perdi contacte amb el terra):<br><br />
<br />
<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Ts_\mathrm{dr,màx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>.<br><br />
<br />
En terrenys de baix fregament ( <math>\mu_\es</math> de valor baix), un motor capaç de subministrar un parell màxim alt és inútil: qui posa límit a l’acceleració és el valor del coeficient de fricció <math>\mu_\es</math> : <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math> . En terrenys d’alt fregament, si el parell màxim és baix és ell qui posa límit a l’acceleració: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la roda del davant no perd contacte amb el terra).<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.8 Descomposició baricèntrica del moment cinètic==<br />
<br />
La versió del TMC que s’ha presentat permet triar lliurement el punt <math>\Qs</math> d’aplicació. El criteri per triar-lo es basa en el que es vulgui investigar (una força d’enllaç, una equació del moviment...). A la <span style="text-decoration: underline;">[[D6. Exemples de dinàmica 2D|'''unitat D6''']]</span> es discuteix aquest criteri.<br />
En alguns casos, pot ser interessant triar un punt <math>\Qs</math> que no pertanyi a cap element material del sistema. Llavors, és útil referir el càlcul del moment cinètic <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al moment cinètic al centre de masses <math>\Gs</math> del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Això es coneix amb el nom de '''descomposició baricèntrica''' del moment cinètic:<br />
<br />
<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>,<br />
<br />
on el superíndex <math>\oplus</math> indica que el moment cinètic s’ha de calcular com si el sistema s’hagués reduït a una partícula concentrada a <math>\Gs</math> amb massa igual a la massa total del sistema (M): <br />
<br />
<math>\H{Q}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
:La definició de moment cinètic d'un sòlid rígid <math>\Ss_i</math> és: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocitat <math>\vel{P}{RTQ}</math> es pot escriure com a suma de dos termes si s’aplica una composició de moviments:<br />
<br />
:<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\<br />
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math><br><br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:La definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D4. Teoremes vectorials#D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes|'''centre de masses''']]</span> porta a reescriure el segon terme com a:<br />
<br />
:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincideix amb el moment cinètic respecte de <math>\Qs</math> d’una partícula de massa M situada a <math>\Gs</math>: <math>\QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ} = \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:En el primer terme de l’expressió de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, es pot descompondre <math>\QPvec</math> en suma de dos termes:<br />
<br />
:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math><br />
<br />
:Per definició de centre de masses: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.<br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{Q}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
===== ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica =====<br />
----------<br />
<small><br />
{|<br />
<br />
|[[Fitxer:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El sòlid està format per dues barres de massa negligible i quatre partícules (<math>\Ps</math>) amb massa m unides als extrems de les barres. El sòlid està articulat a un suport que es pot moure al llarg d’una guia fixa a terra.<br />
El seu moment cinètic a G és:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math><br />
<br />
La RTG és fixa al suport, i la velocitat de les partícules respecte d’aquesta referència és proporcional a la rotació <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Per tant:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math><br />
|}<br />
:El moment cinètic a <math>\Os</math> (fix al terra) es pot calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mitjançant descomposició baricèntrica:<br />
<br />
:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{O}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times 4\ms\vel{G}{T} =</math><br />
<math>\hspace{1cm} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) =</math><br />
<math>\hspace{1cm}= (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math><br />
<br />
<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<p align="right"><small>© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]</small></p><br />
-------------<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><br />
[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|<<< D3. Interaccions entre sòlids rígids]]<br />
<br />
[[D5. Geometria de masses|D5. Geometria de masses >>>]]<br />
</center></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=D4._Teoremes_vectorials&diff=7763
D4. Teoremes vectorials
2025-05-08T12:39:41Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<br />
<math><br />
\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\ss}{\textsf{s}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\JGvec}{\vec{\Js\Gs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
\newcommand{\H}[3]{\vec{\mathbf{H}}_{\text{#3}}^{#2}(\textbf{#1})}<br />
</math><br />
<br />
Els '''Teoremes Vectorials''' són una eina per estudiar la dinàmica dels sistemes mecànics, i s’obtenen a partir de la llei fonamental de la dinàmica (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>) i del principi d’acció i reacció (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''tercera llei de Newton''']]</span>).<br />
<br />
En aquest curs, es presenta només la <span style="text-decoration: underline;">versió dels teoremes per al cas de sistemes de matèria constant</span>. Tot i que això inclou sistemes amb fluids, els exemples d’aplicació en aquest curs són essencialment sistemes multisòlid formats per sòlids rígids.<br />
<br />
En estudiar la dinàmica d'un <span style="text-decoration: underline;">[[Introducción#I.1 Què és la mecànica?|'''sistema mecànic''']]</span>, és essencial identificar les incògnites que conté el sistema que s’estudia i analitzar si els teoremes vectorials proporcionen el nombre suficient d’equacions per resoldre-les totes (cal saber si el problema és determinat o indeterminat!). Les incògnites es poden classificar en dos grups:<br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''graus de llibertat''']]</span></u><br />
<br />
Els GL d’un sistema mecànic poden ser <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''lliures o actuats''']]</span> (o forçats, associats a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''actuadors''']]</span>). En ambdós casos, el seu valor inicial (el valor en començar un experiment o en posar en marxa el sistema) és conegut. Quan es tracta de GL lliures, l’evolució d’aquest valor inicial no es coneix: és una incògnita. Es diu que el problema és de '''dinàmica directa'''.<br />
<br />
Aquest és el cas també quan es tracta de GL actuats si l’acció de l’actuador associat és coneguda (és a dir, quan es coneix el valor de <math>\Fs_{ac}</math>– cas dels actuadors lineals –, o de <math>\gamma</math>– cas dels rotacionals). El problema també és de dinàmica directa.<br />
<br />
Les equacions que regeixen l’evolució dels GL s’anomenen '''equacions del moviment'''. Si els GL es descriuen mitjançant derivades temporals de coordenades (<math>\dot{q}_i</math>, amb i=1,2,3...), la seva evolució temporal són les segones derivades temporals d’aquests coordenades (acceleracions). <br />
<br />
Per a un sistema amb 2 GL lliures descrits, per exemple, per (x, <math>\dot{\theta}</math>), aquestes equacions tindrien el següent aspecte general:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\theta} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
on <math>\Gamma</math> seria el parell motor de l’actuador rotacional associat al moviment <math>\theta</math>.<br />
<br />
La dependència en les segones derivades temporals <math>(\ddot{xs}, \ddot{\theta})</math> és sempre lineal, en tant que al dependència en les coordenades i les velocitats <math>(\xs, \theta, \dot{xs}, \dot{\theta})</math> pot ser de qualsevol tipus. Els paràmetres dinàmics són la massa dels elements i els associats a la seva distribució a l’espai, i els paràmetres associats a les interaccions sobre el sistema (constants de molles i amortidors, coeficients de fricció, constants del camp gravitatori...); els paràmetres geomètrics tenen a veure amb la forma dels elements del sistema (distàncies i angles).<br />
<br />
En algunes ocasions, les accions dels actuadors (<math>\Fs_{ac}, \Gamma</math>) no són conegudes, mentre que les evolucions temporals dels GL actuats són prefixades. Llavors, les incògnites associades als GL actuats són el valor de les forces (si es tracta d’actuadors lineals) i moments (si són actuadors rotacionals) necessaris per garantir aquestes evolucions prefixades. Es diu que el problema és de '''dinàmica inversa'''.<br />
<br />
Per al cas de l’exemple anterior, si <math>\dot{\theta}</math> està prefixada, les equacions que descriuen les incògnites del problema associades als GL són:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\Gamma} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''enllaços''']]</span></u><br />
<br />
Són els valors de les components de les <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''torsors d'enllaç''']]</span>. El nombre d’incògnites associades als enllaços depèn de la descripció que se’n faci (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''enllaços directes''']]</span>, <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''enllaços indirectes''']]</span>). Quan un problema de dinàmica és indeterminat, la indeterminació sempre es refereix a les components dels torsors d’enllaç, mai als GL (lliures o forçats).<br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
==D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes==<br />
Considerem un sistema de partícules de matèria constant ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Quantitat de Moviment''' (TQM) s’obté a partir de l’aplicació de la segona llei de Newton a cada partícula <math>\Ps</math> del sistema. Si la referència que es considera és galileana: <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, on <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> és la força resultant d’interacció sobre <math>\Ps</math>.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.1''' Forces sobre una partícula d’un sistema de partícules de matèria constant</center><br />
<br />
Les forces que actuen sobre cada partícula es poden classificar en dos grups: internes (que provenen de la interacció amb altres partícules del sistema) i externes (associades a les interaccions amb elements externs al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si aquestes equacions se sumen per a totes les partícules, les forces internes entre parelles de partícules es cancel·len dues a dues pel principi d’acció i reacció:<br />
<br />
<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\:\acc{P}{RGal}</math></center><br />
<br />
El terme de l’esquerra és la resultant de forces externes sobre el sistema, i se sol escriure simplement com a <math>\sum\F{ext}</math>. El terme de la dreta es pot reescriure com a <math>\Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math>, on M és la massa total del sistema <math>\left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El terme <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math> és una acceleració ponderada, on la ponderació és proporcional a la massa de cada partícula. Aquesta acceleració s’associa a un punt anomenat '''centre de masses''' (o '''centre d’inèrcia''') del sistema, i en aquest curs es designa amb la lletra <math>\Gs</math>. Per a una referència qualsevol, doncs, la cinemàtica de <math>\Gs</math> queda descrita per les equacions ('''Figura D4.2'''):<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center><br />
<br />
[[Fitxer:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.2''' Centre de masses (o d’inèrcia) d’un sistema de matèria constant</center><br />
<br />
En el cas de conjunts continus de partícules (com són un conjunt de sòlids rígids, deformables, o fluids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center><br />
<br />
Finalment, el TQM s’escriu com a:<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\:\acc{G}{RGal}</math></center><br />
<br />
Aquesta equació és molt propera a la <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>: el centre de masses <math>\Gs</math> es comporta com si fos una partícula de massa igual a la massa total del sistema, i sobre la qual actuessin totes les forces externes al sistema. Malgrat el paral·lelisme entre el TQM i l’equació de dinàmica de la partícula, hi ha dues diferències fonamentals:<br />
<br />
:*la massa del sistema no està localitzada a <math>\Gs</math> (fins i tot, pot ser que <math>\Gs</math> estigui situat en una zona del sistema sense massa, com és el cas en una anella homogènia);<br />
<br />
:*les forces externes no estan aplicades a <math>\Gs</math> en general.<br />
<br />
El TQM s’anomena així perquè permet conèixer l’evolució, a partir del coneixement de <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic|'''l’estat mecànic''']]</span> inicial i de les interaccions externes, de la '''quantitat de moviment''' del sistema (que, en una referència qualsevol R, es defineix com a <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R}</math>):<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\acc{G}{RGal}=\dert{\Ms\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center><br />
<br />
La localització del centre de masses en els sistemes que s’estudien (ja sigui un únic sòlid rígid o un sistema multisòlid) es presenta breument a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Tensor d’inèrcia#D5.1 Centre de masses|'''secció D5.1''']]</span>. Per a sòlids homogenis de geometria molt senzilla, la posició de G es pot deduir sovint a partir de les simetries del sòlid. <br />
En problemes plans (de cinemàtica 2D), només les dues components del TQM compreses en el pla són interessants.<br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.2 Exemples d’aplicació del TQM==<br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.1: càlcul d’una força d’enllaç ====<br />
<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex1-1-neut.png|thumb|center|180px|link=]]<br />
|Els tres blocs homogenis són llisos i estan en contacte entre ells i amb un terra horitzontal, també llis. Es tracta d’investigar el <span style="text-decoration: underline;">valor de la força horitzontal d’enllaç entre els blocs Q i S</span> quan s’aplica una força horitzontal F al bloc de l’esquerra. <br />
Tots els enllaços que apareixen en aquest sistema són contactes multipuntuals entre superfícies llises. Per tant, cada torsor associat, caracteritzat en un punt del contacte corresponent, conté una component de força i una de moment (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|exemple D3.4]]</span>). Tot i així, en l’aplicació del TQM només intervenen les forces, i per tant no es representen els moments en les figures següents.<br />
|}<br />
<br />
<br />
Per tal que la força d’enllaç <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparegui a la component horitzontal del TQM, cal aplicar el teorema a un sistema on aquesta força sigui externa. Per exemple, al bloc S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>. <br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex1-2new-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
<br />
Aquesta equació conté dues incògnites: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> i <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ja que el moviment dels tres blocs provocat per la força F és el mateix, l’acceleració es pot obtenir amb el TQM aplicat a tot el sistema:<br />
<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.2: moviment inicial d’un sistema ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex2-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|Els blocs homogenis es troben inicialment en repòs sobre un terra rugós, i units mitjançant una molla comprimida amb una tensió <math>\Fs_0=\ms\gs</math> i un fil inextensible. En un cert instant, es talla el fil i el sistema comença a moure’s. <br />
|}<br />
<br />
<br />
Es tracta de calcular l’<span style="text-decoration: underline;">acceleració del centre d’inèrcia del sistema respecte del terra</span>. Aquesta acceleració es pot obtenir a partir de la component horitzontal del TQM aplicat a tot el sistema. La molla és interna, i per tant la seva força no apareix: <math>\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{terra}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.<br />
<br />
Les forces que el terra exerceix sobre cadascun dels blocs poden ser d’enllaç (si els blocs no es mouen, i llavors són incògnites), o de fricció (si els blocs es mouen respecte del terra, i en aquest cas són formulables). També pot donar-se el cas que un bloc llisqui i l’altre no.<br />
<br />
El valor d’una força d’enllaç s’adapta per tal de garantir una restricció. En el cas dels blocs, cal investigar si aquestes forces poden assolir el valor necessari per evitar que els blocs llisquin sobre el terra, i estan acotades pel valor del coeficient de fricció estàtica entre blocs i terra:<br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math><br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math><br />
<br />
Si s’aplica el TQM a cada bloc per separat, la força de la molla passa a ser externa. Aquesta força (de valor mg) pot ser contrarestada per la força d’enllaç en el cas del bloc de massa <math>2\ms</math> (per tant, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), però no en el del bloc de massa m:<br />
[[Fitxer:D4-Ex2-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
<br />
L’aplicació del TQM al bloc de massa m condueix a:<br />
<br />
<math>\left.\begin{aligned}<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{terra}\rightarrow2\ms}+\F{\text{molla}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0<br />
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math><br />
<br />
<br />
Finalment: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.3: estudi d’una condició límit ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|L’esfera homogènia de massa M descansa sobre dues falques idèntiques, de massa m, que es troben al damunt del terra. Entre esfera i falques no hi ha fregament, però entre falques i terra hi ha fregament de coeficient <math>\mu</math>. El sistema es troba inicialment en repòs respecte del terra. Es tracta de determinar el <span style="text-decoration: underline;">valor màxim de M, en funció de m, que permet que el sistema segueixi en repòs</span>.<br />
|}<br />
<br />
Si res no belluga, les forces horitzontals d’interacció entre terra i falques són d’enllaç i no superen el valor límit <math>/mu\ns</math> (on <math>\Ns</math> és la força normal que cada falca rep del terra). El torsor d’enllaç del terra sobre les falques conté també un moment resultant perpendicular a la figura.<br />
Si es vol estudiar la possibilitat de bolcament de les falques, aquest moment és rellevant. En aquest exemple, però, la forma les falques garanteix que no bolquen, i es treballa només amb les forces.<br />
L’aplicació del TQM a tot el sistema, a una falca i a l’esfera condueix a les equacions següents:<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<br />
<center><br />
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"<br />
|- style="vertical-align:top;"<br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + falques<br />
<br />
<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: falca de l'esquerra<br />
<br />
<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera<br />
<br />
<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math><br />
|}</center><br />
<br />
Combinant les dues últimes equacions: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor màxim de M per al qual encara hi ha equilibri correspon a la situació en què la força tangencial d’enllaç T pren el valor màxim possible: <math>\Ts = \Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns</math>. Tenint en compte que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs</math>:<br />
<br />
<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{màx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{màx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.3 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències no galileanes==<br />
La versió del TQM en una referència no galileana NGal s’obté també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada partícula (o cada diferencial de massa) del sistema a la referència NGal (secció D1.7). En principi, doncs, aquesta equació contindrà dues forces d’inèrcia: la d’arrossegament i la de Coriolis ('''Figura D4.3'''): <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,<br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> i <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math><br />
[[Fitxer:D4-3-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.3:''' Forces d’inèrcia en una referència no galileana</center><br />
Sumant les equacions per a totes les partícules, s’obté: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
massa total del sistema.<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
------<br />
:<small><br />
Pel principi d’acció i reacció, la suma per a totes les partícules de les forces d’interacció condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math><br />
<br />
Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada<br />
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el<br />
centre de masses (secció D4.2):<br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
Així doncs: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.4: desplaçament vibratori====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
|El bloc de massa m es troba inicialment en repòs<br />
sobre un suport que oscil·la respecte del terra<br />
d’acord amb el gràfic de velocitat que es mostra a<br />
la figura. Es tracta d’investigar la <span style="text-decoration: underline;">possibilitat que<br />
el bloc llisqui al damunt del suport</span>.<br />
La condició de repòs del bloc respecte del suport<br />
(que és una referència no galileana en tenir un<br />
moviment accelerat respecte del terra) demana:<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sup\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> perque <math>\velang{sup}{T} = \vec{0}</math><br />
|}<br />
<br />
La força d’arrossegament sobre el bloc és estrictament horitzontal. Per tant, la component vertical d’aquesta equació condueix a <math>N = mg</math> . Pel que fa a la component horitzontal, contindrà la força<br />
d’interacció entre bloc i suport. Si el bloc no llisca al damunt del suport, aquesta força és d’enllaç, i el seu valor està acotat: <math>0\leq\mid\Fs_{sup\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si llisca, és una força de fricció de valor <math>\mu\ms\gs</math>, oposada a la velocitat de lliscament.<br />
<br />
Entre <math>t=0</math> i <math>t = 0,4s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math> i per tant la força<br />
d’arrossegament és <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$suport}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor es troba dins del marge de valors permesos per a la força d’enllaç horitzontal del suport sobre el bloc. Per tant, aquesta força prendrà el valor <math>\F{sup\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>, contrarestarà la <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs}</math> i es mantindrà el repòs entre els dos elements.<br />
<br />
Entre <math>t=0,4s</math> i <math>t = 0,6s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Per tant,<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. En sobrepassar el valor màxim de la força horitzontal d’enllaç, no podrà ser contrarestada. El bloc començarà a lliscar, i la força horitzontal d’interacció entre suport i bloc serà de fricció:<br />
<br />
<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} + \F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
A l’instant <math>t = 0,6s</math>, la velocitat del bloc respecte del suport és <br />
<br />
<math>\vel{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.<br />
<br />
Tot i entrar en la fase on <math>\mid\Fcal{ar}{sup\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la força horitzontal entre suport i bloc segueix sent de fricció <math>(\F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> fins aconseguir aturar el bloc. <br />
<br />
L’acceleració del bloc respecte del suport és:<br />
<br />
<math>\acc{G}{sup} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
En tractar-se d’un moviment uniformement desaccelerat, és fàcil calcular l'instant per al qual el bloc deixa de lliscar:<br />
<br />
<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sup} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sup} + \acc{$\Gs,t_f$}{sup}(t_f - t_i)</math>,<br />
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math><br />
<br />
En aquest instant, la força del suport sobre el bloc passa a ser d’enllaç, i ens trobem en una situació anàloga a la inicial. Per tant, el lliscament no recomençarà fins a <math>\ts = 1,4s</math>. L’estudi per als intervals posteriors segueix els mateixos passos que l’estudi de l’interval <math>[0,1,4s]</math>. La figura mostra l’evolució de la cinemàtica del bloc respecte del suport, i de les forces que hi actuen.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex4-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
-----------<br />
-----------<br />
<br />
==D4.4 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulació general==<br />
<br />
La dinàmica d’un sòlid rígid (i per tant, d’un sistema multisòlid) no queda mai totalment resolta amb el TQM quan el sòlid gira: el TQM només informa sobre el moviment d’un punt (<math>\Gs</math>), i no sobre la rotació.<br />
<br />
El '''Teorema del Moment Cinètic''' (TMC) es troba a la literatura enunciat de dues maneres diferents. En aquest curs, s’ha optat per una formulació paral·lela a la del TQM: a l'esquerra apareixen termes que només tenen a veure amb les interaccions externes sobre el sistema, mentre que a la dreta apareix la derivada temporal d’un vector que depèn només de la geometria de masses del sistema i del seu <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic#|'''estat mecànic''']]</span>.<br />
<br />
Com ja s’ha vist quan s’ha introduït el concepte de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor d’un sistema de forces''']]</span>, el que es relaciona amb la rotació d’un sòlid és el moment de les forces, no la força resultant. Per tant, si bé el TMC es demostra també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada diferencial de massa del sistema, caldrà transformar les forces que hi apareixen en moment d’aquestes forces respecte d’un punt <math>\Qs</math>.<br />
<br />
Aquestes dues consideracions (formulació paral·lela al TQM i necessitat de triar un punt <math>\Qs</math> per calcular el moment de les forces) porta a partir de la formulació de la segona llei de Newton en la '''Referència que es Trasllada amb Q (RTQ)''' respecte d’una referència galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, aquesta referència no és galileana, i per tant cal tenir en compte en principi les <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''forces d’inèrcia d’arrossegament''']]</span> ('''Figura D4.3''').<br />
<br />
[[Fitxer:D4-4-cat.png|thumb|center|400px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.4:''' Forces d’inèrcia a la Referència que es Trasllada amb un punt <math>\Qs</math> (RTQ)</center><br><br />
<br />
<br />
Considerem un sistema de partícules amb matèria constant. La segona llei de Newton aplicada a cada partícula del sistema i a la RTQ és:<br><br />
<br />
<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , <br><br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , i <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ja que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>.<br><br />
<br />
Si els dos costats de l’equació es multipliquen vectorialment per <math>\QPvec</math> i es suma per totes les partícules (o elements de massa) del sistema, s’obté el TMC al punt <math>\Qs</math>:<br><br />
<br />
<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br><br />
<br />
on <math>\Ms</math> és la massa total del sistema, i <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> és el '''moment cinètic del sistema respecte el punt''' <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
Si el sistema té elements continus (per exemple, un sistema amb N sòlids rígids <math>\Ss_i</math>), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.<br />
<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
La segona llei de Newton per a cada element de massa multiplicada vectorialment per <math>\QPvec</math> és:<br />
<br />
<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math><br />
<br />
El terme de la dreta es pot reescriure com a:<br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
En ser <math>\Qs</math> un punt de la RTQ, es pot prendre com a origen d’un vector de posició de <math>\Ps</math> en aquesta referència, i per tant:<br />
<br />
<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
Tenint en compte que la massa és constant: <br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math><br />
<br />
La suma d’aquest terme per a tots els elements <math>\Ps</math> condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
<br />
Si les forces d’interacció sobre cada partícula <math>\Ps</math> es classifiquen en internes i externes, la suma per a totes les partícules del sistema del costat esquerre de la primera equació esdevé:<br />
<br />
<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math><br />
<br />
<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> <br><br />
ja que el principi d’acció i reacció garanteix que el moment total d’una parella de forces d’acció i reacció és nul:<br><br />
<br />
<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math><br><br />
Agrupant tots els termes:<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.5 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulacions particulars==<br />
El TMC pren expressions més senzilles quan el punt <math>\Qs</math> és fix a una referència galileana o quan és el centre de masses del sistema.<br><br />
<br />
* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, anomenem aquesta versió “TMC a punt fix”, on se sobreentén que “fix” vol dir “fix a una referència galileana”. Quan és el cas, normalment emprarem la lletra <math>\Os</math> per designar el punt <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math>Cal notar que, si bé l’expressió és similar a la versió a punt fix, el centre de masses <math>\Gs</math> no té per què ser fix a una referència galileana.<br />
<br />
Quan <math>\Qs</math> no és ni un punt fix a RGal ni coincideix amb el centre de masses, se sol parlar de la versió del TMC “a punt mòbil”. Tot i que <math>\Qs</math> sigui un punt mòbil respecte de RGal, el terme associat a les forces d’inèrcia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> pot ser nul si <math>\Qs</math> es mou a velocitat costant respecte de RGal, o si la seva acceleració respecte de RGal és paral·lela a <math>\QGvec</math> .<br />
<br />
<center><br />
{| class="wikitable"<br />
|+ <br />
|-<br />
! '''TMC a punt fix''' !! '''TMA a '''<math>\Gs</math> !! '''TMC a un punt mòbil '''<math>\Qs</math><br />
|-<br />
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center><br />
|| <br />
<center><br />
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center><br />
|| <br />
<center><br />
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math><br><br />
<br />
<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center><br />
<br />
|}<br />
</center><br />
<br />
<br />
El vector moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no és senzill de calcular en general, i es presenta a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Geometria de masses|'''unitat D5''']]</span>. <br><br />
<br />
En problemes de cinemàtica plana (2D), si el moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sòlid del sistema que s’estudia és paral·lel a la velocitat angular del sòlid <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que és de direcció ortogonal al pla del moviment), només la component del TMC perpendicular al pla és interessant. En aquest cas es diu que el problema és de dinàmica plana (2D), i el problema es pot resoldre a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.<br />
<br />
<div><br />
===<u>TMC en un punt de contacte entre dos sòlids</u>===<br />
Un enllaç que apareix sovint en els sistemes mecànics és el contacte puntual entre parelles de sòlids (S1 i S2, per exemple). Aquest enllaç pot introduir entre 1 i 3 incògnites d’enllaç (segons la rugositat de les superfícies i la cinemàtica del contacte – amb o sense lliscament). Quan aquestes forces no es volen calcular, és temptador aplicar el TMC al punt de contacte <math>\Js</math> (ja que el seu moment respecte de <math>\Js</math> és nul). <br><br />
[[Fitxer:TMCaJ-0-cat.png|thumb|right|230px|link=]]<br />
L’aplicació del TMC a <math>\Js</math> és molt delicada. Cal precisar de quin punt <math>\Js</math> es parla (<span style="text-decoration: underline;">[[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''exemple C5-1.8''']]</span>): si es tracta del <math>\Js</math> del sòlid S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sòlid S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math> , o bé si és el punt geomètric de contacte <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math> . Per una banda, aquests tres punts tenen cinemàtiques diferents <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math> , i el terme complementari associat al moment de les forces d’inèrcia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> és diferent. Per altra banda, si per exemple el TMC s’aplica al solid S1, cal tenir present que, tot i que <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertany a S1 i es pot calcular el moment cinètic a partir del tensor d’inèrcia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> i <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no hi pertanyen, i cal fer servir la descomposició baricèntrica per calcular aquest vector.<br />
<br />
Finalment, ja que el moment cinètic s’ha de derivar, el seu càlcul s’ha de fer en una configuració general (és a dir, quan <math>\Js</math> no és encara el punt de contacte), i és només després d’haver fet la derivada que es pot particularitzar el resultat a la configuració en què <math>\Js</math> és el punt de contacte. Com a il·lustració de tot plegat, l’esquema següent mostra l’aplicació del TMC a una roda amb moviment pla que toca a terra i llisca.<br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-1-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{roda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{roda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{roda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math><br />
</center><br><br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-2-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\<br />
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}<br />
\end{array}\right. <br />
</math><br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-3-cat-esp.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\<br />
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0) <br />
\end{array}\right. <br />
</math><br />
</center></center><br />
</div><br />
<br />
<br />
------<br />
------<br />
<br />
==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex5-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]<br />
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de <u>calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:<br />
[[Fitxer:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant:<br><br />
<br />
<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math><br><br />
<br />
Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero:<br><br />
<br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\<br />
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math><br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math><br />
<br />
Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex6-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]<br />
|Els blocs pengen de dues cordes inextensibles amb un extrem lligat a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de <u>calcular l’acceleració angular de les politges</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|center|140px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> :<br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math><br><br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math><br><br />
<br />
<br />
Per la definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]</span>: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs:<br><br />
<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math><br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]<br />
<u>Resolució alternativa </u><br><br />
<br />
Si s’aplica el TMC al punt <math>\Os</math> per al sistema format per les politges i les cordes, el pes dels blocs ja no apareix com a interacció externa, però apareixen en canvi les tensions de les dues cordes (que són incògnites d’enllaç).<br><br />
<br />
El moment cinètic del sistema és nul perquè no té massa:<br><br />
<br />
SIST: politges + cordes<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math><br><br />
[[Fitxer:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]<br />
<br />
<br />
L’aplicació del TQM a cadascun dels blocs genera dues equacions més:<br><br />
<br />
SIST: bloc de 10kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(10\ks\gs)(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
SIST: bloc de 5kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(5\ks\gs)(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
La resolució del sistema d’equacions condueix a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>.<br><br />
<br />
<br />
La primera resolució és més ràpida (només fa servir una equació escalar), però implica el càlcul del moment cinètic. Aquesta segona resolució és més llarga (sistema de tres equacions) però que no requereix calcular cap moment cinètic.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.7: dinàmica longitudinal d’un vehicle====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-1-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El vehicle sense suspensions es mou sobre una carretera rectilínia. La massa de les rodes és negligible comparada amb la de la resta dels elements, i es considera que el seu contacte amb el terra es puntual. Es tracta d’<u>analitzar les forces normals d’enllaç entre terra i rodes</u>.<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el vehicle es redueixen al pes i a l’enllaç amb el terra. Si l’acceleració del xassís respecte del terra és una dada, l’aplicació del TQM condueix a:<br />
|}<br />
<br />
{|<br />
|<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}<br />
<br />
\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\<br />
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)<br />
\end{aligned}\right.</math><br />
<br />
<br />
on <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> i <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> són les forces normal i tangencial que en total reben les dues rodes del davant i les dues rodes del darrere, respectivament.<br />
El TMC a G condueix a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs} + \Ts_{\ds\rs})] =0</math><br />
(el moment cinètic <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> és permanentment nul ja que les rodes no tenen massa, i la resta del vehicle té moviment nul respecte de la RTG).<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-2-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
Resolent el sistema d’equacions: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math><br />
<br />
Aquest resultat és vàlid per a qualsevol valor de <math>\as_\Ls</math>:<br />
:*Situació estàtica (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la força normal és més gran a les rodes que tenen l’eix més proper a <math>\Gs</math>.<br />
<br />
:*Accelerant (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math> ; hi ha un transvasament de força del davant cap al darrere (es carreguen les rodes del darrere i es descarreguen les del davant). Si l’acceleració <math>|\as_\Ts|</math> és prou elevada, la força normal al davant passa a ser negativa, la qual cosa indica que s’ha perdut el contacte i el vehicle bolca en sentit antihorari. Llavors, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el xassís passa a tenir, en principi, acceleració angular, i com a conseqüència el centre de masses <math>\Gs</math> passa a tenir acceleració vertical.<br />
<br />
:*Frenant (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hi ha un transvasament de força del darrere cap al davant (es descarreguen les rodes del darrere i es carreguen les del davant). Com en el cas precedent, hi ha un valor crític de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el bolcament, ara en sentit horari.<br />
</small><br />
---------<br />
---------<br />
</div><br />
<br />
==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==<br />
<br />
L’aplicació dels teoremes vectorials als <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''']]</span> (SAE) és senzilla ja que els termes de la dreta (variació de quantitat de moviment i variació de moment cinètic) són nuls en ser nul·la la seva massa:<br><br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{qualsevol} \hspace{0.2cm} \mathrm{punt}) \approx \overline{0}.</math><br><br />
<br />
Per al cas d’un SAE (sòlid S) connectant dos sòlids rígids S1 i S2 ('''Figura D4.5'''), aquestes equacions permeten demostrar que el torsor que actua sobre S1 es pot obtenir a partir d’una equació de caracterització analítica on la cinemàtica del punt <math>\Ps</math> de caracterització (que ha de pertànyer al sòlid S1) s’avalua a la referència solidària a S2:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br><br />
<br />
(Quan es tracta de velocitats, és important especificar a quin sòlid pertany el punt <math>\Ps</math>. Això, en canvi, és irrellevant quan es tracta de moments: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>).<br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-5-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.5:'''Sòlid Auxiliar d’Enllaç entre dos sòlids de massa no nul·la</center><br><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
Els teoremes vectorials aplicats sobre el SAE impliquen que els torsors d’enllaç que rep de S1 i S2 en un mateix punt <math>\Ps</math> han de sumar zero:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\<br />
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\<br />
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)<br />
\end{array}\right.</math><br><br />
<br />
Per altra banda, aquests torsors compleixen l’<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''equació de caracterització analítica''']]</span>:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math><br><br />
<br />
Si es combinen totes les equacions anteriors, s’obté:<br><br />
<br />
<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math><br><br />
<br />
Una <span style="text-decration: underline;">[[C3. Composició de moviments#C3.1 Composició de velocitats|'''composició de moviments''']]</span> permet reescriure l’equació anterior de manera més compacta:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math><br><br />
<br />
Finalment: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.8: dinàmica longitudinal d’un vehicle ====<br />
---------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex8-1-cat.png|thumb|left|220px|link=]]<br />
|En el vehicle de l’exemple D4.7, es considera que la tracció és posterior. Això vol dir que el motor del vehicle actua entre el xassís i les rodes posteriors, en tant que les del davant només estan sotmeses a interaccions d’enllaç (articulació amb el xassís i contacte amb el terra). <br><br />
<br />
Si es tracten les rodes del davant com a SAE, l’anàlisi cinemàtica del xassís respecte del terra per a la caracterització de l’enllaç a través de les rodes del davant condueix a un torsor en el centre de la roda (que és fix al xassís) amb només una component de força:<br />
|}<br />
[[Fitxer:D4-Ex8-2-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
L’existència d’una component horitzontal de força entre les rodes posteriors (necessària per accelerar o frenar el vehicle!) està associada al parell motor. Si s'apliquen els teoremes vectorials a les rodes posteriors, les interaccions externes a tenir en compte són l’enllaç amb el terra, l’articulació amb el xassís i el parell motor <math>\Gamma</math> : <br />
[[Fitxer:D4-Ex8-3-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{rodes} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum <br />
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow <br />
\left\{\begin{array}{l}<br />
\mathrm{TQM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dr}=\Ns'_\mathrm{dr} , \Ts_\mathrm{dr}=\Ts'_\mathrm{dr} \\<br />
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{a} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dr}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs<br />
\end{array}\right. </math><br><br />
<br />
La força tangencial sobre les rodes motrius és directament proporcional al parell motor que se’ls aplica. Cal no oblidar, però, que com a força tangencial d’enllaç, el seu valor està limitat per <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math> . Això permet calcular l’acceleració màxima que pot adquirir el vehicle (mentre la roda del davant no perdi contacte amb el terra):<br><br />
<br />
<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Ts_\mathrm{dr,màx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>.<br><br />
<br />
En terrenys de baix fregament ( <math>\mu_\es</math> de valor baix), un motor capaç de subministrar un parell màxim alt és inútil: qui posa límit a l’acceleració és el valor del coeficient de fricció <math>\mu_\es</math> : <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math> . En terrenys d’alt fregament, si el parell màxim és baix és ell qui posa límit a l’acceleració: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la roda del davant no perd contacte amb el terra).<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.8 Descomposició baricèntrica del moment cinètic==<br />
<br />
La versió del TMC que s’ha presentat permet triar lliurement el punt <math>\Qs</math> d’aplicació. El criteri per triar-lo es basa en el que es vulgui investigar (una força d’enllaç, una equació del moviment...). A la <span style="text-decoration: underline;">[[D6. Exemples de dinàmica 2D|'''unitat D6''']]</span> es discuteix aquest criteri.<br />
En alguns casos, pot ser interessant triar un punt <math>\Qs</math> que no pertanyi a cap element material del sistema. Llavors, és útil referir el càlcul del moment cinètic <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al moment cinètic al centre de masses <math>\Gs</math> del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Això es coneix amb el nom de '''descomposició baricèntrica''' del moment cinètic:<br />
<br />
<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>,<br />
<br />
on el superíndex <math>\oplus</math> indica que el moment cinètic s’ha de calcular com si el sistema s’hagués reduït a una partícula concentrada a <math>\Gs</math> amb massa igual a la massa total del sistema (M): <br />
<br />
<math>\H{G}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
:La definició de moment cinètic d'un sòlid rígid <math>\Ss_i</math> és: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocitat <math>\vel{P}{RTQ}</math> es pot escriure com a suma de dos termes si s’aplica una composició de moviments:<br />
<br />
:<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\<br />
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math><br><br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:La definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D4. Teoremes vectorials#D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes|'''centre de masses''']]</span> porta a reescriure el segon terme com a:<br />
<br />
:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincideix amb el moment cinètic respecte de <math>\Qs</math> d’una partícula de massa M situada a <math>\Gs</math>: <math>\QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ} = \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:En el primer terme de l’expressió de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, es pot descompondre <math>\QPvec</math> en suma de dos termes:<br />
<br />
:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math><br />
<br />
:Per definició de centre de masses: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.<br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
===== ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica =====<br />
----------<br />
<small><br />
{|<br />
<br />
|[[Fitxer:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El sòlid està format per dues barres de massa negligible i quatre partícules (<math>\Ps</math>) amb massa m unides als extrems de les barres. El sòlid està articulat a un suport que es pot moure al llarg d’una guia fixa a terra.<br />
El seu moment cinètic a G és:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math><br />
<br />
La RTG és fixa al suport, i la velocitat de les partícules respecte d’aquesta referència és proporcional a la rotació <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Per tant:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math><br />
|}<br />
:El moment cinètic a <math>\Os</math> (fix al terra) es pot calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mitjançant descomposició baricèntrica:<br />
<br />
:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times 4\ms\vel{G}{T} =</math><br />
<math>\hspace{1cm} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) =</math><br />
<math>\hspace{1cm}= (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math><br />
<br />
<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<p align="right"><small>© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]</small></p><br />
-------------<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><br />
[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|<<< D3. Interaccions entre sòlids rígids]]<br />
<br />
[[D5. Geometria de masses|D5. Geometria de masses >>>]]<br />
</center></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=D4._Teoremes_vectorials&diff=7762
D4. Teoremes vectorials
2025-05-08T12:38:54Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<br />
<math><br />
\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\ss}{\textsf{s}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\JGvec}{\vec{\Js\Gs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
\newcommand{\H}[3]{\vec{\mathbf{H}}_{\text{#3}}^{#2}(\textbf{#1})}<br />
</math><br />
<br />
Els '''Teoremes Vectorials''' són una eina per estudiar la dinàmica dels sistemes mecànics, i s’obtenen a partir de la llei fonamental de la dinàmica (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>) i del principi d’acció i reacció (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''tercera llei de Newton''']]</span>).<br />
<br />
En aquest curs, es presenta només la <span style="text-decoration: underline;">versió dels teoremes per al cas de sistemes de matèria constant</span>. Tot i que això inclou sistemes amb fluids, els exemples d’aplicació en aquest curs són essencialment sistemes multisòlid formats per sòlids rígids.<br />
<br />
En estudiar la dinàmica d'un <span style="text-decoration: underline;">[[Introducción#I.1 Què és la mecànica?|'''sistema mecànic''']]</span>, és essencial identificar les incògnites que conté el sistema que s’estudia i analitzar si els teoremes vectorials proporcionen el nombre suficient d’equacions per resoldre-les totes (cal saber si el problema és determinat o indeterminat!). Les incògnites es poden classificar en dos grups:<br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''graus de llibertat''']]</span></u><br />
<br />
Els GL d’un sistema mecànic poden ser <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''lliures o actuats''']]</span> (o forçats, associats a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''actuadors''']]</span>). En ambdós casos, el seu valor inicial (el valor en començar un experiment o en posar en marxa el sistema) és conegut. Quan es tracta de GL lliures, l’evolució d’aquest valor inicial no es coneix: és una incògnita. Es diu que el problema és de '''dinàmica directa'''.<br />
<br />
Aquest és el cas també quan es tracta de GL actuats si l’acció de l’actuador associat és coneguda (és a dir, quan es coneix el valor de <math>\Fs_{ac}</math>– cas dels actuadors lineals –, o de <math>\gamma</math>– cas dels rotacionals). El problema també és de dinàmica directa.<br />
<br />
Les equacions que regeixen l’evolució dels GL s’anomenen '''equacions del moviment'''. Si els GL es descriuen mitjançant derivades temporals de coordenades (<math>\dot{q}_i</math>, amb i=1,2,3...), la seva evolució temporal són les segones derivades temporals d’aquests coordenades (acceleracions). <br />
<br />
Per a un sistema amb 2 GL lliures descrits, per exemple, per (x, <math>\dot{\theta}</math>), aquestes equacions tindrien el següent aspecte general:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\theta} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
on <math>\Gamma</math> seria el parell motor de l’actuador rotacional associat al moviment <math>\theta</math>.<br />
<br />
La dependència en les segones derivades temporals <math>(\ddot{xs}, \ddot{\theta})</math> és sempre lineal, en tant que al dependència en les coordenades i les velocitats <math>(\xs, \theta, \dot{xs}, \dot{\theta})</math> pot ser de qualsevol tipus. Els paràmetres dinàmics són la massa dels elements i els associats a la seva distribució a l’espai, i els paràmetres associats a les interaccions sobre el sistema (constants de molles i amortidors, coeficients de fricció, constants del camp gravitatori...); els paràmetres geomètrics tenen a veure amb la forma dels elements del sistema (distàncies i angles).<br />
<br />
En algunes ocasions, les accions dels actuadors (<math>\Fs_{ac}, \Gamma</math>) no són conegudes, mentre que les evolucions temporals dels GL actuats són prefixades. Llavors, les incògnites associades als GL actuats són el valor de les forces (si es tracta d’actuadors lineals) i moments (si són actuadors rotacionals) necessaris per garantir aquestes evolucions prefixades. Es diu que el problema és de '''dinàmica inversa'''.<br />
<br />
Per al cas de l’exemple anterior, si <math>\dot{\theta}</math> està prefixada, les equacions que descriuen les incògnites del problema associades als GL són:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\Gamma} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''enllaços''']]</span></u><br />
<br />
Són els valors de les components de les <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''torsors d'enllaç''']]</span>. El nombre d’incògnites associades als enllaços depèn de la descripció que se’n faci (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''enllaços directes''']]</span>, <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''enllaços indirectes''']]</span>). Quan un problema de dinàmica és indeterminat, la indeterminació sempre es refereix a les components dels torsors d’enllaç, mai als GL (lliures o forçats).<br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
==D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes==<br />
Considerem un sistema de partícules de matèria constant ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Quantitat de Moviment''' (TQM) s’obté a partir de l’aplicació de la segona llei de Newton a cada partícula <math>\Ps</math> del sistema. Si la referència que es considera és galileana: <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, on <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> és la força resultant d’interacció sobre <math>\Ps</math>.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.1''' Forces sobre una partícula d’un sistema de partícules de matèria constant</center><br />
<br />
Les forces que actuen sobre cada partícula es poden classificar en dos grups: internes (que provenen de la interacció amb altres partícules del sistema) i externes (associades a les interaccions amb elements externs al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si aquestes equacions se sumen per a totes les partícules, les forces internes entre parelles de partícules es cancel·len dues a dues pel principi d’acció i reacció:<br />
<br />
<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\:\acc{P}{RGal}</math></center><br />
<br />
El terme de l’esquerra és la resultant de forces externes sobre el sistema, i se sol escriure simplement com a <math>\sum\F{ext}</math>. El terme de la dreta es pot reescriure com a <math>\Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math>, on M és la massa total del sistema <math>\left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El terme <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math> és una acceleració ponderada, on la ponderació és proporcional a la massa de cada partícula. Aquesta acceleració s’associa a un punt anomenat '''centre de masses''' (o '''centre d’inèrcia''') del sistema, i en aquest curs es designa amb la lletra <math>\Gs</math>. Per a una referència qualsevol, doncs, la cinemàtica de <math>\Gs</math> queda descrita per les equacions ('''Figura D4.2'''):<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center><br />
<br />
[[Fitxer:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.2''' Centre de masses (o d’inèrcia) d’un sistema de matèria constant</center><br />
<br />
En el cas de conjunts continus de partícules (com són un conjunt de sòlids rígids, deformables, o fluids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center><br />
<br />
Finalment, el TQM s’escriu com a:<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\:\acc{G}{RGal}</math></center><br />
<br />
Aquesta equació és molt propera a la <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>: el centre de masses <math>\Gs</math> es comporta com si fos una partícula de massa igual a la massa total del sistema, i sobre la qual actuessin totes les forces externes al sistema. Malgrat el paral·lelisme entre el TQM i l’equació de dinàmica de la partícula, hi ha dues diferències fonamentals:<br />
<br />
:*la massa del sistema no està localitzada a <math>\Gs</math> (fins i tot, pot ser que <math>\Gs</math> estigui situat en una zona del sistema sense massa, com és el cas en una anella homogènia);<br />
<br />
:*les forces externes no estan aplicades a <math>\Gs</math> en general.<br />
<br />
El TQM s’anomena així perquè permet conèixer l’evolució, a partir del coneixement de <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic|'''l’estat mecànic''']]</span> inicial i de les interaccions externes, de la '''quantitat de moviment''' del sistema (que, en una referència qualsevol R, es defineix com a <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R}</math>):<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\acc{G}{RGal}=\dert{\Ms\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center><br />
<br />
La localització del centre de masses en els sistemes que s’estudien (ja sigui un únic sòlid rígid o un sistema multisòlid) es presenta breument a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Tensor d’inèrcia#D5.1 Centre de masses|'''secció D5.1''']]</span>. Per a sòlids homogenis de geometria molt senzilla, la posició de G es pot deduir sovint a partir de les simetries del sòlid. <br />
En problemes plans (de cinemàtica 2D), només les dues components del TQM compreses en el pla són interessants.<br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.2 Exemples d’aplicació del TQM==<br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.1: càlcul d’una força d’enllaç ====<br />
<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex1-1-neut.png|thumb|center|180px|link=]]<br />
|Els tres blocs homogenis són llisos i estan en contacte entre ells i amb un terra horitzontal, també llis. Es tracta d’investigar el <span style="text-decoration: underline;">valor de la força horitzontal d’enllaç entre els blocs Q i S</span> quan s’aplica una força horitzontal F al bloc de l’esquerra. <br />
Tots els enllaços que apareixen en aquest sistema són contactes multipuntuals entre superfícies llises. Per tant, cada torsor associat, caracteritzat en un punt del contacte corresponent, conté una component de força i una de moment (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|exemple D3.4]]</span>). Tot i així, en l’aplicació del TQM només intervenen les forces, i per tant no es representen els moments en les figures següents.<br />
|}<br />
<br />
<br />
Per tal que la força d’enllaç <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparegui a la component horitzontal del TQM, cal aplicar el teorema a un sistema on aquesta força sigui externa. Per exemple, al bloc S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>. <br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex1-2new-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
<br />
Aquesta equació conté dues incògnites: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> i <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ja que el moviment dels tres blocs provocat per la força F és el mateix, l’acceleració es pot obtenir amb el TQM aplicat a tot el sistema:<br />
<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.2: moviment inicial d’un sistema ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex2-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|Els blocs homogenis es troben inicialment en repòs sobre un terra rugós, i units mitjançant una molla comprimida amb una tensió <math>\Fs_0=\ms\gs</math> i un fil inextensible. En un cert instant, es talla el fil i el sistema comença a moure’s. <br />
|}<br />
<br />
<br />
Es tracta de calcular l’<span style="text-decoration: underline;">acceleració del centre d’inèrcia del sistema respecte del terra</span>. Aquesta acceleració es pot obtenir a partir de la component horitzontal del TQM aplicat a tot el sistema. La molla és interna, i per tant la seva força no apareix: <math>\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{terra}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.<br />
<br />
Les forces que el terra exerceix sobre cadascun dels blocs poden ser d’enllaç (si els blocs no es mouen, i llavors són incògnites), o de fricció (si els blocs es mouen respecte del terra, i en aquest cas són formulables). També pot donar-se el cas que un bloc llisqui i l’altre no.<br />
<br />
El valor d’una força d’enllaç s’adapta per tal de garantir una restricció. En el cas dels blocs, cal investigar si aquestes forces poden assolir el valor necessari per evitar que els blocs llisquin sobre el terra, i estan acotades pel valor del coeficient de fricció estàtica entre blocs i terra:<br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math><br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math><br />
<br />
Si s’aplica el TQM a cada bloc per separat, la força de la molla passa a ser externa. Aquesta força (de valor mg) pot ser contrarestada per la força d’enllaç en el cas del bloc de massa <math>2\ms</math> (per tant, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), però no en el del bloc de massa m:<br />
[[Fitxer:D4-Ex2-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
<br />
L’aplicació del TQM al bloc de massa m condueix a:<br />
<br />
<math>\left.\begin{aligned}<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{terra}\rightarrow2\ms}+\F{\text{molla}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0<br />
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math><br />
<br />
<br />
Finalment: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.3: estudi d’una condició límit ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|L’esfera homogènia de massa M descansa sobre dues falques idèntiques, de massa m, que es troben al damunt del terra. Entre esfera i falques no hi ha fregament, però entre falques i terra hi ha fregament de coeficient <math>\mu</math>. El sistema es troba inicialment en repòs respecte del terra. Es tracta de determinar el <span style="text-decoration: underline;">valor màxim de M, en funció de m, que permet que el sistema segueixi en repòs</span>.<br />
|}<br />
<br />
Si res no belluga, les forces horitzontals d’interacció entre terra i falques són d’enllaç i no superen el valor límit <math>/mu\ns</math> (on <math>\Ns</math> és la força normal que cada falca rep del terra). El torsor d’enllaç del terra sobre les falques conté també un moment resultant perpendicular a la figura.<br />
Si es vol estudiar la possibilitat de bolcament de les falques, aquest moment és rellevant. En aquest exemple, però, la forma les falques garanteix que no bolquen, i es treballa només amb les forces.<br />
L’aplicació del TQM a tot el sistema, a una falca i a l’esfera condueix a les equacions següents:<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<br />
<center><br />
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"<br />
|- style="vertical-align:top;"<br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + falques<br />
<br />
<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: falca de l'esquerra<br />
<br />
<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera<br />
<br />
<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math><br />
|}</center><br />
<br />
Combinant les dues últimes equacions: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor màxim de M per al qual encara hi ha equilibri correspon a la situació en què la força tangencial d’enllaç T pren el valor màxim possible: <math>\Ts = \Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns</math>. Tenint en compte que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs</math>:<br />
<br />
<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{màx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{màx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.3 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències no galileanes==<br />
La versió del TQM en una referència no galileana NGal s’obté també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada partícula (o cada diferencial de massa) del sistema a la referència NGal (secció D1.7). En principi, doncs, aquesta equació contindrà dues forces d’inèrcia: la d’arrossegament i la de Coriolis ('''Figura D4.3'''): <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,<br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> i <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math><br />
[[Fitxer:D4-3-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.3:''' Forces d’inèrcia en una referència no galileana</center><br />
Sumant les equacions per a totes les partícules, s’obté: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
massa total del sistema.<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
------<br />
:<small><br />
Pel principi d’acció i reacció, la suma per a totes les partícules de les forces d’interacció condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math><br />
<br />
Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada<br />
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el<br />
centre de masses (secció D4.2):<br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
Així doncs: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.4: desplaçament vibratori====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
|El bloc de massa m es troba inicialment en repòs<br />
sobre un suport que oscil·la respecte del terra<br />
d’acord amb el gràfic de velocitat que es mostra a<br />
la figura. Es tracta d’investigar la <span style="text-decoration: underline;">possibilitat que<br />
el bloc llisqui al damunt del suport</span>.<br />
La condició de repòs del bloc respecte del suport<br />
(que és una referència no galileana en tenir un<br />
moviment accelerat respecte del terra) demana:<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sup\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> perque <math>\velang{sup}{T} = \vec{0}</math><br />
|}<br />
<br />
La força d’arrossegament sobre el bloc és estrictament horitzontal. Per tant, la component vertical d’aquesta equació condueix a <math>N = mg</math> . Pel que fa a la component horitzontal, contindrà la força<br />
d’interacció entre bloc i suport. Si el bloc no llisca al damunt del suport, aquesta força és d’enllaç, i el seu valor està acotat: <math>0\leq\mid\Fs_{sup\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si llisca, és una força de fricció de valor <math>\mu\ms\gs</math>, oposada a la velocitat de lliscament.<br />
<br />
Entre <math>t=0</math> i <math>t = 0,4s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math> i per tant la força<br />
d’arrossegament és <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$suport}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor es troba dins del marge de valors permesos per a la força d’enllaç horitzontal del suport sobre el bloc. Per tant, aquesta força prendrà el valor <math>\F{sup\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>, contrarestarà la <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs}</math> i es mantindrà el repòs entre els dos elements.<br />
<br />
Entre <math>t=0,4s</math> i <math>t = 0,6s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Per tant,<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. En sobrepassar el valor màxim de la força horitzontal d’enllaç, no podrà ser contrarestada. El bloc començarà a lliscar, i la força horitzontal d’interacció entre suport i bloc serà de fricció:<br />
<br />
<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} + \F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
A l’instant <math>t = 0,6s</math>, la velocitat del bloc respecte del suport és <br />
<br />
<math>\vel{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.<br />
<br />
Tot i entrar en la fase on <math>\mid\Fcal{ar}{sup\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la força horitzontal entre suport i bloc segueix sent de fricció <math>(\F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> fins aconseguir aturar el bloc. <br />
<br />
L’acceleració del bloc respecte del suport és:<br />
<br />
<math>\acc{G}{sup} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
En tractar-se d’un moviment uniformement desaccelerat, és fàcil calcular l'instant per al qual el bloc deixa de lliscar:<br />
<br />
<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sup} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sup} + \acc{$\Gs,t_f$}{sup}(t_f - t_i)</math>,<br />
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math><br />
<br />
En aquest instant, la força del suport sobre el bloc passa a ser d’enllaç, i ens trobem en una situació anàloga a la inicial. Per tant, el lliscament no recomençarà fins a <math>\ts = 1,4s</math>. L’estudi per als intervals posteriors segueix els mateixos passos que l’estudi de l’interval <math>[0,1,4s]</math>. La figura mostra l’evolució de la cinemàtica del bloc respecte del suport, i de les forces que hi actuen.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex4-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
-----------<br />
-----------<br />
<br />
==D4.4 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulació general==<br />
<br />
La dinàmica d’un sòlid rígid (i per tant, d’un sistema multisòlid) no queda mai totalment resolta amb el TQM quan el sòlid gira: el TQM només informa sobre el moviment d’un punt (<math>\Gs</math>), i no sobre la rotació.<br />
<br />
El '''Teorema del Moment Cinètic''' (TMC) es troba a la literatura enunciat de dues maneres diferents. En aquest curs, s’ha optat per una formulació paral·lela a la del TQM: a l'esquerra apareixen termes que només tenen a veure amb les interaccions externes sobre el sistema, mentre que a la dreta apareix la derivada temporal d’un vector que depèn només de la geometria de masses del sistema i del seu <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic#|'''estat mecànic''']]</span>.<br />
<br />
Com ja s’ha vist quan s’ha introduït el concepte de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor d’un sistema de forces''']]</span>, el que es relaciona amb la rotació d’un sòlid és el moment de les forces, no la força resultant. Per tant, si bé el TMC es demostra també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada diferencial de massa del sistema, caldrà transformar les forces que hi apareixen en moment d’aquestes forces respecte d’un punt <math>\Qs</math>.<br />
<br />
Aquestes dues consideracions (formulació paral·lela al TQM i necessitat de triar un punt <math>\Qs</math> per calcular el moment de les forces) porta a partir de la formulació de la segona llei de Newton en la '''Referència que es Trasllada amb Q (RTQ)''' respecte d’una referència galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, aquesta referència no és galileana, i per tant cal tenir en compte en principi les <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''forces d’inèrcia d’arrossegament''']]</span> ('''Figura D4.3''').<br />
<br />
[[Fitxer:D4-4-cat.png|thumb|center|400px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.4:''' Forces d’inèrcia a la Referència que es Trasllada amb un punt <math>\Qs</math> (RTQ)</center><br><br />
<br />
<br />
Considerem un sistema de partícules amb matèria constant. La segona llei de Newton aplicada a cada partícula del sistema i a la RTQ és:<br><br />
<br />
<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , <br><br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , i <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ja que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>.<br><br />
<br />
Si els dos costats de l’equació es multipliquen vectorialment per <math>\QPvec</math> i es suma per totes les partícules (o elements de massa) del sistema, s’obté el TMC al punt <math>\Qs</math>:<br><br />
<br />
<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br><br />
<br />
on <math>\Ms</math> és la massa total del sistema, i <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> és el '''moment cinètic del sistema respecte el punt''' <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
Si el sistema té elements continus (per exemple, un sistema amb N sòlids rígids <math>\Ss_i</math>), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.<br />
<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
La segona llei de Newton per a cada element de massa multiplicada vectorialment per <math>\QPvec</math> és:<br />
<br />
<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math><br />
<br />
El terme de la dreta es pot reescriure com a:<br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
En ser <math>\Qs</math> un punt de la RTQ, es pot prendre com a origen d’un vector de posició de <math>\Ps</math> en aquesta referència, i per tant:<br />
<br />
<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
Tenint en compte que la massa és constant: <br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math><br />
<br />
La suma d’aquest terme per a tots els elements <math>\Ps</math> condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
<br />
Si les forces d’interacció sobre cada partícula <math>\Ps</math> es classifiquen en internes i externes, la suma per a totes les partícules del sistema del costat esquerre de la primera equació esdevé:<br />
<br />
<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math><br />
<br />
<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> <br><br />
ja que el principi d’acció i reacció garanteix que el moment total d’una parella de forces d’acció i reacció és nul:<br><br />
<br />
<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math><br><br />
Agrupant tots els termes:<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.5 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulacions particulars==<br />
El TMC pren expressions més senzilles quan el punt <math>\Qs</math> és fix a una referència galileana o quan és el centre de masses del sistema.<br><br />
<br />
* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, anomenem aquesta versió “TMC a punt fix”, on se sobreentén que “fix” vol dir “fix a una referència galileana”. Quan és el cas, normalment emprarem la lletra <math>\Os</math> per designar el punt <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math>Cal notar que, si bé l’expressió és similar a la versió a punt fix, el centre de masses <math>\Gs</math> no té per què ser fix a una referència galileana.<br />
<br />
Quan <math>\Qs</math> no és ni un punt fix a RGal ni coincideix amb el centre de masses, se sol parlar de la versió del TMC “a punt mòbil”. Tot i que <math>\Qs</math> sigui un punt mòbil respecte de RGal, el terme associat a les forces d’inèrcia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> pot ser nul si <math>\Qs</math> es mou a velocitat costant respecte de RGal, o si la seva acceleració respecte de RGal és paral·lela a <math>\QGvec</math> .<br />
<br />
<center><br />
{| class="wikitable"<br />
|+ <br />
|-<br />
! '''TMC a punt fix''' !! '''TMA a '''<math>\Gs</math> !! '''TMC a un punt mòbil '''<math>\Qs</math><br />
|-<br />
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center><br />
|| <br />
<center><br />
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center><br />
|| <br />
<center><br />
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math><br><br />
<br />
<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center><br />
<br />
|}<br />
</center><br />
<br />
<br />
El vector moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no és senzill de calcular en general, i es presenta a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Geometria de masses|'''unitat D5''']]</span>. <br><br />
<br />
En problemes de cinemàtica plana (2D), si el moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sòlid del sistema que s’estudia és paral·lel a la velocitat angular del sòlid <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que és de direcció ortogonal al pla del moviment), només la component del TMC perpendicular al pla és interessant. En aquest cas es diu que el problema és de dinàmica plana (2D), i el problema es pot resoldre a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.<br />
<br />
<div><br />
===<u>TMC en un punt de contacte entre dos sòlids</u>===<br />
Un enllaç que apareix sovint en els sistemes mecànics és el contacte puntual entre parelles de sòlids (S1 i S2, per exemple). Aquest enllaç pot introduir entre 1 i 3 incògnites d’enllaç (segons la rugositat de les superfícies i la cinemàtica del contacte – amb o sense lliscament). Quan aquestes forces no es volen calcular, és temptador aplicar el TMC al punt de contacte <math>\Js</math> (ja que el seu moment respecte de <math>\Js</math> és nul). <br><br />
[[Fitxer:TMCaJ-0-cat.png|thumb|right|230px|link=]]<br />
L’aplicació del TMC a <math>\Js</math> és molt delicada. Cal precisar de quin punt <math>\Js</math> es parla (<span style="text-decoration: underline;">[[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''exemple C5-1.8''']]</span>): si es tracta del <math>\Js</math> del sòlid S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sòlid S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math> , o bé si és el punt geomètric de contacte <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math> . Per una banda, aquests tres punts tenen cinemàtiques diferents <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math> , i el terme complementari associat al moment de les forces d’inèrcia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> és diferent. Per altra banda, si per exemple el TMC s’aplica al solid S1, cal tenir present que, tot i que <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertany a S1 i es pot calcular el moment cinètic a partir del tensor d’inèrcia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> i <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no hi pertanyen, i cal fer servir la descomposició baricèntrica per calcular aquest vector.<br />
<br />
Finalment, ja que el moment cinètic s’ha de derivar, el seu càlcul s’ha de fer en una configuració general (és a dir, quan <math>\Js</math> no és encara el punt de contacte), i és només després d’haver fet la derivada que es pot particularitzar el resultat a la configuració en què <math>\Js</math> és el punt de contacte. Com a il·lustració de tot plegat, l’esquema següent mostra l’aplicació del TMC a una roda amb moviment pla que toca a terra i llisca.<br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-1-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{roda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{roda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{roda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math><br />
</center><br><br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-2-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\<br />
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}<br />
\end{array}\right. <br />
</math><br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-3-cat-esp.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\<br />
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0) <br />
\end{array}\right. <br />
</math><br />
</center></center><br />
</div><br />
<br />
<br />
------<br />
------<br />
<br />
==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex5-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]<br />
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de <u>calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:<br />
[[Fitxer:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant:<br><br />
<br />
<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math><br><br />
<br />
Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero:<br><br />
<br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\<br />
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math><br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math><br />
<br />
Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex6-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]<br />
|Els blocs pengen de dues cordes inextensibles amb un extrem lligat a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de <u>calcular l’acceleració angular de les politges</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|center|140px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> :<br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math><br><br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math><br><br />
<br />
<br />
Per la definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]</span>: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs:<br><br />
<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math><br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]<br />
<u>Resolució alternativa </u><br><br />
<br />
Si s’aplica el TMC al punt <math>\Os</math> per al sistema format per les politges i les cordes, el pes dels blocs ja no apareix com a interacció externa, però apareixen en canvi les tensions de les dues cordes (que són incògnites d’enllaç).<br><br />
<br />
El moment cinètic del sistema és nul perquè no té massa:<br><br />
<br />
SIST: politges + cordes<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math><br><br />
[[Fitxer:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]<br />
<br />
<br />
L’aplicació del TQM a cadascun dels blocs genera dues equacions més:<br><br />
<br />
SIST: bloc de 10kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(10\ks\gs)(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
SIST: bloc de 5kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(5\ks\gs)(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
La resolució del sistema d’equacions condueix a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>.<br><br />
<br />
<br />
La primera resolució és més ràpida (només fa servir una equació escalar), però implica el càlcul del moment cinètic. Aquesta segona resolució és més llarga (sistema de tres equacions) però que no requereix calcular cap moment cinètic.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.7: dinàmica longitudinal d’un vehicle====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-1-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El vehicle sense suspensions es mou sobre una carretera rectilínia. La massa de les rodes és negligible comparada amb la de la resta dels elements, i es considera que el seu contacte amb el terra es puntual. Es tracta d’<u>analitzar les forces normals d’enllaç entre terra i rodes</u>.<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el vehicle es redueixen al pes i a l’enllaç amb el terra. Si l’acceleració del xassís respecte del terra és una dada, l’aplicació del TQM condueix a:<br />
|}<br />
<br />
{|<br />
|<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}<br />
<br />
\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\<br />
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)<br />
\end{aligned}\right.</math><br />
<br />
<br />
on <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> i <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> són les forces normal i tangencial que en total reben les dues rodes del davant i les dues rodes del darrere, respectivament.<br />
El TMC a G condueix a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs} + \Ts_{\ds\rs})] =0</math><br />
(el moment cinètic <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> és permanentment nul ja que les rodes no tenen massa, i la resta del vehicle té moviment nul respecte de la RTG).<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-2-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
Resolent el sistema d’equacions: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math><br />
<br />
Aquest resultat és vàlid per a qualsevol valor de <math>\as_\Ls</math>:<br />
:*Situació estàtica (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la força normal és més gran a les rodes que tenen l’eix més proper a <math>\Gs</math>.<br />
<br />
:*Accelerant (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math> ; hi ha un transvasament de força del davant cap al darrere (es carreguen les rodes del darrere i es descarreguen les del davant). Si l’acceleració <math>|\as_\Ts|</math> és prou elevada, la força normal al davant passa a ser negativa, la qual cosa indica que s’ha perdut el contacte i el vehicle bolca en sentit antihorari. Llavors, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el xassís passa a tenir, en principi, acceleració angular, i com a conseqüència el centre de masses <math>\Gs</math> passa a tenir acceleració vertical.<br />
<br />
:*Frenant (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hi ha un transvasament de força del darrere cap al davant (es descarreguen les rodes del darrere i es carreguen les del davant). Com en el cas precedent, hi ha un valor crític de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el bolcament, ara en sentit horari.<br />
</small><br />
---------<br />
---------<br />
</div><br />
<br />
==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==<br />
<br />
L’aplicació dels teoremes vectorials als <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''']]</span> (SAE) és senzilla ja que els termes de la dreta (variació de quantitat de moviment i variació de moment cinètic) són nuls en ser nul·la la seva massa:<br><br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{qualsevol} \hspace{0.2cm} \mathrm{punt}) \approx \overline{0}.</math><br><br />
<br />
Per al cas d’un SAE (sòlid S) connectant dos sòlids rígids S1 i S2 ('''Figura D4.5'''), aquestes equacions permeten demostrar que el torsor que actua sobre S1 es pot obtenir a partir d’una equació de caracterització analítica on la cinemàtica del punt <math>\Ps</math> de caracterització (que ha de pertànyer al sòlid S1) s’avalua a la referència solidària a S2:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br><br />
<br />
(Quan es tracta de velocitats, és important especificar a quin sòlid pertany el punt <math>\Ps</math>. Això, en canvi, és irrellevant quan es tracta de moments: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>).<br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-5-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.5:'''Sòlid Auxiliar d’Enllaç entre dos sòlids de massa no nul·la</center><br><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
Els teoremes vectorials aplicats sobre el SAE impliquen que els torsors d’enllaç que rep de S1 i S2 en un mateix punt <math>\Ps</math> han de sumar zero:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\<br />
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\<br />
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)<br />
\end{array}\right.</math><br><br />
<br />
Per altra banda, aquests torsors compleixen l’<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''equació de caracterització analítica''']]</span>:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math><br><br />
<br />
Si es combinen totes les equacions anteriors, s’obté:<br><br />
<br />
<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math><br><br />
<br />
Una <span style="text-decration: underline;">[[C3. Composició de moviments#C3.1 Composició de velocitats|'''composició de moviments''']]</span> permet reescriure l’equació anterior de manera més compacta:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math><br><br />
<br />
Finalment: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.8: dinàmica longitudinal d’un vehicle ====<br />
---------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex8-1-cat.png|thumb|left|220px|link=]]<br />
|En el vehicle de l’exemple D4.7, es considera que la tracció és posterior. Això vol dir que el motor del vehicle actua entre el xassís i les rodes posteriors, en tant que les del davant només estan sotmeses a interaccions d’enllaç (articulació amb el xassís i contacte amb el terra). <br><br />
<br />
Si es tracten les rodes del davant com a SAE, l’anàlisi cinemàtica del xassís respecte del terra per a la caracterització de l’enllaç a través de les rodes del davant condueix a un torsor en el centre de la roda (que és fix al xassís) amb només una component de força:<br />
|}<br />
[[Fitxer:D4-Ex8-2-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
L’existència d’una component horitzontal de força entre les rodes posteriors (necessària per accelerar o frenar el vehicle!) està associada al parell motor. Si s'apliquen els teoremes vectorials a les rodes posteriors, les interaccions externes a tenir en compte són l’enllaç amb el terra, l’articulació amb el xassís i el parell motor <math>\Gamma</math> : <br />
[[Fitxer:D4-Ex8-3-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{rodes} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum <br />
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow <br />
\left\{\begin{array}{l}<br />
\mathrm{TQM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dr}=\Ns'_\mathrm{dr} , \Ts_\mathrm{dr}=\Ts'_\mathrm{dr} \\<br />
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{a} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dr}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs<br />
\end{array}\right. </math><br><br />
<br />
La força tangencial sobre les rodes motrius és directament proporcional al parell motor que se’ls aplica. Cal no oblidar, però, que com a força tangencial d’enllaç, el seu valor està limitat per <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math> . Això permet calcular l’acceleració màxima que pot adquirir el vehicle (mentre la roda del davant no perdi contacte amb el terra):<br><br />
<br />
<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Ts_\mathrm{dr,màx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>.<br><br />
<br />
En terrenys de baix fregament ( <math>\mu_\es</math> de valor baix), un motor capaç de subministrar un parell màxim alt és inútil: qui posa límit a l’acceleració és el valor del coeficient de fricció <math>\mu_\es</math> : <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math> . En terrenys d’alt fregament, si el parell màxim és baix és ell qui posa límit a l’acceleració: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la roda del davant no perd contacte amb el terra).<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.8 Descomposició baricèntrica del moment cinètic==<br />
<br />
La versió del TMC que s’ha presentat permet triar lliurement el punt <math>\Qs</math> d’aplicació. El criteri per triar-lo es basa en el que es vulgui investigar (una força d’enllaç, una equació del moviment...). A la <span style="text-decoration: underline;">[[D6. Exemples de dinàmica 2D|'''unitat D6''']]</span> es discuteix aquest criteri.<br />
En alguns casos, pot ser interessant triar un punt <math>\Qs</math> que no pertanyi a cap element material del sistema. Llavors, és útil referir el càlcul del moment cinètic <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al moment cinètic al centre de masses <math>\Gs</math> del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Això es coneix amb el nom de '''descomposició baricèntrica''' del moment cinètic:<br />
<br />
<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>,<br />
<br />
on el superíndex <math>\oplus</math> indica que el moment cinètic s’ha de calcular com si el sistema s’hagués reduït a una partícula concentrada a <math>\Gs</math> amb massa igual a la massa total del sistema (M): <br />
<br />
<math>\H{G}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
:La definició de moment cinètic d'un sòlid rígid <math>\Ss_i</math> és: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocitat <math>\vel{P}{RTQ}</math> es pot escriure com a suma de dos termes si s’aplica una composició de moviments:<br />
<br />
:<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\<br />
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math><br><br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:La definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D4. Teoremes vectorials#D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes|'''centre de masses''']]</span> porta a reescriure el segon terme com a:<br />
<br />
:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincideix amb el moment cinètic respecte de <math>\Qs</math> d’una partícula de massa M situada a <math>\Gs</math>: <math>\QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ} = \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:En el primer terme de l’expressió de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, es pot descompondre <math>\QPvec</math> en suma de dos termes:<br />
<br />
:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math><br />
<br />
:Per definició de centre de masses: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.<br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
===== ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica =====<br />
----------<br />
<small><br />
{|<br />
<br />
|[[Fitxer:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El sòlid està format per dues barres de massa negligible i quatre partícules (<math>\Ps</math>) amb massa m unides als extrems de les barres. El sòlid està articulat a un suport que es pot moure al llarg d’una guia fixa a terra.<br />
El seu moment cinètic a G és:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math><br />
<br />
La RTG és fixa al suport, i la velocitat de les partícules respecte d’aquesta referència és proporcional a la rotació <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Per tant:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math><br />
|}<br />
:El moment cinètic a <math>\Os</math> (fix al terra) es pot calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mitjançant descomposició baricèntrica:<br />
<br />
:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times 4\ms\vel{G}{T} =</math><br />
&nbsp;<math> = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) =</math><br />
&nbsp;<math>= (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math><br />
<br />
<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<p align="right"><small>© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]</small></p><br />
-------------<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><br />
[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|<<< D3. Interaccions entre sòlids rígids]]<br />
<br />
[[D5. Geometria de masses|D5. Geometria de masses >>>]]<br />
</center></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=D4._Teoremes_vectorials&diff=7761
D4. Teoremes vectorials
2025-05-08T12:37:46Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<br />
<math><br />
\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\ss}{\textsf{s}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\JGvec}{\vec{\Js\Gs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
\newcommand{\H}[3]{\vec{\mathbf{H}}_{\text{#3}}^{#2}(\textbf{#1})}<br />
</math><br />
<br />
Els '''Teoremes Vectorials''' són una eina per estudiar la dinàmica dels sistemes mecànics, i s’obtenen a partir de la llei fonamental de la dinàmica (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>) i del principi d’acció i reacció (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''tercera llei de Newton''']]</span>).<br />
<br />
En aquest curs, es presenta només la <span style="text-decoration: underline;">versió dels teoremes per al cas de sistemes de matèria constant</span>. Tot i que això inclou sistemes amb fluids, els exemples d’aplicació en aquest curs són essencialment sistemes multisòlid formats per sòlids rígids.<br />
<br />
En estudiar la dinàmica d'un <span style="text-decoration: underline;">[[Introducción#I.1 Què és la mecànica?|'''sistema mecànic''']]</span>, és essencial identificar les incògnites que conté el sistema que s’estudia i analitzar si els teoremes vectorials proporcionen el nombre suficient d’equacions per resoldre-les totes (cal saber si el problema és determinat o indeterminat!). Les incògnites es poden classificar en dos grups:<br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''graus de llibertat''']]</span></u><br />
<br />
Els GL d’un sistema mecànic poden ser <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''lliures o actuats''']]</span> (o forçats, associats a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''actuadors''']]</span>). En ambdós casos, el seu valor inicial (el valor en començar un experiment o en posar en marxa el sistema) és conegut. Quan es tracta de GL lliures, l’evolució d’aquest valor inicial no es coneix: és una incògnita. Es diu que el problema és de '''dinàmica directa'''.<br />
<br />
Aquest és el cas també quan es tracta de GL actuats si l’acció de l’actuador associat és coneguda (és a dir, quan es coneix el valor de <math>\Fs_{ac}</math>– cas dels actuadors lineals –, o de <math>\gamma</math>– cas dels rotacionals). El problema també és de dinàmica directa.<br />
<br />
Les equacions que regeixen l’evolució dels GL s’anomenen '''equacions del moviment'''. Si els GL es descriuen mitjançant derivades temporals de coordenades (<math>\dot{q}_i</math>, amb i=1,2,3...), la seva evolució temporal són les segones derivades temporals d’aquests coordenades (acceleracions). <br />
<br />
Per a un sistema amb 2 GL lliures descrits, per exemple, per (x, <math>\dot{\theta}</math>), aquestes equacions tindrien el següent aspecte general:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\theta} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
on <math>\Gamma</math> seria el parell motor de l’actuador rotacional associat al moviment <math>\theta</math>.<br />
<br />
La dependència en les segones derivades temporals <math>(\ddot{xs}, \ddot{\theta})</math> és sempre lineal, en tant que al dependència en les coordenades i les velocitats <math>(\xs, \theta, \dot{xs}, \dot{\theta})</math> pot ser de qualsevol tipus. Els paràmetres dinàmics són la massa dels elements i els associats a la seva distribució a l’espai, i els paràmetres associats a les interaccions sobre el sistema (constants de molles i amortidors, coeficients de fricció, constants del camp gravitatori...); els paràmetres geomètrics tenen a veure amb la forma dels elements del sistema (distàncies i angles).<br />
<br />
En algunes ocasions, les accions dels actuadors (<math>\Fs_{ac}, \Gamma</math>) no són conegudes, mentre que les evolucions temporals dels GL actuats són prefixades. Llavors, les incògnites associades als GL actuats són el valor de les forces (si es tracta d’actuadors lineals) i moments (si són actuadors rotacionals) necessaris per garantir aquestes evolucions prefixades. Es diu que el problema és de '''dinàmica inversa'''.<br />
<br />
Per al cas de l’exemple anterior, si <math>\dot{\theta}</math> està prefixada, les equacions que descriuen les incògnites del problema associades als GL són:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\Gamma} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''enllaços''']]</span></u><br />
<br />
Són els valors de les components de les <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''torsors d'enllaç''']]</span>. El nombre d’incògnites associades als enllaços depèn de la descripció que se’n faci (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''enllaços directes''']]</span>, <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''enllaços indirectes''']]</span>). Quan un problema de dinàmica és indeterminat, la indeterminació sempre es refereix a les components dels torsors d’enllaç, mai als GL (lliures o forçats).<br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
==D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes==<br />
Considerem un sistema de partícules de matèria constant ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Quantitat de Moviment''' (TQM) s’obté a partir de l’aplicació de la segona llei de Newton a cada partícula <math>\Ps</math> del sistema. Si la referència que es considera és galileana: <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, on <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> és la força resultant d’interacció sobre <math>\Ps</math>.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.1''' Forces sobre una partícula d’un sistema de partícules de matèria constant</center><br />
<br />
Les forces que actuen sobre cada partícula es poden classificar en dos grups: internes (que provenen de la interacció amb altres partícules del sistema) i externes (associades a les interaccions amb elements externs al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si aquestes equacions se sumen per a totes les partícules, les forces internes entre parelles de partícules es cancel·len dues a dues pel principi d’acció i reacció:<br />
<br />
<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\:\acc{P}{RGal}</math></center><br />
<br />
El terme de l’esquerra és la resultant de forces externes sobre el sistema, i se sol escriure simplement com a <math>\sum\F{ext}</math>. El terme de la dreta es pot reescriure com a <math>\Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math>, on M és la massa total del sistema <math>\left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El terme <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math> és una acceleració ponderada, on la ponderació és proporcional a la massa de cada partícula. Aquesta acceleració s’associa a un punt anomenat '''centre de masses''' (o '''centre d’inèrcia''') del sistema, i en aquest curs es designa amb la lletra <math>\Gs</math>. Per a una referència qualsevol, doncs, la cinemàtica de <math>\Gs</math> queda descrita per les equacions ('''Figura D4.2'''):<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center><br />
<br />
[[Fitxer:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.2''' Centre de masses (o d’inèrcia) d’un sistema de matèria constant</center><br />
<br />
En el cas de conjunts continus de partícules (com són un conjunt de sòlids rígids, deformables, o fluids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center><br />
<br />
Finalment, el TQM s’escriu com a:<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\:\acc{G}{RGal}</math></center><br />
<br />
Aquesta equació és molt propera a la <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>: el centre de masses <math>\Gs</math> es comporta com si fos una partícula de massa igual a la massa total del sistema, i sobre la qual actuessin totes les forces externes al sistema. Malgrat el paral·lelisme entre el TQM i l’equació de dinàmica de la partícula, hi ha dues diferències fonamentals:<br />
<br />
:*la massa del sistema no està localitzada a <math>\Gs</math> (fins i tot, pot ser que <math>\Gs</math> estigui situat en una zona del sistema sense massa, com és el cas en una anella homogènia);<br />
<br />
:*les forces externes no estan aplicades a <math>\Gs</math> en general.<br />
<br />
El TQM s’anomena així perquè permet conèixer l’evolució, a partir del coneixement de <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic|'''l’estat mecànic''']]</span> inicial i de les interaccions externes, de la '''quantitat de moviment''' del sistema (que, en una referència qualsevol R, es defineix com a <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R}</math>):<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\acc{G}{RGal}=\dert{\Ms\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center><br />
<br />
La localització del centre de masses en els sistemes que s’estudien (ja sigui un únic sòlid rígid o un sistema multisòlid) es presenta breument a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Tensor d’inèrcia#D5.1 Centre de masses|'''secció D5.1''']]</span>. Per a sòlids homogenis de geometria molt senzilla, la posició de G es pot deduir sovint a partir de les simetries del sòlid. <br />
En problemes plans (de cinemàtica 2D), només les dues components del TQM compreses en el pla són interessants.<br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.2 Exemples d’aplicació del TQM==<br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.1: càlcul d’una força d’enllaç ====<br />
<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex1-1-neut.png|thumb|center|180px|link=]]<br />
|Els tres blocs homogenis són llisos i estan en contacte entre ells i amb un terra horitzontal, també llis. Es tracta d’investigar el <span style="text-decoration: underline;">valor de la força horitzontal d’enllaç entre els blocs Q i S</span> quan s’aplica una força horitzontal F al bloc de l’esquerra. <br />
Tots els enllaços que apareixen en aquest sistema són contactes multipuntuals entre superfícies llises. Per tant, cada torsor associat, caracteritzat en un punt del contacte corresponent, conté una component de força i una de moment (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|exemple D3.4]]</span>). Tot i així, en l’aplicació del TQM només intervenen les forces, i per tant no es representen els moments en les figures següents.<br />
|}<br />
<br />
<br />
Per tal que la força d’enllaç <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparegui a la component horitzontal del TQM, cal aplicar el teorema a un sistema on aquesta força sigui externa. Per exemple, al bloc S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>. <br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex1-2new-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
<br />
Aquesta equació conté dues incògnites: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> i <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ja que el moviment dels tres blocs provocat per la força F és el mateix, l’acceleració es pot obtenir amb el TQM aplicat a tot el sistema:<br />
<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.2: moviment inicial d’un sistema ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex2-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|Els blocs homogenis es troben inicialment en repòs sobre un terra rugós, i units mitjançant una molla comprimida amb una tensió <math>\Fs_0=\ms\gs</math> i un fil inextensible. En un cert instant, es talla el fil i el sistema comença a moure’s. <br />
|}<br />
<br />
<br />
Es tracta de calcular l’<span style="text-decoration: underline;">acceleració del centre d’inèrcia del sistema respecte del terra</span>. Aquesta acceleració es pot obtenir a partir de la component horitzontal del TQM aplicat a tot el sistema. La molla és interna, i per tant la seva força no apareix: <math>\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{terra}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.<br />
<br />
Les forces que el terra exerceix sobre cadascun dels blocs poden ser d’enllaç (si els blocs no es mouen, i llavors són incògnites), o de fricció (si els blocs es mouen respecte del terra, i en aquest cas són formulables). També pot donar-se el cas que un bloc llisqui i l’altre no.<br />
<br />
El valor d’una força d’enllaç s’adapta per tal de garantir una restricció. En el cas dels blocs, cal investigar si aquestes forces poden assolir el valor necessari per evitar que els blocs llisquin sobre el terra, i estan acotades pel valor del coeficient de fricció estàtica entre blocs i terra:<br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math><br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math><br />
<br />
Si s’aplica el TQM a cada bloc per separat, la força de la molla passa a ser externa. Aquesta força (de valor mg) pot ser contrarestada per la força d’enllaç en el cas del bloc de massa <math>2\ms</math> (per tant, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), però no en el del bloc de massa m:<br />
[[Fitxer:D4-Ex2-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
<br />
L’aplicació del TQM al bloc de massa m condueix a:<br />
<br />
<math>\left.\begin{aligned}<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{terra}\rightarrow2\ms}+\F{\text{molla}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0<br />
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math><br />
<br />
<br />
Finalment: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.3: estudi d’una condició límit ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|L’esfera homogènia de massa M descansa sobre dues falques idèntiques, de massa m, que es troben al damunt del terra. Entre esfera i falques no hi ha fregament, però entre falques i terra hi ha fregament de coeficient <math>\mu</math>. El sistema es troba inicialment en repòs respecte del terra. Es tracta de determinar el <span style="text-decoration: underline;">valor màxim de M, en funció de m, que permet que el sistema segueixi en repòs</span>.<br />
|}<br />
<br />
Si res no belluga, les forces horitzontals d’interacció entre terra i falques són d’enllaç i no superen el valor límit <math>/mu\ns</math> (on <math>\Ns</math> és la força normal que cada falca rep del terra). El torsor d’enllaç del terra sobre les falques conté també un moment resultant perpendicular a la figura.<br />
Si es vol estudiar la possibilitat de bolcament de les falques, aquest moment és rellevant. En aquest exemple, però, la forma les falques garanteix que no bolquen, i es treballa només amb les forces.<br />
L’aplicació del TQM a tot el sistema, a una falca i a l’esfera condueix a les equacions següents:<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<br />
<center><br />
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"<br />
|- style="vertical-align:top;"<br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + falques<br />
<br />
<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: falca de l'esquerra<br />
<br />
<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera<br />
<br />
<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math><br />
|}</center><br />
<br />
Combinant les dues últimes equacions: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor màxim de M per al qual encara hi ha equilibri correspon a la situació en què la força tangencial d’enllaç T pren el valor màxim possible: <math>\Ts = \Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns</math>. Tenint en compte que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs</math>:<br />
<br />
<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{màx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{màx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.3 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències no galileanes==<br />
La versió del TQM en una referència no galileana NGal s’obté també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada partícula (o cada diferencial de massa) del sistema a la referència NGal (secció D1.7). En principi, doncs, aquesta equació contindrà dues forces d’inèrcia: la d’arrossegament i la de Coriolis ('''Figura D4.3'''): <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,<br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> i <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math><br />
[[Fitxer:D4-3-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.3:''' Forces d’inèrcia en una referència no galileana</center><br />
Sumant les equacions per a totes les partícules, s’obté: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
massa total del sistema.<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
------<br />
:<small><br />
Pel principi d’acció i reacció, la suma per a totes les partícules de les forces d’interacció condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math><br />
<br />
Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada<br />
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el<br />
centre de masses (secció D4.2):<br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
Així doncs: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.4: desplaçament vibratori====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
|El bloc de massa m es troba inicialment en repòs<br />
sobre un suport que oscil·la respecte del terra<br />
d’acord amb el gràfic de velocitat que es mostra a<br />
la figura. Es tracta d’investigar la <span style="text-decoration: underline;">possibilitat que<br />
el bloc llisqui al damunt del suport</span>.<br />
La condició de repòs del bloc respecte del suport<br />
(que és una referència no galileana en tenir un<br />
moviment accelerat respecte del terra) demana:<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sup\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> perque <math>\velang{sup}{T} = \vec{0}</math><br />
|}<br />
<br />
La força d’arrossegament sobre el bloc és estrictament horitzontal. Per tant, la component vertical d’aquesta equació condueix a <math>N = mg</math> . Pel que fa a la component horitzontal, contindrà la força<br />
d’interacció entre bloc i suport. Si el bloc no llisca al damunt del suport, aquesta força és d’enllaç, i el seu valor està acotat: <math>0\leq\mid\Fs_{sup\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si llisca, és una força de fricció de valor <math>\mu\ms\gs</math>, oposada a la velocitat de lliscament.<br />
<br />
Entre <math>t=0</math> i <math>t = 0,4s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math> i per tant la força<br />
d’arrossegament és <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$suport}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor es troba dins del marge de valors permesos per a la força d’enllaç horitzontal del suport sobre el bloc. Per tant, aquesta força prendrà el valor <math>\F{sup\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>, contrarestarà la <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs}</math> i es mantindrà el repòs entre els dos elements.<br />
<br />
Entre <math>t=0,4s</math> i <math>t = 0,6s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Per tant,<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. En sobrepassar el valor màxim de la força horitzontal d’enllaç, no podrà ser contrarestada. El bloc començarà a lliscar, i la força horitzontal d’interacció entre suport i bloc serà de fricció:<br />
<br />
<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} + \F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
A l’instant <math>t = 0,6s</math>, la velocitat del bloc respecte del suport és <br />
<br />
<math>\vel{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.<br />
<br />
Tot i entrar en la fase on <math>\mid\Fcal{ar}{sup\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la força horitzontal entre suport i bloc segueix sent de fricció <math>(\F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> fins aconseguir aturar el bloc. <br />
<br />
L’acceleració del bloc respecte del suport és:<br />
<br />
<math>\acc{G}{sup} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
En tractar-se d’un moviment uniformement desaccelerat, és fàcil calcular l'instant per al qual el bloc deixa de lliscar:<br />
<br />
<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sup} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sup} + \acc{$\Gs,t_f$}{sup}(t_f - t_i)</math>,<br />
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math><br />
<br />
En aquest instant, la força del suport sobre el bloc passa a ser d’enllaç, i ens trobem en una situació anàloga a la inicial. Per tant, el lliscament no recomençarà fins a <math>\ts = 1,4s</math>. L’estudi per als intervals posteriors segueix els mateixos passos que l’estudi de l’interval <math>[0,1,4s]</math>. La figura mostra l’evolució de la cinemàtica del bloc respecte del suport, i de les forces que hi actuen.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex4-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
-----------<br />
-----------<br />
<br />
==D4.4 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulació general==<br />
<br />
La dinàmica d’un sòlid rígid (i per tant, d’un sistema multisòlid) no queda mai totalment resolta amb el TQM quan el sòlid gira: el TQM només informa sobre el moviment d’un punt (<math>\Gs</math>), i no sobre la rotació.<br />
<br />
El '''Teorema del Moment Cinètic''' (TMC) es troba a la literatura enunciat de dues maneres diferents. En aquest curs, s’ha optat per una formulació paral·lela a la del TQM: a l'esquerra apareixen termes que només tenen a veure amb les interaccions externes sobre el sistema, mentre que a la dreta apareix la derivada temporal d’un vector que depèn només de la geometria de masses del sistema i del seu <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic#|'''estat mecànic''']]</span>.<br />
<br />
Com ja s’ha vist quan s’ha introduït el concepte de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor d’un sistema de forces''']]</span>, el que es relaciona amb la rotació d’un sòlid és el moment de les forces, no la força resultant. Per tant, si bé el TMC es demostra també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada diferencial de massa del sistema, caldrà transformar les forces que hi apareixen en moment d’aquestes forces respecte d’un punt <math>\Qs</math>.<br />
<br />
Aquestes dues consideracions (formulació paral·lela al TQM i necessitat de triar un punt <math>\Qs</math> per calcular el moment de les forces) porta a partir de la formulació de la segona llei de Newton en la '''Referència que es Trasllada amb Q (RTQ)''' respecte d’una referència galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, aquesta referència no és galileana, i per tant cal tenir en compte en principi les <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''forces d’inèrcia d’arrossegament''']]</span> ('''Figura D4.3''').<br />
<br />
[[Fitxer:D4-4-cat.png|thumb|center|400px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.4:''' Forces d’inèrcia a la Referència que es Trasllada amb un punt <math>\Qs</math> (RTQ)</center><br><br />
<br />
<br />
Considerem un sistema de partícules amb matèria constant. La segona llei de Newton aplicada a cada partícula del sistema i a la RTQ és:<br><br />
<br />
<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , <br><br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , i <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ja que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>.<br><br />
<br />
Si els dos costats de l’equació es multipliquen vectorialment per <math>\QPvec</math> i es suma per totes les partícules (o elements de massa) del sistema, s’obté el TMC al punt <math>\Qs</math>:<br><br />
<br />
<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br><br />
<br />
on <math>\Ms</math> és la massa total del sistema, i <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> és el '''moment cinètic del sistema respecte el punt''' <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
Si el sistema té elements continus (per exemple, un sistema amb N sòlids rígids <math>\Ss_i</math>), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.<br />
<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
La segona llei de Newton per a cada element de massa multiplicada vectorialment per <math>\QPvec</math> és:<br />
<br />
<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math><br />
<br />
El terme de la dreta es pot reescriure com a:<br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
En ser <math>\Qs</math> un punt de la RTQ, es pot prendre com a origen d’un vector de posició de <math>\Ps</math> en aquesta referència, i per tant:<br />
<br />
<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
Tenint en compte que la massa és constant: <br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math><br />
<br />
La suma d’aquest terme per a tots els elements <math>\Ps</math> condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
<br />
Si les forces d’interacció sobre cada partícula <math>\Ps</math> es classifiquen en internes i externes, la suma per a totes les partícules del sistema del costat esquerre de la primera equació esdevé:<br />
<br />
<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math><br />
<br />
<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> <br><br />
ja que el principi d’acció i reacció garanteix que el moment total d’una parella de forces d’acció i reacció és nul:<br><br />
<br />
<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math><br><br />
Agrupant tots els termes:<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.5 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulacions particulars==<br />
El TMC pren expressions més senzilles quan el punt <math>\Qs</math> és fix a una referència galileana o quan és el centre de masses del sistema.<br><br />
<br />
* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, anomenem aquesta versió “TMC a punt fix”, on se sobreentén que “fix” vol dir “fix a una referència galileana”. Quan és el cas, normalment emprarem la lletra <math>\Os</math> per designar el punt <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math>Cal notar que, si bé l’expressió és similar a la versió a punt fix, el centre de masses <math>\Gs</math> no té per què ser fix a una referència galileana.<br />
<br />
Quan <math>\Qs</math> no és ni un punt fix a RGal ni coincideix amb el centre de masses, se sol parlar de la versió del TMC “a punt mòbil”. Tot i que <math>\Qs</math> sigui un punt mòbil respecte de RGal, el terme associat a les forces d’inèrcia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> pot ser nul si <math>\Qs</math> es mou a velocitat costant respecte de RGal, o si la seva acceleració respecte de RGal és paral·lela a <math>\QGvec</math> .<br />
<br />
<center><br />
{| class="wikitable"<br />
|+ <br />
|-<br />
! '''TMC a punt fix''' !! '''TMA a '''<math>\Gs</math> !! '''TMC a un punt mòbil '''<math>\Qs</math><br />
|-<br />
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center><br />
|| <br />
<center><br />
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center><br />
|| <br />
<center><br />
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math><br><br />
<br />
<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center><br />
<br />
|}<br />
</center><br />
<br />
<br />
El vector moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no és senzill de calcular en general, i es presenta a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Geometria de masses|'''unitat D5''']]</span>. <br><br />
<br />
En problemes de cinemàtica plana (2D), si el moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sòlid del sistema que s’estudia és paral·lel a la velocitat angular del sòlid <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que és de direcció ortogonal al pla del moviment), només la component del TMC perpendicular al pla és interessant. En aquest cas es diu que el problema és de dinàmica plana (2D), i el problema es pot resoldre a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.<br />
<br />
<div><br />
===<u>TMC en un punt de contacte entre dos sòlids</u>===<br />
Un enllaç que apareix sovint en els sistemes mecànics és el contacte puntual entre parelles de sòlids (S1 i S2, per exemple). Aquest enllaç pot introduir entre 1 i 3 incògnites d’enllaç (segons la rugositat de les superfícies i la cinemàtica del contacte – amb o sense lliscament). Quan aquestes forces no es volen calcular, és temptador aplicar el TMC al punt de contacte <math>\Js</math> (ja que el seu moment respecte de <math>\Js</math> és nul). <br><br />
[[Fitxer:TMCaJ-0-cat.png|thumb|right|230px|link=]]<br />
L’aplicació del TMC a <math>\Js</math> és molt delicada. Cal precisar de quin punt <math>\Js</math> es parla (<span style="text-decoration: underline;">[[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''exemple C5-1.8''']]</span>): si es tracta del <math>\Js</math> del sòlid S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sòlid S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math> , o bé si és el punt geomètric de contacte <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math> . Per una banda, aquests tres punts tenen cinemàtiques diferents <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math> , i el terme complementari associat al moment de les forces d’inèrcia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> és diferent. Per altra banda, si per exemple el TMC s’aplica al solid S1, cal tenir present que, tot i que <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertany a S1 i es pot calcular el moment cinètic a partir del tensor d’inèrcia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> i <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no hi pertanyen, i cal fer servir la descomposició baricèntrica per calcular aquest vector.<br />
<br />
Finalment, ja que el moment cinètic s’ha de derivar, el seu càlcul s’ha de fer en una configuració general (és a dir, quan <math>\Js</math> no és encara el punt de contacte), i és només després d’haver fet la derivada que es pot particularitzar el resultat a la configuració en què <math>\Js</math> és el punt de contacte. Com a il·lustració de tot plegat, l’esquema següent mostra l’aplicació del TMC a una roda amb moviment pla que toca a terra i llisca.<br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-1-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{roda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{roda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{roda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math><br />
</center><br><br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-2-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\<br />
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}<br />
\end{array}\right. <br />
</math><br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-3-cat-esp.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\<br />
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0) <br />
\end{array}\right. <br />
</math><br />
</center></center><br />
</div><br />
<br />
<br />
------<br />
------<br />
<br />
==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex5-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]<br />
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de <u>calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:<br />
[[Fitxer:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant:<br><br />
<br />
<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math><br><br />
<br />
Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero:<br><br />
<br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\<br />
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math><br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math><br />
<br />
Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex6-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]<br />
|Els blocs pengen de dues cordes inextensibles amb un extrem lligat a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de <u>calcular l’acceleració angular de les politges</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|center|140px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> :<br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math><br><br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math><br><br />
<br />
<br />
Per la definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]</span>: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs:<br><br />
<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math><br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]<br />
<u>Resolució alternativa </u><br><br />
<br />
Si s’aplica el TMC al punt <math>\Os</math> per al sistema format per les politges i les cordes, el pes dels blocs ja no apareix com a interacció externa, però apareixen en canvi les tensions de les dues cordes (que són incògnites d’enllaç).<br><br />
<br />
El moment cinètic del sistema és nul perquè no té massa:<br><br />
<br />
SIST: politges + cordes<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math><br><br />
[[Fitxer:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]<br />
<br />
<br />
L’aplicació del TQM a cadascun dels blocs genera dues equacions més:<br><br />
<br />
SIST: bloc de 10kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(10\ks\gs)(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
SIST: bloc de 5kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(5\ks\gs)(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
La resolució del sistema d’equacions condueix a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>.<br><br />
<br />
<br />
La primera resolució és més ràpida (només fa servir una equació escalar), però implica el càlcul del moment cinètic. Aquesta segona resolució és més llarga (sistema de tres equacions) però que no requereix calcular cap moment cinètic.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.7: dinàmica longitudinal d’un vehicle====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-1-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El vehicle sense suspensions es mou sobre una carretera rectilínia. La massa de les rodes és negligible comparada amb la de la resta dels elements, i es considera que el seu contacte amb el terra es puntual. Es tracta d’<u>analitzar les forces normals d’enllaç entre terra i rodes</u>.<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el vehicle es redueixen al pes i a l’enllaç amb el terra. Si l’acceleració del xassís respecte del terra és una dada, l’aplicació del TQM condueix a:<br />
|}<br />
<br />
{|<br />
|<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}<br />
<br />
\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\<br />
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)<br />
\end{aligned}\right.</math><br />
<br />
<br />
on <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> i <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> són les forces normal i tangencial que en total reben les dues rodes del davant i les dues rodes del darrere, respectivament.<br />
El TMC a G condueix a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs} + \Ts_{\ds\rs})] =0</math><br />
(el moment cinètic <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> és permanentment nul ja que les rodes no tenen massa, i la resta del vehicle té moviment nul respecte de la RTG).<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-2-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
Resolent el sistema d’equacions: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math><br />
<br />
Aquest resultat és vàlid per a qualsevol valor de <math>\as_\Ls</math>:<br />
:*Situació estàtica (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la força normal és més gran a les rodes que tenen l’eix més proper a <math>\Gs</math>.<br />
<br />
:*Accelerant (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math> ; hi ha un transvasament de força del davant cap al darrere (es carreguen les rodes del darrere i es descarreguen les del davant). Si l’acceleració <math>|\as_\Ts|</math> és prou elevada, la força normal al davant passa a ser negativa, la qual cosa indica que s’ha perdut el contacte i el vehicle bolca en sentit antihorari. Llavors, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el xassís passa a tenir, en principi, acceleració angular, i com a conseqüència el centre de masses <math>\Gs</math> passa a tenir acceleració vertical.<br />
<br />
:*Frenant (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hi ha un transvasament de força del darrere cap al davant (es descarreguen les rodes del darrere i es carreguen les del davant). Com en el cas precedent, hi ha un valor crític de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el bolcament, ara en sentit horari.<br />
</small><br />
---------<br />
---------<br />
</div><br />
<br />
==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==<br />
<br />
L’aplicació dels teoremes vectorials als <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''']]</span> (SAE) és senzilla ja que els termes de la dreta (variació de quantitat de moviment i variació de moment cinètic) són nuls en ser nul·la la seva massa:<br><br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{qualsevol} \hspace{0.2cm} \mathrm{punt}) \approx \overline{0}.</math><br><br />
<br />
Per al cas d’un SAE (sòlid S) connectant dos sòlids rígids S1 i S2 ('''Figura D4.5'''), aquestes equacions permeten demostrar que el torsor que actua sobre S1 es pot obtenir a partir d’una equació de caracterització analítica on la cinemàtica del punt <math>\Ps</math> de caracterització (que ha de pertànyer al sòlid S1) s’avalua a la referència solidària a S2:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br><br />
<br />
(Quan es tracta de velocitats, és important especificar a quin sòlid pertany el punt <math>\Ps</math>. Això, en canvi, és irrellevant quan es tracta de moments: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>).<br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-5-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.5:'''Sòlid Auxiliar d’Enllaç entre dos sòlids de massa no nul·la</center><br><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
Els teoremes vectorials aplicats sobre el SAE impliquen que els torsors d’enllaç que rep de S1 i S2 en un mateix punt <math>\Ps</math> han de sumar zero:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\<br />
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\<br />
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)<br />
\end{array}\right.</math><br><br />
<br />
Per altra banda, aquests torsors compleixen l’<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''equació de caracterització analítica''']]</span>:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math><br><br />
<br />
Si es combinen totes les equacions anteriors, s’obté:<br><br />
<br />
<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math><br><br />
<br />
Una <span style="text-decration: underline;">[[C3. Composició de moviments#C3.1 Composició de velocitats|'''composició de moviments''']]</span> permet reescriure l’equació anterior de manera més compacta:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math><br><br />
<br />
Finalment: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.8: dinàmica longitudinal d’un vehicle ====<br />
---------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex8-1-cat.png|thumb|left|220px|link=]]<br />
|En el vehicle de l’exemple D4.7, es considera que la tracció és posterior. Això vol dir que el motor del vehicle actua entre el xassís i les rodes posteriors, en tant que les del davant només estan sotmeses a interaccions d’enllaç (articulació amb el xassís i contacte amb el terra). <br><br />
<br />
Si es tracten les rodes del davant com a SAE, l’anàlisi cinemàtica del xassís respecte del terra per a la caracterització de l’enllaç a través de les rodes del davant condueix a un torsor en el centre de la roda (que és fix al xassís) amb només una component de força:<br />
|}<br />
[[Fitxer:D4-Ex8-2-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
L’existència d’una component horitzontal de força entre les rodes posteriors (necessària per accelerar o frenar el vehicle!) està associada al parell motor. Si s'apliquen els teoremes vectorials a les rodes posteriors, les interaccions externes a tenir en compte són l’enllaç amb el terra, l’articulació amb el xassís i el parell motor <math>\Gamma</math> : <br />
[[Fitxer:D4-Ex8-3-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{rodes} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum <br />
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow <br />
\left\{\begin{array}{l}<br />
\mathrm{TQM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dr}=\Ns'_\mathrm{dr} , \Ts_\mathrm{dr}=\Ts'_\mathrm{dr} \\<br />
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{a} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dr}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs<br />
\end{array}\right. </math><br><br />
<br />
La força tangencial sobre les rodes motrius és directament proporcional al parell motor que se’ls aplica. Cal no oblidar, però, que com a força tangencial d’enllaç, el seu valor està limitat per <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math> . Això permet calcular l’acceleració màxima que pot adquirir el vehicle (mentre la roda del davant no perdi contacte amb el terra):<br><br />
<br />
<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Ts_\mathrm{dr,màx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>.<br><br />
<br />
En terrenys de baix fregament ( <math>\mu_\es</math> de valor baix), un motor capaç de subministrar un parell màxim alt és inútil: qui posa límit a l’acceleració és el valor del coeficient de fricció <math>\mu_\es</math> : <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math> . En terrenys d’alt fregament, si el parell màxim és baix és ell qui posa límit a l’acceleració: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la roda del davant no perd contacte amb el terra).<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.8 Descomposició baricèntrica del moment cinètic==<br />
<br />
La versió del TMC que s’ha presentat permet triar lliurement el punt <math>\Qs</math> d’aplicació. El criteri per triar-lo es basa en el que es vulgui investigar (una força d’enllaç, una equació del moviment...). A la <span style="text-decoration: underline;">[[D6. Exemples de dinàmica 2D|'''unitat D6''']]</span> es discuteix aquest criteri.<br />
En alguns casos, pot ser interessant triar un punt <math>\Qs</math> que no pertanyi a cap element material del sistema. Llavors, és útil referir el càlcul del moment cinètic <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al moment cinètic al centre de masses <math>\Gs</math> del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Això es coneix amb el nom de '''descomposició baricèntrica''' del moment cinètic:<br />
<br />
<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>,<br />
<br />
on el superíndex <math>\oplus</math> indica que el moment cinètic s’ha de calcular com si el sistema s’hagués reduït a una partícula concentrada a <math>\Gs</math> amb massa igual a la massa total del sistema (M): <br />
<br />
<math>\H{G}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
:La definició de moment cinètic d'un sòlid rígid <math>\Ss_i</math> és: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocitat <math>\vel{P}{RTQ}</math> es pot escriure com a suma de dos termes si s’aplica una composició de moviments:<br />
<br />
:<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\<br />
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math><br><br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:La definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D4. Teoremes vectorials#D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes|'''centre de masses''']]</span> porta a reescriure el segon terme com a:<br />
<br />
:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincideix amb el moment cinètic respecte de <math>\Qs</math> d’una partícula de massa M situada a <math>\Gs</math>: <math>\QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ} = \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:En el primer terme de l’expressió de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, es pot descompondre <math>\QPvec</math> en suma de dos termes:<br />
<br />
:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math><br />
<br />
:Per definició de centre de masses: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.<br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
===== ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica =====<br />
----------<br />
<small><br />
{|<br />
<br />
|[[Fitxer:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El sòlid està format per dues barres de massa negligible i quatre partícules (<math>\Ps</math>) amb massa m unides als extrems de les barres. El sòlid està articulat a un suport que es pot moure al llarg d’una guia fixa a terra.<br />
El seu moment cinètic a G és:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math><br />
<br />
La RTG és fixa al suport, i la velocitat de les partícules respecte d’aquesta referència és proporcional a la rotació <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Per tant:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math><br />
|}<br />
:El moment cinètic a <math>\Os</math> (fix al terra) es pot calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mitjançant descomposició baricèntrica:<br />
<br />
:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times 4\ms\vel{G}{T} =</math><br />
<math> = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) =</math><br />
<math>= (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math><br />
<br />
<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<p align="right"><small>© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]</small></p><br />
-------------<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><br />
[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|<<< D3. Interaccions entre sòlids rígids]]<br />
<br />
[[D5. Geometria de masses|D5. Geometria de masses >>>]]<br />
</center></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=D4._Teoremes_vectorials&diff=7760
D4. Teoremes vectorials
2025-05-08T12:37:19Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<br />
<math><br />
\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\ss}{\textsf{s}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\JGvec}{\vec{\Js\Gs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
\newcommand{\H}[3]{\vec{\mathbf{H}}_{\text{#3}}^{#2}(\textbf{#1})}<br />
</math><br />
<br />
Els '''Teoremes Vectorials''' són una eina per estudiar la dinàmica dels sistemes mecànics, i s’obtenen a partir de la llei fonamental de la dinàmica (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>) i del principi d’acció i reacció (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''tercera llei de Newton''']]</span>).<br />
<br />
En aquest curs, es presenta només la <span style="text-decoration: underline;">versió dels teoremes per al cas de sistemes de matèria constant</span>. Tot i que això inclou sistemes amb fluids, els exemples d’aplicació en aquest curs són essencialment sistemes multisòlid formats per sòlids rígids.<br />
<br />
En estudiar la dinàmica d'un <span style="text-decoration: underline;">[[Introducción#I.1 Què és la mecànica?|'''sistema mecànic''']]</span>, és essencial identificar les incògnites que conté el sistema que s’estudia i analitzar si els teoremes vectorials proporcionen el nombre suficient d’equacions per resoldre-les totes (cal saber si el problema és determinat o indeterminat!). Les incògnites es poden classificar en dos grups:<br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''graus de llibertat''']]</span></u><br />
<br />
Els GL d’un sistema mecànic poden ser <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''lliures o actuats''']]</span> (o forçats, associats a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''actuadors''']]</span>). En ambdós casos, el seu valor inicial (el valor en començar un experiment o en posar en marxa el sistema) és conegut. Quan es tracta de GL lliures, l’evolució d’aquest valor inicial no es coneix: és una incògnita. Es diu que el problema és de '''dinàmica directa'''.<br />
<br />
Aquest és el cas també quan es tracta de GL actuats si l’acció de l’actuador associat és coneguda (és a dir, quan es coneix el valor de <math>\Fs_{ac}</math>– cas dels actuadors lineals –, o de <math>\gamma</math>– cas dels rotacionals). El problema també és de dinàmica directa.<br />
<br />
Les equacions que regeixen l’evolució dels GL s’anomenen '''equacions del moviment'''. Si els GL es descriuen mitjançant derivades temporals de coordenades (<math>\dot{q}_i</math>, amb i=1,2,3...), la seva evolució temporal són les segones derivades temporals d’aquests coordenades (acceleracions). <br />
<br />
Per a un sistema amb 2 GL lliures descrits, per exemple, per (x, <math>\dot{\theta}</math>), aquestes equacions tindrien el següent aspecte general:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\theta} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
on <math>\Gamma</math> seria el parell motor de l’actuador rotacional associat al moviment <math>\theta</math>.<br />
<br />
La dependència en les segones derivades temporals <math>(\ddot{xs}, \ddot{\theta})</math> és sempre lineal, en tant que al dependència en les coordenades i les velocitats <math>(\xs, \theta, \dot{xs}, \dot{\theta})</math> pot ser de qualsevol tipus. Els paràmetres dinàmics són la massa dels elements i els associats a la seva distribució a l’espai, i els paràmetres associats a les interaccions sobre el sistema (constants de molles i amortidors, coeficients de fricció, constants del camp gravitatori...); els paràmetres geomètrics tenen a veure amb la forma dels elements del sistema (distàncies i angles).<br />
<br />
En algunes ocasions, les accions dels actuadors (<math>\Fs_{ac}, \Gamma</math>) no són conegudes, mentre que les evolucions temporals dels GL actuats són prefixades. Llavors, les incògnites associades als GL actuats són el valor de les forces (si es tracta d’actuadors lineals) i moments (si són actuadors rotacionals) necessaris per garantir aquestes evolucions prefixades. Es diu que el problema és de '''dinàmica inversa'''.<br />
<br />
Per al cas de l’exemple anterior, si <math>\dot{\theta}</math> està prefixada, les equacions que descriuen les incògnites del problema associades als GL són:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\Gamma} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''enllaços''']]</span></u><br />
<br />
Són els valors de les components de les <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''torsors d'enllaç''']]</span>. El nombre d’incògnites associades als enllaços depèn de la descripció que se’n faci (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''enllaços directes''']]</span>, <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''enllaços indirectes''']]</span>). Quan un problema de dinàmica és indeterminat, la indeterminació sempre es refereix a les components dels torsors d’enllaç, mai als GL (lliures o forçats).<br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
==D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes==<br />
Considerem un sistema de partícules de matèria constant ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Quantitat de Moviment''' (TQM) s’obté a partir de l’aplicació de la segona llei de Newton a cada partícula <math>\Ps</math> del sistema. Si la referència que es considera és galileana: <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, on <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> és la força resultant d’interacció sobre <math>\Ps</math>.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.1''' Forces sobre una partícula d’un sistema de partícules de matèria constant</center><br />
<br />
Les forces que actuen sobre cada partícula es poden classificar en dos grups: internes (que provenen de la interacció amb altres partícules del sistema) i externes (associades a les interaccions amb elements externs al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si aquestes equacions se sumen per a totes les partícules, les forces internes entre parelles de partícules es cancel·len dues a dues pel principi d’acció i reacció:<br />
<br />
<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\:\acc{P}{RGal}</math></center><br />
<br />
El terme de l’esquerra és la resultant de forces externes sobre el sistema, i se sol escriure simplement com a <math>\sum\F{ext}</math>. El terme de la dreta es pot reescriure com a <math>\Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math>, on M és la massa total del sistema <math>\left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El terme <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math> és una acceleració ponderada, on la ponderació és proporcional a la massa de cada partícula. Aquesta acceleració s’associa a un punt anomenat '''centre de masses''' (o '''centre d’inèrcia''') del sistema, i en aquest curs es designa amb la lletra <math>\Gs</math>. Per a una referència qualsevol, doncs, la cinemàtica de <math>\Gs</math> queda descrita per les equacions ('''Figura D4.2'''):<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center><br />
<br />
[[Fitxer:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.2''' Centre de masses (o d’inèrcia) d’un sistema de matèria constant</center><br />
<br />
En el cas de conjunts continus de partícules (com són un conjunt de sòlids rígids, deformables, o fluids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center><br />
<br />
Finalment, el TQM s’escriu com a:<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\:\acc{G}{RGal}</math></center><br />
<br />
Aquesta equació és molt propera a la <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>: el centre de masses <math>\Gs</math> es comporta com si fos una partícula de massa igual a la massa total del sistema, i sobre la qual actuessin totes les forces externes al sistema. Malgrat el paral·lelisme entre el TQM i l’equació de dinàmica de la partícula, hi ha dues diferències fonamentals:<br />
<br />
:*la massa del sistema no està localitzada a <math>\Gs</math> (fins i tot, pot ser que <math>\Gs</math> estigui situat en una zona del sistema sense massa, com és el cas en una anella homogènia);<br />
<br />
:*les forces externes no estan aplicades a <math>\Gs</math> en general.<br />
<br />
El TQM s’anomena així perquè permet conèixer l’evolució, a partir del coneixement de <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic|'''l’estat mecànic''']]</span> inicial i de les interaccions externes, de la '''quantitat de moviment''' del sistema (que, en una referència qualsevol R, es defineix com a <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R}</math>):<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\acc{G}{RGal}=\dert{\Ms\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center><br />
<br />
La localització del centre de masses en els sistemes que s’estudien (ja sigui un únic sòlid rígid o un sistema multisòlid) es presenta breument a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Tensor d’inèrcia#D5.1 Centre de masses|'''secció D5.1''']]</span>. Per a sòlids homogenis de geometria molt senzilla, la posició de G es pot deduir sovint a partir de les simetries del sòlid. <br />
En problemes plans (de cinemàtica 2D), només les dues components del TQM compreses en el pla són interessants.<br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.2 Exemples d’aplicació del TQM==<br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.1: càlcul d’una força d’enllaç ====<br />
<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex1-1-neut.png|thumb|center|180px|link=]]<br />
|Els tres blocs homogenis són llisos i estan en contacte entre ells i amb un terra horitzontal, també llis. Es tracta d’investigar el <span style="text-decoration: underline;">valor de la força horitzontal d’enllaç entre els blocs Q i S</span> quan s’aplica una força horitzontal F al bloc de l’esquerra. <br />
Tots els enllaços que apareixen en aquest sistema són contactes multipuntuals entre superfícies llises. Per tant, cada torsor associat, caracteritzat en un punt del contacte corresponent, conté una component de força i una de moment (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|exemple D3.4]]</span>). Tot i així, en l’aplicació del TQM només intervenen les forces, i per tant no es representen els moments en les figures següents.<br />
|}<br />
<br />
<br />
Per tal que la força d’enllaç <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparegui a la component horitzontal del TQM, cal aplicar el teorema a un sistema on aquesta força sigui externa. Per exemple, al bloc S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>. <br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex1-2new-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
<br />
Aquesta equació conté dues incògnites: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> i <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ja que el moviment dels tres blocs provocat per la força F és el mateix, l’acceleració es pot obtenir amb el TQM aplicat a tot el sistema:<br />
<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.2: moviment inicial d’un sistema ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex2-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|Els blocs homogenis es troben inicialment en repòs sobre un terra rugós, i units mitjançant una molla comprimida amb una tensió <math>\Fs_0=\ms\gs</math> i un fil inextensible. En un cert instant, es talla el fil i el sistema comença a moure’s. <br />
|}<br />
<br />
<br />
Es tracta de calcular l’<span style="text-decoration: underline;">acceleració del centre d’inèrcia del sistema respecte del terra</span>. Aquesta acceleració es pot obtenir a partir de la component horitzontal del TQM aplicat a tot el sistema. La molla és interna, i per tant la seva força no apareix: <math>\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{terra}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.<br />
<br />
Les forces que el terra exerceix sobre cadascun dels blocs poden ser d’enllaç (si els blocs no es mouen, i llavors són incògnites), o de fricció (si els blocs es mouen respecte del terra, i en aquest cas són formulables). També pot donar-se el cas que un bloc llisqui i l’altre no.<br />
<br />
El valor d’una força d’enllaç s’adapta per tal de garantir una restricció. En el cas dels blocs, cal investigar si aquestes forces poden assolir el valor necessari per evitar que els blocs llisquin sobre el terra, i estan acotades pel valor del coeficient de fricció estàtica entre blocs i terra:<br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math><br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math><br />
<br />
Si s’aplica el TQM a cada bloc per separat, la força de la molla passa a ser externa. Aquesta força (de valor mg) pot ser contrarestada per la força d’enllaç en el cas del bloc de massa <math>2\ms</math> (per tant, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), però no en el del bloc de massa m:<br />
[[Fitxer:D4-Ex2-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
<br />
L’aplicació del TQM al bloc de massa m condueix a:<br />
<br />
<math>\left.\begin{aligned}<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{terra}\rightarrow2\ms}+\F{\text{molla}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0<br />
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math><br />
<br />
<br />
Finalment: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.3: estudi d’una condició límit ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|L’esfera homogènia de massa M descansa sobre dues falques idèntiques, de massa m, que es troben al damunt del terra. Entre esfera i falques no hi ha fregament, però entre falques i terra hi ha fregament de coeficient <math>\mu</math>. El sistema es troba inicialment en repòs respecte del terra. Es tracta de determinar el <span style="text-decoration: underline;">valor màxim de M, en funció de m, que permet que el sistema segueixi en repòs</span>.<br />
|}<br />
<br />
Si res no belluga, les forces horitzontals d’interacció entre terra i falques són d’enllaç i no superen el valor límit <math>/mu\ns</math> (on <math>\Ns</math> és la força normal que cada falca rep del terra). El torsor d’enllaç del terra sobre les falques conté també un moment resultant perpendicular a la figura.<br />
Si es vol estudiar la possibilitat de bolcament de les falques, aquest moment és rellevant. En aquest exemple, però, la forma les falques garanteix que no bolquen, i es treballa només amb les forces.<br />
L’aplicació del TQM a tot el sistema, a una falca i a l’esfera condueix a les equacions següents:<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<br />
<center><br />
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"<br />
|- style="vertical-align:top;"<br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + falques<br />
<br />
<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: falca de l'esquerra<br />
<br />
<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera<br />
<br />
<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math><br />
|}</center><br />
<br />
Combinant les dues últimes equacions: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor màxim de M per al qual encara hi ha equilibri correspon a la situació en què la força tangencial d’enllaç T pren el valor màxim possible: <math>\Ts = \Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns</math>. Tenint en compte que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs</math>:<br />
<br />
<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{màx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{màx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.3 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències no galileanes==<br />
La versió del TQM en una referència no galileana NGal s’obté també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada partícula (o cada diferencial de massa) del sistema a la referència NGal (secció D1.7). En principi, doncs, aquesta equació contindrà dues forces d’inèrcia: la d’arrossegament i la de Coriolis ('''Figura D4.3'''): <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,<br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> i <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math><br />
[[Fitxer:D4-3-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.3:''' Forces d’inèrcia en una referència no galileana</center><br />
Sumant les equacions per a totes les partícules, s’obté: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
massa total del sistema.<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
------<br />
:<small><br />
Pel principi d’acció i reacció, la suma per a totes les partícules de les forces d’interacció condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math><br />
<br />
Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada<br />
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el<br />
centre de masses (secció D4.2):<br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
Així doncs: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.4: desplaçament vibratori====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
|El bloc de massa m es troba inicialment en repòs<br />
sobre un suport que oscil·la respecte del terra<br />
d’acord amb el gràfic de velocitat que es mostra a<br />
la figura. Es tracta d’investigar la <span style="text-decoration: underline;">possibilitat que<br />
el bloc llisqui al damunt del suport</span>.<br />
La condició de repòs del bloc respecte del suport<br />
(que és una referència no galileana en tenir un<br />
moviment accelerat respecte del terra) demana:<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sup\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> perque <math>\velang{sup}{T} = \vec{0}</math><br />
|}<br />
<br />
La força d’arrossegament sobre el bloc és estrictament horitzontal. Per tant, la component vertical d’aquesta equació condueix a <math>N = mg</math> . Pel que fa a la component horitzontal, contindrà la força<br />
d’interacció entre bloc i suport. Si el bloc no llisca al damunt del suport, aquesta força és d’enllaç, i el seu valor està acotat: <math>0\leq\mid\Fs_{sup\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si llisca, és una força de fricció de valor <math>\mu\ms\gs</math>, oposada a la velocitat de lliscament.<br />
<br />
Entre <math>t=0</math> i <math>t = 0,4s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math> i per tant la força<br />
d’arrossegament és <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$suport}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor es troba dins del marge de valors permesos per a la força d’enllaç horitzontal del suport sobre el bloc. Per tant, aquesta força prendrà el valor <math>\F{sup\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>, contrarestarà la <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs}</math> i es mantindrà el repòs entre els dos elements.<br />
<br />
Entre <math>t=0,4s</math> i <math>t = 0,6s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Per tant,<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. En sobrepassar el valor màxim de la força horitzontal d’enllaç, no podrà ser contrarestada. El bloc començarà a lliscar, i la força horitzontal d’interacció entre suport i bloc serà de fricció:<br />
<br />
<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} + \F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
A l’instant <math>t = 0,6s</math>, la velocitat del bloc respecte del suport és <br />
<br />
<math>\vel{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.<br />
<br />
Tot i entrar en la fase on <math>\mid\Fcal{ar}{sup\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la força horitzontal entre suport i bloc segueix sent de fricció <math>(\F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> fins aconseguir aturar el bloc. <br />
<br />
L’acceleració del bloc respecte del suport és:<br />
<br />
<math>\acc{G}{sup} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
En tractar-se d’un moviment uniformement desaccelerat, és fàcil calcular l'instant per al qual el bloc deixa de lliscar:<br />
<br />
<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sup} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sup} + \acc{$\Gs,t_f$}{sup}(t_f - t_i)</math>,<br />
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math><br />
<br />
En aquest instant, la força del suport sobre el bloc passa a ser d’enllaç, i ens trobem en una situació anàloga a la inicial. Per tant, el lliscament no recomençarà fins a <math>\ts = 1,4s</math>. L’estudi per als intervals posteriors segueix els mateixos passos que l’estudi de l’interval <math>[0,1,4s]</math>. La figura mostra l’evolució de la cinemàtica del bloc respecte del suport, i de les forces que hi actuen.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex4-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
-----------<br />
-----------<br />
<br />
==D4.4 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulació general==<br />
<br />
La dinàmica d’un sòlid rígid (i per tant, d’un sistema multisòlid) no queda mai totalment resolta amb el TQM quan el sòlid gira: el TQM només informa sobre el moviment d’un punt (<math>\Gs</math>), i no sobre la rotació.<br />
<br />
El '''Teorema del Moment Cinètic''' (TMC) es troba a la literatura enunciat de dues maneres diferents. En aquest curs, s’ha optat per una formulació paral·lela a la del TQM: a l'esquerra apareixen termes que només tenen a veure amb les interaccions externes sobre el sistema, mentre que a la dreta apareix la derivada temporal d’un vector que depèn només de la geometria de masses del sistema i del seu <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic#|'''estat mecànic''']]</span>.<br />
<br />
Com ja s’ha vist quan s’ha introduït el concepte de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor d’un sistema de forces''']]</span>, el que es relaciona amb la rotació d’un sòlid és el moment de les forces, no la força resultant. Per tant, si bé el TMC es demostra també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada diferencial de massa del sistema, caldrà transformar les forces que hi apareixen en moment d’aquestes forces respecte d’un punt <math>\Qs</math>.<br />
<br />
Aquestes dues consideracions (formulació paral·lela al TQM i necessitat de triar un punt <math>\Qs</math> per calcular el moment de les forces) porta a partir de la formulació de la segona llei de Newton en la '''Referència que es Trasllada amb Q (RTQ)''' respecte d’una referència galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, aquesta referència no és galileana, i per tant cal tenir en compte en principi les <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''forces d’inèrcia d’arrossegament''']]</span> ('''Figura D4.3''').<br />
<br />
[[Fitxer:D4-4-cat.png|thumb|center|400px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.4:''' Forces d’inèrcia a la Referència que es Trasllada amb un punt <math>\Qs</math> (RTQ)</center><br><br />
<br />
<br />
Considerem un sistema de partícules amb matèria constant. La segona llei de Newton aplicada a cada partícula del sistema i a la RTQ és:<br><br />
<br />
<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , <br><br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , i <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ja que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>.<br><br />
<br />
Si els dos costats de l’equació es multipliquen vectorialment per <math>\QPvec</math> i es suma per totes les partícules (o elements de massa) del sistema, s’obté el TMC al punt <math>\Qs</math>:<br><br />
<br />
<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br><br />
<br />
on <math>\Ms</math> és la massa total del sistema, i <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> és el '''moment cinètic del sistema respecte el punt''' <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
Si el sistema té elements continus (per exemple, un sistema amb N sòlids rígids <math>\Ss_i</math>), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.<br />
<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
La segona llei de Newton per a cada element de massa multiplicada vectorialment per <math>\QPvec</math> és:<br />
<br />
<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math><br />
<br />
El terme de la dreta es pot reescriure com a:<br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
En ser <math>\Qs</math> un punt de la RTQ, es pot prendre com a origen d’un vector de posició de <math>\Ps</math> en aquesta referència, i per tant:<br />
<br />
<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
Tenint en compte que la massa és constant: <br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math><br />
<br />
La suma d’aquest terme per a tots els elements <math>\Ps</math> condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
<br />
Si les forces d’interacció sobre cada partícula <math>\Ps</math> es classifiquen en internes i externes, la suma per a totes les partícules del sistema del costat esquerre de la primera equació esdevé:<br />
<br />
<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math><br />
<br />
<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> <br><br />
ja que el principi d’acció i reacció garanteix que el moment total d’una parella de forces d’acció i reacció és nul:<br><br />
<br />
<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math><br><br />
Agrupant tots els termes:<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.5 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulacions particulars==<br />
El TMC pren expressions més senzilles quan el punt <math>\Qs</math> és fix a una referència galileana o quan és el centre de masses del sistema.<br><br />
<br />
* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, anomenem aquesta versió “TMC a punt fix”, on se sobreentén que “fix” vol dir “fix a una referència galileana”. Quan és el cas, normalment emprarem la lletra <math>\Os</math> per designar el punt <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math>Cal notar que, si bé l’expressió és similar a la versió a punt fix, el centre de masses <math>\Gs</math> no té per què ser fix a una referència galileana.<br />
<br />
Quan <math>\Qs</math> no és ni un punt fix a RGal ni coincideix amb el centre de masses, se sol parlar de la versió del TMC “a punt mòbil”. Tot i que <math>\Qs</math> sigui un punt mòbil respecte de RGal, el terme associat a les forces d’inèrcia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> pot ser nul si <math>\Qs</math> es mou a velocitat costant respecte de RGal, o si la seva acceleració respecte de RGal és paral·lela a <math>\QGvec</math> .<br />
<br />
<center><br />
{| class="wikitable"<br />
|+ <br />
|-<br />
! '''TMC a punt fix''' !! '''TMA a '''<math>\Gs</math> !! '''TMC a un punt mòbil '''<math>\Qs</math><br />
|-<br />
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center><br />
|| <br />
<center><br />
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center><br />
|| <br />
<center><br />
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math><br><br />
<br />
<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center><br />
<br />
|}<br />
</center><br />
<br />
<br />
El vector moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no és senzill de calcular en general, i es presenta a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Geometria de masses|'''unitat D5''']]</span>. <br><br />
<br />
En problemes de cinemàtica plana (2D), si el moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sòlid del sistema que s’estudia és paral·lel a la velocitat angular del sòlid <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que és de direcció ortogonal al pla del moviment), només la component del TMC perpendicular al pla és interessant. En aquest cas es diu que el problema és de dinàmica plana (2D), i el problema es pot resoldre a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.<br />
<br />
<div><br />
===<u>TMC en un punt de contacte entre dos sòlids</u>===<br />
Un enllaç que apareix sovint en els sistemes mecànics és el contacte puntual entre parelles de sòlids (S1 i S2, per exemple). Aquest enllaç pot introduir entre 1 i 3 incògnites d’enllaç (segons la rugositat de les superfícies i la cinemàtica del contacte – amb o sense lliscament). Quan aquestes forces no es volen calcular, és temptador aplicar el TMC al punt de contacte <math>\Js</math> (ja que el seu moment respecte de <math>\Js</math> és nul). <br><br />
[[Fitxer:TMCaJ-0-cat.png|thumb|right|230px|link=]]<br />
L’aplicació del TMC a <math>\Js</math> és molt delicada. Cal precisar de quin punt <math>\Js</math> es parla (<span style="text-decoration: underline;">[[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''exemple C5-1.8''']]</span>): si es tracta del <math>\Js</math> del sòlid S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sòlid S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math> , o bé si és el punt geomètric de contacte <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math> . Per una banda, aquests tres punts tenen cinemàtiques diferents <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math> , i el terme complementari associat al moment de les forces d’inèrcia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> és diferent. Per altra banda, si per exemple el TMC s’aplica al solid S1, cal tenir present que, tot i que <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertany a S1 i es pot calcular el moment cinètic a partir del tensor d’inèrcia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> i <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no hi pertanyen, i cal fer servir la descomposició baricèntrica per calcular aquest vector.<br />
<br />
Finalment, ja que el moment cinètic s’ha de derivar, el seu càlcul s’ha de fer en una configuració general (és a dir, quan <math>\Js</math> no és encara el punt de contacte), i és només després d’haver fet la derivada que es pot particularitzar el resultat a la configuració en què <math>\Js</math> és el punt de contacte. Com a il·lustració de tot plegat, l’esquema següent mostra l’aplicació del TMC a una roda amb moviment pla que toca a terra i llisca.<br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-1-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{roda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{roda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{roda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math><br />
</center><br><br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-2-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\<br />
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}<br />
\end{array}\right. <br />
</math><br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-3-cat-esp.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\<br />
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0) <br />
\end{array}\right. <br />
</math><br />
</center></center><br />
</div><br />
<br />
<br />
------<br />
------<br />
<br />
==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex5-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]<br />
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de <u>calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:<br />
[[Fitxer:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant:<br><br />
<br />
<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math><br><br />
<br />
Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero:<br><br />
<br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\<br />
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math><br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math><br />
<br />
Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex6-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]<br />
|Els blocs pengen de dues cordes inextensibles amb un extrem lligat a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de <u>calcular l’acceleració angular de les politges</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|center|140px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> :<br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math><br><br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math><br><br />
<br />
<br />
Per la definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]</span>: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs:<br><br />
<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math><br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]<br />
<u>Resolució alternativa </u><br><br />
<br />
Si s’aplica el TMC al punt <math>\Os</math> per al sistema format per les politges i les cordes, el pes dels blocs ja no apareix com a interacció externa, però apareixen en canvi les tensions de les dues cordes (que són incògnites d’enllaç).<br><br />
<br />
El moment cinètic del sistema és nul perquè no té massa:<br><br />
<br />
SIST: politges + cordes<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math><br><br />
[[Fitxer:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]<br />
<br />
<br />
L’aplicació del TQM a cadascun dels blocs genera dues equacions més:<br><br />
<br />
SIST: bloc de 10kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(10\ks\gs)(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
SIST: bloc de 5kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(5\ks\gs)(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
La resolució del sistema d’equacions condueix a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>.<br><br />
<br />
<br />
La primera resolució és més ràpida (només fa servir una equació escalar), però implica el càlcul del moment cinètic. Aquesta segona resolució és més llarga (sistema de tres equacions) però que no requereix calcular cap moment cinètic.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.7: dinàmica longitudinal d’un vehicle====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-1-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El vehicle sense suspensions es mou sobre una carretera rectilínia. La massa de les rodes és negligible comparada amb la de la resta dels elements, i es considera que el seu contacte amb el terra es puntual. Es tracta d’<u>analitzar les forces normals d’enllaç entre terra i rodes</u>.<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el vehicle es redueixen al pes i a l’enllaç amb el terra. Si l’acceleració del xassís respecte del terra és una dada, l’aplicació del TQM condueix a:<br />
|}<br />
<br />
{|<br />
|<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}<br />
<br />
\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\<br />
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)<br />
\end{aligned}\right.</math><br />
<br />
<br />
on <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> i <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> són les forces normal i tangencial que en total reben les dues rodes del davant i les dues rodes del darrere, respectivament.<br />
El TMC a G condueix a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs} + \Ts_{\ds\rs})] =0</math><br />
(el moment cinètic <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> és permanentment nul ja que les rodes no tenen massa, i la resta del vehicle té moviment nul respecte de la RTG).<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-2-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
Resolent el sistema d’equacions: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math><br />
<br />
Aquest resultat és vàlid per a qualsevol valor de <math>\as_\Ls</math>:<br />
:*Situació estàtica (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la força normal és més gran a les rodes que tenen l’eix més proper a <math>\Gs</math>.<br />
<br />
:*Accelerant (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math> ; hi ha un transvasament de força del davant cap al darrere (es carreguen les rodes del darrere i es descarreguen les del davant). Si l’acceleració <math>|\as_\Ts|</math> és prou elevada, la força normal al davant passa a ser negativa, la qual cosa indica que s’ha perdut el contacte i el vehicle bolca en sentit antihorari. Llavors, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el xassís passa a tenir, en principi, acceleració angular, i com a conseqüència el centre de masses <math>\Gs</math> passa a tenir acceleració vertical.<br />
<br />
:*Frenant (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hi ha un transvasament de força del darrere cap al davant (es descarreguen les rodes del darrere i es carreguen les del davant). Com en el cas precedent, hi ha un valor crític de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el bolcament, ara en sentit horari.<br />
</small><br />
---------<br />
---------<br />
</div><br />
<br />
==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==<br />
<br />
L’aplicació dels teoremes vectorials als <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''']]</span> (SAE) és senzilla ja que els termes de la dreta (variació de quantitat de moviment i variació de moment cinètic) són nuls en ser nul·la la seva massa:<br><br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{qualsevol} \hspace{0.2cm} \mathrm{punt}) \approx \overline{0}.</math><br><br />
<br />
Per al cas d’un SAE (sòlid S) connectant dos sòlids rígids S1 i S2 ('''Figura D4.5'''), aquestes equacions permeten demostrar que el torsor que actua sobre S1 es pot obtenir a partir d’una equació de caracterització analítica on la cinemàtica del punt <math>\Ps</math> de caracterització (que ha de pertànyer al sòlid S1) s’avalua a la referència solidària a S2:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br><br />
<br />
(Quan es tracta de velocitats, és important especificar a quin sòlid pertany el punt <math>\Ps</math>. Això, en canvi, és irrellevant quan es tracta de moments: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>).<br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-5-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.5:'''Sòlid Auxiliar d’Enllaç entre dos sòlids de massa no nul·la</center><br><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
Els teoremes vectorials aplicats sobre el SAE impliquen que els torsors d’enllaç que rep de S1 i S2 en un mateix punt <math>\Ps</math> han de sumar zero:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\<br />
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\<br />
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)<br />
\end{array}\right.</math><br><br />
<br />
Per altra banda, aquests torsors compleixen l’<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''equació de caracterització analítica''']]</span>:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math><br><br />
<br />
Si es combinen totes les equacions anteriors, s’obté:<br><br />
<br />
<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math><br><br />
<br />
Una <span style="text-decration: underline;">[[C3. Composició de moviments#C3.1 Composició de velocitats|'''composició de moviments''']]</span> permet reescriure l’equació anterior de manera més compacta:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math><br><br />
<br />
Finalment: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.8: dinàmica longitudinal d’un vehicle ====<br />
---------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex8-1-cat.png|thumb|left|220px|link=]]<br />
|En el vehicle de l’exemple D4.7, es considera que la tracció és posterior. Això vol dir que el motor del vehicle actua entre el xassís i les rodes posteriors, en tant que les del davant només estan sotmeses a interaccions d’enllaç (articulació amb el xassís i contacte amb el terra). <br><br />
<br />
Si es tracten les rodes del davant com a SAE, l’anàlisi cinemàtica del xassís respecte del terra per a la caracterització de l’enllaç a través de les rodes del davant condueix a un torsor en el centre de la roda (que és fix al xassís) amb només una component de força:<br />
|}<br />
[[Fitxer:D4-Ex8-2-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
L’existència d’una component horitzontal de força entre les rodes posteriors (necessària per accelerar o frenar el vehicle!) està associada al parell motor. Si s'apliquen els teoremes vectorials a les rodes posteriors, les interaccions externes a tenir en compte són l’enllaç amb el terra, l’articulació amb el xassís i el parell motor <math>\Gamma</math> : <br />
[[Fitxer:D4-Ex8-3-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{rodes} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum <br />
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow <br />
\left\{\begin{array}{l}<br />
\mathrm{TQM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dr}=\Ns'_\mathrm{dr} , \Ts_\mathrm{dr}=\Ts'_\mathrm{dr} \\<br />
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{a} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dr}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs<br />
\end{array}\right. </math><br><br />
<br />
La força tangencial sobre les rodes motrius és directament proporcional al parell motor que se’ls aplica. Cal no oblidar, però, que com a força tangencial d’enllaç, el seu valor està limitat per <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math> . Això permet calcular l’acceleració màxima que pot adquirir el vehicle (mentre la roda del davant no perdi contacte amb el terra):<br><br />
<br />
<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Ts_\mathrm{dr,màx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>.<br><br />
<br />
En terrenys de baix fregament ( <math>\mu_\es</math> de valor baix), un motor capaç de subministrar un parell màxim alt és inútil: qui posa límit a l’acceleració és el valor del coeficient de fricció <math>\mu_\es</math> : <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math> . En terrenys d’alt fregament, si el parell màxim és baix és ell qui posa límit a l’acceleració: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la roda del davant no perd contacte amb el terra).<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.8 Descomposició baricèntrica del moment cinètic==<br />
<br />
La versió del TMC que s’ha presentat permet triar lliurement el punt <math>\Qs</math> d’aplicació. El criteri per triar-lo es basa en el que es vulgui investigar (una força d’enllaç, una equació del moviment...). A la <span style="text-decoration: underline;">[[D6. Exemples de dinàmica 2D|'''unitat D6''']]</span> es discuteix aquest criteri.<br />
En alguns casos, pot ser interessant triar un punt <math>\Qs</math> que no pertanyi a cap element material del sistema. Llavors, és útil referir el càlcul del moment cinètic <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al moment cinètic al centre de masses <math>\Gs</math> del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Això es coneix amb el nom de '''descomposició baricèntrica''' del moment cinètic:<br />
<br />
<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>,<br />
<br />
on el superíndex <math>\oplus</math> indica que el moment cinètic s’ha de calcular com si el sistema s’hagués reduït a una partícula concentrada a <math>\Gs</math> amb massa igual a la massa total del sistema (M): <br />
<br />
<math>\H{G}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
:La definició de moment cinètic d'un sòlid rígid <math>\Ss_i</math> és: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocitat <math>\vel{P}{RTQ}</math> es pot escriure com a suma de dos termes si s’aplica una composició de moviments:<br />
<br />
:<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\<br />
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math><br><br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:La definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D4. Teoremes vectorials#D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes|'''centre de masses''']]</span> porta a reescriure el segon terme com a:<br />
<br />
:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincideix amb el moment cinètic respecte de <math>\Qs</math> d’una partícula de massa M situada a <math>\Gs</math>: <math>\QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ} = \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:En el primer terme de l’expressió de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, es pot descompondre <math>\QPvec</math> en suma de dos termes:<br />
<br />
:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math><br />
<br />
:Per definició de centre de masses: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.<br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
===== ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica =====<br />
----------<br />
<small><br />
{|<br />
<br />
|[[Fitxer:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El sòlid està format per dues barres de massa negligible i quatre partícules (<math>\Ps</math>) amb massa m unides als extrems de les barres. El sòlid està articulat a un suport que es pot moure al llarg d’una guia fixa a terra.<br />
El seu moment cinètic a G és:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math><br />
<br />
La RTG és fixa al suport, i la velocitat de les partícules respecte d’aquesta referència és proporcional a la rotació <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Per tant:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math><br />
|}<br />
:El moment cinètic a <math>\Os</math> (fix al terra) es pot calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mitjançant descomposició baricèntrica:<br />
<br />
:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times 4\ms\vel{G}{T} =</math><br />
<math>\quadd = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) =</math><br />
<math>\quadd= (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math><br />
<br />
<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<p align="right"><small>© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]</small></p><br />
-------------<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><br />
[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|<<< D3. Interaccions entre sòlids rígids]]<br />
<br />
[[D5. Geometria de masses|D5. Geometria de masses >>>]]<br />
</center></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=D4._Teoremes_vectorials&diff=7759
D4. Teoremes vectorials
2025-05-08T12:36:30Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<br />
<math><br />
\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\ss}{\textsf{s}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\JGvec}{\vec{\Js\Gs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
\newcommand{\H}[3]{\vec{\mathbf{H}}_{\text{#3}}^{#2}(\textbf{#1})}<br />
</math><br />
<br />
Els '''Teoremes Vectorials''' són una eina per estudiar la dinàmica dels sistemes mecànics, i s’obtenen a partir de la llei fonamental de la dinàmica (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>) i del principi d’acció i reacció (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''tercera llei de Newton''']]</span>).<br />
<br />
En aquest curs, es presenta només la <span style="text-decoration: underline;">versió dels teoremes per al cas de sistemes de matèria constant</span>. Tot i que això inclou sistemes amb fluids, els exemples d’aplicació en aquest curs són essencialment sistemes multisòlid formats per sòlids rígids.<br />
<br />
En estudiar la dinàmica d'un <span style="text-decoration: underline;">[[Introducción#I.1 Què és la mecànica?|'''sistema mecànic''']]</span>, és essencial identificar les incògnites que conté el sistema que s’estudia i analitzar si els teoremes vectorials proporcionen el nombre suficient d’equacions per resoldre-les totes (cal saber si el problema és determinat o indeterminat!). Les incògnites es poden classificar en dos grups:<br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''graus de llibertat''']]</span></u><br />
<br />
Els GL d’un sistema mecànic poden ser <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''lliures o actuats''']]</span> (o forçats, associats a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''actuadors''']]</span>). En ambdós casos, el seu valor inicial (el valor en començar un experiment o en posar en marxa el sistema) és conegut. Quan es tracta de GL lliures, l’evolució d’aquest valor inicial no es coneix: és una incògnita. Es diu que el problema és de '''dinàmica directa'''.<br />
<br />
Aquest és el cas també quan es tracta de GL actuats si l’acció de l’actuador associat és coneguda (és a dir, quan es coneix el valor de <math>\Fs_{ac}</math>– cas dels actuadors lineals –, o de <math>\gamma</math>– cas dels rotacionals). El problema també és de dinàmica directa.<br />
<br />
Les equacions que regeixen l’evolució dels GL s’anomenen '''equacions del moviment'''. Si els GL es descriuen mitjançant derivades temporals de coordenades (<math>\dot{q}_i</math>, amb i=1,2,3...), la seva evolució temporal són les segones derivades temporals d’aquests coordenades (acceleracions). <br />
<br />
Per a un sistema amb 2 GL lliures descrits, per exemple, per (x, <math>\dot{\theta}</math>), aquestes equacions tindrien el següent aspecte general:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\theta} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
on <math>\Gamma</math> seria el parell motor de l’actuador rotacional associat al moviment <math>\theta</math>.<br />
<br />
La dependència en les segones derivades temporals <math>(\ddot{xs}, \ddot{\theta})</math> és sempre lineal, en tant que al dependència en les coordenades i les velocitats <math>(\xs, \theta, \dot{xs}, \dot{\theta})</math> pot ser de qualsevol tipus. Els paràmetres dinàmics són la massa dels elements i els associats a la seva distribució a l’espai, i els paràmetres associats a les interaccions sobre el sistema (constants de molles i amortidors, coeficients de fricció, constants del camp gravitatori...); els paràmetres geomètrics tenen a veure amb la forma dels elements del sistema (distàncies i angles).<br />
<br />
En algunes ocasions, les accions dels actuadors (<math>\Fs_{ac}, \Gamma</math>) no són conegudes, mentre que les evolucions temporals dels GL actuats són prefixades. Llavors, les incògnites associades als GL actuats són el valor de les forces (si es tracta d’actuadors lineals) i moments (si són actuadors rotacionals) necessaris per garantir aquestes evolucions prefixades. Es diu que el problema és de '''dinàmica inversa'''.<br />
<br />
Per al cas de l’exemple anterior, si <math>\dot{\theta}</math> està prefixada, les equacions que descriuen les incògnites del problema associades als GL són:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\Gamma} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''enllaços''']]</span></u><br />
<br />
Són els valors de les components de les <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''torsors d'enllaç''']]</span>. El nombre d’incògnites associades als enllaços depèn de la descripció que se’n faci (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''enllaços directes''']]</span>, <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''enllaços indirectes''']]</span>). Quan un problema de dinàmica és indeterminat, la indeterminació sempre es refereix a les components dels torsors d’enllaç, mai als GL (lliures o forçats).<br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
==D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes==<br />
Considerem un sistema de partícules de matèria constant ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Quantitat de Moviment''' (TQM) s’obté a partir de l’aplicació de la segona llei de Newton a cada partícula <math>\Ps</math> del sistema. Si la referència que es considera és galileana: <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, on <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> és la força resultant d’interacció sobre <math>\Ps</math>.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.1''' Forces sobre una partícula d’un sistema de partícules de matèria constant</center><br />
<br />
Les forces que actuen sobre cada partícula es poden classificar en dos grups: internes (que provenen de la interacció amb altres partícules del sistema) i externes (associades a les interaccions amb elements externs al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si aquestes equacions se sumen per a totes les partícules, les forces internes entre parelles de partícules es cancel·len dues a dues pel principi d’acció i reacció:<br />
<br />
<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\:\acc{P}{RGal}</math></center><br />
<br />
El terme de l’esquerra és la resultant de forces externes sobre el sistema, i se sol escriure simplement com a <math>\sum\F{ext}</math>. El terme de la dreta es pot reescriure com a <math>\Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math>, on M és la massa total del sistema <math>\left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El terme <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math> és una acceleració ponderada, on la ponderació és proporcional a la massa de cada partícula. Aquesta acceleració s’associa a un punt anomenat '''centre de masses''' (o '''centre d’inèrcia''') del sistema, i en aquest curs es designa amb la lletra <math>\Gs</math>. Per a una referència qualsevol, doncs, la cinemàtica de <math>\Gs</math> queda descrita per les equacions ('''Figura D4.2'''):<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center><br />
<br />
[[Fitxer:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.2''' Centre de masses (o d’inèrcia) d’un sistema de matèria constant</center><br />
<br />
En el cas de conjunts continus de partícules (com són un conjunt de sòlids rígids, deformables, o fluids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center><br />
<br />
Finalment, el TQM s’escriu com a:<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\:\acc{G}{RGal}</math></center><br />
<br />
Aquesta equació és molt propera a la <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>: el centre de masses <math>\Gs</math> es comporta com si fos una partícula de massa igual a la massa total del sistema, i sobre la qual actuessin totes les forces externes al sistema. Malgrat el paral·lelisme entre el TQM i l’equació de dinàmica de la partícula, hi ha dues diferències fonamentals:<br />
<br />
:*la massa del sistema no està localitzada a <math>\Gs</math> (fins i tot, pot ser que <math>\Gs</math> estigui situat en una zona del sistema sense massa, com és el cas en una anella homogènia);<br />
<br />
:*les forces externes no estan aplicades a <math>\Gs</math> en general.<br />
<br />
El TQM s’anomena així perquè permet conèixer l’evolució, a partir del coneixement de <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic|'''l’estat mecànic''']]</span> inicial i de les interaccions externes, de la '''quantitat de moviment''' del sistema (que, en una referència qualsevol R, es defineix com a <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R}</math>):<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\acc{G}{RGal}=\dert{\Ms\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center><br />
<br />
La localització del centre de masses en els sistemes que s’estudien (ja sigui un únic sòlid rígid o un sistema multisòlid) es presenta breument a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Tensor d’inèrcia#D5.1 Centre de masses|'''secció D5.1''']]</span>. Per a sòlids homogenis de geometria molt senzilla, la posició de G es pot deduir sovint a partir de les simetries del sòlid. <br />
En problemes plans (de cinemàtica 2D), només les dues components del TQM compreses en el pla són interessants.<br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.2 Exemples d’aplicació del TQM==<br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.1: càlcul d’una força d’enllaç ====<br />
<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex1-1-neut.png|thumb|center|180px|link=]]<br />
|Els tres blocs homogenis són llisos i estan en contacte entre ells i amb un terra horitzontal, també llis. Es tracta d’investigar el <span style="text-decoration: underline;">valor de la força horitzontal d’enllaç entre els blocs Q i S</span> quan s’aplica una força horitzontal F al bloc de l’esquerra. <br />
Tots els enllaços que apareixen en aquest sistema són contactes multipuntuals entre superfícies llises. Per tant, cada torsor associat, caracteritzat en un punt del contacte corresponent, conté una component de força i una de moment (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|exemple D3.4]]</span>). Tot i així, en l’aplicació del TQM només intervenen les forces, i per tant no es representen els moments en les figures següents.<br />
|}<br />
<br />
<br />
Per tal que la força d’enllaç <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparegui a la component horitzontal del TQM, cal aplicar el teorema a un sistema on aquesta força sigui externa. Per exemple, al bloc S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>. <br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex1-2new-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
<br />
Aquesta equació conté dues incògnites: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> i <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ja que el moviment dels tres blocs provocat per la força F és el mateix, l’acceleració es pot obtenir amb el TQM aplicat a tot el sistema:<br />
<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.2: moviment inicial d’un sistema ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex2-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|Els blocs homogenis es troben inicialment en repòs sobre un terra rugós, i units mitjançant una molla comprimida amb una tensió <math>\Fs_0=\ms\gs</math> i un fil inextensible. En un cert instant, es talla el fil i el sistema comença a moure’s. <br />
|}<br />
<br />
<br />
Es tracta de calcular l’<span style="text-decoration: underline;">acceleració del centre d’inèrcia del sistema respecte del terra</span>. Aquesta acceleració es pot obtenir a partir de la component horitzontal del TQM aplicat a tot el sistema. La molla és interna, i per tant la seva força no apareix: <math>\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{terra}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.<br />
<br />
Les forces que el terra exerceix sobre cadascun dels blocs poden ser d’enllaç (si els blocs no es mouen, i llavors són incògnites), o de fricció (si els blocs es mouen respecte del terra, i en aquest cas són formulables). També pot donar-se el cas que un bloc llisqui i l’altre no.<br />
<br />
El valor d’una força d’enllaç s’adapta per tal de garantir una restricció. En el cas dels blocs, cal investigar si aquestes forces poden assolir el valor necessari per evitar que els blocs llisquin sobre el terra, i estan acotades pel valor del coeficient de fricció estàtica entre blocs i terra:<br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math><br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math><br />
<br />
Si s’aplica el TQM a cada bloc per separat, la força de la molla passa a ser externa. Aquesta força (de valor mg) pot ser contrarestada per la força d’enllaç en el cas del bloc de massa <math>2\ms</math> (per tant, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), però no en el del bloc de massa m:<br />
[[Fitxer:D4-Ex2-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
<br />
L’aplicació del TQM al bloc de massa m condueix a:<br />
<br />
<math>\left.\begin{aligned}<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{terra}\rightarrow2\ms}+\F{\text{molla}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0<br />
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math><br />
<br />
<br />
Finalment: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.3: estudi d’una condició límit ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|L’esfera homogènia de massa M descansa sobre dues falques idèntiques, de massa m, que es troben al damunt del terra. Entre esfera i falques no hi ha fregament, però entre falques i terra hi ha fregament de coeficient <math>\mu</math>. El sistema es troba inicialment en repòs respecte del terra. Es tracta de determinar el <span style="text-decoration: underline;">valor màxim de M, en funció de m, que permet que el sistema segueixi en repòs</span>.<br />
|}<br />
<br />
Si res no belluga, les forces horitzontals d’interacció entre terra i falques són d’enllaç i no superen el valor límit <math>/mu\ns</math> (on <math>\Ns</math> és la força normal que cada falca rep del terra). El torsor d’enllaç del terra sobre les falques conté també un moment resultant perpendicular a la figura.<br />
Si es vol estudiar la possibilitat de bolcament de les falques, aquest moment és rellevant. En aquest exemple, però, la forma les falques garanteix que no bolquen, i es treballa només amb les forces.<br />
L’aplicació del TQM a tot el sistema, a una falca i a l’esfera condueix a les equacions següents:<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<br />
<center><br />
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"<br />
|- style="vertical-align:top;"<br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + falques<br />
<br />
<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: falca de l'esquerra<br />
<br />
<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera<br />
<br />
<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math><br />
|}</center><br />
<br />
Combinant les dues últimes equacions: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor màxim de M per al qual encara hi ha equilibri correspon a la situació en què la força tangencial d’enllaç T pren el valor màxim possible: <math>\Ts = \Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns</math>. Tenint en compte que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs</math>:<br />
<br />
<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{màx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{màx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.3 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències no galileanes==<br />
La versió del TQM en una referència no galileana NGal s’obté també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada partícula (o cada diferencial de massa) del sistema a la referència NGal (secció D1.7). En principi, doncs, aquesta equació contindrà dues forces d’inèrcia: la d’arrossegament i la de Coriolis ('''Figura D4.3'''): <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,<br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> i <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math><br />
[[Fitxer:D4-3-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.3:''' Forces d’inèrcia en una referència no galileana</center><br />
Sumant les equacions per a totes les partícules, s’obté: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
massa total del sistema.<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
------<br />
:<small><br />
Pel principi d’acció i reacció, la suma per a totes les partícules de les forces d’interacció condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math><br />
<br />
Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada<br />
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el<br />
centre de masses (secció D4.2):<br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
Així doncs: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.4: desplaçament vibratori====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
|El bloc de massa m es troba inicialment en repòs<br />
sobre un suport que oscil·la respecte del terra<br />
d’acord amb el gràfic de velocitat que es mostra a<br />
la figura. Es tracta d’investigar la <span style="text-decoration: underline;">possibilitat que<br />
el bloc llisqui al damunt del suport</span>.<br />
La condició de repòs del bloc respecte del suport<br />
(que és una referència no galileana en tenir un<br />
moviment accelerat respecte del terra) demana:<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sup\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> perque <math>\velang{sup}{T} = \vec{0}</math><br />
|}<br />
<br />
La força d’arrossegament sobre el bloc és estrictament horitzontal. Per tant, la component vertical d’aquesta equació condueix a <math>N = mg</math> . Pel que fa a la component horitzontal, contindrà la força<br />
d’interacció entre bloc i suport. Si el bloc no llisca al damunt del suport, aquesta força és d’enllaç, i el seu valor està acotat: <math>0\leq\mid\Fs_{sup\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si llisca, és una força de fricció de valor <math>\mu\ms\gs</math>, oposada a la velocitat de lliscament.<br />
<br />
Entre <math>t=0</math> i <math>t = 0,4s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math> i per tant la força<br />
d’arrossegament és <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$suport}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor es troba dins del marge de valors permesos per a la força d’enllaç horitzontal del suport sobre el bloc. Per tant, aquesta força prendrà el valor <math>\F{sup\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>, contrarestarà la <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs}</math> i es mantindrà el repòs entre els dos elements.<br />
<br />
Entre <math>t=0,4s</math> i <math>t = 0,6s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Per tant,<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. En sobrepassar el valor màxim de la força horitzontal d’enllaç, no podrà ser contrarestada. El bloc començarà a lliscar, i la força horitzontal d’interacció entre suport i bloc serà de fricció:<br />
<br />
<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} + \F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
A l’instant <math>t = 0,6s</math>, la velocitat del bloc respecte del suport és <br />
<br />
<math>\vel{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.<br />
<br />
Tot i entrar en la fase on <math>\mid\Fcal{ar}{sup\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la força horitzontal entre suport i bloc segueix sent de fricció <math>(\F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> fins aconseguir aturar el bloc. <br />
<br />
L’acceleració del bloc respecte del suport és:<br />
<br />
<math>\acc{G}{sup} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
En tractar-se d’un moviment uniformement desaccelerat, és fàcil calcular l'instant per al qual el bloc deixa de lliscar:<br />
<br />
<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sup} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sup} + \acc{$\Gs,t_f$}{sup}(t_f - t_i)</math>,<br />
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math><br />
<br />
En aquest instant, la força del suport sobre el bloc passa a ser d’enllaç, i ens trobem en una situació anàloga a la inicial. Per tant, el lliscament no recomençarà fins a <math>\ts = 1,4s</math>. L’estudi per als intervals posteriors segueix els mateixos passos que l’estudi de l’interval <math>[0,1,4s]</math>. La figura mostra l’evolució de la cinemàtica del bloc respecte del suport, i de les forces que hi actuen.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex4-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
-----------<br />
-----------<br />
<br />
==D4.4 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulació general==<br />
<br />
La dinàmica d’un sòlid rígid (i per tant, d’un sistema multisòlid) no queda mai totalment resolta amb el TQM quan el sòlid gira: el TQM només informa sobre el moviment d’un punt (<math>\Gs</math>), i no sobre la rotació.<br />
<br />
El '''Teorema del Moment Cinètic''' (TMC) es troba a la literatura enunciat de dues maneres diferents. En aquest curs, s’ha optat per una formulació paral·lela a la del TQM: a l'esquerra apareixen termes que només tenen a veure amb les interaccions externes sobre el sistema, mentre que a la dreta apareix la derivada temporal d’un vector que depèn només de la geometria de masses del sistema i del seu <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic#|'''estat mecànic''']]</span>.<br />
<br />
Com ja s’ha vist quan s’ha introduït el concepte de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor d’un sistema de forces''']]</span>, el que es relaciona amb la rotació d’un sòlid és el moment de les forces, no la força resultant. Per tant, si bé el TMC es demostra també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada diferencial de massa del sistema, caldrà transformar les forces que hi apareixen en moment d’aquestes forces respecte d’un punt <math>\Qs</math>.<br />
<br />
Aquestes dues consideracions (formulació paral·lela al TQM i necessitat de triar un punt <math>\Qs</math> per calcular el moment de les forces) porta a partir de la formulació de la segona llei de Newton en la '''Referència que es Trasllada amb Q (RTQ)''' respecte d’una referència galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, aquesta referència no és galileana, i per tant cal tenir en compte en principi les <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''forces d’inèrcia d’arrossegament''']]</span> ('''Figura D4.3''').<br />
<br />
[[Fitxer:D4-4-cat.png|thumb|center|400px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.4:''' Forces d’inèrcia a la Referència que es Trasllada amb un punt <math>\Qs</math> (RTQ)</center><br><br />
<br />
<br />
Considerem un sistema de partícules amb matèria constant. La segona llei de Newton aplicada a cada partícula del sistema i a la RTQ és:<br><br />
<br />
<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , <br><br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , i <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ja que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>.<br><br />
<br />
Si els dos costats de l’equació es multipliquen vectorialment per <math>\QPvec</math> i es suma per totes les partícules (o elements de massa) del sistema, s’obté el TMC al punt <math>\Qs</math>:<br><br />
<br />
<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br><br />
<br />
on <math>\Ms</math> és la massa total del sistema, i <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> és el '''moment cinètic del sistema respecte el punt''' <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
Si el sistema té elements continus (per exemple, un sistema amb N sòlids rígids <math>\Ss_i</math>), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.<br />
<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
La segona llei de Newton per a cada element de massa multiplicada vectorialment per <math>\QPvec</math> és:<br />
<br />
<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math><br />
<br />
El terme de la dreta es pot reescriure com a:<br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
En ser <math>\Qs</math> un punt de la RTQ, es pot prendre com a origen d’un vector de posició de <math>\Ps</math> en aquesta referència, i per tant:<br />
<br />
<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
Tenint en compte que la massa és constant: <br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math><br />
<br />
La suma d’aquest terme per a tots els elements <math>\Ps</math> condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
<br />
Si les forces d’interacció sobre cada partícula <math>\Ps</math> es classifiquen en internes i externes, la suma per a totes les partícules del sistema del costat esquerre de la primera equació esdevé:<br />
<br />
<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math><br />
<br />
<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> <br><br />
ja que el principi d’acció i reacció garanteix que el moment total d’una parella de forces d’acció i reacció és nul:<br><br />
<br />
<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math><br><br />
Agrupant tots els termes:<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.5 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulacions particulars==<br />
El TMC pren expressions més senzilles quan el punt <math>\Qs</math> és fix a una referència galileana o quan és el centre de masses del sistema.<br><br />
<br />
* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, anomenem aquesta versió “TMC a punt fix”, on se sobreentén que “fix” vol dir “fix a una referència galileana”. Quan és el cas, normalment emprarem la lletra <math>\Os</math> per designar el punt <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math>Cal notar que, si bé l’expressió és similar a la versió a punt fix, el centre de masses <math>\Gs</math> no té per què ser fix a una referència galileana.<br />
<br />
Quan <math>\Qs</math> no és ni un punt fix a RGal ni coincideix amb el centre de masses, se sol parlar de la versió del TMC “a punt mòbil”. Tot i que <math>\Qs</math> sigui un punt mòbil respecte de RGal, el terme associat a les forces d’inèrcia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> pot ser nul si <math>\Qs</math> es mou a velocitat costant respecte de RGal, o si la seva acceleració respecte de RGal és paral·lela a <math>\QGvec</math> .<br />
<br />
<center><br />
{| class="wikitable"<br />
|+ <br />
|-<br />
! '''TMC a punt fix''' !! '''TMA a '''<math>\Gs</math> !! '''TMC a un punt mòbil '''<math>\Qs</math><br />
|-<br />
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center><br />
|| <br />
<center><br />
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center><br />
|| <br />
<center><br />
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math><br><br />
<br />
<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center><br />
<br />
|}<br />
</center><br />
<br />
<br />
El vector moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no és senzill de calcular en general, i es presenta a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Geometria de masses|'''unitat D5''']]</span>. <br><br />
<br />
En problemes de cinemàtica plana (2D), si el moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sòlid del sistema que s’estudia és paral·lel a la velocitat angular del sòlid <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que és de direcció ortogonal al pla del moviment), només la component del TMC perpendicular al pla és interessant. En aquest cas es diu que el problema és de dinàmica plana (2D), i el problema es pot resoldre a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.<br />
<br />
<div><br />
===<u>TMC en un punt de contacte entre dos sòlids</u>===<br />
Un enllaç que apareix sovint en els sistemes mecànics és el contacte puntual entre parelles de sòlids (S1 i S2, per exemple). Aquest enllaç pot introduir entre 1 i 3 incògnites d’enllaç (segons la rugositat de les superfícies i la cinemàtica del contacte – amb o sense lliscament). Quan aquestes forces no es volen calcular, és temptador aplicar el TMC al punt de contacte <math>\Js</math> (ja que el seu moment respecte de <math>\Js</math> és nul). <br><br />
[[Fitxer:TMCaJ-0-cat.png|thumb|right|230px|link=]]<br />
L’aplicació del TMC a <math>\Js</math> és molt delicada. Cal precisar de quin punt <math>\Js</math> es parla (<span style="text-decoration: underline;">[[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''exemple C5-1.8''']]</span>): si es tracta del <math>\Js</math> del sòlid S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sòlid S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math> , o bé si és el punt geomètric de contacte <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math> . Per una banda, aquests tres punts tenen cinemàtiques diferents <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math> , i el terme complementari associat al moment de les forces d’inèrcia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> és diferent. Per altra banda, si per exemple el TMC s’aplica al solid S1, cal tenir present que, tot i que <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertany a S1 i es pot calcular el moment cinètic a partir del tensor d’inèrcia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> i <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no hi pertanyen, i cal fer servir la descomposició baricèntrica per calcular aquest vector.<br />
<br />
Finalment, ja que el moment cinètic s’ha de derivar, el seu càlcul s’ha de fer en una configuració general (és a dir, quan <math>\Js</math> no és encara el punt de contacte), i és només després d’haver fet la derivada que es pot particularitzar el resultat a la configuració en què <math>\Js</math> és el punt de contacte. Com a il·lustració de tot plegat, l’esquema següent mostra l’aplicació del TMC a una roda amb moviment pla que toca a terra i llisca.<br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-1-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{roda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{roda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{roda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math><br />
</center><br><br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-2-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\<br />
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}<br />
\end{array}\right. <br />
</math><br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-3-cat-esp.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\<br />
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0) <br />
\end{array}\right. <br />
</math><br />
</center></center><br />
</div><br />
<br />
<br />
------<br />
------<br />
<br />
==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex5-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]<br />
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de <u>calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:<br />
[[Fitxer:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant:<br><br />
<br />
<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math><br><br />
<br />
Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero:<br><br />
<br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\<br />
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math><br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math><br />
<br />
Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex6-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]<br />
|Els blocs pengen de dues cordes inextensibles amb un extrem lligat a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de <u>calcular l’acceleració angular de les politges</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|center|140px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> :<br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math><br><br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math><br><br />
<br />
<br />
Per la definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]</span>: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs:<br><br />
<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math><br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]<br />
<u>Resolució alternativa </u><br><br />
<br />
Si s’aplica el TMC al punt <math>\Os</math> per al sistema format per les politges i les cordes, el pes dels blocs ja no apareix com a interacció externa, però apareixen en canvi les tensions de les dues cordes (que són incògnites d’enllaç).<br><br />
<br />
El moment cinètic del sistema és nul perquè no té massa:<br><br />
<br />
SIST: politges + cordes<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math><br><br />
[[Fitxer:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]<br />
<br />
<br />
L’aplicació del TQM a cadascun dels blocs genera dues equacions més:<br><br />
<br />
SIST: bloc de 10kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(10\ks\gs)(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
SIST: bloc de 5kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(5\ks\gs)(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
La resolució del sistema d’equacions condueix a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>.<br><br />
<br />
<br />
La primera resolució és més ràpida (només fa servir una equació escalar), però implica el càlcul del moment cinètic. Aquesta segona resolució és més llarga (sistema de tres equacions) però que no requereix calcular cap moment cinètic.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.7: dinàmica longitudinal d’un vehicle====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-1-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El vehicle sense suspensions es mou sobre una carretera rectilínia. La massa de les rodes és negligible comparada amb la de la resta dels elements, i es considera que el seu contacte amb el terra es puntual. Es tracta d’<u>analitzar les forces normals d’enllaç entre terra i rodes</u>.<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el vehicle es redueixen al pes i a l’enllaç amb el terra. Si l’acceleració del xassís respecte del terra és una dada, l’aplicació del TQM condueix a:<br />
|}<br />
<br />
{|<br />
|<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}<br />
<br />
\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\<br />
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)<br />
\end{aligned}\right.</math><br />
<br />
<br />
on <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> i <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> són les forces normal i tangencial que en total reben les dues rodes del davant i les dues rodes del darrere, respectivament.<br />
El TMC a G condueix a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs} + \Ts_{\ds\rs})] =0</math><br />
(el moment cinètic <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> és permanentment nul ja que les rodes no tenen massa, i la resta del vehicle té moviment nul respecte de la RTG).<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-2-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
Resolent el sistema d’equacions: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math><br />
<br />
Aquest resultat és vàlid per a qualsevol valor de <math>\as_\Ls</math>:<br />
:*Situació estàtica (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la força normal és més gran a les rodes que tenen l’eix més proper a <math>\Gs</math>.<br />
<br />
:*Accelerant (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math> ; hi ha un transvasament de força del davant cap al darrere (es carreguen les rodes del darrere i es descarreguen les del davant). Si l’acceleració <math>|\as_\Ts|</math> és prou elevada, la força normal al davant passa a ser negativa, la qual cosa indica que s’ha perdut el contacte i el vehicle bolca en sentit antihorari. Llavors, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el xassís passa a tenir, en principi, acceleració angular, i com a conseqüència el centre de masses <math>\Gs</math> passa a tenir acceleració vertical.<br />
<br />
:*Frenant (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hi ha un transvasament de força del darrere cap al davant (es descarreguen les rodes del darrere i es carreguen les del davant). Com en el cas precedent, hi ha un valor crític de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el bolcament, ara en sentit horari.<br />
</small><br />
---------<br />
---------<br />
</div><br />
<br />
==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==<br />
<br />
L’aplicació dels teoremes vectorials als <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''']]</span> (SAE) és senzilla ja que els termes de la dreta (variació de quantitat de moviment i variació de moment cinètic) són nuls en ser nul·la la seva massa:<br><br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{qualsevol} \hspace{0.2cm} \mathrm{punt}) \approx \overline{0}.</math><br><br />
<br />
Per al cas d’un SAE (sòlid S) connectant dos sòlids rígids S1 i S2 ('''Figura D4.5'''), aquestes equacions permeten demostrar que el torsor que actua sobre S1 es pot obtenir a partir d’una equació de caracterització analítica on la cinemàtica del punt <math>\Ps</math> de caracterització (que ha de pertànyer al sòlid S1) s’avalua a la referència solidària a S2:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br><br />
<br />
(Quan es tracta de velocitats, és important especificar a quin sòlid pertany el punt <math>\Ps</math>. Això, en canvi, és irrellevant quan es tracta de moments: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>).<br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-5-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.5:'''Sòlid Auxiliar d’Enllaç entre dos sòlids de massa no nul·la</center><br><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
Els teoremes vectorials aplicats sobre el SAE impliquen que els torsors d’enllaç que rep de S1 i S2 en un mateix punt <math>\Ps</math> han de sumar zero:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\<br />
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\<br />
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)<br />
\end{array}\right.</math><br><br />
<br />
Per altra banda, aquests torsors compleixen l’<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''equació de caracterització analítica''']]</span>:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math><br><br />
<br />
Si es combinen totes les equacions anteriors, s’obté:<br><br />
<br />
<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math><br><br />
<br />
Una <span style="text-decration: underline;">[[C3. Composició de moviments#C3.1 Composició de velocitats|'''composició de moviments''']]</span> permet reescriure l’equació anterior de manera més compacta:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math><br><br />
<br />
Finalment: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.8: dinàmica longitudinal d’un vehicle ====<br />
---------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex8-1-cat.png|thumb|left|220px|link=]]<br />
|En el vehicle de l’exemple D4.7, es considera que la tracció és posterior. Això vol dir que el motor del vehicle actua entre el xassís i les rodes posteriors, en tant que les del davant només estan sotmeses a interaccions d’enllaç (articulació amb el xassís i contacte amb el terra). <br><br />
<br />
Si es tracten les rodes del davant com a SAE, l’anàlisi cinemàtica del xassís respecte del terra per a la caracterització de l’enllaç a través de les rodes del davant condueix a un torsor en el centre de la roda (que és fix al xassís) amb només una component de força:<br />
|}<br />
[[Fitxer:D4-Ex8-2-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
L’existència d’una component horitzontal de força entre les rodes posteriors (necessària per accelerar o frenar el vehicle!) està associada al parell motor. Si s'apliquen els teoremes vectorials a les rodes posteriors, les interaccions externes a tenir en compte són l’enllaç amb el terra, l’articulació amb el xassís i el parell motor <math>\Gamma</math> : <br />
[[Fitxer:D4-Ex8-3-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{rodes} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum <br />
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow <br />
\left\{\begin{array}{l}<br />
\mathrm{TQM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dr}=\Ns'_\mathrm{dr} , \Ts_\mathrm{dr}=\Ts'_\mathrm{dr} \\<br />
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{a} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dr}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs<br />
\end{array}\right. </math><br><br />
<br />
La força tangencial sobre les rodes motrius és directament proporcional al parell motor que se’ls aplica. Cal no oblidar, però, que com a força tangencial d’enllaç, el seu valor està limitat per <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math> . Això permet calcular l’acceleració màxima que pot adquirir el vehicle (mentre la roda del davant no perdi contacte amb el terra):<br><br />
<br />
<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Ts_\mathrm{dr,màx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>.<br><br />
<br />
En terrenys de baix fregament ( <math>\mu_\es</math> de valor baix), un motor capaç de subministrar un parell màxim alt és inútil: qui posa límit a l’acceleració és el valor del coeficient de fricció <math>\mu_\es</math> : <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math> . En terrenys d’alt fregament, si el parell màxim és baix és ell qui posa límit a l’acceleració: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la roda del davant no perd contacte amb el terra).<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.8 Descomposició baricèntrica del moment cinètic==<br />
<br />
La versió del TMC que s’ha presentat permet triar lliurement el punt <math>\Qs</math> d’aplicació. El criteri per triar-lo es basa en el que es vulgui investigar (una força d’enllaç, una equació del moviment...). A la <span style="text-decoration: underline;">[[D6. Exemples de dinàmica 2D|'''unitat D6''']]</span> es discuteix aquest criteri.<br />
En alguns casos, pot ser interessant triar un punt <math>\Qs</math> que no pertanyi a cap element material del sistema. Llavors, és útil referir el càlcul del moment cinètic <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al moment cinètic al centre de masses <math>\Gs</math> del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Això es coneix amb el nom de '''descomposició baricèntrica''' del moment cinètic:<br />
<br />
<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>,<br />
<br />
on el superíndex <math>\oplus</math> indica que el moment cinètic s’ha de calcular com si el sistema s’hagués reduït a una partícula concentrada a <math>\Gs</math> amb massa igual a la massa total del sistema (M): <br />
<br />
<math>\H{G}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
:La definició de moment cinètic d'un sòlid rígid <math>\Ss_i</math> és: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocitat <math>\vel{P}{RTQ}</math> es pot escriure com a suma de dos termes si s’aplica una composició de moviments:<br />
<br />
:<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\<br />
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math><br><br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:La definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D4. Teoremes vectorials#D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes|'''centre de masses''']]</span> porta a reescriure el segon terme com a:<br />
<br />
:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincideix amb el moment cinètic respecte de <math>\Qs</math> d’una partícula de massa M situada a <math>\Gs</math>: <math>\QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ} = \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:En el primer terme de l’expressió de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, es pot descompondre <math>\QPvec</math> en suma de dos termes:<br />
<br />
:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math><br />
<br />
:Per definició de centre de masses: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.<br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
===== ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica =====<br />
----------<br />
<small><br />
{|<br />
<br />
|[[Fitxer:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El sòlid està format per dues barres de massa negligible i quatre partícules (<math>\Ps</math>) amb massa m unides als extrems de les barres. El sòlid està articulat a un suport que es pot moure al llarg d’una guia fixa a terra.<br />
El seu moment cinètic a G és:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math><br />
<br />
La RTG és fixa al suport, i la velocitat de les partícules respecte d’aquesta referència és proporcional a la rotació <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Per tant:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math><br />
|}<br />
:El moment cinètic a <math>\Os</math> (fix al terra) es pot calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mitjançant descomposició baricèntrica:<br />
<br />
:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times 4\ms\vel{G}{T} =</math><br />
<math>= (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) =</math><br />
<math>= (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math><br />
<br />
<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<p align="right"><small>© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]</small></p><br />
-------------<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><br />
[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|<<< D3. Interaccions entre sòlids rígids]]<br />
<br />
[[D5. Geometria de masses|D5. Geometria de masses >>>]]<br />
</center></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=D4._Teoremes_vectorials&diff=7758
D4. Teoremes vectorials
2025-05-08T12:35:55Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<br />
<math><br />
\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\ss}{\textsf{s}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\JGvec}{\vec{\Js\Gs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
\newcommand{\H}[3]{\vec{\mathbf{H}}_{\text{#3}}^{#2}(\textbf{#1})}<br />
</math><br />
<br />
Els '''Teoremes Vectorials''' són una eina per estudiar la dinàmica dels sistemes mecànics, i s’obtenen a partir de la llei fonamental de la dinàmica (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>) i del principi d’acció i reacció (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''tercera llei de Newton''']]</span>).<br />
<br />
En aquest curs, es presenta només la <span style="text-decoration: underline;">versió dels teoremes per al cas de sistemes de matèria constant</span>. Tot i que això inclou sistemes amb fluids, els exemples d’aplicació en aquest curs són essencialment sistemes multisòlid formats per sòlids rígids.<br />
<br />
En estudiar la dinàmica d'un <span style="text-decoration: underline;">[[Introducción#I.1 Què és la mecànica?|'''sistema mecànic''']]</span>, és essencial identificar les incògnites que conté el sistema que s’estudia i analitzar si els teoremes vectorials proporcionen el nombre suficient d’equacions per resoldre-les totes (cal saber si el problema és determinat o indeterminat!). Les incògnites es poden classificar en dos grups:<br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''graus de llibertat''']]</span></u><br />
<br />
Els GL d’un sistema mecànic poden ser <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''lliures o actuats''']]</span> (o forçats, associats a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''actuadors''']]</span>). En ambdós casos, el seu valor inicial (el valor en començar un experiment o en posar en marxa el sistema) és conegut. Quan es tracta de GL lliures, l’evolució d’aquest valor inicial no es coneix: és una incògnita. Es diu que el problema és de '''dinàmica directa'''.<br />
<br />
Aquest és el cas també quan es tracta de GL actuats si l’acció de l’actuador associat és coneguda (és a dir, quan es coneix el valor de <math>\Fs_{ac}</math>– cas dels actuadors lineals –, o de <math>\gamma</math>– cas dels rotacionals). El problema també és de dinàmica directa.<br />
<br />
Les equacions que regeixen l’evolució dels GL s’anomenen '''equacions del moviment'''. Si els GL es descriuen mitjançant derivades temporals de coordenades (<math>\dot{q}_i</math>, amb i=1,2,3...), la seva evolució temporal són les segones derivades temporals d’aquests coordenades (acceleracions). <br />
<br />
Per a un sistema amb 2 GL lliures descrits, per exemple, per (x, <math>\dot{\theta}</math>), aquestes equacions tindrien el següent aspecte general:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\theta} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
on <math>\Gamma</math> seria el parell motor de l’actuador rotacional associat al moviment <math>\theta</math>.<br />
<br />
La dependència en les segones derivades temporals <math>(\ddot{xs}, \ddot{\theta})</math> és sempre lineal, en tant que al dependència en les coordenades i les velocitats <math>(\xs, \theta, \dot{xs}, \dot{\theta})</math> pot ser de qualsevol tipus. Els paràmetres dinàmics són la massa dels elements i els associats a la seva distribució a l’espai, i els paràmetres associats a les interaccions sobre el sistema (constants de molles i amortidors, coeficients de fricció, constants del camp gravitatori...); els paràmetres geomètrics tenen a veure amb la forma dels elements del sistema (distàncies i angles).<br />
<br />
En algunes ocasions, les accions dels actuadors (<math>\Fs_{ac}, \Gamma</math>) no són conegudes, mentre que les evolucions temporals dels GL actuats són prefixades. Llavors, les incògnites associades als GL actuats són el valor de les forces (si es tracta d’actuadors lineals) i moments (si són actuadors rotacionals) necessaris per garantir aquestes evolucions prefixades. Es diu que el problema és de '''dinàmica inversa'''.<br />
<br />
Per al cas de l’exemple anterior, si <math>\dot{\theta}</math> està prefixada, les equacions que descriuen les incògnites del problema associades als GL són:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\Gamma} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''enllaços''']]</span></u><br />
<br />
Són els valors de les components de les <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''torsors d'enllaç''']]</span>. El nombre d’incògnites associades als enllaços depèn de la descripció que se’n faci (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''enllaços directes''']]</span>, <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''enllaços indirectes''']]</span>). Quan un problema de dinàmica és indeterminat, la indeterminació sempre es refereix a les components dels torsors d’enllaç, mai als GL (lliures o forçats).<br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
==D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes==<br />
Considerem un sistema de partícules de matèria constant ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Quantitat de Moviment''' (TQM) s’obté a partir de l’aplicació de la segona llei de Newton a cada partícula <math>\Ps</math> del sistema. Si la referència que es considera és galileana: <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, on <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> és la força resultant d’interacció sobre <math>\Ps</math>.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.1''' Forces sobre una partícula d’un sistema de partícules de matèria constant</center><br />
<br />
Les forces que actuen sobre cada partícula es poden classificar en dos grups: internes (que provenen de la interacció amb altres partícules del sistema) i externes (associades a les interaccions amb elements externs al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si aquestes equacions se sumen per a totes les partícules, les forces internes entre parelles de partícules es cancel·len dues a dues pel principi d’acció i reacció:<br />
<br />
<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\:\acc{P}{RGal}</math></center><br />
<br />
El terme de l’esquerra és la resultant de forces externes sobre el sistema, i se sol escriure simplement com a <math>\sum\F{ext}</math>. El terme de la dreta es pot reescriure com a <math>\Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math>, on M és la massa total del sistema <math>\left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El terme <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math> és una acceleració ponderada, on la ponderació és proporcional a la massa de cada partícula. Aquesta acceleració s’associa a un punt anomenat '''centre de masses''' (o '''centre d’inèrcia''') del sistema, i en aquest curs es designa amb la lletra <math>\Gs</math>. Per a una referència qualsevol, doncs, la cinemàtica de <math>\Gs</math> queda descrita per les equacions ('''Figura D4.2'''):<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center><br />
<br />
[[Fitxer:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.2''' Centre de masses (o d’inèrcia) d’un sistema de matèria constant</center><br />
<br />
En el cas de conjunts continus de partícules (com són un conjunt de sòlids rígids, deformables, o fluids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center><br />
<br />
Finalment, el TQM s’escriu com a:<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\:\acc{G}{RGal}</math></center><br />
<br />
Aquesta equació és molt propera a la <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>: el centre de masses <math>\Gs</math> es comporta com si fos una partícula de massa igual a la massa total del sistema, i sobre la qual actuessin totes les forces externes al sistema. Malgrat el paral·lelisme entre el TQM i l’equació de dinàmica de la partícula, hi ha dues diferències fonamentals:<br />
<br />
:*la massa del sistema no està localitzada a <math>\Gs</math> (fins i tot, pot ser que <math>\Gs</math> estigui situat en una zona del sistema sense massa, com és el cas en una anella homogènia);<br />
<br />
:*les forces externes no estan aplicades a <math>\Gs</math> en general.<br />
<br />
El TQM s’anomena així perquè permet conèixer l’evolució, a partir del coneixement de <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic|'''l’estat mecànic''']]</span> inicial i de les interaccions externes, de la '''quantitat de moviment''' del sistema (que, en una referència qualsevol R, es defineix com a <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R}</math>):<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\acc{G}{RGal}=\dert{\Ms\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center><br />
<br />
La localització del centre de masses en els sistemes que s’estudien (ja sigui un únic sòlid rígid o un sistema multisòlid) es presenta breument a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Tensor d’inèrcia#D5.1 Centre de masses|'''secció D5.1''']]</span>. Per a sòlids homogenis de geometria molt senzilla, la posició de G es pot deduir sovint a partir de les simetries del sòlid. <br />
En problemes plans (de cinemàtica 2D), només les dues components del TQM compreses en el pla són interessants.<br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.2 Exemples d’aplicació del TQM==<br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.1: càlcul d’una força d’enllaç ====<br />
<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex1-1-neut.png|thumb|center|180px|link=]]<br />
|Els tres blocs homogenis són llisos i estan en contacte entre ells i amb un terra horitzontal, també llis. Es tracta d’investigar el <span style="text-decoration: underline;">valor de la força horitzontal d’enllaç entre els blocs Q i S</span> quan s’aplica una força horitzontal F al bloc de l’esquerra. <br />
Tots els enllaços que apareixen en aquest sistema són contactes multipuntuals entre superfícies llises. Per tant, cada torsor associat, caracteritzat en un punt del contacte corresponent, conté una component de força i una de moment (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|exemple D3.4]]</span>). Tot i així, en l’aplicació del TQM només intervenen les forces, i per tant no es representen els moments en les figures següents.<br />
|}<br />
<br />
<br />
Per tal que la força d’enllaç <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparegui a la component horitzontal del TQM, cal aplicar el teorema a un sistema on aquesta força sigui externa. Per exemple, al bloc S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>. <br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex1-2new-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
<br />
Aquesta equació conté dues incògnites: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> i <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ja que el moviment dels tres blocs provocat per la força F és el mateix, l’acceleració es pot obtenir amb el TQM aplicat a tot el sistema:<br />
<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.2: moviment inicial d’un sistema ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex2-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|Els blocs homogenis es troben inicialment en repòs sobre un terra rugós, i units mitjançant una molla comprimida amb una tensió <math>\Fs_0=\ms\gs</math> i un fil inextensible. En un cert instant, es talla el fil i el sistema comença a moure’s. <br />
|}<br />
<br />
<br />
Es tracta de calcular l’<span style="text-decoration: underline;">acceleració del centre d’inèrcia del sistema respecte del terra</span>. Aquesta acceleració es pot obtenir a partir de la component horitzontal del TQM aplicat a tot el sistema. La molla és interna, i per tant la seva força no apareix: <math>\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{terra}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.<br />
<br />
Les forces que el terra exerceix sobre cadascun dels blocs poden ser d’enllaç (si els blocs no es mouen, i llavors són incògnites), o de fricció (si els blocs es mouen respecte del terra, i en aquest cas són formulables). També pot donar-se el cas que un bloc llisqui i l’altre no.<br />
<br />
El valor d’una força d’enllaç s’adapta per tal de garantir una restricció. En el cas dels blocs, cal investigar si aquestes forces poden assolir el valor necessari per evitar que els blocs llisquin sobre el terra, i estan acotades pel valor del coeficient de fricció estàtica entre blocs i terra:<br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math><br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math><br />
<br />
Si s’aplica el TQM a cada bloc per separat, la força de la molla passa a ser externa. Aquesta força (de valor mg) pot ser contrarestada per la força d’enllaç en el cas del bloc de massa <math>2\ms</math> (per tant, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), però no en el del bloc de massa m:<br />
[[Fitxer:D4-Ex2-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
<br />
L’aplicació del TQM al bloc de massa m condueix a:<br />
<br />
<math>\left.\begin{aligned}<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{terra}\rightarrow2\ms}+\F{\text{molla}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0<br />
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math><br />
<br />
<br />
Finalment: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.3: estudi d’una condició límit ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|L’esfera homogènia de massa M descansa sobre dues falques idèntiques, de massa m, que es troben al damunt del terra. Entre esfera i falques no hi ha fregament, però entre falques i terra hi ha fregament de coeficient <math>\mu</math>. El sistema es troba inicialment en repòs respecte del terra. Es tracta de determinar el <span style="text-decoration: underline;">valor màxim de M, en funció de m, que permet que el sistema segueixi en repòs</span>.<br />
|}<br />
<br />
Si res no belluga, les forces horitzontals d’interacció entre terra i falques són d’enllaç i no superen el valor límit <math>/mu\ns</math> (on <math>\Ns</math> és la força normal que cada falca rep del terra). El torsor d’enllaç del terra sobre les falques conté també un moment resultant perpendicular a la figura.<br />
Si es vol estudiar la possibilitat de bolcament de les falques, aquest moment és rellevant. En aquest exemple, però, la forma les falques garanteix que no bolquen, i es treballa només amb les forces.<br />
L’aplicació del TQM a tot el sistema, a una falca i a l’esfera condueix a les equacions següents:<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<br />
<center><br />
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"<br />
|- style="vertical-align:top;"<br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + falques<br />
<br />
<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: falca de l'esquerra<br />
<br />
<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera<br />
<br />
<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math><br />
|}</center><br />
<br />
Combinant les dues últimes equacions: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor màxim de M per al qual encara hi ha equilibri correspon a la situació en què la força tangencial d’enllaç T pren el valor màxim possible: <math>\Ts = \Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns</math>. Tenint en compte que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs</math>:<br />
<br />
<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{màx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{màx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.3 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències no galileanes==<br />
La versió del TQM en una referència no galileana NGal s’obté també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada partícula (o cada diferencial de massa) del sistema a la referència NGal (secció D1.7). En principi, doncs, aquesta equació contindrà dues forces d’inèrcia: la d’arrossegament i la de Coriolis ('''Figura D4.3'''): <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,<br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> i <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math><br />
[[Fitxer:D4-3-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.3:''' Forces d’inèrcia en una referència no galileana</center><br />
Sumant les equacions per a totes les partícules, s’obté: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
massa total del sistema.<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
------<br />
:<small><br />
Pel principi d’acció i reacció, la suma per a totes les partícules de les forces d’interacció condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math><br />
<br />
Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada<br />
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el<br />
centre de masses (secció D4.2):<br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
Així doncs: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.4: desplaçament vibratori====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
|El bloc de massa m es troba inicialment en repòs<br />
sobre un suport que oscil·la respecte del terra<br />
d’acord amb el gràfic de velocitat que es mostra a<br />
la figura. Es tracta d’investigar la <span style="text-decoration: underline;">possibilitat que<br />
el bloc llisqui al damunt del suport</span>.<br />
La condició de repòs del bloc respecte del suport<br />
(que és una referència no galileana en tenir un<br />
moviment accelerat respecte del terra) demana:<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sup\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> perque <math>\velang{sup}{T} = \vec{0}</math><br />
|}<br />
<br />
La força d’arrossegament sobre el bloc és estrictament horitzontal. Per tant, la component vertical d’aquesta equació condueix a <math>N = mg</math> . Pel que fa a la component horitzontal, contindrà la força<br />
d’interacció entre bloc i suport. Si el bloc no llisca al damunt del suport, aquesta força és d’enllaç, i el seu valor està acotat: <math>0\leq\mid\Fs_{sup\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si llisca, és una força de fricció de valor <math>\mu\ms\gs</math>, oposada a la velocitat de lliscament.<br />
<br />
Entre <math>t=0</math> i <math>t = 0,4s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math> i per tant la força<br />
d’arrossegament és <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$suport}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor es troba dins del marge de valors permesos per a la força d’enllaç horitzontal del suport sobre el bloc. Per tant, aquesta força prendrà el valor <math>\F{sup\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>, contrarestarà la <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs}</math> i es mantindrà el repòs entre els dos elements.<br />
<br />
Entre <math>t=0,4s</math> i <math>t = 0,6s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Per tant,<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. En sobrepassar el valor màxim de la força horitzontal d’enllaç, no podrà ser contrarestada. El bloc començarà a lliscar, i la força horitzontal d’interacció entre suport i bloc serà de fricció:<br />
<br />
<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} + \F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
A l’instant <math>t = 0,6s</math>, la velocitat del bloc respecte del suport és <br />
<br />
<math>\vel{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.<br />
<br />
Tot i entrar en la fase on <math>\mid\Fcal{ar}{sup\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la força horitzontal entre suport i bloc segueix sent de fricció <math>(\F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> fins aconseguir aturar el bloc. <br />
<br />
L’acceleració del bloc respecte del suport és:<br />
<br />
<math>\acc{G}{sup} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
En tractar-se d’un moviment uniformement desaccelerat, és fàcil calcular l'instant per al qual el bloc deixa de lliscar:<br />
<br />
<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sup} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sup} + \acc{$\Gs,t_f$}{sup}(t_f - t_i)</math>,<br />
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math><br />
<br />
En aquest instant, la força del suport sobre el bloc passa a ser d’enllaç, i ens trobem en una situació anàloga a la inicial. Per tant, el lliscament no recomençarà fins a <math>\ts = 1,4s</math>. L’estudi per als intervals posteriors segueix els mateixos passos que l’estudi de l’interval <math>[0,1,4s]</math>. La figura mostra l’evolució de la cinemàtica del bloc respecte del suport, i de les forces que hi actuen.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex4-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
-----------<br />
-----------<br />
<br />
==D4.4 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulació general==<br />
<br />
La dinàmica d’un sòlid rígid (i per tant, d’un sistema multisòlid) no queda mai totalment resolta amb el TQM quan el sòlid gira: el TQM només informa sobre el moviment d’un punt (<math>\Gs</math>), i no sobre la rotació.<br />
<br />
El '''Teorema del Moment Cinètic''' (TMC) es troba a la literatura enunciat de dues maneres diferents. En aquest curs, s’ha optat per una formulació paral·lela a la del TQM: a l'esquerra apareixen termes que només tenen a veure amb les interaccions externes sobre el sistema, mentre que a la dreta apareix la derivada temporal d’un vector que depèn només de la geometria de masses del sistema i del seu <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic#|'''estat mecànic''']]</span>.<br />
<br />
Com ja s’ha vist quan s’ha introduït el concepte de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor d’un sistema de forces''']]</span>, el que es relaciona amb la rotació d’un sòlid és el moment de les forces, no la força resultant. Per tant, si bé el TMC es demostra també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada diferencial de massa del sistema, caldrà transformar les forces que hi apareixen en moment d’aquestes forces respecte d’un punt <math>\Qs</math>.<br />
<br />
Aquestes dues consideracions (formulació paral·lela al TQM i necessitat de triar un punt <math>\Qs</math> per calcular el moment de les forces) porta a partir de la formulació de la segona llei de Newton en la '''Referència que es Trasllada amb Q (RTQ)''' respecte d’una referència galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, aquesta referència no és galileana, i per tant cal tenir en compte en principi les <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''forces d’inèrcia d’arrossegament''']]</span> ('''Figura D4.3''').<br />
<br />
[[Fitxer:D4-4-cat.png|thumb|center|400px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.4:''' Forces d’inèrcia a la Referència que es Trasllada amb un punt <math>\Qs</math> (RTQ)</center><br><br />
<br />
<br />
Considerem un sistema de partícules amb matèria constant. La segona llei de Newton aplicada a cada partícula del sistema i a la RTQ és:<br><br />
<br />
<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , <br><br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , i <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ja que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>.<br><br />
<br />
Si els dos costats de l’equació es multipliquen vectorialment per <math>\QPvec</math> i es suma per totes les partícules (o elements de massa) del sistema, s’obté el TMC al punt <math>\Qs</math>:<br><br />
<br />
<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br><br />
<br />
on <math>\Ms</math> és la massa total del sistema, i <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> és el '''moment cinètic del sistema respecte el punt''' <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
Si el sistema té elements continus (per exemple, un sistema amb N sòlids rígids <math>\Ss_i</math>), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.<br />
<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
La segona llei de Newton per a cada element de massa multiplicada vectorialment per <math>\QPvec</math> és:<br />
<br />
<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math><br />
<br />
El terme de la dreta es pot reescriure com a:<br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
En ser <math>\Qs</math> un punt de la RTQ, es pot prendre com a origen d’un vector de posició de <math>\Ps</math> en aquesta referència, i per tant:<br />
<br />
<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
Tenint en compte que la massa és constant: <br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math><br />
<br />
La suma d’aquest terme per a tots els elements <math>\Ps</math> condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
<br />
Si les forces d’interacció sobre cada partícula <math>\Ps</math> es classifiquen en internes i externes, la suma per a totes les partícules del sistema del costat esquerre de la primera equació esdevé:<br />
<br />
<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math><br />
<br />
<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> <br><br />
ja que el principi d’acció i reacció garanteix que el moment total d’una parella de forces d’acció i reacció és nul:<br><br />
<br />
<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math><br><br />
Agrupant tots els termes:<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.5 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulacions particulars==<br />
El TMC pren expressions més senzilles quan el punt <math>\Qs</math> és fix a una referència galileana o quan és el centre de masses del sistema.<br><br />
<br />
* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, anomenem aquesta versió “TMC a punt fix”, on se sobreentén que “fix” vol dir “fix a una referència galileana”. Quan és el cas, normalment emprarem la lletra <math>\Os</math> per designar el punt <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math>Cal notar que, si bé l’expressió és similar a la versió a punt fix, el centre de masses <math>\Gs</math> no té per què ser fix a una referència galileana.<br />
<br />
Quan <math>\Qs</math> no és ni un punt fix a RGal ni coincideix amb el centre de masses, se sol parlar de la versió del TMC “a punt mòbil”. Tot i que <math>\Qs</math> sigui un punt mòbil respecte de RGal, el terme associat a les forces d’inèrcia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> pot ser nul si <math>\Qs</math> es mou a velocitat costant respecte de RGal, o si la seva acceleració respecte de RGal és paral·lela a <math>\QGvec</math> .<br />
<br />
<center><br />
{| class="wikitable"<br />
|+ <br />
|-<br />
! '''TMC a punt fix''' !! '''TMA a '''<math>\Gs</math> !! '''TMC a un punt mòbil '''<math>\Qs</math><br />
|-<br />
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center><br />
|| <br />
<center><br />
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center><br />
|| <br />
<center><br />
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math><br><br />
<br />
<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center><br />
<br />
|}<br />
</center><br />
<br />
<br />
El vector moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no és senzill de calcular en general, i es presenta a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Geometria de masses|'''unitat D5''']]</span>. <br><br />
<br />
En problemes de cinemàtica plana (2D), si el moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sòlid del sistema que s’estudia és paral·lel a la velocitat angular del sòlid <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que és de direcció ortogonal al pla del moviment), només la component del TMC perpendicular al pla és interessant. En aquest cas es diu que el problema és de dinàmica plana (2D), i el problema es pot resoldre a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.<br />
<br />
<div><br />
===<u>TMC en un punt de contacte entre dos sòlids</u>===<br />
Un enllaç que apareix sovint en els sistemes mecànics és el contacte puntual entre parelles de sòlids (S1 i S2, per exemple). Aquest enllaç pot introduir entre 1 i 3 incògnites d’enllaç (segons la rugositat de les superfícies i la cinemàtica del contacte – amb o sense lliscament). Quan aquestes forces no es volen calcular, és temptador aplicar el TMC al punt de contacte <math>\Js</math> (ja que el seu moment respecte de <math>\Js</math> és nul). <br><br />
[[Fitxer:TMCaJ-0-cat.png|thumb|right|230px|link=]]<br />
L’aplicació del TMC a <math>\Js</math> és molt delicada. Cal precisar de quin punt <math>\Js</math> es parla (<span style="text-decoration: underline;">[[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''exemple C5-1.8''']]</span>): si es tracta del <math>\Js</math> del sòlid S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sòlid S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math> , o bé si és el punt geomètric de contacte <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math> . Per una banda, aquests tres punts tenen cinemàtiques diferents <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math> , i el terme complementari associat al moment de les forces d’inèrcia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> és diferent. Per altra banda, si per exemple el TMC s’aplica al solid S1, cal tenir present que, tot i que <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertany a S1 i es pot calcular el moment cinètic a partir del tensor d’inèrcia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> i <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no hi pertanyen, i cal fer servir la descomposició baricèntrica per calcular aquest vector.<br />
<br />
Finalment, ja que el moment cinètic s’ha de derivar, el seu càlcul s’ha de fer en una configuració general (és a dir, quan <math>\Js</math> no és encara el punt de contacte), i és només després d’haver fet la derivada que es pot particularitzar el resultat a la configuració en què <math>\Js</math> és el punt de contacte. Com a il·lustració de tot plegat, l’esquema següent mostra l’aplicació del TMC a una roda amb moviment pla que toca a terra i llisca.<br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-1-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{roda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{roda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{roda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math><br />
</center><br><br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-2-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\<br />
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}<br />
\end{array}\right. <br />
</math><br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-3-cat-esp.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\<br />
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0) <br />
\end{array}\right. <br />
</math><br />
</center></center><br />
</div><br />
<br />
<br />
------<br />
------<br />
<br />
==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex5-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]<br />
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de <u>calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:<br />
[[Fitxer:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant:<br><br />
<br />
<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math><br><br />
<br />
Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero:<br><br />
<br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\<br />
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math><br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math><br />
<br />
Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex6-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]<br />
|Els blocs pengen de dues cordes inextensibles amb un extrem lligat a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de <u>calcular l’acceleració angular de les politges</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|center|140px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> :<br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math><br><br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math><br><br />
<br />
<br />
Per la definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]</span>: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs:<br><br />
<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math><br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]<br />
<u>Resolució alternativa </u><br><br />
<br />
Si s’aplica el TMC al punt <math>\Os</math> per al sistema format per les politges i les cordes, el pes dels blocs ja no apareix com a interacció externa, però apareixen en canvi les tensions de les dues cordes (que són incògnites d’enllaç).<br><br />
<br />
El moment cinètic del sistema és nul perquè no té massa:<br><br />
<br />
SIST: politges + cordes<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math><br><br />
[[Fitxer:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]<br />
<br />
<br />
L’aplicació del TQM a cadascun dels blocs genera dues equacions més:<br><br />
<br />
SIST: bloc de 10kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(10\ks\gs)(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
SIST: bloc de 5kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(5\ks\gs)(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
La resolució del sistema d’equacions condueix a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>.<br><br />
<br />
<br />
La primera resolució és més ràpida (només fa servir una equació escalar), però implica el càlcul del moment cinètic. Aquesta segona resolució és més llarga (sistema de tres equacions) però que no requereix calcular cap moment cinètic.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.7: dinàmica longitudinal d’un vehicle====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-1-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El vehicle sense suspensions es mou sobre una carretera rectilínia. La massa de les rodes és negligible comparada amb la de la resta dels elements, i es considera que el seu contacte amb el terra es puntual. Es tracta d’<u>analitzar les forces normals d’enllaç entre terra i rodes</u>.<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el vehicle es redueixen al pes i a l’enllaç amb el terra. Si l’acceleració del xassís respecte del terra és una dada, l’aplicació del TQM condueix a:<br />
|}<br />
<br />
{|<br />
|<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}<br />
<br />
\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\<br />
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)<br />
\end{aligned}\right.</math><br />
<br />
<br />
on <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> i <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> són les forces normal i tangencial que en total reben les dues rodes del davant i les dues rodes del darrere, respectivament.<br />
El TMC a G condueix a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs} + \Ts_{\ds\rs})] =0</math><br />
(el moment cinètic <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> és permanentment nul ja que les rodes no tenen massa, i la resta del vehicle té moviment nul respecte de la RTG).<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-2-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
Resolent el sistema d’equacions: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math><br />
<br />
Aquest resultat és vàlid per a qualsevol valor de <math>\as_\Ls</math>:<br />
:*Situació estàtica (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la força normal és més gran a les rodes que tenen l’eix més proper a <math>\Gs</math>.<br />
<br />
:*Accelerant (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math> ; hi ha un transvasament de força del davant cap al darrere (es carreguen les rodes del darrere i es descarreguen les del davant). Si l’acceleració <math>|\as_\Ts|</math> és prou elevada, la força normal al davant passa a ser negativa, la qual cosa indica que s’ha perdut el contacte i el vehicle bolca en sentit antihorari. Llavors, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el xassís passa a tenir, en principi, acceleració angular, i com a conseqüència el centre de masses <math>\Gs</math> passa a tenir acceleració vertical.<br />
<br />
:*Frenant (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hi ha un transvasament de força del darrere cap al davant (es descarreguen les rodes del darrere i es carreguen les del davant). Com en el cas precedent, hi ha un valor crític de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el bolcament, ara en sentit horari.<br />
</small><br />
---------<br />
---------<br />
</div><br />
<br />
==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==<br />
<br />
L’aplicació dels teoremes vectorials als <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''']]</span> (SAE) és senzilla ja que els termes de la dreta (variació de quantitat de moviment i variació de moment cinètic) són nuls en ser nul·la la seva massa:<br><br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{qualsevol} \hspace{0.2cm} \mathrm{punt}) \approx \overline{0}.</math><br><br />
<br />
Per al cas d’un SAE (sòlid S) connectant dos sòlids rígids S1 i S2 ('''Figura D4.5'''), aquestes equacions permeten demostrar que el torsor que actua sobre S1 es pot obtenir a partir d’una equació de caracterització analítica on la cinemàtica del punt <math>\Ps</math> de caracterització (que ha de pertànyer al sòlid S1) s’avalua a la referència solidària a S2:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br><br />
<br />
(Quan es tracta de velocitats, és important especificar a quin sòlid pertany el punt <math>\Ps</math>. Això, en canvi, és irrellevant quan es tracta de moments: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>).<br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-5-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.5:'''Sòlid Auxiliar d’Enllaç entre dos sòlids de massa no nul·la</center><br><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
Els teoremes vectorials aplicats sobre el SAE impliquen que els torsors d’enllaç que rep de S1 i S2 en un mateix punt <math>\Ps</math> han de sumar zero:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\<br />
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\<br />
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)<br />
\end{array}\right.</math><br><br />
<br />
Per altra banda, aquests torsors compleixen l’<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''equació de caracterització analítica''']]</span>:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math><br><br />
<br />
Si es combinen totes les equacions anteriors, s’obté:<br><br />
<br />
<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math><br><br />
<br />
Una <span style="text-decration: underline;">[[C3. Composició de moviments#C3.1 Composició de velocitats|'''composició de moviments''']]</span> permet reescriure l’equació anterior de manera més compacta:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math><br><br />
<br />
Finalment: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.8: dinàmica longitudinal d’un vehicle ====<br />
---------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex8-1-cat.png|thumb|left|220px|link=]]<br />
|En el vehicle de l’exemple D4.7, es considera que la tracció és posterior. Això vol dir que el motor del vehicle actua entre el xassís i les rodes posteriors, en tant que les del davant només estan sotmeses a interaccions d’enllaç (articulació amb el xassís i contacte amb el terra). <br><br />
<br />
Si es tracten les rodes del davant com a SAE, l’anàlisi cinemàtica del xassís respecte del terra per a la caracterització de l’enllaç a través de les rodes del davant condueix a un torsor en el centre de la roda (que és fix al xassís) amb només una component de força:<br />
|}<br />
[[Fitxer:D4-Ex8-2-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
L’existència d’una component horitzontal de força entre les rodes posteriors (necessària per accelerar o frenar el vehicle!) està associada al parell motor. Si s'apliquen els teoremes vectorials a les rodes posteriors, les interaccions externes a tenir en compte són l’enllaç amb el terra, l’articulació amb el xassís i el parell motor <math>\Gamma</math> : <br />
[[Fitxer:D4-Ex8-3-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{rodes} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum <br />
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow <br />
\left\{\begin{array}{l}<br />
\mathrm{TQM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dr}=\Ns'_\mathrm{dr} , \Ts_\mathrm{dr}=\Ts'_\mathrm{dr} \\<br />
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{a} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dr}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs<br />
\end{array}\right. </math><br><br />
<br />
La força tangencial sobre les rodes motrius és directament proporcional al parell motor que se’ls aplica. Cal no oblidar, però, que com a força tangencial d’enllaç, el seu valor està limitat per <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math> . Això permet calcular l’acceleració màxima que pot adquirir el vehicle (mentre la roda del davant no perdi contacte amb el terra):<br><br />
<br />
<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Ts_\mathrm{dr,màx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>.<br><br />
<br />
En terrenys de baix fregament ( <math>\mu_\es</math> de valor baix), un motor capaç de subministrar un parell màxim alt és inútil: qui posa límit a l’acceleració és el valor del coeficient de fricció <math>\mu_\es</math> : <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math> . En terrenys d’alt fregament, si el parell màxim és baix és ell qui posa límit a l’acceleració: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la roda del davant no perd contacte amb el terra).<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.8 Descomposició baricèntrica del moment cinètic==<br />
<br />
La versió del TMC que s’ha presentat permet triar lliurement el punt <math>\Qs</math> d’aplicació. El criteri per triar-lo es basa en el que es vulgui investigar (una força d’enllaç, una equació del moviment...). A la <span style="text-decoration: underline;">[[D6. Exemples de dinàmica 2D|'''unitat D6''']]</span> es discuteix aquest criteri.<br />
En alguns casos, pot ser interessant triar un punt <math>\Qs</math> que no pertanyi a cap element material del sistema. Llavors, és útil referir el càlcul del moment cinètic <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al moment cinètic al centre de masses <math>\Gs</math> del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Això es coneix amb el nom de '''descomposició baricèntrica''' del moment cinètic:<br />
<br />
<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>,<br />
<br />
on el superíndex <math>\oplus</math> indica que el moment cinètic s’ha de calcular com si el sistema s’hagués reduït a una partícula concentrada a <math>\Gs</math> amb massa igual a la massa total del sistema (M): <br />
<br />
<math>\H{G}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
:La definició de moment cinètic d'un sòlid rígid <math>\Ss_i</math> és: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocitat <math>\vel{P}{RTQ}</math> es pot escriure com a suma de dos termes si s’aplica una composició de moviments:<br />
<br />
:<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\<br />
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math><br><br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:La definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D4. Teoremes vectorials#D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes|'''centre de masses''']]</span> porta a reescriure el segon terme com a:<br />
<br />
:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincideix amb el moment cinètic respecte de <math>\Qs</math> d’una partícula de massa M situada a <math>\Gs</math>: <math>\QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ} = \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:En el primer terme de l’expressió de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, es pot descompondre <math>\QPvec</math> en suma de dos termes:<br />
<br />
:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math><br />
<br />
:Per definició de centre de masses: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.<br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
===== ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica =====<br />
----------<br />
<small><br />
{|<br />
<br />
|[[Fitxer:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El sòlid està format per dues barres de massa negligible i quatre partícules (<math>\Ps</math>) amb massa m unides als extrems de les barres. El sòlid està articulat a un suport que es pot moure al llarg d’una guia fixa a terra.<br />
El seu moment cinètic a G és:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math><br />
<br />
La RTG és fixa al suport, i la velocitat de les partícules respecte d’aquesta referència és proporcional a la rotació <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Per tant:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math><br />
|}<br />
:El moment cinètic a <math>\Os</math> (fix al terra) es pot calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mitjançant descomposició baricèntrica:<br />
<br />
:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times 4\ms\vel{G}{T} =</math><br />
<math>(\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) =</math><br />
<math>(\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math><br />
<br />
<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<p align="right"><small>© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]</small></p><br />
-------------<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><br />
[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|<<< D3. Interaccions entre sòlids rígids]]<br />
<br />
[[D5. Geometria de masses|D5. Geometria de masses >>>]]<br />
</center></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=D4._Teoremes_vectorials&diff=7757
D4. Teoremes vectorials
2025-05-08T12:34:43Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<br />
<math><br />
\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\ss}{\textsf{s}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\JGvec}{\vec{\Js\Gs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
\newcommand{\H}[3]{\vec{\mathbf{H}}_{\text{#3}}^{#2}(\textbf{#1})}<br />
</math><br />
<br />
Els '''Teoremes Vectorials''' són una eina per estudiar la dinàmica dels sistemes mecànics, i s’obtenen a partir de la llei fonamental de la dinàmica (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>) i del principi d’acció i reacció (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''tercera llei de Newton''']]</span>).<br />
<br />
En aquest curs, es presenta només la <span style="text-decoration: underline;">versió dels teoremes per al cas de sistemes de matèria constant</span>. Tot i que això inclou sistemes amb fluids, els exemples d’aplicació en aquest curs són essencialment sistemes multisòlid formats per sòlids rígids.<br />
<br />
En estudiar la dinàmica d'un <span style="text-decoration: underline;">[[Introducción#I.1 Què és la mecànica?|'''sistema mecànic''']]</span>, és essencial identificar les incògnites que conté el sistema que s’estudia i analitzar si els teoremes vectorials proporcionen el nombre suficient d’equacions per resoldre-les totes (cal saber si el problema és determinat o indeterminat!). Les incògnites es poden classificar en dos grups:<br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''graus de llibertat''']]</span></u><br />
<br />
Els GL d’un sistema mecànic poden ser <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''lliures o actuats''']]</span> (o forçats, associats a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''actuadors''']]</span>). En ambdós casos, el seu valor inicial (el valor en començar un experiment o en posar en marxa el sistema) és conegut. Quan es tracta de GL lliures, l’evolució d’aquest valor inicial no es coneix: és una incògnita. Es diu que el problema és de '''dinàmica directa'''.<br />
<br />
Aquest és el cas també quan es tracta de GL actuats si l’acció de l’actuador associat és coneguda (és a dir, quan es coneix el valor de <math>\Fs_{ac}</math>– cas dels actuadors lineals –, o de <math>\gamma</math>– cas dels rotacionals). El problema també és de dinàmica directa.<br />
<br />
Les equacions que regeixen l’evolució dels GL s’anomenen '''equacions del moviment'''. Si els GL es descriuen mitjançant derivades temporals de coordenades (<math>\dot{q}_i</math>, amb i=1,2,3...), la seva evolució temporal són les segones derivades temporals d’aquests coordenades (acceleracions). <br />
<br />
Per a un sistema amb 2 GL lliures descrits, per exemple, per (x, <math>\dot{\theta}</math>), aquestes equacions tindrien el següent aspecte general:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\theta} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
on <math>\Gamma</math> seria el parell motor de l’actuador rotacional associat al moviment <math>\theta</math>.<br />
<br />
La dependència en les segones derivades temporals <math>(\ddot{xs}, \ddot{\theta})</math> és sempre lineal, en tant que al dependència en les coordenades i les velocitats <math>(\xs, \theta, \dot{xs}, \dot{\theta})</math> pot ser de qualsevol tipus. Els paràmetres dinàmics són la massa dels elements i els associats a la seva distribució a l’espai, i els paràmetres associats a les interaccions sobre el sistema (constants de molles i amortidors, coeficients de fricció, constants del camp gravitatori...); els paràmetres geomètrics tenen a veure amb la forma dels elements del sistema (distàncies i angles).<br />
<br />
En algunes ocasions, les accions dels actuadors (<math>\Fs_{ac}, \Gamma</math>) no són conegudes, mentre que les evolucions temporals dels GL actuats són prefixades. Llavors, les incògnites associades als GL actuats són el valor de les forces (si es tracta d’actuadors lineals) i moments (si són actuadors rotacionals) necessaris per garantir aquestes evolucions prefixades. Es diu que el problema és de '''dinàmica inversa'''.<br />
<br />
Per al cas de l’exemple anterior, si <math>\dot{\theta}</math> està prefixada, les equacions que descriuen les incògnites del problema associades als GL són:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\Gamma} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''enllaços''']]</span></u><br />
<br />
Són els valors de les components de les <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''torsors d'enllaç''']]</span>. El nombre d’incògnites associades als enllaços depèn de la descripció que se’n faci (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''enllaços directes''']]</span>, <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''enllaços indirectes''']]</span>). Quan un problema de dinàmica és indeterminat, la indeterminació sempre es refereix a les components dels torsors d’enllaç, mai als GL (lliures o forçats).<br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
==D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes==<br />
Considerem un sistema de partícules de matèria constant ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Quantitat de Moviment''' (TQM) s’obté a partir de l’aplicació de la segona llei de Newton a cada partícula <math>\Ps</math> del sistema. Si la referència que es considera és galileana: <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, on <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> és la força resultant d’interacció sobre <math>\Ps</math>.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.1''' Forces sobre una partícula d’un sistema de partícules de matèria constant</center><br />
<br />
Les forces que actuen sobre cada partícula es poden classificar en dos grups: internes (que provenen de la interacció amb altres partícules del sistema) i externes (associades a les interaccions amb elements externs al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si aquestes equacions se sumen per a totes les partícules, les forces internes entre parelles de partícules es cancel·len dues a dues pel principi d’acció i reacció:<br />
<br />
<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\:\acc{P}{RGal}</math></center><br />
<br />
El terme de l’esquerra és la resultant de forces externes sobre el sistema, i se sol escriure simplement com a <math>\sum\F{ext}</math>. El terme de la dreta es pot reescriure com a <math>\Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math>, on M és la massa total del sistema <math>\left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El terme <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math> és una acceleració ponderada, on la ponderació és proporcional a la massa de cada partícula. Aquesta acceleració s’associa a un punt anomenat '''centre de masses''' (o '''centre d’inèrcia''') del sistema, i en aquest curs es designa amb la lletra <math>\Gs</math>. Per a una referència qualsevol, doncs, la cinemàtica de <math>\Gs</math> queda descrita per les equacions ('''Figura D4.2'''):<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center><br />
<br />
[[Fitxer:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.2''' Centre de masses (o d’inèrcia) d’un sistema de matèria constant</center><br />
<br />
En el cas de conjunts continus de partícules (com són un conjunt de sòlids rígids, deformables, o fluids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center><br />
<br />
Finalment, el TQM s’escriu com a:<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\:\acc{G}{RGal}</math></center><br />
<br />
Aquesta equació és molt propera a la <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>: el centre de masses <math>\Gs</math> es comporta com si fos una partícula de massa igual a la massa total del sistema, i sobre la qual actuessin totes les forces externes al sistema. Malgrat el paral·lelisme entre el TQM i l’equació de dinàmica de la partícula, hi ha dues diferències fonamentals:<br />
<br />
:*la massa del sistema no està localitzada a <math>\Gs</math> (fins i tot, pot ser que <math>\Gs</math> estigui situat en una zona del sistema sense massa, com és el cas en una anella homogènia);<br />
<br />
:*les forces externes no estan aplicades a <math>\Gs</math> en general.<br />
<br />
El TQM s’anomena així perquè permet conèixer l’evolució, a partir del coneixement de <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic|'''l’estat mecànic''']]</span> inicial i de les interaccions externes, de la '''quantitat de moviment''' del sistema (que, en una referència qualsevol R, es defineix com a <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R}</math>):<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\acc{G}{RGal}=\dert{\Ms\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center><br />
<br />
La localització del centre de masses en els sistemes que s’estudien (ja sigui un únic sòlid rígid o un sistema multisòlid) es presenta breument a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Tensor d’inèrcia#D5.1 Centre de masses|'''secció D5.1''']]</span>. Per a sòlids homogenis de geometria molt senzilla, la posició de G es pot deduir sovint a partir de les simetries del sòlid. <br />
En problemes plans (de cinemàtica 2D), només les dues components del TQM compreses en el pla són interessants.<br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.2 Exemples d’aplicació del TQM==<br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.1: càlcul d’una força d’enllaç ====<br />
<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex1-1-neut.png|thumb|center|180px|link=]]<br />
|Els tres blocs homogenis són llisos i estan en contacte entre ells i amb un terra horitzontal, també llis. Es tracta d’investigar el <span style="text-decoration: underline;">valor de la força horitzontal d’enllaç entre els blocs Q i S</span> quan s’aplica una força horitzontal F al bloc de l’esquerra. <br />
Tots els enllaços que apareixen en aquest sistema són contactes multipuntuals entre superfícies llises. Per tant, cada torsor associat, caracteritzat en un punt del contacte corresponent, conté una component de força i una de moment (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|exemple D3.4]]</span>). Tot i així, en l’aplicació del TQM només intervenen les forces, i per tant no es representen els moments en les figures següents.<br />
|}<br />
<br />
<br />
Per tal que la força d’enllaç <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparegui a la component horitzontal del TQM, cal aplicar el teorema a un sistema on aquesta força sigui externa. Per exemple, al bloc S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>. <br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex1-2new-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
<br />
Aquesta equació conté dues incògnites: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> i <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ja que el moviment dels tres blocs provocat per la força F és el mateix, l’acceleració es pot obtenir amb el TQM aplicat a tot el sistema:<br />
<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.2: moviment inicial d’un sistema ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex2-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|Els blocs homogenis es troben inicialment en repòs sobre un terra rugós, i units mitjançant una molla comprimida amb una tensió <math>\Fs_0=\ms\gs</math> i un fil inextensible. En un cert instant, es talla el fil i el sistema comença a moure’s. <br />
|}<br />
<br />
<br />
Es tracta de calcular l’<span style="text-decoration: underline;">acceleració del centre d’inèrcia del sistema respecte del terra</span>. Aquesta acceleració es pot obtenir a partir de la component horitzontal del TQM aplicat a tot el sistema. La molla és interna, i per tant la seva força no apareix: <math>\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{terra}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.<br />
<br />
Les forces que el terra exerceix sobre cadascun dels blocs poden ser d’enllaç (si els blocs no es mouen, i llavors són incògnites), o de fricció (si els blocs es mouen respecte del terra, i en aquest cas són formulables). També pot donar-se el cas que un bloc llisqui i l’altre no.<br />
<br />
El valor d’una força d’enllaç s’adapta per tal de garantir una restricció. En el cas dels blocs, cal investigar si aquestes forces poden assolir el valor necessari per evitar que els blocs llisquin sobre el terra, i estan acotades pel valor del coeficient de fricció estàtica entre blocs i terra:<br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math><br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math><br />
<br />
Si s’aplica el TQM a cada bloc per separat, la força de la molla passa a ser externa. Aquesta força (de valor mg) pot ser contrarestada per la força d’enllaç en el cas del bloc de massa <math>2\ms</math> (per tant, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), però no en el del bloc de massa m:<br />
[[Fitxer:D4-Ex2-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
<br />
L’aplicació del TQM al bloc de massa m condueix a:<br />
<br />
<math>\left.\begin{aligned}<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{terra}\rightarrow2\ms}+\F{\text{molla}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0<br />
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math><br />
<br />
<br />
Finalment: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.3: estudi d’una condició límit ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|L’esfera homogènia de massa M descansa sobre dues falques idèntiques, de massa m, que es troben al damunt del terra. Entre esfera i falques no hi ha fregament, però entre falques i terra hi ha fregament de coeficient <math>\mu</math>. El sistema es troba inicialment en repòs respecte del terra. Es tracta de determinar el <span style="text-decoration: underline;">valor màxim de M, en funció de m, que permet que el sistema segueixi en repòs</span>.<br />
|}<br />
<br />
Si res no belluga, les forces horitzontals d’interacció entre terra i falques són d’enllaç i no superen el valor límit <math>/mu\ns</math> (on <math>\Ns</math> és la força normal que cada falca rep del terra). El torsor d’enllaç del terra sobre les falques conté també un moment resultant perpendicular a la figura.<br />
Si es vol estudiar la possibilitat de bolcament de les falques, aquest moment és rellevant. En aquest exemple, però, la forma les falques garanteix que no bolquen, i es treballa només amb les forces.<br />
L’aplicació del TQM a tot el sistema, a una falca i a l’esfera condueix a les equacions següents:<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<br />
<center><br />
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"<br />
|- style="vertical-align:top;"<br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + falques<br />
<br />
<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: falca de l'esquerra<br />
<br />
<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera<br />
<br />
<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math><br />
|}</center><br />
<br />
Combinant les dues últimes equacions: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor màxim de M per al qual encara hi ha equilibri correspon a la situació en què la força tangencial d’enllaç T pren el valor màxim possible: <math>\Ts = \Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns</math>. Tenint en compte que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs</math>:<br />
<br />
<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{màx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{màx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.3 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències no galileanes==<br />
La versió del TQM en una referència no galileana NGal s’obté també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada partícula (o cada diferencial de massa) del sistema a la referència NGal (secció D1.7). En principi, doncs, aquesta equació contindrà dues forces d’inèrcia: la d’arrossegament i la de Coriolis ('''Figura D4.3'''): <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,<br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> i <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math><br />
[[Fitxer:D4-3-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.3:''' Forces d’inèrcia en una referència no galileana</center><br />
Sumant les equacions per a totes les partícules, s’obté: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
massa total del sistema.<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
------<br />
:<small><br />
Pel principi d’acció i reacció, la suma per a totes les partícules de les forces d’interacció condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math><br />
<br />
Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada<br />
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el<br />
centre de masses (secció D4.2):<br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
Així doncs: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.4: desplaçament vibratori====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
|El bloc de massa m es troba inicialment en repòs<br />
sobre un suport que oscil·la respecte del terra<br />
d’acord amb el gràfic de velocitat que es mostra a<br />
la figura. Es tracta d’investigar la <span style="text-decoration: underline;">possibilitat que<br />
el bloc llisqui al damunt del suport</span>.<br />
La condició de repòs del bloc respecte del suport<br />
(que és una referència no galileana en tenir un<br />
moviment accelerat respecte del terra) demana:<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sup\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> perque <math>\velang{sup}{T} = \vec{0}</math><br />
|}<br />
<br />
La força d’arrossegament sobre el bloc és estrictament horitzontal. Per tant, la component vertical d’aquesta equació condueix a <math>N = mg</math> . Pel que fa a la component horitzontal, contindrà la força<br />
d’interacció entre bloc i suport. Si el bloc no llisca al damunt del suport, aquesta força és d’enllaç, i el seu valor està acotat: <math>0\leq\mid\Fs_{sup\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si llisca, és una força de fricció de valor <math>\mu\ms\gs</math>, oposada a la velocitat de lliscament.<br />
<br />
Entre <math>t=0</math> i <math>t = 0,4s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math> i per tant la força<br />
d’arrossegament és <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$suport}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor es troba dins del marge de valors permesos per a la força d’enllaç horitzontal del suport sobre el bloc. Per tant, aquesta força prendrà el valor <math>\F{sup\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>, contrarestarà la <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs}</math> i es mantindrà el repòs entre els dos elements.<br />
<br />
Entre <math>t=0,4s</math> i <math>t = 0,6s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Per tant,<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. En sobrepassar el valor màxim de la força horitzontal d’enllaç, no podrà ser contrarestada. El bloc començarà a lliscar, i la força horitzontal d’interacció entre suport i bloc serà de fricció:<br />
<br />
<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} + \F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
A l’instant <math>t = 0,6s</math>, la velocitat del bloc respecte del suport és <br />
<br />
<math>\vel{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.<br />
<br />
Tot i entrar en la fase on <math>\mid\Fcal{ar}{sup\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la força horitzontal entre suport i bloc segueix sent de fricció <math>(\F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> fins aconseguir aturar el bloc. <br />
<br />
L’acceleració del bloc respecte del suport és:<br />
<br />
<math>\acc{G}{sup} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
En tractar-se d’un moviment uniformement desaccelerat, és fàcil calcular l'instant per al qual el bloc deixa de lliscar:<br />
<br />
<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sup} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sup} + \acc{$\Gs,t_f$}{sup}(t_f - t_i)</math>,<br />
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math><br />
<br />
En aquest instant, la força del suport sobre el bloc passa a ser d’enllaç, i ens trobem en una situació anàloga a la inicial. Per tant, el lliscament no recomençarà fins a <math>\ts = 1,4s</math>. L’estudi per als intervals posteriors segueix els mateixos passos que l’estudi de l’interval <math>[0,1,4s]</math>. La figura mostra l’evolució de la cinemàtica del bloc respecte del suport, i de les forces que hi actuen.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex4-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
-----------<br />
-----------<br />
<br />
==D4.4 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulació general==<br />
<br />
La dinàmica d’un sòlid rígid (i per tant, d’un sistema multisòlid) no queda mai totalment resolta amb el TQM quan el sòlid gira: el TQM només informa sobre el moviment d’un punt (<math>\Gs</math>), i no sobre la rotació.<br />
<br />
El '''Teorema del Moment Cinètic''' (TMC) es troba a la literatura enunciat de dues maneres diferents. En aquest curs, s’ha optat per una formulació paral·lela a la del TQM: a l'esquerra apareixen termes que només tenen a veure amb les interaccions externes sobre el sistema, mentre que a la dreta apareix la derivada temporal d’un vector que depèn només de la geometria de masses del sistema i del seu <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic#|'''estat mecànic''']]</span>.<br />
<br />
Com ja s’ha vist quan s’ha introduït el concepte de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor d’un sistema de forces''']]</span>, el que es relaciona amb la rotació d’un sòlid és el moment de les forces, no la força resultant. Per tant, si bé el TMC es demostra també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada diferencial de massa del sistema, caldrà transformar les forces que hi apareixen en moment d’aquestes forces respecte d’un punt <math>\Qs</math>.<br />
<br />
Aquestes dues consideracions (formulació paral·lela al TQM i necessitat de triar un punt <math>\Qs</math> per calcular el moment de les forces) porta a partir de la formulació de la segona llei de Newton en la '''Referència que es Trasllada amb Q (RTQ)''' respecte d’una referència galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, aquesta referència no és galileana, i per tant cal tenir en compte en principi les <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''forces d’inèrcia d’arrossegament''']]</span> ('''Figura D4.3''').<br />
<br />
[[Fitxer:D4-4-cat.png|thumb|center|400px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.4:''' Forces d’inèrcia a la Referència que es Trasllada amb un punt <math>\Qs</math> (RTQ)</center><br><br />
<br />
<br />
Considerem un sistema de partícules amb matèria constant. La segona llei de Newton aplicada a cada partícula del sistema i a la RTQ és:<br><br />
<br />
<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , <br><br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , i <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ja que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>.<br><br />
<br />
Si els dos costats de l’equació es multipliquen vectorialment per <math>\QPvec</math> i es suma per totes les partícules (o elements de massa) del sistema, s’obté el TMC al punt <math>\Qs</math>:<br><br />
<br />
<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br><br />
<br />
on <math>\Ms</math> és la massa total del sistema, i <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> és el '''moment cinètic del sistema respecte el punt''' <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
Si el sistema té elements continus (per exemple, un sistema amb N sòlids rígids <math>\Ss_i</math>), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.<br />
<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
La segona llei de Newton per a cada element de massa multiplicada vectorialment per <math>\QPvec</math> és:<br />
<br />
<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math><br />
<br />
El terme de la dreta es pot reescriure com a:<br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
En ser <math>\Qs</math> un punt de la RTQ, es pot prendre com a origen d’un vector de posició de <math>\Ps</math> en aquesta referència, i per tant:<br />
<br />
<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
Tenint en compte que la massa és constant: <br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math><br />
<br />
La suma d’aquest terme per a tots els elements <math>\Ps</math> condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
<br />
Si les forces d’interacció sobre cada partícula <math>\Ps</math> es classifiquen en internes i externes, la suma per a totes les partícules del sistema del costat esquerre de la primera equació esdevé:<br />
<br />
<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math><br />
<br />
<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> <br><br />
ja que el principi d’acció i reacció garanteix que el moment total d’una parella de forces d’acció i reacció és nul:<br><br />
<br />
<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math><br><br />
Agrupant tots els termes:<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.5 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulacions particulars==<br />
El TMC pren expressions més senzilles quan el punt <math>\Qs</math> és fix a una referència galileana o quan és el centre de masses del sistema.<br><br />
<br />
* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, anomenem aquesta versió “TMC a punt fix”, on se sobreentén que “fix” vol dir “fix a una referència galileana”. Quan és el cas, normalment emprarem la lletra <math>\Os</math> per designar el punt <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math>Cal notar que, si bé l’expressió és similar a la versió a punt fix, el centre de masses <math>\Gs</math> no té per què ser fix a una referència galileana.<br />
<br />
Quan <math>\Qs</math> no és ni un punt fix a RGal ni coincideix amb el centre de masses, se sol parlar de la versió del TMC “a punt mòbil”. Tot i que <math>\Qs</math> sigui un punt mòbil respecte de RGal, el terme associat a les forces d’inèrcia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> pot ser nul si <math>\Qs</math> es mou a velocitat costant respecte de RGal, o si la seva acceleració respecte de RGal és paral·lela a <math>\QGvec</math> .<br />
<br />
<center><br />
{| class="wikitable"<br />
|+ <br />
|-<br />
! '''TMC a punt fix''' !! '''TMA a '''<math>\Gs</math> !! '''TMC a un punt mòbil '''<math>\Qs</math><br />
|-<br />
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center><br />
|| <br />
<center><br />
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center><br />
|| <br />
<center><br />
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math><br><br />
<br />
<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center><br />
<br />
|}<br />
</center><br />
<br />
<br />
El vector moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no és senzill de calcular en general, i es presenta a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Geometria de masses|'''unitat D5''']]</span>. <br><br />
<br />
En problemes de cinemàtica plana (2D), si el moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sòlid del sistema que s’estudia és paral·lel a la velocitat angular del sòlid <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que és de direcció ortogonal al pla del moviment), només la component del TMC perpendicular al pla és interessant. En aquest cas es diu que el problema és de dinàmica plana (2D), i el problema es pot resoldre a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.<br />
<br />
<div><br />
===<u>TMC en un punt de contacte entre dos sòlids</u>===<br />
Un enllaç que apareix sovint en els sistemes mecànics és el contacte puntual entre parelles de sòlids (S1 i S2, per exemple). Aquest enllaç pot introduir entre 1 i 3 incògnites d’enllaç (segons la rugositat de les superfícies i la cinemàtica del contacte – amb o sense lliscament). Quan aquestes forces no es volen calcular, és temptador aplicar el TMC al punt de contacte <math>\Js</math> (ja que el seu moment respecte de <math>\Js</math> és nul). <br><br />
[[Fitxer:TMCaJ-0-cat.png|thumb|right|230px|link=]]<br />
L’aplicació del TMC a <math>\Js</math> és molt delicada. Cal precisar de quin punt <math>\Js</math> es parla (<span style="text-decoration: underline;">[[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''exemple C5-1.8''']]</span>): si es tracta del <math>\Js</math> del sòlid S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sòlid S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math> , o bé si és el punt geomètric de contacte <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math> . Per una banda, aquests tres punts tenen cinemàtiques diferents <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math> , i el terme complementari associat al moment de les forces d’inèrcia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> és diferent. Per altra banda, si per exemple el TMC s’aplica al solid S1, cal tenir present que, tot i que <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertany a S1 i es pot calcular el moment cinètic a partir del tensor d’inèrcia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> i <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no hi pertanyen, i cal fer servir la descomposició baricèntrica per calcular aquest vector.<br />
<br />
Finalment, ja que el moment cinètic s’ha de derivar, el seu càlcul s’ha de fer en una configuració general (és a dir, quan <math>\Js</math> no és encara el punt de contacte), i és només després d’haver fet la derivada que es pot particularitzar el resultat a la configuració en què <math>\Js</math> és el punt de contacte. Com a il·lustració de tot plegat, l’esquema següent mostra l’aplicació del TMC a una roda amb moviment pla que toca a terra i llisca.<br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-1-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{roda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{roda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{roda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math><br />
</center><br><br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-2-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\<br />
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}<br />
\end{array}\right. <br />
</math><br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-3-cat-esp.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\<br />
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0) <br />
\end{array}\right. <br />
</math><br />
</center></center><br />
</div><br />
<br />
<br />
------<br />
------<br />
<br />
==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex5-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]<br />
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de <u>calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:<br />
[[Fitxer:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant:<br><br />
<br />
<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math><br><br />
<br />
Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero:<br><br />
<br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\<br />
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math><br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math><br />
<br />
Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex6-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]<br />
|Els blocs pengen de dues cordes inextensibles amb un extrem lligat a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de <u>calcular l’acceleració angular de les politges</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|center|140px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> :<br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math><br><br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math><br><br />
<br />
<br />
Per la definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]</span>: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs:<br><br />
<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math><br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]<br />
<u>Resolució alternativa </u><br><br />
<br />
Si s’aplica el TMC al punt <math>\Os</math> per al sistema format per les politges i les cordes, el pes dels blocs ja no apareix com a interacció externa, però apareixen en canvi les tensions de les dues cordes (que són incògnites d’enllaç).<br><br />
<br />
El moment cinètic del sistema és nul perquè no té massa:<br><br />
<br />
SIST: politges + cordes<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math><br><br />
[[Fitxer:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]<br />
<br />
<br />
L’aplicació del TQM a cadascun dels blocs genera dues equacions més:<br><br />
<br />
SIST: bloc de 10kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(10\ks\gs)(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
SIST: bloc de 5kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(5\ks\gs)(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
La resolució del sistema d’equacions condueix a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>.<br><br />
<br />
<br />
La primera resolució és més ràpida (només fa servir una equació escalar), però implica el càlcul del moment cinètic. Aquesta segona resolució és més llarga (sistema de tres equacions) però que no requereix calcular cap moment cinètic.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.7: dinàmica longitudinal d’un vehicle====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-1-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El vehicle sense suspensions es mou sobre una carretera rectilínia. La massa de les rodes és negligible comparada amb la de la resta dels elements, i es considera que el seu contacte amb el terra es puntual. Es tracta d’<u>analitzar les forces normals d’enllaç entre terra i rodes</u>.<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el vehicle es redueixen al pes i a l’enllaç amb el terra. Si l’acceleració del xassís respecte del terra és una dada, l’aplicació del TQM condueix a:<br />
|}<br />
<br />
{|<br />
|<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}<br />
<br />
\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\<br />
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)<br />
\end{aligned}\right.</math><br />
<br />
<br />
on <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> i <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> són les forces normal i tangencial que en total reben les dues rodes del davant i les dues rodes del darrere, respectivament.<br />
El TMC a G condueix a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs} + \Ts_{\ds\rs})] =0</math><br />
(el moment cinètic <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> és permanentment nul ja que les rodes no tenen massa, i la resta del vehicle té moviment nul respecte de la RTG).<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-2-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
Resolent el sistema d’equacions: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math><br />
<br />
Aquest resultat és vàlid per a qualsevol valor de <math>\as_\Ls</math>:<br />
:*Situació estàtica (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la força normal és més gran a les rodes que tenen l’eix més proper a <math>\Gs</math>.<br />
<br />
:*Accelerant (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math> ; hi ha un transvasament de força del davant cap al darrere (es carreguen les rodes del darrere i es descarreguen les del davant). Si l’acceleració <math>|\as_\Ts|</math> és prou elevada, la força normal al davant passa a ser negativa, la qual cosa indica que s’ha perdut el contacte i el vehicle bolca en sentit antihorari. Llavors, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el xassís passa a tenir, en principi, acceleració angular, i com a conseqüència el centre de masses <math>\Gs</math> passa a tenir acceleració vertical.<br />
<br />
:*Frenant (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hi ha un transvasament de força del darrere cap al davant (es descarreguen les rodes del darrere i es carreguen les del davant). Com en el cas precedent, hi ha un valor crític de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el bolcament, ara en sentit horari.<br />
</small><br />
---------<br />
---------<br />
</div><br />
<br />
==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==<br />
<br />
L’aplicació dels teoremes vectorials als <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''']]</span> (SAE) és senzilla ja que els termes de la dreta (variació de quantitat de moviment i variació de moment cinètic) són nuls en ser nul·la la seva massa:<br><br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{qualsevol} \hspace{0.2cm} \mathrm{punt}) \approx \overline{0}.</math><br><br />
<br />
Per al cas d’un SAE (sòlid S) connectant dos sòlids rígids S1 i S2 ('''Figura D4.5'''), aquestes equacions permeten demostrar que el torsor que actua sobre S1 es pot obtenir a partir d’una equació de caracterització analítica on la cinemàtica del punt <math>\Ps</math> de caracterització (que ha de pertànyer al sòlid S1) s’avalua a la referència solidària a S2:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br><br />
<br />
(Quan es tracta de velocitats, és important especificar a quin sòlid pertany el punt <math>\Ps</math>. Això, en canvi, és irrellevant quan es tracta de moments: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>).<br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-5-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.5:'''Sòlid Auxiliar d’Enllaç entre dos sòlids de massa no nul·la</center><br><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
Els teoremes vectorials aplicats sobre el SAE impliquen que els torsors d’enllaç que rep de S1 i S2 en un mateix punt <math>\Ps</math> han de sumar zero:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\<br />
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\<br />
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)<br />
\end{array}\right.</math><br><br />
<br />
Per altra banda, aquests torsors compleixen l’<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''equació de caracterització analítica''']]</span>:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math><br><br />
<br />
Si es combinen totes les equacions anteriors, s’obté:<br><br />
<br />
<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math><br><br />
<br />
Una <span style="text-decration: underline;">[[C3. Composició de moviments#C3.1 Composició de velocitats|'''composició de moviments''']]</span> permet reescriure l’equació anterior de manera més compacta:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math><br><br />
<br />
Finalment: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.8: dinàmica longitudinal d’un vehicle ====<br />
---------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex8-1-cat.png|thumb|left|220px|link=]]<br />
|En el vehicle de l’exemple D4.7, es considera que la tracció és posterior. Això vol dir que el motor del vehicle actua entre el xassís i les rodes posteriors, en tant que les del davant només estan sotmeses a interaccions d’enllaç (articulació amb el xassís i contacte amb el terra). <br><br />
<br />
Si es tracten les rodes del davant com a SAE, l’anàlisi cinemàtica del xassís respecte del terra per a la caracterització de l’enllaç a través de les rodes del davant condueix a un torsor en el centre de la roda (que és fix al xassís) amb només una component de força:<br />
|}<br />
[[Fitxer:D4-Ex8-2-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
L’existència d’una component horitzontal de força entre les rodes posteriors (necessària per accelerar o frenar el vehicle!) està associada al parell motor. Si s'apliquen els teoremes vectorials a les rodes posteriors, les interaccions externes a tenir en compte són l’enllaç amb el terra, l’articulació amb el xassís i el parell motor <math>\Gamma</math> : <br />
[[Fitxer:D4-Ex8-3-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{rodes} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum <br />
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow <br />
\left\{\begin{array}{l}<br />
\mathrm{TQM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dr}=\Ns'_\mathrm{dr} , \Ts_\mathrm{dr}=\Ts'_\mathrm{dr} \\<br />
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{a} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dr}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs<br />
\end{array}\right. </math><br><br />
<br />
La força tangencial sobre les rodes motrius és directament proporcional al parell motor que se’ls aplica. Cal no oblidar, però, que com a força tangencial d’enllaç, el seu valor està limitat per <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math> . Això permet calcular l’acceleració màxima que pot adquirir el vehicle (mentre la roda del davant no perdi contacte amb el terra):<br><br />
<br />
<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Ts_\mathrm{dr,màx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>.<br><br />
<br />
En terrenys de baix fregament ( <math>\mu_\es</math> de valor baix), un motor capaç de subministrar un parell màxim alt és inútil: qui posa límit a l’acceleració és el valor del coeficient de fricció <math>\mu_\es</math> : <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math> . En terrenys d’alt fregament, si el parell màxim és baix és ell qui posa límit a l’acceleració: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la roda del davant no perd contacte amb el terra).<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.8 Descomposició baricèntrica del moment cinètic==<br />
<br />
La versió del TMC que s’ha presentat permet triar lliurement el punt <math>\Qs</math> d’aplicació. El criteri per triar-lo es basa en el que es vulgui investigar (una força d’enllaç, una equació del moviment...). A la <span style="text-decoration: underline;">[[D6. Exemples de dinàmica 2D|'''unitat D6''']]</span> es discuteix aquest criteri.<br />
En alguns casos, pot ser interessant triar un punt <math>\Qs</math> que no pertanyi a cap element material del sistema. Llavors, és útil referir el càlcul del moment cinètic <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al moment cinètic al centre de masses <math>\Gs</math> del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Això es coneix amb el nom de '''descomposició baricèntrica''' del moment cinètic:<br />
<br />
<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>,<br />
<br />
on el superíndex <math>\oplus</math> indica que el moment cinètic s’ha de calcular com si el sistema s’hagués reduït a una partícula concentrada a <math>\Gs</math> amb massa igual a la massa total del sistema (M): <br />
<br />
<math>\H{G}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
:La definició de moment cinètic d'un sòlid rígid <math>\Ss_i</math> és: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocitat <math>\vel{P}{RTQ}</math> es pot escriure com a suma de dos termes si s’aplica una composició de moviments:<br />
<br />
:<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\<br />
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math><br><br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:La definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D4. Teoremes vectorials#D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes|'''centre de masses''']]</span> porta a reescriure el segon terme com a:<br />
<br />
:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincideix amb el moment cinètic respecte de <math>\Qs</math> d’una partícula de massa M situada a <math>\Gs</math>: <math>\QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ} = \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:En el primer terme de l’expressió de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, es pot descompondre <math>\QPvec</math> en suma de dos termes:<br />
<br />
:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math><br />
<br />
:Per definició de centre de masses: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.<br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
===== ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica =====<br />
----------<br />
<small><br />
{|<br />
<br />
|[[Fitxer:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El sòlid està format per dues barres de massa negligible i quatre partícules (<math>\Ps</math>) amb massa m unides als extrems de les barres. El sòlid està articulat a un suport que es pot moure al llarg d’una guia fixa a terra.<br />
El seu moment cinètic a G és:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math><br />
<br />
La RTG és fixa al suport, i la velocitat de les partícules respecte d’aquesta referència és proporcional a la rotació <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Per tant:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math><br />
|}<br />
:El moment cinètic a <math>\Os</math> (fix al terra) es pot calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mitjançant descomposició baricèntrica:<br />
<br />
:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times\Ms\vel{G}{T} =</math><br />
<math>(\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times\Ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math><br />
<br />
<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<p align="right"><small>© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]</small></p><br />
-------------<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><br />
[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|<<< D3. Interaccions entre sòlids rígids]]<br />
<br />
[[D5. Geometria de masses|D5. Geometria de masses >>>]]<br />
</center></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=D4._Teoremes_vectorials&diff=7756
D4. Teoremes vectorials
2025-05-08T12:34:02Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<br />
<math><br />
\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\ss}{\textsf{s}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\JGvec}{\vec{\Js\Gs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
\newcommand{\H}[3]{\vec{\mathbf{H}}_{\text{#3}}^{#2}(\textbf{#1})}<br />
</math><br />
<br />
Els '''Teoremes Vectorials''' són una eina per estudiar la dinàmica dels sistemes mecànics, i s’obtenen a partir de la llei fonamental de la dinàmica (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>) i del principi d’acció i reacció (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''tercera llei de Newton''']]</span>).<br />
<br />
En aquest curs, es presenta només la <span style="text-decoration: underline;">versió dels teoremes per al cas de sistemes de matèria constant</span>. Tot i que això inclou sistemes amb fluids, els exemples d’aplicació en aquest curs són essencialment sistemes multisòlid formats per sòlids rígids.<br />
<br />
En estudiar la dinàmica d'un <span style="text-decoration: underline;">[[Introducción#I.1 Què és la mecànica?|'''sistema mecànic''']]</span>, és essencial identificar les incògnites que conté el sistema que s’estudia i analitzar si els teoremes vectorials proporcionen el nombre suficient d’equacions per resoldre-les totes (cal saber si el problema és determinat o indeterminat!). Les incògnites es poden classificar en dos grups:<br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''graus de llibertat''']]</span></u><br />
<br />
Els GL d’un sistema mecànic poden ser <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''lliures o actuats''']]</span> (o forçats, associats a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''actuadors''']]</span>). En ambdós casos, el seu valor inicial (el valor en començar un experiment o en posar en marxa el sistema) és conegut. Quan es tracta de GL lliures, l’evolució d’aquest valor inicial no es coneix: és una incògnita. Es diu que el problema és de '''dinàmica directa'''.<br />
<br />
Aquest és el cas també quan es tracta de GL actuats si l’acció de l’actuador associat és coneguda (és a dir, quan es coneix el valor de <math>\Fs_{ac}</math>– cas dels actuadors lineals –, o de <math>\gamma</math>– cas dels rotacionals). El problema també és de dinàmica directa.<br />
<br />
Les equacions que regeixen l’evolució dels GL s’anomenen '''equacions del moviment'''. Si els GL es descriuen mitjançant derivades temporals de coordenades (<math>\dot{q}_i</math>, amb i=1,2,3...), la seva evolució temporal són les segones derivades temporals d’aquests coordenades (acceleracions). <br />
<br />
Per a un sistema amb 2 GL lliures descrits, per exemple, per (x, <math>\dot{\theta}</math>), aquestes equacions tindrien el següent aspecte general:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\theta} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
on <math>\Gamma</math> seria el parell motor de l’actuador rotacional associat al moviment <math>\theta</math>.<br />
<br />
La dependència en les segones derivades temporals <math>(\ddot{xs}, \ddot{\theta})</math> és sempre lineal, en tant que al dependència en les coordenades i les velocitats <math>(\xs, \theta, \dot{xs}, \dot{\theta})</math> pot ser de qualsevol tipus. Els paràmetres dinàmics són la massa dels elements i els associats a la seva distribució a l’espai, i els paràmetres associats a les interaccions sobre el sistema (constants de molles i amortidors, coeficients de fricció, constants del camp gravitatori...); els paràmetres geomètrics tenen a veure amb la forma dels elements del sistema (distàncies i angles).<br />
<br />
En algunes ocasions, les accions dels actuadors (<math>\Fs_{ac}, \Gamma</math>) no són conegudes, mentre que les evolucions temporals dels GL actuats són prefixades. Llavors, les incògnites associades als GL actuats són el valor de les forces (si es tracta d’actuadors lineals) i moments (si són actuadors rotacionals) necessaris per garantir aquestes evolucions prefixades. Es diu que el problema és de '''dinàmica inversa'''.<br />
<br />
Per al cas de l’exemple anterior, si <math>\dot{\theta}</math> està prefixada, les equacions que descriuen les incògnites del problema associades als GL són:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\Gamma} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''enllaços''']]</span></u><br />
<br />
Són els valors de les components de les <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''torsors d'enllaç''']]</span>. El nombre d’incògnites associades als enllaços depèn de la descripció que se’n faci (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''enllaços directes''']]</span>, <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''enllaços indirectes''']]</span>). Quan un problema de dinàmica és indeterminat, la indeterminació sempre es refereix a les components dels torsors d’enllaç, mai als GL (lliures o forçats).<br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
==D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes==<br />
Considerem un sistema de partícules de matèria constant ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Quantitat de Moviment''' (TQM) s’obté a partir de l’aplicació de la segona llei de Newton a cada partícula <math>\Ps</math> del sistema. Si la referència que es considera és galileana: <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, on <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> és la força resultant d’interacció sobre <math>\Ps</math>.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.1''' Forces sobre una partícula d’un sistema de partícules de matèria constant</center><br />
<br />
Les forces que actuen sobre cada partícula es poden classificar en dos grups: internes (que provenen de la interacció amb altres partícules del sistema) i externes (associades a les interaccions amb elements externs al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si aquestes equacions se sumen per a totes les partícules, les forces internes entre parelles de partícules es cancel·len dues a dues pel principi d’acció i reacció:<br />
<br />
<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\:\acc{P}{RGal}</math></center><br />
<br />
El terme de l’esquerra és la resultant de forces externes sobre el sistema, i se sol escriure simplement com a <math>\sum\F{ext}</math>. El terme de la dreta es pot reescriure com a <math>\Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math>, on M és la massa total del sistema <math>\left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El terme <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math> és una acceleració ponderada, on la ponderació és proporcional a la massa de cada partícula. Aquesta acceleració s’associa a un punt anomenat '''centre de masses''' (o '''centre d’inèrcia''') del sistema, i en aquest curs es designa amb la lletra <math>\Gs</math>. Per a una referència qualsevol, doncs, la cinemàtica de <math>\Gs</math> queda descrita per les equacions ('''Figura D4.2'''):<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center><br />
<br />
[[Fitxer:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.2''' Centre de masses (o d’inèrcia) d’un sistema de matèria constant</center><br />
<br />
En el cas de conjunts continus de partícules (com són un conjunt de sòlids rígids, deformables, o fluids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center><br />
<br />
Finalment, el TQM s’escriu com a:<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\:\acc{G}{RGal}</math></center><br />
<br />
Aquesta equació és molt propera a la <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>: el centre de masses <math>\Gs</math> es comporta com si fos una partícula de massa igual a la massa total del sistema, i sobre la qual actuessin totes les forces externes al sistema. Malgrat el paral·lelisme entre el TQM i l’equació de dinàmica de la partícula, hi ha dues diferències fonamentals:<br />
<br />
:*la massa del sistema no està localitzada a <math>\Gs</math> (fins i tot, pot ser que <math>\Gs</math> estigui situat en una zona del sistema sense massa, com és el cas en una anella homogènia);<br />
<br />
:*les forces externes no estan aplicades a <math>\Gs</math> en general.<br />
<br />
El TQM s’anomena així perquè permet conèixer l’evolució, a partir del coneixement de <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic|'''l’estat mecànic''']]</span> inicial i de les interaccions externes, de la '''quantitat de moviment''' del sistema (que, en una referència qualsevol R, es defineix com a <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R}</math>):<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\acc{G}{RGal}=\dert{\Ms\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center><br />
<br />
La localització del centre de masses en els sistemes que s’estudien (ja sigui un únic sòlid rígid o un sistema multisòlid) es presenta breument a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Tensor d’inèrcia#D5.1 Centre de masses|'''secció D5.1''']]</span>. Per a sòlids homogenis de geometria molt senzilla, la posició de G es pot deduir sovint a partir de les simetries del sòlid. <br />
En problemes plans (de cinemàtica 2D), només les dues components del TQM compreses en el pla són interessants.<br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.2 Exemples d’aplicació del TQM==<br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.1: càlcul d’una força d’enllaç ====<br />
<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex1-1-neut.png|thumb|center|180px|link=]]<br />
|Els tres blocs homogenis són llisos i estan en contacte entre ells i amb un terra horitzontal, també llis. Es tracta d’investigar el <span style="text-decoration: underline;">valor de la força horitzontal d’enllaç entre els blocs Q i S</span> quan s’aplica una força horitzontal F al bloc de l’esquerra. <br />
Tots els enllaços que apareixen en aquest sistema són contactes multipuntuals entre superfícies llises. Per tant, cada torsor associat, caracteritzat en un punt del contacte corresponent, conté una component de força i una de moment (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|exemple D3.4]]</span>). Tot i així, en l’aplicació del TQM només intervenen les forces, i per tant no es representen els moments en les figures següents.<br />
|}<br />
<br />
<br />
Per tal que la força d’enllaç <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparegui a la component horitzontal del TQM, cal aplicar el teorema a un sistema on aquesta força sigui externa. Per exemple, al bloc S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>. <br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex1-2new-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
<br />
Aquesta equació conté dues incògnites: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> i <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ja que el moviment dels tres blocs provocat per la força F és el mateix, l’acceleració es pot obtenir amb el TQM aplicat a tot el sistema:<br />
<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.2: moviment inicial d’un sistema ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex2-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|Els blocs homogenis es troben inicialment en repòs sobre un terra rugós, i units mitjançant una molla comprimida amb una tensió <math>\Fs_0=\ms\gs</math> i un fil inextensible. En un cert instant, es talla el fil i el sistema comença a moure’s. <br />
|}<br />
<br />
<br />
Es tracta de calcular l’<span style="text-decoration: underline;">acceleració del centre d’inèrcia del sistema respecte del terra</span>. Aquesta acceleració es pot obtenir a partir de la component horitzontal del TQM aplicat a tot el sistema. La molla és interna, i per tant la seva força no apareix: <math>\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{terra}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.<br />
<br />
Les forces que el terra exerceix sobre cadascun dels blocs poden ser d’enllaç (si els blocs no es mouen, i llavors són incògnites), o de fricció (si els blocs es mouen respecte del terra, i en aquest cas són formulables). També pot donar-se el cas que un bloc llisqui i l’altre no.<br />
<br />
El valor d’una força d’enllaç s’adapta per tal de garantir una restricció. En el cas dels blocs, cal investigar si aquestes forces poden assolir el valor necessari per evitar que els blocs llisquin sobre el terra, i estan acotades pel valor del coeficient de fricció estàtica entre blocs i terra:<br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math><br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math><br />
<br />
Si s’aplica el TQM a cada bloc per separat, la força de la molla passa a ser externa. Aquesta força (de valor mg) pot ser contrarestada per la força d’enllaç en el cas del bloc de massa <math>2\ms</math> (per tant, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), però no en el del bloc de massa m:<br />
[[Fitxer:D4-Ex2-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
<br />
L’aplicació del TQM al bloc de massa m condueix a:<br />
<br />
<math>\left.\begin{aligned}<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{terra}\rightarrow2\ms}+\F{\text{molla}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0<br />
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math><br />
<br />
<br />
Finalment: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.3: estudi d’una condició límit ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|L’esfera homogènia de massa M descansa sobre dues falques idèntiques, de massa m, que es troben al damunt del terra. Entre esfera i falques no hi ha fregament, però entre falques i terra hi ha fregament de coeficient <math>\mu</math>. El sistema es troba inicialment en repòs respecte del terra. Es tracta de determinar el <span style="text-decoration: underline;">valor màxim de M, en funció de m, que permet que el sistema segueixi en repòs</span>.<br />
|}<br />
<br />
Si res no belluga, les forces horitzontals d’interacció entre terra i falques són d’enllaç i no superen el valor límit <math>/mu\ns</math> (on <math>\Ns</math> és la força normal que cada falca rep del terra). El torsor d’enllaç del terra sobre les falques conté també un moment resultant perpendicular a la figura.<br />
Si es vol estudiar la possibilitat de bolcament de les falques, aquest moment és rellevant. En aquest exemple, però, la forma les falques garanteix que no bolquen, i es treballa només amb les forces.<br />
L’aplicació del TQM a tot el sistema, a una falca i a l’esfera condueix a les equacions següents:<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<br />
<center><br />
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"<br />
|- style="vertical-align:top;"<br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + falques<br />
<br />
<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: falca de l'esquerra<br />
<br />
<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera<br />
<br />
<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math><br />
|}</center><br />
<br />
Combinant les dues últimes equacions: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor màxim de M per al qual encara hi ha equilibri correspon a la situació en què la força tangencial d’enllaç T pren el valor màxim possible: <math>\Ts = \Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns</math>. Tenint en compte que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs</math>:<br />
<br />
<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{màx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{màx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.3 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències no galileanes==<br />
La versió del TQM en una referència no galileana NGal s’obté també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada partícula (o cada diferencial de massa) del sistema a la referència NGal (secció D1.7). En principi, doncs, aquesta equació contindrà dues forces d’inèrcia: la d’arrossegament i la de Coriolis ('''Figura D4.3'''): <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,<br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> i <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math><br />
[[Fitxer:D4-3-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.3:''' Forces d’inèrcia en una referència no galileana</center><br />
Sumant les equacions per a totes les partícules, s’obté: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
massa total del sistema.<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
------<br />
:<small><br />
Pel principi d’acció i reacció, la suma per a totes les partícules de les forces d’interacció condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math><br />
<br />
Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada<br />
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el<br />
centre de masses (secció D4.2):<br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
Així doncs: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.4: desplaçament vibratori====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
|El bloc de massa m es troba inicialment en repòs<br />
sobre un suport que oscil·la respecte del terra<br />
d’acord amb el gràfic de velocitat que es mostra a<br />
la figura. Es tracta d’investigar la <span style="text-decoration: underline;">possibilitat que<br />
el bloc llisqui al damunt del suport</span>.<br />
La condició de repòs del bloc respecte del suport<br />
(que és una referència no galileana en tenir un<br />
moviment accelerat respecte del terra) demana:<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sup\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> perque <math>\velang{sup}{T} = \vec{0}</math><br />
|}<br />
<br />
La força d’arrossegament sobre el bloc és estrictament horitzontal. Per tant, la component vertical d’aquesta equació condueix a <math>N = mg</math> . Pel que fa a la component horitzontal, contindrà la força<br />
d’interacció entre bloc i suport. Si el bloc no llisca al damunt del suport, aquesta força és d’enllaç, i el seu valor està acotat: <math>0\leq\mid\Fs_{sup\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si llisca, és una força de fricció de valor <math>\mu\ms\gs</math>, oposada a la velocitat de lliscament.<br />
<br />
Entre <math>t=0</math> i <math>t = 0,4s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math> i per tant la força<br />
d’arrossegament és <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$suport}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor es troba dins del marge de valors permesos per a la força d’enllaç horitzontal del suport sobre el bloc. Per tant, aquesta força prendrà el valor <math>\F{sup\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>, contrarestarà la <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs}</math> i es mantindrà el repòs entre els dos elements.<br />
<br />
Entre <math>t=0,4s</math> i <math>t = 0,6s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Per tant,<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. En sobrepassar el valor màxim de la força horitzontal d’enllaç, no podrà ser contrarestada. El bloc començarà a lliscar, i la força horitzontal d’interacció entre suport i bloc serà de fricció:<br />
<br />
<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} + \F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
A l’instant <math>t = 0,6s</math>, la velocitat del bloc respecte del suport és <br />
<br />
<math>\vel{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.<br />
<br />
Tot i entrar en la fase on <math>\mid\Fcal{ar}{sup\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la força horitzontal entre suport i bloc segueix sent de fricció <math>(\F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> fins aconseguir aturar el bloc. <br />
<br />
L’acceleració del bloc respecte del suport és:<br />
<br />
<math>\acc{G}{sup} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
En tractar-se d’un moviment uniformement desaccelerat, és fàcil calcular l'instant per al qual el bloc deixa de lliscar:<br />
<br />
<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sup} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sup} + \acc{$\Gs,t_f$}{sup}(t_f - t_i)</math>,<br />
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math><br />
<br />
En aquest instant, la força del suport sobre el bloc passa a ser d’enllaç, i ens trobem en una situació anàloga a la inicial. Per tant, el lliscament no recomençarà fins a <math>\ts = 1,4s</math>. L’estudi per als intervals posteriors segueix els mateixos passos que l’estudi de l’interval <math>[0,1,4s]</math>. La figura mostra l’evolució de la cinemàtica del bloc respecte del suport, i de les forces que hi actuen.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex4-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
-----------<br />
-----------<br />
<br />
==D4.4 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulació general==<br />
<br />
La dinàmica d’un sòlid rígid (i per tant, d’un sistema multisòlid) no queda mai totalment resolta amb el TQM quan el sòlid gira: el TQM només informa sobre el moviment d’un punt (<math>\Gs</math>), i no sobre la rotació.<br />
<br />
El '''Teorema del Moment Cinètic''' (TMC) es troba a la literatura enunciat de dues maneres diferents. En aquest curs, s’ha optat per una formulació paral·lela a la del TQM: a l'esquerra apareixen termes que només tenen a veure amb les interaccions externes sobre el sistema, mentre que a la dreta apareix la derivada temporal d’un vector que depèn només de la geometria de masses del sistema i del seu <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic#|'''estat mecànic''']]</span>.<br />
<br />
Com ja s’ha vist quan s’ha introduït el concepte de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor d’un sistema de forces''']]</span>, el que es relaciona amb la rotació d’un sòlid és el moment de les forces, no la força resultant. Per tant, si bé el TMC es demostra també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada diferencial de massa del sistema, caldrà transformar les forces que hi apareixen en moment d’aquestes forces respecte d’un punt <math>\Qs</math>.<br />
<br />
Aquestes dues consideracions (formulació paral·lela al TQM i necessitat de triar un punt <math>\Qs</math> per calcular el moment de les forces) porta a partir de la formulació de la segona llei de Newton en la '''Referència que es Trasllada amb Q (RTQ)''' respecte d’una referència galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, aquesta referència no és galileana, i per tant cal tenir en compte en principi les <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''forces d’inèrcia d’arrossegament''']]</span> ('''Figura D4.3''').<br />
<br />
[[Fitxer:D4-4-cat.png|thumb|center|400px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.4:''' Forces d’inèrcia a la Referència que es Trasllada amb un punt <math>\Qs</math> (RTQ)</center><br><br />
<br />
<br />
Considerem un sistema de partícules amb matèria constant. La segona llei de Newton aplicada a cada partícula del sistema i a la RTQ és:<br><br />
<br />
<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , <br><br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , i <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ja que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>.<br><br />
<br />
Si els dos costats de l’equació es multipliquen vectorialment per <math>\QPvec</math> i es suma per totes les partícules (o elements de massa) del sistema, s’obté el TMC al punt <math>\Qs</math>:<br><br />
<br />
<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br><br />
<br />
on <math>\Ms</math> és la massa total del sistema, i <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> és el '''moment cinètic del sistema respecte el punt''' <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
Si el sistema té elements continus (per exemple, un sistema amb N sòlids rígids <math>\Ss_i</math>), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.<br />
<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
La segona llei de Newton per a cada element de massa multiplicada vectorialment per <math>\QPvec</math> és:<br />
<br />
<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math><br />
<br />
El terme de la dreta es pot reescriure com a:<br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
En ser <math>\Qs</math> un punt de la RTQ, es pot prendre com a origen d’un vector de posició de <math>\Ps</math> en aquesta referència, i per tant:<br />
<br />
<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
Tenint en compte que la massa és constant: <br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math><br />
<br />
La suma d’aquest terme per a tots els elements <math>\Ps</math> condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
<br />
Si les forces d’interacció sobre cada partícula <math>\Ps</math> es classifiquen en internes i externes, la suma per a totes les partícules del sistema del costat esquerre de la primera equació esdevé:<br />
<br />
<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math><br />
<br />
<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> <br><br />
ja que el principi d’acció i reacció garanteix que el moment total d’una parella de forces d’acció i reacció és nul:<br><br />
<br />
<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math><br><br />
Agrupant tots els termes:<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.5 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulacions particulars==<br />
El TMC pren expressions més senzilles quan el punt <math>\Qs</math> és fix a una referència galileana o quan és el centre de masses del sistema.<br><br />
<br />
* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, anomenem aquesta versió “TMC a punt fix”, on se sobreentén que “fix” vol dir “fix a una referència galileana”. Quan és el cas, normalment emprarem la lletra <math>\Os</math> per designar el punt <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math>Cal notar que, si bé l’expressió és similar a la versió a punt fix, el centre de masses <math>\Gs</math> no té per què ser fix a una referència galileana.<br />
<br />
Quan <math>\Qs</math> no és ni un punt fix a RGal ni coincideix amb el centre de masses, se sol parlar de la versió del TMC “a punt mòbil”. Tot i que <math>\Qs</math> sigui un punt mòbil respecte de RGal, el terme associat a les forces d’inèrcia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> pot ser nul si <math>\Qs</math> es mou a velocitat costant respecte de RGal, o si la seva acceleració respecte de RGal és paral·lela a <math>\QGvec</math> .<br />
<br />
<center><br />
{| class="wikitable"<br />
|+ <br />
|-<br />
! '''TMC a punt fix''' !! '''TMA a '''<math>\Gs</math> !! '''TMC a un punt mòbil '''<math>\Qs</math><br />
|-<br />
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center><br />
|| <br />
<center><br />
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center><br />
|| <br />
<center><br />
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math><br><br />
<br />
<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center><br />
<br />
|}<br />
</center><br />
<br />
<br />
El vector moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no és senzill de calcular en general, i es presenta a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Geometria de masses|'''unitat D5''']]</span>. <br><br />
<br />
En problemes de cinemàtica plana (2D), si el moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sòlid del sistema que s’estudia és paral·lel a la velocitat angular del sòlid <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que és de direcció ortogonal al pla del moviment), només la component del TMC perpendicular al pla és interessant. En aquest cas es diu que el problema és de dinàmica plana (2D), i el problema es pot resoldre a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.<br />
<br />
<div><br />
===<u>TMC en un punt de contacte entre dos sòlids</u>===<br />
Un enllaç que apareix sovint en els sistemes mecànics és el contacte puntual entre parelles de sòlids (S1 i S2, per exemple). Aquest enllaç pot introduir entre 1 i 3 incògnites d’enllaç (segons la rugositat de les superfícies i la cinemàtica del contacte – amb o sense lliscament). Quan aquestes forces no es volen calcular, és temptador aplicar el TMC al punt de contacte <math>\Js</math> (ja que el seu moment respecte de <math>\Js</math> és nul). <br><br />
[[Fitxer:TMCaJ-0-cat.png|thumb|right|230px|link=]]<br />
L’aplicació del TMC a <math>\Js</math> és molt delicada. Cal precisar de quin punt <math>\Js</math> es parla (<span style="text-decoration: underline;">[[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''exemple C5-1.8''']]</span>): si es tracta del <math>\Js</math> del sòlid S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sòlid S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math> , o bé si és el punt geomètric de contacte <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math> . Per una banda, aquests tres punts tenen cinemàtiques diferents <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math> , i el terme complementari associat al moment de les forces d’inèrcia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> és diferent. Per altra banda, si per exemple el TMC s’aplica al solid S1, cal tenir present que, tot i que <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertany a S1 i es pot calcular el moment cinètic a partir del tensor d’inèrcia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> i <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no hi pertanyen, i cal fer servir la descomposició baricèntrica per calcular aquest vector.<br />
<br />
Finalment, ja que el moment cinètic s’ha de derivar, el seu càlcul s’ha de fer en una configuració general (és a dir, quan <math>\Js</math> no és encara el punt de contacte), i és només després d’haver fet la derivada que es pot particularitzar el resultat a la configuració en què <math>\Js</math> és el punt de contacte. Com a il·lustració de tot plegat, l’esquema següent mostra l’aplicació del TMC a una roda amb moviment pla que toca a terra i llisca.<br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-1-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{roda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{roda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{roda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math><br />
</center><br><br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-2-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\<br />
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}<br />
\end{array}\right. <br />
</math><br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-3-cat-esp.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\<br />
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0) <br />
\end{array}\right. <br />
</math><br />
</center></center><br />
</div><br />
<br />
<br />
------<br />
------<br />
<br />
==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex5-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]<br />
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de <u>calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:<br />
[[Fitxer:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant:<br><br />
<br />
<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math><br><br />
<br />
Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero:<br><br />
<br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\<br />
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math><br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math><br />
<br />
Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex6-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]<br />
|Els blocs pengen de dues cordes inextensibles amb un extrem lligat a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de <u>calcular l’acceleració angular de les politges</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|center|140px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> :<br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math><br><br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math><br><br />
<br />
<br />
Per la definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]</span>: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs:<br><br />
<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math><br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]<br />
<u>Resolució alternativa </u><br><br />
<br />
Si s’aplica el TMC al punt <math>\Os</math> per al sistema format per les politges i les cordes, el pes dels blocs ja no apareix com a interacció externa, però apareixen en canvi les tensions de les dues cordes (que són incògnites d’enllaç).<br><br />
<br />
El moment cinètic del sistema és nul perquè no té massa:<br><br />
<br />
SIST: politges + cordes<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math><br><br />
[[Fitxer:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]<br />
<br />
<br />
L’aplicació del TQM a cadascun dels blocs genera dues equacions més:<br><br />
<br />
SIST: bloc de 10kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(10\ks\gs)(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
SIST: bloc de 5kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(5\ks\gs)(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
La resolució del sistema d’equacions condueix a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>.<br><br />
<br />
<br />
La primera resolució és més ràpida (només fa servir una equació escalar), però implica el càlcul del moment cinètic. Aquesta segona resolució és més llarga (sistema de tres equacions) però que no requereix calcular cap moment cinètic.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.7: dinàmica longitudinal d’un vehicle====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-1-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El vehicle sense suspensions es mou sobre una carretera rectilínia. La massa de les rodes és negligible comparada amb la de la resta dels elements, i es considera que el seu contacte amb el terra es puntual. Es tracta d’<u>analitzar les forces normals d’enllaç entre terra i rodes</u>.<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el vehicle es redueixen al pes i a l’enllaç amb el terra. Si l’acceleració del xassís respecte del terra és una dada, l’aplicació del TQM condueix a:<br />
|}<br />
<br />
{|<br />
|<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}<br />
<br />
\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\<br />
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)<br />
\end{aligned}\right.</math><br />
<br />
<br />
on <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> i <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> són les forces normal i tangencial que en total reben les dues rodes del davant i les dues rodes del darrere, respectivament.<br />
El TMC a G condueix a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs} + \Ts_{\ds\rs})] =0</math><br />
(el moment cinètic <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> és permanentment nul ja que les rodes no tenen massa, i la resta del vehicle té moviment nul respecte de la RTG).<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-2-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
Resolent el sistema d’equacions: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math><br />
<br />
Aquest resultat és vàlid per a qualsevol valor de <math>\as_\Ls</math>:<br />
:*Situació estàtica (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la força normal és més gran a les rodes que tenen l’eix més proper a <math>\Gs</math>.<br />
<br />
:*Accelerant (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math> ; hi ha un transvasament de força del davant cap al darrere (es carreguen les rodes del darrere i es descarreguen les del davant). Si l’acceleració <math>|\as_\Ts|</math> és prou elevada, la força normal al davant passa a ser negativa, la qual cosa indica que s’ha perdut el contacte i el vehicle bolca en sentit antihorari. Llavors, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el xassís passa a tenir, en principi, acceleració angular, i com a conseqüència el centre de masses <math>\Gs</math> passa a tenir acceleració vertical.<br />
<br />
:*Frenant (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hi ha un transvasament de força del darrere cap al davant (es descarreguen les rodes del darrere i es carreguen les del davant). Com en el cas precedent, hi ha un valor crític de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el bolcament, ara en sentit horari.<br />
</small><br />
---------<br />
---------<br />
</div><br />
<br />
==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==<br />
<br />
L’aplicació dels teoremes vectorials als <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''']]</span> (SAE) és senzilla ja que els termes de la dreta (variació de quantitat de moviment i variació de moment cinètic) són nuls en ser nul·la la seva massa:<br><br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{qualsevol} \hspace{0.2cm} \mathrm{punt}) \approx \overline{0}.</math><br><br />
<br />
Per al cas d’un SAE (sòlid S) connectant dos sòlids rígids S1 i S2 ('''Figura D4.5'''), aquestes equacions permeten demostrar que el torsor que actua sobre S1 es pot obtenir a partir d’una equació de caracterització analítica on la cinemàtica del punt <math>\Ps</math> de caracterització (que ha de pertànyer al sòlid S1) s’avalua a la referència solidària a S2:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br><br />
<br />
(Quan es tracta de velocitats, és important especificar a quin sòlid pertany el punt <math>\Ps</math>. Això, en canvi, és irrellevant quan es tracta de moments: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>).<br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-5-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.5:'''Sòlid Auxiliar d’Enllaç entre dos sòlids de massa no nul·la</center><br><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
Els teoremes vectorials aplicats sobre el SAE impliquen que els torsors d’enllaç que rep de S1 i S2 en un mateix punt <math>\Ps</math> han de sumar zero:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\<br />
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\<br />
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)<br />
\end{array}\right.</math><br><br />
<br />
Per altra banda, aquests torsors compleixen l’<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''equació de caracterització analítica''']]</span>:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math><br><br />
<br />
Si es combinen totes les equacions anteriors, s’obté:<br><br />
<br />
<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math><br><br />
<br />
Una <span style="text-decration: underline;">[[C3. Composició de moviments#C3.1 Composició de velocitats|'''composició de moviments''']]</span> permet reescriure l’equació anterior de manera més compacta:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math><br><br />
<br />
Finalment: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.8: dinàmica longitudinal d’un vehicle ====<br />
---------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex8-1-cat.png|thumb|left|220px|link=]]<br />
|En el vehicle de l’exemple D4.7, es considera que la tracció és posterior. Això vol dir que el motor del vehicle actua entre el xassís i les rodes posteriors, en tant que les del davant només estan sotmeses a interaccions d’enllaç (articulació amb el xassís i contacte amb el terra). <br><br />
<br />
Si es tracten les rodes del davant com a SAE, l’anàlisi cinemàtica del xassís respecte del terra per a la caracterització de l’enllaç a través de les rodes del davant condueix a un torsor en el centre de la roda (que és fix al xassís) amb només una component de força:<br />
|}<br />
[[Fitxer:D4-Ex8-2-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
L’existència d’una component horitzontal de força entre les rodes posteriors (necessària per accelerar o frenar el vehicle!) està associada al parell motor. Si s'apliquen els teoremes vectorials a les rodes posteriors, les interaccions externes a tenir en compte són l’enllaç amb el terra, l’articulació amb el xassís i el parell motor <math>\Gamma</math> : <br />
[[Fitxer:D4-Ex8-3-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{rodes} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum <br />
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow <br />
\left\{\begin{array}{l}<br />
\mathrm{TQM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dr}=\Ns'_\mathrm{dr} , \Ts_\mathrm{dr}=\Ts'_\mathrm{dr} \\<br />
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{a} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dr}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs<br />
\end{array}\right. </math><br><br />
<br />
La força tangencial sobre les rodes motrius és directament proporcional al parell motor que se’ls aplica. Cal no oblidar, però, que com a força tangencial d’enllaç, el seu valor està limitat per <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math> . Això permet calcular l’acceleració màxima que pot adquirir el vehicle (mentre la roda del davant no perdi contacte amb el terra):<br><br />
<br />
<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Ts_\mathrm{dr,màx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>.<br><br />
<br />
En terrenys de baix fregament ( <math>\mu_\es</math> de valor baix), un motor capaç de subministrar un parell màxim alt és inútil: qui posa límit a l’acceleració és el valor del coeficient de fricció <math>\mu_\es</math> : <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math> . En terrenys d’alt fregament, si el parell màxim és baix és ell qui posa límit a l’acceleració: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la roda del davant no perd contacte amb el terra).<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.8 Descomposició baricèntrica del moment cinètic==<br />
<br />
La versió del TMC que s’ha presentat permet triar lliurement el punt <math>\Qs</math> d’aplicació. El criteri per triar-lo es basa en el que es vulgui investigar (una força d’enllaç, una equació del moviment...). A la <span style="text-decoration: underline;">[[D6. Exemples de dinàmica 2D|'''unitat D6''']]</span> es discuteix aquest criteri.<br />
En alguns casos, pot ser interessant triar un punt <math>\Qs</math> que no pertanyi a cap element material del sistema. Llavors, és útil referir el càlcul del moment cinètic <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al moment cinètic al centre de masses <math>\Gs</math> del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Això es coneix amb el nom de '''descomposició baricèntrica''' del moment cinètic:<br />
<br />
<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>,<br />
<br />
on el superíndex <math>\oplus</math> indica que el moment cinètic s’ha de calcular com si el sistema s’hagués reduït a una partícula concentrada a <math>\Gs</math> amb massa igual a la massa total del sistema (M): <br />
<br />
<math>\H{G}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
:La definició de moment cinètic d'un sòlid rígid <math>\Ss_i</math> és: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocitat <math>\vel{P}{RTQ}</math> es pot escriure com a suma de dos termes si s’aplica una composició de moviments:<br />
<br />
:<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\<br />
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math><br><br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:La definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D4. Teoremes vectorials#D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes|'''centre de masses''']]</span> porta a reescriure el segon terme com a:<br />
<br />
:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincideix amb el moment cinètic respecte de <math>\Qs</math> d’una partícula de massa M situada a <math>\Gs</math>: <math>\QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ} = \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:En el primer terme de l’expressió de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, es pot descompondre <math>\QPvec</math> en suma de dos termes:<br />
<br />
:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math><br />
<br />
:Per definició de centre de masses: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.<br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
===== ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica =====<br />
----------<br />
<small><br />
{|<br />
<br />
|[[Fitxer:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El sòlid està format per dues barres de massa negligible i quatre partícules (<math>\Ps</math>) amb massa m unides als extrems de les barres. El sòlid està articulat a un suport que es pot moure al llarg d’una guia fixa a terra.<br />
El seu moment cinètic a G és:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math><br />
<br />
La RTG és fixa al suport, i la velocitat de les partícules respecte d’aquesta referència és proporcional a la rotació <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Per tant:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math><br />
|}<br />
:El moment cinètic a <math>\Os</math> (fix al terra) es pot calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mitjançant descomposició baricèntrica:<br />
<br />
:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times\Ms\vel{G}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) =</math><br />
<math>= (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times\Ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math><br />
<br />
<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<p align="right"><small>© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]</small></p><br />
-------------<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><br />
[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|<<< D3. Interaccions entre sòlids rígids]]<br />
<br />
[[D5. Geometria de masses|D5. Geometria de masses >>>]]<br />
</center></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=D4._Teoremes_vectorials&diff=7755
D4. Teoremes vectorials
2025-05-08T12:33:05Z
<p>Bros: /* ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<br />
<math><br />
\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\ss}{\textsf{s}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\JGvec}{\vec{\Js\Gs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
\newcommand{\H}[3]{\vec{\mathbf{H}}_{\text{#3}}^{#2}(\textbf{#1})}<br />
</math><br />
<br />
Els '''Teoremes Vectorials''' són una eina per estudiar la dinàmica dels sistemes mecànics, i s’obtenen a partir de la llei fonamental de la dinàmica (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>) i del principi d’acció i reacció (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''tercera llei de Newton''']]</span>).<br />
<br />
En aquest curs, es presenta només la <span style="text-decoration: underline;">versió dels teoremes per al cas de sistemes de matèria constant</span>. Tot i que això inclou sistemes amb fluids, els exemples d’aplicació en aquest curs són essencialment sistemes multisòlid formats per sòlids rígids.<br />
<br />
En estudiar la dinàmica d'un <span style="text-decoration: underline;">[[Introducción#I.1 Què és la mecànica?|'''sistema mecànic''']]</span>, és essencial identificar les incògnites que conté el sistema que s’estudia i analitzar si els teoremes vectorials proporcionen el nombre suficient d’equacions per resoldre-les totes (cal saber si el problema és determinat o indeterminat!). Les incògnites es poden classificar en dos grups:<br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''graus de llibertat''']]</span></u><br />
<br />
Els GL d’un sistema mecànic poden ser <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''lliures o actuats''']]</span> (o forçats, associats a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''actuadors''']]</span>). En ambdós casos, el seu valor inicial (el valor en començar un experiment o en posar en marxa el sistema) és conegut. Quan es tracta de GL lliures, l’evolució d’aquest valor inicial no es coneix: és una incògnita. Es diu que el problema és de '''dinàmica directa'''.<br />
<br />
Aquest és el cas també quan es tracta de GL actuats si l’acció de l’actuador associat és coneguda (és a dir, quan es coneix el valor de <math>\Fs_{ac}</math>– cas dels actuadors lineals –, o de <math>\gamma</math>– cas dels rotacionals). El problema també és de dinàmica directa.<br />
<br />
Les equacions que regeixen l’evolució dels GL s’anomenen '''equacions del moviment'''. Si els GL es descriuen mitjançant derivades temporals de coordenades (<math>\dot{q}_i</math>, amb i=1,2,3...), la seva evolució temporal són les segones derivades temporals d’aquests coordenades (acceleracions). <br />
<br />
Per a un sistema amb 2 GL lliures descrits, per exemple, per (x, <math>\dot{\theta}</math>), aquestes equacions tindrien el següent aspecte general:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\theta} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
on <math>\Gamma</math> seria el parell motor de l’actuador rotacional associat al moviment <math>\theta</math>.<br />
<br />
La dependència en les segones derivades temporals <math>(\ddot{xs}, \ddot{\theta})</math> és sempre lineal, en tant que al dependència en les coordenades i les velocitats <math>(\xs, \theta, \dot{xs}, \dot{\theta})</math> pot ser de qualsevol tipus. Els paràmetres dinàmics són la massa dels elements i els associats a la seva distribució a l’espai, i els paràmetres associats a les interaccions sobre el sistema (constants de molles i amortidors, coeficients de fricció, constants del camp gravitatori...); els paràmetres geomètrics tenen a veure amb la forma dels elements del sistema (distàncies i angles).<br />
<br />
En algunes ocasions, les accions dels actuadors (<math>\Fs_{ac}, \Gamma</math>) no són conegudes, mentre que les evolucions temporals dels GL actuats són prefixades. Llavors, les incògnites associades als GL actuats són el valor de les forces (si es tracta d’actuadors lineals) i moments (si són actuadors rotacionals) necessaris per garantir aquestes evolucions prefixades. Es diu que el problema és de '''dinàmica inversa'''.<br />
<br />
Per al cas de l’exemple anterior, si <math>\dot{\theta}</math> està prefixada, les equacions que descriuen les incògnites del problema associades als GL són:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\Gamma} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''enllaços''']]</span></u><br />
<br />
Són els valors de les components de les <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''torsors d'enllaç''']]</span>. El nombre d’incògnites associades als enllaços depèn de la descripció que se’n faci (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''enllaços directes''']]</span>, <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''enllaços indirectes''']]</span>). Quan un problema de dinàmica és indeterminat, la indeterminació sempre es refereix a les components dels torsors d’enllaç, mai als GL (lliures o forçats).<br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
==D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes==<br />
Considerem un sistema de partícules de matèria constant ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Quantitat de Moviment''' (TQM) s’obté a partir de l’aplicació de la segona llei de Newton a cada partícula <math>\Ps</math> del sistema. Si la referència que es considera és galileana: <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, on <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> és la força resultant d’interacció sobre <math>\Ps</math>.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.1''' Forces sobre una partícula d’un sistema de partícules de matèria constant</center><br />
<br />
Les forces que actuen sobre cada partícula es poden classificar en dos grups: internes (que provenen de la interacció amb altres partícules del sistema) i externes (associades a les interaccions amb elements externs al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si aquestes equacions se sumen per a totes les partícules, les forces internes entre parelles de partícules es cancel·len dues a dues pel principi d’acció i reacció:<br />
<br />
<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\:\acc{P}{RGal}</math></center><br />
<br />
El terme de l’esquerra és la resultant de forces externes sobre el sistema, i se sol escriure simplement com a <math>\sum\F{ext}</math>. El terme de la dreta es pot reescriure com a <math>\Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math>, on M és la massa total del sistema <math>\left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El terme <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math> és una acceleració ponderada, on la ponderació és proporcional a la massa de cada partícula. Aquesta acceleració s’associa a un punt anomenat '''centre de masses''' (o '''centre d’inèrcia''') del sistema, i en aquest curs es designa amb la lletra <math>\Gs</math>. Per a una referència qualsevol, doncs, la cinemàtica de <math>\Gs</math> queda descrita per les equacions ('''Figura D4.2'''):<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center><br />
<br />
[[Fitxer:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.2''' Centre de masses (o d’inèrcia) d’un sistema de matèria constant</center><br />
<br />
En el cas de conjunts continus de partícules (com són un conjunt de sòlids rígids, deformables, o fluids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center><br />
<br />
Finalment, el TQM s’escriu com a:<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\:\acc{G}{RGal}</math></center><br />
<br />
Aquesta equació és molt propera a la <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>: el centre de masses <math>\Gs</math> es comporta com si fos una partícula de massa igual a la massa total del sistema, i sobre la qual actuessin totes les forces externes al sistema. Malgrat el paral·lelisme entre el TQM i l’equació de dinàmica de la partícula, hi ha dues diferències fonamentals:<br />
<br />
:*la massa del sistema no està localitzada a <math>\Gs</math> (fins i tot, pot ser que <math>\Gs</math> estigui situat en una zona del sistema sense massa, com és el cas en una anella homogènia);<br />
<br />
:*les forces externes no estan aplicades a <math>\Gs</math> en general.<br />
<br />
El TQM s’anomena així perquè permet conèixer l’evolució, a partir del coneixement de <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic|'''l’estat mecànic''']]</span> inicial i de les interaccions externes, de la '''quantitat de moviment''' del sistema (que, en una referència qualsevol R, es defineix com a <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R}</math>):<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\acc{G}{RGal}=\dert{\Ms\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center><br />
<br />
La localització del centre de masses en els sistemes que s’estudien (ja sigui un únic sòlid rígid o un sistema multisòlid) es presenta breument a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Tensor d’inèrcia#D5.1 Centre de masses|'''secció D5.1''']]</span>. Per a sòlids homogenis de geometria molt senzilla, la posició de G es pot deduir sovint a partir de les simetries del sòlid. <br />
En problemes plans (de cinemàtica 2D), només les dues components del TQM compreses en el pla són interessants.<br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.2 Exemples d’aplicació del TQM==<br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.1: càlcul d’una força d’enllaç ====<br />
<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex1-1-neut.png|thumb|center|180px|link=]]<br />
|Els tres blocs homogenis són llisos i estan en contacte entre ells i amb un terra horitzontal, també llis. Es tracta d’investigar el <span style="text-decoration: underline;">valor de la força horitzontal d’enllaç entre els blocs Q i S</span> quan s’aplica una força horitzontal F al bloc de l’esquerra. <br />
Tots els enllaços que apareixen en aquest sistema són contactes multipuntuals entre superfícies llises. Per tant, cada torsor associat, caracteritzat en un punt del contacte corresponent, conté una component de força i una de moment (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|exemple D3.4]]</span>). Tot i així, en l’aplicació del TQM només intervenen les forces, i per tant no es representen els moments en les figures següents.<br />
|}<br />
<br />
<br />
Per tal que la força d’enllaç <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparegui a la component horitzontal del TQM, cal aplicar el teorema a un sistema on aquesta força sigui externa. Per exemple, al bloc S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>. <br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex1-2new-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
<br />
Aquesta equació conté dues incògnites: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> i <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ja que el moviment dels tres blocs provocat per la força F és el mateix, l’acceleració es pot obtenir amb el TQM aplicat a tot el sistema:<br />
<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.2: moviment inicial d’un sistema ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex2-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|Els blocs homogenis es troben inicialment en repòs sobre un terra rugós, i units mitjançant una molla comprimida amb una tensió <math>\Fs_0=\ms\gs</math> i un fil inextensible. En un cert instant, es talla el fil i el sistema comença a moure’s. <br />
|}<br />
<br />
<br />
Es tracta de calcular l’<span style="text-decoration: underline;">acceleració del centre d’inèrcia del sistema respecte del terra</span>. Aquesta acceleració es pot obtenir a partir de la component horitzontal del TQM aplicat a tot el sistema. La molla és interna, i per tant la seva força no apareix: <math>\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{terra}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.<br />
<br />
Les forces que el terra exerceix sobre cadascun dels blocs poden ser d’enllaç (si els blocs no es mouen, i llavors són incògnites), o de fricció (si els blocs es mouen respecte del terra, i en aquest cas són formulables). També pot donar-se el cas que un bloc llisqui i l’altre no.<br />
<br />
El valor d’una força d’enllaç s’adapta per tal de garantir una restricció. En el cas dels blocs, cal investigar si aquestes forces poden assolir el valor necessari per evitar que els blocs llisquin sobre el terra, i estan acotades pel valor del coeficient de fricció estàtica entre blocs i terra:<br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math><br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math><br />
<br />
Si s’aplica el TQM a cada bloc per separat, la força de la molla passa a ser externa. Aquesta força (de valor mg) pot ser contrarestada per la força d’enllaç en el cas del bloc de massa <math>2\ms</math> (per tant, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), però no en el del bloc de massa m:<br />
[[Fitxer:D4-Ex2-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
<br />
L’aplicació del TQM al bloc de massa m condueix a:<br />
<br />
<math>\left.\begin{aligned}<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{terra}\rightarrow2\ms}+\F{\text{molla}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0<br />
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math><br />
<br />
<br />
Finalment: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.3: estudi d’una condició límit ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|L’esfera homogènia de massa M descansa sobre dues falques idèntiques, de massa m, que es troben al damunt del terra. Entre esfera i falques no hi ha fregament, però entre falques i terra hi ha fregament de coeficient <math>\mu</math>. El sistema es troba inicialment en repòs respecte del terra. Es tracta de determinar el <span style="text-decoration: underline;">valor màxim de M, en funció de m, que permet que el sistema segueixi en repòs</span>.<br />
|}<br />
<br />
Si res no belluga, les forces horitzontals d’interacció entre terra i falques són d’enllaç i no superen el valor límit <math>/mu\ns</math> (on <math>\Ns</math> és la força normal que cada falca rep del terra). El torsor d’enllaç del terra sobre les falques conté també un moment resultant perpendicular a la figura.<br />
Si es vol estudiar la possibilitat de bolcament de les falques, aquest moment és rellevant. En aquest exemple, però, la forma les falques garanteix que no bolquen, i es treballa només amb les forces.<br />
L’aplicació del TQM a tot el sistema, a una falca i a l’esfera condueix a les equacions següents:<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<br />
<center><br />
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"<br />
|- style="vertical-align:top;"<br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + falques<br />
<br />
<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: falca de l'esquerra<br />
<br />
<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera<br />
<br />
<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math><br />
|}</center><br />
<br />
Combinant les dues últimes equacions: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor màxim de M per al qual encara hi ha equilibri correspon a la situació en què la força tangencial d’enllaç T pren el valor màxim possible: <math>\Ts = \Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns</math>. Tenint en compte que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs</math>:<br />
<br />
<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{màx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{màx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.3 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències no galileanes==<br />
La versió del TQM en una referència no galileana NGal s’obté també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada partícula (o cada diferencial de massa) del sistema a la referència NGal (secció D1.7). En principi, doncs, aquesta equació contindrà dues forces d’inèrcia: la d’arrossegament i la de Coriolis ('''Figura D4.3'''): <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,<br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> i <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math><br />
[[Fitxer:D4-3-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.3:''' Forces d’inèrcia en una referència no galileana</center><br />
Sumant les equacions per a totes les partícules, s’obté: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
massa total del sistema.<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
------<br />
:<small><br />
Pel principi d’acció i reacció, la suma per a totes les partícules de les forces d’interacció condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math><br />
<br />
Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada<br />
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el<br />
centre de masses (secció D4.2):<br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
Així doncs: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.4: desplaçament vibratori====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
|El bloc de massa m es troba inicialment en repòs<br />
sobre un suport que oscil·la respecte del terra<br />
d’acord amb el gràfic de velocitat que es mostra a<br />
la figura. Es tracta d’investigar la <span style="text-decoration: underline;">possibilitat que<br />
el bloc llisqui al damunt del suport</span>.<br />
La condició de repòs del bloc respecte del suport<br />
(que és una referència no galileana en tenir un<br />
moviment accelerat respecte del terra) demana:<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sup\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> perque <math>\velang{sup}{T} = \vec{0}</math><br />
|}<br />
<br />
La força d’arrossegament sobre el bloc és estrictament horitzontal. Per tant, la component vertical d’aquesta equació condueix a <math>N = mg</math> . Pel que fa a la component horitzontal, contindrà la força<br />
d’interacció entre bloc i suport. Si el bloc no llisca al damunt del suport, aquesta força és d’enllaç, i el seu valor està acotat: <math>0\leq\mid\Fs_{sup\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si llisca, és una força de fricció de valor <math>\mu\ms\gs</math>, oposada a la velocitat de lliscament.<br />
<br />
Entre <math>t=0</math> i <math>t = 0,4s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math> i per tant la força<br />
d’arrossegament és <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$suport}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor es troba dins del marge de valors permesos per a la força d’enllaç horitzontal del suport sobre el bloc. Per tant, aquesta força prendrà el valor <math>\F{sup\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>, contrarestarà la <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs}</math> i es mantindrà el repòs entre els dos elements.<br />
<br />
Entre <math>t=0,4s</math> i <math>t = 0,6s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Per tant,<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. En sobrepassar el valor màxim de la força horitzontal d’enllaç, no podrà ser contrarestada. El bloc començarà a lliscar, i la força horitzontal d’interacció entre suport i bloc serà de fricció:<br />
<br />
<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} + \F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
A l’instant <math>t = 0,6s</math>, la velocitat del bloc respecte del suport és <br />
<br />
<math>\vel{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.<br />
<br />
Tot i entrar en la fase on <math>\mid\Fcal{ar}{sup\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la força horitzontal entre suport i bloc segueix sent de fricció <math>(\F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> fins aconseguir aturar el bloc. <br />
<br />
L’acceleració del bloc respecte del suport és:<br />
<br />
<math>\acc{G}{sup} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
En tractar-se d’un moviment uniformement desaccelerat, és fàcil calcular l'instant per al qual el bloc deixa de lliscar:<br />
<br />
<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sup} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sup} + \acc{$\Gs,t_f$}{sup}(t_f - t_i)</math>,<br />
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math><br />
<br />
En aquest instant, la força del suport sobre el bloc passa a ser d’enllaç, i ens trobem en una situació anàloga a la inicial. Per tant, el lliscament no recomençarà fins a <math>\ts = 1,4s</math>. L’estudi per als intervals posteriors segueix els mateixos passos que l’estudi de l’interval <math>[0,1,4s]</math>. La figura mostra l’evolució de la cinemàtica del bloc respecte del suport, i de les forces que hi actuen.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex4-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
-----------<br />
-----------<br />
<br />
==D4.4 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulació general==<br />
<br />
La dinàmica d’un sòlid rígid (i per tant, d’un sistema multisòlid) no queda mai totalment resolta amb el TQM quan el sòlid gira: el TQM només informa sobre el moviment d’un punt (<math>\Gs</math>), i no sobre la rotació.<br />
<br />
El '''Teorema del Moment Cinètic''' (TMC) es troba a la literatura enunciat de dues maneres diferents. En aquest curs, s’ha optat per una formulació paral·lela a la del TQM: a l'esquerra apareixen termes que només tenen a veure amb les interaccions externes sobre el sistema, mentre que a la dreta apareix la derivada temporal d’un vector que depèn només de la geometria de masses del sistema i del seu <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic#|'''estat mecànic''']]</span>.<br />
<br />
Com ja s’ha vist quan s’ha introduït el concepte de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor d’un sistema de forces''']]</span>, el que es relaciona amb la rotació d’un sòlid és el moment de les forces, no la força resultant. Per tant, si bé el TMC es demostra també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada diferencial de massa del sistema, caldrà transformar les forces que hi apareixen en moment d’aquestes forces respecte d’un punt <math>\Qs</math>.<br />
<br />
Aquestes dues consideracions (formulació paral·lela al TQM i necessitat de triar un punt <math>\Qs</math> per calcular el moment de les forces) porta a partir de la formulació de la segona llei de Newton en la '''Referència que es Trasllada amb Q (RTQ)''' respecte d’una referència galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, aquesta referència no és galileana, i per tant cal tenir en compte en principi les <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''forces d’inèrcia d’arrossegament''']]</span> ('''Figura D4.3''').<br />
<br />
[[Fitxer:D4-4-cat.png|thumb|center|400px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.4:''' Forces d’inèrcia a la Referència que es Trasllada amb un punt <math>\Qs</math> (RTQ)</center><br><br />
<br />
<br />
Considerem un sistema de partícules amb matèria constant. La segona llei de Newton aplicada a cada partícula del sistema i a la RTQ és:<br><br />
<br />
<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , <br><br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , i <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ja que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>.<br><br />
<br />
Si els dos costats de l’equació es multipliquen vectorialment per <math>\QPvec</math> i es suma per totes les partícules (o elements de massa) del sistema, s’obté el TMC al punt <math>\Qs</math>:<br><br />
<br />
<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br><br />
<br />
on <math>\Ms</math> és la massa total del sistema, i <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> és el '''moment cinètic del sistema respecte el punt''' <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
Si el sistema té elements continus (per exemple, un sistema amb N sòlids rígids <math>\Ss_i</math>), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.<br />
<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
La segona llei de Newton per a cada element de massa multiplicada vectorialment per <math>\QPvec</math> és:<br />
<br />
<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math><br />
<br />
El terme de la dreta es pot reescriure com a:<br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
En ser <math>\Qs</math> un punt de la RTQ, es pot prendre com a origen d’un vector de posició de <math>\Ps</math> en aquesta referència, i per tant:<br />
<br />
<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
Tenint en compte que la massa és constant: <br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math><br />
<br />
La suma d’aquest terme per a tots els elements <math>\Ps</math> condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
<br />
Si les forces d’interacció sobre cada partícula <math>\Ps</math> es classifiquen en internes i externes, la suma per a totes les partícules del sistema del costat esquerre de la primera equació esdevé:<br />
<br />
<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math><br />
<br />
<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> <br><br />
ja que el principi d’acció i reacció garanteix que el moment total d’una parella de forces d’acció i reacció és nul:<br><br />
<br />
<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math><br><br />
Agrupant tots els termes:<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.5 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulacions particulars==<br />
El TMC pren expressions més senzilles quan el punt <math>\Qs</math> és fix a una referència galileana o quan és el centre de masses del sistema.<br><br />
<br />
* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, anomenem aquesta versió “TMC a punt fix”, on se sobreentén que “fix” vol dir “fix a una referència galileana”. Quan és el cas, normalment emprarem la lletra <math>\Os</math> per designar el punt <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math>Cal notar que, si bé l’expressió és similar a la versió a punt fix, el centre de masses <math>\Gs</math> no té per què ser fix a una referència galileana.<br />
<br />
Quan <math>\Qs</math> no és ni un punt fix a RGal ni coincideix amb el centre de masses, se sol parlar de la versió del TMC “a punt mòbil”. Tot i que <math>\Qs</math> sigui un punt mòbil respecte de RGal, el terme associat a les forces d’inèrcia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> pot ser nul si <math>\Qs</math> es mou a velocitat costant respecte de RGal, o si la seva acceleració respecte de RGal és paral·lela a <math>\QGvec</math> .<br />
<br />
<center><br />
{| class="wikitable"<br />
|+ <br />
|-<br />
! '''TMC a punt fix''' !! '''TMA a '''<math>\Gs</math> !! '''TMC a un punt mòbil '''<math>\Qs</math><br />
|-<br />
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center><br />
|| <br />
<center><br />
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center><br />
|| <br />
<center><br />
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math><br><br />
<br />
<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center><br />
<br />
|}<br />
</center><br />
<br />
<br />
El vector moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no és senzill de calcular en general, i es presenta a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Geometria de masses|'''unitat D5''']]</span>. <br><br />
<br />
En problemes de cinemàtica plana (2D), si el moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sòlid del sistema que s’estudia és paral·lel a la velocitat angular del sòlid <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que és de direcció ortogonal al pla del moviment), només la component del TMC perpendicular al pla és interessant. En aquest cas es diu que el problema és de dinàmica plana (2D), i el problema es pot resoldre a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.<br />
<br />
<div><br />
===<u>TMC en un punt de contacte entre dos sòlids</u>===<br />
Un enllaç que apareix sovint en els sistemes mecànics és el contacte puntual entre parelles de sòlids (S1 i S2, per exemple). Aquest enllaç pot introduir entre 1 i 3 incògnites d’enllaç (segons la rugositat de les superfícies i la cinemàtica del contacte – amb o sense lliscament). Quan aquestes forces no es volen calcular, és temptador aplicar el TMC al punt de contacte <math>\Js</math> (ja que el seu moment respecte de <math>\Js</math> és nul). <br><br />
[[Fitxer:TMCaJ-0-cat.png|thumb|right|230px|link=]]<br />
L’aplicació del TMC a <math>\Js</math> és molt delicada. Cal precisar de quin punt <math>\Js</math> es parla (<span style="text-decoration: underline;">[[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''exemple C5-1.8''']]</span>): si es tracta del <math>\Js</math> del sòlid S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sòlid S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math> , o bé si és el punt geomètric de contacte <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math> . Per una banda, aquests tres punts tenen cinemàtiques diferents <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math> , i el terme complementari associat al moment de les forces d’inèrcia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> és diferent. Per altra banda, si per exemple el TMC s’aplica al solid S1, cal tenir present que, tot i que <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertany a S1 i es pot calcular el moment cinètic a partir del tensor d’inèrcia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> i <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no hi pertanyen, i cal fer servir la descomposició baricèntrica per calcular aquest vector.<br />
<br />
Finalment, ja que el moment cinètic s’ha de derivar, el seu càlcul s’ha de fer en una configuració general (és a dir, quan <math>\Js</math> no és encara el punt de contacte), i és només després d’haver fet la derivada que es pot particularitzar el resultat a la configuració en què <math>\Js</math> és el punt de contacte. Com a il·lustració de tot plegat, l’esquema següent mostra l’aplicació del TMC a una roda amb moviment pla que toca a terra i llisca.<br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-1-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{roda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{roda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{roda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math><br />
</center><br><br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-2-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\<br />
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}<br />
\end{array}\right. <br />
</math><br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-3-cat-esp.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\<br />
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0) <br />
\end{array}\right. <br />
</math><br />
</center></center><br />
</div><br />
<br />
<br />
------<br />
------<br />
<br />
==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex5-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]<br />
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de <u>calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:<br />
[[Fitxer:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant:<br><br />
<br />
<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math><br><br />
<br />
Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero:<br><br />
<br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\<br />
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math><br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math><br />
<br />
Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex6-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]<br />
|Els blocs pengen de dues cordes inextensibles amb un extrem lligat a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de <u>calcular l’acceleració angular de les politges</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|center|140px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> :<br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math><br><br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math><br><br />
<br />
<br />
Per la definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]</span>: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs:<br><br />
<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math><br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]<br />
<u>Resolució alternativa </u><br><br />
<br />
Si s’aplica el TMC al punt <math>\Os</math> per al sistema format per les politges i les cordes, el pes dels blocs ja no apareix com a interacció externa, però apareixen en canvi les tensions de les dues cordes (que són incògnites d’enllaç).<br><br />
<br />
El moment cinètic del sistema és nul perquè no té massa:<br><br />
<br />
SIST: politges + cordes<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math><br><br />
[[Fitxer:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]<br />
<br />
<br />
L’aplicació del TQM a cadascun dels blocs genera dues equacions més:<br><br />
<br />
SIST: bloc de 10kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(10\ks\gs)(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
SIST: bloc de 5kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(5\ks\gs)(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
La resolució del sistema d’equacions condueix a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>.<br><br />
<br />
<br />
La primera resolució és més ràpida (només fa servir una equació escalar), però implica el càlcul del moment cinètic. Aquesta segona resolució és més llarga (sistema de tres equacions) però que no requereix calcular cap moment cinètic.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.7: dinàmica longitudinal d’un vehicle====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-1-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El vehicle sense suspensions es mou sobre una carretera rectilínia. La massa de les rodes és negligible comparada amb la de la resta dels elements, i es considera que el seu contacte amb el terra es puntual. Es tracta d’<u>analitzar les forces normals d’enllaç entre terra i rodes</u>.<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el vehicle es redueixen al pes i a l’enllaç amb el terra. Si l’acceleració del xassís respecte del terra és una dada, l’aplicació del TQM condueix a:<br />
|}<br />
<br />
{|<br />
|<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}<br />
<br />
\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\<br />
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)<br />
\end{aligned}\right.</math><br />
<br />
<br />
on <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> i <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> són les forces normal i tangencial que en total reben les dues rodes del davant i les dues rodes del darrere, respectivament.<br />
El TMC a G condueix a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs} + \Ts_{\ds\rs})] =0</math><br />
(el moment cinètic <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> és permanentment nul ja que les rodes no tenen massa, i la resta del vehicle té moviment nul respecte de la RTG).<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-2-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
Resolent el sistema d’equacions: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math><br />
<br />
Aquest resultat és vàlid per a qualsevol valor de <math>\as_\Ls</math>:<br />
:*Situació estàtica (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la força normal és més gran a les rodes que tenen l’eix més proper a <math>\Gs</math>.<br />
<br />
:*Accelerant (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math> ; hi ha un transvasament de força del davant cap al darrere (es carreguen les rodes del darrere i es descarreguen les del davant). Si l’acceleració <math>|\as_\Ts|</math> és prou elevada, la força normal al davant passa a ser negativa, la qual cosa indica que s’ha perdut el contacte i el vehicle bolca en sentit antihorari. Llavors, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el xassís passa a tenir, en principi, acceleració angular, i com a conseqüència el centre de masses <math>\Gs</math> passa a tenir acceleració vertical.<br />
<br />
:*Frenant (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hi ha un transvasament de força del darrere cap al davant (es descarreguen les rodes del darrere i es carreguen les del davant). Com en el cas precedent, hi ha un valor crític de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el bolcament, ara en sentit horari.<br />
</small><br />
---------<br />
---------<br />
</div><br />
<br />
==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==<br />
<br />
L’aplicació dels teoremes vectorials als <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''']]</span> (SAE) és senzilla ja que els termes de la dreta (variació de quantitat de moviment i variació de moment cinètic) són nuls en ser nul·la la seva massa:<br><br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{qualsevol} \hspace{0.2cm} \mathrm{punt}) \approx \overline{0}.</math><br><br />
<br />
Per al cas d’un SAE (sòlid S) connectant dos sòlids rígids S1 i S2 ('''Figura D4.5'''), aquestes equacions permeten demostrar que el torsor que actua sobre S1 es pot obtenir a partir d’una equació de caracterització analítica on la cinemàtica del punt <math>\Ps</math> de caracterització (que ha de pertànyer al sòlid S1) s’avalua a la referència solidària a S2:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br><br />
<br />
(Quan es tracta de velocitats, és important especificar a quin sòlid pertany el punt <math>\Ps</math>. Això, en canvi, és irrellevant quan es tracta de moments: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>).<br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-5-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.5:'''Sòlid Auxiliar d’Enllaç entre dos sòlids de massa no nul·la</center><br><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
Els teoremes vectorials aplicats sobre el SAE impliquen que els torsors d’enllaç que rep de S1 i S2 en un mateix punt <math>\Ps</math> han de sumar zero:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\<br />
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\<br />
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)<br />
\end{array}\right.</math><br><br />
<br />
Per altra banda, aquests torsors compleixen l’<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''equació de caracterització analítica''']]</span>:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math><br><br />
<br />
Si es combinen totes les equacions anteriors, s’obté:<br><br />
<br />
<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math><br><br />
<br />
Una <span style="text-decration: underline;">[[C3. Composició de moviments#C3.1 Composició de velocitats|'''composició de moviments''']]</span> permet reescriure l’equació anterior de manera més compacta:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math><br><br />
<br />
Finalment: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.8: dinàmica longitudinal d’un vehicle ====<br />
---------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex8-1-cat.png|thumb|left|220px|link=]]<br />
|En el vehicle de l’exemple D4.7, es considera que la tracció és posterior. Això vol dir que el motor del vehicle actua entre el xassís i les rodes posteriors, en tant que les del davant només estan sotmeses a interaccions d’enllaç (articulació amb el xassís i contacte amb el terra). <br><br />
<br />
Si es tracten les rodes del davant com a SAE, l’anàlisi cinemàtica del xassís respecte del terra per a la caracterització de l’enllaç a través de les rodes del davant condueix a un torsor en el centre de la roda (que és fix al xassís) amb només una component de força:<br />
|}<br />
[[Fitxer:D4-Ex8-2-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
L’existència d’una component horitzontal de força entre les rodes posteriors (necessària per accelerar o frenar el vehicle!) està associada al parell motor. Si s'apliquen els teoremes vectorials a les rodes posteriors, les interaccions externes a tenir en compte són l’enllaç amb el terra, l’articulació amb el xassís i el parell motor <math>\Gamma</math> : <br />
[[Fitxer:D4-Ex8-3-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{rodes} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum <br />
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow <br />
\left\{\begin{array}{l}<br />
\mathrm{TQM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dr}=\Ns'_\mathrm{dr} , \Ts_\mathrm{dr}=\Ts'_\mathrm{dr} \\<br />
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{a} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dr}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs<br />
\end{array}\right. </math><br><br />
<br />
La força tangencial sobre les rodes motrius és directament proporcional al parell motor que se’ls aplica. Cal no oblidar, però, que com a força tangencial d’enllaç, el seu valor està limitat per <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math> . Això permet calcular l’acceleració màxima que pot adquirir el vehicle (mentre la roda del davant no perdi contacte amb el terra):<br><br />
<br />
<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Ts_\mathrm{dr,màx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>.<br><br />
<br />
En terrenys de baix fregament ( <math>\mu_\es</math> de valor baix), un motor capaç de subministrar un parell màxim alt és inútil: qui posa límit a l’acceleració és el valor del coeficient de fricció <math>\mu_\es</math> : <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math> . En terrenys d’alt fregament, si el parell màxim és baix és ell qui posa límit a l’acceleració: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la roda del davant no perd contacte amb el terra).<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.8 Descomposició baricèntrica del moment cinètic==<br />
<br />
La versió del TMC que s’ha presentat permet triar lliurement el punt <math>\Qs</math> d’aplicació. El criteri per triar-lo es basa en el que es vulgui investigar (una força d’enllaç, una equació del moviment...). A la <span style="text-decoration: underline;">[[D6. Exemples de dinàmica 2D|'''unitat D6''']]</span> es discuteix aquest criteri.<br />
En alguns casos, pot ser interessant triar un punt <math>\Qs</math> que no pertanyi a cap element material del sistema. Llavors, és útil referir el càlcul del moment cinètic <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al moment cinètic al centre de masses <math>\Gs</math> del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Això es coneix amb el nom de '''descomposició baricèntrica''' del moment cinètic:<br />
<br />
<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>,<br />
<br />
on el superíndex <math>\oplus</math> indica que el moment cinètic s’ha de calcular com si el sistema s’hagués reduït a una partícula concentrada a <math>\Gs</math> amb massa igual a la massa total del sistema (M): <br />
<br />
<math>\H{G}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
:La definició de moment cinètic d'un sòlid rígid <math>\Ss_i</math> és: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocitat <math>\vel{P}{RTQ}</math> es pot escriure com a suma de dos termes si s’aplica una composició de moviments:<br />
<br />
:<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\<br />
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math><br><br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:La definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D4. Teoremes vectorials#D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes|'''centre de masses''']]</span> porta a reescriure el segon terme com a:<br />
<br />
:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincideix amb el moment cinètic respecte de <math>\Qs</math> d’una partícula de massa M situada a <math>\Gs</math>: <math>\QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ} = \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:En el primer terme de l’expressió de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, es pot descompondre <math>\QPvec</math> en suma de dos termes:<br />
<br />
:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math><br />
<br />
:Per definició de centre de masses: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.<br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
===== ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica =====<br />
----------<br />
<small><br />
{|<br />
<br />
|[[Fitxer:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El sòlid està format per dues barres de massa negligible i quatre partícules (<math>\Ps</math>) amb massa m unides als extrems de les barres. El sòlid està articulat a un suport que es pot moure al llarg d’una guia fixa a terra.<br />
El seu moment cinètic a G és:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math><br />
<br />
La RTG és fixa al suport, i la velocitat de les partícules respecte d’aquesta referència és proporcional a la rotació <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Per tant:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math><br />
|}<br />
:El moment cinètic a <math>\Os</math> (fix al terra) es pot calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mitjançant descomposició baricèntrica:<br />
<br />
:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times\Ms\vel{G}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) =\\<br />
= (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times\Ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math><br />
<br />
<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<p align="right"><small>© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]</small></p><br />
-------------<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><br />
[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|<<< D3. Interaccions entre sòlids rígids]]<br />
<br />
[[D5. Geometria de masses|D5. Geometria de masses >>>]]<br />
</center></div>
Bros
https://mec.etseib.upc.edu/ca/index.php?title=D4._Teoremes_vectorials&diff=7754
D4. Teoremes vectorials
2025-05-08T12:29:34Z
<p>Bros: /* 💭 Demostració ➕ */</p>
<hr />
<div><div class="noautonum">__TOC__</div><br />
<br />
<math><br />
\newcommand{\uvec}{\overline{\textbf{u}}}<br />
\newcommand{\vvec}{\overline{\textbf{v}}}<br />
\newcommand{\evec}{\overline{\textbf{e}}}<br />
\newcommand{\Omegavec}{\overline{\mathbf{\Omega}}}<br />
\newcommand{\velang}[2]{\Omegavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\Alfavec}{\overline{\mathbf{\alpha}}}<br />
\newcommand{\accang}[2]{\Alfavec^{\textrm{#1}}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\as}{\textrm{a}}<br />
\newcommand{\ds}{\textrm{d}}<br />
\newcommand{\hs}{\textrm{h}}<br />
\newcommand{\ks}{\textrm{k}}<br />
\newcommand{\Ms}{\textrm{M}}<br />
\newcommand{\Ns}{\textrm{N}}<br />
\newcommand{\Fs}{\textrm{F}}<br />
\newcommand{\ms}{\textrm{m}}<br />
\newcommand{\ns}{\textrm{n}}<br />
\newcommand{\ts}{\textrm{t}}<br />
\newcommand{\Is}{\textrm{I}}<br />
\newcommand{\us}{\textrm{u}}<br />
\newcommand{\qs}{\textrm{q}}<br />
\newcommand{\vs}{\textrm{v}}<br />
\newcommand{\Rs}{\textrm{R}}<br />
\newcommand{\Ts}{\textrm{T}}<br />
\newcommand{\Ls}{\textrm{L}}<br />
\newcommand{\Bs}{\textrm{B}}<br />
\newcommand{\es}{\textrm{e}}<br />
\newcommand{\fs}{\textrm{f}}<br />
\newcommand{\gs}{\textrm{g}}<br />
\newcommand{\is}{\textrm{i}}<br />
\newcommand{\js}{\textrm{j}}<br />
\newcommand{\rs}{\textrm{r}}<br />
\newcommand{\Os}{\textbf{O}}<br />
\newcommand{\Gs}{\textbf{G}}<br />
\newcommand{\Cbf}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Or}{\Os_\Rs}<br />
\newcommand{\Qs}{\textbf{Q}}<br />
\newcommand{\Js}{\textbf{J}}<br />
\newcommand{\Cs}{\textbf{C}}<br />
\newcommand{\Ps}{\textbf{P}}<br />
\newcommand{\Ss}{\textbf{S}}<br />
\newcommand{\ss}{\textsf{s}}<br />
\newcommand{\P}{\textrm{P}}<br />
\newcommand{\Q}{\textrm{Q}}<br />
\newcommand{\deg}{^\textsf{o}}<br />
\newcommand{\xs}{\textsf{x}}<br />
\newcommand{\ys}{\textsf{y}}<br />
\newcommand{\zs}{\textsf{z}}<br />
\newcommand{\dert}[2]{\left.\frac{\ds{#1}}{\ds\ts}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\ddert}[2]{\left.\frac{\ds^2{#1}}{\ds\ts^2}\right]_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vec}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\vecbf}[1]{\overline{\textbf{#1}}}<br />
\newcommand{\vecdot}[1]{\overline{\dot{#1}}}<br />
\newcommand{\GPvec}{\vec{\Gs\Ps}}<br />
\newcommand{\OQvec}{\vec{\Os\Qs}}<br />
\newcommand{\JGvec}{\vec{\Js\Gs}}<br />
\newcommand{\QGvec}{\vec{\Qs\Gs}}<br />
\newcommand{\QPvec}{\vec{\Qs\Ps}}<br />
\newcommand{\OPvec}{\vec{\Os\textbf{P}}}<br />
\newcommand{\OCvec}{\vec{\Os\Cs}}<br />
\newcommand{\OGvec}{\vec{\Os\Gs}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}<br />
\newcommand{\braq}[2]{\left\{{#1}\right\}_{\textrm{#2}}}<br />
\newcommand{\vector}[3]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}\\<br />
{#3}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vecdosd}[2]{<br />
\begin{Bmatrix}<br />
{#1}\\<br />
{#2}<br />
\end{Bmatrix}}<br />
\newcommand{\vel}[2]{\vvec_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\acc}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accs}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{s}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\accn}[2]{\vecbf{a}_{\textrm{#2}}^{\textrm{n}} (\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\velo}[1]{\vvec_{\textrm{#1}}}<br />
\newcommand{\accso}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{s}}}<br />
\newcommand{\accno}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{#1}}^{\textrm{n}}}<br />
\newcommand{\re}[2]{\Re_{\textrm{#2}}(\textbf{#1})}<br />
\newcommand{\psio}{\dot{\psi}_0}<br />
\newcommand{\Pll}{\textbf{P}_\textrm{lliure}}<br />
\newcommand{\agal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\angal}[1]{\vecbf{a}_{\textrm{NGal}} (#1)}<br />
\newcommand{\vgal}[1]{\vecbf{v}_{\textrm{Gal}} (#1)}<br />
\newcommand{\F}[1]{\vec{\Fs}_{#1}}<br />
\newcommand{\Fcal}[2]{\vec{\cal{F}}^{\text{#1}}_{#2}}<br />
\newcommand{\H}[3]{\vec{\mathbf{H}}_{\text{#3}}^{#2}(\textbf{#1})}<br />
</math><br />
<br />
Els '''Teoremes Vectorials''' són una eina per estudiar la dinàmica dels sistemes mecànics, i s’obtenen a partir de la llei fonamental de la dinàmica (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>) i del principi d’acció i reacció (<span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.6 Tercera llei de Newton (principi d’acció i reacció)|'''tercera llei de Newton''']]</span>).<br />
<br />
En aquest curs, es presenta només la <span style="text-decoration: underline;">versió dels teoremes per al cas de sistemes de matèria constant</span>. Tot i que això inclou sistemes amb fluids, els exemples d’aplicació en aquest curs són essencialment sistemes multisòlid formats per sòlids rígids.<br />
<br />
En estudiar la dinàmica d'un <span style="text-decoration: underline;">[[Introducción#I.1 Què és la mecànica?|'''sistema mecànic''']]</span>, és essencial identificar les incògnites que conté el sistema que s’estudia i analitzar si els teoremes vectorials proporcionen el nombre suficient d’equacions per resoldre-les totes (cal saber si el problema és determinat o indeterminat!). Les incògnites es poden classificar en dos grups:<br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''graus de llibertat''']]</span></u><br />
<br />
Els GL d’un sistema mecànic poden ser <span style="text-decoration: underline;">[[C2. Moviment d'un sistema mecànic#C2.7 Graus de llibertat|'''lliures o actuats''']]</span> (o forçats, associats a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''actuadors''']]</span>). En ambdós casos, el seu valor inicial (el valor en començar un experiment o en posar en marxa el sistema) és conegut. Quan es tracta de GL lliures, l’evolució d’aquest valor inicial no es coneix: és una incògnita. Es diu que el problema és de '''dinàmica directa'''.<br />
<br />
Aquest és el cas també quan es tracta de GL actuats si l’acció de l’actuador associat és coneguda (és a dir, quan es coneix el valor de <math>\Fs_{ac}</math>– cas dels actuadors lineals –, o de <math>\gamma</math>– cas dels rotacionals). El problema també és de dinàmica directa.<br />
<br />
Les equacions que regeixen l’evolució dels GL s’anomenen '''equacions del moviment'''. Si els GL es descriuen mitjançant derivades temporals de coordenades (<math>\dot{q}_i</math>, amb i=1,2,3...), la seva evolució temporal són les segones derivades temporals d’aquests coordenades (acceleracions). <br />
<br />
Per a un sistema amb 2 GL lliures descrits, per exemple, per (x, <math>\dot{\theta}</math>), aquestes equacions tindrien el següent aspecte general:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\theta} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
on <math>\Gamma</math> seria el parell motor de l’actuador rotacional associat al moviment <math>\theta</math>.<br />
<br />
La dependència en les segones derivades temporals <math>(\ddot{xs}, \ddot{\theta})</math> és sempre lineal, en tant que al dependència en les coordenades i les velocitats <math>(\xs, \theta, \dot{xs}, \dot{\theta})</math> pot ser de qualsevol tipus. Els paràmetres dinàmics són la massa dels elements i els associats a la seva distribució a l’espai, i els paràmetres associats a les interaccions sobre el sistema (constants de molles i amortidors, coeficients de fricció, constants del camp gravitatori...); els paràmetres geomètrics tenen a veure amb la forma dels elements del sistema (distàncies i angles).<br />
<br />
En algunes ocasions, les accions dels actuadors (<math>\Fs_{ac}, \Gamma</math>) no són conegudes, mentre que les evolucions temporals dels GL actuats són prefixades. Llavors, les incògnites associades als GL actuats són el valor de les forces (si es tracta d’actuadors lineals) i moments (si són actuadors rotacionals) necessaris per garantir aquestes evolucions prefixades. Es diu que el problema és de '''dinàmica inversa'''.<br />
<br />
Per al cas de l’exemple anterior, si <math>\dot{\theta}</math> està prefixada, les equacions que descriuen les incògnites del problema associades als GL són:<br />
<br />
<center><math>\ddot{\xs} = f_{\xs}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<center><math>\ddot{\Gamma} = f_{\theta}(\xs,\theta,\dot{\xs},\dot{\theta},\ddot{\theta},\text{paràmetres dinàmics, paràmetres geomètrics})</math></center><br />
<br />
<u>Incògnites associades a <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''enllaços''']]</span></u><br />
<br />
Són els valors de les components de les <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|'''torsors d'enllaç''']]</span>. El nombre d’incògnites associades als enllaços depèn de la descripció que se’n faci (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''enllaços directes''']]</span>, <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''enllaços indirectes''']]</span>). Quan un problema de dinàmica és indeterminat, la indeterminació sempre es refereix a les components dels torsors d’enllaç, mai als GL (lliures o forçats).<br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
==D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes==<br />
Considerem un sistema de partícules de matèria constant ('''Figura D4.1'''). El '''Teorema de la Quantitat de Moviment''' (TQM) s’obté a partir de l’aplicació de la segona llei de Newton a cada partícula <math>\Ps</math> del sistema. Si la referència que es considera és galileana: <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>, on <math>\F{\rightarrow\Ps}</math> és la força resultant d’interacció sobre <math>\Ps</math>.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.1''' Forces sobre una partícula d’un sistema de partícules de matèria constant</center><br />
<br />
Les forces que actuen sobre cada partícula es poden classificar en dos grups: internes (que provenen de la interacció amb altres partícules del sistema) i externes (associades a les interaccions amb elements externs al sistema): <math>\F{\is\ns\ts\rightarrow\Ps}+\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RGal}</math>. Si aquestes equacions se sumen per a totes les partícules, les forces internes entre parelles de partícules es cancel·len dues a dues pel principi d’acció i reacció:<br />
<br />
<center><math>\F{\Ps_j\rightarrow\Ps_i}+\F{\Ps_i\rightarrow\Ps_j}=\vec{0}\Rightarrow\sum_\Ps\F{\es\xs\ts\rightarrow\Ps}=\sum_\Ps \ms_\Ps\:\acc{P}{RGal}</math></center><br />
<br />
El terme de l’esquerra és la resultant de forces externes sobre el sistema, i se sol escriure simplement com a <math>\sum\F{ext}</math>. El terme de la dreta es pot reescriure com a <math>\Ms\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math>, on M és la massa total del sistema <math>\left(\Ms\equiv\sum_\Ps \ms_\Ps\right)</math>. El terme <math>\left[\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{RGal}\right]</math> és una acceleració ponderada, on la ponderació és proporcional a la massa de cada partícula. Aquesta acceleració s’associa a un punt anomenat '''centre de masses''' (o '''centre d’inèrcia''') del sistema, i en aquest curs es designa amb la lletra <math>\Gs</math>. Per a una referència qualsevol, doncs, la cinemàtica de <math>\Gs</math> queda descrita per les equacions ('''Figura D4.2'''):<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\vec{\Os_\Rs\Ps},\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_{\Ps}}{\Ms}\vel{P}{R},\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_\Ps\frac{\ms_\Ps}{\Ms}\acc{P}{R}</math></center><br />
<br />
[[Fitxer:D4-2-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.2''' Centre de masses (o d’inèrcia) d’un sistema de matèria constant</center><br />
<br />
En el cas de conjunts continus de partícules (com són un conjunt de sòlids rígids, deformables, o fluids), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<center><math>\vec{\Os_\Rs\Gs}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vec{\Os_\Rs\Ps}\right),\:\:\:\:\vel{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\vel{P}{R}\right),\:\:\:\:\acc{G}{R}=\sum_{i=1}^N\left(\frac{1}{\Ms_\is}\int_{\Ss_\is}\ds\ms(\Ps)\acc{P}{R}\right)</math></center><br />
<br />
Finalment, el TQM s’escriu com a:<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\:\acc{G}{RGal}</math></center><br />
<br />
Aquesta equació és molt propera a la <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.5 Segona llei de Newton (llei fonamental de la dinàmica)|'''segona llei de Newton''']]</span>: el centre de masses <math>\Gs</math> es comporta com si fos una partícula de massa igual a la massa total del sistema, i sobre la qual actuessin totes les forces externes al sistema. Malgrat el paral·lelisme entre el TQM i l’equació de dinàmica de la partícula, hi ha dues diferències fonamentals:<br />
<br />
:*la massa del sistema no està localitzada a <math>\Gs</math> (fins i tot, pot ser que <math>\Gs</math> estigui situat en una zona del sistema sense massa, com és el cas en una anella homogènia);<br />
<br />
:*les forces externes no estan aplicades a <math>\Gs</math> en general.<br />
<br />
El TQM s’anomena així perquè permet conèixer l’evolució, a partir del coneixement de <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic|'''l’estat mecànic''']]</span> inicial i de les interaccions externes, de la '''quantitat de moviment''' del sistema (que, en una referència qualsevol R, es defineix com a <math>\sum_\Ps\ms_\Ps\vel{P}{R}=\Ms\vel{G}{R}</math>):<br />
<br />
<center><math>\sum\F{ext}=\Ms\acc{G}{RGal}=\dert{\Ms\vel{G}{RGal}}{RGal}</math></center><br />
<br />
La localització del centre de masses en els sistemes que s’estudien (ja sigui un únic sòlid rígid o un sistema multisòlid) es presenta breument a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Tensor d’inèrcia#D5.1 Centre de masses|'''secció D5.1''']]</span>. Per a sòlids homogenis de geometria molt senzilla, la posició de G es pot deduir sovint a partir de les simetries del sòlid. <br />
En problemes plans (de cinemàtica 2D), només les dues components del TQM compreses en el pla són interessants.<br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.2 Exemples d’aplicació del TQM==<br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.1: càlcul d’una força d’enllaç ====<br />
<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex1-1-neut.png|thumb|center|180px|link=]]<br />
|Els tres blocs homogenis són llisos i estan en contacte entre ells i amb un terra horitzontal, també llis. Es tracta d’investigar el <span style="text-decoration: underline;">valor de la força horitzontal d’enllaç entre els blocs Q i S</span> quan s’aplica una força horitzontal F al bloc de l’esquerra. <br />
Tots els enllaços que apareixen en aquest sistema són contactes multipuntuals entre superfícies llises. Per tant, cada torsor associat, caracteritzat en un punt del contacte corresponent, conté una component de força i una de moment (<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|exemple D3.4]]</span>). Tot i així, en l’aplicació del TQM només intervenen les forces, i per tant no es representen els moments en les figures següents.<br />
|}<br />
<br />
<br />
Per tal que la força d’enllaç <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> aparegui a la component horitzontal del TQM, cal aplicar el teorema a un sistema on aquesta força sigui externa. Per exemple, al bloc S: <math>(\rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss})=(3\ms)[\rightarrow\as_\Ts(\Gs_\Ss)]</math>. <br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex1-2new-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
<br />
Aquesta equació conté dues incògnites: <math>\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}</math> i <math>\as_\Ts(\Gs_\Ss)</math>. Ja que el moviment dels tres blocs provocat per la força F és el mateix, l’acceleració es pot obtenir amb el TQM aplicat a tot el sistema:<br />
<center><math>\Fs = (6\ms)\as_\Ts(\Gs)\Rightarrow\as_\Ts(\Gs)=\frac{\Fs}{6\ms}\Rightarrow\Fs_{\Qs\rightarrow\Ss}=3\ms\frac{\Fs}{6\ms}=\frac{\Fs}{2}</math></center><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.2: moviment inicial d’un sistema ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex2-1-cat.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|Els blocs homogenis es troben inicialment en repòs sobre un terra rugós, i units mitjançant una molla comprimida amb una tensió <math>\Fs_0=\ms\gs</math> i un fil inextensible. En un cert instant, es talla el fil i el sistema comença a moure’s. <br />
|}<br />
<br />
<br />
Es tracta de calcular l’<span style="text-decoration: underline;">acceleració del centre d’inèrcia del sistema respecte del terra</span>. Aquesta acceleració es pot obtenir a partir de la component horitzontal del TQM aplicat a tot el sistema. La molla és interna, i per tant la seva força no apareix: <math>\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}+\F{\text{terra}\rightarrow \ms}=(3\ms)\acc{G}{T}</math>.<br />
<br />
Les forces que el terra exerceix sobre cadascun dels blocs poden ser d’enllaç (si els blocs no es mouen, i llavors són incògnites), o de fricció (si els blocs es mouen respecte del terra, i en aquest cas són formulables). També pot donar-se el cas que un bloc llisqui i l’altre no.<br />
<br />
El valor d’una força d’enllaç s’adapta per tal de garantir una restricció. En el cas dels blocs, cal investigar si aquestes forces poden assolir el valor necessari per evitar que els blocs llisquin sobre el terra, i estan acotades pel valor del coeficient de fricció estàtica entre blocs i terra:<br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow 2\ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow 2\ms}=0,6\cdot 2\ms\gs=1,2\ms\gs</math><br />
<br />
<math>|\F{\text{terra}\rightarrow \ms}\mid\leq\mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}?\:\:\:, \mu_\es\Ns_{\text{terra}\rightarrow\ms}=0.4\cdot \ms\gs</math><br />
<br />
Si s’aplica el TQM a cada bloc per separat, la força de la molla passa a ser externa. Aquesta força (de valor mg) pot ser contrarestada per la força d’enllaç en el cas del bloc de massa <math>2\ms</math> (per tant, <math>\as_\Ts(2\ms) = 0</math>), però no en el del bloc de massa m:<br />
[[Fitxer:D4-Ex2-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
<br />
L’aplicació del TQM al bloc de massa m condueix a:<br />
<br />
<math>\left.\begin{aligned}<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=\F{\text{terra}\rightarrow2\ms}+\F{\text{molla}\rightarrow2\ms}=2\ms\acc{2m}{T} \\<br />
\sum\F{\es\xs\ts\rightarrow2\ms}=(\rightarrow\ms\gs)+(\leftarrow\ms\gs)=0<br />
\end{aligned}\right\} \Rightarrow\acc{m}{T}=(\rightarrow 0,8\gs)</math><br />
<br />
<br />
Finalment: <math>\acc{G}{T}=\frac{2\ms\acc{2m}{T}+\ms\acc{m}{T}}{3\ms}=\frac{0,8}{3}\gs</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.3: estudi d’una condició límit ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex3-1-neut.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|L’esfera homogènia de massa M descansa sobre dues falques idèntiques, de massa m, que es troben al damunt del terra. Entre esfera i falques no hi ha fregament, però entre falques i terra hi ha fregament de coeficient <math>\mu</math>. El sistema es troba inicialment en repòs respecte del terra. Es tracta de determinar el <span style="text-decoration: underline;">valor màxim de M, en funció de m, que permet que el sistema segueixi en repòs</span>.<br />
|}<br />
<br />
Si res no belluga, les forces horitzontals d’interacció entre terra i falques són d’enllaç i no superen el valor límit <math>/mu\ns</math> (on <math>\Ns</math> és la força normal que cada falca rep del terra). El torsor d’enllaç del terra sobre les falques conté també un moment resultant perpendicular a la figura.<br />
Si es vol estudiar la possibilitat de bolcament de les falques, aquest moment és rellevant. En aquest exemple, però, la forma les falques garanteix que no bolquen, i es treballa només amb les forces.<br />
L’aplicació del TQM a tot el sistema, a una falca i a l’esfera condueix a les equacions següents:<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex3-3-neut.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<br />
<center><br />
{|class = "wikitable", style = "background-color:#ffffff;border-style:none;"<br />
|- style="vertical-align:top;"<br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera + falques<br />
<br />
<math>\left(\uparrow 2\Ns\right)+\left[\downarrow(\Ms+2\ms)\gs\right]=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns=\frac{1}{2}(\Ms+2\ms)\gs</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: falca de l'esquerra<br />
<br />
<math>\left(\rightarrow \Ts\right)+\left(\leftarrow\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ts=\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}</math><br />
|style="padding: 20px; text-align:center;"|SISTEMA: esfera<br />
<br />
<math>\left(\downarrow\Ms\gs\right)+\left(\uparrow 2\frac{\Ns'}{\sqrt{2}}\right)=\vec{0}</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow\Ns'=\frac{\Ms\gs}{\sqrt{2}}</math><br />
|}</center><br />
<br />
Combinant les dues últimes equacions: <math>\Ts = \Ms\gs/2</math>. El valor màxim de M per al qual encara hi ha equilibri correspon a la situació en què la força tangencial d’enllaç T pren el valor màxim possible: <math>\Ts = \Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns</math>. Tenint en compte que <math>N = \frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs</math>:<br />
<br />
<math>\Ts=\frac{\Ms_{\text{màx}}\gs}{2}=\Ts_{\text{màx}}=\mu\Ns=\mu\frac{1}{2}(\Ms_{\text{màx}}+2\ms)\gs\Rightarrow\Ms_{\text{màx}}=2\ms\frac{\mu}{1-\mu}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
------------<br />
------------<br />
<br />
==D4.3 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències no galileanes==<br />
La versió del TQM en una referència no galileana NGal s’obté també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada partícula (o cada diferencial de massa) del sistema a la referència NGal (secció D1.7). En principi, doncs, aquesta equació contindrà dues forces d’inèrcia: la d’arrossegament i la de Coriolis ('''Figura D4.3'''): <br />
<br />
<math>\F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = \ms_\Ps\acc{P}{NGal}</math>,<br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{ar} = -\ms_\Ps\acc{$\Ps\in\text{NGal}$}{RGal}</math> i <math>\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\ms_\Ps\acc{P}{Cor} = -2\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal}</math><br />
[[Fitxer:D4-3-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.3:''' Forces d’inèrcia en una referència no galileana</center><br />
Sumant les equacions per a totes les partícules, s’obté: <math>\sum\F{ext}+\Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs}=\Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
massa total del sistema.<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
------<br />
:<small><br />
Pel principi d’acció i reacció, la suma per a totes les partícules de les forces d’interacció condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\F{\rightarrow\Ps} = \sum\F{ext}</math><br />
<br />
Pel que fa a les forces d’inèrcia, en ser proporcionals a l’acceleració d’arrossegament i de Coriolis de cada<br />
partícula, la seva suma per a totes les partícules correspon a la cinemàtica ponderada que defineix el<br />
centre de masses (secció D4.2):<br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs\in$NGal}{RGal} = -\Ms\acc{$\Gs$}{ar} = \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
<math><br />
\sum_{\Ps\in\text{sist}} \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps} = -\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\acc{$\Ps$}{Cor} = -2\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\velang{NGal}{RGal}\times\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\sum_{\Ps\in\text{sist}}\ms_\Ps\vel{P}{NGal} = -2\velang{NGal}{RGal}\times\Ms_\Ps\vel{G}{NGal} = \Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Ps}<br />
</math><br />
<br />
Així doncs: <math>\sum\F{ext} + \Fcal{ar}{NGal\rightarrow\Gs}+\Fcal{Cor}{NGal\rightarrow\Gs} = \Ms\acc{G}{NGal}</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.4: desplaçament vibratori====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex4-1-cat-esp.png|thumb|center|250px|link=]]<br />
|El bloc de massa m es troba inicialment en repòs<br />
sobre un suport que oscil·la respecte del terra<br />
d’acord amb el gràfic de velocitat que es mostra a<br />
la figura. Es tracta d’investigar la <span style="text-decoration: underline;">possibilitat que<br />
el bloc llisqui al damunt del suport</span>.<br />
La condició de repòs del bloc respecte del suport<br />
(que és una referència no galileana en tenir un<br />
moviment accelerat respecte del terra) demana:<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} + \Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = \vec{0} (\Fcal{Cor}{sup\rightarrow\Gs}= \vec{0})</math> perque <math>\velang{sup}{T} = \vec{0}</math><br />
|}<br />
<br />
La força d’arrossegament sobre el bloc és estrictament horitzontal. Per tant, la component vertical d’aquesta equació condueix a <math>N = mg</math> . Pel que fa a la component horitzontal, contindrà la força<br />
d’interacció entre bloc i suport. Si el bloc no llisca al damunt del suport, aquesta força és d’enllaç, i el seu valor està acotat: <math>0\leq\mid\Fs_{sup\rightarrow bloc}\mid \leq\mu\Ms\gs = 0,15\Ms\Gs\simeq 1,5(\ms/s^2)\Ms</math>. Si llisca, és una força de fricció de valor <math>\mu\ms\gs</math>, oposada a la velocitat de lliscament.<br />
<br />
Entre <math>t=0</math> i <math>t = 0,4s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és <math>\ddot{y} = \frac{0,4\ms/s}{0,4s}=1\ms/s^2</math> i per tant la força<br />
d’arrossegament és <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} = -\ms\acc{$\Gs\in$suport}{T}=[\leftarrow 0,1(\ms/s^2)\Ms]</math>. El valor es troba dins del marge de valors permesos per a la força d’enllaç horitzontal del suport sobre el bloc. Per tant, aquesta força prendrà el valor <math>\F{sup\rightarrow bloc} = 0,1(\ms/s^2)</math>, contrarestarà la <math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs}</math> i es mantindrà el repòs entre els dos elements.<br />
<br />
Entre <math>t=0,4s</math> i <math>t = 0,6s</math>, l’acceleració del suport respecte del terra és 2<math>\ddot{y} = -\frac{0,8\ms/s}{0,2s}=-4\frac{\ms}{s^2}</math>. Per tant,<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} =[\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms]</math>. En sobrepassar el valor màxim de la força horitzontal d’enllaç, no podrà ser contrarestada. El bloc començarà a lliscar, i la força horitzontal d’interacció entre suport i bloc serà de fricció:<br />
<br />
<math>\Fcal{ar}{sup\rightarrow\Gs} + \F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\rightarrow 4(\ms/s^2)\Ms] + [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms] = [\rightarrow 2,5(\ms/s^2)\Ms]\Rightarrow \acc{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
A l’instant <math>t = 0,6s</math>, la velocitat del bloc respecte del suport és <br />
<br />
<math>\vel{G}{sup} = \left(\rightarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\cdot 0,2s\right) = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right)</math>.<br />
<br />
Tot i entrar en la fase on <math>\mid\Fcal{ar}{sup\rightarrow G}\mid<\mu\Ms\gs</math>, la força horitzontal entre suport i bloc segueix sent de fricció <math>(\F{sup\rightarrow bloc}^{fricció} = [\leftarrow 1,5(\ms/s^2)\Ms])</math> fins aconseguir aturar el bloc. <br />
<br />
L’acceleració del bloc respecte del suport és:<br />
<br />
<math>\acc{G}{sup} = \acc{G}{T} - \acc{G}{ar} = \left(\leftarrow 1,5\frac{\ms}{s^2}\right) - \left( \rightarrow 1\frac{\ms}{s^2}\right) = \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)</math><br />
<br />
En tractar-se d’un moviment uniformement desaccelerat, és fàcil calcular l'instant per al qual el bloc deixa de lliscar:<br />
<br />
<math>\vel{$\Gs,t_f$}{sup} = 0 = \vel{$\Gs,t_i$}{sup} + \acc{$\Gs,t_f$}{sup}(t_f - t_i)</math>,<br />
<math>t_i = 0,6s \Rightarrow 0 = \left(\rightarrow 0,5\frac{\ms}{s}\right) + \left(\leftarrow 2,5\frac{\ms}{s^2}\right)(t_f-0,6s)\Rightarrow t_i = 0,8s</math><br />
<br />
En aquest instant, la força del suport sobre el bloc passa a ser d’enllaç, i ens trobem en una situació anàloga a la inicial. Per tant, el lliscament no recomençarà fins a <math>\ts = 1,4s</math>. L’estudi per als intervals posteriors segueix els mateixos passos que l’estudi de l’interval <math>[0,1,4s]</math>. La figura mostra l’evolució de la cinemàtica del bloc respecte del suport, i de les forces que hi actuen.<br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex4-2-cat.png|thumb|center|450px|link=]]<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
-----------<br />
-----------<br />
<br />
==D4.4 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulació general==<br />
<br />
La dinàmica d’un sòlid rígid (i per tant, d’un sistema multisòlid) no queda mai totalment resolta amb el TQM quan el sòlid gira: el TQM només informa sobre el moviment d’un punt (<math>\Gs</math>), i no sobre la rotació.<br />
<br />
El '''Teorema del Moment Cinètic''' (TMC) es troba a la literatura enunciat de dues maneres diferents. En aquest curs, s’ha optat per una formulació paral·lela a la del TQM: a l'esquerra apareixen termes que només tenen a veure amb les interaccions externes sobre el sistema, mentre que a la dreta apareix la derivada temporal d’un vector que depèn només de la geometria de masses del sistema i del seu <span style="text-decoration: underline;">[[C1. Configuració d'un sistema mecànic#|'''estat mecànic''']]</span>.<br />
<br />
Com ja s’ha vist quan s’ha introduït el concepte de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''torsor d’un sistema de forces''']]</span>, el que es relaciona amb la rotació d’un sòlid és el moment de les forces, no la força resultant. Per tant, si bé el TMC es demostra també a partir de la segona llei de Newton aplicada a cada diferencial de massa del sistema, caldrà transformar les forces que hi apareixen en moment d’aquestes forces respecte d’un punt <math>\Qs</math>.<br />
<br />
Aquestes dues consideracions (formulació paral·lela al TQM i necessitat de triar un punt <math>\Qs</math> per calcular el moment de les forces) porta a partir de la formulació de la segona llei de Newton en la '''Referència que es Trasllada amb Q (RTQ)''' respecte d’una referència galileana <math>\velang{RTQ}{RGal} = \vec{0}</math>. Si <math>\acc{Q}{RGal}\neq\vec{0}</math>, aquesta referència no és galileana, i per tant cal tenir en compte en principi les <span style="text-decoration: underline;">[[D1. Lleis fundacionals de la mecànica newtoniana#D1.7 Dinàmica de la partícula en referències no galileanes|'''forces d’inèrcia d’arrossegament''']]</span> ('''Figura D4.3''').<br />
<br />
[[Fitxer:D4-4-cat.png|thumb|center|400px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.4:''' Forces d’inèrcia a la Referència que es Trasllada amb un punt <math>\Qs</math> (RTQ)</center><br><br />
<br />
<br />
Considerem un sistema de partícules amb matèria constant. La segona llei de Newton aplicada a cada partícula del sistema i a la RTQ és:<br><br />
<br />
<math>\sum \F{\rightarrow \Ps} + \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math> , <br><br />
<br />
on <math>\Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=-\ms_\Ps \acc{P}{ar}=-\ms_\Ps \overline{\mathbf{a}}_\mathrm{RGal}(\Ps \in \mathrm{RTQ})=-\ms_\Ps \acc{Q}{RGal}</math> , i <math>\Fcal{Cor}{\mathrm{RTQ}\rightarrow \Ps}=\overline{0}</math> ja que <math>\velang{RTQ}{RGal}=\overline{0}</math>.<br><br />
<br />
Si els dos costats de l’equació es multipliquen vectorialment per <math>\QPvec</math> i es suma per totes les partícules (o elements de massa) del sistema, s’obté el TMC al punt <math>\Qs</math>:<br><br />
<br />
<math>\sum \vec{M}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \dert{\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)}{RTQ} \equiv \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br><br />
<br />
on <math>\Ms</math> és la massa total del sistema, i <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs) \equiv \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \vel{P}{RTQ}</math> és el '''moment cinètic del sistema respecte el punt''' <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
Si el sistema té elements continus (per exemple, un sistema amb N sòlids rígids <math>\Ss_i</math>), el sumatori per a partícules és de fet una integral:<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)= \sum_{\is =1}^{\Ns} \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}^\mathrm{Si}(\Qs)= \sum_{\is=1}^{\Ns} \left( \int_{\mathrm{Si}}\QPvec \times \ds\ms (\Ps) \vel{P}{RTQ} \right )</math>.<br />
<br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
La segona llei de Newton per a cada element de massa multiplicada vectorialment per <math>\QPvec</math> és:<br />
<br />
<math>\sum\QPvec\times\F{\rightarrow\Ps} + \QPvec\times\Fcal{ar}{RTQ\rightarrow\Ps} = \QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ}</math><br />
<br />
El terme de la dreta es pot reescriure com a:<br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
En ser <math>\Qs</math> un punt de la RTQ, es pot prendre com a origen d’un vector de posició de <math>\Ps</math> en aquesta referència, i per tant:<br />
<br />
<math>\vel{P}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \Rightarrow\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\QPvec}{RTQ} \times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<math>=\vel{P}{RTQ}\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ} + \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ}</math><br />
<br />
Tenint en compte que la massa és constant: <br />
<br />
<math>\QPvec\times\ms_\Ps\acc{P}{RTQ} = \dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ}</math><br />
<br />
La suma d’aquest terme per a tots els elements <math>\Ps</math> condueix a:<br />
<br />
<math>\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\dert{\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \sum_{\Ps\in\text{sist}}\dert{\left[\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}\right]}{RTQ} = \dert{\sum_{\Ps\in\text{sist}}\QPvec\times\ms_\Ps\vel{P}{RTQ}}{RTQ} = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
<br />
Si les forces d’interacció sobre cada partícula <math>\Ps</math> es classifiquen en internes i externes, la suma per a totes les partícules del sistema del costat esquerre de la primera equació esdevé:<br />
<br />
<math> \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{int}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} + \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \Fcal{ar}{\mathrm{RTQ}\rightarrow\Ps} = \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \F{\mathrm{ext}\rightarrow\Ps} - \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \QPvec \times \ms_\Ps \acc{Q}{RGal}=</math><br />
<br />
<math>= \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \left( \sum_{\Ps \in \mathrm{sist}} \ms_\Ps \QPvec \right) \times \acc{Q}{RGal} = \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} , </math> <br><br />
ja que el principi d’acció i reacció garanteix que el moment total d’una parella de forces d’acció i reacció és nul:<br><br />
<br />
<math>\QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} + \QPvec _\js \times \F{\Ps_\is \rightarrow \Ps_\js} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \QPvec _\js \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} = \QPvec_\is \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is} - \left( \QPvec _\is + \overline{\Ps_\is \Ps_\js}\right)\times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}= \overline{\Ps_\is \Ps_\js} \times \F{\Ps_\js \rightarrow \Ps_\is}=\overline{0}</math><br><br />
Agrupant tots els termes:<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) - \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)</math><br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.5 Teorema del Moment Cinètic (TMC): formulacions particulars==<br />
El TMC pren expressions més senzilles quan el punt <math>\Qs</math> és fix a una referència galileana o quan és el centre de masses del sistema.<br><br />
<br />
* <math>\Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Qs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs). </math> De manera concisa, anomenem aquesta versió “TMC a punt fix”, on se sobreentén que “fix” vol dir “fix a una referència galileana”. Quan és el cas, normalment emprarem la lletra <math>\Os</math> per designar el punt <math>\Qs</math>.<br><br />
<br />
* <math>\Qs=\Gs \Rightarrow \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal}=\overline{0} \times \Ms \acc{Q}{RGal} = \overline{0} \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Gs).</math>Cal notar que, si bé l’expressió és similar a la versió a punt fix, el centre de masses <math>\Gs</math> no té per què ser fix a una referència galileana.<br />
<br />
Quan <math>\Qs</math> no és ni un punt fix a RGal ni coincideix amb el centre de masses, se sol parlar de la versió del TMC “a punt mòbil”. Tot i que <math>\Qs</math> sigui un punt mòbil respecte de RGal, el terme associat a les forces d’inèrcia <math>\left( \QGvec \times \Ms \acc{Q}{RGal} \right)</math> pot ser nul si <math>\Qs</math> es mou a velocitat costant respecte de RGal, o si la seva acceleració respecte de RGal és paral·lela a <math>\QGvec</math> .<br />
<br />
<center><br />
{| class="wikitable"<br />
|+ <br />
|-<br />
! '''TMC a punt fix''' !! '''TMA a '''<math>\Gs</math> !! '''TMC a un punt mòbil '''<math>\Qs</math><br />
|-<br />
| <center><math> \quad \Qs \in \mathrm{RGal} \Rightarrow \Qs \equiv \Os , \mathrm{RTQ} = \mathrm{RGal} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RGal} (\Os)</math> </center><br />
|| <br />
<center><br />
<math>\quad \Qs=\Gs \Rightarrow \mathrm{RTQ}=\mathrm{RTG} \quad </math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Gs) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTG} (\Gs)</math></center><br />
|| <br />
<center><br />
<math> \quad \acc{Q}{RGal} \neq \overline{0}\quad </math><br><br />
<br />
<math>\quad \sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs) - \QGvec \times \Ms\acc{Q}{RGal}= \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTQ} (\Qs) \quad</math></center><br />
<br />
|}<br />
</center><br />
<br />
<br />
El vector moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ} (\Qs)</math> no és senzill de calcular en general, i es presenta a la <span style="text-decoration: underline;">[[D5. Geometria de masses|'''unitat D5''']]</span>. <br><br />
<br />
En problemes de cinemàtica plana (2D), si el moment cinètic <math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQi}^\mathrm{Si} (\Gs_\is)</math> de cada sòlid del sistema que s’estudia és paral·lel a la velocitat angular del sòlid <math>\velang{Si}{RTQ}</math> (que és de direcció ortogonal al pla del moviment), només la component del TMC perpendicular al pla és interessant. En aquest cas es diu que el problema és de dinàmica plana (2D), i el problema es pot resoldre a partir de dues components del TQM i d’una del TMC.<br />
<br />
<div><br />
===<u>TMC en un punt de contacte entre dos sòlids</u>===<br />
Un enllaç que apareix sovint en els sistemes mecànics és el contacte puntual entre parelles de sòlids (S1 i S2, per exemple). Aquest enllaç pot introduir entre 1 i 3 incògnites d’enllaç (segons la rugositat de les superfícies i la cinemàtica del contacte – amb o sense lliscament). Quan aquestes forces no es volen calcular, és temptador aplicar el TMC al punt de contacte <math>\Js</math> (ja que el seu moment respecte de <math>\Js</math> és nul). <br><br />
[[Fitxer:TMCaJ-0-cat.png|thumb|right|230px|link=]]<br />
L’aplicació del TMC a <math>\Js</math> és molt delicada. Cal precisar de quin punt <math>\Js</math> es parla (<span style="text-decoration: underline;">[[C5. Cinemàtica plana del sòlid rígid#✏️ Exemple C5-1.8|'''exemple C5-1.8''']]</span>): si es tracta del <math>\Js</math> del sòlid S1 <math>(\Js_{\mathrm{S}1})</math>, del sòlid S2 <math>(\Js_{\mathrm{S}2})</math> , o bé si és el punt geomètric de contacte <math>(\Js_{\mathrm{geom}})</math> . Per una banda, aquests tres punts tenen cinemàtiques diferents <math> \left(\overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}1}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_{\mathrm{S}2}) \neq \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom}) \right)</math> , i el terme complementari associat al moment de les forces d’inèrcia <math>\left(\JGvec \times \ms \acc{J}{Gal} \right)</math> és diferent. Per altra banda, si per exemple el TMC s’aplica al solid S1, cal tenir present que, tot i que <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> pertany a S1 i es pot calcular el moment cinètic a partir del tensor d’inèrcia, <math>\Js_{\mathrm{S}1}</math> i <math>\Js_{\mathrm{geom}}</math> no hi pertanyen, i cal fer servir la descomposició baricèntrica per calcular aquest vector.<br />
<br />
Finalment, ja que el moment cinètic s’ha de derivar, el seu càlcul s’ha de fer en una configuració general (és a dir, quan <math>\Js</math> no és encara el punt de contacte), i és només després d’haver fet la derivada que es pot particularitzar el resultat a la configuració en què <math>\Js</math> és el punt de contacte. Com a il·lustració de tot plegat, l’esquema següent mostra l’aplicació del TMC a una roda amb moviment pla que toca a terra i llisca.<br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-1-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{roda}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{roda})=\otimes \ms \rs \ddot{\xs} \hspace{0.7cm} \overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)=\Is\Is (\Js_\mathrm{roda},\varphi) \overline{\dot{\varphi}} \quad , \quad \left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJroda}(\Js_\mathrm{roda},\varphi)\right]_{\varphi=180^\circ}</math><br />
</center><br><br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-2-cat.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{terra})= \overline{0} \hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{terra}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJterra}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}} + (\otimes \ms\rs\dot{\xs})\\<br />
\left.\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJterra}(\Js_\mathrm{terra},\xs) \right]_{\xs=0}<br />
\end{array}\right. <br />
</math><br><br />
<br />
<br />
[[Fitxer:TMCaJ-3-cat-esp.png|thumb|center|520px|link=]]<br />
<center><br />
<math>\overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms \overline{\as}_\mathrm{Gal}(\Js_\mathrm{geom})= (\otimes \ms \rs \ddot{\xs})\hspace{0.7cm} \left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathrm{H}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0)=\Is\Is (\Gs) \overline{\dot{\varphi}} + \overline{\Js_\mathrm{geom}\Gs} \times \ms\overline{\vs}_\mathrm{RTJgeom}(\Gs)=\Is\Is (\Gs)\overline{\dot{\varphi}}\\<br />
\dot{\overline{\mathrm{H}}}_\mathrm{RTJgeom}(\Js_\mathrm{terra},\xs=0) <br />
\end{array}\right. <br />
</math><br />
</center></center><br />
</div><br />
<br />
<br />
------<br />
------<br />
<br />
==D4.6 Exemples d’aplicació del TMC==<br />
<div><br />
====✏️ Exemple D4.5: condició límit estàtica====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex5-1-cat.png|thumb|left|180px|link=]]<br />
|El bloc penja d’una barra inclinada de massa negligible per mitjà d’un fil inextensible. Els extrems de la barra estan en contacte amb dues parets fixes a terra, una llisa i una altra rugosa (amb coeficient de fricció no nul <math>\mu_\mathrm{Q}</math> ). Es tracta de <u>calcular el valor mínim de <math>\mu_\mathrm{Q}</math> que permet l’equilibri</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes que actuen sobre el sistema (barra+bloc+fil) són:<br />
[[Fitxer:D4-Ex5-2-neut.png|thumb|center|300px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En trobar-se el sistema en repòs respecte del terra, <math>\acc{G}{T}=\overline{0}</math> i la força externa total ha de ser zero. Per tant:<br><br />
<br />
<math>\Ns_\Ps=\Ns_\Qs</math> , <math>\ms\gs=\Ts_\Qs</math><br><br />
<br />
Ja que està a punt de produir-se el moviment, la força tangencial d’enllaç a <math>\Qs</math> ha arribat al seu valor màxim possible: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs</math>. Ja que les equacions anteriors no permeten calcular <math>\Ns_\Qs</math> , cal una tercera equació, que vindrà del TMC. Tant si s’aplica a <math>\Ps</math>, com a <math>\Qs</math> o a <math>\Os</math>, el moment cinètic és zero:<br><br />
<br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{RTP}=\mathrm{RTQ}=\mathrm{RTO}=\mathrm{terra}(\Ts)\\<br />
\overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTP}(\Ps)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTQ}(\Qs)=\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0}</math><br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Qs)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\otimes \Ns_\Ps4\Ls\sin\beta)+(\odot \ms\gs3\Ls\cos\beta)=0 \quad \Rightarrow \quad \Ns_\Ps=\frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta}.</math><br />
<br />
Per tant: <math>\Ts_{\Qs,\mathrm{màx}}=\ms\gs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}}\Ns_\Qs=\mu_{\Qs,\mathrm{mín}} \frac{3}{4} \frac{\ms\gs}{\tan\beta} \quad \Rightarrow \mu_{\Qs,\mathrm{mín}}=\frac{4}{3} \tan \beta. </math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.6: màquina d’Atwood ====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex6-1-cat.png|thumb|left|230px|link=]]<br />
|Els blocs pengen de dues cordes inextensibles amb un extrem lligat a la perifèria de dues politges solidàries de radis r i 2r, i de massa negligible i articulades al sostre. Es tracta de <u>calcular l’acceleració angular de les politges</u>.<br><br />
<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el sistema (blocs+politges) i el seu moviment respecte del terra són <math>(\gs \approx 10 \ms/\ss^2)</math> :<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-1-neut.png|thumb|center|140px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
En total, hi ha tres incògnites: les dues forces d’enllaç associades a l’articulació de les politges i l’acceleració angular <math>\ddot{\theta}</math> de les politges respecte del terra. Els dos teoremes vectorials aplicats al sistema (blocs+politges) proporcionen tres equacions. Ara bé, ja que la incògnita que es vol determinar és l’acceleració, es pot aplicar només el TMC a <math>\Os</math> i d’aquesta manera obtenir una equació lliure d’incògnites d’enllaç però on apareix <math>\ddot{\theta}</math> :<br><br />
<br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 100 \Ns \cdot 2\rs) +(\otimes 50\Ns \cdot \rs)=(\odot 150\Ns \cdot \rs)=\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)</math><br><br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{\mathbf{H}}_\Ts (\Os)= \int_\mathrm{bloc\:esp.} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps)+ \int_\mathrm{bloc \: dreta} \OPvec \times \vel{P}{T} \ds\ms(\Ps) =\left(\int_\mathrm{bloc\: esp.} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ \left(\int_\mathrm{bloc \:dreta} \OPvec\ds\ms(\Ps) \right)\times (\uparrow \rs\dot{\theta}) </math><br><br />
<br />
<br />
Per la definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.1 Torsor associat a un sistema de forces|'''centre de masses''']]</span>: <math>\int_\mathrm{bloc} \OPvec\ds\ms(\Ps)=\ms_\mathrm{bloc}\OGvec_\mathrm{bloc} </math> . Per altra banda, en tenir els blocs velocitat vertical, en el producte vectorial <math>\OGvec_\mathrm{bloc} \times \overline{\mathbf{v}}_\Ts(\mathrm{bloc})</math> només contribueix la component horitzontal de <math>\OGvec_\mathrm{bloc}</math> . Així doncs:<br><br />
<br />
<br />
<math>\overline{\mathbf{H}}_\mathrm{T}(\Os)=10\ks\gs(\leftarrow 2\rs) \times (\downarrow 2\rs\dot{\theta})+ 5\ks\gs(\rightarrow \rs) \times (\uparrow \rs \dot{\theta})=40\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})+5\ks\gs(\odot\rs^2\dot{\theta})=45\ks\gs(\odot \rs^2\dot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{T}(\Os)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os) \quad \Rightarrow \quad (\odot 150\Ns \cdot \rs)=45\ks\gs(\odot \rs^2\ddot{\theta}) \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math><br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-Ex6-3-neut.png|thumb|right|150px|link=]]<br />
<u>Resolució alternativa </u><br><br />
<br />
Si s’aplica el TMC al punt <math>\Os</math> per al sistema format per les politges i les cordes, el pes dels blocs ja no apareix com a interacció externa, però apareixen en canvi les tensions de les dues cordes (que són incògnites d’enllaç).<br><br />
<br />
El moment cinètic del sistema és nul perquè no té massa:<br><br />
<br />
SIST: politges + cordes<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext}(\Os) = \dot{\overline{\mathbf{H}}}_\mathrm{RTO}(\Os)=\overline{0} \quad \Rightarrow \quad (\odot\Ts_1 \cdot\rs) + (\otimes \Ts_2 \cdot 2 \rs)=0</math><br><br />
[[Fitxer:D4-Ex6-4-neut.png|thumb|right|220px|link=]]<br />
<br />
<br />
L’aplicació del TQM a cadascun dels blocs genera dues equacions més:<br><br />
<br />
SIST: bloc de 10kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(10\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 100\Ns)+(\uparrow \Ts_1)=(10\ks\gs)(\uparrow 2\rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
SIST: bloc de 5kg<br><br />
<br />
<math>\sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext}(\Os)=(5\ks\gs)\overline{\mathbf{a}}_\Ts(\mathrm{bloc}) \quad \Rightarrow \quad (\downarrow 50\Ns)+(\uparrow \Ts_2)=(5\ks\gs)(\uparrow \rs \ddot{\theta})</math><br><br />
<br />
<br />
La resolució del sistema d’equacions condueix a <math>\ddot{\theta}=\frac{10}{3\rs}</math>.<br><br />
<br />
<br />
La primera resolució és més ràpida (només fa servir una equació escalar), però implica el càlcul del moment cinètic. Aquesta segona resolució és més llarga (sistema de tres equacions) però que no requereix calcular cap moment cinètic.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.7: dinàmica longitudinal d’un vehicle====<br />
------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-1-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El vehicle sense suspensions es mou sobre una carretera rectilínia. La massa de les rodes és negligible comparada amb la de la resta dels elements, i es considera que el seu contacte amb el terra es puntual. Es tracta d’<u>analitzar les forces normals d’enllaç entre terra i rodes</u>.<br />
És un problema de dinàmica plana. Les forces externes sobre el vehicle es redueixen al pes i a l’enllaç amb el terra. Si l’acceleració del xassís respecte del terra és una dada, l’aplicació del TQM condueix a:<br />
|}<br />
<br />
{|<br />
|<br />
<br />
<math>\sum\F{\text{ext}} = \ms\acc{G}{T} \Rightarrow \left\{\begin{aligned}<br />
<br />
\uparrow(\Ns_{\ds\vs}+ \Ns_{\ds\rs})+ (\downarrow\ms\gs) = 0\\<br />
[\rightarrow(\Ts_{\ds\vs}+ \Ts_{\ds\rs})] = (\rightarrow\ms\as_\Ts)<br />
\end{aligned}\right.</math><br />
<br />
<br />
on <math>(\Ns_{\ds\vs}, \Ts_{\ds\vs})</math> i <math>(\Ns_{\ds\rs}, \Ts_{\ds\rs})</math> són les forces normal i tangencial que en total reben les dues rodes del davant i les dues rodes del darrere, respectivament.<br />
El TMC a G condueix a: <math>\sum\vec{\Ms}_{ext}(\Gs) = \vec{H}_{RTG}(\Gs)\Rightarrow(\odot\Ls_{\ds\vs}\Ns_{\ds\vs}) + (\otimes\Ls_{\ds\rs}\Ns_{\ds\rs}) + [\odot\hs(\Ts_{\ds\vs} + \Ts_{\ds\rs})] =0</math><br />
(el moment cinètic <math>\vec{H}_{RTG}(\Gs)</math> és permanentment nul ja que les rodes no tenen massa, i la resta del vehicle té moviment nul respecte de la RTG).<br />
|[[Fitxer:D4-Ex7-2-cat.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
Resolent el sistema d’equacions: <math>\Ns_{\ds\vs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} - \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, \:\:\:\:\Ns_{\ds\rs} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}} + \frac{\ms\as_\Ts\hs}{\Ls_{\ds\vs} + \Ls_{\ds\rs}}, </math><br />
<br />
Aquest resultat és vàlid per a qualsevol valor de <math>\as_\Ls</math>:<br />
:*Situació estàtica (<math>\as_\Ts = 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\rs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} = \frac{\ms\gs\Ls_{\ds\vs}}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; la força normal és més gran a les rodes que tenen l’eix més proper a <math>\Gs</math>.<br />
<br />
:*Accelerant (<math>\as_\Ls > 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} + \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math> ; hi ha un transvasament de força del davant cap al darrere (es carreguen les rodes del darrere i es descarreguen les del davant). Si l’acceleració <math>|\as_\Ts|</math> és prou elevada, la força normal al davant passa a ser negativa, la qual cosa indica que s’ha perdut el contacte i el vehicle bolca en sentit antihorari. Llavors, <math>\Ns_{\ds\vs} = 0</math>, el xassís passa a tenir, en principi, acceleració angular, i com a conseqüència el centre de masses <math>\Gs</math> passa a tenir acceleració vertical.<br />
<br />
:*Frenant (<math>\as_\Ls < 0</math>): <math>\Ns_{\ds\vs} = \Ns_{\ds\vs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>, <math>\Ns_{\ds\rs} = \Ns_{\ds\rs}^{\es\ss\ts} - \frac{\ms|\as_\Ts|\hs}{\Ls_{\ds\vs}+ \Ls_{\ds\rs}}</math>; hi ha un transvasament de força del darrere cap al davant (es descarreguen les rodes del darrere i es carreguen les del davant). Com en el cas precedent, hi ha un valor crític de <math>|\as_\Ts|</math> que provoca el bolcament, ara en sentit horari.<br />
</small><br />
---------<br />
---------<br />
</div><br />
<br />
==D4.7 Dinàmica dels Sòlids Auxiliars d'Enllaç==<br />
<br />
L’aplicació dels teoremes vectorials als <span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.5 Interaccions indirectes d’enllaç: Sòlids Auxiliars d’Enllaç (SAE)|'''Sòlids Auxiliars d’Enllaç''']]</span> (SAE) és senzilla ja que els termes de la dreta (variació de quantitat de moviment i variació de moment cinètic) són nuls en ser nul·la la seva massa:<br><br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{SAE} \approx 0 \Rightarrow \sum \mathbf{\overline{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} \quad , \quad \sum \mathbf{\overline{M}}_\mathrm{ext} (\mathrm{qualsevol} \hspace{0.2cm} \mathrm{punt}) \approx \overline{0}.</math><br><br />
<br />
Per al cas d’un SAE (sòlid S) connectant dos sòlids rígids S1 i S2 ('''Figura D4.5'''), aquestes equacions permeten demostrar que el torsor que actua sobre S1 es pot obtenir a partir d’una equació de caracterització analítica on la cinemàtica del punt <math>\Ps</math> de caracterització (que ha de pertànyer al sòlid S1) s’avalua a la referència solidària a S2:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br><br />
<br />
(Quan es tracta de velocitats, és important especificar a quin sòlid pertany el punt <math>\Ps</math>. Això, en canvi, és irrellevant quan es tracta de moments: <math> \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}1) = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) + \overline{\Ps_{\mathrm{S}1}\Ps_\mathrm{S}} \times \mathbf{\overline{F}} = \mathbf{\overline{M}} (\Ps \in \mathrm{S}) \equiv \mathbf{\overline{M}} (\Ps)</math>).<br><br />
<br />
[[Fitxer:D4-5-cat.png|thumb|center|350px|link=]]<br />
<center>'''Figura D4.5:'''Sòlid Auxiliar d’Enllaç entre dos sòlids de massa no nul·la</center><br><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
Els teoremes vectorials aplicats sobre el SAE impliquen que els torsors d’enllaç que rep de S1 i S2 en un mateix punt <math>\Ps</math> han de sumar zero:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\sum \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}} \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}+\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}=\overline{0} \\<br />
\sum \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{ext}}(\Ps) \approx \overline{0} \Rightarrow \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 1 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)+\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{0}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}<br />
\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}} =\overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1} \equiv \overline{\mathbf{F}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1} \\<br />
\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow \mathrm{S}}(\Ps)=\overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps) \equiv \overline{\mathbf{M}}_{\mathrm{S} 2 \rightarrow(\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S} 1}(\Ps)<br />
\end{array}\right.</math><br><br />
<br />
Per altra banda, aquests torsors compleixen l’<span style="text-decoration: underline;">[[D3. Interaccions entre sòlids rígids#D3.4 Interaccions directes d’enllaç|'''equació de caracterització analítica''']]</span>:<br><br />
<br />
<math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow \mathrm{S}} (\Ps) \cdot \velang{S}{S2} =0 \quad , \quad \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S} =0. </math><br><br />
<br />
Si es combinen totes les equacions anteriors, s’obté:<br><br />
<br />
<math> \mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \left[ \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}) + \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1) \right] + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \left[\velang{S1}{S} + \velang{S}{S2}\right] =0. </math><br><br />
<br />
Una <span style="text-decration: underline;">[[C3. Composició de moviments#C3.1 Composició de velocitats|'''composició de moviments''']]</span> permet reescriure l’equació anterior de manera més compacta:<br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \velang{S1}{S}=\velang{S1}{S2} - \velang{S}{S2}</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}2 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}1<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S})=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1)</math><br><br />
<br />
<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}: \mathrm{S}1 \\<br />
\mathrm{REL}: \mathrm{S}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}} (\Ps \in \mathrm{S}1)=\mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S}1) - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})= - \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}1} (\Ps \in \mathrm{S})</math><br><br />
<br />
Finalment: <math>\mathbf{\overline{F}}_{\mathrm{S}2 \rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} \cdot \mathbf{\overline{v}}_{\mathrm{S}2} (\Ps \in \mathrm{S}1) + \mathbf{\overline{M}}_{\mathrm{S}2\rightarrow (\mathrm{S}) \rightarrow \mathrm{S}1} (\Ps) \cdot \velang{S1}{S2} =0.</math><br />
</small><br />
</div><br />
<div><br />
<br />
====✏️ Exemple D4.8: dinàmica longitudinal d’un vehicle ====<br />
---------<br />
:<small><br />
{|<br />
|[[Fitxer:D4-Ex8-1-cat.png|thumb|left|220px|link=]]<br />
|En el vehicle de l’exemple D4.7, es considera que la tracció és posterior. Això vol dir que el motor del vehicle actua entre el xassís i les rodes posteriors, en tant que les del davant només estan sotmeses a interaccions d’enllaç (articulació amb el xassís i contacte amb el terra). <br><br />
<br />
Si es tracten les rodes del davant com a SAE, l’anàlisi cinemàtica del xassís respecte del terra per a la caracterització de l’enllaç a través de les rodes del davant condueix a un torsor en el centre de la roda (que és fix al xassís) amb només una component de força:<br />
|}<br />
[[Fitxer:D4-Ex8-2-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
L’existència d’una component horitzontal de força entre les rodes posteriors (necessària per accelerar o frenar el vehicle!) està associada al parell motor. Si s'apliquen els teoremes vectorials a les rodes posteriors, les interaccions externes a tenir en compte són l’enllaç amb el terra, l’articulació amb el xassís i el parell motor <math>\Gamma</math> : <br />
[[Fitxer:D4-Ex8-3-cat.png|thumb|center|370px|link=]]<br />
<br />
<math>\ms_\mathrm{rodes} \approx 0 \Rightarrow \sum \overline{\mathbf{F}}_\mathrm{ext} \approx \overline{0} , \sum <br />
\overline{\mathbf{M}}_\mathrm{ext} (\Cs) \approx \overline{0} \Rightarrow <br />
\left\{\begin{array}{l}<br />
\mathrm{TQM }: \hspace{1.4cm} \Ns_\mathrm{dr}=\Ns'_\mathrm{dr} , \Ts_\mathrm{dr}=\Ts'_\mathrm{dr} \\<br />
\mathrm{TMC } \hspace{0.2cm} \mathrm{a} \hspace{0.2cm} \Cs: \quad \Ts_\mathrm{dr}\rs=\Gamma \Rightarrow \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs<br />
\end{array}\right. </math><br><br />
<br />
La força tangencial sobre les rodes motrius és directament proporcional al parell motor que se’ls aplica. Cal no oblidar, però, que com a força tangencial d’enllaç, el seu valor està limitat per <math>\mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math> . Això permet calcular l’acceleració màxima que pot adquirir el vehicle (mentre la roda del davant no perdi contacte amb el terra):<br><br />
<br />
<math>\left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Ts_\mathrm{dr,màx}/\ms \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr}=\Gamma / \rs \quad , \quad \Ts_\mathrm{dr} \leq \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr}</math>.<br><br />
<br />
En terrenys de baix fregament ( <math>\mu_\es</math> de valor baix), un motor capaç de subministrar un parell màxim alt és inútil: qui posa límit a l’acceleració és el valor del coeficient de fricció <math>\mu_\es</math> : <math> \left.\as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \mu_\mathrm{e}\Ns_\mathrm{dr} /\ms </math> . En terrenys d’alt fregament, si el parell màxim és baix és ell qui posa límit a l’acceleració: <math>\left. \as_\Ts (\mathrm{vehicle})\right]_\mathrm{màx}= \Gamma_\mathrm{màx}/\ms \rs</math> (si la roda del davant no perd contacte amb el terra).<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
---------<br />
---------<br />
<br />
==D4.8 Descomposició baricèntrica del moment cinètic==<br />
<br />
La versió del TMC que s’ha presentat permet triar lliurement el punt <math>\Qs</math> d’aplicació. El criteri per triar-lo es basa en el que es vulgui investigar (una força d’enllaç, una equació del moviment...). A la <span style="text-decoration: underline;">[[D6. Exemples de dinàmica 2D|'''unitat D6''']]</span> es discuteix aquest criteri.<br />
En alguns casos, pot ser interessant triar un punt <math>\Qs</math> que no pertanyi a cap element material del sistema. Llavors, és útil referir el càlcul del moment cinètic <math>\H{Q}{}{RTQ}</math> al moment cinètic al centre de masses <math>\Gs</math> del sistema, <math>\H{G}{}{RTG}</math>. Això es coneix amb el nom de '''descomposició baricèntrica''' del moment cinètic:<br />
<br />
<math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>,<br />
<br />
on el superíndex <math>\oplus</math> indica que el moment cinètic s’ha de calcular com si el sistema s’hagués reduït a una partícula concentrada a <math>\Gs</math> amb massa igual a la massa total del sistema (M): <br />
<br />
<math>\H{G}{\oplus}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTQ}</math><br />
<br />
<div><br />
=====💭 Demostració ➕=====<br />
<small><br />
:La definició de moment cinètic d'un sòlid rígid <math>\Ss_i</math> és: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps)</math>. La velocitat <math>\vel{P}{RTQ}</math> es pot escriure com a suma de dos termes si s’aplica una composició de moviments:<br />
<br />
:<math>\left.\begin{array}{l}<br />
\mathrm{AB}:\mathrm{RTQ}\\<br />
\mathrm{REL}:\mathrm{RTG}<br />
\end{array}\right\} \Rightarrow\vel{P}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{P}{ar} = \vel{P}{RTG} + \vel{$\Ps\in\mathbf{RT}\Gs$}{RTQ} = \vel{P}{RTG} + \vel{G}{RTQ}</math><br><br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ} = \int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right]\times\vel{P}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:La definició de <span style="text-decoration: underline;">[[D4. Teoremes vectorials#D4.1 Teorema de la Quantitat de Moviment (TQM) en referències galileanes|'''centre de masses''']]</span> porta a reescriure el segon terme com a:<br />
<br />
:<math>\left[\int_\Ss\QPvec\ds\ms(\Ps)\right] = \Ms\QGvec\times\vel{P}{RTQ} = \QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ}</math>, que coincideix amb el moment cinètic respecte de <math>\Qs</math> d’una partícula de massa M situada a <math>\Gs</math>: <math>\QGvec\times\Ms\vel{P}{RTQ} = \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
<br />
:En el primer terme de l’expressió de <math>\H{Q}{\Ss}{RTQ}</math>, es pot descompondre <math>\QPvec</math> en suma de dos termes:<br />
<br />
:<math>\int_\Ss\QPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \int_\Ss\GPvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) + \H{G}{\Ss}{RTG}</math><br />
<br />
:Per definició de centre de masses: <math>\int_\Ss\QGvec\times\vel{P}{RTQ}\ds\ms(\Ps) = \QGvec\times\left[\int_\Ss\vel{P}{RTG}\ds\ms(\Ps)\right] = \QGvec\times\Ms\vel{G}{RTG} = \vec{0}</math>.<br />
<br />
:Per tant: <math>\H{Q}{}{RTQ} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{RTQ}</math>.<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<div><br />
<br />
===== ✏️ Exemple D4.9: descomposició baricèntrica =====<br />
----------<br />
<small><br />
{|<br />
<br />
|[[Fitxer:D4-Ex9-1-cat-esp.png|thumb|center|200px|link=]]<br />
|El sòlid està format per dues barres de massa negligible i quatre partícules (<math>\Ps</math>) amb massa m unides als extrems de les barres. El sòlid està articulat a un suport que es pot moure al llarg d’una guia fixa a terra.<br />
El seu moment cinètic a G és:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG}</math><br />
<br />
La RTG és fixa al suport, i la velocitat de les partícules respecte d’aquesta referència és proporcional a la rotació <math>\omega</math>: <math>|\vel{P}{RTG}|=\Ls\omega</math>. Per tant:<br />
<br />
<math>\H{G}{}{RTG}\equiv\sum_{\Ps\in\text{sist}}\GPvec\times\ms\vel{P}{RTG} = (\otimes4\ms\Ls^2\omega)</math><br />
|}<br />
:El moment cinètic a <math>\Os</math> (fix al terra) es pot calcular a partir de <math>\H{G}{}{RTG}</math> mitjançant descomposició baricèntrica:<br />
<br />
:<math>\H{O}{}{RTO} = \H{O}{}{T} = \H{G}{}{RTG} + \H{G}{\oplus}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + \OGvec\times\Ms\vel{G}{T} = (\otimes 4\ms\Ls^2\omega) + [(\rightarrow\xs) + (\downarrow\hs)]\times 4\ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\downarrow\hs)\times\Ms(\rightarrow\dot\xs) = (\otimes4\ms\Ls^2\omega) + (\odot 4\ms\hs\dot\xs) = \otimes 4\ms(\Ls^2\omega - \hs\dot\xs)</math><br />
<br />
<br />
</small><br />
</div><br />
<br />
<br />
<br />
<p align="right"><small>© Universitat Politècnica de Catalunya. [[Mecànica:Drets d'autor |Tots els drets reservats]]</small></p><br />
-------------<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><br />
[[D3. Interaccions entre sòlids rígids|<<< D3. Interaccions entre sòlids rígids]]<br />
<br />
[[D5. Geometria de masses|D5. Geometria de masses >>>]]<br />
</center></div>
Bros